sistem persamaan linier - luk.staff.ugm.ac.id · kuda-kuda dalam bentuk matriks 4 3 34 13 24 3 1...

Sistem Persamaan LinierDjoko Luknanto

Jurusan Teknik Sipil dan LingkunganFT UGM

23/10/2013 Djoko Luknanto ([email protected]) 2

Kuda-kuda dalam bentuk matriks

4

3

3 4

1 3

2 4

3

1 0 0 0 0 00 1 1 0 0 0

tan0 0 2 0 0 0csc0 0 0 1 1 0sec0 0 0 1 1 000 0 0 0 cos 1

A

A

B

H PV PV P Pp Pp Pp

P4

P3

HA

VA

C

BA

1 2

3

VB

Penyelesaian dalam bentuk matriks

[A]23/10/2013 Djoko Luknanto ([email protected]) 3

4

3

3 4

1 3

2 4

3

1 0 0 0 0 00 1 1 0 0 0

tan0 0 2 0 0 0csc0 0 0 1 1 0sec0 0 0 1 1 000 0 0 0 cos 1

A

A

B

H PV PV P Pp Pp Pp

{x}={B}

Eliminasi Gauss


Baris 1

3/43/4

2/42/4

1/41/4

motivasi

pengurang

hasil

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier


[A] {x}={B}{x}= ?[A]-1{x}= {B}

Hindari!


Dengan eliminasi Gauss

23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 6

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

31 32 33 3 3

a a a x ba a a x ba a a x b

11 12 13 1 1

22 23 2 2

33 3 3

00 0

a a a x bc c x d

c x d

12 13 1 1

23 2 2

3 3

10 10 0 1

d d x fd x f

x f

1 2


1. Dengan menggunakan matriks invers


11 12 13 1 1 1 1

21 22 23 2 2 2 2

31 32 33 3 3 3 3

atau ataua a a x b c da a a x b c da a a x b c d

1 11

2 2

3 3

[ ]x bx A bx b

1 11

2 2

3 3

[ ]x cx A cx c

1 11

2 2

3 3

[ ]x dx A dx d

Cara mencari matrik invers Matriks invers sebaiknya dihindari; cara yang

lebih efisien akan dijelaskan kemudian.


11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

[ ][ ] { }

1 0 00 1 00 0 1

IA B

a a a ba a a ba a a b

1

1 11 12 13

2 21 22 23

3 31 32 33

[ ] [ ]{ }

1 0 00 1 00 0 1

I Ax

c d d dc d d dc d d d

1. Bentuk [A]{B}[I]2. Ubah menjadi

[I]{C}[A]-1

dengan cara• Eliminasi Gauss:

ubah [A][I]maka:1) {B}{C}2) [I][A]-1


2. Dekomposisi [A] = [L][T]


[ ]{ } { }A x B[ ][ ]{ } { }L T x B

[ ]{ } { }L y B[ ]{ } { }T x y

[ ][ ]L T

{ }y{ }x


2. Dekomposisi [A] = [L][T]


11 12 13 1 1 1 1

21 22 23 2 2 2 2

31 32 33 3 3 3 3

atau ataua a a x b c da a a x b c da a a x b c d

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

31 32 33 3 3

{ } { }

[ ]

1 0 01 0 0

1 0 0

L T

A

T T T x bL T T x bL L T x b

Dekomposisi [A] = [L][T]


11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

31 32 33 3 3

{ }

{ } { }

1 0 01 0 0

1 0 0Y

L T


11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

31 32 33 3 3

{ } { }

[ ]

1 0 01 0 0

1 0 0

L T

A


1 1

21 2 2

31 32 3 3

{ }

{ }

1 0 01 0

1Y

L

Y bL Y bL L Y b



1 2 3 1 1 11 0 0Y Y Y b Y b

21 1 2 3 2 2 2 21 11 0L Y Y Y b Y b L Y

31 1 32 2 3 3 3 3 31 1 32 21L Y L Y Y b Y b L Y L Y

11 12 13 1 1

22 23 2 2

33 3 3

00 0

T T T x YT T x Y

T x Y



31 2 33 3 3 3

33

0 0 Yx x T x Y xT

2 23 31 22 2 23 3 2 2

22

0 Y T xx T x T x Y xT

1 12 2 13 311 1 12 2 13 3 1 1

11

Y T x T xT x T x T x Y xT

Matriks Tridiagonal

Dalam dunia ketekniksipilan banyak dijumpai matriks tridiagonal terutama dalam penyelesaian numerik persamaan diferensial.

Matriks tridiagonal A = [aij] jikaaij = 0 untuk |i - j| > 1

Bentuk matriksnya dapat dilihat dalam tayangan berikut


Matriks Tridiagonal

Matriks yang anggotanya hanya terdapat pada diagonal, bawah dan atas diagonal.


1 1

2 2 2

3 3 2

1 1 1

0 0 00

00 0

0n n n

n n

a cb a c

b a c

b a cb a

Matriks Tridiagonal

A = LU


1 1

2 2 2

3 3

1

0 10 0 1

01

0 0 0 1n

n n

bb

b

Matriks TridiagonalDengan mengalikan LU = A diperoleh: a1 = 1 dan c1 = 11 ai = i + bii-1 untuk i = 2, 3, …, n ii = ci untuk i = 2, 3, …, n-1dari persamaan di atas diperoleh langkah hitungan berikut ini: 1 = a1 dan 1 = c1/1 i = ai – bii-1 i = ci/i untuk i = 2, 3, …, n n = an – bnn-1Koefisien dan disimpan untuk hitungan-hitungan lanjutan …


Matriks Tridiagonal

Nilai x dihitung dari [A]{x} = {f} yang diubah menjadi

[LU]{x} = {f}dengan [U]{x} = {z} dan [L]{z} = {f} sehingga {z} dihitung terlebih dahulu baru kemudian {x}:


1 11

1

2,3,...,i i ii

i

f f b zz z i n

1 1, 2,...,1n n i i i ix z x z x i n n

Matriks Pita

Metoda penyelesaian untuk matriks tridiagonal ini dikenal dengan nama Algoritma Thomas.

Untuk matriks pita yaitu matriks yang anggota bernilai tidak nol berada di sekitar diagonal, maka teknik yang sama dapat dilakukan dan secara umum disebut metoda sapuan ganda.


sistem persamaan linier - luk.staff.ugm.ac.id · kuda-kuda dalam bentuk matriks 4 3 34 13 24 3 1...

Documents