sistema axonométrico oblicuo

Universidad Católica San Pablo

Resumen

El sistema Axonométrico Oblicuo se fundamenta en un sistema similar al Axonométrico

Ortogonal, utiliza los mismos elementos pero emplea un solo plano de proyección llamado

“plano del cuadro” sobre el que se proyectan los puntos a representar.

Este sistema, consiste en proyectar el punto o elementos a representar, ortogonalmente a estos

planos auxiliares o caras del triedro trirrectángulo. Seguidamente, y de forma diferente a como se

trabaja en la Axonométrica Ortogonal, se proyecta sobre el plano del cuadro, según una

proyección cilíndrica oblicua, las proyecciones auxiliares resultantes y el propio punto sobre el

plano del cuadro.

En este sistema Axonométrico Oblicuo, se observa claramente la variación en el tipo de

proyección respecto del axonométrico ortogonal, ya que en este último el vértice del triedro

trirrectángulo está contenido en el cuadro; por otro lado en el axonométrico oblicuo es la cara

XOZ la que coincide con el cuadro.

El objetivo de este “abatimiento del triedro sobre el cuadro”, es poder tener los ejes X y Z en

verdadera magnitud, así como los elementos contenidos o proyectados en él.

1Dibujo Técnico y CAD


(Abstract)

The Oblique Axonometric system is based on a similar Axonometric Orthogonal system uses the

same elements but employs one projection plane called "picture plane" on which points are

projected to represent.

This system involves projecting point or elements represent orthogonal to these auxiliary planes

or faces of trirectangular triedro. Next, and differently from working in Axonometric Orthogonal,

is projected onto the picture plane, in an oblique cylindrical projection, the resulting auxiliary

projections and the point itself on the picture plane.

Oblique Axonometric In this system, the axonometric orthogonal variation is evident in the type

of projection, since in the latter trirectangular trihedral vertex is contained in the table; on the

other hand is the XOZ axonometric oblique face which matches the frame.

The aim of the "Gloom triedro on the table" is to have the X and Z axes in true scale, and the

contents therein or projected elements.



Introducción

En la representación de cuerpos mediante sus vistas se procura que los planos de

proyección sean paralelos o perpendiculares a las direcciones principales de la pieza, con lo cual

las vistas constituyen representaciones del cuerpo que solo muestran dos dimensiones del mismo.

El objeto por medio de sus vistas queda representado realmente como es en forma y dimensiones

con proyecciones que pueden obtenerse fácilmente pero que no son siempre suficientemente

intuitivas, lo que requiere una imaginación preparada para formarse idea de la pieza a partir de

sus vistas. El método axonométrico consiste en representar los cuerpos sobre un plano de dibujo

por medio de una sola proyección, dispuestos de cualquier manera, sin ninguna condición de

paralelismo o perpendicularidad respecto del citado del plano. Es decir, que en dicha proyección

se aprecian las tres direcciones principales del cuerpo, dando una idea inmediata de la forma y

magnitudes del mismo.



1. Elementos y fundamentos.

Sistema axonométrico oblicuo, concepto. Tipo de proyección.

Etimológicamente, el término Axonométrico quiere decir eje (axo) y medida

(métrico). Este sistema de representación nos proporciona, al igual que el sistema cónico,

una visión directa y de muy fácil interpretación al primer golpe de vista, de los cuerpos que por

su medio se representan. Las proyecciones o dibujos con él representados reciben el nombre

de perspectivas, existiendo tres tipos de perspectivas, la axonométrica ortogonal, la axonométrica

oblicua o caballera y la cónica, según el sistema de representación empleado.

Sistema axonométrico oblicuo. Fundamentos.

El fundamento de este sistema es similar al del sistema axonométrico ortogonal, y

los elementos los mismos, emplea un solo plano de proyección denominado Plano del

Cuadro sobre el que se proyectan los puntos a representar directamente. Además intervienen tres

planos auxiliares que proporcionan otras tantas proyecciones, cada punto del espacio queda



totalmente definido con estas tres proyecciones auxiliares y la directa sobre el plano del

cuadro. El procedimiento es totalmente reversible, a las cuatro proyecciones de un punto

señaladas, corresponde un único punto en el espacio. Los tres planos auxiliares antedichos

forman un triedro trirrectángulo (poliedro formado por tres planos que se cortan dos a dos, según

ángulos rectos) y tiene tres aristas, X1, Y1, Z1 y un vértice O, que tras proyectarse sobre el

cuadro las designaremos X, Y y Z.

El fundamento del sistema consiste en proyectar el punto o elementos a

representar, ortogonalmente sobre estos planos auxiliares o caras del triedro trirrectángulo.

Seguidamente, y de forma diferente a como trabajábamos en la Axonométrica ortogonal,

proyectaremos sobre el plano del cuadro, según una proyección cilíndrica oblicua, las

proyecciones auxiliares resultantes y el propio punto directamente sobre el plano del cuadro.

Diferencias entre el sistema axonométrico ortogonal y oblicuo.

En este sistema, el axonométrico oblicuo, varía el tipo de proyección respecto del

axonométrico ortogonal por lo siguiente:

En el sistema axonométrico ortogonal, el vértice del triedro trirrectángulo estaba

contenido en el cuadro, en el sistema axonométrico oblicuo es la cara XOZ la que coincide con el

cuadro. El objetivo de este “abatimiento del triedro sobre el cuadro” es poder tener los ejes X y Z

en verdadera magnitud (formando un ángulo recto en su vértice O), así como los elementos

contenidos o proyectados en él. El inconveniente es que, y por tratarse de un triedro

trirrectángulo, el eje Y resulta tras el abatimiento proyectante en un punto, coincidente con el

vértice O, no resultando por tanto operativo, para subsanarlo, empleamos una proyección

cilíndrica oblicua, permaneciendo invariables, tras esta segunda proyección los ejes X y Z así



como los elementos en ellos contenidos o proyectados, pero visible la proyección del eje Y sobre

el cuadro. Figuras 1 y 2.

Como en el Sistema Axonométrico Ortogonal, hacemos también en este sistema

coincidir el cuadro con el papel del dibujo. El hecho de tener coincidente el plano XOZ con el

cuadro permite aligerar su trazado al ahorrarnos las reducciones de estos ejes, por esto es que se

denomina perspectiva rápida. Por su irrealidad debido a las deformaciones lineales que en

ocasiones produce, como veremos, se denomina perspectiva fantástica. También se la conoce

vulgarmente como perspectiva caballera o militar.

Las proyecciones directas y secundarias de un punto están relacionadas con los

ejes del siguiente modo.

Tengamos en cuenta que cada eje o arista del triedro es perpendicular, por ser este

trirrectángulo, al plano al que no pertenece por ejemplo, el eje OY, es perpendicular al plano

ZOX. De igual forma, son perpendiculares en el espacio los segmentos que unen la proyección

principal del punto con sus proyecciones secundarias (A con a’ por ejemplo), con el plano que

contiene a dicha proyección secundaria (en el ejemplo, el plano XOY), al ser, tanto el eje que no

pertenece al plano como el segmento mencionado perpendiculares ambos al plano en cuestión,

eje y segmento son, a su vez, paralelos entre sí, (en el ejemplo, el eje paralelo es el OZ). Por

tanto, las proyecciones de un punto generan siempre segmentos paralelos a los ejes.



Las rectas contenidas o paralelas a los ejes axonométricos se denominan rectas

axonométricas.

Los ejes se pueden graduar en unidades de medida, de este modo establecemos un

sistema de coordenadas tridimensional, cada punto del espacio viene determinado por

estas coordenadas, A (x, y, z), que corresponden a los ejes OX, OY, OZ respectivamente,

quedando así determinadas las tres distancias del punto a los planos de proyección secundarios y

por tanto la proyección principal del punto.

En cualquier caso, para ubicar la completamente las cuatro proyecciones de un

punto, son precisos solo dos datos, las demás las calculamos trazando paralelas a los ejes por los

datos conocidos.

Las coordenadas son perfectamente compatibles con las conocidas en SDO,

conociendo las de un punto en un sistema podemos representar el punto en el otro. El plano ZOX

se corresponde con el vertical, el XOY con el horizontal y el ZOY con el de perfil, siendo la



coordenada “y” el alejamiento, la “z” la cota y la “x” la distancia al plano de perfil, salvo que se

indique lo contrario.

Designación o nomenclatura.

Las intersecciones entre los planos auxiliares o caras del triedro trirrectángulo son

las 3 aristas de dicho triedro concurrentes en su vértice O y que proyectadas sobre el plano del

cuadro denominaremos ejes axonométricos OX, OY y OZ. Nos servirán de referencia y

medida. Los planos comprendidos entre ellos se denominan XOY, XOZ y ZOY.

Las proyecciones secundarias de un punto A se designan a’, a” y a'” (o A1, A2 y

A3) según pertenezcan a los planos XOY, XOZ o ZOY respectivamente. Las proyecciones

secundarias de una recta R se designan r’, r” y r”‘(o r1, r2, r3) según pertenezcan a los planos

XOY, XOZ o ZOY respectivamente. Las trazas de un plano β se designan β’, β” y β”‘ (o β1, β2,

β3) según correspondan a los planos XOY, XOZ o ZOY respectivamente.



2. Sombras. Foco impropio

En Perspectiva Caballera se trabaja de igual modo sean sombras con foco propio o

impropio, que en Axonométrica ortogonal.

Sombra de un punto en un plano de proyección oblicuo P.

La sombra de un punto A sobre un plano P oblicuo cualquiera viene determinada

por la intersección o traza entre dicho plano y la recta de sombra que contiene al punto. Como

sabemos, para determinar la intersección entre una recta y un plano, hacemos pasar por la recta

un plano de sencillo trazado. Calculamos la recta de intersección entre ambos planos y obtenemos

en el punto de corte de ambas rectas el punto de intersección buscado. En la figura 23 podemos

observar como la recta de sombra que contiene a la proyección principal del punto A es

hipotenusa del triángulo A-a’-Sa’, siendo Sa’ la sombra del punto sobre el plano de proyección

XOY. El mencionado triángulo determina un plano (Q) perpendicular al plano de proyección

XOY. Tomamos como auxiliar el plano Q y obtenemos, de su intersección con el plano P dado,

la recta S. El punto de intersección entre la recta obtenida y la recta de sombra que contiene al

punto A es el punto de sombra (Sa-P) buscado.

Sombra de una figura plana.

Considerando opacos los planos de proyección XOY, XOZ y P

dado, determinaremos la sombra de la figura plana dada calculando para ello la sombra de sus

vértices. La figura plana queda delimitada por las proyecciones principales de los puntos A y B y

por sus correspondientes proyecciones secundarias a’ y b’. Estas últimas no presentan sombra

arrojada en el plano P dado, estando sus sombras arrojadas sobre los planos de proyección



coincidentes con ellos mismos. El punto B muestra su sombra arrojada sobre el plano XOZ

coincidente con su propia proyección principal y no muestra sombra arrojada sobre el plano P

dado. El punto A presenta sombra arrojada sobre el plano P en Sa-P pues la proyección principal

de la recta de sombra que pasa por él incide al mencionado plano en dicho punto. Para determinar

la sombra arrojada de los lados del polígono dado unimos las sombras arrojadas y homólogas de

sus vértices.

Sucede que, las sombras calculadas no son homologas pues no pertenecen a los

mismos planos. Desde Sa-P tendremos que unir con 1 y con 3 siendo 1 el punto de inflexión o

doble de la sombra arrojada del segmento A-a’ sobre los planos P y XOY y siendo 3 el punto de

inflexión o doble de la sombra arrojada del segmento A-B en los planos P y XOZ. El punto doble

3 está situado en la intersección entre el la sombra arrojada del segmento A-B (Sa”-Sa”) sobre el

plano XOZ y la traza del plano P (P”) en dicho plano de proyección. Figura 24. La dirección de

Luz dada es la misma que la Del ejercicio de la figura 23.



Perpendicularidad.

Recta perpendicular a un plano paralelo al eje Y, por un punto.

En virtud del teorema de las tres perpendiculares trazamos la proyección principal

de la recta R buscada directamente perpendicular a la traza P” del plano dado por la proyección

principal A del punto dado.

Realmente procedemos de igual forma que en el Sistema Axonométrico Ortogonal

respecto de la traza ordinaria del plano dado pues la traza del plano P con el plano XOZ (P”) es

en el Sistema Axonométrico oblicuo la traza con el Plano del Cuadro (o traza ordinaria).

La proyección vertical r” de la recta la trazamos paralela a la recta R trazada, o

también perpendicular a P”, por la proyección a” del punto.

Para obtener la proyección vertical de la recta buscada, tendremos en cuenta que,

por ser el plano P dado paralelo al eje Y, es un plano perpendicular al Plano del Cuadro. Toda

recta R perpendicular al plano P será por tanto paralela al cuadro así como a su proyección

secundaria sobre éste (r”). Por otro lado, tanto P” como r” están en verdadera magnitud lineal y

angular al estar contenida y ser paralela respectivamente al Plano del Cuadro, por lo que su

perpendicularidad se aprecia directamente.

Definidas dos proyecciones de la recta, principal R y secundaria r”, tenemos definida la recta.

Ambas proyecciones están además en verdadera magnitud por ser paralelas al cuadro .Figura 1.



Recta R perpendicular a un plano P, paralelo al eje Y, por un punto A. Recta

perpendicular a un plano P, paralelo al eje ZOX, por un punto A. Recta perpendicular a un plano

paralelo al eje ZOX, por un punto.

Definido el punto A (a’, a”, a”’) no podemos proceder de igual forma que en el

ejercicio anterior por no ser la traza P’’’ del plano traza con el cuadro sino con la cara del triedro

ZOY y esta se encuentra oblicua al plano del cuadro.

Abatimos pues esta cara XOY sobre el plano del cuadro para situarla en verdadera

magnitud, tomando como charnela el eje Z y en base al coeficiente dado. Abatimos con el plano

XOY la traza P’’’ y la proyección a’’’ del punto en P’’’o y a’’’o. Trazamos una

perpendicular r’’’o por a’’’o a P’’’o y la des abatimos en r’’’ pasando por -n- punto doble,

inmóvil en el abatimiento por pertenecer a la charnela y por a’’’. Figura 2.

Para determinar la proyección directa R bastará con trazarla por A paralela a r’’’,

pues toda recta paralela a un plano del triedro muestra su proyección sobre este (r’’’) y la

proyección principal de la recta R paralelas entre sí.



R es paralela al plano del triedro ZOY por ser perpendicular a P ya que P es perpendicular a su

vez a ZOY.

Recta perpendicular a un plano oblicuo cualquiera, por un punto A.

Sea el plano P (P’,P’’,P’’’) y el punto en él contenido A (a’,a’’,a’’’), para calcular

R perpendicular a P:

Abatimos este sobre el plano del cuadro tomando como charnela los ejes X o Z (en

el ejemplo Z). Abatimos por tanto P’” en P”’o y a’” en a”’o (auxiliándonos de una recta S que

contenga al punto A), trazamos por a’”o una recta perpendicular r’”o a P’”o que des abatimos

auxiliándonos del punto doble -n-. Obtenemos r’”.

Por otro lado, trazamos por a’’ una perpendicular r’’ a P’’ pues todos estos

elementos están en verdadera magnitud por coincidir XOZ con el cuadro.

Conocidas dos proyecciones de la recta buscada r’’ y r’”, calculamos R y r’

auxiliándonos de un punto W de R que situaremos coherentemente en r’” y r’’. Localizada su

proyección directa W bastará con unir A y W para obtener R. De igual forma procederemos para

determinar r’ uniendo w’ y a’. Figura 3.



3. Abatimientos.

Por ser el triedro de referencia trirrectángulo, las aristas de este forman entre sí dos

a dos 90º. Por su parte el plano XOZ está ya abatido sobre el cuadro y sus ejes dispuestos por

tanto en verdadera magnitud lineal y angular. Para abatir XOY e YOZ, situaremos el eje OY

perpendicular a los ejes OX u OZ según corresponda. El abatimiento se efectúa tomando como

charnelas los ejes OX u OZ. El eje OY quedará de este modo tras el abatimiento en verdadera

magnitud.

Si tomamos un punto A del eje OY, tras el abatimiento estará sobre Yo, el lugar

exacto estará determinado por el coeficiente de reducción que hayamos empleado para el eje OY.

Si A está a 2 centímetros del origen y el coeficiente empleado fue ½, tendremos que dividir entre

dicho coeficiente para conocer la coordenada de A sobre OY en verdadera magnitud (en este caso

2 dividido entre ½ es 4). La dirección A-Ao es la dirección de afinidad en este abatimiento. Son

dos las direcciones que A-Ao definen según abatamos el plano YOX o YOZ. Figuras 1 y 2.



En la figura 3 se des abate también un cuadrado en el plano YOX. Abatido este

plano y establecida la dirección de afinidad en función del coeficiente dado, se dibuja en

verdadera magnitud el cuadrado y se des abate en base a la dirección de afinidad.

La charnela de abatimiento es la traza del plano P dado, con el plano del triedro

XOZ (P”), por coincidir este en este sistema con el cuadro. Nos auxiliaremos para abatir, del

punto A del plano, donde se cortan sobre el eje Y las trazas P’ y P’’’. Figura 4.

Como en el sistema diédrico ortogonal, en sistema axonométrico oblicuo, para

abatir un punto contenido en un plano, trazamos por éste una perpendicular y una paralela a la

charnela. Desde el punto y sobre la paralela, llevamos la distancia “d” del punto al cuadro (plano

sobre el que vamos a abatir) y trazamos un arco desde el pie de la perpendicular “n” con radio de

abatimiento nD (hipotenusa del triángulo rectángulo A1,n,d), hasta cortar a la perpendicular en

Ao, punto abatido en donde concurrirán las trazas P’ y P’’’ abatidas. Figuras 4 y 5.



La distancia del punto A al Plano del Cuadro se calcula dividiendo su coordenada

“y” entre el coeficiente de reducción. Obtenemos así el punto (Ao) y la dirección de afinidad A-

(Ao) de un primer abatimiento, el de una de las caras del triedro sobre el cuadro. La magnitud del

segmento O-(Ao) es la distancia buscada.

Por otra parte, para completar el abatimiento, tendremos que considerar la posición

del punto A antes de efectuar la proyección oblicua que convirtió el sistema en caballera, es decir

A1 sobre Y1, resultando ambos proyectantes sobre el PC en el origen O. Por tanto, la

perpendicular y paralela del abatimiento a dibujar se trazan desde O.

Como en todo abatimiento, se da entre el plano abatido y el original una relación

de afinidad, en este caso el eje de afinidad es la charnela de abatimiento P” y la dirección A-

Ao que no tiene por qué ser perpendicular al eje de afinidad por tratarse de una proyección

oblicua. Figuras 4 y 5.

Se ha representado en la figura 6, un cuadrado sobre el plano P, conociendo su

lado BC, empleando para ello abatimiento sobre el cuadro y afinidad.



4. Intersecciones.

La intersección de dos planos es una recta resultado de unir los puntos de

intersección de sus trazas homónimas (o del mismo nombre). Figura 1.

Intersección recta plano.

La intersección de una recta y un plano es un punto, para calcularlo, hacemos

pasar por la recta un plano auxiliar que genere una intersección con el primero de fácil trazado, el

punto de corte de la recta intersección de ambos planos resultante con la recta origen del

problema es el punto buscado. Figura 2.



5. Plano.

Trazas del plano.

Son consecuencia de la intersección de un plano con los auxiliaras de proyección,

definen el plano en este sistema y se designan con mayúscula prima, segunda y tercera según

corresponda a la intersección con el auxiliar XOY, XOZ o YOZ respectivamente: P (P’, P’’,

P’’’), (β1, β2, β3) según otros autores. Definen estas trazas el denominado triángulo de las trazas,

pues coinciden dos a dos en un mismo punto de los ejes de coordenadas, dibujando un triángulo.

La traza P’’ o β2, es a su vez traza con el cuadro (traza ordinaria en Axonométrica), por coincidir

este y el plano XOZ. Figura 1.

Pertenencia de un punto y de una recta a un plano.

Una recta pertenece a un plano si sus trazas coinciden con las del plano homólogamente.

Un punto pertenece a un plano si pertenece a una recta del plano. Figura 2.



Determinación de un plano.

Plano determinado por dos rectas que se cortan: Dos rectas R y S que se cortan en I, determinan

un plano, para ello, bastará unir las trazas homólogas de ambas rectas. En el ejemplo, la traza

P’’’ del plano la dibujamos al cerrar el triángulo de las trazas.

Plano determinado por tres puntos no alineados: Uniendo los puntos dos a dos, tenemos dos

rectas que se cortan en un punto y por tanto estamos en el caso anterior. Figura 3.

Posiciones particulares del plano.

Plano paralelo a uno de los ejes: Dos de las trazas del plano son paralelas al eje. El triángulo de

las trazas tiene un vértice impropio, el correspondiente al eje en cuestión. Este plano es

perpendicular al secundario que no contiene al eje al que es paralelo. Algunos autores los

denominan con poca propiedad según otros, Proyectantes Secundarios. Figura 4.

Plano paralelo a un plano del triedro: Dos de sus trazas son paralelas al plano en cuestión y por

tanto a los ejes que lo determinan. La tercera o restante, es impropia. Figura 5.

Plano que pasa por un eje: Quedan confundidas sobre este eje dos de las trazas del plano, la

tercera converge en O. Este plano también es proyectante secundario. Figura 6.

Plano perpendicular al plano del cuadro: Es paralelo al eje Y. Figura 7.



6. Recta.

Determinación y trazas de una recta.

Como el punto, una recta queda definida por sus proyecciones directas y

secundarias. R (r’, r’’, r’’’) (o r1, r2, r3). Como en SDO, una recta queda determinada por dos

puntos contenidos en ella, A y B. La proyección directa R surge de unir las directas de estos dos

puntos A y B. Las proyecciones secundarias de unir las secundarias correspondientes de A y de

B. Figura 1.

Las trazas de la recta son los puntos de intersección con las caras del triedro, se

designan con mayúsculas T1, T2 y T3 (o, según algunos autores, Hr, Vr, Wr) correspondiendo al

plano o cara XOY, XOZ, YOZ respectivamente. Son puntos y como tales tienen sus proyecciones

auxiliares t’, t’’ y t’’’, estando la proyección secundaria correspondiente coincidente con la

principal, y las otras dos en los ejes que determinan el plano cortado.



La intersección de la recta con el plano del cuadro, o traza ordinaria de la recta

en axonométrica ortogonal coincide en el sistema axonométrico oblicuo con la traza del plano

XOZ (T2), por ser este y el cuadro coincidentes a su vez. Figura 2.

Posiciones particulares de las rectas.

Recta contenida en un plano de proyección: La proyección principal y una secundaria son

coincidentes, el resto están sobre los ejes. Figura 3.

Recta paralela a un plano del triedro: La proyección principal es paralela a la secundaria

perteneciente al plano al que la recta es paralela, el resto son paralelas a los ejes que definen a

dicho plano. Figura 4.

Recta perpendicular a un plano del triedro: La proyección secundaria en dicho plano queda

reducida a un punto, coincidente con la traza de la recta en dicho plano. Las otras dos

proyecciones secundarias y la propia principal son paralelas al eje que no contiene al plano al que

la recta es perpendicular. Figura 5.



Recta que corta a un eje: Por donde la principal corta al eje es traza doble y por ahí pasan dos

proyecciones secundarias, la tercera proyección secundaria pasa por el origen. Figura 6.

Recta que pasa por el origen: Las tres trazas de R coinciden en el origen y por tanto pasan por

aquí principal y secundarias. Para determinar las proyecciones secundarias de R nos auxiliamos

de un punto A de la recta. Figura 7.

Recta perpendicular al plano del cuadro en un punto cualquiera: Es paralela al eje Y. Figura 8.



7. Punto.

Determinación y alfabeto del punto.

El triedro de referencia está formado por tres planos que se cortan dos a dos según

ángulos de 90º, estos planos se consideran ilimitados y dividen el espacio en 8 octantes,

generalmente trabajaremos en el primero con coordenadas positivas. Figura 1.

Un punto viene determinado por sus coordenadas A (x, y, z), estas definen la

posición de las proyecciones secundarias (a’, a’’ y a’’’ (o A1, A2, y A3) sobre los planos XOY,

XOZ y YOZ respectivamente) y principal del punto (A).Conociendo dos de estas cuatro

proyecciones tenemos definido al punto. Algunos autores denominan a las proyecciones sobre el



plano XOY proyecciones horizontales, verticales y a las del plano XOZ y de perfil a las del plano

YOZ. Figura 2.

Un punto puede estar:

En uno de los 8 octantes.

Contenido en algún plano del triedro.

Contenido en los ejes o aristas del triedro.

Según el octante al que pertenezca, así serán sus coordenadas.

Positivas (x,y,z),

(x,-y,z),

(-x,-y,z),

(-x,y,z),

(x,y,-z),

(x,-y,-z),

(-x,-y,-z),

(-x,y,-z)

Si el punto está situado en alguno de los planos auxiliares o caras del triedro,

tendrá nula alguna de sus coordenadas, como por ejemplo el punto E (x, 0, z) situado en el plano

XOZ. Figura 3. Si el punto está situado en un eje, tendrá nulas dos coordenadas, las

correspondientes a los ejes a los que no pertenece. Además, su proyección principal coincide con

dos secundarias. Ejemplo el punto F (0, y, 0) perteneciente al eje Y.



8. Escalas gráficas y reducciones.

Sistema axonométrico oblicuo. Inclinación y declinación.

Al hacer coincidir con el cuadro el plano XOZ del triedro, estos ejes y las figuras

planas paralelas o contenidas en el plano que determinan, no sufrirán deformación angular o

lineal alguna. La ubicación y el coeficiente de reducción del eje Y vendrá definido por su parte,

por la dirección de la proyección cilíndrica oblicua escogida. La dirección oblicua de proyección,

queda definida respecto del triedro y el plano del cuadro por dos ángulos, el formado por los

rayos proyectantes con el plano del triedro X1OY1 (o Y1OZ1) denominado declinación α y

el ángulo que estos forman con el cuadro o inclinación β. Figura 1.

Los rayos proyectantes son paralelos en proyecciones cilíndricas oblicuas. Hemos

tomado en la ilustración uno de ellos A-A1, que corta a la arista Y1 en A1, su proyección sobre el

plano del cuadro define A y la dirección del eje Y, OA. Considerando un haz de rayos paralelos



pasando por Y1, estos nos definen un plano Q que contiene a Y1 y cuya traza con el cuadro

contiene a Y y nos determina la declinación α , midiendo respecto el plano X-O-Y1.

Por otro lado, la inclinación respecto al cuadro es igual al ángulo de vértice A del

triángulo rectángulo A-O-A1, siendo A-O la proyección de la longitud A1-O sobre el cuadro

según la dirección de la proyección. La longitud de la proyección A-O, y por tanto la

deformación lineal del eje Y, está en función de la longitud A1-O y del ángulo de inclinación

correspondiente. Sabemos que, por tratarse de un triángulo rectángulo, A-O = A1-O x cotagβ, por

otro lado sabemos que:

cotagβ = 1 cuando β = 45º. La distancia O-A1 proyectada en O-A, no verá alterada su magnitud.

(AO = A1-O x 1 = A-O)

cotagβ < 1 cuando β > 45º. El segmento A1-O se verá reducido en su proyección A-O.

cotagβ > 1 cuando β < 45º. La distancia A-O sería resultado de multiplicar A1-O por un número

mayor que 1, ampliándose el segmento A1-O tras ser proyectado.

En los casos primero y tercero, todos los segmentos contenidos o paralelos al eje Y

tendrán sus proyecciones sobre el cuadro iguales o superiores a sus magnitudes reales, en esta

situación, la perspectiva resultaría antinatural y del todo irreal. Por tanto solo se tomarán

direcciones de proyección que generen en el cuadro ángulos de inclinación mayores de 45º, en

cuyo caso, los valores de segmentos contenidos o paralelos a Y, se verán reducidos en su

proyección sobre el cuadro. En estos casos a la cotagβ, se la denomina COEFICIENTE DE

REDUCCIÓN. Figura 2.



Elección del coeficiente de reducción y ángulo de declinación para el eje y.

Los coeficientes de reducción normalmente empleados son ½, 1/3, ¾ y 2/3, siendo

½ el más empleado por su sencillez y el recomendado por la norma UNE 1031.

El ángulo de declinación, que se traduce sobre el papel en el ángulo que el eje Y

forma respecto de X o Z, es de libre elección si bien suele tomarse de 45º cuando se desea que los

elementos contenidos o paralelos a las caras del triedro YOX y YOZ destaquen por igual, de 60º

respecto del eje X cuando queremos destacar los elementos contenidos o paralelos al plano YOX

y de 30º respecto de X para destacar los elementos contenidos o paralelos al plano ZOX, siendo

de 45º el que recomienda la norma UNE 1031. Figura 3.



Escalas gráficas.

Las reducciones de las unidades del eje Y o en segmentos paralelos a este, pueden

calcularse multiplicando el valor real por el coeficiente de reducción correspondiente o bien

gráficamente. Para construirnos una escala gráfica podemos proceder de dos formas:

A partir del ángulo de inclinación.

A partir del coeficiente de reducción.

En el primer caso, construiremos un triángulo rectángulo ABC con un cateto BC

dividido en 10 unidades, el ángulo opuesto del cateto será el de inclinación dado, el segmento

comprendido entre el ángulo dado y el recto de vértice B corresponde a la reducción de las 10

unidades tomadas, trazando paralelas a la hipotenusa por las graduaciones correspondientes,

tenemos la escala gráfica del eje Y sobre el cateto AB.

En el segundo caso, multiplicamos 10 unidades por el coeficiente dado, llevando la

magnitud resultante al segmento AB de un triángulo cualquiera ABC y lo dividimos en 10 partes

iguales obteniendo una escala gráfica para Y de 10 unidades reducidos. Figura 4.



Conclusiones

o El Sistema Axonométrico Oblicuo nos permite proyectar un puntos, líneas u objetos que

deseemos utilizando solo un plano de proyección que se le denomina “plano del cuadro”.

o En este sistema, la declinación e inclinación de los puntos a proyectar influye en la

coincidencia del cuadro en el plano XOZ del triedro.

o El uso de las escalas en este sistema, es muy importante, ya que ayuda significativamente

en la representación realista del objeto en cualquier tamaño.

o Los ejes axonométricos trazados para la proyección, cumplen una función primordial

cuando el objeto a proyectar es un sólido, ya que este debe proyectarse a escala real y

brindando una sensación de tridimensionalidad (volumen).



Listado de referencias

Grupo IDAT (2006). Axonometría cilíndrica oblicua. Recuperado el 04 de abril de 2015

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INDICE

Resumen ………………………………………………………………….. 1

Introducción ………………………………………………………………. 3

Elementos y fundamentos…………………………………………………. 4

Sombras, foco impropio……………………………………………………. 9

Abatimiento………………………………………………………………… 1

Intersecciones………………………………………………………………. 15

Plano………………………………………………………………………… 18

Recta………………………………………………………………………… 21

Punto………………………………………………………………………… 24

Escalas gráficas y reducciones………………………………………………. 27

Conclusiones…………………………………………………………………. 31

Listado de referencias………………………………………………………… 32


sistema axonométrico oblicuo

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