RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

Prof. Willy H. Cariapaza Mamani. Técnicas de resolución

1) Resolución por igualación

Tenemos que resolver el sistema:

esto significa, encontrar el punto de intersección entre las rectas dadas, de las cuales se conoce su ecuación. Despejamos una de las dos variables en las dos ecuaciones, con lo cual tenemos un sistema

equivalente

:

Recordamos que al tener dos ecuaciones, si los primeros miembros son iguales los segundos también lo son, por lo tanto:

Luego:

Reemplazamos el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos la segunda):

Operamos para hallar el valor de y:

y=2

Verificamos, en ambas ecuaciones, para saber si realmente (x ; y) = (4;2):

Ahora sí, podemos asegurar que x= 4 e y = 2

2) Resolución por sustitución. Tenemos que resolver el sistema:

Despejamos una de las variables en una de las ecuaciones (en este caso elegimos y en la primera ecuación):

Y la reemplazamos en la otra ecuación:

Operamos para despejar la única variable existente ahora:

Reemplazamos el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos arbitrariamente la primera):

Hallamos la respuesta x=4, y = 2, obviamente igual que en el caso anterior. No verificaremos, dado que ya sabemos que esta respuesta es correcta.

3) Resolución por reducción

Tenemos que resolver el sistema:

El objetivo es eliminar una de las incógnitas, dejándolas inversas aditivas, sabiendo que una igualdad no cambia si se la multiplica por un número. También sabemos que una igualdad no se cambia si se le suma otra igualdad. Si se quiere eliminar la x, ¿por qué número debo multiplicar a la segunda ecuación, para que al sumarla a la primera se obtenga cero?

La respuesta es -2. Veamos:

Con lo que obtenemos:

Y la sumamos la primera obteniéndose:

-7y = -14

y = 2

Reemplazar el valor obtenido de y en la primera ecuación:

Y finalmente hallar el valor de x:

4) Resolución por determinante

Sabemos que un determinante se representa como:

dc

ba

Este se calcula de la siguiente

manera: a·d – b·c

Sea el sistema:

a1x + b1y = c1 a2x + b2 y = c2

El valor de x está dado por:

22

11

22

11

ba

ba

bc

bc

x e

22

11

22

11

ba

ba

ca

ca

y

Resolvamos el sistema::

414

56

620

54110

52

34

518

322

22

11

22

11

ba

ba

bc

bc

x

214

28

14

4472

14

182

224

22

11

22

11

ba

ba

ca

ca

y

El punto de intersección de las rectas dadas es {(4, 2)}

1) 3x + 2y = 21

5x – y = 22

2) x + 2y = 0

5x – y = 11

3) x + y = 11

2x – y = 1

4) x – 2y = 3

4x + 3y = 45

5) 4x + 5y = 3

6x – 10y = 1

6) 4(x + 2) = -6y

3(y + 2x) = 0

7) y(x – 3) – x(y – 2) = 14

x(y + 9) – y(x – 6) = -54

8)

03

2

122

3

yx

yx

9)

1

2

1

3

5

yx

yx

yx

10)

4

1

5

3

62

1

y

x

y

x

11)

443

162

43

yx

yx

12)

13

2

4

3

175

3

3

2

yx

yx

13)

yyxyx

xyx

9

223

6

2145

13

65

2

35

1)

BLOQUE 1

1) 2 5

3 2 7

x y

y x2)

2 3 23

5 6 17

x y

x y

3) 3 7 9

5 2 23

y x

x y 4)

6 8 20

5 3 8

x y

y x

5) 3 2 8

5 2 2

y x

x y 6)

2 1

3 4 7

y x

y x

7) 2 3 2

6 5 78

y x

y x 8)

7 5 18

3 6 30

y x

x y

BLOQUE 2

a) 6

3 2

x y

x y b)

5 19

2 7

x y

x y

c) 3 2 23

8

x y

x y

d) 3 5 6

2 24

x y

x y

e) 0

6 7 39

x y

x y

f) 3 17

2 3 7

x y

x y

g) 3 5 2 8

2 3 4 1

x y

y x

h) 2 4 0

5 0

x y

x y

i) 8( 2) 3( 4) 5( 1)

5( 8) 2(3 1)

x y x

x y

j)

112 22

7

3 214

8 4

xy

xy

k)

2 3( 1)4

4 2

3( 3) 5 4

x y

x y

l)

8 4 4 27

3 2

2 2 12

2 2

x y

x y

m) 3( 2) 5

( 2)( 3) ( 4)( 1)

x y

x y x y

BLOQUE 3

1.

3 16

2 3

1 34

2 5

x y

x y 2.

1 51

2 3

3 21

3 2

x y

x y

3.

5 15

3 2

6 33

5 2

y x

y x 4.

2 64

3 2

4 21

3 4

y x

y x

RESPUESTAS DEL BLOQUE 1

1) 1, 3x y 2) 7, 3x y 3) 3, 4x y

4) 6, 2x y 5) 2, 4x y 6) 2, 5x y

7) 6, 8x y 8) 2, 4x y

RESPUESTAS DEL BLOQUE 2:

a) x 4 y 2 b) x 4 y 1

c) x 7 y 1 d) x 12 y 6

e) x 3 y -3

f) x 4 y 5

g) x 9 y 20 h) x 14 y 6

i) x 40 y 21/3 j) x 1 4 y 0

k) x 10 y 5

l) x -1 y 2

m) x 4 y 7/3

RESPUESTAS DEL BLOQUE 3

1. 5, 7x y 2. 3, 4x y

3. 5, 4x y 4. 2, 4x y

Resuelve los siguientes problemas verbales:

1. Hallar un número sabiendo que:

a) Si se disminuye en 7 se obtiene 34.

b) Si se aumenta en 13 se obtiene 76.

c) Su tercera parte es igual a 187.

d) Su triple es igual a 216.

e) sumándolo a su quíntuplo resulta 72.

f) restando 20 a 8 veces dicho número se

obtiene 28.

g) restando 7 del triple de dicho número se

obtiene 23.

h) restando 15 de su cuádruplo se obtiene igual

número.

i) su exceso sobre 59 es 27.

j) su quíntuplo excede a su duplo en 96.

2. Un número multiplicado por 5 sumado con el

mismo número multiplicado por 6 da 55. ¿Cuál

es el número?

3. ¿Qué número se debe restar de 14 para obtener

8?

4. El doble de un número aumentado en 12 es igual

a su triple disminuido en 5. ¿Cuál es el número?

5. El doble de un número más el triple de su

sucesor, más el doble del sucesor de este es 147.

Hallar el número.

6. Si a cierto número se agrega 180, resulta 7 veces

el exceso del mismo número sobre 60. ¿Cuál es

el número?

7. Cierto número aumentado en tres, multiplicado

por sí mismo, es igual a su cuadrado más 24.

¿Cuál es el número?

8. Si un número aumentado en 12 se multiplica por

el mismo número disminuído en 5, resulta el

cuadrado del número más 31. ¿Cuál es el

número?

9. Si al cuadrado de un número entero se agrega

17, se obtiene el cuadrado del número entero

que sigue.

10. Si se resta un número de 923 se obtiene el

mismo resultado que si se suma este número a

847. ¿Cuál es el número?

11. ¿Qué número es aquel que aumentado en 3

unidades, resulta ser igual al exceso del doble

del número sobre 4?

12. El exceso que tiene un número sobre 30, es igual

al exceso que tiene 82 sobre el número. ¿Cuál es

el número?

13. Un número más el doble del número, más el

triple del número, da 126. ¿Cuál es el número?

14. Si a un número se le agrega el triple del número

disminuido en 4, resulta el doble del número

aumentado en 20. ¿Cuál es el número?

15. Un número aumentado en 8 es multiplicado por

el mismo número disminuido en 4, obteniéndose

el número al cuadrado aumentado en 20. ¿Cuál

es el número?

16. El cuadrado de la suma de un número y 6 da

como resultado el número multiplicado por el

número aumentado en 3. ¿Cuál es el número?

Respuestas

a b c d e f g h i j

41 63 561 72 12 6 10 5 86 32

2 3 4 5 6 7 8

5 -8+r 17 20 100 8 13

9 10 11 12 13 14 15 16

8 38 7 56 21 12 13 -4

PROBLEMAS DE PLANTEO SOBRE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

1) Un número multiplicado por 5

sumado con el mismo número

multiplicado por 6 da 55. ¿Cuál es el número?

2) ¿Qué número se debe restar de p+2

para obtener 5?

3) El doble de un número aumentado

en 12 es igual a su triple disminuido

en 5. ¿Cuál es el número? 4) Tres números impares consecutivos

suman 81. ¿Cuáles son los

números?

5) El doble de un número más el triple

de su sucesor, más el doble del

sucesor de éste es 147. Hallar el

número.

6) La diferencia entre los cuadrados de

dos números consecutivos es 103.

¿Cuáles son los números?

7) En el triángulo ABC, los lados

BCAB 3 y ACBC

2

1

. Si su perímetro

es 84 m. ¿Cuánto mide cada lado?

8) Si el lado de un cuadrado se duplica,

su perímetro aumenta 40 m. Calcular la medida del lado del

cuadrado.

9) Las dimensiones de un rectángulo

están en la razón 3 : 5 y su

perímetro es 140 m. Calcular el

largo y en ancho.

10) Si el lado de un cuadrado es aumentado en 8 unidades, su

perímetro se triplica. ¿Cuánto mide

el lado?

11) Un padre tiene 20 años más que su

hijo. Dentro de 12 años, el padre

tendrá el doble de la edad del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno

actualmente?

12) Las edades de un matrimonio suman

62 años. Si se casaron hace 10 años

y la edad de la novia era 4

3

de la edad de la novia. ¿Qué edad tienen

actualmente?

13) La edad de Pedro excede a la de su

amigo Santiago en 4 años y a la de

su amigo Juan en 2 años. Hace 6

años la razón entre sus edades era 2:3:4. ¿Qué edad tienen

actualmente?

14) La edad de María es el triple de la

de Ester y excede en 5 años a la

edad de Isabel. Si las edades de

Ester e Isabel suman 23 años. Hallar la edad de cada una.

15) Guiso tiene la cuarta parte de la

edad de su padre Andrés y el triple

de la edad de su hermano David.

¿Qué edad tiene cada uno, si sus

edades suman 48 años?

16) Hace 6 años un padre tenía el cuádruplo de la edad de su hijo. En

10 años más tendrá sólo el doble.

Hallar la edad actual del padre e

hijo.

17) Un padre tiene 52 años y su hijo

16. ¿Hace cuántos años el hijo tenía la séptima parte de la edad del

padre?

18) Se compran 25 lápices, 32

cuadernos y 24 gomas de borrar y

se cancela por ello $ 16.900. Si cada

cuaderno cuesta el triple de cada

goma, más $ 20 y cada lápiz cuesta

el doble de cada goma, más $ 8.

¿Cuánto cuesta cada material? 19) Hernán tiene el doble de dinero que

Gladis y el triple que María. Si

Hernán regalara $ 14 a Gladys y $

35 a María, los tres quedarían con

igual cantidad. ¿Cuánto dinero tiene

cada uno? 20) Una persona puede pintar una

muralla en 5 horas, otra lo hace en

6 horas y una tercera persona tarda

12 horas en pintar la misma

muralla. ¿Cuánto tardarían si la

pintaran entre las tres? 21) El numerador de una fracción

excede en dos unidades al

denominador. Si al numerador se le

suma 3, la fracción queda

equivalente a 3

4

. Hallar la fracción. 22) Hallar dos números enteros

consecutivos cuya suma sea 103.

23) Tres números enteros consecutivos

suman 204. Hallar los números.

24) Hallar dos números enteros pares

consecutivos cuya suma sea 194. 25) La suma de tres números impares

consecutivos es 99. Hallar los

números.

26) La suma de las edades de tres

personas es 88 años. La mayor tiene

20 años más que la menor y la del

medio 18 años menos que la mayor. Hallar las edades respectivas.

27) Dividir 1080 en dos partes tales que

la mayor disminuida en 132

equivalga a la menor aumentada en

100.

28) Dividir 85 en dos partes tales que el triple de la parte menor equivalga al

doble de la mayor.

29) Hallar tres números enteros

consecutivos, tales que el doble del

menor más el triple del mediano,

más el cuádruple del mayor equivalgan a 740.

30) La cabeza de un pez corresponde al

tercio de su peso total, la cola a un

cuarto del peso y el resto del cuerpo

pesa 4 kg. 600 gramos. ¿Cuánto

pesa el pez?

31) La diferencia entre dos números es 38. Si se divide el mayor de los

números por el menor, el cuociente

es 2 y queda un resto de 8.

Determina los números.

32) Separa el número 180 en dos

partes tales que dividiendo la

primera por 11 y la segunda por 27,

la suma de los cuocientes sea 12. 33) ¿Qué número debe sumarse al

numerador y al denominador de la

fracción 13

8

y simultáneamente

restarse del numerador y del

denominador de 51

40

para que las

fracciones resultantes sean

equivalentes?

34) Un trozo de alambre de 28 cm. de

largo se ha doblado en forma de ángulo recto. Determina la distancia

entre ambos extremos del alambre,

si uno de los lados del ángulo

formado mide 12 cm.

35) Al preguntársele a Pitágoras por el

número de sus alumnos, dio la siguiente respuesta: “La mitad de

mis alumnos estudia Matemática, la

cuarta parte estudia Física, la

séptima parte aprende Filosofía y

aparte de éstos hay tres niños muy

chicos” ¿Puedes deducir cuántos alumnos tenía el famoso matemático

griego?

36) Al comprar 3 Kg. de tomates y 4 Kg.

de papas, una dueña de casa pagó $

119. ¿Cuánto vale el kilo de

tomates, sabiendo que es $ 14 más

caro que el kilo de papas? 37) La entrada para una función de

teatro al aire libre vale $ 60,

adultos, y $ 25, niños. La

recaudación arrojó un resultado de

280 asistentes y fue de $ 14.000.

¿Cuántos niños asistieron a la función?

38) En un tratado del álgebra escrito por

el célebre matemático Leonhard

Euler, publicado en 1770 aparece el

siguiente problema: “En una

hostería se alojan 20 personas entre

hombres y mujeres. Cada hombre paga 8 monedas por su hospedaje y

cada mujer 7, del mismo valor,

ascendiendo el total de la cuenta a

144 monedas. Se pregunta cuántos

hombres y cuántas mujeres son”

39) Silvia compra un pañuelo, una falda, y un abrigo en $ 5.050.

Calcula los precios respectivos, si la

falda vale 25 veces más que el

pañuelo, y el abrigo, el triple de la

falda.

40) Se cuenta que la legendaria

fundadora de Praga, la reina Libussa

de Bohemia, eligió a su consorte

entre tres pretendientes, planteándoles el siguiente problema:

¿cuántas ciruelas contenía un

canasto del cual ella sacó la mitad

del contenido y una ciruela más para

el primer pretendiente; para el

segundo la mitad de lo que quedó y una ciruela más y para el tercero la

mitad de lo que entonces quedaba y

tres ciruelas más, si con esto el

canasto se vació. ¿Puedes calcularlo

tú?

RESPUESTAS

1) 5

2) P – 3 3) 17

4) 25, 27 Y 29

5) 20

6) 51 Y 52

7) AB = 42 m., BC = 14 m y AC = 28 m. 8) 10 m

9) largo: 43,75 y ancho: 26,25

10) 4 unidaes

11) 8 y 28 años 12) 28 y 34 años

13) 14, 12 y 1 año

14) Ester: 7 años; Isabel: 16 años; María:

21 años 15) Andrés: 36 años; Guido: 9 años;

David: 3 años

16) 14 y 38 años

17) Hace 10 años

18) Lápiz: $ 198, cuaderno: $ 305; goma: $ 95

19) Hernán: $ 126, Gladys: $ 63; María: $

42

20) 2 horas 13 minutos 20 segundos

21) 15

17

22) 51 y 52

23) 67, 68 y 69

24) 96 y 98

25) 31, 33 y 35 26) 42, 24 y 22

27)

28)

29) 30) 11040 gramos

31) 30 y 68

32) 99 y 81

33) 7

34) 20 cm 35) 28 alumnos

36) $ 25

37) 80 niños

38) 4 hombres 16 mujeres 39) $ 50; $ 1.250; $ 3.750

40) 38 ciruelas.

SISTEMAS DE ECUACIONES: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Resolver los siguientes problemas:

1. Encuentra dos números cuya suma sea igual a

30, y el doble del primero, más el segundo sea

igual al doble de este último.

2. La edad de Carla es el doble que la edad de

Macarena. Hace diez años la suma de las

edades era igual a la edad que tiene hoy Carla.

¿Cuál es la edad de cada una en la actualidad?

3. Si se divide un ángulo recto en dos ángulos

agudos, de modo que uno sea el doble del otro

más 3', ¿cuál es la medida de cada uno?

4. Un padre reparte $10.000 entre sus dos hijos.

Al mayor le da $2.000 más que al menor.

¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno?

5. Encuentra dos números tales que si a cada uno

le agregamos siete unidades, los resultados

están en la razón 3 : 2, pero si les restamos

cinco unidades, la razón es 5 : 2.

6. El perímetro de un rectángulo es 30 cm. El

doble de la base tiene 6 cm más que la altura.

¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

7. Dos estantes contienen en total 40 libros. Al

traspasar 5 libros de un estante a otro, resulta

que uno queda con el triple del otro. ¿Cuántos

libros había originalmente en cada estante?

8. Para pagar una cuenta de $3.900, un extranjero

entrega 9 libras esterlinas y 15 dólares,

recibiendo $75 de vuelto. Otro extranjero paga

su cuenta de $4.330, con 15 libras esterlinas y 9

dólares, recibiendo $25 de vuelto. ¿A qué

cambio, en pesos, se han cotizado las libras

esterlinas y los dólares?

9. Encuentra las edades de dos hermanos sabiendo

que al mayor le faltan dos años para tener cinco

veces la edad actual del menor y que si el

mayor tuviera seis años menos tendrían la

misma edad.

10. La suma de dos números es 45. Si al primero

se le suma 5 y al segundo se le resta 5, se

obtienen dos números tales que el primero es el

doble que el segundo. ¿Cuáles son los

números?

11. El valor de una fracción es 1. Si se disminuye

el numerador en 3 unidades y se aumenta el

denominador en 5 unidades, el nuevo valor es

igual a 3. ¿Cuál es la fracción?

12. Encuentra dos números tales que su suma sea

42 y su diferencia 6.

13. Una persona tiene $8.000 en 200 monedas de

$10 y de $50. ¿Cuántas monedas de $10 y de

$50 tiene?

14. Las ciudades A y B están separadas por 180

km. Simultáneamente sale un auto de cada

ciudad en el mismo sentido. El que sale de B lo

hace con una velocidad de 60 km[h y el que

sale de A, a 90 km/h. ¿Al cabo de cuánto

tiempo el auto que sale de A alcanza al que sale

de B, y cuántos kilómetros ha recorrido cada

uno?

15. Encuentra un número entre 10 y 99 sabiendo

que la cifra de las unidades es el doble que la

cifra de las decenas y que si se invierten, el

número aumenta en 36.

16. En un número la cifra de las decenas es el doble

de la cifra de las unidades. Si a ese número le

restamos 27 se obtiene otro número que resulta

de invertir el orden de sus dos cifras. ¿Cuál es

el número?

17. Descomponer 895 en dos partes, de modo que

al dividir la mayor por la menor se obtenga 6 de

cuociente y 6 de resto.

18. La suma de las dos cifras de un número es 9 y

la diferencia entre él y el que resulta de invertir

el orden de sus cifras es 45. ¿Cuál es el número

primitivo?

19. La edad de Eliana es 1/5 de la edad de Miguel y

hace 5 años, la edad de Eliana era 1/10 de la

edad de Miguel. Determinar sus edades

actuales.

20. Dos números están en la razón 5:5. Si el

primero se aumenta en 12 y el segundo se

disminuye en 3, quedan en razón de 9:4.

¡Cuáles son los números?

21. La edad de Adolfo es 15 años menos que el

doble de la edad de Teresa y la séptima parte de

la edad de Adolfo es 20 años menos que la edad

de Teresa. Calcula ambas edades.

22. Hace 4 años la edad de Ximena era 8 veces la

edad de Matías. En cuatro años más la edad de

Ximena será 4 veces la de Matías. ¿Cuál es la

edad de cada uno?

23. El largo de una piscina rectangular es 3 veces

su ancho. Si su perímetro es de 32 m., ¿cuáles

son sus dimensiones?

24. Divide el número 19 en dos partes tales que 2/3

de la menor sea igual a 3/5 de la mayor.

25. Encuentra una fracción que si se disminuye su

numerador en 4 unidades y se aumenta su

denominador en 5, es equivalente a 1. Pero si se

disminuye sólo el denominador en 7, será

equivalente

26. La suma de dos números es 13, si el mayor se

divide por el menor se obtiene por cuociente 2 y

por resto 1. Encuentra ambos números.

27. La edad de un hijo es 1/4 de la edad de su padre.

En 7 años más la edad del hijo será 4/9 la del

padre. Encuentra las edades actuales de ambos.

28. Un niño tiene 2 años menos que el cuádruplo de

la edad de su perro. Si la diferencia entre sus

edades es 4 años. Encuentra la edad de ambos.

29. Si el numerador de una fracción se aumenta en

3 y su denominador se disminuye en 1, se

obtiene 5/2, pero si solamente se aumenta su

numerador en 2, ésta equivale a 4/3. Determina

la fracción.

30. Encuentra dos números enteros consecutivos,

sabiendo que la cuarta parte y la quinta parte del

primero y la suma de la tercera parte y la

séptima parte del segundo son también números

consecutivos

Respuestas

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

11 12

13 14

15 16

17 18

19 20

21 22

23 24

25 26

27 28

29 30

31 32

33 34

35 36

37 38

39 40

41 42

43 44

45 46

47 48

49 50

51 52

53 54

55 56

57 58

59 60

61 62

63 64

65 66

67 68

69 70

71 72

73 74

75 76

77 78

79 80

81 82

83 84