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Aula 6 | TATIANA MIRANDA DE SOUZA VICTOR ABATH DA SILVA FREDERICO ALAN DE OLIVEIRA CRUZ
PET FÍSICA SISTEMA DE EIXOS COORDENADOS
Sistema de Eixos Coordenados 2017
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AGRADECIMENTOS
Esse material foi produzido com apoio do Fundo Nacional de Desenvolvimento da
Educação e do Programa de Educação Tutorial – PET, do MEC - Ministério da
Educação – Brasil.
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DOS AUTORES
Essa apostila foi construída para ser um material de apoio às atividades de tutoria,
realizadas pelos bolsistas do Programa de Educação Tutorial – Física/UFRRJ, e não
tem como pretensão a substituição de materiais tradicionais e mais completos.
O conteúdo aqui poderá ser compartilhado e reproduzido, desde que sejam dados os
devidos créditos as pessoas responsáveis por compilar os temas aqui presentes.
Uma boa leitura!
Sistema de Eixos Coordenados 2017
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SUMÁRIO
1. Plano Cartesiano................................................................................................. 05
2. Representação gráfica de funções no plano cartesiano................................... 05
2.1 Função Constante.......................................................................................... 05
2.2 Função polinomial de 1º grau...................................................................... 06
2.3 Função polinomial de 2º grau...................................................................... 07
2.4 Função exponencial....................................................................................... 08
2.5 Função logarítmica....................................................................................... 09
2.6 Função modular............................................................................................ 10
3. Representação gráfica das cônicas.................................................................... 11
4. Exercícios de fixação........................................................................................... 13
5. Referências........................................................................................................... 13
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1. Plano Cartesiano
A forma mais usada para mostrar a relação entre duas varáveis de interesse,
sejam elas quais forem, é utilizar o chamado sistema de sistema de coordenadas
cartesianas. A sua representação é dada por duas retas perpendiculares e orientadas, uma
na horizontal, denominada eixo das abscissas ou eixo x, e a outra na vertical,
denominada eixo das ordenadas ou eixo y (BARROSO, 2010).
Essas duas retas, dividem o espaço onde está localizado em quatro regiões, que
são denominadas quadrantes, e que permite visualizar as características de uma função
do tipo f(x).
Figura 1: Representação dos quadrantes no plano cartesiano.
Em cada um desses quadrantes as variáveis x e y assumem valores positivos e
negativos, que são os seguintes (PEREIRA & SODRÉ, 2012):
1º quadrante: x > 0 e y > 0;
2º quadrante: x < 0 e y > 0;
3º quadrante: x < 0 e y < 0;
4º quadrante: x > 0 e y > 0.
além dos valores de x e y é importante que o leitor saiba que o ponto de encontro entre
os dois eixos forma a origem do plano cartesiano, isto é, o ponto de coordenadas .
2. Representação Gráfica de Funções no plano cartesiano
A seguir serão apresentadas algumas funções que são comumente usadas nas
disciplinas de física e que é de suma importância entender suas características
(PEREIRA & SODRE, 2005).
2.1. Função Constante
Definida pela equação , onde todos os pontos da abscissa possuem a
mesma ordenada. O gráfico de qualquer função constante definida sempre será uma reta
paralela ao eixo , passando pelo ponto , que poderá (SANTOS et al, 2012):
estar acima do eixo x se n > 0;
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abaixo do eixo x se n < 0;
sobre o eixo x se n = 0.
Exemplo 1 - Considere a função:
f(x) = 3
Determine o gráfico para valores de x no intervalo [-2, 2].
x y = f(x) (x,y)
-2 3 = 3 (-2, 3)
-1 3 = 3 (-1, 3)
0 3 = 3 (0, 3)
1 3 = 3 (1, 3)
2 3 = 3 (2, 3)
Figura 2: Representação da função f(x) = 3 no plano cartesiano.
2.2. Função Polinomial de 1º Grau
Definida pela equação , sendo é coeficiente angular que
determina a inclinação da reta e o coeficiente linear que indica em qual posição a reta
irá cortar o eixo .
Todas as representações gráficas das funções desse tipo serão uma reta e o zero
da função indicará o ponto em que a reta interceptará o eixo . Esse tipo de função
tem as seguintes características (SILVA & BARRETO FILHO, 2005):
Se a > 0 a reta será ascendente (/);
Se a < 0 a reta será descendente (\).
- As funções de primeiro grau estão presentes em muitos problemas, os mais comuns
sãos as que descrevem as funções horárias do movimento retilíneo uniforme e da
velocidade para o movimento uniformemente variado.
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Exemplo 2 – Considere a função:
f(x) = 2x + 1
onde para cada valor de x fornecerá um de f(x), que será o valor atribuído ao eixo y.
Para essa função, determine o gráfico para valores de x no intervalo [-2, 2].
Resposta:
Como , vamos determinar os possíveis valores do domínio:
x y = f(x) (x,y)
-2 2×(-2) – 1 = -5 (-2, -5)
-1 2×(-1) – 1 = -3 (-1, -3)
0 2×0 – 1 = -1 (0, -1)
1 2×1 – 1 = 1 (1, 1)
2 2×2 – 1 = 3 (2, 3)
Após marcarmos os pares no plano cartesiano, encontramos a seguinte figura:
Figura 3: Representação da função f(x) = 2x + 1 no plano cartesiano.
2.3. Função Polinomial de 2º Grau
Definida pela equação , que tem como forma
geométrica a figura denominada de parábola. Para esse tipo de função, temos que a
representa a concavidade da parábola formada, tal que:
Se a > 0 a concavidade é voltada para cima ();
Se a < 0 a concavidade é voltada para baixo ().
Enquanto que o parâmetro c representa o ponto de interseção com o eixo ordenado.
- A função horária do movimento uniformemente variado é uma função do segundo
grau, tal que
.
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Exemplo 3 – Considere a função:
f(x) = 7x2 + 1x - 9
onde para cada valor de x fornecerá um de f(x), que será o valor atribuído ao eixo y.
Para essa função, determine o gráfico para valores de x no intervalo [-2, 2].
Resposta:
Como , vamos determinar os possíveis valores do domínio:
x y = f(x) (x,y)
-2 7×(-2)2+1(-2) – 9 = 17 (-2, 17)
-1 7×(-1)2+1(-1) – 9 = -3 (-1, -3)
0 7×(0)2+1(0) – 9 = -9 (0, -9)
1 7×(1)2+1(1) – 9 = -1 (1, -1)
2 7×(2)2+1(2) – 9 = 21 (2, 21)
Figura 4: Representação da função f(x) = 7x
2+1x-9 no plano cartesiano.
2.4. Função exponencial
Dizemos que uma função é exponencial quando a variável se encontra no
expoente de um número, real, tal que f(x) = kanx
sendo real teremos:
k 0;
a > 1 ou 0 < a < 1;
n IR1.
Uma informação importante sobre as funções exponenciais é que elas sempre
possuem um par ordenado (0,1), visto que qualquer número elevado à zero (0) é igual a
um (1).
1 Em algumas funções o n admite valores imaginários, mas esse não é o caso da nossa discussão no
momento.
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- As funções exponenciais com base neper (e) são muitos comuns na física, como
por exemplo, a expressão do decaimento radioativa escrita como N = N0e-t
.
Exemplo 4 – Considere a função:
f(x) = 22x
onde para cada valor de x fornecerá um de f(x), que será o valor atribuído ao eixo y.
Para essa função, determine o gráfico para valores de x no intervalo [-2, 2].
x y = f(x) (x,y)
-2 22×(-2)
= 0,0625 (-2, 0,0625)
-1 22×(-1)
= 0,25 (-1, 0,25)
0 22×(0)
= -9 (0, 1)
1 22×(1)
= 4 (1, 4)
2 22×(2)
= 21 (2, 16)
Figura 5: Representação da função f(x) = 2
2x no plano cartesiano.
2.5. Função Logarítmica
Uma função é denominada logarítmica quando ela é escrita como f(x) = ,
onde:
k 0
a > 1 ou 0 < a < 1;
x > 0
Esse tipo de função tem como característica sempre possuir um par ordenado
(1,0), ser crescente quando a > 1 e decrescente quando 0 < a < 1.
- A escala Richter é utilizada para quantificar a magnitude de um terremoto, sendo
escrita como M = 0,67 -7,9, onde E representa a energia liberada durante o evento
sísmico.
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Exemplo 5 – Considere a função:
f(x) =
onde para cada valor de x fornecerá um de f(x), que será o valor atribuído ao eixo y.
Para essa função, determine o gráfico para valores de x no intervalo [1, 5].
x y = f(x) (x,y)
1 log10(1) = 0 (1, 0)
2 log10(2,0) = 0,30 (2, 0,30)
3 log10(3,0) = 0,47 (3, 0,47)
4 log10(4,0) = 0,60 (4, 0,60)
5 log10(5,0) = 21 (5, 0,70)
Figura 6: Representação da função f(x) = no plano cartesiano.
2.6. Função Modular
Consideramos uma função modular, quando está é escrita, por exemplo, da
forma f(x) = |x|, terá sempre valor igual ou maior que zero independente dos valores
atribuídos a x (PEREIRA & SODRÉ, 2012).
- Uma aplicação da função modular é realizada em problemas formação de imagem
em espelhos planos, onde as posições do objeto e da imagem são sempre positivas.
Exemplo 6 – Considere a função:
f(x) = |x|
Determine o gráfico para valores de x no intervalo [-2, 2].
x y = f(x) (x,y)
-2 |-2|= 2 (-2, 2)
-1 |-1| = 1 (-1, 1)
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0 |0| = 0 (0, 0)
1 |1|= 1 (1, 1)
2 |2| = 2 (2, 2)
Figura 7: Representação da função f(x) = |x| no plano cartesiano.
3. Representação Gráfica das Cônicas
As cônicas2 são as curvas formadas pela intersecção de um plano que atravessa um
cone, que podem ser (STEINBRUCH & WINTERLE, 1987):
Círculo
São funções descritas pela equação , onde a representa o raio da
circunferência.
Figura 8: Representação de um círculo no plano cartesiano, com raio 1.
2 Um parâmetro importante sobre as cônicas é denominado de excentricidade (e), onde em cada
situação temos um valor associado a cada uma delas. Nessa classificação temos:
Se e = 0 temos uma circunferência;
Se 0 < e < 1 temos uma elipse;
Se e = 1 temos uma parábola;
Se e > 1 temos uma hipérbole.
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Elipse
São funções descritas por
, sendo que a e b são os semieixos da
elipse.
Figura 9: Representação de uma elipse no plano cartesiano, com a = 2 e b = 1.
- Um exemplo de trajetórias elípticas está relacionado aos movimentos dos planetas
do nosso sistema solar, estes possuem órbitas elípticas em torno do Sol. Entre eles, o
que possui um movimento quase circular é Vênus, que possui excentricidade de 0,0068.
Hipérbole
São funções descritas por
, sendo a é o semi-eixo maior e b é o
semi-eixo menor.
Figura 10: Representação de uma hipérbole no plano cartesiano, com a = 1 e b = 1.
Parábola
São funções descritas por , sendo a > 0.
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Figura 11: Representação de uma hipérbole no plano cartesiano, com a = 1.
4. Exercícios de fixação
Faça os gráficos das seguintes funções, para o intervalo [-3,3].
a) y = 1 + 9x;
b) y =3 -3x;
c) y = 1-9x+4x2;
d) y = 0,25x3;
e) y = 3
f) y = |6-7x|
5. Referências
BARROSO, J. M. Conexões com a matemática. 1ª ed. v.1, São Paulo: Moderna, 2010.
SANTOS, A. R. et al. Gráficos de Funções: Definição e Exemplos Disponível em:
http://goo.gl/48tdW, Acesso em: 28 jul. 2012.
PEREIRA, R. M. M.; SODRÉ, U. Ensino Médio: Relações e Funções. Disponível em:
http://goo.gl/YQjKz, Acesso em: 27 jul. 2012.
SILVA, C. X.; BARRETO FILHO, B. Matemática – Aula por aula. 2 ed. São Paulo:
FTD, 2005.
STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Geometria Analítica. 2 ed. Rio de Janeiro:
Pearson, 1987.