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Universidade do Estado do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
Departamento de Matemática, Estatística e Informática
Programa de Mestrado Profissional em Ensino de Matemática
M Linha de Pesquisa: Metodologia para o Ensino de Matemática no
Nível Médio
JOSÉ AUGUSTO RIBEIRO DA SILVA
SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES:
POSSIBILIDADES DE ENSINO POR MEIO DE UMA
SEQUÊNCIA DIDÁTICA
Belém-PA
2018
José Augusto Ribeiro da Silva
SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES:
POSSIBILIDADES DE ENSINO POR MEIO DE UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA
Dissertação apresentada como requisito para obtenção do título de Mestre em Ensino de Matemática pelo Programa de Mestrado Profissional em Ensino de Matemática da Universidade do Estado do Pará. Linha de pesquisa: Metodologia do Ensino de Matemática no Nível Médio. Orientador: Prof. Dr. Roberto Paulo Bibas Fialho.
Belém-PA
2018
Dados Internacionais de Catalogação-na-publicação (CIP)
Biblioteca do CCSE/UEPA, Belém - PA
Silva, José Augusto Ribeiro
Sistema de equações lineares: possibilidades de ensino por meio de uma
sequência didática/ José Augusto Ribeiro da Silva; Orientação de Roberto Paulo
Bibas Fialho, 2018
Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática) – Universidade do
Estado do Pará, Belém, 2018.
1. Equações lineares (Ensino médio) 2. Matemática–Estudo e ensino. 3.
Aprendizagem. I. Fialho, Roberto Paulo Bibas (orient.). II. Título.
CDD. 23º ed. 515.35
Dedico este trabalho à minha mãe Maria Pereira da Silva, que mesmo diante
das limitações impostas pelas desigualdades sociais não desistiu da luta incessante
para criar o seu filho que sou eu e ao meu tio Dioclécio Ribeiro da Silva, pelo ícone
que se tornou na minha vida, na falta do meu pai biológico e também a José Pereira
de Brito, meu tio por parte de mãe, pelo dispensado a mim durante parte do Ensino
Fundamental e Ensino Médio em Imperatriz/MA.
Dedico também esse também à minha esposa Geísa Carneiro dos Santos
Ribeiro, pelo apoio durante o curso.
AGRADECIMENTOS
Agradeço ao meu tio Dioclécio Ribeiro da Silva, pelo ícone que se tornou na
minha vida, na falta do meu pai biológico e também a José Pereira de Brito, meu tio
por parte da mãe, pela assistência num período importante para que eu chegasse
até aqui.
E para finalizar, agradeço aos componentes da banca, pela contribuição
efetiva na melhoria deste trabalho, e especialmente ao meu orientador prof. Dr.
Roberto Paulo Bibas Fialho, pela paciência no processo de construção dos saberes
necessários para que esse trabalho fosse realizado com sucesso.
Se o aluno conseguir enxergar possibilidades
onde o mundo inteiro disse que não existiam, o
professor cumpriu finalmente a sua missão.
Lídia Vasconcelos (s. d)
RESUMO
SILVA, J. R. Sistema de Equações Lineares: Possibilidades de Ensino por Meio de Uma Sequência Didática. 2018. 184 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática) – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2018.
O objetivo deste trabalho é pesquisar, desenvolver e experimentar na sala de aula uma sequência didática para o ensino de Sistema de Equações Lineares. E a motivação para isso surgiu das dificuldades que os alunos têm para assimilar este assunto no Ensino Médio, percebidos pela experiência diária em sala de aula. A pesquisa foi guiada pelos pressupostos da Engenharia Didática da Michele Artigue; A transformação do conteúdo ao modo de assimilação dos sujeitos foi realizada usando a Transposição Didática de Chevallard, a análise qualitativa dos resultados foi feita com o uso da Análise dos Registros e Representação Semiótica de Duval, e em seguida os recursos visuais da estatística descritiva e o teste de hipótese “t” de Student para verificar se o resultado foi significativo. A Sequência Didática é composta de dez atividades, entre elas um jogo de tabuleiro com a função de ajudar na fixação do conteúdo trazendo um pouco de ludicidade antes da atividade de aprofundamento. Antes da aplicação da primeira atividade foi aplicado um teste inicial para verificar o conhecimento inicial dos alunos no assunto, após a aplicação da Sequência Didática, e para finalizar aplicamos um teste final com o objetivo de nos fazer perceber a aprendizagem construída durante o processo, e assim nos assegurar do quanto este produto poderá ajudar os professores em sala de aula. Palavras Chave: Engenharia Didática; Sistemas de Equações Lineares; Jogo de tabuleiro; Transposição Didática; Sequência Didática.
ABSTRACT
SILVA, J. R. System of Linear Equations: Possibilities of Teaching by means of a
Didactic Sequence. 2018. 184 f. Dissertation (Professional Master degree in
Mathematics Teaching) - University of the State of Pará, Belém, 2018.
The objective of this paper is to research, develop and experiment, in the classroom,
a didactic sequence for the teaching of a System of Linear Equations. And the
motivation for this arose from the difficulties that students have to assimilate this
subject in High School, perceived throughout a daily experience in the classroom.
The research was guided by the presuppositions of Didactic Engineering by Michele
Artigue; The transformation of the content to the way subjects could assimilate was
performed using the Chevallard Didactic Transposition, the qualitative analysis of the
results was done by using the Duval’s Registers and Semiotic Representation
Analysis, and then the visual resources of the descriptive statistics and Student's t-
test hypothesis to verify if the result was significant. The Didactic Sequence is
composed of ten activities, among them a board game with the function of helping
the fixation of the content bringing up a bit of playfulness before the activity of
immersion. Before the application of the first activity, an initial test was applied to
evaluate the students’ knowledge of the subject at the beginning, after the application
of the Didactic Sequence, and to wrap up a final test was applied in order to make us
realize the learning built up during the process, and so make sure that this tool can
help teachers in the classroom.
Keywords: Didactic Engineering; Systems of Linear Equations; Board game;
Didactic Transposition; Didactic Sequence.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Sistema possível e determinado.………………………..................... 66
Figura 2 – Sistema possível e indeterminado.................................................... 67
Figura 3 – Sistema impossível........................................................................... 67
Figura 4 – Curva do esquecimento e retenção de Ebbinghaus......................... 72
Figura 5 – Registro semiótico 1 da questão 15................................................. 84
Figura 6 – Registro semiótico 1 da questão 16................................................. 85
Figura 7 – semiótico 2 da questão 16................................................................ 86
Figura 8 – Registro semiótico 3 da questão 16................................................. 86
Figura 9 – Registro semiótico 4 da questão 16................................................. 86
Figura 10 – Registro semiótico 1 da questão 17............................................... 87
Figura 11 – Registro semiótico 1 da questão 18............................................... 88
Figura 12 – Registro semiótico 2 da questão 18............................................... 89
Figura 13 – Registro semiótico 3 da questão 18............................................... 89
Figura 14 – Diagrama de blocos........................................................................ 103
Figura 15 – Círculo cromático............................................................................ 105
Figura 16 – Registro semiótico 1 da questão 3 da atividade de
aprofundamento................................................................................................. 106
Figura 17 – Registro semiótico 1 da questão 4 do teste final........................ 107
Figura 18 – Registro semiótico 1 do primeiro sistema da questão 5 da
atividade de aprofundamento......................................................................... 107
Figura 19 – Registro semiótico 1 do segundo sistema da questão 5 da
atividade de aprofundamento............................................................................ 108
Figura 20 – Registro semiótico 1 da questão 7 do teste final............................ 109
Figura 21 – Registro semiótico 1 da questão 8 do teste final............................ 110
Figura 22 – Registro semiótico 2 da questão 7 do teste final............................ 111
Figura 23 – Registro semiótico 2 da questão 8 do teste final............................ 112
Figura 24 – Registro semiótico 1 da atividade 7, primeiro item......................... 113
Figura 25 – Registro semiótico 2 da atividade 7 segunda parte........................ 114
Figura 26 – Registro semiótico do item c da atividade 8................................... 115
Figura 27 – Registro semiótico 1 da questão 5 da atividade de
aprofundamento................................................................................................ 116
Figura 28 – Registro semiótico 2 da questão 4 do teste final............................ 116
Figura 29 – Registro semiótico 3 da questão 7 do teste final............................ 117
Figura 30 – Registro semiótico 4 da questão 7 do teste final............................ 118
Figura 31 – Registro semiótico 3 da questão 8 do teste final............................ 119
Figura 32 – Registro semiótico 1 da questão 3 do teste final ........................... 120
Figura 33 – Registro semiótico 1 da atividade 7 segundo item......................... 121
Figura 34 – Registro semiótico 1 da questão 5 do teste final............................ 121
Figura 35 – Registro semiótico 1 da questão 6 do teste final............................ 122
Figura 36 – Registro semiótico 2 da questão 4 do teste final............................ 123
Figura 37 – Registro semiótico 2 da questão 5 do teste final............................ 123
Figura 38 – Registro semiótico 4 da questão 8 do teste final............................ 124
Figura 39 – Registro semiótico 1 da questão 2 do teste final............................ 125
Figura 40 – Registro semiótico 2 da questão 6 do teste final............................ 125
Figura 41 – Registro semiótico 5 da questão 7 do teste final............................ 126
Figura 42 – Registro semiótico 6 da questão 7 do teste final............................ 127
Figura 43 – Registro semiótico 3 da questão 5 do teste final............................ 128
Figura 44 – Registro semiótico 2 da questão 2 do teste final............................ 129
Figura 45 – Registro semiótico 4 da questão 5 do teste final............................ 130
Figura 46 – Registro semiótico 3 da questão 4 do teste final............................ 131
Figura 47 – Registro semiótico 5 da questão 5 do teste final............................ 131
Figura 48 – Registro semiótico 7 da questão 7 do teste final............................ 132
Figura 49 – Registro semiótico 6 da questão 5 do teste final............................ 132
Figura 50 – Registro semiótico 8 da questão 7 do teste final............................ 133
Figura 51 – Mapa de notas................................................................................ 138
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 1 – Você está ou já esteve em dependência em matemática?............ 71
Gráfico 2 – Você conseguiu compreender as sobre Sistemas Lineares?........ 71
Gráfico 3 – Com que frequência você costuma estudar matemática?............. 72
Gráfico 4 – Você gostou de estudar Sistemas Lineares?................................. 73
Gráfico 5 – Quais as principais formas de avaliação usadas em sala de
aula? ................................................................................................................. 74
Gráfico 6 – Como você se sentiu quando diante da avaliação de Sistemas
Lineares?............................................................................................................ 75
Gráfico 7 – Quando você estudou Sistemas Lineares como foi a maioria das
aulas?................................................................................................................. 76
Gráfico 8 – Para fixar o conteúdo de Sistemas Lineares o seu professor (a):.. 77
Gráfico 9 – Como você gostaria de aprender Sistemas Lineares?................... 78
Gráfico 10 – No que se refere ao grau de dificuldade de aprender Sistemas
Lineares, preencha o quadro abaixo (Marque um x) ...................................... 79
Gráfico 11 – Você possui acesso à internet? ................................................... 80
Gráfico 12 – Quanto ao uso de recursos tecnológicos quais dos seguintes
equipamentos você costuma utilizar? ............................................................... 81
Gráfico 13 – Qual dos itens abaixo é uma equação Linear? ........................... 82
Gráfico 14 – Dada a equação A: marque uma das equações abaixo que seja
equivalente a:..................................................................................................... 83
Gráfico 15 – Escreva um sistema equivalente ao sistema: ............................. 84
Gráfico 16 – Examinando o anúncio: descubra o preço de
cada colher e de cada faca................................................................................ 85
Gráfico 17 – A respeito do sistema dado, pode-se afirmar que é:.................... 87
Gráfico 18 – Encontre os valores das variáveis x, y e z do sistema: se for
possível. .......................................................................................................... 88
Gráfico 19 – Teste inicial.................................................................................. 101
Gráfico 20 – Teste final ................................................................................ 104
Gráfico 21 – Questão 7 do questionário para professores. Em suas aulas
de Sistemas Lineares, a maioria delas são: ................................................ 135
Gráfico 22 – Questão 4 dos questionário para os professores. Seu alunos
conseguem compreender suas aulas sobre Sistemas Lineares?................. 136
Gráfico 23 – Questão 10 do questionário para os professores. No que se
refere ao grau de dificuldade que seus alunos têm de aprender Sistemas
Lineares, preencha o quadro abaixo (Marque com um “x”)............................ 136
Gráfico 24 –Teste inicial e final...................................................................... 141
LISTA DE SIGLAS
AAPRI Análise a Priori
AAPST Análise a Posteriori
INEP Instituto Nacional de Estudo e Pesquisas
LDB Lei de Diretrizes e Bases
MDSL Matrizes, determinantes e Sistema Lineares
OBM Olimpíada Brasileira de Matemática
OBMEP Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas
OCEM Orientações Curriculares do Ensino Médio
PCN Parâmetros Curriculares Nacionais
PNL Programa Nacional do Livro
PNLD Programa Nacional do Livro Didático
PNLEM Programa Nacional do Livro de Ensino Médio
SARESP Sistema de Avaliação e Rendimento do Estado de São Paulo
SD Sequência Didática
UNESCO Organização das Nações Unidas para a Educação Ciência e Cultura
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO..................................................................................................... 15 1 REVISÃO LITERÁRIA................................................................................ 17 1.1 Didática e Metodologia da aprendizagem....................................... 17 1.2 Aplicação dos Sistemas Lineares: suas aplicações e
Investigação para o ensino.............................................................. 22
1.3 Considerações sobre a revisão literária.......................................... 36 1.4 Síntese das ideias dos autores....................................................... 37 2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA: Ensino de Matemática por meio de
uma Sequência Didática............................................................................ 39 2.1 Bases Conceituais e Contextualização........................................... 39 2.2 A Transposição Didática de Chevallard.......................................... 44
2.3 Contribuição da Engenharia Didática.............................................. 45
2.4 Fundamentos Metodológicos da Engenharia Didática ................... 47
2.5 Análise dos registros e representação Semiótica........................... 48
2.6 Os Jogos como Estratégia de Ensino............................................ 54 2.7 Das Atividades Articuladas Surge a Sequência Didática................ 53
3 FUNDAMENTAÇÃO MATEMÁTICA SOBRE SISTEMAS LINEARES...... 59
3.1 Uma Breve História dos Sistemas Lineares.................................... 59 3.2 Representação Algébrica................................................................ 62 3.3 Sistemas Equivalentes.................................................................... 64 3.4 Sistemas Escalonados.................................................................... 64 3.5 Representação Matricial.................................................................. 65
3.6 Representação Gráfica.................................................................... 66 4 ANÁLISE A PRIORI..................................................................................... 69 4.1 Análise das Questões do levantamento prévio............................... 70 4.2 Considerações sobre a análise a priori.......................................... 89 5 SOBRE AS ATIVIDADES DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA............................. 92 5.1 Apresentação.................................................................................. 92 5.2 Planejamento e Aplicação da Sequência Didática.......................... 93 5.3 Aprendizagem Esperada................................................................. 94 5.4 Corrida Sistemática......................................................................... 96 5.4.1 Regras do Jogo............................................................................... 97 5.5 Contextualização e Alcance dos Resultados.................................. 98 6 EXPERIMENTAÇÃO E ANÁLISE A POSTERIORI.................................... 99 6.1 Diagrama Qualitativo de Respostas................................................ 101 6.2 Contribuição dos Professores......................................................... 134 6.2 Sobre o Cumprimento dos Objetivos da Sequência Didática.......... 137
6.4 Teste – “t” de Student para as Notas Pareadas............................ 140 6.5 Considerações Sobre a Pesquisa.................................................. 143 7 CONSIDERAÇÕES FINAIS......................................................................... 145 7.1 Resultados Alcançados................................................................... 145 7.2 Ponderações e Recomendações.................................................... 146 7.3 Incentivo para Futuros Trabalhos .................................................. 146 8 REFERÊNCIAS........................................................................................... 147
APÊNDICES........................................................................................................ 156 Apêndice - 01: Sequência didática.................................................. 157 Apêndice - 02: Questionário para os alunos................................... 173 Apêndice - 03: Questionário para os professores........................... 176 Apêndice – 04: Teste inicial............................................................. 179 Apêndice – 05: Teste Final.............................................................. 180 ANEXOS.............................................................................................................. 181 Anexo – 01: Atividade B159a do sistema Kumon de Ensino.......... 182 Anexo – 02: Atividade D151a do sistema Kumon de Ensino.......... 183 Anexo -03: Transformações de frações decimais em números
decimais, e vice-versa..................................................................... 184
15
INTRODUÇÃO
Este trabalho apresenta o resultado de uma pesquisa direcionada ao
desenvolvimento de uma sequência didática para o uso do professor em sala, no
ensino de Sistemas Lineares, conteúdo usualmente trabalhado com alunos do 2º
ano do Ensino Médio, pois as dificuldades percebidas no ensino deste assunto nos
levaram a seguinte pergunta: Como podemos ensinar Sistemas Lineares, no
ensino médio, por escalonamento, usando uma Sequência Didática Articulada
como um conjunto de atividades?
Para responder esta questão, apresentamos uma Sequência Didática, (vide
apêndice - 01), sobre Sistemas de Equações Lineares para alunos do Ensino Médio,
usando o método do escalonamento, composta por um conjunto de atividades, cuja
pesquisa pautada nas recomendações da Engenharia Didática de Michele Artigue,
com o objetivo geral de proporcionar a assimilação do conceito de sistemas
equivalentes e a construção das habilidades para resolução de problemas que
podem ser modelados por sistemas lineares. E como objetivos específicos: 1)
Estudar os processos que favoreçam a aplicação das operações básicas nos
sistemas lineares, para a operacionalização de uma sequência didática; 2)
Desenvolver uma sequência didática sobre sistema de equações lineares, para
alunos do 2º ano do Ensino Médio como ferramenta de ensino e aprendizagem
deste conteúdo; 3) Aplicar a sequência didática sobre sistema de equações lineares
usando a Engenharia Didática de Michele Artigue.
No primeiro capítulo, descrevemos nossa trajetória literária, em busca de
aportes teóricos, como: os campos de aplicação dos sistemas, metodologias de
ensino e de experimentação de uma sequência didática, e assim reforçar nossas
ideias gerais sobre o trabalho e principalmente verificar as metodologias mais
recentes do ensino deste assunto.
Para o segundo capítulo, apresentamos os fundamentos teóricos de nossa
Sequência Didática, recebe a influência de Kumon (1914-1995), quando procura
ajudar seu filho a compreender a matemática usando e atividades organizadas com
menor grau de dificuldades, de uma para outra, recebe a definição de Zabala (1998),
quando denomina a Sequência didática como um conjunto de atividades articuladas
com o objetivo de produzir aprendizagem, e em termos conceituais, é fechada com
os elementos de operacionalização em sala de aula descritos por Cabral (2017).
16
Para desenvolver a pesquisa, seguimos as orientações da engenharia
didática de Michele Artigue, adotando a abordagem qualitativa e quantitativa.
Qualitativa, por procurar conhecer os atributos dos sujeitos, diante doas atividades,
tanto do levantamento prévio quanto da experimentação da nossa Sequencia
Didática. E quantitativa, por procurar levantar os percentuais passiveis de mudança
de caracterização dos itens da Sequência.
Como elemento de adaptação dos conteúdos ao contexto de ensino,
usamos a transposição didática de Chevallard, e a análise dos registros e
representações semiótica de Duval, como mecanismo de análise dos registros
deixados pelos alunos. E entre as atividades de exploração do conteúdo e a
atividade de fixação e aprofundamento, veremos um jogo educativo que foi inserido
para ajudar na fixação do conteúdo, de forma mais descontraída.
O terceiro capítulo traz um breve histórico sobre os sistemas lineares,
acrescido de detalhes demonstrativos sobre o escalonamento, e as formas que
podemos apresentar um sistema linear, principalmente as forma usuais encontradas
nos livros didáticos de Ensino Médio, como: a forma algébrica, a forma matricial e
gráfica. No quarto capítulo apresentamos a análise a priori, usando a análise dos
registros e representação semiótica de Duval. E em seguida, no capítulo quinto,
descrevemos como desenvolvemos a nossa Sequência Didática para atingir os
objetivos almejados, a pretensão objetiva de cada atividade.
No sexto capítulo, apresentamos a descrição da experimentação da
sequência didática, a sua a análise a posteriori realizada pela análise dos registros e
representação semiótica de Duval. E para verificar os resultados obtidos pela nossa
Sequência Didática, realizamos o comparativo do teste inicial (antes da aplicação da
sequência), com o teste final (aplicado depois da sequência).
Para finalizar estas notas introdutórias ao longo deste trabalho,
presentamos o cruzamento do ponto de vista dos alunos sobre suas dificuldades de
aprendizagem de Sistemas Lineares, com o ponto de vista dos professores, sobre as
dificuldades de ensinar este conteúdo; para melhor visualização, apresentamos o
emparelhamento dos gráficos de colunas, e os respectivos diagramas qualificativos
de respostas. Para melhor verificação dos resultados, aplicamos o teste de hipótese
“t” de Student com as notas pareadas de cada dupla de sujeito participantes da
pesquisa, constatando a diferença de resultado do teste final em relação ao teste
inicial.
17
1 – REVISÃO LITERÁRIA
Encontram se aqui os aportes teóricos que fazem parte do embasamento a
contribuir para a Sequência Didática a qual será destinada ao ensino de sistemas
lineares. Neste percurso bibliográfico procuramos primeiro conduzir o leitor por
alguns tópicos teóricos para melhor nortear a condução do trabalho na sua
totalidade.
Esta revisão literária é composta das obras que nos embasam teoricamente
na didática e nas metodologias de ensino para poder dentro das orientações
científicas da pedagogia e da didática. E por fim, tratamos dos trabalhos mais
direcionados para o ensino de sistemas lineares.
1.1 – Didática e Metodologia de Ensino e Aprendizagem
Entre os aportes teóricos que nortearam a construção de nossa Sequência
Didática, iniciamos com Moreira (2011, p. 24), quando diz que são duas as
condições para a aprendizagem significativa: a) Os materiais didáticos ou de
aprendizagem como: livros, aulas, aplicativos e outros, precisam ter significados
lógicos e relacionáveis, mesmo assim são apenas potencialmente significativos. b)
O aprendiz deve apresentar disposição e as âncoras necessárias para assimilar o
novo saber (ibid, p. 30), quando o aluno não as possui, é necessário que o use os
recursos instrucionais que estabelece as relações entre o que o aluno sabe e o que
ele quer ensinar. Esses recursos, para (AUSUBEL apud MOREIRA, 2011), “podem
ser resolvidos com os chamados Organizadores Prévios”.
Em relação às orientações construtivistas, citamos Oliveira (2011) e Piaget
(1896-1980). Para Oliveira (2012), a teoria das situações didáticas está no campo da
abordagem construtivista, e dentro dessa abordagem a prática de construção do
conhecimento se dá de duas formas: a forma endógena e a forma dialética. E para
Piaget (1896-1980), o conhecimento se dá da forma endógena, em que o aprendiz
vai mudando de estágio de desenvolvimento, ou seja, a construção do conhecimento
está intimamente ligada ao desenvolvimento pessoal do indivíduo, segundo suas
próprias vivências e experiências. Entendemos aqui que o indivíduo tem estágios de
desenvolvimento interno, e na medida da evolução desses estágios internos, vai
também adquirindo capacidade de entender e se relacionar com as complexidades
18
externas, como diz Piaget (1896 – 1980), nas fases de maturação cognitiva da
criança.
As discursões sobre a Didática Geral e a Didática Específica, segundo
D’Amore (2007), têm produzido debates calorosos sobre qual é a mais importante
que a outra, mas aqui o entendimento é de que a Didática Geral recorre à Didática
Específica para embasar os complementos de sua amplitude orientadora, e a
Didática Específica recorre à Didática Geral para marcar os pontos teóricos, básicos
e referenciais para, a partir destes pontos, planejar e definir os caminhos a investigar
em sua especificidade. Para nos orientar a respeito destas didáticas referendamos
Libâneo (1994), Pilette (2002) e o trabalho dissertativo de Pais (2011), com o aporte
da teoria das situações didáticas de Chevallard (1991).
Para Libâneo (1994, p. 25 - 26), a Didática estuda e desenvolve as teorias
gerais do ensino, portanto, investiga os fundamentos, condições e modos de realizar
as instruções e o ensino, por isso torna se o principal ramo da pedagogia. A ela cabe
transformar objetivos sócio-políticos e pedagógicos em objetivos de ensino,
selecionando conteúdos e métodos de ensino para estabelecer vínculo entre o
ensino e a aprendizagem, buscando potencializar as capacidades mentais dos
alunos.
A Didática e as metodologias específicas dos conteúdos de ensino formam
unidade, mantendo entre si relações recíprocas (ibid, p. 64). Na pedagogia
tradicional, a Didática é normativa, se traduzindo num conjunto de regras que
regulamenta o ensino e tem resistido ao tempo na prática escolar. Na Pedagogia
Renovada, a Didática tem várias correntes, aqui, para facilitar nosso direcionamento
priorizamos a Didática Ativa, que é entendida como direção da aprendizagem, em
que, por meio dela o aluno torna-se sujeito da construção do seu saber, o professor
gerencia e coordena a direção e a qualidade do saber dos alunos (ibid, p. 81). A
tarefa do professor é garantir a unidade didática entre o ensino e a aprendizagem
pelo processo de ensino. O professor planeja, dirige e controla o processo, visando
suscitar e estimular e iniciativa e a criatividade dos alunos para a assimilação dos
saberes, e isso exige uma compreensão clara do processo de aprendizagem.
Para Piletti (2002, p. 43), a Didática estuda os princípios, as normas e as
técnicas que devem regular qualquer tipo de ensino para qualquer tipo de aluno. A
Didática geral dá contexto geral da atividade docente. A Didática especial estuda os
aspectos científicos mais específicos de uma disciplina ou de uma faixa de
19
escolaridade, os problemas e as dificuldades de cada disciplina, apresentando e
sugerindo meios para resolvê-los. Piletti ainda faz uma diferença entre Didática e
Metodologia, a Metodologia estuda os métodos de ensino e sua classificação. A
Didática por sua vez faz o juízo de valor sobre a metodologia.
Segundo Chevallard (1991, apud PAIS, 2011), um determinado conteúdo
selecionado para ser ensinado, sofre um conjunto de adaptações para se tornar
conteúdo de ensino. Nesta linha de entendimento, Pais (2011) nos chama a
atenção para o que denomina de saber escolar e saber científico. O saber escolar
representa o conjunto de conteúdos planejados pelos autores de livros didáticos ou
previstos na estrutura curricular das disciplinas conservadas pelo contexto da
história da educação; já o saber científico é apresentado nos artigos, teses livros e
relatórios. E a atribuição de que trata o trabalho docente de está sempre respaldado
tanto no saber científico como nos saberes de concepção educacional, Pais (2011) a
denomina de: vigilância didática.
E ainda, segundo Pais (2011), é impreterível que se dê atenção para as
duas dimensões Importantes da didática associada à temporalidade: o tempo
didático e o tempo de aprendizagem. O tempo didático é aquele marcado pelos
programas escolares: bimestre, semestre e outros. O tempo de aprendizagem é
aquele mais vinculado com as rupturas e conflitos do conhecimento exigindo todo
tempo uma reorganização de informações que caracterizam as formas complexas de
aprender (ibid, 2011, p. 24-25).
Uma situação didática é estabelecida pelas relações pedagógicas entre o
professor, os alunos e o saber, com a finalidade de desenvolver atividades voltadas
para acontecer de fato o ensino e a aprendizagem de um conteúdo específico, e
esses três elementos da situação didática, formam o conjunto necessário para a
construção do espaço vivo da sala de aula (ibid, 2011, p. 65-66).
A transposição didática, segundo Chevallard (1991), parece ser um recurso
primordial para o ensino, um instrumento que se assemelha ao trabalho da mãe ao
transformar legumes, cereais e alguns outros comestíveis, da forma in natura pelo
cozimento e outros tratamentos, em alimentos para sua família. A transposição
didática exerce uma espécie de função industrial, ou seja, uma pequena indústria
que na biblioteca particular de cada professor, ou na biblioteca da escola que pelo
saber didático do professor, transforma o conteúdo científico na sua forma in natura,
em conteúdo a ser ensinado e consequente mente ser assimilado pelos alunos.
20
Ainda para Pais (2011, p. 17), a transposição didática pode ser entendida
como um caso especial de transposição de sabres, sendo esta entendida como
evolução das ideias, no campo da história da evolução humana, e no caso da
matemática essa evolução acontece sob um controle mais rígido de seus
paradigmas. O autor ainda afirma que o estudo das propriedades que orientam a
prática pedagógica, é também uma das atribuições da didática, que deve fornecer
referências e estabelecer propostas de conteúdo para a educação escolar.
Outro autor que se fez importante para este trabalho foi D’Amore (2007),
principalmente quando nos adverte para o cuidado com a carga excessiva de
conteúdos, que pode até vir a ser desnecessário e com a construção negativa da
matemática por conta das estratégias que escolhemos para ensinar a matemática.
Anatole France (s.d apud D’AMORE, 2007, p.15), afirma: “Não buscai
satisfazer vossa vaidade, ensinando coisa demais aos seus alunos. Despertai neles
a curiosidade”. É suficiente abrir sua mente e não sobrecarrega-la. Colocai apenas a
faísca, se tiver matéria inflamável, o fogo surgirá.
O trabalho de D’more (2007) é repleto de orientações didáticas para o
ensino, porém com específica atenção para a Didática da Matemática, tem uma
abordagem crítica aos métodos excessivamente tradicionais e trata com rigor
considerável as indicações de leituras complementares, na intenção de guiar o
professor a buscar melhor entendimento direto na fonte (ibid, p. 34-38). É o
consenso hoje entre os cientistas da didática. No passado os autores acreditavam
que ensinar era uma arte, fruto das características pessoais (não pode ser aprendida
e nem transmitida). Com essa conclusão, a pesquisa didática se tornaria inútil, pois
esta concepção inviabiliza a evolução de estudos específicos sobre o assunto e
extingue a esperança de melhorar o ensino-aprendizagem.
D’Amores (2007) ainda diz que uma imagem ruim da matemática é nociva
para o próprio professor. Aulas não concluídas, repetitivas, enfadonhas e cansativas,
têm consequências negativas aos alunos, portanto sobre todos os outros
componentes do mundo da escola, trazendo visões negativas para a matemática,
para o professor e para o seu trabalho didático. Para (PEANO apud D’AMORE,
2007, p. 57), a diferença entre nós e os alunos que se encontram em nossa
responsabilidade, é o fato de já termos percorrido um trecho mais longo na parábola
da vida. Se os alunos não entendem, a culpa é nossa, por não saber explicar.
Também não vale culpar o ensino dos anos anteriores.
21
Precisamos aceitar os alunos como eles são, e fazer com que lembrem o
que esqueceram ou estudaram sob outros termos. Se nós atormentarmos nossos
alunos ao invés de conquista-los, incitamos seu ódio contra nós e contra a ciência
que ensinamos. A expressão: a parábola da vida traz conotação de experiências, e
sobre isso, para (BOERO, 1989, apud D’AMORE, 2007, p. 368). Assim entendemos
por campo de experiência um setor da vida (real ou potencial dos alunos) dotada de
características que sob a visão criatividade de um professor, tornam-se adequadas
para atividades de modelagem matemática, proposições e resoluções de problemas
matemáticos.
A publicação de Rosa Neto (2001) se fez importante nesse trabalho, quando
faz um paralelo entre o desenvolvimento da matemática, e os estágios cognitivos da
criança. Seguindo ele, este desenvolvimento foi marcado pelo caminho histórico do
homem em busca de descobrir formas de entender o mundo, e este caminho é
idêntico às etapas ou estágios cognitivos da criança, sugeridos por Piaget (1896-
1980).
Para Rosa Neto (2001, p. 20), a matemática construída a partir da
observação direta dos objetos, vinda do Paleolítico, tornam-se fontes de atividades
para crianças com idade pré-escolar. A matemática construída no período paleolítico
até o Egito, baseadas no cotidiano, sugerem atividades com operações concretas e
atividades prática para crianças de até quinto ano. A matemática marcada pela
revolução grega da demonstração sugere atividades de operações formais para
alunos de sexto e sétimo ano. O mecanismo simbólico desenvolvido para lidar com a
álgebra, deve ser sugerido em atividades para aos alunos de oitavo e nono ano. A
formalização das operações simbólicas de François Viète, deve ser sugerida aos
alunos do 2º Grau, e por fim acrescenta que o Cálculo Diferencial e integral e demais
estruturas simbólicas, para os universitários.
Com o surgimento das teorias da educação matemática, seu ensino ganhou
novos modos de ver o ensino da matemática, e as orientações de (ONUCHIC et al
2014) trouxe novas reflexões, quando nos remete ao currículo, métodos processos,
e a importância de ensinar a matemática de modo que eles possam nos levar a
contextos diversos, sugerindo a resolução de problemas como uma possibilidade
desta realização.
Segundo Allevato e Onuchic (2014), no século XX, em principalmente na
década de 1980, ocorreram mudanças consideráveis na educação matemática
22
como: a) o desenvolvimento de diferentes visões de como ensinar e avaliar, b) de
como identificar como a matemática deveria ser trabalhada, e não perder o foco nas
dimensões do ensino como: currículo, métodos e processos. Para Morais e Onuchic
(2014), o ensino da matemática por resolução de problemas quer destacar que esse
eixo de abordagem tem sustentação na matemática, e o usa como acessório para o
ensino. Nesta visão, embora o conhecimento matemático seja fundamental, o
propósito principal do ensino é levar os alunos a utilizá-la em seus contextos
diversos, como teoria de significado prático, por meio da resolução de problemas.
Isto sugere a inversão da ordem de que primeiro o conteúdo depois a resolução de
problemas.
Estas orientações sobre as didáticas de ensino nos serviram de apoio
teórico para a construção de nossa Sequência Didática. E, a Engenharia Didática de
Michele Artigue (1986) nos orientou sobre as formas de realizar essa pesquisa para
a sua construção.
1.2 – Aplicações dos Sistemas Lineares e Suas Investigações para o Ensino
Os trabalhos de Valiente (2015) e Rangel (2011) marcaram suas
importâncias neste trabalho pelas seguintes razões: a) pela lista de aplicação dos
sistemas lineares nas outras ciências; b) por enfatizar a aprendizagem de sistemas
lineares pelo método interativo. E o segundo, por trazer detalhes de como os
sistemas lineares se tornam significativos na vida dos alunos.
Segundo Valiente (2015), a aplicação dos sistemas lineares em Engenharia,
Ciência da computação, Economia, Biologia e outros, costuma envolver acima de
100 variáveis. Por isso se faz necessário o uso de ferramentas computacionais para
resolver estes problemas. Valiente (2015) enfatiza o método interativo como uma
transformação do sistema original em um sistema equivalete, com o objetivo de
transformá-lo num equivalente mais simples e isto sugere ser um modelo expressivo
das aplicações mais avançadas do que se conhece no ensino médio como método
do escalonamento.
Segundo Bassanezi (2010, p. 16), “a modelagem matemárica consiste na
arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los
interpretando suas soluções na liguagem do mundo real”. No Trabalho de Rangel
(2011), guiado pelas orientações de Bassanezi (2010), encontra-se detalhado um
23
projeto de modelagem em que são aplicados os Sistemas Lineares para resolver
problemas, os quais denominou por tema: 1) Nutrição balanceada: Alimentação
diária e equilibrada; 2) Condicionamento físico: Academia de ginástica; e, 3)
Circuitos elétricos: Correntes e redes elétricas. Cada um desses temas tinha um
conjunto de problemas e todos foram modelados via aplicação dos sistemas
lineares.
O estudo de Neman (2013) apresenta um problema algébrico e sua
resolução com componente geométrico, indispensável para boa assimilação. Suas
observações nos leva a entender que sua metodologia de ensino de sistemas
lineares, em sua essência, defende que o ensino de sistemas lineares torna-se mais
eficaz via raciocínio geométrico, e os artigos da Revista do Professor de Matemática
(RPM), contribuem para a prática educativa no tocante aos sistemas lineares, pois
além de unirem dois grandes campos: Geometria e Álgebra, possibilitam também à
matemática interagir com outras disciplinas como: Biologia, Física, Química e
Sociologia.
Neman (2013) diz que em sua prática diária como professor, os alunos não
conseguiam relacionar os assuntos matemáticos com as outras áreas do
conhecimento, e que os livros didáticos disponíveis não ajudavam muito. E a
motivação do seu trabalho foi a investigação do distanciamento entre o Ensino
Básico e o Superior, e que enquanto o Ensino Superior público no geral tem
qualidade excelente, o Ensino Básico não leva aos alunos os saberes mínimos
necessários para a vida cotidiana, e então escolheu Sistemas Lineares pela sua
relevância na vida cotidiana.
Jordão (2011) relata sua experiência com o 2º ano, em 2007, quando se
deparou com as dificuldades dos alunos em aprender a resolver sistemas 3x3 e a
incerteza de parecer não ter levado os alunos a superar esse problema ao final do
ano letivo. Em agosto de 2008, com o seu ingresso no Mestrado em Educação
Matemática, em uma das reuniões semanais em que discutiam sobre as dificuldades
enfrentadas por professores e alunos no estudo de sistemas lineares, se interessou
pelo tema ao lembrar da experiência trabalhosa com os alunos de 2º ano do Ensino
Médio. A sua pergunta de pesquisa da autora foi: Qual a preocupação para
24
iniciarmos o estudo de sistemas lineares sob o ponto de vista da proposta sugerida
pela dissertação de Battaglioli1?
Jordão (2011) desenvolveu seu trabalho baseado nos estudos de Battaglioli
(2008), e destaca sobre este estudo, a exploração dos registros gráficos na
resolução dos sistema slineares, pois estes podem contribuir para que os alunos
tenha mais familiaridade, não só para entender seu cunjunto de soluções mas
também para classificá-los e discuti-los se necessário. Para nortear sua pesquisa ela
usou treoria das representações semióticas, de Duval (2000), como referencial
metodológico, usando os presupostos da engenharia didática descritos por Artigue
(1996).
No levantamento prévio, a autora aplicou a sequência didática a 45 alunos
do 2º ano do Ensino Médio, porém 7 deles foram selecionados aleatoriamente como
sujeitos da pesquisa, tendo disponibilizadas duas aulas para a abordagem do estudo
de sistemas lineares, realizadas em classe e uma aula no laboratório de informática.
Para a abordagem do estudo de sistemas 3x3, foram ministradas três aulas em
classe e duas no laboratório de informática.
A sua análise a priori foi realizada baseada nos autores que tratam do
assunto e envolvendo as tecnologias digitais, alguns livros didáticos e alguns
softwares a serem usados nas atividades. A experimentação foi aplicada a apenas
25 alunos do 2º ano do Ensino Médio, a diretora precisou de 20 deles para outra
atividade. Na sua análise a posteriori, considera o resultdo satisfatório, por conseguir
verificar a compreenção proposta na questão da pesquisa com a compreenção dos
sistemas lineares 3x3 pelo alunos selecionados, uma vez que são necessário pelo
menos dois registros para resolução de sistema lineares, para que se possa
perceber avanços nas convenções de registros das anotações e relevância da
realização no tratamento algébrico.
Steihost (2011) trouxe o ensino de matrizes com o uso de planilhas, o leitor
que se interessar por esta metodologia de ensino de matrizes, verá melhores
detalhes diretamente em seu trabalho. Aqui, diante da importância da
interdisciplinariadade para o trabalho docente, o trabalho de Steihost tornou-se
bastante significativo para referendar este conceito.
1 Carla dos Santos Moreno Battaglioli, autora que a inspirou na escolha do direcionamento do trabalho Jordão
2011.
25
O experimento da planilha, no estudo de Steinshorst (2011) consiste na
aplicação de situações problemas envolvendo lista de compras. Um exemplo que
entendemos aqui que usou uma planílha que trazia uma coluna coms os nomes das
mercadorias, seguida das colunas com as quantidades e os custos mensais, para
descobrir a inflação de um mês para outro. Não houve necessidades de usarmos
planílhas nos moldes sugeridos por Stainhost (2011), mas nos deixou mas seguros
para o uso de tabelas na nossa Seqência Didática (vide apêndices)
A respeito da interdisciplinaridade, Stainhorst (2011) recorre a Fazenda
(1991) para dizer que um trabalho interdisciplinar acontece pela intensidade das
trocas entre os especialistas e pela integração entre as disciplinas no mesmo
projeto. Então, a característa de uma abordagem interdisciplinar é o tratamento de
um determinado conteúdo sob visões de várias disciplinas, e o objetivo de trabalhar
problemas envolvendo temas interdissiplinares é uma forma de desenvolver o
conhecimento dos alunos de forma interativa, desafiando suas curiosidades e dando
lhes um aformação crítica e criativa.
Sua pesquisa foi desenvolvida em dois momentos, e os sujeitos foram 36
alunos do ensino médio, de forma que uma turma utilizou uma planilha para auxiliar
na resolução de problemas interdisciplinares que envolveram conteúdos de Matrizes
Determinantes e Sistemas Lineares - MDSL. No segundo, a outra turma teve os
mesmos conteúdos desenvolvidos, mas sem recurso computacional.
Após esse procedimento, o processo se inverteu para que as duas turmas
fossem analizadas em relação aos dois métodos. Durante esses processo, foram
aplicados questionários em momentos distintos e uma entrevista. Ao final de cada
etapa, cada turma recebeu um método diferente, de forma que todos passaram por
todos os itens.
Depois da aplicação de três questionários, os alunos participaram de um
projeto interdisciplinar, que foi a realização de um campeonato de futebol. O projeto
envolvia Biologia, Física e Educação Física. Terminadas as atividades esportivas, as
duas turmas voltaram para o laboratório de informática para trabalhar com os
elementos da coleta do campeonato com as planílhas os dados foram colocados na
forma matricial e ali foram executadas as operações com matrizes e as turmas
executaram o projeto.
Depois foram aplicados mais 4 novos questionários sobre variáveis
sociográficas, sobre informática, e sobre a aula e o rendimento da apredizagem
26
matemática. Depois foram aplicadas mais oito situações problemas que os alunos
resolviam, fazendo revesamento. Enquanto uma estava resolvendo com lápis e
papel, a outra estava no laboratório de informática.
Segundo o autor, o trabalho pedagógico com planílha para auxiliar os
conteúdos de Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares (MDSL) foi uma
experiência bastante positiva, pois deu a ela a certeza de que os resultados de
aprendizagem obtidos pelos alunos fora muito superies aos resultados sem a
planílha. Isto o fez afirmar que irá continuar as pesquisas com outros conteúdos da
matemática, principalmente em projetos interdisciplinares, e que hoje não ver mais
sentido ensinar matemaática sem relacionar com a tecnologia e outras disciplinas.
E o esino deste assunto, com o auxilio da planílha motivou os alunos, até
mesmo os mais inibidos em estudar matemática. As atividades fizeram com que eles
participassem mais e melhor das aulas e ver sentido nos conteúdos sendo
aprendidos, por vivenciar a aplicação dos mesmos.
A importancia do trabalho de Steinhorst (2011) para este trabalho se tornou
evidente, quando diz que: a interdissiplinaridade se dá pela interação entre as
disciplinas no mesmo projeto, e pela inserção da planílha nos calculos de inflação.
Entendemos aqui pela exposição da autora que a planílha potencializa o foco dos
alunos na atividade.
Chiari (2011), desenvolveu seu trabalho baseada nos seguintes problemas
de aprendizagem:
Dificuldades em usar operações aritméticas elementares para resolver problemas verbais envolvendo Equações e Sistemas de Equações; - Dificuldade em converter a linguagem escrita para uma linguagem matemática; - Os alunos não costumam verificar as respostas encontradas durante o processo de resolução dos Sistemas e, por isso, não têm clareza do que elas representam (HERRERO, 2004, apud PANTOJA, 2008, p. 19)
Entre os fatores que originam estes problemas Chiari (2011) destaca o alto
teor de abstração com o qual é tratado o assunto no Ensino Básico, deixando de
trabalhar os significados encontrados pelos alunos. A partir destes problemas a
mesma pautou seu objetivo de pesquisa em investigar o uso dos escalonamento de
sistema lineares por alunos do Ensino Médio, e como inspiração metodológica usou
a engenharia didática para desenvolver seu trabalho.
Na primeira parte sua pesquisa foi dividida em etapas, que reunem a
investigação histórica do conteúdo, definição, métodos usados para resolução,
27
conceitos usados em relação aos sistemas lineraras e ao processo do
escalonamento, documentos oficiais, analisaram três livros didáticos incluindo o
adotado pela escola e por fim, um apanhado dos trabalhos mais recentes sobre os
obstáculos epistemológicos em relação à álgebra e em especial aos sistemas
lineares.
A segunda parte, foi baseada nos trabalhos de Battaglioli (2008) e livros
didáticos do Programa Nacional do Livro Didático - PNLD (2009) para desenvolver
as atividades da experimentação. A terceira parte, que é a experimentação, foi
iniciada com apenas os seis sujeitos da pesquisa, divididos em três duplas, e nos
dias seguintes apareceram mais alunos, os quais formaram mais duplas. Os
sistemas lineares, elementos de investigação da pesquisa poderiam ter coeficientes
inteiros ou não. As atividades foram distribuidas por ordem crescente de grandeza,
começando pelos mais simples de forma que os alunos pudesse resolver até
mentalmente.
Na tentativa de responder a questão de pesquisa, realizou a experimentação
por meio de uma sequência didática inspirada nos métodos da Engenharia Didática,
envolvendo as operações elementares, com as equações do sistema, no sentido de
desenvolver o conceito de sistemas equivalentes. Em seguida, foram analisadas as
dificuldades no uso das tranformações para resolver os sistemas.
A sequência didática foi desenvolvida em três Grupos: 1) o Grupo das
variáveis didáticas, que tinha como objetivo de propor a resolução de um problema
que envolvndo a resolução de um sistema linear; 2) o Grupo das operações
elementares, que buscava adquirir sistemas equivalentes; e 3) o grupo com o
objetivo de promover a construção do escalonamento como método da resolução de
sistemas linerares.
O foco do trabalho de Chiari (2011) foi analisar o escalonamento dos
sistemas, considou que o processo foi realizado, mas alerta que: o saber fazer em
matemática, no seu ponto de vista construído nessa experimentação, não é o
suficiente para uma aprendizagem significativa. E diz também que no momento da
experimentação alguns alunos não haviam chegado, reforçando ainda mais a ideia
de que o trabalho em relação aos sistemas lineares não deve parar por aqui.
O trabalho de Freitas (2013) vem reforçar alguns trabalhos já mensionaram:
as advertências sobre as dificuldades dos alunos em resolver problemas de
matemática envolvendo sistemas lineares, constatando que os alunos não fazem a
28
diferença entre parâmetro e incógnita, causando insegurança para comunicar
resultados; falta de habilidades de interpretação e conversção das representações
semióticas que podem ser envolvidas na resolução de um sistema linear e o
detalhamento do caminho que os presupostos da engenharia didática proporcionou
para seu trabalho.
Para Freitas (2013), na prática docente percebe-se nos alunos concluintes
do Ensino Básico a dificuldade de resolver problemas de matemática envolvendo
sistemas de equações lineares, e artigos e documentos oficiais reforçam essa
constatação. Desta situação surgiu a seguinte questão que se tornou suas questão
de pesquisa: é possível que os alunos do Ensino Médio consigam resolver sistemas
de eauações lineares 2x2 em que a abordagem proposta favoreça a conversão e o
tratamento de registros de representação semiótica?
O objetivo da pesquisa de Freitas (2013), foi: desenvolver uma sequência
didática para investigar como os alunos do terceiro ano do Ensino Médio de uma
Escola Pública da Rede Estadual na cidade de São Bernardo do Campo, no Estado
de São Paulo, resolvem sistemas lineares 2x2 em que a abordagem proposta
favoreça a conversão e o tratamento de registros de Representação Semiótica de
Duval (2009).
Então a sequência didática deveria contemplar a resolução de sistemas,
fazendo as ligações da conversão do registro da linguagem natural para o registro
algégrico, do registro algébrico para a resolução gráfica, e do registro gráfico para o
algébrico. E para a resolução algébrica e gráfica, uma discussão dos sistemas de
acordo com a posição das retas de cada equação dos sistemas, tomando como
base, além do presuposto da Engenharia Didática de Michele Artigue (1996), a
teoria dos Registros de Representação Semiótica de Duval (2009).
Freitas (2013) tomou como suporte prévio para seu trabalho, um problema
citado pelos Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática, do Terceiro e do
Quarto Ciclo (BRASIL, 1998), quando diz que nos últimos anos do Ensino
Fundamental, os procedimentos não algébricos são deixados de lado na resolução
de problemas e a álgebra é utilizada mesmo não sendo necessária, e ainda
acrescenta que os problemas não são desafiadores e as situações problemas
privilegiam a aplicação da linguagem algébrica.
Ainda para Feitas (2013), os estudos de Traldi Jr (2002) falam das
dificuldades apresentadas pelos alunos na conversão das linguagens para
29
comunicar os resultados das resoluções dos problemas. Battaglioli (2008) fala das
necessidades da abordagem do tema com recurso gráfico, para diminuir as
dificuldades dos alunos em entender a resolução de Sistema Linear e sua
classificação. Por sua vez, Almouloud e Bianchini (2005), no seu artigo analisam a
natureza dos erros de aprendizagem dos alunos na resolução de sistemas linerares,
como: fazer a diferença entre o parâmetro e a incógnita de um sistema linear e na
apresentação de soluções para sistemas determinados e indeterminados e
impossíveis, e que isso sugere a criação de sequência de aprendizagem que
promova a diminuição dos erros.
Na análise a priori, foram analisados documetos oficiais como: Orientações
Curiculares para o Ensino Médio (2006) e os Parâmetros Curriculare de 5ª a 8ª série
(1998), trabalhos sobre o assunto como o de Battaglioli (2008), Jordão (2011) e
Traudi (2002), caderno do professor, caderno do aluno e livros didáticos.
A sequência didática de Freitas (2013) foi desenvolvida com base na
metodologia da Engenharia Didática e aplicada aos alunos do terceiro ano do Ensino
Médio de uma escola pública de São Paulo. Como a pesquisa está centrada nos
registros, as atividades envolvem apenas números inteiros, pois a intenção é avaliar
a conversão e o tratamento das representações semióticas. Os sujeitos já tinham
familiaridade com o software Geogebra no estudo da Geometria Analítica e a
sequência era composta de seis atividades.
Aconclusão de Freitas (2013) foi que a introdução de uma atividade que
permita a tramitação dos sistemas lineares nos vários registros de representação
semiótica e o reconhecimento de tais alterações feitas no registro algébrico provoca
mudanças no registro gráfico, facilita o aprendizado, pois os alunos apresentam
melhora significativa no desempenho. As lacunas na aprendizagem de Sistemas
lineares detectadas pelos estudos de Freitas (2013) nos levou ao conecimento de
que estes problemas de aprendizagem se encontram em outros pontos do Brasil,
assim como percebidos por nosso levantamento prévio.
O Estudo de Rodrigues (2011) tornou-se relevante para esses trabalho pelo
fato de trazer sua preocupação com os problemas de aprendizagem que os alunos
ainda trazem sobre sistemas lineares, comprometendo a prendizagem das
disciplinas do ensino superior que dependem deste connecimento de forma
significativa.
30
Segundo Rodrigues (2011), com base nos estudos de Almouloud e Bianchini
(1996), os Sistemas de Equaçoes Lineares são pré-requisito para o ensino de
Álgebra Linear no terceiro grau. O problema de pesquisa deste autor foi construído
com base nos estudos destes autores, os quais aplicaram uma atividade para saber
as dificuldades dos alunos com sistemas de equações Lineares, e constataram as
dificuldades dos estudantes do Primeiro ano do curso de Ciências da Computação
em encontrar a solução de sistemas indeterminados e também faziam confusão
entre parâmetro e incógnita.
Por meio dos estudos de Bisognin e Cury (2009), o autor também constata
dificuldades quase que idênticas nos estudantes calouros da Matemática do Ensino
Superior, em apresentar soluções de sistemas indeterminados e impossíveis e
realizar cálculos algébricos incorretos, porém a motivação principal foi quando
observou nos relatórios do Sistema de Avaliação e Rendimento do Estado de São
Paulo – SARESP (2009) de apontamentos das dificuldades dos alunos de 9º ano do
Ensino Fundamental e 3º anos do Ensino Médio em solucionar problemas
envolvendo Sistemas de Equações Lieares (BISOGNIN e CURY, 2009, apud
RODRIGUES, 2011). Por isso, Rodrigues (2011) escolheu como objetivo investigar
como é abordado o conteúdo de Sistemas de Equações Lineares nos Cadernos do
Professor de Matemática da Rede Pública de São Paulo, de 2008 e 2009.
Entre os resultados obtidos por Rodrigues (2011) foram que: apesar da
Orientações Curriculares do Ensino Médio - OCEM (2008) recomendar a extinção da
regra de Cramer, foi observado nos materiais analisados. Nenhum documento
recomenda a utilização da representação gráfica para os sistemas de equações
Lineares 3x3 contradizendo as recomendações de algumas pesquisas. E apesar de
algumas delas recomendar, a Coleção Matemática e Realidade os sistemas de
equações estão contemplados no 7º, 8º e 9º ano e o tema se inicia por uma situação
problema e um certo déficit nos exercícios que promova de forma plena a converção
das representações semióticas.
Como o leitor verá a seguir, a importância do trabalho destes dois autores se
evidencia ao enfatizar o valor das habilidades que o aluno precisa ter no domínio do
conteúdo de sistemas lineares no tocante à interpretação de ou apresentação das
respostas em diferentes linguagens.
Para Traldi e Rosa (2010), a ruptura unilateral, pode criar obstáculos sérios
para a aprendizagem e em relação ao ensino e apredizagem, uma corrente ainda
31
presente nas nossas aulas de matemática é que ainda identifica o ensino como
transmissão de conhecimento.
Traidi e Rosa Neto (2010) tiveram como referencial teórico a Teoria dos
Registros de Representação Semiótica de Duval (1999), apresentando uma
abordagem com Sistemas Lineares para alunos do segundo ano do ensino médio,
com o objetivo de saber como transitam os diversos registros no aprender deste
assunto.
Esses autores analizaram um livro didático recomentado pelo Programa
Nacional do Livro de Ensino Médio - PNLEM (2009), pesquisas já realizadas como
as de Machado (1996), Freitas (1999), Karrer (2006) e documentos oficiais como:
Os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN (2002) e OCEM (2006) entre outros. E
sobre o livro didático, a questão foi a seguinte: em quais registros de representação
semiótica estão sendo abordados os sistemas lineares no livro didático “Matemática
Ensino Médio” de Amole e Diniz (2007)? Quais as conversões de resgistros
apresentadas nos exercícios resolvidos e nos propostos?
Ainda em relação ao trabalho de Traldi e Rosa Neto (2010) sua pesquisa de
campo foi realizada por meio de um questionário de quatro questões aplicadas a 100
alunos do Ensino Médio da rede estadual de São Paulo, procurando saber se o
aluno consegue visualizar sistemas lineares em problemas e desenvolver usando
diversos registros. Como resultado, segundo o autor, quando aplicaram a mesma
questão os resultados foram superiores aos levantados por Karrer (2006).
Quanto ao livro didático analisado, Traldi e Rosa Neto (2010) fizeram uma
avaliação positiva destes materiais, entre as quais diz que: além de trabalhar em
espiral, também demonstra e resolve atividades com mudança de registro, não
comenta o tipo de abordagem metodológica dos professores, mas diz que os alunos
não tiveram dificuldade para resolver sistemas. E observou-se também a grande
importância da tecnologia no processo. Traldi e Rosa Neto nos nos puseram em
contato com a teoria dos Registros e Representação Semiótica, de Duval (1998) a
qual usamos pasra analisar de forma mais detalhada os registros deixados pelos
alunos nas respostas dos questionamentos.
O trabalho de Sonía Rufato (2014), logo abaixo, veio eforçar o quanto a
resolução de sistemas lineares é indispensável para a vida cotidiana dos alunos, e
que a metodologia utilizada em sua pesquisa proporcionou maior interesse e
32
entusiasmo pela matemática e afirma que os conceitos construídos de forma correta
viabilizam a aplicação em outros contestos da matemática.
Rufato (2014) trouxe como objetivo do seu trabalho, destacar o quanto pode
ser significativo do estudo dos sistemas linerares no Ensino Médio por meio das
aplicação cotidianas, e assim tornar significativo este saber.
A não aplicação dos saberes escolares conduz os alunos a um aprendizado mecânico e desprovido de reflexão, pois eles não cosenguem relacioná-los com o seu dia-a-dia. Na verdade o estudo sem contextualização pode não permitir a exploração do caráter indagador que ele possui, daí, em muitos casos, não possibilitar a construção significativa do conhecimento (RUFATO, 2014, p. 17)
Nessa perspectiva, a autora consolida o objetivo do seu trabalho, por
observar que o alunado demonstra dificuldade de relacionar as situações problemas
do dia-a-dia aos conteúdos aprendidos.
Rufato (2014) estruturou seu trabalho em três capítulos, o primeiro expõe
com detalhes as definições de equação linear e de sistemas lineares, com exemplos
e resoluções em diferentes liguagens com uso das digitais para produzir os gráficos,
e nas resoluções deu ênfase para o método de resolução de Gauss. No segundo,
ela relata três exemplos de aplicações de sistemas lineares: na corrente elétrica, no
balanceamento de equações químicas e no controle de trânsito numa rua de mão
única nos dias em que o trânsito está acelerado. No terceiro ela trata da aplicação
de uma sequência didática para o ensino de sistemas lineares aplicado no
condicionamento físico, de caráter investigativo e ao mesmo tempo esclarecer aos
alunos que sistemas lineares não é um assunto restrito, e ainda realçar a
importância da atividade física.
Para a realização da pesquisa, a turma foi dividida em grupos de cinco
alunos, de forma que as atividades profissionais ficassem mais entrelaçadas
possível, para que compartilhassem suas experiências uns com os outros nos
contextos sugeridos pelas atividades, e anotando os rendimentos de cada um numa
tabela. Com essa sequência, segundo a autora, foi possível as seguintes
conclusões:
- Maior interesse e entusiasmo pelas aulas de matemática;
- Que o conteúdo abordado através de situações problemas possibilita um
conhecimento matemático mais significativo;
33
- A aplicação dos sistemas lineares direcionados às situações reais fez com
que os alunos enxergassem a importância da matemática no cotidiano;
- Essa metodologia nas aulas de matemática além de servir para motivar os
alunos a criar novas idéias, também facilita a compreensão e a interpretação dos
problemas reais onde estão inseridos.
O ponto importante do autor a seguir, para este trabalho, foi o enfoque na
resolução de problemas, que no nosso caso pode ser devidamente orientado passo
a passo por uma seqência didática, assim como também chama a atenção para a
paciência que o professor precisa ter na construção dos conceitos por parte dos
alunos. Por Rufato (2014), nos asseguramos da importancia dos Sistemas Lineares
na vida cotidiana dos aluno e do ensino contextualizado.
Para Antoniassi (2013), apesar de muitos professores reconhecerem a
importância da resolução de situações-problema para o ensino da matemática,
muitos deles não desenvolvem um trabalho satisfatório, usando quase sempre o livro
didático sem obedecer as etapas propostas pela metodologia da resolução de
problemas. Por conta desta constatação, escolheu como objetivo do seu trabalho:
elevar o número de acerto dos alunos na resolução de problemas, e assim poder
viabilizar melhores condições aos alunos do ensino fundamental II para interpretar,
compreender e resolver situações problemas relacionadas ao ensino de sistemas de
equações lineares com duas incógnitas.
A metodologia da resolução de problemas tem grande importância no processo ensini-aprendizagem, já que o ser humano é desafiado a resolver problemas a todo momento em seu cotidiano. Com a prática da resolução de problemas nas aulas de matemática, os alunos têm a oportunidade de desenvolver e sistematizar os conhecimentos matemáticos dando significados aos conteúdos trabalhados (ANTONIASSI, 2013, p. 13).
O autor iniciou seu trabalho descrevendo: tópicos hitóricos da escola como
berço do desenvolvimento da pesquisa; depois, adotou a Engenharia Didática para
guiar seu estudo; na etapa do levantamento prévio aplicou questionários aos alunos
e aos professores, constatando os seguintes problemas de aprendizagem: 1)
dificuldade de compreensão do texto da situação apresentada; 2) não percebiam os
dados importantes do enunciado; 3) tinham dificuldades de identificar o significado
da operação matemática envolvida na resolução e 4) apresentavam dificuldade de
identificar os conceitos matemáticos que deviam ser utilizados na situação problema.
34
Baseado nesta situação, Antonissi (2013) desenvolveu sua sequência
didática, proporcionando a exploração das liguagens escrita e gráfica, sendo que
para alguns gráficos foi usado os recursos do Geogebra, e como resultado concluiu
que: A resolução de problemas surge como alternativa metodológica para auxiliar
o professor em sala de aula; no caso de sistemas de equações de primeiro grau com
duas incógnitas, a sequência didática deve levar o aluno a construir os conceitos
corretos de sistema para viabilizar a aplicação em outros contextos, concretizando
assim a aprendizagem significativa; a metodologia requer tempo e paciência,
principalmente por parte do professor e também, que o professor que trabalha com
a metodologia da resolução de problemas, dispõe de um importante recurso para
desenvolver, facilitar e aprimorar o processo ensino-aprendizagem.
Aqui não tratamos específcamente da resolução de problemas, mas
percebemos em seu trabalho a aplicação da Engenharia Didática como guia para a
realização de sua pesquisa, e que o desenvolvimento de sua pesquisa nos ajudou
como forma de modelo mais aproximado da nossa realidade, para a realização da
nossa.
Outro trabalho considerado influente no nosso trabalho foi o artigo de
Roratto, Nogueira e Kato (2009), quando insistem que a matemática ainda é rotulada
como difícil, e que os professores acham mais fácil abordar o conteúdo de forma
dedutiva, repetindo um processo pronto, chamando a atenção para os fatores de
aprendizagens de Ausubel e para o ensino por meio de uma sequência didática.
Segundo Roratto, Nogueira e Kato (2009, p. 775 - 786), a matemática
sempre foi rotulada como difícil, e de forma incontestável, é muito mais fácil para o
professor abordar um conteúdo pela forma dedutiva, pronta para ser repetida,
apresentando se uma sequência nítida de um processo pronto, restando ao mesmo
apenas replicar a estrutura para os alunos. E observando os fatores da
aprendizagem significativa de Ausubel (2003 apud HORATO, NOGUEIRA E KATO,
2009), que são: a) a existência de conhecimentos prévios relevantes; b) a existência
de um material potencialmente significativo; c) disposição para se aprender
significativamente.
Os pesquisadores Roratto, Nogueira e Kato (2009, p. 775 - 786),
desenvolveram uma sequência didática para o ensino de funções para uma turma se
8º ano de Paranavaí/PR, partindo de conceitos dos mais simples que colaboraram
com a compreensão e a formalização como: a relação qualitativa, relação
35
quantitativa de dependência, os padrões, as variável, e representações gráficas e
algébricas que se constituem nessa ordem para a formalização do conceito de
função.
Esses três autores elaboram uma atividade para cada um deles, para que
passo a passo, os alunos viessem a alcançar a formalização final. A Sequência foi
aplicada em uma turma de alunos com perfis sociais e rendimentos escolares
bastante variados, também de difícil controle, e que ainda não tinham estudado o
conteúdo de funções. Sendo assim, estariam estudando pela primeira vez, por meio
da sequência didática.
Pelo fato da sequência permitir esse processo de subsunção superordenada, em que cada conceito serve de base para o aprendizado do próximo, que, por sua vez, está relacionado com seu precedente de uma maneira não trivial, ela constitui-se em um material potencialmente significativo, segundo a teoria de Ausubel (2003, apud RORATTO, NOGUEIRA E KATO, 2009, p. 775 - 786).
Por esta análise, esperavam um resultado melhor, mas no final da aplicação
desta sequência não tiveram os resultados esperados em relação aos demais
métodos já usados. Porém, com base nas observações detalhadas do
comportamento da turma durante a aplicação, destacam que: o ensino de
Matemática, assim como a educação brasileira, em geral, forma estudantes com
pouca iniciativa e pressa excessiva para buscar soluções, e consequentemente, não
desenvolvem a autonomia suficiente para a aprendizagem por descoberta. E isso
tende a não se restringir apenas à vida acadêmica, ela avança para a vida
profissional e social.
E assim concluíram os estudos acreditando que se a metodologia for
aplicada aos estudantes desde as séries iniciais, desenvolverá nos alunos a
participação efetiva típica de um estudante ativo e participativo na investigação, no
qual lhes são necessário o ato de pensar, e não apenas o de reproduzir.
O trabalho desses autores reforça o que exploramos em nossa Sequência
Didática. O conceito de que a sequência didática formaliza a ordenação conceitos, e
que cada um deles baseia se no conceito anterior, e nos chama atenção para a
construção de uma sequência didática que venha promover a autonomia dos alunos
no desenvolvimento das atividades.
36
1.3 - Considerações Sobre a Revisão Literária
Este levantaménto literário trouxe informações significativas para o
desenvolvimento de nossa Sequências Didática, no momento em que apontou os
problemas de aprendizagem sobre Sistemas lineares, a importancia do seu ensino,
as aplicações em diversas áreas do conhecimento, as formas trabalhadas pelos
autores consultados e as orientações para o ensino por via de suas pesquisas e
experimentações em sala de aula.
Como resultado da revisão literária as ideias apresentadas pelos autores são
descritas conforme o conhecimento (Didática e metodologia; aplicações dos
Sistemas Linearess), Depois os autores trabalhados e as indicações dos pontos
importantes destacados por eles em relação ao ensino e aprendizagem, bem como
os métodos de ensino apresentados por eles.
Entre os especialistas em didática, aqui consultados, (vide Revisão literária
p. 20), pelo fato de se tratar da construção de um produto de ensino, procuramos o
que de mais relevante de D’Amore (2007), Libâneo (1994), Pilet (2002) e Pais (2011)
e Chevallard (1991), que nos embasou para a construção do mesmo. No entanto,
abordamos um pouco mais das ideias de Chevallard (1991), pela abordagem prática
orientadora na transformação de um conteúdo da sua escrita científica, e a este
procedimento, ele o chamou de Transposição Didática, procedimento imprescindível
entre os conhecimentos do professor para que possa transpor o conteúdo não só da
escrita científica, mas da escrita de outra realidade para o cotidiano dos seus alunos.
Dos autores referenciados até aqui, Alguns, deles aproveitamos suas
contribuições em relação aos problemas de aprendizagens de Sistemas Lineares,
por eles levantados, os quais inspiraram nossa investigação; outros contribuíram
com o elenco das áreas de aplicação, onde compreendemos que para levarmos
estas aplicações ao dia a dia dos alunos, usamos as orientações da Transposição
Didática para tornar o assunto acessível às situações simples da realidade dos
alunos; outros nos auxiliaram com orientações para o ensino, e os demais com
orientações didático-metodológicas mais generalizadoras que nos formam para o
ensino em geral, conforme a síntese a seguir. Dos autores desta revisão literária,
alguns usaram a Engenharia Didática como guia de sua pesquisa, porém tratamos
com mais detalhes na seção 3.3 do capítulo seguinte.
37
1.4 – Síntese das Ideias dos Autores
Contribuição Autor Pontos importantes
Didática e metodologia
Chevallard (1991), A transposição didática parece ser para o ensino, um instrumento primordial que se assemelha ao trabalho da mãe ao transformar produtos comestíveis, da forma in natura pelo cozimento e outros tratamentos, em alimentos para sua família.
Libâneo (1994, p. 25 -26),
A tarefa do professor é garantir a unidade didática entre o ensino e a aprendizagem pelo processo de ensino.
Piletti (2002, p. 43) Piletti ainda faz uma diferença entre Didática e Metodologia, a Metodologia estuda os métodos de ensino e sua classificação. A Didática por sua vez faz o juízo de valor sobre a metodologia.
Pais (2011, p. 17) A transposição didática pode ser entendida como um caso especial de transposição de saberes,
Anatole France (s.d., apud D’Amore, 2007, p.15),
“Não buscai satisfazer vossa vaidade, ensinando coisa demais aos seus alunos. Despertai neles a curiosidade”. É suficiente abrir sua mente e não sobrecarrega-la. Colocai apenas a faísca, se tiver matéria inflamável, o fogo surgirá.
Rosa Neto (2001, p. 20)
A formalização das operações simbólicas de François Viète, deve ser sugerida aos alunos do 2º Grau.
Onuchic (2014), Sobre o ensino por resolução de problemas, o propósito principal dessa abordagem de ensino é levar os alunos a utilizá-la em seus contextos diversos, como teoria de significado prático.
Valiente (2015) Segundo Valiente (2015), a aplicação dos sistemas lineares em Engenharia, Ciência da computação, Economia, Biologia e outros
Rangel (2011) E o segundo, por trazer detalhes de como os sistemas lineares se significativo na vida dos alunos.
Bassanezi (2010), A modelagem matemátrica, consiste na arte de transformar problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real.
Neman (2013) No tocante aos sistemas lineares, pois além de unirem dois grandes campos: geometria e Álgebra, possibilitam também à matemática interagir com outras disciplinas como: Biologia, Física, Química e Sociologia.
Aplicações
Jordão (2011) Os problemas de aprendizagem que o produto objeto deste trabalho tem o objetivo de minimizá-lo, como: dificuldade para resolver sistemas 3x3, ou classifica-los quanto a sua solução.
Chiari (2011) Destacou as dificuldades dos alunos no estudo de sistemas lineares como: dificuldades para usar as operações elementares na resolução de equações e sistemas de equações.; dificuldades na conversão da linguagem escrita para a linguagem matemática; não verificar as respostas e não ter clareza do que elas representam.
38
dos sistemas lineares e metodologia de ensino.
Freitas (2013) Os alunos não fazem a diferença entre parâmetro e incógnita, faltam lhes habilidades de interpretação e converção das representações.
Rodrigues (2011) As dificuldades dos estudantes calouros da Matemática do Ensino Superior, em apresentar soluções de sistemas indeterminados e impossíveis.
Rufato (2013) A resolução de sistemas lineares é indispensável para a vida cotidiana dos alunos
Fonte: Autoria própria (2018)
Nesta síntese, reunimos os pontos relevantes do estado da arte, em síntese,
que serão nesta dissertação, os guias para o desenvolvimento do produto e sua
metodologia de experimentação em sala de aula. E ainda dentro deste quadro
percebemos autores que assumem a vanguarda do nosso trabalho, como:
Chevallard (1991) e Pais (2011), com a importância da transposição didática para o
ensino, quando procuramos encaminhar o assunto a ser ensinado pelas vias de
interesse dos alunos; Valiente (2015) e Rangel (2011), quando enumeram as áreas
de aplicação dos sistemas lineares; Freitas 2013 e Rodrigues (2011), quando
enumeram os problemas de aprendizagem que os estudantes não conseguem sanar
no ensino básico.
Em nossa revisão literária encontram se autores comtemplados diretamente
que não se encontra neste quadro, mas que junto com estes se torna guia para este
trabalho, pelo método da Análise dos Registros e Representações Semióticas,
tratado no capítulo seguinte.
39
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA E METODOLÓGICA DO ENSINO: Ensino de
Matemática por Meio de Sequência Didática.
2.1- Bases Conceituais e Contextualização
Desenvolvemos esse capítulo para abordar os pontos de maior
especificidade dos autores consultados, no apoio e sustentação do desenvolvimento
da sequência didática para o ensino dos sistemas lineares pelo método do
escalonamento ou como diz Lawson (1997), a eliminação gaussiana se baseia na
simplificação de equações pela eliminação de suas variáveis, uma de cada vez, de
equações sucessivas. E assim o sistema simplificado é equivalente ao anterior.
A Sequência Didática entra nesse trabalho como uma sequência de
atividades planejada e articulada para que possam caminhar por vias conceituais ou
habilidades mais simples até chegar aos conceitos ou habilidades desejadas, pois,
Buscando os elementos que as compõe, nos damos contas de que são um conjunto de atividades ordenadas, estruturadas e articuladas para a realização de certos objetivos que têm um princípio e um fim conhecidos tanto pelos alunos como pelos professores (ZABALA, 1998, p. 18).
Por este autor, entendemos a Sequência Didática como um conjunto de
atividades articuladas de modo a proporcionar ao aluno chegar aos objetivos
almejados pela Sequência, conhecidos e esperado pelo professor. Quanto ao aluno,
esse deve saber que precisa chegar lá, como objetivo de sua aprendizagem. E é
nesse momento que a contribuição do “ensino de matemática por atividades”2, como
se torna importante na articulação da Sequência Didática, sendo que:
Essa forma de abordagem de ensino pressupõe uma colaboração mútua entre professor e aluno durante o ato de construção do saber, pois a característica essencial desse modo de encaminhar as atividades de ensino está no fato de que os tópicos a serem aprendidos estão por serem redescobertos pelo próprio aluno durante o processo de busca que é conduzido pelo professor até que ele seja incorporado na estrutura cognitiva do aluno (SÁ e JUCÁ, 2014, p. 146).
Por meio das atividades articuladas, nos encaminhamos para a montagem
da Sequência Didática para a aprendizagem de conceitos e aquisição de habilidades
2 Expressão usada por Ivanilde Apoluceno de Oliveira, no prefácio de Sá e Jucá (2014, p. 9), para denominar
uma experiência com regra de três, realizada numa turma de 30 alunos de uma escola pública do bairro Guamá em Belém.
40
para interpretação e resolução de problemas possíveis de serem modelados por
sistemas Lineares.
A articulação de um conjunto de atividades, para juntas propor a
aprendizagem de conceitos e consolidar habilidades parece ter seu embrião no
Japão, especificamente em 1954, na região de Osaka, em que o professor Toru
Kumon, descobrindo que seu filho estava tendo sérias dificuldades para
compreender a matemática, resolveu cuidadosamente articular as atividades para
que o seu filho Takeshi pudesse, fazer as atividades (vide anexo - 01), partindo de
problemas mais simples, para aos poucos chegar ao mais complexo, até deduzir os
conceitos inerentes e consolidar as habilidades exigidas por aquelas atividades,
como assim diz: Kumon (2001, p. 14), “nesse horário, logicamente não me era
permitido ensinar meu filho, a solução foi preparar exercícios à mão, no dia anterior,
para que minha esposa os entregasse a Takeshi”.
Olhando as atividades do método Kumon percebe-se que existem pequenas
diferenças no grau de dificuldade de um item anterior para o seguinte, isso para
permitir que o aluno aos poucos ganhe autonomia para resolver as atividades.
Vejamos que a atividade D151a, (anexo - 02), fornece um exemplo da transformação
de uma fração imprópria em um número misto, em seguida, nos dois primeiros itens,
pede para o aluno descobrir o numerador da fração do número misto. Do terceiro ao
décimo primeiro item, observamos que a atividade já pede o registro completo do
número misto correspondente à fração imprópria dada, e vai aumentando o
numerador da fração. E no final da atividade ele orienta como se lê a fração e o
número misto, e nesta informação estão fornecendo elementos que irão formalizar
algo mais abrangente, que é conceito das frações impróprias.
Então, pela literatura consultada, entendemos que Kumon articulou as
atividades para seu filho, graduando as de forma que entre um item e outro não
houvesse grande exigência cognitiva, e assim, seu filho, ao terminar o item anterior,
não encontrasse muitas dificuldades para fazer o item seguinte, por isso em nossa
Sequência Didática, procuramos aproximar o máximo possível cada item, para que o
aluno possa ligar a compreensão de um item com o outro.
Para Almeida, Oliveira e Florêncio (2008 apud SÁ, MAUÉS E MUNFORD,
2014), “o ensino por investigação é uma estratégia de ensino que engloba atividades
centradas no aluno, possibilitando o desenvolvimento da autonomia e da capacidade
de tomar decisões, de avaliar e de resolver problemas”. Então, analisando as
41
atividades do Sistema Kumon de Ensino, e o Ensino de Matemática por atividade, os
dois modelos buscam aproximar cada item da atividade, para que os alunos não se
percam de um item para o outro no caminha do entendimento para a formalização
dos conceitos envolvidos no processo.
Para melhor visualização desta análise, vejamos a atividade de Sá e Jucá
(2014), (vide Anexo 03), quando expõem uma sequência de frações para os alunos
dividirem o numerador pelo denominador e observar a posição da vírgula nos
resultados e ligar a posição da vírgula com a quantidade de zeros à direita da
unidade do denominador.
Nesta mesma linha de pensamento, Azevedo (2010, apud ALMEIDA,
OLIVEIRA e FLORÊNCIO 2014, p. 6758) diz que “utilizar atividades investigativas
como ponto de partida para desenvolver a compreensão de conceitos é a forma de
levar o aluno a participar de seu processo de aprendizagem e sair de uma postura
passiva”.
Segundo Azevedo (2010, apud ALMEIDA, OLIVEIRA e FLORÊNCIO 2014,
p. 6758), entendemos que a interação entre o sujeito e o objeto, que no caso, o
objeto é uma atividade com o objetivo de ensinar algo aprendiz, este torna se o
catalizador da aprendizagem. Então, quando o ensino deixa de partir das definições
e explicações antecipadas, para partir de um conjunto de atividades articuladas em
direção ao construto de compreensões do que se quer ensinar, nos levou a crer que
o ensino por atividade inspirou o nosso modelo de Sequência Didática, e por isso
deve conter algo que motive o aluno a aprender, para isso a contextualização
precisa pautar em algo do dia-a-dia do aluno, em seu desejo, em alguma outra
disciplina escolar que ele se identifique, ou mesmo em algum conhecimento
matemático que o aluno já saiba. Em relação ao dia-a-dia do aluno, para Silva
(2009, p. 60): “é necessário que o conhecimento escolar seja relacionado com o
conhecimento da vida diária do ano”.
Essa é apenas uma das dimensões da contextualização, pois a
complexidade da vida humana não cabe apenas em um tipo. Para isso o professor,
no âmbito do seu domínio área, pode usar como elemento catalizador da
aprendizagem, algo que os alunos praticam com entusiasmo e descontração como:
brincadeira e jogos.
42
Por sua dimensão lúdica o jogar pode ser visto como uma das bases sobre a qual se desenvolve o espírito construtivo, a imaginação, a capacidade de sistematizar, abstrair e a capacidade de interagir socialmente. [...] Esse aspecto lúdico faz do jogo um contexto natural para o surgimento de situações problemas cuja superação exige do jogador alguma aprendizagem e certo esforço na busca por sua solução (SMOLE et al, 2008, p. 10).
Pelas orientações dessa autora, entendemos que uma Sequência Didática
pode perfeitamente conter algum tipo de jogo, desde que com estratégia e objetivos
definidos, para que a culminância seja atingida.
Em relação à contextualização em outras disciplinas, como: História, Física,
Biologia, Química, vejamos o que diz Silva (2009):
A contextualização de conteúdos matemáticos no âmbito de conteúdos de outras disciplinas é uma das formas de se mostrar a contribuição da matemática na leitura dos diversos fenômenos naturais e sociais em que outras ciências se apresentam. (SILVA, 2009, P. 66)
Das contextualizações apresentadas por esse autor, uma sequência Didática
pode contextualizar também os fenômenos sociais bastante contundentes numa
comunidade como: a história o comércio, o trânsito urbano e a gestão pública.
Entre os contextos históricos para a inserção no ensino da matemática, a
própria história da matemática vem sendo recomendada como um possível
incentivador da aprendizagem de alguns conteúdos, partindo da motivação que
culminou na descoberta e no aperfeiçoamento de determinado conteúdo. E além de
poder traçar um paralelo entre o aparecimento do assunto movido pelo contexto
histórico da época,
O professor deverá explicar ao aluno que determinados assuntos em matemática, são ensinados devido serem muito uteis para determinadas profissões. Logo conhecer tal assunto poderá lhes ampliar as possibilidades na escola da carreira e lhes dará mais segurança em relação à matemática que terá de aprender futuramente (MENDES e CHAQUIAM, 2016, p. 25).
Nessa perspectiva, a historicidade dos conteúdos, poderá incentivar os
alunos que se identificam com a história, incentivando o interesse para assimilar os
conteúdos de um produto de ensino. Outro mecanismo de contextualização para o
ensino da matemática, é a contextualização na própria matemática. Isto significa que
alguns assuntos matemáticos, para que os alunos avancem no conhecimento e
aperfeiçoem seu poder de abstração, é necessário o exercício da matemática dentro
43
da própria matemática, para que possam compreender a sua estrutura lógica
interna, pois se a matemática não tivesse essa estrutura consistente, não seria
capaz de guiar as outras ciências com a segurança que as ciências precisam para
dá o suporte de qualidade que a vida moderna demanda.
Para este trabalho, procuramos introduzir no contexto das atividades as
rodadas de açaí na tigela, item forte da alimentação local. Nesse ponto entendemos
que os contextos envolvem outros meios sociais em situações informais, como uma
rodada de açaí na tigela, frequentes nas lanchonetes da região.
Outro modelo de contextualização que usamos, foi quando tivemos que
recorrer aos assuntos mais elementares que os alunos precisavam saber para que
pudessem assimilar o novo conteúdo, como: as operações com monômios, no
momento de aplicar as operações básicas nas equações do sistema, para adquirir
sistemas equivalentes.
Situar o raciocínio do aluno a partir de um conceito que seja uma forma mais elementar daquele conhecimento considerado. [...] Da mesma forma que podemos desenvolver um conhecimento matemático mais elevado por intermédio da manipulação de conceitos mais simples e conhecido do aluno, podemos a partir de um dado conteúdo mais complexo melhorar a compreensão de outro já conhecido (SILVA, 2009, p. 69, 73)
De acordo com o que entendemos de Silva (2009), podemos articular as
atividades e uma sequência didática também para a compreensão de conceitos já
conhecidos pelos alunos. E tratando da nossa Sequência Didática se enquadra
neste entendimento quando articulamos suas atividades usando conceitos simples,
como: o de equações equivalentes, para proporcioná-los as possibilidades de
construir os conceitos de sistemas lineares equivalentes. E na prática de cada uma
delas, desenvolvem também as habilidades para resolver problemas modelados por
Sistemas Lineares.
2.2 - A Transposição Didática de Chevallard
Para melhor explanar as âncoras teóricas sobre a Transposição Didática,
revemos a aplicação desta palavra partindo de uma situação discutida a nível
popular para isso esperamos que o leitor já tenha ouvido falar na palavra
“transporte”, substantivo abstrato, originário de transportar, verbo transitivo direto
que significa levar algo de um lugar para outro. O termo transposição também vem
44
do ato de transportar, porém neste caso trata se de algo mais complexo, como:
Mudar a direção da correnteza de um rio, como a transposição do rio São Francisco,
assunto bastante discutido pela política brasileira nas últimas duas décadas. Então a
ideia da transposição didática de Chevallard (apud MENDONZA, 2005, p. 87), trata
se de um processo de aproximação entre o saber descoberto pela ciência e o saber
a ser ensinado. No intuito de explicar melhor o fenômeno da transposição didática,
dizemos que:
A ideia se vale de um exemplo de transposição, que se faz numa peça musical tocada no violino, para se tocar no piano: é a mesma peça, é a mesma música, porém ela está escrita de maneira diferente, para poder ser interpretada com outro instrumento (MENDONZA, 2005, p. 6).
Então, com os conteúdos ocorre algo semelhante, onde o assunto escrito na
linguagem rebuscada no rigor da ciência é transposto didaticamente por meio de
linguagens acessíveis aos profissionais de outras áreas da ciência, e gradualmente
vai ganhando adequações didáticas sucessivas, a caminho de atender aos demais
níveis cognitivos do ensino básico respectivamente, pois para D’Amore (2007, p.
226), “a transposição didática consiste em extrair um elemento de saber do seu
contexto (universitário, social etc.) para contextualizá-lo no âmbito sempre singular e
sempre único da própria classe”.
As orientações de D’amore (2007) nos leva a comparar a Transposição
Didática como um redutor de distâncias, sendo que por meio da transformação de
linguagens, em que um conteúdo sai dos meios resolutivos da ciência para se tornar
conteúdo de ensino teórico e prático no contexto escolar.
A transposição didática de um conteúdo, segundo os autores consultados, é
o processo de transformação da sua linguagem científica para uma linguagem mais
simples, porém sem perder o seu significado prático ou mesmo teórico no
entendimento do aprendiz.
Esta transformação simplificadora deve adquirir as características atrativas
para cada nível de entendimento em que se encontram os grupos de aprendizes,
onde não há necessidades de conhecer as estruturas conceituais pertencentes aos
níveis mais específicos da ciência. E no caso específico do escalonamento dos
sistemas lineares, o procedimento que sustenta o escalonamento é a fatoração LU,
mas pelo fato deste assunto não influenciar diretamente na assimilação dos
procedimentos de escalonamento e aplicação e resolução de um sistema linear, o
45
filtro da transposição didática a deixa a cargo dos estudantes que venham
futuramente se interessar na investigação dos fundamentos científicos dos
tratamentos mais avançados dos sistemas e das matrizes futuramente.
Quando estudamos aritmética, aprendemos que: fatorar um número inteiro é
transformá-lo em produto de outros fatores, e é por isso que podemos reescrever o
número 6, com o produto dos seus fatores, entre eles o produto: 2x3. Agora, quando
queremos ensinar um grupo de estudantes a resolver problemas modelados por
sistemas lineares, os procedimentos numéricos envolvidos para transformar a matriz
dos coeficientes das variáveis de um sistema em produto de duas matrizes
triangulares, demanda de um volume de operações que onera o processo de
assimilação dos sistemas, tanto no tempo quanto na mobilização pré-requisitos que
os alunos ainda não os têm.
Então, o leitor que observa um sistema escalonado, e pode perceber
também que a matriz formada pelos coeficientes configura-se num matiz triangular, e
um dos fatores da matriz original. E é nesse momento, não só em matemática, mas
em outras disciplinas, que a transposição didática de Chevallard entra em cena
como um processo de filtragem do conteúdo, levando ao estudante apenas aquilo
que ele deve e pode aprender naquele momento, sem prejuízos de conceitos.
Em nosso trabalho, entendemos que a transposição didática de Chevallard
aparece de maneira mais nítida quando no desenvolvimento de nossa Sequência
Didática, reestruturamos o conteúdo de Sistemas Lineares em atividades que passo
a passo orientam os alunos nos procedimentos de reconhecimento de uma equação
equivalente, obtenção de sistemas equivalentes com a aplicação das operações
básicas, além de inserir elementos da realidade deles, como a culinária local e
objetos do seu dia a dia, no sentido de facilitar a compreensão do assunto.
2.3 – Contribuição da Engenharia Didática
Nessa parte do nosso texto dissertativo em que traçamos um viés histórico e
ao mesmo tempo orientador dos passos de nossa pesquisa, buscamos o apoio
teórico em (CARNEIRO, 2005)
A expressão: Engenharia didática de Artigue (1994, 1996) criada na área da
didática da matemática, na França, na década de 80, foi inspirada no trabalho dos
engenheiros em que no dia-a-dia do que fazem precisam sólidos conhecimentos
46
científicos básicos para enfrentar as diversidades de sua prática. A origem desta
teoria surgiu da busca em cunhar novas ideias para a educação, sem perder de vista
o saber prático do professor. Então esta teoria veio para atender: as relações entre
pesquisa e ação no sistema de ensino; e consolidar o lugar reservado para as
realizações didáticas entre pesquisa e ensino. Dessa forma, ela tem duplo papel:
Enquanto produz ferramentas para o ensino, desenvolve metodologia específica de
pesquisa a partir das experiências em sala de aula. Esta linha de pesquisa se apoia
na articulação prática do ensino e na teoria da Engenharia Didática.
A Engenharia Didática de Artigue (1994, 1996) é extensa e detalhada,
porém, para o nosso trabalho, recortamos os fragmentos compostos dos
pressupostos principais e suficientes para guiar a pesquisa que dará suporte teórico
ao nosso produto de ensino, pois:
Nessa linha prática de ensino é articulada com prática de investigação. A teoria da Engenharia Didática pode ser vista como referencial para o desenvolvimento de produtos para o ensino, gerados na junção do conhecimento prático com o conhecimento teórico (CARNEIRO, 2005, p. 85-118)
Para (ARTIGUE, 1996; apud CARNEIRO, 2005, p. 87-118), a pesquisa
guiada por uma Engenharia Didática possui quatro fases.
1ª) Análises prévias. Esta fase, entendemos como o levantamento prévio e
o nosso levantamento foi realizado por meio de um questionário, (Vide apêndice 01),
aplicados a alunos que já haviam estudado Sistemas Lineares, em que levantamos
alguns problemas de aprendizagem que se encontram descritos em detalhes na
análise a priori.
2ª) Concepção e análise a priori. Nesta fase, analisamos as respostas dos
respondentes, no levantamento prévio, à luz dos autores que estudam o assunto. E
como parte desta análise, planejamos a Sequência Didática.
3ª) Implementação da experiência. Esta fase, entendemos como a fase da
aplicação ou experimentação do produto de intervenção. O nosso produto, que ao
mesmo tempo é a nossa Sequência Didática.
4ª) Análise a posteriori e validação da experiência. Nesta quarta e última
fase, entendemos como análise dos resultados finais, confecção de mapas ou
relatórios a serem validados e apresentados como resultado da pesquisa. Neste
trabalho.
47
2.4 – Fundamentos Metodológicos da Engenharia Didática
A Engenharia Didática Surgiu no início de 1980, quando a noção da
Engenharia Didática aparece na didática da Matemática, comparando o trabalho
didático ao trabalho de um engenheiro que enfrenta os problemas com todas as
ferramentas que dispõe. (SOUZA e CORDEIRO, 2016).
As etapas da pesquisa deste trabalho estão pautadas seguindo as
fundamentações teóricas da Engenharia Didática, segundo Artigue (1988), por
perceber que esta metodologia, aqui descrita resumidamente, se enquadra nos
nossos paradigmas de pesquisa, como: a) levantar os dados, b) analisar estes
dados buscando apostes teóricos para entender os possíveis fenômenos
detectados e desenvolver o uma possível solução, c) experimentar a solução
planejada, e por último, d) avaliar a solução.
O levantamento prévio, primeira etapa da pesquisa, foi realizado por meio da
aplicação de um questionário (vide apêndice - 02) aplicado a alunos de uma escola
pública que já estudaram Sistemas Lineares, em uma escola pública do Ensino
Médio na cidade de Aurora/PA, que já haviam estudado Sistemas Lineares, para
aferir por descrição estatística in loco as dificuldades enfrentadas por estes sujeitos,
para aprender este conteúdo. A outra parte foi realizada por meio de um
questionário (vide apêndice-03) aplicado à professores de matemática do ensino
médio para aferir as dificuldades enfrentadas no dia-a-dia escolar para ensinar
Sistemas Lineares aos seus alunos, entendemos que o nosso produto para os
alunos, que é uma ferramenta para o professor, por isso julgamos necessário
verificar os dois polos do processo ensino-aprendizagem, nas figuras do professor e
do aluno.
Na segunda etapa realizamos a análise a priori, nesta fase de nossa
pesquisa foram consultados autores, como: Duval (1991), Chevallard (1993), Zabala
(1998) e Cabral (2017), que nortearam a nossa análise e a elaboração da Sequência
Didática que é o produto de ensino a ser validado.
A terceira etapa foi composta pela coleta de dados produzidos a partir da
experimentação do referido produto de ensino, de forma que primeiramente,
aplicamos um teste individual (apêndice 01), sem consulta, para formalizar e conferir
o ponto inicial em que os alunos não sabiam nada do assunto; em seguida iniciamos
a aplicação do produto de ensino, parte experimental do trabalho. Depois do teste
48
inicial, não foi possível aplicar a Sequência Didática, logo de imediato, pois antes de
aplicar as atividades da mesma, tivemos que ensiná-los as operações básicas as
equações. E também fazer intervenções intermediárias no decorrer das atividades.
A quarta e última etapa, foi realização da análise a posteriori das atividades
da Sequência Didática após a experimentação, e sua possível validação. Estas
atividades foram analisadas pelos critérios das Representações Semióticas de
Duval, em razão do considerável volume de respostas discursivas, abordando
linguagens representativas de suas respostas e as conversões de uma linguagem
para outra.
2.5 – Análise dos Registros e Representações Semióticas
De acordo com o Dicionário do Aurélio.com, é a “ciência dos modos de
produção, de funcionamento e de recepção dos diferentes sistemas de sinais de
comunicação entre indivíduos ou coletividades”. E conforme a teoria da análise e
representações semióticas de Duval (2009), aplicamos neste trabalho como
instrumento da análise a priori e a posteriori usamos a análise semiótica de Duval
(2009), para Interpretar os sinais escritos deixados pelos alunos.
Como componentes dessa teoria, Durval (2009) introduz a conversão e o
tratamento. A conversão, ele define como a mudança de um registro para outro,
como: interpretar um enunciado na linguagem materna e passar para a linguagem
algébrica. O tratamento, ele define como: os procedimentos realizados sem mudar
de registro.
No estudo da atividade cognitiva é necessário levar em consideração a importância das representações semióticas presente na matemática, pelos seguintes motivos: em relação às possibilidades de tratamento (não é qualquer tipo de registro de representação que permite um determinado tipo de tratamento); pelo fato de que os objetos matemáticos não são diretamente observáveis (visto que eles não têm existência física e sua apreensão só é possível por meio de registros de representação); e também pelo fato de que existe uma grande variedade de representações semióticas possíveis para serem utilizadas (língua natural, gráficos, linguagem algébrica, figuras geométricas, entre outras). Duval (2004, 2009, apud DIONÍZIO E BANDT, 2012, p. 3)
As atividades da primeira etapa desta sequência seu encaminhamento é
predominantemente discursivo, portanto exigiu dos sujeitos da pesquisa os registros
das linguagens utilizadas por estes sujeitos, para expressar suas respostas. Por isso
49
percebemos a necessidade do uso da análise das representações semióticas de
Duval (2012).
Optamos pela análise das representações semióticas de Duval (2012), pela
riqueza de termos que podemos utilizar nas etapas dos procedimentos discursivos,
que os alunos usam para a obtenção das respostas, a teoria de Duval traz um
detalhamento mais adequado, que compreendemos se adaptar melhor ao volume e
à diversidade de registros das nove atividades escritas, aplicadas as 13 duplas, por
ocasião da experimentação.
As representações mentais recobrem o conjunto de imagens e, mais globalmente, as conceitualizações que um indivíduo pode ter sobre um objeto, sobre uma situação e sobre o que lhe é associado. As representações semióticas são produções constituídas pelo emprego de signos pertencentes a um sistema de representações que tem inconvenientes próprios de significação e de funcionamento (DUVAL, 2012, p. 266-297)
No âmbito da interpretação dessas linguagens, que os sujeitos usaram nas
resoluções, tanto das questões Sequência Didática como nos testes de aferição de
saberes, a Análise das Representações Semióticas, conforme este autor, nos leva a
compreender que pelas linguagens expressas dos respondentes, as representações
mentais que gerara as representações expressas, que podem ser na linguagem
comum, ou em algumas das linguagens matemáticas, como: a algébrica, a
geométrica ou mesmo aritmética, pois, para Duval (2012), “uma figura geométrica,
um enunciado em língua natural, uma fórmula algébrica, um gráfico são
representações semióticas que exibem sistemas semióticos diferentes”. Na busca de
interpretar um conjunto de registros semióticos registrado por um respondente,
temos que associar as unidades elementares desses registos, para compreender o
que o referido respondente estava pensando naquele momento.
O funcionamento cognitivo do pensamento humano se revela inseparável da existência de uma diversidade de registros semióticos de representação. Se é chamada semiose a apreensão ou a produção de uma representação semiótica, e noesis a apreensão conceitual de um objeto, é preciso afirmar que a noesis é inseparável da semiose (ibid, DUVAL, 2012).
Aqui entendemos que a semiótica compõe-se de semiose e noesis, a
semiose é a representação semiótica e a noesis, o conceito associado à aquele
50
registo, mas existem as unidade menores que compõe um registro, ou seja um
registro semiótico é composto por unidades menores que são os signos.
A semiótica enquanto ciência da semiose é tão distinta da semiose como qualquer ciência o é do seu objeto. Se x funciona de tal modo que y se dá conta de z através de x, então, pode-se dizer que x é um signo, e que x designa z, etc.; mas aqui 'signo' e 'designa' são signos numa ordem superior de semiose referindo-se ao processo original e inferior de semiose (MORRIS, 1976, p. 11).
Segundo Morris (1976) entendemos que numa relação que envolve as
variáveis descritas pelo mesmo para expressar sua orientação, cada variável, cada
palavra, cada traço, as pontuações, são os signos que reunidos nas diversas ordens
expressam diversos registros semióticos que expressam as deias, e são estas ideias
que buscamos interpretá-las quando analisamos as respostas dos alunos por meio
dos registros deixados por eles.
2.6 – O s Jogos como Estratégia de Ensino
Os jogos como recurso motivador do ensino não são coisa recente, pelo
contrário, acompanham a humanidade desde tempos remotos.
Existem jogos há dezenas de séculos, sendo provavelmente responsáveis pelas primeiras atividades estritamente mentais que o homem inventou (descobriu). Alguns deles contêm noções de matemática recreativa, como os Mancala, cujos tabuleiros se assemelham a ábacos, instrumentos usados na contabilidade antiga para executar operações aritméticas (PEDRO NETO e SILVA, 2004, p. 14).
As afirmações destes autores ainda devem parecer estranhas diante de
grande parte de nós, pelo fato de até em torno de três décadas atrás, os alunos para
serem considerados capazes teriam que vencer as barreiras da exposição verbal
dos conteúdos, e assimilá-los apenas com as explicações do professor. E na busca
de melhorar a acessibilidade aos saberes, é que pesquisadores do ensino vêm
desenvolvendo estratégias que sem tirar a seriedade do ato de ensinar, vêm
recomendando o uso dos jogos no trabalho didático.
Na segunda etapa da nossa Sequência Didática, introduzimos uma atividade
lúdica, um jogo, com o objetivo de fixar o conteúdo trabalhado na primeira etapa,
pois, para Gil (2017, p.18), a utilização de um jogo como “fixação de conteúdos, é a
abordagem mais comum, avaliando a possibilidade de um reforço do conteúdo
51
estudado”. E além do jogo ser útil como atividade articulada para a fixação de
conteúdos, como diz a autora, outras características favoráveis à aprendizagem são
citadas por outros autores, como:
O jogo do ponto de vista pedagógico é desafiador, e permite a apresentação dos conteúdos de modo atrativo, favorece a criatividade na elaboração de estratégias e a persistência na busca de solução, motivada pela vontade de ganhar a partida (ITACARAMBI, 2013, p. 21)
Nessa perspectiva, em se tratando de Sistemas Lineares, conteúdos que no
geral as atividades de fixação são abordadas com extensos cálculos algébricos
feitos à mão, aqui presamos pela compreensão do procedimento para obter
sistemas equivalentes. E para não perder a dinâmica do tempo de jogo, os alunos
podem usar a calculadora para executar as operações de forma rápida.
A ideia da inserção de um jogo como recurso lúdico para elevar a motivação
na participação nas atividades, veio da possibilidade que o joga traz de promover a
alegria e a descontração aos alunos enquanto jogam.
O ato de jogar desde muito cedo acompanha a civilização. Normalmente este termo é usado para descrever duas atividades distintas: a brincadeira, desenvolvida a partir de um conjunto de ações sem regras fixas, e o jogo propriamente dito, onde as regras na sua definição (PEDRO NETO e SILVA, 2004, p. 15)
No nosso caso, o jogo tem regras, e o jogo com regras para traz a
conotação de melhor adequação pedagógica ao Ensino Médio por vi com
incumbências também de solidificar o tom de responsabilidade dentro das
convenções do jogo.
52
“Rabelais (1483 – 1553) critica o formalismo da escolástica excessivamente
livresca e sugere que a afeição e o interesse relativos ao ensino deveriam ser
estimulados por meio dos jogos, mesmo os de cartas e fichas” (ALVES, 2003, p. 17).
E todas estas recomendações culminaram potencializaram nossa decisão de incluir
um jogo nas atividades de nossa sequência para reforçar a aprendizagem do
conteúdo, objeto de nossa experimentação, pelo fato do jogo quebrar o tom formal
da natureza algébrica que os Sistemas Lineares costumam ser apresentado. E a
utilização de elementos da culinária regional tem propósito de captar a atenção e o
interesse dos alunos, por entender que o contato com o contato com elementos que
valorizam a sua cultura tem o poder de motivar a participação, como diz Gil:
Trabalhar numa perspectiva multicultural, neste caso, na elaboração e construção de jogos matemáticos regionalizados, implica no reconhecimento de inúmeros processos de matematização como forma de registro e materialização do pensamento humano, e por isso recorrente em diferentes culturas e muito presente na cultura paraense (GIL, 2014, p. 10).
E por esse contexto de cultura inserida na culinária paraense, abordado pela
autora, inserimos no nosso jogo a culinária paraense, elemento cultural reconhecido
em todo Brasil e em muitos países do mundo, e objeto de orgulho paraense e
consequentemente brasileiro, no sentido de motivar os alunos a se envolverem
nesta atividade, e ainda com potencialidade de inspirar outros professores a inserir
os elementos de interesse local como catalizador da aprendizagem de suas
disciplinas.
Para Aguilà (2014, p. 10), existem seis categorias de jogos para aguçar a
inteligência: “Jogos de cálculo matemático e inteligência numérica; Jogos de
capacidade, raciocínio lógico e agilidade mental; Jogos de estratégia e paciência;
Jogos de memória e observação; Jogos de inteligência verbal e jogos mentais e
enigmas”. Pela classificação deste autor, entendemos que o jogo que inserimos
para fixação do conteúdo a ser trabalhado nesta Sequência Didática, é da categoria:
jogos de cálculo matemático e de inteligências numérica, pois cada rodada do jogo,
os jogadores são provocados pelas questões sobre o conteúdo. São perguntas
teóricas ou resolver algum cálculo para avançar rumo à vitória no jogo. E este
entendimento torna se mais evidente quando (SOUZA, 2006, apud OLIVEIRA
JUNIOR; et al, 2013, p. 4) diz que:
53
Os jogos podem ser utilizados para introduzir, fixar ou concluir um conteúdo, ou seja, é preparar o aluno para aprofundar os itens já trabalhados. Assim, um dos motivos para a introdução de jogos nas aulas de matemática é a possibilidade de diminuir bloqueios apresentados por muitos alunos que temem a matemática e sentem-se incapacitados para aprendê-la (SOUZA, 2006, apud OLIVEIRA JUNIOR; et al, 2013, p. 4).
Dentro da perspectiva dos autores que recomendam os jogos como
estratégias de ensino, o jogo aqui proposto para fixação da aprendizagem é um jogo
de tabuleiro, chamado de Corrida Sistemática (vide apêndice 04), e com a dinâmica
recreativa que o jogo tem, os alunos descansaram um pouco para no outro dia fazer
a atividade de aprofundamento.
2.7 – Das Atividades Articuladas à Nossa Sequência Didática
As atividades humanas, historicamente se revelam como elementos
propulsores na aquisição de saberes, experiências e habilidades.
O objeto da atividade pedagógica é a transformação dos indivíduos no processo de apropriação dos conhecimentos e saberes; por meio dessa atividade – teórico e prática –, é que se materializa a necessidade humana de se apropriar dos bens culturais de constituição humana. (RIGON, ASBAHR, MORETTI, apud CARDOSO et al, 2012, p. 3)
Por estes autores, entendemos que a presença de um professor na vida de
um aprendiz se torna significativa na medida do direcionamento intencional das
atividades do que se quer ensinar. A atividade é o elemento que promove a
interação materializadora da necessidade humana. E ainda nessa linha teórica, para
Azevedo (2010, apud ALMEIDA, OLIVEIRA e FLORÊNCIA, 2014, p. 6758 - 6764),
“utilizar atividades investigativas como ponto de partida para desenvolver a
compreensão de conceitos é forma de levar o aluno a participar de seu processo de
aprendizagem e sair de uma postura passiva”. E então, por nestas orientações
entendemos o quanto devemos desenvolver atividades que movam com
entusiasmos e os nossos alunos para os saberes significativos e necessários a
promoção da para a qualidade de suas vidas, e da qualidade de vida das futuras
gerações.
54
Apesar das diferenças de natureza que separam a vida orgânica, a inteligência prática ou a inteligência reflexiva, a adaptação em todos os casos é possibilitada pela assimilação dos objetos (que também são de naturezas diferentes) pelo sujeito. E a partir daquilo que é incorporado, o sujeito se reorganiza de modo a se incorporar ao objeto (SANSHIS e MAHFOUD, 2007, p. 165-177).
À luz das orientações desses autores, entende se que as atividades que um
professor precisa desenvolver para se colocar como elemento significativo de
intermediação entre o sujeito que aprende, e o conteúdo de ensino contido no
objeto, que aqui é um conjunto de atividade organizadas para otimizar a
aprendizagem em relação tempo, estas atividades precisam conter elementos que
motive o aprendiz a se envolver com as atividades, e aqui no nosso entender,
precisa ter algo da cultura dele, para que se interesse pelos saberes ali contidos, e
então potencializar a incorporação do sujeito a esse objeto.
A sequência didática, nos moldes que estamos desenvolvendo parece ter
seu embrião surgido em 1954, quando o professor Toru Kumon (1914-1995)
começou a orientar seu filho, conforme a tradução original, quando ele diz:
Mas eu, como pessoa que se dedica tanto a ensinar os filhos de outras pessoas na escola, acabava voltando sempre tarde para casa. Nesse horário logicamente, não me era permitido ensinar meu filho. A solução foi preparar exercícios à mão, no dia anterior, para que minha esposa os entregasse a Takeshi depois. Como não poderia ficar ao seu lado, ensinando o, tive que montar os exercícios de modo que ele pudesse resolvê-los sozinho (KUMON, 2001, p.14).
De acordo com os exercícios, não se percebe as orientações intermediárias,
típicas de uma sequência didática a qual tratamos aqui, mas a semelhança possível
de ser percebida entre as atividades de Kumon e as atividades da Sequência
Didática em estudo é o fato da resolução do item anterior ter também o objetivo de
facilitar a percepção do aluno a resolver do próximo item, e assim traçando o
percurso da aprendizagem previsto pelo professor. Então, ressaltamos que a partir
da atitude do Professor Kumon, em desenvolver atividades articuladas de forma a
harmonizar os níveis de dificuldades dos exercícios para que seu filho pudesse
resolver o exercício seguinte. E é neste ponto que as atividades do Sistema Kumon
de Ensino (Anexo-01) permitem que se perceba semelhança sutil nas duas ideias.
A outra semelhança percebida, foi entre o método de Kumon e o método do
Ensino por Atividade, quando Sá (2009, p. 14) diz que “a prática metodológica do
Ensino por Atividade dá oportunidade ao aluno de construir sua aprendizagem por
55
meio da aquisição de conhecimentos e descoberta de princípio”. Aqui vemos que o
método de kumon procura fazer com que o aluno por meio da experiência adquirida
com a resolução do exercício anterior, vai visualizando descobrindo as formas de
resolver o exercício seguinte.
Aqui se observa grande semelhança didática entre essas três ferramentas
de ensino, que parece ter inspirado o desenvolvimento do ensino por meio de uma
sequência didática que conhecemos hoje, a qual de acordo com Zabala (1998, apud
MANTOVANI, 2015, p.17), é “um conjunto de atividades ordenadas, estruturadas e
articuladas para a realização de certos objetivos educacionais, que têm um princípio
e um fim conhecidos, tanto pelos professores como pelos alunos”, nos leva a crer na
Sequência Didática como caminho viável para ensinar Sistemas Lineares.
Estas orientações nos levaram a entender que, quando se junta às
orientações de Sá (2009, p. 14), a ideia de Kumon, quando diz que teve que “montar
os exercícios de modo que seu filho pudesse resolvê-los sozinho”, Tem grande
semelhança com o modelo do Ensino à Distância e a Sequência Didática de Zabala
(1998, apud Mantovani, 2015), e assim estes apostes teórico-práticos nos lavam a
crer que deles surgiram partes significativas das ideias da Sequência Didática nos
moldes que por este trabalho desenvolvemos para a experimentação com a
pretensão de um possível de ser validada como produto de ensino.
Nesta linha de entendimento, a nossa Sequência Didática trás um pouco das
características das atividades de Kumon (2001), um pouco das atividades
investigativas de Sá (2009), recebeu as influências das definições de Zabala (1998),
e finaliza com as definições de Cabral (2017), nos dois parágrafos seguintes quando
trata dos tipos de intervenções no decorrer da operacionalização em sala de aula;
com isso este instrumento de ensino pode tornar se significante para o trabalho do
professor em sala de aula, quando, por meio de sua Sequência Didática viabiliza o
caminho para os alunos chegarem a um conceito, percorrendo caminhos orientados
na disposição adequada para a casse.
O jogo que inserimos neste produto, destina se a fechar atividades da
Sequência como parte final da fixação dos conteúdos da forma descontraída que o
jogo pode promover. E pelo respaldo da literatura consultada este produto pode
tornar-se um instrumento bastante significante para o trabalho do professor em sala
de aula, quando, por meio de sua Sequência Didática viabiliza o caminho para os
56
alunos chegarem a um conceito, percorrendo caminhos orientados numa disposição
lógica.
Ao entregar uma sequência didática para um aluno, mesmo planejada e
articulada com clareza que pensamos oferecer ao aluno o entendimento que precisa
para caminhar na progressão do entendimento rumo ao objetivo esperado, que é o
conceito generalizado, Depois, as intervenções intermediárias, que professor não se
pode deixar de fazer estrategicamente como guia direcional nos momentos
oportunos, e esse guia direcional, Cabral (2017, p. 47) as chama de Intervenção Oral
de Manutenção Objetiva.
Estas orientações servem para que o aluno não se desvie do objetivo
planejado, que são as unidades que estruturam os saberes que se quer ensinar. E
para que esta manutenção tenha o rendimento esperado, as intervenções orais
podem se chocar com as dúvidas ou convicções preestabelecidas do aluno em
relação ao conceito a ser construído gerando pontos de discursões mais amplas,
onde entendemos que Cabral (2017, p. 47) as chama de Zona de tensão discursiva.
Estas Zonas de Tensão Discursiva, segundo nosso entendimento, vão ocorrer nos
momentos em que o estudante se desvia do caminho conceitual planejado pelo
professor.
Uma mesma Sequência Didática – SD pode ser assessorada por Intervenções Orais de Manutenção Objetivas diferentes. Para que isso ocorra basta que a mesma SD seja aplicada em classes diferentes. Alunos diferentes reagem diferentes às provocações dirigidas pelas SD, e o professor ao exercer o monitoramento do envolvimento e desempenho dos seus aprendizes vai fazer Intervenções Orais que podem ou não se repetir diante das demandas específicas de outras classes (CABRAL, 2017, p. 49).
Esses desvios, entendemos ser naturais que ocorram entre um produto de
ensino e os indivíduos aprendizes, pois estes trazem para a sala de aula suas
linguagens construídas por suas experiências diversas em suas vidas. E ainda
nessa perspectiva, voltamos ao autor espanhol (Zabala, 1998; apud PERETTI e
COSTA, 2014), quando diz que “ao pensar na configuração das sequências
didáticas, este é um dos caminhos mais acertados para melhorar a prática
educativa”, e isto reforça a confiança nesse trabalho junto ao professor no seu fazer
didático.
Nesse sentido, nossa Sequência Didática traz de Zabala (1998), a
articulação das atividades direcionada a um objetivo conhecido pelo professor e
57
pelos alunos, no momento em que os alunos devem ser informados do que irão
aprender no final das atividades. De Kumon (2001), traz as aproximações mínimas
possíveis entre os itens de um exercício, de modo que o aluno consiga por si só
realizar os saltos de aprendizagens previstos, (anexos: 01 e 02). De Sá (2009), traz
as aproximações mínimas possíveis para que o aluno, por si só ou com a orientação
do professor, consiga fazer uma sequência de operações e observar a regularidade
ocorrida, e daí tirar conclusões para construção de conceitos, (anexo 03). De Cabral
(2017), a Sequência Didática traz as orientações para as intervenções orais, quando
se perceber tendências de desvio do objetivo traçado pela Sequência Didática.
Para desenvolver nossa essa sequência, tivemos três ingredientes
principais: a necessidade, a curiosidade e o apoio literário. A necessidade surgiu
quando nos deparamos com as dificuldades de ensinar Sistemas Lineares, pois
além das dificuldades que enfrentamos para promover a compreensão do estudante
naquele momento, mesmo os que pensávamos ter compreendido o assunto, dias
depois os alunos não lembravam mais do que haviam estudado. A curiosidade foi
desperta quando começamos a pensar: deve haver outro jeito de ensinar este
assunto de forma que os estudantes consigam assimilar de forma mais duradoura e
produtiva.
O último ingrediente foi o apoio literário, onde temos como guias principais:
Kumon (1914-1995), Sá (2009 e 2014) e Cabral (2017).
O professor Kumon (1914-1995), apesar de não dá um nome específico para
a estratégia que usou para promover o aprendizado do seu filho, e hoje sua
estratégia se baseia na ideia de que numa atividade, os itens tenham o menor grau
de dificuldade possível de um para o outro, para servir também aos alunos com
dificuldades de aprendizagem.
Para nós, a contribuição teórica de Sá (2009) se inicia com a nomenclatura
de Ensino por atividade, mas parece se consolidar com Sá (2014), quando nomeia
essa forma de ensinar com o nome de Ensino de matemática por Atividade, por
conta de uma experiência realizada com regra de três.
Completamos o nosso tripé básico de apoio literário com Cabral (2017),
quando ele confirma a presença do professor na sala de aula, pela necessidade das
Intervenções Orais no decorrer das atividades, para que o aluno não fuja dos
objetivos planejados. E em nossa Sequência Didática, fizemos exatamente isto:
desenvolvemos as atividades para ser o foco principal do aluno, procuramos reduzir
58
ao máximo o grau de dificuldade de um item para o outro, e em caso de algum
desvio de interpretação por parte do aluno, o professor está presente para fazer as
intervenções necessárias para que o aluno não se desvie do objetivo planejado.
59
3 – FUNDAMENTAÇÃO MATEMÁTICA SOBRE SISTEMAS LINEARES
Falar de algum assunto matemático, entendemos aqui que é imprescindível
a inserção de sua história, para entendermos as necessidades ou as curiosidades
da época que levaram os matemáticos ou simpatizantes da matemática a
desenvolver estudos que viabilizassem a descoberta do assunto. Neste capítulo
trataremos um pouco da história dos sistemas lineares, para depois adentrarmos em
suas definições, representações e alguns exemplos.
3.1 – Uma Breve História dos Sistemas Lineares
A dimensão história de um conteúdo vem tomando espaço na forma de
melhor conhecer um assunto, então neste tópico procuramos introduzir esta
dimensão com o proposito de situar o leitor no tempo e no espaço em que os
sistemas lineares surgiram na vida humana, o contexto social e o contexto científico
que motivou os matemáticos da época a ampliar suas aplicações.
No início o homem não imaginava que um procedimento tão simples para
resolver problemas em que a resposta era composta de dois valores, iria se
desencadear num assunto que hoje por meio da programação linear, ajuda o
homem a resolver problemas com grande quantidade de variáveis.
Segundo Eves (2004, p. 444), atribui-se a Leibniz, em 1693 a criação da
Teoria dos Determinantes, visando o estudo dos sistemas de equações lineares,
mesmo que 10 anos antes já houvesse algumas considerações sobre o assunto. No
Japão, Seki Kowa (apud EVES, op. cit.) relata que numa antiga obra intitulada de
K’ui-ch’ang Suan-shu (Nove Capítulos Sobre a Arte Matemática), publicado na China
no período de Hans (206 a. C – 220 d. C), já trazia no oitavo capítulo estudos sobre
sistemas de equações lineares e procedimentos matriciais. E ainda segundo Katz
(1995, apud NEMAN, 2013) existem evidências de que os chineses já usavam um
procedimento análogo para resolver sistemas lineares por volta de 200 a.C.
Segundo Tavares e Pereira (2013, p. 552), os chineses resolviam sistemas
lineares com coeficientes positivos, manipulando gravetos, método semelhante ao
da eliminação de Gauss, apresentado no séc. XIX e por Cayley (1821-1895), em
1857, quando descobria a álgebra não comutativa das matrizes.
60
Segundo Boyer (2003), num escrito para a academia de Paris em 1764, e
um pouco mais tarde num tratado de 1779 intitulado de Théorie générale équations
algébriques, Bézout deu regras artificiais semelhantes às de Cramer para resolver n
equações lineares simultâneas. E ainda, conforme o mesmo autor,
Lagrange (1736 -1813) afirma que a área do triângulo é o determinante da matriz quadrada formada pelos seus vértices, dividido pelo fatorial de 2. O volume de qualquer pirâmide triangular é o determinante de uma matriz quadrada formada pelos seus vértices, dividido pelo fatorial de 3 (LAGRANGE, 1736 – 1813).
Em 1843, Cayley iniciava a geometria analítica ordinária do espaço n-
dimensional, usando os determinantes como instrumento essencial para suas
anotações homogêneas da reta e do plano.
Para Valiente (2015), em 1841 já era possível identificar que as tabelas, até
então trabalhadas como caixas de armazenar coeficientes de equações de um
sistema linear, não eram estáticas e sim dinâmicas, podendo assim ser estudadas
de forma sistematizada. Então Ferdinand Gotthold Max Eisentein (1823-1852), em
1844, estudou essas tabelas e os chamou de matrizes.
O método de eliminação de Gauss-Jordan, para Sistemas Lineares surgiu da
seguinte forma:
Em 1º de janeiro de 1801, o astrônomo siciliano Gilseppe Piazzi (1746-1826) observou um pequeno objeto celeste que ele acreditou que pudesse ser um “planeta que faltava”. Ele considerou o objeto por Ceres e fez um número de medições sobre sua posição antes de perdê-lo de vista nas proximidades do sol. Gauss tomou para si a tarefa de calcular a órbita a partir de dados muito limitado com o procedimento que agora denominamos eliminação gaussiana. O trabalho de Gauss causou sensação quando o planeta reapareceu um ano depois na constelação de Virgem. Praticamente na posição exata predita por Gauss. O método foi popularizado pelo engenheiro Wilhelm Jordan em seu livro de geodesia (a ciência de medir as formas terrestres) em 1888 (ANTON; RORRES, 2012, p 15).
Este método hoje é conhecido como método do escalonamento, e com o
passar dos tempos a aplicação das tecnologias computacionais foi tornando se
possível resolver com maior rapidez os sistemas com maior número de variáveis.
Segundo Melo (2012), em 1947 o método simplex, descoberto por George
Dantzig, é capaz de resolver qualquer problema de programação linear, quando
trabalhava na Rand Corporation no projeto SCOOP, pois o Algoritmo Simplex
permite o uso de um número muito grande de cálculos.
61
Em 1951, os trabalhos com a programação linear, a resolução de Sistemas
Lineares ficaram bem mais simples, permitindo ainda um alto grau de expansão,
mas as raízes da programação linear vêm da antiguidade, no sec. III a. C. conforme
o livro II de Euclides (300 a. C.) ele já procurava encontrar a distância de um ponto a
uma circunferência, e no livro IV ele descreve uma forma de encontrar um
paralelogramo de área máxima de perímetro conhecido,
Agora, observando a disposição pedagógica conteúdos trabalhados em
nossos livros didáticos, temos a seguinte ordem: Matrizes Determinantes e Sistemas
Lineares apresentados nesta ordem. Neste momento, tem se a impressão de que
estes surgiram também nesta ordem, mas a ideia de resolver problemas envolvendo
variáveis simultâneas vem desde o sec. III a. C, com os chineses tentando resolver
problemas simples ligados aos trabalhos do campo.
De acordo com a literatura consultada, Vandermonde ainda não usava o
termo matriz para um grupo de dados organizados em linhas e colunas, apenas
entre 1770 e 1773 trabalhou sobre eles escrevendo três artigos, entre eles o estudo
dos determinantes, como afirma Anton e Busby (2007, p. 212), “Vandermonde se
tornou a primeira pessoa a estudar determinantes sem levar em conta sua relação
com as equações lineares e, nesse sentido, é o fundador da teoria dos
determinantes”.
Sobre as matrizes, ou seja, um agrupamento de dados em tabelas,
dispostos em linhas e colunas, agora visto como objeto matemático, segundo
Valiente (2015), Ferdinand Gotthold Max Eisentein (1823-1852), em 1844, estudou
essas tabelas e os chamou de matrizes.
A inclusão deste tópico se fez pela necessidade de situar o leitor no tempo e
acompanhar por meio de citações estratégicas que marcaram a evolução deste
conteúdo, frente às exigência da vida humana. E no decorrer deste estado de arte
observará também suas aplicações na medida em que sua utilidade foi se
intensificando em outras modalidades de saberes que se verifica desde as
aplicações em estruturas complexas da programação linear às atividades simples
como planejar um balanceamento alimentar envolvendo dois ou três nutrientes, ou
aplicações em jogos para descontrair alunos como a caça ao tesouro.
62
3.2 – Representação Algébrica
Neste tópico abordamos especificamente os sistemas lineares sobre o
conjunto dos Reais, suas definições e os modos práticos para adquirir suas soluções
ou concluir que elas não existem.
Um sistema de equações lineares é um conjunto finito de equações lineares, cada uma com as mesmas variáveis. Uma solução de um sistema de equações lineares é um vetor que é simultaneamente solução de cada uma das equações do sistema (POOLE, 2004, p. 57).
Nessa perspectiva Caliolli, Domingues e Costa (1990) expõem a
fundamentação teórica da existência dos sistemas lineares sob as definições a
seguir:
Definição I- Dados os números reais ,...... , (n ≥ 1), à equação
+.......+ = onde os são variáveis em IR, chamamos de equação linear
sobre IR nas variáveis ,....., .
Uma solução desta equação é uma n-upla de números reais não
necessariamente distintos entre si o qual podemos indicar por ( ....., ), tal que a
afirmação +.....+ = é verdadeira. Por exemplo – Dada a equação: +
- = 3, a terna ordenada (2, 1, 4) é solução da equação, pois, 3⋅2 +1 – 4 = 3 é
verdadeira.
Isso nos leva a entender que uma equação é denominada linear quando for
de primeiro grau em relação ás variáveis que ela contem, podendo assim ser
representada das formas: ax = b, se a equação tiver uma variável; ax + by = c, se a
equação tiver três variáveis; sendo a, b, c pertencente aos Reais. E finalmente da
forma: a1x1 + a2x2 + ...+ anxn = k para n variáveis.
Definição II – Um sistema de m equações lineares com n variáveis, com (m, n ≥ 1)
tal que para m = n, o sistema tem ordem n, é um conjunto de m equações lineares
tendo cada uma delas n variáveis, consideradas simultâneas. Um sistema linear se
apresenta da forma:
S:
E uma solução do sistema acima é uma n-upla ( ....., ), de números reais,
que é a solução de cada uma das equações do sistema.
63
Se no sistema S, tivermos = = ... = = 0, o sistema S será
homogêneo e a n-upla (0, 0, ....,0) é solução do sistema S, por isso é denominado
de sistema homogêneo. Por isso todo sistema homogêneo é compatível, e (0, 0, ...,
0) é solução trivial.
Exemplo:
S =
Com a diversidade de aplicação dos sistemas lineares na atualidade, fica
difícil tratar de sistemas lineares sem mencionar os determinantes, um ente
matemático tratado por Vandermonde (1735-1789), entre 1770 e 1775, que nos
permite saber se um sistema homogêneo tem solução diferente da solução nula, e
para que a solução de um sistema homogêneo tenha solução não nula, o
determinante da matriz dos coeficientes de suas variáveis deve ser diferente de
zero.
Definição III – Dizemos que um sistema S é incompatível se S não admite nenhuma
solução. Um sistema S admite uma única solução, é denominado de sistema
compatível e determinado, se um sistema S admitir mais de uma solução é chama
do de sistema compatível e indeterminado.
Um sistema do tipo:
Com ( ≠ 0) é necessariamente incompatível, pois não admite nenhuma solução.
Um sistema do tipo:
É compatível e determinado, pois ( ....., ) é sua única solução.
64
3.3 – Sistemas Equivalentes
Para Poole (2004), Dois sistemas lineares são equivalentes quando têm o
mesmo conjunto solução. Ainda conforme Caliolli, Domingues e Costa (1990), dado
um sistema S, para adquirir sistemas S1 equivalentes a S, aplica se as operações
básicas sobre S em três situações a considerar: permutar duas equações de S para
obter S1, toda solução de S1 é também solução de S.
Multiplicando uma das equações do sistema S por um número real K ≠ 0,
obtendo o sistema S1, toda solução de S1 é também solução de S. Somar uma das
equações de S a outra equação de S multiplicada por um número real K, adquirindo
assim um sistema S1, o conjunto solução de S1 é o mesmo conjunto solução de S.
De acordo com a), observa-se que se multiplicarmos a primeira equação por
um número real, ou as demais de S e S1 suas soluções coincidem, basta verificar se
( ....., ) é solução de S conforme a definição 2, Logo se
(1)
Multiplicando a por k esta igualdade, temos:
(2)
O que mostra que ( ....., ) também é solução de S1.
3.4 – Sistemas Escalonados
Segundo Caliolli, Domingue e Costa (2007), um sistema escalonado se
apresenta na forma:
S:
Onde ........, ≠ 0 e ri ≥ 1. Tendo se 1≤ r1 < r2 ........< rk ≤ n, e = 0,
diz se que S é um sistema escalonado.
A importância dos sistemas escalonados reside em que: sendo todo sistema
S equivalente a um sistema escalonado S1, basta que se saiba deduzir um sistema
qualquer S a um sistema escalonado S1 e depois saber lidar com os S1. Logo num
sistema escalonado, o número de coeficientes nulos de cada equação a partir da
segunda é sempre maior do que o da precedente.
65
Exemplo de sistema escalonado:
Demonstração:
Dado o sistema S:
Para cada (i=1, 2, ......., m) multiplica-se por (- ) a primeira equação
e soma se o resultado à i-ésima equação. Fazendo algumas permutações
convenientes, se for o caso, obtém-se o sistema S1 do tipo:
S:
Onde, ≠ 0 e ≥ 2 que é equivalente a S. E ao dividir a segunda equação de S1
por obtém se um sistema S2, ainda equivalente a S1, ao repetir o raciocínio feito
até aqui a partir da segundo equação, é fácil vê que se aplicar um número finito de
vezes, chega se a um sistema escalonado S.
Ainda para Caliolli, Domingues e Costa (1990), discutir um sistema linear S,
significa efetuar um estudo segundo seu grau de compatibilidade.
Um sistema S também pode ser escrito na forma matricial, pois segundo
Lawson (1997), “daremos a formulação inteiramente em termos das matrizes”.
3.5 – Representação Matricial
Considere o sistema S=
, podemos representar S na forma
matricial AB = C, em que A é a matriz dos coeficientes, B, a matriz das variáveis e C
a matriz dos coeficientes independentes.
Assim temos S:
A sequência didática, objeto deste trabalho não aborda a discussão de
sistemas via parâmetros, e sim, sua resolução por escalonamento, e sua
66
classificação quanto às soluções conforme as condições seguintes: a) se um depois
de escalonado, ficar com o número de variável maior que o número de equações, o
sistema é necessariamente compatível e indeterminado; b) se ficar com o número
de variável igual ao números de equações, o sistema é compatível e determinado; c)
e finalmente, se sistema depois de escalonado ficar com o número de variável
menor que o número de equações, o sistema é incompatível.
A definição de Sistemas Lineares na linguagem algébrica foi usada
predominantemente nos livros textos por muito tempo, e ainda é a mais usada, pois
representa a maioria dos fenômenos modelados por duas ou mais equações
lineares, mas com o aparecimento da teoria das representações semióticas de Duval
(2000), fundamentando nova forma de representar os fenômenos, validando a forma
gráfica, assim podemos representar um sistema linear por meio de duas ou mais
retas no plano cartesiano, onde, se existir um ponto de intersecção destas retas, as
coordenadas deste ponto são a solução do sistema A, representado prelas retas da
Figura 1. Então, quando isso acontece, o sistema é denominado de sistema possível
e determinado ou sistema compatível.
3.6 – Representação Gráfica
Um sistema S pode também ser representado na forma gráfica, vide figuras: de 1 a
3.
Figura 1- Sistema possível e determinado
Fonte: Autoria própria (2018)
67
Se as retas forem coincidentes, Figura 2, consequentemente terão seus
infinitos pontos comuns. Neste caso, o sistema é denominado possível e
indeterminado, Ou seja, compatível, porém indeterminado.
Figura 2 – Sistema possível e indeterminado
Fonte: Autoria própria (2018)
Quando duas retas não possuem pontos comuns entre elas, Figura 3, suas
posições relativas podem ser representadas por um sistema B que não possui
solução, por isso é denominado sistema incompatível ou impossível.
Figura 3 – Sistema impossível
Fonte: Autoria própria (2018)
No decorrer desse capítulo, conforme a literatura consultada, a aplicação
dos sistemas lineares tem origem entre os chineses, com manipulação de gravetos,
passa por Gauss, quando calculou a órbita de um planeta que ele mesmo o chamou
de Ceres. A partir destes marcos, sua aplicação se tornou abrangente na resolução
de problemas complexos que vão da programação linear a um balanceamento
alimentar simples envolvendo dois ou três tipos de alimentos.
68
A aplicação das operações básicas, passo a passo, o qual Duval (2009)
chama de tratamento, usado na ocasião da experimentação, se encontra no
Apêndice – 01, especificamente na atividade 7 e atividade 8.
E assim os sistemas lineares se tornam importantes para o rol de saberes
dos nossos alunos, tanto para ajudar a resolver problemas simples do seu dia a dia
como construir bases para compreender futuramente métodos de cálculos mais
avançados.
69
4 – ANÁLISE A PRIORI
Aqui, discorremos por um texto analítico do levantamento prévio do ensino
de Sistemas Lineares. Segundo Ausubel (1980, 2000, apud MOREIRA, 2011, p.103)
“o fator isolado mais importante que influencia a aprendizagem é aquilo que o
aprendiz já sabe”. Por isso realizamos o levantamento prévio para detectar os
conhecimentos prévios dos alunos. A primeira ideia foi de realizar numa escola
estadual do município de Itupiranga/PA, escola onde trabalho, de 2008 até 2014,
mas ao chegar à escola no dia 11 de abril, para realizar a pesquisa, soubemos que a
equipe pedagógica da escola, em reunião com os professores mudaram a ordem
dos conteúdos do 2º ano do Ensino médio, no início do ano de 2016, deixando o
ensino de Sistemas lineares para o último bimestre do terceiro ano, inviabilizando a
realização da pesquisa em 2016, e adiando para 2017. Então um colega de turma
me informou que, a escola em que ele trabalha poderia fornecer as condições
necessárias à pesquisa.
Com esta informação, a coleta de dados foi realizada em uma Escola
Estadual de Ensino Médio e fundamental da cidade de Aurora/PA, por meio de um
questionário fechado, com 12 questões fechadas, duas questões objetivas e quatro
questões subjetivas, aplicado a 100 alunos da terceira série do Ensino, visando
levantar os possíveis percentuais de alunos que vêm encontrando dificuldades para
aprender este conteúdo em sala de aula.
As questões de 1 a 12 buscam a adquirir dados sobre o ponto de vista dos
alunos em relação às aulas de Sistemas Lineares, os tipos de encaminhamento
didático e as foras de avaliação praticada pelos professores. Então, depois de
conhecer estes dados, reunimos as condições para propor o encaminhamento
didático por meio da Sequência Didática. As questões de 13 a 18 buscam levantar
dados sobre o conhecimento específico do conteúdo, assim como também possíveis
lacunas de sua falta. Então, conhecendo os pontos de assimilação e também os
pontos de rupturas, mostrados por estes dados, seria possível reorganizar o
conteúdo em um conjunto de atividades articuladas em torno de unidades
conceituais mais próximas procurando reduzir a extensão das tais rupturas.
No dia 2 de maio de 2017 foram aplicados 50, e no dia seguinte, foram
aplicados os demais questionários, suficientes para possíveis descartes. No
recolhimento dos questionários, indagamos sobre o porquê das questões
70
específicas sobre o assunto, estavam a deixar quase todas em branco. Como
resposta, os alunos alegaram que não sabiam, ou não lembravam mais dos
procedimentos que deveriam ser usados para resolvê-las.
Com as 18 questões do questionário, abordando a qualidade e a quantidade
dos dados coletados Vêm nos fortalecendo a crença no desenvolvimento de uma
ferramenta de ensino (produto) desse assunto (Sistemas Lineares) que proporcione
sua aprendizagem de forma significativa.
4.1 – Análise das Questões do Levantamento Prévio
Nesta etapa da pesquisa, introduzimos o código AAPRI nas figuras ou
gráficos, para informar que se referem á análise a priori.
Gráfico 1/AAPRI - Você está ou já esteve em dependência em matemática?
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
A pergunta do gráfico 1 nos leva a afirmar que esta escola possui índice de
reprovação em matemática relativamente baixo, atualmente em torno de 4% para o
Ensino Médio.
Gráfico 2/AAPRI - Você conseguiu compreender as explicações sobre Sistemas Lineares?
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
71
Quando analisamos o Gráfico 2, percebemos um fato curioso para o ensino
de Sistemas lineares, pois os mais de 50% dos alunos que compreendem poucas
vezes ou nunca, nos levam a crer que o assunto está sendo considerado de pouca
importância. E os 48% dos alunos que declararam sempre e quase sempre
compreendem as aulas de Sistemas Lineares não corresponderam de forma
satisfatória diante das questões específicas que veremos mais adiante.
Os livros didáticos, pelo fato de apresentar as Matrizes e os Determinantes
primeiro que os Sistemas Lineares, nos passam a ideia que devem obedecer esta
ordem, mas a história sugere que esta ordem pode ser alterada, pois segundo Katz
(1995, apud NEMAN, 2013), existem evidências de que os chineses já usavam um
procedimento análogo para resolver Sistemas Lineares por volta de 200 a.C.
Em relação a grupos de dados dispostos em linhas e colunas, para Valiente
(2015), Ferdinand Gotthold Max Eisentein (1823-1852), em 1844, estudou essas
tabelas e os chamou de matrizes. Então, esse caminho evolutivo do conhecimento
humano nos leva a crer que desses três conteúdos, os Sistemas Lineares podem ser
ministrados antes dos outros dois, sem prejuízo de compreensão para alunos do
Ensino Básico.
Voltando às alegações dos alunos de deixarem quase todas as questões
específicas, em branco porque são sabiam ou não se lembravam, é compreensível
que:
Alguns alunos com dificuldades mais sérias de aprendizagem têm problemas para chegar ao pensamento abstrato; é necessário que lhes sejam oferecidos apoio concreto e trabalho e trabalho sobre conteúdos mais diretamente relacionados com sua experiência diária. Por isso convém enfatizar a necessária funcionalidade das aprendizagens na área da matemática (HUETE e BRAVO, 2009, p. 21).
Como estamos investigando as formas de melhorar ensinar Sistemas
Lineares, recorremos à sugestão de uma sequência didática que insira os problemas
da realidade dos alunos nos conteúdos da matemática escolar acompanhada das
simulações prática possíveis.
72
Gráfico 3/AAPRI - Com que frequência você costuma estudar matemática?
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
O gráfico 3 mostra um percentual de 61% de alunos que só estudam o
conteúdo ensinado no período das avaliações, e isso segundo A Curva do
esquecimento e retenção de Ebbinghaus(1850-1909), Figura 4, favorece o
esquecimento dos conteúdos, nos levando a concluir que pode ser a causa do
percdentual elevado das respostas erradas ou não respondidas.
Os estudos de Ebbinghaus apontam para uma revisão de conteúdos no
máximo em 24 horas, sob pena de se esquecer tremendamente o que foi ensinado,
a ponto de ter a impressão de nunca ter os visto.
Figura 4 - Curva do esquecimento e retenção de Ebbinghaus
Fonte: Horácio (2014), Disponível em: <https://jorgeaudy.com/2014/09/12/agile-e-a-curva-do-
esquecimento-de-ebbinghaus/> Acessado em: 01/092017.
O trabalho pedagógico depende da estrutura e dos profissionais do ensino,
cujo desafio é planejar as aulas de forma que os alunos sintam a utilidade do
conteúdo para eles, e com isso sintam o desejo de revisá-lo. Nessa perspectiva, um
dos resultados de Rufato (2013), foi que: a aplicação dos sistemas lineares nas
73
situações da realidade dos alunos, fez com que eles enxergassem a importância da
matemática no seu dia-a-dia.
Gráfico 4/AAPRI - Você gostou de estudar Sistemas Lineares?
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
No demonstrativo do Gráfico 4, Vejamos que ao confrontar os 62% de
alunos que só estudam no período das provas, com os 61% que gostaram um pouco
de estudar Sistemas Lineares, suspeitamos da existência de uma margem de falso
positivo (sujeitos que declararam gostar pouco, mas que na verdade não gostaram),
incluso nos 61% que gostaram pouco. No entanto, o desafio é planejar as aulas, não
só de Sistemas Lineares, mas em geral da matemática, de forma a atrair os setenta
e um por cento que não gostaram ou gostaram pouco do assunto parece de
rasuável entendimento depois da descoberta da inteligência Lógico-matemática,
componente das inteligências múltiplas de Gardner (1980), quando diz:
Esta inteligência também é apoiada por nossos critérios empíricos. Certas áreas do cérebro são mais importantes do que outras no cáculo matemático, mesmo sendo tragicamente deficiente na maioria das outras áreas. As crianças-prodígio, na matemática, existem em grande número (GARDNER, 1995, p.25).
Nesse processo, despertar o interesse do aluno, passa a ser a habilidade
número um dentres as várias pertinentes à area de conhecimento específico de um
professor, e cada estudante, não importa a idade e a ou a sua cultura, o seu
interesse passa a ser o catalizador que comanda o rítmo do seu aprender.
A ideia de um ensino despertado pelo interesse do aluno acabou transformando o sentido do que se entende por material pedagógico e cada estudante, independente de sua idade, pazssou a ser um desafio à competência do professor. Seu interesse passou a ser a força que comanda o processo de aprendizagem, [...] (ANTUNES, 2016, p36).
74
Por isso o trabalho de planejamento se torna importante para um professor
no seu fazer pedagógico, pois terá que inserir em sua aula algo que disperte o
interesse do aluno pelo seu conteúdo de ensino.
Gráfico 5/AAPRI - Quais as principais formas de avaliação usadas em sala de aula? (Marque uma ou mais opções)
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
O Gráfico 5, demonstra a predominância do modelo de avaliação escrita,
aqui entendemos que de acordo com as experiências de Gardner (1980), que
culminou na descoberta das inteligências múltiplas, o memo modelo de avaliação
para todos os alunos, é aceitável que alguns deles não se adaptem e venham a se
prejudicar. Por isso a avaliação deve ter uma diversidade maior, para poder
contemplar as múltiplas formas de agir e frente ao mesmo problema.
Alguns autores defendem o jogo como um elemento importante, se usado de
forma adequada pedagogicamente, pelas seguintes razões: ele é desafiante pela
pela sua própia natureza e pode ser inserido em forma de brincadeira. E brincando,
a criança ou o jovem
Não é atraído por algum jogo por forças externas inerentes ao jogo, e sim por uma força interna, pela chama acesa de sua evolução. É por essa chama que busca no meio exterior os jogos que lhe permitem satisfazer a necessidade imperiosa imposta por seu crecimento (ANTUNES, 2014, p. 37).
Isso nos leva a crer que de acordo com a realidade da escola pode se incluir
jogos na Sequência Didática para atender os canais de aprendizagem que venham
demandar sua inclusão. Para isso, alerta Antunes (2014, p.41), que o jogo não pode
ser inserido como trabalho ou alguma forma de sansão, ele entra no contexto do
ensino e aprendizagem como descontração, com regras fáceis para ser assimiladas
o mais rápido possível, pois as regras não podem roubar o clima de desafio, típico
de um bom jogo.
75
Gráfico 6/AAPRI - Como você se sentiu quando diante da avaliação de Sistemas Lineares?
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
O Gráfico 6 vem confirmar o quanto massacramos nossos alunos,
submetendo todos eles predominantemente ao mesmo modelo de avaliação.
Vejamos que esse percentual de mais de 65% de preocupados, com medo, com
raiva ou que sentem calafrios no momento da avaliação precisa ser reduzido. Isto só
vem aumentar a nossa responsabilidade e o compromisso em reverter esses
números a favor do entusiasmo dos alunos frente à avaliação.
Nossa experiência mostra que muitos professores transformam as provas em “hora do acerto de contas com seus alunos, reagindo desta forma ao desinteresse pelas aulas, à indisciplina, à falta de estudos e à alienação escolar. [...] O caminho é outro. O primeiro passo para a transformação é dá ao processo de avaliação um novo sentido, isto é, transformá-lo em oportunidade para o aluno ler, refletir, relacionar, operar mentalmente e demonstrar que tem recursos para abordar situações complexas (MORETTO, 2005, p. 10).
As orientações de Moretto (2005) sugerem colocar os professores na
vanguarda do processe avaliativo tornando a avaliação parte do ensino, de forma a
culminar com um bom ensino, portanto, parte do ato de aprender. Nesse contexto,
Tanto o “sucesso/insucesso” como o “acerto/erro” podem ser utilizados como fonte de virtude em geral e como fonte de virtude na aprendizagem escolar. No caso da solução bem ou malsucedida de uma busca, seja ela de investigação científica ou de solução prática, é em primeiro lugar um indicador de que ainda não chegamos à solução necessária (LUCKESI, 2003, p. 56).
O pensamento de Luckesi nos leva à reflexão de que os insucessos dos
alunos na avaliação devem ser tomados como razão para outro caminho para
ensiná-los.
76
Gráfico 7/AAPRI - Quando você estudou Sistemas Lineares, como foram a maioria das aulas?
Fonte: pesquisa de campo do autor (2018)
Aqui no Gráfico 7, a exemplo das avaliações, algo semelhante, se
submetermos os nossos alunos ao mesmo modelo de aula, correremos grande risco
de deixar grande parte deles fora do acesso de aprendizagem. Durante o estudo de
Sistemas Lineares, além do conceito central, ou seja, o que é um sistema linear, o
alunado precisa conhecer outros conceitos internos que integram e dão sustentação
à coerência do conceito mais geral. E o Gráfico 7, mostra uma pequena centelha de
diversificação da construção de conceitos, mesmo ainda como visto no mesmo
gráfico, o domínio do tipo de aula iniciando se com as informações dadas prontas.
A aprendizagem significativa é aquela em que as ideias expressas
simbolicamente integram de maneira substantiva e não arbitrária com aquilo
que o aprendiz já sabe. Substantiva quer dizer não-literal, [...] e não-
arbitrária quer dizer que a interação não é com qualquer ideia prévia, mas
sim com algum conhecimento especificamente relevante já existente na
estrutura cognitiva do sujeito que aprende (MOREIRA, 2011, p. 13).
E os resultados obtidos mostram quanto ainda estamos presos ao modelo
de ensino que predominantemente produz aprendizagem mecânica, enquanto que
segundo Moreira (2011), o modelo de aprendizagem que devemos produzir carece
de métodos que valorize o jeito de falar e de agir dos alunos, para que ocorra a
interação dos saberes já existentes por parte dos alunos.
77
Gráfico 8/AAPRI - Para fixar o conteúdo de Sistemas Lineares o seu professor (a):
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
Os procedimentos para a fixação dos conteúdos demonstrados no gráfico 8,
trazem indícios de supervalorização de dois modelos que contemplam um número
muito restrito de alunos, melhor dizendo, nos faz concluir que apenas os portadores
da inteligência lógico-matemática, e consequentemente promovendo a discriminação
dos demais.
Por essa direção analítica, entendemos que: “o pluralismo de ideias e
concepções pedagógicas”, um dos princípios da ministração do ensino, descrito no
art 3º e alínea III da Lei de Diretrizes e Bases, Brasil (1996), vem nos alertar que a
pluralidade de concepções pedagógicas são exatamente para atender as diversas
aptidões oriundas das várias inteligências humanas. E se os conteúdos a serem
ensinados, devem ser encaminhados por vias de concepções pedagógicas e
metodologicas variadas, com o intuito de contemplar os variados canais de
aprendizagens, por ser estes, os resultados de variadas inteligências, torna-se
coerente que as atividades de ancoragem cognitivas tabém sigam estas concepções
na exercitação para fixação.
De forma que, se em uma turma foi necessário o uso de três metodologias
diferentes para que os alunos pudessem compreender os conceitos e traçar em sua
estrutura cognitiva um esboço do entendimento operativo desse conteúdo, então é
óbvio que as atividades de fixação sejam também encaminhadasdas por estas
mesmas metodologias, sob pena de ver os aprendizes confusos e inseguros,
levando estas inseguranças para as avaliações, como mostrado no gráfico 8, e
consequentemente para suas atuações na sociedade.
78
Gráfico 9/AAPRI - Como você gostaria de aprender Sistemas Lineares?
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
Na pergunta retratada pelo Gráfico 9, esperávamos uma quantidade menor
de preferência pelas aula expositivas, pois ao distribuir o questionário foi explicado
a eles que a aula expositita, à qual nos referíamos é a que o professor fica na frente
explicando e o alundo sentado ouvindo. Esse fenômeno nos leva concluir que ainda
existe um número significativo de estudantes desconhecedores de outras formas
de aprender, mais envolvente e mais dinâmico. E levando em conta a própria
natureza efervecente da juventude.
Todo jogo por natureza desafia encanta, traz movimento, barulho e uma
certa alegria para o espaço que normalmente entram apenas o livro, o
caderno e o lápis. Essa dimensão não pode ser perdida porque os jogos
envolvem conceitos de matemática. Ao contrário, ela é determinante para
que os alunos sintam-se chamados a participar das atividades com
interesse (SMOLE, 2008, p 10).
Sim meu caro mestre, O senhor quer dizar que todas as minha aulas agora
devem ser em forma de jogos? Poderá perguntar o leitor. Uma das respostas pode
ser: sempre que possível, introduza um jogo, do contrário, poderá ver seus alunos
entediados e inquietos.
O objetivo da questão que gerou o Gráfico 9 foi procurar um espaço para a
inserir um jogo entre as atividades escolares que pudesse ser praticado na sala de
aula, envolvendo Sistemas Lineares. Então, a análise gráfica demonstra que
aproximadamente 65% dos sujeitos, responderam: nunca, raramente ou às vezes. E
tomando como base este posicionamento dos alunos, decidimos inserir um jogo na
nossa Sequência Didática, porém respaudado por Antunes (2014), quando diz:
79
Está se perdendo no tempo a época em que se separava a brincadeira e o
jogo da atividade ”séria”. De Huinga a Roger Cailois, de Heidegger a Jorge
Bataille, de Montaigne a Fröbel, de Conrad a Gardner, alguns dos mais
destacados pensadores do nosso tempo demonstraram vivo o interesse
pela questão lúdica e pelo lugar dos jogos e das metáforas no fenômeno
humano e na concepção de mundo (ANTUNES, 2014, p. 36)
É razoável que algumas pessoas em sala de aula consigam compreender
apenas por uma explicação verbal, ou por algum gráfico ou esquema algorítmico,
mas amaioria necessita de algo mais para compreender a maioria da matemática
que precisam aprender, até porque a inteligência logico-matemáta é apenas uma
entre as oito catalogadas por Gardner (1985).
Gráfico 10/AAPRI - No que se refere ao grau de dificuldade de aprender Sistemas Lineares, Preencha o quadro abaixo (Marque com um x)
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
Ao analisar o Gráfico 10 com os seguintes itens, constatamos algo
contraditório, novamente nos levando à suspeitas de falsos positivos inclusos no
grupo dos sujeitos que responderam: regular, porque no nosso entendimento, com
esse percentual médio em torno de 50% que responderam: muito fácil, fácil, ou
regular, esperávamos pelo menos 40% de repostas corretas das questões
específicas, discutidas mais adiante, nos Gráficos: de 13, a 18. Essa contradição nos
leva por enquanto a ideia de que os sujeitos não lembravam mais do grau de
dificuldade que tiveram quando estudaram o assunto.
Observamos também, que no Ensino Básico, os sistemas vêm depois das
equações, que por sua vez vêm após as funções, que segundo Braga (2006), é a
alma do ensino da matemática. E ainda, para (ROXO, apud BRAGA, 2006, p. 77), “a
noção de função deve ser adotada como ideia axial no ensino da matemática, capaz
de estabelecer um elo unificador dos vários assuntos na escola secundária e de
80
modo a ser a alma do corpo em que se organiza toda a matéria”. Então, o ensino
das funções nas alíneas da aprendizagem significativa poderá proporcionar
melhores resultados dos alunos nos assunto seguintes.
Gráfico 11/AAPRI - Você possui acesso à internet?
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
Gráfico 11 aborda o acesso que nossos estudantes de hoje, na maioria das
nossas cidades possuem. E este dado sócio econômico pode ser explorado a favor
da aprendizagem significativa. É um desafio à parte, mas como aqui se trata de
estudar problemas a serem resolvidos em sala de aula, acreditamos no poder desta
discussão para suscitar possíveis ideias que aproveitem o celular em sala de aula
para a melhoria do ensino.
A popularização da internet em alta velocidade pode ser utilizada na redução
da distância entre professor e aluno, na qualidade da informação a ser acessada e
na diversificação dos exercícios de fixação de conteúdos, aproveitando a fascinação
que o um número significativo do nosso alunado tem com os mecanismos digitais,
pois (BAIRRAL, 2009, apud BORBA, SILVA e GADANIDIS, 2014, p. 35), “ambientes
virtuais de aprendizagem poder ser vistos como amplificadores cognitivos uma vez
que, multifacetados e que potencializam e integram uma variedade de artefatos
midiáticos e representacionais”.
Com esses artefatos os professores podem recomendar atividades
alternativas que nem sempre precisa ter algo a ver diretamente com o assunto, mas
que podem ter uma função preparadora, uma espécie de pré-requisito para a
introdução do assunto propriamente dito. E atividades dessa natureza pode ser um
filme, ou um jogo que venha despertar o interesse pelo assunto e aflorar os impulsos
81
cognitivos. Tratando especificamente de recurso digital para smartphone, temos o
ambiente de programação para Android.
O MITApp Inventor, também conhecido como App Inventor for Android, é uma aplicação código que atualmente é mantida pelo Massachusetts Instituto of Tecnology (MIT). Ele permite que os recém-chegados à programação de computador criem aplicativos de softwere para o sistema operacional Android (FARIAS, 2016, p. 25).
Isto nos fez concluir que o celular dos alunos dos alunos com sistema
operacional Android pode se tornar um grande aliado da aprendizagem dos nossos
alunos.
Gráfico 12/AAPRI - Quanto ao uso de recursos tecnológicos, quais dos seguintes equipamentos você costuma utilizar?
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
O Gráfico 12, aqui, denota o complemento das informações mostradas no
Gráfico-11, pois nos mostra um amplo espaço ocioso do celular na sala de aula.
Vejamos que o Gráfico 11 mostra 83% dos alunos, usuário de internet no celular,
enquanto o Gráfico 12 mostra que o uso desse equipamento para estudos, pode ser
aumentado, tanto via redes sociais quanto via aplicativos específicos.
Entendemos aqui que estes são os canais de acesso à vida deles fora da
escola, que a escola que o professor pode explorar a favor do trabalho docente.
Com o advento das Tecnologias da Informação e Comunicação (TICs), a informática surge como uma ferramenta para transpor barreiras, proporcionando desta forma, a possibilidade de desenvolvimento de desenvolvimento de novas metodologias que possa além da inovação e interatividade, trazer muitos benefícios na relação ensino-aprendizagem (SOBREIRA E SILVA, 2016, p. 42).
82
Então, respaldado pelos autores referendados na discussão do Quadro-11,
podemos utilizar, nesta escola, tanto dos canais de comunicação que os alunos já
usam sempre quanto dos que ainda podem ser explorados, como os mecanismos de
mensagens instantâneas e demais redes sociais que podem se ajustar às
propriedades pedagógicas.
Gráfico 13/AAPRI - Qual dos itens abaixo é uma equação linear?
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
O gráfico do Quadro 13 mostra que 57% dos respondentes erraram essa
questão. E isso prejudica o avanço da aprendizagem dos assuntos seguintes que
precisam desse conhecimento como subgsunsor. No momento em que chegaram
nesta questão, alguns perguntaram: o que é uma função linear. E nós ainda
informamos que era uma equação do primeiro grau.
Os alunos passam anos de suas vidas estudando, segundo esse modelo, informações que serão esquecidas rapidamente. Quando chegam à universidade, não têm subsunçores para dá conta das disciplinas básica, o que foi aprendido mecanicamente e serviu para o exame de ingresso já foi esquecido (OLIVEIRA, 2011, p 53).
Então observemos neste gráfico que o percentual de alunos pesquisados
que não conseguiram identificar a equação linear entre as cinco expostas, sendo
que estudaram no 1º ano Básico, e revisaram no segundo ano, para servir de
subsunçor para os Sistemas Lineares, nos leva a crer que provavelmente tenha sido
o modelo de ensino praticado em sala de aula que não produziu aprendizagem
significativa.
E como os saberes ensinados produziram predominantemente
aprendizagem mecânica, estes saberes não tiveram a ancoragem devida na
estrutura cognitiva dos aprendizes, por isso, de um ano para outro se esqueceram
83
de forma tão assustadora desse tipo de equação que a maioria dos pesquisados não
a identificou, mesmo escrita na forma mais usual possível.
Gráfico 14/AAPRI - Dada a equação A: 3x-2y=4, marque uma das equações abaixo que seja equivalente a A.
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
O Gráfico 14 nos mostra que apenas 35% dos respondentes acertaram a
questão, como nos questionários não foi encontrado nenhum registro que nos
levasse a acreditar numa resposta consciente, nos levou a crer que tivéssemos
colocado uma equação mais parecida com a equivalente, o número de acerto teria
sido ainda menor. Então, vejamos que a situação vai se agravando na medida em
que nos aproximamos do nível que os alunos deveriam está. E assim estes itens se
encaminham para cumprir os objetivos de nos ajudar a concluir o quanto estamos
distantes da prática de um ensino de qualidade, baseado na aprendizagem
significativa.
As atividades de fixação, para a aprendizagem se apresentam tão
importantes quanto às construções de conceitos, portanto devem ser tratas com a
atenção para os objetivos de aprendizagem. As atividades também devem ser
motivadoras e de fácil ligação com a vida dos alunos ou a algo que ele deseja.
Vejamos o que diz Antunes (2014, p.37): “brincar, significa extrair da vida nenhuma
finalidade que não seja ela mesma. Em síntese, o jogo é o melhor caminho de
iniciação ao prazer estético, à descoberta da individualidade e à meditação
individual”.
O jogo do ponto de vista pedagógico é desafiador, permite a apresentação dos conteúdos de modo atrativo, favorece a criatividade na elaboração de estratégias e a persistência na busca de solução, motivada pela vontade de ganhar a partida. Ele simula situações problemas que exigem soluções imediatas, o que estimula o planejamento das ações (ITACARAMBI, 2013, p. 21).
84
Por essa ótica, o autor nos leva a visualizar uma verdadeira semelhança
entre a dinâmica da vida e a dos jogos. Por isso, concluímos que devidamente
planejado pode ajudar os na fixação de conteúdos em qualquer série, pois se muda
a série, deve se mudar o objetivo e o nível e o direcionamento pedagógico do jogo.
Gráfico 15/AAPRI - Escreva um sistema equivalente ao sistema:
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
As dificuldades que os sujeitos tiveram para identificar uma equação linear
equivalente, demonstrado no Gráfico 15, se acentuaram quando o objetivo foi obter
sistemas equivalentes, com 0% de acerto, confirmando assim, a lógica do pré-
requisito, pois um sistema de equações é uma estrutura mais complexa do que uma
equação linear.
Na questão 15, Figura 5, abaixo, solicitados a escrever um sistema
equivalente ao dado, poucos alunos registraram alguma coisa, e depois desistiam.
Figura 5/AAPRI - Registro semiótico 1 da questão 15
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
Na questão 15, Figura 5, os alunos foram solicitados a escrever um sistema
equivalente ao dado, 87% não executaram o tratamento para a obtenção do
sistemas equivalente, esse foi o modelo de registro mais comum.
85
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
O Gráfico 16 um possível anúncio de loja fictícia. Vejamos que 72% dos
respondentes deixaram a questão sem nenhum registro, 2% realizaram a conversão
e o tratamento necessário para chegar à resposta correta, 7% registraram apenas a
resposta, porém sem sucesso, 18% não fizeram conversão e nem registraram os
possíveis tratamentos que tenham realizados, mas tiveram sucesso na resposta e
1% não realizaram conversão, mas fizeram o tratamento para chegar à resposta
com sucesso.
Figura 6/AAPRI - Registro semiótico 1 da questão 16
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
O fato dos alunos partirem para o método empírico, este sujeito passou
direto para o tratamento numérico. “vemos em seus registros, estimou os valores
das variáveis até chegar em 2 para uma colher e 3 para uma faca”, Figura 6, isto nos
leva a deduzir que mesmo depois de terem estudado o assunto, não se lembraram,
Gráfico 16/AAPRI - (CHIARI, 2011) Examinando o anúncio: descubra o preço de cada colher e de cada faca.
86
ou não se sentiram seguros em utilizar os métodos algébricos. Vejamos que ele
realiza o tratamento ao lado do registro figural, e parece deduzir que a soma de 4
com 10, para dá 16 ele completa com 2, para concluir R$3,00 para cada faca.
Figura 7/AAPRI - Registo semiótico 2 da questão 16
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
Este foi o único aluno que procurou fazer a conversão para a linguagem
algébrica, mas introduziu mais uma variável não prevista no sistema. Entendemos
que essa ação minou a possibilidade de resolução no tempo previsto.
Figura 8/AAPRI - Registro semiótico 3 da questão 16
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
Este foi um dos 20% dos sujeitos não realizou as conversões intermediárias
previstas, registrando apenas a resposta. Figura 8, vimos que alguns deixaram
Figura 9/AAPRI - Registo semiótico 4 da questão 16
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
87
Ao Analisarmos as Figuras: 5, 6, 7, e 8, percebemos que os respondentes
que registraram seu raciocínio para resolver as questões a elas correspondentes,
usaram estimativa para chegar à solução, abandonando totalmente os métodos
algébricos convencionais, os quais poderiam levar à solução da questão 17. Essa
aluna realizou a conversão da linguagem figural para a algébrica, Figura 9, mas não
deixou os registros do tratamento que a levou à resposta.
Gráfico 17/AAPRI - A respeito do sistema:
, pode se afirmar que é:
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
Na questão retratada pelo Gráfico 17, procuramos saber se os respondentes
sabiam classificar os sistemas quanto às soluções. Nesse quesito, as respostas
corretas não chegaram a sete por cento, mas ainda desprovidas de quaisquer
registros que nos convencessem tê-los levado à resposta de forma consciente.
Estes resultados confirmaram o relato de (BISOGNIN & CURY, 2009, apud
RODRIGUES, 2011) em sua dissertação as dificuldades dos estudantes calouros da
Matemática do Ensino Superior, em apresentar soluções de sistemas
indeterminados e impossíveis.
Figura 10/AAPRI - Registro semiótico 1 da questão 17
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
88
Para a Questão 17, Gráfico 17, Esse foi o único registro, Figura 10,
encontrado na tentativa de resolução desta questão. Nele, observamos que o sujeito
tentou executou o tratamento para eliminar uma das variáveis, mas ao invés de
multiplicar a primeira equação por 3, para eliminar as duas variáveis de uma só vez,
multiplicou por -1, e então concluiu que era possível e indeterminado.
Gráfico 18/AAPRI - Encontre os valores das variáveis x, y e z do sistema:
,
se for possível.
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
O gráfico 18 termina de nos convencer do que devemos melhorar muito o
ensino desse conteúdo, diante de 91% dos respondentes que deixaram a questão
sem resposta e sem nenhum registro, nos levando à conclusão de que os alunos
esqueceram ou não aprenderam a resolver sistemas lineares por nenhum dos
métodos dispostos a não ser por tentativas empíricas.
Figura 11/AAPRI - Registro semiótico 1 da questão 18
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
89
Vejamos na figura 11, que este aluno imaginou que os valores de x, y, e z
seriam 1, 2 e 3, ele testou estes valores direto na verificação, como os sistemas 3x3
oferecem dificuldades para resolver por métodos empíricos, não teve sucesso no
tempo previsto.
Figura 12/AAPRI - Registro semiótico 2 da questão 18
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
Pelo que observamos na figura 12, o aluno procurou executar o tratamento
para simplificação do sistema dado, mas não deu continuidade.
Figura 13/AAPRI: Registro semiótico 3 da questão 18
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
Analisando os registros da Figura 13, percebemos que o tratamento
realizado no sistema, foi o de somar as três equações do sistema. Compreendemos
como uma tentativa de eliminar alguma das variáveis, por não ter lembrado
coerentemente das propriedades operatórias dos sistemas que auxiliam na
resolução, não deu continuidade ao processo de resolução.
4.2 – Considerações Sobre a Análise a Priori
O objetivo da aplicação deste questionário foi colher in loco as possíveis
falhas cometidas no ensino de Sistemas Lineares ou de seus pré-requisitos, para
depois traçarmos um caminho estratégico de melhor ensinar esse assunto de forma
a minimizar estas falhas.
90
Depois de passar a limpo cada uma de suas questões, analisando os
acertos, os erros, as tentativas e as abstenções, entre os sujeitos que acertaram, os
dividimos em dois grupos: aqueles que deixaram algum registro de tratamento ou de
conversão, tipo da figura 5, e aqueles que registraram apenas a resposta. Quanto a
isso,
Se os alunos são pressionados pelo sistema escolar, os erros por eles cometidos são frustrantes, porque os fazem perder tempo e desperdiçar esforços na tentativa de evitar a reprovação. No entanto, se a ênfase da avaliação dos estudantes se desloca do produto para o processo, há a possibilidade de que os erros cometidos venham a ser discutidos e possam ser fontes de novas aprendizagens (BORASI, 1996, apud CURY, 2008, p. 35-36).
Por esta perspectiva, entendemos que os alunos trazem os hábitos das
avaliações em sala de aula para as demais avaliações, por isso que registraram
apenas a resposta podem ter sentido insegurança para deixar os registros do seu
raciocínio. Do outro lado, a falta de registros, de alguma forma, interfere na
qualidade diagnóstica do analista. Então, esse aporte nos leva a concluir que:
incentivar os alunos a registrar as estratégias de resolução, pois entendemos que o
hábito de registrar o raciocínio dá suporte para o avanço do raciocínio sistematizado.
Em relação aos respondentes que deixaram as questões sem nenhum
registro, partindo da situação de que todos eles já haviam estudado sistemas
lineares, a hipótese mais provável é que tenham se esquecido do aprendido. Para
combater amenizar esse fenômeno, expomos aqui dois procedimentos: é composto
por um conjunto de revisões do conteúdo estudado, sugerido por Ebbinghaus, por
meio de um gráfico conhecido por Curva do esquecimento e retenção, (Figura 4, p.
75) o qual depende quase inteiramente da afinidade e interesse do aluno pelo
conteúdo. O outro procedimento, e o conjunto de medidas para promover a
aprendizagem significativa inserida nas estratégias de ensino do professor,
composto de:
1. Um conjunto de situações que dão sentido ao conceito; 2. Um conjunto de invariantes (propriedades relações e objetos) sobre os
quais repousa a operacionalidade do conceito, ou seja, um conjunto de invariantes que poder reconhecidas e usadas pelos sujeitos para analisar e dominar as situações do primeiro conjunto;
3. Um conjunto de representações simbólicas (linguagem natural, gráficos e diagramas, sentenças formais, etc.) que podem ser usadas para indicar e representar essas invariantes e, consequentemente representar as situações e os procedimentos para lidar com elas (VERGNAUD, apud MOREIRA, 2011, p. 66).
91
Por estes autores, entendemos que a aprendizagem significativa, os novos
saberes são ancorados nas experiências que os alunos já trazem, portanto, mais
difícil de ser esquecidas. O contrário acontece com a aprendizagem mecânica, onde
os saberes baseados na memorização são esquecidos rapidamente. Apesar da
teoria da aprendizagem significativa de Ausubel ter surgido na segunda metade do
século XX, e a curva de Ebbinghaus ser da segunda metade do século XIX,
percebemos que ainda conserva sua validade até hoje. De outra forma, entendemos
que a curva de Ebbinghaus orienta os estudantes a estudarem nos momentos certos
para não se esquecerem do que foi aprendido.
Ao expor a curva de Ebbinghaus veio uma espécie de alerta para os
estudantes que adquiriram saberes de forma mecânica, portanto, frágil a períodos
longos sem revisão, mas por compreender que quando um novo saber deve ser
ligado a uma experiência já vivida, estes sabes tornam se mais difíceis de serem
esquecidos.
92
5 - SOBRE AS ATIVIDADES DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA
5.1 – Apresentação
A decisão de procurar desenvolver um modelo de produto auxiliar o
professor de matemática no ensino de Sistemas Lineares veio da relevância e
diversidade das aplicações dos Sistemas Lineares, tanto na vida cotidiana dos
nossos alunos quanto nos projetos avançados de engenharia, acatei as sugestões
dos meus professores do mestrado de mudar de tema, pois no momento, nossos
alunos teriam urgentemente mais chances de serem agraciados com um trabalho
sobre Sistemas Lineares, objetivando minimizar as dificuldades que ainda impedem
sua assimilação.
Em relação ao conceito de sistemas lineares, Lamin (2000) diz que um
sistema linear é um conjunto de duas ou mais equações envolvendo as mesmas
variáveis.
Em relação aos problemas que os nossos alunos egressos do ensino médio,
Chiari (2011), com base no trabalho de Herrero apud Pantoja (2008, p. 19), diz que
os problemas de aprendizagem dos alunos no estudo de sistemas lineares são:
dificuldades para usar as operações elementares na resolução de equações e
sistemas de equações, dificuldades na conversão da linguagem escrita para a
linguagem matemática, não verificam as respostas e não têm clareza do que elas
representam.
Para Almouloud e Bianchini (2005, apud RODRIGUES, 2011), os problemas
dos alunos na resolução de sistemas linerares estão em não fazer a diferença entre
o parâmetro e a incógnita de um sistema linear, e não conseguir classificar se um
sistema é possível e determinados, possível e indeterminados ou impossível.
Em relação aos problemas de classificação de sistemas, no levntamento
prévio realizado em uma escola de Ensino Fundamental e Médio do Estado do Pará,
verificou se o mesmo problema. A questão pedia que os alunos classificassem o
sistema: (vide Apêndice-02, Questão-17), apenas 20% dos respondentes acertaram.
De acordo com as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (OCEM,
2006), deve-se trabalhar as técnicas de resolução, dos Sistemas de Equações,
colocar a álgebra sob o olhar da geometria, associar a resolução de sistema 2 X 2 a
duas equações e duas incógnitas com posição relativa de duas retas no plano. E
levar os alunos a determinar a existência ou não de soluções do sistema, usando
93
operações elementares. Assim como também levar os alunos a interpretar
geometricamente a Intersecção, paralelismo e coincidência de retas na resolução de
sistemas 2 X 3 ou 3 X 3. E isto nos levou à motivação para o desenvolvimento da
uma sequência didática: (Vide Apêndice-01), para o ensino de Sistemas de
Equações Lineares, pelo método do escalonamento, pelo fato de se apresentar mais
abrangente e aplicável confortavelmente a Sistema Lineares de todas as ordens e
com nisso os alunos tornam-se capazes de assimilar os casos mais particularizados.
As atividades da Sequência Didática aqui apresentadas, foram planejadas
com o objetivo de sanar ou minimizar os problemas de aprendizagem apontados
pelos autores consultados, no entanto, depois da pesquisa diagnóstica que será
realizada em fevereiro, com o objetivo de confirmar ou detectar possíveis novas
dificuldades, algumas dessas atividades poderão ser replanejadas para o
enfrentamentos de possíveis novos problemas detectados pelo levantamento prévio.
5.2 – Planejamento da Aplicação da Sequência Didática
Ordem Aulas Atividades Objetivo
1 Teste diagnóstico inicial Identificar se os alunos ainda não
conhecem nada sobre sistemas
Lineares.
1 1 Conceito de equações
equivalentes.
Construir equações lineares
equivalentes à outra.
2 1 Identificação de sistemas lineares
equivalentes
Identificar sistemas lineares
equivalentes
3 1 Sistemas equivalentes pela troca
da ordem de suas equações.
Obter sistemas equivalentes a outro
trocando a ordem de suas
equações.
4 2 Sistema equivalente pela
multiplicação dos membros de uma
de suas equações por um número
k diferente de zero.
Obter sistemas equivalentes pela
multiplicação de uma de suas
equações por um número diferente
de zero.
5 3 Sistemas equivalentes pela
substituição de uma de suas
equações pela sua soma membro
a membro com outra equação do
sistema.
Obter sistemas equivalentes pela
substituição de uma de suas
equações pela sua soma membro a
membro com outra equação do
sistema.
6 2 Resolução de sistema linear 2x2,
por escalonamento.
Resolver problemas modelados por
sistemas lineares 2x2.
7 2 Resolução de sistema linear 3x3
por escalonamento.
Resolver problemas modelados por
sistemas lineares 3x3.
8 2 Jogo: Corrida Sistemática Contribuir com a fixação do
94
conteúdo de forma descontraída.
9 3 Questões de aprofundamento Fixar os conteúdo e construir
habilidades de resolver problemas
por meio dos sistemas lineares.
2 Teste final Comparar produção de
aprendizagem em relação ao estado
inicial dos alunos.
18 - -
Fonte: Autoria própria (2017)
5.3 – Aprendizagem Esperada
Por meio das atividades desta Sequência Didática a ser aplicada como
elemento de experimentação para possível validação utilizando o conteúdo de
ensino de Sistemas Lineares.
O teste inicial desta atividade concentra-se nas questões de 13 a 18, do
levantamento prévio (vide Apêndice - 05), e não faz parte da sequência didática a
ser experimentada, trata se de um teste diagnóstico para verificar algum
conhecimento dos alunos neste assunto. Neste teste, pelo fato dos alunos ainda não
ter estudado esse assunto, espera se todas as questões erradas ou em branco.
A atividade 1 é composta de itens articulados de forma a proporcionar ao a
oportunidade de construir o conceito de equação equivalente. Então, esperamos que
os alunos, pautados nos procedimentos práticos e teóricos de cada item consiga
chegar ao conceito de equação equivalente, ou mais próximo do possível, mas com
suas palavras. Depois, então o conceito será discutido e formalizado com o aval
científico pelo professor.
Na atividade 2, os alunos são orientados a explorar o significado da palavra
“sistema” para chegar o mais próximo possível do conceito de sistema linear.
Na atividade 3 os alunos foram orientados a testar as respostas sugeridas
para um grupo de seis sistemas, logo depois foram informados que os sistemas que
têm a mesma solução são sistemas equivalentes. Ainda na mesma atividade os
alunos testam uma solução em quatro sistemas. Aqui esperamos que os alunos
descubram que são sistemas lineares equivalentes.
Na atividade 4, os alunos são informados das respostas de quatro sistemas
lineares dados, em seguida foram solicitados a trocar a ordem das equações do
sistema, e verificar se a resposta é mesma. Esperamos que o aluno conclua com
95
suas palavras que se trocarmos as equações de ordem a resposta não muda. Logo
o novo sistema linear é equivalente.
Na atividade 5, os alunos são informados das respostas de um grupo de
quatro sistemas lineares solicitados a multiplicar uma das equações do sistema por
um número diferente de zero, em seguida verificar se a resposta é a mesma,
verificando que sim, esperamos que os alunos concluam com suas palavras que
mesmo multiplicando uma de suas equações por um número diferente de zero a
resposta não muda. Logo os sistemas lineares são equivalentes.
Na atividade 6, são informados das respostas de quatro sistemas, e em
seguida são solicitados a substituir uma de suas equações pela sua soma com outra
equação do sistema, e depois verificar se a resposta é a mesma. Verificando que
sim, esperamos que os alunos concluam com suas palavras que em um sistema, se
trocar uma das equações pela soma com outra equação do sistema, a resposta não
muda. Logo o sistema linear é equivalente ao anterior. Esperamos com esta
atividade, estimular os estudantes a verbalizar cada procedimento deste e a concluir
que estes procedimentos servem para se adquirir sistemas lineares equivalentes.
Na atividade 7, os alunos são orientados a utilizar os procedimentos da
atividade 06 para cancelar algumas variáveis pela substituição de uma equação pela
soma com outra do sistema linear. Esperamos com esse processo consigam
resolver um sistema linear 2x2.
Pela atividade 8 os alunos são orientados a utilizar os procedimentos
aplicados para resolver o sistema linear 2x2, para escalonar o sistema 3x3.
Esperamos que com algumas intervenções leves, consigam resolver um sistema
linear 3x3, em seguida serão solicitados a resolver um sistema linear 3x3 sem
interferência do professor.
A atividade 9 é uma atividade de aprofundamento composta de seis
exercícios e um jogo de tabuleiro que aqui denominamos de Corrida Sistemática.
Para (SÁ, 2015, p. 15), “a calculadora assim como o computador, surgem da
necessidade humana de tornar mais fácil, rápido e preciso a realização de cálculo e
armazenamento de informações”.
Nesse jogo, sugerimos que os alunos usem a calculadora para resolver os
cálculos decorrentes de algum problema que aparecerem na dinâmica da partida,
proporcionando agilidade ao jogador na sua resolução, sem perder o clima da
partida.
96
Os conteúdos que os alunos têm dificuldades de assimilarem em sala de
aula, às vezes, por parecerem longe de sua realidade cotidiana, se apresenta difícil
para se ensinado, no entanto, cabe ao professor a escolha adequada de um jogo
para que seus alunos tirem proveito para a produção da aprendizagem esperada,
como diz Bezerra, Macedo e Mendes:
Nossas experiências nos mostram, que com o passar do tempo, o próprio professor envolvido nessas práticas adquire habilidades para elaborar suas atividades, de sua escola e de sua turma. Os critérios de escolha do material utilizado nas atividades, assim como a própria atividade a ser usada em sala de aula (BEZERRA, MACEDO E MENDES, 2013, p. 9-10).
Conforme Bezerra, Macedo e Mendes (2013), os materiais educativos não
podem ser escolhidos sem critérios. Por isso torna se de importância sumária a boa
escolha das ferramentas de ensino, sobe pena de prejuízos de tempo e pouca
aprendizagem estudantes, e ao invés jogo envolver os alunos nas atividades e
torna-las genuínas para a aprendizagem significativa, poderá se tornar apenas um
passa tempo vicioso.
O jogo reduz a consequência dos erros, e dos fracassos do jogador, permitindo que ele desenvolva iniciativa, autoconfiança e autonomia. No fundo, o jogo é uma atividade séria que não tem consequências frustrantes para quem joga, no sentido de ver o erro como algo definitivo ou insuperável (SMOLE, DINIZ e MILANI, 2007, p.10).
Nessa perspectiva, inserimos um jogo nesse produto de ensino, para
reforçar os conceitos já estudados e exercitados nas atividades anteriores. E por
último aplicaremos o teste final (apêndice-06) para verificar a aprendizagem
esperada.
5.4 – Corrida Sistemática
A Corrida Sistemática, que apresentamos aqui, por meio de um jogo de
tabuleiro (vide apêndice-04) Inspirado em Silva (2013), com o jogo: Corrida ao
Castelo, que aqui tem o objetivo de fixar o conteúdo de Sistemas Lineares. Para
compor conjunto de atividade dessa sequência, tem como componentes: um
tabuleiro dois dados, dois peões e um copo.
O tabuleiro é o campo onde acontecerá o jogo, os peões são as peças que
indicará aonde o jogador vai está na trilha da corrida, em determinado momento da
97
competição, os dado são os objetos que serão lançados, e os pontos da face de
cima indicará quantas casas da trilha o jogador da vez terá que avançar, sendo que
a casa em que a pontuação do dado indicar, poderá ser de: comando, de pergunta
ou de informação.
As informações, em grande parte são de contexto real dos alunos inseridos
no jogo; as perguntas são de cunho teórico sobre Sistemas Lineares ou problemas
modelados por sistemas lineares, culminando para sua aprendizagem do mesmo. E
os comandos, são as ordens que os jogadores devem obedecer no andamento
durante o jogo, no geral são de pular casas para frente ou para trás.
5.4.1 – Regras do Jogo
Regra-01. Para saber quem sairá jogando, os dois ou mais jogadores devem
disputar a sorte pelo dado, tipo par ou ímpar.
Regra-02. O jogador da vez põe o dado no copo, balança e lança o na mesa, se der,
por exemplo, o número 5, o jogador avança 5 casas, se nesta casa tiver escrito:
Informação, o jogador tira o cartão de informação e lê a informação contida em voz
alta para que os dois jogadores desfrutem da informação, põe o embaixo de todos
os outros cartões e repassa a jogada para o outro jogador.
Regra-03. Se na casa tiver escrito: Comando, o jogador tira o cartão de comando, e
executa a ordem que contiver no cartão, coloca o embaixo de todos os outros
cartões e repassa a jogada ao outro jogador.
Regra-04. Se na casa tiver escrito: pergunta, o jogador tira o cartão pergunta e o lê
em voz alta a pergunta para que o outro jogador o ouça, responde a pergunta tirada,
coloca embaixo de todos outros cartões, e repassar a vez para o outro jogador.
Regra-05. Se o jogador da vez não souber responder a pergunta, ele volta à posição
que estava, põe o embaixo de todos ou outros cartões e repassa a jogada ao outro
jogador.
Regra-06 Quem cruzar primeiro a linha de chegada do tabuleiro.
Observação: as perguntas que os jogadores não souberam responder, o professor
deverá responder e comentar em sala de aula, para fechar o entendimento do
assunto.
98
Depois da aplicação da Sequência Didática, aplicamos o teste final,
(apêndice - 06), com o mesmo grau de dificuldade do teste inicial para verificar a
aprendizagem adquirida pelos sujeitos, e consequentemente validar o produto como
ferramenta de ensino de Sistemas Lineares pelo escalonamento.
Esta etapa da pesquisa, ao nosso entender, se apresenta dentro das
recomendações da Engenharia Didática de Artigue (1996), como a etapa mais
importante da pesquisa, pois é nela que todo trabalho se concretiza e se encaminha
para sua validação. A etapa seguinte consiste num relato cientificamente detalhado,
para a verificação das aprendizagens ocorridas no processo.
5.5 – Contextualização e Alcance dos Resultados
Esta Sequência Didática é uma ferramenta de ensino de Sistemas Lineares
3x3, pelo método do escalonamento, destinado a alunos que já tenham estudado
Sistemas Lineares 2x2. Ao final do trabalho com a aplicação deste produto, espera
se que os alunos saibam resolver em geral os problemas que possam ser
modelados por um Sistema Lineares 3x3 e ainda reunir pré-requisitos significativos
para resolver sistemas de ordem superior.
99
6 – EXPERIMENTAÇÃO E ANÁLISE A POSTERIORI
Aqui será relatada cada atividade da experimentação, e alguns registros
verbais dos alunos no exercício das atividades da sequência, as intervenções orais e
didáticas feitas pelo pesquisador naquele momento, necessárias ao andamento das
atividades e ao redirecionamento para os objetivos do trabalho.
O ano letivo da escola já se encontrava em meados do último bimestre,
especificamente aos 6 dias do mês de novembro de 2017, então tivemos que nos
reorganizar dentro dessa realidade partindo para o agrupamento dos alunos, no
sentido de promover colaboração entre eles assim como também celeridade aos
itens da aplicação.
As atividades colaborativa, presenciais ou virtuais, em pequenos grupos tem grande potencial para facilitar a aprendizagem significativa, porque viabiliza o intercâmbio, a negociação de significados e colocam o professor na posição de mediador (MOREIRA, 2011, p. 50).
E para este trabalho, algumas adaptações foram feitas na realização da
pesquisa, porém com alguns cuidados para não comprometer os objetivos da
mesma, como: agrupar os alunos em duplas e ministrar uma aula para ensiná-los a
multiplicar uma equação por um número real ou somar um número aos dois
membros da equação e fazer a verificação com resposta sugerida. E outras
adaptações ocorreram nas atividades, em relação às previstas no projeto.
A cooperação entre os alunos e a socialização das respostas leva em conta fatores ligados à autonomia, tais como: a exposição de seu modo de pensar, a troca de ideias entre os colegas, o uso de estratégias, o diálogo com o professor. A autonomia do aluno é favorecida quando o seu erro pode ser corrigido em co-operação com os colegas e o professor, e não pela simples sobreposição da certeza ou correção do professor (ROSSO e NÍVIA, 2010, p. 11)
Os sujeitos da pesquisa estavam cursando o 2º ano do Ensino Médio, no
turno da noite composta de 35 alunos, mas apenas 26 destes concordaram em
participar da pesquisa. E de acordo com (ROSSO e NÍVIA, 2010), as atividades em
grupo se tornam importante para a aprendizagem pela troca de ideias e pela
socialização as estratégias. Então, seguindo as orientações desses autores,
dividimos os sujeitos foram divididos em 13 duplas, para que a experimentação
pudesse ser realizada dentro do tempo previsto, pois assim foi possível fazer as
100
intervenções a dois alunos de uma só vez e as duplas foram formadas pela
afinidade entre eles.
Esta turma não tinha professor definido desde o começo do ano letivo,
informamos da importância do trabalho que estavam contribuindo, enquanto não
ficariam totalmente alheios aos assuntos do segundo ano do Ensino Médio e
construíam as notas para validar suas promoções para o terceiro ano, e o fato de
trabalharem em dupla pode reduzir o impacto de enfrentarem um jeito novo de
aprender, onde têm que despertar a atitude da iniciativa própria.
As atitudes são tendências ou predisposições relativamente estáveis das pessoas para atuar de certa maneira. São a forma como cada um realiza sua conduta de acordo com valores determinados. Assim, são exemplos de atitude: cooperar com o grupo, ajudar os colegas, respeitar o meio ambiente, participar das tarefas escolares, etc. (ZABALA, 1988, p. 46).
As orientações desse autor, entendemos como pura realidade do nosso
trabalho, durante a realização dessa experimentação, experimentou-se também a
carência da atitude colaborativa entre os colegas, em que o colega de dupla
chegava atrasado, ou saía a antes de terminar, ou às vezes não vinha. E isto parece
estar ligado ao comportamento individual da nossa sociedade quando envolve
objetos, em que cada pessoa quer adquirir por um preço mais barato. E os alunos
que ainda entendem que a escolaridade é o certificado, tentam conseguir recusando
se de pagar com a dedicação de aprender.
Outra leve mudança foi o fato de não poder comparar com outra turma onde
se tenha trabalhado o conteúdo da forma usual (tradicional). Não houve acordo com
o outro professor de matemática que poderia colaborar com a turma de controle, por
está lecionando sistemas lineares no 3º Ano, ele alegou que não houve tempo letivo
hábil para Ensinar o método de resoluções por escalonamento. No entanto, diante
destes traços realísticos do local da experimentação, foi preciso aplicar o teste
inicial, trabalhar o conteúdo nos moldes da sequência didática prevista (ainda que
com adaptações leves), e depois aplicar o teste final, idêntico ao inicial, para poder
mensurar o rendimento, por meio do teste pareado.
O teste inicial (Apêndice - 5) foi aplicado no dia 07/11/2017, e seu objetivo
era verificar o estado inicial de conhecimento do conteúdo de Sistema Lineares, aqui
demonstrado no Gráfico 19, onde cada questão vale um ponto. E Para melhor
identificar as figuras e os gráficos, a exemplo da análise a priori, introduzimos o
101
código AAPST para informar que as figuras ou gráficos se referem à análise a
posteriori.
Gráfico 19/AAPST – Teste inicial
Fonte: pesquisa de campo do autor (2018)
No Gráfico 19, temos a observamos que essas duplas: D1, D2, D3, D7, D9,
D10, D11, e D13, possuíam os subsunçores suficientes para assimilar o conteúdo
que iniciamos com uma atividade que poderia provocar alguma lembrança de
equações lineares ou equações equivalentes, mas não tinham ou não se lembram
de mais nada. Foi necessário alguns minutos de aula para prepara-los para a
atividade 1. E esse resultado nos levou a perceber que marcaram as alternativas de
maneira avulsa ou baseadas em vagas intuições.
6.1 – Sobre o Diagrama Qualitativo de Respostas
O diagrama qualitativo de respostas, composto de duas entradas ortogonais,
onde uma delas entra com as duplas, e a outra entra com as questões, tem uma
leve semelhança com o diagrama de dispersão, mas aqui adaptamos os tons de
azul, do mais escuro para o mais claro, para expressar a qualidade das respostas,
os seja a medida que uma determinada resposta vai se descaracterizando da
considerada correta, vão sendo representada por tons mais claros do azul. Esta cor
foi escolhida por ser a cor preferida da maioria das pessoas.
O azul é a preferida entre as cores. É a cor predileta de 46% dos homens e 44% das mulheres. E não existe quase ninguém que não goste de azul: apenas 1% dos homens e 2% das mulheres citaram o azul entre as cores de que menos gostam. Homens e mulheres frequentemente se vestem de azul; ele vai bem em todas as ocasiões, em todas as estações (HELLER, 2013, p. 46).
102
De acordo com esta autora, a maioria das pessoas tem grande simpatia
pelos tons desta cor, e neste caso um diagrama ou um gráfico cromado nestas cores
tenderá maior possibilidade de ser observado.
Os resultados das pesquisas demonstram que cores e sentimentos não se combinam ao acaso nem são uma questão de gosto individual – são vivências comuns que, desde a infância, foram ficando profundamente enraizadas em nossa linguagem e em nosso pensamento. Com o auxílio do simbolismo psicológico e da tradição histórica, esclareceremos por que isso é assim (HELLER, 2013, p. 21).
Ainda por esta autora vemos que as cores também fazem parte de nossa
linguagem, e se está enraizada no nosso pensamento, pode influenciar
psicologicamente em nossas atitudes, ou alterar nosso estado de humor.
No diagrama 1, foram necessários apenas o azul mais escuro para
resolução correta e o branco para as resolução incorreta. Isso por considerar
desnecessário dividir as respostas em mais níveis. Para o diagrama 2, teste final,
onde algumas questões foram resolvidas parcialmente, foi necessário utilizar um tom
mais claro, Diagrama 2, p.107).
Se a análise previr mais níveis de qualidade das respostas, o diagrama pode
ser composto por mais tons da cor azul, que podem coincidir em degraus ou não.
Diagrama qualitativo de resposta 1 – Teste inicial
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
Pelo diagrama 1, procuramos mostrar ao leitor quais as questões que cada
dupla acertou no teste inicial, de forma que na horizontal estão as duplas de sujeitos,
103
e na vertical estão os graus de dificuldades distribuídos no sentido das questões de
Q1 a Q8.
De acordo com o diagrama de blocos, figura 14, apresentado por Sawyer
(2007), o ensino e aprendizagem da matemática não se apresentam exatamente
dentro um rigor linear, mas possui determinadas ordens que nos leva a compreender
que alguns conteúdos exigem conhecimentos que funcionam como pré-requisitos
para amadurecer as ideia necessárias para sua compreensão.
Por esta perspectiva é que os Sistemas Lineares a duas variáveis que os
alunos precisam aprender bem, no sétimo ano torna se um pré-requisito
indispensável para que ele possa compreender bem os Sistemas Lineares a três ou
mais variáveis no Ensino Médio.
Figura 14 – Diagrama de blocos
Fonte: Sawyer (2007)
A disposição destes blocos, apesar de não ter uma sequência linear, tem o
objetivo de nos informar que tratando dos assuntos matemáticos a serem ensinado a
um aprendiz, não é prudentemente aconselhável que ensinemos o conteúdo 13b
antes de termos ensinado o 13a, ou ainda o conteúdo 10 antes do conteúdo 8. E por
esta lógica em que os conteúdos matemáticos são interligados, entendemos que a
falta de conhecimentos de sistemas lineares a duas variáveis, por parte dos sujeitos
pesquisados, componente curricular do Ensino Fundamental, pode ter prejudicado a
assimilação dos conceitos e habilidades para resolução dos sistemas a três
variáveis, não chegando à plena compreenção a ponto de resolver os sistema 3x3
da forma esperada.
Em seus primeiros dias na sala de aula, você terá dificuldade para entender a aprendizagem prévia de que os alunos necessitam para a aula em questão. Talvez você consiga identificar o que os alunos precisam, mas você não conhece a turma o suficiente (CHEMBERS e TIMLIN, 2015, p. 51).
104
Então, um professor ao iniciar o seu ano letivo em uma classe, carece de
alguns dias de adaptação, para se inteirar do nível da classe, desenvolver um plano
de aula revisativo ou mesmo ensinar algo que os alunos precisam saber para
assimlar o que o profressor quer ensinar. Agora, quando se trata de uma pesquisa, e
que quase sempres os objetivos de uma pesquisa não os beneficiam diretamente, o
trabalho de convencimento torna se mais difícil. E isto pode influenciar o
comprometimento dos sujeitos com as atividades, levando nos a considerar algumas
distorções do que seria o real resultado.
Gráfico 20/AAPST – Teste final
Fonte: Pesquisa de campo (2018)
Para melhor representar o desempenho dos sujeitos da pesquisa no teste
inicial e final, procuramos pontuar as resoluções das questões levando em
consideração a interpretação do enunciado e a sequência lógica das etapas do
raciocínio, baseados nos registros escritos, ou em algo que venha comentar a
respeito das atividades que foi possível capitar pelas gravações.
Ainda, segundo Heller (2013), ao observar esta sequência de círculos
concêntricos, coloridos nos tons de azuis, figura 15, os tons mais apagados, dão a
impressão que estão mais distantes.
Sobre o observador que recebe a comunicação visual, a cor exerce três ações: a de impressionar a retina, a de provocar uma reação e a de construir uma linguagem própria comunicando uma ideia, tendo valor de símbolo e capacidade. É tamanha a expressividade das cores que ela se torna um transmissor de ideias, tão poderoso que ultrapassa fronteiras espaciais e temporais. Não tem barreiras nacionais e sua mensagem pode ser compreendida até por analfabetos (FREITAS, 2007, p. 1).
O potencial das cores, segundo Freitas (2007), e pelo que observamos no
nosso dia a dia, é imprescindível para a comunicação, a começar pelos sinais de
105
trânsito, o Branco usado para comemorar o ano novo, no início do seu primeiro dia e
nos brinquedos infantis. Por isso entendemos que mesmo quando estamos tratando
de ciência, comunicamos os resultados científicos para pessoas, por isso as cores
podem ajudar à primeira vista, a atrair os leitores.
Figura 15 – Círculo cromático com tons da cor azul
Fonte: Heller (2013)
E este foi o nosso objetivo de mostrar pelo diagrama qualificativo de
respostas, os questionamentos que detectaram onde o conceito ou aquela
habilidade não foi possível de ser construída para sua resolução total.
Diagrama qualitativo de respostas – Teste final
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
Em relação às questões do produto, expostas no texto da análise, estas não
foram escolhidas por importância, até porque entendemos que em na aprendizagem,
o conceito mais elementar pode se configurar importante para a assimilação dos
conceitos mais complexos, e sim, foram escolhidas para mostrar as formas diversas
dos alunos exporem seus entendimentos, ou fragmentos destes, em cada uma
106
destas questões, e na construção das aprendizagens, dentro da realidade
encontrada, cada item construído dos pré-requisitos previstos para chegar ao
objetivo geral tornou-se de grande valia.
Para melhor visualização das questões comentadas do teste final,
apresentamos em separado, quadro 4. A função deste quadro é proporcionar ao
leitor uma visão melhor das questões para as quais concentramos mais as nossas
atenções.
Questões analisadas do teste final por dupla
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
A dupla 1, na questão 3 da atividade de aprofundamento, figura 16, obteve
um sistema equivalente multiplicando cada equação por um número escolhido.
Portanto, mesmo diante da execução simples de tratamento, entendemos que houve
aprendizagem neste processo, como diz Duval (2012, p. 7), “O tratamento de uma
representação é a transformação desta representação no mesmo registro onde ela
foi formada”.
Figura 16/AAPST – Registro semiótico 1 da questão 3 da atividade de aprofundamento
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
107
Por esta perspectiva, por esta perspectiva, o tratamento realizado com
sucesso nesta questão, na obtenção de sistema lineares equivalentes poderão
oferecer suportes coerentes à ancoragem dos conceitos que virão para
complementar os saberes para melhor domínio deste assunto.
No dia seguinte, na questão 4, figura 17, do teste final, a dupla realizou
parcialmente o tratamento, quando multiplicou a primeira equação por (-2), conforme
a figura 16, e não considerou necessário anotar todas as equações do sistema. E
entre os erros que podem acontecer no processo de aprendizagem, como erro por
esquecimento ou de ou julgamento é factível de ocorrer, sem necessariamente se
configurar como falta de assimilação.
Figura 17/AAPST – Registro semiótico 1 da questão 4 do teste final
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
A Questão 5, da Atividade de Aprofundamento é uma tabela com três
sistemas. O primeiro deles, aqui representado pela figura 18, Entendemos aqui que
a dupla realizou o tratamento com sucesso, substituindo a segunda equação pela
soma com a primeira multiplicada por 2, eliminando a variável x, transformando o
num sistema equivalente mais simples. Em seguida aplicou os demais
procedimentos para obter a solução.
Figura 18/AAPST – Registro semiótico 1 do primeiro sistema da questão 5 da atividade de aprofundamento.
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
No segundo sistema da questão 5, figura 19, a dupla aplicou o tratamento
para o escalonamento, com sucesso, multiplicando a primeira equação do sistema
por -2 e somando com a segunda equação, isolando a variável x, em seguida, na
108
soma com a terceira equação, porém não obteve sucesso com a soma dos
coeficientes de z e o independente, encontrando também -5 e -26, ao invés de -3 e -
25 respectivamente. E pelo fato da segunda e da terceira equação terem dados
iguais, pegou uma delas para calcular o valor de z, e ainda inverteu os coeficientes
na operação de divisão.
Isto nos levou a entender que a dupla assimilou o modelo de tratamento a
ser realizado para resolver a questão, mas careceu de aprendizagens anteriores, os
quais não foram possíveis construir no tempo previsto, e estas carências
possivelmente a induziu aos erros que a fez desistir da questão.
Figura 19/AAPST – Registro semiótico 1 do segundo sistema da questão 5 da atividade de aprofundamento
Fonte: pesquisa de campo do autor (2018)
Essa dupla saiu da sala antes do término do horário, deixando a última
questão dessa atividade em branco, concluímos que esta atitude comprometeu o
desempenho na questão 7 e questão 8, figura 20 do teste final.
Pelo que observamos, faltou tempo para construir as habilidades para a
resolução, pois apresenta indícios de ter assimilado os procedimentos de obtenção
de sistemas equivalentes.
Na questão 7, do teste final, figura 20, a dupla iniciou o processo de
simplificação do sistema multiplicando a primeira equação por -2, mas teve
problemas com o coeficiente de y, ao invés de -4, anotou -2, e ao invés de -8 como
coeficiente independente, anotou menos 8, e ao somar com a segunda equação,
acumulou o erro do coeficiente de y, e erra a operação a soma dos coeficientes
independentes, anotando 8, ao invés de -5.
Quase todas as duplas apresentaram um procedimento que pode ter
dificultado a assimilação. Voltando à figura 20, vemos que não conseguem fazer a
operação mental da primeira equação por -2. Eles precisaram anotar a equação
equivalente, para depois executar a operação com a segunda equação. Quando
precisaram somar com a terceira equação, eles se perderam no processo.
109
Nestas condições, o erro é aceitável como parte do processo de construção
do seu saber. Entendemos assim porque segundo (MOREIRA, 2011, p. 52), a
aprendizagem significativa é progressiva, grande parte do processo ocorre na zona
cinza (na região do mais ou menos, na qual o erro é normal), neste caso
entendemos que os conceitos foram construídos, mas o tempo da experiência não
foi o suficiente para amadurecer as habilidades de resolução por carecer de
habilidades nas operações com os sinais, principalmente o sinal negativo.
Figura 20/AAPST – Registro semiótico 1 da questão 7 do teste final
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
Nesta questão, os alunos realizaram o tratamento porem com insucesso
nas operações básicas aplicadas aos números inteiros e não especificamente para
assimilar os procedimentos propostos por nossa Sequência Didática.
Na questão 8, do teste final, figura 21, a dupla interpretou a questão
fazendo a conversão da linguagem materna para a linguagem algébrica, mas
enfrentou dificuldade para o tratamento de escalonamento. O tratamento deste
sistema exigiu algo que só o tempo de exercício pode proporcionar: observar que
permutando a primeira equação com a terceira, melhora a visibilidade para o
escalonamento.
Para Duval (2012, p. 3) “é somente por meio de representações semióticas
que a atividade sobre objetos matemáticos se torna possível. Este paradoxo pode
constituir-se num grande círculo para a aprendizagem”. Entendemos que nossa
Sequência Didática se incorpora neste circulo como parte dele, de forma que, para
aumentar o repertório de conversões demandam de outras sequências adjacentes.
E a conversão da linguagem materna para a linguagem algébrica,
(aprendizagem adquirida ela maioria dos alunos), configura se como aquisição de
aprendizagem, devendo as habilidades para executar o tratamento sobre o sistema,
110
e estas, os sujeitos poderão adquirir em ocasiões posteriores, pois o conceito, que
sustenta este tratamento, em nossa percepção foi construído.
Figura 21/AAPST – Registro semiótico 1 da questão 8 do teste final
Gráfico 16 – Notas do teste inicial e do teste final
Fonte: Pesquisa de campo (2018)
Nesta questão a dupla multiplicou a primeira equação por (-1) e somou com
a equação dois, mas teve problemas com os sinais, quando somou -3f com 4f,
anotando +7f. Apesar de todas as duplas terem sido orientados para a organização
das anotações, tanto esta dupla como todas as outras se perderam neste ponto. A
essa altura da análise, já percebemos que neste método de ensino alguns erros vão
acontecendo por conta do tipo de atividade, no qual os alunos não estão
acostumados a expor seus pensamentos e ter a sensação de responsabilidade por
eles, potencializando os benefícios como:
Possibilitar ao aluno reflexões sobre o seu desempenho, baseados nos registros de suas avaliações feitos por ele mesmo para tomar consciências da importância do seu papel na sua aprendizagem, promovendo as mudanças necessárias ao longo do bimestre, em direção ao melhor desenvolvimento possível de suas potencialidades (MUNIZ, 2010, p. 27).
No nosso caso, a pesquisa não durou um bimestre, pois iniciou em:
07/11/2017 e terminou em: 19/12/2017, e assim não tivemos tempo para um diálogo
individual com os alunos, mas conseguimos perceber o poder de uma “sequência
111
didática articulada para um objetivo determinado e conhecido também pelos alunos”
(op. cit).
A dupla 2 não veio à aula no dia da atividade 6, e também não veio para
fazer a Atividade de Aprofundamento. Algumas ausências na escola podem ter
origem motivacional, e por estas razões abordar a importância do saber matemático
na promoção da qualidade de vida, tanto individual quanto no desenvolvimento da
uma comunidade, tendo em vista que:
[...] consiste em se demonstrar que os conhecimentos e habilidades que agora devem ser dominados são pré-requisitos para outras que virão mais adiante naquele curso e pelos quais o a aluno espera ansiosamente com grande interesse [...] como seria as disciplinas práticas ou profissionalizantes (BZUNECK, 2010, p. 17).
E estas ausências devem ter interferido negativamente no desempenho da
questão 7 do teste final, (Figura 22), logo a seguir.
Figura 22/AAPST – Registro semiótico 2 da questão 7 do teste final
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
Em relação à questão 8, figura 23, também do teste final, o tratamento foi
realizado com a multiplicação da primeira equação do sistema, por -1 e tenta somar
com a segunda, mas enfrenta problemas com as operações na variável x, e com os
sinais na variável z. Entendemos aqui que o problema desta dupla, assim como de
outras duplas, não foi a eficácia do produto em estudo, mas de sim, os problemas de
aprendizagem acumulados de séries anteriores, e que não foi possível sanar
durante a experimentação desta Sequência Didática.
Os profissionais do ensino da matemática, quase sempre precisam se
conformar apenas com uma pequena parcela do conteúdo assimilada pelos
aprendizes, pois quase sempre o saber que ensinamos, apenas uma pequena fatia
se transforma em saber ensinado.
112
Na educação básica o professor tem de ter ainda mais cuidado porque o distanciamento a distancia entre o conhecimento científico e o conhecimento escolar pode ser muito grande, e tudo isto pode ser uma questão de adaptação de linguagem (ALMEIDA, 2011, p. 46-47).
Este autor nos chama a atenção para os cuidados que o professor precisa ter
com o processo da transposição didática, para as séries mais elementares, pois
quanto maior a distância entre o nível do conteúdo científico e a série para quem
direcionamos seu ensino maiores os riscos de prejudicarmos os conceitos
envolvidos. Por isso, o que ensinamos não se transforma em sua totalidade no que
os alunos aprendem. E só depois de reflexões e revisões, por parte do aprendiz é
que os saberes ganham a dinâmica própria da compreensão do aprendiz.
Os objetos possuem uma força própria. Neles estão as condições prévias para uma boa transposição didática, mas muitas vezes ignoramos essas forças ocultas trazidas pelo próprio objeto e seguimos adiante, tentativa de construir uma outra força artificial para que ela possa irradiar-se e iluminar o ambiente educativo (ALMEIDA, 2011, p. 46-47).
Entendemos ainda por Almeida (2011, p. 49), que a força de um objeto de
ensino é percebida pelo que podemos indentificar dentro do conteúdo que possa
interessar aos alunos. Essa força funciona como um redutor da distância entre o
conteúdo científico e a série a ser transformada em conteúdo de ensino.
Figura 23/AAPST – Registro semiótico 2 da questão 8 do teste final
Fonte: pesquisa de campo do autor (2018)
A dupla 3, conseguiu realizar a conversão da linguagem comum para a
linguagem algébrica, com sucesso, mas com as dificuldades que ainda tem com a
113
aplicação das operações básicas nas equações, não conseguiu completar o
tratamento necessário para a resolução da questão. Por ocasião desta
experimentação, percebemos in loco, que a falta de pré-requisitos do Ensino
Fundamental necessários para à assimilação de conteúdos do Ensino Médio,
compromete até o estabelecimento dos organizadores prévios, diante do tempo que
temos para realizar o trabalho.
Nesta linha, subsunçores podem ser proposições, modelos mentais, construtos pessoais, concepções, [...] conceitos já existentes na estrutura cognitiva de quem aprende. Subsunçores, seria, então, conhecimentos prévios, especificamente relevantes para a aprendizagem de outros conhecimentos (MOREIRA, 2011, p. 28).
De outra forma, dentro do nosso tempo de experimentação não foi possível
estabelecer os organizadores prévios, capazes de ancorar os novos conhecimentos
da forma esperada. Para Moreira (2011), a função dos organizadores prévios é
servirem de pontes cognitivas para as novas aprendizagens apresentados como
material introdutório, antes do material de aprendizagem propriamente dito.
Figura 24/AAPST – Registro semiótico 1 da ativiade 7 primeira parte
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
Vejamos acima, na atividade 7, da Sequência Didática, Figura 24, que a
dupla ainda tem problemas com as operações que envolvem sinais negativos,
observemos no tratamento realizado nesta atividade, que no momento de dividir -3
por -3, anotou como resposta: -1. Admitimos que no decorrer das atividades da
114
sequência, os alunos estão se familiarizando com os conceitos, e as intervenções
orais, de forma que, estes erros são comuns no processo.
Para resolver a segunda parte da atividade 7, os alunos foram orientados a
usar o mesmo processo de tratamento da primeira parte, para assim resolver o
sistemas 3x3 mais à frente. E nesta atividade, figura 25. Vejamos que eles
estimaram um valor para a colher e substituíram na equação na segunda equação,
encontraram os valores, depois verificaram as igualdades.
Pode se dizer que um obstáculo é uma ideia que no momento da formação do conceito, foi eficaz para enfrentar os problemas anteriores, mas que se revela um fracasso quando se tenta aplica-la a um novo problema. Dado o êxito obtido, tende se a conserva a ideia já adquirida, [...], apesar do fracasso, busca se salvá-la, mas esse fato acaba sendo uma barreira para aprendizagens sucessivas (D’AMORE, 2007, p. 211).
Neste problema, os alunos foram orientados a modelar o sistema, mas os
registros demonstram que se esforçaram, mas terminaram usando a estimativa para
encontrar os valores das variáveis.
Figura 25/AAPST – Registro semiótico da atividade 7, segunda parte.
Fonte: Pesquisa de campo autor (2018)
No item c da atividade 8, Figura 26, para aplicar o tratamento para o
escalonar o sistema, orientamos a dupla a multiplicar mentalmente a primeira
equação, somar com a segunda e substituir a segunda pela soma. Vejamos que o
erro foi anotar -3 ao invés de -15. Em seguida, para eliminar o “x” da terceira
equação, deveriam multiplicar mentalmente a primeira equação por -1 e somar com
115
a terceira equação, o procedimento foi realizado corretamente. O erro no coeficiente
independente foi em decorrência do erro anterior.
Como já frizamos que na construção dos saberes ensinados no decorrer
desta esperimentação ocorreram erros nas atividades, nas tentativa de resolvê-las,
mas isto não significa que as bases não foram constrídas.
Uma misconception, quer dizer uma concepção errada e, portanto de modo geral, constitui um evento a ser evitado. Entretanto, não significa que deve ser encerrada como uma situação ou certamente negativa: não se exclui que a fim de chegar à construção de um conceito, seja necessário passar por uma misconceptuion momentânea, porém em curso de sistematização (D’AMORE, 2007, p. 126).
Por este autor, nesta linha de pensamento, os erros cometidos nessas
atividades são de cunho transitório, e factíveis de ocorrer, principalmente em um
cuto espaço de tempo e diante de formas de aprender em que o aluno precisa tomar
iniciativas agregando suas experiências anteriores com as orientadas pela
Sequência Didática.
Figura 26/AAPST – Registro semiótico 1 do item c da atividade 8
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
Na questão 5, da Atividade de Aprofundamento, figura 27, observamos as
dificuldades que a dupla teve para executar tratamento usando o calculo mental.
Para realizar o tratamento na resolução no primeiro sistema, a dupla multiplica a
primeira equação por -2, mas precisa anotar (segunda coluna), em seguida, continua
o processo de obtenção do equivalente, mas perde o caminho do escalonamento.
Nesse caso, entendemos que as habilidades para este procedimento mesmo
assimiladas, porém ainda não havia amadurecidas, e este amadurecimento deverá
ocorrer na continuação de processos posteriores.
116
Para que o ensino de um determinado elemento de saber seja meramente possível, esse elemento deve sofrer algumas deformações que o farão apto para ser ensinado. O saber tal como é ensinado, o saber ensinado é necessariamente distinto do saber a ensinar. Este é o terrível segredo que o conceito de transposição didática põe em perigo (CHEVALLARD, 2005, p. 16-17).
A palavra meramente, que Chevallard (2005, p. 116-117) se refere, traz uma
conotação de que existe uma diferença entre o saber a ensinar e o saber ensinado.
E isto faz reacende as expectativas para a competência do docente em identificar a
força natural que o conteúdo traz em relação ao contexto social em que os alunos
estão inseridos, e desta interposição, produzir uma transposição didática proveitosa
para os estudantes.
Figura 27/AAPST – Registro semiótico 1 da questão 5 da atividade de aprofundamento
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
Na questão 4 do teste final, figura 28, demonstrou assimilação do conceito
de sistemas equivalentes, mas entre os tratamentos para obtenção de sistemas
equivalentes, existe o tratamento para o escalonamento. E esta variante de
tratamento ainda não havia construído no sistema cognitivo da dupla, e na sua falta
deste, não conseguiram resolver a questão 7 (Figura 29).
Figura 28 – Registro semiótico 1 da questão 4 do teste final.
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
Como vemos, os sujeitos na busca da solução da questão 7, figura 29,
multiplicaram a primeira equação do sistema por 2, mas trocou o z pelo y,
117
registraram apenas o resumo do tratamento, de forma que não foi possível saber
como achou que a resposta do sistema seria a exposta, como: x = 8, y = 6 e z = 4.
O fato de não permitir que os alunos apaguem seus erros antes de analisá-los já é um sinal de que estes são aceitos como uma construção inteligente, caminho para o acerto, estruturas disponíveis naquele momento. O erro é então tratado não apenas como constatação, ponto de chegada, mas, como ponto de partida para novas descobertas e possíveis caminhos para a superação de dificuldades (TANUS e DARSIE, 2012, p. 19).
Nessa perspectiva, as autoras nos levam a compreender que o erro pode ser
considerado como provisório, e pode ser redirecionado para o caminho do acerto.
Neste caso os alunos já assimilaram as bases do conceito de sistema equivalente, o
próximo passo é a assimilação do sistema equivalente escalonado.
Figura 29 – Registro semiótico 4 da questão 7 do teste final
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
A dupla 4, pelos registros expostos demonstrou indícios de ter estudado
algo sobre sistema lineares no ensino fundamental. Na questão 7, do teste final,
figura 38, multiplicou a primeira equação por -2 e somou com a segunda equação,
eliminando sua a variável x. O erro aconteceu no segundo passo para o
escalonamento, quando a dupla usou a mesma equação multiplicada por -2,
somando com a terceira equação. Vejamos que ao invés de eliminar a variável x,
elimina a variável z. Desse ponto em diante perdeu o controle do raciocínio.
[...] a mudança na concepção de erro aconteceu somente após a segunda metade do século XX, em que este deixou de ter uma conotação negativa para o ensino, dando origem a uma nova abordagem na qual o papel do erro passou então a ser discutido. As contribuições da teoria de Piaget para a reconsideração do papel do erro no processo de ensino e aprendizagem foram significativas e possibilitaram repensar e reconsiderar o aprendizado da matemática (NASCIMENTO e MORELATTI, 2011, p. 42 - 55).
Mesmo assim, em meio a estes erros, conforme este autor, devemos
considerar o aprendizado detectado nos registros. Vejamos que o conceito foi
118
assimilado, e que os erros cometidos foram de ordem prática, ou seja, faltaram
habilidades, e estas habilidades virão com tempo de exercício.
Figura 30/AAPST – Registro semiótico 5 da questão 7 do teste final
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
Em relação à questão 8 do teste final, Figura 31, A dupla interpretou o
problema, converteu o sistema 3x3 da linguagem materna para a liguagem
algébrica, inciciou o procedimento para o escalonamento, mas ainda não havia
construído as habilidades suficientes para escalonar corretamente.
Esta dupla, apagou os registros da tentativa de escalonar o sistema, apesar
de ter sido orientada a deixá-los, e não foi possível ter clareza do que havia
registrado. mas isto poderá ser construído em Sequências Didática futuras, porém
sem deixar de considerar os avanções adquiridos até aqui.
Uma sala de aula precisa ser um organismo vivo, precisa ter conflitos, precisa ter negociações precisa ter clima de aprendizagem. Para a existência desse clima, a dúvida é uma questão fundamental, pois onde há dúvida, ou onde ela pode existir sem medo, há pesquis, há vontade de busca (ALMEIDA, 2011, p. 28).
Então, nesta linha de pensamento, os assuntos seguintes que venham
interagir com os sistemas lineares, poderão sanar as possíveis dúvidas
remanescententes dos estudos realizados por meio desta Sequência Didática.
119
Figura 31/AAPST – Registro semiótico 3 da questão 8 do teste final
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
A dupla 5 faltou nos dias da aplicação das atividades: 3, 4, 5 e 8. Não foi
possível saber os motivos destas faltas. Diante dessas faltas, entendemos que
essas atividades não feitas poderiam ter fortalecido seus saberes para aplicar o
tratamento necessário à resolução desta questão. E poderiam também ter
conseguido melhor desempenho, nas questões dois, cinco e seis, do teste final. Por
ocasião de sua volta, em curtas palavras, procuramos enfatizar em sala de aula o
valor da paciência para aprender e o pensar sobre como cada conteúdo pode se
tornar importante para a vida do cidadão.
Assim em certos casos, vale o emprego da metáfora de que trabalhar o
atual conteúdo equivale a uma verdadeira ginástica mental, que contribui
para o desenvolvimento da inteligência, o que é uma argumentação eficaz
por fazer apelo à autoestima (BZUNECK, 2010, p.17).
Não foi possível afirmar se a volta dessa dupla para a continuação das
atividades deve à curta conversa que tivemos em sala de aula, mas ficamos
contentes com o seu retorno, e sabendo que a dinâmica de trabalho de uma
pesquisa de curta duração parece deixar claro que a não o tempo disponível que
tivemos para dialogar com cada aluno não foi o suficiente para reconduzi-los ao
entusiasmo do aprender.
Para (ALMEIDA , 2011, p. 49), “é sempre desejável que o professor consiga
expor ou trazer a força que está contida em cada um desses objetos”. Então, tendo
120
em vista que a ligação entre o conteúdo e o contexto social dos alunos pode suscitar
o interesse dos mesmos, então, a força que o objeto de ensino possui por natureza,
sua combinação com as experiências reais dos sujeitos pode os ter reconduzido de
volta às atividades da experiência.
Percebemos também, e tomamos como exemplo a questão 3, Figura 32 do
teste final, que grande parte das duplas achou que para se ter um sistema
equivalente, teria se que multiplicar não só uma das equações, mas todas as
equações do sistema. E apesar do tratamento ter sido realizado com sucesso, isso
denota que o tempo de contato dos vértices do triângulo didático, que conforme
Chevallard (2005, p. 26), é composto de três lugares: O professor, o aluno e o saber
ensinado.
Figura 32/AAPST - Registro semiótico 1 da questão 3 do teste final
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
Os alunos da dupla 6, a exemplo de alguns dos demais sujeitos da pesquisa,
mesmo sendo orientados a converter o problema da linguagem figural para a
linguagem algébrica, vejamos que eles fazem a conversão parcial, e já começam o
tratamento, estimando os valores das variáveis, e logo antes do escalonamento
resolveram testar os valores das variáveis (Figura 33, atividade 7).
121
Figura 33/AAPST – Registro semiótico 2 do segundo item da atividade 7
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
Agora vemos que a dupla tentou resolver a mesma questão fazendo
estimativas dos possíveis valores (método das tentativas), no teste final, no dia
seguinte, figura 34, mas não foi possível resolver a questão testando os valores,
procedimento utilizado nesta mesma questão, na atividade anterior. E Isto nos levou
a acreditar que esse processo é falho, mas o aluno tende a usá-lo, quando julga a
questão fácil ou ainda não está seguro do procedimento sugerido pelo professor.
Tomar consciência, refazer e corrigir o próprio pensamento são ações que expressam a autonomia discente. Mas a autonomia desenvolve-se a partir da interação do sujeito com suas estruturas internas, com outros sujeitos e os objetos de conhecimento e não, apenas, de orientações, apelos e lições dos docentes (NÍVIA e ROSSO, 2010, p. 4)
E ainda, pelas orientações de Nívia e Rosso (op cit), parecem sugerir que as
estimativas dos discentes na busca de respostas pode ser o resultado das interações das
estruturas internas dos sujeitos buscando respostas para os questionamentos.
Figura 34/AAPO – Registro semiótico 1 da questão 5 do teste final
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
122
Nessas condições percebamos aqui como normal o aluno que procura se
assegurar nas suas próprias experiências (mesmo se tratando de uma experiência
elementar para um aluno de Ensino Médio), isso contribui no fortalecimento de sua
autonomia, até o momento oportuno de sua correção.
A questão 6, figura 35 do teste final, pelos registros deixados, demonstrou
que entendeu o processo, aplicou o tratamento, calculou o valor da variável y, mas
parece se esquecido de calcular o valor da variável “x”. Para Davis e Espósito (1990,
apud NÍVIA e ROSSO, 2010, p. 7), “no terceiro são erros de procedimento,
cometidos no emprego ou aprimoramento de conhecimentos já construídos e que
podem acontecer por distração ou falta de habilidade”.
No tocante a esta questão, os sujeitos aplicaram o tratamento, porém
pecando em detalhes que, como dizem Nívia e Rosso (op cit.). Interpretamos que
pode ter ocorrido uma falta de habilidade pontual.
Figura 35/AAPST – Registro semiótico 1 da questão 6 do teste final
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
A dupla 7, não compareceu para as atividades: 3 e 7, e usaram da sua
autonomia para recusar a terminar a atividade 6. E isso deve ter comprometido seu
desempenho na questão 4, figura 36, quando deixou de registrar o sistema
equivalente, da forma correta. A outra interpretação é que deva ter achado
desnecessário repetir as outras equações do sistema, sendo que para obter o
sistema equivalente, bastaria multiplicar uma de suas equações por um número
diferente de zero. De acordo com Davis e Espósito (1990, apud NÍVIA e ROSSO, op
cit.), esse tipo de atitude intuitiva pode acontecer quando o sujeito ainda está
construindo os saberes sobre o assunto.
123
Figura 36/AAPST – Registro semiótico 2 da questão 4 do teste final
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
Para resolver a questão 5, figura 37, a dupla realizou o tratamento parcial
apenas multiplicando a equação F + 2C = 7, por -2, e somam com uma suposta
segunda equação que seria 2F +5C = a 16. Por esse caminho encontrou 0 + C = 2.
E então, a partir do valor 2, encontrou o 3, e usando o cálculo mental, e deduziu
como os possíveis e respectivos preços de cada colher e de cada faca, e os anotou
ao lado. Interpretamos aqui como normal estas variações de tratamento, quando o
aluno está confrontando suas experiências empíricas anteriores com o tratamento
convencional que estamos propondo para guiá-lo a chegar mais adiante.
Interpretar os erros torna possível compreender que estes podem decorrer de formas de raciocinar distintas, umas mais e outras menos elementares. Além disso, há casos em que os erros decorrem da interferência de conhecimentos matemáticos prévios (SPINILLO et al, 2015, p. 7).
Interpretamos aqui como normal estas variações de tratamento, quando o
aluno está confrontando suas experiências empíricas anteriores com o tratamento
convencional que estamos propondo para guiá-lo a chegar mais adiante.
Figura 37/AAPST – Registro semiótico 2 da questão 5 do teste final
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
124
A dupla 8, não fez as atividades: 1, 2, 3, 5 e 6, procurou se recuperar por
meio das atividades 7 e 8, participando do jogo, que entrou na Sequência Didática
como atividade 9. Estes alunos vieram para a aula no dia da atividade de
aprofundamento, no entanto, e saíram antes do tempo previsto para o término. Para
nós, estas atividades não feitas, poderiam ter contribuído para a resolução das
questões: 2, 6, 7, e até ter conseguido melhor desenvolvimento na questão 8, do
teste final, figura 38. Para Andrade Filho et al. (2016, p.1), “a atividade de conversão
refere-se a transformações entre diferentes registros, como a ‘passagem’ do registro
tabular para o gráfico, ou do gráfico para o algébrico”. Aqui os sujeitos conseguiram
converter o sistema que se encontra na linguagem materna para a linguagem
algébrica.
Figura 38 – Registro semiótico 3 da questão 8 do teste final
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
Voltando ao jogo, entendemos que este tenha motivado os alunos desta
dupla em sala de aula nos dois últimos dias da experiência, em foi aplicada a
atividade de aprofundamento e teste final.
Todo jogo por natureza desafia, encanta, traz movimento, barulho e uma certa alegria para o espaço no qual normalmente entram apenas o livro, o caderno e o lápis. Essa dimensão não pode ser perdida apenas porque os jogos envolvem conceitos de matemática. Ao contrário, ela é determinante para que os alunos sintam-se chamados a participar das atividades com interesse (SMOLE, DINIZ e CANDIDO, 2007, p. 12).
125
Por estas orientações desta autora, entendemos que o jogo aqui deva ter
quebrado um pouco a monotonia das atividades escritas, introduziu descontração ao
processo de aprendizagem e o motivado a participar das atividades finais.
Na questão 2, do teste final, figura 39, esperamos que o aluno reconheça
uma equação equivalente. Das quatro alternativas, ele não executa nenhum
tratamento para a obtenção da equivalente, escolhe duas delas, mas sem sucesso.
Figura 39/AAPST – Registro semiótico 1 da questão 2 do teste final
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
Na questão 6, Figura 40, entendemos pelo registro na linguagem materna
quis dizer que é uma equação linear. Neste caso os sujeitos recorreram às
lembranças recebidas em sala de aula, mesmo já dispersas sobre equação linear, e
que são estas que forma os sistemas lineares.
Figura 40/AAPST – Registro semiótico 2 da questão 6 do teste final
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
Na questão 7, Figura 41, a dupla aplica o tratamento para o escalonamento,
ao multiplicar a primeira equação por -2, mas anota no segundo termo -2, ao invés
de -4, no terceiro termo anota 2x, ao invés de 2z, em seguida tenta somar com a
segunda equação, mas a sucessão de erros o impedem de escalonar o sistema. A
atividade de aprofundamento poderia tê-lo ajudado a também resolver esta questão,
mas a falta de persistência para a aquisição dos saberes que são adquiridos na
escola nos leva a entender que cultivam valores que desmotivam a permanecer na
aula em busca desses sabres.
126
Se examinarmos atentamente os exemplos anteriores, poderemos comprovar que os alunos agem tendo em vista diferentes metas. Em alguns casos, o mais importante é aprender algo que faça sentido: descobrir por trás das palavras que se constroem, significados conhecidos e experimentar o domínio de uma nova habilidade, encontrar explicação para um problema relativo a um tema que se deseja compreender etc. (JESUS e FITA, 2015, p. 17).
Mesmo procurando adequar as atividades da Sequência Didática a algo que
tenha sentido para os sujeitos, os erros podem acontecer por um detalhe esquecido,
e em consequência disso se lançam a novas formas de se expressar. E assim o
tratamento vai ganhando dimensões imprevistas.
Figura 41/AAPST – Registro semiótico 5 da questão 7 do tese final
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
A dupla 9 não fez a atividade 6 e nem a 7. Com a prática que essa dupla
deixou de exercitar nessas atividades, poderia ter respondido a questão 4 e a 6,
culminando para a questão 7, do teste final (Figura 42). Vejamos que a dupla aplicou
o tratamento multiplicando a primeira equação por -2 para somar com a segunda, e
eliminou a variável “x”, mas ao invés de obter -4 como coeficiente de y, anota -2, e
anota 8 no lugar de -8. A partir desse momento os problemas se sucedem, mas
acredita que o valor de y seja 4.
Na segunda coluna, multiplicou a primeira coluna por -1 para eliminar a
variável “x”, mas em consequência consegue também eliminar a variável “z”
(correto). Nesta segunda etapa do tratamento, poderia ter calculado o valor da
variável y corretamente, mas erra na obtenção do coeficiente independente. A partir
destes registros concluímos que a dupla entendeu os procedimentos do
escalonamento, mas parou nas barreiras dos pré-requisitos ainda em fase de
construção. Na falta destes pré-requisitos, surge a necessidade de se estabelecer
em regime de urgência, algo que reduza a distância entre o que os alunos sabem, e
127
às vezes nem sempre é possível para todos os alunos em classe de alto nível de
heterogeneidade.
Para (MOREIRA, 2011, p. 105), os organizadores prévios são materiais ou a
introdução de saberes apresentados, antes do material dos saberes que devem ser
ensinados. E para isso seria necessário um tempo extra para introdução de
organizadores prévios
Figura 42/AAPST – Registro semiótico 6 da questão 7 do teste final
Fonte: pesquisa de campo do autor (2018)
A dupla 10, apesar de nossa solicitação para que terminasse a atividade,
deixou de fazer as questões 4, 5 e 6 da atividade de aprofundamento, e isso deve
ter comprometido o rendimento em três questões do teste final.
Na questão 5, figura 43, só encontramos os registros das respostas mal
sucedidas nos padrões esperados. Entendemos que a resposta obtida veio da
tentativa de manipular os dados numa calculadora, um exemplo claro de alunos que
tem uma experiência empírica anterior.
Para Moreira (2011, p. 28), “subsunçores são conhecimentos prévios
especificamente relevantes para a aprendizagem de outros conhecimentos”. Pelo
que observamos, a experiência desses alunos, registrada na figura 37, página 125,
se transformou num paradigma, ou seja, eles dispensaram a orientação para
construir o sistema 2x2, para testar os valores possíveis para a faca e para a colher.
Eles até no momento dessa atividade só haviam entendido que o valor de uma faca
somado com o valor de duas colheres teria que dá sete reais e o valor de duas facas
somado com o valor de cinco colheres teria que dá 16 reais. E para proporcionar as
128
condições para esta dupla superar este obstáculo, precisaríamos de mais tempo
para fazer esse trabalho.
Figura 43/AAPST – Registro semiótico 3da questão 5 do teste final
Fonte: pesquisa de campo do autor (2018)
A dupla 11 se revelou como uma fonte de dificuldade. Segundo o que
ouvimos de um deles, fizeram o ensino fundamental em uma turma de ensino de
jovens e adultos, localizada na zona rural, onde enfrentam problemas de transportes
até à classe, e a falta de professores de matemática na escola, e no final do ano,
como não são culpados de haver professores na sala, como os demais casos
semelhantes no município, são promovidos para a série seguinte.
Para (AGUIAR e OLIVEIRA, 2009), “a ausência dos trabalhadores, bem
como atrasos, acabam prejudicando o andamento dos trabalhos na organização”.
Aqui pode está uma das razões pelas quais não conseguimos proporcionar aos
componentes da dupla 11, um desempenho melhor na aprendizagem dos Sistemas
Lineares, pois, os saberes necessários para a compreensão do assunto a ser
ensinado, não se encontravam no sistema cognitivo dos alunos.
De acordo com seus registros, na questão 2, figura 44, do teste final,
vejamos que repetiu a equação logo abaixo das alternativas, somou o coeficiente de
y com o coeficiente de x, que achou -5 como coeficiente de y da nova equação.
Depois, na nova equação somou o coeficiente de y com o coeficiente de x, e
encontrou 12 como coeficiente independente, por isso não sentiu segurança para
marcar alguma alternativa.
Nesse contexto, o pouco tempo disponível para a experimentação não foi
possível introduzir e amadurecer os organizadores prévios para o nivelamento dos
sujeitos. E na falta momentânea destes, por esquecimento o pela turbulência das
informações, que pode ocorrer quando os organizadores prévios ainda não foram
amadurecidos, os sujeitos se encaminham de forma incoerentes rumo às respostas.
129
Para Moreira (2011, p. 105), os organizadores prévios são materiais ou a
introdução de saberes apresentados, antes do material dos saberes que iremos
ensinar. E para isso seria necessário um tempo extra para introdução de
organizadores prévios.
Para Winkeler e Costa (2013, p. 1), “as dificuldades de aprendizagem estão
ligadas á falta de pré-requisitos ou das habilidades básicas da matemática. A falta
dessas habilidades pode aumentar o risco de fracasso escolar e abandono a
escola”. Nesta perspectiva, se não houver uma atenção especial para esta dupla, a
tendência é abandonar a escola. E como o nosso trabalho era de uma
experimentação de caráter temporário, o nosso tempo disponível, pode não ter sido
o suficiente para construir os pré-requisitos para a dupla 11 assimilar do conteúdo da
nossa proposta da forma que esperávamos.
Figura 44/ AAPST – Registro semiótico 2 da questão 2 do teste final
Fonte: pesquisa de campo (2018)
Na questão 5, já vista, quase todas as outras duplas, mesmo por tentativa,
apresentaram uma resposta pelo menos aproximada da correta. No entanto para a
dupla 11, a questão 5, figura 45, parece ter se tornado bem mais difícil.
Pela nossa análise, observamos que a dupla tentou somar uma faca com
R$16,00, e a outra parcela é a soma das sete colheres com duas facas, e admite
como solução: R$23,00 o preço de cada colher.
Acreditamos que o instrumento, recuperação paralela, é subestimado por professores que o percebem como mecanismo beneficiador do aluno “relapso”, por alunos que o compreendem simplesmente como mecanismo de melhoria de nota e subutilizado pela escola que apenas cumpre uma determinação legal, evitando problemas futuros com o fracasso escolar. [...] O fato é que alguns alunos não conseguem atingir parte desses objetivos, sendo papel da escola investigar as causas desse fracasso, criando novas oportunidades ou novos caminhos para corrigir suas rotas (DUTRA e MARTINS, 2012, p. 2- 3).
130
Nessa perspectiva, alunos que se encontram nestas condições, precisam de
acompanhamento de um professor no estudo de conteúdos bases para as
aprendizagens do Ensino Médio sob pena de não adquirirem os sabres necessários
ao exercício de sua cidadania.
Figura 45/AAPST – Registro semiótico 5 da questão 5 do teste final
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
Para nós, o ensino recebido por esta dupla foi mais deficiente do que o
recebido pelo restante da turma. E casos de alunos nestas condições, o tempo de
pesquisa de uma só Sequência Didática como esta, não foi o suficiente para
recuperá-los a corresponder positivamente às atividades propostas, pois nesta
pesquisa, além de precisar contar com a boa vontade dos alunos em tornarem-se
sujeitos da pesquisa, Bzuneck (2010, p. 20) ainda diz que: “os professores não
devem pressionar os alunos para cumprir rapidamente as tarefas propostas. E nem
os alunos devem pensar que o esforço prolongado numa tarefa é sinal de falta de
capacidade”.
E na falta destes pré-requisitos para a ancoragem dos conhecimentos que
queremos ensinar, surgem a necessidade de se estabelecer em regime de urgência,
algo que reduza a distancia entre o que os alunos sabem, e às vezes nem sempre é
possível para todos os alunos em classe de alto nível de heterogeneidade.
Para Moreira (2011, p. 105), os organizadores prévios são materiais ou a
introdução de saberes apresentados, antes do material dos saberes que iremos
ensinar. E para isso seria necessário um tempo extra para introdução de
organizadores prévios
131
Então, pelo que presenciamos e ouvimos, entendemos que esta dupla se
deparou com muitas informações de uma só vez, mas sem o tempo necessário para
processá-las e amadurecê-las e aplicar nas atividades da Sequência Didática.
A dupla 12 não compareceu nas aulas para fazer a atividade 8, figura 46, e
isso deve ter comprometido seu desenvolvimento na questão 8 do teste final,
deixando a em branco.
Figura 46/AAPST – Registro semiótico 3 da questão 4 do teste final
Fonte: pesquisa de campo do autor (2018)
Na questão 5, do teste final, figura 47, a conversão foi realizada da
linguagem figural para a linguagem algébrica, e o procedimento do escalonamento
correto, culminando na eliminação da variável F, correspondente a quantidade de
faca, e encontrando direto a quantidade de colher. Em seguida executou a
substituição correta na primeira equação para encontrar a quantidade de faca.
Figura 47 – Registro semiótico 5, questão 5 do teste final
Fonte: Pesquisa de capo do autor (2018)
Para o escalonamento deste sistema, questão 7, figura 47, primeira equação
foi multiplicada corretamente por -2, somada corretamente com a segunda, mas
132
enfrentou problemas para eleminar a variável “x” da terceira equação, pois teria que
multiplicar a primeira equação por -1 e somar com a terceira.
Vale ressaltar que os erros não aparecem por acaso, mas surgem em uma estrutura conceitual consistente, com base em conhecimento adquirido anteriormente, e qualquer processo de treinamento está gerando erros potencialmente, devido a diferentes causas, algumas das quais inevitavelmente ocorrem (POCHULU 1993, p. 1).
Por Pochulu (1993), estes erros fazem parte da construção e exercitação do
novo conecimento, pois os alunos enquanto procuram resolver os questionamentos
propostos, erram por esquecimento ou outras causas não identificadas até aqui.
Figura 48 – Registro semiótico 7 da questão 7 do teste final.
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
Com base no autor referido, entendemos que os erros cometidos são
acontecimentos em decorrência do ato de aprender.
A dupla 13 só não fez a atividade 7, mas essa atividade deixou de contribuir
diretamente pelo menos no desempenho da questão 5, figura 49. Nesta questão, a
exemplo já citado, também procurou o método da tentativa, para encontrar os
valores da cada faca e de cada colher. E o nosso tempo de experiência não permitiu
que proporcionássemos a estes alunos também a crença de que poderiam resolver
este problema usando o escalonamento, e ainda expandir aos sistemas de ordem
maiores.
Figura 49/ AAPST – Registro semiótico 6 da questão 5 do teste final
Fonte: pesquisa de campo do autor (2018)
133
Na questão 7 figura 50, a dupla multiplicou a primeira equação por -2 e
somou com a segunda, mas como termo independente, anotou oito, se esquecendo
de subtrair o 3, que daria -5. Daí em diante confundiu o “y” com 4, anotando z = 4.
Depois recorre à primeira equação, multiplica a por -1, mas como coeficiente de y
anota -2, e também como coeficiente independente anota novamente oito, e o divide
por -2, encontrando 4 como valor de “y”. E finalmente, para calcular o valor de “x”,
substitui na primeira equação, os valores encontrados de y e de z, e depois de uma
sucessão de problemas de aprendizagem com a soma e com a divisão, encontra 3
como valor para “x”.
Nestes registros, apesar de termos observado alguns resultados similares
aos de outras duplas, não foi possível observar seu contato com outros alunos, de
forma a causar suspeitas.
Em outras palavras, a cola resiste às investidas de sua eliminação; as medidas preventivas e repreensivas tomadas por professores e instituições levam apenas a uma mudança de estratégia da cola e ao seu aperfeiçoamento, possibilitando conjecturar que não há efetividade de qualquer que seja o instrumento de vigilância e repressão (SOUSA, 2016, p. 3).
Por esta autora, entendemos que o fenômeno do contato entre alunos em
avaliação individual é um fator que em todo cuidado que tomamos, apenas
minimizamos o problema, no entanto, aqui, na hipótese de que estes alunos tenham
procurado ajuda a outrem da sala, ainda mostram as mesmas carências de
subsunçores de quem possa ter recebido ajuda, pois observamos não terem
percebido os erros na resolução.
Figura 50/AAPST – Registro semiótico 8 da questão 7 do teste final
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
134
O ensino das operações com os sinais, ligando a algo que os alunos já
saibam, para fazer o que aqui chamaremos de ponte didática, não tem se mostrado
algo simples, e essas falhas vão singrando as séries até chegar ao momento da
decepção. E momentos assim pode ser uma prova do Exame Nacional do Ensino
Médio - ENEM, uma avaliação para um emprego, ou na interpretação de uma
operação bancária.
6.2 – Contribuição dos Professores
O ponto de vista dos professores de matemática se torna importante para
este trabalho, no momento em que compreendemos como parte importante no
fenômeno ensino-aprendizagem. E essa importância se faz presente no cruzamento
dos pontos de vistas sobre o modo como encaminham pedagogicamente o conteúdo
de Sistemas Lineares, e o ponto de vista dos alunos sobre o aprendizado adquirido.
Para isto, a coleta dos dados foi realizada por meio de um questionário
(Apêndice 3, p. 177) com 18 questões aplicadas a 27 professores, entre eles,
mestrandos do programa de mestrado da Universidade do Estado do Pará – UEPA e
professores do ensino médio, da cidade onde aplicamos a Sequência Didática,
todos atuantes em sala de aula, de estados das regiões Norte e Nordeste, sendo
que a maioria deles do estado do Pará, no período de janeiro a abril de 2018.
Entre as respostas dos professores, buscamos as que produziram respostas
que consideramos mais impactantes para o nosso trabalho, como: a questão 4, a 7 e
a 10. os demais resultados coletados pelas demais questões são relevantes em
termos de informação qualitativa, aparecendo implicitamente nos resultados e
apreciações desta natureza. e posteriormente poderão ser trabalhadas em materiais
de divulgação do resultado da pesquisa, em trabalhos futuros. O objetivo do
questionário para professores foi para complementar o apoio de campo, e na
formalização de nossas conclusões sobre o ensino e aprendizagem de Sistemas
Lineares, tanto nesse trabalho como em possíveis trabalhos quanto na construção
de futuros produtos de ensino.
O questionário aplicado aos professores é similar ao aplicado aos alunos
(Vide Apêndice 2, p. 174 e Apêndice 3, p. 177, respectivamente), e seu objetivo é
fazer o cruzamento dos dados da experiência da docência com os resultados dos
sujeitos, e assim nos assegurar da necessidade desenvolver abordagens
135
alternativas de ensino deste conteúdo, e no nosso caso a analise a priori e a analise
a posteriori nos levaram a crer na Sequência Didática que apresentamos.
Por via do cruzamento dos dados observamos que no Gráfico 21, 67% dos
professores responderam que começam suas aulas com uma situação problema,
contra 33% começam pela definição. Enquanto que o Gráfico 7 (da análise a priori,
p. 78), mostra que 81% dos alunos responderam que a maioria das aulas começam
com a definição.
Gráfico 21/AAPST – Questão 7 do questionário para professores. Em suas aulas de Sistemas Lineares, a maioria delas são:
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
Os gráficos da análise a priori foram gerados pelo aplicativo do Google drive, pelo
grande quantidade de dados e a quantidade de gráficos que precisamos analisar.
Enquanto que os gráficos da análise a posteriori tiveram menor número de dados,
facilitando a aplicação do aplicativo Excel.
No gráfico 22, da questão 7, quando perguntamos aos professores, se seus
alunos conseguiam compreender suas aulas de Sistemas Lineares, 74%
responderam: Quase sempre, e 19%, poucas vezes e 0%, de nunca compreendem.
E quando perguntamos aos alunos se compreendiam as aulas sobre Sistemas
Lineares, gráfico 2 (da análise a priori p. 72), 52% responderam: poucas vezes ou
nunca.
As distorções que aparecem entre o Gráfico 21 e o Gráfico 7 e entre o
Gráfico 22 e o Gráfico 4, parecem está ligados ao fato de que: os sujeitos da análise
a priori foram apenas de uma escola do interior do estado do Pará, ao passo que
entre os professores consultados, alguns deles, como já citado, são de outras
cidades do Pará, e também de outros estados no Norte e Nordeste, sendo que entre
136
os professores respondentes, das cidades onde foi realizada o levantamento prévio
e da cidade foi aplicada a Sequência Didática, houve que respondeu que começa a
aula de Sistemas Lineares pela definição. E isto explica as contradições
demonstradas pelos gráficos acima citados.
Gráfico 22/AAPST – Questão 4 dos questionário para os professores. Seus alunos conseguem compreender suas aulas sobre Sistemas Lineares?
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
Diante deste viés de contradição, discutido acima, partimos para a análise
do gráfico 23, onde observamos que aproximadamente 96% dos professores
possuem alguma dificuldade para ensinar Sistemas Lineares, entre estes, 55%
acham difícil seu ensino por escalonamento. E o gráfico 10 (página 81), da análise a
priori mostra que aproximadamente que 90% dos alunos têm dificuldade de
aprender Sistemas Lineares por escalonamento. Então, pelo gráfico 23 e 10,
percebemos a compatibilidade entre as dificuldades de ensinar Sistemas Lineares
por escalonamento e as dificuldades que os alunos têm de aprendê-los.
Gráfico 23 – Questão 10 do questionário para os professores. No que se refere ao grau de dificuldade que seus alunos têm de aprender Sistemas Lineares, preencha o quadro abaixo (Marque com um X)
Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)
137
E na compreensão de que os resultados dos demonstrados nos gráficos 23
e 10 (pag. 81) aparecem como correção das distorções ocorridas anteriormente,
reforçam nosso entendimento sobre a necessidade de procurar mecanismos
didáticos para melhorar a qualidade do ensino deste assunto.
As ideias sócioconstrutivistas da aprendizagem partem do princípio de que a aprendizagem se realiza pela construção dos conceitos pelo próprio aluno, quando ele é colocado em situação de resolução de problemas. Essa ideia tem como premissa que a aprendizagem se realiza quando o aluno, ao confrontar suas concepções, constrói os conceitos pretendidos pelo professor (BRASIL, 2006, p. 81).
Por estas concepções, é que devemos nos colocar diante dos
questionamentos que podem ser gerados pelas reflexões sobre o que trazemos por
meio deste trabalho, e que numa espécie de resumo, os gráficos 22, 23 e 24,
confrontados com os gráficos: 2, 7 e 10 nos traduzem a urgência por mecanismos,
estratégias e produtos de ensino objetivando mudar esse quadro.
6.3 – Sobre o Cumprimento dos Objetivos da Sequência Didática
Quando iniciamos um curso de mestrado nossas expectativas baseadas nas
teorias que investigamos se elevam bastante, talvez seja um processo natural, para
que possamos suportar o peso da realidade do campo a ser pesquisado, e nos
sustentar na busca de resultados que justifiquem o trabalho, e assim, no caso de
nosso produto, junto com os resultados demonstrados, vem nossa crença de sua
efetividade no ensino deste conteúdo. E a contribuição dos professores de
matemática que já Lecionaram ou ainda lecionam Sistemas Lineares se tornou
importante no confronto de suas dificuldades em ensinar esse assunto, com as
dificuldades que os estudantes têm de aprendê-lo.
Na análise da nossa Sequência Didática, gostaríamos que o desempenho
dos sujeitos fosse mais unânime, mas as variações parecem naturais nas aptidões
humanas. Por meio da Figura 51, procuramos mostrar quão diversas se revelam as
produções de um grupo de sujeitos aprendizes (disciplina Matemática), depois de
categorizados e transformados em números.
138
Figura 51 – Mapa de Notas
Fonte: Escola Albertina Barreiro (2018)3
Quando nos dispomos a desenvolver um produto de ensino de Sistemas
Lineares, pelo método do escalonamento, imaginamos uma realidade perfeitamente
possível de respaldar um produto de forma a torná-lo altamente confiável e aplicável
sem necessidade de adaptação, mas o campo de pesquisa nos reconstrói e nos
refina no direcionamento da reflexão no sentido de que no campo educacional a
diversidade humana desenha pontos distintos que mudam sua distinção a cada
momento. E é nesse meio que se encontra o professor, na procura de entender as
diversidades, e assim poder para traçar modos de conviver e modelar novas formas
das pessoas enfrentar as realidades. E as aprendizagens que adquirimos no
decorrer deste trabalho, nos levaram à perguntas, do tipo: como fazem o que fazem?
Por que os fazem? E o que os incomoda no fazer? E então, a partir daí, sugerir aos
seus alunos, possíveis modos de como melhor ensinar.
Estas indagações parecem nos motivar para a procura de soluções, e na
nossa proposta, entendemos a Transposição Didática como um transformador de
um conteúdo cientificamente abstrato, em um conteúdo perceptível pelas estruturas
cognitivas que percebem os saberes de maneira mais clara, se se apresentados
engajados da vida prática e contextualizados.
É sem dúvida a arma mais poderosa em favor da transposição, é a ferramenta mais forte a favor da transposição didática. A contextualização é a amiga mais fiel da transposição. [...] Toda vez que for fazer uma contextualização, o professor deve ter em mente que ela é necessária para criar as margens do campo que ele irá explorar (ALMEIDA, 2011, p. 39).
3 Dado obtido através de um diário de classe de 2017, de um professor de matemática de uma escola
pública, do sudeste do estado do Pará.
139
Então, para melhor ensinar, torna se plausível, em primeira mão, buscarmos
as ligações possíveis entre o que queremos ensinar com algo do meio onde os
alunos, sendo que eles poderão trazer algo valioso para agregar o novo conteúdo no
contexto de sua vivência.
As mudanças de mentalidade das gerações são introduzidas pela educação,
e este processo tem como vanguarda os professores. Nesse sentido se um
professor conseguir fazer uma pequena mudança no pensamento de um grupo de
alunos, esta se potencializará no decorrer das gerações. Antes da aplicação da
atividade 1 (Apêndice 1), os alunos tiveram uma revisão sobre equação linear, para
reforçar este pré-requisito.
Atividade 1 teve o objetivo de proporcionar aos alunos os saberes para obter
uma equação equivalente. Em relação a este item, no teste inicial tiveram 70% de
acerto e no teste final conseguiram 100% de acerto, Desta forma, consideramos que
o objetivo proposto foi atingido.
A atividade 2 teve o objetivo de proporcionar aos alunos a construção do
conceito de sistema linear, e que, incorporada com as atividades 2, 3, 4, 5, 6 tiveram
o objetivo de proporcionar os sabes para obter sistemas equivalentes, testando as
respostas dos sistemas dados, para a verificação do que significa um sistema
equivalente, permutando suas ou aplicando as operações básicas. E os conceitos e
habilidades adquiridas por meio destas atividades levariam a responder as questões
2, 3, 4 do teste final. Aqui os alunos tiveram acerto médio no teste inicial de 5%,
enquanto que no teste final tiveram 82% de acerto médio.
As atividades 6, 7 e 8 tiveram o objetivo de proporcionar a complementação
das habilidades para interpretar, o enunciado que se entra na linguagem materna ou
figural para a linguagem algébrica, e aplicar os tratamentos adequados para a
resolução dos sistemas 2x2 e 3x3, que são as questões 5, 6, 7 e 8, do teste final.
Nestas questões, validamos as respostas representadas no diagrama qualificativo
de respostas em um tom mais claro do azul (Diagrama 1, p. 105), parcialmente
correta em 2/3 do valor percentual do azul mais escuro, por considerar que o sujeito
interpretou o enunciado corretamente, fez a conversão dos registros da linguagem
materna para a linguagem algébrica, e alguns deles sujeitos ainda executaram os
primeiros passos do tratamento do escalonamento.
Estas iniciativas, podem ter possibilitado os sujeitos ao aproveitamento de
41% no teste final, diante de 0% no teste inicial. No prosseguimento desta linha de
140
entendimento, acreditamos que esta Sequência Didática pode promover a
construção de um corpo de saberes em Sistemas Lineares importantes para o
presente e para a continuação de estudos futuros que complementam este assunto.
Isto, possivelmente facilitado pelas transformações promovidas pela transposição
didática, e pela assimilação adquirida aqui destas propriedades estes estudantes
poderão ter melhor leitura do mundo cotidiano pela ótica dos Sistemas Lineares e na
sua melhor capacitação no ingresso nos cursos de exatas na universidade.
A importância do estudo de sistemas lineares se deve por uma utilização na modelagem de diversos problemas. Esses problemas vão desde os mais simples envolvendo duas equações e duas incógnitas e resolvidos até mesmo insperção ou por métodos bastante simples até problemas de áreas científicas e tecnológicas abrangendo um grande número de variáveis e necessitando de métodos elaborados e mais robustos de resolução (FERREIRA, 2013, p. 141)
Ferreira (2013) nos informa o quanto o conhecimento deste assunto tende a
ser significativo o rol de saberes dos estudantes egressos do ensino básico, e pelo
visto, torna se por sua vez relevante a nossa preocupação em desenvolver um
produto que seja aplicado, buscando o melhor resultado no ensino do que
especificamente para o Ensino Médio o chamamos de Sistemas Lineares.
A seguir, para percebermos a estatística do teste pareado, aplicado às notas
colhidas pelo teste inicial, aplicado antes da experimentação com a Sequência
Didática, e as do teste final, aplicado depois da experimentação com a mesma,
Procurando explicitar ao leitor o comparativo, e a diferença de aprendizagem
detectada que acreditamos ter sido causada pelo trabalho com a Sequência
Didática, e percebida via análise a posteriori.
6.4 - Teste de Hipótese “t” de Student para as Notas Pareadas
O teste “t” (a letra “t” vem da distribuição t de Student)4 tem uma origem
curiosa, pois se refere a William Sealy Gosset (1876 – 1937), por usar o pseudônimo
de Student em seus trabalhos. De acordo com Memória (2004, p. 33), o trabalho de
Student (1908 apud BARBETA, 2002, p. 217), sob a orientação de Pearson, é
4 MEMÓRIA, J. M. P. Breve História da Estatística: texto para discussão 21. Brasília DF: Embrapa
Informação Tecnológica, 2004.
141
considerado o marco inicial do estudo das pequenas amostras. E que o pensamento
de Student era de que “qualquer experimento pode ser considerado um indivíduo de
uma população de experimentos realizados sob as mesmas condições” (op. cit., pág
217). E o objetivo do uso deste teste é confirmar a efetividade do uso desta
Sequência Didática no ensino deste assunto por escalonamento, visto a diferença
nas notas pareadas com 95% de confiança.
Os procedimentos para estudar os dados, coletados nesta pesquisa foram
baseados em Barbeta (2002, p. 217), e para efeito de melhor visualização das notas,
apresentamos as pontuações do teste inicial, gráfico 19, já citado, junto com a
pontuação do teste final, convertidas em notas de 0 a 10, gráfico 24.
Gráfico 24/AAPST – Teste inicial e final
Fonte: Pesquisa de campo (2018)
Em seguida, apresentamos os cálculos do pareamento estatístico, para
verificar se houve diferença estatisticamente significativa e consequentemente,
validar este método como possível de ser aplicado com sucesso como ferramenta
subsidiária do trabalho do professor em sala de aula.
Os resultados da tabela 1 e 2, calculados pelo aplicativo excel, e pelas
orientações de Barbeta (2002, op cit. p. 218 - 219,). Para obter o valor de “t” do teste
t de Student, aplicamos os resultados das tabelas na fórmula (1), em seguida na
fórmula (2) conforme a convenção.
De acordo com as instruções da aplicação do teste, se “t” calculado, der
menor ou igual a “t” tabelado, aceita se a hipótese nula. Em outras palavras, não
houve produção significativa. Porém, se “t” calculado der maior que “t” tabelado,
aceita se a hipótese alternativa, em outras palavras, quer dizer que houve
produtividade em quantidade significativa. Para este trabalho, quer dizer que a
142
diferença das notas do teste final em relação ao teste inicial não aconteceu
aleatoriamente.
Tabela 1: Notas por dupla Tabela 2: Resultados
Fonte: Pesquisa de campo (2018)
Fonte: Pesquisa de Campo (2018)
Hipótese de teste
H0: hipótese nula → “t” cal ≤ “t” tab
H0: Hipótese alternativa → “t” cal > tab
Conclusão do teste: como “t” cal. 9,41 > “t” tab. 1,78, aceita se a hipótese
alternativa, ou seja, de acordo com a amostra analisada, com 95% de confiança, não
podemos afirmar que a Sequência Didática não produziu resultados estatisticamente
significativos.
143
6.5 – Considerações Sobre a Pesquisa
Para desenvolver uma sequência didática para o ensino de Sistemas
Lineares, capaz de ajudar o professor a melhorar seu trabalho em sala de aula, além
do nosso levantamento de campo, nos apoiamos também em trabalhos realizados
em outros Estados, e nestes, detectaram os mesmos problemas, e isso nos leva a
acreditar que a nossa Sequência Didática, pode ajudar também os professores
destes lugares. Percebemos também, por ocasião da experimentação que apesar da
atividade exigir o foco do aluno, a presenças do professor continua sendo
importante, vejamos o que diz Cabral (2017).
[...] o professor pode perceber que o aluno cometeu um erro por falta de atenção, por exemplo, um dado incompleto ou equivocado [...], o aluno pode ter estacionado suas atividades por não ter compreendido o comando sugerido pela SD em função, por exemplo, da falta de conceito, uma noção abstrata específica sobre a qual a SD foi organizada. Nesse caso o professor agirá no sentido de possibilitar esse domínio (CABRAL, 2017, p. 49-50).
Nessa perspectiva, é possível que um determinado professor possa
encontrar turmas com todas estas características. Então, com base no nosso
levantamento prévio, e na literatura consultada, a turma de experimentação da
Sequência Didática, deveria ter todas as características descritas por Cabral (2017,
op cit). Por isso nos apoiamos nos autores Rosso e Nívia (2010) para aplicar a
experimentação com sujeitos agrupados em duplas, tentando nos enquadrar no
tempo que faltava para o final do ano letivo:
A cooperação entre os alunos e a socialização das respostas leva em conta os fatores ligados à autonomia, tais como: a exposição de seu modo de pensar, a troca de ideias entre os colegas, o uso de estratégias, o diálogo com o professor. A autonomia do aluno é favorecida quando o seu erro pode ser corrigido em cooperação com os colegas e o professor, e não pela simples sobreposição da certeza ou correção do professor (ROSSO e NÍVIA, 2010, p. 11).
Então, agrupamos os sujeitos em duplas para as atividades da Sequência
Didática, porém este fato não proíbe o professor de trabalhar com a mesma,
individualmente. O agrupamento em duplas se tornou útil em nosso trabalho, pelas
vantagens citadas por Rosso e Nívia (2010, op cit.), quando contamos com a partilha
das ideias no desenvolver das atividades. A abordagem contextual poderá ser
144
adaptada, para contemplar os costumes e afazeres locais, sem mudar a essência da
experimentação, porem, se assim ocorrer, se caracterizaria outra sequência didática
esta, já se encontra no estado pronto.
A área de Ensino é, portanto, uma área essencialmente de pesquisa translacional, que busca construir pontes entre conhecimentos acadêmicos gerados em educação e ensino para sua aplicação em produtos e processos educativos na sociedade (SILVA e DEL PINO, 2016, p. 3, grifo nosso).
Dentro dessa translação relacional, citada por Silva e Del Pino (2016),
entendemos que se encontra o professor, como construtor destas pontes entre cada
conteúdo acadêmico e os estudantes. No entanto, estas pontes não podem ser
iguais, porque cada meio cultural trazem seus contextos, como uma espécie de
códigos de acesso a serem usados pela transposição didática, para proporcionar a
assimilação por parte dos alunos.
Os resultados de nossa pesquisa, procuramos apresentar por duas vias:
pela via qualitativa, quando usamos a análise semiótica de Duval para avaliar a
aprendizagem dos sujeitos, por meio de seus escritos, e pela via quantitativa,
quando quantificamos os seus rendimentos pelos mecanismos gráficos da estatística
descritiva e pelo teste de hipótese “t” de Studente. Depois de demonstrada que
nossa Sequência Didática produziu resultados significativos na aprendizagem dos
sujeitos, percebemos que este trabalho porta as possibilidades de ajudar a melhora
o trabelho dos professores em sala de aula e ainda servir de apoio para trabalho
futuros.
145
7 – CONSIDERAÇÕES FINAIS
O objetivo deste trabalho foi pesquisar a viabilidade metodológica para o
desenvolvimento de uma Sequência Didática para o ensino de Sistemas de
Equações Lineares no Ensino Médio. Para isso, realizamos toda nossa pesquisa
guiada pelos principais critérios da engenharia didática, de Michele Artigue,
consultando os autores que em seus trabalhos abordaram metodologias de
pesquisas, as metodologias de ensino de Sistemas Lineares, suas aplicações e
como desenvolveram seus trabalhos. E depois da Sequência Didática Pronta,
experimentada in loco, de acordo com a análise a posteriori realizada sobre os
registros deixados pelos sujeitos, passaremos a expor as considerações sobre o
trabalho.
7. 1 – Resultados Alcançados
A) A pesquisa guiada pelos pressupostos da engenharia didática
proporcionou segurança na execução de cada etapa da mesma;
B) Descoberta in loco da necessidade do estabelecimento de organizadores
prévios depois do teste inicial e antes da aplicação da Sequencia Didática;
C) A Sequência Didática produziu resultados significativos na aprendizagem
dos sujeitos da pesquisa, conforme os mecanismos de apresentação como os
gráficos de coluna e os diagramas qualificativos de respostas;
D) Em relação ao objetivo geral, a sequência Didática proporcionou aos
sujeitos da pesquisa, a assimilação dos conceitos de sistemas equivalentes,
necessárias para a construção das habilidades para resolução de sistemas lineares,
proporcionou a assimilação do conceito de Sistemas Lineares, o suficiente para
realizar a conversão do enunciado que se encontrava na linguagem comum, para a
linguagem algébrica;
E) Em relação aos objetivos específicos, a Sequência Didática promoveu a
compreensão do conceito de sistemas equivalentes, possibilitou o estudo dos
processos que favoreceram a aprendizagem da aplicação das operações básicas
para obter sistemas equivalentes, proporcionou o desenvolvimento de uma
Sequência Didática sobre Sistema de Equações Lineares, usando a engenharia
didática de Michele Artigue;
146
F) O resultado geral foi estatisticamente significativo, diante do teste de
hipótese “t” de Student com os dados pareados;
7.2 – Ponderações e Recomendações
Pelo pouco tempo disponível para o estabelecimento dos organizadores
prévios, as habilidades para a aplicação das operações básica nas equações de
sistema linear foram construídas parcialmente, recomendamos reservar maior tempo
para o estabelecimento dos organizadores prévios, no reforço dos pré-requisitos que
dão suporte à aprendizagem de Sistema de Equações Lineares.
A Sequência Didática que foi desenvolvida ao longo desse processo vai ser
disponibilizada em um volume à parte para o trabalho do professor que preferir
trabalhar com sequência didática com seus alunos.
7.3 – Indicativos para Trabalhos Futuros
Em relação a futuros trabalhos, observamos que para cobrir esse conteúdo,
outros itens se fazem merecedores de nossas atenções para futuras investigações,
via Sequência Didática, arquitetado por Kumon (1914-1995) e obedecendo a
definições de Zabala (1998): a classificação de sistemas lineares quanto às
soluções, as linguagens representativas dos Sistemas de Equações Lineares e as
demais contextualizações, como: as modalidades esportivas, as diversas culinárias
regionais que permeiam a nossa cultura brasileira, entre outras formas contextuais.
Dentro das diversas ramificações culturais, marcadas pelas experiências de
vida de cada povo, demandando assim de saberes múltiplos, os Sistemas de
Equações Lineares ainda muito carecem de investigações e metodologias para
contemplar os canais de assimilação desse assunto, por parte de nossos alunos.
147
8 – R EFERÊNCIAS
AGUILÀ, B. J. Jogos para Aguçar a Inteligência: 111 enígmas surpreendentes e muito divertidos. Tradução de Guilherme Summa. Petrópolis, RJ: Vozes,2014.
ALLEVATO, N. S. G. ONUCHIC, L. R. Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática: por que Através da Resolução de Problemas? In: ONUCHIC, L. R. et al. Resolução de Problema: Teoria e Prática. Jundiaí: Paco, 2014.
ALVES, E. M. S. Ludicidade e o Ensino da Matemática. Campinas, SP. Papirus, 2001.
ALMEIDA, S. L. S. S; OLIVEIRA, K. S e FLORÊNCIO M. F. Ensino por Investigação: uma proposta de leitura e escrita no ensino de biologia. In: V Enebio e II Enebio. Regional I. Associação Brasileira de Ensino de Biologia. Revista da SBEnBio - N. 7. Outubro de 2014.
ALMEIDA, G. P. Transposição Didática: por onde começar? São Paulo: Cortez, 2011. ANDRADE FILHO, B. M. et al. As Representações Semióticas no Estudo de Equações Lineares. VIII Simpósio Sobre a Formação de Professores – SIMFORP. Universidade do Sul de Santa Catarina – UNISUL. Campus de Tubarão. 7 a 12 de nov. 2018. ANTON, H; RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações. 10ª ed. Porto alegre: Bookman, 2012. ANTONIASSI, K. R. O Ensino de Sistemas de Equações de primeiro Grau com Duas Incógnitas no Oitavo Ano de Ensino Fundamental Através de Situações-Problema. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática) PROFMAT. Programa de Pós-Graduação Mestrado profissional em Matemática – Universidade Federal de São Carlos: UFSCar, 2013. ANTUNES, C. Jogos para a Estimulação das Múltiplas Inteligências. 20 ed. Petrópolis, RJ: Vozes, 2014. BARBETA, P. A. Estatística Aplicada às Ciências Sociais. 5 ed. Florianópolis: UFSC, 2002. BEZERRA, O. M; MACEDO, E. S; MENDE, I. A. Matemática em Atividades, Jogos e Desafios: para os anos finais do ensino fundamental. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2013. BORBAS, M. de C; SILVA, R. S. R. da; GARDANIDIS J. Fases das Tecnologias Digitais em Educação Matemática. Sala de Aula e Internet em Movimento. Belo Horizonte: Autêntica, 2014. BRAGA, C. Função: A Alma do Ensino da Matemática. São Paulo: Fapesp, 2006.
148
BRASIL. Secretaria da Educação. Lei de Diretrizes e Bases da Educação. Lei 9394/96 LDB. MEC, 1996. BRASIL. Secretaria da Educação Básica. Orientações Curriculares para o Ensino Médio (OCEM): Ciências da Natureza, Matemática e Suas Tecnologias. Brasília: MEC, 2006. _______Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria da Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática- 3º e 4º ciclo. Brasília: MEC/SEF, 1998. ________Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria da Educação. Fundo Nacional da Educação Básica. Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio (PNLEM, 2009). Brasília: MEC, 2008. BOYER, C. B. História da matemática. Revista por Uta C. Merzbach; Tradução de Elza F. Gomide. 2 ed. São Paulo: Edgard Blucher, 2003. BZUNECK, J. A. Como Motivar os Alunos: sugestões práticas. In: BORUCHOVITCH, E; BZUNECK, J. A; GUIMARÃES S. E. R. Motivação para aprender: aplicações no contexto educativo. Petrópolis, RJ: Vozes, 2010. CABRAL, N. F. Sequências Didáticas: Estrutura e Elaboração. Belém, PA: SBEM, 2017. CALIOLLI, A. C; DOMINGUES, H. H e COSTA. R. C. F. Álgebra Linear e Aplicações. São Paulo, SP: 6 ed. Atual, 1990. CARDOSO; N. P. et al. Atividade Orientadora de Ensino: uma experiência utilizando trocas nos anos iniciais. In: III EIMAT – Escola de Inverno de Educação Matemática – 1º Encontro do PIBID – Matemática. De 01 a 03 de agosto, 2012. CARNEIRO, V. C. G. Engenharia didática: um referencial para ação investigativa para formação de professores de matemática. In: Zetetiké, Campinas: UNICAMP, v. 13, n. 23, 2005, p. 85-118. CHAMBERS, P; TIMLIN, R. Ensinando Matemática para Adolescentes. Tradução: Gabriela Wondracek Linck. Revisão técnica: Katia Stocco Smole. 2ª Ed. Porto Alegre: Penso, 2015. CHEVALLARD, E. La Transposición Didactica. 3ª Ed. Buenos Aires: Aique, 2005. CHIARI, A. S. A Utilização do Escalonamento na Resolução de Sistemas Lineares por Alunos do Ensino Médio. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática. Universidade Federal de Mato Grosso do Sul. Campos Grande, 2011. Disponível em: <https://sistemas.ufms.br/sigpos/portal/trabalhos/download/.../cursoId:91>. Acesso em: 10 dez. 2016. CRESWEL, J. W. Projeto de pesquisa: métodos qualitativo, quantitativo e misto. Tradução Luciana de Oliveira da Rocha. 2ª ed. - Porto Alegre: Artmed,2007.
149
CURY, H. N. Análise de Erros: O que podemos aprender com as respostas dos alunos. Belo Horizonte: Autêntica, 2008. D’AMORE, B. Elementos de Didática da Matemática. Tradução Maria Cristina Bonomi. São Paulo: Livraria da Física, 2007. SEMIÓTICA In: Dicionário do Aurélio, abr. 2018. Disponível em: <https://dicionariodoaurelio.com/semiotica> Acesso em: 22 jun. 2018. DIONÍZIO, F. A. Q. e BANDT, C. F. O Caminho Percorrido pela Semiótica e a Importância dos Registros de Representação Semiótica para a Aprendizagem da Matemática. In: IX ANPED SUL: Seminário de Pesquisa em Educação da Região Sul, 2012. DUVAL, R. Registros de Representação Semiótica e Funcionamento Cognitivo do Pensamento. Tradução: Méricles Thadeu Moretti. In: Revemat: R. Eletr. de Edu.
Matem. ISSN 1981-1322. Florianópolis, v. 07, n. 2, p. 266-297, 2012. Disponível em: < https://periodicos.ufsc.br/index.php/revemat/article/view/1981-1322.2012v7n2p266/23465 >. Acesso em: 28 fev. 2018. _________Introdução à História da Matemática. Tradução: Higino H. Domingues. Campinas, São Paulo: Unicamp, 1997. DUTRA, G; MARTINS, M. I. A Recuperação Paralela no Ensino de Física: o que
pensa o professor? Ensaio: aval. pol. públ. Educ., Rio de Janeiro, v. 20, n. 74, p.
135-164, jan./mar. 2012. Disponível em: <www.scielo.br/pdf/ensaio/v20n74/a08v20n
74.pdf>. Acesso em: 24 fev. 2018.
EVES, H. Introdução á História da Matemática. Tradução Higino H. Domingues. Campinas: UNICAMP, 2004. FERREIRA, A. G. A Importância dos Sistemas Lineares no Ensino Médio e a Contribuição para a Matemática e Suas Aplicações. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática, área de concentração: Matemática). Universidade Estadual de Ponta Grossa, 2013. FARIAS, K. J. C. Calculadora de Produtos Notáveis Utilizando o App Inventor 2. In: ALVES, F. J. C; PEREIRA C. C. M. Aplicativos para o Ensino de Matemática em App Inventor. Curitiba: CRV, 2016. FREITAS, N. A. Sistemas de Equações Lineares: Uma Proposta de Atividade com Diferentes Registros de Representação Semiótica. Dissertação (Mestrado Profissional em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP), 2013. Disponível em: <https://tede2.pucsp.br/handle/handle/10983>. Acesso em: 07 dez. 2016. FREITAS, A. K. M. Psicologia das Cores em Comunicação. Núcleo de Comunicação - NUCOM. ISCA Faculdades. Limeira, São Paulo: V4, nº 12 - Out/Dez. 2007.
150
GARDNER, H. Inteligências Múltiplas: A Teoria na Prática. Tradução Maria Adriana Veríssimo Veronese. Porto Alegre: Artmed, 1995. GIL, R. S. A. Jogos matemáticos Regionalizados. Belém, PA: SBEM, 2017. HELLER, E. A psicologia das Cores: como as cores afetam a emoção e a razão. Tradução Maria Lúcia Lopes da Silva. 1.ed. São Paulo: Editora Gustavo Gili, 2013. HUETE, J. C. S. e BRAVO, J. A. F. O Ensino da Matemática: Fundamentos Teóricos e Bases Psicopedagógicas. Tradução: Ernani Rosa. Porto Alegre: Artmed, 2009. ITACARAMBI, R. R. O Jogo como Recurso Pedagógico: Para trabalhar matemática na escola básica. São Paulo: Livraria da Física, 2013. JESUS, A. T; FITA. H. C. A motivação em Sala de Aula: o que e, como se faz. Tradução Sandra Garcia. 11ª ed. São Paulo: Edições Loyola, 2015. JORDÃO, A. L. I. Um Estudo Sobre a Resolução Algébrica e Gráfica de Sistemas Lineares 3x3 no 2º Ano do Ensino Médio. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP). 2011. Disponível em: <https://tede2.pucsp.br/handle/handle/10861>. Acesso em: 07 dez. 2016. KUMON, T. Estudos Gostosos de Matemática: O segredo do Método Kumon. Tradução Silvia Shiota. 9ª ed. São Pulo: Instituto Kumon Educação, 2001. LAMIN, M. R. N. Resolução de Problemas Modelados com Sistemas Lineares. Trabalho de Conclusão de Curso em Matemática: Habilitação Licenciatura. Universidade Federal de Santa Catarina. Florianópolis: UFSC. 2000. Disponível em: <http://www.mtm.ufsc.br/~daniel/7105/Maria_Regina_Nunes_Lamin.PDF>. Acesso em: 29 nov. 2016. LAWSON, T. Algebra Linear. Tradução Elza F. Gomide. São Pulo: Blucher, 1997. LAY, D. C. Álgebra linear e suas aplicações; tradução Ricardo Camelier e Valéria de Magalhães Iório; 2ª edição [Reimpr.], Rio de Janeiro: LTC, 2011. LERMAN, M. S. Proposta de uma Sequência Didática para Conceituação de uma Derivada como Taxa de Variação Instantânea. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Universidade Severino Sombra 2011. LIBÂNEO, J. C. Didática. Coleção Magistério 2º Grau. Série formação do Professor. 23ª ed. São Paulo: Cortez, 1994. LIMA, A. F C. Quando a Avaliação Deixa de Ser um Mistério e Contribui para a Aprendizagem de Matemática. In: LOPES, C.S; MUNIZ M. I. S. O processo de Avaliação nas Aulas de Matemática. Campinas, SP: Mercado das Letras, 2010. LUCKESI, C. C. Avaliação da Aprendizagem Escolar. 15ª ed. São Paulo: Cortez, 2003.
151
LENI, S. M. Implicações produzidas pela avaliação externa no trabalho docente: uma análise no Município de Duque de Caxias de Duque de Caxias. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Rio de Janeiro, Faculdade de Educação, Programa de Pós-Graduação em Educação. Rio de Janeiro, 2016. MANTOVANI. S. R. Sequência Didática como Instrumento de Aprendizagem Significativa do Efeito Fotoelétrico. Dissertação (Mestrado) – Universidade Estadual Paulista, Faculdade de Ciência e Tecnologia. São Paulo, 2015. MEIRA, L. Análise Microgenética e Videografia: Ferramentas de pesquisa em psicologia cognitiva. In: Temas em Psicologia. v.2, n.3, Ribeirão Preto, dez, 1994. Disponível em: <http://pepsic.bvsalud.org/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1413-389X1994000300007>. Acessado em: 26 set. 2017. MELO, J. N. B. Uma Proposta de Ensino e Aprendizagem de Programação Linear no Ensino Médio. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática). Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática: Mestrado Profissionalizante em Ensino de Matemática. Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Porto Alegre, 2012. Disponível em: <http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/novos_conteudos/modulo_II/pdf/dissertacao_jorge_melo.pdf>. Acesso em: 30 nov. 2016. MEMÓRIA, J. M. P. Breve História da Estatística: texto para discussão 21. Brasília DF: Embrapa Informação Tecnológica, 2004. MENDES, I. A; CHAQUIAM, M. História nas Aulas de Matemática: Fundamentos e Sugestões didáticas para Professores. Belém: SBHMat, 2016. MENDONZA, M. A. G. La Transposición Didáctica: Historia de um Concepto. In: Revista Latinoamericana de Estudios Educativos. Volumen 1, Julio - Diciembre 2005. MIRANDA, W. S. Erros e Obstáculos: os conteúdos matemáticos do ensino fundamental no processo de avaliação. Dissertação (Mestrado em Ciências e Matemática) – Programa de Pós-graduação em Ciências e Matemática, Núcleo de Pedagógico de Apoio ao Desenvolvimento Científico – NPADC da Universidade Federal do Pará. Belém, 2007. MORAIS, R. S; ONUCHIC, L. R. Uma Abordagem Histórica da Resolução de Problemas. In: ONUCHIC, L. R. Resolução de Problemas: Teoria e Prática. Jundiaí: Paco, 2014. MOREIRA, M. A. Aprendizagem Significativa: A teoria e textos Complementares. São Paulo: Livraria da Física, 2011. MORETTO, V. P. Prova: Um Momento Privilegiado de Estudo, Não um Acerto de Contas. 6 ed. Rio de Janeiro: DP&A, 2005. MORRIS, W. C. Fundamentos da Teoria dos Signos. Tradução: Antônio Fidalgo. Universidade da Beira. 1976.
152
MUNIZ, M. I. S. A prática Avaliativa nas aulas de Matemática. In: LOPES, C.S; MUNIZ, M. I. S. O processo de Avaliação nas Aulas de Matemática. Campinas, SP: Mercado das Letras, 2010. NASCIMENTO, J. E MORELATTI, M. R. M. A Análise de Erros em Matemática: elementos para a formação docente. In: X CONPE Congresso Nacional de Psicologia Escolar e Educacional. De 3 a 6 de jul. de 2011. Disponível em: https://abrapee.wordpress.com/conpe/x-conpe-2011/ > acesso em 16/01/2018. NEMAN, L. S. Sistemas de Equações Lineares e Suas Interpretações. (Dissertação de Mestrado Profissional em Matemática) – PROFMAT. Universidade Federal do ABC. Santo André, 2013. Disponível em: <http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/bitstream/handle/123456789/913/2011_00690_LEONARDO_SILVESTRE_NEMAN.pdf?sequence=1>. Acesso em: 20 nov. 2016. BERTI, N. M; ROSSO, A. J. O Erro e o Ensino-aprendizagem de Matemática na Perspectiva do Desenvolvimento da Autonomia do Aluno. In: Boletim de Educação Matemática – BOLEMA. Rio Claro (SP), v. 23, nº 37, p. 1005 a 1035, dezembro 2010. OLIVEIRA JUNIOR, A. P; et al. Jogos de fixação de aprendizagem em Estatística no Ensino Fundamental. In: I CEMACYC – I Congreso de Educación Matemática de América Central y el Caribe. Santo Domingo, RD. De 6 al 8 de nov. 2013. Disponível em: <http://www.centroedumatematica.com/memorias-icemacyc/44-417-2-DR-C.pdf> acessado em: 17 out. 2017. PAIS, L. C. Didática da Matemática: Uma Análise da Influência Francesa. 3ª ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2011. PANTOJA, L.F.L. A Conversão de Registros de Representações Semióticas no Estudo de Sistemas de Equações Algébricas Lineares. Dissertação (Mestrado em Educação em Ciências e Matemáticas do Núcleo de Pesquisa e Desenvolvimento da Educação Matemática e Científica) – Universidade Federal do Pará, Belém, 2008. PEDRO NETO, J; SILVA, J. N. Jogos Matemáticos, Jogos Abstratos. Espanha: Gradiva, 2004. PERETTI, L; COSTA, T. G. M. Sequência didática na matemática. In: Rei: Revista de Educação do Ideau. Vol. 8 - N. 17, 2013. Disponível em:< http://www.ideau.com.br/getulio/restrito/upload/revistasartigos/31_1.pdf>. Acessado em: 12 out. 2017. PILETTI, C. Didática Geral: Série Educação. 23ª ed. São Paulo: Ática. 2002. PIÑOL, S. T. Pesquisa Nota 10: Métodos e Técnicas de Pesquisas Sociais na Prática. Cuiabá: Rondonópolis: Editora FAIR – UNIR, 2011. POOLE, D. Álgebra Linear. Tradutoras Martha Salerno Monteiro et al. São Paulo: Thomson, 2004.
153
POCHULU, M. D. Análisis y Categorización de Errores en el Aprendizaje de la Matemática en Alumnos que Ingresan a la Universidad. In: Revista Iberoamericana de Educación. (ISSN: 1681-5653). Disponível em: <http://www.red-redial.net/revista-revista,iberoamericana,de,educacion-45.html>. Acessado em: 24 fev. 2018. RODRIGUES, E. P. Sistema de Equação Linear: Um Estudo de Sua Abordagem nos Cadernos do Professor de Matemática de 2008 e 2009 da Rede Pública de Ensino do Estado de São Paulo. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP). São Paulo, 2011. RANGEL, W. S. A. Projeto de Modelagem Matemática e Sistemas Lineares: contribuição para a formação de professores de Matemática. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de Ouro Preto. Instituto de Ciências Exatas e Biológicas. Departamento de Matemática. Área de concentração: Educação Matemática, 2011. RORATTO, C. NOGUEIRA, C. M. I. KATO, L. A. Uma Sequência Didática Potencialmente Significativa para o Ensino de Funções: Primeiros Relatos. In: X Encontro paranaense de Educação Matemática (EPREM). Educação Matemática no Paraná – 20 Anos: Avanços, Desafios e Perspectivas. De 17 a 19 de set, 2009. ROSA NETO, E. R. Didática da Matemática. 11ª ed. São Paulo: Atica. 2001. ROSSO, A. J; NÍVIA; M. B. O Erro e o Ensino-aprendizagem de Matemática na Perspectiva do Desenvolvimento da Autonomia do Aluno. In: Boletim de Educação Matemática, vol. 23, núm. 37, pp. 1005-1035 Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho Rio Claro, Brasil: 2010. Disponível em: < http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=291221915008 >. Acessado em: 16 jan. 2018. RUFATO, S. A. C. Sistemas Lineares, Aplicações e Uma Sequência Didática. Dissertação (Mestrado profissional em Matemática) - Programa de Pós-Graduação em Matemática em Rede Nacional. Universidade de São Paulo. Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação. São Paulo, 2014. SANTOS; F. C. A. BIZERRIL; M. X. A. Proposição de uma Estratégia para o
Desenvolvimento do Tema Transversal Meio Ambiente no Contexto do Ensino Médio.
In: V Enebio e II Enebio. Regional I. Associação Brasileira de Ensino de Biologia. Revista da SBEnBio - N. 7. Outubro de 2014. SÁ, P. F; JUCÁ, R. S. O Ensino dos Números Decimais por Atividades. In: Matemática por atividades: experiências didáticas bem-sucedidas. Org: SÁ, P. F; JUCÁ, R. S. Petrópolis, RJ: Vozes, 2014. SÁ, Pedro Franco de. Atividades para o Ensino de Matemática no Ensino Fundamental. Belém: EDUEPA, 2009. SALGADO, R. C. S & SÁ, P. F. A Calculadora e o Ensino de Matemática. In: SÁ, P. F & SALGADO, R. C. S. Calculadora: Possibilidades de Uso no Ensino da Matemática. Belém: EDUEPA, 2015.
154
SANSHIS, I. P;MANFOUD, M. Interação e Construção: o sujeito e o conhecimento no construtivismo de Piaget. In: Ciência e Cognição. V. 12, 2007. Disponível em:< http://www.cienciasecognicao.org>. Acessado em: 08 out. 2017. SAYER, W. W. Mathematician’s Delight. New York: Dover, 2007. SEVERINO, A. J. Metodologia do Trabalho Científico. 24ª ed. São Paulo: Cortez, 2016. SILVA, P. A. D; DEL PINO, J. C. SILVA. O Mestrado Profissional na Área do Ensino. In: HOLOS, Ano 32, Vol. 08 – Universidade Federal do Rio Grande do Sul – UFRGS, 2016.
SILVA, F. H. S. Formação de Professores: Mitos do Processo. Belém: EDUFPA, 2009. SILVA, M. E. Jogo II Corrida ao Castelo. In: Portal do Professor, 2013. Disponível em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=50653 >. Acesso em: 20 ago. 2017. SMOLE, K. S; DINIZ, M. I; MILANI E. Caderno do Mathema: Jogos de Matemática de 1º a 3º Ano. Porto Alegre: Artmed, 2007. SOBREIRA, A. A; SILVA, J. A. R. da. Objetos de Aprendizagem para Estudos de Cônicas: elipse e hipérbole. In: ALVES. F. J. C e PEREIRAC. C. M. Objeto de Aprendizagem no Geogebra-(organizadores). Curitiba: CRV, 2016. SOUZA, R. N. S; CORDEIRO, M. H. A contribuição da Engenharia-Didática para a prática docente de Matemática na Educação Básica. Disponível em: <
https://pt.scribd.com/document/63134483/ENG-DIDATICA-DA-TEORIA-A-PRATICA >. Acessado em: 10 ago. 2017. SPINILLO, A. G. et al. O Erro No Processo de Ensino-aprendizagem da Matemática: errar é preciso? In: Boletim Gepem. n. 64 – Jan a Jun. 2014. Disponível em: <http://dx.doi.org/10.4322/gepem.2015.005>. Acesso em: 20 Jan. 2018. STEINHORST, A. C. O Processo de Construção de Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares no Ensino Médio utilizando a Planilha como Recurso: Um Estudo Comparativo. Dissertação (Mestrado em Educação em Ciências e Matemática). Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemática. Faculdade de Física. Porto Alegre, 2011. Disponível em: <http://primo-pmtna01.hosted.exlibrisgroup.com/PUC01:PUC01:puc01000381728>. Acesso em: 07 dez. 2016. TAVARES, A. H. C; PEREIRA, A. G. C. História da Matemática no Ensino de Sistemas Lineares Determinantes e Matrizes. Disponível em: <http://www.cibem7.semur.edu.uy/7/actas/pdfs/262.pdf>. Acesso em: 20 nov. 2016. TANUS, V. L. F. A; DARSIE, M. M. P. O Erro como Forma Provisória do Saber: um tratamento diferenciado no processo ensino-aprendizagem da matemática. In: Revista Educacional Pública. Cuiabá. V. 21 n, 45, p. 169 - 189. Jan/abril, 2012.
155
Disponível em: < http://periodicoscientificos.ufmt.br/ojs/index.php/educacaopublica/issue/view/49/showToc>. Acesso em: 13 mar. 2018. TEIXEIRA, L. R. M. A Análise de Erros: uma perspectiva cognitiva para compreender o processo de aprendizagem de conteúdos matemáticos. In: Nuances - Vol. III – p. 47 - 52. Setembro de 1997. Disponível em: <https://revistanuances.wordpress. com/volumes/>. Acesso em: 13 jan. 2018. TRALDI, M. J; ROSA, V. A Relação Ensino/Aprendizagem: Uma Análise Metodológica. In: X Encontro Nacional de Educação Matemática, Cultura e Diversidade (ENEM). Salvador/Ba: de 7 a 9 de julho de 2010. Disponível em: <http://www.lematec.net.br/CDS/ENEM10/artigos/PT/T11_PT1174.pdf> Acesso em: 13 jan. 2017. TRALDI JR, A. Sistema de Inequação do Primeiro Grau: uma abordagem do processo ensino e aprendizagem focando os registros de representações. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. São Paulo, 2002. VALIENTE, E. S. P. Aplicações de Sistemas Lineares e determinantes na Engenharia Civil. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática) PROFMAT. Programa de Pós-Graduação Mestrado profissional em Matemática em Rede Nacional. Universidade Federal de Mato Grosso do Sul. Campo Grande, 2015. WINKELER, M. S. B; COSTA, R. R. Dificuldades de Aprendizagem em Matemática: aspectos teórico-metodológicos da psicopedagogia. XI Encontro Nacional de Educação
Matemática. Curitiba, Paraná: 18 a 21 de julho de 2013. ZABALA, A. A Prática Educativa: Como Ensinar. tradução Ernani F. da F. Porto Alegre: Artmed, 1998.
156
APÊNDICES
157
Apêndice-01
SEQUÊNCIA DIDÁTICA
Atividade 1: Equações equivalentes
Objetivo: Equação lineares equivalentes.
Material: Lápis, borracha, caneta, papel A4 e roteiro de atividades.
Procedimento: Preencher a coluna B seguindo as instruções da A e responder as
questões seguintes.
A B C
Equação: 2x + y = 5 Resposta
O par ordenado (1, 3) é solução da equação
da coluna B?
Sim
Não
Somando o número 3 aos dois membros da
equação B por um número diferente de zero,
o par ordenado (1, 2) ainda continuará sendo
solução da equação?
Sim
Não
Somando o número k aos dois membros da
equação da coluna B por um número
diferente de zero, o par ordenado (1, 2) ainda
continuará sendo solução da equação?
Sim
Não
Multiplicando os dois membros da equação
da coluna B por um número k qualquer, o par
ordenado (1, 2) ainda continuará sendo
solução da equação?
Sim
Não
a) A pesar das alterações ocorridas na equação a solução continuou a mesma? ______________________________________________________________
b) O que você conclui sobre isso? _____________________________________
______________________________________________________________
c) Formalização do conceito:
158
Atividade 2: Conceito de sistema de equações lineares
Objetivo: construir o conceito de sistema de equações lineares.
Material: lápis, borracha, caneta, papel A4 e roteiro de atividades.
Procedimento: marcar a alternativa que mais se aproxima do significado de
sistema, em seguida responder os itens abaixo.
a) Quando você ouve a palavra: sistema, Em que você pensa como um
possível significado?
( ) Coleção ( ) Conjunto ( ) Família ( ) Boiada Kit ( )
( ) outros...........................................................................................
b) Como chamamos o conjunto de órgãos que juntos fazem a digestão dos
alimentos que comemos?_______________________________________
c) Como chamamos o conjunto de órgãos que juntos permitem a circulação
do sangue no corpo? __________________________________________
d) Como chamamos o conjunto de astros o qual pertence a terra?
___________________________________________________________
e) Que nome você daria a um conjunto de equações lineares envolvendo as
mesmas variáveis? ___________________________________________
f) Formalização do conceito_______________________________________
___________________________________________________________
159
Atividade 3: Sistemas Lineares equivalentes
Objetivo: Identificar Sistemas Lineares equivalentes.
Material: Lápis, borracha, caneta, papel A4 e roteiro de atividades.
Procedimento: Verificar se os pares ordenados da tabela abaixo são soluções dos
sistemas, marcando um X no sim, se for solução, e não se não for solução.
S Sistemas
O par ordenado
(1, 2) é solução
do sistema?
O par ordenado
(0, 2) é solução
do sistema?
A terna ordenada
(0, 3, 2) é solução
do sistema?
Sim Não Sim Não Sim Não
S1
S2
S3
S4
S5
S6
a) Quais dos sistemas do quadro acima têm as mesmas soluções?
______________________________________________________________
Sistemas lineares que tem a mesma solução são denominados de sistemas
equivalentes
b) Quais dos sistemas do quadro são equivalentes? ______________________
c) Verifique quais dos sistemas abaixo são equivalentes usando a solução: (3, 2)
S1:
S2:
S3:
S4:
160
Atividade 4: Equivalência pela permutação de equações
Objetivo: Levar o aluno a construir a construir as habilidades para obter Sistemas Lineares equivalentes pela mudança de ordem de
suas equações.
Material: Lápis, borracha, caneta, papel A4 e roteiro de atividades.
Procedimento: Seguir as orientações da tabela abaixo em relação aos sistemas e suas soluções.
Sistema. A solução sugerida logo abaixo de cada um dos sistemas, é solução do sistema?
Agora troque a ordem de duas equações quaisquer de cada sistema e anote os sistemas resultantes nessa coluna.
A solução sugerida é solução do sistema resultante, depois da mudança de ordem de suas equações?
Sim Não Sim Não
Solução (1, 2)
Solução (1, 0, 2)
Solução (0, 1)
a) Os sistemas resultantes também continuaram com as mesmas soluções? _______
b) O que você conclui sobre isso? _________________________________________________________________________
Formalização: _______________________________________________________________________________________
161
Atividade 5: Equivalência pela multiplicando uma de suas equações por um número real diferente de zero.
Objetivo: Construir as habilidades para obter Sistemas Lineares equivalentes pela multiplicação de uma de suas equações por um
número k diferente de zero.
Material: Lápis, borracha, caneta, papel A4 e roteiro de atividades.
Procedimento: Seguir as orientações da tabela abaixo em relação aos sistemas e suas soluções.
Sistema. A solução sugerida logo abaixo de cada um dos sistemas, é solução do sistema?
Multiplique uma das equações de cada sistema por um número k ≠ 0, e anote os sistemas resultantes nessa coluna.
A solução sugerida é solução do sistema resultante, depois da mudança de ordem de suas equações?
Sim Não Sim Não
Solução (1, 2)
Solução (1, 0, 2)
Solução (0, 1)
a) As soluções continuaram corretas para os sistemas resultantes? _______
b) O que você conclui sobre isso? _________________________________________________________________________
Formalização: ____________________________________________________________________________________________
162
Atividade 6: Equivalência pela substituição de uma de suas equações pela soma com outra equação do sistema.
Objetivo: Construir as habilidades para obter Sistemas Lineares equivalentes pela substituição de uma de suas equações pela sua
soma membro a membro com outra equação do sistema.
Material: Lápis, borracha, caneta, papel A4 e roteiro de atividades.
Procedimento: Seguir as orientações da tabela abaixo em relação aos sistemas e suas soluções.
Sistema. A solução sugerida abaixo de cada um dos sistemas, é solução do sistema?
Substitua uma das equações dos sistema pela sua soma membro a membro com outra equação do sistema, e anote os sistemas resultantes nessa coluna.
A solução sugerida é solução do sistema resultante, depois da mudança de ordem de suas equações?
Sim Não Sim Não
Solução (1, 2)
Solução (1, 0, 2)
Solução (0, 1)
a) As soluções continuaram corretas para os sistemas resultantes? _______
b) O que você conclui sobre isso? _________________________________________________________________________
Formalização: ____________________________________________________________________________________________
163
Atividade 7: Sistemas lineares 2x2 pelo método do escalonamento.
Objetivo: Levar o aluno a resolver sistemas lineares por escalonamento.
Material: Lápis, borracha, caneta, papel A4 e roteiro de atividades.
Procedimento para resolução: Observar o sistema:
e nas linhas da
tabela abaixo, anotar a equação de A2 em A3. Multiplique a equação de A2 por um
número de forma que somando com a equação de B2, anule a variável x de B2 e
anotar o resultado em B3.
a) Calcule o valor de y da equação da equação B3, y = _________
b) Agora use o valor de y para Calcular o valor de x da equação de A3. x = ____
c) Você terminou de resolver um sistema linear de duas equações e duas
incógnitas. Já tinha resolvido sistemas lineares por este método? __________
(CHIARI, 2011) Examinando o anúncio abaixo, descubra o preço de cada colher e
de cada faca.
Ordem 2 3
A
B
164
Atividade 8: Sistemas lineares 3x3 pelo método do escalonamento. D ( )
Objetivo: Levar o aluno a resolver problemas modelados por sistemas lineares.
Material: Lápis, borracha, caneta, papel A4 e roteiro de atividades.
Informação: escalonar, segundo Ferreira (1988), é colocar em forma de escada.
Vamos resolver este sistema, também pelo método do escalonamento, em apenas
cinco passos.
.
Passo 1: multiplique a primeira equação por -2, e some com a segunda, eliminando
a variável x da segunda. Depois multiplique a primeira equação por -1 e some com a
terceira, eliminando também a variável x da terceira.
Passo 2: multiplique a segunda equação por -3 e some com a terceira, eliminando a
variável y da terceira. Pronto! Sistema escalonado.
Sistema Passo 1 Passo 2
Passo 3: calcular o valor de z, e substituir nas outras equações para encontras o
valor das outras variáveis. Agora calcule o valor de z: ___________
a) Use o valor de z para achar o valor de y da segunda, y = _____________
b) Com os valores de z e de y calcule o valor de x da primeira equação, x =______
c) Agora resolva o sistema abaixo, usando os mesmos passos:
Sistema Passo 1 Passo 2
Resposta: x=___________, y= ______________, z=___________
165
Atividade 9
CORRIDA SISTEMÁTICA
Figura 1: Tabuleiro do jogo
166
Cartões de 1 a 40
167
168
169
170
171
Atividade 10
Questões para aprofundamento.
Objetivo: Levar o aluno a consolidar os conceitos e as habilidades para resolver
problemas modelados por sistemas lineares e sanar ou minimizar as dificuldades
dos alunos para interpretar as soluções dos sistemas, apontados pelos autores
consultados.
Material: Lápis, borracha, caneta, papel A4 e roteiro de atividades.
a) Preencha a tabela abaixo marcando Sim, para os sistemas lineares e não
para os sistemas não lineares.
A Sim para sistemas lineares, e Não para não lineares.
Sim Não
a) Anote nas linhas da coluna da direita os sistemas equivalentes aos da coluna
da esquerda, cada um em sua linha.
A Usando os critérios de obtenção de sistemas equivalentes,
anote nesta coluna os sistemas equivalentes aos da coluna A,
nas suas linhas.
172
b) Preencha as colunas de x, y e z com as respectivas soluções dos sistemas da
primeira coluna, .
Sistemas Espaços para a resolução quando couber. Solução
se existir
x y Z
c) Em uma determinada loja, o proprietário colocou uma placa valendo para
redes (R) e Lençóis (L) conforme o modelo abaixo: Calcule o preço de cada
rede e de cada lençol.
d) (LAMIN, 2000. ADAPTADO) Examinando o anúncio abaixo, calcule o preço
de cada faca, cada colher e cdada garfo.
173
Apêndice-02
QUESTIONÁRIO DE ALUNOS
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA
Prezado(a) aluno(a), _____________________________________________________________________
Estamos realizando um estudo que busca a melhoria do processo de ensino-aprendizagem da Matemática,
para tanto necessitamos de sua colaboração respondendo as questões abaixo para o êxito deste trabalho.
Desde já agradecemos sua colaboração e garantimos que as informações prestadas serão mantidas em total
anonimato.
1)Você está ou já esteve em dependência em Matemática? ( ) Sim, Estou (atualmente) em dependência em Matemática. ( ) Sim, já estive (no passado) em dependência em Matemática. ( ) Sim, já estive (no passado) em dependência em Matemática. 2)Com que frequência você costuma estudar matemática fora da escola? ( ) Todos os Dias ( ) Mais de três vezes por semana ( ) Costumo estudar três vezes o menos por semana ( ) Só no período de prova 3)Você gostou de estudar Sistemas Lineares? ( ) Não gostei ( ) Gostei um pouco ( ) Sim gostei ( ) Gostei bastantes 4) Você conseguiu compreender as explicações sobre Sistemas Lineares? ( ) Sempre ( ) Quase sempre ( ) Poucas Vezes ( ) Nunca compreendo 5)Quais as principais formas de avaliação usadas em sala de aula? (Marque mais de uma opção, se necessário) ( ) Prova oral ( ) Prova escrita ( ) Autoavaliação ( ) ficha de observação ( ) produções no caderno
( ) Prova oral ( ) Prova escrita ( ) Autoavaliação ( ) ficha de observação ( ) produções no caderno 6)Como você se sentiu quando diante da avaliação de Sistemas Lineares? ( ) Entusiasmado ( ) Tranquilo ( ) Com Medo ( ) Preocupado ( ) Com Raiva ( ) Sinto Calafrios 7)Quando você estudou Sistemas Lineares, a maioria das aulas foram: ( ) Começando pela definição seguida de exemplos e exercícios. ( ) Começando com uma situação problema para depois introduzir o assunto. ( ) Criando um modelo para situação e em seguida analisando o modelo. ( ) Iniciando com jogos para depois sistematizar os conceitos. ( )Utilizando ferramentas tecnológicas para resolver problemas. 8)Para fixar o conteúdo estudado de Sistemas Linerares, o seu professor (a): ( ) Apresentava uma lista de exercícios para serem resolvidos. ( ) Apresentava jogos envolvendo o assunto ( ) Mandava resolver os exercícios do livro didático ( ) Mandava que você procurasse questões sobre o assunto para resolver. ( ) Propunha a resolução de questões por meio de softwares.
174
9)Como você gostaria de aprender Sistemas Lineares?
Assunto Frequência de utilização
Sempre Quase sempre As vezes Raramente Nunca
Através de aulas expositivas e consulta ao livro didático.
Através de situação problema para introduzir o assunto.
Através de experimentações práticas do dia-a-dia.
Através de Jogos para depois sistematizar os conceitos.
Através de Software para resolução de problemas.
Através de aplicativos para smartphone.
10)No que se refere o grau de dificuldade em aprender Sistemas Lineares, preencha o quadro abaixo (Marque
com um X)
Tópico Grau de dificuldade para aprender
Muito fácil Fácil Regular Difícil Muito difícil
Conceito geral de Sistemas Lineares
Conceito de Sistemas Lineares homogêneos
Resolução de Sistemas Lineares por substituição.
Resolução de Sistemas Lineares por escalonamento.
Resolução de Sistemas Lineares pela regra de Cramer.
Classificação de sistemas.
11)Você possui acesso a internet?
( ) Não possuo
( ) Sim, somente em casa
( ) Sim, somente pelo celular
( )Sim, pelo celular e tenho WiFi em casa
12)Quanto ao uso de recursos tecnológicos, quais dos seguintes equipamentos você costuma utilizar?
Assunto
Frequência de utilização
Sempre Quase sempre
Às vezes Raramente Nunca
Você utiliza o computador pessoal para fazer suas atividades escolares.
Você faz pesquisas na internet através do computador.
Você acessa internet no celular pessoal para fazer atividades escolares.
Você utiliza redes sociais de relacionamento no celular
Você utiliza aplicativos de Mensagens instantâneas
Você tira dúvidas com o professor através de mensagens por celular
Você utiliza calculadora científica para estudar matemática
175
13)Quais dos itens abaixo é uma equação linear?
2x² +x = 0 b) 2x + 5y –z = 0 c) y² = x - 2 d)
– x = 0 e) y =
14)Dada a equação A: 3x – 2y + z = 4, marque uma ou mais equações abaixo que forem
equivalentes a A.
2x = y – 2 b) 2x² + y – 3 c) 6x - 4y +2z = 8 d) 3x – 2y = 1
15)Escreva um sistema equivalente ao sistema:
16)(Chiari, 2011) Examinando o anúncio, descubra o preço de cada colher e de cada faca.
17) A respeito do sistema
, pode se afirmar que é:
a) possível e determinado b) possível e indeterminado c) impossível.
18)Escreva um sistema equivalente ao sistema:
176
Apêndice-03
QUESTIONÁRIO PARA OS PROFESSORES
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA
Prezado(a) professor(a),
Estamos realizando um estudo que busca a melhoria do processo de ensino-aprendizagem da Matemática,
para tanto necessitamos de sua colaboração respondendo as questões abaixo para o êxito deste trabalho.
Desde já agradecemos sua colaboração e garantimos que as informações prestadas serão mantidas em total
anonimato.
1. O percentual de alunos que costumam ficar de dependência ou reprovados com você em matemática é de:
( ) 0 a 05%. ( ) 05 a 10%. ( ) 10 a 15% ( ) 15 a 20% ( ) 20 a 25% ( ) 25 a 30%
2. Você costuma recomendar leituras matemáticas extra livro didático para seus alunos?
( ) Sempre ( ) Quase sempre ( ) À vezes ( ) Nunca
3. Você gosta de ensinar Sistemas Lineares? ( ) Sim, bastante ( ) Nem tanto ( ) Não gosto.
4. Seus alunos conseguem compreender suas explicações sobre Sistemas Lineares?
( ) Sempre ( ) Quase sempre ( ) Poucas vezes ( ) Nunca compreendo
5. Quais as principais formas de avaliação que você usa em sala de aula? (Marque mais de
uma opção, se necessário) ( ) Prova oral ( ) Prova escrita ( ) Autoavaliação ( ) Ficha de observação ( ) Produções no caderno
6. Como você se sente quando seus alunos estão fazendo a sua avaliação de Sistemas Lineares? ( ) Entusiasmado ( ) Tranquilo
( ) Com Medo ( ) Preocupado
( ) Com Raiva ( ) Sinto
Calafrios
7. Em suas Aulas de Sistemas Lineares, a maioria das aulas são:
( ) Começando pela definição seguida de exemplos e exercícios.
( ) Começando com uma situação problema para depois introduzir o assunto.
( ) Criando um modelo para situação e em seguida analisando o modelo.
( ) Iniciando com jogos para depois sistematizar os conceitos.
( ) Utilizando ferramentas tecnológicas para resolver problemas.
8. Para fixar o conteúdo estudado de Sistemas Lineares, você recomenda:
( ) Apresentava uma lista de exercícios para serem resolvidos
( ) Apresentava jogos envolvendo o assunto ( ) Mandava resolver os exercícios do livro
didático ( ) Mandava que você procurasse questões sobre
o assunto para resolver. ( ) Propunha a resolução de questões por meio
de softwares
177
9. Como você costuma ensinar Sistemas Lineares?
Assunto Frequência de utilização
Sempre Quase sempre Às vezes Raramente Nunca
Através de aulas expositivas e consulta
ao livro didático.
Através de situação problema para
introduzir o assunto.
Através de experimentações práticas do
dia-a-dia.
Através de Jogos para depois
sistematizar os conceitos.
Através de Software para resolução de
problemas.
Através de aplicativos para smartphone.
10. No que se refere o grau de dificuldade que seus alunos têm de aprender Sistemas Lineares, preencha o quadro abaixo (Marque um x).
Tópico Grau de dificuldade para aprender
Muito fácil Fácil Regular Difícil Muito difícil
Conceito geral de Sistemas Lineares
Conceito de Sistemas Lineares homogêneos
Resolução de Sistemas Lineares por substituição.
Resolução de Sistemas Lineares por escalonamento.
Resolução de Sistemas Lineares pela regra de Cramer.
Classificação de sistemas.
11. Seus alunos possui acesso a internet? ( ) Não possui ( ) Sim, somente em casa ( ) Sim, somente pelo celular ( ) Sim, pelo celular e tenho Wi-Fi em casa
12. Quanto ao uso de recursos tecnológicos, quais dos seguintes equipamentos você costuma utilizar para pesquisa e planejamento de suas aulas?
Assunto Frequência de utilização
Sempre Quase sempre Às vezes Raramente Nunca
Computador pessoal
Celular pessoal
Redes sociais
Aplicativos de Mensagens instantâneas
Calculadora científica
13. Depois de ensinar Sistemas Lineares aos seus alunos, eles teriam dificuldades para
identificar a equação linear entre estas?
2x² +x = 0 2x + 5y – z = 0 y² = x - 2
– x = 0 y =
a) ( ) Sim, teriam b) ( ) Talvez c) ( ) Não teriam
178
14. Dada a equação A: 3x – 2y + z = 4, depois de ensinar Sistemas Lineares aos seus
alunos, eles teriam dificuldades para identificar entre as equações abaixo, a equação
equivalente a A?
2x = y – 2 2x² + y – 3 6x - 4y +2z = 8 3x – 2y = 1
a) ( ) Sim, teriam b) ( ) talvez c) ( ) Não teriam
15. Depois de ensinar a resolver Sistemas Lineares por escalonamento, Seus alunos
teriam dificuldades para obter um sistema equivalente ao sistema:
?
a) ( ) Sim teriam, b) ( ) Talvez c) ( ) Não teriam
16. (CHIARI, 2011. ADAPTADO) Depois de ensinar Sistemas Lineares aos seus alunos,
eles teriam dificuldades para resolver este problema? Examinando o anúncio,
descubra o preço de cada colher e de cada faca.
17. Depois de ensinar Sistemas Lineares aos seus alunos, eles teriam dificuldades para
identificar corretamente se o sistema
, é:
Possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível?.
a) Sim, teriam b) ( ) tal vez c) ( ) Não teriam
18. Depois de ensinar Sistemas Lineares aos seus alunos, eles resolveriam corretamente o
sistema:
?
a) Sim, resolveriam, b) ( ) talvez sim c) ( ) não resolveriam
179
Apêndice - 04
TESTE INICIAL
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA
1) Quais dos itens abaixo é uma equação linear?
b) 2x² +x = 0 b) 2x + 5y –z = 0 c) y² = x - 2 d)
– x = 0 e) y =
2) Dada a equação linear : 3x – 2y = 4, marque uma ou mais equações abaixo
que forem equivalentes a .
b) 2x = y – 2 b) 2x² + y – 3 c) 6x - 4y = 8 d) 3x – 2y = 1 e) 3x +
y = 4
3) Escreva um sistema equivalente ao sistema:
4) (Chiari, 2011) Examinando o anúncio, descubra o preço de cada colher e de
cada faca.
5) A respeito do sistema
, pode se afirmar que é:
a) possível e determinado b) possível e indeterminado c) impossível.
6) Encontre os valores das x, y e z do sistema, se for possível:
180
Apêndice-05
TESTE FINAL
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA
1) Quais dos itens abaixo é uma equação linear?
a) 3x² +x = 0 b) 2x + 5y –z = 0 c) x² = 2y - 2 d)
– 2 = 0 e) y =
2) Dada a equação linear : 3x – 2y = 4, marque uma ou mais equações abaixo
que forem equivalentes a .
a) 2x = y – 2 b) 2x² + y – 3 c) 6x - 4y = 8 d) 3x – 2y = 1 e) 3x + y = 4
3) Escreva um sistema equivalente ao sistema:
4) A respeito do sistema
, pode se afirmar que é:
a) possível e determinado b) possível e indeterminado c) impossível.
5) Encontre os valores das x, y e z do sistema, se for possível:
181
ANEXOS
182
Anexo - 1
Observamos nessa atividade denominada de: Estágio B159a, que os
problemas envolvendo a soma e a subtração abordam diferentes situações, como
diz a literatura consultada: para que aconteça aprendizagem significativa, o
conteúdo deve ser abordado sob diferentes situações.
Atividade B159a do sistema Kumon de Ensino
183
Anexo – 02
Aqui, Observamos que a atividade envolvendo divisão, denominada de:
Estágio D151a aborda as variantes, contemplando as orientações da aprendizagem
significativa, quando diz que um conteúdo para ser assimilado de forma significativa,
deve ser abordado sob inúmeras variantes.
No caso das atividades do sistema Kumon de Ensino, as atividades são
cronometradas, se o aluno não terminar a atividade no tempo previsto, ele para onde
estiver.
Atividade D151a do sistema Kumon de Ensino
184
Anexo 03
Fonte: Sá e Jucá (2014)
185
Universidade do Estado do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação
Programa de Pós-Graduação em Educação Travessa Djalma Dutra, s/n – Telégrafo
66113-200 Belém-PA www.uepa.br/mestradoeducaca