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SISTEMA DE PARTÍCULAS
• Bola de Futebol• Bola de Tênis• Transferidor
• Cilindro Excêntrico
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Sistemas DISCRETOS ou CONTÍNUOS
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Sistemas RÍGIDOS ou FLEXÍVEIS
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Centro de Massa
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Centro de Massa (Sistema discreto)
𝑚1
𝑚2
𝐫2
𝐫1 𝐑𝐑 =(𝑚1𝐫1 +𝑚2𝐫2 +𝑚3𝐫3 +⋯)
(𝑚1 +𝑚2 +𝑚3 +⋯)
𝐑 = 𝑖𝑚𝑖𝐫𝑖𝑀
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𝐑 =3kg 0,0 + 4kg 2m, 1m + (8kg)(1m, 2m)
15kg
𝐑 =16
15m,20
15m = (1,1 m, 1,3 m)
Ilustração
𝑥 [m]
𝑦 [m]
8 kg
4 kg
3 kg 21
2
1
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Centro de Massa (Sistema contínuo)
𝐑𝐫
𝑑𝑚
𝐑 = 𝐫 𝑑𝑚
𝑀
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Objetos homogêneos e simétricos
Onde fica o CM do paralelepípedo homogêneo?
𝐑 ∈ plano de simetria
𝐑 = 𝐫 𝑑𝑚
𝑀
𝐫′
𝐫⊥′ 𝐫⊥
𝐑 𝐫
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Eixo de simetria é a interseção de infinitosplanos de simetria
Onde fica o CM do cilindro homogêneo?
𝐑
𝐑 ∈ eixo de simetria
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CM do cone homogêneo
ℎ𝑧
𝑟
𝑅
𝐑 = 𝐫 𝑑𝑚
𝑀
𝑍 = 𝑧 𝑑𝑚
𝑀
= 0ℎ𝑧 𝜌𝜋𝑟2𝑑𝑧
0ℎ𝜌𝜋𝑟2𝑑𝑧
𝑟 = 𝑅ℎ𝑧
= 0ℎ𝑧3𝑑𝑧
0ℎ𝑧2𝑑𝑧
=3ℎ
4
Agrupando todos os 𝑑𝑚′𝑠 que têm
o mesmo 𝑧
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CM de sistemas flexíveis muda de posição
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Objetos Compostos
o CM do objeto composto é o “CM dos CMs”
𝐑
𝐑′
𝐑 = 𝑖𝑚𝑖𝐫𝑖 + 𝑖𝑚𝑖
′𝐫𝑖′
𝑀 +𝑀′
=𝑀𝐑+𝑀′𝐑′
𝑀 +𝑀′𝑀′
𝑀
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CM do Sistema Terra-Lua
𝑋 =𝑀𝑇0 +𝑀𝐿𝐷
𝑀𝑇 +𝑀𝐿= 4621 km
𝐷 = 0,38 × 106 km
6371 km
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Terra Lua
Em escala….
Terra = bola de futebol, Lua = bola de tênis a 9 metros de distância!
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Desafio: qual é a posição do CM do disco abaixo? (ignore a espessura)
𝑅
𝑟
𝑑
densidade superficial Σ
densidade superficial 𝜎
𝑑 + 𝑟 < 𝑅
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A equação de Newton para o CM
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𝐅1
𝐅3
𝐅2
𝑚2
𝑚3𝑚1
𝑚1𝐚1 = 𝐅1 + 𝐟13 + 𝐟12
𝑚2𝐚2 = 𝐅2 + 𝐟23 + 𝐟21
𝑚3𝐚3 = 𝐅3 + 𝐟32 + 𝐟31
𝑚1𝐚1 +𝑚2𝐚2 +𝑚3𝐚3 = 𝐅1 + 𝐅2 + 𝐅3
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Posição, Velocidade e Aceleração do CM
𝑚1𝐚1 +𝑚2𝐚2 +𝑚3𝐚3 = 𝐅1 + 𝐅2 + 𝐅3
𝐑(𝑡) = 𝑖𝑚𝑖𝐫𝑖(𝑡)
𝑀
𝐕(𝑡) = 𝑖𝑚𝑖𝐯𝑖(𝑡)
𝑀
𝐀(𝑡) = 𝑖𝑚𝑖𝐚𝑖(𝑡)
𝑀
𝑀𝐀(𝑡) = 𝐅𝑒𝑥𝑡
Eq. de Newton para o CM
Soma vetorial de TODAS as forças externas sobre o sistema
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Casos onde 𝐅𝑒𝑥𝑡 = 0
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Applet “Collision Lab” (trajetória do CM em colisão 2D)
1. Casos 100% elástico e 100% inelástico2. Vetores velocidade
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https://www.youtube.com/watch?v=amfw2nABke4
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𝑚 𝐷 + 𝐿 +𝑀(𝐷 + 𝐿 2)
𝐷′ = 𝐷 +𝑚𝐿
𝑚 +𝑀
𝐷 𝐿
𝐷′
E se fosse uma formiga, ao invés de um cachorro?
= 𝑚 𝐷′ +𝑀(𝐷´ + 𝐿 2)
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Casos onde 𝐅𝑒𝑥𝑡 = 𝑀𝐠
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https://www.youtube.com/watch?v=ob4sBQdJFww
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https://www.youtube.com/watch?v=RaGUW1d0w8g
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https://www.youtube.com/watch?v=uGBANgbRkws
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Estabilidade e o CM(discussão qualitativa)
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𝐶
Pêndulo Físico
Equilíbrio Estável Oscilação Equilíbrio Instável
𝐶
𝐶
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Demo: CM de um transferidor
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EQUILÍBRIO ESTÁVEL: quando qualquer pequeno deslocamento
ELEVA o centro de massa
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𝐶
ESTÁVELINSTÁVEL
Estabilidade de mesas
𝐶
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https://www.youtube.com/watch?v=pXS2YPRNjD0
Pên
du
lo E
sfér
ico
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http://dev.physicslab.org/Document.aspx?doctype=3&filename=RotaryMotion_CenterMass.xml
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ESTÁVEL
Rolamento
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EQUILÍBRIO INDIFERENTE: quando qualquer pequeno movimento NÃO AFETA a altura do centro de massa
Rolamento de um disco HOMOGÊNEO
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EQUILÍBRIO ESTÁVEL
Rolamento de um disco EXCÊNTRICO
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Demo: Cilindro excêntrico