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SISTEMA DIÉDRICO: POLIEDROS REGULARES
Los poliedros regulares son cuerpos geométricos cuyas caras son polígonos regulares iguales.
Existen 5 poliedros regulares convexos: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e
icosaedro (y cuatro estrellados que no son objeto de este estudio).
TEOREMA DE EULER: En todo poliedro convexo el número de vértices más el número de caras
es igual al número de aristas más dos
TETRAEDRO
Caras: 4 triángulos equiláteros (altura del triangulo H).
Vértices: 4
Aristas: 6
La altura h de un tetraedro es la recta perpendicular trazada desde un vértice a la cara
opuesta.
La distancia entre aristas opuestas es la perpendicular común a ambas M.
La sección principal es la producida por un plano que pasa por una arista y corta a la arista
opuesta en su punto medio. Forma un triángulo isósceles de lados H, H, L
Esta sección relaciona y contiene H, h y M.
M h
M
h
H
L L
L
Conociendo una arista L
se obtienen todos los
elementos de la sección
principal
TETRAEDRO APOYADO EN UNA CARA CONOCIDO EL LADO
TETRAEDRO APOYADO EN UN VÉRTICE CONOCIDO EL LADO
L L
Se obtiene la altura h del
tetraedro de forma similar al
caso anterior
La altura h del
tetraedro se obtiene
abatiendo el triángulo
(marcado en gris) en la
proyección horizontal.
Sabemos que el ángulo
que forma con la
proyección A1-D1 es de
90o ya que es un
triángulo rectángulo
cuya hipotenusa es L
D
h L
90o
TETRAEDRO APOYADO EN UNA ARISTA CONOCIDO EL LADO
En este caso la altura h en la proyección vertical coincide con la distancia entre aristas M
explicada al principio. Para obtenerla basta abatir el triángulo rectángulo CC1B.
La arista a será la hipotenusa del triángulo. Su longitud es igual a A1B1
h
a
DESARROLLO DEL
TETRAEDRO
HEXAEDRO (CUBO)
Caras: 6 CUADRADOS.
Vértices: 8
Aristas: 12
Apoyado en una cara
En rojo diagonal del cubo, es
la hipotenusa de un triángulo
rectángulo en el que un
cateto es una arista del cubo y
el otro la diagonal de una de
sus caras
La altura es la diagonal de
una de sus caras
La altura de un cubo apoyado
en su vértice viene
determinada por la diagonal
del cubo.
Es la diagonal de la sección
principal que es un rectángulo
cuyos lados menores son
aristas del Hexaedro y los
mayores diagonales de sus
caras
Diagonal del
cuadrado
OCTAEDRO
Caras: 8 TRIÁNGULOS EQUILÁTEROS.
Vértices: 6
Aristas: 12
La proyección horizontal es un hexágono formado por dos triangulos equiláteros de lado igual
a la arista del octaedro, solo es visto el superior
La altura h de la proyección vertical se obtiene abatiendo el triángulo rectángulo formado por
la proyección horizontal de la arista AD como un cateto y la arista en verdadera magnitud
como hipotenusa, el otro cateto es h.
DESARROLLO DEL HEXAEDRO
La proyección horizontal es un rombo cuya diagonal menor es igual a la arista del octaedro y
la diagonal mayor es d la diagonal de un cuadrado de lado igual a la arista del octaedro
(sección principal).
La altura de la proyección vertical es igual a una arista del octaedro.
La proyección horizontal es un cuadrado cuyo lado es igual a la arista del octaedro.
La altura de la proyección vertical es igual a la diagonal de dicho cuadrado.
DESARROLLO DEL OCTAEDRO
DODECAEDRO
Caras: 12 PENTÁGONOS REGULARES.
Vértices: 20
Aristas: 30
Sección principal es un hexágono irregular cuyos lados son dos aristas del dodecaedro situadas
en lados opuestos del hexágono y cuatro alturas de una cara (pentágono) en los lados
restantes
Siendo: dc distancia entre caras (altura total del dodecaedro apoyado en una cara), dv
distancia entre vertices y diagonal del poliedro y da distancia entre aristas
Construcción: Se parte de un pentágono regular como base. Se traza la
circunferencia circunscrita y la base superior. Se adosan a la base otros dos
pentágonos como caras abatidas. Desde los dos vértices que se juntan en el
poliedro se trazan perpendiculares a las charnelas, cruzándose en el punto P,
por el que se traza otra circunferencia concéntrica:
Otra manera de trazarla es sabiendo que los radios de las dos circunferencias
están en razón áurea.
En la segunda circunferencia se sitúan fácilmente los vértices que faltan:
DESARROLLO DEL
DODECAEDRO
Las alturas h y H de los vértices del dodecaedro y por lo tanto la altura total (h + H), se
obtienen por abatimiento como se explica en la figura superior.
ICOSAEDRO
Caras: 20 TRIÁNGULOS EQUILÁTERO.
Vértices: 12
Aristas: 30
Sección principal es un hexágono irregular que pasa por el centro del icosaedro y cuyos lados
son dos aristas (a) del icosaedro situadas en lados opuestos del hexágono y cuatro alturas (hc)
de una cara (triángulo equilátero) en los lados restantes.
Siendo: dc distancia entre caras, dv distancia entre vertices y diagonal del poliedro y da
distancia entre aristas
Como se puede observar en la figura superior, un icosaedro
estaría formado por dos pirámides de base pentagonal y caras
formadas por triángulos equiláteros giradas una respecto de la
otra (1/10 de vuelta= 36o) y unidas entre si por 10 triángulos
equiláteros
DESARROLLO DEL ICOSAEDRO
ALTURA h: se abate el triángulo rectángulo del que conocemos la proyección horizontal de la
arista A1-B1 como cateto mayor, la arista en verdadera magnitud como hipotenusa, que cortara
al cateto menor determinando h.
A1-B1
Arista
Α=90o
ALTURA H: se abate el triángulo rectángulo del que conocemos la proyección horizontal de la
arista G1-B1 como cateto menor, la arista en verdadera magnitud como hipotenusa, que
cortara al cateto mayor determinando H (el abatimiento se hace sobre un plano horizontal
que pasa por los vértices que determinan el pentágono inferior).
A1-B1
90o