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Sistemas Automáticos
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Tema 5Lugar de las RaícesContenido• Respuesta dinámica de un sistema• Respuesta dinámica de un sistema en bucle cerrado• Definición de Lugar de las Raíces (LR)• Ecuación Característica• Criterio del Argumento• Criterio del Módulo• Reglas de Trazado del Lugar de las Raíces• Ejemplo
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El comportamiento dinámico de unsistema viene dado por los polos dela f.d.t. (raíces de la ecuacióncaracterística)
y(t)
Los ceros tambiéninfluyen a través de loscoeficientes (pesos) delos modos transitorios
Respuesta Dinámica de un Sistema
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Captador
Σ+
-
U(s)C(s) ε(s)
Ycap(s)
PlantaRegulador
Y(s)K
H(s)
G(s)
Respuesta Dinámica de un Sistemaen Bucle Cerrado
La dinámica del sistemaviene dada principalmente porlas raíces de la ec. característica
Problemas:• Difícil si el orden de la
ec. caract. >=3• Habitualmente,
necesario recalcularlosen función de unparámetro (ej.: K)
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Definición de Lugar de las Raíces (LR)
Definición:El L.R. es el lugar geométrico en elplano complejo que ocupan las raícesde la ecuación característica cuandovaría el parámetro K
Captador
Σ+
-
U(s)C(s) ε(s)
Ycap(s)
PlantaRegulador
Y(s)K
K=5 K=10 K=16 K=20
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El método del L.R. parte de la ecuación característica factorizada de lasiguiente forma:
Ecuación Característica
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Criterio del Argumento
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Criterio del Módulo
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s-p 1
s-p4 s-p3 s-z1s-p2
p3p4 p2 p1z1
s
Reglas de Trazadodel Lugar de las Raíces
θpi
Todo punto s del LR debesatisfacer esta condicióngeneral.
Ejemplo:
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Reglas de Trazadodel Lugar de las Raíces
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Reglas de Trazadodel Lugar de las Raíces
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Reglas de Trazadodel Lugar de las Raíces
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Reglas de Trazadodel Lugar de las Raíces
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Reglas de Trazadodel Lugar de las Raíces
1 2
3
4
Ramas Independientes
Lugar en el eje real
Simetría respecto aleje real
Puntos decomienzo del LR
Puntosfinales del LR
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Reglas de Trazadodel Lugar de las Raíces
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θ
Reglas de Trazadodel Lugar de las Raíces
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Reglas de Trazadodel Lugar de las Raíces
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Reglas de Trazadodel Lugar de las Raíces
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Reglas de Trazadodel Lugar de las Raíces
pi
θp2
θz1θp1
θ
p1
p2
z1
Re
Im
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Reglas de Trazadodel Lugar de las Raíces
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Reglas de Trazadodel Lugar de las Raíces
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Captador
Σ+
-
U(s)C(s) ε(s)
Ycap(s)
PlantaRegulador
Y(s)K
Función de transferencia en bucle abierto:
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-2-5-7-10-20
2
3
14
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-2-5-7-10-20
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-2-5-7-10-20
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-2-5-7-10-20
Centroide, Asíntotas y Punto de Dispersión
centroideσc=10
Asíntotas
Pto. dispersión
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Lugar de las Raíces final
-2-5-7-20 -10
+j14.439
-j14.439
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Lugares de las Raícesbásicos
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LR básicos: 1 polo real
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LR básicos: 2 polos reales
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LR básicos: 2 polos complejos
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LR básicos: 3 polos reales
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LR básicos: 3 polos (2 complejos + 1 real)
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LR básicos: 4 polos
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LR básicos: 1 polo + 1 cero
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LR básicos: 2 polos + 1 cero
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LR básicos: 3 polos + 2 ceros
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LR básicos: 3 polos + 1 cero
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LR-i básicos: 1 polo
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LR-i básicos: 2 polos reales
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LR-i básicos: 3 polos reales
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LR-i básicos: 1 polo real + 2 polos complejos
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LR-i básicos: 2 polos reales + 1 cero
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LR-i básicos: 3 polos reales + 1 cero
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Captador
Σ+
-
U(s)C(s)
ε(s)
Ycap(s)
PlantaRegulador
Y(s)K
Determinar el comportamiento del sistema realimentado en funciónde la constante de tiempo, τ, del captador para K=1
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Solución:
La ecuación característica será:
Reordenando términos…
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El problema queda planteado en términos de un LR:
El LR tiene 3 ceros…
… y dos polos
τ pequeñas:comportamientooscilatorio
τ=0.688:polo dobleamort. crítico τ=1:
3 polos realessobreamort.T = 2.6 seg
τ=10:3 polos realessobreamort.muy lentoT = 32 seg.
ConclusiónVemos cómo un captador lentoinfluye negativamente en elcomportamiento del lazoralentizándolo