Sistemas continuosFrancisco Carlos CaldernPUJ 2010

ObjetivosDefinir las propiedades bsicas de los sistemas continuosAnalizar la respuesta en el tiempo de un SLIT continuo

Definicin y clasificacinPuede verse un sistema como un proceso que transforma seales de entrada en otras a la salida, mediante la interconexin de componentes, dispositivos o subsistemas.

Sistemas en tiempo continuoSistemas en tiempo discreto

Clasificacin de los sistemas en tiempo continuoSistemas lineales y no lineales:Un sistema lineal es aquel que cumple la propiedad de superposicin.La respuesta a x2(t)+ x1(t) es y1(t)+ y2(t)La respuesta a Conocidas como las propiedades de aditividad y escalamiento u Homogeneidad

Clasificacin de los sistemas en tiempo continuoSi el sistema es lineal, una entrada que sea cero todo el tiempo resulta en una salida que sea cero todo el tiempo.

Sistemas lineales deben cumplirQue sean iguales

Clasificacin de los sistemas en tiempo continuoSistemas con y sin memoriaSistema SIN memoria: Es aquel cuya salida para cada valor de la variable independiente en un tiempo dado depende solamente de la entrada en ese mismo momento.Ej Si entrada es la salida es: . De donde se aprecia que la salida depende de entradas a tiempos diferentes de t0. Por lo tanto el sistema es Con Memoria.

Clasificacin de los sistemas en tiempo continuoInvertibilidad y sistemas inversosSistema Invertible: Si un sistema es invertible debe existir un sistema inverso, tal que al interconectarlo en cascada con el sistema original produce una salida igual a la entrada del primer sistema.

Clasificacin de los sistemas en tiempo continuoCausalidadSistema Causal: Si su salida en cualquier instante de tiempo depende slo de los valores de la entrada en el momento presente y en el pasado. (No-anticipativo).

CAUSAL: NO-CAUSAL:

Clasificacin de los sistemas en tiempo continuoEstabilidadSistema Estable: Es aquel que a entradas acotadas produce salidas que no divergen.ESTABLE: sen(t).NO-ESTABLE: 1/t ,

Clasificacin de los sistemas en tiempo continuoInvariante en el tiempoSistema Invariante en el tiempo: Si el comportamiento y caractersticas del mismo estn fijos en el tiempo.

Sistemas Invariantes deben cumplirQue sean iguales

Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo continuos y discretosEste tipo de sistemas son conocidos como SLIT o LTI(ingles).Muchos fenmenos fsicos pueden modelarse mediante estos sistemas.El anlisis matemtico del comportamiento de estos sistemas puede desarrollarse a travs de procedimientos directos.

x[n] puede escribirse como una suma de impulsos desplazadosDada una seal discreta x[n]SLIT discretos.Las seales discretas pueden representarse por medio de una secuencia de impulsos, aplicando la propiedad:

Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo discretos

Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo discretosEl sistema adems de ser lineal tambin es invariante en el tiempo entonces:

Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo discretosEste resultado se conoce como la suma de convolucin suma de superposicin Tambin representada como:Un sistema SLIT discreto puede caracterizarse totalmente con la respuesta al impulso unitario.

Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo continuosDe una manera parecida al caso discreto, se puede encontrar una caracterizacin para los SLIT en trmino de su respuesta al impulso unitario.La salida y(t) puede verse como una combinacin lineal de respuestas a las seales impulsoY como mi sistema es invariante en el tiempo se tiene que:

Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo continuosEste resultado se conoce como la integral de convolucinTambin representada como:Un sistema SLIT continuo puede caracterizarse totalmente con la respuesta al impulso.

Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempoPropiedad distributiva

Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempoPropiedad asociativa

Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempoPropiedad conmutativa

Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempoSLIT con y sin memoria.Sistema SIN memoria: Es aquel cuya salida para cada valor de la variable independiente en un tiempo dado depende solamente de la entrada en ese mismo momento.

En el caso discreto esto se cumple si:Por lo que la suma de convolucin se reduce a:Donde K= h[0]

Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempoCausalidad para los SLITSi su salida en cualquier instante de tiempo depende slo de los valores de la entrada en el momento presente y en el pasado. (No-anticipativo).La respuesta impulso de un SLIT causal discreto, basndose en la definicin debe ser de la forma:

para n < 0 que a su vez implica:

Invertibilidad de los SLITSi el sistema es invertible, posee un sistema inverso, de tal forma que si el sistema es un SLIT se cumple que:

Figura 38. SLIT invertible y su sistema inversoEs decir, para el caso continuo:

De forma anloga se puede concluir una expresin para el caso discreto.

Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo

Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempoEstabilidad para los SLITAquel que a entrada limitadas en amplitud produce salidas limitadas en amplitud

Puede encontrarse ver Oppenheim pag 113 que el sistema es estable si la respuesta al impulso unitario es absolutamente sumable

ReferenciasSeales y sistemas continuos y discretos, Soliman. S y Srinath. M. 2 edicin cap 2Seales y sistemas ,Oppenheim, alan cap 1Apuntes de clase Prof. Jairo Hurtado PUJApuntes de clase Prof. Julin Quiroga PUJ