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Sistemas de Amortização -
Introdução
Um sistema de amortização se caracteriza pela definição os critérios de quanto deve ser pago em cada parcela como:
i. principal (amortização) e
Ii. encargos (juros, remuneração)
Controle: Planilha de Fluxo de Recebimentos, pagamentos e saldos
Formas de se amortizar:
a. Sistema de Amortização Americano (SAA)
b. Sistema de Amortização Constante (SAC)
c. Sistema de Amortização Francês (Tabela Price)
Sistemas de Amortização –
Nomenclatura
Encargos(Despesa/Receita Financeira) Juros da operação(J):
Pré (taxa única) ou
Pós-fixado (juros+ correção, taxa real+índice, ex: TR+6% a.a., Variação Cambia + 5% a.a.))
Amortização(A):
Pagamento de Principal
Prestação(R ou PMT):
Amortização (Principal) + Juros
Saldo Inicial(P ou SI):
Saldo final do período anterior
Saldo Final(SF):
Saldo Inicial + Juros – Amortização
Variação Monetária (VM)
VMper= Variação Monetária do Período
VMacu=Variação Monetária Acumulada
Sistema americano
No sistema americano, o principal da dívida
só é amortizado ao final do contrato. Ao
longo do contrato, são pagos somente juros
sobre o saldo devedor, que se mantém
inalterado até o vencimento da dívida.
Sistema americano
1 2 3 ... n
iP iP iP iP iP + P
P
Sistema americano
Em geral, podemos escrever:
No sistema americano, temos que:
ttt AJR
iPJPPntP
ntA ttt
;;
,
,0
ntiP
ntiPRt
),1(
,
Sistema americano
Um empréstimo no valor de R$ 6.000,00
contraído pelo sistema americano, a ser pago
em 7 prestações mensais consecutivas, a
uma taxa de 4,0093% ao mês. Quais as
prestações a serem pagas?
Sistema americano
Prestações:
ntiP
ntiPRt
),1(
,
56,240
000.6040093,0654321
RRRRRR
56,240.6)040093,01(000.67 R
Exemplo Banco BBB
Exemplo: Um banco concedeu um empréstimo de R$ 100.000, para ser pago no prazo de 3 meses e taxa de juros de 5% a.m. Quais são os valores de prestação, amortização, juros e saldo de cada período, pelos diferentes sistemas de amortização:
a. Sistema de Amortização Americano (SAA)
Matemática Financeira
Sistema de Amortização Americano
(SAA)
Devolução do capital emprestado no final do período
de uma vez
Juros pagos periodicamente, sendo iguais
Prestação = juros, exceto no último período, quando
amortizado
Período Saldo
Inicial
Juros (J) Amortização
(A)
Prestação
(Parcela-PMT)
Saldo
Final
1 até n-1 Saldo Final
Anteriori% x SI P = J SI
n Saldo Final
Anteriori% x SI Total P = A + J SI - A
Sistema de Amortização Americano (SAA)
Exemplo Banco BBB
C= 100.000; i= 5%; n = 3
1º. Passo: Amortização do último período = C
2º. Passo: Calcular juros = i% x SI(iguais)
3º. Passo: Prestação = Juros + Amortização
4º. Passo: Calcular saldos final e inicial
Período Saldo Inicial Juros Amortização Prestação Saldo Final
0 100.000,00R$
1 100.000,00R$ 5.000,00R$ 5.000,00R$ 100.000,00R$
2 100.000,00R$ 5.000,00R$ 5.000,00R$ 100.000,00R$
3 100.000,00R$ 5.000,00R$ 100.000,00R$ 105.000,00R$ -R$
Sistema de Amortização Americana (SAA)
Sistema hamburguês - SAC
O sistema SAC consiste no pagamento de
um empréstimo por meio de um conjunto de
prestações em que as amortizações do saldo
devedor são constantes ao longo de todo o
contrato.
Sistema hamburguês - SAC
Rk
Ak
Jk
Pk
R1R2
Rk-1
Rn-1Rn
1 2 … k … nP
A A
niAiA
Sistema de Amortização Constante
(SAC)
Valores das amortizações de principal são iguais
Juros decrescentes ao longo do tempo e prestações são
decrescentes
ões(n)Νο.Prestaç
)Capital(PVoΑmortizacã
Período Saldo
Inicial
(SI)
Juros (J) Amortiza
ção (A)
Prestação
(Parcela-PMT)
Saldo Final(SF)
Saldo
Final
Anterior
i% x SI Capital/n P = A +J SI - A
AkniJ k )1(
An
PAk
)1(1 kniAJAR kk
Exemplo Banco BBB
Exemplo: Um banco concedeu um empréstimo de R$ 100.000, para ser pago no prazo de 3 meses e taxa de juros de 5% a.m. Quais são os valores de prestação, amortização, juros e saldo de cada período, pelos diferentes sistemas de amortização:
a. Sistema de Amortização Constante (SAC)
Matemática Financeira
Sistema de Amortização Constante (SAC)
C= 100.000; i= 5%; n = 3
1º. Passo: Calcular amortização= C/n(iguais)
2º. Passo: Calcular juros = i% x SI
3º. Passo: Prestação = Juros + Amortização
4º. Passo: Calcular saldos final e inicial
Período Saldo Inicial Juros Amortização Prestação Saldo Final
0 100.000,00R$
1 100.000,00R$ 5.000,00R$ 33.333,33R$ 38.333,33R$ 66.666,67R$
2 66.666,67R$ 3.333,33R$ 33.333,33R$ 36.666,67R$ 33.333,33R$
3 33.333,33R$ 1.666,67R$ 33.333,33R$ 35.000,00R$ 0,00-R$
Sistema de Amortização Constante (SAC)
Sistema hamburguês - SAC
O sistema SAC consiste das seguintes
equações:
)1(1 kniAJAR kk
AkniJ k )1(
AknPk )(
An
PAk
Sistema hamburguês - SAC
Suponha um financiamento para aquisição
de casa própria no valor de R$ 180.000,00
para ser pago em 360 parcelas mensais, a
uma taxa de juros de 1,5% ao mês. Calcule o
valor da prestação, dos juros, da amortização
e do saldo devedor no vencimento da 25ª
prestação.
Sistema hamburguês - SAC
3020)125360(015,0150025 R
500360
000.18025 A
2520500)125360(015,025 J
167500500)25360(25 P
Sistema Francês - Price
O sistema Price consiste no pagamento de
um empréstimo por meio de um conjunto de
prestações sucessivas e constantes, com
amortização do saldo devedor ao longo do
contrato.
Sistema Francês - Price
1 2 ... k ... n
R R R Rk R R
Ak
Jk
Pk
P
Sistema Francês - Price
A fórmula para se calcular a prestação do
sistema Price é dado por:
Juros:
ni
iPR
)1(1
1)1(1 nk
k iRJ
Sistema Francês - Price
Amortização:
Saldo devedor:
1)1( nk
k iRA
i
iRP
kn
k
)1(1
Sistema Francês - Price
Um empréstimo de R$ 6.000,00 deve ser
amortizado em 7 parcelas mensais e iguais e
sucessivas, sabendo-se que a taxa de juros é
de 4,0093% ao mês. Qual a prestação a ser
paga?
Sistema Francês - Price
Um empréstimo de R$ 6.000,00 deve ser
amortizado em 7 parcelas mensais e iguais e
sucessivas, sabendo-se que a taxa de juros é
de 4,0093% ao mês. Qual a prestação a ser
paga?
000.11)040093,01(
)040093,01(040093,0000.6
7
7
R
Sistema de Amortização Francês (SAF)
- Tabela Price
Valores das prestações iguais, calculadas a partir do PMT da
calculadora.
Juros decrescentes ao longo do tempo, e amortização crescentes.
Perío
do
Saldo
Inicial
(SI)
Juros (J) Amortização
(A)
Prestação
(Parcela-PMT)Saldo Final
(SF)
Saldo
Final
Anteriori% x SI A = P - J
IGUAIS
(Calculada)SI - A
1
1 )1( t
t iAmortAmort
1)1(
)1(
n
n
i
iiCxPMT
Sistema de Amortização Francês (SAF) -
Tabela Price
C= 100.000; i= 5%; n = 3
1º. Passo: Calcular prestação = PMT da
calculadora ou fórmula(iguais)
2º. Passo: Calcular juros = i% x SI
3º. Passo: Amortização = Prestação - Juros
4º. Passo: Calcular saldos final e inicial
Período Saldo Inicial Juros Amortização Prestação Saldo Final
0 100.000,00R$
1 100.000,00R$ 5.000,00R$ 31.720,86R$ 36.720,86R$ 68.279,14R$
2 68.279,14R$ 3.413,96R$ 33.306,90R$ 36.720,86R$ 34.972,24R$
3 34.972,24R$ 1.748,61R$ 34.972,24R$ 36.720,86R$ 0,00-R$
SISTEMA FRANCÊS(TABELA PRICE)
Sistema de Amortização Francês (SAF) -
Tabela Price com variação monetária
Perío
do
Saldo
Inicial
Variação
Monetár
ia (VM$)
Juros (J) Amortiza
ção (A)
Prestação (Parcela-
PMT)Saldo
Final
Saldo
Final
Anterior
SI x
VMper%
i% x
(SI+VM$) A = P –
J-VM$
Calculadas a partir do
PMT *(1+VMacu%)SI - A
)1(1)1(
)1(VMacu
i
iiCxPMT
n
n
VMper= Variação Monetária do Período
VMacu=Variação Monetária Acumulada (do início da operação até o momento)
Sistema de Amortização Francês (SAF) -
Tabela Price – Com inflação
C= 100.000; i= 5%; n = 3 VM%= 2,0%, 2,5%, 2,8%
1º. Passo: Calcular variação monetária
(VM$=SI*VMper%)
2º. Passo: Calcular juros = i% x (SI+VM$)
3º. Passo: Calcular prestação atualizada= PMTx
(1+ VMacu%)
3º. Passo: Amortização = Prestação - Juros –VM$
4º. Passo: Calcular saldos finais e iniciais
Período Saldo Inicial Variação Monetária Juros Amortização Prestação Saldo Final
0 100.000,00R$
1 100.000,00R$ 2.000,00R$ 5.100,00R$ 30.355,27R$ 37.455,27R$ 69.644,73R$
2 69.644,73R$ 1.741,12R$ 3.569,29R$ 33.081,25R$ 38.391,66R$ 36.563,48R$
3 36.563,48R$ 1.023,78R$ 1.879,36R$ 36.563,48R$ 39.466,62R$ -R$
SISTEMA FRANCÊS (TABELA PRICE) - COM VARIAÇÃO MONETÁRIA