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Sistemas de Controle 2Cap.7 - Erros de Estado Estacionário
Pontifícia Universidade Católica de Goiás
Escola de Engenharia
Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro
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Sistemas de Controle 2Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro
Cap.7 - Erros de Estado Estacionário
7. Erros de Estado Estacionário
7.1 Introdução
7.2 Erro de Estado Estacionário de Sistemas com Retroação Unitária
7.3 Constantes de Erro Estático e Tipo de Sistema
7.4 Especificações de Erro de Estado Estacionário
7.5 Erros de Estado Estacionário Devidos a Perturbações
7.6 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Retroação Não-unitária
7.7 Sensibilidade
7.8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas no Espaço de Estados
Bibliografia principal:
Engenharia de Sistemas de Controle – Norman S. Nise
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Objetivos do capítulo
• Como determinar o erro de estado estacionário de um sistema com retroação unitária
• Como especificar o desempenho de erro de estado estacionário de um sistema
• Como determinar o erro de estado estacionário devido a perturbações na entrada
• Como determinar o erro de estado estacionário de sistemas com retroação não-unitária
• Como projetar parâmetros do sistema que permitam atender especificações de desempenho
de erro de estado estacionário
• Como determinar o erro de estado estacionário de sistemas representados no espaço de
estados
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7.1) Introdução
Definição e Entradas de Teste
O erro de estado estacionário é a diferença entre a entrada e a saída para uma entrada de teste quando t ∞
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7.1) Introdução
Definição e Entradas de Teste
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7.1) Introdução
Aplicação a Sistemas EstáveisResposta natural tende a zero quando t ∞
Calculando os Erros de Estado Estacionário
Erro nulo
Erro finito = e2
Degrau
Rampa
Erro nuloErro finito
Erro infinito
Representação geral
Representação para sistemas com retroação unitária
Foco inicial do estudo
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7.1) Introdução
Fontes de Erro de Estado Estacionário
• Não linearidades• Configuração do Sistema• Tipo de entrada
Exemplos de não-linearidades: Folgas de engrenagens Movimento do motor apenas após um limiar de tensão
Escopo do estudo Erros de:• Configuração do Sistema• Tipo de entrada
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7.1) Introdução
Erro finito e não nulo
Sistema com ganho puro K no percurso direto:
𝑪(𝒔) = 𝑲𝑬(𝒔)
Valor do estado estacionário do erro
Valor do estado estacionário da saída
Erro de configuração de sistema
Sistema com apenas um ganho constante no sentido direto sempre apresenta um erro
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7.1) Introdução
Para uma resposta em degrau:
Erro finito e não nulo
Sistema com ganho puro K no percurso direto:
𝑪(𝒔) = 𝑲𝑬(𝒔)
Inserção de um integrador:
Para uma resposta em degrau: Erro zero
A medida que c(t) aumentar e(t) diminuirá até chegar a zero.
𝐸 𝑠 = 𝑠.𝐶 𝑠
𝐾
𝑒 𝑡 =𝑐 𝑡
𝐾𝛿′(𝑡)
0
𝑒 𝑡 = 0
𝐶 𝑠 =𝐸 𝑠 𝐾
𝑠
(Aplicando Inversa de Laplace)
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7.2 Erro de Estado Estacionário de Sistemas com Retroação Unitária
Erro de Estado Estacionário em Termos de T (s)
Calculando erro de estado estacionário:
Aplicando teorema do valor finale fazendo s 0:
Teorema do valor final
Permite obter o valor de e(∞) no tempo semcalcular a transformada inversa de laplace.
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7.2 Erro de Estado Estacionário de Sistemas com Retroação Unitária
𝒆 ∞ =𝒔 𝒔𝟐 + 𝟕𝒔 + 𝟓
𝒔 𝒔𝟐 + 𝟕𝒔 + 𝟏𝟎
*O teorema do valor final só pode ser aplicado de a função for estável.
degrau
Verificar a estabilidade. Se for estável, aplicarteorema do valor final.
Cap 6
Sistema estável
S0
11
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Exercício em sala
12
Calcule o erro de estado estacionário se a entrada for um degrau unitário.
𝑇 𝑠 =32
𝑠2 + 5𝑠 + 2
Solução𝐸 𝑠 =
1
𝑠1 −
32
𝑠2 + 5𝑠 + 2
degrau
𝑇 𝑠 =32
𝑠2 + 5𝑠 + 2
𝐸 𝑠 =1
𝑠
𝑠2 + 5𝑠 − 30
𝑠2 + 5𝑠 + 2
𝑒 ∞ = lim𝑠→0
𝑠 .1
𝑠
𝑠2 + 5𝑠 − 30
𝑠2 + 5𝑠 + 2
𝑒 ∞ = −15
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7.2 Erro de Estado Estacionário de Sistemas com Retroação Unitária
Erro de Estado Estacionário em Termos de G(s)
Fornece maior compreensão na análise e projeto do Sistema.
Deve-se verificar se o sistema é estável (critério de Routh-Hurwitz).Aplicar teorema do valor final:
Analisar resposta segundo as 3 entradas de teste: Degrau Rampa Parábola
13
Laboratório 1Estabilidade
pelo MATLAB
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7.2 Erro de Estado Estacionário de Sistemas com Retroação Unitária
Analisando entrada em Degrau:
Para que o erro seja zero é preciso que:
Se 𝒏 ≥ 𝟏Erro = 0
Pelo menos 1 integraçãono percurso direto
Se 𝑛 = 0
Erro finito
Nenhumaintegração no percurso direto
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7.2 Erro de Estado Estacionário de Sistemas com Retroação Unitária
Entrada em Rampa:
Para que o erro seja zero é preciso que:
Pelo menos 2 integrações no percurso direto
Se 𝑛 = 1
Erro finito
Apenas umaintegração no percurso diretoSe 𝒏 ≥ 2
Erro = 0
Se 𝑛 = 0
Erro infinito
Nenhumaintegração no percurso direto
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7.2 Erro de Estado Estacionário de Sistemas com Retroação Unitária
Entrada em Parabola:
Para que o erro seja zero é preciso que:
Pelo menos 3 integrações no percurso direto
Se 𝑛 = 2
Erro finito
Apenas 2 integrações no percurso direto
Se 𝒏 ≥ 3Erro = 0
Se 𝑛 = 1 ou 0
Erro infinito
Uma ou nenhumaintegração no percurso direto
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7.2 Erro de Estado Estacionário de Sistemas com Retroação Unitária
Verificar se o sistema é estável Testar cada entrada
Analisando erro do Sistema de acordo com o tipo de entrada
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7.2 Erro de Estado Estacionário de Sistemas com Retroação Unitária
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Exercício em sala
Teorema do valor final
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7.3 Constantes de Erro Estático e Tipo de Sistema
Constantes de Erro Estático
Parâmetros de especificação de desempenho de erro em estado estacionário.
Relações para o erro de estado estacionário:
Entrada: Erro de estado estacionário:Constantes de erro estático:
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7.3 Constantes de Erro Estático e Tipo de Sistema
Erro de estado estacionário por intermédio das constantes de erro estático
Problema Para cada um dos sistemas abaixo, calcule as constantes de erro estático e obtenha o erro esperado para entradas padronizadas em degrau, rampa e parábola.
Sistema 1
Sistema 2
Sistema 3
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7.3 Constantes de Erro Estático e Tipo de Sistema
Erro de estado estacionário por intermédio das constantes de erro estático
Problema Para cada um dos sistemas abaixo, calcule as constantes de erro estático e obtenha o erro esperado para entradas padronizadas em degrau, rampa e parábola.
Sistema 1
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7.3 Constantes de Erro Estático e Tipo de Sistema
Erro de estado estacionário por intermédio das constantes de erro estático
Problema Para cada um dos sistemas da Fig. 7.7, calcule as constantes de erro estático e obtenha o erro esperado para entradas padronizadas em degrau, rampa e parábola.
Sistema 2
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7.3 Constantes de Erro Estático e Tipo de Sistema
Erro de estado estacionário por intermédio das constantes de erro estático
Problema Para cada um dos sistemas da Fig. 7.7, calcule as constantes de erro estático e obtenha o erro esperado para entradas padronizadas em degrau, rampa e parábola.
Sistema 3
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7.3 Constantes de Erro Estático e Tipo de Sistema
Definindo o Tipo do Sistema
n=0 Tipo 0n=1 Tipo 1n=2 Tipo 2
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7.3 Constantes de Erro Estático e Tipo de Sistema
Tipo de Sistema
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7.3 Constantes de Erro Estático e Tipo de Sistema
Tipo de Sistema
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7.4 Especificações de Erro de Estado Estacionário
Uma única constante de erro de estadoestacionário podem nos dizer muitacoisa!
Especificações de resposta transitória:- Relação de amortecimento- Tempo de assentamento, Ts- Instante de pico, Tp- Ultrapassagem percentual, %UP
Especificações de erro de estado estacionário:- Constante de posição, Kp- Constante de velocidade, Kv- Constante de aceleração, Ka
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29
Revisão cap.4 - Especificações de resposta transitória
- Relação de amortecimento - Tempo de assentamento, Ts: tempo para chegar em 2%.
- Instante de pico, Tp- Ultrapassagem percentual, %UP
%UP
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7.4 Especificações de Erro de Estado Estacionário
Exemplo: Um Sistema com Kv=1000.
1. Sistema estável Se não o Kv não estaria definido2. Tipo 1 Kv finito. (Kv=0 é Tipo 0 / Kv infinito é Tipo 2)3. Sinal de teste = Rampa. 4. Erro de estado estacionário para entrada de Rampa = 1/1000
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7.4 Especificações de Erro de Estado Estacionário
1. Instavel ou estável?2. Tipo ?3. Sinal de teste ?4. Valor dos erros de estado estacionário?
1. Sistema estável
2. Tipo 0 Kp finito, constante.
3. Sinal de teste = Degrau.
4. Erro de estado estacionário para entrada do degrau = 1/1001
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7.5 Erros de Estado Estacionário Devidos a Perturbações
Sistema com retroação Compensar perturbações
Deduzindo expressão do erro de estado estacionário com a perturbação incluida:
Isolando o E(s):
Relaciona E(s) a R(s) Relaciona E(s) a D(s)
Aplicando Teorema do valor final:
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7.5 Erros de Estado Estacionário Devidos a Perturbações
Erro estacionário em relação a R(s)
Erro estacionário em relação a D(s)
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7.5 Erros de Estado Estacionário Devidos a Perturbações
Analizando como reduzir o erro em relação a perturbação:
Perturbação em degrau:
Logo é possível reduzir o erroaumentando G1 e reduzindo G2𝑒𝐷 = −lim
𝑠→0
𝑠𝐺2 𝑠
1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠(1
𝑠)
𝑒𝐷 = −lim𝑠→0
𝐺2 𝑠
1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠
𝑒𝐷 = −lim𝑠→0
1
1𝐺2 𝑠
+𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠
𝐺2 𝑠
𝑒𝐷 = −lim𝑠→0
1
1𝐺2 𝑠
+ 𝐺1 𝑠
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7.5 Erros de Estado Estacionário Devidos a Perturbações
Erro estacionário em relação a R(s)
Erro estacionário em relação a D(s)
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7.5 Erros de Estado Estacionário Devidos a Perturbações
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7.5 Erros de Estado Estacionário Devidos a Perturbações
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7.5 Erros de Estado Estacionário Devidos a Perturbações
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Exercícios
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7.2 Erro de Estado Estacionário de Sistemas com Retroação Unitária
Resolver no final da aula ou em casa
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7.2 Erro de Estado Estacionário de Sistemas com Retroação Unitária
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7.2 Erro de Estado Estacionário de Sistemas com Retroação Unitária
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7.4 Especificações de Erro de Estado Estacionário
Resolver no final da aula ou em casa
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7.4 Especificações de Erro de Estado Estacionário
Resolver no final da aula ou em casa
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7.4 Especificações de Erro de Estado Estacionário
Sistema Tipo 1Entrada: Rampa
Aplicando o critério de Routh-Hurwitz verifica-se que é estável para este ganho
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7.4 Especificações de Erro de Estado Estacionário
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7.4 Especificações de Erro de Estado Estacionário
Qual o tipo do Sistema ?
Qual o tipo de entrada para obter erro finito ?
Qual o valor da constante de erro ?
Pelo teorema do valor final calcular o valor de K.
Roteiro para solução do problema (dicas):
Resolver no final da aula ou em casa
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7.4 Especificações de Erro de Estado Estacionário