sistemas de controle difuso com escalonamento de
TRANSCRIPT
INPE-14168-TDI/1085
SISTEMAS DE CONTROLE DIFUSO COM ESCALONAMENTO DE GANHOS PARAMETRIZADO PELA REFERÊNCIA (FRGS)
José Ernesto de Araujo Filho
Tese de Doutorado do Curso de Pós-Graduação em Computação Aplicada, orientada pelos Drs. Sandra Aparecida Sandri e Karl Heinz Kienitz, aprovada em
13 de junho de 2006.
INPE São José dos Campos
2006
681.325.6 Araujo Filho, J. E. Sistemas de controle difuso com escalonamento de ganhos parametrizado pela referência (FRGS) / J. E. Araujo Filho. – São José dos Campos: INPE, 2006. 194p.; (INPE-14168-TDI/1085). 1 Sis tema difuso. 2.Escalonamento de ganhos. 3.Controle adaptativo. 4.Estabilidade. 5.Função de Lyapunov. 6.Controle difuso. 7.Câmara de teste termovácuo. 8.Qualificação de satélites. 9.Sistema Difuso com Escalonamento de Ganhos Parametrizado pela Referência (FRGS). I.Título.
��������� �� � �� � �� � �� � ���� �����
��� �� �� ������� � ���� �� ������ ����� ����� � �� � ��� ����� �
�� ������ �� �� ����������� ��� �������� � �� � ��� ����� ��
��� ������ � �������� ���� ��� � ���� �� � ���
���������� ��� ����� � �����
� � ���� ����� � ��� � ��������������� ��� �� ������� �� ��������� ��������� ���
�� ������ ��� �������� ��� ��� ���� �������� ��� � �� �����
� � � �� �! ��"������ � ��#��� ���� � ������ �� �������� ���� ���� ������� ����������$�
���� ������� 3�� ���� � ������ ������4
� �������� � ����� � ��� �� �� �������� �� ��� � ������� � ����� � ������� �� ��������� � ������� ���� �������� ����������� ������ ���� � ����� ��� �� ��� ����� �����
� ��� �������� ���� ���������� �� ����������� ��� ���� ����� �
� ���� ����� ������ � ������� ����������
� � ��� ������ ����� �������� ��� �����
����!
����������� !
� *�������� +������� �� ���C����� ��������� � *+��� ���� ������������ C�� �� 1��
�����:��� �� �����#�� � ����� �� ��������� �� ��� ����������� ������������
�� ���;��� �� ;���� �E��������� ���� ��@���� �� ���;���� � ��:���G�� ����;�����
�� ���� ������������� ���1� �� !��� "� !�����# � ���1� ��� ����� � ������ ���
������ �:����������� ���� ��������� � ����� ������� � �����#���� ����� ���;�����
�������� �� �:������� � ���� ��:���� ����������$� � ���:� �� �����������
� �� ���$�� ������� 6 ���1� �� <�;�������� �� *���:����� � ������ 3<*�4� ����
��������� �� �E����2����� � ������������� 6 C��� ������ �����@���� ��������� �
������ ��� ���;����K � ��� ����:�� �� ��;�������� C�� ������ �� �������$�����
�� ���1������� � ���C��������� �� *+�� C�� ������;�F��� ���� ���� ��� �������
����� ���B������� � �������� �� ����������� ��� ���1������� �� ������������ ��
���������� ������� 3��47 �� ���� ������ �� ������ D����� �� ��;��� H��
���� �� "�=��� "�=� �� <�������� ���������� ��� <���� �������� �� ������
������=� �� ��������� :������� �� �:������� �� �� ���� ��F��� ��G�� �� ��$��
����� ��������G�� � ����� 1���������� �� ����� �� ������ �� �������� �� ������
����� ���������� ���� � ��������� ����� ���;����� ������� ����� �:������������ ���
���C��������� C�� ���;�� ����$���� ��������� ����� ���������7 �� �������� H�
.����� �� "������ ������ L����� �� D������� ��� H���� ������ �� .�������
.���� � � ������ ������ ����;��������� ���������� � ���:�� �� ����:�������� C��
�� ��C����� ���$������ �� ��C����� �������� ���E���� ���;�� ��� ������;������
:������ ����� M L������� ������@��� �� ��� ����� ���� M ������ <�1����� � �����
�� ������������� 3 ��4 C�� ����� ��� ����� ������� ���� ����������
N� ���1������� H���� �� ������� "�������� � +����� �� ������ ��1�;���#������ �
����������� C�� 6 ��� ���� ����2���� � ��������� C�� �� �� $���������� �������
�2� 6 �� ��������� � ��� �� ��������� ������ ���� �� ������������ � �����������
����������� �� ���1������� �� ������ �������� ������� #������ M� 1������ �� ����:��
H���� ���$@���� ��� ���1������� �� ����:�� ���� :�������� ��� ���1������� �� �����
:�� H�������� H������� ��� ���1������� �� ������ ������� �� �������� �������:����
��� ���1������� �� �����1F��� /��$�������� ��������� ��� ���1������� �� *�������� ����
����:��� �� ����@����� ���� �������� �:������������� � ���1����� .������ D�F�
C������ �� ��:���� :��� �������� ��� ���������� �� ��E�� ���� ��@���� � ���������
�� ���� ��;�� ��������C��� .������� � ������ "�;;��� ��� ���� ���� ��������
��� ���� ���� ������� � ��� �� C�� �� ������� � C��������� � �������� � ��;��K
M ����� ���� H���� �:��� ���E� �:���� C�� �� ������� � $���� ������ � �������
� � ��������� ������ 3O4 �� 1�����K �� ��� ��������� �;������ �$�� �� ������� C��
�� ������� � $���� �� ���;���� � � ���������� � �� �����K M ����� ����� �� <��#�
�:��� �� ������� C�� �� �����:� � ����� �� ��������� � ��$�� �� ���� ��������� �
$�� � ����� ��� ����� ���������$��
���� �$��� ����� �:���†� /����� ���E�†� H���� ������ �� ��� �†� ��1��2�����
�� ����� $���� � ����E�� H������� �� ��� �†� ���� �������� � 1��������� C��
������ ���������� �� ������� � �� ����� 1�������7 ���� ���� � ���� 1���� ����K
���� ������ � ������ 1���� ������� �� ����������� ���� ��������� H���F��� �
P���� ���E� C��� ���� �� ��:����� ����� ����$�� �� ��� ���������� �� ;���� �� ��
������� ���B�������� �� ��������� C�� �E����� ��� �������� $�� � C�� ������� ��
���������� ��:�� ��� ��� ��$���G��� ���C������ ���$��G�� � �����;������
N Q ������R� ��� ��1��2����� � M �� �� ������ �C����� C�� ����$���� ������ ����
����� �� ����� ��1?����� ������ ������� � $�� �� ��� ��EF����
N ���#�;��� ���� ����� ������������� � ��:��� ����� ��� ������ ���� �� ������� ��
��������� � �� � ���� � �� �������� ������� ���:������ ����������� ������ ��
�������� :�������� ����� ��� �� ������� � $�� � $��� �� 1���� �������� � ���;��
���� ������� � ���� C�� �� ��� 1����� ���� ������:��� ����� ���������� :�������
������ ��������� ��� �� ���������� �� ����� ����������� �����������
N 0�F$��� !�����=�� � �������� 6 1���� ��������� 6 C�� �;����� ����� ������ ���
������� � �2� ���� :������ ���:��� L��2� �� � ������ � ��� ��� ������ �������
�� ���:��� �� ������� �� $���� � � ������ ������ C�� ��������� ��������� ��
������� � �� ���;������ ������ ������ �������� ������ ������ C�� ��� �2� ����
����� �E�������� ��� C�� ������;�F��� ���� ��� ������������� ������ OO
����� �� *+��� 1���������� ���:�� C�� ��������� ������ ���� ����� �����������
���� � ��������� ��� $��2� 1�� ���� 1@��� ������� �� ��$���������� ��� ���F������
1�#�� ����� ��1������ OO
��� O
��!"�
/�� ��$� ������ �� �������� �� �������� ��1��� ������������ � ��������$�� ����������� ������ �� ������� ����� �� �� �������� �� ����� ������� ��� �������� 3�.� 4� C�� ���;��� �� ��������F������ ��������$�� �� ������������� ���������������� �� :����� � �� ��������F������ ������������ �� ������ �� �������������� ��1���� 31�##=4� � ��������� ��� �� ���������� � �E����2���� �� ������������������ ���� �;����:�� ������� ������� ������������ ��;�� � $������� ��� ���������� ������������ M� 1���G�� �� ������2����� ������ �� �������� ��� ������G�� ���������� �� ������� ��� � C��� �� ���@ ������:����� ���� ������������ ������� C��� �����1F��� �� �������� �� ������� C����� ������@���� M� �������G�� ��� ������G�� ����������� �������������� ������������ ���� ��1��2���� 3��������4 6 �� ������ �������E�:���� ������������� �� ������������ � �; ���$��� �����E��� ��;������ ����S�;���� ���:� ���� � � ����� �� ���?������ �� ������� ��1��� ����$�� �� ����B���G���������#���� ��� ������������ ��� 1���G�� �� ������2���� �� ������ ��� ��1�������������G�� �� ��������� ���� �;����:�� ���� ��� �������� ����� �� ��� ��� �� �������������� C����� �� �������� �� ������� � �������� �� �� ������:�� �� �����������?������
#"$$% ��#������ �����!�&��"'��� (#��!) � �� '!%!��!
�*!���
��T ����� �1 ������$�� ��������� ��� 1�##= �=����� ������ ����� ������� ����� ������� 3�.� 4 �=������ T���� ���;���� ��� ������$� 1������� �1 :�������������: ����: T��� ��� ��������� ��������������� �1 1�##= ������������ �� �������������� D������ ��� �E�������� �1 ����� ��������� ��� ������������ ;= ��� �����������1 �������� ���� �������� ��� ������� I��T���:� �;��� $�������� �� ��� �������� �������=��: ��� ���;������ 1��������� ��� �� ����:�� �� ����������� ����������� ����I��T���:� ����T� ��� ������� ���1���� �� ����� �� ��C����� ;= ����������� ������������ �����= ���������� ;= ��� ��1������ 3���������4 6 �� ���� �E�:����� ��:���������������: �� ������� �� :����� �����E�� ��$��������� ���� ������;���� ���� U���������: �� ��� ���������� �1 ��� 1�##= �=���� �����:� ��� ����B������� ������������ ��� ���;������ 1������� ���������� ��������: �� ��V����� ����������� �������������� �������� ��� ;� ������� �� ������� ����:� �� T��� �� �� 1�##= �������� ��������=����� �� �=������� �=���� ��������:�
!"�+��
�,-.
'�!� �� #��"��!
'�!� �� �*�'�!
���/"' � � ��� �"01 2
%�% � ����������G�� *������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '-
%�' � H���$����7 �������� �������� � *��������� � � � � � � � � � � � � � � � � '>
%�& � 0; ���$� � .��������� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '8
%�9 � ����$��$������ �� ���;���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � &(
���/"' 2 � !�!��� ��#"! � � �!��' �����
�� ���& !3 "� 4�565 7�8�9���� ::
'�% � ������� ��?�����7 H�����:��� ������ � �������� � � � � � � � � � � � &&
'�' � ������� ��?����� ��� ������������� �� ������ � � � � � � � � � � � � &-
'�& � ������� �� �������� ���$��������� ��� ������������� �� ������ � � � &,
'�9 � ������� �� �������� �1��� ��� ������������� �� ������ � � � � � � � 9)
���/"' : � !�!��� ��#"! � � �!��' �����
�� ���& ! ��������$�� ��'� ��#��
�;���� :
&�% � ����������G�� *������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � -&
&�' � ������� �1���� ��� ������������� �� ������ ���������#���� ����
.�1��2���� 3�.� 4 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � -9
&�& � H����� �.� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � )9
&�&�% � H����� �.� .��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � )9
&�&�' � H����� �.� H������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � )8
&�&�& � H����� �.� ��I�:�� �:��� 3�.� �� 4 � � � � � � � � � � � � � � � � )8
&�9 � ������ �� �������� �.� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � >>
&�9�% � ����������� �.� ��I�:�� �:���7 θi(t) = ri(t) � � � � � � � � � � � � � >8
&�9�' � ����������� �.� ��I�:�� �:���7 θi(t) �= ri(t) � � � � � � � � � � � � � ,&
&�9�& � ������ �� �������� �.� ��I�:�� �:��� � � � � � � � � � � � � � � � � ,9
&�- � �@���� �� ����;������� �� ������� �� �������� �.� � � � � � � � � � � 8'
���/"' � � �<���' �'"!���= ��
9�% � ������ ��?���� �� �� ���C�� � �������� �.� � � � � � � � � � � � � %(-
9�' � ������ ��?���� �� �� ���C�� � �������� ��� �@���� ��� ���� .�1��
�2���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � %%9
9�& � ������ ��?���� �� �� ���C�� � �������� ��� .�F�� � � � � � � � � � � %%)
9�9 � ������ ��?���� �� �� ���C�� � ��������7 �$����� .�������� ��?�����%%,
9�- � ������ ��?���� �� �� ���C�� � �������� ��� .�F��7 �$����� .���
������ ��?����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � %'%
���/"' � �� >� � ��!��= '=���� � !�!�
��� �� � �� '� �� �?���� ��
�!� ��� =+�" ���� @"�'�#����
01 �!�����' �2
-�% � �������� �.� ������� �� ������ �� ����� �����$@��� � � � � � � � � %'-
-�' � A����B����� �� ������� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � %')
-�& � ������������� �� /������ 3�?����4 �� ����� �����$@��� � � � � � � � %'>
-�9 � �������� �� ���;���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � %'8
-�- � ������ �� �������� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � %&9
-�) � �������� �.� ������� A����B����� �;������ �������� � � � � � � � � %&)
-�> � �E���������� � .��������� 0;����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � %9%
���/"' � � � ��'"!A�! � !"��!A�! ���� ��*��
'& ! #""� ! ��
��#��;����! *�*'� ��+#���! � �
��;����� � � !�!���! ��#"! ! ��
�% ���� ����� �1���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � %)-
�' �0��������� �� *��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � %>%
�& �L���@$��� ���:WF������� ������ ���:WF������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � %>'
�9 �H���B������� <��:WF������ 3C����B������� ��1����� ;�����4 � � � � � � � � %>&
�- �<�:��� �1��� � .�����F��� ���E����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � %>9
�-�% � ���������� ����������� �1��� � � .�:�� ������������� �� *�1��2���� � %>9
�-�' � ������� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � %>8
�-�& � .����G�� �1���� ������ � ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � %>8
�-�9 � ���1�� ��1���� � � H��������� �1��� ����$�� �� .�:��� � � � � � � � � %,(
�-�- � �������� �1��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � %,%
�) �������������� �1���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � %,'
�)�% � H����� �1��� .��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � %,9
�)�' � H����� �1��� H������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � %,-
�)�& � H����� �1��� ��I�:�� �:��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � %,)
�)�9 � ������ �� �������� �1��� ��I�:�� �:��� � � � � � � � � � � � � � � � � %8'
'�!� �� #��"��!
�,-.
'�% .�:�G�� �� �������� ���� �������� ���?������ � � � � � � � � � � � � � � � &)
'�' ����:����� ���� � �������#���� �� �� ������� ����������� � � � � � � � � � &>
'�& �E����� �� ��C��������� ���� �������� �� �������� ��� �������������
�� :������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � &8
'�9 ��� ��� �� ����������� ���� ���� ������ �� ������������� ���?����
��1������ � ��� ��:��� �� �������� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � &8
'�- H��������� ���������� C����� ��:�G�� ��1���� ������� :��� �� ���$����
����� ( � %� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 9>
'�) ������ ��1��� ��� ������������� �� :�����7 ������G�� �� �������� ���
���������� ��� 1���G�� �� ������2����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � -(
&�% �������� �.� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ->
&�' <������#���� �� ������� � ��� ��� ������ �������� �E����� ��� ����
�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ->
&�& ����G�� �� ������2���� ��������$�� ����B����� �� ������ ��� ����� �E�
������ �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � -8
&�9 <����� �� ��������� ��� 1���G�� �� ������2���� ��������$�� ����B�����
�� ������ ��� ����� �E������ θ� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � -8
&�- �������:��� �� �������� �����#��� ���� ������ � ������� �� �������� �.� � )%
&�) ������ �.� 3��##= .�1������ ����� ��������:4� � � � � � � � � � � � � )'
&�> ��� ����� ��1���� ��������$�� ���� ��1������� $������ �� ��1��2���� � ����
�����1F���� �� �������� ��1�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � )&
&�, ���� ��� 1���G�� �� ������2���� �� 1����� �� ��1��2����� � � � � � � � � ))
&�8 *�X�2���� �� �� ����� �E�:��� 3��1��2����� �; ���$�� ��;������ �����E��4
�� �������� ���?���� �� �������� ��1���� �����:���� ������� ��1���
3������;����� �� �����;�������4 � ���:����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � )>
&�%( ����� �� �������� M � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ),
&�%% �E������ �� �.� 1���������� ���� ����B����� ���:WF������ � � � � � � )8
&�%' ����������� ��1��� ��I�:�� �:��� ����� #��� ���:���� 3����������� ��1���
���:�����47 $������� �� �S����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � >&
&�%& ����������� �.� ��I�:�� �:���7 �;����:�� ��� ������������� �� :��
���� 3:�������������:4 ;������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � >9
&�%9 ������ �� �������� �.� ��I�:�� �:���7 �;����:�� ��� ���������
����� �� :����� 3:�������������:4� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � >)
&�%- ���������� :���� �� ������� �� �������� ��1��� ���������#��� ���� ��1��
�2���� 3�.� 4� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � >,
&�%) ��:���� �� ������� �� �������� ��1��� ��� ������������� �� :�����
;������ �� ��1��2���� 3��##= .�1������ ���� ��������: 3�.� 4 �������
=����47 �������� �� �$����� θi = ri� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � >8
&�%> ����������� �.� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ,%
&�%, ��:���� �� ������� �� �������� ��1��� ��� ������������� �� :�����
;������ �� ��1��2���� 3��##= .�1������ ���� ��������: 3�.� 4 �������
=����47 ����� �;����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ,&
&�%8 ������� �� ��� ��� �� ����������� �������� � ������;�F�� 3�� 6 �����
!�������� "���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ,9
&�'( ��� ��� �� ������� �� �������� �.� ��� ����������� �������� � �������
;�F�� 3�� 6 ����� !�������� "���������� � � � � � � � � � � � � � � 8&
9�% ������ ���?���� ����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � %(-
9�' ��C���� ���� ���������� ����� ������������� �.� � ��##= ��@����� �
�*� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � %()
9�& ������� �� ����������� ����������� �.� H������� � � � � � � � � � � � %(>
9�9 ���?������ �� ����������� ��1��� ��@����� �����:���� �� �E������ � � � � %(8
9�- ���?������ �� ����������� �.� �������� ���� �� ��2� ��1������� �F$���
�� ��1��2����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � %%'
9�) .������� ���� ����������� �.� � ��##= ��@����� � �*� � � � � � � � � � � %%&
9�> .������� �����$���� ���� ����������� �.� � ��##= ��@����� � �* � � � � %%-
9�, ��C���� ��� ����S�;�� 3��F��4 ���� ���������� ����� �������������
�.� � ��##= ��@����� � �*� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � %%)
9�8 ���� �� ����S�;�� �������� �� ����� �� �������� � � � � � � � � � � � � � � %%>
9�%( .������� ���� ����������� �.� � ��##= ��@����� � �*� � � � � � � � � � � %%>
9�%% .������� �����$���� ���� ����������� �.� � ��##= ��@����� � �* ����
��1������� ��� ����� �� ������ �� ��1��2����� � � � � � � � � � � � � � � � � � %%8
9�%' .������� �����$���� ���� ����������� �.� � ��##= ��@����� � �* ����
��1������� ��� ����� �� ������ �� ��1��2����� � � � � � � � � � � � � � � � � � %''
-�% �E������� �� �������� � ������G�� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � %')
-�' �?����� �� ����� �����$@��� �� <�;�������� �� *���:����� � ������
3<*�4 �� *+��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � %'>
-�& L���� :���� �� �?���� �� ����� �����$@���� � � � � � � � � � � � � � � � � � %'>
-�9 ��:���� �� �?���� �� ����� �����$@���� � � � � � � � � � � � � � � � � � %',
-�- �1������� �������� ��������� ������� � ����� �� C����B����� �� �����
�����$@���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � %'8
-�) ����C�� �� �������� �����#���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � %&(
-�> ����� �� �?���� �������� �� ��:��� ������� 3��� ���:�4 � � � � � � � � %&%
-�, ����� �� �?���� �������� ��� ���:� �����$� 3��� ������� �� �����4 � � � %&'
-�8 ������ �� �������� ���:���� ���� � �?���� �� ����� �����$@���� � � � � � %&9
-�%( ��:���� ����� �� �������� � C������� �� ����� � � � � � � � � � � � � %&-
-�%% ��������F������ ���?����� �� �?���� �� ����� �����$@��� � �� ���������
��� �.� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � %&)
-�%' ������ �� �������� �1��� ����$������ �.� �����#��� ������� �� �E�
����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � %&>
-�%& ����G�� �� ������2���� �����#���� ���� � ��� ��� �� ������������ � � � � � %&8
-�%9 .������� ���?���� ���� � �������� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � %9'
-�%- .������� ���������� ���� � ����� �� ��:���� ������ � � � � � � � � � � � � � %9'
�% �E����� �� ��� ����� ��1���� 3���$�E��4� ������ � +S����� � � � � � � � %),
�' ����G�� �� ������2����� ������ ���:WF������ � $���@$��� ���:WF������� � � � � %>'
�& ������G�� �1����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � %,'
�9 ��������� ;@���� �� ����������� ��##=� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � %,&
�- .����������G�� ���� �������� ��1����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � %,9
'�!� �� �*�'�!
�,-.
9�% ���?������ ��� 1���G�� �� ������2���� ���� � ����������� ��1��� ��@������ %%(
9�' ���?������ ��� 1���G�� �� ������2���� ���� � ����������� ��1��� ��@������ %%%
9�& ���������� �� ���������� �� ������������� �*� ��##= ��@����� � �.� %%9
9�9 ���������� �� ���������� �� ������������� �*� ��##= ��@����� �
�.� 7 ��� �F$�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � %%9
9�- ���������� �� ���������� �� ������������� �*� ��##= ��@����� �
�.� ��� ��F�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � %%,
9�) ���������� �� ���������� �� ������������� �*� ��##= ��@����� �
�.� 7 $���� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � %%,
9�> ���������� �� ���������� �� ������������� �*� ��##= ��@����� �
�.� 7 ref = (2; 0, 5; 0, 7; 2, 7; 3) 3��:���7 9�%%3�44 � � � � � � � � � � � � %'(
9�, ���������� �� ���������� �� ������������� �*� ��##= ��@����� �
�.� 7 ref = (2; 3; 1; 0, 1; 2, 7) 3��:���7 9�%%3;44 � � � � � � � � � � � � � %'(
9�8 ���������� �� ���������� �� ������������� �*� ��##= ��@����� �
�.� 7 ref = (2; 1; 2, 5; 0, 5; 1, 5) 3��:���7 9�%%3�44 � � � � � � � � � � � � %'(
9�%( ���������� �� ���������� �� ������������� �*� ��##= ��@����� �
�.� 7 ref = 1, 5; 2; 2, 5; 3; 3, 5 3��:���7 9�%%3�44 � � � � � � � � � � � � � %'(
9�%% ���������� �� ���������� �� ������������� �*� ��##= ��@����� �
�.� 7 ref = (3; 2; 1; 0; 3) 3��:���7 9�%%3�44 � � � � � � � � � � � � � � � � %'(
9�%' ���������� �� ���������� �� ������������� �*� ��##= ��@����� �
�.� 7 ref = (3; 1; 3; 1; 3) 3��:���7 9�%%3144 � � � � � � � � � � � � � � � � %'%
9�%& ���������� �� ���������� �� ������������� �*� ��##= ��@����� �
�.� 7 ref = (2; 0, 5; 0, 7; 2, 7; 3) 3��:���7 9�%%3�44 � � � � � � � � � � � � %'%
9�%9 ���������� �� ���������� �� ������������� �*� ��##= ��@����� �
�.� 7 ref = (2; 3; 1; 0, 1; 2, 7) 3��:���7 9�%%3;44 � � � � � � � � � � � � � %'&
9�%- ���������� �� ���������� �� ������������� �*� ��##= ��@����� �
�.� 7 ref = (2; 1; 2, 5; 0, 5; 1, 5) 3��:���7 9�%%3�44 � � � � � � � � � � � � %'&
9�%) ���������� �� ���������� �� ������������� �*� ��##= ��@����� �
�.� 7 ref = 1, 5; 2; 2, 5; 3; 3, 5 3��:���7 9�%%3�44 � � � � � � � � � � � � � %'&
9�%> ���������� �� ���������� �� ������������� �*� ��##= ��@����� �
�.� 7 ref = (3; 2; 1; 0; 3) 3��:���7 9�%%3�44 � � � � � � � � � � � � � � � � %'&
9�%, ���������� �� ���������� �� ������������� �*� ��##= ��@����� �
�.� 7 ref = (3; 1; 3; 1; 3) 3��:���7 9�%%3144 � � � � � � � � � � � � � � � � %'&
-�% ������ <��:WF������7 ����� e� � L������� �� ����� ∆e � � � � � � � � � � � %&8
-�' ��� �� �������� ;������ �� .�1��2���� ������$�5+�:���$� � � � � � � � � %9%
�% ������ ;@����� �� ������ �� ��� ����� ��1����� � � � � � � � � � � � � � � � %)8
�' ����������� ��� �������� � ����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � %>(
�& ���������� �������� � ����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � %>%
�9 ���������� ���������� �� ����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � %>%
���/"' �
��� �"01
�������� �� ������� �
�������� ��� �� ����
�.� ��B8��5���C58 �B�����8
����������� ����� ���;���� ��� ��$� ������ �� �������� �� �������� ��1���� ����
�������� � ��������$��� �� �� ���?������ 3:�����4 �� ����������� ��� � �������
����B�������� �� 1���G�� �� ������2���� �� ������ ��� ��1������� ������G�� ��
�������� ����;�������� ��� �� ����� �E�:���� �� ���������� ���� ��1��2���� ����
����� ���� �;����:��� ���������� 8�8�5��8 �5 ��B����5 ��D�8�8 ��� 58���
��B��5B�� �5 -�B7�8 �����5���E���8 �5�� �5D5�FB��� 3����� ������� � ���
� ������� ������ ������ �������4� �� ������ �� ������ �� �������� �� �������� ���
���@���� C�� ���;���� ��������F������ �� �������� �� �������� ��1��� 3����� ������
�������4 ��� ��������F������ �� �������� �� �������� ��� ������������� �� :�����
3���� ������� ����������4�
/� ��� ;���1F���� �� �����:�� �������� �� �������� ��1��� � C�� ��� ��������� ����
���������� ����������� ��;����#� ����E������ ���$������ ���������� �� ����� ���
��������G��� �������#�� � $������� �������� 3������� ������� %88,4� � ��������
��$� �� ���� �������� �C��� � �����;������� �� ����� ��� �������#�� � �����1���G�� ��
������� �� �������� ������� ���;����� ��� �����1���G�� ���;�� ��� ������G�� ��
��������� ��� ��� $�#� ��� ��� $����:��� �� �����#�� � ������� �� ������������� ��
:����� � C�� ��� � ��� ����� ���� :������� C�� �� �;����� � ���������� ���� ���
�� ��:�G�� �� �������� �������;�������� �� ���� ���� ��������� ��������F������ �����
����$�� 3������������#@$����4� ����$��� �� �� �S���� �������� �� ������ �� ��������
� �����#���� � ���������� �� ������� :��;�� ���@ 1����� ��� ����� ����� �� 1�� �����
��� ���:� 1��E� �� ������G�� �� �������� ���� �������� � ����������� ������ �
���� ���� � ����������������������� � � ����� �� ��������� ��� �� � �� �������� ����� ������ ����
���� � ���� �� ��������� � ��������� ����� !�� �"� ����� ��� ������� �� ����#�$�� � ��%� ��& �� �� �������� �� ����'������ � ��� � ������� � �����$�� ��� ����� ��#������ ����� � ���������$������ ����� ��� �� !��� �� � �� ���� �� �������(�%"�����%"� ��#�� � �����$�� � )������ �� ���� *++,-�
'-
���$����:�� �� �� ���$��� ����� �������������� 0 :���� �� �������� ��1��� ���;��
���� ��� � �������� ��� ������������� �� :����� � ��� ���������$� ���� ����� ���
�� ����� �S���� �� ������G�� �� �������� �� ����� ����� C�� ������� �;��� ��
���������� :��;�� �����1�������
0 ������ �������� ���� ��� �������� ����� �� ����� �� 1�#�B������� C����� �� �����
�� ��1�#�B����� �� �������� ��1���� 3�2����� 4� ��C����� ���� �;����:�� ���
������� �� ���?������ �� ����������� ������ � �� ����� ���� ���� :���� �����1F����
�� �������� �� 1����� �� ��1��2����� �������� �� �������� ��1��� ��� �������������
�� :����� ����� ��� ����������� �� ����������� ��� ��������� � ���;����� �������
������ �� �������������� ��� � ������� �� ���?������ ������ �� �������� ���$�������
�����������
+���� ���;����� ���G���� C�� � ��1��2���� ��������� �� ������������� $���@$��� ���
�������� ��� ��� 1����� ��������� ��� ������� ���� 1����� � ����������� �.�
���� ��� ������B���� ���� �� ����������� ��1��� ��������� ��� ������ 3�� �#��
����� ���������4� ����������� ��1��� <�L 3���� ������� �����4 �� �� �������� �
������������� ��I�:�� �:���� ����������� ��1��� ��I�:�� �:��� �B� 3$�� %&��
������ ����� ���������4�
�;����:�� �.� � ��� ������� ���� ����� ��� ���;����� �� C�� � ���?����
��� �������� �� � ������� �� ����������� �� ����� $������� �� ������ ���� �����
��� �������� � �������� �� C�� � ������������� ��� ��������F������ ���?����� �� �
��1F��� �� ������� ��� �C���G�� ��1���������� �������������� ���� �������� �� ����
������������ ����F������ �� ������ ����������� �� ����� ��$��� M ������E�����
�� ��������
0 ������� �� �������� �.� �C�� �������� ���� ����� ����������� ����� ��� ������
��� ��1���� �� ���� ���:WF����� 3������ �� H������4 C����� �� ���� �����������$�
3������ �� ��I�:�� �:���4� 2�1��� ����� ���;����� �� �������� ���@ ����� S������
C�� 1�� � ������ ������� �� �� ��� ��� ��@������E���������� �� <�;�������� ��
*���:����� � ������ 3<*�4� �� ������������ �� *�������� +������� �� ���C�����
��������� 3*+��4� ���� ��� ��� ��:��;� � �����$��$������ �� ������� �� ��������
��� ��� �� ��������� � � ��������� ���"� �����$��� � ��.�� �� � ����%"� �� ����������� �� ������������ � ��� �� ��� �� ����(�%"� � ������(�%"� #���� �� ��������� / � ��� �� ��� � ��� ����
��������� ��� �� ���.���� �� � ����� ��& ���� ���� ����.��� ���� ��� � ������ �� ��� ������� �� �������� ������� �� ��� ������� ) �� �� ������$ �0��� ������"�- ��� ��& ����� ��������
')
�.� �������� � �� ������� �� ����� �����$@��� �����:��� ���� ������ ������
�G�� ��;������� ��������� � B� �� C����B��� �������� ��������� 3���������� ���������$��
��������� ����4
�.2 ����6����3 ��������� �8������ 5 �B��8�����
B� �� $���B��� � ���������� �� ������ �������� �� �� ���;���� ���� �� ��:��
������� � �;����:�� �.� � �����:��� �E��������������� ���� �� ���������
��E����� �� �������� �� �����$���� � �������� �� �� ������� �� ����� �����$@����
������ � �������� �� C����B����� � �����$��$������ �� �������� ���������� �?���
��� �� ����� �����$@��� ��� �����#���� ���� ������ ������G�� ��;������� �� ������
��1������� ��C����� �E�������� �� ������ L@��� � ���:� ������� ��� �������� ����
:������� C�� ��������� �� �������� ��������� ������ �B����������� C����� ����$����
�� ��;����
0 �������� �� ����� �����$@��� ��$��$� ��������� ������G�� �������� �� ���������
C����� ��:�� ��1������� $������ 3���������4 �� ����������� �� ��1��2����� ����
�������� ���;�� ��������� ��1������� ��E�� �� �C��������� � ���1�������� ����
��������� ���:�� ������������� ���� C�� ���� ���:� ����������� ��������� $@����
�������������� ��������� � ����1� �� ������� � �?���� � �� ���������$�� �������
��� � ����������� ���?���� ���������� �� ��� ���� �?���� � ���:�� ������������
������� � ����� ��:��� C�� � ��� �� ������������� ���$��������� ��� �� � �����������
���������� � �������� �� �?���� �� ����� �����$@��� � �����#��� ��� ��������
��� �E���������� B� �� :������� ��:������� C��������� ;��E� ����� � �B��2���� ���
������ �� C����B����� ��������� � �� 1���������� ������?���� ��������� ��� �����
��� ���C���� C�� ��E���� �� ��;������ ����� ����������� 0 ���;���� ��������� �
C����� ���:� � ����������� �� ������� '�� ������� �� ������� ( ������ ��
�������� )*� �� ���+� �� ������ � ��� ���� �� ����� ������+ ���
/�� ������� ����F$�� ���� ��������� ��������������� � �?���� �� ����� �����$@����
�����1�#���� �� ��C������� �� ����� ��������� � �����#�� � ������� �E����2���� �� ����
������� �� ������ ��������� ��� ���������$� �� ������� �� �������� 3�����$����4 C��
����� �����#�� � ������� �E����2���� �� ���������� �� ����� ��C��� ��� �;����:��
C�� �� � ����# �� ������ � ������F��� � ������������� �������� ��������F�����
�� ��������� ��1������� C��������$� � ������ � ������F��� ����E����� ����� C�����
��1�����G�� �������� � ���������� 1�# � ��:��� ��1��� ��� ����� ���� ����� ��� ���
'>
����� �� ������������� �������� ����� ��� �;����:�� ����# �� ������ � ������F���
������ �� ����� ����� � ��B��� $������ �� ��1��2���� 3���������4 ���� ���������
�������� ���?����� � � ������� �� �������� ��1���� ������� �� �������� ��1���� ���
������������ � ����#�� �� ����� ��� ����� ������� �� ��������������� ��� ���������
���?������ ���� ������ ��� �?����� �� ����� �����$@����
����������� � ��� ��� �� ����������� ��1��� ���;�� ��������� ����� ��� ����
������������ ��B����� ��;�� ��� $�������� �� ������ �� �������� ������������
��� $������ �� ��1��2���� �� ����������� ��������� ��� ������ �����#���� ������� �
������ 0 ��� �� ������������� ��1���� ��������$�� �� ��������� ��� ���������$� ����
����� ��� � ���;���� �� �������� ������������� $�������� �� ����� � ��� � ������ ��
��������� ���;������� �� ��$����� ������G�� �� �������� ������������ ���� ��1��2��
���� ����������� �� ����������� � ������F��� ������ ����E����� � C�� �� ������
������ �� ��1������� ������G�� ������������ ��C��� ���;�� ��� ������� C�� �����
�� ������� �� ������ ��� �� ����� C�� �� ���� � ��������� �� �� ������� � ������
�������G�� ��������� �� �������� �����������
�;����:�� �.� �������� ����� ���;���� � ��� ���������$� C�� 1������ ���
��������� ��������$� ���� ������ � ������������� �� ��� ������ ������ �� ���
����G�� ��� C���� ��� ����� �� ������� ��;�� C��� � ������ ���� ���� ����� ��� �
��;����� �� C��� ���@ �������� � B� �� ����:�� ���� �; ���$��� � �������� C�� ��
1���G�� �� ������2���� C�� ����������� �� �; ���$�� � �������G�� �� �� ����B�����
���� �������� �� �� 1���� �E������ ���� ������� ���� ��� �����:��� ���� ���������
��� ��������� ��������$� ���������$� �� �������� ������ �� �������� �� �?����
�� ����� �����$@����
�� ������� �� ;���1F���� �� �����:�� � ������� �� �������� �.� � ���� ���������
��$�� ��� ��� ���������� �� ����� ��� ���;����� �����B����� 3�����1���G�� ��
������4 �� �������� ������E��� �� ��� �����#�� ������� ����F����� ��������� ��
�� ������� ���?����� � ��� �������� C�� �� ��������� �� ��������F������ ����F������
��� �������� ������������� �� ����������� �� � ������������� ���?���� � 1����� ��
�������� �E������� �������������� ���� �;����:�� ��������� � $����:�� �� �������
� ��������F����� �� ������� �� �������� ��� ������������� �� :����� �� ���������
M� �������� �� ������������� ���?���� �� ������ ��� �� ������G�� �� ��������
�� ��� 1���� C�� ��� ������� ������������� �� ����� ���� ����� ��� �;�����
���� ������ ��� � �������� � ���;����� �� �������� �� ��������� �������� ���������
',
���K � ������� �� �������� �.� ���� ��� �������� � C����C��� ����:����� �� ���������
� �������� ����������� C�� �����1���� �� �������G�� �� ������������� ���?���� ���
������� ���� � ����������� ��������� �������������� ���� �;����:�� �.� ����
���;�� ��� �������� ����� �� ������:�� �� �������� ���?����� 6 ��� �E������
������� ��1���� ��� ������������� �� :����� ���������#���� ��� ������ �E�:��
��� ��������� ��� ������ 3�� �#�� ������� ������� ���� ������� ����� ������4
6 C����� �� ��������� �� ������� 3�������� �� ������� � �������4 ��������$���
�.: 4G5��6� 5 �58������8 �8�5����8
���� ���� ��� ���� �; ���$� ������� � $��;������� ������� � ����������� �� �;�����
:�� �� �� ������� �� �������� ��1��� � ��������$� ��� ������������� �� :�����
���������#��� ��� �� ����� �� ��1��2���� C�� ��� ��������F������ �� ��� ���������
��� ������� ����������� ���� ������������ ��� ����� �� ����� �� �������� � ���
$����� ���� ��:��� � ����� �� ��1��2���� 3��������4� ��C����� � ����� ����� ����
� ��������� �� ����S�;�� �� ���:� �� ����S�;�� �� ����� �� ��F��� � �������� C��
�������� �������� ��� �� ����� �E�:��� 3��1��2����4 �� ������������� ���?����
�� �� ����������� ��� � ����� ��� ������������ ��� 1���G�� �� ������2����� � ���
���� �.� ���� ��� �������� �� ������ ���;����� �� �������� C�� �����1���� ��
������G�� ����;�������� ���� ���� ��������� �� ����������� ����G���� C�� � �������
�� �������� �.� �� � ��� ���������$� ���� ����� ��� �� �������G�� � ��������F������
���?����� �������� ���� �?���� �� ����� �����$@���� �$��� M� ���� ������������� �
�;����:�� �������� �������� �����1�#�� �� ��C������� ���� � �������� � �� �E�:2�����
����;�������� ���� ����� ���������
���� � ������ �� ������������� �� �������� ���?����� ������������ �� �������
������� �.� � ��� ��@���� �� ����;������� ���@ �����#��� ��� ��@���� �����������
����������� ��� ���� ������� C��� ����$�� �� �������G�� ��� 1���G�� �� ������2�����
� ����F$�� ��������� � �������� ��C����� �������G�� �� ������������� ���?����
�� �������� ������������ ��X��������� ��� �� ����� �E�:����
�������������� ���� ���������� $��� �����$��$�� �� ��$� ������ �� ��� ��� ��
�������� �� �������� ��1��� ���� � ����;���#���� �� �������� ������������� ���� �����
�����#������@ �� ������ �� ��� ��� ���� ������������� ����;���#����� C����@����� ��
���� ���� ����������� �;��� ��� �;����:�� ������� �� �� ��� ���� � �����#��� ��@
�����:��� � Q��:���� ������R �� <=�����$ ���� � ��� ��� �� ����������� �.�
�� 1���� C�� � ���B:������ ����� ��������F������ ��������� �� ����;��������
'8
�1������ ��� �;����:��� ����������� �� ���������� �� C�� �� 1���G�� �� ������2����
�����#���� ���� � ��� ��� �� ����������� ��1��� ��� 1����� �� ������ ���� � ������
��1��� �� ������� ���������� 3��� ,�� �� ����� ���������4� ���� ��������
��:��� �� ����������� ��1��� �� C�� �� 1���G�� �� ������2���� ����� ��� ���� ������
����������� ����B����� �� ������ ��� �C����� �� ������ ��1���� ���� �;����:��
�.� ��������� � :��� �� ���$���� ��� 1���G�� �� ������2���� �� ����������� �����
��� ����B����� ����������������� ��� 1���G�� �� ������2���� �� ������� �������
����� ����� � :��� �� ���$���� ��� 1���G�� �� ������2���� � �;���� ����� ���� $����
�� �������� x(t)� C����� ���� ����B����� ����� ���� 6 ��� �E������ ��� ��� �����
���� 6 ���� ��1��2����� ����� Mip(x(t), r(t))� �� ��$�� �� 1�#2��� �� 1����� ������� ��
$���� �� �������� x(t)� ����� Mip(x(t))� ���� �� ���� ������������
�.� �585B6��6��5B�� �� ��4��7�
���� ���������� ��� �� ����� ����� �� ���@��� �� ���C���� �������� � �E��������
��� �� ���� ���� � �����$��$������ � ��$����� �� ���� ������� +� ��������� ���������
� ����������� �.� �������� ���� � ����������� �� �� ������� ������������
���� �?���� �� ����� �����$@��� �� <*�� *+��� ���� �E������ ���� �� ����B��� �
�;����:��� ������ ��� ������;������� �� ���;����� ������ +� ��:����� �� �����$���
$������ �������� ���������� ��$����� ��������� � ���������� C��� ��� �������G�� ���
1���G�� �� ������2����� � ����F$�� ��������� �� ������� �� �������� ����;���#����
����# �� �������� ��C����� �������G�� �� ������������� ���?���� �� ��������
������������ ��X��������� ��� �� ����� �E�:����
B� �� ���������� � ������ ����� �� �������� ��������� C����� �� ��������� �� ��
���;���� ���� �� ��:������� ����������� �� ����������� ����������� �� ����� ���������
������������ � ���;���� �� ���F����� ��������� ���� � �����$��$������ ������� � ����
� ����������
+� ���F���� ' ������������ ��� ;��$� ��$���� ��������� ��� �;����:��� �E��������
C����� �� �����#�� �������� ��1���� ��� ������������� �� :������ *������������
������$���� � ������� �� �������� ��� ������������� �� :����� �� �� ��:�����
������������ � ������� �� �������� ��1���� ����������� ������������ � ���;������
��� ���� ������� �� �������� ����$�� �� �������� ��1���� ��� ������������� �� :��
�����
0 ���F���� & ��������� � ���� ������������ ����� ���������� � ���;���� ���������
&(
����� ���� � �; ���$�� �� ��������� � �� �������G�� ��$��$����� ����������� �� ����
������ C�� ����� ���:�� � 1���� �����#���� �� ���������� �� �������� ��1���� ���
������������� �� :����� ���������#���� ���� ��1��2����� ���� ������� � ��������
�������� �� ���������� �� ������� ��1���� ������������ ������ � ������� �� ����
H������ �� ��� B�� � ������� �� ���� ��I�:�� �:���� �� ��:����� ��������� � ���
���� �.� �� ��� ��� �� ������������� ����� ���� � ���;���� �� C�� � $���@$��
�� ������������� � � ����� �� ����� �� ��1��2���� ���� � ������� ���?���� C�����
���� � ���;���� C�� � 1�������� �� ����� �;����� �� ����� 1������� � �����������
�������� ��� ��� ����;������� $���B���� ����$�� �� ������� C����@����� �� ��@�����
���� ����� �����#���� � Q��:���� ������R �� <=�����$�
+� ���F���� 9 � �����#��� � �F����� � �����$��$������ �� ������� �� �������� ��������
M �?���� �� ����� �����$@��� ���� C����B����� �� ���������$�� � �������� ����������
/�� ��������� �� ������� �� ����� �����$@��� � � ��� ��� �.� ��� ��������� ��
���������
0 ���F���� - B����#� ���� ���� ��� � ��@���� � ������������� ��� ���������� �;������
���;�� ����� �����F��� ��:���G�� � ���������$�� ���� ���;����� 1�������
���������� ��� ;��$� ������������ �� ��������� � ������ ;@����� ������������ �
��� ����� ��1���� � ��:��� ��1��� $������� ���� �������� �� ��������� �����#���� �����
���;����� ��� ������������ �� ��2����� �
&%
���/"' 2
!�!��� ��#"! � � �!��' ����� �� ���& !3 "�
4�565 7�8�9����
� �������� � �� �� �� ��������� � �� ����� � ��������
��� ���� � ���� ��� ��� �������� ����� ���������
���� �� ������� ���������� �������
2.� !�8�5��8 ��BH����83 ���5��-5�I �5��8�� 5 ��B����5
0 ��� ������ ��� ��������� ������:�� � �������� � ��;����� �� C��� ���@ ��������
���� �����1�#�� ���� ������������ ��������� �� ���� ����:���� �� ;���1F��� �� ����
�������� � ����������� �� ��:��� � �����G�� C�� :�$����� �� ��������� ��������� �
��� ������ ���E� �� ��� ������ �� �;���$���� �����$� � �� ���������� �� ������#�
���E�� �� �E����� ������� ���� ����� ���������7 ���� ������ � ��� �������
A����� � ����F$�� ��;�� ��� � ���'�� ���� ���������� �������� � ��� ������ ����
���� ��������� �� �������������� 1������� ����� �� �����;�� �� ����G�� � ��:����
������� :���������� �� ��������� �E�������� �� ���� �� C��� � ������ ��� �������
��X������� � ������#�� ���� ������ � ������@��� ���������� � ������B��� �� ����G�� �
��:����������� ������ � ���������+����� ���� ����� � ������� � �������������
1������ �� ������ �������� � ������ 6 ���� ��� ��+� � ����
�����$�� �� ��:���������� � ����G�� �� �� ������� ���?����� �� 1���� C�� ��
����� ��������� ��� ������������� 1������ ���� ��� ��������� ���� �� ���;����
�� ��������� �;�� ���� ����� ��;�� �� ������� �� ���� C�� � �������������
���?���� �����1��� �� �; ���$� 3����������4 ���� � �� ���;���� �� ���� ��
�� �*� �� �� �������� L���� ����� 1����� � ������� �� ��� ������ ��� � ��;�����
C�� � ����� ���� ��� ���������#��� ����� ���$������ �� ��������� �� �*� � ��������
����G�� � ��:���������� �� �������� ����� ���� �������� �� ��������� ����� ���
�������������� ��� �E������ ���7
x = f(x(t), u(t))
y = g(x(t), u(t)) ,3'�%4
&&
����� C�� x � � ������ ������������ �� �� ������ n������������� ����� x(t) ∈ �nK
u� �� ����� �� ������� m������������� ����� u(t) ∈ �mK y� �� ����� �� ��F�� p�
������������ ����� y(t) ∈ �pK � ����� f(., .) C����� h(., .) ��� ������������ 1���G�� ����
��������� +���� ���;���� ����� 1���G�� ��� ��������� ������������� ��1������@$����
����� 1���G�� ���$���
/� ������� � ������ �� ��� ������ ���������� ��� ��������F������ �������� �� ��� ���
1���G�� f � h� +� ���������� ������� ������� C�� � ������� �� �������� ���?�����
��������� �������������� ������������ 3���12��� �2� %88%K 324�5�5�56� %88&4�
�� �������� �� �������� �� ���@ ����������� �� ��� ��� �� ������������� ���� ������
����� ��� ���� ����������7
u = K(x(t)) , 3'�'4
�� 1���� C�� �� ���� ������� ���?���� ���������� ������ ��� �E������ 3i4 ��:���
�� $���� �� ��1��2����� 3ii4 ��� ���@$��� 3iii4 �� ����� ��X�2����� �� ������ �� ����S��
;�� ��� ���� ���� � ����� �� ������ 3�5�728��1�� �����585� '(((K 19�85��
568�16����9:���36�� %88-4�
����$��� ��$��� M $������� ��� ���?������ �� ����� � M �������� �� ����
������������� � ������������� �������� �� �� ������� ���?���� ���@ �� ���� �
��������� � � ����� �������� ����� ���������� ������G�� �� �������� �� ����
���� ���������� ���������������� �� ���?������ �� ����������� 3:�����4 ����� ���
� ������� ����������� ���� 1����� ������ ������G�� �� �������� ���� 1���� ����
���:������� ���� �;����:�� �� �������� � ��������� ���� ����������� �� �� �
�������� �� ����� 35�16�8� ;211��856<� %8,8K 5=<5625�� �592��1� %88-K
4���� � ��� %8,,K 9��1� >�95����� %88>K >�95���� � ��� %88,K �5;6��7�� '((%K
�5;6��7�� 6��9� %88-K ;5��� 6��9� %8,>K ��� � ��� '(((K ��219� ��219�54�
%88,;K ��219� ��219�54� %88,�K ��219� ��219�54� %88,�K 8��75� 5������2�
'((%K =57<564� %889K 6�35112� %88)K 6��9� %88%K 6��9� �95885� '(((K �959�
6�?� �5��562� %88%K �95885� 5195��� %88(K �95885� 5195��� %88%K �95885�
5195��� %88'4�
�����:���� ����� ���;���� �������� �� �������� ������:���� ;������� �� ������ ��
��� ����� ��1���� � ��:��� ��1��� ���� � ������������� �� ������������� ���?����
�� ��������� ���� ���;���� $��� ����� ��� ��� ������ �� �������� �� �������� �� C��
�� ����G� �� ��$� ������ �� ��� ��� ���������� ������ �� ������� ����� ��
�� ��������� �� ����� ���������� ��� �� ��� �������� �� ����������� �
&9
����� �� ��1��2���� 3��������4� �;����:�� �������� ��1��� ���;����� ��� C���� ��
1���G�� �� ������2���� ��� ���?������ ���������� C�� ���������� �� ��������F������
���?������ ���� ��� ����B����� �� ������ ��� ������ �E�:���� � B� �� ������
��� ��C����� �������G�� �� �� ������������� ������� ����������� �;����:��
�������� �C�� ���� ��� ��������� ����� ���� � �������� �� ������:�� �� ������
��� ������������� C����� ���� �������� �� ������� � ������� �� ������ �:������ ��
����������� �:����� ������:����� 6 ��;��� ��� �� � � 1��� �� ���;���� �C�� ���������
2.2 !�8�5��8 ��BH����8 ��� �8����B��5B�� �5 ��B7�8
/�� ���������$� ���� ����� ��� �������� ������������ � ���;����� ��� ������� �����
���� ������ �������������� � ��$����� ������G�� �� ��������� ���� 1����� � ������
�� �C����� 3'�%4 ���� ��� ��������� ���� 1����� �� ��� $���@$�� �� �������������7
x = f(x(t), u(t), θ(t))
y = g(x(t), u(t), θ(t)) ,3'�&4
����� θ(t) ∈ �q �� $���� �� ����F$��� ���?������ �� ������� ������������� �� ����
��� �� ���������� ��������� ���� $���@$�� �� ������������� C������������� /��
����� �� ����F$��� �������������� ���?����� ��� ������������� �� :����� � ����
����� �� 385679���@5 � ��� %88'4�
0 ��� ��� �� �������� ��� ������������� �� :����� � ��� ������������ �� ��
���;���� ���������� �� ��;���;����� ��������� ���� ������������ ������� �� ��
����;������ ��� ������� ����� �� ������� ���������� � �� ��� ���� B���� 3���
1��F���4 �� �������� ���������
������� �� ����� � � ��� � � ���� ����� �� ��� �
����� ������� �������� ����� ��� �;����� ���� �������#���� �� �� ������ ����������
�� ��������� ������ �� �������� �� ������ ��� �� ������������ �� ���������� ���
�� ���� �� ��� �������� ������������ �� � ������������� ���?���� � ������������
���B���� �� ������������ ��:�G�� �� �������� �����FB���� ����� ��� ���������
�;������ 3������4� C�� ������� �� ��������F������ ����$����� � S���� ����#�� �� ���
��������� � ������������� �� ������� ������ ������ �� ��������� ���� ��� �;����
��� �� ����$�� �� �� �������� �� ������:�� 3���E� ;�����4 ����� �����F���� �������
�=���� �� �����A����� �� �B�� �� ����%"�� ����%B�� �� ����%"�� ����� �� ����%"�� ������� ����� )��� �����- ���� �"� ��� ���� �� � ��� �� ����� ��������
&-
)- 6� �B�� �� ����%"� ��(�� � � ���%� ���� ������
)�- 7���%B�� �� ����%"� ����� ��� ��� ����� "������ )����� � ��������A���-�
������ ��� ��� � � ������� ���� ������� ����������
��� �� �F����� ��� ���;�� ��� �� �������� �� ������B����� 3���E� ����� �� ���E�
���#�4 ����$�� �� ����� ������� �� ������� � ��F��� �������� ��:�G�� �� ��������
���B����� �� �� ������ �� ������� ;������������� ��� ��������� �� ��:��� '�%3�4�
������� ������������� �� �������� ������;�F���� ���� �;����� ���� ���;������ ���
������G�� �� �������� �� �� ���� ��$����� 31��E�4 �� �������� 3��:��� '�%3;44�
�� �������� �� �������� ��� ������������� �� :����� ���$���������� �������������
������ ���� �� ��� ���� �� ������� �������� ��$�������� �� ����� ����� ��� ����
������� ��� �E������ ���� �������#���� �� �������� ������������ �� �� ��� ���� ��
������ �� �C���F;��� 3>�95���� � ��� %88,4� /�� ��� �;����:��� �����:���� ����
�1����� ���� ������������ ;�������� �� �������#���� ��� �E������ �� ������ $@����
������� �� $�#������� �� ��� ��� ������ �����FB�� �� ������ �� �C���F;��� 3��219�
��219�54� %88,�4�
0� �������� �� ����� 1������ �� ���� ����� �� �C���F;��� ��$�� ��� ������������
����� ���@$���� 0 ��� ���� �� �C���F;��� ���� � ������� �� �C����� 3'�%4 � ���� ���
xeq = {(x, u) ∈ �n+m|f(x, u) = 0} �� �����CW���������� ����� ��� ���������� M
�C����� 3'�&4 �� 1����7
xeq = 0 ⇒ f(x, u, θ) = 0 . 3'�94
A����� �� �����:� � ������ �� ��� ��� ;������ �� ������� ��� �������������
�� :������ �� ������ �� �������� �� �����CW���������� �� :����� �� ������������
��� ���������������� ������������ ���� $���@$�� �� �������������� θ� ���� $���@$��
&)
���� ����� ����������� � ������ �E�:���� �� $���@$��� ��������� 0 ��� ��� �� ��������
�� �������� ��$��$���� ������������� �� :����� ���� ��� ������B����� ;�����������
��� ��:������ ����:�����7
• ��� ��� ;������ �� �������#���� �� �� ��� ���� �� ������ �� �C���F;���
3��:��� '�'3�44
• ��� ��� ;������ �� �������#���� �� ������� � ��� ��� ������ ������� 3���
:��� '�'3;44
• ��� ��� ;������ �� �������#���� �� ������� � ��� ��:��� 1��� ��� ��:�G��
�� �C���F;��� 3�-��'������ ������4 3��:��� '�'3�44
)- �����$%"� ����� �������� �����
)�- �����$%"� ��� �����C��� ��
)�- �����$%"� #�� �� �� �B���� �����A����
������ ��� ��������� ���� � ����������� � �� ������ ���������
+� ��������� � ������� �� �������� � ���������� ���������� ���� ����� �� ��F��� ���
���� �� ��:��� $���@$�� ��E����� 3>�95���� � ��� %88,K �5;6��7�� '((%K 6��9�
%88%K 6��9� �95885� '(((K �95885� 5195��� %88(K �9596�?� �5��562� %88%K
6�35112� %88)K =57<564� %889K 5=<5625�� �592��1� %88-K �5;6��7�� 6��9�
%88-4 � ��C��� C�� � �������#���� ����������� � �� ����� �� �C���F;��� �� �������
����������� ���� �;����:�� � �1���$� ��� ���E�������� ��� ��:�G�� �� �������#�����
��� ���� ��� ����@$�� C����� ���;������� 1��� ��� #���� ���$������� ����;���������
+� ��:����� � ������� �� �������� � ���������� ���������� �� ����� �;���� ����
����� �� ��1��2���� �� ��� ������� �� ��:��� ������� �E�:��� ��E����� �����#��� ����
��B��� � ��� ������ 3>�95���� � ��� %88,K �95885� 5195��� %88(K 4625�<�3 �
��� %88)K �9596�?� �5��562� %88%K 4625�<�3 � ��� %88)K =5�8� 6�9D����� %88>K
&>
=5�8� 4625�<�3� %888K =5�8� 4625�<�3� '((%K =5�8� �1�1?� '((&4� ����� ����
;���� �� 1���� C�� �� ������������� ����BC��� ���� :����� ��������������� � ����
������ �� ��1��2���� �� �������� ��E������� C�� ��� ���������� ���� ��B��� � ��� ������
�������� A����� �������� �� ��:�G�� 1��� ��� ������ �� �C���F;��� 3�-��'������
������4 � ��� �� �������� ���������� � �;���� ���� ������������ ��� �������� �� ����
����� ������ �E�������� 3>�95���� � ��� %88,4 �������#���� �� ������G�� �� ��������
���� �����
2.: !�8�5��8 �5 ��B����5 ��B65B���B��8 ��� �8����B��5B�� �5 ��B7�8
0 ������ �� �������� ���?����� ��� ������������� �� :����� � 1���������������
�����:��� �� �������� �� ������� ������������ C����� �� ������� ���������������
��� ������� ����� � ���?���� �� ������ ���������� � ������G�� �� �������� �����
�FB���� ��� ���� �� C���� ������� �������� � ��$�������� �� ����� ��� �����#��
���������� �����1��������
��������� �� �������� �� �� ���?������ 3:�����5���4 �� ����������� ��� �������
��� 3�����������5� �������4 �� ������ ��� ������G�� �� �������� ;�� ����������
� ������� �� �������� �� �������� ��� ������������� �� :����� 3���� �������
������ ������4� 0 ����������� ��� ������������� �� :����� � � ��������:�� ����
���������� �� ���S����� ������ �� ������������� �* 3@�5�79�11 � ��� '(((4�
��������������� C����� � ������@��� ����� ��� ���������������� �� �������� �����
������� L@���� ����� �� �������� �� �������� ��� C���� :����� ��� ����B����� ��
1���� ���������� ��� ������������ �� 38782��5� � ��� %8894�
�� �������� ���$��������� �� �������� ��� ������������� �� :������ �� ���?������
�� ����������� ��� ����B����� �� ������ ��� ��1������� ������G�� �� �������� ��
������ ���$������� ����������� �:���� ��� ��C��������� C�� ����� �����������
���� ������ �� �������� �� �������� ��� ��������� �� ���:���� �� ��:��� '�&�
0 ������ C�� �����:� ������������� �� :����� 1������ ��1������� ��� ����� ��
���?������ �� ����������� C�� ����� ��� �����#���� ���� ��1������� ��:�G�� ������
�������� ���� ������ �� ������G�� �� ��������� ���1���� �������� �� ��:��� '�&�
� ������ ��� ���� 1��F��� �� ������� ���������#���� 3�����������5� �������4 ���
��� $���@$�� ���$������� ���������� �� ��� ���� �� ������������� � ��� ����� ��
��� 1���� C�� � ���� �� ����� �� � ��������� �� ������ �������#��� �� �� �����
�� �������� 3��:��� '�94�
&,
)- ����� ��� �� !�� � �! ����� ������� ��
��
)�- ����� ��� �� !�� ��� ���� ��� ��� ���� ���A�
)�- ����� ��� �� !�� ��� ���� �� ��#��E��
������ ��� !���� � ��"�������� ���� ������� � ������� ��� ����������� � ���#���
������ ��$ %��&�� �� ����������� ���� ���� ����� �� ������������ �������� �'��� � �������� � ������� ���������
&8
��� � ������� ���������� ��� ���� �������#��� �� ��1������� ������ �� ���������
��� �����# :���� �� ������������ K� � ������������ ��� �E������ ��� ������� ��
��� ��� �� ������������� ��������� ����� C����� �� ���@ ��� ������ �������������
���� ��� 1��F��� �� ������� ��������� � �; ���$� � ��������� ��� ��� �� ��������
���� ���� �� ������ ��������$�� ������� �� 1����7
ui(t) = −K(x(t), θi) ,
ui(t) = −Kθi(x(t)) ,
3'�-4
C�� ��$� ��� ����# �� ����E���� ��� ��� �� �������� ���������� C����� ���$� ���
��1������� ��:�G�� ��� ��������$�� ������ �� ��������� θi�
���� 1��F��� �� ������� �������� � ���;����� ���� 1����� �� ������� ����������
:��;�� ����$�� �� ������������ �� ������������� ��� ������� �� ���� ����� ��
��������� ����� ��� $�# C�� ���� ��:��� �� �������� � ������������ � �����������
�������� � :���� ��������� � ��� �� ����� ��������� ����� �� ��$����� :����� ����
���������� � ���� �� �������� ���� �����������
���� ��� ���� �� ���� �� �������� ������ :������ C�� � ������� �� ����� 1������
�����1�# �� F������ �� ���������� � �� ��������� �� ����;�������� ����� ���� � ���
;���� � ��F��� C����� ����$�� �������� ���E��� M� ��:�G�� ��� ��������$�� ������
�� ���������
0 ��� ��� �� �������� �� �������� ��� ������������� �� :����� �� ;����������� ���
$����� ��� ��:������ ������7 3%4 ��� ��� � ������ �� ������� �� ��������� ������
�� ��������� 3'4 ������� �� ��� 1��F��� �� ������������� ������ ;������� �� ��������
#���� �� ������ ��� ��1������� ������G�� �� �������� �������;��������� 3&4 ���.���
����������� �������� ���� �� ������ �� �������� �� B��������� 394 �������� 3���
����4 �� :����� ��� �������� ���� �� ��� ���� ������ C����� 1��� ��� ������
�� �������� � B� �� ��������� �� ����������� ���������� :��;�� ���� ��� ������
�����������
0� ������ :����� ���� � ��� ��� �� ������� �� �������� ��� ������������� �� :�����
��� ����� � ��:���7
�4 /����� )*� �� ��+��� �� �� ��������� θ(t)� C�� ������������ M�
�������� �� ���?���� �� ������K
;4 ����)*� ��� ������ �� ����)*�� θi(t), i = 1, ..., n� C�� ��������� ���� �
9(
Q���$���� �� �������R 3��$�����4 �� ���?���� �� ������ ;������ ��� $��
��@$��� �� �������������K
�4 !������)*� ��� ������� ������ ������� �� ����� C�� ����������
��� M� ����E����G�� ��� ������� ������������ ��� ������ �� ���������
A����� �������#���� �� 1���G�� f1, . . . , fN ��B��� �� ��� ���� �� �����
��� �������� �������
��� �E������ ��� ��� �;����:��� ���� �����#���� ���� �������� ��������
������������ � �������� �������� � � �������#���� ;������ �� �E������ ��
������� ����� ����� $@���� ������� �� $�#������� �� ��� ��� ������ �����
�FB�� �� ������ �� �C���F;��� 3��219� ��219�54� %88,�4�
/�� $�# C�� � �������#���� � $@���� ������� �� $�#������� �� ��� ����
������ �����FB�� �� ������ �� �C���F;��� � �� �� �� �� ���@ �����������
������� �� ������������� ���?���� �� ����� �� ������ �����FB��� ��
1������������ � � ���;����� C�� ��� ������ �� �������� ������ C��
fθi(x, u) = f(xi
eq, uieq) = 0� ��$�� $���@$��� ��� �����#����7
xδi(t) = x(t) − xθi
, 3'�)4
xδi(t) = ˙x(t) − xθi
= x(t) − 0 = x(t) , 3'�>4
uδi(t) = u(t) − uθi
→ u(t) = uδi(t) + uθi
, 3'�,4
yδi(t) = y(t) − yθi
→ y(t) = yδi(t) + yθi
. 3'�84
0 ������� ���������� ���� ���� �C����� 3'�%4 ���� ��� ����E����� ����
������������ ����� �� ��� ���� �� �������� �������#���� �� ������G�� ���
���FB��� �� �������� �� ������ (xi, ui, θi)� ������� ������� � ��:�����
1����7xδi
(t) = A(θi)xδi(t) + B(θi)uδi
(t)
yδi(t) = C(θi)xδi
(t) + D(θi)uδi(t) ,
3'�%(4
����� C��7
Ai = A(θi) =∂f(x(t), u(t))
∂x
∣∣∣(xθi,uθi
) ,
Bi = B(θi) =∂f(x(t), u(t))
∂u
∣∣∣(xθi,uθi
) , 3'�%%4
Ci = C(θi) =∂g(x(t), u(t))
∂x
∣∣∣(xθi,uθi
) ,
9%
Di = D(θi) =∂g(x(t), u(t))
∂u
∣∣∣(xθi,uθi
) .
����� C�� Ai� Bi� Ci � Di ����������� � ������������� ���?���� �� ��
������� �� ��������� ������ �� ��������� θi�
A����� �� ������G�� �����FB��� �� �������� �� ������ (xi, ui, θi) ��� ���
��������������� ������ �� �C���F;���� ����� � ��� ���� �� �C���G�� C��
������$� � ������� �� �����7
xδi(t) = A(θi)xδi
(t) + B(θi)uδi(t) + d(θi)
yδi(t) = C(θi)xδi
(t) + D(θi)uδi(t) + c(θi) .
3'�%'4
+���� ����� � ������� �C��$��� � ��� ���;������ �� �������� ������ �B�
3$��4 �;����� ���� �E������ ���� ����� ��=����
0� ������� ����:2���� �� C�� d(θi) = 0 ���� i = 1, ..., n� ��� �� ����
���������� ��� �������� C������������� ��� $������� ��� ���?������ 3'���
���� ������������� �������� ����� '���0 1 �������4 ���������� ��
36��9� �95885� '(((4� 0 ������ �B� 3$��4 ���� ��� ��������� ����
��� ����E������ ��� ������ ���$� �� ��� �����1F��� ���������� �� �� ����
��������� 1���� ��������� ��� 36�35112� %88)4 �� �����E�� �� ��������
��1���� ��I�:�� �:��� 315<5�2� ������� %8,-4�
��;��� � ������ ����:2��� ����� ��� ����� ��;������� �� ��������
������������ ��������F������ �� ������������� ���?���� �� ������� ���
��������� �� ��������� �� ������ �B� 3$��4� ���� ������ � ��������
�������� ������������ C����� �� ���� ��� �������� �� � �������������
���?���� � ���� �������� �� ����� �� � ��C������ �� ���������� �� �
����� 3�79��1�� 959�� '((94�
�4 ��.��� �� ����������� �� � ����� ������� 3��:��� '�94 ����$��
�� :����� �� �������������� K(θi) ∈ �mxn� ���� �� ��������$�� �������
�������#���� 3'�%'4 ����$�� �� �������� �� ��� ��� �� ������������� ��������
�� ��� 1���� C�� � �����#
Gθi= A(θi) − B(θi)K(θi) 3'�%&4
�� � �� ���� "��T��#� ����� C�� �� �����$������ ������ ����� ���� ��:���$��
��� ��������� � �����# :���� �� ������������ K(θi)� ������ � ��� �� ����
9'
����� ���� �� ��������$�� ������ �� ��������� θi(t), i = 1, ..., n7
uδi(t) = −K(θi)xδi
(t) . 3'�%94
L���� ����� 1����� ���� ���� �� ����������� ���� ��� ��������� ���� ��
������� �� ������������� C�� ����B��� �� :����� ��� ���$������� 3�#��
��� ������4 ���� �� ��������$�� ��:�G�� �� ���������
����$��� ����� C�� � ��� ��� ��� ������������� � ;������ �� ����E����G��
�������� � ��$�������� �� ������ ������$�� M ������ ����������� �� �������
������ ���� ���� �� ���������� ����� ��� :��������� ������� �� ����
����� �� ���������
���� ����� ��� ����� �������G��� ��� ����� �� ��� ��� �� ������������� ���
������������� �� :����� �����:� �� ������������ �� ������������ �����
�� ��:�G�� �� ��������� �� ������������� �� �������� ��� ���?������
�� ������ ����� ������� �� 1���� ;����� ����� �� ��:�G�� �� ��������
�����#����� ������ �������� ��� ��������� ���?����� �������1�������� ��
����� ����@$����
�4 2� �������� ��� ����� ���� �� ���� θ(t) ����$�� �� �����#���� ���
�C���G�� 3'�)4� 3'�,4 � 3'�%947
u(t) = uδi(t) + uθi
= −K(θi)xδi(t) + uθi
= −K(θi)[x(t) − x(θi)] + uθi
u(t) = −K(θi)x(t) + [K(θi)x(θi) + uθi] .
3'�%-4
����� � ����������� ��� ������������� �� :����� ��������� ���� ����
��������� ��� 1�������� ���� ����� �� �������� ���� ���� ������������� ��
������ �� ������� ���������� � ��� ����� ���� ����� ������� ��� �������
��$�� ������ �� �������� C�� 1���� �;����� ���� �������#���� �� �C�����
���������� ���:�����
����� ������������� ��� ������������� �� :����� ��� ;������� 3<58��
� ��� %8,8K ���15�� %8,-4 ��7 3%4 ��� ������� �� �������� ����E����
��� ��� ��� ������������ ���$�� 3'4 ��� 1��F��� �� ������������� ���
������������� �� �� 3&4 :����� ���@����� ���������� ���?������ C�� ���
1���G�� ������������� ��1������@$��� ��� �����#�� �� ������ �����������
9&
0� ����� ���� 1��F���� �� �������� �������#@$��� ��� �������@$��� �� ����
����� �� �C���F;���� � ����� ��� ������������ ���� ��� �� 1��F��� ����F���
�� ������������� �� ������������� �� ������� ���?����� 3��:��� '�94�
��;��� �� � �������F�� ���� ��������� �� �������� �� �������� ��������
������� ���� �;����:�� �����# �� ������� �� �������� :��;�� �����������
�� ������� �� ������� �� �������� ��� ������������� �� :����� �� ������ ��
������������ C�� ������ �� ��� ���� �� ������G�� �� �������� ���� ������� �
1������ �� ��� ���� �� :����� ���� ��F�� 35�515� 4�826�2� '((%4 � ���������
$����:��� � ���$����:��� ���� �������� �� ��CW2�����
������� �� ������� � � ���� ����� �� ��� ��
• 0� ���?������ �� ����������� ����� ��� ����B����� ����������� ����
�������� �������G�� �� ���?���� �� ������ ���� ��� ��������� ����������K
��� � ���$���� � ��������� ��� ���?������K
• A����� ���������� � �������� �� �������� ��������$�� �� �����
�������#@$���� ��� ���� ������� �� �����������K
• �E����� $@���� �������� ;�� ����������� �� ��� ��� ���� ����� ��� ������
��� �������� C����� �� �;�2� ������� �������� �� ������G�� �� ��������
�����FB��� �� ������� ���������� ����������K
• H������ ������ ��� �;����� ������������ �� � ���� �������#����� �� � ����
������B����� �� ��1������� ��:�G�� �� ��������K
• � �����#�� �������� �� ��� ��� �� �������� ��������� �;����:��� ������$�� �
�������� �������� ����� ��� �����#���� ���������������� ���� ���� F������ ��
���������� 3��������� �� ���F��� �� 1��CW2���� �� F������ �� ����������
C����@����4� 1���������� �������������� ����K
• H������ �������� � ��������:��� �� �������� ��;���� ������ �����
��� ��������� �� ��� ��� �� ������������� ��� ������������� �� :�����
C����� �E����� ���;����� ��� �������#�� ��� ���?������ �� ������ ����
�������K
• 0� ���?������ �� ����������� ����� ��������� ����������� M� ��������
�� ���?���� �� ������� �C�� ���������� M� ������G�� �� ���������
99
���������� �� ������� � � ���� ����� �� ��� ��
• 0 ��� ��� ��� ������������� ��� ������������� �� :����� � �����������
�����#��� ����$�� �� ��:��� ����F������K
• � �������� ��� ���?������ ����� ��� �;������ ����� �� ��:�G�� �� ����
����� �� ����������� ��� ������������� �� :����� ���$��������� �� ���
1���� ������������ ���������� �� ������������ 6 C�� ����� ������ ����
��;������� �� ������������� �������1������ ���� � ���������� �� �������
�� ��:�G�� 1��� �� ����� �� �C���F;��� 3�-��'������ ������4K
• ������ ���������� ��� $���@$��� �� �������������� ��;���� �� ��@�����
�� � ;������ �� ��:��� ��������F����� �� �������� �� ����������� ��:���
��������F����� 1F����K
• ����� ��B������� �� ��� ��� C�� �����:� � ������������� �� :����� �
� ������� �� ��������� �� ������������� 0 ���������� � � ����;�������
��� ��� :��������� �� �� �����#�� ������������ �� ������������� ��� ������
���� ����� $@����� ����������K
• � � �S���� �� ������ �� �������� � ���� ��������$�� :����� 1�� ����B���
���� � ���������� �� ������� :��;�� ���� ��� ������������� ���� ������
����� ���� ��� ��������� ������������� � ;��� �� ����� �� :������ �����
���$������� �� ������ �� ��������� � ���$����:��� ����� ������� ����� ���
���������� ��� ����;������� �� ������� C����� ���$�� � ���$������� �����
�� :����� � � ���$��� ��E� �� ���$������� ����� ����� :����� 35�515 �
��� '(((4K
• �$��� M� �������G�� �� �� �;��� ������� �������� ��$�������� �� �����
�� $@���� ������ �� ��������� ���� ��$�� �������#�� ���������� � �����
�������K
• �� �������� ������������ ���� ��������:�� � ������������ ��$��� M ������
������ �� �;��� �� ������������ ��������� �� �������� ���� ����������
�� 1��E�� �� �������� � �����#�� ������ �� ����� �;���� ���� ����;��� ��
:����� �� ����������� ������ ����� @���� �� �������� 3@�5�79�11 � ���
'(((4�
+� ���������� �E����� ������� C�� �������� � ������������ ��� �������� ���� ��
��1������� ��:�G�� �� �������� �� �� ������� ��� ������������� �� :������ ��
9-
������ ��� �������G��� � ����� ���������� ����������� �� :����� �� 1��F��� �� ����
���������� �������� 3=57<564� %8894� ��� �E������ ���� ������������ ������ ����
��� �������� ��� ��������� ��� �����#�� �� ������������� �� ����������� �� 1����
�� ������ �� ������� 3���15�� %8,-4� �� ����� ������������ ������ ��� ����� � #��
��� ��� 1���G�� �� �����1��2���� ��� ������������� 39�4�� ���3�6� %88&4� ���;��
��� ����������� �;����:��� ;������� �� ������� �� ����E������ 3 ����������4�
������������ ������ ����� ���� ������ �� ��������� ����� �����#��� �� ������� ��
������������� �� :����� ���$���������� ��������� � ���$����:�� �� ��� ����F$��
����� �� ����;������� :��;�� ���� �� ������� �� ������� $����� ��:��B����$������
��� � ������ �������������� ��� ���������� ��� ����;������� ��� :���������
C����� �� �����:�� ����������G�� ������� ��� ������������� ��� ������ ����������
3@�6��1�� � ��� '(((4�
2.� !�8�5��8 �5 ��B����5 ��D�8� ��� �8����B��5B�� �5 ��B7�8
/�� ���������$� ���� ����� ��� ���� ���;���� � �����#�� ��� ������������ ��1����
������� ��1���� ��� ������������� �� :����� 1������� :����� ���$�� ��� �������
��������� ���� ����� �� ������ �� �������� �� ��$����� �� ���������
0 ��������� �� �������� �� �������� ��1��� 3������� %8,-4 ��$� ��F��� ��� � ���;����
�������� �������� �� 385845�2� %8>94� ��:���� �� ���;���� 385845�2� 5��2�5��
%8>-4� ����$��� ���� ����� �� ��:������� ��1���� 3?54�9� %8),4 � ��@���� ���:WF�����
3?54�9� %8>&4�
�1������ ��� �������� �� �������� ���$��������� C�� �����:�� ������� �����@�
����� ��������� ��� �C���G�� ��:�;����� �� ��1���������� �������� �� ��������� ��1����
�����#�� � �������� �� ��� ����� ��1���� � ��:��� ��1��� �������� ��� P���� 3?54�9�
%8)-K ?54�9� %8>&4� ������ �� ��� ����� ��1���� 1�� ����������� �� �� ����:� ���
����� ��� <�1�� ����I�� P���� 3?54�9� %8)-4 � � ��� ���������$� �� �������G�� ���
C���� � ��1������� ������ $������ ����������� ������������ �������� �� �� $������
������� 3?54�9� %88,4� ���� ���� �� �������� � ;������ �� ������������� �� ����
���� �����:� �� ��������� �� ��1��2���� C�� ����� ������ � ������F��� ������� +�
��;����� ��1��� � ��������� �� ��1��2���� � ;������ �� ������ �� ������F��� �����
E����� 3?54�9� %8>-4� �� ��1���� ��������� ���� �C���� �� C�� ��� ���������
��������� ����F$�� � ����#��� �� ��� ������� �� ��������� ���������� �5�� ��������
�� ����� ����#��� �� ��� ������� ��������� � ������� 3?54�9� %8>84�
9)
)- 8�� ��� ��#��� )�- 6� �B�� ��#���
������ ��( )������� �������� "����� ��� � ��'���� ������ ���� � ���*���� ��� + ��
/� ������� ��1��� � �� �������� �*������ ����� � ������ �� ������� $��������
X� ���� �� ������ �� ��F�� �������� Y � ����$�� �� �������� f : X → Y � ��� �E������
���� �������� �� ��:��� '�-3�4� ���� ���������� � �������� ����$�� �� �� ��� ����
�� ��:��� �� 1���� Q � < X � A > �+�Y0 < Y � B >R C�� ��B�� � ������ ��
����������F��� X × Y 3��:��� '�-3�44� � ������ ��� P����� � ������� �� ��:���
��1���� �� ���� ���+�Y0 � ������� �� ��:������ ��1��� 3������ ��1��� �� �����
������� ��1���4�
0 ��;��� ���� ��1��� �� ������ �� ������� X � ���� ��� A� ��C����� B � � ��;�
��� ���� ��1��� �� ������ �� ��F��K ��;�� ��� ���;�� ���������� ���� 1���G��
�� ������2���� 3�� ��� ����� ��1����4 � ����� ��� ���������� � ������ ���:WF�������
����� M� ��:��� ��1����� �� ��� ����� ��1���� ��� �����#���� ���� ����������� � ����
$���� �� �������� � ��B��� � �S���� �� ��:�G�� ��1���� 3:�?�����4� ���� ��������
�� ��:��� '�-3;4� �E����� ������ ��:�G�� ��1���� C����� 1�� � �S���� �� ��� �����
��1���� �� ���� ���$���� �� ���������
���� ������� � ��� ������������� 1����� �����@���� ���� �E�����G�� ���:WF������ �
������F��� ����E����� �����:���� ���� ��� ������ �� ���������� �� ��1�����G��
�� �������� �� �������#� � ����������� ����� ����� ������� ��1���� C����� �������
������� ��1���� ����� ��� ���������� ���� ������� ��:���� C�� ����;������ ���
������� C��������$� ����� �� $���@$��� �� �������
+� ����������� � ����F$�� ��������� ��$����� ��1��2����� ��@������ ��;�� ������������� �
������� ��1���� 3���� %88(�K ���� %88(;K ��;2�� �2�� %88)K 8��4��� %88-K @655��
9>
6�19�6D�64� %8>8K ��824�� ��4;2�� %889K �5�462� 7�66�5� %888K 4625�<�3
� ��� %88&K =�46�7?� ��824�� %88,K �����321�<�� '(('K ������� ������� %88,K
=5�8 � ��� %88)K �2�35� %88-K ?288�685��� %88)K �5��6� D2��3� %889K ���� �5��
�562� %88,4� /�� ;��$� ��������� �� �������� �� �������� ��1��� � ���� �� ��2��
���� 34
����� ���� �;����:��� 6 ������ �� ������� ����� � ������ �� ������� �� ���
�������� �� ����� 6 ���;������� �� ��� ���� �����$���� � ���:������ ��
8�8�5��8 �5 ��B����5 ��D�8� ��� 58����B��5B�� �5 -�B7�8 3����� ���
� ������� 3�� 4 "������ �������4� �� C�� �� :����� ���� � ����������� ��� 1���
������� ������������� �� 1����� ��� ������� �� ������� 35�515 � ��� '(((4�
$����:�� ������� �� �����#�� � ������ �� ������������� �� :����� � ���� ����
:������� �� C�� �� �;����� �� ���������� ���� ��� ��� ������ �� ��������� ���
��$��� ��� ��� ������� ���$����:��� �� ������������� �� :����� ���$�������� �
C�� ��� ��� � ���������� ���� ����� ��� �������� �� � ���?���� ��������� $�����G��
�@������ ��$��� �� ����� ������������� ��$��$���� C�� ������ ����������� ��� �
�S���� �� ������ �� �������� �����#���� � �� �S���� �������� �� ������ �� ����
����� � �����#���� ����� � ���������� �� ������� :��;�� ���@ 1����� ��� ����� �����
�� 1�� ����� ��� 1��E� ���:� �� ������G�� �� �������� ��� ���� ���������������
:����� ���� �������� � ����������� ������ � ���$����:�� �� �� ���$��� �����
��������������
�� �������� ��1���� ��� ������������� �� :������ � ������������ ��� :����� ����
������ � ������������� �;���� ��;�� � ���F��� �� �������� �� ������ ����$�� ��
��� ��;������ �� 1����� ��� ������� ��� �������� ������������ 0 :���� �� ����
����� ��1���� ���;����� ��� � �������� ��� ������������� �� :������ ������� �����
��� ���� 1��E� �� ������G�� �� �������� ��$��� � ���� ��������F������ �� ��������
����������� �� �������� ��1���� ��� ������������� �� :������ �� ��:�G�� �� ������
��� ����� ���������� � 1���G�� �� ������2���� ��B����� �� �� ������ �� $���@$���
�� ������������� C�� �� ��;���G��� +���� �;����:��� �� ��������� �� ��1��2��
��� ��1��� � �����#��� ���� ���������� ������������� �� ���?������ �� �����������
�� $�#������� ��� ��:�G�� �� ��������� ;������ ��� ���?������ �� �������� ������
����������� ����� �� ������� �� �������� �� � ����# �� �E������� � ���� � ���
���������� ���������� �� ������� �� �������� � 1������� �������G�� ���$�� �� ��:���
���� ��:���� /� ��� ;���1F���� �� �����:�� � ����������� ��1��� � C�� ��� �������
����� ��� �����1���G�� �� ������ �� ��������� ��� ��������� �� ������������ ��
9,
�������� ��������� C����� �� ���@ ���;������� ��� �� 1��E�� �� ���������
0 ������ ���� �������� �� �������� �� � ��������������� ����������� ���� �������
��� ������������ ����� �� ������ �� �������� ����$�� �� ����������� �� ��1��2����
� 1���G�� �� ������2���� ���� 1������� ��������� ���$� ����� $������ ��1������� ��
:����� ����� ����� ��:�G�� �� ��������� +����� �������������� �� ��F��� ����$������
��� ���������� ��� ������ �� ��������� 0 ������������� �� :����� ��1���� �E����� �
������ ��� ���?������ �� ������ ����������� C����� ��������� ��� �������������
�� :����� ���$���������� ����� �������� �� �������� ��1��� ��� ������������� ��
:����� ����� ������� � ���������� �� �������� �� �������� ���$��������� ���
������������� �� :����� C����� 1���G�� �� ������2���� � ��:��� ��� ���C���������
�;������
0 ������������ �� ��� ��� �� �������� �� �������� ��1��� ��� ������������� ��
:����� ��������� �� ������ ������ ����;�������� ���� � ��� ��� �� �������� ��
�������� ��� ������������� �� :����� ���$���������� �E���� C�� � ������������
������ �� ��� � ���� �� ���$� 3 ����������4 � ��;�����F�� ��� ��� ������������
�����#���� �������� �� ������F��� ��1����
0 ��C���� �� ������������� �� :����� ��������� ��� ���B:������ ���������� �
�� �������� ��1���� �����������$�� �� ;������� �� ������7
.�i : � δ1(t) � Mi1(δ(t)) � . . . � δp(t) � Min(δ(t)) �+�Y0 yi = fi(x, u, θi) .
3'�%)4
����� 1���G�� ��������� fi(x, u, θ)� ����� ����� ���������� � ������� �������� ������
�� ������� ���������� �� ������ ����������� � ���?���� �� ������� �� ������������
��:�G�� �� �������� ����� ���� i������ ��������� +� �C����� 3'�%)4� � �������� ���
��������� �� ���� ��:�� ������ �������G�� ���:WF������ ��1���� 3������ ���:WF������4�
Mip(δ(t))� ��� C�� p = 1, 2, . . . , n� �� i������ ��:��� i = 1, 2, . . . , Nr� ����� QNrR �
C��������� �� ��:��� ���+�Y0� � $���@$��� ��� ���������� δj(t)�
��F�� ����� �� ������� � ��������� ���� ��;��������� �� ��1������� ��F��� ��� ���
$����� ��:��� ��� ������ hj � C�� �������� �� :��� �� ���$���� �� ����� �����������
��� ������;���G�� ����$������ ��� ��:���� ���� �C����� ������ �� ����� �����CW����
������������ ��� yi = fi(x, u, θi) � ����:���� ���� �� ��;�������� ���� �� ����
��� �� $������ �� ������� x(t)� � �� �������� u(t)� � ��F�� �� ������� ��1��� � ������
������ ���� � ���� ��������� ��� ��;������� ���������
98
������������ 3�������������4 ��� ���?������ �� ����������� ���� ��� �����#���
��� 1���G�� �� ����������� wi� :������ ��� �� ��������� �� ��1��2���� ��1��� 3���
:��� '�)4� ����� ��� ������������� ��1���� ��I�:�� �:���� �� �����CW����� ��;���
�� ������ �� �������� ����� ���C�� �� 1���G�� �� ������2���� ����� ��� �� �����
�������� ���� �;���:���� �� ��������� ������ ��� ����� ��1���� ��� ������@�����
������ ��, -����� ��'��� ��� ����������� � ���#��. ������ � � ������� ����������� ���'��� � � �����/�����
A����� �� 1���G�� �� ������2���� ��� ������;�F��� � ��:���#���� �� 1���� � ���
���1�#�� � ���)*� �� ����� 3����� 3�-�-44� �� �� �� C�� � ������ ��1����� � ���
������ �� ������� �� 1����� ��������� ��� �� �S����� ��� 1���G�� ���������� �
������������ ��������$������� ���� ������B���G�� ����� ��� �;������ +����� ������
�G���∑Nr
i=1 wi(δj(x(t))) = 1 �� �����CW���������� �� �C���G�� 3�&>4� 3�984 3�-'4�
3�-(4 � 3�-&4 ����� ��� ������B������ ��:���� ������B����� �� ��1��� �� 1���
C�� ���� ����������� ��B�� �� ����� �� ������ �� �������� ���� ����� ���@ ���
��������� � �� ��� ���� �� ��:��� C�� ���@ :��� �� ���$���� ����@���� �� � $����
�� $���@$�� ���:WF����� ��������� M ��:��� ����������� ���� �������� �� ��������
3�S���� �� 1����� �� ������2����4 3µ(x(t)) = 1x(t), ∈ ���F��� �� �������� �� ����
�����4K :��� ���� ���� �� ������ ������ ��� ������������ C�� ��� ����� ������ �����
��:��� 3µ(x(t)) = 1x(t), /∈ ���F��� �� �������� �� ��������4K �� ��� ������������
������ ��� :���� �� ���$�����
���1���� ����������� ��� ��� $����:��� �� ������� �� �������� ��1��� ��� �����
��������� �� :����� � C�� ��� 1������ :����� ���$�� ��� ��������������� 35�515�
4�826�2� '((%4� ���� ����� ��� ���� �������� ����$�� �� ��1������� 1����� � ���� �����
-(
���G�� ������������ �� ��$����� �������� �� ����������� �E���� ��� ��$�������� ��
�;����:��� ���� ���������#�� �������� ��1���� ��� ������������� �� :������ ���
��������� �� ��� �������� ����� �������:��� �� �������� ���;����� ������������ ��
�������������� �����:���� ��� ��;��� �� :����� ������������ ���$�������� ����
��� ;������� �� ������� �� :���� ����� ���� ���C���� ����� �� :���� �� :�����
C��� ������������ �� ��� ����� ����� ���� ��� ��� �� �������� ���������� :��;���
/�� ����� �������:�� � � �����#���� �� ������� �� �������#��� ;������� �� �����
������� ����B������ ��:������� �$�����$��� ������� �� �����#���� ���� ���� ������#��
��� ��� ���?������ � ��� 1���G�� �� ������2���� ���� �������� �� ��CW2����� ��
������� �� ������� ����������� ����� ��� ����:���#���� ����$�� �� 3i4 ���������
����@�C���� �� �����$������ �� �� ������� ��1��� ���� ������������� �� �� �������
����� �* @ �E������� 3@�5�79�11 � ��� '(((K 758� <�7556��5�� '((-�K 758�
<�7556��5�� '((-;K 7952 � ��� %88,K 795��� D�� %88>K 795�� � ��� %88,K 792��
=���� %888K 9�5��� ��� '((%K �2�� �9565D� %88)K �2��� �4�56� %88'K �2��� �4�
�56� %889K �2��� �4�56� %88>K 8782��5� � ��� %889K 85679���@5 � ��� %88'K
8��4�?�57��15 � ��� '((9K <5665� � ��� '(('K <28� ������ %88>K <�23�� '(('K
=�46�7?� =�1�6�� %88>K =�46�7? � ��� %88>K 15�5F� 5��@5�62� %888K ?95� � ���
%88&4� 3ii4 ������� �� :����� �������:������� ����$�� �� �� ������� ��1��� 35�515
� ��� '(((K 5�515� 4�826�2� '((%K @�6��1�� � ��� '(((K 79�� %88>K 45�9 � ���
%888K 45�9 � ��� %88,K 42�� � ��� '((&K 4625�<�3 � ��� %88)K D�>28�62 � ��� %888K
D�>28�62 � ��� '((%K 9�2�9� 79��� '((%;K 9�2�9� 79��� '((%�K 9�2�9� 79��� '(('K
?95� � ��� %88)4� 3iii4 �����#���� �� 1���� �� ������ �� �������#���� ��� ���$�����
�� �������� ��� $���@$��� ���:WF������ ���������� �� ����� ������������� �� :�����
�� ��1������� 1��E�� �� �������� �� ���������#�� �� ���$����� �� �������� ���� ���
1������� ������G�� �� �������#���� 3792==�6D2��4 � ��� '(('K �2� 1��� %8884� 3iv4
������� ;������� �� ������B����� �� �������� �� �� ���������� �� �������#���
����� ������ �;��� � � ���� �� ������� �� �������� �� 1����� ��� ��������F������ ���
�?����� �� ������� ���������� 3@��8��� ;92�1�� '((%K �56725� %88-K 95@2@2�5�
� ��� '((9K >5��� ������� %889K �2�� �52� '(('4� � ������������� ��1���� ��� �������
������� �� :����� ;������ �� ��@���� �� ����� �����#����� 3���������� �����4
3=5�8� 4625�<�3� %88>K =5�8� 6�9D����� %88>K =5�8� 4625�<�3� %888K =5�8�
4625�<�3� '((%K =5�8� �1�1?� '((&4� 3v4 �������� ��1���� ��� ��� ����������
�� ������������� 3����� &4 � ��� ���������� �� �$���� 3�������#��4 ��� ��������
����� �� 3D�>28�62 � ��� '((%K ���1�6�8� @5@��<5� '((%K 32�2��2� D2�?2� %88,K
32�2��2� %8884� ��� ������� ���������� �� ������ �������� ����� ���;����� ��
����������� 3<�6@5 � ��� '((&4 ��������� ��� �;����:�� C�� ������;��� ���� �
-%
�����$��$������ ����� ���;����� ��� ����� ���� �����#� ��� �;����:�� ��1�������
��� �E������ � �����:��� � �����F��� ��� ����� ��������� �� C�� �� 1���G��
�� ������2���� �� ������� ���������� ��� �� ������ �� ����������� ��1��� � ���
;�� ���� BE��� Z ����F$�� ��������� ���;�� ��� �;����:�� �� ������������� ��
:����� ;������ �� ������� ��� $������ �� ��1��2���� 3�54��9?54�9 � ��� %8884�
����$��� ��� ��� ���� ��� �������� ��1�����
-'
���/"' :
!�!��� ��#"! � � �!��' ����� �� ���& !
��������$�� ��'� ��#��;����
��� ������� ��� � ������ ��� ��������� ��� ����� ������
��� ������� � ������ ��� ����� ��� �� �!���� � ������ � ����
���������� ���� ����������
������ �����
:.� ��B8��5���C58 �B�����8
�;����:�� �C�� �������� ��������� ��� ���������$� ���� �� ���;���� ��������
�� �������� ��1��� � �������� �� �������� ��� ������������� �� :������ ���� ��$�
������ �� �������� �� �������� ��1���� ��������$�� 3������������#@$���4� ����������
8�8�5��8 �5 ��B����5 ��D�8�8 ��� 58����B��5B�� �5 -�B7�8 �����5���E��
��8 �5�� �5D5�FB��� 3����� ������� � ���� ������� 3�.� 4 ������ �������4 1��
1���������� ����������� �� '((( �� %8�� +�*� 7 *������������ H�����: �1 ���
+���� ������ ��##= *�1�������� ���������: �����= 3565�>� � ��� '(((4� ����
������ 1�� ��������� � �������� �� ������� � ������� ��1���� ��������$�� :�$�����
��� ��� ��1������� �; ���$�� �� '((& �� *��� *������������ ���1������ �� ��##=
=����� 3565�>�� <2��21?� '((&4 �� ��������������� � �:����� ������:����� �� C���
�� ����[� ���;�� �� ��$� �������� �� �:����� �.� �� *��� *������������ ����
1������ �� ��##= =����� �� '((9 3565�>� � ��� '((94� 0 1��� ����� ���;�����
����$��� � ����� ��� � �F����� �� �������� �� ���������
����� 1���������� �� �;����:�� �.� � ������� ��������F������ ������������ ����
������ �� ������ �� ������� ��1��� � ��������F������ ��������$�� ������������ ���
� �������� �� ������������� �� :����� ���������#���� �� 1���G�� �� ������2����
�� ����� ���� �� ������ ��� ��1������� ������G�� �� �������� ����;�������� ���
��� $���@$�� �� �������������� θ� ��������� � �� ����� �E�:���� �� ����������� �
��1��2���� 3��������4� ����� � �������:�� �.� ��������� �� ��� ���� �����FB�� ��
1���G�� �� ������2����� �� �� ���?������ ��� ����B����� ������ ������� ��$�� ����
����� ��1���� �� �����CW���������� ��$�� �������� � �S�����K � ��� ;������ �� ���
���� � � ,
-&
��;��� �� :����� ��������� ���$�������� ���� � ������ ��� �����:� ���������� ��
�������#��� 3�����������4 ���� ���� ����� ������� ����B������ ��:������� �$�����$��
�� �������� �� �����#���� ��������� M� $@���� ������G�� �� �������� 6 ��;��� �����
��� �����#��� ���;�� �� �����:�� ��� ����� S�������
/� ������� �� �������� C�� ������ ���� ������������ ���?����� � ���� ���� ���?�
������ �� �������� �� 1����� �� ��1��2���� �� 1���� ��������$�� 0� ;���1F���� ��
������� ���� ������ �� �������� �� �������� �� ��� �E������ ��� ���������� �� �����
��� ���;����� ������B������ ��� �������� ������E�� � �� ��� �����#�� �������
����F����� ��������� �� �� ������� ���?�����
� �����@��� ��� �������:��� �� �������� �� �������� ��1��� ��� ������������� ��
:����� ����������� �� ������� �� �������� �.� � ��������� �� 1���� � �� ��������
��� �� ���$���� �� �������� ��� 1���G�� �� ������2���� 3�����CW���������� �������
� �S����4 � �E������������ ����������� ��� � ��1��2���� �� ��$�� �� �� �����#�� ����
������� � ���� ���������� �� ��1������ ����� � $���� �� ��F�� ���� ��� � � $���� �����
+� �������:�� �.� � � ����� �� ��1��2���� 3��������4 � � �������� C�� ����B�� ��
���?������ 3:�����4 �� ������������ A����� � ���$���� �� �������� � �� ��:��� ���
� ������� ��:���� � ����� ����B��� �� 1���G�� �� ������2���� �������� S��� �������
���� 1�#�� ��� C�� �� ������� �� �������� ���C��������� ������ �� :������ �E�
����G�� �� ����� �� 1��� �� ��������� ��� �E������ �� ��:���� ������ ���� ���
��1��2���� ������������� ��1������ �� ��������� ��$��@ �� ��� ���� �������� ��� ���
:���� �� ��� ����������� ���C�� ���� � ����������� � ���� �������� ��C���� � �
������������� ������� � ��� �������� ��������� � �����@���� �� �;����:�� �.�
� 1���� ��� 1���G�� �� ������2���� � � ������ �� ������ ��� �������G�� �� �����
�E�:���� ��������� C�� � ���� ��$� $���� �����#������@ �������������� ���?�����
��1������� �� ������� �� �������� ��1����
:.2 !�8�5��8 ��D�8�8 ��� �8����B��5B�� �5 ��B7�8 �����5���E���8
�5�� �5D5�FB��� (#��!)
� � ������ ������� � ����
0 ���;���� �� ��������� �C�� � ��������� �� ������� ���������� ���� ���� �C���
��� 3'�%4 �� 1����7x = f(x(t), u(t))
y = g(x(t), u(t)) ,
-9
$@������ �� ��������� �� ��������� ������ �� �������� 3��������4 C�� $����� ��
������ ��� �� ����� �E�:���� θ� ���;������� �� ��������� �� ��������� ���� ����
���� � ������������ �� ��:����� 1����7
x = f(x(t), u(t)), θ)
y = g(x(t), u(t)), θ) ,3&�%4
�����7f : Rn × Rm → Rn ���������� ����������
g : Rn → Rl ���������� �� ������ 3��F��4
x $���� �� ������
u $���� �� ������� �� ��������
θ $���� ������������� �� :�����
y ∈ Rl $���� �� ��F��
3&�'4
L��� ��������� C�� ���� ����� �E����� � �������� $����� �� 1���� ��������� ��� ������
3�� �#��4� � ���� ��� ��������� ���� �� ��� ���� �� ������ �� ���� ��:����
�������� C�� � �C����� 3&�%4 ����� ��� ������������ �� ����E����� ��B�������
����� ;�� ��� �� ������� ��1��� ��I�:�� �:���� ���1���� ���������� �� ���F����
��������� �� 1����7
.�:��i : � x1(t) � Mi1(x1(t)) � . . . � xn(t) � Min(xn(t))
�+�Y0 xi(t) = Aix(t) + Biu(t) .3&�&4
0 $���� �� $���@$��� �� �������� � �� ��� ���� �� x � Min : R → [0, 1]� 1�����
Mip(xp(t))� p = 1, . . . , n� ������ � p������ 1����� �� ������2���� �� i������ ��:��� i =
1, . . . , n� �������� M p������ $���@$�� �� ��������� 0 ������� ���������� Mi1(x1(t))×. . .×Min(xn(t)) ��B�� � ��:��� ��1��� �� Rn� � �����#�� Ai � Bi ��� ���������� ���
������ � ����� ��� �;������ ��� �E������ ���� �������#���� �� �� ����� (xi, ui, θi)�
0 ������� ��1��� ��I�:�� �:��� :��;�� ���� � �C����� 3&�&4 � ���� ���7
x(t) =Nr∑i=1
wi(x(t))[Aix(t) + Biu(t)]Nr∑i=1
wi(x(t))
, 3&�94
����� Nr � �S���� �� ��:���� �� ��� 1���� C�� � ����������� wi� ���� ��� ����������
--
���E�� ���� ������� ��:�;���� wi(x(t)) =∏n
p=1 Mip(x(t)) �� ���� �������� �F����
wi(x(t)) = minnp=1[Mip(x(t))]�
+���� ���;���� � �����#��� � �������� �� �:��:���� ������� ��:�;���� ���C�� ���
�� � ���������� ���� �����:��� C�� � �������� �� �F����� ��� ����� � � ��$���
�� 1��� �� C�� � ���� ������������$� ����B�� � �������� �� ������� ���� ���$�
3������� %8,-4�
�1������ ��� �;����:��� ����������� �� ���������� �� C�� �� 1���G�� �� ������2����
�����#���� ���� � ��� ��� �� ����������� ��1��� ��� 1����� �� ������ ���� � ������ ���
1��� �� ������� ���������� 3��� ,�� �� ����� ���������4� ���� �������� ���
:��� �� ����������� ��1��� �� C�� �� 1���G�� �� ������2���� ����� ��� ���� ��������
��������� �� ������ �� ������ ��1���� ���� �;����:�� �.� ��������� �� 1���G��
�� ������2���� ��� ����� ��� (x(t), θ) �� �����CW���������� � ���������� ��� ��:���
��������� ��� wj(x(t), θ) ����� ��� ����B����� ����������������� ��� 1���G�� ��
������2���� �� ������� ����������� +���� �������� �� 1���G�� �� ������2���� ���
����B����� 6 ��� �E������ ��� ��� ��������� 6 ���� ��1��2����� ����� Mip(x(t), ri(t))�
�����CW���������� �� ��������� �� ����������� wj(x(t))� ������ � ��� ����� �� ���
1���� C�� ���;�� µij((x(t), r(t))) ≥ 0 �� ������∑Nr
i=1 wi(x(t), r(t)) ≥ 0 ���� ����
i = 1, 2, . . . , r�
��������� ��� ���?������ �� ����������� ����$�� �� � ���� ��� 1���G�� �� ����
���2���� �������� ����� �� ����� �� $���� �� ��� ����� �� �������� �� �$����
3�������#��4 C����� �� ���������$� �� ��� ����� �� �������� ��� �������������
3����� &4� 0 �; ���$� � 1�#�� ��� C�� � ��F�� ��� �������� �� ����� 1������ � ����
;������� �� ���� ����� �� �C���F;��� ��$� ��� ���������������� ���@$�� �� �����
����� C�� �� ������ � ��C����� �������G�� �������������� ��� �� ����� �E�:����
���� �;����:�� ��:��;� ���� ���������� ����������7 ����� �E�:��� 1�������� �� ���
��� �;����� θi �= ri(t)� ���� �������� �� ��:��� &�%3�4 � ����� �E�:��� ����$���
�� ����� �� ��1��2���� �������� M ����� 1������ �� ��������� θi = ri(t)� ���� ����
��� $���� �� ��:��� &�%3;4� �������� ��������� ������� ����� C�� � �����������
�������� ����� ��� �����:��� ���;�� �� ���;����� �� � ����� �E����� ����� ���
��������� � ����S�;�� �� ���:� �� ������� ���������� �� ����� ����S�;�� ������@�
$��� 0����� ���B:����G�� ����� ���:�� ����$�� �� ���;������ ��� ���� ����������
;@����� ��:�������
-)
)- D6�� ����� ��� θi �= ri(t)
)�- D6�� ����� ��� θi = ri(t)
������ ��� ������� ���-�
���������
�������� C�� � ������� ���������� � ����������� �� ������������ ���� �� ��������
��� ������������� �� ������� u(t) = K(t)x(t)� +���� ���;���� ��� ��������� C�� �
������� � ������� ����� ���;��� ���� ��������� C�� � ������� ���������� �����
��� �������#��� �� ��������� ������ �� �C���F;���� �������:�� �� �������� �����#���
����� ���;���� � �������� � ���;����� �� ���� C�� � $���@$�� �� �������������� θi� �
1�������� �� 1����� �� ��1��2����� θi = ri(t)� ;�� ���� �� ����� �;����� θ �= r(t)K
���������� �������� ����� �; ���$� �������K � ������������� �������� ���@�����
0� ��;�������� �� �����CW���� �� ��:�� �� 3�&)4 ��� ��������� �������@$��� �
������ ��� 0���������� � ������ � ��� ���&�1��� �������2 !���� ��� ���� �������
->
�;���$@$���� ����� ������������ C�� �� � ����F$�� ��������� �� ����������� C��� ��
��:���� �����#� � ��F��� yi� �� $���� ���� ���� ri� �� ��� 1���� C�� yi = ri� ��
����������� �� ���@ ������������ �� ����� ��� � �������#���� ���?���� ��;�� ���
��� ������ ������� 3��:��� &�'4�
� �� �����:�� ���� ���������$� �� �������#����� � ����������� ��$� ����B��� ���
:���� ��������������� ��� ��� ������ �� ��1��2���� �� �������� ��E������� C�� ���
�����#���� ���� ������ � ��� ������ �������� ����� ������ �� ������������ �������
���#���� 0� :����� �� ������� �� �������� �������� ���� ��������� 1��������� ����
1����� �� ������ � �� �� ����� �E�:��� �C��� �� ����������� � ��1��2���� 3��������4�
����$��� ���� �;����:�� � ���� �;���:���� � ���� ����� ��������� � �� ����� �E��
:��� C���C���� ��� �E������ �� ����� �� ����S�;�� ������@$��� ���� �E����� ��1��
������ $������ �� ��1��2����� ri(t)� �E����� ��$����� ������ �� �C���F;��� �����������
� 1�� ����F$�� ��������� �� ����������� C�� �����1��� �� ��������� ����;���������
����� �� ������ �� �C���F;��� ��� ���;�� ���@$����
� 1���G�� �� ������2���� ����� ������� C����C��� 1����� 3�����:����� �����#������
��:������� :�������� ����4� ������� C�� ���� ��� ����B����� ����� $����� ;����
������� �� ���� 1����� ���������� ���1���� � �������� ��� ��:���� &�&3�4 � &�&3;4�
0� ���?������ �� 1����� �� ������2���� ����� ��� ��������� �����#���� $�����G��
�� �������� �� �S����� �� �� ��:��� ���;������ ��� ����� 0 ������ �������� � ��1��
���� ���� � ����B����� �� ������� � �� �S���� �� 1����� �� ������2���� � ���������
�� ��:��� &�9� ����� �� ������ ��������� � ������������� ���?���� �� �������
��������� ��� ���������� ���������� µ(x)� ��������� M� 1���G�� �� ������2���� ����
:������ Mx� � ��� ���������� C�� � ������ 3��;���F��4 � ����� ∆µ(x)� ����$�� ��
����� �E�:���� θ� :������ �� ��$� ����� ���� ��� Mx + ∆Mθx � �� �� �� Mx(θ4�
���!�� � "����� #��"
������� �.� � ;������ �� C����� ��1������� ���������7 3%4 �������� �� ��������
��1��� ��������$� 34625�<�3 � ��� %88&4K 3'4 �������� �� �������� ��� ���������
����� �� :����� 35�16�8� ;211��856<� %8,84K 3&4 �������� �� �������� �� �
��1��2���� ����G� ����� ��� ���������� �� ����� �� �������� �� �$���� 3�����
���#��4 C����� ��� ���������� �� ����� �� �������� �� ������������� 3����� &4K
� 394 ������� �� $@���� ������ �� �������� ���������#���� ��� ��:��� ���;����
��� �� ��� ������� �� ������ �� 1����� �� ��1��2���� 3�95885� 5195��� %88(4� ��
����������� C����� � ����F��� ��� ������ 3�� �#��4�
-,
)- 8���(�%"� �� �������
)�- 8���(�%"� �� '����
������ ��� ���� � � �����/���� ��������*�� ����3����� � ������ ��� ����� !����2 ��
)- #� ���� ������� �� )�- #� ���� �����������������
)�- #� ���� ���������� � )�- #� ���� ������������ �
)�- #� ���� ���������� .
������ ��$ 0���� � �������� ��� '��� � � �����/���� ��������*�� ����3����� � ������ �������� !����2 θ�
-8
������� �� �������� ��1��� ��������$�� ����� �������� �� ��� 1���� :����� ��2�
�������:��� ��1�������7 3i4 ��������� ��� 1���� �� ������ 3�������#����4� 3ii4 ����B�
����� ��� ���?������ ��� ��� ����� ��1����� � 3iii4 ������������� �������:���#@$���
34625�<�3 � ��� %88&4� �� ������� ��� �������� �� �������� ��������$�� ���������
����� � �;����:�� �.� ��������������� ���;��� �� �������:��� �� ������� 1������
�� ������ � ����B��� ��� ����� ��1���� 3��:��� &�-3�44� ����B����� ��� 1���G��
�� ������2���� �� ������� �� �������� 3:�����4� ����������� ���� ��� 1����� ���
������G�� �� ��������� � ;������ �� �������� �� �������� ��� ������������� �� :��
��� 3��:��� &�-3�44� +���� �;����:��� �� ���?������ �� ������� �� �������� �����
��� � ������� ����������� ���� 1����� ��� ������G�� �� �������� 3�������������4
�� ��� 1���� �������:������ � ��� �����#���� ���� ����B��� ���?������ ��� 1���
�G�� �� ������2���� C��� ��� ��� $�#� ���� ������� � ������� � � �S����� ������� ��
$@���� ������ �� �������� ����E���� ���� ���;������ �� ��� ������� �� ��1��2����
���� ��� �������� �� 1���� C�� ��� ����� ��� ������������ ���� ��� $���@$�� �� ��
���?����� �E�:��� 3��:��� &�-3�44�
/�� ������������� ������B���� �� ���:���� �� ;����� �� ������� �� �������� ���
1��� �.� � �������� �� ��:��� &�)� ��1������ ����� � �;����:�� ��1��� ���
������������� �� :����� ���$�������� � � �;����:�� �.� � C��� �� ��������� ��
������ ���:WF������ ���������� � 1���G�� �� ������2���� ��� BE��� ��C����� �� ���
:���� ����� ������ ����� ��� ���������#���� �� ������ ��� � ����� �E������ ���E��
����� �� ��1��2���� 3��������4� ����� S������ ������ ���:WF������ ��� ����:����� �C��
���� ��� ����� ��1���� ��������$�� 3��:��� &�>3�44� ��C����� �� ������ ��� �����
�����:���� �� �;����:�� ����������� ��� ����:����� ��� ����� ��1���� ����������
3��:��� &�>3;44�
L��� ��������� C�� � ��� �� $������ ���:WF������ ��������$�� � ���������� ����$�� ��
��������:�� �������� ���� ��� �1������ ��� ��������� ���� ���� ���������� ����
������������ ������ C�� ���� �;����:�� � ���� X�EF$�� C�� � ������� � ���� ��
�;������� ��������������� � $���� �� ��1��2����� ���� �������� � ������ �����������
� ��������� ����� �� ����� ��������$�� � ���������� ��������� � ��:����� �E������
������ C�� �� ��� ���� ���������� ��� $���@$�� ���:WF����� �� �������� X� ���
������� $������ �� ���F��� X = [−1, 1]� ���� �� C���� ��� ���������� �� ������
���:WF������ T = {Nr, Zr, Pr}� ����� C�� N � Z � P ������� �� ����:���G�� ���
:���$�� #��� � ������$�� ��������$������� ��������� C�� � 1����� �� ������2���� ��
����� A ∈ T �� � ���� ��� µA : X → [0, 1]� ��� C�� c(A) = {x0 ∈ X | µA(x0) = 1}
)(
)- ����� �� ������� �� ����� ��� � ��� ��� � �!#��!� � � �� ����� �� ���� �.C ���� � �������� ��#��E���
)�- ��� �� ��#��E�� ���A��� � ������ ��� ����� )������G���-�
)�- 7������ ������� ��#������ ���(�%"� �� #�%B���� �����E���
)�- 7������ ������� �� ����� ����� !�� )������� ������-�
)�- =�& ���� �� ����� ��� �� !����� ��� �����C��� �� ��#��E���
������ ��( �����4���� � ������� ��������� ���� ������ � ������ � ������� ���-�
� s(A) = {x0 ∈ X | µA(x0) > 0} ������� � �S���� � � �������� ��������$�������
������ ����� C�� ���� ����� A ∈ T �� � ��B���� ����� ���E�� �� �����#�� � ���
���������� ���� C�@������ < s1, c1, c2, s2 > � ��� s(A) = [s1, s2] � c(A) = [c1, c2]�
��������� �:��� C�� Nr �� � �� $���� �� ����� �E����� �� ���F��� R = [0, 100] � C��
� ��� ���� �� ������ ��������$�� ���� T ������� ��� Nr =< −1,−1,−f(r), 0 >�
Zr =< −f(r), 0, 0, f(r) >� � Pr =< 0, f(r), 1, 1 >� ����� ��������� f(r) = r/200�
+���� �E������ �� ����������� ������ ���:WF������ ���������� ��������� ��� �;���
��� ���� ��1������� $������ �� Nr� ���� r = 10 �� �S����� � �� ������ ��� ����
E���� �� #���� ��� N10 =< −1,−1,−.05, 0 >� Z10 =< −0.05, 0, 0, 0.05 > �
P10 =< 0, 0.05, 1, 1 >K ��C����� C�� ���� r = 100 �� �S����� � �� ������ ���
���� ����������� ��� N100 =< −1,−1,−0.5, 0 >� Z100 =< −0.5, 0, 0, 0.5 > �
P100 =< 0, 0.5, 1, 1 >� ���� �����CW2����� ������ ��� $������ �� X C�� ��� ��������
����� Q���E���� �� (R C����� � ��1��2����� Nr� � ��C����� ����� ��� ������������
)%
)- D6�� �! #��!�
)�- D6�� �! ����
������ ��, -����� ���- 5����6 �'��� ����-�#������7�
Q�1������� �� (R� C����� � ��1��2����� Nr� � :������
�����#���� ������ ��� ����� ��������$�� 3$������ ���:WF������ ��������$��4 �� ���
���� �.� ����� ������ :���� ��1������� ��G�� ����������� ���� � ����� $���� ��
$���@$�� ���:WF����� �� �������� C����� ���$�� ����B����� �� ����� �E�:���� ����
��CW���������� ��1������� �����1F���� ������������� � ������������� ���?���� ���
��� � ���$���� �� �������� �� ������� � � ���$���� �� �������� �� ��F�� ������ �
�E����� ���������� �� $���� �� ��1��2����� A����� � ������� �.� � �������� � ����
����� �� ��������� ���� ���?������ ����;�������� ���� ����� �E�:��� :���� ��1�������
�����1F���� �� �������� 3��:��� &�>3�44�
���� �;����:�� ���� ��� ������������ �����#���� ��� ����� ��1���� ��������$���
�� � �� �������� ������������ �� � �� ��������� ��� ��:��� � ����� ��� ��1�����
��� ���������� �� ��1��2����� ���� ���;���� ��������� ���� �����G�� �� ������ ��
�;����:�� �.� ����������� M� ��������� �������������
� ���������� ��������F������ ��� �������� �� �������� ��1���� ��� ������������� ��
:����� ���������#��� ���� ��1��2���� ���7
• �����;������� �� ���������� � �E����2���� ��� ���������� �������K
)'
)- 7������ ��#���� ����������
)�- 7������ ��#���� ���������
)�- �����#A���� �� ������� ������� ���(���� ��� �������� ������ �� ��#��E����
������ ��8 ���&����� ��'���� ��������*�� ���� ��'���� *����� � �'�/���� ���� ����'9��� �������� ��'�����
• *������� �� ������������ ��;�� � $����;������� ��� ��������� C�� ��B���
�� 1���G�� �� ������2����K
• �������� ��� �����1F���� �� �������� ���� ��C�������� ����� ������G��
������������� �������������� ����������� ���� ��1��2����K
• /����#���� ����� �� ���$����� �� ����B����� 31�#�B�����4 C����� �� �����
��B����� 3��1�#�B�����4K
• �����;������� C�� ����� �� ���?������ �� �� ����B����� �:��������� ���
�� 1���� �� �������������K
• �����;������� C�� �� ���?������ �� �� ����B����� ������������������ ��
����� ���������� ����������K
)&
• �������;������� ��� C����C��� ��� ������� ;������� �� ��:�� �E��������
�� ����������K �
• ���� ��� ���?������ �� �������� ��������
:.: ���5�� #��!
:.:.� ���5�� #��! �5�����B��
0 ��� ���� �� ��:��� �� �������� �� ������� ��1��� ���@ ������������� ���������
�� ������������ C�� ���������� � �E����2���� C�� ��:��� ��� ���� ������:�� ���
�� ��������� �� �������� ���� 1����� ��$� ��� ����������� �� ������ ����������
��@����� 3�'84 � ������������� K� C�� 1�� �����#��� ���� ������ � ��� �� ��������
6 ������������ ���� C�� ���;�� ���� ��� ��������� � ��� �������� �� ��������
�� ��������� ������������ +���� ����� � �C����� 3�'84 ���� ��� ��������� ���1����
���� � ��:���7
U = M ◦ R(K)
= ��� ����\��� �����3�E������ ���F������3H4� .3!44] ,3&�-4
����� U � ���$���� �� �������� C�� ���������� � ���� �� ��������� M �� ��� ����
��1��� C�� ����������� ��� �E������ �� ���� ������ �� ��� ��1������� ���������
M ��������� ������K R ��� ������� ��1��� 3���������� ��1���4 C�� ����������
� ������������ ��;�� � ������������� ���?���� �� �������K � �������� ◦ ����
���� �� 3�&(4K � � �������� �� ��� ����� ����� ��������� � ��:��� �������
���$������� ����������
��� �� ������ � �E����2���� �� �� ������������ �� 1���� �� ��:���� � ������������
���� ���������� ��������������� � �� ������� ��;���������� �������G�� ��;�� �;�
���$�� 3��;�; ���$��4� �� ����1�� 3��;����1��4� ��� �E������ �� � �������� C�� ��
������� ����BC�� ��� ������������� ;������ �� �; ���$� ���� ���� ��� ���������
���� ��� �� ����� �E������ θ�
U = M ◦ R(K(θ))
= ��� ����\��� �����3�E������ ���F������3H4� .3!3θ)44] .3&�)4
�� ������ ���;����� �� �������� ���� ����� �� ������� �E����� � ���������� ����
���� �� Q��1��2����R� Nr� 6 ��� �E������ ���;����� �� ��� ������ �� ���;����� ��
)9
�������� �� ��:���� A����� �� ����� �E�:��� �E����� � �; ���$� ���;�� � �������
��� M ��1��2����� � �E���� �� ������� C�� ��������� � �; ���$� 3��1��2����4 ����
����� �� ���������� �� ������������ ������@��� ���� 1����� � ������� ��1���� �����
� �C����� 3&�)4 $�� � ���7
U = M ◦ R(K(r))
= ��� ����\��� �����3�E������ ���F������3H4� .3!3�444] .3&�>4
/�� 1���� �� ����� ��� �������� C�� ��� �1������ ��� �� ����� �E������ � 1�#2����
�� ����������� ���� ���� ���� � ��������� �� ������� C�� ��������� ���;�� ���
������ ������������ ���� ��1��2����� +� ��;����� ��1���� ��� ���������$� ���� �����
��� ���� ���;���� � ��������� �� ������� C�� ����� ���� ��������F������ ���?�����
��X��������� ���� ����B����� �� ���� 1���G�� �� ������2���� ���� ����� �� ��1��2��
���� B� �� ��������� ��������� �� ������� ��1��� C�� ������ � ��:����� ��� ����
�� ��:���7 � ���� � ��C���� �+�Y0 ���� � ��C����
� ���� � ����� �+�Y0 ���� � �����
� ���� � :����� �+�Y0 ���� � :����� .
3&�,4
� 1���G�� �� ������2���� ���� ���� �E����� ��� ���������� �� ��:��� &�,3�4� ������
�:��� C�� ��� ��1��2���� �E����� ����� ����B���� � ������������� �� �������
�������� �� ��� 1���� C�� �E����� ��$�� 1���G�� �� ������2���� ���� �������� ��
��:��� &�,3;4� /�� ����F$�� ������������� ����� �;����:�� � ���� � ��:���7
� ���� � ��C����3θ4 �+�Y0 ���� � ��C����
� ���� � �����3θ4 �+�Y0 ���� � �����
� ���� � :�����3θ4 �+�Y0 ���� � :����� .
3&�84
���� C�� �� 1���G�� �� ������2���� ��� ��� �� ������ ��� 1���G�� �� ������2��
��� ���:������ ������ ���;�� ��� ����� ������� ��1��� ���������� �� ��$�� ��F���
3��:���� &�,3�4 � &�,3�44� ����:���#���� �� ������� ��1��� C�� ���������� � ���
���������� �� ������� ������� ���������� ���� �� 1���G�� �� ������2���� �����
��X������� �� ���?���� ���������� ����$�� �� ����B����� �� ;��� �� ������������
6 ����� C�� �� ��:��� �� ��1���� �� �� �������� ������������
��������� �� ���� �� �������� ���������� �� ����B����� ��� 1���G�� �� ������
)-
020
4060
80
0
20
40
60
80
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
medida = dado entrada
regras <SE−ENTAO> e as curvas de nível da relação difusa
ação de controle
funç
ão d
e pe
rtin
ênci
a
)- D�%B�� �� �����E�� ��� ����
020
4060
80
0
20
40
60
80
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
medida = dado entrada
regras <SE−ENTAO> e as curvas de nível da relação difusa
ação de controle
funç
ão d
e pe
rtin
ênci
a
)�- D�%B�� �� �����E�� ���(����
01020304050607080
0
10
20
30
40
50
60
70
80
medida = dado entrada
ação
de
cont
role
regras <SE−ENTAO> e as curvas de nível da relação difusa
)�- 6��%"� ��#�� ��� ���
01020304050607080
0
10
20
30
40
50
60
70
80
medida = dado entrada
ação
de
cont
role
regras <SE−ENTAO> e as curvas de nível da relação difusa
)�- 6��%"� ��#�� ���(����
������ ��: �&��� ��� '��� � � �����/���� � '����� �� �'�/�����
�2���� ���� ��� �����;��� ��� ���� �������� ��� :�@B��� �� ��:��� &�8� 0� :�@B�
��� &�8 33�4 ����������� � 1������� �� ������������ � ����� ������������ ���
� �E����2���� ����$������ ����� �� ����� � ����� ��� ���� �� ��:���� �E����
��� ��1������ �� ������� ��1���� � � ���� �� 1���G�� �� ������2���� �� ���� .���
���� 3��:��� &�8 3�3�3�3�3.3�3�3�3�44� �� � ���� 1���G�� �� ������2���� C����C��� 3���
:��� &�8 33 3�3�33&3�3�3'44� �� �����G�� ��1���� ��� ��������� � 1���� �;����� �� ��
�������#�� ��� ��C���� ����B����� �� ��B����� �� ������� ��� 1���G�� �� ����
���2����� 0� :�@B��� &�8 3 3�3�3� 4 ���������� � ������ 3�� ���������4 ������$� M
��1������� C�� ��B�� � ������������� ���� �� ������� �� �� ����������� ����
����� �� ����� � C�� ��@ �1���� � ���� ���?���� B���� � � �� �������� �����������
�� � �� �������� �� ��������� � ������ ����� �� �������� M � ���������� ������ $��
����� �� ������� � ���@ ����������� ��� � ������� �� �� ������� � � ������ 1������
�� $���� ����������� ������� 3�� ���:����53��������44 ����� � ���@:�� �� 1�#�B���
��� ��C��� ��� ���������� ������ ��� � 1����� �� ������2���� 3��:��� &�%(3�44� ���
����� ����� �� � ������� �� ������ ������ ��F��� �� �� � ��������� ��� � �������
))
020
4060
80 020
4060
80
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Y
Conjunto difuso bidimensional −> Interseção no Espaco do Produto Cartesiano
X
funç
ão d
e pe
rtin
ênci
a
)- @�� �� ��!��� ��� ����(��
020
4060
80 020
4060
80
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Y
Conjunto difuso bidimensional −> Interseção no Espaco do Produto Cartesiano
X
funç
ão d
e pe
rtin
ênci
a
)�- @�� �� ��!��� ��� ���� �� )������-
020
4060
80
0
20
40
60
80
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ação de controle
curvas de nível para a extensao cilindrica aplicada ao dado medido
medida = dado entrada
funç
ão d
e pe
rtin
ênci
a
)�- 8����H ����������%"� �� ������������
020
4060
80
0
20
40
60
80
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ação de controle
curvas de nível para a extensao cilindrica aplicada ao dado medido
medida = dado entrada
funç
ão d
e pe
rtin
ênci
a
)�- 8����H ����������%"� �� ������������
020
4060
80
0
20
40
60
80
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ação de controle
curvas de nível para a extensao cilindrica aplicada ao dado medido
medida = dado entrada
funç
ão d
e pe
rtin
ênci
a
)�- 8����H �� ���)������ 0 �� ���� 0�����-
020
4060
80
0
20
40
60
80
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ação de controle
curvas de nível para a extensao cilindrica aplicada ao dado medido
medida = dado entrada
funç
ão d
e pe
rtin
ênci
a
)#- 8����H �� ���)������ 0 �� ���� 0�����-
) - �.���"� ���A��������� ��� �� ��!���� ���
)!- �.���"� ���A��������� ��� �� ��!���� ���
)�- �.���"� ���A��������� ��� �� ��!���� ���
)�- �.���"� ���A��������� ��� �� ��!���� ���
)I- ����%"� �� �����%"� �� ��� � �����%"� �� �����%"�
)�- ����%"� �� �����%"� �� ��� � ����%"��� �����%"�
) - ����%"� �� �����%"� �� ��� � �����%"� �� �����%"�
)- ����%"� �� �����%"� �� ��� � �����%"� �� �����%"�
)�- =����%"� 6�������)� ���� (�-
)�- =����%"� 6�������)� ���� (�-
)�- =����%"� 6�������)� ���� (�-
)�- =����%"� 6�������)� ���� (�-
������ ��; ��<�/���� � �� ����� !1��� 5�'�/����2 �=&��*�2 ��=���2 ����!��7 �� ��������������� � ������� ��'���� �������� ������ ��'��� 5������=����� � �����=������7 ���������
)>
)- 8����� ������� )��� �����-
)�- 8����� ��#��
������ ���+ >���� � ������2 M �
��� ������ � ���� �� ������� ���� ��� �������� ��� ��� 1����� �� ������;�����
�� �����;������� 3��:��� &�%(3;44� 0� :�@B��� &�8 3�3�33. 4 ������������ M ��������
�� �E������ ���F������ �� ������ 3���������4 ��;�� � ;��� �� ������������� �@ ��
:�@B��� &�8 3&3�3�3�4 ������� � ��������� �� �������� �� ��� ����� ��:���� ��
�������� �� ��� ����� 0� :�@B��� B���� &�8 3�3�3'3�4 ���������� � ��� ���� ������
����� � � $���� B��� ��1�#�B����� ���� �[�� ��� $���� ����� �E������ ���� ����
���������� ����������F�� �E���� �� $���� �� ��F�� ��1������ ����������� ���� ���
��B����� ��� 1���G�� �� ������2���� �� 1����� �� �� ���?����� �� ��������������
θ �� ������ ���� ���� ���� �� ����� �� �������� M �
H���B��� �� 1���G�� �� ������2����� ���� ��:������ ���� ��� ��������� ���� ��
�������� �� �������� �� ����B������� ���:WF������ 6 ����B������� �� ;����� 6 ����
�����#�� �� ��$� ������� ��1���� ����� ������$���� � ��� ���� �� ��:��� 3�C���
�G�� 3&�,4 � 3&�844� 0 ������ �.� �C��$���� ��������� � �����#�� � ��������� ��
��1��2���� �������������� ��� �E������ ���� ���� � ��:���7
� ���� � �����3��C����4 �+�Y0 ���� � ��C����
� ���� � �����3�����4 �+�Y0 ���� � �����
� ���� � 3:�����4 �+�Y0 ���� � :����� ,
3&�%(4
����� C�� � ����B����� ���:WF����� � ����������� ���� ����� �E�:��� � θ�
/� �E����� ���������$� ����� �������� � �������� �� ��:��� &�%%� � 1���G�� ��
������2���� ���� � ��:��� &�%%3�4 ��� :������ ��� Mij = (1/(1+θj ∗exp(−i∗0, 15)))�
��� C�� Mi1 = f(i, θ1 = 0, 09)� Mi2 = f(i, θ2 = 0, 6) � Mi3 = f(i, θ3 = 5)� � 1���G��
�� ������2���� ���� � ��:��� &�%%3;4 ��� :������ ��� Mij = (1/(1 + θjA ∗ exp(−i ∗
),
θjB)))� ��� C�� Mi1 = f(i, θ1A = 0, 09, θ1B = 15)� �� �� �� � ����� 1����� ���:����
��������� Mi2 = f(i, θ2A = 0, 8, θ2B = 0, 11)� � Mi3 = f(i, θ3A = 4, θ3B = 0, 08)�
0 20 40 60 80 100 1200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Mij(θ
2)
← Mij(θ
3)
Funções de Pertinência com modificadores de suporte e núcleo
µ Mij
Mij(θ
1) →
)- Mij = (1/(1 + θ ∗ exp(−i ∗ 0, 15)))�
0 20 40 60 80 100 1200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Mij(θ
1) →
Mij(θ
2)
← Mij(θ
3)
µ Mij
Funções de Pertinência com modificadores lingüísticos
)�- Mij = (1/(1 + θjA ∗ exp(−i ∗ θjB)))�
������ ���� !����� � ���- '���������� ���� ����3����� ����?9������
:.:.2 ���5�� #��! �����B�
0 ������ �.� �H������ ;������ �� ��������� �� �������� ��1���� H������ �
�������� � ��:���7
.�i : � x1 � Mi1(x, θ) � . . .� xn � Min(x, θ)
�+�Y0 yi = Ci(θ) .3&�%%4
i������ ��:�� 3����������4 � ������������ ��� Rsi� ��� C�� i = 1, 2, . . . , Nr� �����
Nr � �S���� �@E��� �� ��:��� ��1����K yi� � ��F�� �� i������ ��:��K x1, . . . , xn�
$���@$��� �� ������K Mip, p = 1, 2, . . . , n� � p������ 1����� �� ������2���� �� i������
��:�� C�� ���������� � ���$���� �� �������� �� �������K � Ci(θ)� 1����� �� ������2����
���������� ���� ���?������ θ� �� i������ ��:�� C�� ���������� � ���$���� �� ��������
�� ��F���
0 �E����� �����#��� ���� �������� � ������ �.� ���������� ���� ���;�� ��� ���
������� ���� ������$�� � 1������������ �� ������ �.� �H�������
:.:.: ���5�� #��! �J�-��!�-5B� (#��!�!)
��������� ��$������ � ������ ��1��� ��I�:�� �:��� 315<5�2� ������� %8,-4�
)8
� � ��������� 1�� ���;����� ��� �� ������� ��1��� ;������ �� ����� �� ������� �
��F��� ���E�� � ������ �.� �������� ;������ �� ��������� ��I�:�� �:��� ��������
���� �� 3�9%4 ���� ��� ��������� ���� ��:��7
.�i : � x(k) � Mi1(x(k), θ) � . . .� x(k − n + 1) � Min(x(k), θ) �
� u(k) � Ni1(x(k), θ) � . . .� uk−m+1(t) � Mmi(x(t), θ)
�+�Y0 xi(k + 1) = a0i + a1ix(k) + · · · + anix(k − n + 1)+
b1iu(k) + · · ·+ bmiu(k − m + 1),
3&�%'4
��� C�� θ � � $���@$�� �� ������������� C�� ��������� �� ������ �� �������� �����
���� �� �������� �������� ���?���� ���������� � ���� ���� ��:����� �C�����7
x(k + 1) =
Nr∑i=1
wi(x(k), θ)xi(k + 1)
Nr∑i=1
wi(x(k), θ)
, 3&�%&4
�����∑Nr
i=1 wi(x(k), θ) > 0� � xi(k + 1) ��������� ���� �� �������� ���;�� ��
�����CW���� �� �C����� �� i������ ��:��� 0 ��$� ���� wi(x(k), θ) 1������ � ��$� :���
�� ���$���� ���������� :��;�� �� �������� �� i������ ��:�� C�� ���� ��� �E�������
���E�� ����7
wi(x(k), θ) =
n∏p=1
Mip(x(k − p + 1), θ) ×m∏
q=1
Niq(u(k − p + 1), θ) .
������������� �� ������ �.� �� ������ �� ������� � �;���� ���7
.�i : � x(k) � Mi1(x(k), θ) � . . .� x(k − n + 1) � Min(x(k), θ) �
� u(k) � Ni1(x(k), θ) � . . .� uk−m+1(k) � Mim(x(t), θ)
�+�Y0 xi(k + 1) = Aix(k) + Biu(k) ,
3&�%94
����� � ������ ���������� � ����� ��������� ��� i������� ��;�������� �� �� �7
x(k + 1) =
Nr∑i=1
wi(x(k), θ)[Aix(k) + Biu(k)]
Nr∑i=1
wi(x(k), θ)
. 3&�%-4
>(
0 ������ �.� �� �������� � �;���� � ������ �� �C����� 3&�%'4 � � ���� � ��:���7
.�i : � x(k) � Mi1(x(k), θ) � . . .� x(k − n + 1) � Min(x(k), θ) �
� u(k) � Ni1(x(k), θ) � . . .� u(k − m + 1) � Mim(x(k), θ)
�+�Y0 xi(k + 1) = a0i ,
3&�%)4
� � ��F�� ���������� � ���� ���7
x(k + 1) =
Nr∑i=1
wi(x(k), θ)a0i
Nr∑i=1
wi(x(k), θ)
. 3&�%>4
���� �������� � 1������������ �� ������ �.� �� ��������� � ��� ���� �� ��:���
���� ���� �C����� 3&�%,4� ���� �������� � $���B����� �������� �� ��X�2���� ��
����B����� ��� 1���G�� �� ������2���� �� ���$���� �� �������� �� ������� ��;�� �
��F�� ���������� � �����#��� ������ ��� ������� �� ����� ����� C�� � �����:���
� ������ � �� ����� #����
.�1 : � x1(k) � M11(x(k), r(k)) �+�Y0 x1(k + 1) = a1,
.�2 : � x1(k) � M12(x(k), r(k)) �+�Y0 x2(k + 1) = a2 .3&�%,4
������ C�� a1 = 1 � a2 = 2 � C�� � 1����� �� ������2���� ����� ���� M11 C�����
���� M12 �� � �;���� ���� C�@������ < s1, c1, c2, s2 > � ��� s(M) = [s1, s2] � c(M) =
[c1, c2]� � � � ��� ���� �� ������ ��������$�� �� T ���� ��� M11 =< 0, 0, fa, fb >
� M12 =< fc, fd, 1, 1 >� ����� C�� fa = 0, 3� fb = 0, 7� fc = fθ = 0, 3 · θ � fa = 0, 7
� C�� ������������ � $���� �� ����� �E�:���� θ� �� � ����@���� ���� � ��;���� � ��F��
$���� ����� �� ������� ��1����� � ��������� a1 � a2� � � �;���� ���� ����� ���������
����� ����� $������#���� :�@B�� �� ��F�� ����� ������ ���� ��� $���� ��� ��:����
&�%'3�4 � &�%'3;4� ��:���� �� ��;B:���� �� ��:��� &�%' �������� �� �����������
��1���� ��������$�� �;����� ����$�� �� �������G�� ��� 1���G�� �� ������2���� C��
����������� ��C����� ����B���G�� ��� ������G�� �� �������� �� �������� �����
C�� �E���� �� ����� �E�:��� ���� ��� θ C�� �� � ����# �� �����1����� � 1�����
�� ������2���� M12 ����$�� �� ��������� �� $���� �� ���?����� �� ������� �:���
����;�F�� � $���� fc = 0, 1� ���� ���� ��� �����;��� ����$�� �� ��@���� ��� ��:����
&�%'3�4 � &�%'3�4 � ���������� ����������F�� �� ������� 1�� �������� �� �����CW���
�������� � �������� ���� ���� ������ ��������� �� ��$� ������������� ���?�����
>%
� ����� 1���� C�� ���$� � ����B����� �� �������� ���� ��$�� ���;�� � ����B�
����� �� �S���� �� 1����� �� ������2����� ������ C�� �E���� �� ����� �E�:��� ���
C�� �����#� � ���?����� �� �S���� fa �� 1����� �� ������2���� M11 �� 0, 3 ���� 0, 5�
�������� ���� ���� ������ ��������� �� ������������� ���?���� ����� ��1������
�� �������� �������� $���� � ��$� ���������� ����������F�� �� ������� �;���� 3���
:���� &�%'3�4 � &�%'3144� +���� �E������ �����#����� � �������� �� .������ 1�#�������
fc = fa� ����������� � S����� �E����� ������ � ����B����� �������#��� �� �E���
��� ��� ��:���� &�%'3�4 � &�%'3�4 �� ����� ����� C�� 1�# ��� C�� � �S���� ��
1����� �� ������2���� M11 ��������� � ������� 3��:��� &�%'3:4 � &�%'3�44� �����
� 1����� �� ������2���� M11 ��$� ��� �S���� ������F�� �� �� ����;��� fa = 0, 1 � ��
��$� ���������� ����������F�� ���� ����������� � ������� ���?���� 1�� ����������
���� �E����� ���������$� ���� �������� �.� �� ��������� ��������� ���� ��� ���
������� ���� �������� �.� �� ��������� ����F�����
����B����� ��� 1���G�� �� ������2���� �� �� ������ ;������������ ����� ���
w(x(t), θ) ����� ��� $������#���� ��� ��:���� &�%&3�4� &�%&3;4 � &�%&3�4�
��@ ����������� �� �:��� �� ������ ������� � ������ ��1��� ��I�:�� �:��� ����F�
��� �� ������������� �� ������ �� ��������
��������� ��$������ � ������ ��1��� � ���� �� 3�9>4� C�� �7
x(t) =
Nr∑i=1
wi(x(t))[Aix(t) + Biu(t)]
Nr∑i=1
wi(x(t))
. 3&�%84
���� �C����� ���� ��� ��������� ����7
x(t) =
Nr∑i=1
hi(x(t))[Aix(t) + Biu(t)] , 3&�'(4
�����7
hi(x(t)) =wi(x(t))
Nr∑i=1
wi(x(t))
. 3&�'%4
>'
)- ����� ��#��� 1I ���� �� ���� $���� )�- 8�� ��� ��� ���
)�- ����� D6�� ���� $���� )�- D6��H ���(�%"� �� ��������
)�- ����� D6�� ���� $���� )#- D6��H ����%"� �� ������� � '�����
) - ����� D6�� ���� $���� )!- D6��H �.��"� �� ������� � '�����
������ ���� ����������� ��'��� >�@���-���� ���� ��� �������� 5����������� ��'��� ��������7.*������� �� �A����
>&
)- ����� ��#��� ���� �����H ��� ��� )�- D6�� ���(��� � � ��������
)�- D6�� ���(��� ���� ����� � ��������
������ ���� ����������� ���- >�@���-����. �=������ ��� ����������� � ���#�� 5������#������7 =������������
���� 1����� � ������ ���������� ���� ��� ��������� ����7
x = A(h(x(t)))x(t) + B(h(x(t)))u(t) . 3&�''4
����� A(h(x(t))) = hi(x(t))Ai � B(h(x(t))) = hi(x(t))Bi�
��C����� �� �;����:�� ������ ���� $������� �� ��$� �� ������� x(t)� �� ��������
�.� �� �������� ��������� ����������� ���� $���@$�� �� �������������� θ� � ����
�������� ����� � ��$� ������������� ���� ������� �.� �������� � ���� ���7
x(t) = A(h(x(t), θ))x(t) + B(h(x(t), θ))u(t) , 3&�'&4
$���� C��7
x(t) =
Nr∑i=1
wi(x(t), θ)[Aix(t) + Biu(t)]
Nr∑i=1
wi(x(t), θ)
. 3&�'94
>9
� �������� � ����B����� ��� ������ wi(x(t), θ)� �� 3&�'94 ��$� ��� �����������
���;�� � ��������� �� :��� �� ���$���� �� 1����� �� ������2���� C�� ��� ���
������� � �S���� ����������� �:��� ��� �� ���� ������ ����� �� �������� x(t)� ���
���;�� ���� ���?����� �� �������������� θ� ��� �E�����7
wi(x(t)) =n∏
p=1
Min(xp(t), θ) . 3&�'-4
���� �������� � 1������������ �� ������ �.� �� ��������� � ��� ���� �� ��:���
���� ���� �C����� 3&�')4� ���� �������� � $���B����� ������ �� ��X�2���� �� ����B�
����� ��� 1���G�� �� ������2���� �� ��F�� ���������� � �E����� �����#� ���� ���������
x1 � x2� 1���G�� �� ������2���� �����:������ � ��������� ����� C�� � ������ �� � ����
���7.�1 : � x1(t) � M11(x(t), θ) � x2(t) � M12(x(t), θ)
�+�Y0 x1(t) = A1x1(t),
.�2 : � x1(t) � M12(x(t), θ) � x2(t) � M22(x(t), θ)
�+�Y0 x2(t) = A2x2(t) .
3&�')4
������������� :�@B�� �� ��F�� ��������� � ���� ������ ���� ��� $���� �� ��:���
&�%93�4� ������������� �� 1����� �� ������2���� ���� M11� M12� M21 � M22 �
��������� ��� � ������ < s1, c1, s2 > � ��� s(M) = [s1, s2] � c(M) = [c1]� 1�����
�� ������2����� ������ ������G��� ���� $����� ����$�� �� ����B����� �� ��������
���� ��������� �� �S����� �� ��:��� ���;������ ��� ����� ����� � ������� ��1���
���:���� ���E� �� ���7
x(t) =M11M12A1 + M21M22A2
M11M12 + M21M22
, 3&�'>4
� ���� ��� ������������ ���7
x(t) =(M11 + ∆M11)(M12 + ∆M12)A1 + M21M22A2
(M11 + ∆M11)(M12 + ∆M12) + M21M22
. 3&�',4
A����� � �S���� ��� 1���G�� �� ������2���� $���� �� ������ ��� ��������� $������ ��
θ� ��$�� � ��������� ������G�� �� �������� ��� ������������ �� �����CW����������
��$�� �������������� ���?����� :��;��� ��� �;����� 6 ���1���� ���������� �����
���;����� ������ ��� ��������� ��� 1���G�� �� ������2���� M11 � M12� ���������
>-
)- ����� ��#���H ��� ��� )�- D6��H ���(�%"� �� � '���� � X1�
)�- D6��H ���(�%"� �� � '���� � X2� )�- D6��H ���(�%"� ���� ����� �� '������
������ ���$ -����� � ������� ���- >�@���-����. �=������ ��� ����������� � ���#��5������#������7�
$������� �������� ��� ��:���� &�%93;4 � &�%93�4� 0 ��������� B��� �� ���;������
��� ���� �������G�� � �������� �� ��:��� &�%93�4� ���� ���� ���� �� ��������� ���
1���G�� �� ������2���� � ������ ���� ��������� ��� ���� �������� c(M) = [c1]� �
����������� ���� ������ ��� ��������� �� �� �� s1 ≤ c1 ≤ s2� L���� C�� � ��:��� ��
��X�2���� �� ������ � ����������� ���� ������� ��� 1���G�� �� ������2����� C�����
���� ����B�� � ���� �� ���� 3���E�� ����� ����������4 �� �����1��2���� ��� ��������
�� ���� ����� �� �����1��2���� ������� 3�������4 � ������ C�� � ������� �� �����
����� 3�����4� 0 ������ ��1����� � ����������� ���� ��:��� �� C�� �� 1���G�� ��
������2���� ���������� � ������ M ������� 3��C�����4 �� �� ������� �:��� �� ������ M
��C����� 3�������4 �� �� ������� �� ��� ����� 1����� �� ������2����� � ���$����
��2� 1���G�� �� ������2����� Ma−1� Ma � Ma+1� �� �� ��������$�� �������� �� �� ���
��� ��� s(Ma−1) = [s(a−1)1, s(a−1)2]� s(Ma) = [sa1, sa2] � s(Ma+1) = [s(a+1)1, s(a+1)2]�
����� ��$���� ��� s(a−1)2 ≤ s(a+1)1 � sa2 ≥ s(a+1)1� ���� �����@���� ��$��@ �������
����� ������� ������ 6 �� �� �� ��� ���������2���� �� ������ 6 C�� ��$� ��� �$������
�����#���� �� ������� �.� ���� ��� S��� C����� �� ���@ ����������� �� ������
������ �� ������� ���������� ����$�� �� �������#���� �� ��$����� ������ �� ��������
>)
������������ ���� ��1��2���� C�� �� � ��������� ��� ������ 3�� �#�� ����� �������4�
L���� C�� � $���@$�� �� ������������� � ����B���� �� 1���� ��������� ��� �������
�� 1���G�� �� ������2���� ��� ����B����� ������� � ������G�� �� �������� ��1��
������ ���� ��� ������� ���� ������� � ����:��� �C��� ��� ��� ���������� M ������ ��
���;����� ���� �� ��������� ������G�� �� �������� ���� �� �� ������ ����;�������
���� ������� ��� 1���G�� �� ������2���� �����#���� ���� ����������� � ���$���� ��
�������� �� ������� �� ������� ��1����
:.� !�8�5�� �5 ��B����5 #��!
��C����� �� ����� �������� 1�� ����������� ��� ���������$� ���� ����������� � ����
���������� ���?���� ���� ��� ������ �� �������� ����$�� �� ������� �.� � �����
����� �� ������ � ������� �� �������� ��1��� ��� ������������� �� :����� �����
�����#��� ���� ��1��2���� 3�.� 4 � ���������
� ������ �� ���������� �� ������� �� �������� �.� ����� ��� ������ ��� �E������
���1���� ��������� �� ��:��� &�%-�
0 ������ �� �������� �.� ���� ��� �����#��� ��� ������������� ��1��� ���:WF�������
��� ������������� �����������$��� �� ����� � ����������� ��1��� ���:���� 3������
��� ����� ���������4� 0 ��������� ����� ���� � ����� ��� �������� �����������$�� ��
���� ��I�:�� �:���� ������������� � �� ���;����� ����������� �E�������� ���� ������
������G�� �� ��$����:�����
���������� ������������� � ��� �� �������� �� �������� ��I�:�� �:��� �� �� 1���G��
�� ������2����� Mjn� �� ���$���� �� �������� �� ������� �� �� ���������#���� ���
�� ����� �E�:��� �������� � ��� $���@$�� �� �������������� θ7
.�j : � δ1(t) � Mj1(δ(t), θ) � . . . � δn(t) � Mjn(δ(t), θ)
�+�Y0 uj = −Kjx(t) + Hjr(t) ,3&�'84
����� C�� Rcj ������ � j������ ��:�� ��1���� j = 1, . . . , r� C�� �2� ��� �; ���$�
����;���#�� � ������� ����������� +� �����CW���� �� ��:��� �� �����#�� �� :�����
Kj � Hj � ����G�� � ��� �� �������� ������� � � ����� �� ��1��2����� r(t)� �� � ���
��B���� �� ������� ��������� ��� ������ 3����#�� ������� � ����4� ���� 1�����
���� ���� i������ ��:�� �� ������ ��1��� ��I�:�� �:��� ������ ����� �� ������� � ���
����������� ��� ��� ������ ������������� ������� 0 :��� �� ���$���� �� j������ ��:��
���� � ����������� ����� � ���� ��� wj(δ(t), θ) ≥ 0 ����� ��B���� ���� �������� ��
>>
������ ���( ���������� ���� �� ������ � ������� ��'��� ������������ ��� �'�/���� 5���-7�
>,
��� ����� ����� ���� ��������� � ������� ��:�;����7
wj(δ(t), θ) =
n∏p=1
Mjp(δ(t), θ) . 3&�&(4
:.�.� ��B�������� #��! �J�-��!�-5B�3 θi(t) = ri(t)
A����� � ��1��2���� � �����#��� ���� � $���@$�� �� �������������� θi(t) = ri(t)� �
������� ���� ��� ��������� ���� �� ������� �� �������� ��1��� ��� �������������
�� :����� ���������#��� ���� ��1��2����� 0 ���:���� �� ;����� ���� ��� � ��;�����
�� ��:��� &�%)� �� � ��������� � ��@��:� MC���� �������� �� ��:��� &�%-�
������ ���, B������� �� ������ � ������� ��'��� ��� ����������� � ���#�� =����� ���'�/���� 5����6 �'��� ���� -�#������ 5���-7 ������� -6���7. ������� ��*����2 θi = ri�
�C����� ���� � ������� �� �������� �.� �� ���� ��I�:�� �:��� �� � ����� �E��
:��� � 1�������� �� ������ ��� � ����� �� ��1��2���� �� ����� 1������ 3��:��� &�%)4
� ���� ���� ��:����� �C�����7
.�j : � δ1(t) � Mi1(δ(t), ri(t)) � . . . � δp(t) � Min(δ(t), ri(t))
�+�Y0 uj = −Kjx(t) + Hjri(t) .3&�&%4
0 :��� �� ���$���� �� j������ ��:�� � �:��� ���� ��� wj(δ(t), ri(t)) ≥ 0 �� � ����
>8
����� �� ��� ����� 1�� ��������� � ������� ��:�;����7
wj(δ(t)) =
n∏p=1
Mjp(δ(t), ri(t)) . 3&�&'4
A����� �� $���@$��� �� ������� �� ������� ��� ��������� M� $���@$��� �� �������
δ(t) = x(t)� ����� � �C����� 3&�&%4 � ��;�����F�� ���7
.�j : � x1(t) � Mj1(x(t), ri(t)) � . . . � xn(t) � Mjn(x(t), ri(t))
�+�Y0 uj = −Kjx(t) + Hjri(t) ,3&�&&4
�� ��� ������ ������G�� ���� � �C����� 3&�&'4� � :��� �� ���$���� wj � � ���� ���7
wj(δ(t)) =
n∏p=1
Mjp(x(t), ri(t)) . 3&�&94
� ����� 1���� C�� �� ����������� ��1��� ��I�:�� �:��� ������������ � ��F�� �����
�� ����������� ��1��� � ���� ���7
u(t) =
Nr∑j=1
wj(x(t), ri(t))[−Kjx(t) + Hjri(t)]
Nr∑j=1
wj(x(t), ri(t))
. 3&�&-4
A����� ��� �@ ����B���G�� �� ����� �� ��1��2���� � ���� � �����#��� �� 1���� ������
���� ����B��� �� 1���G�� �� ������2����� ����� �� �E�����G�� 3&�&&4 � 3&�&-4 $�� �
���� ��������$������7
.�j : � x1(t) � Mj1(x(t), ri(t)) � . . . � xn(t) � Mjn(x(t), ri(t))
�+�Y0 uj = −Kjx(t) + ri(t) ,3&�&)4
�
u(t) =
Nr∑j=1
wj(x(t), ri(t))[−Kjx(t) + ri(t)]
Nr∑j=1
wj(x(t), ri(t))
. 3&�&>4
� �����;�������� �� ����B����� ��� 1���G�� �� ������2���� ��������� ���������
,(
����� 3��:��� &�94 1�#�� ��� C�� � :���� �� ������� �� �������� �.� ��������
����� ��� ���������� ���������� µMx(x)� ��������� M� 1���G�� �� ������2���� ����
:������ Mx� � ��� ���������� C�� � ������ 3��;���F��4 � ����� ∆µMθx(x)� ����$��
�� ����� �E�:���� θ� �� �� �� Mx(θ)� :������ �� ��$� ����� ���� ��� Mx + ∆Mθx �
��� ��� $�#� ���� ����� ��� ��$������ �� ���� ��:������7 �� �������� �� �����
�� �������������� uc� ����������� ����������� � µMx(x)� � ������ ur� ������$� M ���
��� �� ����������� �� �$���� 3�������#��4 ����������� ����������� � ����B�����
�������#��� ��� ∆µMθx(x)� ���� �������� ��� ��:���� &�%>3�4 � &�%>3;4� �����CW���
�������� ������ �� ����������� ufb +uff ����������� ��������$������� ��� :���� ��
���$���� ��� 1���G�� �� ������2���� ����� ��� µ(x) + ∆µMθx(x) ���1���� $���� ���
��:���� &�%>3�4 � &�%>3�4�
)- D6�� �! #��!�H u(t) = uc(r)� )�- D6�� �! ����H u(t) = uc(r)�
)�- D6�� �! #��!�H u(t) = ur + uc� )�- D6�� �! ����H u(t) = ur + uc�
������ ���8 ����������� ���-�
���� � ������� �� �������� ��� ������������� �� :����� �������� �C�� � �C���
��� 3&�&%4 ������ � 1���� �� 3&�&,47
.�j : � x1(t) � (Mj1(x(t) + ∆Mri(t)j1 (x(t))) � . . .
� xn(t) � (Mjn(x(t) + ∆Mri(t)jn (x(t)))
�+�Y0 uj = −Kjx(t) + Hjri(t) ,
3&�&,4
,%
� � ���� �� �������� ���������� � ���� ���7
u(t) =
Nr∑j=1
(wj + ∆wri(t)j )[−Kjx(t) + Hjri(t)]
Nr∑j=1
(wj + ∆wri(t)j )
, 3&�&84
����7
wj(x(t)) =n∏
p=1
Mjp(x(t), ri(t))
=n∏
p=1
(Mjpx(t) + ∆Mri(t)jp (x(t))) .
3&�9(4
�C����� 3&�&84 ���� ����� ��� �������� ����7
u(t) =
Nr∑j=1
wj [−Kjx(t) + Hjri(t)]
Nr∑j=1
(wj + ∆wri(t)j )
+
Nr∑j=1
∆wNrj Kj[−Kjx(t) + Hjri(t)]
Nr∑j=1
(wj + ∆wri(t)j )
. 3&�9%4
� ����� �������� �� �C���G�� 3&�&)4 � 3&�&>4 �� ������7
.�j : � x1(t) � (Mj1(x(t) + ∆Mri(t)j1 (x(t))) � . . .
� xn(t) � (Mjn(x(t) + ∆Mri(t)jn (x(t)))
�+�Y0 uj = −Kjx(t) + ri(t) ,
3&�9'4
� � ���� �� �������� ���������� � ���� ���7
u(t) =
Nr∑j=1
(wj + ∆wri(t)j )[−Kjx(t) + ri(t)]
Nr∑j=1
(wj + ∆wri(t)j )
. 3&�9&4
�C����� 3&�9&4 ���;�� ���� ��� ���� ���7
u(t) =
Nr∑j=1
wj[−Kjx(t) + ri(t)]
Nr∑j=1
(wj + ∆wri(t)j )
+
Nr∑j=1
∆wri(t)j [−Kjx(t) + ri(t)]
ri(t)∑j=1
(wj + ∆wri(t)j )
, 3&�994
,'
����� C�� ����� S����� �������� �@ ��� ������;����� �E�����$� �� ����� �� ��1��2�����
�� ��;�� �� ����� �@ ����� ��� ���������� �� ����� 1������� uc� � ��� ����
������� �� ����� �� �$���� 3�������#��4� ur7
u(t) = uc + ur . 3&�9-4
$����:�� ����� �;����:�� � C�� ��C����� ��� ����� �� ����������� ���� ���
����������� ���� ����S�;�� �� ���:�� � ����� � �����#��� ���� � ���;���� �� ��:���
� ����� �� ��1��2���� 3��������4 ��������� ��� ������� ���� 1����� �� ���� ��� ��
���������� ���C���� ���� ��;�������� 3���������4 � ����� �� ���������� 3�������
���4 �� ����� ����� C�� �� ���� ��� ;�� ��������� �� ����S�;�� �� ���:� 332�2��2�
%8884�
:.�.2 ��B�������� #��! �J�-��!�-5B�3 θi(t) �= ri(t)
A����� � ������� �� �������� �.� ����� ��� ������B���� �� 1���� C�� $����
� ��� ri(t) = 0 �� ���������������� � $���@$�� �� �������������� θ� 1�� 1��������
�� ����� �;���� �������@ ����� � ������� �� �������� �.� �� �� � ���:���� ��
;����� � �������� �� ��:��� &�%,�
������ ���: B������� �� ������ � ������� ��'��� ��� ����������� � ���#�� =����� ���'�/���� 5����6 �'��� ���� -�#������ 5���-7 ������� -6���7. ���#� �=����
��� �� �������� ���� � ������� �� �������� �.� �� ���� ��I�:�� �:��� �� �
����� �E�:��� � 1�������� �� ����� �;���� � �� � ������� �� ����� 1������ � ��
,&
���;���� ���� θ �� ����� �;���� 3��:��� &�%)4 � ���� ���7
.�j : � δ1(x(t)) � Mj1(x(t), θ) � . . . � δn(x(t)) � Mjn(x(t), θ)
�+�Y0 uj = −Kjx(t) ,3&�9)4
� � ������� ���������� � ���� ���7
u(t) =
Nr∑j=1
(wj + ∆wθj )[−Kjx(t)]
Nr∑j=1
(wj + ∆wθj )
. 3&�9>4
:.�.: !�8�5�� �5 ��B����5 #��! �J�-��!�-5B�
���� � ��� ��� �� ������� �� �������� �.� ��� ���������$� � �����#�� � ������
�� ����������� �������� ������;�F�� 3 !" 4 ����� !�������� "���������4
3;5�� � ��� %88-;K ;5�� � ��� %88-�K ;5�� � ��� %88)�K ;5�� � ��� '(((K
15�2��792 � ��� %888K 15�5<5 � ��� '((%4 �� C��� ���� ���� ��:�� �� ������
��1��� �E���� ��� ��:�� ���� � ������� �� �������� ��1��� 3��:��� &�%83�44�
)- =47 ��� �� )�- =47�D6��
������ ���; >4����� � ���&�� � ���������� ������� ������=�9�� 5%B� C �������� ��������
����������
����� �� �����;��� ���� ����� ��� ��� ��� �� �������� �� �������� ��1���� �� ��
1���G�� �� ������2���� ��� �� ������ �� ������� ��1��� ����������� ���� �;�����
:�� � �����#��� ��� � ��������� �� �� $���B��� � ��X�2���� ��� ����B���G�� ���
���?������ �� ����������� �� ������������� ���?���� �� �������� ����� � ��X�2����
��� 1���G�� �� ������2���� �� ���������� �� ������� ����� � ����;������� �� �������
����� �� ����� 1�������
,9
0 ��� ��� �� �������� �� �������� ��1���� ��I�:�� �:��� ����$�� �� ������ ��
����������� �� ���������� �����:� � ���������������� ��� ��� ����� ��1���� ��
������ ��1��� � �� �������� ��1��� ��� ��������� ������������� wi = wj� +�����
������G��� � ���� �� ���� ��:�� ��� ������������� ��1���� � �:��� MC���� �� ��:��
�������������� �� ������ ��1��� 3��:��� &�%83�44� ���� � � �����F��� ��� ��:���
��������������� �1������������ � ��� ��� �� �������� �� �������� �.� ������ C��
�� 1���G�� �� ������2���� �� �� ������������ ��1������� �� ����������� � �� ������
�� ������� ���?����� wi �= wj� ���������� C�� ����� 1���G�� �������� ��C�����
�������G�� �������������� ���� ����� �E�:���� θ� ������������ ����� ���;���� ��
��:���� ���B:����G�� ���� ��1��2����� ri(t)� ���1���� ���� ��� �;���$��� �� ��:���
&�%83;4�
0 �������� �� ����� 1������ � ���� �� �� ��;������� � ��� �� �������� ���������� ��
����������� ��1��� �� �C����� �� ������ ��1��� ����������� �� ��� 1���� � �� �;���
� �C����� �� ����� 1�������
"����� �� �� �� #��" �$��%"!��� ��&�! � θi = ri(t)
������ C�� �E���� �� ������ ��1���7
Rsi : � x1 � Mi1(x1, ri(t)) � . . .� xn � Min(xn, ri(t))
�+�Y0 xi(t) = Aix(t) + Biu(t) ,3&�9,4
�� � ������ ���������� �� � ���� ���7
x(t) =
Nr∑i=1
wi(x(t), ri(t)) [Aix(t) + Biu(t)]
Nr∑i=1
wi(x(t), ri(t))
, 3&�984
� ��� ��� �� �������� ��1��� �� 1����7
.�j : � x1 � Mj1(x(t), ri(t)) � . . .� xn � Mjn(x(t), ri(t))
�+�Y0 uj = −Kjx(t) + Hjri(t) ,3&�-(4
,-
�� � ����������� ���������� �� � ���� ���7
u(t) =
Nr∑j=1
wj(x(t), ri(t))[−Kjx(t) + Hjri(t)]
Nr∑j=1
wj(x(t), ri(t))(x(t))
. 3&�-%4
�� ����� 1������ � ������� ���������� � ���� ���7
x(t) =
Nr∑i=1
wi(x, ri(t))
⎡⎣Aix + Bi
⎛⎝
Nr�
j=1wj(x,ri(t))[−Kjx+Hjri(t)]
Nr�
j=1wj(x,ri(t))
⎞⎠⎤⎦
Nr∑i=1
wi(x, ri(t))
3&�-'4
1�#������� x(t) = x�
x(t) =
Nr∑i=1
wi(x, ri(t))Aix +Nr∑i=1
wi(x, ri(t))Bi
⎛⎝
Nr�
j=1wj(x,ri(t))[−Kjx+Hjri(t)]
Nr�
j=1wj(x,ri(t))
⎞⎠
Nr∑i=1
wi(x, ri(t))
3&�-&4
=
Nr∑i=1
wi(x, ri(t))Aix
⎛⎝
Nr�
j=1wj(x,ri(t))
Nr�
j=1wj(x,ri(t))
⎞⎠ +
Nr∑i=1
wi(x, ri(t))Bi
⎛⎝
Nr�
j=1wj(x,ri(t))[−Kjx+Hjri(t)]
Nr�
j=1wj(x,ri(t))
⎞⎠
Nr∑i=1
wi(x, ri(t))
3&�-94
=
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1Nr�
j=1wj(x,ri(t))
{Nr∑i=1
wi(x, ri(t))AixNr∑j=1
wj(x, ri(t))
}+
+ 1Nr�
j=1wj(x,ri(t))
{Nr∑i=1
wi(x, ri(t))Bi
Nr∑j=1
wj(x, ri(t))[−Kjx + Hjri(t)]
}⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
Nr∑i=1
wi(x, ri(t))
3&�--4
,)
=
1Nr�
j=1wj(x,ri(t))
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
Nr∑i=1
wi(x, ri(t))AixNr∑j=1
wj(x, ri(t))+
+Nr∑i=1
wi(x, ri(t))Bi
Nr∑j=1
wj [−Kjx + Hjri(t)]
⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭
Nr∑i=1
wi(x, ri(t))
3&�-)4
=
Nr∑i=1
wi(x, ri(t))AixNr∑j=1
wj(x, ri(t)) +Nr∑i=1
wi(x, ri(t))Bi
Nr∑j=1
wj(x, ri(t))[−Kjx + Hjri(t)]
Nr∑i=1
wi(x, ri(t))Nr∑j=1
wj(x, ri(t))
3&�->4
=
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
{Nr∑i=1
wi(x, ri(t))Ai
Nr∑j=1
wj(x, ri(t)) −Nr∑i=1
wi(x, ri(t))Bi
Nr∑j=1
wj(x, ri(t))Kj
}x+
+
{Nr∑i=1
wi(x, ri(t))Bi
Nr∑j=1
wj(x, ri(t))Hj
}ri(t)
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
Nr∑i=1
wi(x, ri(t))Nr∑j=1
wj(x, ri(t))
3&�-,4
=
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
{Nr∑i=1
wi(x, ri(t))Nr∑j=1
wj(x, ri(t))Ai +Nr∑i=1
wi(x, ri(t))Nr∑j=1
wj(x, ri(t))[−BiKj]
}x+
+
{Nr∑i=1
wi(x, ri(t))Nr∑j=1
wj(x, ri(t))[BiHj]
}ri(t)
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
Nr∑i=1
wi(x, ri(t))Nr∑j=1
wj(x, ri(t))
.
3&�-84
����� � �C����� �� ����� 1������ �� �� �����#�� � �������� �.� � ���� ���7
x =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
{Nr∑i=1
wi(x, ri(t))Nr∑j=1
wj(x, ri(t))[Ai − BiKj]
}x+
+
{Nr∑i=1
wi(x, ri(t))Nr∑j=1
wj(x, ri(t))[BiHj]
}ri(t)
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
Nr∑i=1
wi(x, ri(t))Nr∑j=1
wj(x, ri(t))
. 3&�)(4
,>
�C��$�����������7
x(t) =
Nr∑i=1
Nr∑j=1
wi(x, ri(t))wj(x, ri(t)){[Ai − BiKj ]x + BiHjri(t)}Nr∑i=1
Nr∑j=1
wi(x, ri(t))wj(x, ri(t))
. 3&�)%4
� ������� :����� � �C����� �� ����� 1������ ���� � ������� �� �������� �.�
�� ����E��� �� �C����� �� ����� 1������ ���� �� �������� ��1���� ��I�:�� �:���
��@������� ��� ��1��� ������ �� ���������� ��� ����� ����� ��� wi � wj C�� �:��� ���
����������� �� �� ����� �E�:���� ���� �C����� ���������� �� ����� 1������ ����
���� � ������������� ����� ��� $�����G�� �� ������ �� ������ ���������� C�����
�� ������������ � �� 1���G�� �� ������2���� ��� ����B����� ��� ������ �������G��
����� �� ������ C����� �� ������������ wi(x(t), ri(t)) = wj(x(t), ri(t))� ������� ���
���� � ������� ��1��� � ��@����� �� ��� ����� �� :������������ � ��� ��� �� ��������
��1���� ���� �����#�� � ������� �� ��:��� ���������������
��� ����� ����� C����� ��� �@ $������� ��� 1���G�� �� ������2���� �� ������ ��1���
�� 1����� �� �� ����� �E������ � �C����� �� ����� 1������ ���� � ������� ��
�������� �.� �� �����7
x(t) =
Nr∑i=1
Nr∑j=1
wi(x)wj(x, ri(t)){[Ai − BiKj ]x + BiHjri(t)}Nr∑i=1
Nr∑j=1
wi(x, ri(t))wj(x, ri(t))
. 3&�)'4
Z ����F$�� ���������� ����� � ���������$� �� C�� ��� �E���� $������� ������ ��� 1���
�G�� �� ������2���� �� ������ ��1���� � � ������ ���������� 1�� ���$�� ��� ����
��� �������#��� �� $�#������� �� ��� ��� ������ �����FB�� �� �� ��������� ������ ��
�C���F;���� xeq� :������ ��1������� ������G�� �� �������� �� 1���� C�� � ������� ��
�������� �.� ������� �������� ����� $�����G�� ����$�� �� ����B����� ��� 1���G��
�� ������2�����
A����� �� 1�#7
hi(x, r) =wi(x, ri(t))
Nr∑i=1
wi(x, ri(t))Nr∑j=1
wj(x, ri(t))
, 3&�)&4
,,
hj(x, r) =wj(x, ri(t))
Nr∑i=1
wi(x, ri(t))Nr∑j=1
wj(x, ri(t))
, 3&�)94
� �C����� 3&�)(4 ���� ��� ������������ �� 1����7
x =
[Nr∑i=1
Nr∑j=1
hi(x, r)hj(x, r)(Ai − BiKj)
]x +
[Nr∑i=1
Nr∑j=1
hi(x, r)hj(x, r)[BiHj]
]ri(t) ,
3&�)-4
�� �� 1�� ����;�F�� Gij = Ai − BiKj �
x =
[Nr∑i=1
Nr∑j=1
hi(x, r)hj(x, r)Gij
]x +
[Nr∑i=1
Nr∑j=1
hi(x, r)hi(x, r)[BiHj ]
]ri(t) , 3&�))4
C�� �C��$��� �7
x = Gij(hi(x, r), hj(x, r))x +
[Nr∑i=1
Nr∑j=1
hi(x, r)hi(x, r)[BiHj]
]ri(t) . 3&�)>4
�� ���;����� �� ������������ � ����� �� ��1��2����� ri(t)� � ��1������ �� #��� � �����
� �����F���� ������� C����C��� $������� +� ���� ���������� �� C�� � ����� �E�:��� �
���������� ri(t) = a, ∀ t ≥ 0� � �; ���$� �� ������� �� �������� ���� ������������
����������� ������ �� ��� ������� ��:��� � �����#�� � �������� ���?���� ���� �
$���� �� ��1��2���� ���� ��� � ������ C�� � ����� ����� �� ��B����� ����7
r �= 0 ⇒ ri(t) = a, ∀t ≥ 0 ⇒ limt→∞
y(t) → ri(t) = a . 3&�),4
A����� �� �������# �� :���� �� �$���� 3�������#��4 �� 1���� C�� � �������������
�� � ���� ��� u = −Kx + Hr� ���� �� �;��� � :���� �� ����������� ������ ����
��1��2����� H � �� 1����7
Hi = [Ci(−Ai + BiKi)−1Bi]
−1 , 3&�)84
� ���������� �� �������� $������ ���� �� :���� ���@���� �� �$���� 3�������#��4
���� �� ����������� ��1��� � $���� C�� :������ ���� ���� ��;������� �� �����
1������ �� :���� �� ������ ��������@��� ����@��� 3<�6@5 � ��� '((&4� ��������
,8
����� �� :���� H � ���� � ��:���� ��������� � ��:����� ������� �� ����� 1������7
x = (Ai + BiKj)x(t) + BiHiri(t)
y(t) = Cix(t) .
��#����7sX(s) = (Ai − BiKj)X(s) + BiHiR(s)
Y (s) = CiX(s) ,
������[sI − (Ai − BiKj)]X(s) = BiHiR(s)
Y (s) = CiX(s) ,
X(s) = [sI − (Ai − BiKj)−1BiHiR(s)
Y (s) = CiX(s) ,
Y (s) = Ci[sI − (Ai − BiKj)−1BiHiR(s) .
��� ����������� s → 0 ⇒ Yeq = CXeq ⇒ Y eq = ri(t) = a � � �C����� �������� $��
� ���7
0 = Ci(−Ai + BiKj)−1BiHiR(s) ,
Hi = [Ci(−Ai + BiKj)−1Bi]
−1 .
A����� �� ���@ �����#���� � ����� �� ��1��2���� ���� ����B��� ����������� �� 1���G��
�� ������2����� � �C����� 3&�)>4 �� �����7
x = Gij(hi(x, r), hj(x, r))x +
[Nr∑i=1
Nr∑j=1
hi(x, r)hj(x, r)Bi
]ri(t) . 3&�>(4
���� C�� � �������� ����� ���;���� C�� � ����� �E�:��� $���� �� 1���� ���������
��� ������� ri(t) = r� � �C����� �������� ���� ��� �E������ ���7
x = Gij(hi(x, r), hj(x, r))x + R , 3&�>%4
�����7
R =
[Nr∑i=1
Nr∑j=1
hi(x, r)hj(x, r)[BiHj ]
]r . 3&�>'4
8(
+����� ������G�� � ������� �.� �� �C��$��� � �� ������� ��1��� �B� 3$�� �����
�������4�
/� ������� �.� �� ���� ����������� ������ ��������� ������ �� �C���F;����xeq ���
���������� ����� ��1������� $������ �� �� ����� �E�:��� ����B���� �� 1���� �����
����� ��� ������ 3 � �#�� ������ �������4� xeq = f(r)� ���$�� �� �C����� 3&�)>4
�� �;���7
0 = Gij(hi(x, r), hj(x, r))x +
[Nr∑i=1
Nr∑j=1
hi(x, r)hi(x, r)[BiHj]
]ri(t) , 3&�>&4
�� �����CW����������
xeq = −G−1ij (hi(x, r), hj(x, r))x
[Nr∑i=1
Nr∑j=1
hi(x, r)hi(x, r)[BiHj]
]r . 3&�>94
0� ��1������� ������ �� �������� ��� ����� ����� ���� ������;����� ������ �� ��1��
�2����� Nr� C����� ���� ������;����� �������� ���� ���� ����B����� ��� 1���G�� ��
������2���� C�� ��� ��������� ���� ����� �E�:���� M(x, r)�
"����� �� �� �� #��" �$��%"!��� ��&�! � θi �= ri(t)
A����� �� ���@ ������� ��� � ������� �� �������� �.� ��� ���;���� ���� θ ��
����� �;����� � �C����� �� ����� 1������ � ���� ���7
x =
{Nr∑i=1
wi(x, ri(t))Nr∑j=1
wj(x, ri(t))[Ai − BiKj]
}x
Nr∑i=1
wi(x, ri(t))Nr∑j=1
wj(x, ri(t))
. 3&�>-4
� ������� ������B���� ������7
x(t) =
Nr∑i=1
Nr∑j=1
wi(x, ri(t))wj(x, ri(t)){[Ai − BiKj ]x}Nr∑i=1
Nr∑j=1
wi(x, ri(t))wj(x, ri(t))
. 3&�>)4
� ����� 1����� C����� ��� �@ $������� ��� 1���G�� �� ������2���� �� ������
8%
��1��� �� 1����� �� �� ����� �E������ � �C����� �� ����� 1������ ���� � �������
�� �������� �.� �� �����7
x(t) =
Nr∑i=1
Nr∑j=1
wi(x)wj(x, ri(t)){[Ai − BiKj]x}Nr∑i=1
Nr∑j=1
wi(x, ri(t))wj(x, ri(t))
. 3&�>>4
0 ��;��� �� ��� ����F$�� ��������� �� ������� �.� �� ����� 1������ � ���������
�� ��:��� &�'(�
���� ������������ ���� �������� �.� �� ����F���� ���� ��� ��������� ���� ����
����� �.� �� ����������
:. �B,��85 �5 �8��4������5 �5 !�8�5��8 �5 ��B����5 #��!
$����:�� �� �� �����#�� ��� ��������:�� �� ��@���� � � �����;������� �� $���B��� �
�����B��� � ������������� ���?���� ���� ��� �� ������� �� ����� ����� �� C��
� ������� �� �������� ���@ ����� ��� ������ ����� �� ��C������� �� ��� ���� � ������
�� ����;������� �� ��� �S$���� �� ��� 1���������� ���� ����������� �� ��@���� ��
������������� �� �������� ���?����� � �� ��� ��� �� ������������� ���B@$���� �
�� ������� � ����@$��� ������� ��� ������ ������B���G�� �� ���������� ����� ���
�1���$������ �����1������
�������:�� �����:��� ������� � ��� ��� �� ������� �� �������� ��X������ �������
����� �� ��������:�� � �� �$������� �� ����;�������� �1������� ��������:��� �2�
���� �����:���� ���� ��� ��@���� �����@���� 1����� � ���� �������� �� ��� ���
���� :������� � ����;������� �� �������� �� �������� ��1���� �$��� M� ��������F������
������������� ������������ �� �������� �� �������� ��1��� � ��@���� �� ����;�������
��C��� � �����#���� �� �������� ������������� ���� 1����� �� ��������� �����:����
���� � ������ �� ����;������� �� �������� �� �������� ��1���� ��� �� ������ �;���
��:��� �����:���� �� ������ �� �������� ���������� ��@����� �� ������������� ���
�C���G�� ��1���������� ��������� �E����� ��$����� ������� ���� �� ��$����:�� ��
������������ ;@����� �� ����;�������� ���������� � ��;����# �� ����� 1������ ��
�������� ��1����� *��� � ����� ���� $��������� �� C�� ��# �������� �� �����������
��I�:�� �:����
/� ��� ������� �������� ��;�� ��@���� �� ����;������� �� �������� �� �������� ��1����
8'
)- )�-
)�-
������ ���+ %��&�� � ������ � ������� ���- ��� ���������� ������� ������=�9�� 5%B� C�������� �������� ����������
8&
�� ��� �� 315�5<5� ������� %88'4 ���� �������� ��������� �� ������ +���� �;���
��:�� ��� �������� ��B������ ���� �� �;��� � ����;������� ����������� �� �� ������
��1��� �������� 1�� ������������ ���� �������� � �����1���� ���� �����#���� �� ������
�� <=�����$ ����$�� �� ������������ �� ��� �����# ��B���� ������$� ����������
P � ���� Q�R ��;��������� ���;�� ���� �������� ��������� �� �������� �� ��@�����
�� 315�5<5� %88-4 � 3;5�� � ��� %88);4� ��@���� ���� �������� ����F���� ��
����� 1�� �����#��� �� 375� � ��� %88)�K 75� � ��� %88);4� �� ��:����� U��:
�� ��� ���������� � ����������� �������� �����;�F�� 3�� � ����� !��������
"���������4 ���� ��� ��������� �� ��� ��� � ����B����� � �;����:�� �� ���
��;������� �� ����I� ���� ��� �������� �� ��� ��� �� ��������� /� ����� ���;����
C�� ���;�� �������$�� � ��� �� ������������� ;������� �� ������ 1�� � ����:� ��
����I� C�� ��:���� C�� � �����# P 1���� ���������� ���� ������ ��� ���C���G��
���������� �������� 305/ 4 0��� 5��� /��'�����4� �����#���� �� ������� <H*
������� C�� � ������� �� ���;���� ����� ��� ����������� ������������� ���� ���
:������ ������� �� H����� �� ����� *������� � ��� ���� ���:������ �����#��� ����
� ��� ��� �� �������� �� �������� ��1���� � ���������������� �� ���� ��I�:�� �:����
��@���� �� ����;������� ���� �������� ��1���� ��I�:�� �:��� ;������ �� ������
������ �� <=�����$ ���� ��� ��������� ���� � $���B����� �� ����;������� ���� ���
����� �.� �� ������� ���������
���� $���� �� ����� ��������� � ������� �� �������� �.� ���� ���������� ��1��
������ ������ �� �C���F;���� ���� ����� �� �C���F;��� ���� ��� ��1������� ������#��
�� ����;������� C�� ��� ��������� �C�� ��; � ���������$� 3�� �� �������4 �� <=��
����$� /� ������ �� �C���F;���� xeq� � ���@$�� �� ������� �� <=�����$ ��� ����
��� �������1��� �� ������ �� ������� �������� �� xe � �� ���� ε > 0� �E���� ���
�������1��� �������� �� xe � �� ���� δ(ε, t0) > 0 ��� C�� ‖x(0) − xeq‖ < δ� �����
‖x(t; x(0), t(0)) − xeq‖ < δ ���� t > t(0)� �������������� �� xeq ��� ������� 1��
���@$��� ��� ���;�� ����� �� ��� ������� ��������� ��B����������� ���E���� ��
xeq ���$��:���� ���� � ������ �� �C���F;���� ‖x(t) − xeq‖ < δ� C����� t → ∞� �
������ �� �C���F;��� � ���� ���������������� ���@$���
�@���� �� ����;������� � �� ��� ��������� ���� ����������� ���� � �$������� ��
������������� ���?���� �� �� �������� ���� � ��@���� �� ����;������� ���@ ������
:��� � ������ ������ �� <=�����$� ���� ����$�� ����� �;����:�� � ����F$�� �;���
��� �������� ��B������ �� ����;������� �� �� ������� ���?����� ���� �E���� ���
�����# �� <=�����$� P � ���� �������� � ��:����
89
'�(���� �� ���)������ � * ��� #��" �$��%"!��� ��&�!
������� � 1����� �� <=�����$ C����@����7
V (x) = xT Px , 3&�>,4
��������� ���� �� $���B��� � ����;������� �� ������� �� <=�����$� ����� P ���
�����# ������$� ��B���� 3P > 04 � � ��������� 3P = P T 4� � � �����# P � ������$�
��B���� ����� ���� ���� x �= 0� xT Px > 0 �� �����CW���������� V (x) > 0 � V (x) = 0
������� �� x = 0� � ����� 1����� �� |x| → ∞ ����� V (x) → ∞� B� �� :�������
C�� � ����� �� �C���F;���� x = 0� �� �� ������� ��1��� �� � ����������� � :��;�������
���@$�� � ��B������ ��� V (x) < 0 ���� ���� x�
���$������� 3&�>,4 � �;����7
V (x) = xT P x + xT Px . 3&�>84
��������� � ��:����� ������� �.� �� 7
.�i : � x1(t) � M1i(x(t), θ) � . . .� xn(t) � Mni(x(t), θ)
�+�Y0 xi(t) = Aix(t) ,3&�,(4
�� � ������ ��1��� ���������� �� � ���� ���� ����� ��������� ��� i������� ��;���
�����7
x(t) =
Nr∑i=1
wi(x(t), θ)[Aix(t)]
Nr∑i=1
wi(x(t), θ)
. 3&�,%4
����� wi � ������� ��:�;����� ���� ���������� ��������������
�;��������� � �C����� 3&�,%4 �� �C����� 3&�>84� 1�#������� x(t) = x ������7
V (x) = xT P
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
Nr∑i=1
wi(x, θ)[Aix]
Nr∑i=1
wi(x, θ)
⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭+
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
Nr∑i=1
wi(x, θ)[Aix]
Nr∑i=1
wi(x, θ)
⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭
T
Px , 3&�,'4
�� ���$ � ������� ��(�� �� ���� ��������� �"� ������ ��� ����������
8-
V (x) = xT P
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
Nr∑i=1
wi(x, θ)[Ai]
Nr∑i=1
wi(x, θ)
⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭ x + xT
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
Nr∑i=1
wi(x, θ)[Ai]
Nr∑i=1
wi(x, θ)
⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭
T
Px . 3&�,&4
<��;����� C�� P = P T 7
V (x) = xT
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
P
⎡⎢⎢⎣
Nr∑i=1
wi(x, θ)[Ai]
Nr∑i=1
wi(x, θ)
⎤⎥⎥⎦+
⎡⎢⎢⎣
Nr∑i=1
wi(x, θ)[Ai]
Nr∑i=1
wi(x, θ)
⎤⎥⎥⎦
T
P
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭
x , 3&�,94
V (x) = xT
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∑Nr
i=1 wi(x, θ)[PAi]Nr∑i=1
wi(x, θ)
+
Nr∑i=1
wi(x, θ)[ATi P ]
Nr∑i=1
wi(x, θ)
⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭x . 3&�,-4
+��� C��7
µip(x(t), θ) ≥ 0 ⇒Nr∑i=1
wi(x(t), θ) > 0 , 3&�,)4
�� �����7
0 ≤ wi(x(t), θ)Nr∑i=1
wi(x(t), θ)
≤ 1 . 3&�,>4
�����CW���������� � ��@���� �� ����;������� ��1������ M �C����� 3&�,-4� �� ����# �7
V (x) ≤ xT
{Nr∑i=1
[PAi] +Nr∑i=1
[ATi P ]
}x , 3&�,,4
V (x) ≤Nr∑i=1
xT (PAi + ATi P )x , 3&�,84
�� ��������� ��7
xT (PAi + ATi P )x < 0 , 3&�8(4
���� ���� i = 1, 2, . . . , Nr� ����� V (x) < 0� ���� 1����� ����� C�� � �����# P �
���������� ���� �E����� ��� �����# Q ���;�� ���������� Q = QT � C�� �����1��� �
8)
�������� ���� �� 3&�8(4� ���� �7
xT (PAi + ATi P )x = Q , 3&�8%4
�� Q � ��� �����# ��B���� � ��:���$�� Q < 0� �� �� �� �� xT Qx < 0 ���� ���� x �= 0�
D���� C�� �� ���������� ������ ��� �����# P ������$� ��B���� n × n ���� C�� �
����� �� �C���F;���� x = 0� �� 3&�,%4 �� � ����������� � :��;������� ���@$��� ��� C��7
xT (PAi + ATi P )x < 0 , 3&�8'4
���� ���� i = 1, 2, . . . , Nr�
��� �E������� � ���$� �� ����;������� ���� �������� ��1���� ��������� ���;�� �
$@���� ���� ������� �.� ����������
'�(���� �� ���)������ � * ��� #��" �$��%"!��� ������
��������� � ��:����� ������� �.� �� 7
.�i : � x1(k) � M1i(x(k)), θ) � . . .� xn(k) � Mni(x(k), θ)
�+�Y0 x(k + 1)i(t) = Aix(k) ,3&�8&4
�� � ������ ��1��� ���������� �� � ���� ���� ����� ��������� ��� i������� ��;���
�����7
x(k + 1) =
Nr∑i=1
wi(x(k), θ)[Aix(k)]
Nr∑i=1
wi(x(k))
. 3&�894
����� wi � ������� ��:�;�����
������� � 1����� �� <=�����$ C����@���� ��������� �� 1����7
V (x(k)) = x(k)T Px(k) , 3&�8-4
����� P ��� �����# ������$� ��B���� 3P > 04 � ��������� 3P = P T 4 ��
���� ���� �����1�# �� ������������ �� V (0) = 0� V (x(k)) > 0 ∀x(k) �= 0� �
V (x(k)) → ∞, ‖x(k)‖ → ∞� ���� 1����� ������7
∆V (x(k)) = V (x(k + 1)) − V (x(k))
= xT (k + 1)Px(k + 1) − xT (k)Px(k)3&�8)4
8>
�;��������� � �C����� 3&�894 �� �C����� 3&�8)4� �� ������� ��@��:� �� �����$���
$������ ��������� $���� C��7
0 ≤ wi(x(k), θ)Nr∑i=1
wi(x(k), θ)
≤ 1 ,
������ C�� � �C���F;��� �� �� ������ �.� �� �������� � :��;�������� ����������
������� ���@$�� �� �E����� ��� �����# �� <=�����$� P � ������$����B���� ���� �����
�� ��;�������� �� 1�� �����1���� � ��:����� ��������7
ATi PAi − P < 0 , 3&�8>4
���� ���� i = 1, 2, . . . , Nr�
'�(���� �� ���)������ �� "������ �� �� �� #��" �$��%"!��� ��&�!
� θi �= ri(t)
�:����� � ����� ������������ �����#��� ���� � ��@���� �� ����;������� �� �������
�.� ����F���� � ��������� ��� 1����� �� <=�����$ ��������� ���� � ��@���� ��
����;������� �� ������� �� �������� ��1���7
V (x) = xT Px 3&�8,4
����� P ��� �����# ������$� ��B���� 3P > 04 � ��������� 3P = P T 4 � ��� ����$���
� ���� ���7
V (x) = xT P x + xT Px . 3&�884
��@���� �� ����;������� �� ������� �� �������� �.� ��� � ���;���� ���� θi �=ri(t) � �����#��� ���� ��;��������� �� �C����� 3&�>-47
x =
{Nr∑i=1
wi(x, ri(t))Nr∑j=1
wj(x, ri(t))[Ai − BiKj]
}x
Nr∑i=1
wi(x, ri(t))Nr∑j=1
wj(x, ri(t))
.
8,
�� �C����� 3&�884� �� �� 1�� ����;�F�� Gij = Ai − BiKj � ������7
x =
{Nr∑i=1
wi(x, ri(t))Nr∑j=1
wj(x, ri(t))Gij
}x
Nr∑i=1
wi(x, ri(t))Nr∑j=1
wj(x, ri(t))
.
� ����� � ��@���� �� ����;������� �� ������� �� ����� 1������ ����� �� ��� ����
����� �C��$������ M �������� ���� ���� �C����� 3&�,%4 � ���� ��� �;���� �� �������
���������
����;������� �� �������� �� �������� �.� � �;���� � ������ �� ������������ ��
��� �����# P ������$� ��B���� n × n ���� C�� � ����� �� �C���F;���� x = 0� ��
3&�>-4 �� � ����������� � :��;������� ���@$��� ��� C��7
xT (PGij + GTijP )x < 0, 3&�%((4
���� ���� i = 1, 2, . . . , Nr�
0� ������ Gij = Ai − BiKj ��� �������@$��� ����� ��������F������ ���?����� ��
��� ��� �� ����������� � ���� ��@���� �� ����;�������� ����� � �C���F;��� �� ��
������� �� �������� �.� � ���������������� ���@$�� :��;������� �� �E���� ���
�����# ������$� ��B����� �� C�� �����1��� �� ��:������ ������G��7
(Ai − BiKj)T P + P (Ai − BiKj) < 0
��
GTijP + PGij < 0
3&�%(%4
88
'�(���� �� ���)������ �� "������ �� �� �� #��" �$��%"!��� ������
� θi �= ri(t)
� ������� ��@��:�� � ��@���� �� ����;������� �� �� ������� �� �������� �.� ��
�������� ���� � ���;���� ���� θ �� ����� �;���� ���� ���7
x(k + 1) =
{Nr∑i=1
wi(x, ri(k))Nr∑j=1
wj(x, ri(k))[Ai − BiKj]
}x
Nr∑i=1
wi(x, ri(k))Nr∑j=1
wj(x, ri(k))
. 3&�%('4
�� �� ������� ������B����7
x =
{Nr∑i=1
wi(x, ri(k))Nr∑j=1
wj(x, ri(k))Gij
}x
Nr∑i=1
wi(x, ri(k))Nr∑j=1
wj(x, ri(k))
,
�� �� ����;��� Gij = Ai − BiKj� � ���;����� C�� 7
0 ≤ wi(x(k), θ)Nr∑i=1
wi(x, ri(k))Nr∑j=1
wj(x, ri(k))
≤ 1 , 3&�%(&4
�
0 ≤ wj(x(k), θ)Nr∑i=1
wi(x, ri(k))Nr∑j=1
wj(x, ri(k))
≤ 1 , 3&�%(94
������ C�� � �C���F;��� �� �� ������ �.� �� �������� � :��;�������� ����������
������� ���@$�� �� �E����� ��� �����# �� <=�����$� P � ������$����B���� ���� �����
�� ��;�������� �� 1�� �����1���� � ��:����� ��������7
(Ai − BiKj)T P (Ai − BiKj) − P < 0
��
GTijPGij − P < 0 .
3&�%(-4
���� ���� i = 1, 2, . . . , Nr�
%((
'�(���� �� ���)������ �� "������ �� �� �� #��" �$��%"!��� ��&�!
� θi = ri(t)
��@���� �� ����;������� �� ������� �� �������� �.� ��� � ���;���� C�� θ =
ri(t) ��:�� � ����� ������������ �����#��� ��� ����� ����������� ��;��������� ��
�C����� 3&�)%47
x(t) =
Nr∑i=1
Nr∑j=1
wi(x, ri(t))wj(x, ri(t)){[Ai − BiKj]x + BiHjri(t)}Nr∑i=1
Nr∑j=1
wi(x, ri(t))wj(x, ri(t))
.
�� �C����� 3&�8847
V (x) = xT P x + xT Px .
������� �� ��:����� �C�����7
V (x) = xT P
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
Nr∑i=1
Nr∑j=1
wi(x, ri(t))wj(x, ri(t)){[Ai − BiKj]x + BiHjri(t)}Nr∑i=1
Nr∑j=1
wi(x, ri(t))wj(x, ri(t))
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭
+
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
Nr∑i=1
Nr∑j=1
wi(x, ri(t))wj(x, ri(t)){[Ai − BiKj ]x + BiHjri(t)}Nr∑i=1
Nr∑j=1
wi(x, ri(t))wj(x, ri(t))
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭
T
Px .
3&�%()4
L��� ��������� C��7
0 ≤ wi(x(k), θ)Nr∑i=1
Nr∑j=1
wi(x, ri(t))wj(x, ri(t))
≤ 1 , 3&�%(>4
�
0 ≤ wj(x(k), θ)Nr∑i=1
Nr∑j=1
wi(x, ri(t))wj(x, ri(t))
≤ 1 , 3&�%(,4
����� ����� C�� � ������� BiHj � �������@$�� ���� ����������� �� �$���� 3�����
���#��4� ���� 1����� � ����� ������������ ���� ��� BiHj ��� �1��� � ���?����
�� ������ � ���������� � :���� �� ������ ��������@��� �� ����� �� �������� 3<�6@5
%(%
� ��� '((&4� � � �����# :����� Hj� � ����������� ���� �C����� 3&�)847
Hi = [Ci(−Ai + BiKi)−1Bi]
−1 ,
������ ������ �� :���� �� ������ ��������@��� ����@��� ���� � ������� ���?����
���������� 3&�984�
����� � �C���F;��� �� �� ������ �.� �� ����F��� ���� θ = ri(t) � :��;�� �
���������������� ���@$�� �� �E����� ��� �����# �� <=�����$� P � ������$����B����
���� ����� �� ��;�������� �� 1�� �����1���� � ��:����� ��������7
(Ai − BiKj)T P (Ai − BiKj) − P < 0 ,
��
GTijPGij − P < 0 .
3&�%(84
0� ���?������ �������@$��� ���� ����;������� �� ������� �� �������� ��� ����� ����
�C����� 3&�%(84� ����� C�� �� �����#�� :����� Kj � ����� ��� ������������� ���E��
$�� � ������ <H*�
'�(���� �� ���)������ �� "������ �� �� �� #��" �$��%"!��� ������
� θi = ri(k)
� ������� ��@��:�� � ��@���� �� ����;������� �� �� ������� �� �������� �.� ��
�������� ���� � ���;���� �� C�� θ = ri(k) ���� ���7
x(k + 1) =
Nr∑i=1
Nr∑j=1
wi(x, ri(k))wj(x, ri(k)){[Ai − BiKj]x + BiHjri(k)}Nr∑i=1
Nr∑j=1
wi(x, ri(k))wj(x, ri(k))
,
� ���;����� C�� 7
0 ≤ wi(x(k), θ)Nr∑i=1
Nr∑j=1
wi(x, ri(k))wj(x, r(k))
≤ 1 , 3&�%%(4
�
0 ≤ wj(x(k), θ)Nr∑i=1
Nr∑j=1
wi(x, r(k))wj(x, r(k))
≤ 1 , 3&�%%%4
%('
������ C�� � �C���F;��� �� �� ������ �.� �� �������� � :��;�� � ����������������
���@$�� �� �E����� ��� �����# �� <=�����$� P � ������$����B���� ���� ����� �� ��;�
�������� �� 1�� �����1���� � ��:����� ��������7
(Ai − BiKj)T P (Ai − BiKj) − P < 0 ,
��
GTijPGij − P < 0 .
3&�%%'4
���� ���� i = 1, 2, . . . , Nr�
*:��������� �� ���?������ �������@$��� ���� ����;������� �� ������� �� �������� ���
����� ���� �C����� 3&�%%'4� ����� C�� �� �����#�� :����� Kj� ����� ��� ��������
������ ���E�� $�� � ������ <H*�
%(&
���/"' �
�<���' �'"!���=
� ������� ��� � ���������" � ������� �������� #���$�� ��� �
���������" � ������� �����
�����
�.� !�8�5�� ��BH���� �5 �� �BK�5 5 ��B����5 #��!
+� ���F���� �������� 1�� ����������� ��� �������� ������� �� �������� ��1��� ���
������������� �� :����� ���������#��� ��� �� ����� �E�:���� �� ���������� � ��1��
�2����� C�� ���� ��� �������� ����� � �������� ��1���� ���:WF������ � �������� ��1����
�����������$��� +���� ���F���� ������ ���� �; ���$� ���������� � ��������� � �;����
:2���� �� �;����:�� �.� ����$�� �� ��������� �������� �����#��� �� ��1�T���
H����; ©�
���� �������� � ������������ �������� ����� ���� � �����#��� �� ������� C�� ������$�
� ������������� ���?���� �� �FCW��� �� �� ���C��� ���� �������� �� ��:��� 9�%�
���� �E����� � ;������ �� ��� ������������ ������F$�� �� 319� 8519;�6<�
2�7�� %8,,4� +���� ��� ��;������ �� ������� 1������� ���� ��� 1���� �� �FCW���
� ����� ��;������ �� ��F�� ��� ��?����� ��������� ���� ���� ������:� �� �FCW���
�������� �� ���C��� $�#�� �� ��F�� �� �FCW��� ��� �� ������� ����� ��?������ ���
���;�� �� ������� �� ���C�� C�� $���� ��� � �F$�� �� �FCW���� � C�� 1�# ��� C�� �
������� ��������� ��������F������ ������������� 0 ��������� C�� ������� �����1����
�� �F$�� � �;���� ����$�� �� ��� $@�$��� �������� C�� ����B�� � X�E� �� ��������
������ $�� -����� �������� �����������
%(-
0 ����������� ���� � �F$�� �� ���C�� ��C��� C�� �� � ��������� � �F$�� � C�� �� �
����F$�� ����� �� $@�$����
/� ���:���� ���� � �������� �� �F$�� �� �FCW��� �� ���C�� � �������� �� ��:��� 9�'�
�� $������� ��� �������;���#���� ��2� �������� �� �������� 1���������� ����������
�������� ��C����� � �������� �����#� �� ����������� �*� � ��:���� �����:� ��
����������� ��1��� ��@����� �� B��������� � ��������� �� �����C��� ���������� � ����
�������� �.� �������� ����� ����� D����������� � ����������� ��1��� H������
��@����� � � ����������� �.� H������ ���������� � ����� ���������� ���$����
����� S����� ���@ �� ����B����� �� 1����� �� ������2���� �� ������ ��� ���������
�� ����� �� ��1��2�����
������ $�� �"��� ���� ���������� ��� ������������ ���-2 ����6 ��D����� %�B�
%()
)- 7�������� D6�� 8 ���
)�- ����� �� #�%"� �� �����E�� ���(�� ��� ��#��E���
������ $�� B���#� �� ���������� ����������� ���- )�������
%(>
��������� ��������� �� ����������� �.� H������ � �������� �� ���:���� ��
��:��� 9�&� 0 ������ �� ��1�#�B������ � ��� ���� �� ��:��� � � C��������� �� 1���
�G�� �� ������2���� �����#���� ����� ��� $������#���� �� ��:��� 9�&3�4� 0 �����������
�.� � � ����������� ��1��� ��@����� ���������� � ����� ������ �� ��1�#�B�����
;������ �� ������ �� @��� 3�0 6 "����� �� 6��4� *:��������� � �����#��� � �����
��� ���� �� ��:���� $������� ������ � 1����� �� ������2���� ������$� �� ����� ���:WF��
���� ��� C�� �� ����������� �.� $���� ���1���� �� ���?����� �� ��������������
θ� �C�� ������������ ���� ������� ��1��2����� 0 ��C���� ���� 1����� �� ������2����
����B���� ���� ��1��2���� � �������� ��� ���� �������� �� ��:��� 9�&3;4�
0 ��� ���� �� ��:��� ���� � ����������� ��1��� H������ ��@����� �7
.�1 : � �F$�� � �I�=1 �+�Y0 $@�$��� � �������:�
.�2 : � �F$�� � ��T �+�Y0 $@�$��� � �����1���
.�3 : � �F$�� � ��:� �+�Y0 $@�$��� � ������1���
.�4 : � �F$�� � �I�= � � ��#�� � ������$� �+�Y0 $@�$��� � ���������T
.�5 : � �F$�� � �I�= � � ��#�� � ��:���$� �+�Y0 $@�$��� � ��������T ,
39�%4
�� �� ���?������ �����#���� �� �E����� ��� ��������� �� ��:��� 9�9� � 1���G�� ��
������2���� ���� � $���@$�� �� ������� �F$�� ��� ����� �� ��:��� 9�93�4� �� 1���G�� ��
������2���� ���� � $���@$�� �� ������� ��#�� ����� ��� �;���$���� �� ��:��� 9�93;4�
� �� 1���G�� �� ������2���� ���� � $���@$�� �� ��F�� ��� ������F$��� �� ��:��� 9�93�4�
�����1F��� �� �������� ���� � ����������� ��1��� ��@����� �����#���� ����� 1���G��
�� ������2���� � ���� �� ��:��� �� 39�%4 � ���� ���� ��:��� 9�93�4�
� 1���G�� �� ������2���� ������������ �� ��� ���� �� ������ ���:WF������� Mij ∈ T �
��� i = 1 . . . 5 � j = 1, 2 �����#���� ����� �E����� ��� ����� ��� µMij: X → [0, 1]�
��� C�� c(Mij) = {x0 ∈ X | µMij(x0) = 1} � s(Mij) = {x0 ∈ X | µMij
(x0) > 0} ���
����� � �S���� � � �������� ��������$������� ���� � �E������ ��� $���@$�� ���:WF��
���� �� �������� X� � ��������� �� �F$�� �� �FCW��� �� ���C�� � ������ $������
�� ���F��� X = [−1, 1]� ���� �� C���� ����� ������������ �� ������ ���:WF������
T1 = {���, �&�, ��#}�� ���� ����� ���:WF����� A ∈ T1 � ��B���� ���� ��� 1�����
:�������� � � ������������ ���� ����� < c; σ > � ��� c(A) = c ������������� �
����� � σ � ���$�� ������� +���� ����� �� ������ ���:WF������ ��� ���������� � �����
��� ��� �� �����$��� ���� ��A���� ����� � � �E� ������ � �.� ��� #�� ����� �� � ����%"� �� ��#�G�� 8��� �© )��� ���� ���� ����� *+JJ-
%(,
−1 −0.5 0 0.5 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Nível (level)
Gra
u de
ativ
ação
da
funç
ão d
e P
ertin
ênci
a
high okay low
Funções de pertinência para entrada nível do tanque
)- D�%B�� �� �����E�� � ���� A���� �� �����
−0.1 −0.05 0 0.05 0.1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
razão (rate)
Gra
u de
ativ
ação
da
funç
ão d
e pe
rtin
ênci
a
negative none positive
Funções de pertinência para entrada razão no nível do tanque
)�- D�%B�� �� �����E�� � ���� ��$"� �� A��� �� �����
−1 −0.5 0 0.5 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Válvula (valve)
Gra
u de
ativ
ação
da
funç
ão d
e pe
rtin
enci
a
close fast close slow no change open slow open fast
Funções de pertinencia para a saída de ativação da válvula
)�- D�%B�� �� �����E�� � �A� �� ���%"� � �������
−1−0.5
00.5
1
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
−0.5
0
0.5
Nível (level)Razão (rate)
Vál
vula
(va
lve)
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
)�- �����#A��� �� ��������� ��#��� ����������
������ $�$ %�������� �� ����������� ��'��� ��D����� �������� �� !�����
��� ��� =< −1; 0, 3 >� �I�= =< 0; 0, 3 > � ��# =< 1; 0, 3 >� ����� $���@$��
���:WF����� �� �������� Y � � ��������� M ��#�� �� ������� �� �F$�� �� �FCW��� ��
���C�� � ������ $������ �� ���F��� Y = [−1, 1]� ���� �� C���� ����� ����������
��� �� ������ ���:WF������ T2 = {��:���$�, ����, ������$�}� � 1���G�� �� ������2������� ������ ���:WF������ B ∈ T2 ��� ���;�� :��������� � ����������� ����� ����
��:���$� =< −1; 0, 03 >� ���� =< 0; 0, 03 > � ������$� =< 1; 0, 03 >� /�� $��
��@$�� ���:WF����� �� ��F��� Z� � ��������� M �;������ �� $@�$��� � ������ $������
�� ���F��� Z = [−1, 1]� ���� �� C���� ����� ������������ �� ������ ���:WF������
T3 = { ��������, ��������# , ��� ����, ��������# , ��������}� ���� ����� C ∈ T3
� ��B���� ���� ��� 1����� �����:���� � ������������ ���� ������ < s1; c; s2 > �
��� s(C) = [s1; s2] � c(C) = c� +���� ����� �� ������ ���:WF������ ��� ���������� �
����� ��� �������� =< −1;−0, 9;−0, 8 >� ��������# =< −0, 6;−0, 5;−0, 4 >�
��� ���� =< −0, 1;−0; 0, 1 >� ��������# =< 0, 2; 0, 3; 0, 4 > � �������� =<
0, 8; 0, 9; 1 >� 0 ������ ������ ��1�����G�� � ����������� �� ��;��� 9�%�
%(8
>�E 0� $�� %�������� ��� '��� � � �����/���� ���� � ����������� ��'��� ��D������
5���8 ��B-LM8����8 ���H�5���8
��� < −1; 0, 3 >T1 �&� < 0; 0, 3 >
��# < 1; 0, 3 >
������ < −1; 0, 3 >T2 ���� < 0; 0, 3 >
������ < 1; 0, 3 >
�������� < −1;−0, 9;−0, 8 > ��������# < −0, 6;−0, 5;−0, 4 >
T3 ��� ���� < −0, 1;−0; 0, 1 >��������# < 0, 2; 0, 3; 0, 4 >�������� < 0, 8; 0, 9; 1 >
0 ����������� �.� H������ � ;������ �� �C����� 39�%4 � ����B�� �� ���?������
�� 1����� �� ��� $���@$�� �� ������������� ���� �E����� �� 3&�%%4� 0 ��� ����
�� ��:��� � �������� � ��:���7
.�1 : � �F$�� � �I�= �+�Y0 $@�$��� � �������:�
.�2 : � �F$�� � ��T �+�Y0 $@�$��� � �����1���
.�3 : � �F$�� � ��:�3θ4 �+�Y0 $@�$��� � ������1���
.�4 : � �F$�� � �I�= � ��#�� � ������$� �+�Y0 $@�$��� � ���������T
.�4 : � �F$�� � �I�= � ��#�� � ��:���$� �+�Y0 $@�$��� � ��������T ,
39�'4
����� � $���@$�� �� �������������� θ� B� �� �������� � ��������� � � �;���:2����
�� ������ �������� � �������� C�� ������� � 1����� �� ������2���� �����������
�� ����� ���:WF����� Q���R � ����B���� ���� ����� �E�:��� 3��1��2����4� 0� ������
������ ���:WF������ � 1���G�� �� ������2���� ���������� ������������ � B� �� 1��
������� � ��@���� ��� ����� � ���������� �;������ �E����� ��������� �����;�������� ��
����B����� �� 1����� �� ������2����� ���� ��������� �� ��:��� &�%%� �� ���F����
��������� +���� ���;����� � ����� ���:WF����� Q���R � ��������$� � � ����B����� ��
��� 1����� �� ������2���� � ����� ���E�� ��� ��� =< −1; 0, 3 ∗ (0, 79 ∗ θ) >� �� ��
���� �� θ = ri� ����� ri � ����� �� ��1��2���� ��������� ��� ������ ���� ���� �����
�� �������� i� ��� =< −1; 0, 3 ∗ (0, 79 ∗ ri) >� 0 ������ ��� ���?������ �����#����
���� ����������� �.� � ����������� �� ��;��� 9�'�
0� $������ �� ����� �� ��1��2���� ����;�F��� ������������ ���� � 1������������ ��
������� ��:�� � ��CW2���� �� ������� �� 2, 5 �� 1, 5 �� 3, 5 �� 2, 5 �� � ��$������
%%(
>�E 0� $�� %�������� ��� '��� � � �����/���� ���� � ����������� ��'��� ��D������
5���8 ��B-LM8����8 ���H�5���8
��� < −1; 0, 3 ∗ (0, 79 ∗ ri) >T1 �&� < 0; 0, 3 >
��# < 1; 0, 3 >
������ < −1; 0, 3 >T2 ���� < 0; 0, 3 >
������ < 1; 0, 3 >
�������� < −1;−0, 9;−0, 8 > ��������# < −0, 6;−0, 5;−0, 4 >
T3 ��� ���� < −0, 1;−0; 0, 1 >��������# < 0, 2; 0, 3; 0, 4 >�������� < 0, 8; 0, 9; 1 >
3, 5 �� ����� �� ���?������ �� ����������� ��1��� �.� �����:��� �� �E�����
��� ����B����� ����������� ���� ��1��2���� � ��� ��������� �� ��:��� 9�-� ����
� ��1��2���� �C��$������ � 1, 5� �� 1���G�� �� ������2���� ���� � $���@$�� �� ���
����� �F$�� ��� ����� �� ��:��� 9�-3�4 � � �����1F��� �� �������� ���������� ����
��� �;���$��� �� ��:��� 9�-3;4� ���� � ��1��2���� �C��$������ � 2, 5� �� 1���G�� ��
������2���� ���� � $���@$�� �� ������� �F$�� ��� ����� �� ��:��� 9�-3�4 � � ������
1F��� �� �������� ���������� ���� ��� �;���$��� �� ��:��� 9�-3�4� ���� � ��1��2����
�C��$������ � 3, 5� �� 1���G�� �� ������2���� ���� � $���@$�� �� ������� �F$�� ���
����� �� ��:��� 9�-3�4 � � �����1F��� �� �������� ���������� ���� ��� �;���$��� ��
��:��� 9�-314� L��� ��������� C�� �� �����1F���� �� �������� 6 �� �����CW����������
�� �������� ��G�� �� �������� 6 $����� ��� ������� �� :��������� ��� ���;�� ��
����������
0� ���?������ �� ����������� �*� K = KP + KI/s + KDs/N + 1� ���7 :����
������������ 3�4� KP = 2� :���� ����:��� 3*4� KI = 0� :���� ����$���$� 34� KD = 1�
� ��$���� ����$���$�� N = 100� ���� ��:����� �� 319� 8519;�6<� 2�7�� %8,,4�
� ��������� �� ����� ���� � ������� �� �������� �*� � ������� �� �������� ��1���
��@����� � � ������� �� �������� �.� �������� ��� ��������� �� ��:��� 9�)�
���������� �� ���������� �� ����������� �*� ����������� ��1��� ��@����� �
����������� �.� ��� �$������� ��:���� �� ��������� ����:��� �� ���� �� C�������
3* �4� ����:��� �� ���� �� C������� ��������� ���� ����� 3*� �4� ����:��� �� $����
�;������ �� ���� 3*�4� ����:��� �� $���� �;������ �� ���� ��������� ���� �����
%%%
−1 −0.5 0 0.5 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Nível (level)
Gra
u de
ativ
ação
da
funç
ão d
e pe
rtin
ênci
a
high okay lowhigh okay low
Função de pertinencia para entrada nivel do tanque: referencia = 1,5
)- D�%B�� �� �����E�� � ���� A���� �� ����� ref = 1, 5�
−1−0.5
00.5
1
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
−0.5
0
0.5
Nível (level)
Superficie de controle FRGS: referencia = 1,5
Razão (rate)
valv
e
)�- �����#A��� �� ��������� ��#��� ���������� ref = 1, 5�
−1 −0.5 0 0.5 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Nível (level)
Gra
u de
ativ
ação
da
funç
ão d
e pe
rtin
ênci
a
high okay lowhigh okay low
Função de pertinencia para entrada nivel do tanque: referencia = 2,5
)�- D�%B�� �� �����E�� � ���� A���� �� ����� ref = 2, 5�
−1−0.5
00.5
1
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
−0.5
0
0.5
Nível (level)
Superficie de controle FRGS: referencia = 2,5
Razão (rate)
valv
e
)�- �����#A��� �� ��������� ��#��� ���������� ref = 2, 5�
−1 −0.5 0 0.5 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Nível (level)
Gra
u de
ativ
ação
da
funç
ão d
e pe
rtin
ênci
a
high okay lowhigh okay lowhigh okay lowhigh okay low
Função de pertinencia para entrada nivel do tanque: referencia = 3,5
)�- D�%B�� �� �����E�� � ���� A���� �� ����� ref = 3, 5�
−1−0.5
00.5
1
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
−0.5
0
0.5
Nível (level)
Superficie de controle FRGS: referencia = 3,5
Razão (rate)
valv
e
)#- �����#A��� �� ��������� ��#��� ���������� ref = 3, 5�
������ $�( %�������� �� ����������� ���- �������� ���� �� ��/� ��'���� �9*�� � �'�/�����
%%'
0 20 40 60 80 1000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4Resposta para o controldor FRGS, Fuzzy clássico e PID
Nív
el d
o ta
nque
Tempo
ReferenciaPIDFuzzy classicoFRGS
Overshoot (PID),transbordamento
������ $�, ������� ���� ����������� ���-2 ����6 ��D����� %�B�
3*��4� ����� F������ ��� ���������� �����#���� �� ���������� 34�6D� @2�9�=� %88-K
5�16�8� 95�����4� %88-4� 0 �������� * � ����� � ������#�� ����� ������� C��
�� F������ *�� *� � �� *��� 0 ��������� *�� � *� � ������#�� �� ����� C��
�������� ��� �� ���:� ���F���� H����� $�#�� � �������� *�� � � ���1����� ��� �����
����������� �� ��� ��� �� ����������� ���� ������$���$�� +���� ���;����� ����� ����
1���� ���������� ��;�� � �����$��� �� ����� \(�%((]� � �� ���������� ����� ������F$���
�� ��;��� 9�&�
0;���$� C�� �� �������� ���������� 1���� �;����� ��� � ����������� �*� ����$���
����$�� �� :�@B�� �� ��:��� 9�) � ����F$�� ������B��� � ��;�������� �� ����� ��
��1��2����� �� �������� � C�� ���� ��� ������������ C��� ����������������� ��
�F$�� �� ���������� �@E��� �� ���C��� ��$��@ � �����;��������� �� �FCW���� ���
����� ����� �� ������������� ��1���� �����:���� �� �E����� �������� �������� �
�F$�� �� ������� ���C����� �� ����������� � ����������� �.� �������� ��������
�������� �������� �F$��� �� ���������� � ��� ����� $������� C�� � �����������
��1��� ��@������ �������� ���?���� ���� � ����������� �.� � ����������� ����
C���C��� �F$�� �� �FCW��� ���� ��� �C�� ������������ ���� $���� �� ��1��2����� 0�
$������ ���������� �� ���������� ���� � ����������� �.� �������� ��� ����������
MC����� �� ����������� ��1��� ��@������ �� ����� �� F�������
%%&
>�E 0� $�� ���������� � �����#� � ������������ %�B2 ����6 ��D����� ���-
��� #�EEN ��,88��� #��!
�!� 1, 1455× 103 1, 3986 × 103 1, 3616 × 103
�!� 1, 3233× 106 1, 6001 × 106 1, 5185 × 106
��� 1, 1505× 103 1, 4905 × 103 1, 3939 × 103
��� 1, 5716× 106 2, 1295 × 106 1, 9227 × 106
�.2 !�8�5�� ��BH���� �5 �� �BK�5 5 ��B����5 ��� �B,��85 ��� ����
�5D5�FB���
+���� ����� � �; ���$� 1�� $���B��� � ������������� ��� ����������� ����F��� ���
������ 3�� �#�� ���� �� �������� �� �������� � ������G�� ������������ ���������
������ ���� ���������$�� �� ���������� ���� � ����������� �*� �����������
��1��� ��@����� � ����������� �.� ����� ������F$��� �� ��;��� 9�9� �������� ���
���$���� ���� ���� �� ��� ��������� �E���F��� �� ��:��� 9�) ������������� �����
����������� ���� ������ $������#���� ����� ������F$��� �� ��:��� 9�>� ���$�� ��
�;���$���� ��� :�@B��� ��������� � �������� � $���B����� �� ������ ����������
�� ����������� �.� ��;�� � ����������� ��1��� ��@������ Z ���������� ���������
����� C�� � ������������� ���?���� �;���� ���� � ����������� �* ���������
>�E 0� $�$ ���������� � �����#� � ������������ %�B2 ����6 ��D����� ���-. ��� �9*�
�M65� �B�5�6��� ��B�������� �!� �!� ��� ������8����
�* 390, 17 29, 27 × 103 329, 47 44, 39 × 103
� 0 − 20 �.� 508, 83 47, 10 × 103 423, 19 72, 71 × 103
��##= ��@����� 508, 90 47, 15 × 103 423, 98 73, 26 × 103
�* 75, 31 3, 75 × 103 113, 11 9, 77 × 103
2 21 − 40 �.� 93, 15 5, 79 × 103 145, 65 19, 92 × 103
��##= ��@����� 97, 00 7, 68 × 103 170, 14 28, 86 × 103
�* 511, 26 54, 03 × 103 433, 87 73, 65 × 103
: 41 − 60 �.� 560, 69 64, 05 × 103 485, 36 95, 98 × 103
��##= ��@����� 570, 41 65, 42 × 103 490, 29 97, 20 × 103
�* 62, 87 2, 87 × 103 103, 44 9, 37 × 103
� 61 − 80 �.� 76, 86 4, 40 × 103 126, 36 15, 58 × 103
��##= ��@����� 93, 27 10, 01 × 103 185, 46 35, 85 × 103
�* 105, 90 9, 47 × 103 170, 61 22, 07 × 103
81 − 100 �.� 122, 05 13, 06 × 103 213, 32 37, 59 × 103
��##= ��@����� 128, 99 13, 87 × 103 220, 64 39, 38 × 103
%%9
1����� �������G��� �������������� C����� ��������� ��� �� ������ ��������������
0 5 10 15 200
0.5
1
1.5
2
2.5
3Resposta para o controldor FRGS, Fuzzy clássico e PID: intervalo entre 1 e 765
Nív
el d
o ta
nque
Tempo
ReferenciaPIDFuzzy classicoFRGS
)- ref = 2, 5� ������� 1 − 765
20 25 30 35 40
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8Resposta para o controldor FRGS, Fuzzy clássico e PID: intervalo entre 766 e 1431
Nív
el d
o ta
nque
Tempo
ReferenciaPIDFuzzy classicoFRGS
)�- ref = 1, 5� ������� 766 − 1431
40 45 50 55 601
1.5
2
2.5
3
3.5
4Resposta para o controldor FRGS, Fuzzy clássico e PID: intervalo entre 1432 e 2158
Nív
el d
o ta
nque
Tempo
ReferenciaPIDFuzzy classicoFRGS
)�- ref = 3, 5� ������� 1432− 2158
60 65 70 75 802
2.5
3
3.5Resposta para o controldor FRGS, Fuzzy clássico e PID: intervalo entre 2159 e 2823
Nív
el d
o ta
nque
Tempo
ReferenciaPIDFuzzy classicoFRGS
)�- ref = 2, 5� ������� 2159 − 2823
80 85 90 95 100
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
3.8Resposta para o controldor FRGS, Fuzzy clássico e PID: intervalo entre 2824 e 3510
Nív
el d
o ta
nque
Tempo
ReferenciaPIDFuzzy classicoFRGS
)�- ref = 3, 5� ������� 2824− 3510
������ $�8 ������� ����*���� ���� ����������� ���-2 ����6 ��D����� %�B
%%-
�.: !�8�5�� ��BH���� �5 �� �BK�5 5 ��B����5 ��� ��M��
�� ��:���� 1�� �������#��� �� ����S�;�� �� ������� �� 1���� �� ��F�� � � ��������
����� �����#��� 1�� �������� �����:���� �� ����� ���?������ �� ��������� 0 ��$�
���:���� ���� � �������� �� �F$�� �� �FCW��� �� ���C�� ��� � ����������� �*� �
����������� ��1��� ��@����� � � ����������� �.� � �������� �� ��:��� 9�,�
0 ����� �� �E������� ���S��� � �� ��F�� ;����� ��� ���2���� �� 0, 01� ����� ��
�������:�� �� 0, 7 �� ���E� ������� �� 23341 ������� ��� $������#��� �� ��:��� 9�8�
� ��������� �� ����� ���� � ������� �� �������� �*� � ������� �� �������� ��1���
��@����� � � ������� �� �������� �.� �������� ��� ��������� �� ��:��� 9�%(�
������ $�: �"��� ��� ����A�=�� 5��9��7 ���� ���������� ��� ������������ ���-2 ����6 ��D����� %�B�
%%)
0 20 40 60 80 100−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4Sinal de distúrbio inserido na malha do sistema
tempo
Am
plitu
de:
pote
ncia
do
ruíd
o (0
,01)
, tem
po d
e am
ostr
a (0
,7),
sem
ente
(23
341)
������ $�; -���� � ����A�=�� ������� �� ���#� �� �������
� ����� 1���� C�� �� �������� ���?���� ��������� � ���������� �� ����������
�� ����������� �*� ����������� ��1��� ��@����� � ����������� �.� ��� �$�������
��:���� �� ��������� * �� *� �� *� � *�� ���������� ��;�� � �����$��� �� �����
\(�%((]�� 0� ���������� ����� ������F$��� �� ��;��� 9�-�
+�$������� ��;��� �� �������� ���������� ������ ���� �;����� ��� � �����������
�*� � �������� ���?���� ���� � �F$�� �� ���C�� ��������� :������ �������G�� �
��;��������� �� C���C��� $���� �� ��1��2���� �������� � �����;��������� �� �FCW����
���� ������������� � ����� ���� :��$� C����� � $���� �� ��1��2���� � ����#���� ���
����� ����� ����$�� �� :�@B�� �� ��:��� 9�%(� � ����F$�� ������B��� C�� � �����������
0 20 40 60 80 1000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Tempo
Nív
el d
o ta
nque
Resposta para controlador FRGS, Fuzzy clásico e PID
ReferenciaPIDFuzzy clássicoFRGS
������ $��+ ������� ���� ����������� ���-2 ����6 ��D����� %�B�
%%>
>�E 0� $�( ���������� � �����#� � ������������ %�B2 ����6 ��D����� ���- ��� ��9��
��� #�EEN ��,88��� #��!
�!� 1, 4344× 103 1, 5822 × 103 1, 5490 × 103
�!� 1, 0633× 106 2, 0733 × 106 1, 9824 × 106
��� 1, 5057× 103 1, 6445 × 103 1, 5877 × 103
��� 1, 5738× 106 2, 6952 × 106 2, 5667 × 106
�.� �������� �������� � ������� � ����������� ��1��� ��@����� �� �������� C��
�� �� ���������� �� �F$��� �� �FCW��� �� ������� ���� ���$�� ��� �������� �F$���
�� ����������� ��� ����� $������� �� ������ �� ������� ����������� ���� C���C���
�F$�� �� �FCW��� ���� ��� �C�� ������������ ���� $���� �� ��1��2����� ��������������
����� �� F������ ���� � ����������� �.� �������� ��������� �������� ��� ��
����������� ��1��� ��@������
�.� !�8�5�� ��BH���� �5 �� �BK�5 5 ��B����53 ��65�8�8 �58��8��8
��BH����8
B� �� $������ ����� ���� � ����������� ��������� ��$����� ��� ����� �� ��1��2��
���� 1���� 1��������� ���� � ��@���� �� ������������� ���?���� � �� �������� ��
�������� ����������� � ��������� ���?����� ����������� ����� �� ��:��� 9�%%� 0 $��
��� ����� ��� ����������� � ���� �� ��;��� 9�)� 0� F������ �� ���������� ����
����� �� ��� ����� �� �������� ����� ������F$��� ��� ��;���� 9�> � 9�%'� .���������
��������� �����;���� �� ��@����� ����������� 0 ����������� �.� ��������� ������
���������� C�� � ����������� ��1��� ��@������
>�E 0� $�, ���������� � �����#� � ������������ %�B2 ����6 ��D����� ���-. *���� �4���
��� #�EEN ��,88��� #��!
�!� 1, 3503× 103 1, 6160 × 103 1, 5999 × 103
�!� 2, 0955× 106 2, 4594 × 106 2, 4218 × 106
��� 1, 1535× 103 1, 4487 × 103 1, 4125 × 103
��� 1, 6603× 106 2, 2832 × 106 2, 2117 × 106
%%,
0 20 40 60 80 1000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4Resposta para o controldor FRGS, Fuzzy clássico e PID
Nív
el d
o ta
nque
Tempo
ReferenciaPIDFuzzy classicoFRGS
Overshoot (PID),transbordamento
)- ref = (2; 0, 3; 0, 8; 2, 5; 3)
0 20 40 60 80 1000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5Resposta para o controldor FRGS, Fuzzy clássico e PID
Nív
el d
o ta
nque
Tempo
ReferenciaPIDFuzzy classicoFRGS
Overshoot (PID),transbordamento
)�- ref = (2; 3; 1; 0, 1; 2, 7)
0 20 40 60 80 1000
0.5
1
1.5
2
2.5
3Resposta para o controldor FRGS, Fuzzy clássico e PID
Nív
el d
o ta
nque
Tempo
ReferenciaPIDFuzzy classicoFRGS
Overshoot (PID),transbordamento
)�- ref = (2; 1; 2, 5; 0, 5; 1, 5)
0 20 40 60 80 1000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4Resposta para o controldor FRGS, Fuzzy clássico e PID
Nív
el d
o ta
nque
Tempo
ReferenciaPIDFuzzy classicoFRGS
Overshoot (PID),transbordamento
)�- ref = 1, 5; 2; 2, 5; 3; 3, 5
0 20 40 60 80 1000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5Resposta para o controldor FRGS, Fuzzy clássico e PID
Nív
el d
o ta
nque
Tempo
ReferenciaPIDFuzzy classicoFRGS
Overshoot (PID),transbordamento
)�- ref = (3; 2; 1; 0; 3)
0 20 40 60 80 1000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5Resposta para o controldor FRGS, Fuzzy clássico e PID
Nív
el d
o ta
nque
Tempo
ReferenciaPIDFuzzy classicoFRGS
Overshoot (PID),transbordamento
)#- ref = (3; 1; 3; 1; 3)
������ $��� ������� ����*���� ���� ����������� ���-2 ����6 ��D����� %�B ���� ��'���� ���&����� � ������ � �'�/�����
%%8
>�E 0� $�8 ���������� � �����#� � ������������ %�B2 ����6 ��D����� ���-.ref = (2; 0, 5; 0, 7; 2, 7; 3) 5������. $���5�77
��� #�EEN ��,88��� #��!
�!� 0, 7732× 103 0, 9744 × 103 0, 9760 × 103
�!� 0, 8585× 106 1, 0938 × 106 1, 0805 × 106
��� 0, 8047× 103 1, 0952 × 103 1, 0960 × 103
��� 0, 9801× 106 1, 4618 × 106 1, 4467 × 106
>�E 0� $�: ���������� � �����#� � ������������ %�B2 ����6 ��D����� ���-.ref = (2; 3; 1; 0, 1; 2, 7) 5������. $���5=77
��� #�EEN ��,88��� #��!
�!� 1, 4914× 103 1, 7505 × 103 1, 7526 × 103
�!� 2, 9234× 106 3, 3495 × 106 3, 3456 × 106
��� 1, 1891× 103 1, 4464 × 103 1, 4332 × 103
��� 1, 1082× 106 2, 5178 × 106 2, 5000 × 106
>�E 0� $�; ���������� � �����#� � ������������ %�B2 ����6 ��D����� ���-.ref = (2; 1; 2, 5; 0, 5; 1, 5) 5������. $���5�77
��� #�EEN ��,88��� #��!
�!� 1, 1014× 103 1, 3612 × 103 1, 3486 × 103
�!� 1, 9401× 106 2, 3567 × 106 2, 3183 × 106
��� 1, 1488× 103 1, 4139 × 103 1, 3881 × 103
��� 2, 0233× 106 2, 4480 × 106 2, 4157 × 106
>�E 0� $��+ ���������� � �����#� � ������������ %�B2 ����6 ��D����� ���-.ref = 1, 5; 2; 2, 5; 3; 3, 5 5������. $���5�77
��� #�EEN ��,88��� #��!
�!� 0, 1065× 103 0, 1985 × 103 0, 1897 × 103
�!� 0, 0934× 106 0, 1937 × 106 0, 1810 × 106
��� 0, 2540× 103 0, 5011 × 103 0, 4860 × 103
��� 0, 2868× 106 0, 6626 × 106 0, 6321 × 106
>�E 0� $��� ���������� � �����#� � ������������ %�B2 ����6 ��D����� ���-.ref = (3; 2; 1; 0; 3) 5������. $���577
��� #�EEN ��,88��� #��!
�!� 2, 1458× 103 2, 5064 × 103 2, 5068 × 103
�!� 3, 7456× 106 4, 2521 × 106 4, 2604 × 106
��� 1, 5397× 103 1, 8660 × 103 1, 8250 × 103
��� 2, 5893× 106 3, 1135 × 106 3, 0551 × 106
%'(
>�E 0� $��� ���������� � �����#� � ������������ %�B2 ����6 ��D����� ���-.ref = (3; 1; 3; 1; 3) 5������. $���5'77
��� #�EEN ��,88��� #��!
�!� 2, 6880× 103 3, 1227 × 103 3, 0698 × 103
�!� 3, 7840× 106 4, 3697 × 106 4, 2486 × 106
��� 1, 9876× 103 2, 3280 × 103 2, 2651 × 103
��� 3, 0625× 106 3, 6491 × 106 3, 5096 × 106
�. !�8�5�� ��BH���� �5 �� �BK�5 5 ��B����5 ��� ��M��3 ��65�8�8
�58��8��8 ��BH����8
+�$������ �� ����S�;�� �� 1���� �� ��F�� 1�� �������#��� �� ������� � � ��������
����� �����#��� ���� �� ��� ����� �� ��1��2���� �� ����� �������� 1�� ��������� �
��������� �� ����� ���� � ������� �� �������� �*� � ������� �� �������� ��1���
��@����� � � ������� �� �������� �.� �������� ��� ��������� �� ��:��� 9�%'�
0� F������ �� ���������� ���� ����� �� ��� ����� �� �������� ����� ������F$���
��� ��;���� 9�%& � 9�%,� +����� ������G�� � ���������� ��� � ����������� �.�
1�� ����� �������� C�� � ����������� ��1��� ��@������ ���:���� �� ��:��� ����� �
������ �� �� �����:�� � F����� *� � 1�� ���������� ���������� 1�� ��1������ ����$���
�� ���������� �;����� ������� C�� �� ������� ��� ������G�� � ����������� �.�
��������� ������ ���������� C�� � ����������� ��1��� ��@������ ���B������ ��
�$�����G�� �����������
>�E 0� $��� ���������� � �����#� � ������������ %�B2 ����6 ��D����� ���-.ref = (2; 0, 5; 0, 7; 2, 7; 3) 5������. $���5�77
��� #�EEN ��,88��� #��!
�!� 0, 8202× 103 1, 1739 × 103 1, 1717 × 103
�!� 1, 1307× 106 1, 5907 × 106 1, 4993 × 106
��� 1, 0211× 103 1, 2857 × 103 1, 2729 × 103
��� 1, 6714× 106 2, 0678 × 106 1, 9687 × 106
%'%
0 20 40 60 80 1000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5Resposta para o controldor FRGS, Fuzzy clássico e PID: ref = (2; 0,3; 0,8; 2,5; 3)
Nív
el d
o ta
nque
Tempo
ReferenciaPIDFuzzy classicoFRGS
)- ref = (2; 0, 3; 0, 8; 2, 5; 3)
0 20 40 60 80 1000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5Resposta para o controldor FRGS, Fuzzy clássico e PID: ref = (2; 3; 1; 0,1; 2,7)
Nív
el d
o ta
nque
Tempo
ReferenciaPIDFuzzy classicoFRGS
)�- ref = (2; 3; 1; 0, 1; 2, 7)
0 20 40 60 80 1000
0.5
1
1.5
2
2.5
3Resposta para o controldor FRGS, Fuzzy clássico e PID: ref = (2; 1; 2,5; 0,5; 1,5)
Nív
el d
o ta
nque
Tempo
ReferenciaPIDFuzzy classicoFRGS
)�- ref = (2; 1; 2, 5; 0, 5; 1, 5)
0 20 40 60 80 1000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4Resposta para o controldor FRGS, Fuzzy clássico e PID: ref = (1,5; 2; 2,5; 3; 3,5)
Nív
el d
o ta
nque
Tempo
ReferenciaPIDFuzzy classicoFRGS
)�- ref = 1, 5; 2; 2, 5; 3; 3, 5
0 20 40 60 80 1000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5Resposta para o controldor FRGS, Fuzzy clássico e PID: ref = (3; 2; 1; 0; 3)
Nív
el d
o ta
nque
Tempo
ReferenciaPIDFuzzy classicoFRGS
)�- ref = (3; 2; 1; 0; 3)
0 20 40 60 80 1000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5Resposta para o controldor FRGS, Fuzzy clássico e PID: ref = (3; 1; 3; 1; 3)
Nív
el d
o ta
nque
Tempo
ReferenciaPIDFuzzy classicoFRGS
)#- ref = (3; 1; 3; 1; 3)
������ $��� ������� ����*���� ���� ����������� ���-2 ����6 ��D����� %�B ���� ��'���� ���&����� � ������ � �'�/�����
%''
>�E 0� $��$ ���������� � �����#� � ������������ %�B2 ����6 ��D����� ���-.ref = (2; 3; 1; 0, 1; 2, 7) 5������. $���5=77
��� #�EEN ��,88��� #��!
�!� 1, 8464× 103 2, 1586 × 103 2, 1769 × 103
�!� 4, 4741× 106 5, 1773 × 106 5, 2136 × 106
��� 1, 6643× 103 1, 7989 × 103 1, 7943 × 103
��� 3, 7305× 106 4, 0094 × 106 4, 0104 × 106
>�E 0� $��( ���������� � �����#� � ������������ %�B2 ����6 ��D����� ���-.ref = (2; 1; 2, 5; 0, 5; 1, 5) 5������. $���5�77
��� #�EEN ��,88��� #��!
�!� 1, 2590× 103 1, 3840 × 103 1, 4716 × 103
�!� 2, 4793× 106 2, 5680 × 106 2, 7660 × 106
��� 1, 3050× 103 1, 3854 × 103 1, 4051 × 103
��� 2, 5273× 106 2, 5904 × 106 2, 6399 × 106
>�E 0� $��, ���������� � �����#� � ������������ %�B2 ����6 ��D����� ���-.ref = 1, 5; 2; 2, 5; 3; 3, 5 5������. $���5�77
��� #�EEN ��,88��� #��!
�!� 0, 2006 × 103 0, 2785 × 103 0, 2358× 103
�!� 30, 4430× 106 39, 1440 × 106 28, 5850 × 106
��� 0, 6061 × 103 0, 6988 × 103 0, 6423× 103
��� 1, 1072 × 106 1, 2202 × 106 1, 0768× 106
>�E 0� $��8 ���������� � �����#� � ������������ %�B2 ����6 ��D����� ���-.ref = (3; 2; 1; 0; 3) 5������. $���577
��� #�EEN ��,88��� #��!
�!� 2, 5687× 103 3, 0797 × 103 3, 1156 × 103
�!� 6, 1607× 106 7, 1319 × 106 7, 2285 × 106
��� 2, 0081× 103 2, 3018 × 103 2, 2773 × 103
��� 4, 5514× 106 5, 1022 × 106 5, 0682 × 106
>�E 0� $��: ���������� � �����#� � ������������ %�B2 ����6 ��D����� ���-.ref = (3; 1; 3; 1; 3) 5������. $���5'77
��� #�EEN ��,88��� #��!
�!� 3, 1568× 103 3, 6714 × 103 3, 6602 × 103
�!� 5, 8959× 106 6, 5071 × 106 6, 4209 × 106
��� 2, 4945× 103 2, 7307 × 103 2, 6910 × 103
��� 4, 9664× 106 5, 3107 × 106 5, 1626 × 106
%'&
���/"'
�� >� � ��!��= '=���� � !�!��� �� � �� '�
�� �?���� �� �!� ��� =+�" ���� @"�'�#���01
�!�����'
�% ��� �� � ��� � ���" � ��&��� � ��� ����� ��� ������
�����'(��� �� ��'�����
������ ����������
.� ��B����5 #��! �������� �� !�8�5�� �5 58�5 5���6,���
0 ������� �� �������� ��1��� ��� ������������� �� :����� ���������#��� ���� ��1��
�2���� 3�� �; ���$�� �� ����� �E�:���4 6 �������� �.� 6 �������� ����� ���;����� �
�������� � ��� ������� �� ����� �����$@��� �����#��� ���� ������ ������G�� ��;��
������ ��������� ���� � C����B����� �� �������� � ���������$�� ���������� 0 ���������
�� �����#�� ���� �;����:�� � ���� ����� ��:������ �; ���$��7
�4 ���������� � ���������� �� ������� �.� �� ����� ��� ���;����� ��
����� �����
;4 ���������� ���;����� ��F����� �� �����$��$������ �� �������� �� ���������
��������� �
�4 �;��� �� ������� C�� ������� �E������ ������ ��� ;��E� ������ ����� ����
������ C��������� �B��2���� � ��:�������
���B:������ �����#��� ���� ����������� ���� ������� �����:� � ��������� ��
�������� ��1��� �����$������ ;������ �� �������� �� ������F��� ����E����� � �� ��:��
������������� �� ��1��2���� 3��2����� 4� L��� ��������� C�� � ��������� �� ��������
��F����� � ���� � ��������� ��C����� ��� ������� ��1��������� ����� �� ���������$�
�� ��:������ C����� �� ����� �� $���� �� ������ ����� ���� ��C�������� 1�� ���������
��$��� �� ���@��� �E����������� ��$������� �� ������������ C�� �� ���@ ������� ���
�� ������� ����� � �� ���������� �;����� 1���� �����#���� �� ��� 1��� �� $��������
�� ������� ��������� 0 ��������� �����:��� ���� ���������� � ���� ���� ���������
� ������� �� ����� � ��X�������� ���� ��1��2���� C�� �� ���� � ��:��� �� ����� �����
%'-
�� C�� ��$� ��X���� � ������������� ������ � �� ���1��2����� �� �������@$�� ����
�������� ���������� ���� 1����� �� �; ���$� ��������� ���� ��� ������������ ���
����������7
• ������ ������:��� � ��������� �� ����� ������ C�� ���������� �� ����
1��2����� � ��;�������� �������� ���� �������� �� ������ ������������� ��
�������� �� ����� �� C����B����� ���������
.2 @����O����� �5 !�8�5��8 �8������8
0 �������� �� C����B����� �� ��������� ������ ��1������� ������ ��;������� C�� ������
��#�� �� ���$������ � ������G�� ������������ ��������� ��� ������ �� ��� � ����
����������� /� �������� � �������� �� $@���� ��;�������� C�� ������:�� ����� ��
���� 1����� �� ������� ������ B� �� �������� ��� �������� �� �������� ����
������ � ������� � ���� ��;��������� �� ����������� ��$�� ��� �������� � �����������
�� ������� C�� ������ � ���� ���E��� ����F$�� �� ��1������� ������G�� ��;�������
��C����� ������F$��� �� ����� C�� � �������� �����@ �E����� ������� ��� ����������
� ��� $��� ����������� 3�56��6� %88)K �2�8�6�� %8894�
��2� ��� �� ���������� ������ ���� C����B����� ��;������ ��������7 ����� �� $�;������
����� �� �����1��2���� � �������;������� ��������:������ �� ��� B�� ����� �����$@����
+���� ���;���� � ��������� � ����������� � ���� S������
/�� $�# �� ������� ��������� ��� �E������� ��� ��� ���������� M ��# ������ ��������
�� �;���� �������� ���������� ������G�� �� ���;�� �� ������� � ��# ��1��$�������
��X����� ���� ����� C�� �����1���� �� ��� ����������� 3��:��� -�%4� 0 ��;�����
������ (�� !������� �� ���4��� � ������ � ���������
%')
������ (�� ������� � ��� ����*D��� �� 0�=����1��� � ��������� >��� 50�>7 �� �F% �
�� $@��� �������� �� ������ ������� ���� ������� � 1��E� �� ����������� � C�� �
�������� ���@ �� ����� �������� �� ������� �� ����������� ������$� �� ��:���$��
����������� ����� ^,(�� � �%&(�� 3�56��6� %88)4� +� <�;�������� �� *���:����� �
������ 3<*�4 �� *�������� +������� �� ���C����� ��������� 3*+��4 ����� ����������
���������� ��2� �?����� �� ����� �����$@��� 3��:��� -�'4�
.: #�B���B��5B�� �� "B����5 (�H����) �5 58�5 5���6,���
0 ������� �� ����� �����$@��� �������� �� ��� �?���� �������� �� ��2� ������
���������� 7 �� ��� ���� �� ��;�� 3������5������4 �����#��� ���� ���������� ��
�;���$�� ����� ��� ��������� �� ����� ���������� ��� �������� ������� � �� �������
�� �������� �� �����:2��� :������ /� ���:���� ��C���@���� �� �?���� �� �����
�����$@��� ���� �� ��C���� ����� 3��:��� -�&4 � �������� �� ��:��� -�9�
������ (�� G���� ���� �� ������ � ��� ����*D����
%'>
������ (�$ B������� �� ������ � ��� ����*D����
���� ������ �� ������G�� ��;������� ���������� �������� � ������ � $@��� ����$�� ��
���� �������� �� ;��;�� ���������� � ������� ���� ����� � �F$�� ���� ��� �� $@���� �
����������� � ����B���� �� �� ��;����� �� ��������� ��������� 392�9 357��8
���1�8� 2�7�� %8,>4� 0 �������� ������� �� ;��;������� � �������� ��� ���
S���� ;��;� ���?����� �� ����� ���@:�� � �@� ����������� C�� �����# ;��E� �������
�� �������� �� �?����� /�� $�# ��������� � ;��E� �������� � ���� $@��� � �;���� ��
�����:�� ��� ;��;� �� $@��� ����:2���� ��� ������������ �� ����� �� ����� 1��
������ 0 ������� :��;�� �����# ��� ������� �� ����E���������� 1×10−7 ���� ����
������� � $@��� �������� �� ������� A����� � ���� $@��� � �;����� � �����������
������� ��� ��;�� � ����B���� ���� ������� �� ������ �������� �������� ���� �����
�2���� � ���2���� �� ��# ������ ���� $�����G�� �� ����������� ��:��� ��� ��CW2����
C�� ���������� �� ������G�� ��������� ������� ��� ��;���� �������� ������� ��
��� ���� �� ��;�� � �;���� ��� ���� �� �� ������� �� ������������ �� �����:2���
:����� 3�+'4� ���� �������� � :@� ������ �� �������� �� ������� � �����:���� ���
� ������� �� ������ ����E���������� ��������� �� ������������ �� �����1��2���� ��
����� �� 1��E� �� �������� �� :@�� �� ������� �� ��������� ��������� � �����#����
/�� $@�$��� �� ���� ���?���� 1������� ���� �� ��������� ��E����� ���� � �����
������ �� ������� ���� ���� B� �� ���1���� � �?����� �����:2��� �FCW��� 3<+'4 �
���$���#��� � �����1������ �� :@� �� �������� �� ��� ���� �� ��;��� A����� �� C���
�C���2���� ������2����� ��������� �������� �� �������� �� ��� ���� �� ��;�� 1�������
����� �� :@� C��� ��� ��������� �C����� � ���������
%',
������ (�( B�'���� ������� �������� ������ � ���� � "����3����� �� ��� ����*D����
.� �58������ �� ���4�5��
������ �� ������ �����$@����� ��������� � ���������$�� ��������� ������2������ 3���
:��� -�-4 �����#�� ��1������� �������������� �������� ���� ��X�2���� �� ��$�����
1������� ���� ���� ���B������ �� �;������ �� ��������� ���������� �������� ����� �
@��� �� �����1F���� ���� ���� �������� ��; ����� ��������� ��1������� ��������F������
��������� ���� ���� ����� � ��� �E������� �� ��$� ������ �����@���� ������� ���
�;���� ���� ������$�� � ������������� ���?���� �� �������� � � �?���� �� �����
������
B� �� �������� ���� ��������F����� ���?���� � $���B��� � ������������� ������� ��
�?���� �� ��1������� ������G�� �� ��������� 1���� �����#���� ��$����� �E����������
��������������� ���� ������G�� �� 1������������ ;������� �� ���:� ������� ��� ���
�� �������� �� �?����� �������� ����������� M �?���� �������� ��� ���:� 3��:���
�������4� ��C����� � ��:����� M �?���� �������� ��� ���:� �����$� 3��� �������
�� �����4� ���� �����#���� �� �E���������� 1�� �����#��� � �?���� �� ����� ��� �����
������ �� '-( dm3� �?���� � � �������� �����#���� �� �E������ �� �E���������
����� ��� $������#���� ��� ��:���� -�& � -�)�
�� ����� �+��� �� �������� ������� �� �����
���B:������ �� ����� ����;����� ������G�� �����FB��� �� �������� �� �?����� ��
%'8
������ ���� �� ������� ����� �����#���� � � ����� ������� �� ��1��2�����
� $�����G�� �� ����������� �� �������� �� �?���� ������� � �E������ �� �����
����� ��������� � ��;�� �� ���B:����G�� ��� ������G�� �� �������� � ��:��� �F$���
�� ��1��2���� �������� �� ��:���� ������� �� ����� ������� ���@ ������������ ��
������������� �� �?���� �� 1���� C�� � ����������� ��$� ���������� ���������
��� '( ������� ���� ����:�� � �F$�� ���� ���� ���� ���� �E���������� � ��������
��� ������ ��$� � ����� � $���� ���� ��� ���� � ����������� [��:� �� ����������� �
��� �����1���� ���� �� �������� �� �E���������� 0 � ���� �� $���� ���� ��� ���� �
����������� [��:� �� ������� ��:�� � ��;��� �� ������� ����� ����������� � �������
������ � B� �� ������ � ��������� ��������� �� �������� �� �?�����
0� $������ ������� �E��������������� ���� �� ���� ������G�� �� �������� ��1�����
�� M� ��:������ ��������F������7
�4 L���� �� ��F�� �� ����������� �� ����������� 0��:� ���� � ������� ��
�C��������� 3������2����� ���������4K
;4 L���� �� ��F�� �� ����������� �� ����������� 0��:� ���� � ������� ��
���1�������� 3$@�$��� �� ������� �� �����:2��� �FCW���4K
�4 L���� �� ��F�� �� ����������� �� ������� 0��:� ���� � $@�$��� L�LK
�4 L���� �� ������� �� �������� �� ��;������ �� �����:�� �� ������� �� :@�
3������5������4K
�4 L���� �� ����������� �� �������� �� ��;������ �� �����:�� �� ������� ��
:@� 3������5������4K
14 L���� �� ��F�� �������� ���� ������� �� ������������� � �������� �� �����
��� � $@��� �� �?���� 3 ������ Q��T���R4�
������ (�, B���"� �� ��4��� ����������
%&(
����� � ,� ����� �� ������ - ���� .��� ��/
+� �������� �� ���������� 8 �������� �� ����������� 3��������4 ���� ���������� ���
1�����G�� ��;�� � ������������� ������� �� �?����� ���������� ��� �������� ��
�������� �� �?���� � ���� ���� ��:��� -�>3�4 � �������� ���� �� ��:��7
�4 ��� �������� ������� �� ����� 1������ 3�����4K
;4 ��� �������� ������� �� ����� ��������� 31����4K
�4 A����� �������� ������� �� ������ 3������4K �
�4 /� ������ �����@ �� :���� �� ������� ��������
)- =���%"� ��� ��� �����
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000−40
−20
0
20
40
60
80
100reference/set−point (−−)(az) x resposta na superficie câmara (−)(mg)
amostras (30s) [s]
Tem
pera
tura
[oC
]
)�- 6������ ��� �� ��� ������� � �������� � �& ��
������ (�8 >�� �� ������ ������� � ���� ������� 5�� �����7
�������� ���?���� �� �E��������� ���� � �?���� 1���������� � $�#�� 3��� ���:�4
� �������� �� ��:��� -�>3;4� /� ���F��� �� '( ������� 1�� �����:��� ���� � �����
�� ����������� ��� �������:�� � ���� &( ��:������ �����;���� C�� � ��������
���?���� ���� � ��������� ������$� ��������� ��1������� ��:��B����$�� �� ������� ��
��������� ��:���$� ���� � ���� �� ��:��� ��������@���� +�� ���������� ������$�� �E���
��� ����� �� ��:���� ��������@���� ��C������ ����� �� ����� �� ��1��2���� � ���
������� �����@$��� �� ������ ��� � ����� �� ����� ��������� ����������� �� ���������
��:���$�� � ���� �� ������ ��������@��� � ���$���� �;��E� �� ����� �� ��1��2����� � ���
����� �� ������ � �F$�� �� ��������� �� ��1��2���� ���� ��:���$�� L���B����� �����
C�� � ������� ��������� ��� �������� ���?���� ����� ����� ���� �� ���������� �����
��$�� C����� ���� �� ���������� ��:���$��� +������ ���;�� C�� � ������� ��������
%&%
�� ��:��� ������� ��������� ��������F������ ���?����� �� �� ������� �� ��:����
������
����� � ,� ����� � � � ����� .��� ������ �� �� /
+���� ��$� �������� �� ����� 1�� �������� �� �������� 3���:�4� ���1���� ��������
���� ��� ��:���� -�,3�4 � -�&� +���� �E���������� � �������������� ��� ��������
� � ����#�������� ��� ����� ����� ����E���������� �C��$������� M ���B:������
��������� S���� ����B����� ���@ � ��;��������� �� ������ ������#��� �� :���� ��
������ �� �?���� ��� �� ��� ���� �� �������� C�� ������� ��������� ��;�� � ���:��
���� 1����� ������ � ��:����� ��������������7
�4 ��� �������� ������� �� ����� 1������ 3�����4K
;4 ��� �������� ������� �� ����� ��������� 31����4K
�4 A����� �������� ������� �� ������ 3������4K �
�4 ���E���������� C����� �������� ������� �� ���:��
�$��� � �E���2���� �� ��:���� �������G�� ������������� �� ��������� �� ��1��2��
��� ���� � ����� ������� ���� ���� �E��������� 1���� ����;�������� �� - ������
�������� ���?���� �� �E��������� ���� � �?���� 1���������� ��� ���:� �����$�
� ����������� �� ��:��� -�,3;4� ���� ���� �� �E��������� ��������� � ��������
���?���� ���� � ��������� ������$� � ���� � ��������� ��:���$� ��� ��������� �� ��
���������� � ���� �� ��:��� ��������@���� 0� ���������� �������� ������� C�� ���
)- =���%"� ��� ��� �����
0 0.5 1 1.5 2
x 104
−40
−20
0
20
40
60
80
100reference/set−point (−−)(az) x resposta na superfície do espécime (−)(mg)
amostras (30s) [s]
Tem
pera
tura
[oC
]
)�- 6������ ��� �� ��� ������� ������#A��� �� ������ ��
������ (�: >�� �� ������ ������� ��� ����� �����*� 5�� ������ � �����7
%&'
���������� ������$�� �E����� ����� �� ��:���� ��������@���� ��C������ ����� �� ���
��� �� ��1��2���� � ��� ������� �����@$��� �� ������ ��� � ����� �� ����� ���������
����������� �� ��������� ��:���$�� � ���� �� ������ ��������@��� �� ������ ���$����
�;��E� �� ����� �� ��1��2���� 6 ���� �� ����������� �����$��� �� ����� 6 � �������
�� �������� ���� ��:���$� � �F$�� �� ��������� �� ��1��2����� �����;���� ���;��
C�� ��� � ������� �� �F$�� �� ������� �� ����� �� ��1��2���� � ����� ���� ������
��� � ����;������� �������� ������ 0���� 1���� C�� ��X������ � ������ �� ��������
���?���� � � ���������� �� $���� �� ��1��2���� �� ������������ L���B����� C�� �
������� ��������� ��� �������� ���?���� ���� ����� ��� ���������� ��:���$�� C��
��� ���������� ������$��� � ���� �������� � ���F��� �� ���������� ����� ������@���
�� ����� ����� C�� - ����� ���� ���� ����������
�� ������� ��� ��@���� ��� :�@B��� ��$��� C�� � ��� ���� �?���� � ��������
��������� ��1������� ��E�� �� �C��������� � ���1��������� 0 ������� ����B�� ���
������������� ���?���� ���� ��1������� ������G�� �� �������� ������������ �����
$@���� �F$��� �� ����������� �� ��1��2���� 3��������4 ����;�������� ���� �� �������
0� �������� �� ����� �����$@��� ��� ������������� ������������ ���C�� � �������� �
;���������� � 1���� �� �����1��2���� �� ����� ����� � ��� ���� �� ��;�� � � ���:� S���
3�2�8�6�� %889K >��� 12�;27<� '(((4� � ������� �� ����������� � C����� ���2����
3T 44� ���� � �C����� � ��:��� ������7
∂Tpl
∂t= (σεAMplCpl)
(T 4
sh − T 4pl
), 3-�%4
����� 7 ∂Tpl/∂t � � ��E� �� ��������� �� ���:� S���� Tpl � � ����������� 3�;������4
����� �� ���:� S���� Tsh � � ����������� 3�;������4 ����� �� ������ C�� ����G�
� ��� ���� �� ��;��� Mpl � � ����� �� ���:� S���� Cpl � � ���������� �� �����
�� ���:� S���� σ � � ��������� ������� �� ��1���D���#����� ε � � ���������� ��
�������5�;������ �� �� ����� ����#������� A � � @��� �� ���������
� �� �������#�� � �C����� 3-�%4 � ����F$�� ����� C�� $@���� ������G�� �� ��������
�������� ������������ � �F$��� �� ��1��2���� 3���������4 �����#���� ������� � C�����
B����� �� �������� ���������� 0 ������� ��������� ���;�� ������ �� ����� ��$���
M� ��������F������ ������� �� �������� �� ������ ����� C����� M� ���� ��������F������
1F����� 3����� �����FB��� ����� �����FB�� � �������$����� �������4�
L��� ��������� C�� C����� �� ���������� ���������$�� ��������� �� ���������������� ��
%&&
��������� 6 �� ���� �� �������� ����F$�� � ��F���� 6� ������ � ����������� ���E���
��� $������ �� ��1��2����� ;�� ���� �$���� ��;��������� ��� ������������ ���F����
1�� ���������� � ��1�������� � ��� ���$����� C�� ��C��� �������G�� �� ����� � ��:��
����� ���������� ��$����� ��� ������ ���� �E������ ������ ��� ;��E� ������ ����
C��������� �B��2���� � ��:������� � �� 1���������� ������?���� ��������� �����G��
���C����� C�� ��E����� �� ��;������� �� ���������� �� ������
C������ C�� ���:�� ��������� � ��;�� C��� �;����:�� �� �������� ������� ��� ����
���C���� ���� ��������������� ��������� � �������� ����� ������ ������ ��������F��
����� C�� ������$�� � ������������� ���?���� �� ������ ���������� � �� ��������
��; ������
. !�8�5�� �5 ��B����5 �����
0 ������� �� �������� ���:���� �������@$�� ��� ������ �� ������G�� ��������?�����
�� �?���� �� ����� �����$@��� �� ������ ��� �� ������G�� ���� ���� 1�� ��� ��
���� ���� ��������� �� $���@$��� �� ����������� �� ��� ���� �� ��;�� 3������4
3��:��� -�84� +���� ����� � �������� ������� � �;���� ��� ���� �� �� ���������
��� �����������������:��������$���$� 3�*4 �� ��F�� ���� ���� �C��������� � ���1���
������� ���� ������ ���������� �� ��E�� �� �����1��2���� �� ������ ���� �����������
�� ����������� ���;�� ��$�� ����� �� ��1��2���� 3��� �����4 ���� �� �����������
�����������������:��������$���$� 3�*4 �� �������� 0 ������� �� ������� � � ������
���� � �F$�� ���� ��� �� ����B��� � $��������� �� :@� �����:2���� ����$�� �� $@��
$���� �� ���� �� �������� 3L�L4� �� �� ���$�� � $@�$��� 3 L%4 �� 1����������� ��
�����:2��� �FCW���� <+'� ���� ����������� ��� ��:���� -�9 � -�8�
������ (�; -����� � ������� �������� ���� � ������ � ��� ����*D����
%&9
������ (��+ B������� ����� � ������� �"������� � B�����
����$��� � ����� C�� ��:�������� �� ������������� �� ����� ���� � ����� ��������
����;����� C�� �� $���@$��� ����������� �� �������� ��� �� ������������ �� �����1F���
�� �������� ��; ����� � ��� �� �����1F��� �� ��� ���� �� ��;�� 3��5D� %8,'K ��5D�
%8,)4� ���� � ���B:������ �� �������� ���:��������� ��� ����� � �����C���� ���
����� �� ��C������� �� ������ +�$�� ������������� ��$��� ������ ��� ��� ������� ����
:������� � �������� �� C����B����� ��������� ����������� � �������� ��� �?����� ��
����� �����$@��� � �����#��� ��� ���������� ������� 3��:��� -�%(4�
���� ������� ������� ������ � �������� �� ������� ���[���� � �$���� 1����� ���
����� �� ����� �� ��������� ����# �� ������ � �������� �� ������� � � ������F���
������ �����#��� ����� ����������� �� ����� ����� �� C�� �������� �� �������� ���
������������� ��$�� ��� ������������� ����������� � ��� ��� �� ����������� ��1���
���;�� ��������� ����� ��� ���������������� ��B����� ��;�� ��� $�������� �� ����
��� �� �������� ������������ ��� $������ �� ��1��2���� �� ����������� ���������
��� ������ �����#���� ������� � ������ ����� � ������� ��$� ���������� ���;��
� ��� �� ������������� ��1���� ��������$��� ���� � �������� �� ������� �� �����
�����$@��� ��:�� ��1������� �F$��� �� ��1��2���� 3��� �����4 �� ������� ����F��� �
��������� ��� ������� � ������� �� �������� � 1������ � ����� ��� ��1������� ������
�G�� �� ��������� � � ����������� ��� � ���������� ���� �;��� � �������� ���� @$��
������ �� ���� $�����G�� ��� ������G�� �� ��������� ��� ���������$� � �����#�� ���
�;����:�� �� �������� ��������$�� 0 ����������� ���� ���� ������� ��$����� ������
���������� ��$����� �����1F���� �� ��������� ���������� ��� �F$��� �� ��1��2����� 0
��� �� ����������� ��� ������������� �� :����� ���$�������� ��C��� C�� �� ���
����BC�� ��������������� ��� ��;��� �� :����� ���� $������ �� ����������� ��
%&-
������ (��� �������9������ ��������� �� ������ � ��� ����*D��� �� ����������� ���-�
����� �������� �;����:�� �.� � ��� ������� $�@$�� ���� � ��� ��� �� ���������
�����:������� �� ��� ���� �� ���� C�� �������� C�� �� �����1F���� �� �������� ��
������� � ��1������� ������G�� ������������ ��� C���� � ������� ��$� ���;������
����� �� ������ � �������� �� �������� ��1��� ��������$� ��� ������������� ��
:����� ���������#��� ���� ��1��2����� � ����F$�� ��������� �� �������� �� ����
���������� ������� �������� ���� ���������� �� ��������� ���:�� �� ���� ����� �
���� ������2���� ��� ������G�� �� �������� �� 1����� ��� ��1������� ��������� ��
����������� ���� ���� ���� C����B����� 3��:��� -�%%4�
.� ��B����5 #��! �������� @����O����� ��4�5B��� �8������
���������� � �������� �� �?���� �� ����� �����$@��� � �����#��� ��� ����������
�E���������� /�� ���������$� ���� ������� ����� ���;���� � �����:�� �������� ��
�������� ������:����� 0 ��� �� �������� ��1���� � ������F��� ����E����� �������� �
���;����� �� ������� � �������� �2� ����F�� :����� ��������� �� ��$����� @���� ��
���C����� �� ���������� �� ���C���� �������� �� ����� �������� 3���4�6��� � ���
%88)K >5�2 � ��� %88-4�
�;����:�� �������� �.� 1�� �������� �� ���@��� �E���������� �� ������� ��
����� �����$@��� �� 1���� � ������ ������������ ���� �� ������� �� �������� ��1���
�����$������ 3��:��� -�%'3�44� $����:�� �� ��������� �� ������� ��1��� �� �������
� ������� �����:��� ����� �����E�� � C�� � ������������ ����� ������ C�� C������
�����:�� ��� ������� �E����2���� � ��� ������F��� ���� ����� ��;�� � �������� �����
%&)
)- 4� � �� ��������� ��#���
)�- 5%"� �� 7������H 8�! �� ���� ��%"� ���� � �.����
������ (��� -����� � ������� B�'��� -���*��1��� ���- ��������� ������ �� !���������
�� ������ ��� �� ��� ���� �� ������ ��:������ ���� $��������� ���� ������� �����@
������F$�� ���� �$������ �����#���� ������� ������ ����� �� C����B����� �� ���������$��
����������
/�� ������������� �C��$������ MC���� �������� �� ��:��� -�%'3�4 � �������� ��
��:��� -�%'3;4 �� C��� � ����F$�� �;���$��� ��� ����� �������� ���� ������ ��
�������������7 � ����� ������� ���������� �� ������� �� �������� �* � � �����
�E����� ������ � ����������� �.� ���;������� ���� �� ������� ��1��� �� �������
� �������5��������� ��C����� � �������� ����� � ��������������� S��� ���� ����#�� �
���� �� ������ ��������@��� � ���� �������� � �������� ����������� � ��:���� �����
���@ ����������� �� ����;���������� �� ��� ��1��2���� 3��� ����4 ���C���� ����
:������� ��� ����������� �� �����1F��� �� �������� �� 1���� � ��:��� � ����� �������
���� ��� ���� � ������
��� �� ���� ����� �������� ���� ��� �� ����� C�� ��������� �� 1���G��
�� ������2����� � � ��� �� ������ C�� ����2� � ������� ��� ��:��� ���+�Y0�
%&>
1���� ���;������ ����$�� �� ��@��:�� � �����$����� ��� �� ���������� �������@$���
���� ������� ���� �E����� � �E����2���� �����#��� ��� ���� ������� � �����������
�� �?����� ������������� :���� ���� �� ��:��� �������� � �������� �� ��:�����
�C�����7
Rc(j) : � (δ1 Z Aj1(x, r)) � . . . � (δn Z Ajn(x, r)) �+�Y0 ∆uj(x), 3-�'4
����� C�� δ = [δ1, . . . , δn]T � � $���� �� ������� �� �������� p� p = 1, . . . , n� � Aji�
i = 1, . . . , m� j = 1, . . . , Nr ��� �� i������� ������ ���:WF������ �� ��:���� Nr� 0
����� ∆uj(x) ������ � j������ ��F�� �� ��:���
��� �� $���� �� ������� δj , j = 1, . . . , Nr� � $���� �� ��F�� ���������� �� ���������
��� ��1��� � ��1����� ���� ���� ��������� ��� ��F��� �� �������� �� �������� ������
∆uj(x)
∆u =
Nr∑j=1
hj(x, r) · ∆uj(x) 3-�&4
����� C�� M ������ � �S���� �� ��:��� � hj(δ) � � $���� �� ���$���� �������#���
�� ��:��� R(j)� C��� ��� �E���������� �����#����� 1�� ��B���� ���7
hj(δ) =wj(δ)∑Nr
j=1 wj(δ)3-�94
�
wj(δ) = wAj1(δ1) · wAj2
(δ2) · · ·wAjm(δm). 3-�-4
0� ������ ���:WF������ Aij ����� ��� ���������� � ��1������� ����� �� 1���G�� ��
������2����� +���� ���;���� 1���� �������� 1���G�� �����:������ � �����#�������
0 $���� �� ������� �� ��������� δn� � ;������������� n = 2� � ����� ������������ M�
$���@$��� �� ������� ���� ���� ������� ����;�������� ���� ����� � ���� �� ��������
����� e� � � ������� �� ����������� �� ���:� S���� ∆Tpl 6 C�� � ������������ ����
$������� �� ����� ∆e� 0 ����� ����������� ���� ��1������ ����� � ����������� ��
��1��2���� ���� ��� � � $���� �� ����������� ���� �� ���:� S���� �����#� ����� 1���G��
�� ������2���� 3������ ���:WF������4 ����������� C����� ��� 1���G�� �� ������2����
3������ ���:WF������4 ��������$��K � ������� �� ����������� �� ���:� S��� ������
������� ���� $������� �� ����� ∆e� ���@ ��������� ������� � 1���G�� �� ������2����
3������ ���:WF������4 ���������� 3��;��� -�%4� � 1���G�� �� ������2���� �� ���� � ��
%&,
>�E 0� (�� >���� 0���?9������. ���2 e2 G������� �� ���2 ∆e
L���@$�� �� ������� ����G�� �� ������2���� ���E��������$� \20%Ref, 100%Ref ]
�������$����������� \+7, 5o�, 20% ∗ Ref ]erro ��������� \−7, 5o�, +7, 5o�]
�������$����������� \20% ∗ Ref,−7, 5o�]�������$� \100%(Ref), 20%(Ref)]
∆e = ∆Tpl ��������� \(−2oC/min), (+2oC/min)]
)- D�%"� �� =����E�� �� � �����
)�- D�%"� �� =����E�� �� ���%"� �� �����
������ (��� ���� � � �����/���� ���������� ���� � ���&�� �� ������������
%&8
$������� �� ����������� �� ���:� S��� ����� ��� $������ ��������$������� ��� ��:��
��� -�%&3�4 � -�%&3;4� +��� C�� �� ��:��� -�%&3�4 �� 1���G�� �� ������2���� SNS�
Ze � SPS ���������� � �S���� � � ������� BE�� 31����� �� ������2���� ���������4K
�� 1���G�� �� ������2���� LNS � LPS ���������� � �S���� BE� � �� ������� BE� �
����� $���@$�� 31����� �� ������2���� ��������$�����������4K �� 1���G�� �� ������2��
��� NM1 � PM1 ���������� � �S���� $���@$�� � �� ������� BE� � ����� $���@$��
31����� �� ������2���� ��������$�����������4K � �� 1���G�� �� ������2���� NM2�
NL� PM2 � PL ���������� ����� � �S���� C����� �� �������� $���@$��� 31����� ��
������2���� ��������$�4� ����� $�����G�� ������� �� 1����� �� ��1��2����� F (Ref)�
0 �S���� � � ������� ��� 1���G�� �� ������2���� ��������$�� 1���� ����B����� ��
1����� �� ����������� ���� ���� ��� �����1���� ��� ��� ����� ��1���� BE��� �$��� �
�����;������� �� ����:���� �� �������� ���������� ��; ����� 3���������$�� ���������4�
C����� � ���� ���@ ���E��� �� ��1��2���� \20%, 0o�] � \0o�,−20%]� � ��� �� ��������
� ��������$� ���� :������� C�� � ����������� �� ���:� S��� ��� ����� �� ��;��$����
3���������4� �� C�� �� � ����B�����
0 ����������� ����� ��������� �����:� ��� �;����:�� ;������ �� ������ ��������
����$� �� �����1��� �� ������B����� 3��1�#�B�����4 ���� �������� � $���� �����������
�� ���� �� ��������� ∆u� � ����� ��������� � ��F�� �� $���� �E���� U �
0� ��������� ;@����� �� $���@$�� �� ��F�� ��� ��������� �� �C�����7
U = Uold + ∆u, 3-�)4
����� Uold � $���� �� ��1��2���� 3��� ����4 ���$�� � ������ �� �����������K
∆ u = K µ (∆ u)� � $���� ����������� �� ��F��� ������������ �� ��;��� -�'
���� ��� ���� �� �C���G�� Up 3�������� ������$�4 � Un 3�������� ��:���$�4K µ∆u� �
1����� �� ������2���� ����������� ��� � �����1��� �� ��1�#�B�����K K� ��� ���������
����������� ��� � ����:�� ������@��� ���� ����:�� � $���� �� ���������� ���� ����
� ��G�� �� �������� ������������ ��� $������ ������$�� ��� �F$��� �� ��1��2���� ���
������������ ���� ���2���� �������� ������@��� ���� ������ � ���������� �� ��������
���� �� ���:� S��� � ���� ���������� �� ����������� �� ����� ��� �������� �� ��������
�@E��� �����1��2���� �� ����� � �;���� ��� � ����������� �� ��� ���� ���� ��
������������� �* � ������ ���� 10o� ���������� M ����������� ���������� �� ���
����� �� ���� �� ������������ �� �� �� ∆u = 10o�� 0� $������ ��:���$�� ��� �F$���
%9(
>�E 0� (�� ���� � ������� =����� �� �'�/���� %�����*�HF����*�
�������� ���2���� ���� �� ��������� /� ���������� ���� ����� �����CW���� �� ��:�� �� ���:� S��� 3∆Tpl4
%((_ Up1(µ(u)) = 10 + Uold +2oC/min3)(�,(4_ Up2(µ(u)) = 8µ(u) + Uold +1, 5oC/min
�������� 39(�)(4_ Up3(µ(u)) = 6µ(u) + Uold +1oC/minC��������� 3'(�9(4_ Up4(µ(u)) = 4µ(u) + Uold +0, 5oC/min3∆u4 3%(�'(4_ Up5(µ(u)) = 2µ(u) + Uold +0, 2oC/min
3 (�%(4_ Up6(µ(u)) = µ(u) + Uold +0, 08oC/min3 (�%(4_ Un6(µ(u)) = −2µ(u) + Uold −0, 08oC/min3%(�'(4_ Un5(µ(u)) = −4µ(u) + Uold −0, 2oC/min
�������� 3'(�9(4_ Un4(µ(u)) = −8µ(u) + Uold −0, 5oC/min.��1�������� 39(�)(4_ Un3(µ(u)) = −12µ(u) + Uold −1oC/min3∆u4 3)(�,(4_ Un2(µ(u)) = −16µ(u) + Uold −1, 5oC/min
%((_ Un1(µ(u)) = −20µ(u) + Uold −2oC/min
�� ��1��2���� ��� �;����� ���� �������� �� �����:2��� :����� �� ��� ���� �� ��;��
���� �;������ � 1��������� �� $@�$����� ���;�� � ����������� ���� ���� ��������
C�� � �@E��� �����1��2���� �� ����������� � �;���� ��� � ��1�������� �� ���� ��
�������� �C��$������ ��� $������ ������$��� � �C���G�� �����#���� ���� � �@����� ��
��1�������� ��� ��G�� �� �������� ����� ������$�� C����� ��:���$�� ��� ������������
�� ��;��� -�'�
0 ��:������ �� �������� 1�� ������������ ����$�� �� ���:��:�� �� ���:�������
<�;L��T� ��� � B����#���� �� ��:������ �� ��������� 1�� ������������ ��� ���
���1��� �������@C���� ������������ ���B:������ �� ������ $������#���� �� �����
���� ����� �� ����� �� ��1��2���� ���� � ����� ������� C����� �� �������� ���� ��
�������� � ��1�����G�� S���� �� �������� �� �������@$�� ���� ������� �� ������
.P �Q�5���5B��8 5 �58������8 4����8
�E���������� 1���� �����#���� �����:������� � ;��� �� ������������ ���� ������
����� � ������� �� �������� ��� ������������� �� :����� ����E���� ���� ��1��2�����
���� � ����� �� ��1��2���� �� �E��������� �����#��� 1���� �����#���� ������ �� �������
�� ��:��� ��� $������ �� 21o� � 55o�� �������� �� ������������� ���?���� ����
� ����� �� ������� �� ���� ��:��� ��1������ �� �������� �E��������� ���� ��� $���� ��
��:��� -�%9� ����� ���������� ���������� � ����������� �� ��1��2���� ���� � $����
����� �� ����������� �.� �� ��������� ��;������ �� ���������� ����� ������� ���
��� $�#� � � ����������� �� �������� � ���������� � �������� ������� C����� ��;���
%9%
������ (��$ ������� �������� ���� � ������� ����
���� ��� $������ �� ��:��� �� ������������ Z ����F$�� ������B��� �������G�� C�����
� ����������� �� �������� ����:� �� ���������� ����������� ���� � ��C������ ��
����� ������� �����?����� ����� ±1o� � ±3o� ���������� �� ������� � ��� ��������
������� ��������� C�� � ��������� ���������� � �����@$��� ����� �� � ���������
����� ���?���� ���������� � ����� �� ��1��2����� �� �������� �� ����������� ��
���:� S��� ��1��� �������G��� ��������� C�� ��$�� � ����� ��� :����� �� �����������
����� �������� � ���������� �� ������� ������ ��� �� ��B������� �� ;��� ��
������������ ���� �;��� �� � ���� ������$� �� ��� ���� �� ��:��� � ��� 1���G�� ��
������2���� ����$�� �� ��$�� �����$����� ��� ���������� � �����#���� ���������� ��
�������� �E���������� �� ��$� �E��������� 1�� �����#����
��� � ��$� �������� �� ������������ �� ���������� �;����� ��� ��������� �� ���
������ (��( ������� �������� ���� � ����� �� ������ ����
%9'
:��� -�%-� +���� B:��� � ����F$�� �;���$�� C�� ���$� ��� ������� ��� �������G�� ��
�������� ������� �� ���:� S��� �����#���� �� ������������� ���?���� ���$� ����
���F$�� ��� � C�� �� ������ �� �� ����� ���� �� C����B����� �� ���������� � �����;����
C�� ��� �E���� ��;�������� 3���������4� ���� � ��C�������� ���� �$���� ����� �� ���
������ ��; ������ ��� ������ ��� �E����� 1����� �������G�� �� ����� �� �����������
�� ��1��2����� ����� C�� ��� ��������� �� ����E���������� ±3o� �� � ����������
� ������ ��� �� ���������� �;������ � ����������� ��� ����� �����#�� � �?���� ��
����� �����$@��� ���� �������� � ��1��2���� ��� �����#�� �� ������ �����@���� ��
������� ����������� ����$��� ���� ;��� �� ����� � ���� ;��� �� ��:��� ���:WF������
��� ���������� ����� �� ��C������� ���� �� ������� � ��� ����������� "@ ����� �
������ �� ����� �� ����� �� ������� �� �������� ���������� � � 1��� �� � ����� ��
��;��� ��� ���� ����� C�� � ���� ���� 0 ��������� B��� �� ��������� �� ������� ��
�������� �.� 1�� ������$��� 0 ������������ �������� ������� ����:�� �� $������
�� ��1��2���� ����;�������� � ������� �������� � ����:�� ��������� ����� ������2�����
�� �C���������� ����� ���� �������#�� �����:2��� �FCW��� ����� ���� ������� ��
���1���������
������� �����$��$������� ������� � ��� �� �������� �� �������� ������:������ ����
���� ��:������� :�������� �� ����� ������� ����B����� ����� �B������������ ��������
#�� �� 1���G�� �� ������2���� �� :���� ��:��� ����� ���� ������������ �� ��$�� ��
�����$����� �� ���������� 6 ��� ����1� C�� ������� ����� � ���������
%9&
���/"' �
� ��'"!A�! � !"��!A�! ���� ��*�'& ! #""� !
��� �������� �� � �� ��� �" �� � �� ����" �� � �� ����������
����������
+���� ���;���� 1�� �������� �� ������ �� �������� ���������� ����� �� ���
����� ����� �� �� �������� �� ����� ��������� ��� ������� ���##= .��
1������ ����� ��������: 3�.� 4 ������� =������ ���� �;����:�� �� �������� �
���� :���� C�� ��� ������ �� 1���� �� ������������� ���� � ���$���� �� ��������
�� ������� 3��F��4� � 1���� � �;����:�� ����������� ������� C�� �� ���?������
���������� M� 1���G�� �� ������2���� �� �� ����B����� ����:���������� �� ����
A����� ���� ���?������ 1���� ����B����� �� 1���� C�� ����� � ������� C����� �
�S���� ����BC������ ������������������ ���� �;����:�� ���� 1�������� ���� ��
1���� �� �������������� ��� ��� ���;�� ������� C�� �� ���?������ �� �� �������
��� ����������������� �� �� ������ �� ����� ���������� ����������� ������
�������� � ������� �.� ������� ���;�� C�� �� �� ��������� �� ���?������ ���
1���G�� �� ������2���� �� 1���� C�� � ��������� ������� ����B��� � ������� �� �
�S���� ������ 1���G��� ���� �;����:�� �� �������� �� �������� �.� ��� � �������
��� ����B����� ��� ������������� ;������� �� ��:�� 3 ���+�Y04 �E��������� ���
���� ��� �����:��� ����� ��� C����C��� ������ ���������� ;������� �� ��:��� ��
�����������
� ���������� ��������F������ ��� �������� �� �������� ��1���� ��� ������������� ��
:����� ���������#��� ���� ��1��2���� ���7
• �����;������� �� ���������� � �E����2���� ��� ���������� �������K
• �������� �� ������������ ��;�� � $����;������� ��� ��������� C�� ��B���
�� 1���G�� �� ������2����K
• ��������� ��� �����1F���� �� �������� ���� ��C�������� ����� ������G��
������������� �������������� ����������� ���� ��1��2����K
• �����#���� ����� �� ���$����� �� ����B����� 31�#�B�����4 C����� �� �����
��B����� 3��1�#�B�����4K
%9-
• �����;������� C�� �� ���?������ �� �� ����B����� ����:���������� ����
�� 1���� �� �������������K
• �����;������� C�� �� ���?������ �� �� ����B����� ������������������ ��
����� ���������� ����������K
• �������;������� ��� C���C��� ��� ������� ;������� �� ��:�� �E��������
�� ����������K �
• � ���� ��� ���?������ �� �������� ��������
0 ������ �.� �������� ��������� � �����;������� �� ��� ��������� ��� �E������
��� ��� ��������� M� ��:������ ������� �� ���;����7
• ���?���� �� ������ � ����B���� � ��������� ����� 1���G�� �� ������2����
�� ������ �� ��������
• ���?���� �� ������ � ����B����� ��� ��� � ��������� ����� 1���G�� ��
������2���� �� ������ �� �������K
���� �;����:�� � ��� ���������$� �� ������ �� �������� ��� ������������� ��
:����� ����������� C�� ��������� �� ������������ �� �������� ��������� ���� ��B���
�� 1��E�� �� ���������
.��������� �;����� ����$�� �� ��� ��������� � �� ������� ���� ���������� $��;��
������ � X�E�;������� �� �;����:�� �� �������� �.� � 0 �E��������� �����:��
�� ������� �� ����� �����$@���� ������������� ����������� ��� ������ �� ��������
� $������� �� ������ �� � ������������� ������� � ����B���� �� ������ ��� ��
��������� C�� ��� ��;������� ��� ������ ��;������� ��������� �� �� ����������� ��
������ ��� ��1������� ������ �� ��������� �� ����������� C�� ���������� ���������
������G�� �� ��������� ���� ���� �� ����������� ���������� ���C���� ���� ����� ���
�������� ��������� �� �������� C�� ���������� ��������F������ ������������� � C�� ���
��B��� � ������������� ���?���� �� ������� ��;�� ��� $�������� �� ������ ��
���������
���� ���;���� �����1�# � �; ���$� ������� �� ������� � ��� �� �������� ��1���� ��
�������� �� C����B����� ��������� 0 ������� �� �������� ��1��� �������� �C�� ������
���� � ��� �� ������F��� ����E����� � � ��� �� �������� �� �������� ;������ ��
��:��� ���������� ��� � ������ �� �������� ��1���� ����� ��� ��������� � ��������
%9)
������������ � ������E��� 0 ������� �����$������ �� ������� � �������� ������ ��
������������� ���������� � ���������� � ������������ C��������$� �� �������������
������ ��;�� � ������������� �� ������� � � ���� �� �������� ���� ���� 0 �������
��1��� �����$������ � �������� �.� �������� ����:�� ��� �; ���$� �� ��������� �
�?���� �� ����� �����$@��� �����#��� ���� ������ �� ������G�� ��;������� �� $[�
�� ��������� 1�#���� ��� C�� � ��������� �����:���� �������� �� �������� �$������
3�������� ������:����4 �� � $�@$��� ����� ������ � ����� ���:���� �� ���� ���� ���� ��
����������� ���� ��;������� ������������� �� ����1� �� ��������� �������� �� �����
�����$@��� � B� �� �;��� ����� ��:������� C�������� � ;��E� ������
����1� �� � ����� �� 1���G�� �� ������2���� ������������� � ;��� �� ������������
1�� �����#��� ����$�� �� �����$����� � ������� ��;��� ���� �;����:�� ����� ����
��B������ ���� ����;���#�� � �������� � ��1F��� ��;�� �� ��� ������� �;��� �� ������
����� ������ �������������� ���� ���;���� ��������� � ��� �� ��� ����� ��1����
��� ��������F������ BE�� � ���?������ ����������������
��C����� �������� ��1��� ��������$�� ���� ������ ������� � ����E������ �� ���
����F��� ������ �����#������� � ������ �� ��� ����� � ��:��� ��1��� ���� ���������
�������� ������������ � ������E��� ���� ����������� 1�� �����:��� ��� 1���G�� ��
������2���� �� �������� C�� ������� ���� ��������$�� ���?������ �� ������� � �S����
�� ������ ��� �������� �� ��1��2���� �� �F$��� ���������� ��� ������ 3�� �#��4�
� ���������$� �� ���C���� ��������� ���;����� �� ���C���� 1������ ��$�� ��� ���
���������� ���� �� ����1������ � �;����:�� �������� �� ��;��������� �� ��������
������������� ����1� �� �������#�� �� 1���G�� �� ������2���� 3��� ����� ��1����4� ���
�E������ ����� ��� ������������� ���� ��� ������@���� �� ��������:��� �� ��������
� B� �� �� �������� ���������� �����#����� 0; ���$������� � ���C���� �E����������
� ������ �� �������� ��$� ��� ��$����:��� � �������� �� ��� ���� ��� �� ��1�������
�������� �� ��� ��� �� �������� ��1��� �E�������� �� �����������
Z ���������� ��������� ���;�� C�� � �;����:�� �� �������� ���� �������� �C��
� �� �������� :���� � ���� ��� ����� �� ������ �������G�� �� �������� ���������� ����
��$������� ��� � �; ���$� �� �������� ����� ������ ��C�������� ���� ���� ��:������
� ���B�;�������� ���� ������ �� ������� �� �������� ���� ��� �������� ���;�� �
������ ��������� ������������ �������������� ���� ��� �����:��� �� ������:�� ��
�������� ���?������ �� ����� �� ����1�� �� ������ �� ������� :��������� �����
�������� �� ������� � ������� ��������$��� � ��$�� �� �������� ������� � �� ����
%9>
���� �� �������� ��1��� ��� ������������� �� :����� ���������#��� ���� ��1��2�����
���� �;����:�� ���� ��� ���������#��� �� ������� ���� :������� ���;�� ���� ��
������� ��1��� ��������$� 3������������� �� :�����4 ���������#��� ���� ��1��2����
3�; ���$� �� �����E��4 ��������� ����� ������� 6 ���1���� ���C���� �����������
�����#����
$����:�� ����� �;����:�� � C�� ��C����� ��� ����� �� ����������� ���� ���
����������� ���� ����S�;�� �� ���:�� � ����� � �����#��� ���� � ���;���� �� ��:���
� ����� �� ��1��2���� 3��������4 ��������� ��� ������� ���� 1����� �� ���� ��� ��
���������� ���C���� ���� ��;�������� 3���������4 � ����� �� ���������� 3�������
���4 �� ����� ����� C�� �� ���� ��� ;�� ��������� �� ����S�;�� �� ���:�� ����
����G�� ������ C�� �E���� �� ������� �� �������� ��1��� ������������ ��� �� �������
����� ��������� �� ����� 1������� uc� � C�� � ����������� �� �$���� 3�������#��4�
ur� ���� ���� ������;����� �� $������� ��� 1���G�� �� ������2���� ���:����� ����;����
����� ���� � ����������� ���������� �����CW���������� � �������� �� �������� ��1���
�������� ����� ���;���� ���� ��� ��������� ������������ ���� �� ������� �� ����
����� ��������$� 3������������#@$��4 �� C��� � ����� �� �������� ���������� � ��������
��� �� �������� ������$� �� ����� �� �������� ������ 1������� � ����� 1������ � ��
�������� �� ����� �� �������� �� �$���� 3�������#��4 �� �� ����������� �����
��� � ������� ������������������ 0 ������� �� �������� �� �$���� 3�������#��4 �
���;�� ����������� �� ������ �� �������� �������$� ������������� � ������� ������
����� ��� ���� �� �������� ;������ �� ���:�������� ����������� � ���:������ ��
���� � ������� �� 1���� C�� � ������� ����� C�� ��� �������� �$��� �� ���� ������
���F������ �C��$�������� � ������� �� �������� �.� ���;�� ���� ��� �����#��� ����
�������� ����� $�����G�� �� �� ����B��� �� 1���G�� �� ������2���� C�� �����������
� ���$���� �� �������� ���� 1����� � ������� �� �������� �.� ���� ��� �����
���;�� ���� 3i4 ��������� � �1���� �� ������;��G�� �������� 3ii4 ��������� � �1����
��� ������;��G�� �� $���@$�� ���������� �� ���$�� � ������������� �� $���@$�� ����
������� �� �����CW���������� ���������� � ���� �� �������� ������@���� 3iii4 1�#�� �
����������� ���?���� �� ����� �� ��������� � 3iv4 ������ � $���@$�� ���������� ��
���� C�� ��� ��� �� �1���� �� ����� �� �������� C������ ��� �E������ � �������
���������� ����$�� ����� ���$���� ��� ��� �����1��2���� �E������ $����:�� ��
������ �.� ��;�� �� ��������� �� �$���� 3�������#��4 ��@������ � C�� ��$��� �
��� ���������� �� ����� ��� �������#�� � ��������G�� ��� ���� ��� �����#��� �����
C����� ��� �E���� ������ ���1���� �� ������� ����������� �� ����� ����� C��
������� ���;����� ��� ����� ��� ������������ � �@������ C�� �������� ������ ���
%9,
�������� �������1�������� �����CW���������� ���� �;����:�� ������� ��� ���������
���������$������ ��� �������� �� �������� �� �$���� ���������� �E�������� 6 ���
�� 1���� ����� �� �������G�� ������������
%98
��#��;����! *�*'� ��+#���!
<�� H�K �H*.<*� !� ��##= ������� ��� :��� ���������:����� ����=7 .�;���
���;���#����� �1 �� ��$����� ��������� *�7 �0*+� 8�" *� U0.<
�0+�.� + '(�" +�*� *+��.+�*0+< �0+��.�+��� '((%�
����55��B-8 ... L�����$��� D�7 *� � '((%� $� -� �� &(%-6&('(� 99� -(� -%
<�� H�K �.."� H�K �H*.<*� !�K D/<�!� � ��##= :��� ���������:
1�� �������� ������� �1 � ��;�� ������������ >���B�� �D �B�5���-5B� �B� #�EEN
!N8�5�8� $� ,� �� '� �� %%%6%'(� '(((� 9-� 9,� -%
�!.*+� ��K �"*+��� �� ���$�E ����������#����� �1 :������������� 7∞������������ ���� ��B8. �B ��������� ��B����� $� 9(� �� ,-&6,)9� %88-� &9� &>
./�0� �� ��K !*�+*�P� !� "� �����$� ��1����������$�� �����������I��:
�������� *�7 *+��.+�*0+< �0+��.�+�� 0+ �/PPJ J ��H � %'����
'((&� ����55��B-8 ... �� <����� H07 *���� '((&� $� %� �� 9-'69->� -&
./�0� �� ��K !*�+*�P� !� "�K +.*� � �K *<L� �� � � ��##=
��1������ :�������������: �������� �� �������:��� �:����7 �.� �:���� *�7
*+��.+�*0+< �0+��.�+�� 0+ �/PPJ J ��H � %&���� '((9�
����55��B-8 ... D�������� "��:��=7 *���� '((9� �� %)'-6%)&(� -&
./�0� �� ��K +.*� � �K H�/� �� �� +� ��##= ��1������ :���
���������:� *�7 *+��.+�*0+< �0+��.�+�� 0� �"� +0.�"
H�.*�+ �/PPJ *+�0.H�*0+ �.0�� *+� 0�*��J� %8���� '(((�
����55��B-8 ... ������� �7 *���� '(((� �� 9)%69)9� -&
�.0H� !� ��K "��</+� �� ��� ��B�����5�3 �75��NI �58�-B �B�
��B�B-� '� ��� �����:�� ���I� +�7 *������� ��� ������� %88-� %%&
�.0H� !� ��K "��</+� ��K "0� U� !� �������� �����: ��� ����������
1�� �* ����������� � � ���$�=� *�7 ��*L� J ��H *+ �0+�.0< +
*�+< �.0�� *+�� %88'� ����55��B-8 ... �����;��� ������7 *��� %88'� ��
&>%6&>-� '-
�.0H� !� ��K U*���+H.!� D� ������65 ��B����� H7 �������U����=
��;������: ���� %8,8� 3���F���� 84� &9� -,
D�<<H+� .� ��K P�"� <� � ����������I��: �� � 1�##= ��$���������
��B�-5�5B� !��5B�5� �%>�D� �� 9� �� %9%6%)9� %8>(� %)>
%-%
D�.� ��+� ��K ��. 0+� H�K *<*�L� D� ��##= :��� ���������: 1�� X�:��
�������� *�7 �0+��.�+�� 0� *+/ �.*< �<���.0+*� 0�*��J� ')����
'(((� ����55��B-8 ... +�:�=�� �����7 *���� '(((� $� %� �� '>%6'>)� 9)� -%
D<�!� H� L�:������� �� �E������ �� ��:���� ����=���� �7���8��7N �D !��5B�5�
$� 9� �� 9� �� 9'>69--� %8&>� %)-
D<+�"���� �� ��K !�HD�.� �� ��K /DJ� .� �* :��� ���������: ����:
1�##= ��:��� �!� ��B8�����B8� $� &8� �� &� �� &%>6&'-� '(((� &,� 9-� -%
D</H�<� �K U"*<��� D� H�����; ����$� ������#����� �1 1�##= ��:�� ���������
����������� 1�� ������� ��������� ����:�� *�7 *� U0.< �0+�.� ` +�*�
*+��.+�*0+< �0+��.�+��� '((%� ����55��B-8 ... L�����$��� D�7
*���� '((%� $� &� �� %>-,6%>)&� -%
D.�� H�K ./�"�.�0.� � � ����������� ��� ���:������ ������� �1 ���
1�##= ��:�� ����������� ����������� $� %-� �� --&6->>� %8>8� 9>� 9,
�H� ��K !0�. <+� *� 1�##= :��� ���������: �* ���������� ����������� 1��
�� �������������� ���������� ��T�� �=����� ��5����� ��R5� !N8�5�8 �585���7�
$� >&� �� &� �� ')>6'>9� '((-� -%
� <��� 1��C����= ������� �� �T� ���� ��T�� �=����� ����: 1�##= ��:��
����������� �B5�-N ��B65�8��B �B� ��B�-5�5B�� $� 9)� �� '� �� '&&6'9&� '((-�
-%
�0� � ��K .�� � +� U�K ��+�� �� A�������� ���;����= ����=��� ��� ����:� �1
��������������� 1�##= ������� �=������ �B�5�B����B�� >���B�� �D ��B����� $� )9�
�� )� �� %()86%(,>� %88)� 89
� ��;����= ����=��� ��� ����:� 1�� � ����� �1 ��������������� 1�##= �������
�=������ �B�5�B����B�� >���B�� �D ��B����� $� )9� �� )� �� %()86%(,>� %88)� 89
�"*� �� �K �+� �K <�� A� �� ��� :������ 1�##= ������� ������ 1�� ���������
��������� T��� ���;����= ����=���� #�EEN !5� �B� !N8�5�8� $� %((� �� %�&� ��
%>86%8-� %88,� -%
�"+�� �� �K �/� U� "� ��� ���� 1��C����= ������� ����: 1�##= :��� ���������:
�1 �* ������������ ��5����� ��R5� !N8�5�8 �585���7� $� 9'� �� '� �� %9-6%-'�
%88>� -%
%-'
�"+�� �� �K �/� U� "�K U�+� �� � <��� 1��C����= ������� ����:
:���������:������ ;���� 1�##= :��� ���������: �1 �* ������������ ��5�����
���7�B58 �B� ��R5� !N8�5�8� $� ')� �� %� �� &86-'� %88,� -%
�"*���.�*�<� � ��K D*�� D�K �<�H*+�� �� �� ��##= ���������: ������� �1 �
:�� ���;��� �������:���7 ������; ����$� ��������� ���� ��B8. �B �B��8�����
��5����B��8� $� 98� �� &� �� -&)6-9,� '(('� -%
�"*/� � "�K �0+�� � "� *������ $�������= ������� �� �� �E������� ������� T��� �
1�##= :��� ��������� �* ����������� >���B�� �D �����5� ���N�5� !��5B�5�
$� >9� �� &� �� -9%6---� %888� -%
�"0� "� �� +� D� "� ���:� �1 ���;����= ��� ���1������� ��;��� 1�##= ��:�� :���
��������� 1�� ������� ����� :���������� ���� ��B8. �B ����5�� !��5B�5�
$� 99� �� &� �� %9&%6%99%� %88>� -%
"� �� !�K <*�U� � ��K H* ".� D� � ������$� �* ���;���#�� 1�� ��T��
�=����� ����: 1�##= ��:��� ��5����� ��R5� !N8�5�8 �585���7� $� 99� �� &� ��
'%&6'''� %888� -%
"� �� !�K <*�U� � ��K U*+� � ��K H* ".� D� ���� ����I��: �1 ���������
��T�� �=���� ��:���� ����: 1�##= <H ��:������� �B�5�B����B�� >���B�� �D
��5������� ��R5� �B� �B5�-N !N8�5�8� $� '(� �� ,� �� ---6-)%� %88,� -%
*+�� J� �K J*+�� "�K "0� � "� �=����� ��I�:�� �:��� �* ��� � 1�##=
�����������7 ����=����� ���������� ��� ���;����= ����=���� �BD�������B !��5B�58�
$� %-%� �� '9-6')'� '((&� -%
0.�� .�K D* "0�� .� ���5�B ��B���� 8N8�5�8� +�T J��I7 �������U����=
��;������: ������= *���� %88-� %%&
0J<�� ��K !U�.� "�K �"UD�.� �� =����� :��� ��������� �������
�������� �75B����� �B-�B55��B- !��5B�5� $� -&� �� ')>-6')8(� %8,,� &9
.*+!0L� �K "�<<�+00.+� "�K .�*+�.+!� H� �B �B���������B ��
D�EEN ��B����� +�T J��I7 ����:���L����:� %88&� &%) �� 9>� 9,� -,� )(
.*+!0L� �K �<H� .�K .�"�/� � /� ��I�:�� �:��� 1�##=
:�������������� *�7 *+��.+�*0+< �0+��.�+�� 0+ �/PPJ J ��H �
-���� +�T 0������� <� ����55��B-8 ... +�T 0������� <7 *���� %88)� $� '� ��
%(-&6%(-8� &>� &,� -%
%-&
�/�*H0.*� �K +*!*�0./!� �� +�K �/��� H� H� X�:�� ������� ����:� �1 �
�������= $������ ����: � ���;������� ������� �=���� T��� 1�##= :�������������:�
>���B�� �D �5��8���5 �B-�B55��B-� $� '%-� �� �%� �� %6%'� '((%� -%
�/�*H0.*� �K � /+��0H0� "�K U/� P� J� �������������� ������� ����: 1�##=
��:�� ��� ��� ����������� �� X�:�� �������� >���B�� �D �����B�5 ��B���� �B�
�NB����8� $� ''� �� %� �� %>-6%>,� %888� -%
�.�*� .� �� �H �� :��� ���������: ������� �1 ��:��= ��������� ��� ������;��
���������� ��6�B�58 �B �B�5���-5B� �������B- � ���" ST� '5����5 ���58
�B ������5� !��5B�5� $� 89-� �� )(-6)%(� %88-� -%
�.+�.� �� �� !��5����5 ��B���� U7 � �����������$� ��������� ����������7 ����
U���= ` ��� <��� ��� ���E�� ��;������: <���� %88)� %>, �� %')� %'>
�*<H0.�� � �� !��5����5 �75���� ��B���� 7�B�4��J� �� �:�����
����1�����7 ��� �������� ����������� ������ %889� %')� %&&
�0H*�� �� � ��K �/U*+� .� .� H�����:��� ��������� �������� � ��:���
1�##=� !*� ��B����5 V ���������� $� 9� �� &� %889� 9>� 9,
�/+�. �+� .� U�K 0< �+� �� ��K �0U�<<� �� �� 1�##=���1������ ������
1�� 1���= ���������� ������� �1 ��$�� ����� ��������= �E��������� $�������� !���5
5�7B���-N� $� %)� �� -5)� �� ',%6'8(� %88)� %&)
"D*D*J+� "�K ��J� "* � �K .D�<*D�*!� "� 1�##=�:�������������
������ ���������� 1�� ������� ����� :���������� �BB��8 �D ����5�� �B5�-N�
$� &%� �� %-� �� %>)-6%>,%� '((9� -%
"*�" L�//H J ��H *+�� �5�����B8 �B� ���B�5B�B�5 ��B���I
�75���� 6����� 8N8�5� R��7 �75�����N ��B�����B5� ����5 D�� *��E����B
!���5 �585���7 �B8�����5� \ ���]� %8,>� %',
" *�"� �� "�K �"0/� J� �� U� �� "� 0������ :��=�1�##= :������������� ����:�
����: ��:������:� ������� >���B�� �D �B�5���-5B� �B� ��4���� !N8�5�8�
$� &'� �� &� �� &'%6&9-� '((%� -%
� 0������ ��I�:�� �:��� 1�##= :������������� ����:� ����: ��:�����H"�
������� >!�� �B�5�B����B�� >���B�� !5��58 ���5�7�B���� !N8�5�8
���7�B5 ��5�5B�8 �B� ��B�D������B-� $� 99� �� %� �� %9&6%--� '((%� -%
%-9
� 0������ ��������� 1�##= �* :��� ���������: ���������� �1 �������� ������:
1���� �=����� T��� BE�� ����� ����$�� ����� �B�5�B����B�� >���B�� �D
��6�B�5� ��B�D������B- 5�7B���-N� $� %8� �� %(� �� >%96>'%� '(('� -%
"/+�� �� ��K J/� U� "� ���=��: � 1�##= :������������� �* ���������� ��
�=�;��� ��� 5Q���5 �585���7 >���B��� $� >%� �� %'� �� %(>96%(>,� '((%� -%
"/+�� "� ��K �0"+ �+� �� � ���:� ��� ����=��� �1 :������������� �����
���������� ���T��I� �B�5�B����B�� >���B�� �D ��B����� $� ))� �� )%86)-%� %88>�
&9
"J�� .� �K �<0L�.� !� ��� ����������� �1 ��������� 7∞ ���������� ��
L �0< ������1�� ���� ��B8. �B ��������� ��B����� $� &,� �� %('%6%(&8�
%88&� 9)
�+�� ��� � .�K �/<<�J� +� ���� ���������: ;���� 1�##= ���������� ����:�� *�7
*+��.+�*0+< �0*+� �0+��.�+�� 0� �"� +0.�" H�.*�+
�/PPJ *+�0.H�*0+ �.0�� *+� 0�*��J� �"� *+/ �.*< �/PPJ
�0+�.0< + *+��<<*��+� J ��H �0+��.�+��� + �"� +
�0*+� ���"+0<0�J U0.! "0� 0+ +�/.< +��U0.! + �/PPJ
<0�*�� %���� %889� ����55��B-8 ... �� ������� �a7 *���� %889� �� %(%6%(-� -%
�+*� J�K <�� .� +�K D.0U+� .� "� ����������� �1 1�##= ��:�� ��� ������
���T��I� �� ����� ����������� *�7 "*.0�� !�K /��+0� H� 3���4� �B��8�����
����������B8 �D D�EEN �5�7B���-N �B �75 R����� <�����7 U���� ������B�
��;������: ��� ���� <���� %88-� 3�$����� �� ��##= =����� � ����������� ���
�����=4� %&)
��+� ���<�K �*<U*�!� <� 0������� ���1��������:� ��������$� ���� 1�� ����������:
��=���� ������� ��������� *�7 ��� *H/<�*0+ �0+��.�+��� '(����
'(((� ����55��B-8 ... ��������� H��=����7 *� �� '(((� �� %8&6'((� %&&
��+!*+ � � ��K � *+0� !� H� � ������������ �� ��������� ����=��� �1 1�##=
������� �=������ >���B�� �D �B�5���-5B� �B� #�EEN !N8�5�8� $� >� �� %� ��
>-6%(&� %888� %,&
�0"+ �+� �� �K "/+�� "� ��K �U�".0�� �� ��K �.*�P� "� 0V��C����;����
�������#����� ��� ����:� �1 :������������� ������� T��� ����������� �� $������ �����
�������� ��B���� �B-�B55��B- �������5� $� )� �� '� �� %)>6%,(� %88,� &9� &)� &>�
&,
%--
!H�+� ��K !".�0+�!.� ��K �++�+D/H� � ������� �1
���T�=�$��=��: ������ �=������ ���� ��B8. �B ��������� ��B����� $� &9� ��
%',&6%',-� %8,8� 9&
!..J� ��K �/�*�D� U�K <� "."+� � ��� ������������ �E���� �����:
�1 �* ����������� ����: ����� �1 ��1� ��������:� ���� ��B8. �B !N8�5�8 ��B
�B� �N45�B5���8 ���� * � �N45�B5���8� $� &'� �� %� �� >>68(� '(('� -%
!*H� � J�K �0+�� �� "� ��##= :��� ���������: �1 $������= �* ���������� T���
�������:��� �������: ��:������ 1�� ������� �������� �BB��8 �D ����5�� �B5�-N�
$� '9� �� %(� �� ,%86,'>� %88>� -%
!0*L0� "� ��##= :��� ���������: �1 ���� �* ����������� 1�� ���������
�����$����;�� �=������ *�7 *+��.+�*0+< �0+��.�+�� 0+ J ��H �
H+ + �JD�.+��*� � '(('� ����55��B-8 ... 0������� �<7 *���� '(('� ��
&'(6&'-� -%
!0.D� ��K DD/ !� .�K L�.D./���+� "� D�K <� ��� ��##= :���
���������:7 ���������� ��� �;���$�� ����:� ;���� �� �=�����$ ������ ��� ���$�E
������#������ ���� ��B8. �B #�EEN !N8�5�8� $� %%� �� &� �� ',-6'8,� '((&� -%�
,8� %('� %,8
<U.�+��� � � ���=��� ��� ����:� �1 :��� ��������� ������������ �������
�=������ ����������� $� &>� �� >� �� %(9%6%(9,� '((%� &9� &>
<U.�+��� � �K ./�"� U� �� ��������������: �=����� ������ ����������� 1��
� ��������� ������ ����������� $� &%� �� %%,-6%%8%� %88-� &9� &>
<��� �� �� ��##= ��:�� �� ������� �=�����7 ��##= ��:�� ����������� ���� *� ����
��B8. !N8�5�8I ��BI �B� �N45�B5���8� $� '(� �� '� �� 9(969%,� %88(� 9>� 9,
� ��##= ��:�� �� ������� �=�����7 ��##= ��:�� ����������� ���� **� ����
��B8. !N8�5�8I ��BI �B� �N45�B5���8� $� '(� �� '� �� 9%869&-� %88(� 9>� 9,
<��� � A�K !*H� J�K �U�0+� � �� ���������� :��� ���������: ������� 1�� �
����������������: �=����7 ������� ��;��� ��� �� �$������� ��������� ��B����
�B-�B55��B- �������5� $� ,� �� '� �� %&&6%&,� '(((� &9
<�*�"� � ��K <�*�"�� U� �� �������������� ��� ��������� �=�����7
=����� ����=��� ;= $������=�;���� �������#����� 1�������� �B�5�B����B�� >���B��
��B����� $� >(� �� '� �� ',86&%>� %88,� &9� &)� 9%
%-)
� �������������� ���������� ����:�7 �� ����=��� 1����T��I �������=
������������: �����C����;���� ����� �=������� �B�5�B����B�� >���B�� ��B�����
$� >(� �� '� �� '986')8� %88,� &9
� ��$�= �1 :��� ��� ����:�� �B�5�B����B�� >���B�� �D ��B����� $� >(�
�� '� �� ',86&%>� %88,� &9
<�U* � �� <�K <*/� !� ��T��� � ������:� 1�� 1�##= ��:�� �������� �����������
$� &'� �� '� �� %)>6%,%� %88)� 9>� 9,
<*� "� a�K � 0� � !� 1�##= �<� T��� :�������������: ������� ���������� 1�� �
������� ������� � � ���� ����=� ��B���� �B-�B55��B- �������5� $� >� �� 9� ��
-'&6-'8� %888� -%
<*�� �� ��K ".�� � H� � ������$� 1�##= ��:�� ��T�� �=���� ���;���#���
��5����� ��R5� !N8�5�8 �585���7� $� &,� �� %� �� >-6,%� %88)� -%
<*+� �� <�K <*� .� H� ��$�� �������� �� :������� ��� ������� �=���� ����:�
����: :�������;���� 1�##= ��:�� ������ ���� ��B8. �B ��B���� !N8�5�8
5�7B���-N� $� %(� �� 9� �� )((6)%(� '(('� -%
<*+�� ��K ��.� �� �� ��T 1�##= :��� ���������: ��:������ 1�� �������
�������� *�7 H�.*�+ �0+�.0< �0+��.�+��� %88'� ����55��B-8 ...
������:�� ���I�7 *���� %88'� �� '',96''8(� -%
� �E���������� $���B������ �1 ������;���� 1�##= :��� ���������: ������C���
*�7 H�.*�+ �0+�.0< �0+��.�+��� %889� ����55��B-8 ... D���������
H��=����7 *���� %889� �� '9>-6'9,(� -%
� .�������� ������� �1 � T�����:�� ���1� ������� ;= � ������;���� 1�##= :���
���������: ������C��� >���B�� �D ����588 ��B����� $� >� �� 9� �� '&86'-&� %88>�
-%
HH+*� �� "� ���������� �1 1�##= ��:������ 1�� ������� �1 ������ �=�����
������ ����. ���� $� %'%� �� %'� �� %-,-6%-,,� %8>9� 9)
HH+*� �� "�K *<+� � � �E�������� �� ���:������ �=������� T��� �
1�##= ��:�� ����������� �B�5�B����B�� >���B�� �D ��B����7�B5 !����58� $� >�
�� %6%&� %8>-� 9)
%->
H.�"<�/D� ��K D<<� H�K �0.� �� ��K �/*H.� � <� �=;���
1�##=��* ������$��������� 1�� /���;� ������:���������� ��B�����75��N �B�
��6�B�5� 5�7B���-N� $� ,� �� &� �� -)>6->-� %88'� &-� -%
H�H*<<+� �� !�K U0� P+* � U� !�K D0.�. � �� �� ���E�;�� :���
���������� �!� ��B8�����B8� $� &&� �� %� �� &-69%� %889� &,� -%
H�+�<� �� H� ��##= ��:�� �=����� 1�� ��:�������:7 ��������� ����. �����
$� ,&� �� &� �� &9-6&>>� %88-� 9>� 9,
H�+�P��0 �� "� 0�K ��H�� .�K �H�0 ��<�0� � /� *����$��:
��� ���1������� �� ��� �������� �E=:�� ������ ��:������� �� ������;�� ��:�������
�B��8����� �B� �B-�B55��B- �75��8��N �585���7� $� 9&� �� %� �� 8-6%(9�
'((9� -%
H0 �� ��K �+0<0+*� �� *�1������ �1 ��������� ���� ���1������� ��� ����
B������: 1�� �T������: �����$����= �������� ����������� $� &>� �� 9� �� -'>6-&9�
'((%� &9
+ �*H�+�0� �� <�K J0+�JH� �� �B�5��-FB��� ����O���� 5� ��B����5 5
���������� �� �����7 ��� ��:��� D������ <����� '(((� '%, �� &9
+��+�L*� !J� H� ����O���� �B�5���-5B�57 � :���� �� �������:��� �=������
����� D������7 ��� ������ U����=� '(('� 9>� 9,� %>&
+�/J�+� "� ��K /��+0� H� 3���4� #�EEN 8N8�5�83 ���5��B- �B� ��B�����
D�����7 !��T�� ������� ��;�������� %88,� -%8 �� '-� 9>� 9,
00 ��.0H� H�K DD/ !� .� ��##= :��� ���������: 1�� X�:�� ������� ��T�� *�7
*+��.+�*0+< �/PPJ J ��H �0+��.�+��� %(���� '((%�
����55��B-8 ... H��;������ ��������7 *���� '((%� $� '� �� >%)6>%8� -%
��!.� � ���� ���������: $�� ������ 1��������� �����1���������� !N8�5�8
�B� ��B���� '5��5�8� $� ''� �� >868'� %889� &9� &>� 9)
�<H� .�K .*+!0L� � ��;����= �1 1�##= :��������������7 �����:����� ;����
����=���� *�7 *+��.+�*0+< �0+��.�+�� 0+ �/PPJ J ��H � )����
%88>� ����55��B-8 ... D��������� ����7 *���� %88>� $� %� �� %>>6%,&� -%
� *����$��: ��� :��;�� ���1������� �1 � 1�##= :������������� ;= �����$������
�B-�B55��B- ����������B8 �D ����O���� �B�5���-5B�5� $� %'� �� &� �� '8>6&(>�
%888� &>� &,� -%
%-,
� ���:� �1 � 1�##= :��� ��������� ����: ������: ���� ������� �����������
#�EEN !5�8 �B� !N8�5�8� $� %'%� �� %� �� %&6'&� '((%� &>� &,� -%
�<H� .�K .*+!0L� �K "�<<�+00.+� "����5� 4�85� D�EEN ��B����7
1�##= :�������������� ��� ������: ���� 1�##= �������� D������ ������=7
����:���L����: ���� %88)� %,9 �� 9>� 9,� %,9
�<H� .�K .�"�/� � /� ��##= ����������� �� :��� ���������: �����E��������
#�EEN !5�8 �B� !N8�5�8� $� ,-� �� '� �� '&&6'9)� %88>� &>� &,� -%
�<H� .�K �/�P� �� 0��� ���� �=����� ��� �����= :�������� 1�� � 1�##= :���
���������� �B-�B55��B- ����������B8 �D ����O���� �B�5���-5B�5� $� %)� �� &� ��
'%&6''-� '((&� &>� &,� -%
��.J�P� U�K �0H*�� �� �B �B���������B �� D�EEN 85�83 �B��N8�8 �B�
�58�-B� D�����7 H*� ������ %88,� 9>� 9,� %))� %,-
��.J�P� U�K ����. � �� �� "����������� 1�##= �����������7 ��##= :���
���������:� *�7 *+��.+�*0+< �0+��.�+�� 0+ J ��H H+� +
�JD�.+��*� � %88>� ����55��B-8 ... 0������� �<7 *���� %88>� $� '� ��
%%&86%%9&� -%
��.J�P� U�K ����. � �� ��K .H++� � "����������� 1�##= ������
�������� ������� 1�� ����������� *�7 �.0 ��� �0+��.�+��� %88>�
����55��B-8 ... ����� �07 *���� %88>� $� &� �� &,-69((� -%
.0L��*� .� ��I�:�� �:��� ������ �� �����E������� �� �;���$ �����7 ���
* 0 ����� *�7 *+��.+�*0+< �0+��.�+�� 0+ �/PPJ J ��H � -����
%88)� ����55��B-8 ... +�T 0������� <7 *���� %88)� $� '� �� %()(6%())� &9� &>�
9'
./�"� U� �� ���=����� 1����T��I 1�� :��� ���������:� ���� ��B8. �B
��B���� !N8�5�8 ��-�E�B5� $� %%� �� %� �� >86,9� %88%� &9� &>
./�"� U� ��K "HH� �� � .������� �� :��� ���������:� ����������� $� &)�
�� %(� �� %9(%6%9'-� '(((� &9� &>� 9'
./ �*+*� �� ��T �������� �� ���������:� �BD�������B �B� ��B����� $� %-�
�� %� �� ''6&'� %8)8� %,%
%-8
��"P�"� � H�K �" +� H�K *� +� "�K ��/*<<��� .� ���������
���;����= �����$����� �1 ������������� ��T�� �=����� ����: ������� 1�##= �������
�1 H� � ��B���� �B-�B55��B- �������5� $� >� �� 9� �� -&%6-&)� %888� -'
+.*� �K �0..�� �� <�:��� ��;������ *�7 �0+��.�+�* D. *<�*.
� .�� +�/.* � %888� �B��8 ... �� ���� ������7 *+��� %888� 9>� 9,
�"/<��� "�K ""+� "� ��##= ����� 1���;��I :��� ���������: ������� �1
���$����������� ���������� ��B���� �B-�B55��B- �������5� $� %'� �� -� ��
)&86)-(� '((9� 9'
""./P� � H�K <+�.*� �� ���:� �1 ������������ 1�� ������
����������$��=��: 1���;��I �=����� ;= ��� :������������� ������C��� *�7
H�.*�+ �0+�.0< �0+��.�+��� %88%� ����55��B-8 ... D�����7 *����
%88%� �� )9%6)9'� &9� &>� &,
"HH� �� �K �"+ � H� ���=��� �1 :��� ��������� ������� 1�� ���������
������� ���� ��B8. �B ��������� ��B����� $� &-� �� ,� �� ,8,68(>� %88(� &9�
&>� &,� -,
� ���������� ���������� �1 :��� ��������� ������� �1 ������
����������$��=��: ������� ����������� $� '>� �� &� �� --86-)9� %88%� &9
� ���� ���������:7 ��������� ��#���� ��� �����;�� ��������� ���� ��B����
!N8�5�8 ��-�E�B5� $� %'� �� &� �� %(%6%(>� %88'� &9
*<L� �� U� ��� �B�5���-5B� ��B����3 D�EEN ��-�� ����������B8� �������7 �.�
����� ���� %88-� &), �� 9>� 9,� %>>� %,-
<0�*+�� ����� ��K <*� U� �����5� B�B��B5�� ��B����� +�T �����=7
���������"��� ���� %88%� &9
0+��� �� � � ������������ �� ��� ���;���#����� ���;��� 1�� ����������#��
1������� �1 ������ �=������ ��B�5������N ���75�����8� $� 9>� �� &)86&88�
%8,-� 9&� 9)
/��+0� H� � �����������= ���$�= �1 1�##= �������� �BD�������B !��5B�58�
$� &)� �� -86,&� %8,-� 9)� -)
�!�*� ��K /��+0� H� ��##= ������B������ �1 �=����� ��� ��� ������������ ��
�������: ��� �������� ���� ��B8. �B !N8�5�8I ��B �B� �N45�B5���8�
$� %-� �� %� �� %%)6%&'� ������; %8,-� 9'� )8� %,)
%)(
�<A� ��K <�D .*� �� �����$� 1�##= :��� ���������: 1�� ���� 1��C����=
�������� ���� ��B8. �B ��R5� !N8�5�8� $� %9� �� %� �� %9-6%-(� %888� -%
�+!� !� ��;����= ��� ���;���#�;����= �1 1�##=�������������� ������� �=������
���� ��B8. �B #�EEN !N8�5�8� $� &� �� 9&,699>� %88-� 89
�+!� !�K "0.*� ��K U+�� "� 0� +�T �������� ������;���� ������������
����: ���� ����$���$� �1 ���;������ 1��������7 1�##= �=�����$ ��������� *�7
�0+��.�+�� 0+ ��* *0+ + �0+�.0<� '((%� ����55��B-8 ...
�������7 *���� '((%� �� &89'6&89>� ,9
�+!� !�K /��+0� H� ��;����= ����=��� ��� ����:� �1 1�##= �������
�=������ #�EEN !5�8 �B� !N8�5�8� $� 9-� �� '� �� %&-6%-)� %88'� 89� %8(
�+*�/�"*� ��K �+!� !�K JH�/�*� !�K U+�� "� 0� ��T �� 1��
1�##= ��1������ ������� *�7 *+��.+�*0+< �0+��.�+�� 0+ �/PPJ
J ��H � ,���� %888� ����55��B-8 ... ����� !����7 *���� %888� $� '� ��
,8,68(&� ,9
�"� H�"U0.! *+�� #�EEN ��-�� ����4�Q �85�S8 -���5� +����I� H�
%8,,� %(-� %(,� %%%
�"0H � � ��K .H �.0+��"Z<0/L.J� D� ��##= ��:�� ������� 6 �
��E����= �1 ������������ ;���B��� ����. ����� $� ,&� �� &� �� 9(>69'(� %88-� &9
/ �� ��'�!��� ��*7 / � �������= ��������� ���� ��C��������� 1�� �����
$�������� U�����:���� �� %8,'� %&-
� ��'�!��:�:7 / � �������= ����;��I� ����������� :��������� 1��
H*<� ��%-9(DK ���� ��C��������� 1�� ����� $�������� U�����:���� �� %8,)� %&-
L*J �.� H� ��B��B5�� 8N8�5�8 �B��N8�8� +�T �����=7 ���������"���
���� %88&� &9
L* *0<*� � ��##= ��:�� ;���� ��������� T��:�� �����: �1 �* ������������ ����
��B8. �B !N8�5�8I ��BI �B� �N45�B5���8 U ���� �3 !N8�5�8 �B�
&���B8� $� '8� �� )� �� -,>6-8'� %888� -%� ,&
L* *0<*� �K �*+P*� �� �* �����: T��� 1�##= ��������� T��:����:� *�7
*+��.+�*0+< �0+��.�+�� 0+ �0+�.0< ��<*��*0+ � %88,�
����55��B-8 ... �������� *���=7 *���� %88,� �� )&,6)9'� -%
%)%
U+�� "� 0�K <*� ��K +*�H++� !�K �+!� !�K �.*��*+� H� �� 1�##=
����� T��� ������ ���� �����C����� ��� �� ����������7 � ���$����� 1����T��I 1��
��������� ������� �=������ *�7 *+��.+�*0+< �0+��.�+�� 0+ �/PPJ
J ��H � 8���� '(((� ����55��B-8 ... �� ������� �a7 *���� '(((� $� '� ��
-986--9� ,9
U+�� "� 0�K �+!� !�K �.*��*+� H� � ����=����� 1����T��I �1 1�##=
�������: ��� ������� �1 ��������� �=�����7 ��;����= ��� ����:� ������� *�7
H�.*�+ �0+�.0< �0+��.�+��� %88-� ����55��B-8 ... ������� U7
*���� %88-� $� &� �� ''>'6''>)� ,9
� �������� ������;���� ������������ �1 ��������� �=����� ;= ��I�:�� �:���
1�##= ������ *�7 *+��.+�*0+< �0+��.�+�� 0+ �/PPJ J ��H �
9���� %88-� ����55��B-8 ... J�I�:�T�� �����7 *���� %88-� $� '� �� -&%6-&,� ,9
� � �������� �� 1�##= ������� �1 ��������� �=�����7 ��;����= ��� ����:�
������� ���� ��B8. �B #�EEN !N8�5�8� $� 9� �� %� �� %96'&� %88)� ,9
U+�� "� 0�K �+!� !�K �.*��*+� H� �� � �������� �� 1�##= ������� �1
��������� �=�����7 ��;����= ��� ����:� ������� ���� ��B8. �B #�EEN !N8�5�8�
$� 9� �� %� �� %96'&� %88)� 89
U+�� "� 0�K �+!� !�K *!�� �� ��##= �������: ��� ������� �1 �������
�=������ *�7 *+��.+�*0+< JH�0 */H 0+ �*.�/*� + J ��H �
%88)� %88)� ����55��B-8 ... ������� �7 *���� %88)� �� '(86'%'� %,)
U+�� ��K ./�"� U� �� ����;��I �������#����� 1������� 1�� ��������� �=������
���� ��B8. �B ��������� ��B����� ��&'� �� %(� �� 8&-689(� %8,>� &9
J��.� � .�K �*<�L� � �� �885B����8 �D D�EEN ���5��B- �B� ��B����� +�T
J��I7 ���� U���= ` ���� *��� %889� &9& �� 9>� 9,
J�+� �� ��##= ��:�� 6 � ������ ���������$�� ���� ��B8. �B WB�R�5�-5 �B�
���� �B-�B55��B-� $� %%� �� %� �� %-&6%)-� %888� %>-
J�+� ��K <+�.*� .� #�EEN ��-��3 �B�5���-5B�5I ��B����I �B� �BD�������B�
+�T �����=7 �������� "��� ���� %88,� -9, �� 9>� 9,� %>&� %>-� %,(
P�"� <� � ��##= ����� �BD�������B �B� ��B����� $� ,� �� &&,6&-&� %8)-� 9)�
%)-� %))� %>8
%)'
� ��##= ��:�������� �BD�������B �B� ��B����� $� %'� �� 896%('� %8),� 9)�
%>)
� 0������ �1 � ��T �������� �� ��� ����=��� �1 ������E �=����� ��� ��������
�������� ���� ��B8. �B !N8�5�8I ��B �B� �N45�B5���8� $� &� �� %� ��
',699� %8>&� 9)� %>8
� ��##= ��:�� ��� �����E����� ��������:� !NB�7585� $� &(� �� 9(>69',� %8>-�
9)
� �����= �1 �����E����� ��������:� *�7 "J+� � �� ��K H*�"*�� �K
H*!/<*�"� <� *� 3���4� ���7�B5 �B�5���-5B�5� ����������7 ����� "��T��� <���
%8>8� $� 8� �� %986%89� 9)
� H�I��: ��������� ����I ��I� ������� ���� !�5������ $� &(� �� ')6&'�
%8,9� %>&� %>9
� ��##= ��:��� ������5�� $� '%� �� 9� �� ,&68&� %8,,� %>-� %>>
� ��##= ��:�� b ��������: T��� T����� ���� ��B8. �B #�EEN !N8�5�8�
$� 9� �� '� %88)� %,%
� ��T��� � �����= �1 1�##= ��1�������� :���������� ��� ��� ���������= ��
����� ��������: ��� 1�##= ��:��� #�EEN !5�8 �B� !N8�5�8� $� 8(� �� %%%6%'>�
%88>� %,%
� ��� ��X������� �� ��� ����$�����= �1 1�##= ���� ��� �=������ #�EEN !5�8
�B� !N8�5�8� $� %((� �� -6>� %88,� 9)
� ��T��� � �����������;���� �����= �1 ���;�;������� ��������: T��� ���������
���;�;�������� >���B�� �D !����8����� ���BB�B- �B� �BD5�5B�5� $� %(-� ��
'&&6')9� '(('� %,%
� ��T��� � :�������#�� �����= �1 ����������= 3:��4 6 �� ��������
�BD�������B !��5B�58� $� %>'� �� %69(� '((-� %,%
P"0� ��K U�.�P� U�K �0.�P� .� ��##= :��� ���������: ����������� ;���� ��
1�##= ������� *�7 *+��.+�*0+< �0+��.�+�� 0+ �/PPJ J ��H �
-���� %88)� ����55��B-8 ... +�T 0������� <7 *���� %88)� $� &� �� %)>(6%)>)� -%
%)&
P"0� P��J�K �0H*P/!� H�K * !� � ��##= :��� ���������: �1 �*
������������ ���� ��B8. �B !N8�5�8 ��B �B� �N45�B5���8� $� '&� �� -� ��
%&8'6%&8,� %88&� -%
P*HH�.H++� "���� #�EEN 85� �75��N7 ��� ��� ������������� D�����7 !��T��
������� ��;�������� %88)� 9&- �� &�� ��� 9>� 9,
%)9
��;����� �
!�!���! ��#"! !
0 �; ���$� ����� ���E� � �� ���������� ��������� ������������ M ������ �� ��� ���
��� ��1���� � ��:��� ��1��� � ���� ���������� �������� ����$����� �����#���� ���� �
�����$��$������ ���� ���;�����
������ �� ��� ����� � ��:��� ��1��� ���@ ����������� ��� ��1������� @���� �� �������
�� �� ����� ��� ����� ��1����� ��:��� �� ������F��� ��1���� ������ �� �����;�������� ����
������� ;������ �� ��:�� ��1���� ���������� ��1���� ���:������� ��1��� ���� �����
� ��:��� ��1��� ������ �� ����� 1���������� ���� � ��� ��� �� ������������� �����
��:������ ���� ��� ������;�� ��� � ��������� �� ��1��2���� 3��:���4 ������@��� ���� �
����������� �� �������#�� ��� ��1�����G�� � �������#�� ����� ��������� ��� ��� �����
��1���� 31����� ������;����� �� �����;�������4�
������� ��1���� ����� ��� ���������� ;���������� ����$�� �� ���� ���������� 0
�������� ��# �������� �� ���������� 3���������� ��1���4 �� C�� �E���� ��� ����
�������2���� ����� �� �� ���� ���$����� �� ��������� (X1 × . . .×Xn)� �� ������� �
�� ���$���� �� ��F��� Y � ����$�� �� ��� ������� 3����1�����4 6 �� � ���������������
�� � ������������������� 0 ��:���� �������� ���@ ����������� �� ���� �� ��1�����
��� �����#��� ���� � ���������� �� �� $������ ����������� ����� ��� ���1����� ��
�����1������ ���� S����� :���� ����������� ��� $������ C�� ����� ��� ��������� ���
�������� � $�:��� 0 �������� � � ��:���� ���������� ����� ��� ��������� ���� ���
���� 6 ��������� �C�� �� ������� �������� 6 � ���� ���� �� ��.����� �������
�.� ��BG�B��8 ��D�8�8
0 �������� �� ��.���� ����� 1�� �������#��� �� �� ���;���� ������� ���� �#��;� ��
<��B ����I�� P���� �� %8)- 3?54�9� %8)-4� L��� ���������� �� �������� C�� ��
%8&> � ���;�� �#��;� �� H�E D���I ��$�� ����������� � �������� �� ��� ���� ����
����������� � ����� �� $�:� ����$�� �� ����� ��.���� ��� 3@�57<� %8&>4 C�� �:���
� ������� �� ��� ���� ��1����
����� �� ��� ���� ��1��� ������� � ��� �� ����:����� ��� ������� ������B������
�� ������G�� ���������@���� ����� � ���� � � ����� �� �����:�� ���:�����$� �� ���
����������� � ��� ������ � � �����#���� �� $������ ����E������� ����� �� ����
���� ��1��� ��� ��� ��������� �������� ��� ������2���� :������ � ��� �;������ ��
%)-
�� �������� � ��� ������� �� �����@��� �� ����� �� ��� ���� ��@����� ;������ ��
�����F��� �� �������� �E���F�� �� � �������� ��������� �� ���� � ��� �������
!���)*� 7 ��������� ������ 3�; ����4 :������������ ����������� ��� {u} �������
;�F��� �� �� ������ �� ������ ����������� ������� �� �� ����� U � C�� �����
��� ��������� �� ����F����� ������� ������ �; ����� {u}� C�� ����������� ���������
C����C���� � ���������� ���� ��.����� A� �� U �
���� ���� ��.����� A� �� �� ���$���� �� ��������� U � � ����$���� ����:���� ����
��.����� ��� ����� �� :������������
!���)*� 7 /� ��.���� �+�� �� A� �� �� ���$���� �� ��������� X = {x}� � ��B������� ��� 1����� ��������F����� 3����������4� µA(x)� C�� ������ �� $���� ���� ����
�� ��������� �� X C�� ��� ��������� �� ��� ���� A� µA(x) = 0 �� x /∈ A� � $����
����@��� ���� �C����� C�� ���������� µA(x) = 1 �� x ∈ A� �� �� �� µA(x) : X →{0, 1}� +� ������ ��@����� ��� ��� ������ �� �������� ���� ��������� �� ��� � ��
����������� ��� �����
!���)*� 7 /� ��.���� ������ A� �� �� ���$���� �� ��������� X = {x}� � ��B������� ��� 1����� �� ������2����� µA(x) : X → [0, 1] �������� ���� ��������� $����
�� ����� x �� ���F���� X� � �� �S���� 3:���4 �� �����$��� ����� �� ����� \(�%]� 3?5�
4�9� %8)-4� ���� �E����� �� 3=�46�7?� ��824�� %88,4� � ���)*� �� �������
µA(x) ���� ��� ��������� ���� ����� � ��� �� ��������� � ����� � ��������
x � � �������� �E������ ��� A7⎧⎪⎨⎪⎩
µA(x) = 1� x � ����������� ����,��� ��� AK
µA(x) = 0� x � ����������� � ����,��� ��� AK
0 < µA(x) < 1� x � �� ������ ����,��� ��� A� ��� :��� µA(x)K
!���)*� 7 /� ��.���� ������ A� ���� ��� ������������� ������ ���� �� ��� ����
�� ���� �������� �� �� �������� :�������� {x}� ��� C�� A = {(x, µA(x))∀x ∈ X}������ µA(x)) ��������� ���;�� ���� � :��� �� ������2���� �� x �� A� � µA :
������ ����!� ������ �� ��%"� �� ������ ��� ����� � �� ������ � � ���
������ �� ���� �� ������������ �� ������ �� µA(x) �"� �������� ���%"� �� ������� ���� ������� K �C �� �� �����
���� ���� ��� ������ ��� � ������ ���A��� � ������� LM�*N�� ��� �����E�� ��� � ��� � #�� ��� �� ������� ���������� "� ������
�� �� �(�%"� � ������� ��#���� )������ *+OP-� 1����� � �� � �� ��.��� #�� #��������� �.�����"�� "� ���� #��� �����%"� ���� ����� ��� ���
%))
X → M � ��� 1����� �� X ���� � ������ M ������� �� ���)� �� �������
3@���85�� ?54�9� %8>(4�
/� ��� ���� ��1��� A �� ���$���� �� �������� B���� � �������� �� X ���� ���
�E������ ���7
A = {(x1, µA(x1))}, {(x2, µA(x2))}, . . . , {(xn, µA(xn))} . 3�%4
��;��� �� � ����� ���������@��� ����7
A = {(µA(x1)/x1)}, {(µA(x2)/x2)}, . . . , {(µA(xn)/xn)} . 3�'4
�� �� ������� ���� :����� ���� ����������� � ��:����
!���)*� 7 /� ��.���� ����� ���� ��� ��������� ���� � ����� ��� $������ ���:��
����� 3���������4 C�� � ����G��� ��� ��� $�#� ����� ��� ������������� �� 1����
����F��� �� �� 1���� ��������� ���� ��:��7
8������ �� �� ���� �� ���� 8������ �� �� ���� ���,���
A =∑n
i=1 µi/y A =∫
UµA(y)/y
������ C�� � ����� �� ����:����� ���������� � ����� ��� $������ ���:������� µA(y)/y�
C����� � ���$���� �� �������� � ����F���� � � ����� �� ��������� ���������� � �����
��� $������ ���:������� µi, i = 1, . . . , n� C����� � ���$���� �� �������� � ��������� �����
� ������� � B����� {y1, y2, . . . , yn}�
���&����� �� ��!�� � ��0!� �
/� ��� ���� ��1��� ���� ������� ��1������� 1����� 6 � ������ �� ��� ����� ��1���� �
� ������*� 3����������4 ����� ������� ��1������� $������ � ����� C�� �� � ���$�E�
3��:��� �%4� /� ��� ���� ���$�E� � �C���� C�� �� $������ ��������� ���� 1����� ��
������2����� µA(x)� ��� ��������������� ���������� ����� � $���� ������� �� �������
��� � $���� ������� �� �S���� � ��������������� ������������ ����� � $���� B��� ��
�S���� ��� � $���� B��� �� ��������
!���)*� 7 /� ��� ���� ��1���� A� � ������ ��� � ������� ���
µA(λx + (1 − λ)y) ≥ min(µA(x), µA(y)), ∀x, y ∈ X ∀λ ∈ [0, 1] . 3�&4
%)>
������ ��� !���� � ���&����� ��'���� 5���*!��72 -����� FA����
����� �� ���$�E����� � ���������� ��� ��� �� ���� �� ������$�� ������ ��� ����
��������� C�� ��� ����� ��1���� �2� �� ������� � ��� ����� ��@������� ��� �E������
3i4 �� ���� ��� ����� ��1����� A � B� ��� ���$�E��� ��� ���������� � �� ��� ���� ����
$�E�� 3ii4 �� �� ��� ���� ��1���� A� � ���$�E�� ��� �S���� � �� ��� ���� ���$�E�
����
!���)*� 7 /� ��� ���� ��1���� A� � �� �9���� ����� ��� ���� �� ��� ���$�E�� 1��
���;�� �����7
maxx∈X
µA(x) = 1, ∀x ∈ X . 3�94
!���)*� 7 /� ��� ���� ��1���� A� � �������� �� maxx∈X 0 < µA(x) < 1, ∀x ∈ X�
����� �� ��� 1�� ������� �������������� �� ��� ���� ��;������ ����$�#�� ����
��� �������#��� �� ��$���� ���� µA(s) ��� supx µA(x)� /� ��� ���� ��1��� � $�#��
C����� µA(x) ≡ 0�
� ���������� ��������F������ �� ��� ����� ��1���� ��� ������������ �� ��;��� �%�
��������� �� ���� ���������� �� C�� �� ��� ���� ��1���� A� ����� ��� ������������
�����#���� � ������� < a, b, c, d >� � ������ ��� ���� �������������� � ������� �
���� ��� Su(A) = [a, d] � � �S���� � Nu(A) = [b, c]� � 1���G�� ����� a � b � d � c ���
������������ �����[����� ��������� � ������������ ��������$������� � ������ ����
�������� ���� � ��� ���� ��1��� �� � ������ ��� ������� � ������� �� �����#������
A����� [b, c] = b′� � ������������� �������� �� ����� < a, b′, d > � � ����������
��� ���� ��1��� �����:�����
%),
>�E 0� ��� >���� =D����� �� ����� � ���&����� ��'�����
!���)*� �,����� !�� �)*�
������ Su(A) ��� ���� ��� ��������� �� U C�� ��������� �� ��� ����A � �� � 1����� �� ������2���� ������$�� ����� ��� �� ������ Su(A) = {x ∈ U |µA(x) > 0}
+S���� Nu(A) ��� ���� �� ����� �� ��������� ��� :��� �� ������2��������@��� �� ��� ���� A� Nu(A) = {x ∈ U |µA(x) = 1}
����� Al(A) ����� :��� C�� �� �������� �� U �������� �� ��� ����A �������������� �� ����� $���� 3�������4 �� 1������� ������2����� Al(A) = supx∈U A(x)
0����@��� � �� ��� ���� A � �����@��� �� U � C����� � �������#����Al(A) = 1� � � ��2����� � ��� ������� � ��� �S�����
������������� | A | :��� :��;�� ��� � C��� �� ��������� �� U ����������� ��� ���� A C����� U � B����� ���� � ���$���� ���������� ��������7 | A |= ∑
x∈U µA(x) � ���� � ���$������ �������� ����F���7 | A |= ∫
UµA(x)�
������B������ � �� ��� ���� ��1��� A ∈ F (U) � ���� �����FB�� C��B ∈ F (U) �� � �S���� �� 3��� $�#��4 � ������������������� �� �S���� �� D � sup(B) ⊇ sup(A)
��:����� � �������� cEd �� U � � ��� ���� ��1��� ���� �����FB�������� �� � ������� � �� ����� ���:���� �� U ��� C��(eµx(x) ≤ 1 � µx(y) = 0 ���� ���� x �= y�
� �� ��� ���� ��1��� A ∈ F (U) � ���� ������� C��B ∈ F (U) �� ����� �S���� �� � �� � ������� �� � ������������ ������� ������ �� ������� �� D�
�������� � � ��� ���� ��1��� ���� ������� ��������� � A � � ��� ���������@��� Nu(A) �� U �
*���!��� �� � ��!�� � ��0!� �
����������� �� ��� ����� � 1���� �������������� ����� ���������� �� ����������
3∩4� ����� 3∪4� � ����������� 3¬4� ������)*� ����������� �� ��:��� �� ��������
�� ��.��)*�� � �� ��� ��� ��� �� f�f� ��*� ����������� M �������� �� ���
.��)*�� � �� ��� ��� ��� �3 :��;� 0 ���������� �C��$��� �� �������$� ��:��� ��
���)*� �� ��� ���� ����������� ������������ � ����� �� ���������
!���)*� 7 0� ���������� �� ��� ����� ��1����� ���;�� �������� �� �����
��������� 3��������4� � �� ���������� �� ��� ����� ��1����� ���;�� ��������
�� ������ ��������� 3���������� �� ��������4 ��� ��� S����� 6 ����� �����
������ ��� 1��F��� �� ����������� /� �������� �������� x�y = f(x, y)� � ��
%)8
>�E 0� ��� %�������� ��� >������ >���������
�������� %����� %� �����
��������$����� x�y = y�x x⊥y = y⊥x��������$����� (x�y)�z = x�(y�z) (x⊥y)⊥z = x⊥(y⊥z)H������������� x�w ≤ y�z� �� x ≤ y, w ≤ z x⊥w ≤ y⊥z� �� x ≤ y, w ≤ z�������� ������ x�1 = x 0�0 = 0 x⊥1 = x 1�1 = 1
�������� ���������� x⊥y = f(x, y)� ��� ����������� �� [0, 1] × [0, 1]em[0, 1]
3f : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1]4� ���� C����C��� x, y, z, w ∈ [0, 1]� ��;�� ��$�� ������
1�#�� �� �E������ ������������ ����� ���� ��;��� �' �
���� ���� ��� ����� A � B� �� ���������� �� �,��� � ������� ��(�� � ��� ��
���������$�� ���� �����:���� ���� �� ������G�� �� ������������ 3∪4� ��1��� ������
��������� ��������$������� ����� ��:������ ��������7
µA∩B(x) = min(µA(x), µB(x)) ∀ x ∈ X. 3�-4
µA∩B(x) = µA(x) + µB(x) − µA(x) · µB(x) ∀ x ∈ X. 3�)4
���� ���� ��� ����� A � B� �� ���������� �� �+��� � �)*� ��(�� ��� ��
���������$�� ���� �����:���� ���� �� ������G�� �� ������ 3∪4� ��1��� ����������������������$������� ����� ��:������ ��������7
µA∩B(x) = min(µA(x), µB(x)) ∀ x ∈ X. 3�>4
µA∩B(x) = µA(x) · µB(x) ∀ x ∈ X. 3�,4
!���)*� 7 �������� ����������� ���;�� ���� ��� ��B���� ��;�� �� ��� �����
��1����� 1����� N : [0, 1] → [0, 1] � ������� ��:���� �� � ��� 1����� ;� ����� ���
���������� ����F��� � ��� C�� N(0) = 1 � N(1) = 0� 0 ����������� � ���� ��$�����$�
�� N(N(x)) = x ���� ���� x ∈ [0, 1]�
0 �������� �� ����������� �F���� � ���� ��� n(x) = 1 − x� ����7
µA(x) = 1 − µA(x) ∀ x ∈ X. 3�84
� �������� � ���������� ���� �����#���� ��� ����� �� ��;��� �&�
%>(
>�E 0� ��� %��������� >������ >���������
<��� %����� %� �����
P���� min(a, b) max(a, b)���;�;��F����� a.b a + b − a.b<�I����T��# max(a + b − 1, 0) min(a + b, 1)
U�;��
⎧⎨⎩
0, �� b = 1b, �� a = 10, �����
⎧⎨⎩
0, �� b = 0b, �� a = 01, �����
�.2 �5�����58 �5 ����������
� �������� � ���������� ��� �����#���� �� ���������� �� ���������� �� �����������
I : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1]� �����#���� ���� ������� ��:��� �� ��1��2���� �� ���� �
<��������> ����� <���������>�
� ��������G�� ������������ ����� ����� ��� ������B����� �� ����:������ ������ ����
�� ��������G�� S 3�����:4� C�� ��� �� 1���� Is(a, b) = (N(a)⊥b) � �� ��������G��
R 3���������4� C�� ��� ���� C�� IR(a, b) = sup{c ∈ [0, 1]/(a�c) ≤ b}� ���� � � ���
�������� ⊥ � ��� ��������� � N � ��� ��:�����
�:��� ��� ���������� ���������� �� ���������� ��� ��������� �� ��;��� �9� L���
��������� C��� ��;��� �E����� �������G�� �� ��:��� ��1��� C�� �����#�� ��� �������
���� ������� � ��1��2���� �� ��:�� ���+�Y0 3���E�� ������������� H������4�
����� ��� ��� ��������G�� ������������ ������ ���� ��� ������������ M ����������
�� ��:��� ;������� C����� ����#����� �� ���� �� ������ ��� ��� ����� ��@�������
>�E 0� ��$ %��������� �������� � �����������
=������ ����
��E3%���;4 !��������������3%��^;�%4 <�I����T��#{1, �� a ≤ b0, �����
.�������������{1, �� a ≤ bb, �����
�g���{1, �� a ≤ bb/a, �����
��:���
%��^�; .������;�����E3%������3��;44 P�����U������
%>%
�.: =���,65�8 ��B-LM8����8I 5���8 ��B-LM8����8
0 ��� �� ��� ����� ��1���� 1������ ��� ������� �� ��������� ��1�����G�� $�:�� �
���������� �� ���� ���� ���� ����������� $���@$��� ���:WF������� /�� $���@$�� ���:WF��
���� ���� ��� ��������� ���� ��� $���@$�� C�� ������ �� $���� C�� � �� �S����
��1���� ����� C����� ��� $���@$�� C�� ���� ��� ����;�F�� �� ����� ���>,�� ��
!���)*� 7 /�� ��+��� ���>,�� � �C���� �� �� $������ ����F$��� ��� ��� �����
��1����� ������������ ��� ���� ��� ��B���� ���� ��� C�F������ (x, T (x), U, G, M)�
����� E � ���� �� ��� $���@$��� U � � ���$���� �� �������� �� x� T (X) � �� ��� ����
�� ��� ����� ��1���� �� x �������� �� ������ ���:WF������� G � � ��:�� ���?�����
����@���� ���� :������ ��� ����� ��� $������ �� x� � M � � ��:�� ���?����� ���� ��
�������� ��� ���� $���� ��� ��:��B�����
/�� $���@$�� ���:WF����� � ��� $���@$�� ��1��� ����� � 1��E� ��� ����F$��� $������
C�� ���� ������� ��������� �� ���$���� �� ���������
���� ��� ���� ��1��� ������;�F�� ��;�� � $���@$�� ���:WF����� ���������� �� $����
���:WF����� �� ����� ���:WF������
B� �� �������� ���� ��������� ���������� ��� �E������ � $���@$�� ���:WF����� �� �
���� � ��������� 3��:��� �'4� �� ��� ���� �� ������� T (temperatura)� ����
������� �� ������ ���:WF������ c��3 �(�3 ��d C�� ��� ���������#���� ��� ����
����� ��1���� �� ���$���� �� ��������� U � 0 :��� ��� C�� �� $���� x �� U �����1�#
� ����� ���:WF����� A � � ������2���� �� x �� A ���� ��� µA(x)�
������ ��� ���� � � �����/����2 ����� ����?9������ *���D*�� ����?9�������
%>'
�.� ����O�����58 '�B-LM8����8 (K����O�����58 ��D�8�8I 4����8)
*������������ ��������� M� $���@$��� ���:WF������ ����� ������G�� C�� ����B��� �
1���� ��� 1���G�� �� ������2���� �������#���� �� ��$� ��:��B���� �� ��� ���� ����
:���� �� �� ����� �� ��� ���� ��1��� �������� 3���� �5��562� %88,K �����321�<��
'(('4� ���� ����� ������� ����� 1���G�� �� ���� �������� ��1�������7 3i4 ����B�����
� 1���� �� ������� � 3ii4 ��$���� � �S����� ��C����� �� �������� �������� � ������
1������� ���� �� ��� ����� ���� ������������ ��� ������� ��1������� �5�� ����������
�� ������� C����� ���� ������������ �� ������� �������K �� ��:���� ����� ��$����
� �S���� �� 1����� �� ������2���� 3?54�9� %8,94�
0� ���������� C�� ����B��� � 1���� ��� ��� ����� ��1���� ��� ����������� �� ���
��B������� ���:WF������� C����B������� ��1���� �� ;������ 0� ����� �� ����B�������
���:WF������ ����� ��� �����#���� ���� 3�����321�<�� '(('47
• ����B������� �� �������� :����7 ������ �E���������� ����
• $������ $������7 �� ����� $���������� ����������� 1���� ����
• ���;�;��������7 ���$�$�������� ��� ����� ���$@$�� ����
• C�����B�������7 � �������� $@����� ������ ����
• �����;��������7 C���� ������F$��� �� ����� ����F$�� ����
����� �� ���� �����#���� �� ��@����7
• �����7 ������������� ��� �������� �� ������������ �� ��� ���� ��1����
µ����A (x) = [µA(x)]2 . 3�%(4
• �E����������7 ������������� ��� �������� �� ����� ������������ �� ����
���� ��1����
µ�����������A (x) = [µA(x)]3 . 3�%%4
• ���� �� ����� �� ��:��� �����7 ������������� ��� �������� �� ���������
�� ��� ���� ��1����
µ�� �� �����A (x) =√
µA(x) . 3�%'4
%>&
• �� 1���7 ������������� ��� �������� �� �������B����� �� ��� ���� ��1���
����$�� �� ��� ����� �������� �� ��������� � ������������ ���� $������
����� � �;��E� �� 0.5�
µ�� ���A (x) = 2[µA(x)]2, 0 ≤ µA(s) ≤ 0.5 ,
µ�� ���A (x) = 1 − 2[1 − µA(x)]2, 0.5 < µA(s) ≤ 1 .
3�%&4
�. '9-��� ��D�8� 5 ������MB�� ����Q�����
��:��� ��1��� ��������� M �����;������� �� ����� ��� ����$��� ����$�� �� $���@$���
���:WF������ 1������ ��� ���������$� ������@���� ���� ��� ;��� ������� $��;�� ��
C��������$� �� ������$�� � ������������� ���?���� �� �� ������� 3?54�9� %8,94�
��;������� �� ��������� ����� ��1�����G�� '����� C����� '������� � ����
��� ��1�����G�� C�� ��� �� ����� ����� ��������� � �������� ����� $�:�� 1�#�� ��
��� ���� ��� �;����:�� ������� ���� ����������� � ������F��� ������� �$���
� ����� ��������F������ � ��:��� ��1��� ������� C�� ���:����� �������� ��� �����
������ �� ����������� � ���:��:�� ������� � 1�#�� �����G�� ��:���� ����E������
�� ������������� ����������� ����������� � ��������� �����CW���������� ��;��������
���� �;����:�� �� ����1� �� ������� � ������F��� ����E����� ������� ����� �����
;���� 1�#�� �� ��:��� ��1��� � � ������F��� ����E����� ��1��� ��� ���������$� ����
� ������������� �� ������������ ������ ����� ���� ���� ������ ��� �������� ��
��������
�. .� �����8���� ��B�����B�� ��D�8� 5 � �5-�� �����8����B�� �5 �BD5�
�FB���
/� �������� C�� ������ �� ����� ���������� �� ��:��� ��1��� � � ������)*� ���
� ��� ���� �� 1����7
$���@$�� ����� $���@$�� �����
� : ���:WF����� � ���:WF����� �+�Y0 ���:WF����� � ���:WF�����
�� ������� �� ������� �� ��F�� �� ��F��
� � � � � : x � A �+�Y0 y � B
3�%94
�� ����� �� 1���� ����#��� A ⇒ B� �� ��� 1���� C�� � ������������ A� � � ����
��CW����� B� ��� ��� ����� ��1���� �� ��$�� �� $���@$��� �������������� ���� ��������
%>9
�� +� ��� ������ ��� �+�� � � � �������� ⇒ ���������� � �������$� �� ��������
����
�������$� ����������� ���� �� 3�%94 ���;�� ���������� �� ����� ������ �E���
��� ���� ��1������� ����� �� ��:��� ��1����7 ���� �� �������� ����� � ���� ��
��� )*� ���� 3���� �5��562� %88,4� ��;��� ������ ������� �C��$������� ����
1��� ��� ���� ������������� 3i4 �����G�� ��1���� ����� $���@$��� ������������ � $���@�
$��� �����CW����� �� ��:�� ���+�Y0 � 3ii4 ����� ���� ���������� �� ��1��2����
;������� �� ��:�� ������������� �� ��1��2����� ���� ���������� ��1������� ��:��B���
��$�� C�� ��X������� �� 1���� ���1���� � ��������� �� �����CW���� �� ��:�� ��$���
� ���?����� ��1��������� ����� ����� �;����:���� ��1������ � ������ ���� C����� ��
��C������� �� ������������ �� ��:�� ��� �����1����� ��;�� �� ��������� �� �������
�C��$������ ��� �� ��������� �� ������� ��1������ C����� ��� �����1����� 3����
%8884� L���� C�� ���� ���;���� ���� ��� �������� �� �������� ��1���� ���@ ��1����� �
��:�� �� ���������� ��1����
!���)*� 7 ����� �� �������� ����� 3i4 ������$�� �� ���������� 1��������
����� ��F�� � ������� ����$�� �� ������ ���:WF������� 3ii4 � �������� 1����������
C�� � ����G� � � :��1� ��1���� 3iii4 � ��1��2���� ��1��� ��$��$� �� ��� ���� ��
��:��� ��1���� 3������ ��1���4 �� � ����������� �� ��:�� 1���� ��� �������� ��1���
�� ������ �� �������� 3iv4 � ��� ���� �� ��:��� � ��� ����� � ���$��� ���;�� ��
:���� � ��� ����$�����������
/�� ��� ���������� ��������F������ �� ��:��� ��1��� � ���� ���� �������� 3�����������
�� ��:��4 � � ��������� 3�����CW���� �� ��:��4 ����� �E������� �� 1���� ���[�����
C�� �� ��������$������� p : X � A� ����� p � ����������� X � ����;��� �� �; ���� �
A � $���� �� �; ��� 3?54�9� %8,,4�
���������� ����������� ��1��� �� 1���� � e�����������h �+�Y0 e����
��CW����h ������ C�� ����� �� ������������ C����� �� �����CW����� �� �� ����
�����G�� ��1���� �� ���� ���� �� ������ A � B ��� ��� ����� ��1����� ��;��� �
�C����� 3�%94 ����� ����������� ��� ���������� ����������� ��1��� �������� ��
���� ��� ���;�� ���������� ����������� ��1��� ��������7
� : x1 � A1 � . . .� xn � An �+�Y0 y1 � B1 � . . .� y1 � Bn 3�%-4
����� A1 . . . An � B1 . . . Bn ��� ����� ��1���� ������;�F��� �� ���$����� ��
%>-
�������� X1 . . .Xn � Y1 . . . Yn� ��������$������� ���������� Px ���� ���
x1 � A1 � . . .� xn � An � � ���������� Py ���� ��� y1 � B1 � . . .� yn � Bn ���
�����G�� ��1���� �� X1 . . .Xn � Y1 . . . Yn� ��������$������� ���;������ ��� ����
�����G�� �� ����������� � �� �����CW���� �� ��:�� ���+�Y0 ��1��� � �����#����
����� ������G�� �� ���������� � �� ������G�� �� ��� ����� 3�������4 � ��� �����
3���������4 ���� ���@ ����������� �� ��CW2�����
���������� ����������� ��1��� ������ �� ����� ���������� ���;�� �� ��������
��� ��� �������� ������ 3?54�9� %8),4� ���� ���� �� ��:�� �� ��1��2���� ����
��� ����������� ���� ��� �E������ �� ��:�� �� ��1��2���� ��������� ���� �����
��������
����� ������ ����� �������
�������� %7 x � A �������� %7 y � B
�������� '7 � x � A �+�Y0 y � B �������� '7 � x � A �+�Y0 y � B
iiiiiiiiiiiiiiii6 iiiiiiiiiiiiiiii6
�����CW����7 y � B �����CW����7 x � A
����� ������ ��������� ��5 � ����� ������� ��������� ��5%�
�������� %7 x � A′ �������� %7 y � B′
�������� '7 � x � A �+�Y0 y � B �������� '7 � x � A �+�Y0 y � B
iiiiiiiiiiiiiiii6 iiiiiiiiiiiiiiii6
�����CW����7 y � B′ �����CW����7 x � A′
��:��� ��1��� ��� ��� �S����� ���� ������ �������� ��:����� �� �� ������� ��
��:��� �� ��1��2����� 0 ��������� �� ��1��2���� ��1��� �����#� �� �����F���� �� ��:���
���� ���������� ���� �� 1���� � �� ��:��� ��$�� ��� ���;������ ���� ����$�� ���
$�� 1����� ��1��2���� �� �$���� ;������ �� ����� ����������� �����:��� ���
�������� �� �������� ��1��� � M ��:�� �� ���������� ��1��� ���������� ����� ���
���� ��������� 3�H�4� /�� ����� ��:�� �� ���������� ��1��� ���@ ��������� M
��1��2���� �� ���������:���� ;������ �� �; ���$� C�� � ����������� �����:���
�� �������� ������������� �� C��� � ��:�� �� ���������� ��1��� ���������� �����
������ ��������� 3�H�4� �1������ ��� �������� ������������� �F������ :��������� �
��������� �� ��1��2���� �����:��� �� �������� �� �������� ��1��� ��� ���� �������
6 � �����CW���� �� ��:�� ��� � �����#��� �� ����������� �� ��� ����� ��:��� ����
�5(� %"� �� ��������
%>)
1����� �� ��$�� �� �� �����#�� � ��������� �� ��1��2���� �� ������� �����:���� ���
��1��2���� �� �$���� �� ��������1����� ;������ �� �����
��1��2���� ����$�� �� ����� ������ ��������� ���� ��� �E������ �� 1���� ���
:��� �� �� 1���� �������������� 0� ������ A � C ��� ��� ����� ��1���� ��� ����
��������$�� 1���G�� �� ������2����� µA � µC � ¬A � � ��:���� �� A� � �������� ⊕ �
�������� ��� ������ ������G��� ��� �E������ ∧ � min �� ��� �������7
���������)*� ����� ���������)*� ����� ���
X � A′
Y � C �� x �A
iiiiiiiii
Y � A′ ◦ (¬A ⊕ C) ⇔ µ¬A⊕C(u, v) = 1 ∧ (1 − µA(u) + µC(v))
3�%)4
/�� ��������F����� �� ��1��2���� ���� ������ ����� ������ ��������� � C�� �
����������� �� ��:��� x � A� ��� �������� ��� ��2����� M ���������� C�� �����������
� ��1������� �� ������� ���;�� ��������� ���� �����)*� ��+�� 3?54�9� %8,,4�
�������������� $��� ��������� C�� � ����� ������ :�������#��� ���� ��� ���������
� ��� �������� ��������� ���;�� ���� ���� ����� ��� �� ������ � 0 �����
A � �� ��� ���� ��1��� ��� ��� ��������$� 1����� �� ������2����� µA� R � � �������
����� X � Y � ∧ � min �� ��� �������� � A′ ◦R � ���������� �� ������� ��@���� A′�
��� � ������� ;��@���� R7
���������)*� ����� ���������)*� ����� ���
X � A′
(X, Y ) � R
iiiii6
Y � A′ ◦ R ⇔ µA′◦R(v) = supu(µA(u) ∧ µR(u, v))
3�%>4
����� � ��1��2���� �� ���������� ��1��� � ;������ �� ��:�� ������������� �� ���
1��2���� ���� ��:����� ��� P����� ������� �� ��������� �� ��� ,�� � ������*�
�,��� � ��� ,�� � ��.��)*� � � ��� ,�� � ���.�)*� 3�2�35� %88-K ?54�9�
%8,,4�
%>>
!���)*� 7 0 ��� ,�� � ��.��)*� � ���� ���7
���������)*� ����� ���������)*� ����� ���
X � A′
X � B
iiiii6
X � A′ ∩ B ⇔ µA′∩B(u) = µA(u) ∧ µB(u)), u ∈ U
3�%,4
����� C�� A′ ∩ B � � �������� �� ���������� 3�������� �� ��� ������ ��������
������� 6 ��� �E������ ��� ��� �������� �� �������� �� �F����4 ����� A′ � B�
!���)*� 7 0 ��� ,�� � ���.�)*� � ���� ���7
���������)*� ����� ���������)*� ����� ���
(X, Y ) � R
iiiii
X �XR ⇔ µXR(u) = supv µR(u, v), u ∈ U, v ∈ V ,
3�%84
����� C�� AR � � ��� ���� �� ������� ;��@��� �� ���F��� �� X �� ��� 1���� C��
µR(u, v) � ��� 1����� �� ������2�����
!���)*� 7 0 ��� ,�� � ������*� �,��� 1������ �� ��������� ���� �������� �
��������� ����#���� � ��� $���@$�� X ��������� $������ �� �� ���$���� �� ���������
U � � �������� ���� ����������� X � A� � ������������ C�� �E���� �� �����������
f : U → V �� ���� C�� X �� � ������� �� f(X)� ����� � � ��������� �� f(X)
����#��� ���� ��������� X � 1�������� ���� �����F��� �� �E������ ���F������ �E������
���� � ��:�� �� ��1��2����7
���������)*� ����� ���������)*� ����� ���
(X) � A′
iiiii6
f(X) �f(A′) ⇔ µf(A)(v) = supu µA(u)
3�'(4
����� C�� � 1����� �� ������2���� �� f(A) �� ���� M �������� v = f(u), u ∈ U, v ∈ V �
�� ����������� �� � 1������ f � %7%� ����� ������ � ������B����� �� 1���� µf(A)(v) =
µA(v−1), v ∈ V � � v−1 � � ��$���� �� v�
%>,
�. .2 ������� ����58��B�
!���)*� 7 /� ������� ������ �� ��� ����� ��1���� A1, . . . , An ������;�F��� ���
��������$�� ���$����� �� �������� X1, . . . , Xn � ���;�� �� ��� ���� ��1��� �� ������
�� ������� X1 × · · · × Xn ��� � 1����� �� ������2���� ���� ���7
µA1×A2×···×An(u1, u2, . . . , un) = min[µA(u1), µA(u2), . . . , µA(un−1), µA(un)] 3�'%4
��
µA1×A2×···×An(u1, u2, . . . , un) = µA(u1) · µA(u2) · · ·µA(un−1) · µA(un) 3�''4
+� ���� �����FB�� �� �� ��� �� ������� ���������� �� ���� ��� ����� ��1����� A×B�
���� �� ��� �� ��� ���� ��1���� A� ������;�F�� �� ���$���� �� ��������� U � � ��
��� ���� ��1���� B� ������;�F�� �� �� ���$���� �� ��������� V � ������7
A × B = µA(u) ∧ µB(v) . 3�'&4
����� C�� U×V ������ � ������� ����������� *��� ��:��B�� C�� A×B � �� ��� ����
��1��� �� ����� ��������� (u, v), u ∈ U, v ∈ V � ��� :��� �� ������2���� �� (u, v)
�� A×B ���� ��� µA(u)∧ µB(v) ����� ∧ ��� ��������� ���$������� ����������
+���� �������� A × B � ���;�� ��� ������� ��1��� ����� U � V �
�. .: �5���C58 ��D�8�8 !����58 5 �����8��8
������� ��0!�� "������
0 �������� �� ������� � ��� :�������#���� �� 1����� � ��� ��� �E������ �������
���� ��� ����� ��1���� � ��:��� ��1��� 3?54�9� %8)-4� ���� 1����� � ��:��� ��1���
��� ��� ���������$� ����������� R� �������������� C����� �� �����#� � �����������
��� � ����������� �� 1���G�� � �����G�� ��B����� �� ��;������ ��� ���������� �
�������#�� ���� ��������F����� ������ �� ����� ���������� �� ��� ��� �� ��������
�� �������� � ��@���� �� �������� ���?������
���� 1���� �� ���������� ����������� ��1��� ������$� ��� ���)*� ���� ����� ����
$���@$��� ��1���� 3?54�9� %8>&4�
!���)*� 7 /�� ���)*� ����� R� �� �� ��� ���� X � �� ��� ���� Y � ��
%>8
��� ���� ��1��� �� ������� ���������� X×Y � 3X×Y � � ������� �� ����� ���������
(x, y), x ∈ X, y ∈ Y 4� ������� ��1���� R� � ���������#��� ��� ��� 1����� ��
������2���� ;�$���@$��� µA(x, y)� ����� �� ��� ���� ��1����
/�� ������� ��1��� n�@��� � �� ��� ���� ��1��� n������������ ���� � ���� n�����
X1 × X2 × · · · × Xn ��B���� �� �� ���$���� �� �������� ���������������� ������7
RX1×···×Xn = {((x1, . . . , xn), µR(x1, . . . , xn))|(x1, . . . , xn)} , xi ∈ Xi, i = 1, · · · , n .
3�'94
������� ��0!�� �� ���
���������� �� ���� �����G�� ��1���� R1 � R2 ��B����� �� X × Y � �� Y × Z�
��������$������� �������� ��� R1 ◦ R2� � ���;�� ��� ������� ��1��� C�� �������
����������� X � Z � ���� ��� ��B���� ����7
R1 ◦ R2(x, z) = {[(x, z), sup(y∈Y )(µR1(x, y) � µR2(y, z))], x ∈ X, y ∈ Y, z ∈ Z} .
3�'-4
����� C�� � ���� ������� C���C��� �������� �� ������ ��� ��������� ��� �E������
6 ��� ��� �������� � 6 ������G�� �� �F����� ������� ��:�;����� ������� ���������
�� ������� ��@������ ���������� ���� ����� � � sup�min�
���������� �� �����G�� ��1����� R = R1 ◦ R2(x, z)� ���� ���� ������ ���������
���� � ��� ���� �� X ×Z �� ���������� R1 ∩R2 ����� �� �E������ ���F������ �� R1
� R2�
�. .� ���D�8 ��D�8�8 5 � ���5��5B�� ��D�8� ����6X8 �5 �5-��8
���������� �� �����G�� ��1���� � ���������� �� ���������� �� ���������� ��1���
��� ��:��� � ����������� ����������� � :��1�� ��1�����
���1�� ��1���� 6 ���� ��������� ��� P����� � ��� ��� .�����1��� 3$���� ��1��� ����
:�������#���� �� ������ �� :��1�4 6 � 1���������� ���� �������� ��1��� � �������G��
����������� 3���� �5��562� %88,4�
!���)*� 7 /� :��1� ��1���� f ∗� ������$� �� ���������� 1��������� f : U →V, X ∈ U, Y ∈ V ����� �� $���@$��� ���:WF������� X� �� ���$���� �� �������� ��
�������� U � ���� $���@$��� ���:WF������� Y � �� ���$���� �� �������� �� ��F��� V � ����
���������� 1�������� ���� ��� ��������� ���;�� ���� � ����� ��� �������� ����
%,(
�������� �;����� ���� ���������� �� ������ ���:WF������ ��1���� ����$�� �� ��:���
��1����7f : � x � ��C���� �+�Y0 y � ��C����
: � x � ����� �+�Y0 y � :�����
: � x � :����� �+�Y0 y � ��C����
3�')4
������ ���� $���� ����E����� �� ��F��7
f ∗ = ��C����× ��C���� + �����× :����� + :�����× ��C���� 3�'>4
����� C�� �� ������G�� + � × �������� ��������$������� �� ������G�� �� ��� �����
� ������� �����������
0 ������� ���������� �� 1����A×B ����� A � B ��� ����� ��1���� ��� �����������
�� :�?����� ����������� 3?54�9� %88)K ?54�9� %88>K ?54�9� '(('K ?54�9� '((-4�
�� ������������ :�?������
0 :��1� ���������� � ������������� ��� ������� ��1���� A����� ��������� ���� �
���;������ �� �����G�� ��1���� ��� ���������������� ����� �� �������� �����������
��$��$���� ����� �� �������� x � A� � ��F��� x � B� �� 1���� A × B ����� A � B
��� ����� ��1���� � :��1� ��1���� f ∗� �� X � Y ���� ��� ���� ���7
f ∗ =⋃i
Ai × Bi 3�',4
�. . �������� ��D�8�
/� ��� ���� ��1��� ���������� � ���$���� �� ��������� 0� ����� �� �������� ���
�������� ��1���� �� � �� ���;���� �� ������:�� �� �� ���;���� �� ��������� ��
����� �� ���;���� �� ������� � �������� ����� ������������� �� ��:��� �&� ����
����� ��1��� ���� ��� �� ���� ���� 3��:��� �&3�44� �� ���� ������*� 3�� �:�����
�����5 ��������4 3��:��� �&3;44� �� ���� +����� 3��:��� �&3�44
/� ���� ���������� �� �������� ��1��� � � ���)*� �� ����� 36��=2�2� %8)84 �
;���������� ���� ��� ��������� C����� � �S���� �� ����� T ���;� ���� ������ �
������� �� ����� ���������$� T ′�
!���)*� 7 ��� C�� �� ��� ���� �� ������ {T1, ..., Tn} ���@ �� ����� ���������$�
C������ ���� ���� i� �� Su(Ti) ∩ Su(Ti−1) �= ∅ � Su(Ti) ∩ Su(Ti+1) �= ∅ �����
%,%
)- =���%"� ���� ��� )�- =���%"� ���� �������"�) ��� ���0����� ���-
)�- =���%"� ���� �����
������ ��� %����� � B�'�����
Su(Ti) ∩ Su(Tj) = ∅, ∀j /∈ {i − 1, i + 1}� �� ��� ���)*� �� ������ ����� ��
����� �� ������ ���������$�� T � T ′ ��� ���� C�� T (ω) + T ′(ω) = 1 ���� ����
ω ∈ Su(T ) ∩ Su(T ′)�
�.� ��B��������58 ��D�8�8
��������� ;@���� �� �� ������� ��1���� ��� �E������ C����� ����������� � ��
����������� ��1��� � �������� �� ��:��� �9 � ��������� ;����������� �� �����1���
�� 1�#�B������ �� ;��� �� ������������� �� ��������� �� ��1��2���� �������� ��
1���G�� �� ���������� ��1���� � �� �����1��� �� ��1�#�B������ � ���������� ������
�� ����������� ���7
0 �������� ������ �� ����B����� 31�##=B�����4 ��1������ �� �������� �� ���$�����
�� ��1�����G�� �������� �� ������ ���:WF������ ������������� ��� ��� ����� ��1��
���� 0 ��:���� ������ ���������� � ��������� �� ��1��2����� ��� � �:��:��� M
;��� �� ��:��� C�� � �������� ��� �� ��� ���� �� ��:��� �� ���� ���+�Y0 C��
�E������� � ������� ��1��� ����� �� ��������� � �� �������G��� +���� ������� ����
���������� ��1���� ���������� ��� ������������ ����� �� ��F��� ��������� C�� ����$��
�� ��;��������� �� ��:�G�� ������������ ����� 1���G�� �� ������2���� �������������
�� ���F��� ����F��� �� ���� ��������� ����� ��������F������ ������;��� ���� ���
�������� �� ������� ���$��F$�� � ;�� ���������� � ������ � �;����:�� �� ������
��� ��1���� ��;������ �$��� M ��;��������� ��� 1���G�� �� ������2���� �� �����
������������ ���� ��:�� � ��X�������� ����� ��:��� $�#����� �� �����CW����������
���� ����� �� ������ �� ������� � ����E����� ��� �� ��;��� ���� �� ��:��� ��1��
%,'
���� �������������� C���C��� 1����� ����F��� ���� ��� ����E����� ���������������
��� �������� ��;���@��� � �� 1�� �����#��� ��� ���$���� �� ��:�� ;������ �� ��������
��� ������B����� 3��1�##�B�����4 �� ���� ��������� � ��� 1����� �� ������2����
����F��� 3��:�� :��������4� ���� ����������� ��������� C�� � ����������� ��1��� �
�� ����E������ ���$������
�����1F��� �� �������� �������������� �� ���������� ���������� ������� �� ;���
�� ��:�� 3;��� �� ������������4� �� �������:�� �����:��� �� ��1��2����� ��������
:�� �� ����B����� 31�#�B�����4� � �������:�� �� ������B����� 3��1�#�B�����4� � C��
C���C��� ����B����� �� ����������� ��1��� ���� 1������� ��� $�������� ��B���� ��
����������� ����� � ������� � � ��F�� 3>��<2��� =5��2��� %8884�
;��� �� ��:��� � �� 1���G�� �� ������2���� C�� ����� ���������� ��� ������ ���:WF��
����� � �� ��������� �� ��1��2���� 1����� � ;��� �� ������������� ����������
�� ;��� �� ������������ ���� � ��� ��� �� �� ����������� ��1��� �������� ����
�C������� �� ������������ �� �������� ����$�� �� �������� �� �����$���� �� ����
������ ��$ �������� =D���� �� ����������� ����6�
%,&
������ ��( �������� � ���� ������� ��'������IF> . 5���� �� ���2 �;;,7�
�C������� ���E� ����� ��� ������B����� $�� ��� �� �:��������� 3���������:4�
����F$��� �����������G�� ���� �� �������� ��1���� ����� ��������� �� ������� C�����
�� ������������� ��1���� ��� ������������ �� ��:��� �-� � ���������� ����:����� ��
�������� ��1���� ����������� �� ���������� ���7 3%4 ������� ��1��� ����������� 3'4 ����
���� ��1��� ���:WF����� 3���E�� ������� ��1��� H������� ������� ��1��� <�����4 C��
�����:� �S����� ��1���� ���� � �������� �� ������� � 3&4 ����������� ��1��� ������
������$� �� ;������ �� ������ 3���E�� ������� ��1��� ��I�:�� �:���� ������� ��1���
���I�����4 C�� :��� ��G�� �� �������� �� �����:�� 1���G�� �������� ��������� ���
$���@$��� �� ������� �� ������� �����������
�.�.� ���5�� ��D�8� �5�����B��
0 ����������� ��1��� ���������� �����#� �� ���������� ���@���� ���������� �� ����
����� ��1����� �� �� ���$���� �� �������� �� �������� X� ���� �� ���$���� ��
�������� �� ��F��� Y � ����$�� �� ������� ��1���� R� � �� ��:�� ������������� �� ���
1��2����� ��:�� �� ��1��2���� ��1��� 6 ���� ����� ��� �� ������ 6 �������
�� ��������� �� ������*� �,��� � ����)*� �� ��.��)*� � ����)*� �� ���.�)*��
+� ���� :����� �� ��� ����� ��1���� ��1������� �� ���F��� �� ��F��� Y � ��� ����������
���� ���������� ����������7
Y = X ◦ R
= ��� ����\��� �����3�E������ ���F������3H4� .4] .3�'84
%,9
�������� � ����� �� ��� ����� ��1���� ��1������� �� ���F��� �� �������� X�
��������� ◦� � ��������� M ���������� sup−t ���� �� �;��� U � ��;��� � ����
������� sup−min �� � ������ ���� � ��������� �� ���������� ����� � ������ ��
������� � � ������ �� �������� 3=�46�7?� ��824�� %88,K �2�35� %88-4�
��:�� ������������� �� ��1��2���� �� 3�&%4 ���� :���� � ��:����� �C�����7
U(u) = supx
[A(x) ∧ R(x, u)] = supx
[A(x) ∧ ∨N
i=1Ri(x, u)]
, 3�&(4
����� � �������� �� ��� ����� ��������� � ��:��� ������� ���$������� ���������
3��2����� 344�
�� �������� �� �������� � �C����� 3�'84 � ����������� �C��$����������� �� 1����7
U = M ◦ R
= ��� ����\��� �����3�E������ ���F������3H4� .4] .3�&%4
0 ����� U ���������� � ���� �� ��������K M � �� ��� ���� ��1��� C�� ����������
�� ���� �� �������� ��� �E������ �� ���� ������ �� ��� ��1������� ���������
M ��������� ������K R� ��� ������� ��1��� 3���������� ��1���4 C�� ���������� �
������������ ��;�� � ������������� ���?���� �� �������� �����:������� � ��:��
������������� �� ��1��2����� 1�#��� ��� ���������� ����� � ������ �� ������ �����
�� �������� M � � � ������� ��1���� R� C�� ������ �� �������� � ��F��� �� ��������
0 ��������� � � ����� �� ��������� U � ������@��� ���� �;��� � ���� ���C���� ����
����:�� �� ����������� �; ���$�� ������� M � �� ������ ����� �� ������� � �����
���� ��;�� � ;��� �� ������������ ����$�� �� �E������ ���F������� �������� ��
��� ����� ��������� � ���������� ����� � ��������� �� �E������ ���F������ � � ;���
�� ������������� �� ��:���� � �����F��� �� ��� ���� � �������� �� 1���� � �;��� �
��� ���� ���������� � � $���� B��� �� ���������
�.�.2 ���5�� ��D�8� �����B�
/� ���� ���������� �� ������� ���������� ��1��� � � ������� ��1��� ;������ �� ���
������� H������� C�� �����:� � ������� min� ���� ��������� ��� ������� ��1���
���� ���� ��:��� � � ��������� max� ���� �:��:�� �� �����G�� ���$������� ������
������� A����� � �������� M � ������ �� $���� ������� 3��������4� � ������� ��1���
H������ � .��������� ��� �C��$�������� ��������� �� ������� ��1��� H������ �
%,-
1�������� � ��:���7
.�i : � x1(t) � Mi1(x(t)) � . . .� xn(t) � Min(x(t))
�+�Y0 yi(t) = Ci(x(t)) .3�&'4
i������ ��:�� 3����������4 � ������������ ��� Rsi� ��� C�� i = 1, 2, . . . , Nr�
����� Nr � �S���� �@E��� �� ��:��� 3��������G��4 ��1����K yi(t)� � ��F�� �� i�
����� ��:�� 3����������4K x1(t), . . . , xn(t)� $���@$��� �� ������K Mip, p = 1, 2, · · · , n�
� p������ 1����� �� ������2���� �� i������ ��:�� C�� ���������� � ���$���� ��
�������� �� �������K � Ci(x(t))� 1����� �� ������2���� �� i������ ��:�� C�� ����
������� � ���$���� �� �������� �� ��F��� 0 :��� �� ���$���� �� i������ ��:�� �
wi(x(t)) ≥ 0� ����� ��B���� ���� �������� �� ��� ������ ��� �E������ � �������
��:�;���� 3<�����4� wi(δ(t)) =n∏
p=1
[Mip(x(t))]� �� � �������� �� �F���� 3H������4�
wi(δ(t)) = minnp=1[Mip(x(t))]�
�.�.: ���5�� ��D�8� �J�-��!�-5B�
0 ������� ��1��� ��I�:�� �:��� 3� 4 1�� �������� �� 315<5�2� ������� %8,-4 �
� ��������� ���;�� ���� ������� ��1��� �� ������������ �� ;������ �� �������
��� � ���������#��� ��� ����������� � ������ �� ������� �� @���� ��1���� � 1�#��
��� ����E������ �� ���� @��� ����$�� �� ������� �������� ������ �� ��� 1���� C��
� ������ :��;�� �� � �;�����
��������F����� ��������� �� ������ ��1��� ��I�:�� �:��� � ����������� � ���?����
����� ��� ��:��� ��1���� ��� �� ������ �������� �� �������� �������� 3;5�� � ���
%88)�4� �� 1���� C�� � ������ ���������� �� ������� � �������#��� �� ������ ������
�� ��������� �����#���� �� ��� ���� �� ��;������� ��������� � C��� � �������� �
��:����
* ��� ��0!� � ��&�! �$��%"!���
0 ������� ��1��� � �����#� �� ��� ���� �� ��:��� ���+�Y0 �� C�� � ����� ����
��CW���� �� ��:�� � �������� ��� ��;������� ��������� fi(·)� ������$���� � �������
������� ���?���� �� ��������� ������G�� �� ��������� ��C����� � ����� �����������
%,)
� �������@$�� ��� ���������� ����� ��;��������� ���� ����������� � ��:���7
.�i : � δ1(t) � Mi1(δ(t)) � . . . � δn(t) � Min(δ(t))
�+�Y0 yi = fi(x(t)) .3�&&4
0 $���� �� ������� �� �������� � ���� ��� δ = [δ1, . . . , δn]T � p = 1, . . . , nK � Min ���
������ ���:WF������ �� ��� ����� ��1����� 0� ��� ����� ��1���� ����������� � ���
��:�� 1����� ��:�G�� ��1���� 3:�?�����4 �� ������ �� �������� Mi1 × Mi2 × . . . ×Min� 0� ��������� x = [xi
1, . . . , xiqi]T ����������� � $���� �� ������� ���� � �����
�����CW���� �� ��:�� Rsi C�� ��:��;� qi ������K fi = yi(xiq) ������ � i������ ��:��
�� ��F�� C�� � ��� 1����� ������ �� x�
0 ������� :��;�� � �;���� ���� ������������ ������ $@���� ������� ������� ���� �;���
��:�� ���� ��� �����:��� ���� ����E���� ��� 1����� ���������� ����$�� �� ���
��������� ������� ������ �� ��C���� �S���� �� ��:���� ��� �� $���� �� �������
δ(t) � xi, i = 1, . . . , Nr� � ��F�� B��� �� ������� ��1��� � ��1����� �� �����#�� � �����
��������� ��� ��F��� ������ fi(δ(t))
y =
Nr∑i=1
wi(δ(t))fi(δ(t))
Nr∑i=1
wi(δ(t))
, 3�&94
����� C�� Nr ������ � �S���� �� ��:��� � wi(δ) � :��� �� ���$���� �������#��� ��
Rsi� 0 :��� �� ���$���� �� i������ ��:�� � ���� ��� wi(δj) ≥ 0 �;���� ���� ����
����� �� ��� ������ wi(x(t)) = �::��:(Min)� ��� �E������ ���� ������� ��:�;�����
wi(δ(t)) =n∏
i=p
Mip(δ(t))� �� ���� �������� �� �F����� wi(δ(t)) = minpj=1 Mip(δ(t))
��� � :��� �� ������2���� �� $���@$�� �� ������� δp(t)� ���� ��� µip(δp)� L���� C��
µip(δp) ≥ 0� �����∑Nr
i=1 wi(δp) ≥ 0 ���� ���� i = 1, 2, ..., r�
+����������� ������ C�� � ����� Q � e�����������hR ���@ ����������� ��� � ����
����� C�� � ���������#��� ��� ������ ���:WF������� ��C����� � ����� Q�+�Y0 e����
��CW����hR �� ������� ��1��� � � ���������#���� ��� ��� ��������� ��� ������
������������ +����� ������G��� � ��:����� 1���� :���� ���������� � ������� ��1���
� 7.�i : � δ1(t) � Mi1(δ(t)) � . . . � δn(t) � Min(δ(t))
�+�Y0 yi = bi0 + bi
1xi1 + bi
qixi
qi.
3�&-4
%,>
� ����� 1����� � $���� �� ������� �� �������� � ���� ��� δ = [δ1, . . . , δn]T �
p = 1, . . . , nK � Min ��� ������ ���:WF������ �� ��� ����� ��1����� 0� ��� ����� ��1����
����������� � ��� ��:�� 1����� ��:�G�� ��1���� 3:�?�����4 �� ������ �� ��������
Mi1 × Mi2 × . . . × Min� 0� ��������� x = [xi1, . . . , x
iqi]T ����������� � $���� ��
������� ���� � ����� �����CW���� �� ��:�� Ri C�� ��:��;� qi ������K yp = yi(xiq)
������ � i������ ��:�� �� ��F�� C�� �� �:���� ��� 1����� ���������� ������ ��� ������
�� ������� �� �����CW����K � b = [bj0, b
j1, . . . , b
jqj
]T ��� ���B������� ����������� C��
1����� � ��� ���� �� ���?������ �� �����CW���� �� ��:���
A����� � �����CW���� �� ��:�� � ��������� �� 1���� yi = aix + bi � �����������
��I�:�� �:��� � ����������� �� �������� ������ � � ���?����� �� $���� � �����
ai = 0� � � ����� bi = K � ���������� � ������� ��1��� � ����������� �� ����� #����
���� S����� 1����� �C��$��� �� ������ ���:WF����� H������ ������B���� C�� �����#�
�����CW����� �� ���� ���������
� 1�� ����F$�� ������$�� � ������������� ���?���� ��� �C���G�� �� �������� ������
� ������� ��1��� ��I�:�� �:��� ���� ��� ������������ ���� �C����� �� ������ ��
������� ���� ���7
.�i : � δ1(t) � Mi1(δ(t)) � . . . � δn(t) � Min(δ(t))
�+�Y0 xi = Aix(t) + Biu(t) ,3�&)4
��� C�� Min(δ(t)), p = 1, 2, ..., n � � i������ ��� ���� ��1��� �� QnR ��� ����� ��
i������ ��:��� i = 1, 2, ..., r� �� 1���� C�� QNrR � � C��������� �� ��:���� ����
����� ����������� �� ���� ��:�� ������ �������G�� ���:WF������ ��1����� Min(δ(t))� �
$���@$��� ���������� δp(t)� ��C����� � �����CW���� �� ��:�� ������ ������� ������
��� ������ �� ������� ����������� xi = Aix(t) + Biu(t)� ��� �E������ ���� ���� ��
3'�%%4�
���� �C����� ������ �� �����CW���� �� ��:�� ������������ ��� Aix(t) + Biu(t) �
����:���� ���� �� ��;�������� ���� �� ���� $���� �� ������� x(t)� � ��������
�� �������� u(t)� � ��F�� �� ������� ��1��� �������� ���� �C����� 3�&)4 ���� ���
��������� ���� � ���� ��������� ��� ��;�������7
x =
Nr∑i=1
wi(δ(x(t))) [Aix(t) + Biu(t)]
Nr∑i=1
wi(δ(x(t)))
. 3�&>4
%,,
0 :��� �� ���$���� �� i������ ��:�� � wi(δ(x(t))) ≥ 0� ����� ��B���� ���� ������
��� �� ��� ������ ��� �E������ � ������� ��:�;����� wi(δ(t)) =n∏
i=p
Mip(δ(t))� ��
� �������� �� �F���� wi(δ(t)) = minnp=1 Mip(δ(t))� ��� � :��� �� ������2���� ��
δp(t) ���� ��� µip(δp(x(t)))� ���� µip(δp(x(t))) ≥ 0� �����∑Nr
i=1 wi(δp(x(t))) ≥ 0
���� ���� i = 1, 2, ..., r� 0� ������� �������� �� �����CW���� �� ��:�� ��� $@����� ���
��:�G�� ��B����� ����� ������7
h(δ(x(t))) =wi(δ(x(t)))
Nr∑i=1
wi(δ(x(t)))
.
��� C�� hi : �n → �� δ(t) → hi(δ(t))�
/��������� � $���� �� ������� �� ������� ��1���� δ(t)� � ����������� ��� ���������
�� ������ x(t)� ����� δ(x(t))� �� ����� δ = x(t)� +���� ���� �� ��:��� 3�&&4� 3�&-4�
3�&)4� ��������$������� $2� � ���7
.�i : � x1(t) � Mi1(x(t)) � . . . � xn(t) � Min(x(t))
�+�Y0 yi = fi(x(t)) ,3�&,4
.�i : � x1(t) � Mi1(x(t)) � . . . � xn(t) � Min(x(t))
�+�Y0yi = bi0 + bi
1xi1 + bi
qixi
qi,
3�&84
.�i : � x(t) � Mi1(x(t)) � . . . � xn(t) � Min(x(t))
�+�Y0 xi = Aix(t) + Biu(t) .3�9(4
����� ����� �� $������ ��� ���������� µip(δp(x(t))) ≥ 0� � �� $������ ��� �����CW���
���� ��� 1���G�� ��� $���@$��� �� ������� x(t)� ���� 1����� ����� ����������� ��
���������������� �� ��������K � � ������������ ��� $������ ���������� ���� ���� ��:��
������� � 1���� C����@���� 3<�6@5 � ��� '((&4�
* ��� ��0!� ������ �$��%"!���
0 ������ ��1��� �������� �������� ��� ��I�:�� �:��� � �������� ��� �� ��� ����
�� ��:��� ���+�Y0 C�� ����������� �����G�� 3�����������4 �������� ������ ��
%,8
������� � ��F�� �� �������� ������������ �� 1����7
.�i : � x(k) � Mi1(x(k)) � . . .� x(k − n + 1) � Min(x(k)) �
� u(k) � Ni1(x(k)) � . . .� u(k − m + 1) � Nim(x(k))
�+�Y0 xi(k + 1) = ai0 + ai1x(k) + · · ·+ ainx(k − n + 1)+
bi1u(k) + · · · + bimu(k − m + 1) .
3�9%4
i������ ��:�� 3����������4 � ���������� ��� Rsi� ��� C�� i = 1, 2, . . . , Nr� �����
Nr � �S���� �@E��� �� ��:��� 3��������G��4 ��1����K x(k + 1)� � ��F�� �� i������
��:�� 3����������4K api � bqi� ��� ���?������ �� �����CW���� �� i������ ��:��� ���
C�� p = 0, 1, . . . , n � q = 0, 1, . . . , mK x(k), . . . , x(k − n + 1)� ��� $���@$��� �� ������K
u(k), . . . , u(k − n + 1)� ��� $���@$��� �� �������K � Mip(x(t)) � Nip(x(t))� 1���G�� ��
������2���� C�� ����������� � ���$���� �� �������� �� �������� ��F�� �� ������
��1��� ��I�:�� �:��� � ��1����� �� �� ���������� � ����� ��������� �� xi(k + 1)�
���� �7
x(k + 1) =
Nr∑i=1
wi(x(k))xi(k + 1)
Nr∑i=1
wi(x(k))
, 3�9'4
�����∑Nr
i=1 wi(x(k)) > 0� � xi(k + 1) ��������� ���� �� �������� ���;�� �� ����
��CW���� �� �C����� �� i������ ��:��� 0 ���� wi(x(k)) 1������ � :��� �� ���$����
���������� :��;�� �� �������� �� i������ ��:�� ���� � ������� ��������� �� � �C�����
���� ��� �E������ ����7
wi(x(k)) = �::��:(Mpi, Nqi) ,
��� �E������
wi(x(t)) =
n∏p=1
Mip(x(k − p + 1)) ×m∏
q=1
Nqi(u(k − p + 1)) .
L��� ��������� C�� � ��� ���� �� ��:���� Rsi� ���� ����������� �����G�� 1���������
������������ ����� �� �����#��� �� �S���� ��C���� �� ��:��� ��1���� 315�5<5�
������� %88'4� C�� �� �� $������� � ��������F����� �� � ������� ��1��� ��� ��
����E������ ���$������
��$� �C����� ���� � ������ ��1��� �������� ��I�:�� �:��� �� ����� #��� � ���
%8(
������B����� �� 3�9%4 ���� �������� � ��:���7
.�i : � x(k) � Mi1(x(k)) � . . .� x(k − n + 1) � Min(x(k)) �
� u(k) � Ni1(x(k)) � . . .� u(k − m + 1) � Mim(x(k))
�+�Y0 xi(k + 1) = a0i ,
3�9&4
�� � ��F�� ���������� � ���� ���7
x(k + 1) =
Nr∑i=1
wi(x(k))a0i
Nr∑i=1
wi(x(k))
. 3�994
0 ������ ��I�:�� �:��� �� �������� ����� 3�9%4 ���� ��� ��������� �� 1���� ���
�������� $���� C�� �� ��;�������� ��� �������� �� ����� �����CW���� �� i������ ��:���
������������� �� ������ ��1��� ��I�:�� �:��� �� 1���� �� ������ �� ������� �
�������� � ��:���7
.�i : � x(k) � Mi1(x(k)) � . . .� x(k − n + 1) � Min(x(k)) �
� u(k) � Ni1(x(k)) � . . . � uk−m+1(t) � Mim(x(t))
�+�Y0 xi(k + 1) = Aix(k) + Biu(k) .
3�9-4
��F�� ���������� � ���� ���7
x(k + 1) =
Nr∑i=1
wi(x(k))xi(k + 1)
Nr∑i=1
wi(x(k))
, 3�9)4
�� �� ��
x(k + 1) =
Nr∑i=1
wi(x(k))[Aix(k) + Biu(k)]
Nr∑i=1
wi(x(k))
. 3�9>4
� $���@$��� ���������� δp(t)� ����� ��� ���������� ������ �� �����E�� �� ��� ���
�� ������������� ���� �� $���� �� ������������� �� :������ ���� �� � 1����� ��
�� ���?����� �� �����������
%8%
�.�.� !�8�5�� �5 ��B����5 ��D�8� �J�-��!�-5B�
+���� ����� ��� ������������ �� ������������� ��1���� ��I�:�� �:��� ����� ����F���
� �������� �� �� ��CW2����� � ������� �� ����� 1�������
"����� �� � �� �� ��0!� � ��&�! �$��%"!���
0 ����������� ��1��� ����F��� ��I�:�� �:��� � ���� ���7
.�j : � δ1(t) � Mj1 � . . . � δp(t) � Mjn �+�Y0 uj = −Kjx(t) , 3�9,4
����� C�� Rcj ������ � j������ ��:�� ��1��� C�� ��� ��� �; ���$� ����;���#�� �
������� ����������� +� �����CW���� �� ��:��� � �����# �� :����� Kj� ����G� �
��� �� �������� ������ ���[���� uj = −Kjx(t)� ���� 1����� ���� ���� ��:�� ��
������ ��1��� ��I�:�� �:��� ������ ����� �� ������� � ��� ����������� ��� ��� ������
������������� ������� ���� �� ��:���� Rcj � ������� ���� �� ������������� �� ������
������ ��� ��������� �����CW������ � ��F�� ����� �� ����������� ��1��� � ���� ���7
u(t) =
Nr∑j=1
wj(δ(x(t)))Kjx(t)
Nr∑j=1
wj(δ(x(t)))
. 3�984
0 ������� �� ����� 1������ � ���� ���7
x(t) =
Nr∑i=1
Nr∑j=1
wi(δ(x(t)))wj(δ(x(t)))[Ai − BiKj]x(t)
Nr∑i=1
Nr∑j=1
wi(δ(x(t)))wj(δ(x(t)))
, 3�-(4
��
x(t) =
Nr∑i=1
Nr∑j=1
wi(δ(x(t)))wj(δ(x(t)))Gijx(t)
Nr∑i=1
Nr∑j=1
wi(δ(x(t)))wj(δ(x(t)))
.
0� ������ Gij = Ai − BiKj ��� �������@$��� ����� ��������F������ ���?����� ��
��� ��� �� ����������� � ���� ��@���� �� ����;��������
0 ������� �� �������� ��1��� �� ����� 1������ ��������� �� ������������� ���
%8'
�?���� ����������� $���� C�� ����� wi(δ(x(t))) C����� wj(δ(x(t))) ��� 1���G�� ����
���������
"����� �� �� �� ��0!� ������ �$��%"!���
0 ����������� ��1��� �������� ��I�:�� �:��� � ���� ���7
.�j : � δ1(k) � Mj1 � . . . � δn(k) � Mjn �+�Y0 uj = −Kjx(k) , 3�-%4
����� C�� Rcj ������ � j������ ��:�� ��1��� C�� �2� ��� �; ���$� ����;���#�� �
������� ����������� +� �����CW���� �� ��:��� � �����# �� :����� Kj� ����G� �
��� �� �������� ������ ���[���� uj = −Kjx(k)� ���� 1����� ���� ���� ��:�� ��
������ ��1��� ��I�:�� �:��� ������ ����� �� ������� � ��� ����������� ��� ��� ������
������������� ������� ���� �� ��:���� Rcj � ������� ���� �� ������������� �� ������
������ ��� ��������� �����CW������ � ��F�� ����� �� ����������� ��1��� � ���� ���7
u(t) =
Nr∑j=1
wj(δ(x(k)))Kjx(k)
Nr∑j=1
wj(δ(x(k)))
. 3�-'4
0 ������� �� ����� 1������ ���� � ������� � ���� ���7
x(t) =
Nr∑i=1
Nr∑j=1
wi(δ(x(k)))wj(δ(x(k)))[Ai − BiKj]x(k)
Nr∑i=1
Nr∑j=1
wi(δ(x(k)))wj(δ(x(k)))
, 3�-&4
��
x(t) =
Nr∑i=1
Nr∑j=1
wi(δ(x(k)))wj(δ(x(k)))Gijx(k)
Nr∑i=1
Nr∑j=1
wi(δ(x(k)))wj(δ(x(k)))
.
0� ������ Gij = Ai − BiKj ��� �������@$��� ����� ��������F������ ���?����� ��
��� ��� �� ����������� � ���� ��@���� �� ����;��������
0 ������� �� �������� ��1��� �� ����� 1������ ��������� �� ������������� ���
�?���� ����������� $���� C�� ����� wi(δ(x(k))) C����� wj(δ(x(k))) ��� 1���G�� ����
%8&
���������
%89
���"��� ���� �������� �� ��� �"��
�� ����� ��� ��������!� ������� ���� ���������� � ��� �� ����
% �"���� ������ ��� �� ���
�������� ��� ������ ��� ��� ��� &������ � ������
� ���������� ��� �� ��������� ���� ������� � �� �� ����
��� ���� �� �������� � ��� ������� �������
�� �� ������������ � �� ����������
������ � ���� �� &��� ������
��� ��� �� �� ����� �������
'�� ���(
��� ���"����� ��"����$�
��� ���� 3������� � �� ���� ���*�4