SISTEMAS DE ECUACIONES

LINEALES

Ejemplos: x – 5 = y 2x – 3y = 7

2x + y = 113z – 4y = -19 x – 2z = - y

2 ecuaciones con 2 incógnitas

3 ecuaciones con 3 incógnitas

Es aquel conjunto de ecuaciones de primer grado, donde el número de incógnitas debe

ser igual al número de ecuaciones existentes.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Una ecuación es de primer grado (o lineal) cuando el

exponente de todas las incógnitas es la unidad.

En este tema trataremos específicamente los

sistemas de ecuaciones lineales con dos

incógnitas

ax + by = c mx + ny = p

Incógnitas: x , yLas soluciones de una ecuación de

primer grado con dos incógnitas son pares de números (pares ordenados)

que verifican la ecuación.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

Cada ecuación representa una recta

x + 2y = 72x + y = 8-

---------

- - - - - - - - - - -

x + 2y = 7

2x + y = 8

.(3 ; 2)

El punto de intersección de ambas rectas representa la única solución del sistema de ecuaciones (conjunto solución)

C.S. = {(3;2)}

x

y

Es un error muy frecuente que el alumno de por

terminado el ejercicio al encontrar el valor de la

primera incógnita.Falta aun hallar el valor de

la segunda incógnita

Es importante insistir en que la solución de un sistema de ecuaciones es una pareja de

valores.

MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

LINEALES

Sin embargo también es práctico la resolución de sistemas de

ecuaciones lineales haciendo uso de la calculadora

Un métodos algebraico importante para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales es el MÉTODO DE REDUCCIÓN.

HACIENDO USO DE LA CALCULADORA

Botón MODE

Presionamos el botón con el numero 5

Presionamos el botón con el numero 1

Se ingresan los datos

con el botón =

Se visualiza el resultado con el botón

=

Se visualiza el otro

resultado con el botón =

La solución para este caso es:X = -1Y = 2

7x + 8y = 9 x + 2y = 3

MÉTODO DE REDUCCIÓN

En este método se preparan las dos ecuaciones para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas. Al sumar o restar las ecuaciones nos queda una ecuación con una sola incógnita.

Resolver el siguiente sistema: x + 2y = 22 . . . . . . . . . . (1°) 4x - y = 7 . . . . . . . . . . . (2°)

CASO 01

Eliminamos la incógnita “y” multiplicando por 2, a toda la segunda ecuación: x + 2y = 22 . . . ……. .(1°)

8x - 2y = 14 . . .. .. . .…(2°)

Sumando tenemos entonces: 9x = 36 x=4

Luego hallamos la otra incógnita reemplazando el valor hallado:

Reemplazando x = 4 en la ecuación (1°), tenemos: x + 2y = 22 . . . ……. .(1°) 4 + 2y = 22despejando y: y = (22 – 4)/2 = 18/2 y = 9

FINALMENTE:

La solución de nuestro sistema es: x = 4 y = 9

Resolver el siguiente sistema:y = 22 - 3x . . . . . (1°)4x = -1 + 3y . . . . . .(2°)

Primero se debe ordenar las ecuaciones, pasando las incógnitas al lado izquierdo y los términos independientes al lado derecho.Y NOS QUEDA ASI:

3x + y = 22 . . . . . . (1°)4x - 3y = -1 . . . . . . .(2°)

CASO 02

Ahora se elimina la incógnita “y”, multiplicando toda la primera ecuación por “3”:x3: 3x + y = 22 . . . . . . (1°) 4x - 3y = -1 . . . . . . .(2°)

Y nos queda así: 9x +3y = 66 . . . . . . (1°) 4x - 3y = -1 . . . . . . .(2°) Sumando tenemos entonces: 13x = 65 x=5

Luego hallamos el valor de la otra incógnita:

Reemplazando x = 5 en la ecuación (1°), tenemos: 3 x + y = 22 . . . ……. .(1°) 3(5) + y = 22despejando y:

y = 22 –15 y = 7

Finalmente:

La solución de nuestro sistema son: x = 5 y = 7

CASO 03

12303y

332x

554y

23x

Resolver el siguiente sistema:

m . c . m ( 2 ; 5 ) = 10 Si observas denominadores recuerda: Primero hay que calcular el M.C.M. de ellos en cada

ecuación

Ahora multipliquemos a la primera ecuacion por 10 y a

la segunda por 6

m . c . m ( 3 ; 2 ) = 6

1)2303y

332x

5)54y

23x

(6)(6)(6

(10)(10)(10

1)2303y

332x

5)54y

23x

(6)(6)(6

(10)(10)(10

Simplificando:

6)(3)(2

50)(2)(5

303y32x

4y3xObtenemos:

6-909y64x

5082y155x

Eliminando los paréntesis y dando forma:

90-9y4x

732y5x

Ahora se elimina la incógnita “y”, multiplicando toda la primera ecuación por “9” y a la segunda por "2":x9: 5x + 2y = 73 . . . . . . (1°)x2: 4x - 9y = -90 . . . . . . .(2°)

Y nos queda así: 45x +18y = 657 . . . . . . (1°) 8x - 18y = -180 . . . . . . (2°) Sumando tenemos entonces: 53x = 477 x=9

Luego hallamos el valor de la otra incógnita:

Reemplazando x = 9 en la ecuación (1°), tenemos: 5 x + 2y = 73 . . . ……. .(1°) 5(9) + 2y = 73despejando y:

y = (73 –45)/2 y = 14

Finalmente:

La solución de nuestro sistema son: x = 9 y = 14

Ahora continuemos con los ejercicios de nuestra

separata