sistemas de ecuaciones lineales-metodos numericos
TRANSCRIPT
![Page 1: Sistemas de Ecuaciones Lineales-metodos Numericos](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052307/557211cf497959fc0b8f86d4/html5/thumbnails/1.jpg)
Introducción Métodos directos de solución
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESMÉTODOS DE SOLUCIÓN
Mg. Ana Laksmy Gamarra Carrasco
Universidad Privada Antenor Orrego
Mayo del 2012
![Page 2: Sistemas de Ecuaciones Lineales-metodos Numericos](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052307/557211cf497959fc0b8f86d4/html5/thumbnails/2.jpg)
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Forma generalUn sistema de m ecuaciones lineales en n incógnitas tiene laforma general siguiente:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ...+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ...+ a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ...+ amnxn = bm
![Page 3: Sistemas de Ecuaciones Lineales-metodos Numericos](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052307/557211cf497959fc0b8f86d4/html5/thumbnails/3.jpg)
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Forma matriciala11 a12 a13 ... a1na21 a22 a23 ... a2n... ... ... ... ...
am1 am2 am3 ... amn
x1x2...xn
=
b1b2...bm
Ax = b
Donde:A: Matriz coeficiente del sistemax: Vector incógnitab: Vector de términos independientes
![Page 4: Sistemas de Ecuaciones Lineales-metodos Numericos](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052307/557211cf497959fc0b8f86d4/html5/thumbnails/4.jpg)
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Existencia y unicidad de la soluciónSea:
Ax = b
Si b = 0, el sistema es homogéneo.Si b 6= 0, el sistema es no homogéneo.
![Page 5: Sistemas de Ecuaciones Lineales-metodos Numericos](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052307/557211cf497959fc0b8f86d4/html5/thumbnails/5.jpg)
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Existencia y unicidad de la soluciónDefinimos la matriz aumentada B, de la sigiente manera:
B =
a11 a12 a13 ... a1n b1a21 a22 a23 ... a2n b2... ... ... ... ... ...
am1 am2 am3 ... amn bm
La matriz aumentada podemos escribirla en la forma:
B = [aij : bj ]
![Page 6: Sistemas de Ecuaciones Lineales-metodos Numericos](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052307/557211cf497959fc0b8f86d4/html5/thumbnails/6.jpg)
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Existencia y unicidad de la soluciónSea Ax = b,
INCONSISTENTEr(A) 6= r(B)
El sistema no tiene solución.CONSISTENTE
r(A) = r(B)
1 Solución única.r(A) = n
2 Número infinito de soluciones.
r(A) < n
![Page 7: Sistemas de Ecuaciones Lineales-metodos Numericos](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052307/557211cf497959fc0b8f86d4/html5/thumbnails/7.jpg)
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Rango de una matrizEs el número de filas o columnas linealmente independientes,utilizando esta definición se puede calcular usando el métodode Gauss.
Ejemplo
Calcular el rango de la siguiente matriz: A =
1 2 22 1 22 2 1
Ejemplo
Calcular el rango de la siguiente matriz: B =
5 −1 −11 2 34 3 2
![Page 8: Sistemas de Ecuaciones Lineales-metodos Numericos](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052307/557211cf497959fc0b8f86d4/html5/thumbnails/8.jpg)
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
EjemplosVerificar si los siguientes sistemas de ecuaciones tienensolución:
2x + 4y = 0
3x + 6y = 0
5x − y − z = 0
x + 2y + 3z = 14
4x + 3y + 2z = 16
![Page 9: Sistemas de Ecuaciones Lineales-metodos Numericos](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052307/557211cf497959fc0b8f86d4/html5/thumbnails/9.jpg)
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Eliminación de GaussConsidermos el siguiente sistema (1):
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 ...f1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 ...f2
a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3 ...f3
![Page 10: Sistemas de Ecuaciones Lineales-metodos Numericos](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052307/557211cf497959fc0b8f86d4/html5/thumbnails/10.jpg)
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Eliminación de GaussPrimer paso:
(−a21/a11)f1 + f2
(−a31/a11)f1 + f3
Esto dá lugar al nuevo sistema (2):
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 ...f1
a′22x2 + a′23x3 = b′2 ...f ′2
a′32x2 + a′33x3 = b′3 ...f ′3
![Page 11: Sistemas de Ecuaciones Lineales-metodos Numericos](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052307/557211cf497959fc0b8f86d4/html5/thumbnails/11.jpg)
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Eliminación de GaussPrimer paso:
(−a21/a11)f1 + f2
(−a31/a11)f1 + f3
Esto dá lugar al nuevo sistema (2):
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 ...f1
a′22x2 + a′23x3 = b′2 ...f ′2
a′32x2 + a′33x3 = b′3 ...f ′3
![Page 12: Sistemas de Ecuaciones Lineales-metodos Numericos](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052307/557211cf497959fc0b8f86d4/html5/thumbnails/12.jpg)
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Eliminación de GaussSegundo paso:
(−a′32/a′22)f′2 + f ′3
Luego obtenemos el sistema (3):
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 ...f1
a′22x2 + a′23x3 = b′2 ...f ′2
a′′33x3 = b′′3 ...f ′′3
El proceso de llevar el sistema de ecuaciones (1) a la forma dela ecuación (3) se conoce como triangularización.
![Page 13: Sistemas de Ecuaciones Lineales-metodos Numericos](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052307/557211cf497959fc0b8f86d4/html5/thumbnails/13.jpg)
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Eliminación de GaussSegundo paso:
(−a′32/a′22)f′2 + f ′3
Luego obtenemos el sistema (3):
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 ...f1
a′22x2 + a′23x3 = b′2 ...f ′2
a′′33x3 = b′′3 ...f ′′3
El proceso de llevar el sistema de ecuaciones (1) a la forma dela ecuación (3) se conoce como triangularización.
![Page 14: Sistemas de Ecuaciones Lineales-metodos Numericos](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052307/557211cf497959fc0b8f86d4/html5/thumbnails/14.jpg)
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Eliminación de GaussEl sistema en la forma (3) se resuelve despejando de su últimaecuación x3, sustituyendo x3 en la segunda ecuación ydespejando x2 de ella. Por último, con x3 y x2 sustituidos en laprimera ecuación de (3) se obtiene x1. Esta parte del procesose llama sustitución regresiva.En la ilustración de los ejemplos se empleará la matrizaumentada B.
![Page 15: Sistemas de Ecuaciones Lineales-metodos Numericos](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052307/557211cf497959fc0b8f86d4/html5/thumbnails/15.jpg)
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
EjemploResuelva por eliminación de gauss el sistema:
4x1 − 9x2 + 2x3 = 5
2x1 − 4x2 + 6x3 = 3
x1 − x2 + 3x3 = 4
Solución:La matriz aumentada del sistema es:
B =
4 −9 2 52 −4 6 31 −1 3 4
![Page 16: Sistemas de Ecuaciones Lineales-metodos Numericos](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052307/557211cf497959fc0b8f86d4/html5/thumbnails/16.jpg)
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
EjemploPor triangularización:
−24 f1 + f2, −1
4 f1 + f3 ∼
4 −9 2 50 0.5 5 0.50 1.25 2.5 2.75
−1.250.5 f2 + f3 ∼
4 −9 2 50 0.5 5 0.50 0 −10 1.5
En términos de sistemas de ecuaciones quedaría:
4x1 − 9x2 + 2x3 = 5
0.5x2 + 5x3 = 0.5
−10x3 = 1.5
![Page 17: Sistemas de Ecuaciones Lineales-metodos Numericos](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052307/557211cf497959fc0b8f86d4/html5/thumbnails/17.jpg)
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
EjemploPor triangularización:
−24 f1 + f2, −1
4 f1 + f3 ∼
4 −9 2 50 0.5 5 0.50 1.25 2.5 2.75
−1.25
0.5 f2 + f3 ∼
4 −9 2 50 0.5 5 0.50 0 −10 1.5
En términos de sistemas de ecuaciones quedaría:
4x1 − 9x2 + 2x3 = 5
0.5x2 + 5x3 = 0.5
−10x3 = 1.5
![Page 18: Sistemas de Ecuaciones Lineales-metodos Numericos](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052307/557211cf497959fc0b8f86d4/html5/thumbnails/18.jpg)
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
EjemploPor triangularización:
−24 f1 + f2, −1
4 f1 + f3 ∼
4 −9 2 50 0.5 5 0.50 1.25 2.5 2.75
−1.25
0.5 f2 + f3 ∼
4 −9 2 50 0.5 5 0.50 0 −10 1.5
En términos de sistemas de ecuaciones quedaría:
4x1 − 9x2 + 2x3 = 5
0.5x2 + 5x3 = 0.5
−10x3 = 1.5
![Page 19: Sistemas de Ecuaciones Lineales-metodos Numericos](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052307/557211cf497959fc0b8f86d4/html5/thumbnails/19.jpg)
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
EjemploPor sustitución regresiva:
x1 = 6.95
x2 = 2.5
x3 = −0.15
![Page 20: Sistemas de Ecuaciones Lineales-metodos Numericos](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052307/557211cf497959fc0b8f86d4/html5/thumbnails/20.jpg)
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Método de Factorización LUConsideremos el sistema de ecuaciones lineales:
Ax = b
LUx = b
U una matriz triangular superior.L una matriz triangular inferior.
Hacemos Ux = c, c es el vector desconocido.Resolvemos Lc = b, una vez calculado c, se resuelve:
Ux = c
donde: x es el vector solución.
![Page 21: Sistemas de Ecuaciones Lineales-metodos Numericos](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052307/557211cf497959fc0b8f86d4/html5/thumbnails/21.jpg)
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
EjemploResuelva por factorización LU el sistema:
4x1 − 9x2 + 2x3 = 5
2x1 − 4x2 + 6x3 = 3
x1 − x2 + 3x3 = 4
Solución:La matriz aumentada del sistema es:
B =
4 −9 2 52 −4 6 31 −1 3 4
![Page 22: Sistemas de Ecuaciones Lineales-metodos Numericos](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052307/557211cf497959fc0b8f86d4/html5/thumbnails/22.jpg)
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Ejemplo - soluciónPor triangularización:
−24 f1 + f2, −1
4 f1 + f3 ∼
4 −9 2 50 0.5 5 0.50 1.25 2.5 2.75
−1.250.5 f2 + f3 ∼
4 −9 2 50 0.5 5 0.50 0 −10 1.5
![Page 23: Sistemas de Ecuaciones Lineales-metodos Numericos](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052307/557211cf497959fc0b8f86d4/html5/thumbnails/23.jpg)
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Ejemplo - soluciónPor triangularización:
−24 f1 + f2, −1
4 f1 + f3 ∼
4 −9 2 50 0.5 5 0.50 1.25 2.5 2.75
−1.25
0.5 f2 + f3 ∼
4 −9 2 50 0.5 5 0.50 0 −10 1.5
![Page 24: Sistemas de Ecuaciones Lineales-metodos Numericos](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052307/557211cf497959fc0b8f86d4/html5/thumbnails/24.jpg)
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Ejemplo - soluciónU:Matriz triangular superior
B =
4 −9 20 0.5 50 0 −10
L:Matriz triangular inferior
B =
1 0 02/4 1 01/4 1.25/0.5 1
![Page 25: Sistemas de Ecuaciones Lineales-metodos Numericos](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052307/557211cf497959fc0b8f86d4/html5/thumbnails/25.jpg)
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Ejemplo - soluciónResolvemos:
Lc = b 1 0 02/4 1 01/4 1.25/0.5 1
c1c2c3
=
534
donde:
c1 = 5
c2 = 0.5
c3 = 1.5
![Page 26: Sistemas de Ecuaciones Lineales-metodos Numericos](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052307/557211cf497959fc0b8f86d4/html5/thumbnails/26.jpg)
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Ejemplo - soluciónResolvemos:
Lc = b 1 0 02/4 1 01/4 1.25/0.5 1
c1c2c3
=
534
donde:
c1 = 5
c2 = 0.5
c3 = 1.5
![Page 27: Sistemas de Ecuaciones Lineales-metodos Numericos](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052307/557211cf497959fc0b8f86d4/html5/thumbnails/27.jpg)
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Ejemplo - soluciónLuego resolvemos:
Ux = c 4 −9 20 0.5 50 0 −10
x1x2x3
=
50.51.5
donde:
x1 = −0.15
x2 = 2.5
x3 = 6.95
![Page 28: Sistemas de Ecuaciones Lineales-metodos Numericos](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052307/557211cf497959fc0b8f86d4/html5/thumbnails/28.jpg)
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Ejemplo - soluciónLuego resolvemos:
Ux = c 4 −9 20 0.5 50 0 −10
x1x2x3
=
50.51.5
donde:
x1 = −0.15
x2 = 2.5
x3 = 6.95
![Page 29: Sistemas de Ecuaciones Lineales-metodos Numericos](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052307/557211cf497959fc0b8f86d4/html5/thumbnails/29.jpg)
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
EjemploResuelva por factorización LU el sistema:
x1 + 2x2 + 4x3 + x4 = 21
2x1 + 8x2 + 6x3 + 4x4 = 52
3x1 + 10x2 + 8x3 + 8x4 = 79
4x1 + 12x2 + 10x3 + 6x4 = 82
Solución:
x1 = 2 x2 = 2
x3 = 3 x4 = 4
![Page 30: Sistemas de Ecuaciones Lineales-metodos Numericos](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052307/557211cf497959fc0b8f86d4/html5/thumbnails/30.jpg)
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
EjemploResuelva por factorización LU el sistema:
x1 + 2x2 + 4x3 + x4 = 21
2x1 + 8x2 + 6x3 + 4x4 = 52
3x1 + 10x2 + 8x3 + 8x4 = 79
4x1 + 12x2 + 10x3 + 6x4 = 82
Solución:
x1 = 2 x2 = 2
x3 = 3 x4 = 4
![Page 31: Sistemas de Ecuaciones Lineales-metodos Numericos](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052307/557211cf497959fc0b8f86d4/html5/thumbnails/31.jpg)
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Método de CholeskyConsideremos el sistema de ecuaciones lineales:
Ax = b
LLtx = b
A una matriz simétrica y definida positiva.L una matriz triangular inferior.
Hacemos Ltx = c, c es el vector desconocido.Resolvemos Lc = b, una vez calculado c, se resuelve:
Ltx = c
donde: x es el vector solución.
![Page 32: Sistemas de Ecuaciones Lineales-metodos Numericos](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052307/557211cf497959fc0b8f86d4/html5/thumbnails/32.jpg)
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Método de CholeskyLa matriz triangular inferior L tiene la forma:
l11 0 0 ... 0l21 l22 0 ... 0... ... ... ... ...ln1 ln2 ln3 ... lnn
![Page 33: Sistemas de Ecuaciones Lineales-metodos Numericos](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052307/557211cf497959fc0b8f86d4/html5/thumbnails/33.jpg)
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
EjemploResuelva usando el método de Cholesky el siguiente sistema:
4x1 + x2 + 2x3 = 1
x1 + 2x2 + 0x3 = 2
2x1 + 0x2 + 5x3 = 4
A es simétrica y definida positiva.
![Page 34: Sistemas de Ecuaciones Lineales-metodos Numericos](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052307/557211cf497959fc0b8f86d4/html5/thumbnails/34.jpg)
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
EjemploResuelva usando el método de Cholesky el siguiente sistema:
4x1 + x2 + 2x3 = 1
x1 + 2x2 + 0x3 = 2
2x1 + 0x2 + 5x3 = 4
A es simétrica y definida positiva.
![Page 35: Sistemas de Ecuaciones Lineales-metodos Numericos](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052307/557211cf497959fc0b8f86d4/html5/thumbnails/35.jpg)
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Ejemplo - solución
A = L.Lt
De donde obtenemos:
l211 = a11 ⇒ l11 = 2
l11.l21 = a12 ⇒ l21 = 0.5
l11.l31 = a13 ⇒ l31 = 1
l221 + l222 = a22 ⇒ l22 = 1.32287
l21.l31 + l22.l32 = a23 ⇒ l32 = −0.37796
l231 + l232 + l233 = a33 ⇒ l33 = 1.96396
![Page 36: Sistemas de Ecuaciones Lineales-metodos Numericos](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052307/557211cf497959fc0b8f86d4/html5/thumbnails/36.jpg)
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Ejemplo - solución
A = L.Lt
De donde obtenemos:
l211 = a11 ⇒ l11 = 2
l11.l21 = a12 ⇒ l21 = 0.5
l11.l31 = a13 ⇒ l31 = 1
l221 + l222 = a22 ⇒ l22 = 1.32287
l21.l31 + l22.l32 = a23 ⇒ l32 = −0.37796
l231 + l232 + l233 = a33 ⇒ l33 = 1.96396
![Page 37: Sistemas de Ecuaciones Lineales-metodos Numericos](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052307/557211cf497959fc0b8f86d4/html5/thumbnails/37.jpg)
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Ejemplo - soluciónResolviendo el sistema:
Lc = b 2 0 00.5 1.32287 01 −0.37796 1.96396
c1c2c3
=
124
obtenemos:
c1 = 0.5
c2 = 1.32287
c3 = 2.0367
![Page 38: Sistemas de Ecuaciones Lineales-metodos Numericos](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052307/557211cf497959fc0b8f86d4/html5/thumbnails/38.jpg)
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Ejemplo - soluciónResolviendo el sistema:
Lc = b 2 0 00.5 1.32287 01 −0.37796 1.96396
c1c2c3
=
124
obtenemos:
c1 = 0.5
c2 = 1.32287
c3 = 2.0367
![Page 39: Sistemas de Ecuaciones Lineales-metodos Numericos](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052307/557211cf497959fc0b8f86d4/html5/thumbnails/39.jpg)
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Ejemplo - soluciónLuego resolviendo el sistema:
Ltx = c 2 0.5 10 1.32287 −0.377960 0 1.96396
x1x2x3
=
0.51.322872.0367
obtenemos:
x1 = −0.59259
x2 = 1.29629
x3 = 1.037
![Page 40: Sistemas de Ecuaciones Lineales-metodos Numericos](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052307/557211cf497959fc0b8f86d4/html5/thumbnails/40.jpg)
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Ejemplo - soluciónLuego resolviendo el sistema:
Ltx = c 2 0.5 10 1.32287 −0.377960 0 1.96396
x1x2x3
=
0.51.322872.0367
obtenemos:
x1 = −0.59259
x2 = 1.29629
x3 = 1.037