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Sistemas de Ecuaciones Lineales yMatrices
Oscar G Ibarra-Manzano, DSc
Departamento de Area Basica - Tronco Comun DES de IngenierıasFacultad de Ingenierıa, Mecanica, Electrica y Electronica
Trimestre Invierno 2008,10 de enero de 2008
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Contenido
1 Inversa y transpuesta de una matrizInversa y transpuesta de una matriz
2 Matrices elementales y matrices inversasMatrices elementales y matrices inversasResumen
3 Factorizacion LU de una matrizFactorizacion LU de una matrizResumen
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Contenido
1 Inversa y transpuesta de una matrizInversa y transpuesta de una matriz
2 Matrices elementales y matrices inversasMatrices elementales y matrices inversasResumen
3 Factorizacion LU de una matrizFactorizacion LU de una matrizResumen
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
La inversa de una matriz cuadrada
Definicion de InLa matriz identidad In de n × n es unamatriz de n × n cuyos elementos de ladiagonal principal son iguales a 1 ytodos los demas son 0.
In = bij donde bij =
{1 si i = j0 si i 6= j
Las siguientes matrices son unosejemplos:
I3 =
1 0 00 1 00 0 1
I5 =
1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
La inversa de una matriz cuadrada
Inversa de una matriz: A−1
Consideremos A y B dos matrices den × n donde se cumple que:
AB = BA = I
Entonces B se llama la inversa de A yse denota A−1. De esta forma secumple:
AA−1 = A−1A = I
Si A tiene inversa, entonces se diceque A es invertible.
Ejemplo: Consideremos las matrices
A =
(2 51 3
)y
B =
(3 −5−1 2
)Entonces(
2 51 3
)(3 −5−1 2
)=
(1 00 1
)
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz cuadrada A
Procedimiento:
1 Se escribe la matriz aumentada (A|I).2 Se utiliza la reduccion por renglones
para poner la matriz A a su formaescalonada reducida por renglones.
3 Se decide si A es invertible:
Si la forma escalonada reducidapor renglones de A es unamatriz identidad I, entonces A−1
es la matriz que se tiene a laderecha de la barra vertical.Si la reduccion de A conduce aun renglon de ceros a laizquierda de la barra vertical,entonces A es singular.
Ejemplo: consideremos la matriz,
A =
2 4 64 5 63 1 −2
La matriz aumentada (A|I3) es 2 4 6 | 1 0 0
4 5 6 | 0 1 03 1 −2 | 0 0 1
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz cuadrada A
Procedimiento:
1 Se escribe la matriz aumentada (A|I).2 Se utiliza la reduccion por renglones
para poner la matriz A a su formaescalonada reducida por renglones.
3 Se decide si A es invertible:
Si la forma escalonada reducidapor renglones de A es unamatriz identidad I, entonces A−1
es la matriz que se tiene a laderecha de la barra vertical.Si la reduccion de A conduce aun renglon de ceros a laizquierda de la barra vertical,entonces A es singular.
Reduccion por renglones (inicio): 2 4 6 | 1 0 04 5 6 | 0 1 03 1 −2 | 0 0 1
R1 → 1
2 R1−−−−−−−→ 1 2 3 | 1
2 0 04 5 6 | 0 1 03 1 −2 | 0 0 1
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz cuadrada A
Procedimiento:
1 Se escribe la matriz aumentada (A|I).2 Se utiliza la reduccion por renglones
para poner la matriz A a su formaescalonada reducida por renglones.
3 Se decide si A es invertible:
Si la forma escalonada reducidapor renglones de A es unamatriz identidad I, entonces A−1
es la matriz que se tiene a laderecha de la barra vertical.Si la reduccion de A conduce aun renglon de ceros a laizquierda de la barra vertical,entonces A es singular.
(continuacion...) 1 2 3 | 12 0 0
4 5 6 | 0 1 03 1 −2 | 0 0 1
R2 → R2 − 4R1
R3 → R3 − 3R1−−−−−−−−−−−→ 1 2 3 | 12 0 0
0 −3 −6 | −2 1 00 −5 −11 | − 3
2 0 1
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz cuadrada A
Procedimiento:
1 Se escribe la matriz aumentada (A|I).2 Se utiliza la reduccion por renglones
para poner la matriz A a su formaescalonada reducida por renglones.
3 Se decide si A es invertible:
Si la forma escalonada reducidapor renglones de A es unamatriz identidad I, entonces A−1
es la matriz que se tiene a laderecha de la barra vertical.Si la reduccion de A conduce aun renglon de ceros a laizquierda de la barra vertical,entonces A es singular.
(continuacion...) 1 2 3 | 12 0 0
0 −3 −6 | −2 1 00 −5 −11 | − 3
2 0 1
R2 → − 1
3 R2−−−−−−−−→ 1 2 3 | 1
2 0 00 1 2 | 2
3 − 13 0
0 −5 −11 | − 32 0 1
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Inversa y transpuesta de una matriz
Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz cuadrada A
Procedimiento:
1 Se escribe la matriz aumentada (A|I).2 Se utiliza la reduccion por renglones
para poner la matriz A a su formaescalonada reducida por renglones.
3 Se decide si A es invertible:
Si la forma escalonada reducidapor renglones de A es unamatriz identidad I, entonces A−1
es la matriz que se tiene a laderecha de la barra vertical.Si la reduccion de A conduce aun renglon de ceros a laizquierda de la barra vertical,entonces A es singular.
(continuacion...) 1 2 3 | 12 0 0
0 1 2 | 23 − 1
3 00 −5 −11 | − 3
2 0 1
R1 → R1 − 2R2
R3 → R3 + 5R2−−−−−−−−−−−→ 1 0 −1 | − 56
23 0
0 1 2 | 23 − 1
3 00 0 −1 | 11
6 − 53 1
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Inversa y transpuesta de una matriz
Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz cuadrada A
Procedimiento:
1 Se escribe la matriz aumentada (A|I).2 Se utiliza la reduccion por renglones
para poner la matriz A a su formaescalonada reducida por renglones.
3 Se decide si A es invertible:
Si la forma escalonada reducidapor renglones de A es unamatriz identidad I, entonces A−1
es la matriz que se tiene a laderecha de la barra vertical.Si la reduccion de A conduce aun renglon de ceros a laizquierda de la barra vertical,entonces A es singular.
(continuacion...) 1 0 −1 | − 56
23 0
0 1 2 | 23 − 1
3 00 0 −1 | 11
6 − 53 1
R3 → −R3−−−−−−−→ 1 0 −1 | − 5
623 0
0 1 2 | 23 − 1
3 00 0 1 | − 11
653 −1
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Inversa y transpuesta de una matriz
Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz cuadrada A
Procedimiento:
1 Se escribe la matriz aumentada (A|I).2 Se utiliza la reduccion por renglones
para poner la matriz A a su formaescalonada reducida por renglones.
3 Se decide si A es invertible:
Si la forma escalonada reducidapor renglones de A es unamatriz identidad I, entonces A−1
es la matriz que se tiene a laderecha de la barra vertical.Si la reduccion de A conduce aun renglon de ceros a laizquierda de la barra vertical,entonces A es singular.
(continuacion...) 1 0 −1 | − 56
23 0
0 1 2 | 23 − 1
3 00 0 1 | − 11
653 −1
R1 → R1 + R3
R2 → R2 − 2R3−−−−−−−−−−−→ 1 0 0 | − 83
73 −1
0 1 0 | 133 − 11
3 20 0 1 | − 11
653 −1
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Inversa y transpuesta de una matriz
Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz cuadrada A
Procedimiento:
1 Se escribe la matriz aumentada (A|I).2 Se utiliza la reduccion por renglones
para poner la matriz A a su formaescalonada reducida por renglones.
3 Se decide si A es invertible:
Si la forma escalonada reducidapor renglones de A es unamatriz identidad I, entonces A−1
es la matriz que se tiene a laderecha de la barra vertical.Si la reduccion de A conduce aun renglon de ceros a laizquierda de la barra vertical,entonces A es singular.
Finalmente, la inversa A−1 es:
A−1 =
− 83
73 −1
133 − 11
3 2− 11
653 −1
factorizando el termino 1
6 , tenemos:
A−1 =16
−16 14 −626 −22 12−11 10 −6
Se puede demostrar que AA−1 = I.
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
Teoremas importantes sobre la inversa de una matriz
Teoremas:
Si una matriz A es invertible, entonces su inversa es unica.
Si A y B son dos matrices invertibles de n × n. Entonces AB esinvertible y es:
(AB)−1 = B−1A−1
Si A es una matriz de 2× 2 y det A = a11a22 − a12a21. Entonces
A es invertible si y solo si det A 6= 0.Si det A 6= 0, entonces
A−1 =1
det A
(a22 −a12
−a21 a11
)Si A es invertible, entonces la solucion unica de Ax = b esta dada porx = A−1b.
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
Teoremas importantes sobre la inversa de una matriz
Teoremas:
Si una matriz A es invertible, entonces su inversa es unica.
Si A y B son dos matrices invertibles de n × n. Entonces AB esinvertible y es:
(AB)−1 = B−1A−1
Si A es una matriz de 2× 2 y det A = a11a22 − a12a21. Entonces
A es invertible si y solo si det A 6= 0.Si det A 6= 0, entonces
A−1 =1
det A
(a22 −a12
−a21 a11
)Si A es invertible, entonces la solucion unica de Ax = b esta dada porx = A−1b.
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
Teoremas importantes sobre la inversa de una matriz
Teoremas:
Si una matriz A es invertible, entonces su inversa es unica.
Si A y B son dos matrices invertibles de n × n. Entonces AB esinvertible y es:
(AB)−1 = B−1A−1
Si A es una matriz de 2× 2 y det A = a11a22 − a12a21. Entonces
A es invertible si y solo si det A 6= 0.Si det A 6= 0, entonces
A−1 =1
det A
(a22 −a12
−a21 a11
)Si A es invertible, entonces la solucion unica de Ax = b esta dada porx = A−1b.
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
Teoremas importantes sobre la inversa de una matriz
Teoremas:
Si una matriz A es invertible, entonces su inversa es unica.
Si A y B son dos matrices invertibles de n × n. Entonces AB esinvertible y es:
(AB)−1 = B−1A−1
Si A es una matriz de 2× 2 y det A = a11a22 − a12a21. Entonces
A es invertible si y solo si det A 6= 0.Si det A 6= 0, entonces
A−1 =1
det A
(a22 −a12
−a21 a11
)Si A es invertible, entonces la solucion unica de Ax = b esta dada porx = A−1b.
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
Transpuesta de una matriz
Definicion:
Sea A = (aij) una matriz de m × n. Entonces la transpuesta de A, que seescribe At , es la matriz n ×m obtenida al intercambiar los renglones por lascolumnas de A. De forma simplificada, se puede escribir At = (aji). Esto es:
si A =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
......
am1 am2 · · · amn
, entonces At =
a11 a21 · · · am1
a12 a22 · · · am2...
......
a1n a2n · · · amn
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
Propiedades de la transpuesta de una matriz
Teorema:
Sea A = (aij) una matriz de n ×m y B = (bij)una matriz de m × p. Entonces:
1 (At)t = A.2 (AB)t = BtAt .3 Si A y B son de n ×m, entonces
(A + B)t = At + Bt .4 Si A es no singular, entonces At es
invertible y (At)−1 = (A−1)t .Observacion: Si en una matriz se cumple queA = At , entonces se dice que A es una matrizsimetrica. De igual forma, si en una matriz secumple que A = −At , entonces se dice que A esuna matriz antisimetrica.
Ejemplo:
Consideremos A =
1 12 00 1
.
Entonces:
At =
(1 2 01 0 1
)y
(At)t =
1 12 00 1
= A
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
Propiedades de la transpuesta de una matriz
Teorema:
Sea A = (aij) una matriz de n ×m y B = (bij)una matriz de m × p. Entonces:
1 (At)t = A.2 (AB)t = BtAt .3 Si A y B son de n ×m, entonces
(A + B)t = At + Bt .4 Si A es no singular, entonces At es
invertible y (At)−1 = (A−1)t .Observacion: Si en una matriz se cumple queA = At , entonces se dice que A es una matrizsimetrica. De igual forma, si en una matriz secumple que A = −At , entonces se dice que A esuna matriz antisimetrica.
Ejemplo:Consideremos:
A =
1 12 00 1
y B =
(1 30 1
).
donde
(AB)t =
1 42 60 1
t
=
(1 2 04 6 1
).
Entonces,
BtAt =
(1 03 1
)(1 2 01 0 1
)=
(1 2 04 6 1
)
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
Propiedades de la transpuesta de una matriz
Teorema:
Sea A = (aij) una matriz de n ×m y B = (bij)una matriz de m × p. Entonces:
1 (At)t = A.2 (AB)t = BtAt .3 Si A y B son de n ×m, entonces
(A + B)t = At + Bt .4 Si A es no singular, entonces At es
invertible y (At)−1 = (A−1)t .Observacion: Si en una matriz se cumple queA = At , entonces se dice que A es una matrizsimetrica. De igual forma, si en una matriz secumple que A = −At , entonces se dice que A esuna matriz antisimetrica.
Ejemplo:
Si A =
1 13 21 1
y B =
2 11 31 1
Entonces,
(A + B)t =
3 24 52 2
t
=
(3 4 22 5 2
)De igual forma,
At + Bt =
(3 4 22 5 2
)
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Inversa y transpuesta de una matriz
Propiedades de la transpuesta de una matriz
Teorema:
Sea A = (aij) una matriz de n ×m y B = (bij)una matriz de m × p. Entonces:
1 (At)t = A.2 (AB)t = BtAt .3 Si A y B son de n ×m, entonces
(A + B)t = At + Bt .4 Si A es no singular, entonces At es
invertible y (At)−1 = (A−1)t .Observacion: Si en una matriz se cumple queA = At , entonces se dice que A es una matrizsimetrica. De igual forma, si en una matriz secumple que A = −At , entonces se dice que A esuna matriz antisimetrica.
Ejemplo:
Consideremos A =
(1 30 1
)donde
A−1 =
(1 −30 1
)At =
(1 03 1
)(At)−1 =
(1 0−3 1
)De aquı podemos observar que:
(At)−1 = (A−1)t
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Contenido
1 Inversa y transpuesta de una matrizInversa y transpuesta de una matriz
2 Matrices elementales y matrices inversasMatrices elementales y matrices inversasResumen
3 Factorizacion LU de una matrizFactorizacion LU de una matrizResumen
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Definicion y operaciones de las matrices elementales
Definicion:
Una matriz cuadrada E de n × n se llama matriz elemental si se puedeobtener a partir de la matriz identidad, In de n × n mediante una solaoperacion elemental con renglones.
Tipos de operaciones elementales:
1 Multiplicar el renglon i por un numeroc diferente de cero.
2 Sumar un multiplo del renglon i alrenglon j .
3 Permutar los renglones i y j .
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Definicion y operaciones de las matrices elementales
Definicion:
Una matriz cuadrada E de n × n se llama matriz elemental si se puedeobtener a partir de la matriz identidad, In de n × n mediante una solaoperacion elemental con renglones.
Tipos de operaciones elementales:
1 Multiplicar el renglon i por un numeroc diferente de cero.
2 Sumar un multiplo del renglon i alrenglon j .
3 Permutar los renglones i y j .
Nomenclatura: cRi 1 0 00 1 00 0 1
R2 → 4R2−−−−−−→ 1 0 00 4 00 0 1
= 4R2
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Definicion y operaciones de las matrices elementales
Definicion:
Una matriz cuadrada E de n × n se llama matriz elemental si se puedeobtener a partir de la matriz identidad, In de n × n mediante una solaoperacion elemental con renglones.
Tipos de operaciones elementales:
1 Multiplicar el renglon i por un numeroc diferente de cero.
2 Sumar un multiplo del renglon i alrenglon j .
3 Permutar los renglones i y j .
Nomenclatura: Rj + cRi 1 0 00 1 00 0 1
R3 → R3 − 2R2−−−−−−−−−−−→ 1 0 00 1 00 −2 1
= R3 − 2R2
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Definicion y operaciones de las matrices elementales
Definicion:
Una matriz cuadrada E de n × n se llama matriz elemental si se puedeobtener a partir de la matriz identidad, In de n × n mediante una solaoperacion elemental con renglones.
Tipos de operaciones elementales:
1 Multiplicar el renglon i por un numeroc diferente de cero.
2 Sumar un multiplo del renglon i alrenglon j .
3 Permutar los renglones i y j .
Nomenclatura: Pij 1 0 00 1 00 0 1
R2 � R3−−−−−−→ 1 0 00 0 10 1 0
= P23
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Operaciones elementales e inversa de una matriz elemental
Teorema:
Para realizar una operacion elemental en una matriz A, se multiplica A por laizquierda por la matriz elemental adecuada.
Ejemplo:
Sea la matriz A =
1 3 32 1 24 0 7
y la matriz elemental E =
1 0 0−2 1 0
0 0 1
Entonces,
EA = (R2 − 2R1)A
=
1 0 0−2 1 0
0 0 1
1 3 32 1 24 0 7
=
1 3 30 −5 −44 0 7
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Operaciones elementales e inversa de una matriz elemental
Teorema:
Toda matriz elemental es invertible. La inversa de una matriz elemental esuna matriz elemental.
Para EcRi : (cRi)−1 = 1
c Ri
Para ERj+cRi : (Rj + cRi)−1 = Rj − cRi
Para EPij : (Pij)−1 = Pij
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Operaciones elementales e inversa de una matriz elemental
Teorema:
Toda matriz elemental es invertible. La inversa de una matriz elemental esuna matriz elemental.
Para EcRi : (cRi)−1 = 1
c Ri
Para ERj+cRi : (Rj + cRi)−1 = Rj − cRi
Para EPij : (Pij)−1 = Pij
1 0 00 c 00 0 1
1 0 00 1
c 00 0 1
=
1 0 00 1 00 0 1
Ejemplo: E → 4R2 1 0 0
0 4 00 0 1
1 0 00 1
4 00 0 1
=
1 0 00 1 00 0 1
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Operaciones elementales e inversa de una matriz elemental
Teorema:
Toda matriz elemental es invertible. La inversa de una matriz elemental esuna matriz elemental.
Para EcRi : (cRi)−1 = 1
c Ri
Para ERj+cRi : (Rj + cRi)−1 = Rj − cRi
Para EPij : (Pij)−1 = Pij
1 0 00 1 0c 0 1
1 0 00 1 0−c 0 1
=
1 0 00 1 00 0 1
Ejemplo: E → R3 + 2R1 1 0 0
0 1 02 0 1
1 0 00 1 0−2 0 1
=
1 0 00 1 00 0 1
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Operaciones elementales e inversa de una matriz elemental
Teorema:
Toda matriz elemental es invertible. La inversa de una matriz elemental esuna matriz elemental.
Para EcRi : (cRi)−1 = 1
c Ri
Para ERj+cRi : (Rj + cRi)−1 = Rj − cRi
Para EPij : (Pij)−1 = Pij
Ejemplo: E → P23 1 0 00 0 10 1 0
1 0 00 0 10 1 0
=
1 0 00 1 00 0 1
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Representacion de una matriz en terminos matrices elementales
Teorema:
Una matriz cuadrada es invertible si y solo si es el producto de matriceselementales.
A−1 =EmEm−1 · · ·E2E1
A =E−11 E−1
2 · · ·E−1m−1E−1
m
Ejemplo: Sea A =
(2 44 5
), con su matriz aumentada:
(2 4 | 1 04 5 | 0 1
)
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Representacion de una matriz en terminos matrices elementales
Teorema:
Una matriz cuadrada es invertible si y solo si es el producto de matriceselementales.
A−1 =EmEm−1 · · ·E2E1
A =E−11 E−1
2 · · ·E−1m−1E−1
m
Ejemplo: Sea A =
(2 44 5
), con su matriz aumentada:
(2 4 | 1 04 5 | 0 1
)
E1 :12
R1−−−−−−→
(1 2 | 1
2 04 5 | 0 1
)E2 : R2 − 4R1−−−−−−−−−→
(1 2 | 1
2 00 −3 | −2 1
)
E3 : −13
R2−−−−−−−→
(1 2 | 1
2 00 1 | 2
3 − 13
)E4 : R1 − 2R2−−−−−−−−−→
(1 0 | − 5
623
0 1 | 23 − 1
3
)
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Representacion de una matriz en terminos matrices elementales
Teorema:
Una matriz cuadrada es invertible si y solo si es el producto de matriceselementales.
A−1 =EmEm−1 · · ·E2E1
A =E−11 E−1
2 · · ·E−1m−1E−1
m
Ejemplo: Sea A =
(2 44 5
), con su matriz aumentada:
(2 4 | 1 04 5 | 0 1
)Entonces,
A−1 = (R1 − 2R2)(−13
R2)(R2 − 4R1)(12
R1)
=
(1 −20 1
)(1 00 − 1
3
)(1 0−4 1
)( 12 00 1
)
=
(− 5
623
23 − 1
3
)
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Representacion de una matriz en terminos matrices elementales
Teorema:
Una matriz cuadrada es invertible si y solo si es el producto de matriceselementales.
A−1 =EmEm−1 · · ·E2E1
A =E−11 E−1
2 · · ·E−1m−1E−1
m
Ejemplo: Sea A =
(2 44 5
), con su matriz aumentada:
(2 4 | 1 04 5 | 0 1
)De igual forma,
A = (12
R1)−1(R2 − 4R1)
−1(−13
R2)−1(R1 − 2R2)
−1
=
( 12 00 1
)−1 ( 1 0−4 1
)−1 ( 1 00 − 1
3
)−1 ( 1 −20 1
)−1
=
(2 00 1
)(1 04 1
)(1 00 −3
)(1 20 1
)=
(2 44 5
)
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Resumen
Resumen
Tarea y problemas
1 Sea(
a11 a12a21 a22
)es una matriz con elementos reales no negativos que tienen
las propiedades siguientes:
i) a211 + a2
12 = 1 y a221 + a2
22 = 1 y ii)(
a11a12
)·(
a21a22
)= 0.
Demuestre que A es invertible y que A−1 = At .
2 Encuentre la matriz elemental E tal que EA = B si A =
1 23 45 6
y
B =
−5 −63 45 6
.
3 Sea A =
0 2 31 1 42 4 1
, expresa A como el producto de matrices elementales.
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Resumen
Resumen
Programas:
1 Realizar un programa que genere las n2 matrices elementales cuyo productogeneran la matriz A−1.
2 Modificar el programa anterior para obtener las n2 matrices elementales cuyoproducto generan la matriz A.
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Contenido
1 Inversa y transpuesta de una matrizInversa y transpuesta de una matriz
2 Matrices elementales y matrices inversasMatrices elementales y matrices inversasResumen
3 Factorizacion LU de una matrizFactorizacion LU de una matrizResumen
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU aplicando matrices elementales
Ejemplo:
A =
2 1 43 2 05 1 1
Reduciendo la matriz a una forma escalonadaaplicando la eliminacion Gaussiana: 2 1 4
3 2 05 1 1
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU aplicando matrices elementales
Ejemplo:
A =
2 1 43 2 05 1 1
Reduciendo la matriz a una forma escalonadaaplicando la eliminacion Gaussiana: 2 1 4
3 2 05 1 1
2 1 4
3 2 05 1 1
R2 → R2 − 32 R1
R3 → R3 − 52 R1
−−−−−−−−−−−→
2 1 40 1
2 −60 − 3
2 −9
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU aplicando matrices elementales
Ejemplo:
A =
2 1 43 2 05 1 1
Operaciones Elementales
E1: R2 − 32 R1
E2: R3 − 52 R1
Reduciendo la matriz a una forma escalonadaaplicando la eliminacion Gaussiana: 2 1 4
3 2 05 1 1
2 1 4
3 2 05 1 1
R2 → R2 − 32 R1
R3 → R3 − 52 R1
−−−−−−−−−−−→
2 1 40 1
2 −60 − 3
2 −9
![Page 43: Sistemas de Ecuaciones Lineales y MatricesSistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Oscar G Ibarra-Manzano, DSc Departamento de Area B´asica - Tronco Com ´un DES de Ingenier ´ıas](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071523/613ccdb94c23507cb6359d72/html5/thumbnails/43.jpg)
Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU aplicando matrices elementales
Ejemplo:
A =
2 1 43 2 05 1 1
Operaciones Elementales
E1: R2 − 32 R1
E2: R3 − 52 R1
Reduciendo la matriz a una forma escalonadaaplicando la eliminacion Gaussiana: 2 1 4
3 2 05 1 1
2 1 4
0 12 −6
0 − 32 −9
R3 → R3 + 3R2−−−−−−−−−−−→
2 1 40 1
2 −60 0 −27
![Page 44: Sistemas de Ecuaciones Lineales y MatricesSistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Oscar G Ibarra-Manzano, DSc Departamento de Area B´asica - Tronco Com ´un DES de Ingenier ´ıas](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071523/613ccdb94c23507cb6359d72/html5/thumbnails/44.jpg)
Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU aplicando matrices elementales
Ejemplo:
A =
2 1 43 2 05 1 1
Operaciones Elementales
E1: R2 − 32 R1
E2: R3 − 52 R1
E3: R3 + 3R2
Reduciendo la matriz a una forma escalonadaaplicando la eliminacion Gaussiana: 2 1 4
3 2 05 1 1
2 1 4
0 12 −6
0 − 32 −9
R3 → R3 + 3R2−−−−−−−−−−−→
2 1 40 1
2 −60 0 −27
![Page 45: Sistemas de Ecuaciones Lineales y MatricesSistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Oscar G Ibarra-Manzano, DSc Departamento de Area B´asica - Tronco Com ´un DES de Ingenier ´ıas](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071523/613ccdb94c23507cb6359d72/html5/thumbnails/45.jpg)
Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU aplicando matrices elementales
Teorema:
Para realizar una operacion elemental en una matriz A, se multiplica A por laizquierda por la matriz elemental adecuada.
E3E2E1A = U
[R3 + 3R2][R3 −52
R1][R2 −32
R1]A = U
1 0 00 1 00 3 1
1 0 00 1 0− 5
2 0 1
1 0 0− 3
2 1 00 0 1
2 1 43 2 05 1 1
= U
Donde:
U =
2 1 40 1
2 −60 0 −27
![Page 46: Sistemas de Ecuaciones Lineales y MatricesSistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Oscar G Ibarra-Manzano, DSc Departamento de Area B´asica - Tronco Com ´un DES de Ingenier ´ıas](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071523/613ccdb94c23507cb6359d72/html5/thumbnails/46.jpg)
Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU aplicando matrices elementales
Teorema:
Para realizar una operacion elemental en una matriz A, se multiplica A por laizquierda por la matriz elemental adecuada.
E3E2E1A = U
[R3 + 3R2][R3 −52
R1][R2 −32
R1]A = U
1 0 00 1 00 3 1
1 0 00 1 0− 5
2 0 1
1 0 0− 3
2 1 00 0 1
2 1 43 2 05 1 1
= U
Donde:
U =
2 1 40 1
2 −60 0 −27
![Page 47: Sistemas de Ecuaciones Lineales y MatricesSistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Oscar G Ibarra-Manzano, DSc Departamento de Area B´asica - Tronco Com ´un DES de Ingenier ´ıas](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071523/613ccdb94c23507cb6359d72/html5/thumbnails/47.jpg)
Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU aplicando matrices elementales
Teorema:
Para realizar una operacion elemental en una matriz A, se multiplica A por laizquierda por la matriz elemental adecuada.
E3E2E1A = U
[R3 + 3R2][R3 −52
R1][R2 −32
R1]A = U
1 0 00 1 00 3 1
1 0 00 1 0− 5
2 0 1
1 0 0− 3
2 1 00 0 1
2 1 43 2 05 1 1
= U
Donde:
U =
2 1 40 1
2 −60 0 −27
![Page 48: Sistemas de Ecuaciones Lineales y MatricesSistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Oscar G Ibarra-Manzano, DSc Departamento de Area B´asica - Tronco Com ´un DES de Ingenier ´ıas](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071523/613ccdb94c23507cb6359d72/html5/thumbnails/48.jpg)
Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU aplicando matrices elementales
Teorema:
Para realizar una operacion elemental en una matriz A, se multiplica A por laizquierda por la matriz elemental adecuada.
E3E2E1A = U
[R3 + 3R2][R3 −52
R1][R2 −32
R1]A = U
1 0 00 1 00 3 1
1 0 00 1 0− 5
2 0 1
1 0 0− 3
2 1 00 0 1
2 1 43 2 05 1 1
= U
Donde:
U =
2 1 40 1
2 −60 0 −27
![Page 49: Sistemas de Ecuaciones Lineales y MatricesSistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Oscar G Ibarra-Manzano, DSc Departamento de Area B´asica - Tronco Com ´un DES de Ingenier ´ıas](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071523/613ccdb94c23507cb6359d72/html5/thumbnails/49.jpg)
Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU aplicando matrices elementales
Teorema:
Para realizar una operacion elemental en una matriz A, se multiplica A por laizquierda por la matriz elemental adecuada.
E3E2E1A = U
[R3 + 3R2][R3 −52
R1][R2 −32
R1]A = U
1 0 00 1 00 3 1
1 0 00 1 0− 5
2 0 1
1 0 0− 3
2 1 00 0 1
2 1 43 2 05 1 1
= U
Donde:
U =
2 1 40 1
2 −60 0 −27
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU aplicando matrices elementales ...
Procedimiento:
1 Multiplicamos por lamatriz inversa quecorresponda por laizquierda
2 Donde:
A =
2 1 43 2 05 1 1
U =
2 1 40 1
2 −60 0 −27
3 Finalmente tenemos:
A = LU
E3E2E1A = U
E−11 E−1
2 E−13 E3E2E1A = E−1
1 E−12 E−1
3 U
A = [R2 −32
R1]−1[R3 −
52
R1]−1[R3 + 3R2]
−1U
A = [R2 +32
R1][R3 +52
R1][R3 − 3R2]U
A =
1 0 032 1 00 0 1
1 0 00 1 052 0 1
1 0 00 1 00 −3 1
U
A =
(1 0 032 1 052 −3 1
)(2 1 40 1
2 −60 0 −27
)
![Page 51: Sistemas de Ecuaciones Lineales y MatricesSistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Oscar G Ibarra-Manzano, DSc Departamento de Area B´asica - Tronco Com ´un DES de Ingenier ´ıas](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071523/613ccdb94c23507cb6359d72/html5/thumbnails/51.jpg)
Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU aplicando matrices elementales ...
Procedimiento:
1 Multiplicamos por lamatriz inversa quecorresponda por laizquierda
2 Donde:
A =
2 1 43 2 05 1 1
U =
2 1 40 1
2 −60 0 −27
3 Finalmente tenemos:
A = LU
E3E2E1A = U
E−11 E−1
2 E−13 E3E2E1A = E−1
1 E−12 E−1
3 U
A = [R2 −32
R1]−1[R3 −
52
R1]−1[R3 + 3R2]
−1U
A = [R2 +32
R1][R3 +52
R1][R3 − 3R2]U
A =
1 0 032 1 00 0 1
1 0 00 1 052 0 1
1 0 00 1 00 −3 1
U
A =
(1 0 032 1 052 −3 1
)(2 1 40 1
2 −60 0 −27
)
![Page 52: Sistemas de Ecuaciones Lineales y MatricesSistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Oscar G Ibarra-Manzano, DSc Departamento de Area B´asica - Tronco Com ´un DES de Ingenier ´ıas](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071523/613ccdb94c23507cb6359d72/html5/thumbnails/52.jpg)
Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU aplicando matrices elementales ...
Procedimiento:
1 Multiplicamos por lamatriz inversa quecorresponda por laizquierda
2 Donde:
A =
2 1 43 2 05 1 1
U =
2 1 40 1
2 −60 0 −27
3 Finalmente tenemos:
A = LU
E3E2E1A = U
E−11 E−1
2 E−13 E3E2E1A = E−1
1 E−12 E−1
3 U
A = [R2 −32
R1]−1[R3 −
52
R1]−1[R3 + 3R2]
−1U
A = [R2 +32
R1][R3 +52
R1][R3 − 3R2]U
A =
1 0 032 1 00 0 1
1 0 00 1 052 0 1
1 0 00 1 00 −3 1
U
A =
(1 0 032 1 052 −3 1
)(2 1 40 1
2 −60 0 −27
)
![Page 53: Sistemas de Ecuaciones Lineales y MatricesSistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Oscar G Ibarra-Manzano, DSc Departamento de Area B´asica - Tronco Com ´un DES de Ingenier ´ıas](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071523/613ccdb94c23507cb6359d72/html5/thumbnails/53.jpg)
Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU aplicando matrices elementales ...
Procedimiento:
1 Multiplicamos por lamatriz inversa quecorresponda por laizquierda
2 Donde:
A =
2 1 43 2 05 1 1
U =
2 1 40 1
2 −60 0 −27
3 Finalmente tenemos:
A = LU
E3E2E1A = U
E−11 E−1
2 E−13 E3E2E1A = E−1
1 E−12 E−1
3 U
A = [R2 −32
R1]−1[R3 −
52
R1]−1[R3 + 3R2]
−1U
A = [R2 +32
R1][R3 +52
R1][R3 − 3R2]U
A =
1 0 032 1 00 0 1
1 0 00 1 052 0 1
1 0 00 1 00 −3 1
U
A =
(1 0 032 1 052 −3 1
)(2 1 40 1
2 −60 0 −27
)
![Page 54: Sistemas de Ecuaciones Lineales y MatricesSistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Oscar G Ibarra-Manzano, DSc Departamento de Area B´asica - Tronco Com ´un DES de Ingenier ´ıas](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071523/613ccdb94c23507cb6359d72/html5/thumbnails/54.jpg)
Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU aplicando matrices elementales ...
Procedimiento:
1 Multiplicamos por lamatriz inversa quecorresponda por laizquierda
2 Donde:
A =
2 1 43 2 05 1 1
U =
2 1 40 1
2 −60 0 −27
3 Finalmente tenemos:
A = LU
E3E2E1A = U
E−11 E−1
2 E−13 E3E2E1A = E−1
1 E−12 E−1
3 U
A = [R2 −32
R1]−1[R3 −
52
R1]−1[R3 + 3R2]
−1U
A = [R2 +32
R1][R3 +52
R1][R3 − 3R2]U
A =
1 0 032 1 00 0 1
1 0 00 1 052 0 1
1 0 00 1 00 −3 1
U
A =
(1 0 032 1 052 −3 1
)(2 1 40 1
2 −60 0 −27
)
![Page 55: Sistemas de Ecuaciones Lineales y MatricesSistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Oscar G Ibarra-Manzano, DSc Departamento de Area B´asica - Tronco Com ´un DES de Ingenier ´ıas](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071523/613ccdb94c23507cb6359d72/html5/thumbnails/55.jpg)
Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU aplicando matrices elementales ...
Procedimiento:
1 Multiplicamos por lamatriz inversa quecorresponda por laizquierda
2 Donde:
A =
2 1 43 2 05 1 1
U =
2 1 40 1
2 −60 0 −27
3 Finalmente tenemos:
A = LU
E3E2E1A = U
E−11 E−1
2 E−13 E3E2E1A = E−1
1 E−12 E−1
3 U
A = [R2 −32
R1]−1[R3 −
52
R1]−1[R3 + 3R2]
−1U
A = [R2 +32
R1][R3 +52
R1][R3 − 3R2]U
A =
1 0 032 1 00 0 1
1 0 00 1 052 0 1
1 0 00 1 00 −3 1
U
A =
(1 0 032 1 052 −3 1
)(2 1 40 1
2 −60 0 −27
)
![Page 56: Sistemas de Ecuaciones Lineales y MatricesSistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Oscar G Ibarra-Manzano, DSc Departamento de Area B´asica - Tronco Com ´un DES de Ingenier ´ıas](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071523/613ccdb94c23507cb6359d72/html5/thumbnails/56.jpg)
Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU de una matriz
Metodo simplificado de la factorizacion LU
Procedimiento:
1 Se expresa A = LU2 Se iguala el producto
escalar del primer renglonde L y la primera columnade U al elemento a(1,1) deA y se determina laprimera incognita.
3 Se repite el procedimientopara el renglon i de L y lacolumna j de U y se igualaal elemento a(i,j) de A paraencontrar todas lasincognitas.
A =
(1 0 0a 1 0b c 1
)(d e g0 f h0 0 i
)
Por lo tanto, tenemos:
![Page 57: Sistemas de Ecuaciones Lineales y MatricesSistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Oscar G Ibarra-Manzano, DSc Departamento de Area B´asica - Tronco Com ´un DES de Ingenier ´ıas](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071523/613ccdb94c23507cb6359d72/html5/thumbnails/57.jpg)
Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU de una matriz
Metodo simplificado de la factorizacion LU
Procedimiento:
1 Se expresa A = LU2 Se iguala el producto
escalar del primer renglonde L y la primera columnade U al elemento a(1,1) deA y se determina laprimera incognita.
3 Se repite el procedimientopara el renglon i de L y lacolumna j de U y se igualaal elemento a(i,j) de A paraencontrar todas lasincognitas.
A =
(1 0 0a 1 0b c 1
)(d e g0 f h0 0 i
)
(2 1 43 2 05 1 1
)=
(1 0 0a 1 0b c 1
)(d e g0 f h0 0 i
)
Por lo tanto, tenemos:
![Page 58: Sistemas de Ecuaciones Lineales y MatricesSistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Oscar G Ibarra-Manzano, DSc Departamento de Area B´asica - Tronco Com ´un DES de Ingenier ´ıas](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071523/613ccdb94c23507cb6359d72/html5/thumbnails/58.jpg)
Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU de una matriz
Metodo simplificado de la factorizacion LU
Procedimiento:
1 Se expresa A = LU2 Se iguala el producto
escalar del primer renglonde L y la primera columnade U al elemento a(1,1) deA y se determina laprimera incognita.
3 Se repite el procedimientopara el renglon i de L y lacolumna j de U y se igualaal elemento a(i,j) de A paraencontrar todas lasincognitas.
A =
(1 0 0a 1 0b c 1
)(2 e g0 f h0 0 i
)
(2 1 43 2 05 1 1
)=
(1 0 0a 1 0b c 1
)(d e g0 f h0 0 i
)
Por lo tanto, tenemos:
2 = d
![Page 59: Sistemas de Ecuaciones Lineales y MatricesSistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Oscar G Ibarra-Manzano, DSc Departamento de Area B´asica - Tronco Com ´un DES de Ingenier ´ıas](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071523/613ccdb94c23507cb6359d72/html5/thumbnails/59.jpg)
Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU de una matriz
Metodo simplificado de la factorizacion LU
Procedimiento:
1 Se expresa A = LU2 Se iguala el producto
escalar del primer renglonde L y la primera columnade U al elemento a(1,1) deA y se determina laprimera incognita.
3 Se repite el procedimientopara el renglon i de L y lacolumna j de U y se igualaal elemento a(i,j) de A paraencontrar todas lasincognitas.
A =
(1 0 0a 1 0b c 1
)(2 e g0 f h0 0 i
)
(2 1 43 2 05 1 1
)=
(1 0 0a 1 0b c 1
)(d e g0 f h0 0 i
)
Por lo tanto, tenemos:
2 = d
![Page 60: Sistemas de Ecuaciones Lineales y MatricesSistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Oscar G Ibarra-Manzano, DSc Departamento de Area B´asica - Tronco Com ´un DES de Ingenier ´ıas](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071523/613ccdb94c23507cb6359d72/html5/thumbnails/60.jpg)
Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU de una matriz
Metodo simplificado de la factorizacion LU
Procedimiento:
1 Se expresa A = LU2 Se iguala el producto
escalar del primer renglonde L y la primera columnade U al elemento a(1,1) deA y se determina laprimera incognita.
3 Se repite el procedimientopara el renglon i de L y lacolumna j de U y se igualaal elemento a(i,j) de A paraencontrar todas lasincognitas.
A =
(1 0 032 1 0b c 1
)(2 e g0 f h0 0 i
)(
2 1 43 2 05 1 1
)=
(1 0 0a 1 0b c 1
)(2 e g0 f h0 0 i
)
Por lo tanto, tenemos:
3 = 2a
![Page 61: Sistemas de Ecuaciones Lineales y MatricesSistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Oscar G Ibarra-Manzano, DSc Departamento de Area B´asica - Tronco Com ´un DES de Ingenier ´ıas](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071523/613ccdb94c23507cb6359d72/html5/thumbnails/61.jpg)
Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU de una matriz
Metodo simplificado de la factorizacion LU
Procedimiento:
1 Se expresa A = LU2 Se iguala el producto
escalar del primer renglonde L y la primera columnade U al elemento a(1,1) deA y se determina laprimera incognita.
3 Se repite el procedimientopara el renglon i de L y lacolumna j de U y se igualaal elemento a(i,j) de A paraencontrar todas lasincognitas.
A =
1 0 032 1 052 −3 1
( 2 1 40 1
2 −60 0 i
)(
2 1 43 2 05 1 1
)=
(1 0 032 1 052 −3 1
)(2 1 40 1
2 −60 0 i
)
Por lo tanto, tenemos:
1 = 4(52
)− 6(−3) + i
![Page 62: Sistemas de Ecuaciones Lineales y MatricesSistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Oscar G Ibarra-Manzano, DSc Departamento de Area B´asica - Tronco Com ´un DES de Ingenier ´ıas](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071523/613ccdb94c23507cb6359d72/html5/thumbnails/62.jpg)
Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU de una matriz
Metodo simplificado de la factorizacion LU
Procedimiento:
1 Se expresa A = LU2 Se iguala el producto
escalar del primer renglonde L y la primera columnade U al elemento a(1,1) deA y se determina laprimera incognita.
3 Se repite el procedimientopara el renglon i de L y lacolumna j de U y se igualaal elemento a(i,j) de A paraencontrar todas lasincognitas.
A =
1 0 032 1 052 −3 1
( 2 1 40 1
2 −60 0 −27
)
Por lo tanto, tenemos:
![Page 63: Sistemas de Ecuaciones Lineales y MatricesSistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Oscar G Ibarra-Manzano, DSc Departamento de Area B´asica - Tronco Com ´un DES de Ingenier ´ıas](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071523/613ccdb94c23507cb6359d72/html5/thumbnails/63.jpg)
Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU de una matriz
Aplicacion a la solucion de sistemas de ecuaciones lineales: Ax = b
Procedimiento:
El metodo consiste en resolverel sistema Ax = b mediante lafactorizacion de la matriz decoeficientes A en LU.
Se expresa el sistemacomo: LUx = b.
Se sustituye y = Ux y seresuelve el sistemaresultante Ly = b.
Se resuelve el sistemay = Ux para el vector x.
Ejemplo:(2 1 43 2 05 1 1
)(x1x2x3
)=
(142
)
(1 0 032 1 052 −3 1
)(2 1 40 1
2 −60 0 −27
)(x1x2x3
)=
(142
)
![Page 64: Sistemas de Ecuaciones Lineales y MatricesSistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Oscar G Ibarra-Manzano, DSc Departamento de Area B´asica - Tronco Com ´un DES de Ingenier ´ıas](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071523/613ccdb94c23507cb6359d72/html5/thumbnails/64.jpg)
Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU de una matriz
Aplicacion a la solucion de sistemas de ecuaciones lineales: Ax = b
Procedimiento:
El metodo consiste en resolverel sistema Ax = b mediante lafactorizacion de la matriz decoeficientes A en LU.
Se expresa el sistemacomo: LUx = b.
Se sustituye y = Ux y seresuelve el sistemaresultante Ly = b.
Se resuelve el sistemay = Ux para el vector x.
Ejemplo:(2 1 43 2 05 1 1
)(x1x2x3
)=
(142
)
(1 0 032 1 052 −3 1
)(2 1 40 1
2 −60 0 −27
)(x1x2x3
)=
(142
)
![Page 65: Sistemas de Ecuaciones Lineales y MatricesSistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Oscar G Ibarra-Manzano, DSc Departamento de Area B´asica - Tronco Com ´un DES de Ingenier ´ıas](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071523/613ccdb94c23507cb6359d72/html5/thumbnails/65.jpg)
Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU de una matriz
Aplicacion a la solucion de sistemas de ecuaciones lineales: Ax = b
Procedimiento:
El metodo consiste en resolverel sistema Ax = b mediante lafactorizacion de la matriz decoeficientes A en LU.
Se expresa el sistemacomo: LUx = b.
Se sustituye y = Ux y seresuelve el sistemaresultante Ly = b.
Se resuelve el sistemay = Ux para el vector x.
Ejemplo:(2 1 43 2 05 1 1
)(x1x2x3
)=
(142
)
(1 0 032 1 052 −3 1
)(2 1 40 1
2 −60 0 −27
)(x1x2x3
)=
(142
)(
1 0 032 1 052 −3 1
)(y1y2y3
)=
(142
)
![Page 66: Sistemas de Ecuaciones Lineales y MatricesSistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Oscar G Ibarra-Manzano, DSc Departamento de Area B´asica - Tronco Com ´un DES de Ingenier ´ıas](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071523/613ccdb94c23507cb6359d72/html5/thumbnails/66.jpg)
Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU de una matriz
Aplicacion a la solucion de sistemas de ecuaciones lineales: Ax = b
Procedimiento:
El metodo consiste en resolverel sistema Ax = b mediante lafactorizacion de la matriz decoeficientes A en LU.
Se expresa el sistemacomo: LUx = b.
Se sustituye y = Ux y seresuelve el sistemaresultante Ly = b.
Se resuelve el sistemay = Ux para el vector x.
Ejemplo:(2 1 43 2 05 1 1
)(x1x2x3
)=
(142
)
(1 0 032 1 052 −3 1
)(2 1 40 1
2 −60 0 −27
)(x1x2x3
)=
(142
)(
y1y2y3
)=
(1
4− 32 y1
2− 52 y1 + 3y2
)
![Page 67: Sistemas de Ecuaciones Lineales y MatricesSistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Oscar G Ibarra-Manzano, DSc Departamento de Area B´asica - Tronco Com ´un DES de Ingenier ´ıas](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071523/613ccdb94c23507cb6359d72/html5/thumbnails/67.jpg)
Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU de una matriz
Aplicacion a la solucion de sistemas de ecuaciones lineales: Ax = b
Procedimiento:
El metodo consiste en resolverel sistema Ax = b mediante lafactorizacion de la matriz decoeficientes A en LU.
Se expresa el sistemacomo: LUx = b.
Se sustituye y = Ux y seresuelve el sistemaresultante Ly = b.
Se resuelve el sistemay = Ux para el vector x.
Ejemplo:(2 1 43 2 05 1 1
)(x1x2x3
)=
(142
)
(1 0 032 1 052 −3 1
)(2 1 40 1
2 −60 0 −27
)(x1x2x3
)=
(142
)(
y1y2y3
)=
(1527
)
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU de una matriz
Aplicacion a la solucion de sistemas de ecuaciones lineales: Ax = b
Procedimiento:
El metodo consiste en resolverel sistema Ax = b mediante lafactorizacion de la matriz decoeficientes A en LU.
Se expresa el sistemacomo: LUx = b.
Se sustituye y = Ux y seresuelve el sistemaresultante Ly = b.
Se resuelve el sistemay = Ux para el vector x.
Ejemplo:(2 1 43 2 05 1 1
)(x1x2x3
)=
(142
)
(1 0 032 1 052 −3 1
)(2 1 40 1
2 −60 0 −27
)(x1x2x3
)=
(142
)(
y1y2y3
)=
(1527
)(
2 1 40 1
2 −60 0 −27
)(x1x2x3
)=
(1527
)
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU de una matriz
Aplicacion a la solucion de sistemas de ecuaciones lineales: Ax = b
Procedimiento:
El metodo consiste en resolverel sistema Ax = b mediante lafactorizacion de la matriz decoeficientes A en LU.
Se expresa el sistemacomo: LUx = b.
Se sustituye y = Ux y seresuelve el sistemaresultante Ly = b.
Se resuelve el sistemay = Ux para el vector x.
Ejemplo:(2 1 43 2 05 1 1
)(x1x2x3
)=
(142
)
(1 0 032 1 052 −3 1
)(2 1 40 1
2 −60 0 −27
)(x1x2x3
)=
(142
)(
y1y2y3
)=
(1527
)(
x1x2x3
)=
(12 (1− x2 − 4x3)
2( 52 + 6x3)
− 727
)
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Factorizacion LU de una matriz
Aplicacion a la solucion de sistemas de ecuaciones lineales: Ax = b
Procedimiento:
El metodo consiste en resolverel sistema Ax = b mediante lafactorizacion de la matriz decoeficientes A en LU.
Se expresa el sistemacomo: LUx = b.
Se sustituye y = Ux y seresuelve el sistemaresultante Ly = b.
Se resuelve el sistemay = Ux para el vector x.
Ejemplo:(2 1 43 2 05 1 1
)(x1x2x3
)=
(142
)
(1 0 032 1 052 −3 1
)(2 1 40 1
2 −60 0 −27
)(x1x2x3
)=
(142
)
(x1x2x3
)=
(2
275127
− 727
)
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Resumen
Resumen
Tarea y problemas
1 Resuelve el siguiente sistema usando la factorizacion LU. Esto es, resuelvaAx = LUx = b
A =
3 9 −26 −3 84 6 5
; b =
3104
2 Encuentre una matriz de permutacion P y las matrices triangulares inferior y
superior L y U tales que PA = LU; utilice el resultado para resolver el sistemaAb = b.
A =
0 2 40 3 74 1 5
; b =
−102
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Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz
Resumen
Resumen
Programas:
1 Realizar un programa que obtenga la factorizacion LU de una matriz A de n × n.2 Modifica el programa anterior para obtener la factorizacion LU de una matriz A
de n ×m, donde la matriz L es una matriz triangular inferior de n × n con unosen su diagonal.