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Sistemas de Funciones IteradasSistemas de Funciones IteradasIFSIFS
Carlos ReynosoCarlos ReynosoUNIVERSIDAD DE BUENOS AIRESUNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES
[email protected]@hotmail.com
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Objetivo
• Presentar un formalismo generativo regido por álgebra – Contrastante con las gramáticas de sistemas-L o con las
funciones fractales comunes
• Examinar si hay posibilidad de uso antropológico• Tomar contacto con algunas experiencias que ya
existen• Analizar las herramientas y recursos disponibles
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Agenda
• Introducción al álgebra lineal
• Transformaciones afines
• Máquinas de copia de reducción múltiple
• Fractales de Sistemas de Funciones Iterativas
• Programas y recursos
• Diseños culturales de tipo IFS
• Conclusiones y referencias
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Transformaciones afines lineales
Traslación
Escalado
Rotación
Reflexión
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Transformaciones afines lineales
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Algoritmo de Máquina de Copia de Reducción Múltiple (MCRM)
• Se reduce la imagen original y se la ubica en alguna otra parte, iterativamente
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Algoritmo de Máquina de Copia de Reducción Múltiple (MCRM)
• Se reduce la imagen original y se la ubica en alguna otra parte, iterativamente
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Algoritmo de Máquina de Copia de Reducción Múltiple (MCRM)
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Al cabo de algunos pasos, la imagen original es irrelevante
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Distintos objetos iniciales
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Distintos objetos iniciales
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Reflexión colateral¿Cuántas iteraciones?
• Para que el objeto inicial sea irrelevante, se requieren 7 o más iteraciones
• “El mágico número siete, más o menos dos” (Miller)
• Las iteraciones son en realidad recursivas• Siete o más recursiones es mucho• Los objetos culturales más complejos tienen
como mucho cuatro niveles de anidamiento
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Sistemas de funciones iteradas
• IFS – Define un conjunto de funciones contractivas – Cada punto es una copia de la imagen
• Inventado por John Hutchinson (1981), popularizado por Michael Barnsley (Fractals everywhere, disponible)
• Investigación en compresión fractal• También desarrollos de expansión de imágenes
– Genuine Fractals PrintPro para Adobe Photoshop
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Juego del caos
• Algoritmo para generar fractales IFS• Se toma un punto al azar en el plano y se le aplica una
de las funciones definidas, también al azar, dibujando el punto correspondiente
• Las imágenes que se forman son tan densas como iteraciones se especifiquen y probabilidad tenga la transformación
• Caos = Fractal– Un IFS es un atractor extraño– Geométricamente un atractor extraño es un fractal;
dinámicamente es un sistema caótico
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Teorema del collage
• Michael Barnsley – El “problema inverso” de la geometría fractal– Un problema inverso consiste en obtener
los valores de parámetros a partir de los datos observados– Comenzar por la imagen y encontrar el IFS que converja en él– Para encontrar un IFS cuyo atractor “se parezca” a una
imagen determinada, se debe localizar un conjunto de transformaciones afines (mapas de contracción) tal que la “suma” (o collage) del conjunto se asemeje al conjunto correspondiente
– Encontrar contracciones tal que cada una de ellas sea una pequeña pieza del conjunto
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Ejemplos de IFS
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Tipos de IFS especiales
• IFS en 3 dimensiones
• Flame fractals– Algoritmo de Scott Daves, 1992– Extensión de IFS
– Histograma de un sistema complejo
– Agrega transformaciones no lineales
• IFS para generación y análisis de música
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Flame fractals - Binario
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Flame fractals - Lineal
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Flame fractals - Logarítmico
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Flame fractals – Con color
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Flame fractals – Con factor gamma
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Flame fractals – Con colores vibrantes
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Tipos de IFS especiales
• Esponja de Menger
• Versión tridimensional de alfombra de Sierpiński– Triángulo de Pascal
• Analogías con polvo de Cantor y otros fractales
• Estructuras “aireadas” de torre Eiffel
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- Uruk- Diseños catedral de Anagni (s. XIII)- Escher, estudios sobre los patrones del púlpito de la catedral de Ravello (s. XII, 1923)
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China, s. XIVCoeficientesbinomialeshasta 8a
potencia
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Arquitectura modernamauritana en Casamance, Senegal (Eglash, p. 219)
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Programas para trabajar con IFS
• Brazil – Viejo, pero simple y práctico. Discontinuado.
– No permite operar con matrices – Morphing.
• IFS Fractal Designer– Discontinuado e incompatible, pero excelente.
– IFS puro en 2D con actualización de imagen en tiempo real.
– Puramente analógico. No tiene editor de matrices.
• Apophysis– Para diseño artístico, con componente de azar.
– Editor de matrices en 3D. Flame fractals
Brazil
IFSDesign
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Programas para trabajar con IFS
• IFS 3D– Matrices en tres dimensiones – Sólo estructuras al azar, o a mano.
Texturas polvorosas únicamente. Visualización 3D en tiempo real.
• Visions of Chaos– Fractales genéricos, con importante módulo de IFS. Altísima
calidad gráfica. Mutaciones, pero no actualización cruzada en tiempo real. No se pueden tratar ni visualizar los vectores.
– Formato de archivo compatible. Muchos ejemplos.
• XenoDream– Uno de los programas de fractales más evolucionados. No es
estrictamente de IFS. No tiene matrices.• Fairy Brush 2, DinoCoomy, Sprouts, Turban shell festive.
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Xenodream
(Imágenes)
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IFS Construction Kit
• Todavía está en desarrollo.• Es la elección para trabajar con pleno
control analítico.• Matrices y vectores, con actualización
cruzada (aunque no rendering en tiempo real).
• Formato de archivo compatible con Vision of Chaos, Fractint, Chaos Pro, etc.
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IFS Construction Kit
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Transformaciones afines:
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Transformaciones afines:
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Dificultades
• Ejercicio– Cargar Helecho importado de Visions of Chaos– Deformar sutilmente los triángulos– Verificar efectos– Ejecutar Billy-Cruz
• Correr Determinista
• Probabilista con probabilidades iguales
• Idem, proporcionales
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Parámetros idénticos en distintos programas
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IFS Builder 3D
• Desarrollo ruso, reciente
• Incorpora docenas de ejemplares de otros paquetes
• Excelente reproducción tridimensional, controlable por código
• No tiene edición analógica por matrices
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Janus Fractals
• El más poderoso graficador orientado a IFS
• No incluye manejo de matrices, ni objetos de vectoriales de control
• Conjunto sobresaliente de tipos fractales
• Edición puramente gráfica
• Excelente representación tridimensional
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Janus FractalsJanus Fractals
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Otros programas
• Fractal DRAW– No es gratuito, aunque hay una versión de prueba que pasado
un tiempo no deja guardar archivos– Es vistoso y puede ser útil para diseños figurativos limitados,
pero no posee prestaciones analíticas– No se pueden situar las formas con precisión– Imposible migrar las figuras a otro contexto
• IFS Lab– Prestaciones restringidas.– Buena herramienta para comprender generación de una
máquina de reducción a partir de un dibujo (teorema del collage).
Go
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Diseños culturales (1/6)
• Mostacillas Zulu – IFS + Simetrías
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Diseños culturales (2/6)
• Chonat Getz– Dra, Universidad de Witwatersrand– Simulaciones IFS de cestería Zulu
• John Sims– Ringling School of Design, Florida– Patrones fractales iterativos en telas rafia
Bakuba
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Diseños culturales (3/6)• Mlomp, Casamance, Senegal (Ron Eglash / Reynoso)
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Diseños culturales (4/6)
• Brian Meloon & Julien Sprott – – Cuantificación de determinismo en música usando IFS
– Música al azar vs Mozart, Sonata en Do*
– *¿279, 309, 330, 545?
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Diseños culturales (5/6)
• Rubén Hinojosa Chapel, 2003– Universitat Pompeu Fabra, Barcelona
– Instrumento interactivo algorítmico en tiempo real
– El núcleo matemático se supone que es IFS, pero no está elaborado
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Diseños culturales (6/6)• A Musical Generator 3.1
AMuGen
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(Posibles) ejemplos arquitectónicos
• Santa Croce, Firenze (Nicoletta Sala)– Maquiavelo, Miguel Angel, Rossini
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Conclusiones (1/2)
• Método para describir de forma compacta algunas imágenes autosimilares (por ej. patrones de asentamiento)
• No es una bala de plata para toda ocasión– Reflexionemos sobre las balas de plata
• No hay heurísticas para otras clases de objetos fuera del repertorio clásico
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Conclusiones (2/2)
• No sirve para imágenes idénticamente repetitivas: siempre tiene que haber contracción
• Es difícil encontrar un conjunto de contracciones para un objeto determinado
• Pocas elaboraciones antropológicas del asunto • A diferencia de sistemas-L no se puede vincular
fácilmente con ideas emic• Las herramientas de IFS deben complementarse
con sistemas-L y álgebra de grupos (simetrías)
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Recursos
• Software de Fractales/IFS, AMuGen 3.1• Michael Barnsley. Fractals everywhere,
1968• Peitgen-Jurgens-Saupe. Chaos and fractals,
new frontiers of science, 2a ed., 2004• Rubén Hinojosa. Realtime algorithmic
music systems from fractal and chaotic functions, 2003.