sistemas de n ecuaciones con n incógnitas [6pt] matrices cuadradas … · 2017. 9. 28. ·...
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Sistemas de n ecuaciones con n incognitas
Matrices cuadradas y determinantes
Algebra
Araceli Guzman y Guillermo Garro
Facultad de CienciasUNAM
Semestre 2018-1
doyouwantmektalwar.wordpress.com
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Sistemas de dos ecuaciones con dos incognitas
(I)
{ax+ by = e (1)
cx+ dy = f (2)
Las preguntas que debemos responder son
1. ¿El sistema tiene solucion?
2. De ser ası, ¿cuantas soluciones tiene?
3. ¿Cuales son los criterios para determinar existencia y unicidad de las soluciones?
Araceli Guzman y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Analisis Geometrico: Ecuacion General de la Recta
Recordemos que la ecuacion general de la recta en R2 esta dada por
Ax+By = C, con A2 +B2 > 0.
La condicion A2 +B2 > 0 se usa para garantizar que al menos una de las constantes A o Bes distinta de cero.
Si B = 0, se trata de unarecta vertical que pasa porel punto
(CA, 0)
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Analisis Geometrico: Ecuacion General de la Recta
Recordemos que la ecuacion general de la recta en R2 esta dada por
Ax+By = C, con A2 +B2 > 0.
La condicion A2 +B2 > 0 se usa para garantizar que al menos una de las constantes A o Bes distinta de cero
Si B 6= 0, cualesquiera dos pun-tos (x1, y1) y (x2, y2) en la rectacumplen
y2 − y1x2 − x1
= −A
B.
El numero m = −AB
es llamado
pendiente, y el numero b = CB
sellama ordenada al origen.
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Analisis Geometrico: Ecuacion General de la Recta
(I)
{ax+ by = e (1)
cx+ dy = f (2)
Analisis de las soluciones
Si a y b, y c y d no son ambas cero, el sistema (I) implica dos rectas en el plano.
No solucion
Rectas paralelas
Una solucion
Rectas no paralelas
Infinitas soluciones
Rectas iguales
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Sistemas de dos ecuaciones con dos incognitas
(I)
{ax+ by = e (1)
cx+ dy = f (2)
Analisis de las soluciones. Casos triviales
Supongamos que a = 0 = b (o bien c = 0 = d).
Entonces cualquier punto (x, y) ∈ R2 cumple la ecuacion (1) siempre que e = 0.
En ese caso, se tiene en particular, que todos los puntos que cumplen (2) tambien cumplen(1).
Pero (2) es un plano o una recta. En cualquier caso, el sistema (I) tiene una infinidad desoluciones.
Pero si e 6= 0, entonces el sistema no tiene solucion.
Cuando c = 0 = d, el caso es completamente analogo.
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Sistemas de dos ecuaciones con dos incognitas
(I)
{ax+ by = e (1)
cx+ dy = f (2)
Analisis de las soluciones
Teorema
Las ecuaciones (1) y (2) del sistema (I) son dos rectas que se cortan en un unico puntosi y solo si,
ad− bc 6= 0.
Demostracion.
Observe que los casos a = 0 = b o c = 0 = d quedan excluidos. Vamos a probar la proposicionequivalente:
Las ecuaciones (1) y (2) son rectas parelelas si y solo si ad− bc = 0.
[⇒] Supongamos que (1) y (2) son rectas paralelas.
Si b = 0, (1) es una recta vertical. Por lo que d = 0. Y entonces
ad− bc = 0.Araceli Guzman y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
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Sistemas de dos ecuaciones con dos incognitas
(I)
{ax+ by = e (1)
cx+ dy = f (2)
Analisis de las soluciones
Teorema
Las ecuaciones (1) y (2) del sistema (I) son dos rectas que se cortan en un unico puntosi y solo si,
ad− bc 6= 0.
Demostracion.
Observe que los casos a = 0 = b o c = 0 = d quedan excluidos. Vamos a probar la proposicionequivalente:
Las ecuaciones (1) y (2) son rectas parelelas si y solo si ad− bc = 0.
[⇒] Supongamos que (1) y (2) son rectas paralelas.
Si b 6= 0, entonces d 6= 0, por lo que podemos despejar y de ambas ecuaciones,
y = −a
bx+
e
by y = −
c
dx+
f
d.
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Sistemas de dos ecuaciones con dos incognitas
(I)
{ax+ by = e (1)
cx+ dy = f (2)
Analisis de las soluciones
Teorema
Las ecuaciones (1) y (2) del sistema (I) son dos rectas que se cortan en un unico puntosi y solo si,
ad− bc 6= 0.
Demostracion.
Observe que los casos a = 0 = b o c = 0 = d quedan excluidos. Vamos a probar la proposicionequivalente:
Las ecuaciones (1) y (2) son rectas parelelas si y solo si ad− bc = 0.
[⇒] Supongamos que (1) y (2) son rectas paralelas.
Y como las rectas son paralelas, deben tener misma pendiente, esto es, ab
= cd. Luego
ad− bc = 0.
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Sistemas de dos ecuaciones con dos incognitas
(I)
{ax+ by = e (1)
cx+ dy = f (2)
Analisis de las soluciones
Teorema
Las ecuaciones (1) y (2) del sistema (I) son dos rectas que se cortan en un unico puntosi y solo si,
ad− bc 6= 0.
Demostracion.
Observe que los casos a = 0 = b o c = 0 = d quedan excluidos. Vamos a probar la proposicionequivalente:
Las ecuaciones (1) y (2) son rectas parelelas si y solo si ad− bc = 0.
[⇐] Supongamos que ad− bc = 0.
Si b = 0 entonces ad = 0. Pero tambien a 6= 0. Por lo tanto d = 0. Ası que las rectas (1) y(2) son paralelas.
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Sistemas de dos ecuaciones con dos incognitas
(I)
{ax+ by = e (1)
cx+ dy = f (2)
Analisis de las soluciones
Teorema
Las ecuaciones (1) y (2) del sistema (I) son dos rectas que se cortan en un unico puntosi y solo si,
ad− bc 6= 0.
Demostracion.
Observe que los casos a = 0 = b o c = 0 = d quedan excluidos. Vamos a probar la proposicionequivalente:
Las ecuaciones (1) y (2) son rectas parelelas si y solo si ad− bc = 0.
[⇐] Supongamos que ad− bc = 0.
Supongamos que b 6= 0. Si d = 0 entonces c = 0. Constradiccion. De modo que d 6= 0.Luego, a
b= c
d, esto es las pendientes de las rectas (1) y (2) son iguales.
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Sistemas de dos ecuaciones con dos incognitas
(I)
{ax+ by = e (1)
cx+ dy = f (2)
Analisis de las soluciones
Teorema : Regla de Cramer
El sistema (I) tiene solucion unica si y solo si
ad− bc 6= 0.
En cuyo caso la solucion (x, y) esta dada por las formulas
x =de− bfad− bc
y y =af − cead− bc
. (∗)
Solo hay que verificar que las formulas (∗) resuelvene el sistema (I):
(1) ax+ by = ade− bfad− bc
+ baf − cead− bc
=ade− abf + abf − bce
ad− bc= e.
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Sistemas de dos ecuaciones con dos incognitas
(I)
{ax+ by = e (1)
cx+ dy = f (2)
Analisis de las soluciones
Teorema : Regla de Cramer
El sistema (I) tiene solucion unica si y solo si
ad− bc 6= 0.
En cuyo caso la solucion (x, y) esta dada por las formulas
x =de− bfad− bc
y y =af − cead− bc
. (∗)
Solo hay que verificar que las formulas (∗) resuelvene el sistema (I):
(2) cx+ dy = cde− bfad− bc
+ daf − cead− bc
=cde− bcf + adf − cde
ad− bc= f.
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Ejemplo: A veces hay caminos mas cortos
Sea el sistema {x+ y = 3 (1)
x+ 2y = −8 (2)
Hacemos la diferencia de la ecuacion (2)menos la ecuacion (1), para obtener
y = −11.
Sustituimos este valor en la ecuacion (1),
x+ (−11) = 3 ⇔ x− 11 = 3
⇔ x = 3 + 11
⇔ x = 14.
Solucion unica del sistema: (14,−11).
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Ejemplo: Las formulas siempre son efectivas
Sea el sistema {3x− 7y = −5 (1)
4x− 3y = −2 (2)
De acuerdo al teorema de existencia y unici-dad,
x =(−5)(−3)− (−7)(−2)
3(−3)− (−7)(4)=
1
19
y =3(−2)− (−5)(4)3(−3)− (−7)(4)
=14
19.
Solucion unica del sistema:(1
19,14
19
).
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Ejemplo: Siempre podemos elegir el mejor camino a seguir. La clave: elmınimo esfuerzo
Sea el sistema
(I)
{9x− 3y = −3 (I.1)
−2x+ 4y = 1 (I.2)
Multiplicamos (I.1) por 29
para obtener el sis-tema equivalente:
(II)
{2x− 2
3y = − 2
3(II.1)
−2x+ 4y = 1 (II.2)
Sumamos (II.1) y (II.2) para obtener
10
3y =
1
3⇔ y =
1
10.
Sustituimos este valor en (II.2),
−2x+ 41
10= 1⇔ −2x =
3
5⇔ x = −
3
10.
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Uso de software: Octave
Sea el sistema {x+ y = 3 (1)
x+ 2y = −8 (2)
El codigo en Octave para resolver este sistema, como sistema de ecuaciones simbolicas, escomo sigue
> pkg load symbolic
> syms x y
> eqn1=x+y==3;
> eqn2=x+2*y==-8;
> solve(eqn1 ,eqn2 ,x,y)
ans =
scalar structure containing the fields:
x = (sym) 14
y = (sym) -11
> eqn1=ezplot(’x+y-3’ ,[-20 20 -20 20]);
> set(eqn1 ,’color’ ,[1 0 0])
> hold on
> eqn2=ezplot("x+2*y+8" ,[-20 20 -20 20]);
> title("Solucion del sistema");
> legend(’x+y=3’,’x+2y=-8’)
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Matrices y determinantes de 2 × 2
Una matriz cuadrada de tamano 2, es una arreglo de 4 numeros ordenados en 2 renglones(filas) y 2 columnas:
A =
(a11 a12a21 a22
)Los numeros aij son llamados componentes (entradas o coeficientes) de la matriz A. Es-pecıficamente, para cada 1 ≤ i ≤ 2 y 1 ≤ j ≤ 2, aij es la ij-componente de A.
Es comun tambien la notacion
A = (Aij)2 o bien A = (aij)2×2 o bien A = (aij)1≤i,j≤2.
Dos matrices cuadradas de tamano 2, A = (aij)2 y B = (bij)2, son iguales si y solo siaij = bij , para todo 1 ≤ i, j ≤ 2.
Ejemplos
Las siguientes son matrices de 2× 2(1 20 1
),
(−1 01 0
),
(0 00 0
),
(0 0π 0
),
(2 3−2 −3
)
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Matrices y determinantes de 2 × 2
La matriz transpuesta de una matriz A = (aij)2 es la matriz
AT =
(a11 a21a12 a22
)Es decir, AT esta formada por el intercambio de renglones por columnas de A. Podemos usarla notacion AT = (aT
ij)2 donde aTij = aji para todas 1 ≤ i, j ≤ 2.
Ejemplos
(1 20 1
)T
=
(1 02 1
),
(−1 01 0
)T
=
(−1 10 0
),
(0 00 0
)T
=
(0 00 0
),
(0 0π 0
)T
=
(0 π0 0
),
(2 3−2 −3
)T
=
(2 −23 −3
)
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Matrices y determinantes de 2 × 2
El determinante de una matrriz A = (aij)2×2 de 2× 2 es el numero
|A| =∣∣∣∣a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.
Ejemplos
∣∣∣∣1 20 1
∣∣∣∣ = 1,
∣∣∣∣−1 01 0
∣∣∣∣ = 0,
∣∣∣∣0 00 0
∣∣∣∣ = 0,
∣∣∣∣0 0π 0
∣∣∣∣ = 0,
∣∣∣∣ 2 3−2 −3
∣∣∣∣ = 0
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Matrices y determinantes de 2 × 2
Teorema
Dada una matriz A = (aij)2×2,
|AT| = |A|
Demostracion.
|AT| =∣∣∣∣a11 a21a12 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a21a12 =
∣∣∣∣a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ = |A|.
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Matrices y determinantes de 2 × 2
Teorema
Dados numeros reales aij , 1 ≤ i, j ≤ 2,∣∣∣∣a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ = − ∣∣∣∣a21 a22a11 a12
∣∣∣∣ y
∣∣∣∣a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ = − ∣∣∣∣a12 a11a22 a21
∣∣∣∣Esto es, si alternamos renglones o columnas, el determinante cambia de signo.
Demostracion.
∣∣∣∣a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21
= − (a12a21 − a11a22) = −∣∣∣∣a21 a22a11 a12
∣∣∣∣
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Operaciones con matrices de 2 × 2
Si λ ∈ R, definimos el producto por un escalar como
λA = λ
(a11 a12a21 a22
)=
(λa11 λa12λa21 λa22
)En notacion abreviada
λA = (λaij)2×2
Ejemplos
5
(2 −3−1 0
)=
(10 −15−5 0
), −
(2 −3−1 0
)=
(−2 31 0
)
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Operaciones con matrices de 2 × 2
La suma de dos matrices A = (aij)2×2 y B = (bij)2×2 es la matriz
A+B =
(a11 a12a21 a22
)+
(b11 b12b21 b22
)=
(a11 + b11 a12 + b12a21 + b21 a22 + b22
)
En notacion abreviadaA+B = (aij + bij)2×2
Ejemplos
(1 20 1
)+
(−1 01 0
)=
(0 21 1
)(
4 7−5 1
)−(−1 −21 7
)=
(5 9−6 −6
)
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Operaciones con matrices de 2 × 2
El producto de dos matrices A = (aij)2×2 y B = (bij)2×2 es la matriz
AB =
(a11 a12a21 a22
)(b11 b12b21 b22
)=
(a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22
)
En notacion abreviadaAB = (ai1b1j + ai2b2j)2×2.
Ejemplos
(2 35 6
)(2 00 1
)=
(4 310 6
),
(1 50 1
)(1 −32 3
)=
(11 122 3
)
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Operaciones con matrices de 2 × 2
Si x =
(xy
)es un vector columna en R2 y A = (aij)2×2 es una matriz cuadrada de tamano
2, entonces tambien definimos los siguientes productos
xTA =(x y
)(a11 a12a21 a22
)=(a11x+ a21y a12x+ a22y
)Ax =
(a11 a12a21 a22
)(xy
)=
(a11x+ a12ya21x+ a22y
)Observe que xTA es un vector renglon y Ax es un vector columna.
Ejemplo
Sea x =
(20
)y sea A =
(−1 −32 0
). Entonces
xTA =(2 0
)(−1 −32 0
)=(0 −3
)Ax =
(−1 −32 0
)(20
)=
(−24
)
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Operaciones con matrices de 2 × 2
Teorema : Propiedades asociativas
Sean A = (aij)2×2, B = (bij)2×2 y C = (cij)2×2 matrices cuadradas de tamano 2.Entonces
(A+B) + C = A+ (B + C) y (AB)C = A(BC).
Demostracion.
(A+B) + C =
[(a11 a12a21 a22
)+
(b11 b12b21 b22
)]+
(c11 c12c21 c22
)=
(a11 + b11 a12 + b12a21 + b21 a22 + b22
)+
(c11 c12c21 c22
)=
((a11 + b11) + c11 (a12 + b12) + c12(a21 + b21) + c21 (a22 + b22) + c22
)=
(a11 + (b11 + c11) a12 + (b12 + c12)a21 + (b21 + c21) a22 + (b22 + c22)
)=
(a11 a12a21 a22
)+
(b11 + c11 b12 + c12b21 + c21 b22 + c22
)=
(a11 a12a21 a22
)+
[(b11 b12b21 b22
)+
(c11 c12c21 c22
)]= A+ (B + C).
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Operaciones con matrices de 2 × 2
Teorema : Propiedades distributivas
Sean A = (aij)2×2, B = (bij)2×2 y C = (cij)2×2 matrices cuadradas de tamano 2.Entonces
A(B + C) = AB +BC y (B + C)A = BA+ CA.
Demostracion.
A(B + C) =
(a11 a12a21 a22
)[(b11 b12b21 b22
)+
(c11 c12c21 c22
)]=
(a11 a12a21 a22
)(b11 + c11 b12 + c12b21 + c21 b22 + c22
)=
(a11(b11 + c11) + a12(b21 + c21) a11(b12 + c12) + a12(b22 + c22)a21(b11 + c11) + a22(b21 + c21) a21(b12 + c12) + a22(b22 + c22)
)=
((a11b11 + a12b21) + (a11c11 + a12c21) (a11b12 + a12b22) + (a11c12 + a12c22)(a21b11 + a22b21) + (a21c11 + a22c21) (a21b12 + a22b22) + (a21c12 + a22c22)
)=
(a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22
)+
(a11c11 + a12c21 a11c12 + a12c22a21c11 + a22c21 a21c12 + a22c22
)=
(a11 a12a21 a22
)(b11 b12b21 b22
)+
(a11 a12a21 a22
)(c11 c12c21 c22
)= AB +AC.
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Una propiedad relevante
Teorema
Sean A = (aij)2×2 y B = (bij)2×2 matrices. Entonces
|AB| = |A||B|.
Demostracion.
|AB| =∣∣∣∣a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22
∣∣∣∣= (a11b11 + a12b21)(a21b12 + a22b22)− (a11b12 + a12b22)(a21b11 + a22b21)
= a11a21b11b12 + a11a22b11b22 + a12a21b12b21 + a12a22b21b22
− a11a21b11b12 − a11a22b12b21 − a12a21b11b22 − a12a22b21b22
= a11a22(b11b22 − b12b21)− a12a21(b11b22 − b12b21)
= (a11a22 − a12a21)(b11b22 − b12b21)
= |A||B|.
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Una propiedad relevante
Corolario
Sean A = (aij)2×2 y B = (bij)2×2 matrices. Entonces
|AB| = |BA|.
Pero no es lo mismo...
Este corolario no dice que se cumpla la igualdad
AB = BA.
Se deja como ejercicio al estudiante comprobar con un ejemplo que esta igualdad no se cumple
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Operaciones con matrices
Teorema
Si A = (aij)2×2 es una matriz y λ ∈ R,
|λA| = λ2|A|.
En particular, | −A| = |A|.
Demostracion.
|λA| =∣∣∣∣λa11 λa12λa21 λa22
∣∣∣∣= λa11λa22 − λa12λa21
= λ2(a11a22 − a12a21)
= λ2|A|.
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Operaciones con matrices
Teorema
Sean a, b, c, d y λ numeros reales.∣∣∣∣ a bλc λd
∣∣∣∣ = λ
∣∣∣∣a bc d
∣∣∣∣Demostracion. ∣∣∣∣ a b
λc λd
∣∣∣∣ = λad− λbc = λ(ad− bc) = λ
∣∣∣∣a bc d
∣∣∣∣Teorema
Sean a, b, c, d y λ numeros reales.∣∣∣∣a λbc λd
∣∣∣∣ = λ
∣∣∣∣a bc d
∣∣∣∣Demostracion. ∣∣∣∣a λb
c λd
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ a cλb λd
∣∣∣∣ = λ
∣∣∣∣a cb d
∣∣∣∣ = λ
∣∣∣∣a bc d
∣∣∣∣
De la misma forma...
Debe ser claro que las igualdades siguientes son tambien validas:∣∣∣∣λa λbc d
∣∣∣∣ = λ
∣∣∣∣a bc d
∣∣∣∣ y
∣∣∣∣λa bλc d
∣∣∣∣ = λ
∣∣∣∣a bc d
∣∣∣∣
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Operaciones con matrices
Teorema
Sean a, b, c, d y λ numeros reales.∣∣∣∣ a bλc λd
∣∣∣∣ = λ
∣∣∣∣a bc d
∣∣∣∣Demostracion. ∣∣∣∣ a b
λc λd
∣∣∣∣ = λad− λbc = λ(ad− bc) = λ
∣∣∣∣a bc d
∣∣∣∣Teorema
Sean a, b, c, d y λ numeros reales.∣∣∣∣a λbc λd
∣∣∣∣ = λ
∣∣∣∣a bc d
∣∣∣∣Demostracion. ∣∣∣∣a λb
c λd
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ a cλb λd
∣∣∣∣ = λ
∣∣∣∣a cb d
∣∣∣∣ = λ
∣∣∣∣a bc d
∣∣∣∣
De la misma forma...
Debe ser claro que las igualdades siguientes son tambien validas:∣∣∣∣λa λbc d
∣∣∣∣ = λ
∣∣∣∣a bc d
∣∣∣∣ y
∣∣∣∣λa bλc d
∣∣∣∣ = λ
∣∣∣∣a bc d
∣∣∣∣
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Operaciones con matrices
Teorema
Sean a, b y λ numeros reales. ∣∣∣∣ a bλa λb
∣∣∣∣ = 0
Demostracion.
∣∣∣∣ a bλa λb
∣∣∣∣ = λab− λab = 0.
Corolario
Sean a, b y λ numeros reales. ∣∣∣∣a λab λb
∣∣∣∣ = 0
De la misma forma...
Debe ser claro que las igualdades siguientes son tambien validas:∣∣∣∣λa λba b
∣∣∣∣ = 0 y
∣∣∣∣λa aλb b
∣∣∣∣ = 0
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Operaciones con matrices
Teorema
Sean a, b y λ numeros reales. ∣∣∣∣ a bλa λb
∣∣∣∣ = 0
Demostracion.
∣∣∣∣ a bλa λb
∣∣∣∣ = λab− λab = 0.
Corolario
Sean a, b y λ numeros reales. ∣∣∣∣a λab λb
∣∣∣∣ = 0
De la misma forma...
Debe ser claro que las igualdades siguientes son tambien validas:∣∣∣∣λa λba b
∣∣∣∣ = 0 y
∣∣∣∣λa aλb b
∣∣∣∣ = 0
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Una interesante propiedad de linealidad
Teorema
Sean a, b, u1, u2, v1 y v2 numeros reales. Entonces∣∣∣∣ a bu1 + v1 u2 + v2
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ a bu1 u2
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ a bv1 v2
∣∣∣∣Demostracion.
∣∣∣∣ a bu1 + v1 u2 + v2
∣∣∣∣ = a(u2 + v2)− b(u1 + v1)
= au2 + av2 − bu1 − bv1
= au2 − bu1 + av2 − bv1
=
∣∣∣∣ a bu1 u2
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ a bv1 v2
∣∣∣∣
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Una interesante propiedad de linealidad
Teorema
Sean a, b, u1, u2, v1 y v2 numeros reales. Entonces∣∣∣∣ a bu1 + v1 u2 + v2
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ a bu1 u2
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ a bv1 v2
∣∣∣∣
Pero no es lo mismo...
Este resultado no dice que se cumpla la igualdad(a b
u1 + v1 u2 + v2
)=
(a bu1 u2
)+
(a bv1 v2
)Dejamos al estudiante que compruebe con un ejemplo que esta igualdad no se cumple.
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Una interesante propiedad de linealidad
Teorema
Sean a, c, u1, u2, v1 y v2 numeros reales. Entonces∣∣∣∣a u1 + v1c u2 + v2
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣a u1c u2
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣a v1c v2
∣∣∣∣Demostracion.
∣∣∣∣a u1 + v1c u2 + v2
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ a cu1 + v1 u2 + v2
∣∣∣∣=
∣∣∣∣ a cu1 u2
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ a cv1 v2
∣∣∣∣=
∣∣∣∣a u1c u2
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣a v1c v2
∣∣∣∣
De la misma forma...
Debe ser claro que las igualdades siguientes son tambien validas:∣∣∣∣u1 + v1 u2 + v2a b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣u1 u2a b
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣v1 v2a b
∣∣∣∣∣∣∣∣u1 + v1 au2 + v2 b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣u1 au2 b
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣v1 av2 b
∣∣∣∣
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Una interesante propiedad de linealidad
Teorema
Sean a, c, u1, u2, v1 y v2 numeros reales. Entonces∣∣∣∣a u1 + v1c u2 + v2
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣a u1c u2
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣a v1c v2
∣∣∣∣Demostracion.
∣∣∣∣a u1 + v1c u2 + v2
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ a cu1 + v1 u2 + v2
∣∣∣∣=
∣∣∣∣ a cu1 u2
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ a cv1 v2
∣∣∣∣=
∣∣∣∣a u1c u2
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣a v1c v2
∣∣∣∣
De la misma forma...
Debe ser claro que las igualdades siguientes son tambien validas:∣∣∣∣u1 + v1 u2 + v2a b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣u1 u2a b
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣v1 v2a b
∣∣∣∣∣∣∣∣u1 + v1 au2 + v2 b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣u1 au2 b
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣v1 av2 b
∣∣∣∣
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El determinante como area dirigida en R2
Teorema
Sean a y b numeros reales no ambos cero, y c y d numeros reales no ambos cero. Elarea del paralelogramo A formado por los vectores x = (a, b) y y = (c, d) es igual a|ad− bc|.
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El determinante como area dirigida en R2
Teorema
Sean a y b numeros reales no ambos cero, y c y d numeros reales no ambos cero. Elarea del paralelogramo A formado por los vectores x = (a, b) y y = (c, d) es igual a|ad− bc|.
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El determinante como area dirigida en R2
Teorema
Sean a y b numeros reales no ambos cero, y c y d numeros reales no ambos cero. Elarea del paralelogramo A formado por los vectores x = (a, b) y y = (c, d) es igual a|ad− bc|.
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El determinante como area dirigida en R2
Teorema
Sean a y b numeros reales no ambos cero, y c y d numeros reales no ambos cero. Elarea del paralelogramo A formado por los vectores x = (a, b) y y = (c, d) es igual a|ad− bc|.
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El determinante como area dirigida en R2
Teorema
Sean a y b numeros reales no ambos cero, y c y d numeros reales no ambos cero. Elarea del paralelogramo A formado por los vectores x = (a, b) y y = (c, d) es igual a|ad− bc|.
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Vectores parelelos y determinantes
Teorema
Sean a, b, c y d numeros reales. Si ∣∣∣∣a bc d
∣∣∣∣ = 0
entonces los vectores renglon (a, b) y (c, d) son paralelos, o bien, los vectores columna(a, c) y (c, d) son paralelos.
Demostracion.
Supongamos que ad = bc. Podemos analizar dos casos, a saber
Caso I. d = 0. En tal caso ad = 0 y por tanto bc = 0. En cuyo caso, b = 0 o bien c = 0. Sic = 0, entonces obviamente
(c, d) = (0, 0) = 0 · (a, b).
Si b = 0, se sigue igualmente
(b, d) = (0, 0) = 0 · (a, c).
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Vectores parelelos y determinantes
Teorema
Sean a, b, c y d numeros reales. Si ∣∣∣∣a bc d
∣∣∣∣ = 0
entonces los vectores renglon (a, b) y (c, d) son paralelos, o bien, los vectores columna(a, c) y (c, d) son paralelos.
Demostracion.
De la hipotesis se sigue que ad = bc. Hay dos casos, a saber
Caso II. d 6= 0. En tal caso despejamos a en la igualdad ad = bc, para obtener que a = cdb.
Por lo tanto,
(a, b) =( cdb,c
d
)=b
a(a, c).
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Matrices y sistemas de ecuaciones
Dado el sistema
(I)
{a11x1 + a12x2 = b1
a12x1 + a22x2 = b2
Hacemos la matriz
A =
(a11 a12a21 a22
).
La matriz A es llamada matriz de coeficientes del sistema (I).
Tambien definimos los vectores columna
x =
(xy
)y b =
(b1b2
),
entonces podemos representar (I), con la ecuacion matricial
Ax = b.
Esto es (a11 a12a21 a22
)(xy
)=
(b1b2
).
De otra manera...
Realizando calculos directos, se puede comprobar facilmente
Ax = b ⇔ xTAT = bT.
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Matrices y sistemas de ecuaciones
Dado el sistema
(I)
{a11x1 + a12x2 = b1
a12x1 + a22x2 = b2
Hacemos la matriz
A =
(a11 a12a21 a22
).
La matriz A es llamada matriz de coeficientes del sistema (I).
Tambien definimos los vectores columna
x =
(xy
)y b =
(b1b2
),
entonces podemos representar (I), con la ecuacion matricial
Ax = b.
Esto es (a11 a12a21 a22
)(xy
)=
(b1b2
).
De otra manera...
Realizando calculos directos, se puede comprobar facilmente
Ax = b ⇔ xTAT = bT.
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Matrices y sistemas de ecuaciones
Dado el sistema Ax = b, es decir,(a11 a12a21 a22
)(xy
)=
(b1b2
). (1)
Definimos las matrices
Ax =
(b1 a12b2 a22
)y Ay =
(a11 b1a21 b2.
)
Teorema : Regla de Carmer
El sistema (1) tiene solucion unica si y solo si,
|A| = a11a22 − a12a21 6= 0.
En cuyo caso, la solucion (x, y) esta dada por
x =|Ax||A|
=a22b1 − a12b2a11a22 − a12a21
y y =|Ay ||A|
=a11b2 − a21b1a11a22 − a12a21
.
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Matrices inversas
Dada la matriz cuadrada
A =
(a11 a12a21 a22
),
decimos que una matriz
B =
(b11 b12b21 b22
)es la (una, pues aun no probamos unicidad) inversa de A si
AB = BA = I2
donde
I2 =
(1 00 1
)es la matriz identidad de tamano 2.
Si una matriz A tiene inversa, decimos que A es invertible.
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Matrices inversas
¿Por que I2 se llama matriz identidad?
Teorema
Dada una matriz A = (aij)2×2,
AI2 = I2A = A.
Demostracion.
AI2 =
(a11 a12a21 a22
)(1 00 1
)=
(a11 · 1 + a12 · 0 a11 · 0 + a12 · 1a21 · 1 + a22 · 0 a21 · 0 + a22 · 1
)=
(a11 a12a21 a22
)= A.
Analogamente se prueba I2A = A.
Teorema
|I2| = 1
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Matrices inversas
Teorema
Si A = (aij)2×2 es una matriz invetible, solo hay una unica inversa de A.
Demostracion.
Sean B y B′ matrices inversas de A. Tenemos
B = BI2 = B(AB′) = (BA)B′ = I2B′ = B′.
Usamos A−1 para denotar la matriz inversa de A.
Teorema
I2 es invertible y I−12 = I2.
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Matrices inversas
Teorema
Una matriz A = (aij)2×2 es invetible si y solo si
|A| = a11a22 − a12a21 6= 0.
Demostracion.
Consideremos una matriz B =
(x1 x2y1 y2
). Entonces por definicion de producto de matrices,
AB =
(a11 a12a21 a22
)(x1 x2y1 y2
)=
(a11x1 + a12y1 a11x2 + a12y2a21x1 + a22y1 a21x2 + a22y2
)Por lo tanto, AB = I2 si y solo si
a11x1 + a12y1 = 1 a11x2 + a12y2 = 0
a21x1 + a22y1 = 0 a21x2 + a22y2 = 1
Ambos sistemas tienen solucion unica si y solo si
|A| = a11a22 − a12a21 6= 0.
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Matrices inversas
De hecho, si resolvemos los sistemas
a11x1 + a12y1 = 1 a11x2 + a12y2 = 0
a21x1 + a22y1 = 0 a21x2 + a22y2 = 1
tenemos
x1 =a22
a11a22 − a12a21x2 = −
a12
a11a22 − a12a21y1 = −
a21
a11a22 − a12a21y2 =
a11
a11a22 − a12a21
Por tanto,
A−1 =1
a11a22 − a12a21
(a22 −a12−a21 a11
).
La matriz
adj(A) =
(a22 −a12−a21 a11
)se llama (matriz) adjunta (clasica) de A.
Matriz inversa
Tenemos una primera formula para la matriz inversa de una matriz invertibleA = (aij)2×2:
A−1 =1
|A|adj(A).
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Matrices inversas
De hecho, si resolvemos los sistemas
a11x1 + a12y1 = 1 a11x2 + a12y2 = 0
a21x1 + a22y1 = 0 a21x2 + a22y2 = 1
tenemos
x1 =a22
a11a22 − a12a21x2 = −
a12
a11a22 − a12a21y1 = −
a21
a11a22 − a12a21y2 =
a11
a11a22 − a12a21
Por tanto,
A−1 =1
a11a22 − a12a21
(a22 −a12−a21 a11
).
La matriz
adj(A) =
(a22 −a12−a21 a11
)se llama (matriz) adjunta (clasica) de A.
Matriz inversa
Tenemos una primera formula para la matriz inversa de una matriz invertibleA = (aij)2×2:
A−1 =1
|A|adj(A).
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Matrices inversas y sistemas de ecuaciones lineales
Sea un sistema de 2× 2,
(1)
(a11 a12a21 a22
)(xy
)=
(b1b2
).
O bien, si
A =
(a11 a12a21 a22
), x =
(xy
)y b =
(b1b2
),
entonces escribimos (1) como(2) Ax = b.
Si |A| = a11a22 − a12a21 6= 0, entonces multiplicamos por la izquierda ambos miembros dela ecuacion (2) por la matriz inversa A−1 = 1
|A|adj(A), y obtenemos la solucion
A−1Ax = A−1b
I2x = A−1b
x = A−1b.
Encontrar matrices inversas y resolver sistemas de ecuaciones con igual numero de ecuacionese incognitas son calculos equivalentes.
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Ejemplo
Sea el sistema {−13x+ 3y = 7
5x+ 22y = 9
Definimos
A =
(−13 3
5 22
), x =
(xy
)y b =
(79
)Para escribir este sistema en forma matricial Ax = b, o sea,(
−13 35 22
)(xy
)=
(79
)Tenemos entonces
|A| = (−13)(22)− (3)(5) = −301, y adj(A) =
(22 −3−5 −13
),
De donde
A−1 =1
|A|adj(A) =
(− 22/301 3/301
5/301 13/301
)
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Ejemplo
Sea el sistema {−13x+ 3y = 7
5x+ 22y = 9
Definimos
A =
(−13 3
5 22
), x =
(xy
)y b =
(79
)Para escribir este sistema en forma matricial Ax = b, o sea,(
−13 35 22
)(xy
)=
(79
)La solucion del sistema esta dada por(
xy
)= A−1b =
(− 22/301 3/301
5/301 13/301
)(79
)=
(− 127/301
152/301
)
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Uso de software Octave
Sea el sistema {−13x+ 3y = 7
5x+ 22y = 9
En Octave tenemos varias posibilidades para resolver sistemas como sistemas matriciales:
> A=[-13 3;5 22]
A =
-13 3
5 22
> b=[7;9]
b =
7
9
> iA=inv(A)
iA =
-0.0730897 0.0099668
0.0166113 0.0431894
> x=iA*b
x =
-0.42193
0.50498
> A=[-13 3;5 22]
A =
-13 3
5 22
> b=[7;9]
b =
7
9
> x=A\b
x =
-0.42193
0.50498
> A=[-13 3;5 22]
A =
-13 3
5 22
> b=[7;9]
b =
7
9
> x=linsolve(A,b)
x =
-0.42193
0.50498
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Uso de software Octave
Sea el sistema {−13x+ 3y = 7
5x+ 22y = 9
Tambien podemos calcular el determinante, la matriz adjunta y realizar los graficos:
> A=[-13 3;5 22];
> b=[7;9];
> d=det(A)
d=-301
> iA=inv(A);
> adjA=d*iA
adjA =
22.0000 -3.0000
-5.0000 -13.0000
> x=linsolve(A,b)
x =
-0.42193
0.50498
> eqn1=ezplot(’ -13*x+3*y-7’,[-2 2 -2 2]);
> set(eqn1 ,’color’ ,[1 0 0])
> hold on
> eqn2=ezplot("5*x+22*y-9" ,[-2 2 -2 2]);
> plot(x(1),x(2),’go’,’LineWidth ’ ,5)
> legend(’ -13x+3y=7’,’5x+22y=9’);
> title("Solucion del sistema")-2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
x
y
-13x + 3y =75x+22y=9
Solucion del sistema
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Matrices y determinantes de 3 × 3
Una matriz cuadrada de tamano 3 (3 renglones y 3 columnas) es una arreglo de 9 numerosreales o complejos
A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
.
Tambien usamos la notacion A = (aij)3×3 o bien A = (aij)3i,j=1 o bien A = (aij)1≤i,j≤3,
como es corriente.
Dos matrices cuadradas de tamano 3, A = (aij)3 y B = (bij)3, son iguales si y solo siaij = bij , para todo 1 ≤ i, j ≤ 3.
Ejemplos
−2 3 1−3 0 20 1 −2
,
2 π 00 0 2−1 3 −1
,
−1 3 1−e −2 20 −π −2π
,
√2 π 00 0 0
−eπ πe −1
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Matrices y determinantes de 3 × 3
La matriz transpuesta de una matriz A = (aij)1≤i,j≤3 es la matriz
AT =
a11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33
Esto es, AT resulta de intercambiar renglones por columnas de la matriz A.
Podemos escribir ası AT = (aTij)1≤i,j≤3 donde
aTij = aji, ∀1 ≤ i, j ≤ 3.
Ejemplos
−2 3 1−3 0 20 1 −2
T
=
−2 −3 03 0 11 2 −2
,
2 π 00 0 2−1 3 −1
T
=
2 0 −1π 0 30 2 −1
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Matrices y Determinantes de 3 × 3
Definimos el determinante de A = (aij)1≤i,j≤3 como el numero real
|A| =
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣= a11
∣∣∣∣a22 a23a32 a33
∣∣∣∣− a12 ∣∣∣∣a21 a23a31 a33
∣∣∣∣+ a13
∣∣∣∣a21 a22a31 a32
∣∣∣∣= a11 (a22a33 − a23a32)− a12 (a21a33 − a23a31) + a13 (a21a32 − a22a31)
= a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 − a13a22a31 − a23a32a11 − a33a12a21.
Ejemplo
∣∣∣∣∣∣−2 3 1−3 0 20 1 −2
∣∣∣∣∣∣ = −2∣∣∣∣0 21 −2
∣∣∣∣− 3
∣∣∣∣−3 20 −2
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣−3 00 1
∣∣∣∣= −2(−2)− 3(6)− 3
= −17
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Determinantes de matrices de 3 × 3: Regla de Sarrus
A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
|A| = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 − a13a22a31 − a23a32a11 − a33a12a21.
Regla de Sarrus. Fuente Wikipedia
¡Advertencia!
La Regla de Sarrus es unicamente validapara determinantes de tamano 3.
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Determinantes de matrices de 3 × 3: Regla de Sarrus
A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
|A| = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 − a13a22a31 − a23a32a11 − a33a12a21.
Regla de Sarrus. Fuente Wikipedia
¡Advertencia!
La Regla de Sarrus es unicamente validapara determinantes de tamano 3.
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Matrices y determinantes de 3 × 3
Teorema
Dada una matriz A = (aij)3×3,
|AT| = |A|
Demostracion.
Basta calcular |AT| de acuerdo a la regla de Sarrus:
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11 a21 a31
a12 a22 a32
+
+
+
−
−
−= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
− a31a22a13 − a32a23a11 − a33a21a12
= a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23
− a13a22a31 − a23a32a11 − a33a12a21
Ası que |AT| = |A|.
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Matrices y determinantes de 3 × 3: Desarrollo por columna
Del teorema anterior se desprende∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣a11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33
∣∣∣∣∣∣= a11
∣∣∣∣a22 a32a23 a33
∣∣∣∣− a21 ∣∣∣∣a12 a32a13 a33
∣∣∣∣+ a31
∣∣∣∣a12 a22a13 a23
∣∣∣∣= a11
∣∣∣∣a22 a23a32 a33
∣∣∣∣− a21 ∣∣∣∣a12 a13a32 a33
∣∣∣∣+ a31
∣∣∣∣a12 a22a31 a23
∣∣∣∣La formula∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = a11
∣∣∣∣a22 a23a32 a33
∣∣∣∣− a21 ∣∣∣∣a12 a13a32 a33
∣∣∣∣+ a31
∣∣∣∣a12 a22a31 a23
∣∣∣∣se conoce como desarrollo por columna del determinante de 3× 3.
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Matrices y determinantes de 3 × 3
Teorema
Dados numeros reales aij , 1 ≤ i, j ≤ 3,∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = −∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a31 a32 a33a21 a22 a23
∣∣∣∣∣∣ y
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = −∣∣∣∣∣∣a11 a13 a12a21 a23 a22a31 a33 a32
∣∣∣∣∣∣Demostracion.∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = −a11∣∣∣∣a22 a23a32 a33
∣∣∣∣− a12 ∣∣∣∣a21 a23a31 a33
∣∣∣∣+ a13
∣∣∣∣a21 a22a31 a32
∣∣∣∣= −a11
∣∣∣∣a32 a33a22 a23
∣∣∣∣+ a12
∣∣∣∣a31 a33a21 a23
∣∣∣∣− a13 ∣∣∣∣a31 a32a21 a22
∣∣∣∣= −
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a31 a32 a33a21 a22 a23
∣∣∣∣∣∣
Mas generalmente...
Debe resultar claro al estudiante, que este teorema tiene enunciacion masgeneral: si alternamos dos renglones o dos columnas, el determinante cambiade signo.La prueba de ello deberıa resultarle al estudiante igualmente trivial.
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Matrices y determinantes de 3 × 3
Teorema
Dados numeros reales aij , 1 ≤ i, j ≤ 3,∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = −∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a31 a32 a33a21 a22 a23
∣∣∣∣∣∣ y
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = −∣∣∣∣∣∣a11 a13 a12a21 a23 a22a31 a33 a32
∣∣∣∣∣∣Demostracion.∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = −a11∣∣∣∣a22 a23a32 a33
∣∣∣∣− a12 ∣∣∣∣a21 a23a31 a33
∣∣∣∣+ a13
∣∣∣∣a21 a22a31 a32
∣∣∣∣= −a11
∣∣∣∣a32 a33a22 a23
∣∣∣∣+ a12
∣∣∣∣a31 a33a21 a23
∣∣∣∣− a13 ∣∣∣∣a31 a32a21 a22
∣∣∣∣= −
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a31 a32 a33a21 a22 a23
∣∣∣∣∣∣
Mas generalmente...
Debe resultar claro al estudiante, que este teorema tiene enunciacion masgeneral: si alternamos dos renglones o dos columnas, el determinante cambiade signo.La prueba de ello deberıa resultarle al estudiante igualmente trivial.
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Operaciones con matrices de 3 × 3
Si λ ∈ R, definimos el producto por un escalar como
λA = λ
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
=
λa11 λa12 λa13λa21 λa22 λa23λa31 λa32 λa33
En notacion abreviada
λA = (λaij)3×3
Ejemplos
4
2 π 00 0 2−1 3 −1
=
8 4π 00 0 8−4 12 −4
, −
−2 3 1−3 0 20 1 −2
=
2 −3 −13 0 −20 −1 2
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Operaciones con matrices de 3 × 3
La suma de dos matrices A = (aij)3×3 y B = (bij)3×3 es la matriz
A+B =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
+
b11 b12 b13b21 b22 b23b31 b32 b33
=
a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33
En notacion abreviadaA+B = (aij + bij)3×3
Ejemplo
4
2 π 00 0 2−1 3 −1
− 2 π 0
0 0 0−π2 π −1
=
6 0 00 0 8
π2 − 4 12− π −3
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Operaciones con matrices de 3 × 3
El producto de dos matrices A = (aij)3×3 y B = (bij)3×3 es la matriz
AB =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
b11 b12 b13b21 b22 b23b31 b32 b33
=
a11b11 + a12b21 + a13b31 a11b12 + a12b22 + a13b32 a11b13 + a12b23 + a13b33a21b11 + a22b21 + a23b31 a21b12 + a22b22 + a23b32 a21b13 + a22b23 + a23b33a31b11 + a32b21 + a33b31 a31b12 + a32b22 + a33b32 a31b13 + a32b23 + a33b33
En notacion abreviadaAB = (ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j)3×3.
Ejemplo
2 π 00 0 2−1 3 −1
2 −3 −13 0 −20 −1 2
=
4 + 3π −6 −2(1 + π)0 −2 44 4 −3
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Operaciones con matrices de 3 × 3
Si x =
xyz
es un vector columna en R3 y A = (aij)3×3 es una matriz cuadrada de tamano
3, entonces tambien definimos los siguientes productos
xTA =(x y z
)a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
=(a11x+ a21y + a31z a12x+ a22y + a32z a13x+ a23y + a33z
)
Ax =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
xyz
=
a11x+ a12y + a13za21x+ a22y + a23za31x+ a32y + a33z
Observe que xTA es un vector renglon y Ax es un vector columna.
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Operaciones con matrices de 3 × 3: Otros resultados
Teorema : Propiedades asociativas
Sean A = (aij)3×3, B = (bij)3×3 y C = (cij)3×3 matrices cuadradas de tamano 3.Entonces
(A+B) + C = A+ (B + C) y (AB)C = A(BC).
Teorema : Propiedades distributivas
Sean A = (aij)3×3, B = (bij)3×3 y C = (cij)3×3 matrices cuadradas de tamano 3.Entonces
A(B + C) = AB +BC y (B + C)A = BA+ CA.
Las demostraciones (tediosas) las dejamos al estudiante como ejercicio.
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Operaciones con matrices de 3 × 3. Otros resultados
Teorema
Si A = (aij)3×3 es una matriz y λ ∈ R,∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23λa31 λa32 λa33
∣∣∣∣∣∣ = λ
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣Demostracion.∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13a21 a22 a23λa31 λa32 λa33
∣∣∣∣∣∣ = a11
∣∣∣∣ a22 a23λa32 λa33
∣∣∣∣− a12 ∣∣∣∣ a21 a23λa31 λa33
∣∣∣∣+ a13
∣∣∣∣ a21 a22λa31 λa32
∣∣∣∣= λa11
∣∣∣∣a22 a23a32 a33
∣∣∣∣− λa12 ∣∣∣∣a21 a23a31 a33
∣∣∣∣+ λa13
∣∣∣∣a21 a22a31 a32
∣∣∣∣= λ
(a11
∣∣∣∣a22 a23a32 a33
∣∣∣∣− a12 ∣∣∣∣a21 a23a31 a33
∣∣∣∣+ a13
∣∣∣∣a21 a22a31 a32
∣∣∣∣)
= λ
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣
De la misma forma...
Este mismo razonamiento aplica para probar las igualdades∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13λa21 λa22 λa23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = λ
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣λa11 λa12 λa13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = λ
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣
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Operaciones con matrices de 3 × 3. Otros resultados
Teorema
Si A = (aij)3×3 es una matriz y λ ∈ R,∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23λa31 λa32 λa33
∣∣∣∣∣∣ = λ
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣Demostracion.∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13a21 a22 a23λa31 λa32 λa33
∣∣∣∣∣∣ = a11
∣∣∣∣ a22 a23λa32 λa33
∣∣∣∣− a12 ∣∣∣∣ a21 a23λa31 λa33
∣∣∣∣+ a13
∣∣∣∣ a21 a22λa31 λa32
∣∣∣∣= λa11
∣∣∣∣a22 a23a32 a33
∣∣∣∣− λa12 ∣∣∣∣a21 a23a31 a33
∣∣∣∣+ λa13
∣∣∣∣a21 a22a31 a32
∣∣∣∣= λ
(a11
∣∣∣∣a22 a23a32 a33
∣∣∣∣− a12 ∣∣∣∣a21 a23a31 a33
∣∣∣∣+ a13
∣∣∣∣a21 a22a31 a32
∣∣∣∣)
= λ
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣
De la misma forma...
Este mismo razonamiento aplica para probar las igualdades∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13λa21 λa22 λa23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = λ
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣λa11 λa12 λa13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = λ
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣
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Operaciones con matrices de 3 × 3. Otros resultados
Corolario
Si A = (aij)3×3 es una matriz y λ ∈ R,∣∣∣∣∣∣a11 a12 λa13a21 a22 λa23a31 a32 λa33
∣∣∣∣∣∣ = λ
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣
Corolario
Si A = (aij)3×3 es una matriz y λ ∈ R,
|λA| = λ3|A|.
En particular, | −A| = −|A|.
Se dejan al estudiantes estas faciles pruebas.
De la misma forma...
Este mismo razonamiento aplica para probar las igualdades∣∣∣∣∣∣a11 λa12 a13a21 λa22 a23a31 λa32 a33
∣∣∣∣∣∣ = λ
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣λa11 a12 a13λa21 a22 a23λa31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = λ
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣
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Operaciones con matrices de 3 × 3. Otros resultados
Corolario
Si A = (aij)3×3 es una matriz y λ ∈ R,∣∣∣∣∣∣a11 a12 λa13a21 a22 λa23a31 a32 λa33
∣∣∣∣∣∣ = λ
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣
Corolario
Si A = (aij)3×3 es una matriz y λ ∈ R,
|λA| = λ3|A|.
En particular, | −A| = −|A|.
Se dejan al estudiantes estas faciles pruebas.
De la misma forma...
Este mismo razonamiento aplica para probar las igualdades∣∣∣∣∣∣a11 λa12 a13a21 λa22 a23a31 λa32 a33
∣∣∣∣∣∣ = λ
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣λa11 a12 a13λa21 a22 a23λa31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = λ
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣
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Operaciones con matrices de 3 × 3. Otros resultados
Teorema
Si aij , 1 ≤ i ≤ 2, 1 ≤ j ≤ 3, son numeros reales, y λ ∈ R, entonces∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23λa11 λa12 λa13
∣∣∣∣∣∣ = 0
Demostracion.
Basta el caso λ = 1. Desarrollamos el determinante por columna∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a11 a12 a13
∣∣∣∣∣∣ = a11
∣∣∣∣a22 a23a12 a13
∣∣∣∣+ a21
∣∣∣∣a12 a13a12 a13
∣∣∣∣+ a11
∣∣∣∣a12 a13a22 a23
∣∣∣∣= a11
∣∣∣∣a22 a23a12 a13
∣∣∣∣+ a210− a11∣∣∣∣a22 a23a12 a13
∣∣∣∣ = 0
Un poco mas general ...
Debe resultar evidente que este resultado admite un enunciado mas general:
Si un renglon de una matriz cuadrada es multiplo de otro, entonces el de-terminante de la matriz es cero
Veremos mas adelante de hecho un enunciado mas general todavıa.
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Operaciones con matrices de 3 × 3. Otros resultados
Teorema
Si aij , 1 ≤ i ≤ 2, 1 ≤ j ≤ 3, son numeros reales, y λ ∈ R, entonces∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23λa11 λa12 λa13
∣∣∣∣∣∣ = 0
Demostracion.
Basta el caso λ = 1. Desarrollamos el determinante por columna∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a11 a12 a13
∣∣∣∣∣∣ = a11
∣∣∣∣a22 a23a12 a13
∣∣∣∣+ a21
∣∣∣∣a12 a13a12 a13
∣∣∣∣+ a11
∣∣∣∣a12 a13a22 a23
∣∣∣∣= a11
∣∣∣∣a22 a23a12 a13
∣∣∣∣+ a210− a11∣∣∣∣a22 a23a12 a13
∣∣∣∣ = 0
Un poco mas general ...
Debe resultar evidente que este resultado admite un enunciado mas general:
Si un renglon de una matriz cuadrada es multiplo de otro, entonces el de-terminante de la matriz es cero
Veremos mas adelante de hecho un enunciado mas general todavıa.
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Operaciones con matrices de 3 × 3. Otros resultados
Corolario
Si aij , 1 ≤ i ≤ 3, 1 ≤ j ≤ 2, son numeros reales, y λ ∈ R, entonces∣∣∣∣∣∣a11 a12 λa11a21 a22 λa21a31 a32 λa31
∣∣∣∣∣∣ = 0
Demostracion.
Vamos a hacer esta prueba con la finalidad de ilustrar como se aplican algunos de los resultadosanteriores. Tenemos pues,∣∣∣∣∣∣
a11 a12 λa11a21 a22 λa21a31 a32 λa31
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣a11 a21 a31a12 a22 a32λa11 λa21 λa31
∣∣∣∣∣∣ = 0
Lo mismo aplica...
Debe resultar evidente que este resultado admite un enunciado mas general:
Si una columna de una matriz cuadrada es multiplo de otra, entonces eldeterminante de la matriz es cero
Veremos mas adelante de hecho un enunciado mas general todavıa.
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Operaciones con matrices de 3 × 3. Otros resultados
Corolario
Si aij , 1 ≤ i ≤ 3, 1 ≤ j ≤ 2, son numeros reales, y λ ∈ R, entonces∣∣∣∣∣∣a11 a12 λa11a21 a22 λa21a31 a32 λa31
∣∣∣∣∣∣ = 0
Demostracion.
Vamos a hacer esta prueba con la finalidad de ilustrar como se aplican algunos de los resultadosanteriores. Tenemos pues,∣∣∣∣∣∣
a11 a12 λa11a21 a22 λa21a31 a32 λa31
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣a11 a21 a31a12 a22 a32λa11 λa21 λa31
∣∣∣∣∣∣ = 0
Lo mismo aplica...
Debe resultar evidente que este resultado admite un enunciado mas general:
Si una columna de una matriz cuadrada es multiplo de otra, entonces eldeterminante de la matriz es cero
Veremos mas adelante de hecho un enunciado mas general todavıa.
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Una interesante propiedad de linealidad
Teorema
Si aij ∈ R, i = 1, 2, j = 1, 2, 3; y uk y vk tambien son numeros reales, k = 1, 2, 3.Entonces∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13a21 a22 a23
u1 + v1 u2 + v2 u3 + v3
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23u1 u2 u3
∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23v1 v2 v3
∣∣∣∣∣∣
Pero no es lo mismo...
Este resultado no dice que se cumpla la igualdad a11 a12 a13a21 a22 a23
u1 + v1 u2 + v2 u3 + v3
=
a11 a12 a13a21 a22 a23u1 u2 u3
+
a11 a12 a13a21 a22 a23v1 v2 v3
Se deja como ejercicio verificar con un ejemplo que esta igualdad no es cierta.
De la misma forma...
Ningun estudiante deberıa dudar de la validez de las igualdades:∣∣∣∣∣∣u1 + v1 u2 + v2 u3 + v3a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣v1 v2 v3a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13
u1 + v1 u2 + v2 u3 + v3a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13u1 u2 u3a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13v1 v2 v3a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Una interesante propiedad de linealidad
Teorema
Si aij ∈ R, i = 1, 2, j = 1, 2, 3; y uk y vk tambien son numeros reales, k = 1, 2, 3.Entonces∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13a21 a22 a23
u1 + v1 u2 + v2 u3 + v3
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23u1 u2 u3
∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23v1 v2 v3
∣∣∣∣∣∣
Pero no es lo mismo...
Este resultado no dice que se cumpla la igualdad a11 a12 a13a21 a22 a23
u1 + v1 u2 + v2 u3 + v3
=
a11 a12 a13a21 a22 a23u1 u2 u3
+
a11 a12 a13a21 a22 a23v1 v2 v3
Se deja como ejercicio verificar con un ejemplo que esta igualdad no es cierta.
De la misma forma...
Ningun estudiante deberıa dudar de la validez de las igualdades:∣∣∣∣∣∣u1 + v1 u2 + v2 u3 + v3a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣v1 v2 v3a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13
u1 + v1 u2 + v2 u3 + v3a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13u1 u2 u3a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13v1 v2 v3a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Una interesante propiedad de linealidad
Demostracion.∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23
u1 + v1 u2 + v2 u3 + v3
∣∣∣∣∣∣ = a11
∣∣∣∣ a22 a23u2 + v2 u3 + v3
∣∣∣∣− a12 ∣∣∣∣ a21 a23u1 + v1 u3 + v3
∣∣∣∣+ a13
∣∣∣∣ a21 a22u1 + v1 u2 + v2
∣∣∣∣= a11
(∣∣∣∣a22 a23u2 u3
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣a22 a23v2 v3
∣∣∣∣)− a12 (∣∣∣∣a21 a23u1 u3
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣a21 a23v1 v3
∣∣∣∣)+ a13
(∣∣∣∣a21 a22u1 u2
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣a21 a22v1 v2
∣∣∣∣)
= a11
∣∣∣∣a22 a23u2 u3
∣∣∣∣− a12 ∣∣∣∣a21 a23u1 u3
∣∣∣∣+ a13
∣∣∣∣a21 a22u1 u2
∣∣∣∣+ a11
∣∣∣∣a22 a23v2 v3
∣∣∣∣− a12 ∣∣∣∣a21 a23v1 v3
∣∣∣∣+ a13
∣∣∣∣a21 a22v1 v2
∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23u1 u2 u3
∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23v1 v2 v3
∣∣∣∣∣∣Araceli Guzman y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
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Una interesante propiedad de linealidad
Corolario
Si aij ∈ R, i = 1, 2, 3, j = 1, 2; y uk y vk tambien son numeros reales, k = 1, 2, 3.Entonces ∣∣∣∣∣∣
a11 a12 u1 + v1a21 a22 u2 + v2a31 a32 u3 + v3
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣a11 a12 u1a21 a22 u2a31 a32 u3
∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣a11 a12 v1a21 a22 v2a31 a32 v3
∣∣∣∣∣∣Dejamos al estudiante la prueba que ya deberıa resultar sencilla.
Pero no es lo mismo...
a11 a12 u1 + v1a21 a22 u2 + v2a31 a32 u3 + v3
=
a11 a12 u1a21 a22 u2a31 a32 u3
+
a11 a12 v1a21 a22 v2a31 a32 v3
Nuevamente dejamos que el estudiante compruebe por sı mismo con un ejemplo que estaigualdad no siempre se cumple.
De la misma forma...
Todo estudiante deberıa deberıa ser capaz de probar de hecho las igualdades:∣∣∣∣∣∣u1 + v1 a12 a13u2 + v2 a22 a23u3 + v3 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣u1 a12 a13u2 a22 a23u3 a32 a33
∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣v1 a12 a13v2 a22 a23v3 a32 a33
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 u1 + v1 a13a21 u2 + v2 a23a31 u3 + v3 a33
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣a11 u1 a13a21 u2 a23a31 u3 a33
∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣a11 v1 a13a21 v2 a23a31 v3 a33
∣∣∣∣∣∣
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Una interesante propiedad de linealidad
Corolario
Si aij ∈ R, i = 1, 2, 3, j = 1, 2; y uk y vk tambien son numeros reales, k = 1, 2, 3.Entonces ∣∣∣∣∣∣
a11 a12 u1 + v1a21 a22 u2 + v2a31 a32 u3 + v3
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣a11 a12 u1a21 a22 u2a31 a32 u3
∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣a11 a12 v1a21 a22 v2a31 a32 v3
∣∣∣∣∣∣Dejamos al estudiante la prueba que ya deberıa resultar sencilla.
Pero no es lo mismo...
a11 a12 u1 + v1a21 a22 u2 + v2a31 a32 u3 + v3
=
a11 a12 u1a21 a22 u2a31 a32 u3
+
a11 a12 v1a21 a22 v2a31 a32 v3
Nuevamente dejamos que el estudiante compruebe por sı mismo con un ejemplo que estaigualdad no siempre se cumple.
De la misma forma...
Todo estudiante deberıa deberıa ser capaz de probar de hecho las igualdades:∣∣∣∣∣∣u1 + v1 a12 a13u2 + v2 a22 a23u3 + v3 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣u1 a12 a13u2 a22 a23u3 a32 a33
∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣v1 a12 a13v2 a22 a23v3 a32 a33
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 u1 + v1 a13a21 u2 + v2 a23a31 u3 + v3 a33
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣a11 u1 a13a21 u2 a23a31 u3 a33
∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣a11 v1 a13a21 v2 a23a31 v3 a33
∣∣∣∣∣∣
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Un teorema importante
Teorema
Si aij , 1 ≤ i ≤ 2, 1 ≤ j ≤ 3, son numeros reales; y α y β son tambien numeros reales,∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23
αa11 + βa21 αa12 + βa22 αa13 + βa23
∣∣∣∣∣∣ = 0
Demostracion.
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23
αa11 + βa21 αa12 + βa22 αa13 + βa23
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23αa11 αa12 αa13
∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23βa21 βa22 βa23
∣∣∣∣∣∣= 0
Con toda generalidad...
Desde luego, este teorema es parte de un hecho mucho mas general:
Si un renglon de una matriz cuadrada es combinacion lineal de los restantesrenglones, entonces el determinante de la matriz es cero
La prueba no tiene diferencias significativas con lo que hicimos aquı.
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Un teorema importante
Teorema
Si aij , 1 ≤ i ≤ 2, 1 ≤ j ≤ 3, son numeros reales; y α y β son tambien numeros reales,∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23
αa11 + βa21 αa12 + βa22 αa13 + βa23
∣∣∣∣∣∣ = 0
Demostracion.
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23
αa11 + βa21 αa12 + βa22 αa13 + βa23
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23αa11 αa12 αa13
∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23βa21 βa22 βa23
∣∣∣∣∣∣= 0
Con toda generalidad...
Desde luego, este teorema es parte de un hecho mucho mas general:
Si un renglon de una matriz cuadrada es combinacion lineal de los restantesrenglones, entonces el determinante de la matriz es cero
La prueba no tiene diferencias significativas con lo que hicimos aquı.
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Un teorema importante
Corolario
Si A = (aij)3×3 es una matriz y α y β son numeros reales,∣∣∣∣∣∣a11 a12 αa11 + βa12a21 a22 αa21 + βa22a31 a32 αa31 + βa32
∣∣∣∣∣∣ = 0
Dejamos al estudiante la prueba, que ya deberıa ser practicamente un ejercicio mental.
Con toda generalidad...
Igualmente podemos enunciar con toda generalidad:
Si una columna de una matriz cuadrada es combinacion lineal de las restantescolumnas, entonces el determinante de la matriz es cero
La prueba no deberıa ser ningun reto para ningun estudiante.
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Un teorema importante
Corolario
Si A = (aij)3×3 es una matriz y α y β son numeros reales,∣∣∣∣∣∣a11 a12 αa11 + βa12a21 a22 αa21 + βa22a31 a32 αa31 + βa32
∣∣∣∣∣∣ = 0
Dejamos al estudiante la prueba, que ya deberıa ser practicamente un ejercicio mental.
Con toda generalidad...
Igualmente podemos enunciar con toda generalidad:
Si una columna de una matriz cuadrada es combinacion lineal de las restantescolumnas, entonces el determinante de la matriz es cero
La prueba no deberıa ser ningun reto para ningun estudiante.
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
La importante (y tediosa) propiedad del determinante de un producto
Teorema
Sean A = (aij)3×3 y B = (bij)3×3 matrices. Entonces
|AB| = |A||B|.
El estudiante puede comprobar que intentar una prueba directa es ya muy muy tedioso yaburrido.
Posponemos la prueba hasta completar algunos otros aspectos y entonces la haremos muyfacilmente
Corolario
Sean A = (aij)3×3 y B = (bij)3×3 matrices. Entonces
|AB| = |BA|.
Se advierte, como antes, que este corolario no dice que se cumpla la igualdad
AB = BA.
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Sistemas de ecuaciones lineales de 3 × 3
Sea un sistema de tres ecuaciones con tres incognitas
(∗)
a11x+ a12y+a13z= b1
a21x+ a22y+a23z= b2
a31x+ a32y+a33z= b3
La forma matricial de este sistema esa11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
xyz
=
b1b2b3
Si definimos las matrices
A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
, x =
xyz
, b =
b1b2b3
Entonces podemos escribir en corto
Ax = b.
La matriz A es llamada matriz de coeficientes de (∗).
De otra manera...
Realizando calculos directos, se puede comprobar facilmente
Ax = b ⇔ xTAT = bT.
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Sistemas de ecuaciones lineales de 3 × 3
Sea un sistema de tres ecuaciones con tres incognitas
(∗)
a11x+ a12y+a13z= b1
a21x+ a22y+a23z= b2
a31x+ a32y+a33z= b3
La forma matricial de este sistema esa11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
xyz
=
b1b2b3
Si definimos las matrices
A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
, x =
xyz
, b =
b1b2b3
Entonces podemos escribir en corto
Ax = b.
La matriz A es llamada matriz de coeficientes de (∗).
De otra manera...
Realizando calculos directos, se puede comprobar facilmente
Ax = b ⇔ xTAT = bT.
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La Regla de Cramer
Teorema : Regla de Cramer
Un sistema de 3× 3
(I)
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
xyz
=
b1b2b3
tiene solucion unica si y solo si ∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ 6= 0.
En cuyo caso, la solucion esta dada por
x =
∣∣∣∣∣∣b1 a12 a13b2 a22 a23b3 a32 a33
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣, y =
∣∣∣∣∣∣a11 b1 a13a21 b2 a23a31 b3 a33
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣, z =
∣∣∣∣∣∣a11 a12 b1a21 a22 b2a31 a32 b3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣.
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Ejemplo: A veces hay caminos mas cortos
Sea el sistema
(I)
3x+ 2y + z = 2 (1)
−2x+ y − 7z = 0 (2)
3x− y + 8z = 2 (3)
Restamos la equacion (1) de la equacion (3)para obtener
−3y + 7z = 0,
de donde
z =3
7y.
Sustituyendo este valor en (2)
−2x+ y − 3y = 0,
esto es,
x = −y
Sustituimos estos valores de x y z en (1),
−3y+2y+3
7y = 2⇔ −
4
7y = 2⇔ y = −
7
2.
Por lo tanto
z = −3
2y x =
7
2.
El sistema tiene solucion unica(72,−
7
2,−
3
2
).
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Ejemplo: La regla de Cramer tiene sus lımites
Sea el sistema
(I)
3x+ 6y − 6z = 9 (1)
2x− 5y + 4z = 6 (2)
5x+ 28y − 26z = −8 (3)
De acuerdo a la formula de Sarrus, el determinante de la matriz de coeficientes de este sistemaes
3 6 − 6
2 − 5 4
5 28 −26
3 6 − 6
2 − 5 4
+
+
+
−
−
−= +3(−5)(−26) + 2(28)(−6) + 5(6)(4)
− (−6)(−5)(5)− (4)(28)(3)− (−26)(6)(2)
= 390− 336 + 120
− 150− 336 + 312 = 0
Por lo tanto, el sistema (I) no tiene solucion unica. Pero ¿que significa que un sistemano tenga solucion unica? Desde luego, no significa necesariamente que el sistema no tengasolucion.
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Ejemplo: La regla de Cramer tiene sus lımites
Sea el sistema
(I)
3x+ 6y − 6z = 9 (1)
2x− 5y + 4z = 6 (2)
5x+ 28y − 26z = −8 (3)
Veamos: Dividimos la ecuacion (1) entre 3y dividimos la ecuacion (2) entre 2, paraobtener el sistema equivalente
(I′)
x+ 2y − 2z = 3 (1′)
x− 52y + 2z = 3 (2′)
5x+ 28y − 26z = −8 (3′)
Sumamos las ecuaciones (1′) y (2′) paraobtener
2x−1
2y = 6,
de donde
x = 3 +1
4y.
Sustituyendo en (1′) resulta
9
4y − 2z = 0.
Esto es
z =9
8y.
Por lo tanto, todas las soluciones del sistema(I′), y en consecuencia, del sistema (I), sonde la forma(
3 +1
4y, y,
9
8y), y ∈ R.
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Ejemplo. Moraleja: Busca siempre el camino mas corto
Sea el sistema
(I)
−9x+ 9y − 7z = 6 (1)
−7x − z = −10 (2)
9x+ 6y + 8z = 45 (3)
Sumamos las ecuaciones (1) y (3) para obtener
15y + z = 51,
de dondez = 51− 15y.
Sustituimos este valor de z en la ecuacion (2),
−7x− 51 + 15y = −10,
de donde
x =41− 15y
7.
De manera que las soluciones del sistema (I) son de la forma(417−
15
7y, y, 51− 15y
), y ∈ R.
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Eejemplo: Las formulas siempre son efectivas
Sea el sistema
(I)
−x + 2z = 6
−3x+ 4y + 6z = 30
−x− 2y + 3z = 8
Lo complejo aquı es hacer el calculo de los determinantes, sobre todo porque aun no conocemosotro metodo que no sea el claculo directo (y la Regla de Sarrus).
Para no hacer mas tediosa esta exposicion vamos a obviar los calculos, los cuales puedecomprobar el estudiante facilmente.
Por la Regla de Cramer
x =
∣∣∣∣∣∣6 0 2
30 4 68 −2 3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 2−3 4 6−1 −2 3
∣∣∣∣∣∣= −
10
11, y =
∣∣∣∣∣∣1 6 2−3 30 6−1 8 3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 2−3 4 6−1 −2 3
∣∣∣∣∣∣=
18
11, z =
∣∣∣∣∣∣1 0 6−3 4 30−1 −2 8
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 2−3 4 6−1 −2 3
∣∣∣∣∣∣=
38
11.
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Demostracion del “regreso” de la Regla de Cramer
Sea A = (aij)3×3 la matriz de coeficientes del sistema, y sean las matrices A1, A2 y A3
formadas a partir de A, pero reemplazando las columnas de los coeficientes de las variablesx, y y z, respectivamente, por el vector columna (b1, b2, b3). Esto es,
A1 =
b1 a12 a13b2 a22 a23b3 a32 a33
, A2 =
a11 a12 b1a21 a22 b2a31 a32 b3
, A3 =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
Hagamos primero el siguiente analisis:
Supongamos que el vector (x, y, z) es una solucion del sistema. Se cumplen ası las igualdades,
a11x+ a12y + a13z = b1
a21x+ a22y + a23z = b2
a31x+ a32y + a33z = b3
o equivalentemente
a11x = b1 − a12y − a13za12x = b2 − a22y − a23za13x = b3 − a32y − a33z
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Demostracion del “regreso” de la Regla de Cramer
Tenemos entonces,∣∣∣∣∣∣b1 a12 a13b2 a22 a23b3 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣b1 a12 a13b2 a22 a23b3 a32 a33
∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣−a12y − a13z a12 a13−a22y − a23z a22 a23−a32y − a33z a32 a33
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣b1 − a12y − a13z a12 a13b2 − a22y − a23z a22 a23b3 − a32y − a33z a32 a33
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣a11x a12 a13a12x a22 a23a13x a32 a33
∣∣∣∣∣∣= x
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a12 a22 a23a13 a32 a33
∣∣∣∣∣∣Del mismo modo podemos deducir las igualdades∣∣∣∣∣∣a11 b1 a13a21 b2 a23a31 b3 a33
∣∣∣∣∣∣ = y
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ y
∣∣∣∣∣∣a11 a12 b1a21 a22 b2a31 a32 b3
∣∣∣∣∣∣ = z
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣Araceli Guzman y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Demostracion del “regreso” de la Regla de Cramer (continuacion)
Es decir, cualquier solucion (x, y, z) del sistema, si existe, cumple con las igualdades
|A1| = x|A|, |A2| = y|A| |A3| = z|A|.
Por lo tanto, si suponemos que |A| 6= 0, se tiene que si (x, y, z) es solucion del sistema,entonces
x =|A1||A|
, y =|A2||A|
z =|A3||A|
. (2)
Esto es, si el sistema tiene solucion y |A| 6= 0, la solucion es unica y esta dada por las formulas(2).
Observe que no hemos probado que el sistema tiene solucion. Para llegar a tal cosa, restacomprobar que las igualdades (2) son efectivamente solucion del sistema
a11x+ a12y+a13z= b1
a21x+ a22y+a23z= b2
a31x+ a32y+a33z= b3
o equivalentemente
|A|a11x+ |A|a12y+|A|a13z= |A|b1|A|a21x+ |A|a22y+|A|a23z= |A|b2|A|a31x+ |A|a32y+|A|a33z= |A|b3
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Demostracion del “regreso” de la Regla de Cramer (continuacion)
Sean pues x =|A1||A|
, y =|A2||A|
y z =|A3||A|
. Tenemos,
a11|A|x+ a12|A|y + a13|A|z = a11|A1|+ a12|A2|+ a13|A3|
= a11
∣∣∣∣∣∣b1 a12 a13b2 a22 a23b3 a32 a33
∣∣∣∣∣∣+ a12
∣∣∣∣∣∣a11 b1 a13a21 b2 a23a31 b3 a33
∣∣∣∣∣∣+ a13
∣∣∣∣∣∣a11 a12 b1a21 a22 b2a31 a32 b3
∣∣∣∣∣∣= a11
∣∣∣∣∣∣b1 a12 a13b2 a22 a23b3 a32 a33
∣∣∣∣∣∣− a12∣∣∣∣∣∣b1 a11 a13b2 a21 a23b3 a31 a33
∣∣∣∣∣∣+ a13
∣∣∣∣∣∣b1 a11 a12b2 a21 a22b3 a31 a33
∣∣∣∣∣∣= a11
(b1
∣∣∣∣a22 a23a32 a33
∣∣∣∣− b2 ∣∣∣∣a12 a13a32 a33
∣∣∣∣+ b3
∣∣∣∣a12 a13a22 a23
∣∣∣∣)
− a12(b1
∣∣∣∣a21 a33a31 a33
∣∣∣∣− b2 ∣∣∣∣a11 a13a31 a33
∣∣∣∣+ b3
∣∣∣∣a11 a13a21 a23
∣∣∣∣)
+ a13
(b1
∣∣∣∣a21 a22a31 a32
∣∣∣∣− b2 ∣∣∣∣a11 a12a31 a32
∣∣∣∣+ b3
∣∣∣∣a11 a12a21 a22
∣∣∣∣)
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Demostracion del “regreso” de la Regla de Cramer (continuacion)
Sean pues x =|A1||A|
, y =|A2||A|
y z =|A3||A|
. Tenemos,
a11|A|x+ a12|A|y + a13|A|z = a11
(b1
∣∣∣∣a22 a23a32 a33
∣∣∣∣− b2 ∣∣∣∣a12 a13a32 a33
∣∣∣∣+ b3
∣∣∣∣a12 a13a22 a23
∣∣∣∣)
− a12(b1
∣∣∣∣a21 a33a31 a33
∣∣∣∣− b2 ∣∣∣∣a11 a13a31 a33
∣∣∣∣+ b3
∣∣∣∣a11 a13a21 a23
∣∣∣∣)
+ a13
(b1
∣∣∣∣a21 a22a31 a32
∣∣∣∣− b2 ∣∣∣∣a11 a12a31 a32
∣∣∣∣+ b3
∣∣∣∣a11 a12a21 a22
∣∣∣∣)
= b1
(a11
∣∣∣∣a22 a23a32 a33
∣∣∣∣− a12 ∣∣∣∣a21 a33a31 a33
∣∣∣∣+ a13
∣∣∣∣a21 a22a31 a32
∣∣∣∣)
− b2(a11
∣∣∣∣a12 a13a32 a33
∣∣∣∣− a12 ∣∣∣∣a11 a13a31 a33
∣∣∣∣+ a13
∣∣∣∣a11 a12a31 a32
∣∣∣∣)
+ b3
(a11
∣∣∣∣a12 a13a22 a23
∣∣∣∣− a12 ∣∣∣∣a11 a12a21 a23
∣∣∣∣+ a13
∣∣∣∣a11 a12a21 a22
∣∣∣∣)
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Demostracion del “regreso” de la Regla de Cramer (continuacion)
Sean pues x =|A1||A|
, y =|A2||A|
y z =|A3||A|
. Tenemos,
a11|A|x+ a12|A|y+a13|A|z = b1
(a11
∣∣∣∣a22 a23a32 a33
∣∣∣∣− a12 ∣∣∣∣a21 a33a31 a33
∣∣∣∣+ a13
∣∣∣∣a21 a22a31 a32
∣∣∣∣)
− b2(a11
∣∣∣∣a12 a13a32 a33
∣∣∣∣− a12 ∣∣∣∣a11 a13a31 a33
∣∣∣∣+ a13
∣∣∣∣a11 a12a31 a32
∣∣∣∣)
+ b3
(a11
∣∣∣∣a12 a13a22 a23
∣∣∣∣− a12 ∣∣∣∣a11 a12a21 a23
∣∣∣∣+ a13
∣∣∣∣a11 a12a21 a22
∣∣∣∣)
= b1
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣− b2∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a11 a12 a13a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣+ b3
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a11 a12 a13a21 a22 a23
∣∣∣∣∣∣= b1|A|.
De la misma manera se puede verificar las igualdades
a21|A|x+ a22|A|y + a23|A|z = b2|A|a31|A|x+ a32|A|y + a33|A|z = b3|A|
Con ello terminamos la prueba del “regreso” de la Regla de Cramer.Araceli Guzman y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
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Matrices invertibles de 3 × 3
Decimos que una matriz A = (aij)3×3 es invertible si existe una matriz B = (bij)3×3 tal que
AB = I3 = BA,
donde
I3 =
1 0 00 1 00 0 1
es la matriz identidad de tamano 3.
Decimos que B es la inversa de A y usamos la notacion B = A−1 (esta notacion estarajustificada cuando probemos uncidad).
Teorema
Dada una matriz A = (aij)3×3,
AI3 = I3A = A.
La prueba es exactamente igual a caso n = 2 y se deja al estudiante.
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Matrices inversas
Teorema
Si A = (aij)3×3 es una matriz invetible, solo hay una unica inversa de A.
Demostracion.
Sean B y B′ matrices inversas de A. Tenemos
B = BI2 = B(AB′) = (BA)B′ = I2B′ = B′.
Teorema
I3 es invertible y I−13 = I3.
Teorema
|I3| = 1
Nuevamente, dejamos estas pruebas al estudiante.
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La matriz de cofactores de una matriz de 3 × 3
Sea la matriz de 3× 3
A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
Definimos las submatrices
C11 =
(a22 a23a32 a33
)C12 =
(a21 a23a31 a33
)C13 =
(a21 a22a31 a32
)
C21 =
(a12 a13a32 a33
)C22 =
(a11 a13a31 a33
)C23 =
(a11 a12a31 a32
)
C31 =
(a12 a13a22 a23
)C32 =
(a11 a13a21 a23
)C33 =
(a11 a12a21 a22
)Esto es, cada matriz Cij se obtiene de eliminar el renglon i y la columna j de A.
Definimos la matriz de cofactores de A como la matriz
C =
|C11| −|C12| |C13|−|C21| |C22| −|C23||C31| −|C32| |C33|
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La matriz adjunta (clasica) de una matriz de 3 × 3
Sea la matriz de 3× 3
A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
Definimos las submatrices
C11 =
(a22 a23a32 a33
)C12 =
(a21 a23a31 a33
)C13 =
(a21 a22a31 a32
)
C21 =
(a12 a13a32 a33
)C22 =
(a11 a13a31 a33
)C23 =
(a11 a12a31 a32
)
C31 =
(a12 a13a22 a23
)C32 =
(a11 a13a21 a23
)C33 =
(a11 a12a21 a22
)Esto es, cada matriz Cij se obtiene de eliminar el renglon i y la columna j de A.
Definimos la matriz adjunta (clasica) de A como la matriz
adj(A) = CT =
|C11| −|C21| |C31|−|C12| |C22| −|C32||C13| −|C23| |C33|
Explıcitamente...
adj(A) =
∣∣∣∣a22 a23a32 a33
∣∣∣∣ −∣∣∣∣a12 a13a32 a33
∣∣∣∣ ∣∣∣∣a12 a13a22 a23
∣∣∣∣−∣∣∣∣a21 a23a31 a33
∣∣∣∣ ∣∣∣∣a11 a13a31 a33
∣∣∣∣ −∣∣∣∣a11 a13a21 a23
∣∣∣∣∣∣∣∣a21 a22a31 a32
∣∣∣∣ −∣∣∣∣a11 a12a31 a32
∣∣∣∣ ∣∣∣∣a11 a12a21 a22
∣∣∣∣
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La matriz adjunta (clasica) de una matriz de 3 × 3
Sea la matriz de 3× 3
A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
Definimos las submatrices
C11 =
(a22 a23a32 a33
)C12 =
(a21 a23a31 a33
)C13 =
(a21 a22a31 a32
)
C21 =
(a12 a13a32 a33
)C22 =
(a11 a13a31 a33
)C23 =
(a11 a12a31 a32
)
C31 =
(a12 a13a22 a23
)C32 =
(a11 a13a21 a23
)C33 =
(a11 a12a21 a22
)Esto es, cada matriz Cij se obtiene de eliminar el renglon i y la columna j de A.
Definimos la matriz adjunta (clasica) de A como la matriz
adj(A) = CT =
|C11| −|C21| |C31|−|C12| |C22| −|C32||C13| −|C23| |C33|
Explıcitamente...
adj(A) =
∣∣∣∣a22 a23a32 a33
∣∣∣∣ −∣∣∣∣a12 a13a32 a33
∣∣∣∣ ∣∣∣∣a12 a13a22 a23
∣∣∣∣−∣∣∣∣a21 a23a31 a33
∣∣∣∣ ∣∣∣∣a11 a13a31 a33
∣∣∣∣ −∣∣∣∣a11 a13a21 a23
∣∣∣∣∣∣∣∣a21 a22a31 a32
∣∣∣∣ −∣∣∣∣a11 a12a31 a32
∣∣∣∣ ∣∣∣∣a11 a12a21 a22
∣∣∣∣
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Matrices invertibles de 3 × 3
Teorema : Matrices Invertibles
Una matriz
A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
es invertible si y solo si
|A| 6= 0.
En cuyo caso,
A−1 =1
|A|adj(A). (3)
Este resultado esta ıntimamente ligado a la Regla de Cramer. De hecho son resultados equi-valentes, como el estudante puede darse cuenta.
Vamos a dar primero una prueba del “regreso”, la cual depende solo del “regreso” de la Reglade Cramer, que ya probamos con todo detalle. La “ida” depende del teorema que dice queel determinante de un producto es el producto de los determinantes, por lo que se hara sinproblemas.
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Demostracion del “regreso” del teorema de Matrices Invertibles
Supongamos que |A| 6= 0. Entonces, por la Regla de Cramer (solo el “regreso”) los siguientessistemas de ecuaciones tienen solucion unica:a11 a12 a13
a21 a22 a23a31 a32 a33
xyz
=
100
,
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
xyz
=
010
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
xyz
=
001
Sean (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) y (x3, y3, z3) las respectivas soluciones. Y sea la matriz
B =
x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3
El estudiante puede comprobar facilmente que
AB = I3 = BA.
Esto es B = A−1.
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Demostracion del “regreso” del teorema de Matrices Invertibles
Para demostrar la formula A−1 = 1|A|adj(A), nuevamente ocupamos las formulas de la Regla
de Cramer para las soluciones de los sistemas antes descritos:
A−1 =
x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3
=
∣∣∣∣∣∣∣∣1 a12 a130 a22 a230 a32 a33
∣∣∣∣∣∣∣∣|A|
∣∣∣∣∣∣∣∣0 a12 a131 a22 a230 a32 a33
∣∣∣∣∣∣∣∣|A|
∣∣∣∣∣∣∣∣0 a12 a130 a22 a231 a32 a33
∣∣∣∣∣∣∣∣|A|∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 1 a13a21 0 a23a31 0 a33
∣∣∣∣∣∣∣∣|A|
∣∣∣∣∣∣∣∣a11 0 a13a21 1 a23a31 0 a33
∣∣∣∣∣∣∣∣|A|
∣∣∣∣∣∣∣∣a11 0 a13a21 0 a23a31 1 a33
∣∣∣∣∣∣∣∣|A|∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 1a21 a22 0a31 a32 0
∣∣∣∣∣∣∣∣|A|
∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 0a21 a22 1a31 a32 0
∣∣∣∣∣∣∣∣|A|
∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 0a21 a22 0a31 a32 1
∣∣∣∣∣∣∣∣|A|
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Demostracion del “regreso” del teorema de Matrices Invertibles
El termino 1|A| multiplica a todas las entradas de la matriz A−1, ası que podemos “sacarlo”
de la matriz:
A−1 =
x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3
=1
|A|
∣∣∣∣∣∣1 a12 a130 a22 a230 a32 a33
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣0 a12 a131 a22 a230 a32 a33
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣0 a12 a130 a22 a231 a32 a33
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 1 a13a21 0 a23a31 0 a33
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 0 a13a21 1 a23a31 0 a33
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 0 a13a21 0 a23a31 1 a33
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 1a21 a22 0a31 a32 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 0a21 a22 1a31 a32 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 0a21 a22 0a31 a32 1
∣∣∣∣∣∣
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Demostracion del “regreso” del teorema de Matrices Invertibles
Intercambiamos renglones y columnas de tal manera que en todos los determinantes quede 1en la esquina superior izquierda. Recordemos que realizar estas operaciones tiene como unicocoste el cambio de signo del determinante:
A−1 =
x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3
=1
|A|
∣∣∣∣∣∣1 a12 a130 a22 a230 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ −
∣∣∣∣∣∣1 a22 a230 a12 a130 a32 a33
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 a32 a330 a12 a130 a22 a23
∣∣∣∣∣∣−
∣∣∣∣∣∣1 a11 a130 a21 a230 a31 a33
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 a21 a230 a11 a130 a31 a33
∣∣∣∣∣∣ −
∣∣∣∣∣∣1 a31 a330 a11 a130 a21 a23
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 a11 a120 a21 a220 a31 a32
∣∣∣∣∣∣ −
∣∣∣∣∣∣1 a21 a220 a11 a120 a31 a32
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 a31 a320 a11 a120 a21 a22
∣∣∣∣∣∣
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Demostracion del “regreso” del teorema de Matrices Invertibles
Si calculamos los determinantes por columna, estos pueden reducirse a determinantes de 2×2:
B =
x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3
=1
|A|
∣∣∣∣a22 a23a32 a33
∣∣∣∣ −∣∣∣∣a12 a13a32 a33
∣∣∣∣ ∣∣∣∣a12 a13a22 a23
∣∣∣∣−∣∣∣∣a21 a23a31 a33
∣∣∣∣ ∣∣∣∣a11 a13a31 a33
∣∣∣∣ −∣∣∣∣a11 a13a21 a23
∣∣∣∣∣∣∣∣a21 a22a31 a32
∣∣∣∣ −∣∣∣∣a11 a12a31 a32
∣∣∣∣ ∣∣∣∣a11 a12a21 a22
∣∣∣∣
=1
|A|adj(A).
Con lo que terminamos la prueba del “regreso” del teorema de Matrices Invertibles.
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Demostracion de la “ida” del teorema de Matrices Invertibles
Esta parte es muy facil:
Suongamos que la matriz A = (aij)3×3 tiene inversa A−1. Entonces
AA−1 = I3.
De donde,|A||A−1| = |AA−1| = |I3| = 1.
En consecuencia,|A| 6= 0.
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Ejemplo
Sea la matriz de 3× 3
A =
1 1 32 −2 10 1 0
Definimos las submatrices
C11 =
(−2 11 0
)C12 =
(2 10 0
)C13 =
(2 −20 1
)
C21 =
(1 31 0
)C22 =
(1 30 0
)C23 =
(1 10 1
)
C31 =
(1 3−2 1
)C32 =
(1 32 1
)C33 =
(1 12 −2
)Calculamos la matriz de cofactores de A,
C =
|C11| −|C12| |C13|−|C21| |C22| −|C23||C31| −|C32| |C33|
=
−1 0 23 0 −17 5 −4
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Ejemplo
Sea la matriz de 3× 3
A =
1 1 32 −2 10 1 0
Calculamos la matriz adjunta de A,
adj(A) = CT =
−1 0 23 0 −17 5 −4
T
=
−1 3 70 0 52 −1 −4
Por otra parte, usando la regla de Sarrus,
|A| =
1 1 3
2 −2 1
0 1 0
1 1 3
2 −2 1
+
+
+
−
−
−= +0 + 6 + 0− 0− 1− 0 = 5.
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Ejemplo
Sea la matriz de 3× 3
A =
1 1 32 −2 10 1 0
Calculamos la matriz adjunta de A,
adj(A) = CT =
−1 0 23 0 −17 5 −4
T
=
−1 3 70 0 52 −1 −4
Por otra parte, usando la regla de Sarrus,
|A| =
∣∣∣∣∣∣1 1 32 −2 10 1 0
∣∣∣∣∣∣ = 5.
Por lo tanto,
A−1 =1
|A|adj(A) =
1
5
1 1 32 −2 10 1 0
=
15
15
35
25− 2
515
0 15
0
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Matrices inversas y sistemas de ecuaciones lineales
Sea un sistema de 3× 3,
(1)
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
xyz
=
b1b2b3
.
O bien, si
A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
, x =
xyz
y b =
b1b2b3
,
entonces escribimos (1) como(2) Ax = b.
Si |A| 6= 0, entonces multiplicamos por la izquierda ambos miembros de la ecuacion (2) porla matriz inversa A−1 = 1
|A|adj(A), y obtenemos la solucion
A−1Ax = A−1b
I2x = A−1b
x = A−1b.
Encontrar matrices inversas y resolver sistemas de ecuaciones con igual numero de ecuacionese incognitas son calculos equivalentes.
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Ejemplo
Sea el sistema de ecuaciones 2x+ 3y + z = 1
3x− 2y − 4z = −35x− y − z = 4
Hacemos las matrices
A =
2 3 13 −2 −45 −1 −1
, x =
xyz
, b =
1−34
Vamos a calcular la matriz A−1 con el metodo descrito antes para despues calcular las solu-ciones del sistema con la operacion
x = A−1b.
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Ejemplo
A =
2 3 13 −2 −45 −1 −1
Definimos las submatrices
C11 =
(−2 −4−1 −1
)C12 =
(3 −45 −1
)C13 =
(3 −25 −1
)
C21 =
(3 1−1 −1
)C22 =
(2 15 −1
)C23 =
(2 35 −1
)
C31 =
(3 1−2 −4
)C32 =
(2 13 −4
)C33 =
(2 33 −2
)Calculamos la matriz de cofactores de A,
C =
|C11| −|C12| |C13|−|C21| |C22| −|C23||C31| −|C32| |C33|
=
−2 −17 72 −7 17
−10 11 −13
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Ejemplo
A =
2 3 13 −2 −45 −1 −1
Calculamos la matriz adjunta de A,
adj(A) = CT =
−2 −17 72 −7 17
−10 11 −13
T
=
−2 2 −10−17 −7 11
7 17 −13
Por otra parte, usando la regla de Sarrus,
|A| =
2 3 1
3 −2 −4
5 −1 −1
2 3 1
3 −2 −4
+
+
+
−
−
−= +4 + (−3) + (−60)− (−10)− 8− (−9) = −48.
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Ejemplo
A =
2 3 13 −2 −45 −1 −1
Calculamos la matriz adjunta de A,
adj(A) = CT =
−2 −17 72 −7 17
−10 11 −13
T
=
−2 2 −10−17 −7 11
7 17 −13
Por otra parte, usando la regla de Sarrus,
|A| =
∣∣∣∣∣∣2 3 13 −2 −45 −1 −1
∣∣∣∣∣∣ = −48.Por lo tanto,
A−1 =1
|A|adj(A) = −
1
48
−2 2 −10−17 −7 11
7 17 −13
=
124
− 124
524
1748
748
− 1148
− 748
− 1748
1348
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Ejemplo
Sea el sistema de ecuaciones 2x+ 3y + z = 1
3x− 2y − 4z = −35x− y − z = 4
Hacemos las matrices
A =
2 3 13 −2 −45 −1 −1
, x =
xyz
, b =
1−34
Por lo tanto
x = A−1b
=
124
− 124
524
1748
748
− 1148
− 748
− 1748
1348
1−34
=
1−12
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
La geometrıa de los sistemas de ecuaciones de 3 × 3
La ecuacion general del plano en R3 es de la forma
Ax+By + Cz = D,
donde A, B y C son constantes no todas cero.
Por lo que dado un sistema de 3 ecuaciones con 3 incognitas
a11x+ a12y+a13z= b1
a21x+ a22y+a23z= b2
a31x+ a32y+a33z= b3
la interpretacion geometrica son tres planos en el espacio.
Se desprenden entonces los siguientes casos:
1. Los tres planos se intersecan en un solopunto. Por lo que existe una solucion unicapara el sistema
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
La geometrıa de los sistemas de ecuaciones de 3 × 3
La ecuacion general del plano en R3 es de la forma
Ax+By + Cz = D,
donde A, B y C son constantes no todas cero.
Por lo que dado un sistema de 3 ecuaciones con 3 incognitas
a11x+ a12y+a13z= b1
a21x+ a22y+a23z= b2
a31x+ a32y+a33z= b3
la interpretacion geometrica son tres planos en el espacio.
Se desprenden entonces los siguientes casos:
2. Los tres planos se intersecan en la mismarecta, por lo que cada punto sobre la rectaes una solucion y el sistema tiene un numeroinfinito de soluciones.
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
La geometrıa de los sistemas de ecuaciones de 3 × 3
La ecuacion general del plano en R3 es de la forma
Ax+By + Cz = D,
donde A, B y C son constantes no todas cero.
Por lo que dado un sistema de 3 ecuaciones con 3 incognitas
a11x+ a12y+a13z= b1
a21x+ a22y+a23z= b2
a31x+ a32y+a33z= b3
la interpretacion geometrica son tres planos en el espacio.
Se desprenden entonces los siguientes casos:
3. Dos de los planos coinciden e intersecana un tercer plano en la recta. Entonces cadapunto sobre la recta es una solucion y existeun numero infinito de soluciones.
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
La geometrıa de los sistemas de ecuaciones de 3 × 3
La ecuacion general del plano en R3 es de la forma
Ax+By + Cz = D,
donde A, B y C son constantes no todas cero.
Por lo que dado un sistema de 3 ecuaciones con 3 incognitas
a11x+ a12y+a13z= b1
a21x+ a22y+a23z= b2
a31x+ a32y+a33z= b3
la interpretacion geometrica son tres planos en el espacio.
Se desprenden entonces los siguientes casos:
4. Al menos dos de los planos son paralelos ydistintos, por lo que ningun punto puede estaren ambos y no hay solucion.
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
La geometrıa de los sistemas de ecuaciones de 3 × 3
La ecuacion general del plano en R3 es de la forma
Ax+By + Cz = D,
donde A, B y C son constantes no todas cero.
Por lo que dado un sistema de 3 ecuaciones con 3 incognitas
a11x+ a12y+a13z= b1
a21x+ a22y+a23z= b2
a31x+ a32y+a33z= b3
la interpretacion geometrica son tres planos en el espacio.
Se desprenden entonces los siguientes casos:
5. Dos de los planos coinciden en una rectaL. El tercer plano es paralelo a L (y no con-tiene a L), de manera que ningun punto deltercer plano se encuentra en los dos primeros.No existe una solucion.
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
La geometrıa de los sistemas de ecuaciones de 3 × 3
La ecuacion general del plano en R3 es de la forma
Ax+By + Cz = D,
donde A, B y C son constantes no todas cero.
Por lo que dado un sistema de 3 ecuaciones con 3 incognitas
a11x+ a12y+a13z= b1
a21x+ a22y+a23z= b2
a31x+ a32y+a33z= b3
la interpretacion geometrica son tres planos en el espacio.
Se desprenden entonces los siguientes casos:
6. Los tres planos coinciden en uno solo. Hay una infinidad de soluciones.
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Uso de Software: Octave
Sea el sistema 2x+ 3y + z = 1
3x− 2y − 4z = −35x− y − z = 4
Podemos ocupar cualquiera de las funciones de Octave que ya conocemos. Vamos a calcularel determinante de la matriz de coeficientes, la matriz adjunta y la matriz inversa, y desdeluego, las soluciones del sistema con un grafico.
> A=[2 3 1;3 -2 -4;5 -1 -1]
A =
2 3 1
3 -2 -4
5 -1 -1
> b=[1; -3;4]
b =
1
-3
4
> d=det(A)
d = -48.0000
> iA=inv(A)
iA =
0.041667 -0.041667 0.208333
0.354167 0.145833 -0.229167
-0.145833 -0.354167 0.270833
> adjA=d*iA
adjA =
-2.0000 2.0000 -10.0000
-17.0000 -7.0000 11.0000
7.0000 17.0000 -13.0000
> s=A\b
s =
1
-1
2
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Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra
Uso de Software: Octave
Sea el sistema 2x+ 3y + z = 1
3x− 2y − 4z = −35x− y − z = 4
Para hacer el grafico continuamos con el codigo
> [x, y] = meshgrid ( -10:10);
> z1=1-2*x-3*y;
> z2=( -1/4)*( -3 -3*x+2*y);
> z3=-4+5*x-y;
> hold on;
> surf(x,y,z1,’edgecolor ’, ’none’,’FaceColor ’,’blue’)
> surf(x,y,z2,’edgecolor ’, ’none’,’FaceColor ’,’red’)
> surf(x,y,z3,’edgecolor ’, ’none’,’FaceColor ’,’green ’)
> xlabel(’x’), ylabel(’y’), zlabel(’z’)
> scatter3(s(1), s(2), s(3),10,’black ’,’filled ’)
x
y
-80
-60
-40
-20
z
0
20
40
60
-5
0
-10 105
0-5
-105
10
En esta liga pueden encontrar un muy completo y basico tutorial en lınea sobre Octave
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