Sistemas de Numeração1 I t d ã i t ã1 – Introdução aos sistemas numeração

Sistemas de Numeraçãoç

Base Decimal

Base Binária

Base OctalBase Octal

Base Hexadecimal

Sistemas de numeraçãoç

Os números podem ter uma representaçãoOs números podem ter uma representação

simbólica, como no sistema romano, ou terem um

exadecimal

peso de acordo com a posição que ocupam, como

no sistema árabe, que usamos normalmente.tal\Base He

no sistema árabe, que usamos normalmente.

ria\Base Oct

Porque anatomicamente os seres humanos dispõem de 5

dedos, em cada mão, torna-se natural que a contagem

l\Base Biná

envolva 10 símbolos ou dígitos, ou seja, um sistema de

ã b dDecimal

numeração com uma base dez

Base D

Cada um dos símbolos de 0 a 9 representa umaCada um dos símbolos de 0 a 9 representa uma

certa quantidade. Com este dez dígitos, podemos

exadecimal

representar, utilizando dois ou mais dígitos,qualquer grandeza superior a nove. A posição de

tal\Base He

cada dígito no número diz-nos que grandezarepresenta.r

ia\Base Oct

p

Se, por exemplo, pretendemos representar a grandeza 53 usamos o dígito 5 paral

\Base Biná

grandeza 53, usamos o dígito 5 para representar a quantidade cinquenta e o dígito 3 para representar a quantidade trêsD

ecimal

para representar a quantidade três.

Base D

A posição de cada dígito num númeroA posição de cada dígito num númerodecimal indica a amplitude daquantidade representada e pode sere

xadecimal

quantidade representada e pode serdesignada por PESO.

tal\Base He

ria\Base Oct

Os pesos são potências de 10 e aumentam da

direita para a esquerda iniciando se em 100 = 1l\Base Biná

direita para a esquerda, iniciando-se em 10 = 1.

Decimal

Base D

O número decimal 286 podeO número decimal 286 pode representar-se numa expressão polinomial como se indica:e

xadecimal

polinomial, como se indica:

200 = 2 *102

tal\Base He

80 = 8 *101

6 = 6 *100ria\Base Oct

6 6 10

286 = 2*102 + 8*101 + 6*100 = N(10)

l\Base Biná

Decimal

Base D

No caso do número 12696 (10) é constituído pelaNo caso do número 12696 (10) é constituído pela

combinação de 5 algarismos. O primeiro seis

exadecimal

(mais à direita) não tem o mesmo valor do

segundo seis o que nos demonstra que o valor dotal\Base He

segundo seis, o que nos demonstra que o valor do

algarismo está relacionado directamente com a

ria\Base Oct

posição que ocupa

l\Base Biná

Demonstre como é obtido o número 12696 (10)

Decimal

Base D

Resolução: (Alternativa 1)

6 --- 6* 101-1 = 6 *1 6

Resolução: (Alternativa 1)

exadecimal

9 --- 9* 102-1 = 9 *10 90

tal\Base He

6 --- 6* 103-1 = 6 *100

2 --- 2* 104-1 = 2 *1000

600

2000ria\Base Oct

2 --- 2 10 2 1000

1 --- 1* 105-1 = 1 *10000

2000

10000

l\Base Biná

+

12696 (10)Decimal

696 (10)

Base D

Resolução: (Alternativa 2)Resolução: (Alternativa 2)Peso:(5) (4) (3) (2) (1)

exadecimal

Número: 1 2 6 9 6(10)

tal\Base He

= 1*105-1 + 2*104-1 + 6*103-1 + 9*102-1 + 6*101-1

=ria\Base Oct

== 1*104 + 2*103 + 6*102 + 9*101 + 6*100 =

= 1*10000 + 2*1000 + 6*100 + 9*10 + 6*1 =l\Base Biná

= 1*10000 + 2*1000 + 6*100 + 9*10 + 6*1 =

= 12696(10)

Decimal

Base D

O valor mais à direita e o menosO valor mais à direita e o menossignificativo ( LSD – Least Significant

exadecimal

Digit) e tem peso 1.

tal\Base He

O valor mais à esquerda é o mais

ria\Base Oct

significativo ( MSD – Most Significant

Di it) t d ú d dí itl\Base Biná

Digit) e tem peso do número de dígitos

que constitui o algarismo.

Decimal

q g

Base D

Exemplo:Exemplo:

Para um número inteiro

exadecimal

198710 = 1*103 + 9 *102 + 8*101 + 7*100

tal\Base He

Em relação ao seu peso:

ria\Base Oct

1987100 1

1987

l\Base Biná

101

102

103

101001000

Decimal

MSD LSD

Base D

Exemplo:Exemplo:

Para um número fraccionário

exadecimal

1987,6510 = 1*103 + 9 *102 + 8*101 + 7*100 + 6*10 -1 + 5*10-2

tal\Base He

Em relação ao seu peso:

ria\Base Oct

1987,65100

10-1

10-2

10,1

0,01

l\Base Biná

101

102

103

101001000

Decimal

Base D

1987,65

exadecimal

MSDtal\Base He

MSDLSD

O dígito mais à direita na parte fraccionária de número éria\Base Oct

O dígito mais à direita na parte fraccionária de número éo LSD – Menos significante dígito

l\Base Biná

O dígito mais à esquerda na parte fraccionária denúmero é o MSD – Mais significante dígito

Decimal

Base D

Sistema BinárioTal como o sistema decimal, trata-se de umsistema pesado, isto é, onde cada dígitocomparticipa na formação do número com umx

adecimal

p p çpeso, determinado pela posição que ocupa nonúmero.a

l\Base Hex

ú e o

ia\Base Oct

Binári

A diferença é que agora apenas existem dois dígitos: o 0 e o 1. Os dígitos nos números

al\Base

binários são vulgarmente chamados de bits (Binary Digits). Ao agrupamento de oito bits h B t

Base Decim chama-se Byte

Para melhor percebemos a formação dos números neste sistema

vejamos previamente como se efectua a contagem em decimal:xadecimal

C 0 d f

al\Base Hex

Começamos em 0 e contamos de forma crescente

até 9; então recomeçamos, agora com um 1 à

ia\Base Oct

esquerda, e obtemos o 10, 11 … até 99. Esgotadas

que estão todas as combinações com dois dígitos Binári

que estão todas as combinações com dois dígitos,

torna-se necessário um terceiro, para se efectuar a

t d 100 999 i di tal\Base

contagem de 100 a 999 e assim por diante

Base Decim

Uma situação análoga acontece neste sistema binário.

I i i t 0 1 C t dí itxadecimal

Iniciamos a contagem 0,1. Como se esgotaram os dígitosúnicos, inclui-se um segundo dígito (à esquerda) e continua-sea contar 10, 11.

al\Base Hex

Como se esgotaram as combinações possíveis comdois dígitos necessitamos de um terceiro. A contagem

ia\Base Oct

g gcontinua, 100, 101, 110 e 111.

N it í d t dí it ti Binári

Necessitaríamos agora de um quarto dígito para continuara contagem e assim sucessivamente

al\Base

Base Decim

Uma maneira fácil de recordarmos o modo de escrever uma sequencia de números em binário, por exemplo, para cinco dígitos, é a seguinte:

xadecimal

1 – A posição mais à direita do número começa com um zero e muda

al\Base Hex

por cada número

2 – A posição seguinte começa com dois zeros e muda por cada dois númerosi

a\Base Oct

números.

3 – A posição seguinte começa com quatro zeros e muda por cada quatro números.

Binári

q

4 – A posição seguinte começa com oito zeros e muda por cada oito números.5 A i ã i t d i d da

l\Base

5 – A posição seguinte começa com dezasseis zeros e muda por cada dezasseis números.

Base Decim

Exercícios

Construa a tabela binária até 50Construa a tabela binária até 50

xadecimal

al\Base Hex

ia\Base Oct

Binári

al\Base

Base Decim

Conversão binário decimal

Para exprimirmos no seu equivalentePara exprimirmos no seu equivalentedecimal uma determinada grandezabinária basta multiplicar cada bit pelo seux

adecimal

binária, basta multiplicar cada bit pelo seupeso e adicionar os respectivos produtos.

al\Base Hex

ia\Base Oct

O bit da direita é o menos significativo (LSD) e temum peso de 20 = 1 para os números inteiros,

Binári

aumentando o peso da direita para a esquerda, empotências de dois por cada bit.

al\Base

Base Decim

Converter o número binário 110101 emConverter o número binário 110101 em decimal.

xadecimal

Peso Binário 25 24 23 22 21 20

al\Base Hex

Valor do Peso 32 16 8 4 21i

a\Base Oct

Número Binário 1 1 0 1 0 11

Binári

=1 *32 + 1*16 + 0*8 + 1*4 + 0*2 + 1*1 =

=32 + 16 + 0 + 4 + 0 +1 =al\Base

32 16 0 4 0 1 =5310

Base Decim

Converter o número binário 100101,11 em decimal.Converter o número binário 100101,11 em decimal.100101,112 = 1*25 + 0*24 + 0*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 + 1*2 1 1*2 2x

adecimal

1*2-1 + 1*2-2

Em relação ao seu peso:

al\Base Hex

100101,112-2 = 0,25i

a\Base Oct

,2-1 = 0,5

20 = 121 = 2 22 = 4

Binári

2 423= 8

24 = 1625 = 32a

l\Base

Base Decim

Um valor frequentemente utilizado em binário é o 1024 Trata-seUm valor frequentemente utilizado em binário é o 1024. Trata se

de 210 , que, por ser o valor mais próximo de 1000, foi

xadecimal

designado por K (Kilo).

Assim 1 Kbit = 1024 bitsal\Base Hex

Assim 1 Kbit 1024 bits.

ia\Base Oct

Binári

al\Base

Base Decim

Sistema Octal

Na base octal cada dígito equivale a um númeroNa base octal, cada dígito equivale a um número

com 3 dígitos. A base octal utiliza oito algarismos

xadecimal

ou dígitos:

al\Base Hex

0,1,2,3,4,5,6,7

10 11 12 13 14 15 16ia\Base Oct

10,11,12,13,14,15,16,17

Binári

Neste sistema também se diz que cada dígito tem um valor posicional

al\Base

Base Decim

Para obtermos o equivalente decimal do númeroPara obtermos o equivalente decimal do número1234 na base octal temos que executar asseguintes operações:

12348 = 1*83 + 2*82 + 3*81 + 4*80

Em relação ao seu peso:

123480 1

82

83

864512

81

P ú f i á iPara um número fraccionário

1234 56 = 1*83 + 2 *82 + 3*81 + 4*80 + 5*8 -1 + 6*8-21234,568 = 1 8 + 2 8 + 3 8 + 4 8 + 5 8 + 6 8

Em relação ao seu peso:ç p

1234,5680

8-2

10,125

0,015625

8-1

81

82

83

64512

8

Exemplo: Converter o número 43701(8) em decimal.

Peso:(5) (4) (3) (2) (1)

Número: 4 3 7 0 1(8)

= 4*85-1 + 3*84-1 + 7*83-1 + 0*82-1 + 1*81-1 =

= 4*84 + 3*83 + 7*82 + 0*81 + 1*80 =

= 16384 + 1536 + 448 + 0 + 1 == 16384 + 1536 + 448 + 0 + 1 =

= 18369(10)

Sistema Hexadecimal

A base hexadecimal tem mais vantagens que aA base hexadecimal tem mais vantagens que a octal, pois representa um número com grande

tid d d bit f i lquantidade de bits, numa forma simples e reduzida, por exemplo:

O número binário 1001110100110110(2) = 9D36(16)

A letra “D” não é

engano do Professor

Como a base hexadecimal é formada por 16pelementos e como a base decimal só possui até10 elementos os restantes 6 elementos são10 elementos, os restantes 6 elementos sãorepresentados pelas 6 primeiras letras do nossolf b t (A B C D E F)alfabeto (A, B, C, D, E, F).

E como se conta em Hexadecimal depois de se alcançar o F?alcançar o F?

Do mesmo modo que nos outros sistemasDo mesmo modo que nos outros sistemas estudados, iniciamos a nova coluna em:

10,11,12,13,14,15,16, 17, 18, 19, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F

20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,2A,2B,2C,2D,2E,2F

Exemplo: Converter o número 9D36(16) em decimal

Peso:(4) (3) (2) (1)

Número: 9 D 3 6(16)

= 9*164-1 + 13*163-1 + 3*162-1 + 6*161-1 =

= 9*163 + 13*162 + 3*161 + 6*160 =

= 36864 + 3328 + 48 + 6 == 36864 + 3328 + 48 + 6 =

= 40246(10)

Para obtermos o equivalente decimal do número1234 na base hexadecimal temos que executaras seguintes operações:

123416 = 1*163 + 2*162 + 3*161 + 4*160

1234160 1

163

2564096

161

162

16

P ú f i á iPara um número fraccionário

1234 56 = 1*163 + 2 *162 + 3*161 + 4*160 + 5*16 -1 + 6*16-21234,5616 = 1 16 + 2 16 + 3 16 + 4 16 + 5 16 + 6 16

Em relação ao seu peso:ç p

1234,5616-2

10,0625

0,003926525

16-1

160

161

162

163

25616

4096

Após termos feito uma apresentação destas

quatro bases de numeração e a respectiva

conversão de cada base para decimalconversão de cada base para decimal,

apresentamos uma tabela com a equivalência

entre as quatro bases de numeração

Até este ponto, estivemos a analisar a conversão das quatrop , q

bases para a base decimal, mas é possível fazer a

conversão inversa da base decimal para cada uma dasconversão inversa, da base decimal para cada uma das

outras três bases, e directa entre as restantes bases.

Binária

Decimal

Octal Hexadecimal

Conversão binária – hexadecimal e vice versavice-versa

O método utilizado aproveita o princípioO método utilizado aproveita o princípiode que para escrever um dígito emhexadecimal chegam 4 dígitos em bináriohexadecimal chegam 4 dígitos em binário(4 bit), dada a relação entre as basesrespectivas ser a potência de 4, isto é, 16= 24.

Por exemplo dado o número 1101101(2) podemosPor exemplo, dado o número 1101101(2), podemos

efectuar a seguinte conversão:

11010110

1*2(4 1) 1*2(3 1) 0*2(2 1) 1*2(11*2(4-1) + 1*2(3-1) + 0*2(2-1) + 1*2(1-

1) = 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20

0*2(4-1) + 1*2(3-1) + 1*2(2-1) + 0*2(1-

= 13 (D)

0*2(4 1) + 1*2(3 1) + 1*2(2 1) + 0*2(1

1) = 0*23 + 1*22 + 1*21 + 0*20

6= 6

=6D=6D

Fazendo a operação inversa, partindo do número, na base hexadecimal, 24A8(16)

2 A4 8

1000

Hexadecimal

01001010

0010Binário

24A8 (16) = 10010010101000(2)

Conversão octal – hexadecimal e vice-versaversa

O ét d tili é ãO método que vamos utilizar é a conversão

da base octal para binário e de seguida dada base octal para binário e de seguida da

base binária para a hexadecimalbase binária para a hexadecimal

No caso do número 1726(8), vamos separar cada dígito

1 27 6

110

Octal

111010

001Binário

1726 (8) = 1111010110(2)

O segundo passo é realizar a conversão deO segundo passo é realizar a conversão de

binário para hexadecimal. O processo utilizado

é o agrupamento de 4 dígitos e fazer a

correspondência a cada conjunto de 4 bit ocorrespondência a cada conjunto de 4 bit o

valor em hexadecimal.

0011 1101 0110 binário

3 D 6hexadecimal3 D 6