sistemas de partículas y rotación

1

Sistema de partículas y sólido rígido.

• Definición y clasificación de sistemas de partículas. Definición y clasificación de sistemas de partículas.

• Centro de masas. Movimiento del centro de masas de un sistema Centro de masas. Movimiento del centro de masas de un sistema de partículas. de partículas.

• Momento angular de un sistema de partículas. Variación temporal Momento angular de un sistema de partículas. Variación temporal del momento angular. del momento angular.

• Cinemática del sólido rígido. Cinemática del sólido rígido.

• Movimiento de traslación de un sólido rígido. Movimiento de traslación de un sólido rígido.

• Movimiento de rotación en torno a un eje fijo de un sólido rígido. Movimiento de rotación en torno a un eje fijo de un sólido rígido.

• Movimiento de traslación y rotación combinados de un sólido Movimiento de traslación y rotación combinados de un sólido rígido. Movimiento de rodadura. rígido. Movimiento de rodadura.

• Condiciones de equilibrio. Condiciones de equilibrio.

• Energía cinética de un sólido rígido. Energía cinética de un sólido rígido.

• Energía total de un sólido rígido.Energía total de un sólido rígido.

2

Definición y clasificación de los sistemas de partículas.

• ¿Qué es un sistema de partículas?¿Qué es un sistema de partículas?

Modelo más complejo que el de la partícula. Considera los objetos como Modelo más complejo que el de la partícula. Considera los objetos como agregados agregados de partículas que interaccionande partículas que interaccionan..

Se usa cuando el modelo de partícula no es adecuado y Se usa cuando el modelo de partícula no es adecuado y considera las dimensiones considera las dimensiones del objetodel objeto en estudio. en estudio.

• Clasificación de los sistemas de partículas.Clasificación de los sistemas de partículas.

Discretos Discretos nº finito de partículasnº finito de partículas Continuos Continuos distribución continua de materiadistribución continua de materia

DeformablesDeformables RígidosRígidos

Cambia distancia No cambia Cambia distancia No cambia

Deformables RígidosDeformables Rígidos

Cambia forma No cambiaCambia forma No cambia

1m

2m

3m

4m

nm1r

2r

XY

Z

O

X

Y

Z

O

dm

r

3

Centro de masas. Movimiento del centro de masas de un sistema de partículas.

• Centro de masa (CM)Centro de masa (CM)

Para un Para un sistema de partículas discretosistema de partículas discreto el el CMCM es un punto es un punto cuya posición, velocidad y aceleración vienen dadas porcuya posición, velocidad y aceleración vienen dadas por

M

am

dt

vdm

Mdt

vda

M

vm

dt

rdm

Mdt

rdv

M

rm

m

rm

mm

rmrmr

i iiii i

CMCM

i iiii i

CMCM

i ii

i i

i iiCM

1

121

2211

• Se puede colocar un sistema de referencia en el CM Se puede colocar un sistema de referencia en el CM llamado llamado sistema Csistema C ( (SCSC), distinto del sistema inercial ), distinto del sistema inercial donde se encuentra el observador que se llama donde se encuentra el observador que se llama sistema sistema laboratorio o sistema Llaboratorio o sistema L ( (SLSL).).

1m

2m

3m

4m

nm1r

2r

XY

Z

O

CM

CMr

LXLY

LZ

OSL

CX

CY

CZ

SC

CM4m1m

2m

3m

nm

4

• Para un Para un sistema de partículas continuosistema de partículas continuo la posición, velocidad y aceleración del la posición, velocidad y aceleración del CMCM vienen dadas porvienen dadas por

dmaM

a

dmvM

v

dmrM

r

CM

CM

CM

1

1

1

Centro de masa de algunos sistemas de partículas Centro de masa de algunos sistemas de partículas continuoscontinuos


5

• Momento lineal de un sistema de partículasMomento lineal de un sistema de partículas

Para un Para un sistema de partículas discretosistema de partículas discreto se define el se define el momento lineal del sistema momento lineal del sistema comocomo

i iivmvmvmppp

221121

ComoComoM

vmv i iiCM

M

p

M

vmv i iiCM

CMvMp

• Para un Para un sistema de referenciasistema de referencia colocado en el colocado en el CMCM del sistema de partículas ( del sistema de partículas (sistema sistema CC) el CM está en ) el CM está en reposoreposo (su velocidad es nula). Por tanto en relación con el (su velocidad es nula). Por tanto en relación con el sistema Csistema C el el momento lineal del sistema es nulomomento lineal del sistema es nulo..

0i ipp

Para Para sistema Csistema C

Sistema CSistema C Sistema de referencia de momento nuloSistema de referencia de momento nulo


6

• Fuerzas internas y fuerzas externasFuerzas internas y fuerzas externas

1m

2m

S

S’• Sistema SSistema S

21 , FF

Fuerzas externasFuerzas externas

2112 , ff

Fuerzas internasFuerzas internas

• Fuerza externa resultante Fuerza externa resultante que actúa sobre el que actúa sobre el sistema Ssistema S

i

iext FFFF

21

• Para el Para el sistema Ssistema S se puede demostrar que se puede demostrar que

dt

pdFext

ComoComo CMvMp

CMCM

ext aMdt

vdMF

• Si el Si el sistema Ssistema S se encuentra aislado se encuentra aislado

0

dt

pdFext ctevCM

El CM de un sistema de El CM de un sistema de partículas se mueve como si partículas se mueve como si fuera una partícula de masa fuera una partícula de masa igual a la masa total del igual a la masa total del sistema y estuviera sujeto a la sistema y estuviera sujeto a la fuerza externa resultante.fuerza externa resultante.

El CM de un sistema de partículas aislados se mueve El CM de un sistema de partículas aislados se mueve con velocidad constante en relación con cualquier con velocidad constante en relación con cualquier sistema de referencia inercial.sistema de referencia inercial.

2F

12f 21f

1F


7

Trayectoria del CM de sistemas de partículas sometido a Trayectoria del CM de sistemas de partículas sometido a fuerzas externasfuerzas externas

Trayectoria del CM de un sistema Trayectoria del CM de un sistema de partículas aisladode partículas aislado


8

Momento angular de un sistema de partículas.

• Para un sistema de dos partículas el Para un sistema de dos partículas el momento angular del sistemamomento angular del sistema respecto de un respecto de un puntopunto O O se define como se define como

i

OOOO iLvmrvmrLLL

22211121

• Y el Y el momento de las fuerzas externasmomento de las fuerzas externas respecto de un punto respecto de un punto O O se define como se define como

i

extO

extO

extO

extO i

MFrFrMMM 221121

LXLY

LZ

O

1F

2F

21r

• Para el Para el sistema de partículas sistema de partículas se puede demostrar se puede demostrar queque

dt

LdM Oext

O

• Si Si no hay fuerzas externasno hay fuerzas externas, o la , o la suma de sus suma de sus momentosmomentos respecto al punto respecto al punto OO es es nulanula, entonces, entonces

0

dt

LdM Oext

OcteLO

12f 21f

1r 2r

1m

2m

9

Cinemática del sólido rígido.

• Un sólido rígido puede presentar los siguientes movimientosUn sólido rígido puede presentar los siguientes movimientos• Movimiento de traslaciónMovimiento de traslación

• Movimiento de rotación (alrededor de un eje)Movimiento de rotación (alrededor de un eje) CM

CMCM

1vCMv

2v

1v

CMv

2v

1v

2v

Todas las partículas describen trayectorias Todas las partículas describen trayectorias paralelas.paralelas.

En un instante dado todos los puntos del En un instante dado todos los puntos del sólido poseen la sólido poseen la misma velocidad y misma velocidad y aceleraciónaceleración..

CMvvv

21

Todas las partículas describen trayectorias circulares Todas las partículas describen trayectorias circulares alrededor de una línea llamada alrededor de una línea llamada eje de rotacióneje de rotación..

En un instante dado todos los puntos del sólido En un instante dado todos los puntos del sólido poseen la misma poseen la misma velocidad y aceleración angularvelocidad y aceleración angular..

22

11

rvrv

rv

CMCM

CM

CM CM

2v

CMv

1v

1vCMv2v 2v

CMv

1v

10

• Movimiento generalMovimiento general RotaciónRotaciónEste movimiento siempre puede considerarse Este movimiento siempre puede considerarse como una combinación de una como una combinación de una traslacióntraslación y y una una rotaciónrotación..

CM

CMTraslaciónTraslación

Cinemática del sólido rígido.

11

Movimiento de traslación de un sólido rígido.

• Como todas las partículas del sólido se mueven con la misma velocidad y Como todas las partículas del sólido se mueven con la misma velocidad y aceleración, el estudio del aceleración, el estudio del movimiento de traslación del sólidomovimiento de traslación del sólido se puede llevar a cabo se puede llevar a cabo analizando el analizando el movimiento de su CMmovimiento de su CM..

• El movimiento del CM viene dado porEl movimiento del CM viene dado por

• Por tanto, tomando el CM y usando los métodos explicados en el tema anterior para la Por tanto, tomando el CM y usando los métodos explicados en el tema anterior para la dinámica de la partícula, se puede analizar el dinámica de la partícula, se puede analizar el movimiento de traslación del sólido movimiento de traslación del sólido rígidorígido. .

• Ecuación del movimiento para la traslación de un sólido rígido.Ecuación del movimiento para la traslación de un sólido rígido.

CMCM

ext aMdt

vdMF

TraslaciónTraslación

CMv

CM

12

Movimiento de rotación en torno a un eje fijo de un sólido rígido.

• Momento angular y momento de inercia.Momento angular y momento de inercia.

• Considérese una Considérese una placa delgada sólidaplaca delgada sólida que rota alrededor de un eje de rotación fijo. que rota alrededor de un eje de rotación fijo.

iv

Ai

• El El momento angularmomento angular del elemento del elemento AAii de la placa respecto de la placa respecto OO es es

2

iiiiiOi RmvmrL

• El El momento angularmomento angular de toda la placa respecto al punto de toda la placa respecto al punto OO es es

i

iii

OiOOOO RmLLLLL

2321

Como la Como la velocidad angularvelocidad angular es la misma es la misma para todos los puntos del sólido para todos los puntos del sólido

iiiO RmL 2

• Definiendo el Definiendo el momento de inercia momento de inercia para el eje ZZ’ que pasa por para el eje ZZ’ que pasa por OO como como

i

iiRmRmRmRmI 2233

222

211

se tienese tieneILO Ecuación vectorialEcuación vectorial. . El momento El momento

angular tiene la misma dirección angular tiene la misma dirección que la velocidad angular para un que la velocidad angular para un sólido plano.sólido plano.

Z

Z’

OiL

RiO

oL

13

• Considérese ahora un Considérese ahora un sólido rígido de forma arbitrariasólido rígido de forma arbitraria rotando alrededor de un eje fijo. rotando alrededor de un eje fijo.

• El El momento angularmomento angular del punto del punto AAii del sólido respecto a del sólido respecto a OO es es

iiiOi vmrL

• El El momento angularmomento angular totaltotal del sólido respecto al punto del sólido respecto al punto OO es es

i

OiO LL

• Sin embargo Sin embargo para cada cuerpopara cada cuerpo independientemente de su forma se verifica que independientemente de su forma se verifica que existen existen al menos tres direccionesal menos tres direcciones mutuamente perpendiculares para las que el mutuamente perpendiculares para las que el momento momento angular es paralelo al eje de rotaciónangular es paralelo al eje de rotación..

• Estos son los Estos son los tres ejes principales de inerciatres ejes principales de inercia ( (XXOO, , YYOO, , ZZOO) y sus correspondientes ) y sus correspondientes

momentos de inercia se conocen como momentos de inercia se conocen como momentos principales de inerciamomentos principales de inercia ( (II11, , II22, , II33). Si el ). Si el

eje de giro coincide con una de estas direcciones se cumpleeje de giro coincide con una de estas direcciones se cumple

Ecuación escalarEcuación escalar. . Válida independientemente Válida independientemente de la forma del cuerpo.de la forma del cuerpo.

Z’

Z

Riiv

Ai

ElEl momento angularmomento angular del punto tiene unadel punto tiene una dirección distintadirección distinta a la a la velocidad angularvelocidad angular.. Es Es perpendicular a y .perpendicular a y .ir

iv

ElEl momento angular totalmomento angular total del sólidodel sólido puedepuede tener unatener una dirección distintadirección distinta a la dea la de

• No obstante se cumple siempre que la No obstante se cumple siempre que la componente del momento componente del momento angular a lo largo del eje de rotaciónangular a lo largo del eje de rotación Z es Z es

ILOz

ILO

Válida cuando el sólidoVálida cuando el sólido gira gira alrededor de unalrededor de un eje principal de inercia.eje principal de inercia.


oiL

ir

O

14

• Cuando el cuerpo posee algún Cuando el cuerpo posee algún tipo de simetríatipo de simetría, los , los ejes principalesejes principales coinciden con los coinciden con los ejes de simetríaejes de simetría..

XO

YO

ZO

XO

YO

ZO

XO

YO

ZºO

• Dos teoremas importantes relacionados con el cálculo del momento de inercia son:Dos teoremas importantes relacionados con el cálculo del momento de inercia son:

Teorema de SteinerTeorema de Steiner

X

Z

OY

Z’

X’ CMY’

xCMyCM

d

dX

Z

O Y

Teorema de los ejes paralelosTeorema de los ejes paralelos

2MdII CMZ YXZ III


15

Cilindro

R

L

RL

2

2

1MRIo

22312

1LRMIo

a b

c 22

12

1baMIo

Paralelepípedo

ab

ab

22

12

1baMIo

2

12

1MbIo

Placa rectangular

Varilla delgada

L2

12

1MLIo

Disco

R

R

2

2

1MRIo

2

4

1MRIo

R

Esfera

2

5

2MRIo

R 2MRIo

Anillo

• Hemos visto que el Hemos visto que el momento de inerciamomento de inercia para un para un sistema de partículas discretosistema de partículas discreto se define se define

i

iiRmI 2

• Para un Para un objeto continuoobjeto continuo el sumatorio anterior se reemplaza por una integral el sumatorio anterior se reemplaza por una integral

dmRI 2


16

• El El momento de las fuerzas exterioresmomento de las fuerzas exteriores para un sólido rígido que gira alrededor de un para un sólido rígido que gira alrededor de un eje eje principal de inerciaprincipal de inercia que pasa por que pasa por OO se expresa se expresa

• Ecuación del movimiento para la rotación de un sólido rígido que gira en torno a un eje Ecuación del movimiento para la rotación de un sólido rígido que gira en torno a un eje fijo (que es principal de inercia).fijo (que es principal de inercia).

dt

LdM Oext

O

Como es principalComo es principal

ILO

dt

dI

dt

IdM ext

O

IM ext

ORotación en Rotación en torno a un ejetorno a un eje

Z’

Z

O

oM


17

Movimiento de traslación y rotación combinados. Movimiento de rodadura.

• Ecuaciones del movimiento de traslación y rotación combinados de un sólido rígido.Ecuaciones del movimiento de traslación y rotación combinados de un sólido rígido.• Para un sólido rígido que se Para un sólido rígido que se trasladatraslada y que y que gira alrededor de un eje que pasa por su CMgira alrededor de un eje que pasa por su CM, , las ecuaciones del movimiento sonlas ecuaciones del movimiento son

CMext aMF

IM ext

CM

• Tipos de movimientos de un sólido rígido de forma cilíndrica que se mueve sobre una Tipos de movimientos de un sólido rígido de forma cilíndrica que se mueve sobre una superficie planasuperficie plana

• El cilindro deslizaEl cilindro desliza

• Todos los puntos del sólido tienen la Todos los puntos del sólido tienen la misma velocidadmisma velocidad para cualquier instante para cualquier instante de tiempo.de tiempo.

• El cilindro tiene un movimiento de El cilindro tiene un movimiento de traslacióntraslación..

• El El mismo punto del sólidomismo punto del sólido permanece en permanece en todo momento en contacto con la todo momento en contacto con la superficie.superficie.


Rotación en Rotación en torno a un ejetorno a un eje

CMv

CMv

SCM

CM CM

P P

18

• El cilindro rueda sin deslizar. Movimiento de rodadura.El cilindro rueda sin deslizar. Movimiento de rodadura.

• Un Un punto distinto del sólidopunto distinto del sólido en cada instanteen cada instante permanece en contacto con la superficie permanece en contacto con la superficie verificándose.verificándose.

CM

P

P

RS CM

SCM

RsCM RvCM RaCM

• El cilindro tiene un movimiento de El cilindro tiene un movimiento de traslación traslación yy rotación rotación combinados.combinados.

R

R

RCM

R

R

Traslación Rotación

+ R

R2

0pv

• La La velocidad del punto de contactovelocidad del punto de contacto con la superficie es con la superficie es nulanula. .

• Si existe Si existe fuerza de rozamientofuerza de rozamiento ésta es ésta es estáticaestática..

CM

CM CM


19

• El cilindro rueda y desliza.El cilindro rueda y desliza.

• Al rodar y deslizar en este caso se tiene queAl rodar y deslizar en este caso se tiene que

RsCM RvCM RaCM

• El cilindro tiene un movimiento de El cilindro tiene un movimiento de traslación traslación yy rotación rotación combinados, pero la combinados, pero la velocidad del punto de contacto no es nula.velocidad del punto de contacto no es nula.

• Si existe Si existe fuerza de rozamientofuerza de rozamiento ésta es ésta es dinámicadinámica..


20

Condiciones de equilibrio.

• Para el Para el equilibrio de un sólido rígidoequilibrio de un sólido rígido es necesario considerar el equilibrio con respecto es necesario considerar el equilibrio con respecto tanto a la tanto a la traslación traslación como a la como a la rotaciónrotación. Las condiciones han de ser:. Las condiciones han de ser:

0

i

iext FF Equilibrio de traslaciónEquilibrio de traslación

0

i

extO

extO i

MM Equilibrio de rotaciónEquilibrio de rotación

• Esta situación implica queEsta situación implica que

ctevF CMext

0

cteM extO

0

• Por tanto, para que un Por tanto, para que un sólido rígido en equilibrio esté quietosólido rígido en equilibrio esté quieto, es necesario que en el , es necesario que en el instante inicial se encuentre en reposoinstante inicial se encuentre en reposo..

21

Energía cinética de un sólido rígido.

Z’

Z

O

Riii Rv

irAi

• Sea un Sea un sólido rígidosólido rígido que que gira alrededor de un eje fijogira alrededor de un eje fijo..• Como las partículas del sólido describen un Como las partículas del sólido describen un movimiento circular alrededor del ejemovimiento circular alrededor del eje, su , su energía cinética seráenergía cinética será

222122

212

21

iii

iii

iii RmRmvmEc

ComoComo i

iiRmI 2

221 IEc

• Sea un Sea un sólido rígidosólido rígido que que tiene un movimiento de traslacióntiene un movimiento de traslación. . • Como todas las partículas del sólido se mueven con idéntica velocidad, que será igual a Como todas las partículas del sólido se mueven con idéntica velocidad, que será igual a la de su la de su CM CM y su energía cinética seráy su energía cinética será

2212

212

21

CMi

ii

CMii

ii vmvmvmEc

2

21

CMMvEc


Rotación en Rotación en torno a un ejetorno a un eje

CMv

CM

22

• Sea un Sea un sólido rígidosólido rígido que que gira alrededor de un eje que pasa por su CMgira alrededor de un eje que pasa por su CM y al mismo tiempo y al mismo tiempo tiene un tiene un movimiento de traslaciónmovimiento de traslación respecto a un observador inercial. respecto a un observador inercial.

• La energía cinética respecto a un observador inercial esLa energía cinética respecto a un observador inercial es

CM

O

221

CMint MvEcEc

• Y como el único movimiento de las partículas respecto a un eje que pasa por el CM es Y como el único movimiento de las partículas respecto a un eje que pasa por el CM es de rotación, la energía cinética interna será de rotación y por tantode rotación, la energía cinética interna será de rotación y por tanto

2212

21 IMvEc CM

Energía cinética de un sólido rígido.

23

Energía total de un sólido rígido.

• Para un Para un sólido rígidosólido rígido ya que es indeformable y la distancia relativa entre las partículas ya que es indeformable y la distancia relativa entre las partículas que lo constituyen no varía con el tiempo, se tiene que que lo constituyen no varía con el tiempo, se tiene que su energía potencial interna es su energía potencial interna es constanteconstante y por tanto, y por tanto,

0intW

• De este modo, la De este modo, la energía totalenergía total para un para un sólido rígidosólido rígido se reduce a se reduce a

extEpEcE

Y si tiene un movimiento de Y si tiene un movimiento de traslación y rotación combinados.traslación y rotación combinados.

extCM EpIMvE 2212

21

• Para un Para un sólido rígidosólido rígido que que rueda sin deslizarrueda sin deslizar sobre una superficie, ya que si existe fuerza sobre una superficie, ya que si existe fuerza de rozamiento ésta es de rozamiento ésta es estáticaestática, se tiene que,, se tiene que,

0estrFW

• Para un Para un sólido rígidosólido rígido que que rueda y deslizarueda y desliza sobre una superficie, ya que si existe fuerza sobre una superficie, ya que si existe fuerza de rozamiento ésta es de rozamiento ésta es dinámicadinámica, se tiene que,, se tiene que,

0dinrFW

sistemas de partículas y rotación

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