sistemas de ra´ıces abstractas y algebras de lie´mente la estructura del ´algebra de lie. esta...

Sistemas de Raıces Abstractas y

Algebras de Lie

Enrique Rodrıguez CastilloUniversidad de Sonora

iii

En memoria de

Enrique Rodrıguez Jimenez.

A mi hijo

Luis Enrique Rodrıguez Chavez.

Agradecimientos

Sin duda, el tiempo que le he dedicado a este trabajo es considerable y por talmotivo, me vı en la necesidad de sacrificar varios momentos de convivenciacon las personas que mas quiero en mi vida: mi familia. Indudablemente, miesposa y mi hijo me tuvieron mucha paciencia al permanecer alejados de midurante intervalos extensos de tiempo y es por tal motivo que les agradezcodesde lo mas profundo de mi corazon por su comprension, apoyo y pacienciadurante la elaboracion de este trabajo.

Junto con la familia, los familiares fueron tambien decisivos en el empenocon el que trabaje, pues supieron inyectar esa dotacion de animo en momentosque realmente necesitaba cerca de mı a la gente que me conoce. Los autoresprincipales de dicha proeza son mi madre Raquel Castillo del Castillo, mihermano Hector Daniel Rodrıguez Castillo, mis hermanas Martha y RebecaRodrıguez Castillo y tambien, Irene Rodrıguez Castillo quien se merece unamencion especial, pues por su experiencia es la persona que mas comprendıami situacion.

Una de las inspiraciones mas importantes que he tenido desde hace tiempoes la memoria de mi padre, a quien con gran afecto y respeto le dedico estetrabajo. A su manera me enseno de lo que era capaz de hacer. Su recuerdolo resguardare en mi corazon con celo.

Tambien, aprovecho este espacio para agradecer la direccion del Dr. YuryVorovev, quien de una manera muy particular, logro dar cierta motivacionpara esforzarme en momentos de tension durante los estudios previos a laelaboracion de mi tesis. Sus consejos oportunos y exigencias sirvieron paradarme cuenta de que esforzandome puedo lograr mas cosas de las que hepensado.

v

vi

Al igual que el Dr. Yury Vorovev, agradezco la paciencia y el tiempoque me dedicaron mis sinodales: Dr. Ruben Flores Espinoza, Dr. Martın G.Garcıa Alvarado y M. en C. Guillermo Davila Rascon. Gracias a sus correc-ciones, mi trabajo fue ampliamente mejorado.

No por ser los ultimos en esta breve lista son los menos importantes.Me refiero a aquellas personas que me acompanaron en todo este camino dedesarrollo y madurez: mis amigos. Mis companeras de generacion, L. M.Marysol Navarro Burruel y L. M. Jessica Yuniver Santana Bejarano quienessirvieron de inspiracion al mostrarme ejemplarmente virtudes como la per-severancia, la dedicacion y la responsabilidad. La Dra. Martha D. GuzmanPartida y el Dr. Martın G. Garcıa Alvarado, quienes me demostraron rig-urosamente que escogı bien mi profesion y tambien supieron ensenarme labelleza de las matematicas como nunca antes en mi vida.

No solo mis amigos profesionales fueron importantes para mi en estosultimos cuatro anos, si no tambien aquellos que casi son como de mi fa-milia; sus consejos invaluables y apoyo incondicional es uno de los tesorosque me hacen sentir afortunado y valorar cada momento de convivencia en-tre nosotros. Muchas gracias a todos: Micky, Mario, Carlitos, Felipe, Guero,Ca-Carlos, Gordo, Delman, Artemis, Alejandra y Misah.

Contenido

Introduccion ix

1 Preliminares 1

1.1 Acciones de Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Algunas nociones de Algebra Lineal . . . . . . . . . . . . . . . 2

Traza de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Familias conmutativas de operadores diagonalizables . . . . 3Dualidad y formas bilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Sistemas de raıces abstractas 7

2.1 Nociones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Reflexiones en un espacio euclidiano . . . . . . . . . . . . . . 7Sistemas de raıces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Propiedades geometricas y cadenas de raıces . . . . . . . . . 16Sistemas de raıces de rango 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Bases y Raıces simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Propiedades de las raıces simples . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3 Camaras de Weyl y el grupo de Weyl . . . . . . . . . . . . . . 33Camaras de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33El grupo de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Clasificacion de sistemas de raıces irreducibles 43

3.1 Sistemas de raıces irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44El grupo de Weyl de un sistema irreducible . . . . . . . . . . 46La raız maximal de un sistema irreducible . . . . . . . . . . 48

3.2 Matriz de Cartan de un sistema de raıces . . . . . . . . . . . . 50

vii

viii CONTENIDO

3.3 Diagrama de Dynkin asociado a un sistema de raıces . . . . . 523.4 Teorema de Clasificaion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4 Algebras de Lie 63

4.1 Definicion y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2 Conceptos algebraicos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . 67

Subalgebras e ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Homomorfismos de algebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . 70

4.3 Algebras de Lie lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.4 Representaciones y la forma de Killing . . . . . . . . . . . . . 80

Representacion adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Forma de Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.5 Teorema de Weyl y representaciones de sl(2, F) . . . . . . . . 85

5 Teorıa estructural 87

5.1 Solubilidad y nilpotencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Algebras solubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Algebras nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.2 Criterios de solubilidad y nilpotencia . . . . . . . . . . . . . . 92Teorema de Engel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Teorema de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Criterio de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.3 Algebras semisimples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Propiedades principales de las algebras de Lie semisimples . 98Teorema de Levi-Malcev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6 Raıces de una algebra de Lie semisimple 101

6.1 Descomposicion de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Subalgebras torales y subalgebras de Cartan . . . . . . . . . 101Conjugacion de subalgebras de Cartan . . . . . . . . . . . . 106

6.2 Propiedades de las raıces de una algebra de Lie semisimple . . 108Relaciones con la forma de Killing . . . . . . . . . . . . . . . 108Integridad y racionalidad de las raıces . . . . . . . . . . . . 109

6.3 Teorema de isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.4 Teorema de Serre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.5 Teorema de clasificacion de algebras de Lie simples . . . . . . 116

Conclusiones 117

Introduccion

Nuestros objetivos seran el estudio de los sistemas de raıces de manera abs-tracta, independientemente de la Teorıa de algebras de Lie que es en dondesurgio este concepto, y dar una introduccion a las algebras de Lie. Elproposito de esta tesis es aplicar los sistemas de raıces en la clasificacionde algebras de Lie semisimples.

Asociado a un algebra de Lie semisimple, se encuentra un sistema deraıces que es un conjunto de funcionales lineales definidos en una determi-nada subalgebra ue satisfacen ciertas propiedades que determinan completa-mente la estructura del algebra de Lie. Esta es la manera en que se presentala Teorıa de sistemas de raıces en los libros clasicos de algebras de Lie (ver[3], [4], [11]). El enfoque de este trabajo es recopilar varias propiedadesde los sistemas de raıces en abstracto haciendo uso de conceptos elementalesde algebra lineal para despues introducirlos en el contexto de algebras de Lie.

Los sistemas de raıces aparecieron por primera vez en el trabajo deWilhelm Karl Joseph Killing (1847-1923) para dar una clasificacion de lasalgebras de Lie semisimples sobre los complejos; tambien, de manera para-lela, Elie Cartan (1869-1951) presento el catalogo completo de algebras deLie semisimples sobre los commplejos en su tesis Doctoral, poco despues deltrabajo de Killing.

Por otra parte, las algebras de Lie fueron introducidas por Marius SophusLie (1842-1899) quien estudiaba la manera de resolver algunas ecuacionesdiferenciales, motivado por el trabajo de Galois en la solucion de ecuacionesalgebraicas, asociando a cada ecuacion diferencial un determinado grupo lla-mado grupo de Lie (en analogıa con el grupo de Galois para ecuaciones alge-baicas).

x Introduccion

El trabajo de Killing y Cartan fue estudiado por muchos matematicos,principalmente en Europa, en busca de simplificaciones de los metodos declasificacion y aplicacion del catalogo de algebras de Lie semisimples a di-versas areas de las matematicas y de la fısica; algunos de estos matematicosfueron Bartel Leendert Van der Waerden (1903-1996), Ernst Witt (1911-1991), Harold Scott MacDonald Coxeter (1907-2003), Hermann Weyl (1885-1955) y Eugene Borisovich Dynkin (1924-). Cada uno de ellos trabajo porseparado y los metodos de clasificacion que implementaban eran variados; elmetodo que uso Dynkin es el mas parecido al metodo original de Cartan.

La axiomatizacion de los sistemas de raıces vino despues de la partici-pacion de estos personajes, pues notaron que constituye una Teorıa indepen-diente. Uno de los puntos atractivo de la Teorıa de los sistemas de raıces, es lasimplicidad del concepto, ya que para su estudio solo se necesitan conocimien-tos basicos de las matematicas en areas como el Analisis, la Geometrıa, elAlgebra y especialmente de Algebra Lineal. Algunos de los conceptos que senecesitan dominar para el estudio de los sistemas de raıces en abstracto sonlos elementos basicos de espacios reales euclidianos de dimension finita, in-dependencia lineal, operadores lineales y ortogonales, isometrıas, geometrıaeuclidiana, continuidad en espacios euclidianos y acciones de grupo.

La idea de usar los sistemas de raıces para clasificar las algebras de Liesemisimples se basa en los siguientes tres puntos:

• A cada algebra de Lie semisimple, se le asocia un sistema de raıces quela caracteriza por completo;

• los sistemas de raıces son faciles de clasificar;

• dado un sistema de raıces, existe un algebra de Lie semisimple cuyosistema de raıces es el inicial.

La idea que presento Sophus Lie de asociar a un grupo una determinadaalgebra de Lie fue motivadora de otros metodos de asociar un algebra de Lie aun grupo (no necesariamente de Lie), la cual podıa proporcionar informacionimportante de la estructura de tal grupo. Este es un recurso considerable-mente moderno para abordar algunos problemas en grupos finitos y gruposlibres.

Introduccion xi

Entre las algebras de Lie, existe una familia muy importante que es laclase de algebras de Lie semisimples, las cuales se pueden caracterizar a travesde sus componentes simples. El matematico Tulio Levi-Civita (1873-1941)establecio una descomposicion de un algebra de Lie general en una partesemisimple y otra que excluıa la semisimplicidad mientras que el matematicoAnatoly Ivanovich Maltsev (Malcev) (1909-1967) determino la unicidad dedicha descomposicion bajo un automorfismo interior del algerba de Lie.

Una herramienta muy util en el estudio de algebras semisimples es unaforma bilineal simetrica para la cual el operador adjunto es antisimetrico, quefue introducidas por Killing y lleva su nombre; de hecho, la no-degeneracionde tal forma caracteriza a las algebras de Lie semisimples.

Killing tambien introdujo el concepto que hoy es conocido como subalgebrade Cartan, la cual establece la llamada descomposicion de Cartan y esta es-trechamente ligada al sistema de raıces que le corresponde al algebra de Liesemisimple.

Este trabajo se divide en cinco capıtulos en los que se intenta abordarla teorıa elemental de los sistemas de raıces y algebras de Lie, ası como larelacion historica entre estas dos estructuras algebraicas.

En el primer capıtulo, se intenta cubrir los conocimientos mınimos re-queridos para el entendimiento de este trabajo. Se recuerdan resultadosimportantes de Algebra Lineal y Teorıa de Grupos. Los conceptos basicos delas matematicas se presuponen dominados y no se abordan en este trabajo;ejemplos de esto son los conceptos de continuidad, calculo matricial, trans-formaciones lineales, espacios vectoriales de dimension finita, que se cubrenen los cursos de los primeros dos anos de licenciatura.

El segundo capıtulo de este trabajo, ha sido dedicado al tratamiento de lossistemas de raıces en abstracto, sus bases, la manera en que actua el grupo deWeyl en las raıces simples y en las camaras de Weyl. Se prueban resultadosque en varios textos solo se limitan a mencionarlos vagamente e incluso omi-tirlos; se procura detallar las demostraciones y extender los calculos sin caeren la rutina. Despues se reduce el trabajo de clasificacion al establecer unadescomposicion en componentes irreducibles los cuales tienen propiedadesespeciales que permiten tratarlos mas facilmente.

xii Introduccion

En la ultima parte de este capıtulo dos, se presenta el Teorema de Clasi-ficacion de sistemas irreducibles y haciendo uso de los Diagramas de Dynkinse determinan las diferentes relaciones entre raıces simples que existen.

El tercer capıtulo presenta la Teorıa general de algebras de Lie y los con-ceptos basicos que sirven como introduccion al estudio de esta estructura.Se presentan conceptos como subalgebra, ideal, homomorfismo, derivacion,representacion de un algebra de Lie (concentrandonos en la representacionadjunta y el operador adjunto) y se estudia en general la llamada forma deKilling. Se presentan resultados estandar como el Teorema Fundamental deHomomorfismo, los tres Teoremas de isomorfismo de las estructuras alge-braicas y el Teorema de correspondencia.

En este capıtulo tres, tambien se dedica una seccion al estudio de algebrasde Lie lineales como el algebra general lineal, el algebra especial lineal, lasalgebras ortogonales (pares e impares), el algebra simplectica, el algebra dematrices triangulares superiores y dos de sus subalgebras: el algebra de matri-ces triangulares estrictamente superiores y el algebra de matrices diagonales.Ademas, se establece una descomposicion del algebra general lineal comouna suma directa de su algebra derivada, que es previamente calculada, y sucentro, igualmente calculado con anterioridad.

En el cuarto capıtulo se estudian tres tipos especiales y muy importantesde algebras de Lie: solubles, nilpotentes y semisimples; todas las algebrasnilpotentes son solubles y las semisimples carecen de ideales solubles que nosean cero, es decir, no tienen nada de soluble. Se presentan tres resultadosque nos ayudan a determinar la solubilidad o nilpotencia de un algebra deLie a partir del estudio de ciertos operadores; el Teorema de Engel estableceuna relacion entre las algebras de Lie nilpotentes compuesta de operadores(matrices) con algebras de Lie cuyos elementos son operadores nilpotentes, elTeorema de Lie es analogo al Teorema de Engel pero en el caso soluble (bajociertas hipotesis impuestas al campo), mientras que el criterio de Cartan nospermite determinar la solubilidad de un algebra de Lie observando su formade Killing. El capıtulo termina con el estudio de algebras semisimples y lapresentacion de un Teorema de descomposicion de algebras de Lie, que pre-sentamos con el nombre de Teorema de Levi-Malcev.

Introduccion xiii

Finalmente, en el capıtulo cinco se introduce el concepto de raız de unalgebra de Lie semisimple con respecto a una subalgebra de Cartan y se es-tudian algunas propiedades de las raıces; el conjunto de estas raıces terminaformando un sistema de raıces en el sentido del capıtulo uno. Despues, seestablece la independencia del sistema de raıces con respecto a la subalgebrade Cartan, ası como el Teorema de Isomorfismo que indica la importanciadel sistema de raıces asociado al algebra de Lie al caracterizarlo por com-pleto. Tambien se presenta el Teorema de Serre, que nos dice la manera enque se puede generar un algebra de Lie semisimple a partir de un sistemade raıces al hacer una presentacion del algebra de Lie mediante la exhibicionde un conjunto de generadores y sus relaciones de conmutatividad, todo estodependiendo unicamente del sistema de raıces.

Capıtulo 1

Preliminares

En este capıtulo se presentan algunas definiciones y hechos fundamentales dela Teorıa de Grupos y recordar nociones basicas de Algebra Lineal. Tambiense presentan algunos resultados referentes a la descomposicion que induceun operador lineal de un espacio vectorial en subespacios invariantes conrespecto a tal operador; estos hechos son importantes para establecer ladescomposicion de Cartan en el capıtulo 5. El capıtulo termina con unabreve exposicion sobre productos tensoriales de espacios vectoriales. Losconocimientos requeridos en Teorıa de anillos y generalidades algebraicas sepueden encontrar en [1] o bien, en [8].

1.1 Acciones de Grupo

Solo se presentan las definiciones requeridas en este texto. Para el interesadoen abundar sobre las acciones de grupo, puede consultar [10] (p. 55).

Definicion 1.1. Sea X un conjunto no vacıo y G un grupo. Una accion

de G en X es una funcion . : G × X → X que satisface las siguientes dospropiedades:

(A1) Si e es el elemento identidad de G, entonces e.x = x para todo x ∈ X;

(A2) para g, h ∈ G tenemos (gh).x = g.(h.x) para todo x ∈ X.

Decimos que un grupo G actua en un conjunto X, o bien X es un G-

conjunto, si existe una accion de G en X.

1

2 Preliminares

Si G actua en X y x ∈ X, definimos la orbita de x como el conjunto

Gx = g.x : g ∈ G

y el conjunto de orbitas de X es el conjunto

Gx : x ∈ X

y es claro que X =⋃

x∈X Gx, donde la union es disjunta. Diremos que laaccion es transitiva si solo existe una orbita.

Proposicion 1.1. Supongamos que G actua en X. La accion es transitivasi y solo si para cualesquiera dos elementos x, y ∈ X existe un elementog = g(x, y) ∈ G tal que g.x = y.

Suponga que G actua en un conjunto X. Diremos que un elemento g ∈ Gfija a un punto x ∈ X si g.x = x; la accion se llama simple si el unico ele-mento de G que fija a algun punto de X es el elemento identidad.

Suponga que un grupo G actua en un espacio vectorial V. Diremos que laaccion es irreducible si para cualquier subespacio W 6= 0 de V que satisfagaG.W ⊂ W se tiene que W = V.

1.2 Algunas nociones de Algebra Lineal

En esta seccion, se intenta hacer solo un pequeno recordatorio de los con-ceptos y resultados que necesitaremos en el desarrollo de los capıtulos poste-riores, en especial, en los capıtulos 3 y 5. Para el interesado en introducirceampliamente en el algebra lineal, se recomienda [9].

Traza de operadores

Denotemos el espacio de matrices cuadradas de orden n con entradas en elcampo F por el sımbolo Mn(F). Recuerde que Mn(F) posee una estructuranatural de espacio vectorial sobre el campo F y su dimension es n2. Latraza de una matriz cuadrada de orden n es la suma de los elementos desu diagonal. Algunas de las propiedades para la traza de una matriz seenuncian en el siguiente resultado, cuya demostracion se puede encontrar en[8] (p. 383):

1.2 Algunas nociones de Algebra Lineal 3

Proposicion 1.2. Si A,B,C ∈ Mn(F) y a ∈ F, entonces

1. tr(A + B) = tr A + tr B;

2. tr(aA) = a tr A;

3. tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB), en particular, tr(AB) = tr(BA).

Las propiedades 1 y 2 nos dicen que la traza es un funcional lineal en elespacio de matrices cuadradas de orden n.

Si B y B′ son bases de V y T es la matriz asociada a T con respecto a labase B, entonces la matriz de T con respecto a la base B′ es Q−1TQ, dondeQ es la matriz de transicion entre las bases B y B′. Por la propiedad 3 dela Propoosicion 1.2, tenemos que tr(Q−1TQ) = tr T .

Definicion 1.2. Sea T : V → V un operador lineal y T la matriz de T con

respecto a una base B de V. La traza de T se define como tr Tdef= tr T .

Con las propiedades 1 y 2, podemos definir una forma bilineal en el espacioEnd(V) = operadores lineales en V de la siguiente manera: dados dosoperadores lineales en V, digamos T : V → V y S : V → V, definimos

〈T, S〉tr = tr(TS),

y llamamos a 〈, 〉tr una forma de traza. Ademas, por la propiedad 3 de laProposicion 1.2, la forma de traza es simetrica, es decir, 〈T, S〉tr = 〈S,T〉trpara cualesquiera dos operadores S y T en V.

Familias conmutativas de operadores diagonalizables

Si T : V → V es un operador lineal en V y F es un campo algebraicamentecerrado, entonces el espacio V se descompone como una suma de subespaciosV =

∐λ∈F Vλ(T), donde

Vλ(T)def=a ∈ V : T(a) = λa,

para λ ∈ F. Aquı y en el resto del texto, el sımbolo∐

indica suma directa deespacios vectoriales. Es claro que solo existe un numero finito de λ ∈ F paralos que Vλ 6= 0. A tales elementos del campo se les llaman valores propiosde T y a cualquier vector no nulo de Vλ se llama vector propio de T asociadoal valor propio λ. Si λ es un valor propio de T, el subespacio Vλ se llamasubespacio propio (ver [8], p. 470).

4 Preliminares

Proposicion 1.3. Si dos operadores lineales T : V → V y S : V → V

conmutan, entonces existe un vector propio comun.

La demostracion se puede encontrar en [2] (p. 212).

Recordemos que un operador T : V → V es diagonalizable si existe unabase para V conformada por vectores propios de T. Cuando el operador T

es diagonalizable y B es una base de vectores propios, entonces la matriz deT con respecto a la base B es diagonal y los elementos de la diagonal son losvalores propios de T. Un resultado inmediato de esto es el siguiente.

Proposicion 1.4. Si dos operdores lineales T : V → V y S : V → V

conmutan y son diagonalizables, existe una base de vectores propios comunes.

Como concecuencia se tiene el siguiente corolario que se obtiene al aplicarla Proposicion 1.4 e induccion sobre k.

Corolario 1.5. Sea Ti : V → V un operador lineal diagonalizable para cadai ∈ 1, 2, . . . , k ≡ Ik. Si TiTj = TjTi para i, j ∈ Ik, entonces existe una basepara V tal que las matrices de cada operador Ti es diagonal para cada i ∈ Ik.

Cuando un conjunto de operadores lineales satisface las hipotesis delCorolario 1.5, decimos que tal conjunto de operadores lineales constituyeuna familia de operadores lineales simultaneamente diagonalizables.

Teorema 1.6. Si Ti es una familia de operadores lineales simultaneamentediagonalizables, con i ∈ Ik, entonces el espacio V se descompone en unasuma directa de subespacios

Vαdef=a ∈ V : Ti(a) = α(Ti)a para toda i ∈ Ik,

donde α es un funcional lineal en el subespacio generado por la familia deoperadores lineales Ti.

Demostracion. Cada operador lineal Ti induce una descomposicion del espa-cio en suma directa de subespacios Vα(Ti); si i 6= j, entonces cada subespa-cio Vα(Ti) es suma directa de sus intersecciones con los subespacios Vβ(Tj).Iterando este proceso con todos los Ti vemos que V se puede expresar comosuma directa de subespacios Vα (como se define en el enunciado del Teorema)tales que Ti(Vα) ⊂ Vα para toda i ∈ Ik y cada operador lineal Ti tiene ununico valor propio en cada Vα. Se puede demostrar que cada operador linealTi es representado por una matriz triangular en el espacio de coordenadas deV y ası, se tiene que para cada subespacio Vα, el unico valor propio de Ti,visto como funcion de Ti, es lineal.

1.2 Algunas nociones de Algebra Lineal 5

Dualidad y formas bilineales

Recordemos que si V es un espacio vectorial sobre el campo F, el espacio dualde V, usualmente denotado por V∗, es el espacio vectorial cuyos elementosson todos los funcionales lineales en V, es decir,

V∗ = α : V → F : α es lineal.

Una forma bilineal en V es una funcion B : V×V → F que es lineal en cadacomponente, es decir, la funcion v 7→ B(v,w) es lineal para todo w ∈ V y lafuncion w 7→ B(v,w) es lineal para todo v ∈ V. Decimos que la forma B esno-degenerada si el unico vector a ∈ V que satisface la ecuacion B(a, b) = 0para todo vector b ∈ V es el vector a = 0.

Proposicion 1.7. Sea B : V×V → F una forma bilineal no-degenerada enV y suponga que dimV < ∞, entonces existe un isomorfismo de espaciosvectoriales α 7→ aα tal que α(b) = B(aα, b) para todo b ∈ V.

La demostracion se puede leer en [9] (p. 162).

Otra definicion importante que hay que recordar es la siguiente: unaforma bilineal B : V × V → R se dice ser positiva definida si B(v,v) ≥ 0para todo v ∈ V y la unica posibilidad de que B(v,v) = 0 es que v = 0.

A una forma bilineal simetrica tambien se le conoce con el nombre deproducto interior. Cuando un espacio vectorial real V esta acompanado deun producto interior B : V×V → R positivo definido, decimos que la pareja(V,B) es un espacio euclidiano y usualmente B es denotado por 〈, 〉 o bien(, )(en ocaciones, la forma es llamada producto euclidiano). En este texto,utilizaremos indistintamente toda esta nomenclatura con la esperanza de queno haya confusion.

Capıtulo 2

Sistemas de raıces abstractas

En este capıtulo se presenta el concepto de sistema de raıces de maneraabstracta e independiente de la Teorıa de algebras de Lie. Se recolectan variaspropiedades tanto geometricas como algebraicas de los sistemas de raıces ydesarrollaremos herramientas que reduciran nuestro interes en sistemas deraıces irreducibles, de lo que nos encargaremos en el proximo capıtulo.

2.1 Nociones basicas

Antes de comenzar en forma el estudio de sistemas de raıces, es pertinenterecordar algunos hechos sobre reflexiones en espacios euclidianos.

Reflexiones en un espacio euclidiano

En todo este capıtulo, trabajaremos con un espacio euclidiano E y denotare-mos por 〈, 〉 al producto euclidiano de tal espacio. Recuerde que un hiperplanoes un subespacio de codimension 1.

Definicion 2.1. Una reflexion en un espacio euclidiano E es un operadorlineal R : E × E → E el cual tiene asociado un hiperplano P ⊂ E, llamadohiperplano reflectante, que satisfacen las siguientes propiedades:

(Rf1) Para cada vector w ∈ P, tenemos R(w) = w;

(Rf2) si v es un vector ortogonal a P, entonces R(v) = −v.

7

8 Sistemas de raıces abstractas

Es claro que si dos reflexiones tienen asociado el mismo hiperplano, en-tonces son las mismas reflexiones. Cada vector no nulo v determina un unicohiperplano Pv

def=w ∈ V : 〈w,v〉 = 0 y la reflexion a la que se asocia tal

hiperplano sera denotada por Rv. La formula explıcita para las reflexioneses

Rv(w) = w − 2〈w,v〉〈v,v〉 v, (2.1)

pues la imagen de v bajo Rv es −v y fija a todo vector w ∈ Pv. Es claroque un vector proporcional a v da origen a la misma reflexion ya que si a escualquier escalar diferente de cero, tenemos que para todo vector w ∈ E

Rav(w) = w − 2〈w, av〉〈av, av〉(av) = w − 2

〈w,v〉〈v,v〉 v = Rv(w).

Como el numero 2 〈w,v〉〈v,v〉 aparecera frecuentemente, lo abreviaremos por el

sımbolo |w,v|. Note que |, | es lineal solo en la primera componente y sia 6= 0, entonces |v, aw| = 1

a|v,w|.

Es importante recordar en este momento algunas propiedades importantesde las reflexiones.

• La matriz que representa una reflexion es similar a la matriz diagonaldiag(1, 1, . . . , 1,−1), esto es claro ya que basta con tomar cualquier basedel hiperplano reflectante y acompletar tal base a una base del espacioagregando un vector ortogonal a tal hiperplano. Se sigue entonces queel determinante de una reflexion es igual a −1.

• Las reflexiones son involuciones, es decir, R2v

= id.

• Las reflexion preservan el producto interior del espacio E, es decir, parav ∈ E y cualesquiera dos vectores u,w ∈ E,

〈Rv(u),Rv(w)〉 = 〈u,w〉 .

• Tambien es importante tener en cuenta que las reflexiones son funcionescontinuas, con respecto a la topologıa inducida por el producto interior.

2.1 Nociones basicas 9

Un operador T deja invariante a un subconjunto A del espacio E, si T(A) ⊂A. Un hecho util que caracteriza a las reflexiones es el siguiente:

Proposicion 2.1. Sea Φ un conjunto finito que genera al espacio E y supongaque todas las reflexiones Rv, con v ∈ Φ, dejan invariante a Φ. Si S es unoperador lineal invertible en E que cumple con las siguientes tres propiedades

• deja invariante a Φ,

• fija a todos los puntos de un hiperplano P ⊂ E,

• la imagen de un vector no nulo u ∈ Φ bajo S es −u,

entonces S = Ru y P = Pu.

Demostracion. Definamos T = SR−1u

, entonces tenemos T(Φ) = SR−1u

(Φ) =S(Φ) = Φ y T(u) = SR

−1u

(u) = S(u) = u. Si Spanu es el subespaciogenerado por el vector u, existe un isomorfismo ϕ : E/ Spanu → P y

definase T(v + Spanu) = ϕ−1Tϕ(v + Spanu). En consecuencia, se tieneel siguiente diagrama conmutativo

E/〈u〉

ϕ

²²

T // E/〈u〉

ϕ

²²P

T

// P

Como T = id en P, concluimos que T = id, es decir, T actua como la identi-dad en el cociente. Es claro que T actua como la identidad en el subespacio〈u〉 y por tanto, todos los valores propios de T son iguales a 1 y el polinomiomınimo de T divide a p1(x) = (x − 1)ℓ, con ℓ = dimE. Por otro lado, comoΦ es finito, no todos los vectores w,T(w),T2(w), . . . pueden ser distintos,ası que debe de existir un entero positivo k para el cual Tk(w) = w. Se-leccionemos k suficientemente grande para que Tk fije a todos los vectoresen Φ. Como Φ genera a E, forzosamente tendremos que Tk = id ası que elpolinomio mınimo de T divide a p2(x) = xk − 1. Combinado con lo anterior,se muestra que el polinomio mınimo es el maximo comun divisor de p1 y p2,es decir, p(x) = x − 1. Se concluye que T = id.

El conjunto de todos los operadores lineales invertibles de un espaciovectorial E, denotado como GL(E), se llama grupo general lineal de E. Sepuede verificar que, efectivamente, GL(E) tiene estructura de grupo.


Sistema de raıces

Ahora se dara la definicion del objeto de estudio de este capıtulo.

Definicion 2.2. Un subconjunto Φ de un espacio euclidiano E es llamadoun sistema de raıces en E si los siguientes axiomas se satisfacen:

(R1) Φ es finito, genera a E y no contiene al vector nulo.

(R2) Si α ∈ Φ, los unicos multiplos de α en Φ son ±α.

(R3) Si α ∈ Φ, la reflexion Rα deja invariante a Φ.

(R4) Si α, β ∈ Φ, entonces |β, α| ∈ Z.

A los elementos de Φ se les llaman raıces. Es claro que (R2) y (R3) im-plican que Φ = −Φ.

El axioma (R1) no es tan severo, pues si Φ es un conjunto finito que nocontiene al cero y satisface (R2), (R3) y (R4), entonces Φ es un sistema deraıces en el subespacio que genera.

Sea Φ un subconjunto de E que satisface (R1), (R3) y (R4); suponga queα ∈ Φ tal que kα ∈ Φ con k ∈ R, entonces el hecho de que los numeros|α, kα| y |kα, α| son enteros implica que 2

k, k

2∈ Z y esto sucede si y solo si

k ∈ ±12,±1,±2. La informacion que nos proporcionan los multiplos ex-

tras, se puede obtener de ±α. Ası, al incluir como axioma (R2), estamoseconomizando el estudio. En algunos textos (ver [7], p. 103) se abordan lossistemas de raıces excluyendo (R2) y a lo que nosotros presentamos con elnombre de sistema de raıces se nombra como “sistema reducido de raıces”.

El axioma (R3), sugiere una accion del grupo generado por las reflexionescuyos hiperplanos reflectantes son los hiperplanos ortogonales a una raız.Este grupo juega un papel importante en el estudio de sistemas de raıces ytiene propiedades especiales cuando el sistema de raıces sea irreducible.

El axioma (R4) tiene consecuencias geometricas muy fuertes, pues elangulo que pueden formar una pareja arbitraria de raıces es bastante limi-tado, de hecho, existen pocos angulos diferentes (mod 2π) como se muestraen la Tabla 2.1.


Ahora, veremos algunos ejemplos que nos seran de utilidad. Primero,

definimos el rango de un sistema de raıces Φ en E como rank Φdef= dimE.

Ejemplo 2.1.1. Sea E = R y tomemos un numero α 6= 0, entonces Φ =α,−α es evidentemente un sistema de raıces. A tal sistema se le denotacomo A1 y graficamente se verıa como indica la figura siguiente:

α

Figura 2.1: Sistema de raıces de rango 1.

El rango 2 ofrece mas posibilidades, cuatro de las cuales son presentadosen los siguientes ejemplos:

Ejemplo 2.1.2. En R2, considere Φ = α = (0, 1), β = (1, 0),−α,−β, loque se representa en la siguiente figura:

α

β

Figura 2.2: Sistema de rango 2 con 4 raıces.

Los axiomas (R1) y (R2) son evidentes. El axioma (R3) se puede verificardirectamente de la figura 2.2, pues las reflexiones

Rα :α 7→ −αβ 7→ β

y

Rβ :α 7→ αβ 7→ −β

dejan invariante a Φ. Un calculo breve muestra que los productos |γ, δ| tomanlos valores ±2 o cero, con lo que se satisface (R4). A este sistema lo deno-taremos como A1 × A1.


Ejemplo 2.1.3. Ahora, tomemos α = (1, 0) y β =(−1

2,√

32

)para formar el

conjunto Φ = ±α,±β,±(α + β).

α

β


Nuevamente, los axiomas (R1) y (R2) son claros. Con la ayuda de lafigura 2.3, podemos verificar facilmente que (R3) se cumple para Φ. Comotodos los vectores de Φ tienen norma 1, |, | es lineal en las dos componentesy ası, es facil ver que los valores |γ, δ| son ±1 o ±2. A este sistema de raıceslo denotaremos por A2.

Ejemplo 2.1.4. Tomemos α = (1, 0) y β = (−1, 1). Definimos

Φ = ±α,±β,±Rβ(α),±Rα(β) ,

y por la formula (2.1), es facil verificar que

Rβ(α) = α + β = (0, 1) Rα(β) = β + 2α = (1, 1).

Es evidente que Φ satisface los axiomas (R1) y (R2). Con ayuda de la figurasiguiente

α

β


podemos verificar el axioma (R3) mientras que el axioma (R4) necesita unpequeno calculo elemental para verificar que los productos |γ, δ| toman losvalores ±1,±2 o cero. A este sistema de raıces lo denotaremos como B2.


Ejemplo 2.1.5. Sean α = (1, 0) y β =(−3

2,√

32

), ahora recolectemos los

siguientes vectores:

Rα(β) = β + 3α =

(3

2,

√3

2

), Rβ(α) = α + β =

(−1

2,

√3

2

),

RαRβ(α) = β + 2α =

(1

2,

√3

2

), RβRα(β) = 2β + 3α =

(0,√

3)

y sus negativos para formar el conjunto

Φ = ±α,±β,±(α + β),±(2α + β),±(3α + β),±(3α + 2β) ,

que graficamente, se ve como indica la siguiente figura:

α

β


Nuevamente, los axiomas (R1) y (R2) son claros, mientras que la figura nosayuda a verificar manualmente el axioma (R3). Los productos |γ, δ| puedentomar los valores ±1,±3 o cero. Este sistema de raices se denota como G2.

Mas adelante veremos que la eleccion que hacemos para las raıces α y βes altamente conveniente. Notese que la cantidad de raıces en cada ejemploes diferente; cuando vinculemos los sistemsa de raıces con las algebras de Liepresentaremos una formula que relaciona el rango de un sistema de raıces yla cardinalidad de este con la dimension de un algebra de Lie semisimple.

Tambien, podemos ver que cada sistema de raıces se puede ver comocopias de A1 colocadas de una determinada manera, es decir, satisfaciendociertas relaciones dependientes de los algunlos y las longitudes relativas delas raıces.


Isomorfismos

Ahora, presentaremos una relacion de equivalencia entre sistemas de raıcesque es bien conocida en toda estructura algebraica. En cierto sentido, estarelacion nos permite discernir cuando dos sistemas de raıces son escencial-mente el mismo y claro esta que nos interesaremos en estudiar sistemas deraıces salvo isomorfismos.

Comenzaremos presentando un resultado que nos dice como actua undeterminado subgrupo de operadores lineales de E que dejan invariante a Φsobre las reflexiones correspondientes a raıces en Φ.

Proposicion 2.2. Sea Φ un sistema de raıces en E. Si S ∈ GL(E) dejainvariante a Φ, entonces SRαS−1 = RS(α) para todo α ∈ Φ y ademas |β, α| =|S(β), S(α)| para todo α, β ∈ Φ .

Demostracion. Para cada β ∈ Φ y toda α ∈ Φ tenemos que Rα(β) ∈ Φ, asıque (SRαS−1) (S(β)) = SRα(β) ∈ Φ, pero por linealidad se observa que

(SRαS

−1)(S(β)) = S(β − |β, α|α) = S(β) − |β, α|S(α). (2.2)

Como S es biyectiva, concluimos que SRαS−1 deja invariante a Φ, mientrasfija a todo punto del hiperplano S(Pα) y manda a S(α) en −S(α). Por laProposicion 2.1, tenemos que SRαS−1 = RS(α). Finalmente, es claro que

RS(α)(S(β)) = S(β) − |S(β), S(α)|S(α), (2.3)

y comparando (2.2) con (2.3), se tiene la segunda aseveracion.

Ahora, veremos en que sentido depende un sistema de raıces con respectodel producto interior del espacio.

Proposicion 2.3. Sean E un espacio vectorial real de dimension finita y(, )1, (, )2 dos productos euclidianos en E. Suponga que Φ es un sistema deraıces en (E, (, )1) y ϕ : (E, (, )1) → (E, (, )2) es una transformacion linealinvertible. Una condicion necesaria y suficiente para que ϕ(Φ) sea un sistemade raıces en (E, (, )2) es

|α, β|1 = |ϕ(α), ϕ(β)|2

para toda pareja de raıces α y β en Φ.


Demostracion. Para la necesidad, supongamos que ϕ(Φ) es un sistema deraıces en (E, (, )2), entonces cada Rϕ(α) deja invariante a ϕ(Φ), es decir,

Rϕ(α)(ϕ(β)) = ϕ(β) − |ϕ(β), ϕ(α)|2ϕ(α) ∈ ϕ(Φ),

para cualquier eleccion de α y β en Φ. Ahora, cada raız en Φ se puede escribircomo Rα(β), para algunos α, β ∈ Φ y ası,

ϕ(Rα(β)) = ϕ(β) − |β, α|1ϕ(α) ∈ ϕ(Φ).

Como ϕ es biyectiva, se sigue que ϕ−1Rϕ(α)ϕ(β) ∈ Φ para todo par deraıces α y β. Ademas, ϕ−1Rϕ(α)ϕ deja invariante a Φ, manda a α en sunegativo y deja fijos a todos los puntos en el hiperplano ϕ−1

(Pϕ(α)

). Por la

Proposicion 2.1, tenemos que ϕ−1Rϕ(α)ϕ = Rα para toda α ∈ Φ y se infierela igualdad

|β, α|1 = |ϕ(β), ϕ(α)|2. (2.4)

Para la suficiencia, si ϕ satisface la condicion (2.4), entonces ϕ(Φ) cumple(R4); por ser ϕ lineal y biyectiva, ϕ(Φ) cumple (R1) y (R2); y por ultimo, siϕ(α) es una raız en ϕ(Φ) y tomamos cualquier ϕ(β) ∈ ϕ(Φ), tenemos que

Rϕ(α)(ϕ(β)) = ϕ(β) − |ϕ(β), ϕ(α)|2ϕ(α)

= ϕ(β) − |β, α|1ϕ(α)

= ϕ (β − |β, α|1α)

= ϕ (Rα(β)) ∈ ϕ(Φ),

con lo que ϕ(Φ) cumple con (R3) y es un sistema de raıces en (E, (, )2).

Una conclusion importante de esta discucion es la siguiente.

Teorema 2.4. Sean (E1, (, )1) y (E2, (, )2) dos espacios euclidianos de di-mension finita sobre un campo F. Si dimE1 = dimE2, entonces existe unacorrespondencia uno-a-uno entre los sistemas de raıces de E1 y los sistemasde raıces de E2.

Demostracion. Si e1, . . . ,en es una base ortonormal de E1 y f 1, . . . ,fnes una base ortonormal de E2, definimos T :

∑xiei 7→ ∑

xif i. Es facilver que T es un isomorfismo que preserva los productos interiores. Por laProposicion 2.3, a cada sistema de raıces Φ en E1, le hacemos corresponderT(Φ) en E2.


Esto nos lleva a la definicion de isomorfismo de dos sistemas de raıces Φy Φ′ en los espacios E y E′, respectivamente:

Definicion 2.3. Diremos que (Φ,E) y (Φ′,E′) son isomorfos, que denota-mos por el sımbolo Φ ∼= Φ′, si existe un isomorfismo de espacios vectorialesϕ : E → E′ que mande a Φ sobre Φ′ tal que |ϕ(β), ϕ(α)|′ = |β, α| para cadapar de raıces α, β ∈ Φ.

Ejemplo 2.1.6. Cualquier sistema de raıces Ψ en R es isomorfo a A1, yaque por (R2) Ψ tiene dos raıces β y −β. El isomorfismo es β 7→ α.

Sea E un espacio euclidiano de dimension ℓ. En la familia de sistemas deraıces en E podemos definir la siguiente relacion:

Diremos que Φ esta relacionado con Φ′, que denotamos Φ ∼ Φ′, si lossistemas Φ y Φ′ son isomorfos.

El siguiente resultado establece que esta es, de hecho, una relacion deequivalencia. La demostracion es inmediata de las definiciones y por talmotivo, no se presentara.

Proposicion 2.5. La relacion de isomorfismo es una relacion de equivalenciaen la familia de sistemas de raıces.

Como una concecuencia inmediata, se tiene que si dos sistemas de raıcesson isomorfos, entonces tienen el mismo numero de raıces y los espacios quegeneran tienen la misma dimension.

Propiedades geometricas y cadenas de raıces

En esta subseccion, discutiremos un poco de cuestiones geometricas de lossistemas de raıces y un resultado muy importante que obtendremos es laTabla 2.1, donde se presentan los angulos permisibles entre cualesquiera dosraıces no proporcionales, ası como los posibles valores de los numeros |α, β|.Tambien, presentamos un el concepto de cadenas de raıces y mostraremosuna manera alternativa de intoducir los sistemas de raıces en terminos deestos objetos.


El axioma (R4) limita severamente los posibles angulos que hay entre unapareja de raıces. Recordando que el coseno del angulo θ entre los vectoresno nulos α y β en E esta dado por la formula

‖α‖ ‖β‖ cos θ = (α, β),

podemos ver que

|β, α| = 2(β, α)

(α, α)= 2

‖β‖‖α‖ cos θ

y ası, |α, β||β, α| = 4 cos2 θ. Sabemos que 0 ≤ cos2 θ ≤ 1 y es claro que |α, β|tiene el mismo signo que |β, α|, por lo que tenemos

|α, β||β, α| =

0 si y solo si θ = π2

1 si y solo si θ ∈

π3, 2π

3, 4π

3, 5π

3


π4, 3π

4, 5π

4, 7π

4


π6, 5π

6, 7π

6, 11π

6

4 si y solo si θ ∈ 0, π

Concluimos que las siguientes posibilidades son las unicas cuando α no esproporcional a β y ‖β‖ ≥ ‖α‖:

Tabla 2.1: Los valores de |α, β|, los angulos y las longitudes relativas.

|α, β| |β, α| θ ‖β‖2

‖α‖2

0 0 π2

−1 1 π

31

−1 −1 2π3

11 2 π

42

−1 −2 3π4

21 3 π

63

−1 −3 5π6

3

A continuacion, veremos un resultado que nos sera de utilidad mas adelante.

Proposicion 2.6. Sean α y β dos raıces no proporcionales. Si (α, β) > 0,entonces α − β es raız. Si (α, β) < 0, entonces α + β es raız.

Demostracion. La segunda aseveracion se sigue de la primera reemplazandoβ por −β.


Ahora, como (α, β) es positivo si y solo si |α, β| lo es, la Tabla 2.1 muestraque uno de los dos numeros, |α, β| o |β, α|, es igual a 1. Si |α, β| = 1, entonces

Rβ(α) = α − |α, β|β = α − β ∈ Φ por (R3);

similarmente, si |β, α| = 1, tenemos que Rα(β) = β − α ∈ Φ y por tanto,Rβ−α(β − α) = α − β ∈ Φ.

Considere un par de raıces no proporcionales α y β. Observe a todas lasraıces de la forma β + kα con k ∈ Z, llamada la α-cadena a traves de β obien α-cadena por β. Sean r y q los enteros positivos mas grandes para loscuales β − rα y β + qα son raıces. Como una aplicacion de la Proposicion2.6 tenemos el siguiente:

Corolario 2.7. La α-cadena a traves de β es irrompible desde β − rα hastaβ + qα, es decir, β + iα ∈ Φ para todo entero −r ≤ i ≤ q.

Demostracion. Si alguno de los β + iα no es raız, podemos encontrar enteros−r ≤ p < s ≤ q tales que

β + pα ∈ Φ, β + (p + 1)α /∈ Φ, β + (s − 1)α /∈ Φ y β + sα ∈ Φ.

Si (α, β + sα) > 0, por la Proposicion 2.6 tendrıamos que β + (s − 1)α ∈ Φ,lo que es absurdo. Similarmente, 0 ≤ (α, β + pα). Se concluye que

s(α, α) ≤ p(α, α),

pero esto es absurdo pues p < s y α 6= 0.

Ahora, veamos como actuan las reflexiones en las cadenas. Si α ∈ Φ, Rα

solo suma o resta un multiplo de α a cualquier raız. Ası, estas cadenas soninvariantes bajo Rα. Geometricamente, es claro que el numero de raıces dela α-cadena que quedan de un lado del hiperplano Pα es el mismo que elnumero de raıces que quedan del otro, es decir, Rα invierte el sentido de lacadena; en particular, Rα(β + qα) = β − rα. Por otro lado, tenemos

Rα(β + qα) = Rα(β) + qRα(α) = β − |β, α|α − qα,

ası que r − q = |β, α|. De esta discucion se sigue el siguiente resultado.

Proposicion 2.8. Las cadenas de raıces son de longitud a lo mas 4.


A continuacion, se presenta una figura donde se encuentra una cadena enG2. Como se puede ver, esta cadena esta saturada.

α

β + 2αβ + α β + 3αβ

Figura 2.6: La α-cadena que pasa por β en G2.

Una presentacion alternativa de los sistemas de raıces es a traves de lascadenas. A continuacion, veremos como podemos reemplazar los axiomas(R3) y (R4) en terminos de las propiedades que hemos desarrollado para lascadenas de raıces.

Teorema 2.9. Sea Φ un conjunto finito de generadores del espacio euclidianoE que satisface (R2). Una condicion necesaria y suficiente para que Φ seaun sistema de raıces en E es la siguiente

(C) Para dos vectores α y β en Φ que sean linealmente independientes,existen dos enteros no negativos r y q, maximales tales que β +kα ∈ Φpara todo entero −r ≤ k ≤ q y tambien satisfacen |β, α| = r − q.

Demostracion. La necesidad es clara en este momento por el Corolario 2.7y la discusion previa a la Proposicion 2.8. Para la suiciencia, como Φ esun conjunto de generadores, (R1) se satisface. Por (C), los productos |γ, δ|son r − q o bien ±2, que son enteros y se tiene ası (R4); ademas que −r ≤−(r−q) ≤ q ası que Rα(β) = β−(r−q)α ∈ Φ por lo que (R3) se cumple.

Gracias a este resultado, ahora tenemos una manera equivalente de veri-ficar si un determinado subconjunto de un espacio euclidiano es un sistema deraıces. Cuando estudiemos algebras de Lie semisimples y sus raıces, haremosuso de este Teorema para demostrar que el conjunto de raıces de un algebrade Lie semisimple es un sistema de raıces como se estudia en este capıtulo.


Sistema de raıces de rango 2

El proposito de esta subseccion es presentar la clasificacion completa de lossistemas de raıces de rango 2. Los argumentos que presentaremos ilustranel manejo de los axiomas de sistemas de raıces y el uso de la Tabla 2.1.Procederemos por casos:

(i) Sean α y β dos raıces ortogonales en Φ. Por (R2), sabemos que±α,±β ⊂ Φ y si no hay mas elementos en Φ, es claro que es unsistema de raıces isomorfo a A1 × A1.

(ii) Sea α una raız y supongamos que β es otra raız que forma un angulode 5π

6con α. Por el axioma (R3), tenemos que Rα(β),Rβ(α) ∈ Φ.

Luego, RαRβ(α) y RβRα(β) tambien deben de ser raıces. Agregandolos negativos de estos vectores, tenemos un subconjunto de Φ que esisomorfo a G2.

α

β Rα(β)Rβ(α)

RβRα(β)

RαRβ(α)

Si existiera un vector mas en Φ, digamos γ, tendrıamos que γ es unmultiplo no valido de alguna otra raız α o bien, que el angulo que formacon α no se encuentra en la Tabla 2.1, lo que es absurdo en cualquierade los dos casos.

(iii) Ahora, tomemos dos raıces α y β que formen un angulo de 3π4

. Nueva-mente, por (R3), tenemos que Rα(β) y Rβ(α) son raıces y el subcon-junto de Φ conformado por estos vectores y sus negativos es un sistemade raıces isomorfo a B2.


α

Rβ(α) Rα(β)β

De nueva cuenta, por la restriccion en los angulos y (R2), no hay ningunotro vector en Φ.

(iv) Finalmente, si tenemos dos raıces α y β a un angulo de 2π3

, entonces elsubconjunto de Φ que consta de los vectores ±α,±β y ±Rα(β) es unsistema de raıces isomorfo a A2.

α

β Rα(β)

Si existiera un vector δ que forme un angulo de π6

con α, tendrıamosque Rα(δ) forma un angulo de 5π

6con α y ası (Rα(δ), δ) < 0. Por la

Proposicion 2.6, Rα(δ) + δ es una raız y es ortogonal a α. Todo estonos genera un sistema de raıces isomorfo a G2.

Es claro, por la Tabla 2.1, que no podemos tener un vector δ que tengaun angulo de π

4o de 3π

4con α.

Esta es la clasificacion completa de sistemas de raıces de rango 2. Noteseque el sistema A1 ×A1 puede ser descompuesto como la union de dos subsis-temas mutuamente ortogonales, mientras que A2, B2 y G2 no gozan de dichapropiedad.

Analizando el sistema G2, podemos ver que solo existen dos longitudesdiferentes de raıces y mas adelante, veremos que tan comun es este hechoen sistemas de raıces irreducibles. Ademas, podemos ver a A2 como el sub-sistema de G2 que consta de todas las raıces de longitud corta; tambienpodemos encontrar tres copias isomorfas de A1 ×A1 en G2 y dos mas en B2.Es decir, los sistemas G2 y B2 contienen a todos los sistemas de rango 2 comosubsistemas.


2.2 Bases y Raıces simples

En esta seccion, concentraremos nuestra atencion a un subconjunto del sis-tema de raıces que nos describa de manera adecuada el comportamiento delresto de las raıces. Tambien presentaremos algunas propiedades de las raıcessimples que nos ceran de utilidad posteriormente.

Bases

Uno de los conceptos importantes del Algebra Lineal es el de base de unespacio vectorial. Entre otras aplicaciones, las bases facilitan muchos de losresultados del algebra lineal en el estudio de un numero finito de vectoresque representan de manera adecuada la estructura lineal del espacio.

En el caso de las bases para los sistemas de raıces, sera necesario estableceruna condicion que nos ayude a estudiar la estructura de los sistemas de raıces,en particular, la integridad de los numeros |γ, δ|.

Definicion 2.4. Sea E un espacio euclidiano de dimension ℓ y Φ un sistemade raıces en E. Un subconjunto ∆ de Φ se llama una base de Φ si satisfacelas siguientes dos condiciones:

(B1) ∆ es una base de E,

(B2) cada raız β puede ser escrita como

β =∑

α∈∆

kαα (2.5)

con coeficientes enteros kα, todos no negativos o bien, todos no posi-tivos.

Es un hecho elemental del algebra lineal que el numero de elementos deuna base ∆, que denotaremos por |∆|, es ℓ. Ademas, si fijamos una base ∆de Φ, se tiene que la expresion (2.5) es unica para cada raız β ∈ Φ, salvo elorden en que aparecen los sumandos.

En lo que resta de esta seccion, trabajaremos en un espacio euclidiano E

de dimension ℓ y Φ sera un sistema de raıces en E.

2.2 Bases y Raıces simples 23

Ejemplo 2.2.1. En R2, considere el sistema de raıces A2. Tomemos α =

(1, 0) y β =(

12,√

32

)para formar el subconjunto α, β ⊂ A2. De la siguiente

figura se observa que α, β es una base para A2.

α−α

α + β

−α − β

β

−β

Figura 2.7: Una base para A2.

Ahora, el conjunto −α, β satisface claramente (B1), sin embaro, nopuede ser una base de A2 ya que se tiene la raız (−α)−β que no satisface lacondicion (B2). Este hecho muestra la independencia de los axiomas (B1) y(B2).

A continuacion, definiremos una funcion que a cada raız de Φ le asig-nara un numero entero que nos ayudara para la demostracion de resultadosposteriores.

Definicion 2.5. Sea Φ un sistema de raıces en E y ∆ una base de Φ. Sedefine la altura de una raız β =

∑α∈∆ kαα con respecto a la base ∆ como

alt(β) =∑

α∈∆

kα.

Por el axioma (B2), la altura de cualquier raız es un numero entero yalt(β) = 1 si y solo si β ∈ ∆. Notese que la altura de una raız siempre esdiferente de cero.

Ejemplo 2.2.2. Considere el sistema de raıces G2 y sea

∆ =

α = (1, 0), β =

(−3

2,

√3

2

).

Se puede verificar sin complicaciones que ∆ es una base para G2. Si γ =(0,

√3) ∈ G2, entonces γ = 3α + 2β y se tiene alt(γ) = 5.


Definicion 2.6. Sea Φ un sistema de raıces en E y ∆ una base de Φ. Siβ es una raız para la cual todos los coeficiontes kα en la expresion (2.5) sonno negativos, diremos que β es una raız positiva con respecto a ∆ y lodenotaremos por el sımbolo β ≻ 0. Analogamente, si β es una raız para lacual los coeficientes kα de la expresion (2.5) son todos no positivos, diremosque β es un raız negativa con respecto a ∆ y se denota por β ≺ 0.

Al conjunto de raıces positivas con respecto a ∆ lo denotaremos por Φ+

y al conjunto de raıces negativas con respecto a ∆ por Φ−.

Ejemplo 2.2.3. Considere el ejemplo 2.2.1. Claramente, Φ+ = α, β, α+β.

Claramente se tiene Φ− = −Φ+, ası que solo bastara con estudiar lasraıces positivas de un sistema de raıces. Otro hecho evidente es que si α y βson raıces positivas con respecto a ∆ y ademas α + β es una raız, entoncesα + β tambien sera una raız positiva con respecto a ∆.

Hasta este momento, no es evidente que todo sistema de raıces posee unabase, pero en lo que sigue, mostraremos que en efecto, las bases para unsistema de raıces existen. Para esto, necesitamos algunas definiciones.

Definicion 2.7. Sea Φ un sistema de raıces en E. Para cada vector v ∈ E,se define el conjunto

Φ+(v)def= α ∈ Φ : (v, α) > 0 .

Verbalmente, el conjunto Φ+(v) es el conjunto de todas las raıces queestan en la parte positiva del hiperplano Pv.

Ejemplo 2.2.4. Considere el sistema de raıces A1×A1 con la siguiente base(1, 0), (0, 1). Si v = (1,−1), entonces el conjunto Φ+(v) es el conjunto(1, 0), (0,−1).

Es claro que la union finita de hiperplanos no cubre a todo el espacio E,ası que tiene sentido hacer la siguiente definicion.

Definicion 2.8. Sea Φ un sistema de raıces en E. Diremos que un vector v

de E es regular con respecto a Φ si v no esta en ningun hiperplano ortogonala alguna raız en Φ, es decir, v ∈ E−⋃

α∈Φ Pα; diremos que es singular conrespecto a Φ en otro caso.


Ejemplo 2.2.5. Considere el sistema de raıces A2 con base

α = (1, 0), β =

(−1

2,

√3

2

).

Recuerde que Pγ = P−γ para cualquer vector γ ∈ E. En la siguiente figura,las lineal punteadas denotan los conjuntos de vectores singulares de A2 ycualquier otro vector es regular.

α

β

Pα

Pβ

Pα+β

Figura 2.8: Vectores regulares y singulares de A2.

En este caso, todas las raıces son vectores regulares con respecto a A2.Si consideramos el sistema A1 × A1 con la base α = (1, 0), β = (0, 1), elconjunto de vectores singulares es Spanα∪Spanβ y aquı, todas las raıcesson singulares.

β

α

Figura 2.9: Vectores singulares y regulares de A1 × A1.

Cuando v es regular con respecto a Φ, es claro que Φ se puede escribircomo Φ+(v) ∪ [−Φ+(v)], ya que v no es ortogonal a ninguna raız, es decir,(v, α) 6= 0 para toda α ∈ Φ.


Definicion 2.9. Sea Φ un sistema de raıces en E y v un vector regular conrespecto a Φ. Diremos que α ∈ Φ+(v) es una raız descomponible si sepuede escribir como suma de dos raıces en Φ+(v), es decir, si existen β, γ ∈Φ+(v) tales que α = β + γ; diremos que α es una raız indescomponible enotro caso.

Como Φ+(v) es un conjunto finito, no todas sus raıces pueden ser des-componibles y ası, siempre existen raıces indescomponibles en un sistemade raıces. Al conjunto de todas las raıces indescomponibles en Φ+(v) lodenotaremos por ∆(v).

Ejemplo 2.2.6. Considere el sistema de raıces G2 y sea v = (1, 1). Clara-mente, v es un vector regular con respecto a G2. Las raıces indescomponibles

en Φ+(v) son α = (1, 0) y β =(−3

2,√

32

)y se tiene

Φ+(v) = α, β, γ1, γ2, γ3, γ4,

como se muestra en la siguiente figura

γ2γ1

γ4

γ3

α

β v

Figura 2.10: Raıces descomponibles e indescomponibles en G2.

El conjunto de raıces descomponibles en este caso consta de los vectoresγ1 = α + β, γ2 = α + γ1, γ3 = α + γ2 y γ4 = β + γ3.

Ahora, presentamos un criterio que usaremos para saber si un subcon-junto de raıces de Φ es una base para Φ.


Proposicion 2.10. Si ∆ es una base de Φ, entonces (α, β) ≤ 0 para cuales-quiera dos raıces diferentes α y β en ∆ y ademas, α − β no es raız.

Demostracion. Supongamos que (α, β) > 0. Como α 6= β, es evidente queα 6= ±β y la Proposicion 2.6 implica que α−β es raız, lo que es absurdo porel axioma (B2).

Con estos conceptos, probaremos el siguiente resultado.

Teorema 2.11. Todo sistema de raıces Φ en un espacio euclidiano E tieneuna base.

La prueba nos dara un metodo para construir todas las posibles bases deΦ y el algoritmo se encuentra en el siguiente Lema.

Lema 2.12. Sea v un vector regular, entonces el conjunto ∆(v) de todas lasraıces indescomponibles en Φ+(v) es una base para Φ y toda base se obtienende este modo.

Demostracion. Procederemos por pasos:

(1) Cada raız en Φ+(v) es una combinacion Z-lineal de elementos en ∆(v)con coeficientes no negativos.

Si suponemos lo contrario, algun α ∈ Φ+(v) no puede ser escritacomo una combinacion lineal con coeficientes enteros de raıces inde-scomponibles; escojamos α tal que (v, α) sea lo mas pequena posible.Obviamente, α /∈ ∆(v), ası que α = β + γ con β, γ ∈ Φ+(v) y portanto, (v, α) = (v, β)+ (v, γ). Pero (v, β) y (v, γ) son ambos positivosy menores que (v, α) lo que es absurdo.

(2) Si α, β ∈ ∆(v), entonces (α, β) ≤ 0, a menos que α = β.

Tomemos α 6= β y supongamos que (α, β) > 0, por la Proposicion 2.6,α − β ∈ Φ y como α 6= −β, se concluye que α − β, o bien β − α, debeser una raız en Φ+(v). Si α − β ∈ Φ+(v), entonces α = β + (α − β)lo que hace a α descomponible. Analogamente, si β − α ∈ Φ+(v),tendremos que β es descomponible. De cualquier modo, llegamos auna contradiccion con la eleccion de α y β.


(3) ∆(v) es linealmente independiente.

Supongamos que∑

α∈∆(v) rαα = 0; separemos los ındices para los que

rα ≥ 0 (denotemoslos sα) y los que rα < 0 (denotemoslos −tβ). De estamanera tendremos

∑α sαα−∑

β tββ = 0, es decir,∑

α sαα =∑

β tββ.Sea w =

∑α sαα, entonces

0 ≤ (w,w) =

(∑

α

sαα,∑

β

tββ

)=

∑

α,β

sαtβ(α, β) ≤ 0,

donde la ultima desigualdad se tiene por el paso (2) y sα, tβ ≥ 0.Podemos inferir ahora que w = 0 y 0 = (v,w) =

∑α sα(v, α), lo que

implica que sα = 0. Similarmente, tenemos que tβ = 0 y ası, todos losrα son cero.

(4) ∆(v) es una base para Φ.

El paso (1) nos dice que ∆(v) genera a Φ+(v) y como v es regular,tenemos que Φ = Φ+(v) ∪ [−Φ+(v)]. Ası, ∆(v) satisface la condicion(B2). Se sigue que ∆(v) genera a todo E, pues Φ lo hace, y por el paso(3) tenemos que ∆(v) satisface la condicion (B1).

(5) Cada base ∆ de Φ es de la forma ∆(v) para algun v ∈ V regular.

Dada una base ∆, escojamos v ∈ E tal que (v, α) > 0 para todo αsimple, lo que siempre es posible (tomese la suma de todos los elementosde la base). Si β ∈ Φ escribimos β =

∑α∈∆ bαα, donde bα son todos

no negativos o todos no positivos pero no todos son cero, lo que impideque se anule el numero

(v, β) =∑

α

bα(v, α).

Ası, para todo α ∈ Φ el vector v no esta en Pα, y se concluye que v esregular. Ahora, si β ∈ Φ+, entonces β =

∑α bαα con bα ≥ 0 y por la

forma en que elegimos v, se tiene que

(v, β) =∑

α

bα(v, α) ≥ 0,


de lo cual inferimos la contecion Φ+ ⊂ Φ+(v) y tambien Φ− = −Φ+ ⊂−Φ+(v). Por la eleccion de v, se sigue la igualdad. Como Φ+ =Φ+(v), ∆ debe de consistir unicamente de elementos indescomponibles,en otras palabras, tenemos que ∆ ⊂ ∆(v). Pero |∆| = |∆(v)|, puesambos conjuntos son bases de E, y se tiene entonces que ∆ = ∆(v).

El siguiente resultado sera de utilidad en la siguiente subseccion.

Corolario 2.13. Un subconjunto finito v1,v2, . . . ,vk de un espacio eu-clidiano E que satisface (vi,vj) ≤ 0 para todo i 6= j es un subconjuntolinealmente independiente.

Demostracion. Este resultado es lo que se muestra en el paso (3) de la de-mostracion del Lema 2.12.

Ejemplo 2.2.7. Consideremos el sistema de raıces B2 y sea v = (1, 2).

α

β

v

w

Figura 2.11: La base ∆(v) = α, β para B2.

Claramente, v es un vector regular con respecto a B2 y las raıces enΦ+(v) son (1, 0), (1, 1), (0, 1) y (−1, 1). Si α = (1, 0) y β = (−1, 1), podemosverificar mediante un calculo rutinario las relaciones

(0, 1) = β + α, (1, 1) = (0, 1) + α,

por lo que ∆(v) = α, β. Ahora, si w =(−1

2,−1

)es claro que tambien es

un vector regular para B2 y el conjunto

Φ+(w) = (−1, 0), (−1,−1), (0,−1), (1,−1).

Ası, la base que se obtiene es ∆(w) = −α,−β.


Propiedades de las raıces simples

En esta subseccion estudiaremos un poco sobre el comportamiento de lasraıces que forman una base de un sistema de raıces. Primero que nada,daremos la siguiente definicion.

Definicion 2.10. Sea ∆ una base de Φ. Diremos que α es una raız simple

de Φ con respecto a ∆ si α ∈ ∆.

En esta seccion, dejaremos fija una base ∆ de un sistema de raıces Φ yal decir raız simple significara raız simple con respecto a esta base. Comen-zaremos con dos resultados algebraicos que usaremos mas adelante.

Proposicion 2.14. Si α es una raız positiva pero no es simple, entoncesα − β es una raız, necesariamente positiva, para alguna raız simple β.

Demostracion. Si (α, β) ≤ 0 para todo β ∈ ∆, podemos aplicar el Corolario2.13 al conjunto ∆∪α y concluir que es un conjunto linealmente indepen-diente, lo que es absurdo ya que ∆ es una base de E. Ası, existe β ∈ ∆ talque (α, β) > 0; como β ∈ ∆ y α /∈ ∆, es claro que β 6= α y si α = −βtendrıamos que (α, β) < 0. Por tanto, α y β no son proporcionales y apli-camos la Proposicion 2.6 para obtener α − β ∈ Φ.

Escribamos α =∑

γ∈∆ kγγ, donde kγ ≥ 0 y algun kδ > 0 con δ 6= β, loque es posible pues α 6= β. Restando β a α tenemos una combinacion Z-lineal de raıces simples con al menos un coeficiente positivo, a saber, kδ. Estoforza a que todos los coeficientes de la representacion de α − β en terminosde raıces simples sean no negativos.

Ejemplo 2.2.8. En el sistema A2 con la base

∆ =

α = (1, 0), β =

(−1

2,

√3

2

),

se tiene la raız positiva γ =(

12,√

32

). Es evidente que γ puede escribirse

como α + β de donde se concluye que γ no es simple ya que alt(γ) = 2 6= 1.En este caso, tanto el vector γ − α = β como γ − β = α son raıces positivascon respecto a ∆.


Corolario 2.15. Cada raız positiva β puede ser escrita en la forma∑k

i=1 αi,con αi ∈ ∆ no necesariamente distintos, de tal manera que cada suma parcial∑s

i=1 αi es una raız, con 1 ≤ s ≤ k.

Demostracion. Procederemos por induccion sobre alt(β). Cuando alt(β) =1, se tiene que β es simple y se sigue la conclusion del corolario. Supongamosque toda raız positiva de altura menor que k cumple la conclusion del coro-lario y tomemos una raız β ∈ Φ+ de altura k > 1. Claramente β no es simple.Por la Proposicion 2.14, existe γ ∈ ∆ tal que β − γ ∈ Φ+ y evidentementealt(β − γ) = k − 1. Por hipotesis inductiva, tenemos que

β − γ =k−1∑

i=1

αi,

donde cada raız αi es simple y cada suma parcial es raız. Si hacemos αk = γ,se tiene el resultado.

Ahora, veremos algunos resultados geometricos relacionados con las re-flexiones determinadas por los hiperplanos ortogonales a las raıces simples.

Proposicion 2.16. Sea α una raız simple y Rα la reflexion determinadapor el hiperplano ortogonal a α, entonces Rα permuta las raıces positivasdiferentes de α.

Demostracion. Sea β una raız positiva diferente de α y escribamos

β =∑

γ∈∆

kγγ,

con kγ enteros no negativos. Es claro que β no es proporcional a α, pues−α ∈ Φ−, ası, kδ 6= 0 para algun δ 6= α. Notese que el coeficiente de δ enRα(β) sigue siendo kδ > 0 y forzosamente se tiene Rα(β) ∈ Φ+. Mas aun,Rα(β) 6= α pues la imagen de α bajo Rα es −α.

Corolario 2.17. Si δ = 12

∑β≻0

β, entonces Rα(δ) = δ − α para toda α ∈ ∆.

Demostracion. Por linealidad de las reflexiones,

Rα(δ) =1

2

∑

β≻0

Rα(β).


Supongamos que hay s raıces positivas, es decir, Φ+ = β1, . . . , βs−1, α.Por la Proposicion 2.16, sabemos que para i ∈ 1, 2, . . . , s − 1 existe un jen el mismo conjunto de ındices tal que Rα(βi) = βj; ademas, es claro queRα(α) = −α. Ası, obtenemos

Rα(δ) =1

2

(s−1∑

i=1

βi − α

)

=1

2

(s−1∑

i=1

βi − α + α − α

)

=1

2

(∑

β≻0

β − 2α

)

= δ − α.

Note tambien que esto implica la igualdad |δ, α| = 1 para toda α ∈ ∆.

Proposicion 2.18. Sean α1, . . . , αt ∈ ∆, no necesariamente distintas, yescribamos Ri = Rαi

. Si R1 R2 · · · Rt−1(αt) es negativa, entonces

R1 R2 · · · Rt = R1 · · · Rs−1 Rs+1 · · · Rt−1,

para algun ındice 1 ≤ s < t.

Demostracion. Escribamos βi = Ri+1 · · · Rt−1(αt), para 0 ≤ i ≤ t − 2y βt−1 = αt. Como β0 es negativo y βt−1 es positivo, podemos encontrar elındice s mas pequeno para el cual βs ≻ 0, entonces Rs(βs) = βs−1 ≺ 0 y porla Proposicion 2.16, βs = αs. Tenemos que Rβs

= RRs+1···Rt−1(αt) y por laProposicion 2.2,

Rs = (Rs+1 · · · Rt−1) Rt (Rt−1 · · · Rs+1).

Ahora, vemos que

R1 · · · Rs−1Rs Rs+1 · · · Rt−1 Rt =

R1 · · · Rs−1 [(Rs+1 · · · Rt−1) Rt (Rt−1 · · · Rs+1)]

Rs+1 · · · Rt−1 Rt;

como R2i = id, se tiene el resultado.

Corolario 2.19. Si S = R1 R2 · · · Rt es una expresion en terminos dereflexiones correspondientes a raıces simples para S, con t tan pequeno comosea posible, entonces S(αt) ≺ 0.

2.3 Camaras de Weyl y el grupo de Weyl 33

2.3 Camaras de Weyl y el grupo de Weyl

En esta seccion, presentamos dos conceptos que nos auxiliaran en el estudiode los sistemas de raıces. Los conceptos presentados aquı lleban el nombre deuno de los matematicos que mas contribuyeron a la simplificacion del trabajode Killing y Cartan.

Camaras de Weyl

En esta subseccion, estudiaremos algunos subconjuntos que se relacionannaturalmente con los conceptos de vectores regulares e hiperplanos ortogo-nales a las raıces de un sistema de raıces. Primero, recordaremos un poco deTopologıa.

El espacio euclidiano E posee una estructura topologica inducida por elproducto interior. La topologıa de E es la confomada por los conjuntos quepueden ser escritos como uniones de conjuntos de la forma

w ∈ E : 〈v − w,v − w〉1/2 < r,

para algun vector v ∈ E y un numero positivo r. A cada subconjunto de E,se le puede dotar de la topologıa relativa, es decir, si A es un subconjuntode E, entonces los abiertos de A seran abiertos de E intersectados con A.Tambien, es importante dar la siguiente definicion.

Definicion 2.11. Un subconjunto A de el espacio euclidiano E es llamadoun conjunto conexo si es imposible expresarlo como la union disjunta de dossubconjuntos abiertos y no vacıos de E.

Los hiperplanos Pα, con α ∈ Φ, parten al espacio en un numero finito deregiones, las cuales estudiaremos a continuacion.

Definicion 2.12. Sea Φ un sistema de raıces en E. Una camara de Weyl

(abierta) de Φ es un subconjunto abierto y conexo maximal del espacio E −⋃α∈Φ Pα, donde E − ⋃

α∈Φ

Pα se concidera con la topologıa relativa de E.

Si un vector v ∈ E pertenece a una camara de Weyl de Φ, denotaremosa tal camara de Weyl por el sımbolo C(v).


Notese que la union disjunta de las camaras de Weyl y los hiperplanosortogonales a las raıces cubren a todo el espacio E. Ademas, los vectoresen las camaras de Weyl son regulares y cada vector regular esta en algunacamara de Weyl.

Ejemplo 2.3.1. Considere el sistema de raıces A2. En la siguiente figura,se muestran las regiones de R2 que conforman las camaras de Weyl de A2 yobservan dos vectores regulares, v y w, en sus correspondientes camaras deWeyl C(v) y C(w), respectivamente.

QQ

QQ

Q

QQ

QQ

QQ

QQQ

QQQ

QQQ

´´

´´

´

´´

´´

´´

´ ´´

´ ´´´

-¾

Á

À

JJ

JJ

JJJ]

JJ

JJ

JJJ

BBBBNv

C(v)

££

£££°

w

C(w)

Figura 2.12: Camaras de Weyl en A2.

El siguiente resultado, nos muestra la relacion tan estrecha que hay entrelas camaras de Weyl de un sistema de raıces y las bases de tal sistema.

Teorema 2.20. Existe una correspondencia uno-a-uno entre las camaras deWeyl de un sistema de raıces Φ y sus bases.

Demostracion. Si C(v) = C(w), entonces v y w estan del mismo lado decada hiperplano Pα para cada α ∈ Φ. Esto implica que los numeros 〈v, α〉 y〈w, α〉 tienen el mismo signo para toda raız α ∈ Φ, es decir, Φ+(v) = Φ+(w).Ahora es claro que ∆(v) = ∆(w).


Por el algoritmo presentado en el Lema 2.12, sabemos que cada vectorregular v con respecto a Φ determina una base ∆(v) del sistema de raıces Φ.Ahora, daremos la definicion de una camara de Weyl importante que tendraasociada una base del sistema de raıces.

Definicion 2.13. Sean Φ un sistema de raıces en E, v un vector regularpara Φ y ∆(v) la base de Φ que se construye en el Lema 2.12. La camara

fundamental de Weyl para Φ con respecto a ∆(v) es la camara C(v) y sedenotara por el sımbolo C(∆).

Podemos describir C(∆) como el conjunto convexo abierto que consistede todos los vectores w ∈ E que satisfacen (w, α) > 0 para todo α ∈ ∆.

Ejemplo 2.3.2. Consideremos el sistema de raıces B2 con la base ∆((1, 2)) =α = (1, 0), β = (−1, 1) construida en el ejemplo 2.2.7. Claramente, lacamara fundamental de B2 con respecto a esta base es

C(∆) = (x, y) ∈ R2 : x ∈ R, x < y,

como se muestra en la siguiente figura:

α

βC(∆)


Nota. Si consideramos a E−⋃α∈Φ Pα como espacio topologico y definimos

la relacion de equivalencia

v ∼ w si y solo si (v, α)(w, α) > 0 para todo α ∈ Φ,

entonces las camaras de Weyl son los elementos del espacio cociente, esdecir,

[(E − ⋃

α∈Φ Pα

)/ ∼

]= C(v) : v es regular con respecto a Φ.


El grupo de Weyl

A cada sistema de raıces Φ en el espacio euclidiano E, le asociaremos ungrupo, cuya accion en el sistema de raıces sera de mucha ayuda en el tratamientode los sistemas irreducibles.

Definicion 2.14. Sea Φ un sistema de raıces en un espacio euclidiano E. Elgrupo de Weyl de Φ es el subgrupo de GL(E) generado por las reflexionesRα, llamadas reflexiones de Weyl, donde α ∈ Φ, y es denotado por W .

Por el axioma (R1), sabemos que Φ es un conjunto finito y genera a E,por lo que W es un grupo finito.

Por el axioma (R3), cada elemento del grupo de Weyl deja invariante aΦ, y por la invertibilidad de los elementos del grupo de Weyl, se tiene que W

permuta al conjunto Φ, es decir, se identifica con un subgrupo de permuta-ciones en Φ.

Como cada elemento de W es un producto de reflexiones de Weyl, y cadareflexion de Weyl es una isometrıa de E, se sigue que los elementos del grupode Weyl son isometrıas de E. En particular, los elementos del grupo de Weylpreservan los numeros |γ, δ| para cualesquier pareja de raıces γ, δ ∈ Φ. Acontinuacion, presentaremos los grupos de Weyl para los sistemas de raıcesde rango 2 y podremos darnos cuenta de que no son grupos desconocidos, enestos casos.

Ejemplo 2.3.3. Considere el sistema de raıces A1 × A1. Las reflexiones deWeyl estan representadas por las matrices

(−1 0

0 1

)y

(1 00 −1

),

las cuales conmutan, son de orden 2 (involuciones) y generan un grupo deorden 4. A este grupo se le conoce con el nombre de cuatro-grupo de Klein

y es usualmente denotado por V (pues en aleman, cuatro-grupo se escribevier-gruppe).

Ejemplo 2.3.4. En el sistema de raıces A2 tomemos α = (1, 0) y β =(−1

2,√

22

). Las matrices que representan a las reflexiones Rα y RαRβ son

(−1 0

0 1

)y

(−1

2

√3

2

−√

32

−12

).


Se puede mostrar que las reflexiones de estas dos matrices generan el grupo deWeyl de A2. Sabemos que la matriz de Rα es de orden 2 y se puede verificarque la matriz de RαRβ es de orden 3; ademas, podemos verificar medianteun calculo matricial la relacion

(−1 0

0 1

) (−1

2

√3

2

−√

32

−12

)(−1 0

0 1

)=

(−1

2

√3

2

−√

32

−12

)−1

.

De la Teorıa de Grupos, sabemos que este es un grupo isomorfo al grupodiedro de 6 elementos (grupo de simetrıas del triangulo equilatero), queusualmente es denotado por D3.

Ejemplo 2.3.5. Para el sistema de raıces B2, tomemos α = (1, 0) y β =(−1, 1). El procedimiento para encontrar una presentacion para el grupode Weyl de B2 sera el mismo que en el ejemplo 2.3.4. El grupo de Weylesta generado por la reflexion Rα y la rotacion RαRβ que tiene como matrizrepresentante a (

0 1−1 0

).

Las relaciones que satisfacen estos operadores son R2α = (RαRβ)4 = id y

(Rα)(RαRβ)(Rα)−1 = (RαRβ)−1 por lo que el grupo de Weyl de B2 es iso-morfo al grupo diedro de 8 elementos (el grupo de simetrıas del cuadrado)que se denota usualmente por D4.

Ejemplo 2.3.6. Para el caso de G2, tomemos α = (1, 0) (como antes) y

γ =(−3

2,√

32

). El grupo de Weyl de G2 esta generado por la reflexion Rα y

la rotacion RαRγ que esta representada por la matriz

(12

√3

2

−√

32

12

),

que satisfacen las relaciones R2α = (RαRγ)

6 = id y (R2α)(RαRγ)(Rα)−1 =

(RαRγ)−1. Por tanto, el grupo de Weyl de G2 es isomorfo al grupo diedro

de 12 elementos (el grupo de simetrıas del hexagono) que usualmente sedenota por D6.


Sea ϕ : E → E′ un isomorfismo entre los sistemas de raices Φ y Φ′, porla Proposicion 2.3 tenemos el siguiente diagrama conmutativo:

E

ϕ

²²

Rα // E

ϕ

²²E′

Rϕ(α)

// E′

Ası, para cada α ∈ Φ se satisface la igualdad ϕRα = Rϕ(α)ϕ, por lo que unisomorfismo de sistemas de raıces induce de manera natural un isomorfismoS′ 7→ ϕSϕ−1 de los grupos de Weyl W y W ′.

Tambien, por la Proposicion 2.2, un automorfismo de Φ es lo mismo queun automorfismo de E que deja invariante a Φ. En particular, podemos con-siderar a W como subgrupo normal de Aut Φ (grupo de automorfismos de Φ).

El siguiente resultado, muestra como actua el grupo de Weyl en lascamaras de Weyl.

Proposicion 2.21. Si S ∈ W , entonces S (C(v)) = C (S(v)), es decir, elgrupo de Weyl manda a una camara de Weyl sobre otra.

Demostracion. Supongamos que S(C(v)) no esta contenido en E−⋃α∈Φ Pα,

entonces existe w ∈ C(v) con S(w) ∈ ⋃α∈Φ Pα y ası, existe α0 ∈ Φ tal que

0 = (S(w), α0) = (w, S−1(α0)). Por tanto, w es ortogonal a la raız S−1(α0),lo que es imposible. Se concluye ahora que S (C(v)) ⊂ E − ⋃

α∈Φ Pα.

Claramente, C (S(v)) es una camara de Weyl y cualqueir w ∈ C(S(v)) secaracteriza por satisfacer la ecuacion (w, α)(S(v), α) > 0 para toda α ∈ Φ.Ası, tenemos que probar que S (C(v)) es abierto, conexo y contiene a C(S(v)).

Para probar que S (C(v)) es un conjunto abierto y conexo, recordemosque la imagen continua de un conjunto conexo es conexo y como todos loselementos del grupo de Weyl son funciones continuas, se tiene que S (C(v))es conexo. Luego, se puede demostrar sin complicaciones que las reflexionestransforman conjuntos abiertos en abiertos, de hecho, la imagen del con-junto w ∈ E : 〈v − w,v − w〉1/2 < r bajo una reflexion R es el conjunto

w ∈ E : 〈(Rv) − w,R(v) − w〉1/2 < r.


Para probar C (S(v)) ⊂ S (C(v)), sea w ∈ C (S(v)) y α ∈ Φ, entonces(S−1(w), α) = (w, S(α)) y ası

(S−1(w), α)(v, α) = (w, S(α))(S(v), S(α)) > 0,

por lo que S−1(w) ∈ C(v), pero esto sucede si y solo si w ∈ S(C(v)), que eslo que deseamos.

Por otro lado, W permuta las bases de Φ: S manda a ∆ sobre S(∆) quees una base pues W deja invariante a Φ y consiste de operadores linealesinvertibles que preservan el producto interior.

La manera en que actua el grupo de Weyl de un sistema de raıces Φ ensus camaras de Weyl y en sus bases son compatibles con la correspondenciamencionada anteriormente entre camaras de Weyl y bases en el Teorema 2.20.Explicitamente, tenemos S(∆(v)) = ∆(S(v)), ya que (S(v), S(α)) = (v, α).

En el siguiente resultado, se presentan algunas de las propiedades impor-tantes del grupo de Weyl.

Teorema 2.22. Sea ∆ una base de Φ.

(a) Si v es regular, existe S ∈ W tal que (S(v), α) > 0 para toda α ∈ ∆.(W actua transitivamente en las camaras de Weyl).

(b) Si ∆′ es otra base de Φ, entonces S(∆′) = ∆ para algun S ∈ W .(W actua transitivamente en las bases).

(c) Si α ∈ Φ, existe S ∈ W tal que S(α) ∈ ∆.(Cada raız pertenece a alguna base).

(d) W esta generado por las reflexiones Rα, con α ∈ ∆, las cuales sonllamadas reflexiones simples.

(e) Si S ∈ W tal que S(∆) = ∆, entonces S = 1.(W actua simplemente transitivamente en las bases).

Demostracion. Sea W ′ el subgrupo de W generado por las reflexiones sim-ples. Probaremos (a)-(c) para W ′ y luego probaremos que W = W ′.


(a) Escribamos δ = 12

∑α≻0 α y escojamos S ∈ W ′ para el cual (S(v), δ)

sea tan grande como sea posible. Si α ∈ ∆, entonces RαS ∈ W ′ ası quela eleccion de S implica que

(S(v), δ) ≥ (RαS(v), δ)

= (S(v),Rα(δ))

= (S(v), δ − α) por el Corolario 2.17

= (S(v), δ) − (S(v), α).

Esto fuerza a que (S(v), α) ≥ 0 para toda α ∈ ∆. Como v es regular,(R(v), α) > 0 para toda raız simple α. Por tanto, S(v) esta en lacamara fundamental de Weyl y S manda a C(v) en C(∆).

(b) Como W ′ permuta las camaras de Weyl, tambien lo hace con las bases.

(c) Por (b), es suficiente probar que cada raız pertenece a alguna base.Como las unicas raıces proporcionales a α son ±α, los hiperplanosPβ son distintos a Pα, cuando β 6= ±α. Ası, existe v ∈ Pα tal quev /∈ Pβ para toda β 6= ±α; escojamos w suficientemente cerca de v

tal que (w, α) = c > 0 mientras que |(w, β)| > c para toda β 6= ±α.Evidentemente, α ∈ ∆(w).

(d) Para mostrar que W = W ′, es suficiente ver que cada reflexion deWeyl esta en W ′. Usando (c), para α ∈ Φ existe S ∈ W ′ tal queβ = S(α) ∈ ∆, entonces Rβ = RS(α) = SRαS−1, por la Proposicion 2.2.Por tanto, Rα = S−1RβS ∈ W ′.

(e) Supongamos que S(∆) = ∆ y S 6= 1. Si S se escribe minimalmente comoun producto de una o mas reflexiones simples, entonces se contradiceel Corolario 2.19.

Ejemplo 2.3.7. En el sistema de rapices A2 con la base

∆ =

α = (1, 0), β =

(−1

2,

√3

2

),

considere la camara de Weyl C(β). Es claro que la relfexion Rα transformaa C(β) en la camara fundamental C(∆) ya que Rα(β) = α+β y sabemos que〈α + β, α〉 y 〈α + β, β〉 son positivos.


Por el inciso (d) del Teorema 2.22, podemos escribir a cada elemento S

del grupo de Weyl W de Φ como S = Rα1 · · · Rαt, con αi ∈ ∆ y t minimal.

Esto nos determina la siguiente descomposicion de los elementos del grupode Weyl como producto de reflexiones simples.

Definicion 2.15. Sea Φ un sistema de raıces en E con base ∆ y grupo deWeyl W . Si S ∈ W se escribe como Rα1 · · · Rαt

, con αi ∈ ∆ y t minimal,diremos que S esta en su expresion reducida y definimos la longitud de S

relativa a ∆ como t = l(S). Por definicion, l(id) = 0.

Ejemplo 2.3.8. En el sistema de raıces B2 con base

∆ = α = (1, 0), β = (−1, 1),

consideremos la reflexion Rα+β. Al aplicar Rα+β a las raıces simples α y βse obtienen las relaciones

Rα+β(α) = α y Rα+β(β) = −β − 2α.

Realizando un calculo elemental, podemos verificar que Rβ Rα Rβ aplicadel mismo modo que Rα+β en las rapices simples y ası, Rα+β = Rβ Rα Rβ.Ademas, esta es la expresion reducida para Rα+β, pues Rα+β 6= Rβ y Rα Rβ

no es una reflexion. Por tanto, l(Rα+β) = 3.

Podemos caracterizar la longitud de un operador en el grupo de Weylcomo sigue: Sea n(S) el numero de raıces positivas α para las cuales S(α) ≺ 0.

Proposicion 2.23. Sea Φ un sistema de raıces en E con base ∆ y grupo deWeyl W . Si S ∈ W , entonces l(S) = n(S).

Demostracion. Procederemos por induccion sobre l(S). El caso l(S) = 0es claro; supongamos que la proposicion se cumple para todo T ∈ W conlongitud menor que la longitud de S. Escribamos a S en su expresion reducida∏t

i=1 Rαiy sea α = αt. Por el Corolario 2.19, S(α) ≺ 0 y la Proposicion

2.16 implica que n(SRα) = n(S) − 1. Por otro lado, l(SRα) = l(S) − 1 y porhipotesis inductiva se tiene que l(SRα) = n(SRα). Por tanto, l(S) = n(S).

Ejemplo 2.3.9. En el ejemplo 2.3.8, podemos verificar que la longitud deRα+β es 3 usando la Proposicion 2.23. Se puede ver que Rα+β transforma alas raıces β, β + α y β + 2α en las raıces −β − 2α,−β − α y −β, respectiva-mente; ademas, Rα+β deja fija a la raız positiva α. Por tanto, n(Rα+β) = 3.


Sea Φ un sistema de raıces con una base fija ∆. Recordemos que la camarafundamental de Weyl con respecto a ∆ es la camara C(∆) que contiene a todoslos vectores v que satisfacen 〈v, α〉 > 0 para toda raız simple α. Concluimosesta subseccion con un resultado que nos dice como actua el grupo de Weylen la cerradura de C(∆), que denotaremos por clC(∆).

Proposicion 2.24. Sean Φ un sistema de raıces con base ∆, grupo de WeylW y u,w ∈ cl C(∆). Si S(u) = w para algun S ∈ W , entonces S es unproducto de reflexiones simples que fijan a u; en particular u = w.

Demostracion. Procederemos por induccion en l(S). El caso l(S) = 0 es claro;sea l(S) > 0, por la Proposicion 2.23, S debe mandar alguna raız positiva enuna negativa. Ası, S no puede mandar todas las raıces simples a positivas.Supongamos que S(α) ≺ 0 para algun α ∈ ∆, entonces

0 ≤ (u, α) = (S−1(w), α) = (w, S(α)) ≤ 0

porque u,w ∈ cl C(∆). Por tanto (u, α) = 0, lo que implica Rα(u) = u ySRα(u) = w. Gracias a las Proposiciones 2.16 y 2.23, l(SRα) = l(S) − 1y por hipotesis inductiva, SRα = Rβ1 Rβ2 · · · Rβt−1 , donde Rβi

sonreflexiones simples que fijan a u. Multiplicando ambos lados por Rα, se tieneel resultado.

Capıtulo 3

Clasificacion de sistemas de

raıces irreducibles

En este capıtulo, nos proponemos presentar el catalogo completo de los to-dos los sistemas de raıces que podemos tener en un espacio euclidiano dedimension ℓ. Es claro que los sistemas en los que nos interesaremos debenser escencialmente distintos y es por tal motivo que nos preocuparemos porestudiar las clases de isomorfismo de los sistemas de raıces.

La manera en que procederemos es simplificar el trabajo de clasificar lossistemas de raıces a clasificar solo los sistemas de raıces irreducibles. Despues,desarrollaremos herramientas como la matriz de Cartan de un sistema deraıces y el diagrama de Dynkin asociado al sistema de raıces que nos ayu-dan a describir las relaciones que satisfacen las raıces simples de los sistemasirreducibles. Luego, mostramos que tanto la matriz de Cartan como el dia-grama de Dynkin caracterizan por completo al sistema de raıces irreducibleal que pertenesen. Finalmente, se presenta el Teorema de Clasificacion quedetermina cuales son los diferentes diagramas de Dynkin que podemos tenersi un sistema de raıces resulta ser irreducible.

Como ha quedado de manifiesto en esta breve introduccion al capıtulo,el matematico Dynkin es uno de los que mas aportaron a la solucion de esteproblema.

43

44 Clasificacion de sistemas de raıces irreducibles

3.1 Sistemas de raıces irreducibles

Aquı veremos que, en cierto sentido, los sistemas irreducibles generan a todoslos sistemas de raıces.

Definicion 3.1. Sea Φ un sistema de raıces en un espacio euclidiano E.Diremos que Φ es irreducible si no puede ser expresado como la union dedos subconjuntos Φ1 y Φ2 mutuamente ortogonales.

Ejemplo 3.1.1. El sistema de raıces A1 × A1 no es un sistema irreducible,ya que Φ1 = ±(1, 0) y Φ2 = ±(0, 1) son subconjuntos mutuamente or-togonales de A1 × A1 y se tiene que A1 × A1 = Φ1 ∪ Φ2.

Si dos subconjuntos A y B de un espacio euclidiano son mutuamenteortogonales, lo denotaremos por el sımbolo 〈A,B〉 = 0.

Podemos verificar la irreducibilidad de un sistema de raıces Φ observandolo que ocurre con sus bases, como lo mostraremos en el siguiente resultado.

Teorema 3.1. Un sistema de raıces Φ con base ∆ es irreducible si y solo si∆ no puede expresarse como la union de dos subconjuntos ∆1 y ∆2 tal que〈∆1, ∆2〉 = 0.

Para la demostracion, necesitamos de los siguientes lemas tecnicos.

Lema 3.2. Las reflexiones inducidas por vectores ortogonales son operadoresque conmutan entre sı.

Demostracion. Recordando que si α ∈ Pβ y β ∈ Pα, tenemos que para cadaγ ∈ E

RαRβ(γ) = Rα(γ − |γ, β|β)

= γ − |γ, α|α − |γ, β|β= Rβ(γ − |γ, α|α)

= RβRα(γ).

3.1 Sistemas de raıces irreducibles 45

Lema 3.3. Si α1, α2, . . . , αs, β ∈ E, entonces(

s∏

i=1

Rαi

)(β) = β +

s∑

i=1

(−1)i∑

1≤j1<···<ji≤s

(|β, αji

|i−1∏

k=1

|αjk+1, αjk

|)

αj1 .

Demostracion. Procederemos por induccion sobre s. Para s = 1 es claro puesRα(β) = β − |β, α|α. Supongamos que el Lema es cierto para todo enteropositivo menor que s, entonces(

s∏

i=1

Rαi

)(β) = Rαs

(β) +

s−1∑

i=1

(−1)i∑

1≤j1<···<ji≤s−1

(|β, αji

|i−1∏

k=1

|αjk+1, αjk

|)

Rαs(αj1)

= β − |β, αs| +s−1∑

i=1

(−1)i∑

1≤j1<···<ji≤s−1

(|β, αji

|i−1∏

k=1

|αjk+1, αjk

|)

αj1 −

s−1∑

i=1

(−1)i∑

1≤j1<···<ji≤s−1

(|β, αji

|i−1∏

k=1

|αjk+1, αjk

|)|αj1 , αs|αs

= β +s∑

i=1

(−1)i∑

1≤j1<···<ji≤s

(|β, αji

|i−1∏

k=1

|αjk+1, αjk

|)

αj1 .

Demostracion. (Teorema 3.1). (⇒) Supongamos que Φ es irreducible y∆ = ∆1 ∪ ∆2 con 〈∆1, ∆2〉 = 0. Sabemos, por el Teorema 2.22, que paracada raız α existe Sα en el grupo de Weyl tal que Sα(α) ∈ ∆. Ası, podemospartir a Φ en dos conjuntos Φi = α ∈ Φ : S(α) ∈ ∆i, para algun S ∈ W .

Aseguramos que cada raız en Φp, con p ∈ 1, 2, se obtiene de una raızen ∆p al sumar multiplos enteros de raıces en ∆p: en efecto, si β ∈ Φp, existeS ∈ W tal que S(β) ∈ ∆p; expresemos a S como producto de reflexionessimples, digamos

∏ti=1 Rαi

. Por el Lema 3.2 podemos suponer que solo lasprimeras s raıces αi estan en ∆p, ası,

S(β) =

(s∏

i=1

Rαi

t∏

j=s+1

Rαj

)(β) =

(t∏

j=s+1

Rαj

s∏

i=1

Rαi

)(β), (3.1)


donde la ultima igualdad se tiene por el Lema 3.2. Si i ∈ s + 1, . . . , t,entonces todas las reflexiones Rαi

dejan fija a S(β), pues es ortogonal a cadaαi.

Multiplicando por(∏t

j=s+1 Rαj

)−1

en ambos lados de (3.1), se tiene

S(β) = (∏s

i=1 Rαi) (β) y por el Lema 3.3, si αji

∈ ∆p se verifica que

S(β) = β +s∑

i=1

(−1)i∑

1≤j1<···<ji≤s

(|β, αji

|i−1∏

k=1

|αjk+1, αjk

|)

αj1 ,

y por tanto, Φp ⊂ Span ∆p. En consecuencia, 〈Φ1, Φ2〉 = 0 lo que fuerza aque uno de los dos conjuntos sea vacıo ya que Φ no contiene al vector cero.

(⇐) Si Φ = Φ1 ∪ Φ2, con 〈Φ1, Φ2〉 = 0, se debe de tener ∆ ⊂ Φ1 o bien∆ ⊂ Φ2, pues ∆ no se puede descomponer de tal manera. Si suponemos que∆ ⊂ Φ1, entonces 〈∆, Φ2〉 = 0 y por tanto, 〈E, Φ2〉 = 0. Esto implica que Φ2

es vacıo. Analogamente, si ∆ ⊂ Φ2, entonces Φ1 es vacıo.

El Teorema 3.1 es un buen criterio para determinar la irreducibilidad deun sistema de raıces, como lo veremos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.1.2. El sistema A2 es irreducible. En efecto, tomemos la base

∆ =

α = (1, 0), β =(−1

2,√

32

). Claramente, 〈α, β〉 = −1 6= 0 por lo

que ∆ no se puede descomponer como union de dos subconjuntos no vacıosmutuamente ortogonales.

El grupo de Weyl de un sistema irreducible

El grupo de Weyl actua de una manera muy especial en los sistemas irre-ducibles como se muestra en el siguiente resultado.

Proposicion 3.4. Sean E un espacio euclidiano y Φ sistema de raıces enE con grupo de Weyl W . Suponga que Φ es irreducible. Si F 6= 0 esun subespacio de E invariante bajo W , entonces F = E. En particular,SpanS(α) : S ∈ W = E para cualquier raız α. En este caso, diremos queW actua irreduciblemente en E.

Para la demostracion, necesitamos el siguiente lema.


Lema 3.5. Si F es un subespacio de E, invariante bajo la reflexion Rα,entonces α ∈ F o bien F ⊂ Pα.

Demostracion. Supongamos que α /∈ F. Por hipotesis, Rα(v) ∈ F para todov ∈ F. Si 〈v, α〉 6= 0, entonces existe w ∈ F con w = v − 〈v, α〉α y ası,α = 1

〈v,α〉 (v − w) ∈ F, lo que contradice la suposicion α /∈ F. Por tanto, v

es ortogonal a α.

Demostracion. (Proposicion 3.4). Es claro que la segunda afirmacion se siguede la primera ya que SpanS(α) : S ∈ W es un subespacio invariante bajoW . Ahora, para mostrar la primera aseveracion, sea F un subespacio, nonulo, invariante bajo W , entonces F⊥ tambien es invariante y E = F ⊕ F⊥.Por el Lema 3.5, α ∈ F o bien F ⊂ Pα para toda raız α. Si α /∈ F, entoncesα ∈ F⊥, ası, cada raız esta en F o bien en F⊥. Esto parte a Φ en conjuntosmutuamente ortogonales, lo que fuerza a que uno de los dos conjuntos seavacıo. Se infiere que todas las raıces estan en uno de los dos subespacios F oF⊥. Sin embargo, si Φ ⊂ F⊥, entonces F⊥ = E y 〈F,E〉 = 0, lo que implicaque F = 0, que es contradictorio. Por tanto, Φ ⊂ F y F = E.

Ahora, veremos cuantas longitudes diferentes de las raıces de Φ haycuando Φ es un sistema irreducible.

Proposicion 3.6. A lo mas existen dos longitudes distintas de raıces. Ademas,todas las raıces de una longitud dada son conjugadas bajo W .

Demostracion. Sean α y β dos raıces. Como W actua irreduciblemente,no todas las raıces S(α) son ortogonales a β, con S ∈ W . Sin perdidade generalidad, supongamos que α no es ortogonal a β. Por la Tabla 2.1,sabemos que las posibles longitudes relativas posibles son 1, 2, 3, 1

2o 1

3. Si

existieran tres raıces con longitudes distintas, se tendrıa la razon 32

o 23. Ası.

tenemos la primera aseveracion. Ahora, si α y β tienen la misma longitud,podemos asumir que no son ortogonales, por el argumento del primer parrafo,y distintos, pues de lo contrario terminarıa la prueba. Por la Tabla 2.1,tenemos |α, β| = |β, α| = ±1; si es necesario, reemplazamos β por −β paratener |α, β| = |β, α| = 1. El resultado se sigue del calculo RαRβRα(β) =RαRβ(β − α) = Rα(−β − α + β) = α.

Definicion 3.2. En un sistema de raıces irreducible con dos longitudes dis-tintas de raıces, a las raıces de longitud mayor les llamaremos raıces largas,y a las otras raıces cortas. Si solo hay una longitud de raıces, les llamaremosraıces largas a todas.


La raız maximal de un sistema irreducible

Ahora, veremos que en un sistema irreducible, existe un maximo para la al-tura de sus raıces. Para esto, fijemos un sistema de raıces irreducible Φ conbase ∆ y definamos un orden parcial relativo a tal base.

La base ∆ define un orden parcial en E, que resulta compatible con lanotacion α ≺ 0. Definase

µ ≺ λ si y solo si λ − µ es una suma de raıces positivas o µ = λ.

Claramente, ≺ es un orden parcial.

• µ ≺ µ ya que µ = µ.

• Si µ ≺ λ y λ ≺ µ, entonces tanto λ − µ como µ − λ se expresan comouna suma de raıces positivas o µ = λ, pero λ−µ = −(µ−λ) por lo quees imposible que λ − µ y µ − λ se escriban como una suma de raıcespositivas al mismo tiempo y se concluye que µ = λ.

• Si µ ≺ λ y λ ≺ ν, entonces tanto λ − µ como ν − λ se expresan comosuma de raıces positivas o λ = µ y λ = ν. Si λ − µ =

∑α≻0 α y

ν − λ =∑

β≻0 β, entonces∑

β≻0 β +∑

α≻0 α = ν − λ + λ− µ = ν − µ .

Proposicion 3.7. Relativo al orden parcial ≺ inducido por la base ∆, existeuna unica raız maximal µ, es decir, si β 6= µ, entonces alt(β) < alt(µ).Ademas, 〈α, µ〉 ≥ 0 para α ∈ ∆.

Demostracion. La existencia de una raız maximal en el orden ≺ se sigue delhecho de que Φ es finito. Para la unicidad, si µ′ es otra raiz maximal, entoncesexiste al menos una raız α ∈ ∆ en la expresion de µ′ tal que 〈α, µ〉 > 0ya que de lo contrario, el conjunto ∆ ∪ µ serıa un conjunto linealmenteindependiente de E (ver Corolario 2.13), lo que es absurdo. Por lo tanto〈µ′, µ〉 > 0 y la Proposicion 2.6 implica que µ−µ′ es raız, a menos que µ = µ′.Si µ−µ′ fuese positiva, entonces µ ≻ µ′, lo que es absurdo; analogamente, siµ− µ′ fuese negativa. Se concluye ası que µ− µ′ no puede ser raız y µ = µ′.Finalmente, si 〈µ, α〉 < 0 para alguna raız simple α, entonces µ + α ∈ Φ porla Proposicion 2.6 y ası, µ no serıa maximal.

Corolario 3.8. Si escribimos µ =∑

α∈∆ kαα, entonces kα > 0 para toda αsimple.


Demostracion. Si µ =∑

α∈∆ kαα es maximal, es claro que es positiva. Defi-namos los siguientes conjuntos,

∆1 = α ∈ ∆ : kα > 0 y ∆2 = α ∈ ∆ : kα = 0,

entonces ∆ = ∆1 ∪ ∆2. Supongamos que ∆2 6= ∅, entonces 〈α, µ〉 ≤ 0 paratoda α ∈ ∆2 y como Φ es irreducible, existe una raız en ∆2, digamos α0,que no es ortogonal a ∆1. Ası, existe α1 ∈ ∆1 con 〈α0, α1〉 < 0. Por tanto,〈α0, µ〉 < 0. Por la Proposicion 2.6, µ + α0 es una raız y es claro que tienealtura mayor que la de µ. Por tanto, ∆2 debe ser vacıo.

Ejemplo 3.1.3. Considere el sistema de raıces G2 con la base conformada

por las raıces α = (1, 0) y β =(−3

2,√

32

). Como 〈α, β〉 6= 0, del Teorema 3.1

se concluye que G2 es irreducible. Claramente, la raız maximal de G2 es laraız (0,

√3) = 3α + 2β.

α

β

µ

Figura 3.1: La raız maximal en G2.

Un resultado que se espera logico es el siguiente.

Proposicion 3.9. En un sistema de raıces irreducible, la raız maximal µ esuna raız larga.

Demostracion. Tomemos una raız α y veamos que ‖µ‖ ≥ ‖α‖. Como laaccion de W es transitiva en las camaras de Weyl(Teorema 2.22), reem-plazemos a α por un conjugado de el que este en la cerradura de la camarafundamental. Sabemos que µ − α ≻ 0 y ası, para todo v ∈ cl C(∆) tenemos

(v, µ) − (v, α) = (v, µ − α) ≥ 0

con v = µ y despues v = α se tiene (µ, µ) ≥ (µ, α) ≥ (α, α).


3.2 Matriz de Cartan de un sistema de raıces

Ahora, veremos una de las herramientas que caracterizan a los sistemas deraıces y facilitan la presentacion de las relaciones que satisfacen las raıcessimples de un sistema de raıces.

Si tenemos dos bases ∆ = α1, α2, . . . , αℓ y ∆′ = α′1, α

′2, . . . , α

′ℓ de un

sistema de raıces Φ, sabemos que existe un elemento S del grupo de Weylde Φ tal que S(α′

i) = αi para toda 1 ≤ i ≤ ℓ (Teorema 2.22 inciso (b)).Como cada elemento del grupo de Weyl es una isometrıa de E, se tiene que|αi, αj| = |S(α′

i), S(α′j)|.

Definicion 3.3. Sea ∆ = α1, α2, . . . , αℓ una base ordenada de Φ. Lamatriz CΦ con entrada CΦ

ij = |αi, αj| es llamada matriz de Cartan de Φ.

Por el comentario anterior a la Definicion 3.10, vemos que CΦ no dependede la eleccion que hagamos de la base ∆ y ası, solo depende del sistema deraıces Φ.

Ejemplo 3.2.1. Para los sistemas de rango 2, las matrices de Cartan son

CA1×A1 =

(2 00 2

),

CA2 =

(2 −1

−1 2

),

CB2 =

(2 −2

−1 2

),

CG2 =

(2 −1

−3 2

).

Otra propiedad importante de la matriz de Cartan es que es no-singular,pues ∆ es una base. Ahora, veremos que caracteriza al sistema de raıcescompletamente.

Teorema 3.10. Sean Φ y Φ′ sistemas de raıces con bases ∆ = α1, α2, . . . , αℓy ∆′ = α′

1, α′2, . . . , α

′ℓ en los espacios E y E′, respectivamente. Si las ma-

trices de Cartan de Φ y Φ′ son iguales, entonces αi 7→ α′i determina un

isomorfismo de sistemas de raıces.

3.2 Matriz de Cartan de un sistema de raıces 51

Demostracion. Sea ϕ el isomorfismo de espacios vectoriales que resulta de ex-tender linealmente la biyeccion de las bases de E y E′. Mediante un calculorutinario, se puede verificar Rϕ(α)(ϕ(β)) = ϕ (Rα(β)) para cualesquiera dosraıces α y β. Como los respectivos grupos de Weyl son generados por lasreflexiones simples, por el Teorema 2.22, la asignacion S′ 7→ ϕSϕ−1 es unisomorfismo de grupos.

Nuevamente, por el Teorema 2.22, cada raız es conjugada a una simple,digamos β = S(αk). En consecuencia, ϕ(β) = ϕSϕ−1(ϕ(αk)) ∈ Φ′. Laformula (2.1) muestra que ϕ preserva los productos |γ, δ|.

Conociendo la matriz de Cartan de Φ, podemos recuperar a todas lasraıces positivas como sigue:

Altura 1 Las raıces de altura 1 son las raıces simples.

Altura 2 Usaremos las raıces de altura 1 y las αj-cadenas. Las entradas dela matriz de Cartan nos dan los numeros |αi, αj| y por la Proposicion2.14, sabemos que αi − αj no es una raız y ası, r = 0 con lo queq = |αi, αj|.

Altura 3 Ya teniendo todas las raıces de altura 2, podemos obtener losnumeros |α, αj|. Si α es cualquier raız de altura 2, el entero r es facilde encontrar pues αj se puede restar al menos una vez (Proposicion2.14), para algun j, y ası q = r − |α, αj|.

Altura k Conociendo las raıces de altura k − 1 y gracias al Corolario 2.15,sabemos que las raıces de altura k se pueden escribir como una sumade raıces simples

∑ki=1 αi de tal manera que la suma parcial

∑k−1i=1 αi

es una raız. Ası, podemos conocer a todas las raıces de altura k.

Al conocer las raıces positivas Φ+ de Φ bastara agregar a tal conjunto Φ+

los negativos de sus raıces para obtener el sistema de raıces completo.

Ejemplo 3.2.2. De la matriz diag(2, 2) se obtiene inmediatamente dos raıcesortogonales α y β. Ademas, el vector α + β no puede ser raız pues de locontrario, Rβ(α + β) = α − β serıa raız, lo que contradice la Proposicion2.10. Por tanto, el sistema de raıces es isomorfo a A1 × A1.


3.3 Diagrama de Dynkin asociado a un sis-

tema de raıces

El diagrama de Dynkin asociado a un sistema de raıces es la manera mascompacta de presentar las relaciones que satisfacen las raıces simples del sis-tema. Ademas, del diagrama de Dynkin, podemos recuperar la matriz deCartan del sistema de raıces.

Por la Tabla 2.1 sabemos que para dos raıces α y β positivas y distintas,|α, β||β, α| es 0, 1, 2 o 3.

Definicion 3.4. Sea Φ un sistema de raıces con base ∆ = α1, α2, . . . , αℓ.Defina una grafica de ℓ vertices, un vertice por cada raız simple, y agregue|αi, αj| · |αj, αi| aristas entre los vertices i y j de la grafica. En el caso deque entre dos vertices existan mas de una arista, agregue una flecha apun-tando hacia el vertice que representa la raız mas corta de las dos. La graficaresultante se llama diagrama de Dynkin de Φ.

Como el grupo de Weyl actua transitivamente en las bases y esta com-puesto totalmente de isometrıas del espacio E, se tiene que el diagrama deDynkin de un sistema de raıces no depende de la eleccion de la base.

Ejemplo 3.3.1. Los diagramas de Dynkin para los sistemas de rango 2 son

b bA1 × A1 :

b bA2 :

b bB2 :

b bG2 :

Figura 3.2: Diagramas de Dynkin de los sistemas de rango 2.

Es claro que en realidad, el diagrama de Dynkin de un sistema de raıcesdepende de el orden que se le de a la base, esta dependencia no es muy seria,pues es cuestion de seleccionar bien la enumeracion de las raıces simples.

3.4 Teorema de Clasificaion 53

Ejemplo 3.3.2. Del diagrama de Dynkin de G2, se obtiene la matriz deCartan (

2 −3−1 2

).

Vemos que la enumeracion de las raıces simples no es la adecuada, puesse obtuvo la matriz transpuesta de la matriz de Cartan dada para G2 en elejemplo 3.2.1

Definicion 3.5. Diremos que un diagrama de Dynkin es conexo si paracualesquiera dos vertices i y j, existe una sucesion de vertices i1, i2, . . . , iktales que i1 = i, ik = j y el vertice is esta conectado por al menos una aristacon el vertice is+1 para todo entero 1 ≤ s ≤ k.

Un resultado evidente es el siguiente.

Proposicion 3.11. Un sistema de raıces es irreducible si y solo si su dia-grama de Dynkin es conexo.

Ahora, si Φ no es irreducible, en su diagrama de Dynkin existiran unnumero de componentes conexas. Sean ∆ = ∆1 ∪ ∆2 ∪ · · · ∪ ∆t la particionde ∆ en subconjuntos mutuamente ortogonales, Φi las combinaciones linealesenteras de elementos en ∆i que son raıces y Ei = Span ∆i, entonces E =

∐Ei

y cada Φi es un sistema de raıces irreducible en Ei cuyo grupo de Weyl esla restriccion a Ei del subgrupo de W generado por las raıces simples en ∆i.Como cada Ei es invariante bajo W , el Lema 3.5 muestra que cada raız deΦ esta en algun Ei. Esto muestra el siguiente resultado.

Proposicion 3.12. Sea Φ un sistema de raıces en E, entonces Φ se descom-pone de manera unica como la union de sistemas de raıces irreducibles Φi enlos subespacios Ei = Span Φi de E y se tiene la descomposicion del espacioE como suma directa de los subespacios Ei.

Gracias a este resultado, bastara con clasificar los sistemas irreducibles,los cuales se caracterizan por su diagrama de Dynkin, el cual es conexo.

3.4 Teorema de Clasificaion

Ahora, estamos listos para presentar el Teorema de Clasificacion de los dia-gramas de Dynkin correspondientes a los sistemas de raıces irreducibles.

Teorema 3.13. Si Φ es un sistema de raıces irreducible de rango ℓ, entoncessu diagrama de Dynkin es uno de los siguientes:


Aℓ(ℓ ≥ 1): b b b · · · b b b

Bℓ(ℓ ≥ 2): b b b · · · b b b

Cℓ(ℓ ≥ 3): b b b · · · b b b

Dℓ(ℓ ≥ 4): b b b · · · b b

b

b

E6:b b b b b

b

E7: b b b b b b

b

E8: b b b b b b b

b

F4: b b b b

G2: b b

Figura 3.3: Diagramas de Dinkin para sistemas irreducibles.


y las respectivas matrices de Cartan son:

Sistemas de raıces clasicas

CAℓ =

2 −1 0 · · · 0 0 0−1 2 −1 · · · 0 0 0

0 −1 2 · · · 0 0 0...

......

. . ....

......

0 0 0 · · · 2 −1 00 0 0 · · · −1 2 −10 0 0 · · · 0 −1 2

CBℓ =

2 −1 0 · · · 0 0 0−1 2 −1 · · · 0 0 0

0 −1 2 · · · 0 0 0...

......

. . ....

......

0 0 0 · · · 2 −1 00 0 0 · · · −1 2 −20 0 0 · · · 0 −1 2

CCℓ =

2 −1 0 · · · 0 0 0−1 2 −1 · · · 0 0 0

0 −1 2 · · · 0 0 0...

......

. . ....

......

0 0 0 · · · 2 −1 00 0 0 · · · −1 2 −10 0 0 · · · 0 −2 2

CDℓ =

2 −1 · · · 0 0 0 0−1 2 · · · 0 0 0 0

......

. . ....

......

0 0 · · · 2 −1 0 00 0 · · · −1 2 −1 −10 0 · · · 0 −1 2 00 0 · · · 0 −1 0 2


Sistemas de raıces excepcionales

CE6 =

2 0 −1 0 0 00 2 0 −1 0 0

−1 0 2 −1 0 00 −1 −1 2 −1 00 0 0 −1 2 −10 0 0 0 −1 2

CE7 =

2 0 −1 0 0 0 00 2 0 −1 0 0 0

−1 0 2 −1 0 0 00 −1 −1 2 −1 0 00 0 0 −1 2 −1 00 0 0 0 −1 2 −10 0 0 0 0 −1 2

CE8 =

2 0 −1 0 0 0 0 00 2 0 −1 0 0 0 0

−1 0 2 −1 0 0 0 00 −1 −1 2 −1 0 0 00 0 0 −1 2 −1 0 00 0 0 0 −1 2 −1 00 0 0 0 0 −1 2 −10 0 0 0 0 0 −1 2

CF4 =

2 −1 0 0−1 2 −2 0

0 −1 2 −10 0 −1 2

CG2 =

(2 −1

−3 2

)

Para la demostracion, es conveniente introducir algunos conceptos comoapoyo.

Definicion 3.6. Si al diagrama de Dynkin de un sistema de raıces Φ lequitamos la flecha que indica el vertice correspondiente a la raız mas corta,la grafica resultante se llama grafica de Coxeter de Φ.


Desde el punto de vista de las graficas de Coxeter, los sistemas de raıcesirreducibles son perfectamente distingibles, excepto por Bℓ y Cℓ. Por talmotivo, veremos que las unicas graficas de Coxeter que pueden correspondera un sistema de raıces irreducible son las que resultan de los diagramas deDynin enlistados en el Teorema de Clasificacion.

Una observacion mas es que como en las graficas de Coxeter no estamosinteresados en las longitudes de los vectores, podemos trabajar con vectoresunitarios. Para mayor flexibilidad, haremos las siguientes suposiciones:

• E es un espacio euclidiano, de cualquier dimension.

• A = e1,e2, . . . ,ek es un conjunto de k vectores unitarios linealmenteindependientes que satisfacen 〈ei,ej〉 ≤ 0 para i 6= j y 4 〈ei,ej〉2 solopuede tomar los valores 1, 2, 3 para i 6= j. A este tipo de conjuntos losllamaremos admisibles.

• A cada conjunto admisible A = e1,e2, . . . ,ek, le asignamos unagrafica Γ con k vertices como sigue: el vertice i esta unido con 4 〈ei,ej〉2aristas.

Ahora, lo que haremos es determinar todas las graficas de Coxeter conexasasociadas a los conjuntos admisibples de vectores.

Demostracion. (Teorema 3.13). La prueba se hara por pasos.

1. Si alguno de los vectores ei es omitido del conjunto admisible, entoncesel conjunto que nos queda, A\ei tambien es admisible y su grafice seobtiene de Γ al remover el vertice i y todas las aristas que conectabanal verice i con los demas vertices.

2. El numero de parejas de vertices en Γ conectados por al menos unaarista es estrictamente menor que k.

De lo contrario, tomemos

e =k∑

i=1

ei 6= 0,


para tener

0 < 〈e,e〉 = k + 2∑

i<j

〈ei,ej〉 . (3.2)

Seleccionemos una pareja de ındices i y j diferentes y que esten conec-tados por al menos una arista, es decir, 4 〈ei,ej〉2 es igual a 1, 2 o 3.En particular, tenemos que 2 〈ei,ej〉 ≤ −1. Por la desigualdad (3.2),vemos que el numero de tales parejas no puede exceder k − 1.

3. Γ no contiene cıclos.

De lo contrario, un cıclo serıa la grafica Γ′ de un subconjunto admisibleA′ ⊂ A el cual contradice el paso 2, tomando k = |A′|.

4. En un vertice particular de Γ no puede haber mas de tres aristas.

Sea e ∈ A y supongamso que v1,v2, . . . ,vs ∈ A son los vectores (todosdistintos) que estan conectados con e, es decir, (e,vi) < 0 para todoentero 1 ≤ i ≤ s. Por la parte 3, tenemos que 〈vi,vj〉 = 0 para i 6= j yse sigue que existe un vector v0 en Spane,v1, . . . ,vs que es ortogonala cada vi. Es evidente que 〈e,v0〉 6= 0 y por un hecho de algebra lineal,

e =s∑

i=0

〈e,vi〉vi.

Luego, 1 = 〈e,e〉 =∑s

i=0 〈e,vi〉2 y se concluye que

s∑

i=1

〈e,vi〉2 < 1

o equivalentemente,s∑

i=1

4 〈e,vi〉2 < 4,

con lo que se termina la prueba de este paso.

5. La unica grafica Γ de un subconjunto admisible A que puede contenerdos vertices conectados por tres aristas es la grafica de Coxeter de G2.

Esto se sigue directamente del paso 4.


6. Sea A′ = e1,e2, . . . ,es un subconjunto cuya grafica es

b b b b· · ·

Figura 3.4: Cadena simple.

Si e =∑s

i=1 ei, entonces el conjunto A\A′ ∪ e es admisible.

La independencia lineal de A\A′ ∪ e es un hecho de algebra lineal.Por hipotesis, 2 〈ei,ei+1〉 = −1 para cualquier entero 1 ≤ i ≤ s− 1 conlo que se deduce 〈e,e〉 = s + 2

∑i<j 〈ei,ej〉 = s − (s − 1) = 1. Ası, e

es un vector unitario y cualqueir vector en A\A′ puede ser conectadocon al menos uno de los vectores en A′, por el paso 3. Si v ∈ A′,entonces 〈e,v〉 = 0 o bien 〈e,v〉 = 〈ei,v〉 para todo entero 1 ≤ i ≤ s.En cualqeuir caso, se tiene 4 〈e,v〉2 ∈ 1, 2, 3.

7. Γ no contiene subgraficas de la forma

b b b b b b· · ·

b b b b b

b

b

· · ·

b

b

b b b b

b

b

· · ·

Supongamos que estas subgraficas ocurren en Γ. Por el paso 1, deben deser las graficas de subconjuntos admisibles, pero por el paso 6, podemoseliminar la cadena simple en cada caso y obtener las graficas

b b b b b

b

b

b

b

b

b

b

Evidentemente, todas estas graficas contradicen el psao 4.


8. Cualqeuir grafica conexa Γ de un subcojnuto admisible tiene una de lassiguientes formas:

b b b b· · ·

b b b b b b b b· · · · · ·e1 e2 ep−1 ep vq vq−1 v2 v1

b b

b b b b

b

b

b

b

b

b

. . .

· · ·e1 e2 ep−1

u

vq−1

v2

v1

wr−1

w2

w1

`

`

`

Una grafica conexa que contenga mas de una pareja de vertices conec-tados con dos aristas debe de contener una subgrafica de la forma

b b b b b b· · ·

la cual contradice el paso 7, por lo que al menos ocurre una doble arista.Mas, aun, si Γ contiene una doble arista, entonces no puede contenerun nodo como el siguiente (otra ves por el paso 7):

b b

b

b

Finalmente, supongamos que Γ solo tiene aristas simples. Si Γ no con-tiene nodos, debe de ser una cadena simple.


Γ no puede contener mas de un nodo, por el paso 7 y ası, la cuartagrafica es la unica posibilidad.

9. La unica grafica conexa del segundo tipo en 8 es la grafica de Coxeterde F4 o la grafica de Coxeter de Bℓ.

Definamos e =∑p

i=1 iei y v =∑q

i=1 ivi. Por hipotesis, tenemos2 〈ei,ei+1〉 = −1 = 2 〈vj,vj+1〉 para i ∈ 1, 2, . . . , p y j ∈ 1, 2, . . . , qy cualesquier otra pareja es ortogonal. Luego, se puede ver que

〈e,e〉 =p(p + 1)

2

y

〈v,v〉 =q(q + 1)

2.

Como 4 〈ep,vq〉2 = 2, tenemos 〈e,v〉2 = p2q2 〈ep,vq〉2 = p2q2

2y por la

desigualdad de Cauchy-Schwartz, 〈e,v〉2 < 〈e,e〉〈v,v〉 o bien,

p2q2

2<

p(p + 1)

2

q(q + 1)

2.

Por tanto, las unicas posibilidades son p = q = 2 o bien p = 1 y qarbitrario, o bien q = 1 y p arbitrario.

10. La unica grafica conexa del cuarto tipo en 8 es Dℓ o las graficas deCoxeter de E6, E7 y E8 cuando ℓ = 6, 7, 8.

Definamos e =∑p

i=1 iei, v =∑p

i=1 ivi y w =∑p

i=1 iwi. Es claro quee,v y w son mutuamente ortogonales y suponga que u no es generadopor estos tres vectores. Como en la prueba del paso 4, obtenemos larelacion

cos2 θ1 + cos2 θ2 + cos2 θ3 < 1,

donde los angulos θ1, θ2, θ3 son los angulos que forma el vector u conlos vectores e,v,w, respectivamente. Un calculo similar al realizadoen el pso 9 con p − 1 en lugar de p, muestra que

〈e,e〉 =p(p − 1)

2,


y similarmente para v y w. Se concluye que

cos2 θ1 =1

2

(1 − 1

p

),

y similarmente para θ2 y θ3. Sumando estas expresiones se obtiene

1

2

(1 − 1

p+ 1 − 1

q+ 1 − 1

r

)< 1

o equivalentemente,

1

p+

1

q+

1

r> 1. (3.3)

Podemos suponer que 1p≤ 1

q≤ 1

ry que 1

r≤ 1

2ya que si p, q o r es igual

a 1, estamos en el caso Ak. En particular, la desigualdad (3.3) implicaque 3

2≥ 3

r> 1 y ası, r = 2. De este modo, 1

p+ 1

q> 1

2y 2 ≤ q ≤ 4. Si

q = 3, entonces p < 6. Por tanto, las unicas posibilidades son:

(p, 2, 2) ⇒ Dk, (3, 3, 2) ⇒ E6, (4, 3, 2) ⇒ E7 y (5, 3, 2) ⇒ E8.

En estos diez pasos, se muestra que las unicas graficas de Coxeter para los sis-temas de raıces irreducibles son las enlistadas en el Teorema de Clasificacion.Sin embargo, las graficas de Coxeter de Bℓ y Cℓ son indistinguibles, como yase habıa mencionado. De cualqueir forma, se puede verificar que estos dossistemas de raıces no son isomorfos y con esto se termina la demostracion delTeorema.

Capıtulo 4

Algebras de Lie

La intension de este capıtulo es dar una introduccion a la Teorıa de Algebrasde Lie, presentando las herramientas principales de la teorıa y los resultadosmas significativos manteniendo un nivel basico. Los ejemplos que aquı sepresentan son clasicos en la literatura de algebras de Lie y se puede encon-trar un desarrollo diferente al presentado aquı en [3], [6] o [11].

Muchos de los conceptos de algebras de Lie se corresponden historica-mente a los conceptos analogos en la Teorıa de Grupos, por la relacion es-tablecida por Sophus Lie entre grupos de Lie y algebras de Lie.

4.1 Definicion y ejemplos

Comenzaremos dando la definicion de nuestro objeto de estudio de estecapıtulo.

Definicion 4.1. Una algebra de Lie sobre un campo F es un espacio vec-torial V sobre el campo F, con una operacion binaria (v,w) 7→ [v,w] quesatisface las siguientes propiedades:

AL1 La operacion [, ] es bilineal.

AL2 Para cualquier v ∈ V, se tiene [v,v] = 0.

AL3 Para cualesquiera u,v,w ∈ V, se satisface la identidad de Jacobi

[[u,v],w] + [[v,w],u] + [[w,u],v] = 0.

63

64 Algebras de Lie

Las propiedades AL1 y AL2 implican la antisimetrıa del producto:

AL2′ Para cualesquiera v,w se tiene [v,w] = −[w,v].

Para demostrar este hecho, basta con expandir linealmente la expresion[v + w,v + w] y aplicar (AL2).

Cuando el campo no es de caracterıstica dos, las propiedades AL1 y AL2′

implican AL2, y para verificarlo, tomamos w = v en AL2′.

Generalmente, se usan letras germanicas minusculas, a, b, . . . , g, . . . , paradenotar una algebra de Lie. A la operacion [, ] se le llama corchete de Lie.La dimension de una algebra de Lie es simplemente la dimension del espaciovectorial subyacente.

Ejemplo 4.1.1. Consideremos el espacio vectorial real R3 y definamos elproducto vectorial de v = (v1, v2, v3) por w = (w1, w2, w3) como el vector

v × wdef=(v2w3 − v3w2, v3w1 − v1w3, v1w2 − v2w1),

y es inmediato que × es una operacion bilineal y antisimetrica, es decir,v × w = −w × v para cualesquier pareja de vecotres v,w ∈ R3. Despuesde realizar un calculo rutinario, podemos ver que × satisface la siguienterelacion para u,v,w ∈ R3:

(u × v) × w = 〈u,w〉v − 〈v,w〉u,

llamada triple producto vectorial. A partir de el triple producto vectorial,se verifica directamente la identidad de Jacobi para × y si definimos [v,w] =v × w se concluye que (R3, [, ]) es una algebra de Lie.

Las algebras de Lie aparecen de manera natural a partir de las algebrasasociativas; una algebra asociativa es un espacio vectorial (V, +, ·) con unamultiplicacion de vectores (v,w) 7→ v ∗ w la cual resulta ser asociativa enel sentido ordinario. Mediante un calculo rutinario, podemos verificar que laoperacion

[v,w] = v ∗ w − w ∗ v, (4.1)

le da una estructura de algebra de Lie al espacio vectorial subyacente delalgebra asociativa (V , +, ·, ∗). El corchete (4.1) se le llama conmutador.

4.1 Definicion y ejemplos 65

Dos ejemplos muy importantes de algebras de Lie obtenidas en esta formase presentan a continuacion:

Ejemplo 4.1.2. Sea V un espacio vectorial sobre un campo F. El conjuntode todos los endomorfismos en V, denotado por End(V), tiene una estructuranatural de espacio vectorial sobre F. Ademas, podemos definir un productoasociativo en End(V) mediante la composicion de funciones. Ası, End(V)se convierte en una algebra de Lie con el conmutador (4.1). A esta algebrade Lie se le conoce con el nombre de algebra general lineal de Lie y sedenota por gl(V). Cuando el espacio V es de dimension finita, digamos n,podemos identificar al espacio gl(V) con el espacio de matrices Mn(F) y sedenota gl(n, F).

Sea (A, +, ·, ∗) cualquier algebra sobre un campo F, es decir, la terna(A, +, ·) es un espacio vectorial sobre F y la terna (A, +, ∗) es un anillo(posiblemente no asociativo). Analizaremos ahora una clase de operadoreslineales que satisfacen una regla conocida del calculo diferenncial.

Definicion 4.2. Una derivacion de una algebra A es una transformacionlineal D : A → A que satisface la propiedad

D(v ∗ w) = v ∗ D(w) + D(v) ∗ w.

Ejemplo 4.1.3. El conjunto de todas las derivaciones de A lo denotaremospor der(A), el cual es un subespacio vectorial del algebra asociativa End(A).

Si definimos [D, D] como en (4.1) para D, D ∈ der(A), podemos verificarque

[D, D](v ∗ w) = DD(v ∗ w) − DD(v ∗ w)

= D

(v ∗ D(w) + D(v) ∗ w

)− D

(v ∗ D(w) + D(v) ∗ w

)

= D

(v ∗ D(w)

)+ D

(D(v) ∗ w

)− D

(v ∗ D(w)

)− D

(D(v) ∗ w

)

= v ∗ DD(w) + DD(v) ∗ w − v ∗ DD(w) − DD(v) ∗ w

= v ∗ [D, D](w) + [D, D](v) ∗ w.

Ası, podemos ver que der(A) con [, ] : der(A) → der(A) es una algebra deLie llamada el algebra de derivaciones del algebra A.

66 Algebras de Lie

Cuando A = g es una algebra de Lie y x ∈ g, podemos definir el operadorad x : g → g que manda a cada v en el vector [x,v]; a este operador se lellama operador adjunto de x.

Por la identidad de Jacobi y la antisimetrıa, tenemos

ad x([v,w]) = [x, [v,w]] = −[v, [w,x]] − [w, [x,v]]

= [v, [x,w]] + [[x,v],w]

= [v, ad x(w)] + [ad x(v),w],

con lo que ad x ∈ der(g). A una derivacion de este tipo de una algebra deLie se le llama interior.

Ejemplo 4.1.4. Si g es un espacio vectorial con [v,w] = 0 para todosv,w ∈ g, inmediatamente verificamos que g tiene estructura de algebra deLie. Llamaremos a esta algebra de Lie “el” algebra Abeliana. Esto mues-tra que cualquier espacio vectorial se puede convertir en algebra de Lie.

Si g es una algebra de Lie de dimension finita, digamos n, podemos elegiruna base B = e1, . . . ,en y es un hecho fundamental del Algebra Linealque cada vector [ei,ej] se expresa de manera unica como una combinacionlineal en termino de esta base. Sean cs

ij ∈ F tales que [ei,ej] =∑n

s=1 csijes;

los escalares csij son llamados constantes de estructura de g con respecto a la

base B. Las constantes para las cuales i ≥ j se pueden obtener de las quesatisfacen i < j, gracias a las propiedades AL2 y AL2′.

Esto nos permite definir una algebra de Lie solo mencionando cuales sonlas constantes cs

ij, las cuales deben de satisfacer las identidades obvias que seobtienen por las propiedades AL2 y AL3:

csii = 0 = cs

ij + csji

n∑

s=1

(csijc

rsk + cs

jkcrsi + cs

kicrsj

)= 0, para cada r = 1, 2, . . . , n.

Dos ejemplos importantes de algebras de Lie que podemos construir de estaforma son los siguientes:

Ejemplo 4.1.5. Si g es un espacio vectorial de dimension 2 con base x,y,definimos cx

xy = 1 = −cxyx y todas las demas constantes de estructura iguales

a cero. A traves de calculos directos, podemos verificar que g es un algebrade Lie.

4.2 Conceptos algebraicos fundamentales 67

Ejemplo 4.1.6. Sea g es un espacio vectorial de dimension 3 con basex,y,z y definimos las constantes de estructura cz

xy = cyxz = 1 = −cz

yx =−cy

zx y todas las demas constantes de escturctura iguales a cero. Ası, g esuna algebra de Lie.

4.2 Conceptos algebraicos fundamentales

En esta seccion se estudiaran las subestructuras importantes de las algebrasde Lie ası como las funciones que preservan tanto la estructura lineal comoel corchete de Lie.

Subalgebras e ideales

Primero, estudiaremos las subestructuras elementales de un algebra de Lie.

Definicion 4.3. Diremos que h ⊂ g es una subalgebra de Lie de g si h esun subespacio vectorial de g cerrado bajo el corchete de Lie.

Es inmediato que una subalgebra es a su vez una algebra de Lie, ya queel corchete de Lie restringido al subespacio satisface todas las condiciones dela Definicion 4.1.

Si g es una algebra de Lie, entonces g y 0 son subalgebras y son lla-madas subalgebras triviales de g; esto muestra que la familia de subalgebrasde una algebra de Lie es no vacıa.

Sean h y h subconjuntos no vacıos de g. Si denotamos por [h, h] al sube-

spacio generado por los corchetes de Lie [w,u], con w ∈ h y u ∈ h, es

inmediato que [h, h] es una subalgebra de Lie de g. Con esta notacion, unsubespacio h es una subalgebra si y solo si [h, h] ⊂ h.

Definicion 4.4. La subalgebra [g, g] es llamada algebra derivada de g yse denota usualmente por g′.

Es claro que g es abeliana si y solo si g′ = 0.

Si h y h son subalgebras de g, es facil ver que h ∩ h es tambien unasubalgebra de Lie de g. La union de dos subalgebras de Lie no necesaria-mente es una subalgebra de Lie.

68 Algebras de Lie

Definimos el normalizador de h como el conjunto

N(h) = v ∈ g : [v, h] ⊂ h ;

es claro que N(h) es una subalgebra de g pues si v,w ∈ N(h), entonces paratodo u ∈ h se tiene [v,u], [w,u] ∈ h y por la identidad de Jacobi

[[v,w],u] = −[[w,u],v] − [[u,v],w] ∈ h,

con lo que [v,w] ∈ N(h). Decimos que h es auto-normalizada si N(h) = h.Mas adelante, veremos una clase de subalgebras muy importante que pre-senta esta propiedad.

El centralizador de h es el conjunto

C(h) = v ∈ g : [v, h] = 0 ,

y nuevamente, por la identidad de Jacobi, C(h) es una subalgebra de g.

Ahora, estudiaremos una subestructura mucho mas interesante, analogaa los subgrupos normales de un grupo.

Definicion 4.5. Una subalgebra h de una algebra de Lie g se dice un ideal

si [g, h] ⊂ h.

Por la propiedad AL2′, tenemos que un ideal del anillo (g, +, [, ]) siemprees un ideal por ambos lados, pues [g, h] = [h, g].

Tambien, cuando tenemos un ideal h de g, el espacio cociente g/h se puededotar de una estructura de algebra de Lie de manera natural definiendo

[v + h,w + h] = [v,w] + h.

Esto nos da una caracterizacion del algebra derivada: el algebra g′ es un idealminimal con cociente abeliano.

Si h, i ⊂ g son dos ideales, entonces h∩ i, [h, i] y h+ i tambien son ideales,donde h + i es la subalgebra generada por los vectores h + i, con h ∈ h yi ∈ i, es decir,

h + i = v ∈ g : v = h + i, para algun h ∈ h, i ∈ i.


Evidentemente, h ∩ i es un ideal de g. Ahora, si v ∈ [h, i], con v = [h, i], ypara cualquier w ∈ g, se vuelve evidente, por antisimetrıa y la identidad deJacobi, que

[v,w] = [[h, i],w] = −[[i,w],h] − [[w,h], i] = [h, [i,w]] − [[w,h], i] ∈ [h, i].

Finalmente, para ver que h + i es un ideal, procedemos como sigue: siv ∈ h + i, podemos escribir v = vh + vi y tomando w ∈ g, tenemos[v,w] = [vh + vi,w] = [vh,w] + [vi,w] ∈ h + i.

Ejemplos de ideales son las subalgebras triviales; un ejemplo menos triv-ial es el algebra derivada g′ ya que si v ∈ g y w ∈ g′, entonces w ∈ g y ası[v,w] ∈ g′.

Un ejemplo mas es el subespacio w ∈ g : [w,v] = 0 para todo v ∈ g,ya que si w es un elemento de este conjunto y v es cualquier elemento de g,tenemos

[[w,v],u] = [0,u] = 0,

para todo u ∈ g.

Definicion 4.6. Sea g una algebra de Lie. El centro de g es el ideal

Z(g)def= w ∈ g : [w,v] = 0 para todo v ∈ g .

Es claro que Z(g) = C(g) y que g es abeliana si y solo si Z(g) = g.

El normalizador de una subalgebra h se caracteriza por ser la maximasubalgebra de g que contiene a h como un ideal, es decir, toda subalgebra esideal en su normalizador y h es ideal de g si y solo si N(h) = g.

Una clase de algebras de Lie muy importante es la siguiente:

Definicion 4.7. Diremos que una algebra de Lie g es simple si no tieneideales propios y g′ 6= 0, es decir, no tiene ideales distintos de 0 o g, yno es abeliana.

Mas adelante, veremos porque las algebras simples son importantes en elestudio de las algebras de Lie semisimples.

70 Algebras de Lie

En una algebra simple, se tienen las siguientes relaciones: Z(g) = 0 yg′ = g.

Si tenemos dos algebras de Lie g y h, podemos darle una estructura dealgebra de Lie al espacio vectorial g ∐ h mediante el producto componente-a-componente:

[(g1,h1), (g2,h2)] = ([g1, g2], [h1,h2]).

Es inmediato que g∐h se convierte en una algebra de Lie, la cual es llamadala suma directa (externa) de las algebras de Lie g y h, y la denotaremos porg ⊕ h.

Si ιg : g → g ⊕ h y ιh : h → g ⊕ h son las inclusiones canonicas, entoncespodemos ver a g y h como dos ideales g⊕ 0 y 0⊕ h en g⊕ h que conmutan,es decir, [g,h] = 0 para todo g ∈ g ⊕ 0 y h ∈ 0 ⊕ h. Es evidente queg ⊕ 0 ∩ 0 ⊕ h = 0.

Mas adelante, veremos otro tipo de suma directa llamada suma directa(interna) de algebras de Lie y su relacion con la suma directa externa.

Homomorfismos de algebras de Lie

En esta subseccion, nos dedicaremos al estudio de las funciones entre algebrasde Lie que preservan la estructura, es decir, el corchete de Lie.

Definicion 4.8. Un homomorfismo de algebras de Lie g y g es una trans-formacion lineal ϕ : g → g que satisface para cualesquiera v,w ∈ g larelacion ϕ ([v,w]) = [ϕ(v), ϕ(w)].

Es oportuno mencionar algunos tipos de homomorfismos. Un homomor-fismo ϕ : g → g se llama monomorfismo si es un homomorfismo inyectivo yes llamado epimorfismo si es suprayectivo.

Un homomorfismo que sea monomorfismo y epimorfismo al mismo tiempose le llama isomorfismo; en tal caso, diremos que las algebras de Lie g y g

son isomorfas y lo denotaremos g ∼= g.


Se puede verificar que la relacion de isomorfismo en la clase de algebrasde Lie es una relacion de equivalencia.

Un homomorfismo ϕ : g → g es llamado endomorfismo y si ϕ es isomor-fismo, diremos que es un automorfismo; al grupo de automorfismos de unaalgebra de Lie g lo denotaremos por Aut(g).

Los homomorfismos nos dan informacion util de las algebras de Lie querelacionen, por ejemplo:

Teorema 4.1. Si ϕ : g → g es un homomorfismo, entonces

1 ϕ(h) es una subalgebra de g, para cada subalgebra h de g. Si h es unideal, entonces ϕ(h) es un ideal en ϕ(g).

2 ϕ−1(h) es una subalgebra (resp. ideal) de g, para cada subalgebra (resp.

ideal) h de g.

3 Si ϕ es isomorfismo, entonces ϕ−1 tambien es isomorfismo.

4 Si ψ : g → g es un homomorfismo, entonces ψ ϕ : g → g es unhomomorfismo.

5 Si ϕ es isomorfismo, entonces ϕ(Z(g)

)= Z (g) y ϕ (g′) = g′.

La demostracion de estos resultados es sencilla, simplemente se aplica ladefinicion de los conceptos y por tal motivo, se determina excluirla del textopara evitar la rutina.

Un ideal i se dice caracterıstico si es invariante bajo automorfismos, esdecir, ϕ(i) = i para todo ϕ ∈ Aut(g). Ejemplos de estos ideales son g′ yZ(g), como lo muestra la parte 5 del Teorema 4.1. Tambien tenemos que g′

es el unico ideal minimal con cociente abeliano.

Definicion 4.9. Si ϕ : g → g es un homomorfismo, definimos el kernel onucleo de ϕ como el conjunto ϕ−1(0) y lo denotaremos Ker ϕ.

De la parte 2 en el Teorema 4.1 se sigue que Kerϕ es un ideal y a con-tinuacion, presentamos otro hecho util de los homomorfismos.

Proposicion 4.2. Un homomorfismo de algebras de Lie ϕ : g → g esmonomorfismo si y solo si Ker ϕ = 0.

72 Algebras de Lie

Demostracion. (⇒) Si v ∈ Ker ϕ, entonces ϕ(v) = 0 = ϕ(0), por lo quev = 0.

(⇐) Si ϕ(v) = ϕ(w), entonces ϕ(v −w) = 0, es decir, v −w ∈ Ker ϕ y portanto, v = w.

Si i y j son dos ideales en g que lo generan linealmente, es decir, g = i+ j,y que ademas tienen interseccion nula, entonces la transformacion

ϕ : i ⊕ j → g

definida por ϕ(i, j) = i + j es un isomorfismo entre las algebras de Lie i ⊕ j

y g. En efecto, es claro que Ker ϕ = 0 pues 0 = 0+0 y por la Proposicion4.2 se tiene que ϕ es un monomorfismo. Ademas, como g = i⊕ j, se tiene queϕ es un epimorfismo. En este caso, se dice que g es la suma directa (interna)de los ideales i y j.

Sea g una algebra de Lie y i un ideal de g. Si existe un ideal j tal quei⊕ j ∼= g, decimos que i y j son ideales complementarios. Decimos que el ideali es un sumando directo si existe un ideal complementario para i.

De ahora en adelante, no hay necesidad de hacer distincion entre la sumadirecta externa y la suma directa interna ya que escencialmente, son las mis-mas algebras de Lie. Ası, al algebra g = i ⊕ j simplemente la llamaremos lasuma directa de i y j, sin preocuparnos por la naturaleza de los sumandosinvolucrados.

Hay una relacion muy estrecha entre ideales, algebras cocientes y homo-morfismos de algebras de Lie que cunstituye uno de los puntos principalesde la Teorıa introductoria de las algebras de Lie y tiene concecuencias muyimportantes que podremos ver en el siguiente capıtulo.

En el siguiente resultado, hemos recopilado los resultados mas impor-tantes concernientes a la relacion descrita anteriormente. Los nombres de losTeoremas pueden ser familiares para las personas relacionadas con la Teorıade Grupos.


Teorema 4.3. 1 (Primer Teorema de Isomorfismos). Sea ϕ : g → g unhomomorfismo de algebras de Lie. Si i es un ideal de g contenido enKer ϕ, existe un unico homomorfismo

ψ : g/i → g,

con Ker ψ = Ker ϕ/i, que hace conmutar el diagrama

gϕ //

νÂÂ>

>

>

>

>

>

>

>

g

g/i

ψ

OO

donde ν : g → g/i es la proyeccion natural v 7→ v+i y ademas, tenemos

g/ Ker ϕ ∼= ϕ(g).

2 (Segundo Teorema de Isomorfismo). Si i y j son ideales de g, entonces

(i + j)/j ∼= i/(i ∩ j).

3 (Tercer Teorema de Isomorfismo). Si i y j son dos ideales de g coni ⊂ j, entonces j/i es un ideal de g/i y ademas,

g/i

j/i∼= g/j.

4 (Teorema de Correspondencia). Todo ideal de g/i es de la forma j/i,donde j es un ideal de g que contiene a i.

El que desee ver la demostracion, puede hacerlo en [11](p. 10). Comoun caso particular del primer Teorema de Isomorfismo, tenemos el siguienteresultado.

Corolario 4.4. (Teorema Fundamental de Homomorfismos). Para cadaideal i de una algebra de Lie g, existe un homomorfismo de algebras de Lieν tal que Ker ν = i.

74 Algebras de Lie

4.3 Algebras de Lie lineales

Los ejemplos mas clasicos de algebras de Lie son presisamente las algebrasde Lie de matrices. Ya conocemos el algebra general lineal, introducida en elEjemplo 4.1.2. Una algebra de Lie se dice ser una algebra de Lie lineal si esuna subalgebra de gl(V) o bien de gl(n, F).

Aquı se trabajara con gl(n, F), ya que las matrices son mas convenientesque las transformaciones lineales para hacer calculos explicitos, que es lo quese quiere hacer en esta seccion.

Fijemos la base estandar de gl(n, F) que esta conformada por las matricescon un 1 en una entrada determinada y cero en las demas entradas, es decir,Ekl = (eij

kl), con eijkl = δi

kδjl , donde

δik ≡ δki

def=

1 si i = k0 en otro caso

es el sımbolo de Kroneker. Ademas, no es dificil encontrar la relacion

[Eij, Ekl] = δjkEil − δliEkj; (4.2)

notese que las constantes de estructura de gl(n, F) son ±1 o cero.

Ahora, presentaremos cuatro familias muy importantes de algebras de Lielineales, llamadas algebras de Lie clasicas y denotadas tradicionalmente porlas letras Aℓ, Bℓ, Cℓ y Dℓ:

Aℓ Consideremos el subespacio de gl(n, F) conformado por las matrices detraza cero y denotemoslo por sl(n, F). Por las propiedades de la traza,en particular tr(AB) = tr(BA), es facil verificar que tr([A,B]) = 0 porlo que [sl(n, F), sl(n, F)] ⊂ sl(n, F). Ası, sl(n, F) es una subalgebra degl(n, F) a la cual le llamaremos el algebra especial lineal.

Si n = ℓ+1, entonces claramente dim sl(n, F) ≤ (ℓ+1)2−1. Exhibamosun subconjunto linealmente independiente de sl(n, F) con (ℓ + 1)2 − 1elementos: Primero, seleccionemos las matrices Eij con i 6= j, las cualesacumulan un total de (ℓ+1)2 − (ℓ+1) elementos. Ahora, recolectemoslas matrices Hi = Eii − Ei+1,i+1 para un total de (ℓ + 1)2 − (ℓ + 1) + ℓelementos en la base, que la veremos como la base estandar de sl(n, F).

4.3 Algebras de Lie lineales 75

Cℓ Sean n = 2ℓ y Ω : F2ℓ → F una forma simplectica (es decir, una formabilineal, antisimetrica y no-degenerada); la matriz W de Ω es

W =

(0 Iℓ

−Iℓ 0

).

Se puede demostrar que la restriccion en la dimension del espacio esnecesaria para la existencia de Ω. Denotemos por sp(2ℓ, F) al conjuntode todas las matrices A que satisfacen la ecuacion

WA + AT W = 0;

es claro que si A,B ∈ sp(2ℓ, F), entonces

W [A,B] + [A,B]T W = W (AB − BA) + (AB − BA)T W

= WAB − WBA + BT AT W − AT BT W

= WAB + BT WA + BT AT W + AT WB

=(WA + AT W

)B + BT

(WA + AT W

)

= 0B + BT0 = 0,

por lo que sp(2ℓ, F) es una subalgebra de gl(2ℓ, F) a la cual llamaremosel algebra simplectica. Si escribimos

A =

(M NP Q

),

entonces las matrices M,N,P y Q deben satisfacer las condiciones

NT = N, P T = P y MT = −Q;

la ultima igualdad fuerza a que trA = 0, es decir, sp(2ℓ, F) ⊂ sl(2ℓ, F).

Una base para sp(2ℓ, F) esta dada por las ℓ matrices diagonales Ei,i −Ei+ℓ,i+ℓ, junto con las ℓ2 − ℓ matrices Eij −Ej+ℓ,i+ℓ para i 6= j; para lamatriz N , seleccionamos las ℓ matrices Ei,i+ℓ y las 1

2ℓ(ℓ − 1) matrices

Ei,j+ℓ + Ej,i+ℓ con i < j. Similarmente para la matriz P , tomamos lasℓ matrices Ei+ℓ,i y las 1

2ℓ(ℓ − 1) matrices Ei+ℓ,j + Ej+ℓ,i con i < j. En

total, recolectamos 2ℓ2 + ℓ matrices basicas para sp(2ℓ, F).

76 Algebras de Lie

Bℓ Sean n = 2ℓ + 1 y B una forma bilineal simetrica con matriz

B =

1 0 0

0 0 Iℓ

0 Iℓ 0

.

Denotemos por o(2ℓ+1, F) al conjunto de matrices A que satisfacen laecuacion

BA + AT B = 0.

La demostracion de que o(2ℓ + 1, F) es cerrada bajo el conmutador esanaloga a la de sp(n, F), ya que el requerimiento es el mismo. A estasubalgebra de gl(2ℓ + 1, F) se le llama el algebra ortogonal impar. Siescribimos

A =

a11 a12 a13

a21 M Na31 P Q

,

entonces tenemos las siguientes condiciones sobre las componentes deA:

a11 = 0, a21 = −aT13, a31 = −aT

12,

Q = −MT , NT = −N y P T = −P ;

como se obtuvo para sp(n, F), por a11 = 0 y Q = −MT se muestra quetr A = 0 de donde se concluye que o(2ℓ + 1, F) ⊂ sl(2ℓ + 1, F).

Para formar una base, escoja las ℓ matrices diagonales Eii−Eℓ+i,ℓ+i, con2 ≤ i ≤ ℓ+1, y anada las 2ℓ matrices E1,i+ℓ+1−Ei+1,1 y E1,i+1−Ei+ℓ+1,1.Para Q tome las ℓ2 − ℓ matrices Ei+1,j+1 − Ej+ℓ+1,i+ℓ+1 con i 6= j;para N y P , seleccione las ℓ(ℓ − 1) matrices Ei+1,j+ℓ+1 + Ej+1,i+ℓ+1 yEi+ℓ+1,j+1 + Ej+ℓ+1,i+1 con i 6= j. Todo esto nos da un total de 2ℓ2 + ℓelementos de la base.

Dℓ Si ahora n = 2ℓ y B tiene como matriz

B =

(0 Iℓ

Iℓ 0

),


definimos o(2ℓ, F) de modo analogo al de o(2ℓ + 1, F) y le llamamos elalgebra ortogonal par. Si A ∈ o(2ℓ, F) la escribimos

A =

(M NP Q

),

se obtienen las relaciones

MT = −Q, NT = −N y P T = −P,

y nuevamente se tiene la contencion o(2ℓ, F) ⊂ sl(2ℓ, F).

Para obtener una base de o(2ℓ, F) basta con tomar las ℓ matrices diag-onales Eii −Eℓ+i,ℓ+i junto con las 2(ℓ2 − ℓ) matrices Ei,j −Ej+ℓ,i+ℓ paraQ, Ei,j+ℓ + Ej,i+ℓ para N y Ei+ℓ,j + Ej+ℓ,i para P , todas con i 6= j. Entotal, tenemos que la dimension de o(2ℓ, F) es 2ℓ2 − ℓ.

Mas adelante veremos la importancia de estas cuatro familias de algebras deLie. Por el momento, comentaremos que los nombres de estas algebras sedeben a la estrecha relacion que tienen con los grupos clasicos de Lie. Pode-mos demostrar que A1

∼= B1∼= C1, D1 es el algebra abeliana de dimension 1,

B2∼= C2 y D3

∼= A3.

Sea s(n, F) el conjunto de matrices escalares, es decir, multiplos escalaresde la matriz identidad. Es obvio que s(n, F) es una subalgebra de gl(n, F)y ademas, [A,B] /∈ s(n, F) cuando el campo F es de caracterısrica cero,pues de lo contrario, 0 = tr[A,B] = tr aI = an. Tambien es evidente ques(n, F) ⊂ Z(gl(n, F)); si A ∈ Z(gl(n, F)), entonces A conmuta con las matri-ces de la forma E1,i lo que implica que A ∈ s(n, F).

Calculemos gl(n, F)′. Por las propiedades de la traza, sabemos que sesatisface la contencion gl(n, F)′ ⊂ sl(n, F). De las relaciones dadas en (4.2),podemos ver que si i 6= l y j = k, se tiene que gl(n, F)′ ∋ [Eij, Ejl] = Eil ∈sl(n, F) y para i = l, j = k = i + 1 tenemos que Hi ∈ gl(n, F)′; como loselementos basicos de sl(n, F) estan en gl(n, F)′, se tiene sl(n, F) ⊂ gl(n, F)′ yse sigue la igualdad. Mas aun, si i > l y j > i o bien i < l y j < i, todas lasmatrices en [Eij, Ejl] = Eil tienen traza cero ası como Hi = [Ei,i+1, Ei+1,i], loque muestra que sl(n, F)′ = sl(n, F).

78 Algebras de Lie

Otra observacion es que, cuando la caracterıstica del campo es cero, setiene la descomposicion

gl(n, F) = sl(n, F)⊕ s(n, F),

ya que sl(n, F)∩ s(n, F) = 0 y cada matriz A = (aij) ∈ gl(n, F) se puedeescribir como

A = B + C,

con B = (bij) ∈ sl(n, F) y C = kI ∈ s(n, F), donde

k =1

ntr A, bii = aii − k, bij = aij para i 6= j.

Cuando la caracterıstica del campo divide a n, se puede mostrar que s(n, F)es el centro de sl(n, F) y la descomposicion antes mencionada de una matrizen gl(n, F) como suma de una matriz de traza cero y un multiplo escalar dela identidad no es unica.

Definamos t(n, F) como el conjunto de todas las matrices cuadradas deorden n que son triangulares superiores, es decir, aquellas matrices A = (aij)con aij = 0 para i > j, es decir,

t(n, F)def= (aij) ∈ gl(n, F) : aij = 0 para i > j .

Es facil ver que t(n, F) es una subalgebra de gl(n, F), pues si A,B ∈ t(n, F),entonces

[A,B] =

(∑

k

aikbkj − bikakj

)

y esta matriz tiene ceros en las componentes para las cuales i > j, pues sise tiene esta desigualdad, es necesario que k ≥ i para que aik 6= 0, pero estoforza a que bkj = 0 y de modo similar para bik y akj.

A esta algebra de Lie se le conoce como el algebra de matrices triangularessuperiores de orden n.

Ademas, la dimension de t(n, F) es 12n(n + 1) y la base estandar es el

conjunto de matrices Eij con i ≤ j. No es difıcil ver que t(n, F) es unasubalgebra auto-normalizada de gl(n, F).


Ahora, consideremos las matrices triangulares estrictamente superiores ydenotemos a este conjunto por n(n, F), es decir,

n(n, F)def=(aij) ∈ gl(n, F) : aij = 0 para i ≥ j.

Es claro que n(n, F) ⊂ t(n, F) y podemos verificar directamente la contencion[n(n, F), n(n, F)] ⊂ n(n, F). Ası, n(n, F) es una subalgebra de t(n, F).

A esta algebra de Lie le llamaremos el algebra de las matrices triangularessuperiores nilpotentes de orden n.

Es evidente que la dimension de n(n, F) es 12n(n − 1) y la base estandar

esta conformada por las matrices Eij con i < j. Ademas, podemos ver queN(n(n, F)) = t(n, F).

Finalmente, consideremos el conjunto de matrices diagonales

d(n, F)def=(aij) ∈ gl(n, F) : aij = 0 para i 6= j,

el cual es claramente una subalgebra de gl(n, F) ya que la suma y el productode matrices diagonales es nuevamente una matriz diagonal. De hecho, d(n, F)es una subalgebra de t(n, F).

A esta algebra de Lie se le llama el algebra de matrices diagonales deorden n.

La dimension de d(n, F) es n y la base estandar tiene como elementos a lasmatrices Eii. Se puede ver que d(n, F) es una subalgebra auto-normalizadade gl(n, F) y tambien que d(n, F) es una algebra abeliana.

Evidentemente, podemos descomponer a t(n, F) como suma directa de lossubespacios n(n, F) y d(n, F), es decir, t(n, F) = n(n, F)∐ d(n, F) .

Ademas, si D ∈ d(n, F) y N ∈ n(n, F), entonces [D,N ] ∈ n(n, F). Estomuestra que el algebra derivada de t(n, F) es n(n, F) y que d(n, F) no es unideal de t(n, F).

Estas tres subalgebras lineales jugaran un papel importante en la teorıamas adelante.

80 Algebras de Lie

4.4 Representaciones y la forma de Killing

En esta seccion, presentaremos una herramienta algebraica que resulta serconveniente, pues hace un vınculo entre el estudio algebraico de las algebrasde Lie con el estudio de operadores lineales en un espacio vectorial.

Definicion 4.10. Una representacion de una algebra de Lie g en un es-pacio vectorial V sobre F es un homomorfismo ρ : g → gl(V).

Diremos que la representacion ρ es fiel si ρ es un monomorfismo. SiKer ρ 6= 0, se tiene una representacion inducida en el cociente g/ Ker ρ de lamanera que indica el Teorema 4.3 en su pare 1. La representacion trivial esla representacion en el espacio de dimension 1 donde todos los operadoresson cero.

Si tenemos dos algebras de Lie g y h y contamos con una representacion deg en derivaciones de h, es decir, un homomorfismo ρ : g → der(h), podemosdotar al conjunto g× h de una estructura de algebra de Lie: las operacionesde espacio vectorial se definen por componentes y el producto lo definimosusando la representacion ρ, es decir, si (v1,w1), (v2,w2) ∈ g × h

[(v1,w1), (v2,w2)] =([v1,v2]g, [w1,w2]h + ρ(v1)(w2) − ρ(v2)(w1)

),

lo cual le da estructura de algebra de Lie al producto cartesiano. Esta algebrade Lie se llama la suma semidirecta de las algebras g y h y lo denotaremospor el sımbolo g ⊕ρ h.

Se puede ver que si ρ es la representacion trivial, entonces la suma semidi-recta g ⊕ρ h es precisamente la suma directa g ⊕ h.

Representacion adjunta

Una representacion muy importante en el estudio de las algebras de Lie, esla representacion adjunta la cual es define por

ad : g ∋ v 7→ ad v ∈ der(g) ⊂ gl(g).

Esta es una representacion legıtima, pues es claro que ad es lineal y ademas

ad[v,w](u) = [[v,w],u] = [v, [w,u]] + [[v,u],w]

= [v, [w,u]] − [w, [v,u]] = ad v([w,u]) − ad w([v,u])

= ad v ad w(u) − ad w ad v(u) = [ad v, ad w](u).

4.4 Representaciones y la forma de Killing 81

El kernel de ad consiste de todos los vectores v ∈ g tales que ad v ≡ 0, esdecir, todos los vectores v ∈ g que satisacen ad v(w) = [v,w] = 0 paratodo w ∈ g. En otras palabras, Ker ad = Z(g). El Primer Teorema deIsomorfismo (Teorema 4.3, parte 1) tiene una importante consecuencia:

Corolario 4.5. Toda algebra de Lie simple tiene una representacion fiel. Enotras palabras, si g es una algebra de Lie simple, entonces es isomorfa a unaalgebra de Lie lineal.

Demostracion. Como g es simple, Z(g) = 0 y ası, ad es un monomorfismo.

Esta es una version debil del Teorema de Ado, que establece que todaalgebra de Lie de dimension finita sobre un campo de caracterıstica cerotiene una representacion fiel (ver [6], p. 202). Para el caso de caracterısticap, el resultado se conoce con el nombre de Teorema de Iwasawa y se puedeencontrar en [6] (p. 203).

Denotaremos por ad g a la imagen de g bajo ad en gl(g) y la llamaremosel algebra adjunta de g. Claramente, ad g es un ideal en der(g) ⊂ gl(g) quese verifica mediante el siguiente calculo: Sea D ∈ der(g), entonces

[D, ad v](w) = D ad v(w) − ad vD(w) = D([v,w]) − [v,D(w)]

= [v,D(w)] + [D(v),w] − [v,D(w)] = [D(v),w]

=(ad D(v)

)(w) ∈ ad g.

Forma de Killing

En esta subseccion, estudiaremos una forma de traza inducida por la repre-sentacion adjunta de una algebra de Lie.

Definicion 4.11. Sea g una algebra de Lie y ad la representacion adjuntade gLa forma de Killing de g se define como la funcion

(v,w) 7→ κ(v,w) = tr (ad v ad w) .

Por las propiedades de la forma de traza, la forma de Killing de unaalgebra de Lie es una forma bilineal simetrica en g.

82 Algebras de Lie

Ejemplo 4.4.1. Supongamos que la caracterıstica de F no es 2 y considere-mos el algebra sl(2, F) con la base usual

x =

(0 10 0

),h =

(1 00 −1

),y =

(0 01 0

).

Es facil verificar las siguientes relaciones para estos elementos basicos:

[h,x] = 2x, [h,y] = −2y, [x,y] = h; (4.3)

ası, obtenemos las matrices de los operadores adjuntos:

ad h =

2 0 00 0 00 0 −2

,

ad x =

0 −2 00 0 10 0 0

y

ad y =

0 0 0−1 0 0

0 2 0

.

Si tomamos v = v1x + v2h + v3y ∈ sl(2, F), entonces

κ(v,v) = (v1)2κ(x,x) + (v2)2κ(h,h) + (v3)2κ(y,y)

+2(v1v2κ(x,h) + v1v3κ(x,y) + v2v3κ(h,y)

).

Por otra parte, podemos ver que κ(xx) = κ(xh) = κ(hy) = κ(yy) = 0,κ(x,y) = 4 y κ(h,h) = 8, con lo que se infiere la relacion

κ(v,v) = 8[(v2)2 + v1v3] = 4 tr(v2). (4.4)

Expandiendo linealmente κ(v + w,v + w) y usando la relacion (4.4), seobtiene la expresion

κ(v,w) = 4 tr(vw). (4.5)

4.4 Representaciones y la forma de Killing 83

Ejemplo 4.4.2. Considere gl(2, F) con la base usual Ekl. Si v ∈ gl(2, F),el operador (ad v)2 transforma a w en v2w − 2vwv + wv2 y si v = aE11 +bE12 + cE21 + dE22, la matriz de este operador es

(ad v)2 =

2bc −ac + cd −ab + bd −2bc

−ab + bd 2bc + (a − d)2 −2b2 ab − bd

−ac + cd −2c2 2bc + (a − d)2 ac − cd−2bc ac − cd ab − bd 2bc

,

de donde podemos ver que κ(v,v) = 8bc + 2(a − d)2 = 4 tr(v2) − 2 (tr v)2.Con un razonamiento similar al empleado en el Ejemplo 4.4.1, obtenemos laexpresion de la forma de Killing

κ(v,w) = 4 tr(vw) − 2 tr v tr w.

Se puede verificar que la forma de Killing de gl(n, F) es

κ(v,w) = 2n tr(vw) − 2 tr v tr w.

La forma de Killing κ es asociativa en el sentido de que

κ([v,w],u) = κ(v, [w,u]),

como se demuestra en el siguiente calculo:

κ([v,w],u) = tr((ad v ad w − ad w ad v) ad u

)

= tr (ad v ad w ad u − ad w ad v ad u)

= tr(ad v ad w ad u) − tr(ad w ad v ad u)

= tr(ad v ad w ad u) − tr(ad v ad u ad w)

= tr(ad v(ad w ad u − ad u ad w)

)

= κ(v, [w,u]).

En otras palabras, ad es antisimetrico con respecto a κ. Otra propiedadde la forma de Killing es que es invariante bajo automorfismos: Sea ϕ unautomorfismo de g, entonces

ad ϕ(v)(u) = [ϕ(v),u] = ϕ([v, ϕ−1(u)]) = ϕ ad vϕ−1(u),

para todo u ∈ g y ası

κ(ϕ(v), ϕ(w)) = tr(ad ϕ(v) ad ϕ(w)

)= tr(ϕ ad vϕ−1 ϕ ad wϕ−1)

= tr(ad v ad w) = κ(v,w).

84 Algebras de Lie

Del mismo modo, es (infinitesimalmente) invariante bajo derivaciones:

κ(D(v),u) + κ(v,D(u)) = 0.

Si i es un ideal de g, con forma de Killing κ, y κi es la forma de Killing dei, visto como algebra de Lie, entonces κ|i×i = κi. Esto es puede ver de lasiguiente manera: si tenemos una base de i y la extendemos a una base de g,tendremos que la matriz del operador adv ad w, para v,w ∈ i, con respectoa esta base tiene la forma (

A B0 0

),

donde A es la matriz del operador adv ad w : i → i.

Definicion 4.12. Diremos que κ es no-degenerada si el conjunto

Rκ = v ∈ g : κ(v,w) = 0 para todo w ∈ g

es nulo.

A este conjunto se le llama el radical de κ. Es facil ver que Rκ es unasubalgebra de g. De hecho, la antisimetrıa de ad con respecto de κ hacede Rκ un ideal, como se puede verificar mediante calculos rutinarios que noatenderemos aquı.

Un resultado sencillo de Algebra Lineal, pero que es de mucha utilidad,es el siguiente:

Teorema 4.6. Sea B = e1,e2, . . . ,en una base para una algebra de Lie g

con forma de Killing κ, entonces κ es no-degenerada si y solo si la matriz

κ(e1,e1) κ(e1,e2) · · · κ(e1,en)κ(e2,e1) κ(e2,e2) · · · κ(e2,en)

......

. . ....

κ(en,e1) κ(en,e2) · · · κ(en,en)

tiene determinante diferente de cero.

Se puede ver la demostracion de este hecho, en una version mas general,en [10] (p. 236).

4.5 Teorema de Weyl y representaciones de sl(2, F) 85

4.5 Teorema de Weyl y representaciones de

sl(2, F)

En esta seccion se presentaran cuatro resultados que tienen concecuenciasmuy fuertes en el trabajo que realizaremos en el ultimo capıtulo (para lasdemostraciones, ver [4]).

Un modulo sobre g, o bien, un g-modulo es un espacio vectorial V dotadode una operacion, o accion, de g que denotaremos g×V ∋ (v,a) 7→ v.a ∈ V

que satisface las siguientes propiedades para todos a, b, v, w ∈ F, v,w ∈ g ya, b ∈ V:

(M1) (vv + ww).a = vv.a + ww.a,

(M2) v.(aa + bb) = av.a + bv.b,

(M3) [v,w].a = v.w.a − w.v.a.

Un subespacio W cerrado bajo la accion de g, g.W ⊂ W, es llamado ung-submodulo. Claramente, 0 y V son g-submodulos (triviales) de V. Diremosque V es un g-modulo irreducible si no posee g-submodulos propios.

Teorema 4.7. (Weyl) Sea V un g-modulo de dimension finita con g unaalgebra semisimple, entonces V es suma directa de g-submodulos irreducibles.

De aquı en lo que resta de la subseccion, consideraremos solamente sl(2, F)-modulos. Recordemos la base estandar para sl(2, F), conformada por lasmatrices

x =

(0 10 0

),h =

(1 00 −1

),y =

(0 01 0

),

con las relaciones [h,x] = 2x, [h,y] = −2y y [x,y] = h.

Sea V un modulo. Como h es diagonal, entonces actua diagonalmente yası, V =

∐Vλ, donde Vλ = a ∈ V : h.a = λa con λ ∈ F. Los valores λ

para los cuales Vλ 6= 0 son llamados pesos de h.

Lema 4.8. x.Vλ ⊂ Vλ+2 y y.Vλ ⊂ Vλ−2.

Como la dimension de V es finita, debe de existir Vµ 6= 0 tal que Vµ+2 =0. Cualquier vector diferente de cero a en Vµ con x.a = 0 es llamado vectormaximal de peso µ.

86 Algebras de Lie

Proposicion 4.9. Supongamos que V es irreducible y escoja un vector max-imal m0 de peso µ. Defina m−1 = 0 y para todo entero no negativo k,mk = 1

k!yk.m0, entonces para k ≥ 0

h.mk = (µ − 2k)mk, y.mk = (k + 1)mk+1, x.mk = (µ − k + 1)mk−1.

Se puede ver que una base para V es m,m1, . . . ,mm. Ademas, µ =m = dimV − 1, es decir, el peso de un vector maximal es un entero nonegativo; lo llamaremos el peso mas alto. Ahora, presentamos el resultadoprincipal de esta subseccion.

Teorema 4.10. Sea V un modulo irreducible.

(1) Relativo a h, V es suma directa de espacios Vλ, con λ = m,m −2, . . . ,−(m−2),−m, donde m = dimV+1 y dimVλ = 1 para cada λ.

(2) V tiene un unico vector maximal, salvo multiplos escalares, cuyo pesoes m.

(3) La accion de sl(2, F) esta determinado por las formulas de la Proposicion4.9, con una base correctamente seleccionada.

Como concecuencia directa, tenemos el siguiente

Corolario 4.11. Sea V un modulo de dimension finita, entonces los valorespropios de h son todos enteros, y cada uno de ellos aparece junto con su neg-ativo un numero igual de ocaciones. Mas aun, en cualquier descomposicionde V en submodulos irreducibles, el numero de sumandos es presisamentedimV0 + dimV1.

Capıtulo 5

Teorıa estructural

Este capıtulo esta dedicado al estudio de tres tipos especiales de algebras deLie y se pretende poner de manifiesto tal importancia. Los nombres de losconceptos aquı presentados tienen mucha relacion con los conceptos analogosen la Teorıa de Grupos.

5.1 Solubilidad y nilpotencia

Primero estudiaremos las algebras solubles, que daran lugar a las algebrassemisimples, las cuales ocuparan gran parte de nuestra atencion en lo queresta de este trabajo.

Algebras solubles

Definimos una sucesion de subconjuntos de una algebra de Lie g como sigue:

g(0) def= g, g(1) = g′, g(2) = (g′)′, . . . g(k) = (g(k−1))′, . . .

Esta sucesion es llamada la serie derivada de g.

Un elemento v en g(k) se puede expresar como combinacion lineal de el-ementos de la forma [u,w], donde u,w ∈ g(k−1). En tal caso, escribiremos

el sımbolo v =′∑

vuw[u,w] para denotar a los elementos de g(k), donde u yw estan en g(k−1).

87

88 Teorıa estructural

Claramente, g(k) ⊃ g(k+1) y cada termino de la serie es un ideal de g

como se demuestra a continuacion: Para k = 0 es claro. Supongamos queg(k−1) es un ideal de g, entonces para v ∈ g(k) = [g(k−1), g(k−1)], digamos

v =′∑

vuw[u,w], y x ∈ g tenemos que

[v,x] =′∑

vuw[[u,w],x] = −′∑

vuw

([[w,x],u] + [[x,u],w]

)∈ g(k).

De hecho, se puede demostrar que cada termino de esta serie es un idealcaracterıstico de g.

Definicion 5.1. Diremos que g es soluble si g(k) = 0 para algun k.

De inmediato podemos obtener la siguiente caracterizacion para la solu-bilidad de un algebra de Lie:

Teorema 5.1. Un algebra de Lie g es soluble si y solo si existe una cadenade subalgebras g0 = g ⊃ g1 ⊃ · · · ⊃ gk = 0 tal que gi+1 es ideal de gi concociente abeliano.

Demostracion. (⇒) Tome la serie derivada. (⇐) El hecho de que g(k) ⊂ gk

es consecuencia de la minimalidad de cociente abeliano de los factores de laserie derivada.

Ejemplos de algebras solubles son las algebras abelianas y ejemplo dealgebras que no son solubles son las algebras simples. Mas adelante, veremosuna relacion entre las algebras solubles y el algebra de matrices triangularessuperiores estudiada anteriormente.

Otros resultados notables se resumen en la siguiente:

Proposicion 5.2. Sea g un algebra de Lie.

1 Si g es soluble, entonces toda subalgebra e imagen homomorfica de g loson.

2 Si i es un ideal soluble de g tal que g/i es soluble, entonces g es soluble.

3 Si i y j son ideales solubles de g, entonces tambien lo es i + j.

4 g es soluble si y solo si ad g es soluble.

5.1 Solubilidad y nilpotencia 89

La prueba se puede ver en [4] (p. 11).

Si i es un ideal soluble maximal de un algebra de Lie g y j es cualquierideal soluble de g, entonces la parte 3 del Lema 5.2 implica que i + j = i

por maximalidad, es decir, hay un unico ideal soluble maximal. A tal ideallo llamaremos el radical de g y lo denotaremos por radg. Esta discusion nospermite definir un tipo especial de algebras de Lie.

Definicion 5.2. Diremos que un algebra de Lie es semisimple si su radicales cero.

En la siguiente seccion nos dedicaremos al estudio de algunas de laspropiedades principales de las algebras de Lie semisimples, por el momento,solo presentaremos dos resultado sobre algebras de Lie semisimples.

Teorema 5.3. Si g es una algebra de Lie, entonces g/radg es una algebra deLie semisimple.

Demostracion. radg/radges un ideal soluble de g/radg y por el Teorema 4.3

en su parte 4, existe un ideal i tal que i/radg = radg/radg. Por la parte 2 de la

Proposicion 5.2, i es soluble y por maximalidad, i = radg. En consecuencia,tenemos que radg/radg

= 0 + radg.

Teorema 5.4. Toda algebra de Lie simple es una algebra de Lie semisimple.

Demostracion. Si g es simple, entonces no puede ser soluble y radg es unideal soluble de g, por lo que radg 6= g. Esto fuerza a tener radg = 0.

Mas adelante estableceremos una descomposicion de una algebra de Liesemisimple como una suma directa de sus ideales simples, la cual tendraconsecuencias interesantes como se vera en la ultima seccion de este capıtulo.

Algebras nilpotentes

Un concepto mas moderno que la solubilidad es la nilpotencia. En esta sub-seccion estudiaremos este tipo de algebras de Lie y veremos una relacionentre la nilpotencia y la solubilidad.

Definimos ahora una nueva sucesion se subconjuntos de una algebra deLie g de manera recursiva como sigue:

g0 = g, para k ∈ N gk = [gk−1, g].


A esta sucesion se le conoce con el nombre de la serie central de g.

Note que el k-esimo termino de la serie derivada g(k) esta contenida en elcorrespondiente k-esimo termino de la serie central gk.

A cada elemento v de gk lo podemos expresar como combinacion linealde elementos de la forma [u,w], donde u ∈ gk−1 y w ∈ g. En este caso,escribiremos el sımbolo v =

∑vuw[u,w] para representar a los elementos de

gk como una combinacion lineal de los elementos de u ∈ gk−1 y w ∈ g.

Cada termino de la serie central es un ideal de g. En efecto, g0 es un idealde g y si supongamos que gk−1 es un ideal de g y tomemos v =

∑vuw[u,w] ∈

gk con u ∈ gk−1 y w ∈ g. Para todo x ∈ g tenemos

[v,x] =∑

vuw[[u,w],x] = −∑

vuw([[w,x],u] + [[x,u],w]) ∈ gk,

ya que [[w,x],u] ∈ [g1, gk−1] ⊂ gk y [[x,u],w] ∈ [gk−1, g] = gk. Comoen el caso de la serie derivada, los terminos en la serie central son idealescaracterısticos de g.

Definicion 5.3. Diremos que g es nilpotente si gk = 0 para algun k.

Las algebras abelianas son nilpotentes y a su vez las algebras nilpotentesson solubles, pero soluble no implica nilpotente (ver el Ejemplo 4.1.5).

Un resumen de algunas propiedades notables se presentan en el siguienteresultado:

Proposicion 5.5. Sea g un algebra de Lie.

1 Si g es nilpotente, entonces toda subalgebra e imagen homomorfica deg es nilpotente y Z(g) 6= 0.

2 Si i es un ideal nilpotente de g y g/i es nilpotente, entonces g es nilpo-tente. En particular, si g/Z(g) es nilpotente, entonces g tambien loes.

3 Si i y j son ideales nilpotentes de g, entonces i + j es nilpotente.

4 g es nilpotente si y solo si ad g es nilpotente.

5.1 Solubilidad y nilpotencia 91

La demostracion se puede encontrar en [4] (p. 12).

La condicion de nilpotencia para un algebra de Lie g se puede reescribirde la siguiente forma: para algun numero natural n y cualquier conjunto devectores v1,v2, . . . ,vn,w ∈ g, tenemos

ad v1 ad v2 · · · ad vn(w) = 0.

En particular, (ad v)n = 0, es decir, si g es nilpotente, entonces ad g consistede operadores nilpotentes.

Diremos que un elemento v en g es ad-nilpotente si ad v es nilpotente ender(g). Ahora, tenemos el siguiente resultado:

Proposicion 5.6. Si A ∈ gl(V) es un operador nilpotente, entonces es ad-nilpotente.

Demostracion. Si definimos los operadores

LA : gl(V) ∋ B 7→ AB ∈ gl(V)

yRA : gl(V) ∋ B 7→ BA ∈ gl(V),

es evidente que ad A = LA − RA. Ahora, los operadores LA y RA son nilpo-tentes ya que Lk

A = LAk = L0 para algun k y analogamente, para RA se tieneRk

A = RAk = R0 para algun k.

Ademas, son operadores que conmutan, es decir, LARA = RALA y por elTeorema del Binomio de Newton, podemos expandir (adA)k = (LA − RA)k

como la suma∑k

r=0(−1)r(

kr

)L

k−rA Rr

A.

Supongamos que k1 es el menor entero positivo para el cual Ak1 = 0 ytomemos k = 2k1 − 1. Si k − r ≤ k1, entonces r ≥ k − k1 = k1 y se tieneRr

A = 0. Del mismo modo, si k − r > k1, entonces Rk−rA = 0 y ası,

(ad A)k =k∑

r=0

(−1)r(

kr

)L

k−rA R

rA = 0.


5.2 Criterios de solubilidad y nilpotencia

Aquı, presentaremos tres criterios para determinar la nilpotencia o solubili-dad de un algebra de Lie.

Teorema de Engel

Hemos visto que cuando un algebra de Lie g es nilpotente, entonces todossus elementos son ad-nilpotentes. Aquı veremos que lo recıproco tambien esvalida:

Teorema 5.7. (Engel). Si todo elemento de g es ad-nilpotente, entonces g

es nilpotente.

Para la demostracion, necesitamos del siguiente lema.

Lema 5.8. Sea g una subalgebra de gl(V), con V un espacio de dimensionfinita. Si g consiste de operadores nilpotentes y V 6= 0, entonces existe unvector no cero a ∈ V para el cual g.a = 0.

La demostracion se deduce en cuatro pasos (para los detalles, ver [4], p.13):

1. Se demuestra que toda subalgebra propia h de g esta contenida propi-amente en su normalizador.

2. Tomemos h maximal para tener N(h) = g. Se prueba que h es un idealde codimension 1.

3. Se muestra que el subespacio A = a ∈ V : h.a = 0 6= 0 es establebajo g.

4. Escriba g = h ⊕ Spanz, con z /∈ h. Luego, cualquier vector propiode z en A termina la prueba.

Demostracion. (Teorema de Engel). La subalgebra ad g de gl(g) consistede operadores nilpotentes, y por el Lema 5.8, existe v 6= 0 en g tal que[g,v] = 0, es decir, v ∈ Z(g). Ahora, g/Z(g) consiste de elementos ad-nilpotentes y tiene dimension menor que g. Por hipotesis inductiva, g/Z(g)es nilpotente y la Proposicion 5.5 parte 2 implica que g es nilpotente.

5.2 Criterios de solubilidad y nilpotencia 93

Ejemplo 5.2.1. Considere el algebra de matrices nilpotentes de orden nsobre el campo F, es decir, n(n, F). Por la Proposicion 5.6, n(n, F) consistede elementos ad-nilpotentes y por el Teorema de Engel, n(n, F) es nilpotente.

El siguiente resultado nos hace ver que tan comun en el algebra de matricestriangulares superiores nilpotentes entre las algebras de Lie nilpotentes.

Corolario 5.9. Sea V un espacio vectorial de dimension finita positiva. Si g

es una subalgebra de gl(V) que consiste de operadores nilpotentes, entoncesexiste una cadena de subespacios de V

0 = W0 ⊂ W1 ⊂ · · · ⊂ Wn = V,

con dimWk = k y g.Wk ⊂ Wk−1 para toda k. En otras palabras, existe unabase de V para la cual, todas las matrices de g estan en n(n, F).

Demostracion. Si a es un vector no nulo de V con g.a = 0 y definimosel subespacio W1 = Spana; la accion inducida de g en V/W1, es poroperadores nilpotentes. Por induccion sobre dimV, V/W1 posee una cadenade subespacios que satisface la conclusion del Corolario y la imagen inversade esta cadena en V, tambien lo hace.

Proposicion 5.10. Sea i un ideal no nulo de una algebra de Lie nilpotenteg, entonces i ∩ Z(g) 6= 0.

Demostracion. g actua en i mediante la representacion adjunta y el Lema5.8 asegura la existencia de un vector no nulo a ∈ i con [g,a] = 0 y tenemosque a ∈ i ∩ Z(g).

Teorema de Lie

El Teorema de Lie es similar al Teorema de Engel, la diferencia es que setrabaja con una algebra soluble en lugar de una nilpotente y es necesariopedir dos propiedades importantes al campo: algebraicamente cerrado y decaracterıstica cero. De aquı en adelante, siempre se tendra esta hipotesis.

Antes de enunciar el resultado importante de esta subseccion, mostraremosun lema que es analogo al Lema 5.8.

Lema 5.11. Sean V un espacio vectorial no nulo de dimension finita y g

una subalgebra soluble de gl(V), entonces V contiene un vector propio comunpara todos los endomorfismos en g.


La demostracion se deduce de los siguientes cuatro pasos:

1. Se encuentra un ideal h de codimension 1.

2. Se muestra que existen vectores propios comunes a todos los endomor-fismos en h.

3. Defina el subespacio

W = b ∈ V : v.b = λ(v)b, para todo v ∈ hy se muestra que este subespacio es invariante bajo la accion de g (lahipotesis de que la caracterıstica del campo es cero es importante).

4. Escriba g = h⊕ Spanz, donde z ∈ g− h; luego, encuentre un vectorpropio de z en W (la hipotesis de que F es algebraicamente cerrado escrusial).

El vector propio de z en W es claramente un vector propio comun a todoslos endomorfismos de g en V. Para la persona que desee revisar los detallesde la prueba, se recomienda consultar [4] (p. 15).

Teorema 5.12. (Lie) Sea g una subalgebra soluble de gl(V), con dimV =m < ∞, entonces existe una cadena de subespacios de V de la forma

0 ⊂ V1 ⊂ · · · ⊂ Vm = V,

con dimVi = i y la imagen de Vi bajo g esta contenida en Vi. Es decir,las matrices de los operadores en g con respecto a alguna base de V sontriangulares superiores de orden m.

Demostracion. Procederemos por induccion sobre dimV. El caso dimV = 0es evidente, ası que supondremos cierta la afirmacion del Teorema para todoespacio vectorial de dimension menor que dimV. Encontremos un vectorno nulo a de V que sea vector propio comun a todos los operadores deg y definamos W1 = Spana. Luego, g actua en V/W1 y es claro quedimV/W1 = dimV−1 < dimV; por hipotesis inductiva, existe una cadenade subespacios

W2/W1,W3/W1, . . . ,Wm/W1 = V/W1

que cumple con la conclusion del Teorema. Tomando la imagen inversa dela proyeccion natural de esta cadena, se obtiene la cadena de subespacios deV con las propiedades requeridas.

5.2 Criterios de solubilidad y nilpotencia 95

A continuacion, veremos algunas consecuencias de este Teorema.

Corolario 5.13. Si g es una algebra de Lie soluble, entonces existe unacadena de ideales 0 ⊂ g1 ⊂ · · · ⊂ gn = g con dim gi = i.

Demostracion. Consideremos la representacion adjunta de g. Sabemos que,por la Proposicion 5.2, ad g es soluble y ası, estabiliza una cadena

0 ⊂ g1 ⊂ · · · ⊂ gn = g

de subespacios con dim gi = i. El que gi sea estable bajo ad g significa quegi es un ideal de g.

Corolario 5.14. Si g es una algebra de Lie soluble, entonces todos los ele-mentos de g′ son ad-nilpotentes. En particular, g′ es una algeba nilpotente.Recıprocamente, si g′ es una algebra nilpotente, entonces g es soluble.

Demostracion. Para la primera aseveracion, supongamos que gi es una ca-dena de ideales como en el Corolario 5.13 con Bi = v1,v2, . . . ,vi base de gi

para i > 0. Las matrices de ad g con respecto a la base Bn estan en el algebrade matrices triangulares superiores t(n, F) introducida en la pagina 68, ası,las matrices de [ad g, ad g] = ad[gg] = ad g′ estan en n(n, F) = t(n, F)′. Sesigue que cada elemento de g′ es nilpotente y por el Teorema de Engel, g′ esnilpotente. La segunda parte, se tiene porque si i > 0, tenemos

g(i) = (g′)(i−1) ⊂ (g′)i−1,

y (g′)i−1 = 0 para algun i.

Para concluir, estudiaremos un poco mas el algebra de matrices triangu-lares superiores.

Ejemplo 5.2.2. Considere el algebra t(n, F) de matrices triangulares supe-riores de orden n sobre el campo F, que se supone algebraicamente cerradoy de caracterıstica cero. Recordemos que t(n, F)′ = n(n, F) la cual vimos quees nilpotente (Ejemplo 5.2.1). Por el Corolario 5.14, concluimos que t(n, F)es soluble.


Criterio de Cartan

El criterio de Cartan nos permite determinar la solubilidad de una algebrade Lie mediante el calculo de la traza de ciertos operadores, pero antes, uncriterio para nilpotencia.

Lema 5.15. Sean A ⊂ B dos subespacios de gl(V), con dimV < ∞, ydefınase el subespacio

M = v ∈ gl(V) : [v,B] ⊂ A .

Supongamos que v ∈ M satisface tr(vw) = 0 para todo w ∈ M. Entonces v

es un endomorismo nilpotente de V.

La demostracion se puede revisar en [4], pagina 19.

Teorema 5.16. (Criterio de Cartan). Sean V un espacio vectorial de di-mension finita y g una subalgebra de gl(V). Supongamos que tr(vw) = 0para todo v ∈ g′ y todo w ∈ g. Entonces g es soluble.

Demostracion. Bastara con probar que g′ es nilpotente y a su vez, sera su-ficiente probar que cada elemento de g′ es un endomorfismo nilpotente deV.

Tomemos A = g′ y B = g, ası, M es el subespacio

v ∈ gl(V) : [v, g] ⊂ g′ .

Es claro que g ⊂ M y la hipotesis del Teorema nos dice que tr(vw) = 0para v ∈ g′ y w ∈ g; ası, tenemos que probar que tr(vw) = 0 para v ∈ g′ yw ∈ M. En efecto, si [v,u] es un generador de g′ y w ∈ M, entonces

tr([v,u]w) = tr(v[u,w]) = tr([u,w]v) = 0,

pues [u,w] ∈ g′. Ahora, aplicamos el Lema 5.15 y esto termina la de-mostracion.

Corolario 5.17. Si g es una algebra de Lie tal que κ(v,w) = 0 para v ∈ g′

y w ∈ g, entonces g es soluble.

Demostracion. Por hipotesis, ad g cumple las condiciones del criterio de Car-tan, por lo que ad g es soluble. Por el Primer Teorema de Isomorfismo,ad g ∼= g/ Ker ad = g/Z(g), y como Z(g) es soluble, por la Proposicion 5.2parte 2, g es soluble.

5.3 Algebras semisimples 97

5.3 Algebras semisimples

Ya se habıa definido este concepto, pero ahora, queremos enfatizar la definicionque usaremos y veremos algunas caracterizaciones.

Definicion 5.4. Una algebra de Lie g es semisimple si su radical radg, suideal soluble maximal, es cero.

En particular, el centro de una algebra semisimple es 0, pues el cen-tro es un ideal abeliano (y por tanto, soluble). En consecuencia, ad es unmonomorfismo (Ker ad = Z(g)) y g se puede ver como una algebra de ope-radores en algun espacio vectorial. Ası, podemos definir la parte semisimplede un elemento v de g como aquel elemento w ∈ g tal que ad w es la partediagonalizable en la descomposicion de Jordan del operador ad v. Del mismomodo, se define la parte nilpotente de v. Usualmente, denotaremos estosvectores como vs y vn, respectivamente.

Otra manera de ver la semisimplicidad de una algebra es la siguiente.

Teorema 5.18. Una algebra de Lie es semisimple si y solo si no posee idealesabelianos distintos de cero.

Demostracion. Cada ideal abeliano es un ideal soluble, por lo que esta con-tenido en el radical. Cuando g es semisimple y a es un ideal abeliano, tenemosa ⊂ radg = 0. Recıprocamente, si radg 6= 0 y

radg = h(0), h(1), . . . , h(k−1), h(k) = 0

es la serie derivada del radical, entonces cada h(i) es un ideal de g y h(k−1) 6= 0es un ideal abeliano.

Una de las herramientas que nos ayudaran en el estudio de las algebrassemisimples es la forma de Killing. Ya se presento el Criterio de Cartan, quenos permite saber cuando una algebra de Lie es soluble verificando su formade Killing. Ahora, daremos un criterio analogo para algebras semisimples.Recordemos que la forma de Killing es no-degenerada si el ideal

Rκ = v ∈ g : κ(v,w) = 0 para todo w ∈ g ,

llamado el radical de κ, es igual a cero. Tambien, es importante recordar quela forma de Killing de un ideal se obtiene de restringir la forma de Killingdel algebra de Lie en el producto cartesiano del ideal.


Teorema 5.19. Una algebra de Lie es semisimple si y solo si su forma deKilling es no-degenerada.

Demostracion. (⇒) Si R es el radical de κ, entonces κR = 0, en particular,κ(v,w) = 0 para v ∈ R′,w ∈ R y por el Corolario 5.17, R es soluble. Portanto, R ⊂ radg = 0.

(⇐) Si κ es no-degenerada, bastara con probar que todo ideal abelianoa de g esta contenido en R, por el Teorema 5.18. Supongamos que v ∈ a yw ∈ g, entonces

ad v ad w : g → a

y(ad v ad w)2 : g → 0,

lo que indica que el operador adv ad w es nilpotente y por tanto,

κ(v,w) = tr(ad v ad w) = 0 para todo w ∈ g,

es decir, a ⊂ R = 0.

La no-degeneracion de la forma de Killing tiene consecuencias muy im-portantes, como la identificacion canonica de g con g∗ (ver Proposicion 1.7).

Propiedades principales de las algebras de Lie semisim-

ples

En esta subseccion, presentamos un resumen de las propiedades mas impor-tantes de las algebras semisimples que nos ayudaran a dar una clasificacioncompleta de estas y tambien simplifican el trabajo al concentrar nuestraatencion en los ideales simples de las algebras semisimples.

Comenzaremos estableciendo una descomposicion de una algebra semisim-ple en suma directa de ideales simples.

Proposicion 5.20. Sea g una algebra semisimple, entonces existen idealessimples g1, g2, . . . , gk tales que

g = g1 ⊕ g2 ⊕ · · · ⊕ gk.

Mas aun, cada ideal simple de g coincide con uno de los gi’s.

5.3 Algebras semisimples 99

Demostracion. Procederemos por induccion sobre dim g: Si g no tiene idealespropios, entonces g es simple y acabarıamos con la prueba. Si suponemos locontrario, sea h un ideal propio minimal de g. Cada ideal de h, es un idealde g y el ideal soluble maximal de h es un ideal soluble de g, y ası, h essemisimple; mas aun, por minimalidad, h es simple. Por la misma razon, h⊥

es semisimple y dim h⊥ < dim g. Por hipotesis inductiva, h⊥ = g2 ⊕ · · · ⊕ gk

con gi simple; si definimos g1 = h, tenemos el resultado.

Si i es un ideal simple de g, entonces [g, i] 6= 0 es un ideal de i y porsimplicidad, igual a i. Por otro lado, tenemos [g, i] =

⊕[gi, i]. Ası, existe un

unico ındice i ∈ 1, 2, . . . , k para el que [gi, i] 6= 0. Por tanto, i = gi.

Inmediatamente, tenemos las siguientes concecuencias de tal descom-posicion.

Corolario 5.21. Si g es semisimple, entonces g = g′.

Demostracion. Recordando la definicion del algebra derivada tenemos

g′ = [g, g] =⊕

[gi, g] =⊕

gi = g.

Corolario 5.22. Si g es semisimple, entonces todo ideal de g es tambiensemisimple. Ademas, toda imagen homomorfica de g es semisimple.

Demostracion. La primera parte se demostro en la Proposicion 5.20. Ahora,sean ϕ : g → g un epimorfismo y r el radical de g, entonces ϕ−1(r) = radg = 0

y como ϕ es epimorfismo, 0 = ϕϕ−1(r) = r.

Finalizamos esta subseccion con dos resultados mas.

Proposicion 5.23. Cada ideal de una algebra semisimple g se escribe comosuma de algunos de los ideales simples gi.

Demostracion. Sea h un ideal de g, entonces

h = h ∩ g = h ∩⊕

gi =⊕

h ∩ gi, (5.1)

donde no todos los h ∩ gi son distintos de cero. Ahora, cada h ∩ gi 6= 0 esun ideal en el correspondiente gi y ası h ∩ gi = gi. Por tanto, la suma de losideales del lado deracho en (5.1) que no sean cero es la descomposicion delideal h.


Proposicion 5.24. Toda derivacion de una algebra semisimple g es interior.

Demostracion. Como g es semisimple, su centro es cero y por tanto, g ∼= ad g,por lo que ad g es semisimple. Como ad g es un ideal de der(g), la forma deKilling del algebra adjunta se obtiene de restringir la forma de Killing delalgebra de derivaciones. Si h = ad g⊥, entonces 0 = h ∩ ad g ⊃ [h, ad g], esdecir, para cada D ∈ h y cada v ∈ g,

0 = [D, ad v](w) = (ad D(v)) (w) para todo w ∈ g.

Como ad es un monomorfismo, D = 0. En consecuencia

der(g) = ad g ⊕ h = ad g.

Teorema de Levi-Malcev

La importancia del estudio de algebras semisimples radica en un resultadoque presentaremos como el Teorema de Levi-Malcev, el cual, enunciaremossin demostracion.

Teorema 5.25. (Levi-Malcev) Si g es una algebra de Lie, entonces existenun ideal soluble r, una subalgebra semisimple s y una representacion ρ de s

en r por derivaciones tal que g = s ⊕ρ r.

La demostracion de este Teorema se puede revisar [6] (p. 91). Gracias aeste teorema, vemos que si queremos conocer todas las algebras de Lie bastacon conocer las semisimples y las solubles.

Capıtulo 6

Raıces de una algebra de Lie

semisimple

En este capıtulo nos concentraremos mas en el estudio de la estructura de lasalgebras de Lie semisimples y encontraremos la relacion entre los sistemas deraıces estudiados en el capıtulo 2 y las algebras de Lie semisimples haciendouso del Teorema 2.9. Ademas, presentamos algunos resultados importantescomo el Teorema de Isomorfismo para algebras de Lie y el Teorema de Serre.

Recordemos que en todo este capıtulo, el campo F se supone algebraica-mente cerrado y de caracterıstica cero.

6.1 Descomposicion de Cartan

En esta seccion, estudiaremos una descomporsicion de una algebra d eLiesemisimple g en suma directa de subespacios proporcionada por los oper-adores adjuntos de una determinada subalgebra de g. Para esto, necesitamosdeterminar cuales subalgebras nos son de utilidad.

Subalgebras torales y subalgebras de Cartan

Si una algebra de Lie esta compuesta por elementos ad-nilpotentes, entonceses nilpotente (Engel). Ahora, si v es un elemento de una algebra de Lieg con ad v diagonalizable (ad-semisimple), entonces la subalgebra que esteelemento genera es una algebra compuesta por elementos ad-semisimples.

101

102 Raıces de una algebra de Lie semisimple

Sin embargo, tal subalgebra no es semisimple. Esto muestra que existensubalgebras con todos sus elementos ad-semisimples.

En el caso cuando g es semisimple, sabemos que g ∼= ad g y ası, a loselementos ad-semisimples los llamaremos solo semisimples.

Definicion 6.1. Sea g una algebra de Lie. Una subalgebra h con todos suselementos ad-semisimples se llama una subalgebra toral de g.

Ejemplo 6.1.1. Considere el algebra sl(2, C). Por las relaciones (4.3) dadasen el ejemplo 4.4.1 (p. 72) para los elemetos

h =

(1 00 −1

), x =

(0 10 0

)y y =

(0 01 0

),

podemos verificar que sl(2, C) es una algebra de Lie simple cono sigue:

Si i 6= 0 es un ideal de sl(2, C), entonces contiene a alguno de los elemen-tos basicos x,y,h. Suponga que h ∈ i, entonces [h, 1

2x] = x y [h,−1

2y] = y

deben de ser elementos de i y vemos ası que i = sl(2, C). Los casos cuandox ∈ i y y ∈ i son analogos. De esto se concluye que sl(2, C) es una algebrade Lie simple.

Por el Teorema 5.4, sl(2, C) es semisimple y se puede ver que Spanhsolo contiene elementos semisimples, es decir, Spanh es una subalgebratoral de sl(2, C).

Un primer resultado para algebras torales es el siguiente.

Proposicion 6.1. Toda subalgebra toral de una algebra de Lie g es abeliana.

Demostracion. Si h es una subalgebra toral de g, basta con probar que losvalores propios de adv : h → h son ceros para todos los v ∈ h. Supongamosque existe un valor propio a 6= 0 de ad v y sea w un vector propio asoci-ado a dicho valor propio, entonces adw(v) = −aw es un vector propio dead w : h → h asociado al valor propio cero. Por otra parte, como adw esdiagonalizable, existe una base de g formada por vectores propios de adw,digamos w1,w2, . . . ,wn, y ası, podemos escribir a v como suma de vec-trores propios de adw. Despues de aplicar ad w a v, tenemos una suma nocero de vectores propios correspondientes a valores propios distintos de cero,lo que es absurdo.

6.1 Descomposicion de Cartan 103

Ahora, fijemos una subalgebra toral maximal h. Por la Proposicion 6.1,ad h es una familia de endomorfismos semisimples de g que conmutan. Porel Teorema 1.6, podemos escribir a g como una suma directa de subespaciosg =

∐gα, donde

gαdef= v ∈ g : ad h(v) = α(h)v para todo h ∈ h ,

con α ∈ h∗. Claramente, solo un numero finito α ∈ h∗ satisfacen la condiciongα 6= 0. Por la Proposicion 6.1, C(h) contiene a h es claro que g0 = C(h).

Al conjunto de todos los funcionales α para los que gα 6= 0 lo denotaremospor Φ y llamaremos a sus elementos raıces de g con respecto a h.

Definicion 6.2. Sean g una algebra de Lie semisimple y h una subalgebratoral maximal de g. La descomposicion

g = C(h) ∐∐

α∈Φ

gα,

se le llama descomposicion de Cartan de g.

Despues veremos que la descomposicion de Cartan no depende de manerafuerte de la subalgerba toral maximal que elijamos.

A continuacion, presentamos algunas propiedades de la descomposicionde Cartan de una algebra de Lie semisimple g.

Teorema 6.2. Si g es una algebra de Lie semisimple y h una subalgebra toralmaximal de g de tal manera que g = C(h) ∐ ∐

α∈Φ gα es su descomposicionde Cartan, entonces

1. Para α, β ∈ h∗, tenemos [gα, gβ] ⊂ gα+β.

2. Si v ∈ gα y α 6= 0, entonces ad v es nilpotente.

3. Si α + β 6= 0, los espacios gα y gβ son ortogonales con respecto a laforma de Killing.

4. La restriccion de la forma de Killing a C(h) es no-degenerada.

Demostracion. 1. Se sigue de la identidad de Jacobi y bilinealidad delcorchete de Lie.


2. Se sigue de la parte 1.

3. Sea h ∈ h tal que (α + β)(h) 6= 0, enotnces para v ∈ gα,w ∈ gβ

tenemos

α(h)κ(v,w) = κ([h,w],w) = −κ(v, [h,w]) = −β(h)κ(v,w).

4. C(h) es ortogonal a todos los gα, con α 6= 0. Si v ∈ C(h) es ortogonala C(h), entonces es ortogonal a todo g y κ es no-degenerada.

Ahora, presentaremos mas propiedades de la descomposicon de Cartanque la simplificaran un poco.

Proposicion 6.3. Sean g una algebra de Lie semisimple, h una subalgebratoral maximal y Φ el conjunto de raıces de g con respecto a h. Si α ∈ Φ,entonces −α ∈ Φ

Demostracion. Si −α /∈ Φ, entonces g−α = 0 y ası, [gα, gβ] = 0 para todoβ ∈ h∗. Por tanto, κ(gα, g) = 0, lo que es absurdo, pues κ es no-degeneraday gα 6= 0.

Ahora, veremos que h es autocentralizada.

Proposicion 6.4. Sean g una algebra de Lie semisimple y h una subalgebratoral maximal de g, entonces h = C(h).

La prueba se hace por pasos. Para ver los detalles, consulte [4] (p. 36).

(1) C(h) contiene las partes semisimples y nilpotentes de todos sus elemen-tos.

(2) Todas las partes semisimples de los elementos de C(h) esta en h.

(3) La restriccion de κ a h es no-degenerada.

(4) C(h) es nilpotente.

(5) La interseccion de h con (C(h))′ es cero.

(6) C(h) es abeliana.

(7) h es autocentralizada.


Para uso posterior, enunciaremos el siguiente resultado.

Corolario 6.5. La foram de Killing κ de g restringida a h es no-degenerada.

Este corolario nos permite identificar a h con su dual h∗ mediante larelacion α(h) = κ(kα,h) como se presenta en la Proposicion 1.7. Graciasa la Proposicion 6.4, la descomposicion de Cartan de una algebra de Liesemisimple queda de la siguiente manera:

g = h ∐∐

α∈Φ

gα. (6.1)

Definicion 6.3. Sea g una algebra de Lie. Una subalgebra de Cartan deg es una subalgebra nilpotente h que es auto-normalizada, es decir, N(h) = h

(ver p. 58).

El concepto de subalgebra de Cartan es la manera en que los textosclasicos (ver [11], [6]) abordan el estudio de las algebras de Lie semisimplesy el concepto de subalgebra toral, es una manera alternativa (ver [4]). En elcaso cuando se trabaja con subalgebras de Cartan, se puede demostrar quesi g es una algebra de Lie semisimple, entonces las subalgebras de Cartande g son precisamente las subalgebras torales maximales (ver [11], p. 36).Aquı, mostraremos mas adelante que las subalgebras torales maximales delas algebras de Lie semisimples son subalgebras de Cartan para ası tener laequivalencia de estos dos conceptos.

Teorema 6.6. Sea g una algerba de Lie semisimple y h una subalgerba toralmaximal de g, entonces h es una subalgebra de Cartan de g.

Demostracion. Por la Proposicion 6.1, h es abeliana y por tanto, nilpotente.Para ver que es auto-normalizada, sea x ∈ g tal que [x,h] ∈ h para todoh ∈ h. Por la descomposicon de Cartan en su forma reducida (6.1), podemosescribir x = hx +

∑α∈Φ xα donde hx ∈ h y xα ∈ gα para α ∈ Φ. Por el

Teorema 6.2 parte 1, [h, gα] ⊂ gα y ası, [x,h] ∈ h si y solo si [xα,h] = 0 paratoda α ∈ Φ. Ası se concluye que x ∈ h.

La ventaja de trabajar ahora con subalgebras de Cartan es que podremosprobar que la descomposicon de Cartan no depende de la subalgebra deCartan que se elija, como se mostrara en la siguiente subseccion.


Conjugacion de subalgebras de Cartan

Este teorema nos permite justificar la definicion del rango de una algebra deLie y tambien nos dice que Φ no depende de h en la correspondencia (6.2).Recordemos que el grupo de automorfismos interiores es denotado por Inn g.

Teorema 6.7. Cualesquiera dos subalgebras de Cartan de una algebra de Liesemisimple g son conjugadas bajo algun automorfismo A ∈ Inn g.

Para la demostracion se siguen los siguientes pasos, donde g denotara unaalgebra de Lie arbitraria:

1. Para cada elemento v ∈ g, se define una descomposicion relativa aloperador lineal ad v en subespacios invariantes g =

∐ga(ad v), donde

ga(ad v)def=w ∈ g : [v,w] = aw.

2. Las subalgebras g0(ad v) se llaman subalgebras de Engel. Se demuestraque las subalgebras de Engel son auto-normalizadas.

3. Se define subalgebra de Cartan para g de la misma forma que en elcaso semisimple (recuerde que g no necesariamente es semisimple).

4. Se demuestra que una subalgebra h de g es de Cartan si y solo si es deEngel y es minimal.

5. Decimos que v es fuertemente ad-nilpotente si existe un vector w ∈ g

tal que v ∈ ga(ad w), para algun a 6= 0. Denote por sn(g) el conjuntode todos los elementos fuertemente ad-nilpotentes de g y por E (g) alsubgrupo de Inn g generado por expad v, con v ∈ sn.

6. Se demuestra que cuando g es semisimple, E (g) = Inn g.

7. Se demuestra que las subalgebras de Cartan de g son conjugadas bajoE (g), en el caso cuando g es soluble.

8. Se demuestra que las subalgebras solubles maximales son conjugadasbajo E (g).


Ahora, si h es una subalgebra de Cartan de una algebra de Lie semisimple g,entonces h es nilpotente y por tanto, soluble. Luego, debe estar contenida enalguna subalgebra soluble maximal, que por el paso 8, son conjugadas bajoInn g. Finalmente, por el paso 7, se tiene el resultado. Para ver los detalles,consulte [4] en la pagina 78.

Ahora, se puede ver que el rango de una algebra de Lie semisimple g, consubalgebra de Cartan h, es igual al rango del sistema de raıces asociado a h

y de la relacion (6.1) y la Proposicion 6.9, se tiene la formula

dim g = rank Φ + |Φ|,donde |Φ| denota la cardinalidad de Φ.

Recordemos el algebra de las matrices diagonales d(n, F). Sabemos quees una algebra abeliana y que ademas, es auto-normalizada, es decir, es unasubalgebra de Cartan de gl(n, F). Luego, las subalgebras

d(n, F)∩ sl(n, F) ⊂ sl(n, F),

d(n, F)∩ o(n, F) ⊂ o(n, F)

yd(n, F)∩ sp(n, F) ⊂ sp(n, F)

son subalgebras de Cartan de sl(n, F), o(n, F) y sp(n, F), respectivamente,y por el Teorema de Conjugacion (6.7), sabemos que se pueden tomar estassubalgebras de Cartan para el caso de algebras lineales.

En el caso de las algebras excepcionales se puede recurrir al Teoremade Serre que presentaremos a continuacion. Para un caso particular, puedeconsultar [3] en la pagina 339 o bien [4] en la pagina 103, donde se construyeel algebra G2 y se determina una subalgebra de Cartan para esta.

Nota. A lo largo de este texto, no se ha demostrado que las algebras clasicasAℓ, Bℓ, Cℓ, Dℓ sean semisimples. Una idea para la demostracion se en-cuentra en [4] en la pagina 102. Ademas, se puede demostrar que losprimeros cuatro sistemas de raıces que se presentan en el Teorema 3.13corresponden a las algebras Aℓ, Bℓ, Cℓ, Dℓ, respectivamente (es por talmotivo que se denotan con los mismos sımbolos).

Para encontrar ejemplos donde se traten las algebras excepcionales F4, E6, E7, E8

puede consultar [3], en la pagina 359.


6.2 Propiedades de las raıces de una algebra

de Lie semisimple

En esta seccion nos ocuparemos de vincular las propiedades del conjunto Φde raıces de una algebra de Lie semisimple g con respecto a una subalgebrade Cartan h y la definicion de sistema de raıces dada en el capıtulo 2.

Relaciones con la forma de Killing

En esta subseccion veremos algunas consecuencias que tiene a no-degeneracionde la foram de Killing en la propiedades de las raıces de una algebra de Liesemisimple.

En toda esta subseccion, g denotara una algebra de Lie semisimple, h unasubalgebra de Cartan de g, Φ el conjunto de raıces de g con respecto a h y κla forma de Killing de g.

Proposicion 6.8. El conjunto Φ genera a todo el espacio h∗.

Demostracion. Si no fuese ası, existiera un vector h 6= 0 en h tal que α(h) = 0para toda α ∈ Φ, es decir, [h, gα] = 0 para todo α ∈ Φ. Como h es abeliana,[h, h] = 0. Por tanto, [h, g] = 0 y h ∈ Z(g) = 0, lo que es absurdo.

Veamos las relciones de conmutacion para los espacios gα.

Proposicion 6.9. Para α ∈ Φ, seleccione x ∈ gα y y ∈ g−α, entonces[x,y] = κ(x,y)kα, donde α(h) = κ(kα,h) para toda h ∈ h. Ademas, kαes base de [gα, g−α].

Demostracion. La segunda aseveracion se sigue de la Proposicion 6.3 y de laprimera. Si h ∈ h, entonces

κ(h, [x,y]) = κ([h,x],y) = α(h)κ(x,y) = κ(kα,h)κ(x,y)

= κ(h,kα)κ(x,y) = κ(h, κ(x,y)kα),

por lo que [x,y] − κ(x,y)kα es ortogonal a h. La igualdad se sigue delCorolario 6.5.

6.2 Propiedades de las raıces de una algebra de Lie semisimple 109

Es claro que si α ∈ Φ, entonces α(kα) 6= 0. En efecto, si α(kα) = 0,tendrıamos que [kα, gα] = [kα, g−α] = 0. Seleccione xα ∈ gα y yα ∈ g−α

tales que κ(xα,yα) = 1 para tener [xα,yα] = kα. Luego, la subalgebra deg generada por xα,yα,kα es soluble, en particular, su algebra derivada esnilpotente. Ası, ad kα es semisimple y nilpotente a la vez, lo que implica quead kα = 0. Por tanto, kα ∈ Z(g) = 0, lo que es absurdo. Este hecho tiene lasiguiente consecuencia.

Proposicion 6.10. Si α ∈ Φ y x es un elemento no nulo de gα, entonces ex-iste y ∈ g−α tal que la subalgebra generada por x,y y h = [x,y] es isomorfaa sl(2, F). Ademas, hα = 2

κ(kα,kα)kα y kα = −k−α.

Demostracion. Por la Proposicion 6.3, podemos encontrar y ∈ g−α tal queκ(x,y) = 2

κ(kα,kα). Luego, definamos h = 2

κ(kα,kα)kα para tener [x,y] = h.

Mediante un calculo rutinario, se muestra que estos tres vectores satisfacenlas relaciones [h,x] = 2x y [h,y] = −2y. Luego, si definimos la funcion

x 7→(

0 10 0

),h 7→

(1 00 −1

),y 7→

(0 01 0

)y la extendemos linealmente, se

obtine un isomorfismo como el que se requiere. La segunda aseveracion sesigue por la manera en que se define h.

Integridad y racionalidad de las raıces

En esta subseccion haremos uso de los resultados recopilados en la seccion4.5 para desarrollar algunas de las propiedades mas importantes de las raıcesde una algebra de Lie semisimple g con respecto a la subalgerba de Cartanh.

Como se ve en la Proposicion 6.10, para cada par de raıces α y −α, ten-emos una subalgebra sα

∼= sl(2, F) y gracias a los resultados de la subseccionanterior, podemos dar una descripcion completa de los sα-modulos, en par-ticular, podemos describir ad sα.

En este resultado se muestra ademas que el conjunto de raıces de unaalgebra de Lie semisimple satisface el axioma (R2) de la Definicion 2.2.

Proposicion 6.11. Para cada raız α, el subespacio gα es unidimensional ylos unicos multiplos de α que son raıces son ±α.


Demostracion. Consideremos el subespacio a de g generado por h y todos lossubespacios gcα, con c ∈ F. Como [gcα, gc′α] ⊂ g(c+c′)α, a es un sα-submoduloy por el Teorema 4.10, los pesos de hα son los enteros 0 y 2c = cα(hα), parac 6= 0 con gcα 6= 0; en particular, todos los posibles valores de c son multiplosenteros de 1

2. Ahora, sα actua trivialmente en Kerα ∼= h/ Spanhα, mientras

que sα es un submodulo irreducible de a sobre sı mismo. Ası, Ker α y sα

agotan la ocurrencia del peso 0 de hα y los unicos pesos pares en a son ±2,es decir, el doble de una raız no es una raız. Esto implica que 1

2α no es

raız, por lo que 1 no es peso de hα en a y como los pesos forman una seriearitmetica con diferencia 2, se sigue la segunda aseveracion de la proposicion.Finalmente, el Corolario 4.11 muestra que a = h + sα; en particular, cadasubespacio gα tiene dimension 1.

Para examinar la accion de sα en los subespacios gβ, definimos la α-cadenaque pasa por β, o bien la α-cadena por β, como el conjunto de todas las raıcesde la forma β + kα, para k ∈ Z y α 6= ±β.

Proposicion 6.12. Si la suma de dos raıces α y β es nuevamente una raız,entonces [gα, gβ] = gα+β. Ademas, el numero β(hα) es un entero y β −β(hα)α ∈ Φ. Mas aun, si q y r son los enteros no negativos mas grandespara los que β − rα y β + qα son raıces, entonces β + kα ∈ Φ, para todoentero −r ≤ k ≤ q y r − q = β(hα).

Demostracion. Sea b =∑

k∈Z gβ+kα. Por la Proposicion 6.11, cada gβ+kα

tiene dimension 1 y β 6= kα, por lo que b es un sα-submodulo de g cuyoespacio correspondiente al peso β(hα) + 2k es unidimensional, para los dis-tintos valores de k. Como los unicos pesos que aquı aparecen son 0 y 1, elCorolario 4.11 implica que b es irreducible. Si q y r son seleccionados comoen el enunciado de la proposicion, entonces el peso mas alto es β(hα) + 2q yel mas bajo es β(hα)− 2r. Los pesos en b forman una progresion aritmeticacon diferencia 2, lo que implica que las raıces β + kα forman una cadena.Notese tambien que (β − rα)(hα) = −(β + qα)(hα). Finalmente, la imagende gβ bajo ad gα es gα+β, por la Proposicion 4.9.

Podemos ver que la Proposicion 6.12 muestra que el conjunto Φ de raıcesde una algebra de Lie semisimple g con respecto a una subalgebra de Cartan h

satisface las condiciones del Teorema 2.9 de la Pagina 19. Otra concecuenciaimportante de la Proposicon 6.12 es la siguiente.

Corolario 6.13. g es generada, como algebra de Lie, por los espacios gα.

6.2 Propiedades de las raıces de una algebra de Lie semisimple 111

Por el Corolario 6.5, podemos definir en h∗ una forma bilineal a travez

de la forma de Killing, 〈α, β〉 def= κ(kα,kβ). Sea ∆ = α1, α2, . . . , αℓ una base

de h∗ conformada por raıces. El siguiente resultado nos muestra la especialnaturaleza de esta base.

Proposicion 6.14. Si β es una raız, entonces β se expresa como combi-nacion lineal racional de las raıces αi. Ademas, la forma 〈, 〉 es racional enel Q-subespacio Q de h∗ generado por las raıces.

Demostracion. Escribamos β =∑ℓ

i=1 ciαi. Para cada j ∈ 1, 2, . . . , ℓ,〈β, αj〉 =

∑ℓi=1 ci 〈αi, αj〉 y multilpicando ambos lados por 2

〈αj ,αj〉 , se tiene

2〈β, αj〉〈αj, αj〉

=ℓ∑

i=1

2 〈αi, αj〉〈αj, αj〉

ci,

lo que podemos interpretar como un sistema de ecuaciones lineales con co-eficientes enteros de orden ℓ × ℓ. Como ∆ es una base y la forma 〈, 〉 esno-degenerada, la matriz

〈αi, αj〉 · · · 〈αi, αj〉

.... . .

...〈αi, αj〉 · · · 〈αi, αj〉

tiene determinante distinto de cero, por lo que la matriz del sistema tambiensatisface tal condicion. Por tanto, existe una unica solucion sobre Q. Ası setiene la primera aseveracion.

Ahora, para γ, δ ∈ h∗, tenemos que

〈γ, δ〉 = κ(kγ,kδ) =∑

α∈Φ

α(kγ)α(kδ) =∑

α∈Φ

〈α, γ〉〈α, δ〉 ;

en particular, para β ∈ Φ, se tiene 〈β, β〉 =∑

α∈Φ 〈α, β〉2 y dividiendo por

〈β, β〉2, tenemos

1

〈β, β〉 =∑

α∈Φ

(〈α, β〉〈β, β〉

)2

∈ Q,

pues 2 〈α,β〉〈β,β〉 ∈ Z. Se concluye que 〈β, β〉 es racional y por bilinealidad, todos

los productos de raıces son racionales. Como Φ genera a Q, se sigue lasegunda afirmacion.


Corolario 6.15. La forma 〈, 〉 es positiva definida en Q.

Demostracion. Para γ ∈ Q, tenemos 〈γ, γ〉 =∑ 〈α, γ〉2, es decir, 〈γ, γ〉 es

suma de cuadrados de numeros racionales y por tanto, es positivo.

Ahora, consideremos el espacio E = R ⊗Q Q y definamos las siguientesoperaciones

(a ⊗ v) + (b ⊗ w) = (a + b) ⊗ (v + w)

α(a ⊗ v) = (αa) ⊗ v.

Es claro que E es un espacio vectorial sobre el campo de los numeros realesy que dimR E = dimQ Q = ℓ.

Ademas, con la forma bilineal 〈, 〉 : Q×Q → Q definiremos una forma enE de la siguiente manera: para a⊗ v, b⊗w ∈ E definimos 〈a ⊗ v, b ⊗ w〉 =〈v,w〉 .

Inmediatamente se verifica que la funcion 〈, 〉 : E × E → R es una formabilineal simetrica positiva definida. Ası, (E, 〈, 〉) es un espacio euclidiano yse tiene el siguiente resultado.

Teorema 6.16. Sean g una algebra de Lie semisipmle, h una subalgebra deCartan de g y Φ el conjunto de raıces de g con respecto a h, entonces Φ esun sistema de raıces en el sentido de la definicion 2.2

Ası, hemos establecido una correspondencia

(g, h) 7→ (E, Φ). (6.2)

A continuacion, veremos que la asignacion (6.2) es uno-a-uno.

6.3 Teorema de isomorfismo

La importancia del teorema de isomorismo es que muestra que si dos algerbasde Lie semisimples tienen el mismo sistema de raıces, entonces son isomorfas,es decir, la correspondencia (6.2) es uno-a-uno. Primero, reduciremos elproblema al caso cuando g es simple.

6.3 Teorema de isomorfismo 113

Proposicion 6.17. Si g es una algebra de Lie simple con subalgebra deCartan h y sistema de raıces Φ, entonces Φ es irreducible.

Demostracion. Supongamos que la conclusion de la proposicion es falsa, en-tonces Φ se puede descomponer como la union de dos subconjuntos, digamosΦ1 y Φ2, no vacıos mutuamente ortogonales. Si α ∈ Φ1 y β ∈ Φ2, entonces〈α + β, γ〉 6= 0 para γ ∈ α, β y ası, α + β no es una raız y [gα, gβ] = 0.Luego, la subalgebra a generada por los espacios gα, con α ∈ Φ1, es central-izada por todos los espacios gβ, con β ∈ Φ2; en particular, a es una subalgebrapropia de g, pues Z(g) = 0. Mas aun, para α ∈ Φ1 tenemos gα ⊂ N(a) ypor tanto, N(a) = g, es decir, a es un ideal propio de g. Esto contradice lasimplicidad de g.

En adelante, g sera una algebra de Lie semisimple con subalgebra deCartan h y sistema de raıces Φ.

Corolario 6.18. Si g =⊕

gi es la descomposicion en ideales simples, en-tonces hi = h ∩ gi son subalgebras de Cartan de gi y el correspondientesistema de raıces irreducible Φi es un subsistema de Φ tal que Φ =

⋃Φi es

la descomposicion en sus componentes conexas.

Demostracion. Es claro que h = h ∩ g = h ∩ ⊕gi =

⊕h ∩ gi =

⊕hi y que

cada hi es una subalgebra toral de gi. La maximalidad de hi es como sigue:Si b es una subalgebra toral de gi que contiene propiamente a hi, entonces b

es subalgebra toral de g, centraliza a todas las subalgebras hj para toda j 6= iy se genera con b y hj una subalgebra de g que contiene propiamente a h, loque es absurdo. Ahora, si α ∈ Φi, entonces podemos extender el funcionalα a un funcional en h definiendolo como 0 en hj, para j 6= i. Ası, α es unraız de g relativa a h. Recıprocamente, si α ∈ Φ, existe un ındice i tal que[hi, gα] 6= 0 y por tal razon, gα ⊂ gi. Concluimos que α|hi

es una raız de gi

relativa a hi.

Este resultado reduce el problema de caracterizar las algebras de Liesemisimples por su sistema de raıces al problema de caracterizar las algebrassimples por su sistema de raıces irreducible. Ahora, encontraremos un con-junto de generadores para g.

Proposicion 6.19. g es generado por los espacios gα y g−α con α ∈ ∆.


Demostracion. Sea β una raız positiva, por el Corolario 2.15, existen raıcessimples α1, α2, . . . , αk (no necesariamente diferentes) tales que

β = α1 + α2 + · · · + αk

y para 1 ≤ j ≤ k cada suma parcial α1 + · · · + αj es una raız positiva y porla Proposicion 6.12, sabemos que si γ y δ son raıces cuya suma tambien esraız, entonces [gγ , gδ] = gγ+δ. Usando induccion sobre k, podemos mostrarque gβ esta contenida en la subalgebra de g generada por los espacios gα,con α simple; similarmente, si β es negativa, esta contenida en la subalgebragenerada por los espacios g−α, con α simple. Finalmente, como g = h ∐∐

α∈Φ gα y h =∑

α∈Φ[gα, g−α], se sigue el resultado.

La demostracion se puede encontrar en [4] en la pagina 74. Este resul-tado nos dice que es suficiente concentrarnos en las raıces simples en lugarde trabajar con todo el sistema de raıces.

Recordemos que un isomorfismo de sistemas de raıces proviene de unisomorfismo de los espacios euclidianos donde los sistemas se encuentran.Ademas, el isomorfismo puede tomarse como una isometrıa, pues los axiomasde sistemas de raıces no se afectan si multiplicamos por un escalar positivoal producto interior, pues solo aparecen razones de los productos interioresde las raıces.

Teorema 6.20. (Teorema de Isomorfismo). Sea g una algebra simple con

subalgebra de Cartan h y sistema de raıces Φ. Supongamos que φ : Φ → Φ esun isomorfismo, entonces φ induce un isomorfismo ϕ entre las subalgebrasde Cartan h y h. Para cada α ∈ ∆, seleccione isomorfismos de algebrasde Lie ϕα : gα → gα, entonces existe un unico isomorfismo que extiende alisomorfismo ϕ y a todos los ϕα.

Demostracion. (Unicidad). Cada xα 6= 0 en gα determina un unico vectoryα en g−α tal que [xα,yα] = hα, para cada α ∈ ∆; por la Proposicion 6.19,xα,yα : α ∈ ∆ es un conjunto de generadores para g. Si ϕ y ψ son dosextensiones de ϕ y de los ϕα, entonces ϕ = ϕα = ψ en cada gα, con α ∈ ∆.Por linealidad, ϕ = ψ.

(Existencia). Se puede resumir en los siguientes tres pasos:

1. Si g y g′ son escencialmente la misma algebra de Lie, entonces g ⊕ g′

contiene una subalgebra d = (v,v) : v ∈ g ∼= g.

6.4 Teorema de Serre 115

2. Muestre que d es una subalgebra propia.

3. Muestre que las proyecciones de d sobre el primer y segundo factor esun isomorfismo de algebras de Lie.

Para los detalles, vease [4] (p. 75).

6.4 Teorema de Serre

Este Teorema nos permite relacionar a cada Sistema de raıces Φ una algebrade Lie de dimension finita que resulta ser semisimple y su sistema de raıceses presisamente Φ, es decir, es la asignacion inversa de (6.2).

Teorema 6.21. (Serre). Sean Φ un sistema de raıces, con base ∆ = α1, . . . , αℓ,y g una algebra de Lie generada por los 3ℓ generadores xi,yi,hi sujetos a lassiguientes relaciones:

(S1) [hi,hj] = 0;

(S2) [xi,yi] = hi y si i 6= j, [xi,yj] = 0;

(S3) [hi,xj] = 〈αj, αi〉xj y [hi,yj] = −〈αj, αi〉yj.

(S+ij) (ad xi)

−〈αj ,αi〉+1 (xi) = 0, y

(S−ij) (ad yi)

−〈αj ,αi〉+1 (yi) = 0,

Entonces g es una algebra de Lie semisimple, con subalgebra de Cartan h

generada por los hi y con sistema de raıces Φ.

Aquı, hi = hαicon 〈αi, αj〉 = αi(hj).

La demostracion requiere del estudio de algebras de Lie definidas por gen-eradores y relaciones que dan origen a lo que se conoce como una presentaciondel algebra de Lie y se puede encontrar en [4] (p. 95).


6.5 Teorema de clasificacion de algebras de

Lie simples

Como consecuencia de la vinculacion de los sistemas de raıces y las algebrasde Lie semisimples, vemos que el Teorema de Clasificacion de los sistemas deraıces irreducibles son genera un Teorema de Clasificacion para las algebrasde Lie simples. En esta seccion, enunciaremos este Teorema.

Teorema 6.22. Las algebras de Lie simples a las cuales se les asocian lossistemas de raıces irreducibles clasificados en el Teorema 3.13 estan descritaspor la siguiente tabla:

Tabla 6.1: Algebras de Lie simples.Sistema de raıces Algebra de Lie Rango Dimension

Aℓ sl(ℓ + 1, F) ℓ ≥ 1 ℓ(ℓ + 2)Bℓ o(2ℓ + 1, F) ℓ ≥ 2 ℓ(2ℓ + 1)Cℓ sp(2ℓ, F) ℓ ≥ 3 ℓ(2ℓ + 1)Dℓ o(2ℓ, F) ℓ ≥ 4 ℓ(2ℓ − 1)E6 e6 6 78E7 e7 7 133E8 e8 8 248F4 f4 4 52G2 g2 2 14

Conclusiones

En un principio, el problema de clasificar las algebras de Lie semisimplessobre un campo algebraicamente cerrado y de caracterıstica cero puede verseun poco difıcil. Aun que es posible simplificar el trabajo de clasificacion asolo tener que conocer las algebras de Lie simples, la tarea de clasificar estasestructuras es bastante complicada.

En cambio, la clasificacion de los sistemas de raıces abstractas no exigemas conocimientos que los fundamentos del algebra lineal, los espacios eu-clidianos, un poco de topologıa de espacios con producto interior y geometrıaeuclidiana. Ademas, el Teorema de Clasificacion de los diagramas de Dynkinpara los sistemas irreducibles no presenta mayor dificultad que el ir elimi-nando casos, gracias a las propiedades de los sistemas de raıces previamenteestudiadas.

La relacion entre las algebras de Lie y los sistemas de raıces en abstractopresentada en el Teorema de Isomorfismo nos asegura que se puede trasladarla clasificacion de los sistemas irreducibles para obtener la clasificacion de lasalgebras de Lie simples. Al conocer las algebras de Lie simples, se puedenobtener las algebras de Lie semisimples mediante sumas directas de algebrassimples, como lo vimos en el estudio de las propiedades principales de algebrasde Lie semisimples.

A su vez, la importancia del estudio de las algebras de Lie semisimplessobre un campo algebraicamente cerrado y de caracterıstica cero radica en elTeorema de descomposicion de Levi, al permitirnos expresar a una algebra deLie general como una suma semidirecta de un ideal soluble y una subalgebrasemisimple.

117


Ası, los sistemas de raıces se convierten en una herramienta muy util en elestudio de algebras de Lie, ademas de ser un objeto independiente y por talmotivo, merece atencion especial. Es por eso que el enfoque de este trabajofue el estudiar los sistemas de raıces antes de introducirnos a la Teorıa dealgebras de Lie, donde historicamente se presenta una excelente aplicacionde los sistemas de raıces.

Concluyo este trabajo, esperando haber dado una motivacion para acer-carse a la Teorıa de algebras de Lie y a sus sistemas de raıces, encontrando enestas areas un buen lugar para aplicar muchos de los conocimientos adquiri-dos en los cursos de algebra abstracta y algebra lineal.

Bibliografıa

[1] Birkhoff, G.; MacLane, S., A Survey of Modern Algebra, 4th edition.New York: Macmillan Publishing Co., Inc., 1977.

[2] Davila, G.; Flores, R.; Voroviev, Yu., Algebra Lineal: Teorıa y Proble-

mas. Mexico: UniSon, 2006.

[3] Fulton, W.; Harris, J., Representation Theory: A First Course. NewYork: Springer, 1991.

[4] Humphreys, J. E., Introduction to Lie Algebras and Representation

Theory. New York: Springer-Verlag, 1972.

[5] Hungerford, T. W., Algebra. New York: Springer, 1974.

[6] Jacobson, N., Lie Algebras. New York: Wiley Interscience, 1962.

[7] Knapp, A. W., Lie Groups Beyond an Introduction. Boston:Birkhauser, 1996.

[8] Lang, S., Algebra. Madrid: Aguilar S. A. de Ediciones, 1973.

[9] Lang, S. Algebra Lineal. Mexico: Addison-Wesley Iberoamericana,1986.

[10] Rotman, J. J., An Introduction to the Theory of Groups, fourth edition.New York: Springer-Verlag, 1995.

[11] Samelson, H., Notes on Lie Algebras. New York: Van Nostrand Rein-hold, 1969.

119

sistemas de ra´ıces abstractas y algebras de lie´mente la estructura del ´algebra de lie. esta...

Documents