sistemas difusos y su aplicación en la predicción del Índice armonizado de precios de consumo...
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SISTEMAS DIFUSOS Y SU
APLICACIÓN EN LA PREDICCIÓN
DEL ÍNDICE ARMONIZADO DE
PRECIOS DE CONSUMO.
Laura Camila Realpe Mancipe 20091005009
Universidad Distrtial Francisco Jose de Caldas
Ingenieria Electronica
Bogota, Colombia
Edgar Felipe Duarte Porras 20091005032
Universidad Distrtial Francisco Jose de Caldas
Ingenieria Electronica
Bogota, Colombia
Abstract— En este artículo se presenta una aplicación de los
sistemas difusos en la predicción del índice armonizado de
precios de consumo, se muestra el diseño e implementación
de dos tipos diferentes de sistema, TSK y Mamdani por
medio del software Excel, mostrando que el sistema difuso
efectuado por medio de TSK logra un desempeño superior al
Mandani en aproximadamente un 60%.
Keywords— HICP, Mandani, Predicción, Regresores, Sistema
Difuso, TSK.
I. INTRODUCCIÓN
Los sistemas difusos son un tipo de sistema cuyo
funcionamiento y modelamiento matemático se basa en las normas de la lógica difusa, entre sus principales características encontramos su facilidad de aplicación a la solución de problemas del tipo “no lineal” o que no pueden ser fácilmente expresados a través de una formulación matemática convencional, gracias a estas características y algunas más; este tipo de sistemas son ampliamente usados en aplicaciones como pueden ser los sistemas de control de procesos complejos, así como también para el análisis y predicción de eventos basados en una serie de datos. En este documento se préndete hacer uso de esta última característica con el fin de predecir el comportamiento de una serie de datos obtenida de un sitio web [1]; de la cual no se posee información previa ni un modelo matemático que la describa.
Los datos obtenidos corresponden al índice armonizado de
precios de consumo perteneciente a Estados Unidos en el
periodo comprendido entre diciembre de 1998 y mayo de
2014. Por definición esta cantidad permite medir el cambio en
el nivel de los precios de una canasta de bienes y servicios de
consumo adquiridos por los hogares, además es una cantidad
de tipo porcentual que puede adquirir valores positivos en
caso de un incremento de los precios o negativos en caso
contrario.
En la sección 2 se muestra la predicción utilizando el sistema
TSK, después en la sección 3 se muestra la implementación
del sistema por medio de un sistema difuso Mamdani, en la
sección 4 los principales resultados y finalmente las
conclusiones derivadas del artículo.
II. PREDICCIÓN TAKAGI-SUGENO
El sistema difuso utilizado para la predicción de la serie de
datos escogida fue implementado en el software de Microsoft
“Excel 2013”, en donde se buscaba por medio de la
optimización de los parámetros del sistema (centros,
desviaciones y funciones de salida) minimizar el valor
cuadrático medio de la diferencia entre los datos reales y los
datos obtenidos del sistema difuso. Se realizaron cuatro
diseños cuya principal diferencia se encuentra en el número de
regresores utilizados y el tipo de función de salida (lineal o
constante) utilizada; a fin de comparar el rendimiento y
concluir que tipo de sistema posee una mejor relación costo –
beneficio.
A continuación se muestra el proceso de diseño de los
sistemas implementados, sus componentes principales y los
resultados obtenidos para cada uno de los predictores:
A. TSK con 2 regresores y funciones de salida lineales
En este caso se implementaron dos regresores (retrocediendo la serie de datos dos unidades de tiempo y completando los datos faltantes con una copia del último dato más cercano), para el bloque fuzzificador se utilizaron funciones Gaussianas con los parámetros sigma y su centro variables; en este caso fueron generadas 9 funciones de entrada a las cuales se les aplico la t-norma mínimo entre cada una de
las posibles combinaciones de tres parejas; por lo que se obtuvieron finalmente 27 antecedentes. Para cada uno de estos antecedentes se generó una función lineal de salida que relacionaba los datos de la función a predecir y cada una de
sus regresiones con una serie de parámetros característicos de una línea recta (m y b también variables). Finalmente se aplicó la definición estándar para el conjunto de salida de este tipo de arquitectura, graficaron los datos junto con la serie a predecir (ver Ilustración 2) y se optimizaron los parámetros (centros, sigmas, m y b) haciendo uso de la herramienta computacional “solver” (perteneciente al paquete Excel) a fin de reducir el error cuadrático medio de la serie generada por el sistema difuso.
B. TKS con 2 regresores y funciones de salida constantes:
En este caso se aplicó la misma lógica del sistema de entrada que en caso anterior, la diferencia principal radica en que para cada uno de los antecedentes corresponde una función de salida constante que ha de ser optimizada por el software a fin de reducir la función de error. Para verificar la similitud de los datos obtenidos por el sistema difuso con los datos reales (ver Ilustración 2), es apreciable que el desempeño de este diseño es inferior al sistema con funciones de salida lineal.
C. TKS con 1 regresor y funciones de salida lineales
En este caso se implementó un regresor y al igual que en los casos anteriores la fuzzificación se realizó por medio funciones Gaussianas, se obtuvieron 7 antecedentes y sus respectivas funciones; producto de las respectivas combinaciones de cada una de las funciones de pertenencia de los conjuntos de entrada. Como funciones de salida se utilizaron funciones lineales y se optimizaron los parámetros (centro, sigma, m y b) con ayuda del software Excel. Los resultados obtenidos se muestran en la Ilustración 4, donde se evidencia un gran parecido entre ambas funciones.
D. TKS con 1 regresor y funciones de salida constantes:
Al igual que en caso anterior, fue implementado
únicamente un regresor; pero en este caso las funciones de
salida del sistema corresponden a funciones de valor constante
que serán optimizadas. En la Ilustración 5 se puede ver el
comportamiento del sistema obtenido en comparación con los
datos reales, en este caso es claro ver un deterioro en el
desempeño al ser comparado con el caso anterior.
-4
-2
0
2
4
6
8
0 50 100 150 200
x[k] vs x'[k]
Datos reales Datos SD
Ilustración 2. Sistema difuso TKS con 2 regresores y funciones de
salida lineales.
-4
-2
0
2
4
6
8
0 50 100 150 200
x[k] vs x'[k]
Datos reales Datos SD
Ilustración 3. Sistema difuso TKS con 2 regresores y funciones de
salida constantes
-4
-2
0
2
4
6
8
0 50 100 150 200
x[k] vs x'[k]
Datos reales Datos SD
Ilustración 4. Sistema difuso TKS con 1 regresor y funciones de
salida lineales.
Ilustración 5. Sistema difuso TKS con 1 regresor y funciones de
salida constantes.
-4
-2
0
2
4
6
8
0 50 100 150 200
x[k] vs x'[k]
Datos reales Datos SD
III. PREDICCIÓN CON MODELO DIFUSO MAMDANI
En esta sección se muestra el diseño de un modelo difuso
Mamdani, su implementación y principales resultados.
Para empezar se define la serie temporal y la serie temporal
con un regresor ( [ ] [ ]); posteriormente se halla α y
β los cuales son el valor mínimo y máximo en los cuales se
definirán los universos de entrada y salida, en éste caso al
calcular el mínimo y máximo de la serie temporal se obtiene
que α=-3,1 y β=6,8.
Un punto importante en el diseño es la definición de las
funciones de pertenencia de los universos de entrada y salida;
para éste caso se escogen funciones Gaussianas las cuales no
se hacen cero en ningún punto, por lo tanto al momento de
optimizar la función con el software escogido no se genera
ningún error por división por cero. Se escogen de ésta manera
valores iniciales para los σ’s y los centros de las funciones
gaussianas escogidas teniendo en cuenta que posteriormente
serán optimizadas; en éste caso se pensó en lograr una
distribución aproximadamente uniforme dentro del universo,
por lo tanto los pesos iniciales se definen como σ=2 para todas
las funciones gaussianas tanto de entrada como de salida y
centros al ser igualmente distribuidos uniformemente por lo
tanto fueron -1,2; 1,8 y 4,8.
Posteriormente se establece la base de reglas la cual está
dada por todas las combinaciones de las funciones de
pertenencia tanto de entrada como de salida; siguiendo ésta
idea el resultado son 27 reglas que compondrán la base las
cuales serán evaluadas independientemente.
Finalmente se implementa el respectivo defusificador para el
sistema, de ésta forma se obtiene una salida los datos que
permite predecir la serie descrita inicialmente al ser
optimizada.
A continuación se calculó el error comparando la salida del
sistema difuso con la serie temporal [ ]; se graficaron
los datos junto con la serie a predecir (ver Ilustración 6), de
ésta forma se ve cómo sin optimizar el sistema difuso no tiene
parecido con la serie temporal.
Ilustración 6. Sistema difuso Mamdani con 1 regresor sin optimizar.
Al tener ésta salida se busca un J, en éste caso simboliza el
valor RMS, a partir de esto se optimizaron los parámetros de
los centros y sigmas haciendo uso de la herramienta
computacional “solver” perteneciente al software Excel en el
cual se realizó el diseño completo de la red a fin de reducir el
error cuadrático medio de la serie generada por el sistema
difuso.
Con base a esto se obtiene un J=1,073. El resultado
obtenido se muestra en la Ilustración 7 la cual muestra el
desempeño de la optimización realizada.
Ilustración 7. Sistema difuso Mamdani con 1 regresor optimizado.
Como se puede observar el sistema tiene un error
considerable, debido posiblemente a la falta de un mayor
número de funciones de pertenencia tanto en la entrada y
como en la salida.
-4
-2
0
2
4
6
8
0 50 100 150 200
x[k] vs x'[k]
x(k+1)
x'(k+1)
-4
-2
0
2
4
6
8
0 50 100 150 200
x[k] vs x'[k]
x(k+1)
x'(k+1)
IV. RESULTADOS
Tras realizar el diseño y la implementación de los sistemas
difusos se obtuvieron las siguientes funciones de error RMS.
2 R - Lineal
2R - Constan
te
1R - Lineal
2R – Constan
te
Mamdani
J (RM
S)
0,54428
0,58595 0,63847
0,57436 1,073
V. CONCLUSIONES
Se evidencio un mejor desempeño por parte del controlar TKS para la implementación de sistemas predictivos, en este caso optimizado para una disminución del RMS, la magnitud de esta medida del error fue de casi un 60% menor que la implementación con el controlador mamdani.
El aumento en el uso de regresores para un sistema de tipo TKS no es una estrategia de diseño que logre disminuir considerablemente la medida del error, ya aumenta la capacidad computacional necesaria y reduce muy poco la medida del error (de tan solo 0,9).
El número de funciones de pertenencia de entrada y salida posiblemente sea la causa del gran error en los datos estimados por el sistema difuso de tipo mamdani.
Los sistemas difusos pueden ser aplicados en la estimación de datos futuros a partir de una serie de datos.
REFERENCES
[1] http://pdf.aminer.org/000/217/981/design_of_an_analog_
adaptive_fuzzy_logic_controller.pdf
[2] Apuntes de Clase y Ejercicios desarrollados por docente Omar SalasarMorales, Curso Inteligencia Computacional I, Universidad Distrital FJC.