sistemas num ericos - faculdade de informática · 3 tabela dos n umeros inteiros a tabela 3 mostra...

Sistemas Numericos

Prof. Daniel Barros Junior, Prof. Eduardo Augusto Bezerra

16 de agosto de 2004

Pagina: www.ee.pucrs.br/∼dbarrosE-mail: [email protected]

Versao: 1.15

1 Introducao

1.1 Historico

O conceito de um computador digital pode ser tracado retornando para Charles Bab-bage, que desenvolveu, em torno de 1830, um dispositivo computacional mecanico.O primeiro computador digital, eletromecanico, foi construıdo em 1944 na Univer-sidade de Harvard.

A eletronica digital moderna iniciou em 1946 com um computador chamadoENIAC.

A tecnologia digital evoluiu da valvula para transistores e posteriormente paracircuitos integrados complexos, alguns dos quais contem milhoes de transistores.

1.2 Grandezas Digitais e Analogicas

Circuitos eletronicos podem ser divididos em duas categorias principais: Digital eAnalogica.

Eletronica Analogica envolve valores contınuos.

Figura 1: Valores contınuos

Eletronica Digital envolve valores discretos.

Figura 2: Valores Discretos

Vantagens da representacao digital:

1

Dados digitais podem ser processados e transmitidos mais eficientemente e con-fiavelmente do que dados analogicos;

Dados digitais tem uma grande vantagem quando o armazenamento e necessario.Um sistema que usa tanto metodos analogicos como digitais e o compact disk

(CD).

Figura 3: CD player

Levando em conta estas e outras vantagens dos sistemas digitais sirgiu a neces-sidade de representar as informacoes de forma numerica.

Um sistema na base B, possui um conjunto de B sımbolos, tambem chamadoalfabeto.

Na Tabela 1 na pagina 2 estao representadas as bases utilizadas frequentemente.

Base 2: 0 1Base 8: 0 1 2 3 4 5 6 7Base 10: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Base 16: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Tabela 1: Base numericas

2 Sistema Binario

O sistema binario e o mais elementar pois possui apenas dois sımbolos.Na sequencia binaria, cada digito e chamado de BIT (Binary Digit).Na Figura 4 tem-se um numero binario com seu BIT mais significativo (MSB)

e o bit menos significativo (LSB) sendo enfatizados.

1 0 1 0 0 1

MSB (Most Significant Bit)(Bit Mais Significativo)

LSB (Least Significant Bit)(Bit Menos Significativo)

Figura 4: MSB e LSB

Visando facilitar a leitura, os bits sao agrupados conforme mostra a Tabela 2,estes grupos recebem nomes especıficos. A principal finalidade de agrupar os bitsesta em facilitar o controle dos digitos.

4 bits Nibble8 bits Byte16 bits Word

Tabela 2: Agrupamentos de Dados

2

3 Tabela dos Numeros Inteiros

A Tabela 3 mostra os numeros decimais de 0 ate 16 e seus respectivos valores embinario, octal e haxadecimal.

Decimal (10) Binario (2) Octal (8) Hexadecimal (16)0 0000 0 01 0001 1 12 0010 2 23 0011 3 34 0100 4 45 0101 5 56 0110 6 67 0111 7 78 1000 10 89 1001 11 910 1010 12 A11 1011 13 B12 1100 14 C13 1101 15 D14 1110 16 E15 1111 17 F16 10000 20 10

Tabela 3: Conversoes

Conforme pode ser observado na Tabela 3 para cada digito de um numero binariodobram-se as linhas da tabela, sendo o numero de possibilidades dado por 2n, onden e o numero de digitos do numero binario.

4 Conversao de um numero decimal inteiro paraum base B

Exemplo 1: Converter 246810 para a base 16 (hexa).Solucao:

24682464

4

1615414410

16909

160

Sentido deLeitura

246810 = 9A416

Exemplo 2: Converter 21710 para a base 8 (octal).Solucao:

3

217216

1

827243

8303

80

Sentido deLeitura

21710 = 3318

Exemplo 3: Converter 4510 para a base 2 (binario).Solucao:

45441

222220

211101

2541

2220

2101

20

Sentido deLeitura

4510 = 1011012

Base B para decimal.1011012 = 1.25 + 0.24 + 1.23 + 1.22 + 0.21 + 1.20 = 4510

5 Conversao de um numero octal ou hexadecimal

para a base binaria

Exemplo 1: 23578 para binario.Solucao:28 −→ 0102

38 −→ 0112

58 −→ 1012

78 −→ 1112

23578 = 010 011 101 1112

23578 = 0100111011112

Exemplo 2: 4A0516 para binario.Solucao:416 −→ 01002

A16 −→ 10102

016 −→ 00002

516 −→ 01012

4A0516 = 0100 1010 0000 01012

4A0516 = 01001010000001012

6 Conversao de um numero octal em hexa e hexa

em octal

Exemplo 1: 1278 para hexadecimal.Solucao:

4

1278 = 001 010 1112 =1278 = 0 0101 01112 = 5716

1278 = 0010101112 = 5716

Exemplo 2: 328 para hexadecimal.Solucao:

328 = 011 0102 =328 = 01 10102 = 1A16

328 = 0110102 = 1A16

Exemplo 3: C316 para octal.Solucao:C316 = 1100 00112 =C316 = 11 000 0112 = 3038

C316 = 110000112 = 3038

Exemplo 4: 2316 para octal.Solucao:

2316 = 0010 00112 =2316 = 00 100 0112 = 438

2316 = 001000112 = 438

7 Conversao de fracoes decimais para base B

Regra da multiplicacao refletida:

1. Multiplicar o numero decimal pela base B;

2. A parte inteira do resultado e utilizada como digito da base B;

3. A parte inteira e descartada;

4. Retornar ao passo 1 caso a parte fracionaria seja diferente de 0 (zero).

Exemplo 1: 0, 37510 para binario.Solucao:0, 375 × 2 = 0, 75 −→ 00, 75 × 2 = 1, 50 −→ 1Descarta parte inteira0, 50 × 2 = 1, 00 −→ 1Termina o processo quando a parte fracionaria chega ate 0 (zero).

0, 37510 = 0, 0112

Obs.:0, 0112 = 0.20 + 0.2−1 + 1.2−2 + 1.2−3 = 0, 25 + 0, 125 = 0, 37510

Exemplo 2: 0, 210 para binario.Solucao:0, 2 × 2 = 0, 4 −→ 00, 4 × 2 = 0, 8 −→ 00, 8 × 2 = 1, 6 −→ 1Descarta parte inteira0, 6 × 2 = 1, 2 −→ 1

5

Descarta parte inteira0, 2 × 2 = 0, 4 −→ 0

0, 210 = 0, 00110011 . . .2

Exemplo 3: 3, 2510 para binario.Solucao:Converter a parte inteira separadamente da parte fracionaria.0, 25 × 2 = 0, 5 −→ 00, 5 × 2 = 1, 0 −→ 1

3, 2510 = 11, 012

Obs.:11, 012 = 1.21 + 1.20 + 0.2−1 + 1.2−2 = 2 + 1 + 0, 25 = 3, 2510

8 Operacoes Aritmeticas no Sistema Binario

8.1 Adicao

A Tabela 4 apresenta o resultado da soma de dois numeros de um bit para todasas situacoes possıveis. Pode-se verificar que na ultima linha o resultado da somanao pode mais ser armazenado em apenas um bit, gerando um segundo bit o quale chamado de Transporte (Carry).

0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 10

Tabela 4: Adicao binaria

Na operacao de soma tem-se 1 + 1 = 0 e vai 1 formando assim o 10 apresentadona Tabela 4.

Ambos os numeros positivos:Exemplo 1: 101012 + 101112 =Solucao:

101012

+ 101112

1011002

Exemplo 2: 111, 1012 + 11, 0012 =Solucao:

111, 1012

+ 11, 0012

1010, 1102

Exemplo 3: Neste exemplo sera feita a operacao em octal.325, 718 + 14, 58 =Solucao:7 + 5 = 1210 = 148

1 + 5 + 4 = 1010 = 128

6

325, 718

+ 14, 508

342, 418

Numero positivo grande e numero negativoExemplo: 000011112 + 111110102 =Solucao:000011112 = 1510

111110102 = −610

000011112

+ 111110102

1000010012

Retirando o bit mais significativo tem-se 000010012 = 910.

Numero negativo grande e numero positivoExemplo: 000100002 + 111010002 =Solucao:000100002 = 1610

111010002 = −2410

000100002

+ 111010002

111110002

Tem-se que 111110002 = −810.

Ambos negativosExemplo: 111110112 + 111101112 =Solucao:111110112 = −510

111101112 = −910

111110112

+ 111101112

1111100102

Retirando o bit mais significativo tem-se 111100102 = −1410.

Obs.: Em algumas referencias representa-se a base com numeros porem emoutras sao utilizadas letras, a Tabela 5 apresenta um exemplo.

Base2 b8 o10 d16 h

Tabela 5: Nomenclatura das bases

Exemplos:11112 = 1111b178 = 17o1510 = 15dF16 = Fh

8.2 Subtracao

A Tabela 6 apresenta o resultado da subtracao de dois numeros de um bit paratodas as situacoes possıveis. Pode-se verificar que na segunda linha o resultado

7

da subtracao nao pode mais ser armazenado em apenas um BIT, gerando umainformacao de Empresta 1.

0− 0 = 00− 1 = 1 e empresta 11− 0 = 11− 1 = 0

Tabela 6: Subtracao binaria

A operacao de subtracao de numeros binarios e equivalente a operacao com osnumeros em decimal sendo modificado apenas o numero maximo 910 para 12.

Exemplo 1: 1112 − 1002 =Solucao:

1112

− 1002

0112

710

− 410

310


10002

− 1112

00012


101002

− 10112

010012

2010

− 1110

910

Exemplo 4: 1101, 12 − 1102 =Solucao:

1101, 12

− 110, 02

0111, 12

Exemplo 5: Neste exemplo sera feita a operacao em octal.35218 − 16748 =Solucao:118 − 48 = 58

118 − 78 = 28

148 − 68 = 68

35218

− 16748

16258

Obs.: Outro metodo para fazer uma operacao de subtracao:Exemplo 1: 10100102− 10011112 =Solucao:

8

10100102 ⇒ A⇒ 01011012

− 10011112 + 10011112

00000112 11111002 ⇒ R⇒ 00000112

Exemplo 2: 110001102− 10111112 =Solucao:

110001102 ⇒ A⇒ 001110012

− 010111112 + 010111112

011001112 100110002 ⇒ R⇒ 011001112

8.3 Multiplicacao

A Tabela 7 apresenta o resultado da multiplicacao de dois numeros de um bit paratodas as situacoes possıveis.

0× 0 = 00× 1 = 01× 0 = 01× 1 = 1

Tabela 7: Multiplicacao binaria

Exemplo 1: 101012 × 1112 =Solucao:

101012

× 1112

10101 2

+ 10101 2

+ 10101 2

100100112

2110

× 710

14710

8.4 Divisao

A operacao de divisao utiliza de forma conjunta as operacoes de multiplicacao esubtracao.

Exemplo 1: 10112 ÷ 11012 =Solucao:

10112 ÷ 11012 = 0, 110112

9 Complemento de 1 e complemento de 2

9.1 Complemento de 1

Alteracao de todos os 1s por 0s e todos os 0s por 1s.10110010⇒ numero binario01001101⇒ complemento de 1 do numero binario acima

9


Complemento de 2 = (Complemento de 1) + 1

Exemplo 1: 101100102 =Solucao:

10110010⇓

01001101+ 1

01001110

Numero Binario⇓

Complemento de 1⇓

Complemento de 2

10 Representacao de um numero com sinal

Existem tres maneiras de um numero inteiro com sinal ser representado na formabinaria: Sinal-Magnitude, Complemento de 1 e Complemento de 2. Os numero naointeiros e muito pequenos ou muito grandes podem ser representados na forma deponto flutuante.

10.1 Bit de Sinal

O bit mais a esquerda e o sinal do numero binario, se for 1 o numero e negativo ese for 0 o numero e positivo.

10.2 Sinal-Magnitude

Quando um numero esta representado em Sinal-Magnitude o bit mais a esquerda eo Bit de Sinal e os outros bits representam a magnitude do numero.

Exemplo:+2510 = 000110012

−2510 = 100110012

Note que para reprentar os numeros +25 e−25 apenas o primeiro bit foi alterado.


Na representacao de numeros negativos em complemento de 1 todos os bits donumero devem ser negados individualmente.

Exemplo:+2510 = 000110012

−2510 = 111001102


Na representacao de numeros negativos em complemento de 2 deve-se fazer o com-plemento de 1 do numero e somar 1.

Exemplo:+2510 = 000110012

−2510 = 111001112

A Tabela 8 apresenta os numeros binarios de 4 bits em complemento de 2.Para converter o numero 2 para −2 realiza-se a operacao abaixo:0010→ Complemento de 1 → 1101 + 1 = 1110onde 1110 = −2.

10

1000 −81001 −71010 −61011 −51100 −41101 −31110 −21111 −10000 00001 10010 20011 30100 40101 50110 60111 7

Tabela 8: Complemento de 2

11 Valor em decimal de um numero com sinal

Sinal-Magnitude:100101012 = −2110

00101012 = 24 + 22 + 20 = 16 + 4 + 1 = 2110

Complemento de 1:000101112 = +2310

24 + 22 + 21 + 20 = 16 + 4 + 2 + 1 = +2310

111010002 = −2310

−27 + 26 + 25 + 23 = −128 + 64 + 32 + 8 = −2410

−24 + 1 = −2310

Complemento de 2:010101102 = +8610

26 + 24 + 22 + 21 = 64 + 16 + 4 + 2 = +8610

101010102 = −8610

−27 + 25 + 23 + 21 = −128 + 32 + 8 + 2 = −8610

12 Exercıcios e Bibliografia

12.1 Exercıcios

Realize as conversoes abaixo:0, 12510 para binario0, 10112 para decimalAF2Ah para binario73218 para hexadecimal

12.2 Bibliografia

Entre os livros recomendados temos:Digital Fundamentals, Thomas L. Floyd, Prentice HallElementos de Eletronica Digital, Idoeta e Capuano, Erica

11

Funcoes Logicas e Portas Logicas




Versao: 1.15

1 Introducao

A Tabela 1 apresenta o padrao que sera utilizado.

Nıveis Logicos

0→ Falso (Desligado)1→ Verdadeiro (Ligado)

Tabela 1: Nıveis Logicos

2 NOT

Funcao complemento ou negacao.

Notacao: f(A) = A ou f(A) = /AA Figura 1 apresenta o esquema eletrico e o sımbolo de uma porta logica NOT.

A

S

VCC

A S

Figura 1: Porta NOT

Tabela Verdade:A S

0 11 0

CI 7404

3 AND

Funcao que a saıda e verdadeira se todas as entradas sao verdadeiras.

1

Notacao: f(A,B,C, . . .) = A.B.C. . . . ou f(A,B,C, . . .) = A B C . . .A Figura 2 apresenta o esquema eletrico e o sımbolo de uma porta logica AND.

A BAB

S

Figura 2: Porta AND

Tabela Verdade:A B S

0 0 00 1 01 0 01 1 1

CI 7408

4 OR

Funcao que a saıda e verdadeira se qualquer entrada for verdadeira.

Notacao: f(A,B,C, . . .) = A+B + C + . . .A Figura 3 apresenta o esquema eletrico e o sımbolo de uma porta logica OR.

A

BAB

S

Figura 3: Porta OR


0 0 00 1 11 0 11 1 1

CI 7432

5 XOR

Notacao: f(A,B) = A⊕BA Figura 4 apresenta o sımbolo de uma porta logica XOR.

AB

S

Figura 4: Porta XOR

Tabela Verdade:

2

A B S

0 0 00 1 11 0 11 1 0

CI 7486

6 NAND

Notacao: f(A,B,C, . . .) = A.B.C. . . .A Figura 5 apresenta o sımbolo de uma porta logica NAND.

AB

SAB

S

Figura 5: Porta NAND


0 0 10 1 11 0 11 1 0

CI 7400

7 NOR

Notacao: f(A,B,C, . . .) = A+B + C + . . .A Figura 6 apresenta o sımbolo de uma porta logica NOR.

AB

SAB

S

Figura 6: Porta NOR


0 0 10 1 01 0 01 1 0

CI 7402

8 XNOR

Notacao: f(A,B) = A⊕BA Figura 7 apresenta o sımbolo de uma porta logica NXOR.

AB

SAB

S

Figura 7: Porta NXOR

Tabela Verdade:

3

A B S

0 0 10 1 01 0 01 1 1

CI 74266

9 Diagrama de Tempo

Exemplos com diagrama de tempo:

Exemplo 1:

A BAB

S

A

B

S

Exemplo 2:

AB

CS

A

B

C

S

Exemplo 3:

AB

C

DS

A

B

C

D

S

4

Exemplo 4:

AB

C

D

S

A

B

C

D

S

S = (A+B).C + C.D

10 Equivalencia das portas logicas

Consiste em usar uma porta logica para executar a funcao de outra.Exemplo 1: Usar uma porta OR e portas NOT, para executar a funcao AND.Solucao:

A B A+B A+B A+B0 0 0 1 00 1 1 1 01 0 1 1 01 1 1 0 1

A.B = A+B

Exemplo 2: Implementar um inversor (NOT) com portas NAND.Tabela Verdade da Porta NAND:

A B S

0 0 10 1 11 0 11 1 0

Solucao 1:Ligando-se uma das entradas em 1 tem-se:

A B S

1 0 11 1 0

Solucao 2:Ligando-se as entradas uma na outro tem-se:

A B S

0 0 11 1 0

5

Exemplo 3: implementar um inversor com portas NOR.Tabela Verdade da Porta NOR:

A B S

0 0 10 1 01 0 01 1 0

Solucao 1:Ligando-se uma das entradas em 0 tem-se:

A B S

0 0 10 1 0

Solucao 2:Ligando-se as entradas uma na outra tem-se:

A B S

0 0 11 1 0

11 Expressoes Booleanas

11.1 Expressao Booleana a partir de diagrama de portaslogicas

Exemplo 1:

AB

CS

Solucao:M = A BS = M + C

S = AB + C

Exemplo 2:

A

B

CD

S

Solucao:M = A BN = C DS = A+M +N

S = A+A B + C D

Exemplo 3:

6

AB

CD

E

S

Solucao:M = A BN = B +MP = C D ES = N ⊕ PS = (B +A B)⊕ (C D E)

Exemplo 4:

AB

C

DS

Solucao:M = A BN = M CS = N +D

S = AB C +D

11.2 Obtencao do circuito a partir das equacoes booleanas

Exemplo 1: f(A,B,C,D) = A B + C DSolucao:

AB

CD

S

Exemplo 2: f(A,B,C,D) =(A B C + C D

)⊕D

Solucao:

ABC

DS

11.3 Obtencao da expressao booleana a partir da tabela ver-dade

Procedimento:

1. Pesquisa-se todas as posicoes de saıda 1;

2. Faz-se uma Porta AND de todas as entradas associadas a esta saıda;

7

3. Agrupa-se todas as saıdas utilizando a Porta OR.

Exemplo 1:Monte o circuito e a expressao booleana da tabela abaixo:

A B C S

0 0 0 00 0 1 00 1 0 1 AB C0 1 1 01 0 0 1 AB C1 0 1 1 AB C1 1 0 01 1 1 1 AB C

Solucao:S = A B C +A B C +A B C +A B C

ABC

S

Exemplo 2: Monte o circuito e a expressao booleana da tabela abaixo:A B X Y Z

0 0 0 1 00 1 1 0 11 0 0 1 11 1 1 1 0

Solucao:X = AB +A BY = A B +A B +ABZ = A B +A B

11.4 Obtencao da tabela verdade a partir da equacao booleana

Procedimento:

1. Verifique o numero de variaveis da expressao booleana;

2. Fazer uma tabela verdade com todas as possibilidades;

3. Verificar o comportamento de cada entrada.

Exemplo 1: Z = A B +A CSolucao:

8

A B C Z

0 0 0 00 0 1 1 A B C0 1 0 00 1 1 1 A B C1 0 0 01 0 1 01 1 0 1 A B C1 1 1 1 A B C

Z = A B C +A B C +A B C +A B C ≡ A B +AC

11.5 Obtencao da tabela verdade atraves do circuito eletrico

Procedimento:

1. Determinar o numero de entradas do circuito;

2. Fazer uma tabela verdade com todas as possibilidades;

3. Verificar o comportamento do circuito.

Exemplo 1:

AB

CS

Solucao:A B C A+B C Y

0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 00 1 0 1 0 00 1 1 1 1 11 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1

11.6 Obtencao da tabela verdade a partir de uma descricaotextual

Exemplo 1:Determinar a tabela verdade que implemente o problema abaixo.Em uma sala ha tres pessoas (A,B,C) que podem votar Sim (1) ou Nao (0),

sobre um determinado assunto. Implemente a logica que seja capaz de identificaras seguintes situacoes.

X - Indicar que a maioria votou Sim;Y - Indicar que a maioria votou Nao;W - Indicar que houve unanimidade de Sim;Z - Indicar que houve unanimidade de Nao.Solucao:

9

A B C X Y W Z

0 0 0 0 0 0 10 0 1 0 1 0 00 1 0 0 1 0 00 1 1 1 0 0 01 0 0 0 1 0 01 0 1 1 0 0 01 1 0 1 0 0 01 1 1 0 0 1 0

X = AB C +AB C +AB CY = A B C +A B C +A B CW = A B CZ = A B C


12.1 Exercıcios

12.2 Bibliografia


10

Algebra Booleana




Versao: 1.15

1 Introducao

Desenvolvida por George Boole em 1854. O principal objetivo e a simplificacao doscircuitos logicos.

Exemplo 1:f(B,S, F ) = B S F +B S FSolucao:f(B,S, F ) = B S F +B S Ff(B,S, F ) = B F

(S + S

)

f(B,S, F ) = B F

SY

1.1 Leis da Algebra Booleana

Prioridade

1 Parenteses2 NOT3 AND4 OR

Comutatividade:A+B = B +AAB = B A

Associatividade:A+ (B + C) = (A+B) + CA (B C) = (AB) C

Distributividade:A (B + C) = A B +AC

1

1.2 Regras da Algebra Booleana

A+ 0 = A A .0 = 0 A = AA+ 1 = 1 A .1 = A (A+B) (A+ C) = A+B CA+A = A A .A = A

A+A = 1 A .A = 0A+A B = A

A+A B = A+B

1.3 Teorema de Demorgan

AB C . . . = A+B + C + . . .

A+B + C + . . . = A B C . . .

Prove as expressoes abaixo:Exemplo 1:A+A B = ASolucao:A+AB = A (1 +B)

= A.1= A

Exemplo 2: A+ AB = A+BSolucao:A+AB = (A+AB) +A B

= A A+AB +A B= A A+AA+A B +AB=(A+A

)(A+B)

= 1. (A+B)= A+B

Resolver os exercıcio utilizando o Teorema de Demorgan:Exemplo 1:(A+B + C) D =Solucao:(A+B + C) D = A+B + C +D

= AB C +D

Exemplo 2:AB C +D E F =Solucao:A B C +D E F = A B C D E F

=(A+B + C

) (D +E + F

)

Exemplo 3:

AB + C D +E F =Solucao:

A B + C D +E F = A B C D E F

=(A+B

) (C +D

) (E + F

)

=(A+B

) (C +D

) (E + F

)

2

1.4 Simplificacoes usando Algebra Booleana

Exemplo 1: A B +A (B + C) +B (B + C) =Solucao:

Simplificacoes Operacao utilizadaA B +A (B + C) +B (B + C) = A (B + C) = A B +A CA B +AB +A C +B B +B C = A A = AA B +AB +A C +B +B C = A+A = AA B +AC +B +B C = A+A B = AA B +AC +B = A+A B = AA C +B Maxima simplificacao

Exemplo 2:[A B (C +B D) +AB

]C =

Solucao:Simplificacoes Operacao utilizada[A B (C +B D) +A B

]C = A (B + C) = A B +A C(

A B C +A B B D +A B)C = A A = 0(

A B C + 0 +A B)C = A+ 0 = A(

A B C +A B)C = A (B + C) = A B +A C

A B C +A B C = A (B + C) = A B +A C

B C(A+A

)= A+A = 1

B C Maxima simplificacao

Exemplo 3: AB C +A B C +A B C +A B C +A B C =Solucao:

Simplificacoes Operacao utilizada

A B C +A B C +A B C +A B C +AB C = A (B + C) = AB +A C

B C(A+A

)+A B

(C + C

)+B C

(A+A

)= A+A = 1

B C +AB +B C Maxima simplificacao

Exemplo 4:AB +A C +AB C =Solucao:

Simplificacoes Operacao utilizada

A B +AC +AB C = A+B + C + . . . = A B C . . .A B A C +A B C = A B C . . . = A+B + C + . . .(A+B

)+(A+ C

)+A B C =

A+A C +A B +B C +A B C =A+A C +A B (1 + C) +B C =

A(1 + C +B

)+B C =

A+B C Maxima simplificacao

2 Mapa de Karnaugh

2.1 Formato

O mapa de Karnaugh e similar a tabela verdade pois apresenta todos os possıveisvalores das variaveis de entrada e a saıda resultante para cada entrada.

3

AB

100

1

AB

100

1

00 01

10 11

Figura 1: Mapa de Karnaugh de 2 variaveis

ABC

101101000

1


ABCD

1011010000

01

11

10

ABCD

1011010000

01

11

10

0 1 3 2

4 5 7 6

C D F E

8 9 B A


2.2 Utilizacao

Para uma soma de produtos na forma padrao deve ser atribuıdo 1 para o local decada um dos termos da soma e 0 (zero) para os pontos restantes.

Exemplo 1:

S = A B C +A B C +A B C +A B CSolucao:

ABC

101101000

1

1 1 0 0

1 0 0 1

Exemplo 2:

S = A B C D +A B C D + AB C D +A B C D++AB C D +AB C D +A B C D

Solucao:

ABCD

1011010000

01

11

10

0 1 1 0

1 0 0 0

1 1 1 0

0 0 0 1

Para uma soma de produtos fora do padrao deve ser atribuıdo 1 para o local de

4

cada uma das variacoes possıveis de cada um dos termos da soma e 0 (zero) paraos demais pontos.

Exemplo 1:S = A+AB +A B CSolucao:

A AB A B C000 100 110001 101010011

ABC

101101000

1

1 1 1 1

1 1 0 1

Exemplo 2:S = B C +A B +AB C +AB C D +A B C D +AB C DSolucao:

B C A B AB C A B C D AB C D A B C D0000 1000 1100 1010 0001 10110001 1001 11011000 10101001 1011

ABCD

1011010000

01

11

10

1 1 0 0

0 0 0 0

1 1 0 0

1 1 1 1

2.3 Simplificacoes

O objetivo do mapa de Karnaugh e possibilitar a obtencao da expressao booleanamais simplificada possıvel.

Agrupando os 1s:Pode-se agrupar os 1s do mapa unindo as celulas adjacentes que contem 1s. O

objetivo e maximizar a dimensao dos grupos e minimizar o numero de grupos.

Regras:

1. Um grupo deve conter 2n celulas (1,2,4,8,16, 32, ...);

2. As celulas do grupo devem ser adjacentes;

3. Incluir o maior numero de celulas no grupo;

4. Cada 1 do mapa deve ser incluıdo em pelo menos um grupo. Os 1’s ja agru-pados podem fazer parte de outros grupos.

Obs.: Manter apenas as variaveis que nao mudam de valor.

5

Exemplo 1:S = A B +A B +ABSolucao:

AB

100

1

1 0

1 1

S = A+B

Exemplo 2:

ABC

101101000

1

1

1 1 1Solucao:S = A B +B C

Exemplo 3:

ABC

101101000

1

1 1 1

1 1 1Solucao:S = B +AC +A C

Exemplo 4:

ABCD

1011010000

01

11

10

1 1

1 1 1 1

1 1Solucao:S = A C +A B +AB D

Exemplo 5:

ABCD

1011010000

01

11

10

1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1Solucao:S = D +B C +AB C

Exemplo 6:S = A B C +A B C +A B C +A B C +A B C

6

Solucao:

ABC

101101000

1

1 1 1

1 1

S = B +AC

Exemplo 7:

ABCD

1011010000

01

11

10

1 1

1

1 1Solucao:S = B D +A B C D

2.4 Funcoes definidas parcialmente

O valor de saıda do circuito pode nao importar por dois motivos:

1. A saıda nao sera utilizada;

2. A condicao de entrada nunca ira acontecer.

As condicoes de entrada que estao nesta situacao sao chamadas de ”don’t care”esao representadas com um ”X”.

Estas saıdas ”X”podem assumir o estado 0 ou 1, usando-se o valor mais conve-niente.

A B C D S

0 0 0 0 10 0 0 1 10 0 1 0 00 0 1 1 00 1 0 0 10 1 0 1 10 1 1 0 00 1 1 1 0

A B C D S

1 0 0 0 11 0 0 1 11 0 1 0 X1 0 1 1 X1 1 0 0 X1 1 0 1 X1 1 1 0 X1 1 1 1 X

ABCD

1011010000

01

11

10

1 1 0 0

1 1 0 0

0 0 0 0

1 1 0 0

Sem don’t care

ABCD

1011010000

01

11

10

1 1 0 0

1 1 0 0

X X X X

1 1 X X

Com don’t care

S = A C +B C S = C

7

2.5 Mapa de Karnaugh de 5 e 6 variaveis

A Figura 4 da pagina 8 mostra o mapa de Karnaugh de 5 variaveis.

BCDE

1011010000

01

11

10

A=0

BCDE

1011010000

01

11

10

A=1


CDEF

1011010000

01

11

10

A=0 B=0

CDEF

1011010000

01

11

10

A=0 B=1

CDEF

1011010000

01

11

10

A=1 B=0

CDEF

1011010000

01

11

10

A=1 B=1



3.1 Exercıcios

3.2 Bibliografia


8

http:/ /www.inf.pucrs.br/~org_comp.html {calazans,hessel,moraes}@inf.pucrs.br

Sumário

1 - Sistemas Digitais

2 - Projeto e Fabricação de SDs

3 - SDs Combinacionais e Seqüenciais

4 - Taxonomia de SDs

5 - O Processo de Projeto de SDs

6 - Projeto de SDs Auxiliado por Computador

7 - Organização x Arquitetura

Org_Comp



Organização de Computadores – A visão abstrata do engenheiro(elétrico, de computação) de um computador: Transistores, portas lógicas, registradores, unidades lógico-aritméticas,

fios, multiplexadores, etc.

Arquitetura de Computadores – A visão abstrata do programador debaixo nível (linguagem de montagem, em inglês, assembly language): Instruções, registradores para armazenar dados, a linguagem de

programação de montagem, modos de endereçamento, formato dasinstruções, etc.



Afinal, o que é um computador? Uma definição: Máquina com capacidade de acesso a meios de armazenamento

onde estão estocadas informações a serem processadas e asinformações que dizem como processar as primeiras. CPU (CentralProcessing Unit) Informações a serem processadas – dados Informações de como processar – programas

Programas – seqüência de instruções retiradas de um conjunto fixo deinstruções reconhecidas como tal pela máquina

Funcionamento: repetir, infinitamente, seqüência de 3 ações:buscar instrução, identificar instrução buscada, executar instruçãobuscada.

Execução de instruções pode incorrer em acesso a dispositivos deentrada e saída.


Modelo Geral de um computador

Bloco deControle

MEMÓRIADE DADOS

INPUT/OUTPUT

Bloco deDados

MEMÓRIA DEPROGRAMA

CPU

Comentar: FPU, MMU, CACHES, predição de salto (CPU hoje é chamada de core)



Existem modelos gerais que estabelecem as formas deimplementação da máquina computador

Classificação de organizações de computadores: Modelo von Neumann – dados e programas compartilham um

meio de armazenamento único Mais simples, menos restritivo, menos eficiente – dados e

programas misturados permitem ao programador intercambiar asemântica de dados e programas ao longo do tempo

Modelo Harvard – dados e programas estocados em meios dearmazenamento distintos Mais propenso a fomentar paralelismo, mais caro, mais complexo –

dados e programas separados permitem que ambos sejamfacilmente tratados em paralelo


Interface CPU-memória no modelo von Neuman

MemóriaCPU

PC

address

data

IRADD r5,r1,r3200

200

ADD r5,r1,r3


Interface CPU-memória no modelo Harvard

CPU

PCdata memory

program memory

address

data

address

data


von Neumann vs. Harvard

Harvard permite duas leituras de memóriasimultâneas (dado e instrução).

A maioria dos processadores DSP (celulares,telecom, câmeras digitais,…) usamorganização Harvard: Maior largura de band de memória; Tempo de acesso a dados mais previsível.

sistemas num ericos - faculdade de informática · 3 tabela dos n umeros inteiros a tabela 3 mostra...

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