sistemas numéricos

1

CAPTULO 1

Circuitos Combinacionales.

1.1.- Fundamentos. La funcin principal de los sistemas digitales, entre ellos las computadoras, es la de procesar informacin. Por tanto es necesario contar con mtodos y sistemas para representar la informacin en formas que se puedan manipular y almacenar utilizando equipo electrnico o de otro tipo. En esta seccin se estudiarn los sistemas numricos y cdigos que se utilizan con frecuencia en las computadoras y sistemas digitales. 1.1.1.- Sistemas numricos. Un sistema numrico consta de un conjunto ordenado de smbolos llamados dgitos, con relaciones definidas para la suma, resta, multiplicacin y divisin. La base (r) del sistema numrico es el nmero total de dgitos permitidos en dicho sistema. Cualquier nmero en un sistema dado puede tener una parte entera y una parte fraccionaria separadas mediante un punto. Los sistemas numricos de uso comn en el diseo de sistemas digitales y la programacin de computadoras, incluyen el decimal (r=10), el binario (r=10), el octal (r=8) y el hexadecimal (r=16). Dos formas de representar un nmero de cualquier base r son la notacin posicional y la notacin polinomial. Un nmero positivo N en notacin posicional se escribe como: ( )rmnn aaaaaaaN = ....... 2101|21 (1.1)

Un nmero positivo N en notacin polinomial se escribe como:

=

=1n

mi

iiraN (1.2)

2 Captulo 1: Circuitos Combinacionales

Diseo Moderno de Sistemas Digitales

Nombre Decimal Binario Octal Hexadecimal Base 10 2 8 16 Dgitos 0,1,2,3,4,5,6,

7,8,9 0, 1 0,1,2,3,4,5,6,

7 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Primeros 17 enteros positivos

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

0 1

10 11

100 101 110 111

1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

10000

0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10

Tabla 1.1. Sistemas numricos importantes.

1.1.1.1.- Aritmtica binaria. La aritmtica binaria es muy sencilla, se usan los algoritmos usados comnmente en el sistema decimal. Esto lo veremos con los siguientes ejemplos: Ejemplo 1.1 Suma. Sumar los dos nmeros binarios (111101) y (10111).

1 1 1 1 1 1 Acarreos 1 1 1 1 0 1 Sumando

+ 1 0 1 1 1 Sumando 1 0 1 0 1 0 0 Suma

Seccin 1.1 Fundamentos 3

Ejemplo 1.2 Resta. Restar (10111) a (1001101).

1 0 0 1 1 0 1 Minuendo 1 0 1 1 1 Sustraendo

- 1 1 0 1 1 0 Diferencia Ejemplo 1.3. Multiplicacin. Multiplicar (10111) por (1010).

1 0 1 1 1 Multiplicando x 1 0 1 0 Multiplicador

0 0 0 0 0 1 0 1 1 1

0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 Producto

Ejemplo 1.4. Divisin. Dividir (1110111) entre (1001). 1 1 0 1 Cociente Divisor 1 0 0 1 /1 1 1 0 1 1 1 Dividendo

0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1

0 1 0 Residuo 1.1.1.2.- Conversiones de base. Estudiaremos dos mtodos de conversin de nmeros entre diferentes bases. El primero se conoce como sustitucin de una serie mientras que el segundo es el de divisin/multiplicacin por la base. El mtodo de sustitucin de una serie se basa en la representacin polinomial de un nmero. La ecuacin (1.2) puede expandirse en la forma:

mm

nn rarararaN

+++++= ...... 110011 (1.3) Los pasos a seguir para realizar la conversin de un nmero de base A, a su representacin en base B, son:



1) Se forma la representacin en serie del nmero en base A en el formato de la ecuacin (1.3). 2) Se evala la serie usando la aritmtica de base B. Ejemplo 1.5. Convertir (101000) a base 10.

10

1010

01234

)20( 00)4(0(16)

2020212021

=++++=

++++=N

Ejemplo 1.6. Convertir (274)8 a base 10.

10

101010

012

)188( )4()56((128)

848782

=++=++=N

El mtodo de divisin/multiplicacin por la base se puede dividir en dos partes. Una para convertir un nmero N entero de base A a la base B (divisin entre la base), y la otra para convertir el nmero fraccionario (multiplicacin por la base). El mtodo de divisin entre la base consiste de los siguientes pasos: 1) Dividir el nmero N que est en base A, entre la base deseada, obteniendo el coeficiente Q1 y el residuo R0. R0 es el dgito menos significativo del resultado. 2) Se calcula cada uno de los dgitos restantes dividiendo cada cociente resultante entre la base deseada. 3) Se detiene el proceso cuando el cociente sea cero. Ejemplo 1.7. Convertir (234) a base 8. 8/234 = 29 + 2/8 b0=2 29/8 = 3 + 5/8 b1=5 3/8 = 0 + 3/8 b2=3 entonces (234)10 = (325)8


El mtodo de multiplicacin por la base se muestra en el siguiente ejemplo: Ejemplo 1.8. Convertir (0.1285) a base 8.

0b 2560.080320.04b 0320.485040.05b 5040.586880.02b 6880.283360.06b 3360.687920.01b 7920.182240.00b 2240.080280.0

1b 0280.181285.0

8-

7-

6-

5-

4-

3-

2-

1-

================

as: 8...)10162540.0()1285.0( = 1.1.2.- Representacin de nmeros con signo. El signo de los nmeros almacenados en los sistemas digitales se especifica mediante un dgito llamado dgito de signo, que por lo general se coloca en la posicin extrema izquierda de los dgitos del nmero. Los nmeros positivos se especifican con un dgito de signo igual a cero, y los negativos, con un dgito de signo distinto de cero. El mtodo ms sencillo de representar nmeros con signo es el de magnitud y signo. Un nmero de la forma ( )rmn aaaaN = ....... 101 , se puede representar en la forma de magnitud y signo como sigue:

( )rmn aaaSaN = ....... 101 (1.4) donde S=0 si N es positivo y S=1 si N es negativo. 1.1.2.1.- Complemento. El complemento a una base [N]r de un nmero (N)r dado por la ecuacin (1.2), se define como:

[ ] rnr NrN )(= (1.5)



donde n es el nmero de dgitos de (N)r. El nmero positivo ms grande que puede representarse es rn-1-1, mientras que el nmero negativo ms pequeo es rn-1. Signo Decimal Binario en

magnitud y signo Complemento a

dos Complemento a

uno +7 +6 +5 +4 +3 +2 +1 0

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

0,111 0,110 0,101 0,100 0,011 0,010 0,001 0,000 (1,000) 1,001 1,010 1,011 1,100 1,101 1,110 1,111

0,111 0,110 0,101 0,100 0,011 0,010 0,001 0,000

1,111 1,110 1,101 1,100 1,011 1,010 1,001

0,111 0,110 0,101 0,100 0,011 0,010 0,001 0,000 (1,111) 1,110 1,101 1,100 1,011 1,010 1,001 1,000

Tabla 1.2. Diferentes formas de representar nmeros con signo. El complemento a dos es el caso especial (para nmeros binarios) del complemento a una base, est dado por:

[ ] 22 )(2 NN n = (1.6) donde n es el nmero de bits de (N)2. El complemento a dos es el formato de uso ms comn para los nmeros con signo en los sistemas digitales. Ejemplo 1.9. Determinar el complemento a dos de (N)2=(01100101)2. De la ecuacin (1.6),


[ ] [ ]( )

( ) ( )( )2

22

28

22

10011011 01100101100000000

011001012

01100101

==

==N

Ejemplo 1.10. Determinar el complemento a dos de (N)2=(10110)2, para n=8 De la ecuacin (1.6), [ ] [ ]

( )( ) ( )( )2

22

28

22

11101010 10110100000000

101102

10110

==

==N

Ejemplo 1.11. Determinar el complemento a dos de (N)2=(11010100)2, y verificar que puede servir para representar -(N)2 demostrando que (N)2+[N]2=0. Primero se determina el complemento a dos: [ ] ( )22 00101100=N , y ahora calculamos (N)2+[N]2:

1 1 0 1 0 1 0 0 + 0 0 1 0 1 1 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 del resultado obtenido, el 1 se denomina acarreo, descartndolo, obtenemos que (N)2+[N]2=0. El complemento disminuido a una base a una base [N]r-1 de un nmero (N)r, se define como:

[ ] 1)(1 = rnr NrN (1.7) donde n es el nmero de dgitos de (N)r.



El complemento a uno es el caso especial (para nmeros binarios) del complemento disminuido a una base, y est dado por:

[ ] 1)(2 212 = NN n (1.8) donde n es el nmero de bits de (N)2. Ejemplo 1.12. Determinar el complemento a uno de (N)2=(01100101)2, para n=8 De la ecuacin (1.8), [ ] ( )

( ) ( )( )2

22

28

12

10011010 01100101100000000

011001012

==

=N

Observar que para determinar el complemento a uno de un nmero binario, basta con intercambiar los unos con los ceros y viceversa. Mientras que para obtener el complemento a dos basta con obtener el complemento a uno y sumarle 1. 1.1.2.2.- Sistemas numricos complementarios. Los nmeros complementarios son la base de la aritmtica complementaria, un mtodo frecuentemente utilizado en los sistemas digitales para realizar operaciones algebraicas con nmeros con signo. En estos sistemas, los nmeros positivos se representan de la misma manera que en un sistema con magnitud y signo, mientras que los nmeros negativos se representan como el complemento del nmero positivo correspondiente. Ya se ha definido el complemento a una base y se ha presentado la forma de obtenerlo, adems se ha sugerido la forma en que puede representarse un nmero negativo utilizando el complemento a una base. Ahora, describiremos un sistema numrico que utiliza el complemento a dos para representar a los nmeros negativos. En el sistema numrico de complemento a dos, los nmeros positivos se representan de la misma manera que en el sistema de magnitud y signo,


utilizamos un bit 0 a la izquierda para representar el signo (positivo). Los nmeros negativos se representan con el complemento a dos del nmero positivo correspondiente a dicho nmero negativo, y tienen un bit de signo igual a 1. Ejemplo 1.13. Dado (N)2=(1100101)2, determinar las representaciones de (N)2 en el sistema numrico de complemento a dos, para n=8. La representacin de +(N)2 queda: ( ) ( )22 1100101.0=+ N Para obtener la representacin -(N)2, hacemos lo siguiente: ( ) ( )[ ]

[ ]( )

( ) ( )( )2

22

28

2

222

00110011,1 1100101,0100000000

1100101,02

1100101,0

==

==

+= NN

Ejemplo 1.14. Determinar la codificacin en el sistema numrico de complemento a dos de (13)10 para n=8. Primero convertimos (13)10 a binario, asi: ( ) ( ) ( )

0001101,0110113 2210 ==

Ahora, calculamos el complemento a dos de este ltimo resultado, con lo que podremos representar -(13)10: ( ) ( )

[ ]( )2

2

210

1110011,1 0001101,0

0001101,013

==

=

Ejemplo 1.15. Determinar el nmero decimal representado por N=(1,1111010)2



Como el bit de signo es 1, entonces se trata de un nmero negativo. Calculando el complemento a dos del nmero dado, obtenemos su magnitud:

[ ]( )( )10

2

2

6 0000110,0

1111010,1 )1111010,1(

===

=N

donde (0,0000110)2=+(6)10. Por lo tanto (1,1111010)2 representa a -(6)10. 1.1.2.3- Aritmtica binaria complementaria. Muchos sistemas y computadoras digitales utilizan un sistema numrico de complemento a una base con el fin de minimizar la cantidad de circuitos necesarios para realizar la aritmtica de enteros. De este modo, podemos realizar la operacin A-B calculando A+(-B), donde (-B) est representado por el complemento a dos de B: Por lo que solo necesitamos un sumador binario y algunos circuitos complementarios para realizar la suma y la resta. Los sistemas digitales operan con sistemas finitos de nmeros, cuyo tamao depende del nmero de bits disponibles. El nmero de bits fija un intervalo numrico, el sistema no puede manejar nmeros fuera de este intervalo. Las mquinas que utilizan el sistema numrico de complemento a dos, pueden representar nmeros en el intervalo:

122 11 nn N (1.9) donde n es el nmero de bits disponibles en el sistema para representar N. Si una operacin produce un resultado fuera del intervalo disponible indicado por (1.9), entonces el resultado presentado no es correcto y se dice que se tiene una condicin de sobreflujo. Se requiere entonces vigilar las operaciones aritmticas para evitar tomar resultados errneos. En los siguientes ejemplos se muestra el uso del sistema numrico de complemento a dos de 5 bits.


Ejemplo 1.16. Calcular (9)10+(5) 10 con aritmtica de complemento a dos de 5 bits. Se escriben los nmeros (9)10 y (5) 10 en su representacin de complemento a dos: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0101,001015

1001,010019

2210

2210=+==+=

Ntese que el quinto bit es el bit de signo. Sumando estos dos cdigos: 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 como el resultado presenta un bit de signo 0, entonces se trata de un nmero positivo como se esperaba, as:

(0,1110)2=+(1110)2=+(14)10 Ejemplo 1.17. Calcular (12)10+(7) 10 con aritmtica de complemento a dos de 5 bits. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0111,001117

1100,0110012

2210

2210=+==+=

0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 como el resultado presenta un bit de signo 1, entonces se trata de un nmero negativo, as:

(1,0011)2=-(1101)2=-(13)10



y el resultado es errneo. Lo que se esperaba como resultado es: +(19)10, que el nmero de bits disponibles (n=5) no se puede representar por que sale del rango permitido. Entonces ocurre una condicin de sobreflujo. Ejemplo 1.18. Calcular (12)10-(5) 10 con aritmtica de complemento a dos de 5 bits. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1011,101015

1100,0110012

2210

2210===+=

0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 el resultado presenta 6 bits, el sexto bit se conoce como bit de acarreo, descartndolo, observamos que el resultado presenta un bit de signo 0, entonces se trata de un nmero positivo, as:

(0,0111)2=+(0111)2=+(7)10 Ejemplo 1.19. Calcular (5)10-(12)10 con aritmtica de complemento a dos de 5 bits. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0100,1110012

0101,001015

2210

2210===+=+

0 0 1 0 1

1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 En este caso no hay acarreo, el bit de signo es 1, por lo que tenemos un nmero negativo, as:

(1,1001)2=-(0111)2=-(7)10


1.1.3- lgebra booleana. En 1849, George Bool present una formulacin algebraica de los procesos del pensamiento y el razonamiento lgico. Esta formulacin se conoce como lgebra booleana. 1.1.3.1.- Postulados. La descripcin bsica de la formulacin del lgebra booleana, se basa en conceptos de la teora de conjuntos, donde se define formalmente un lgebra booleana como un conjunto matemtico distributivo y complementado. Enseguida se presentan una serie de postulados que sintetizan los elementos y propiedades bsicas del lgebra booleana. Postulado 1. Definicin. Un lgebra booleana est formado por un conjunto k de dos o ms elementos y los dos operadores AND y OR. Postulado 2. Existencia de 0 y 1. En el conjunto k existen los elementos 0 y 1, tales que: a) a+0=a b) a1=a Postulado 3. Conmutatividad. Para toda a y b en k: a) a+b=b+a b) ab=ba Postulado 4. Asociatividad. Para toda a, b y c en k: a) a+(b+c)=(a+b)+c b) a(bc)=(ab)c Postulado 5. Distributividad. Para toda a, b y c en k: a) a+(bc)=(a+b)(a+c) b) a(b+c)=(ab)+(ac) Postulado 6. Complemento. Para toda a en k existe un nico elemento llamado a (complemento de a ) en k tal que: a) 1=+ aa b) 0=aa



1.1.3.2- Teoremas fundamentales. En esta seccin enunciamos algunos teoremas tiles del lgebra booleana. Como se ver ms adelante, estos teoremas forman la base de algunos mtodos estndar y automatizados por computadora para simplificar funciones booleanas. Teorema 1. Idempotencia. a) aaa =+ b) aaa = Teorema 2. Elementos neutros. a) 11 =+a b) 00 =+a Teorema 3. Involucin. aa = Teorema 4. Absorcin. a) aaba =+ b) ( ) abaa =+ Teorema 5. a) babaa +=+ b) ( ) abbaa =+ Teorema 6. a) abaab =+ b) ( )( ) ababa =++ Teorema 7. a) acabcbaab +=+ b) ( )( ) ( )( )cabacbaba ++=+++ Teorema 8. Teorema de Morgan. a) baba +=+ b) baab +=

Ejemplo 1.20. ( ) ( ) YXZYXYX +=+++ , usando el teorema 4(a).


Ejemplo 1.21. ( ) BACBBABA =+ , usando el teorema 4(b). Ejemplo 1.22. DCABDCBAB +=+ , usando el teorema 5(a). Ejemplo 1.23. ( ) ( )ZXYZYXY +=++ , usando el teorema 5(b). Ejemplo 1.24. Simplificar ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )XW

YXWYXWZYXWZYXWYXW

ZYXWZYXWZYXWZYXW

+=++++=

++++++++=++++++++++++

,

Ejemplo 1.25. Simplificar

wzwxw

zwxwyywzwxwxyyxwywzwxwxyzyxwyw

=+=

++=+++=+++

Ejemplo 1.26. Complementar la siguiente expresin. ( )( ) ( )( )

( )( )( )( )( )( )xzba

axzbaaxzba

axzbaaxzba

axzbaaxzba

+++=+++=+++=++++=

+++=+++=++

1.2- Funciones lgicas y minimizacin. Se han enunciado los postulados y teoremas del lgebra booleana en forma general, sin especificar los elementos del conjunto k. Los resultados son vlidos para cualquier lgebra booleana. El lgebra booleana en donde k={0, 1} se conoce como lgebra de conmutacin o lgebra binaria.



En lo que sigue, nos centraremos en el estudio de las funciones binarias o funciones de conmutacin y en su minimizacin. 1.2.1.- Funciones lgicas. Podemos definir una funcin booleana de la siguiente manera: Sean x1, x2,...., xn variables del lgebra de conmutacin (es decir, cada una de ellas puede adoptar o el valor de 0 o de 1), y sea f(x1, x2,...., xn) una funcin de conmutacin. Esta funcin puede ser 0 o 1. Como hay n variables y cada variable tiene dos posibles valores, hay 2n maneras de asignar estos valores a las n variables. Adems, existen dos

valores posibles para la funcin f(x1, x2,...., xn). Por tanto, hay n22

diferentes funciones de conmutacin de n variables. As, si n=0, las dos funciones de conmutacin de cero variables son:

10

1

0==

ff

Si n=1, las cuatro funciones de la variable A, son:

1 , ,0

31

20====

fAfAff

Si n=2, tendremos 16 funciones posibles. 1.2.1.1.- Tablas de verdad. Podemos representar una funcin de conmutacin mediante varias expresiones de conmutacin diferentes, pero equivalentes. Si evaluamos una funcin de conmutacin para todas las posibles combinaciones de las entradas y presentamos los resultados como una tabla, obtenemos una representacin nica de la funcin llamada tabla de verdad. Ejemplo 1.27. Tablas de verdad de las funciones AND; OR y NOT. a b f(a.b)=a+b a b F(a,b)=ab a F(a)= a 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1


Ejemplo 1.28. Tabla de verdad de la funcin CACAABCBAf ++=),,(

A B C F(A, B, C) 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1

1.2.1.2.- Formas algebraicas de las funciones lgicas.

Las funciones lgicas se pueden escribir en dos formas especficas: la forma suma de productos (SOP), y la forma producto de sumas (POS). En la forma SOP, las funciones se construyen al sumar (OR) trminos producto(AND), donde cada trmino producto se forma mediante el AND de varias variables complementadas o no complementadas, cada una de las cuales es una literal. Por ejemplo: ( ) DCADBCBACBAf ++=,, Las funciones de conmutacin en la forma POS, se construyen al considerar el producto (AND) de trminos suma (OR), donde cada trmino suma se obtiene mediante el OR de varias literales. Por ejemplo: ( ) ( )( )( )DCADCBCBACBAf ++++++=,, Si la funcin que est en la forma SOP, y cada uno de los trminos producto contiene cada una de las n variables exactamente una vez, ya sea en forma complementada o no complementada, entonces, se dice que la funcin est en forma SOP cannica y a cada uno de los trminos se les conoce como minitrminos. Entonces, para una funcin de n variables se tienen nicamente 2n posibles minitrminos, y solo con ellos se puede formar dicha funcin. Por ejemplo, para 3 variables, podemos tener 8 minitrminos. Por otro lado, si una funcin que est en la forma POS tiene cada uno de sus trminos suma formado por cada una de las n variables exactamente una vez en forma complementada o no complementada, entonces, se dice que la funcin est en la forma POS cannica, y a cada uno de los trminos suma se les denomina maxitrmino.

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