sistemas planos de alma llena

Sistemas Planos de Alma Llena Trazado de Diagramas de Características

El presente trabajo es un sumario de repaso de conceptos teóricos de la materia Estabilidad Ib (64.11) correspondiente a las carreras de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica.

Ing. Carlos Giacoia

Año de edición 2016

Trazado de Diagramas de Características

Estabilidad IIB – 64.12 hoja 1 Curso: Ing. Gabriel Pujol

Tabla de contenido

TRAZADO DE DIAGRAMAS DE CARACTERÍSTICAS 3

CONCEPTOS E IDEAS QUE DEBEMOS RECORDAR: 3 EJERCICIO DE APLICACIÓN N° 1 9


Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 2 Estabilidad IIB – 64.12



Trazado de diagramas de características

Conceptos e ideas que debemos recordar:

a. Los esfuerzos característicos son las solicitaciones producidas por las cargas que actúan sobre la estructura que se analiza y que habrán de ser las causas condicionantes (al margen de otras variables) del dimensionamiento de las secciones transversales de las distintas partes que la componen.

b. Las acciones exteriores (cargas) han sido expresadas por medio de funciones (carga concentrada –incluyendo pares– y fuerzas distribuidas). Por lo tanto los esfuerzos característicos (que de ellas derivan) serán también funciones y el trazado de los diagramas de características se reduce, en definitiva, a graficar como varía un esfuerzo determinado (variable dependiente) a lo largo del eje de la barra para la cual se dibuja (variable independiente):

c. Relaciones diferenciales: son expresiones matemáticas que se deducen estudiando el equilibrio de un elemento de barra, sometido a la acción de las fuerzas exteriores y de los esfuerzos característicos, que facilitan el análisis de las funciones que se quiere graficar (M, Q, N) y el mismo trazado.



Terna Izquierda Terna Derecha

1

0

0)1

zqdz

zdN

dzqdN

NdzqdNNP

zz

z

zz

4

0

0)1

xqdx

xdN

dxqdN

NdxqdNNP

xx

x

xx

2

0

0)2

zqdz

zdQ

dzqdQ

NdzqdQQP

y

y

y

yy

5

0

0)2

xqdx

zdQ

dxqdQ

NdxqdQQP

y

y

y

yy

3

0

:superiororden de mosinfinitési dodesprecian

02

0)3

1

1

zQdz

zdM

dzQdM

dzdzqM

dzdQQdMMM

M

yx

y

G

G

6

0

:superiororden de mosinfinitési dodesprecian

02

0)3

2

2

xQdx

xdM

dxQdM

dxdxqM

dxdQQdMMM

M

yz

y

G

G

d. Concepto de esfuerzo característico: Partimos de la idea de un cuerpo (chapa en nuestro caso) en estado de equilibrio:

0 iPR

Ahora seleccionamos una sección trasversal cualquiera, con lo cual el cuerpo queda dividido en dos partes (izquierda y derecha) que admitirán sendas resultantes parciales Ri y Rd, que deben ser fuerzas opuestas: Ri = - Rd, de modo que se cumpla que Ri y Rd = R = 0



1

Si Rd es la resultante de las fuerzas que actúan sobre la parte derecha, Ri puede interpretarse como la “colaboración” que le suministra la parte izquierda para que se mantenga en equilibrio y viceversa.

Si analizamos ahora el equilibrio de la parte derecha tendremos:

Dado que Ri = - Rd, sobre la cara izquierda de la sección 1-1 se obtendrán fuerzas opuestas a las anteriores con lo cual será:

1 Nota: dado que Ri y Rd constituyen un sistema equivalente para las fuerzas actuantes sobre cada parte, no deben coexistir con ellas; aquí se lo ha hecho a sólo efecto de recordar ideas.

11

1

1QNR

eRM

i

ii



Las fuerzas Q1, N1, y M1, corresponden a la descomposición de Rd en la dirección de los ejes coordenados x, y, z y son las que se grafican cuando se usa la terna DERECHA.

Las fuerzas Q1, N1, y M1, corresponden a la descomposición de Ri en la dirección de los ejes coordenados x, y, z y son las que se grafican cuando se usa la terna IZQUIERDA.

e. Ternas de referencia global y Locales

i. Terna Global: se emplea para referir a ella la geometría de la estructura y para determinar R y las reacciones de vínculo externas (RVE).

ii. Ternas Locales: a ellas se refieren los esfuerzos característicos.

iii. Ejemplos:

2 2 Nota: en principio, las ternas Global y Locales no tiene por qué ser del mismo tipo (derecha o izquierda), pero todas las

locales sí deben serlo (derecha o izquierda).



f. Ternas locales / Los cuatro casos posibles: la disposición de una barra en la composición de una estructura admite que se la asocie con alguno de los cuatro casos posibles que se muestran a continuación, tanto para terna izquierda como para derecha:

i. Terna local izquierda:

3

i. Terna local derecha:

3 Nota: ver que de los casos 1 a 4 se pasa mediante un giro continuo de la barra en el sentido horario.



4

g. Caras Positivas: son aquellas que, de acuerdo con la terna local adoptada, nos da el signo de los esfuerzos que van a graficarse:

4 Nota: ver que de los casos 1 a 4 se pasa mediante un giro continuo de la barra en el sentido anti horario.



Ejercicio de aplicación N° 1

Trazar los diagramas de características de la siguiente estructura plana, empleando terna izquierda:

a. Diagramas:



b. Comentarios

i. Análisis Cualitativo en base a las Relaciones Diferenciales

La integración miembro a miembro de las relaciones diferenciales (3 o (4 a 6)) nos muestra que la función que figura en el primer miembro es de un grado superior a la que lo hace en el segundo:

2

1

2

1

2

1

z

z

yxyx

z

z

yyy

y

z

z

zzzz

dzzQzMzQdz

zdM

dzzqzQzqdz

zdQ

dzzqzNzqdz

zdN

Por lo tanto en nuestro caso se tiene lo siguiente:

Entre las secciones 1 y 21:

grado 2 de parabólicafunción linealfunción )

linealfunción constante)

constante0)

zMzQc

zQzqb

zNzqa

xy

yy

zz



constante0)

n/caso)en (cero constante0)

zMzQc

zQzqb

zNzqa

xy

yy

zz



constante0)

constante0)

zMzQc

zQzqb

zNzqa

xy

yy

zz

c. Cálculo de los esfuerzos característicos en cada sección clave



Por lo tanto, H1 y V1 componen Ri, mientras que todo el resto de las fuerzas (q.3m; H4 = 10 t; VA = 30 t; M3 = 10 t.m y V3 = 22,08 t) componen Rd = -Ri .

Pregunta 1: ¿En qué consiste la mecánica del cálculo de los esfuerzos característicos en

cualquier sección?

Rta: en reducir al baricentro de la sección que se analiza la resultante Ri (da el signo de las

características con terna izquierda) o Rd.

Pregunta 2: ¿Es necesario determinar Ri o (Rd) previamente?

Rta: no, porque según vimos oportunamente, la proyección de la resultante de un sistema de

fuerzas sobre un eje (“z” para hallar Nz e “y” para hallar Qy) es igual a la suma de las proyecciones de las fuerzas componentes sobre el mismo eje y, además, el momento de la resultante de un sistema de fuerzas con respecto a un punto (el baricentro G de la sección en este caso) es igual a la suma de los momentos de las fuerzas componentes con respecto al mismo punto. Se tiene entonces: Ri1 = H1 + V1.



3344

11

y;; den composició

3izquierda la desde

21

21

MVVHR

mqVHR

d

i

En consecuencia, al reducir las fuerzas que actúan sobre la parte izquierda al baricentro de la sección 21, se tiene:

mtmmm

tmtMM

tmm

ttQP

tHP

xx

yy

zz

26,4650,135392,22

92,73592,22

10

izquierda la desde

21

21

21



33

4411

y den composició

3izquierda la desde

23

23

MVR

VHmqVHR

d

i

En G23 se tiene:

mtmtMMM

ttmm

ttQP

ttNP

xxx

yy

zz

26,56110

08,22303592,22

01010

izquierda la desde

2123

23

23



33

4411

y den composició

3izquierda la desde

3

3

MVR

VHmqVHR

d

i

En G3 se tiene:

mtmQMMM

ttmm

ttQP

NttP

yxxx

yy

zz

103

08,22303592,22

01010

izquierda la desde

23233

3

3



44

3311

con comp.3izquierda la desde

24

24

VHR

MVmqVHR

d

i

En G24 se tiene:

mtmtmt

mtmmm

tmtMM

tHQP

ttmm

ttNP

xx

yy

zz

1098,9392,22

105,135392,22

10

3008,223592,22

izquierda la desde

24

24

24

1



Para la Sección 4, en este único caso se procede a determinar los esfuerzos característicos a partir de Rd (debemos cambiar su signo para dibujarlas).

En G4 (izquierda) se tiene:

0

1010

n)(compresió3030

derecha la desde

44

44

44

zxx

yyy

zzz

dHMM

tQtQP

tNtNP

Vemos ahora, rápidamente, que sucede si planteamos terna derecha (recordemos que el signo de los esfuerzos que deben graficarse son los que se obtienen descomponiendo la resultante derecha Rd en la dirección de los 3 ejes coordenados de referencia):



a. Diagrama de características (terna derecha)



b. Algunas consideraciones finales

Haremos algunas consideraciones finales sobre el signo de las pendientes de las tangentes de los diagramas de esfuerzos de corte y momento flexor, así como acerca de las concavidades de éste último cunado la función es parabólica (aunque formalmente está relacionado íntimamente con el primer tema).

Lo haremos para el caso de terna izquierda analizando los diagramas de Qy y Mx de la barra 1-2. Para ello debemos recordar que:

3

2

zQdz

zdM

zqdz

zdQ

yx

y

y

La expresión (2) nos dice que la pendiente de la recta tangente a la función Qy en cualquier punto (posicionado mediante la abscisa “z”) viene dada por la ordenada de carga qy (que corresponde a ese mismo punto) cambiada de signo.

Del mismo modo la expresión (3) nos dice que la pendiente de la recta tangente a la función Mx en un punto cualquiera viene dada por el valor del esfuerzo de corte en ese mismo punto.

En el primer caso qy debe medirse en la escala de fuerzas empleada para graficar los esfuerzos de corte; en el segundo caso, Qy debe medirse en la escala adoptada para el diagrama de momentos flexores.

En resumen, los diagramas de qy(z); Qy(z) y Mx(z) están íntimamente relacionados:



Por último podemos dar la siguiente regla práctica para verificar si la concavidad de la curva representativa del diagrama de momentos flexores (de cargas distribuidas) es correcta:

“Se supone que la línea de cierre del diagrama de momentos es la vela de una embarcación y que la carga distribuida representa la acción del viento, la concavidad correspondiente a la deformación de la vela coincidirá con la del diagrama de momentos flexores.”

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