Sistemas de Sistemas de ecuaciones linealesecuaciones lineales

OctavoOctavo

Una ecuación lineal es una ecuación de la forma

en donde son variables; son constantes llamadas los coeficiente de las variables y b es una constante llamada el término constante de la ecuación.

1 1 2 2 n na x a x a x b

1 2, x , ..., xnx 1 2, , ..., na a a

Ejemplo 1

Solución

Juan tiene 2 canicas más que pedro. Si el doble de las canicas de Juan se junta con las de Pedro, se obtienen 103 canicas. ¿Cuántas tiene cada uno?

Si Pedro tiene x canicas, entonces Juan tiene x + 2 canicas. Por tanto:

2 2 103x x

3 4 103x

9933

3x

Hay diversos métodos de solución de un sistema con dos ecuaciones lineales de dos variables (2x2).

¿Cómo se resuelve un sistema 2x2 de ecuaciones lineales?

Un sistema de ecuaciones lineales es una colección de dos o más ecuaciones lineales

Método gráfico

Consiste en representar gráficamente las ecuaciones del sistema para determinar (si

la hay) la intersección de las rectas que las representan.

La gráfica de cada ecuación de un sistema 2x2 de ecuaciones lineales, es una recta . Por lo que el método gráfico:

Ejemplo Resolver gráficamente el sistema 1 2 1x yx y

Solución

Se tabulan las ecuaciones despejando a y en cada una de ellas. Observe:

1y x

x

y

0 – 1

0

1

2 1y x

x

y

0 2

– 1

3

Representando gráficamente las parejas ordenadas (x, y) de cada tabla en el plano cartesiano, se trazan las correspondientes rectas para determinar la solución. Observe:

– 1

0– 1

2

3

1

x

y

El punto de coordenadas (2, 3) es la intersección de las rectas que son gráficas de las ecuaciones del sistema, entonces la solución es:

2, 3x y

(2, 3)

Un sistema que tiene solución única, se llama SISTEMA DETERMINADO, COMPATIBLE, CONSISTENTE O INDEPENDIENTE y se caracteriza en que las rectas que son gráficas de las ecuaciones que lo forman, se intersecan exactamente en un punto cuyas coordenadas corresponden a la solución del sistema.Ejemplo El sistema tiene solución única.

Observe: 3 1

4 8x yx y

2

1

0

4

2

x

y

3 1x y

4 8x y

(4, 1)

1

Un sistema de ecuaciones lineales que tiene un número infinito de soluciones se llama SISTEMA INDETERMINADO O DEPENDIENTE, y se caracteriza en que las gráficas de las ecuaciones que lo forman son la misma recta.Ejemplo

10El sistema tiene infinidad de soluciones. Observe:

12

2 2

yx

x y

- 2

10

y

x

12

yx

2 2x y

Un sistema que no tiene solución alguna se llama SISTEMA INCONSISTENTE O INCOMPATIBLE, y se caracteriza en que las gráficas de las ecuaciones que lo forman son rectas paralelas y distintas entre sí.

El sistema no tiene solución. Observe: 1

2

2 3

yx

x y

- 2

1

0

y

x

12

yx

2 3x y

- 3

Ejemplo