sisteme liniare

Capitolul I

SISTEME LINIARE

Ioana Luca

Departamentul Metode si Modele Matematice

Universitatea Politehnica Bucuresti

2015–2016

I. Luca UPB 1/36

Sumar

1 Sisteme liniare - generalitati

2 Sisteme liniare - existenta solutiei

3 Metode de rezolvare:

Sisteme triunghiulare

Algoritmul Gauss si varianta sa Gauss-Jordan

Descompunerea LU si variantele sale LDU, LDLT

Descompunerea PLU

I. Luca UPB 2/36

1. Sisteme liniare - generalitati

DEFINITIE

1) Ecuatie liniara ın variabilele x1, . . . , xn ∈R (C):

a1x1 + . . . + anxn = b , a1, . . . , an, b ∈R (C)

2) Sistem de ecuatii liniare (sistem liniar):⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

A11x1 +A12x2 + . . . +A1nxn = b1

A21x1 +A22x2 + . . . +A2nxn = b2

⋮

Am1x1 +Am2x2 + . . . +Amnxn = bm

Aij , bi ∈R (C)

In scriere condensata:n

∑j=1

Aijxj = bi (1)

i = 1,m

In scriere matriceala: Ax = b (2)

unde A ∈Mm,n, x ∈Mn,1, b ∈Mm,1,I. Luca UPB 3/36

1. Sisteme liniare - generalitati

A ≡

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

A11 A12 . . . A1n

A21 A22 . . . A2n

⋮

Am1 Am2 . . . Amn

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

, x ≡

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

x1

x2

⋮

xn

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

, b ≡

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

b1

b2

⋮

bm

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

DEFINITIE

1) sistem liniar si omogen: sistem liniar cu b = 0;

2) solutie pt. (1): (x1, . . . , xn) care satisface (1)

⇐⇒ x ∈Mn,1 care satisface (2);

3) doua sisteme liniare s.n. echivalente daca au aceleasi solutii.

Ce intereseaza la (1)?↝ (i) sa se decida daca exista solutii si nr. acestora

(ii) sa se rezolve (exact sau aproximativ) ın mod eficient

I. Luca UPB 4/36

2. Sisteme liniare - existenta solutiei

PROPOZITIE (Regula lui Cramer)

A ∈Mn,n ≡Mn inversabila Ô⇒ ∃ ! solutie; se poate det. cu regula luiCramer.

Obs

regula lui Cramer necesita ≈ n! operatii pt. n mare

pe un 1 Gflops1 calculator rezolvarea cu regula lui Cramer a unuisistem liniar cu n = 20 necesita

≈20!

109sec ≈ 80 ani

metoda de rezolvare ineficienta ↝ este nevoie de algoritmi eficientide rezolvare

11 Gflops ⇐⇒ 109 operatii pe secunda (flops ≡ floting point operations persecond)

I. Luca UPB 5/36

2. Sisteme liniare - existenta solutiei

PROPOZITIE (T. Kronecker-Cappelli)

(A ∣b) - matricea extinsa a sist. (1); avem:

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

rang A = rang (A ∣b) = n Ô⇒ ∃! solutie (sist. compatibil det.)

rang A = rang (A ∣b) < n Ô⇒ ∃ o ∞ solutii (sist. compatibil nedet.)

rang A < rang (A ∣b) Ô⇒ /∃ solutii (sist. incompatibil)

PROPOZITIE (T. Rouche)

Sistemul (1) este compatibil ⇐⇒ toti minorii caracteristici sunt nuli.

COROLAR

1) Orice sistem liniar si omogen este compatibil (x = 0 este solutie).2) Un sistem liniar si omogen are doar solutia x = 0 ⇐⇒ rang A = n.

Obs In particular, daca A ∈Mn, sistemul liniar si omogen are doarsolutia nula daca si numai daca detA /= 0.

I. Luca UPB 6/36

3. Metode de rezolvare

Clasificarea metodelor de rezolvare:

Metode directe ↝ dupa un nr. finit de pasi dau solutia exacta,abstractie facand de erorile de calcul

Metode iterative ↝ dau solutii aproximative

Regula de baza ↝ sa se ınlocuiasca sistemul dat cu unul echivalent, maiusor/rapid de rezolvat.

⇓

Operatii elementare asupra ecuatiilor unui sistem:

O1 ≡ schimbarea ordinei a 2 ecuatii ın sistem

O2 ≡ ınmultirea unei ecuatii cu un nr. nenul

O3 ≡ adunarea multiplului unei ecuatii la o alta ecuatie

PROPOZITIE

Cand una dintre operatiile O1-O3 este aplicata sistemului (1) se obtineun sistem liniar echivalent cu (1).

I. Luca UPB 7/36

3. Metode de rezolvare

Operatiile O1–O3 asupra ecuatiilor lui (1) induc operatii elementareasupra liniilor matricei extinse a sist. (1):

R1 ≡ schimbarea ordinei a 2 linii ↝ O1

R2 ≡ ınmultirea unei linii cu un nr. nenul ↝ O2

R3 ≡ adunarea multiplului unei linii la o alta linie ↝ O3

↝ pt. a obtine un sistem “mai simplu”, echivalent cu (1), se lucreazaasupra matricei extinse cu R1–R3

DEFINITIE

Doua matrice s.n. echivalente pe linii daca una se obtine din cealaltaprin operatiile elementare R1–R3.

Obs Doua matrice echivalente pe linii au acelasi rang.

I. Luca UPB 8/36

3. Metode de rezolvare/Sisteme triunghiulare

a) Rezolvarea sistemelor triunghiulare

DEFINITIE

1) L ∈Mm,n s.n. inferior triunghiulara daca Lij = 0, i < j (L≡lower)2) U ∈Mm,n s.n. superior triunghiulara daca Uij = 0, i > j (U≡upper)

Exemplu

L =⎛⎜⎝

3 0 05 2 07 1 1

⎞⎟⎠

L =⎛⎜⎝

3 0 0 05 2 0 07 1 1 0

⎞⎟⎠

L =⎛⎜⎝

3 05 27 1

⎞⎟⎠

U =⎛⎜⎝

3 5 70 2 80 0 1

⎞⎟⎠

U =⎛⎜⎝

3 5 7 40 2 3 50 0 9 6

⎞⎟⎠

U =⎛⎜⎝

7 40 20 0

⎞⎟⎠

I. Luca UPB 9/36


Sistem inferior triunghiular: Lx = b, L ∈Mn

Ô⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

L11x1 = b1

L21x1 +L22x2 = b2. . .Ln1x1 +Ln2x2 + . . . +Lnnxn = bn

Daca detL /= 0 ⇐⇒ Lii /= 0, i = 1, n, sistemul are o unica solutie; ease determina prin substitutie ınainte (“forward-substitution”):

x1 =b1L11

, x2 =b2 −L21x1

L22, . . . ; xi = (bi −

i−1

∑k=1

Likxk) /Lii

I. Luca UPB 10/36


Sistem superior triunghiular: Ux = b, U ∈Mn

Ô⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

U11x1 +U12x2 + . . . +U1nxn = b1

U22x2 + . . . +U2nxn = b2. . . . . .

Unnxn = bn

Daca detU /= 0 ⇐⇒ Uii /= 0, i = 1, n, sistemul are o unica solutie; ease determina prin substitutie ınapoi (“back-substitution”):

xn =bnUnn

, xn−1 =bn−1 −Un−1,nxn

Un−1,n−1, . . . ; xi = (bi −

n

∑k=i+1

Uikxk) /Uii

Obs Pt. rezolvarea unui sistem triunghiular cu n mare sunt necesare≈ n2 operatii

I. Luca UPB 11/36

3. Metode de rezolvare/Algoritmul Gauss

b) Algoritmul de eliminare Gauss

Karl Friedrich Gauss 1777–1855

● cunoscut ın China (100 ı.e.n.)● cea mai imp. metoda directa de rezolvare● produce un sistem superior triunghiular,echivalent cu sistemul dat● algoritmii pt. rezolvarea computerizata asist. liniare au la baza algoritmul lui Gauss

● necesita ≈ 2n3/3 operatii pt. n mare; pe un 1 Gflops calculatorrezolvarea cu algoritmul Gauss a unui sistem liniar cu n = 20 necesita

≈2 × 203

3 × 109sec ≈ 5 microsecunde ↝ comparati cu regula lui Cramer!

I. Luca UPB 12/36


DEFINITIE

Matrice esalon linie:

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 . . . 0 β1 . . . . . . . . .

0 . . . 0 0 . . . 0 β2 . . . . . .

. . . . . . . . .

0 . . . 0 . . . 0 βr . . .

0 . . . 0 . . . 0 0 . . . 0

0 . . . 0 . . . 0 0 . . . 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

β1, . . . , βr /= 0 s.n. pivoti; daca β1 = . . . = βr = 1 si toate celelalteelemente din coloanele pivotilor sunt nule ↝ matrice esalon linie redusa

I. Luca UPB 13/36


Exemplu Matrice esalon linie:

⎛⎜⎜⎜⎝

0 3 6 4 5 0 80 0 9 2 3 5 40 0 0 0 3 1 00 0 0 0 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎠

,⎛⎜⎝

2 4 0 30 5 9 70 0 6 0

⎞⎟⎠.

Exemplu Matrice esalon linie redusa:

⎛⎜⎜⎜⎝

0 1 0 4 0 0 80 0 1 2 0 5 40 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎠

,⎛⎜⎝

1 0 0 30 1 0 70 0 1 0

⎞⎟⎠.

Obs Daca Ux = b, cu U – matrice esalon linie, sistemul se rezolvaprin substitutie ınapoi.

I. Luca UPB 14/36


Intrebare: cu O1 – O3 poate fi transformat sistemul Ax = b ın sistemul(echivalent cu el) Ux = b, cu U matrice esalon linie?

⇕

cu R1 – R3 poate fi transformat A ıntr-o matrice esalon linie ? (existao matrice esalon linie, echivalenta pe linii cu A?)Raspuns: Da¿PROPOZITIE (Algoritmul lui Gauss)

Orice matrice poate fi transformata, utilizand operatiile R1–R3, ıntr-omatrice esalon linie.

Exemplu Sa se rezolve cu metoda Gauss sistemul

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x + 2y + z = 4x + 2y − z = 63x − 6y + 4z = −1

I. Luca UPB 15/36


Solutie:

matricea extinsa: M =

⎛⎜⎜⎜⎝

1 2 1

1 2 −1

3 −6 4

RRRRRRRRRRRRRRRRR

4

6

−1

⎞⎟⎟⎟⎠

↓ −1

↓−3

↝ R3

Ô⇒

⎛⎜⎜⎜⎝

1 2 1

0 0 −2

0 −12 1

RRRRRRRRRRRRRRRRR

4

2

−13

⎞⎟⎟⎟⎠ ↕

↝ R1

Ô⇒

⎛⎜⎜⎜⎝

1 2 1

0 −12 1

0 0 −2

RRRRRRRRRRRRRRRRR

4

−13

2

⎞⎟⎟⎟⎠

Ô⇒ substitutie ınapoi ∶ z = −1, y = 1, x = 3

I. Luca UPB 16/36


TPA Folosind algoritmul Gauss sa se rezolve sistemele:

1)

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

7x − y + 5z = 1x + 3y − z = 715x + y + 9z = 2

2)

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x − y + 2z = 42x − 2y + 4z = 8−3x + 3y − 6z = −12

3)

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x + 2y = 3x − y = 5x + 3y = 6

4)

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x + y + 2z = 1x + 3y − z = 7x − y + z = 3

5) {x + y + 2z = 1x − y + z = 3

Obs● Pot exista mai multe matrice esalon linie echivalente pe linii cu omatrice data A.● Matricea esalon linie U, echivalenta pe linii cu A, este utila si ptcalculul rangului lui A: rang A = nr. pivoti ai lui U.

I. Luca UPB 17/36


PROPOZITIE (Algoritmul Gauss-Jordan)

Orice matrice este echivalenta pe linii cu o unica matrice esalon linieredusa.

Obs Daca A ∈Mn(R), detA /= 0, matricea esalon linie redusaechivalenta cu A este matricea I ∈Mn(R).

Exemplu Folosind algoritmul Gauss-Jordan sa se rezolve sistemuldin exemplul anterior.

Solutie:Cu metoda Gauss am ajuns la o matrice esalon linie. Continuam astfel:

⎛⎜⎜⎜⎝

1 2 1

0 −12 1

0 0 −2

RRRRRRRRRRRRRRRRR

4

−13

2

⎞⎟⎟⎟⎠

Ô⇒

⎛⎜⎜⎜⎝

1 2 1

0 −12 1

0 0 −2

RRRRRRRRRRRRRRRRR

4

−13

2

⎞⎟⎟⎟⎠ ∶ (−2)

↝ R2

I. Luca UPB 18/36


Ô⇒

⎛⎜⎜⎜⎝

1 2 1

0 −12 1

0 0 1

RRRRRRRRRRRRRRRRR

4

−13

−1

⎞⎟⎟⎟⎠↑−1

↑−1

Ô⇒

⎛⎜⎜⎜⎝

1 2 0

0 −12 0

0 0 1

RRRRRRRRRRRRRRRRR

5

−12

−1

⎞⎟⎟⎟⎠

∶ (−12)

Ô⇒

⎛⎜⎜⎜⎝

1 2 0

0 1 0

0 0 1

RRRRRRRRRRRRRRRRR

5

1

−1

⎞⎟⎟⎟⎠

↑−2 Ô⇒

⎛⎜⎜⎜⎝

1 0 0

0 1 0

0 0 1

RRRRRRRRRRRRRRRRR

3

1

−1

⎞⎟⎟⎟⎠

Ô⇒ x = 3, y = 1, z = −1

Obs Cu metoda Gauss (Gauss-Jordan) se pot rezolva simultansistemele Ax = b1, Ax = b2, etc., lucrand asupra matricei extinse(A ∣b1b2 . . .)

↝ reducerea costurilor de calcul↝ aflarea inversei unei matrice

I. Luca UPB 19/36


Aflarea inversei unei matrice cu metoda Gauss-Jordan

Daca A,X,B ∈Mn(R), x1, . . . ,xn sunt coloanele lui X, iar b1, . . . ,bnsunt coloanele lui B, atunci avem (verificati!)

AX = B⇐⇒Ax1 = b1 , . . . , Axn = bn

Astfel, daca A este inversabila, inversa A−1, ca solutie a ecuatieimatriceale AX = I, se poate obtine rezolvand sistemele

Ax1 = e1 , . . . , Axn = en ,

unde e1, . . . ,en sunt coloanele matricei unitate; solutiile x1, . . . ,xnreprezinta coloanele lui A−1. Folosind algoritmul Gauss-Jordan ptrezolvarea simultana a acestor sisteme obtinem A−1.

TPA Cu metoda Gauss-Jordan sa se determine inversa matricei

A =⎛⎜⎝

1 2 11 2 −13 −6 4

⎞⎟⎠

I. Luca UPB 20/36


Obs In rezolvarea computerizata a sistemelor liniare algoritmul Gausseste modificat pt. a se lua ın considerare

minimizarea erorilor de aproximare,

reducerea spatiului de memorie alocat rezolvarii sistemului,

marirea vitezei de calcul.

TPA Fie sistemul

{x + y = 2εx + y = 1 ,

unde 0 < ε ≤ 10−5. Rezolvati acest sistem utilizand algoritmul Gauss, odata cu primul pivot egal cu 1, iar apoi cu primul pivot egal cu ε.Presupunand ca folositi un calculator care face calcule cu 3 zecimaleexacte, ce solutie a sistemului obtineti ın fiecare caz? Deduceti de aiciimportanta strategiei de pivotare ın rezolvarea computerizata asistemelor liniare.

I. Luca UPB 21/36

3. Metode de rezolvare/Descompunerea LU

c) Descompunerea LU (A. Turing – 1948)

DEFINITIE

O matrice A ∈Mm,n are descompunerea LU, daca(i) A = LU, L ∈Mm, U ∈Mm,n

(ii) L este inferior triunghiulara;(iii) U este superior triunghiulara.

=m

mn

m

n

m

A L U

m < n

I. Luca UPB 22/36


=n

m = n

nn

n

n

n

A L U

=m

mn

m

n

m

A L U

m > n

Obs Daca L are 1 pe diagonala principala ↝ factorizarea DoolittleDaca U are 1 pe diagonala principala ↝ factorizarea CroutDaca U = LT (necesar: m = n si A simetrica) ↝ factorizarea Cholesky

I. Luca UPB 23/36


rezolvarea sistemului liniar atunci cand A = LU:

Ax = b ⇐⇒ LUx = b ⇐⇒

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Ly = b

Ux = y↝ 2 sist. triunghiulare

● metoda de rezolvare ın gen. mai eficienta decat algoritmul Gauss● nu orice matrice poate fi factorizata LU; de exp. (verificati!),

(0 11 0

)

Cand A = LU? Cum determinam L si U?

I. Luca UPB 24/36


DEFINITIE

Matrice elementare ↝ obtinute din I cu una din operatiile R1–R3:

Plilj ↝ se aplica R1 liniilor li, lj

Eαli ↝ se aplica R2 liniei li

Eαli+lj ↝ se aplica R3 liniilor li, lj

Exemplu Pentru I ∈M3 avem:

Pl2l3 =⎛⎜⎝

1 0 00 0 10 1 0

⎞⎟⎠, Eαl2 =

⎛⎜⎝

1 0 00 α 00 0 1

⎞⎟⎠, Eαl2+l3 =

⎛⎜⎝

1 0 00 1 00 α 1

⎞⎟⎠

I. Luca UPB 25/36


Obs

● Plilj , ca si orice produs de astfel de matrice, s.n. matrice permutare;

● matricele elementare sunt inversabile si (verificati!)

(Plilj)−1 = Plilj , (Eαli)−1 = E1αli , (Eαli+lj)−1 = E−αli+lj ;

ın particular, inversele matricelor elementare sunt matriceelementare;

daca P este matrice permutare, atunci P−1 = PT ;

● ınmultirea la stanga a lui A cu o matrice elementara E este echiva-lenta cu efectuarea asupra lui A a acelei operatii care ıl defineste pe E.

⇓

Algoritmul Gauss reformulat: orice matrice A poate fi transformata,prin ınmultire la stanga cu matrice elementare E1, . . . ,Ep, ıntr-omatrice esalon linie U:

Ep . . .E1A = U⇐⇒A = E−11 . . .E−1

p U (⋆)

I. Luca UPB 26/36


PROPOZITIE

Daca ın (⋆)

nici o matrice elementara E1, . . . ,Ep nu este o matrice permutare,

ın Eαli+lj avem i < j,

atunci E−11 . . .E−1

p ≡ L este matrice inferior triunghiulara. Daca, maimult, E1, . . . ,Ep se obtin cu R3, L are 1 pe diagonala principala.

↝ pt obtinerea descompunerii LU a lui A:

se urmareste transformarea lui A ın matrice esalon linie U folosindnumai operatia R3 cu i < j (aceasta genereaza Eαli+lj cu i < j);ın L: pe diagonala principala avem 1, iar sub ea, Lji = −α, cu acelα din Eαli+lj (motivati!).

PROPOZITIE

A ∈Mn(R) si toti determinantii principali de ordin ≤ n − 1 ai lui Asunt nenuli Ô⇒ ∃ factorizarea Doolittle A = LU. Daca aceastafactorizare exista si detA /= 0, ea este unica.

I. Luca UPB 27/36


Exemplu

A =⎛⎜⎝

1 2 02 1 31 2 3

⎞⎟⎠

Ô⇒ E−l1+l3E−2l1+l2A =⎛⎜⎝

1 2 00 −3 30 0 3

⎞⎟⎠≡ U

Ô⇒ A = E2l1+l2El1+l3U =⎛⎜⎝

1 0 02 1 01 0 1

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

1 2 00 −3 30 0 3

⎞⎟⎠≡ LU

TPA Obtineti urmatoarele factorizari ale matricei A:

A =⎛⎜⎝

6 −2 09 −1 13 7 5

⎞⎟⎠Ô⇒

A =⎛⎜⎝

6 0 09 1 03 4 1

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

1 −13 0

0 2 10 0 1

⎞⎟⎠=⎛⎜⎝

1 0 032 1 012 4 1

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

6 −2 00 2 10 0 1

⎞⎟⎠≡ LU

I. Luca UPB 28/36


TPA Rezolvati urmatorul sistem cu metoda Gauss si apoi folosinddescompunerea LU

⎛⎜⎝

1 2 3 24 3 1 11 2 3 0

⎞⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎝

xyzt

⎞⎟⎟⎟⎠

=⎛⎜⎝

123

⎞⎟⎠.

Obs (Alte avantaje ale descompunerii LU)Daca A ∈Mn(R), A = LU si detA /= 0, atunci

A−1 = U−1L−1, iar U−1, L−1 se determina cu algoritmulGauss-Jordan;

detA se calculeaza ca detA = detU = U11 . . . Unn.

I. Luca UPB 29/36


Variante ale descompunerii LU

descompunerea A = LDU

Daca U ∈Mm,n este o matrice esalon linie fara linii nule, ea poatefi scrisa ca U = DU′, unde D ∈Mm este matricea diagonala avandpe diagonala pivotii β1, . . . , βm ai lui U, iar U′ este matrice esalonlinie cu pivotii egali cu 1 (U′ se obtine ımpartind liniile lui U cupivotii β1, . . . , βm). De exp.:

⎛⎜⎝

2 2 0 60 −3 3 90 0 3 12

⎞⎟⎠

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

=⎛⎜⎝

2 0 00 −3 00 0 3

⎞⎟⎠

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

⎛⎜⎝

1 1 0 30 1 −1 −30 0 1 4

⎞⎟⎠

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

U D U′

Daca ın fact. Doolittle A = LU matricea U nu are linii nule Ô⇒

I. Luca UPB 30/36


A = LU⇐⇒A = LDU′ ↝ descompunerea A = LDU,unde L este matrice inferior triunghiulara cu 1 pe diagonalaprincipala, U este matrice esalon linie cu toti pivotii egali cu 1(U′ a fost notat U), iar D este matrice diagonala inversabila.

descompunerea A = LDLT

Daca A ∈Mn(R), A simetrica si toti determinantii principali ailui A sunt nenuli Ô⇒ A = LDU si U = LT ⇐⇒ A = LDLT ; maimult, descompunerea este unica.(demonstrati folosind Prop. pag. 26 si descompunerea LDU)

Exemplu Are loc urmatoarea descompunere LDLT :

⎛⎜⎝

1 4 54 2 65 6 3

⎞⎟⎠=⎛⎜⎝

1 0 04 1 05 1 1

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

1 0 00 −14 00 0 −8

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

1 4 50 1 10 0 1

⎞⎟⎠

I. Luca UPB 31/36

3. Metode de rezolvare/Descompunerea PLU

d) Descompunerea PLU

Anumite matrice nu au descompunere LU. In acest caz existadescompunerea A = PLU, unde P este o matrice permutare, L esteinferior triunghiulara cu 1 pe diagonala principala, iar U este matricesuperior triunghiulara (esalon linie). P se obtine astfel: permutamliniile matricei A pt. ca factorizarea LU sa fie posibila. Aceasta esteechivalent cu ınmultirea la stanga a lui A cu o matrice permutare P pt.a obtine PA = LU. De aici, A = PTLU ≡ PLU.

ObsAvantaj al descompunerii PLU:

Ax = b ⇐⇒ PLUx = b ⇐⇒ LUx = PTb ↝ 2 sist. triungh.

Descompunerea PLU se mai numeste descompunerea LU cupivotare

I. Luca UPB 32/36


Exemplu Incercam sa aducem matricea

A =⎛⎜⎝

1 2 3 21 2 3 04 3 1 1

⎞⎟⎠

la forma esalon linie. Aplicam R3 astfel: −l1 + l2, −4l1 + l3; obtinem

⎛⎜⎝

1 2 3 20 0 0 −20 −5 −11 −7

⎞⎟⎠.

In continuare este nevoie de o permutare Pl2l3 (R1). Nu o executam, cine ıntoarcem la A si permutam liniile l2, l3:

Pl2l3A =⎛⎜⎝

1 2 3 24 3 1 11 2 3 0

⎞⎟⎠.

I. Luca UPB 33/36


Factorizarea Pl2l3A = LU este acum posibila:

Pl2l3A =⎛⎜⎝

1 0 04 1 01 0 1

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

1 2 3 20 −5 −11 −70 0 0 −2

⎞⎟⎠≡ LU .

Astfel, A = PLU cu P = (Pl2l3)T :

A =⎛⎜⎝

1 0 00 0 10 1 0

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

1 0 04 1 01 0 1

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

1 2 3 20 −5 −11 −70 0 0 −2

⎞⎟⎠

Obs Algoritmii care implementeaza eficient pe calculatordescompunera A = LU utilizeaza, printre altele, proprietati alematricelor elementare.

I. Luca UPB 34/36

3. Metode de rezolvare/Anexa

Nr. operatii ın diversi algoritmi

Metoda Nr. ınmultiri/ımpartiri Nr. adunari/scaderi

Regula lui Cramer (n + 1)! (n + 1)!

Metoda Gauss 13n

3 + n2 − 13n

13n

3 + 12n

2− 5

6n

Metoda Gauss-Jordan 12n

3 + n2 − 52n + 2 1

2n3 − 3

2n + 1

A−1 cu Gauss-Jordan 32n

3 + 12n − 1 3

2n3 − 2n2 − 1

2n

In tabel:determinantii din regula lui Cramer sunt calculati utilizanddefinitia determinantului

regula lui Cramer, metodele Gauss si Gauss-Jordan se refera la unsistem liniar n × n

A ∈Mn(R)

I. Luca UPB 35/36

Bibliografie

Kenneth Kuttler: An Introduction to Linear Algebrahttp:

//valle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf

David S. Watkins: Fundamentals of Matrix Computations,Wiley-Interscience, 2002

Golub & Van Loan: Matrix Computation (3Rd Ed), The JohnsHopkins University Press, 1996

George Em Karnadiakis, Robert M. Kirby II: Parallel ScientificComputing in C++ and MPI, Cambridge University Press, 2003

I. Luca UPB 36/36

http://valle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf

http://valle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf

sisteme liniare

Documents