sistemi con variazione della frequenza di campionamento · nota: per maggiore chiarezza indicheremo...
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S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
SISTEMI CON VARIAZIONEDELLA
FREQUENZA DI CAMPIONAMENTO
“Multirate systems”
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
Alcuni esempi di comuni applicazioni• Acquisizione e ricostruzione di segnali (ADC e DAC) campionati a
frequenza maggiore di quella di Nyquist per ridurre la complessità dei filtri analogici di antialiasing e di ricostruzione
• Convertitori ADC/DAC Sigma‐Delta a singolo bit sovracampionati• Codifica e decodifica di voce e audio (es. codec voce telefonia
cellulare e MP3)• Ricostruzione audio hi‐fi da CD• Interfacciamento di sistemi di comunicazione a standard
differenti (es. DM↔PCM, TDM↔FDM)• Ricevitori per comunicazioni numeriche (es. modem,
sincronizzazione)• Filtraggio numerico a banda stretta (es. biomedica, geofisica)
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S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
Obiettivi
• Teoria della modifica con tecniche numeriche della frequenza di campionamento, singolo stadio e multistadio
• Specifiche e progetto dei sistemi di variazione della frequenza di campionamento
• Realizzazione efficiente dei sistemi di variazione della frequenza di campionamento
• Applicazioni dei sistemi di variazione della frequenza di campionamento
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Nota: Sono anche detti “Sistemi numerici di decimazione e interpolazione”
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VARIAZIONE DELLA FREQUENZA DI CAMPIONAMENTO
( INTERPOLAZIONE E DECIMAZIONE DI SEGNALI NUMERICI )
________________________________________________________
Il problema si presenta ogni volta che si desideravariare la frequenza di campionamento fc = 1/T di un segnale già campionato con passo T :
interontxnTxnTt
4
Nota: per maggiore chiarezza indicheremo esplicitamente il passo e la frequenza di campionamento usati
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Indichiamo la nuova frequenza di campionamento''
c /Tf 1
operazione di INTERPOLAZIONE (creazione di nuovi campioni del segnale)
operazione di DECIMAZIONE (riduzione deicampioni del segnale)
TT
ff'
c'
c
TT
ff'
c'
c
5
Si possono avere due casi:
Nota: la frequenza normalizzata F si deve intendere in ogni caso riferita alla frequenza di campionamento del rispettivo segnale numerico.
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CONVERSIONE DELLA FREQUENZA DI CAMPIONAMENTO
UN APPROCCIO ANALOGICO__________________________________________________________________
1 ) Soluzione ibrida
fT
fc
21
2
1
tx 'mTy
'mTt
nTx
6
numerica analogica numerica?
D/A A/D
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2) Soluzione numerica
la migliore soluzione numerica?
troncamento delle funzioni di ricostruzione(realizzabilità)
n c
c
mTtc
c
n
'
nTmTπfnTmTπfsennTx
nTtπfnTtπfsennTxmTy
''
'
7
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
CONVERSIONE DIRETTA DI UN FATTORE INTERO
Consideriamo i due casi:
1° casoDecimazione di un fattore intero M
2° casoInterpolazione di un fattore intero L
)MffMT(T c
c' ',
)LffLT(T cc
' ',
9
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 11
Il sistema che effettua la diminuzione della frequenza di campionamento di un fattore intero M è il Sottocampionatore:
che ha le seguenti proprietà:• è un sistema lineare• è tempo‐variante (non ha risposta in frequenza e funzione di trasferimento)• esistono le relazioni ingresso‐uscita del sistema nel dominio della trasformata
Z e della trasformata di Fourier
L’operazione di sottocampionamento (diminuzione della frequenza di campionamento) può introdurre aliasing e quindi distorsione del segnale.L’operazione di decimazione deve essere preceduta da un filtro che limiti il segnale nella banda [0 – fc
’/2].
mMTvmTy ' nTv
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Decimazione di un fattore intero M
MTT' /Mff c'
c
f
FM
f 'c
21
2
M
1 H( f )
nTx 'mTy
12
Sottocampionamento di un fattore M
nTv
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 13
MH(z) nTx 'mTy
Analizziamo il sistema
nTv
1
0
/2/1/2/1
1
0
/2/1
1
0
//2
/1
0
/2
)()(1
]sottocamp. del i/o relaz. [ )(1
)(1
,0,11)(
)()'()(
M
k
MkjMMkjM
M
k
MkjM
M
k n
MnMnkj
Mn
n
M
k
Mnkj
m m
mm
ezXezHM
ezVM
zenTvM
mMnmMn
zeM
nTv
zmMTvzmTyzY
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 14
E nel dominio della frequenza, ricordando che:
fTjezzXfX 2)()(
fTjezzVfV 2)()(
'2)()( fTjezzYfY
si ha
)()(1
)(1
)(1)(1)(
''1
0
'1
0
1
0
)(221
0
'2'
cc
M
k
c
M
k
M
k
TkffjMkjM
k
MfTj
kffHkffXM
kffVM
eVM
eeVM
fY c
Nota: per comodità usiamo la stessa lettera per la TF e la TZ, pur essendo funzioni diverse del rispettivo argomento.
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 15
Relazioni ingresso-uscitaNella frequenza
1
0
1
0
1
1
M
k
'c
'c
M
k
'c
fkfXfkfHM
fkfVM
fY
Serve a valutare gli effetti di un filtro H(z) non ideale
Mk
MFX
Mk
MFH
MMk
MFV
MFY
M
k
M
k
1
0
1
0
11
ovvero in frequenza normalizzata
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 16
'mTy
cf2/cf cf2 f
Mff c
'c
22 f
'cf f
fX
fV
fY
cf cf2
'cf2
nTx
nTv
Es.: M=2
F1
1 F
F1
2/1
2/1
M2/1
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 17
Interpretazione
Lo spettro Y( f ) è la somma di M repliche (scalate del fattore1/M ) dello spettro X( f ) filtrato da H( f ), ciascuna traslata diun multiplo di
Δf = fc/M = fc’ ovvero ΔF = 1/M ( relativ. alla frequenza fc )
Conseguenza: tutto il contenuto spettrale non eliminato dallabanda attenuata del filtro H( f ) viene riportato nella bandautile del segnale decimato dall’operazione disottocampionamento, dando luogo ad una distorsionearmonica causata dall’aliasing.
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Discende dalla relazione fra Sc( f ) e Sa( f )
(Teorema del campionamento)
cK
ac kffST
fS
1
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il fattore 1/M è esattamente quello necessario per conservare la corretta relazione fra lo spettro del segnalenumerico decimato e del suo corrispondente analogico.
Osservazione :
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 19
0 10 20 30 40 50-1
0
1 x 10-3
Segnale Originale
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
0.5
1
Am
piez
za
F freq. normalizzata
0 10 20 30 40 50-1
0
1 x 10-3 Segnale Decimato
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
0.5
1
Am
piez
za
F freq. normalizzata
Effetti sullo spettro dell’operazione di sottocampionamento
Segnale originale e relativo spettro di ampiezza
Segnale sottocampionato di un fattore M=2 e relativo spettro di ampiezza (normalizzata).
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 20
0 10 20 30 40 50-1
0
1x 10-3 Segnale Decimato
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
0.5
1
Am
piez
za
F freq. normalizzata
0 10 20 30 40 50-1
0
1x 10-3 Segnale Decimato
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
0.5
1
Am
piez
za
F freq. normalizzata
Effetti sullo spettro dell’operazione di sottocampionamento (cont.)
Segnale sottocampionato di un fattore M=3 e relativo spettro di ampiezza (normalizzata).
Segnale sottocampionato di un fattore M= 4 e relativo spettro di ampiezza (normalizzata).Notare l’effetto dell’aliasing.
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
Supponiamo H(z) tipo FIR h[k] , risposta impulsiva di lunghezza N del filtro H(z)
Nel tempo
1
0)(
N
k
' TkMmxkhmTy
21
M=3
N=5h[k]
nTx
'mTy
'mTy 'Tmy )1( 'Tmy )2(
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 22
Osservazione
In teoria è possibile usare anche filtri IIR.
Se H(z) fosse un IIR (generico):
devono essere calcolate tutte le uscite a causa della parte ricorsiva (nessun risparmio di operazioni)
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
Schema finale della decimazione:
23
nTxH(z) M
Passa-basso
'mTy
Tfc
1 M
fMTT
f cc
11'
'Freq. Campion.
Sottocampionatore
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 24
Considerazioni energetiche
Occorre distinguere fra segnali deterministici (a energia finita) e segnali aleatori (a potenza finita).Segnali deterministici: la densità spettrale di energia dell’uscita del decimatore è data da:
Nella banda utile del segnale ( | f | < fc’/2 ovvero |F| < 0.5 ) l’energia desiderata è
quella data dal contributo per k=0 mentre la quantità data da tutti gli altri contributi per k≠0 rappresenta la distorsione spettrale totale sovrapposta al segnale utile.La distorsione dipende da tutta l’energia dello spettro del segnale di ingresso x(nT)non eliminata dal filtro H(z).
21
0
21
0
2
21
0
21
0
2
11
11
Mk
MFX
Mk
MFH
MMk
MFV
MFY
fkfXfkfHM
fkfVM
fY
M
k
M
k
M
k
'c
'c
M
k
'c
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 25
Segnali aleatori: si dimostra che l’uscita y(mT’) di un sottocampionatore, avente in ingresso un processo aleatorio WSS (stazionario in senso lato), è anch’essa un processo WSS, la cui funzione di autocorrelazione è il sottocampionamento del fattore M della funzione di autocorrelazione dell’ingresso. Quindi per le densità spettrali di potenze dell’ingresso Pvv( f ) [Pvv(F )] e dell’uscita Pyy( f )[Pyy(F)] di un sottocampionatore vale la relazione:
e quindi per le densità spettrali di ingresso Pxx(f) e di uscita Pvv(f) del decimatore si ha:
1
0
1
0
'
1
1
M
kvvyy
M
kcvvyy
Mk
MFP
MFP
kffPM
fP
2'1
0
'1c
M
kcxxyy kffHkffP
MfP
21
0
1
Mk
MFH
Mk
MFP
MFP
M
kxxyy
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 26
Anche per segnali aleatori nella banda utile del segnale ( | f | < fc’/2 ovvero |F|<0.5 )
la potenza desiderata è quella data dal contributo per k=0 mentre la quantità data da tutti gli altri contributi per k≠0 rappresenta la distorsione spettrale totale sovrapposta al segnale utile.La distorsione è data da tutta la potenza dello spettro del segnale di ingresso x(nT)non eliminata dal filtro H(z) .
Si può procedere quindi alla valutazione di un indice di qualità (SNR) definito (facendo riferimento ai segnali a potenza finita) come il rapporto fra la potenza desiderata nella banda utile e la potenza della distorsione spettrale.
)()(
filtrodelattenuatabandaresiduaPotenzafiltrodelpassantebandadesiderataPotenzaSNR
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
Valutazione del rapporto segnale-distorsione
L’analisi fatta consente di valutare il rapporto fra la potenza del segnale desiderato dopo la decimazione e la potenza residua (aliasing) della porzione di spettro non eliminata completamente dallabanda attenuata del filtro H(z). Esso è dato da
221
1δM
SNR
27
dFMk
MFH
Mk
MFP
dFMFH
MFP
dfkffHkffP
dffHfPSNR
M
kxx
xx
f
f c
M
kcxx
f
f xx
c
c
c
c
2/1
2/1
21
1
22/1
2/1
2/
2/
2'1
1
'
22/
2/'
'
'
'
Nel caso di densità spettrale Pxx( f ) costante e di un filtro non ideale con risposta in ampiezza fuori banda non superiore a δ2 , il rapporto segnale-distorsione in uscita dalla operazione di decimazione vale:
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
Un segnale costituito da tre sinusoidi di uguale ampiezzaalle frequenze di 1000 Hz, 2500 Hz e 5000 Hz, campionatoalla frequenza di 12000 Hz, è decimato di un fattore 3mediante un filtro con attenuazione fuori banda di 40 dB.
Specificare le bande passante e attenuata del filtro Determinare lo spettro del segnale decimato. Calcolare SNR
Come cambia lo spettro se si riduce la frequenza dicampionamento di un fattore 4?
Esempio
28
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 29
Esercitazioni di Laboratorio di MATLAB( reperibili a: http://e-l.unifi.it/)
• Decimazione
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 31
Il sistema che aumenta la frequenza di campionamento di un fattore intero L è il Sovracampionatore (inserimento di L – 1 campioni nulli) :
che ha le seguenti proprietà [Cap. 3.11.2]:• è un sistema lineare• è tempo‐variante (non ha risposta in frequenza e funzione di trasferimento)• esistono le relazioni ingresso‐uscita del sistema nel dominio della trasformata
Z e della trasformata di Fourier
L’operazione di sovracampionamento (aumento della frequenza di campionamento) genera L repliche del segnale originale nella banda utile del segnale sovrampionato.
Sovracampionamentodi un fattore intero L
L nTx
T/LT'
c'
c Lff
intero0
ppLm,
pLm,TLmxmTw '
Interpolazione di un fattore intero L [Cap. 9.3]
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
Esempio di inserimento di L-1 campioni nulli fra due campioni consecutivi (zero padding)
32
nTx
'mTw
(L=3)
nT zX
zW'mT
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 33
Analisi nel dominio delle trasformate
)()(
)()()()(
''
L
p
pL
mpLm
m
pLm
zXzpTx
zpLTwzmTwzW
)()()()(
)()()()(
2
2
2
'
'2
LFXeXzWFWovvero
fXeXzWfW
FLjez
LfTjez
Fj
fTj
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
LzXzW fXfW
Nel dominio delle frequenze fisiche f non cambia lo spettro, viene solo estesa di un fattore L la banda utile del segnale.Nel dominio delle frequenze normalizzate F sono generate L replichenella banda utile ǀF ǀ < 1/2. .
Esempio (L=3)
ovvero LFXFW
34
2/cf cf
cc ff )2/3(2/'
f
FX
fX
FW
fW
f
F
F
11/2
11/21/2L
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 35
Effetti sullo spettro dell’incremento della frequenza di
campionamento mediante inserimento di campioni nulli
Segnale originale e relativo spettro di ampiezza
Segnale ottenuto con inserimento di campioni nulli (L=2) e relativo spettro di ampiezza.
0 10 20 30 40 50-2
0
2x 10-3 Segnale Originale
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
0.5
1
Am
piez
za
F freq. normalizzata
0 10 20 30 40 50-2
-1
0
1x 10-3 Segnale Interpolato
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
0.5
1
Am
piez
za
F freq. normalizzata
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 36
0 10 20 30 40 50-2
-1
0
1x 10-3 Segnale Interpolato
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
0.5
1
Am
piez
za
F freq. normalizzata
0 10 20 30 40 50-2
-1
0
1x 10-3 Segnale Interpolato
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
0.5
1
Am
piez
za
F freq. normalizzata
Effetti sullo spettro dell’incremento della frequenza di
campionamento mediante inserimento di campioni nulli
(cont.)
Segnale ottenuto con inserimento di campioni nulli (L=3) e relativo spettro di ampiezza.
Segnale ottenuto con inserimento di campioni nulli (L=6) e relativo spettro di ampiezza.
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
Osservazione
Quale effetto si avrebbe ripetendo L-1 volte ciascun campione (invece di inserire L-1 campioninulli) ?
Verificare per esercizio
37
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
Seconda operazione: Filtraggio
f2
cf
L H(z)L
L=3
nTx 'mTw 'mTy
38
FL21
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 39
'cf
cf f
f
cf2 cf3 cf4
f
'cf2/'
cf
)( fXnTx
)( fWmTw '
)( fYmTy '
L=3
Lf 'c 2/
F
F
F
1
11/2LLfc 2/'
1/2
1/2
11/2L
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
Nella frequenza
)()()( ovvero LFXFHFYfXfHfY
Per un filtro ideale
altroveL
FLFH
ovveroaltrove
fL
ffLfHcc
,021,
)(
,022
,'
40
Relazioni ingresso-uscita
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 41
E lo spettro del segnale (idealmente):
altroveL
FLFLXFY
ovveroaltrove
fL
fffXLfYcc
,021,)(
)(
,022
,)('
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
k
'ca
k
'ca fkfX
TLfkfX
TfY 11
'
è necessario il guadagno L nella banda passante del filtro per conservare la corretta relazione fra lo spettro del segnale numerico interpolato e lo spettro del segnaleanalogico corrispondente.
42
Poiché si dovrebbe garantire (teorema del campionamento):
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
Nel tempo
1
0intero
N
k
'
Lkm,T
LkmxkhmTy
EsempioL=3N=5
H(z) filtro FIR di durata N
nTx
'mTw
1x4x
3x2x
43
Supponiamo H(z) tipo FIR h[k] , risposta impulsiva di lunghezza N del filtro H(z)
Nota: i coefficienti h[k] sono periodicamente tempo varianti (dipendono da m )
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
fase lineare e sfrutta i campioni nulli in ingresso per ridurre il numero di operazioni.
fase non lineare e in realizzazioni pratiche (es. cascata) impossibilità di sfruttare i campioninulli in ingresso per ridurre il numero di operazioni.
FIR:
IIR:
44
Che tipo di filtri usare?
preferiti i filtri FIR
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
Schema finale della interpolazione:
45
nTxH(z)L
Passa-basso
'mTy
Tfc
1 cc Lf
TL
Tf '
' 1Freq. Campion.
Sovracampionatore
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
Osservazione
Con un filtro passa banda (invece che passa-basso) èpossibile effettuare contemporaneamente unaoperazione di interpolazione e di traslazione dellabanda del segnale (modulazione DSB o SSB aseconda del filtro usato)
46
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 47
Considerazioni energetiche[Cap. 9.4]
Segnali deterministici: la densità spettrale di energia dell’uscita dell’interpolatore è data da:
Nella banda utile del segnale interpolato ( | f | < fc’/2 ovvero |F| < 0.5 ) l’energia
desiderata è quella nella banda | f | < fc/2 ovvero |F| < 0.5/L, mentre la quantità compresa nella banda fc/2 < | f | < fc
’/2 ovvero 0.5/L < |F| < 0.5 rappresenta la distorsione spettrale totale.La distorsione dipende da tutta l’energia dello spettro del segnale sovracampionatow(mT’) non eliminata dal filtro H(z). Nel caso di filtro H(z) ideale, l’energia del segnale di uscita Ey è L volte quella del
segnale di ingresso Ex (cap 9.4.1): intuitivamente nella sommatoria dell’energia ho un numero di contributi L volte maggiore.
222
222
)()()()()(
ovvero
LFXFHFWFHFY
fXfHfWfHfY
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 48
Segnali aleatori: si può dimostrare [Cap. 9.4.2 e A.7] che l’uscita w(mT’) di un sovracampionatore, avente in ingresso un processo aleatorio WSS (stazionario in senso lato), è un processo ciclostazionario di periodo L (CWSS)L, la cui funzione di autocorrelazione media è il sovracampionamento di un fattore L della funzione di autocorrelazione dell’ingresso divisa per L. Quindi per le densità spettrali di potenze dell’ingresso Pxx( f ) [Pxx(F)] e dell’uscita Pww ( f )[Pww(F)] di un sovracampionatore vale la relazione:
e quindi per le densità spettrali di ingresso Pxx( f ) e di uscita Pvv( f ) dell’interpolatore si ha:
)(1
)(1
LFPL
FP
fPL
fP
xxww
xxww
2)(1 fHfPL
fP xxyy
2)(1 FHLFPL
FP xxyy
Con filtro H(z) ideale con guadagno L, la potenza dell’uscita Py è uguale alla potenza dell’ingresso Px (cap 9.4.2): intuitivamente la potenza (grandezza mediata) non cambia. Inoltre dopo il filtro il segnale y(mT’) ritorna ad essere WSS.
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 49
Anche per segnali aleatori nella banda utile del segnale interpolato ( | f | < fc’/2
ovvero |F| < 0.5 ) la potenza desiderata è quella nella banda | f | < fc/2 ovvero |F| < 0.5/L, mentre la quantità compresa nella banda fc/2 < | f | < fc
’/2 ovvero 0.5/L < |F| < 0.5 rappresenta la potenza della distorsione spettrale totale. Essa è data dalla potenza delle L-1 repliche della densità spettrale del segnale sovracampionatow(mT’) attenuate dalla banda attenuata del filtro H(z).
Si può procedere quindi alla valutazione di un indice di qualità (SNR) definito (facendo riferimento ai segnali a potenza finita, ma la stessa conclusione vale per le energie dei segnali a energia finita) come il rapporto fra la potenza desiderata nella banda utile e la potenza della distorsione spettrale.
)()(
filtrodelattenuatabandaresiduaPotenzafiltrodelpassantebandadesiderataPotenzaSNR
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
Valutazione del rapporto segnale-distorsione
Nel caso della interpolazione, a differenza della decimazione, è immediato valutare il rapporto fra la potenza (o energia) del segnaleinterpolato e la potenza (o energia) della distorsione dovuta allerepliche (immagini) dello spettro non eliminate completamente dallabanda attenuata del filtro H(z). Poiché ora tutte le L immagini del segnale dopo l’inserimento degli zeri hanno uguale potenza (o energia), un filtro non ideale con risposta in ampiezza fuori banda non superiore a δ2 , dà luogo a :
50
22)1(
1
L
SNR
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 51
Concludendo, confrontiamo i due schemi:
I filtri devono essere sempre progettati alla loro frequenza di campionamento, la maggiore in ciascun schema (ma ciò non implica necessariamente che l’elaborazione deve essere realizzata a questa frequenza).
H(z) M
Passa-basso
'mTy
Tfc
1
nTx
Passa-basso
Mf
MTTf c
c 11
''
Freq. Campion.
nTxH(z)L
Passa-basso
'mTy
Tf c
1 cc Lf
TL
Tf '
' 1Freq. Campion.
Decimazione
Interpolazione
Sottocampionatore
Sovracampionatore
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
Esempio: che prestazioni ha la classica interpolazionelineare del segnale?
L=2
nT
mT’ 'Tny )12(
TnTx
nTx
52
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
Il campione interpolato vale
TnTxnTxTny ' 2112
che corrisponde ad un FIR con N = 3 e
21211
210 hhh
Esercizio: Calcolare la risposta in frequenza di questo filtroe valutare il suo effetto sullo spettro del segnale interpolato.
53
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
Verificare che in questo caso l’operazione di interpolazioneequivale ad un filtro FIR con N = 5 e risposta impulsiva:
123231
3140 hhhhh
Esercizio: Calcolare la sua risposta in frequenza e valutare il suo effetto sullo spettro del segnale interpolato. Confrontare con il caso L = 2.
L=3
nTmT’
TnTx
nTx
54
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
Un segnale costituito da tre sinusoidi di uguale ampiezzaalle frequenze di 1000 Hz, 2500 Hz e 5000 Hz, campionatoalla frequenza di 12000 Hz, è interpolato di un fattore 3mediante un filtro con attenuazione fuori banda di 40 dB.
Specificare le bande passante e attenuata del filtro Determinare lo spettro del segnale interpolato. Calcolare SNR
Esempio
55
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 56
Esercitazioni di Laboratorio di MATLAB( reperibili a: http://e-l.unifi.it/)
• Interpolazione
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
VARIAZIONE DELLA FREQUENZA DI
CAMPIONAMENTO DI UN FATTORE L/M
[Cap. 9.5]
57
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 58
In linea di principio:
HD(z) MPassa-basso
'mTy
cc fML
Tf '
' 1
nTxHI(z)L
Passa-basso
Tfc
1 cc Lf
Tf ''
'' 1Freq. Campion.
Nota: l’operazione di interpolazione deve precedere l’operazione di decimazione per preservare la corretta massima banda di frequenze del segnale y(mT’).
I due filtri HI(z) e HD(z) sono in cascata e operano alla stessa frequenza di campionamento Lfc .
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
Conversione della frequenza di campionamento di un fattore L/M
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
c'
c' f
MLf,T
LMT
M
L L
f1F1
fF
H(z)M
L deve precedere
M,
LF
f,ff'
cc
21
21min
22min
1
1
nTx ''qTv ''qTw 'mTy
59
cc LfT
f '''' 1
cc LfT
f '''' 1
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
In frequenza
1
0
1
0
1
0
1
1
1
M
k
'c
'c
M
k
'c
'c
M
k
'c
kffXkffHM
kffVkffHM
kffWM
fY
60
Relazioni ingresso-uscita
Serve per valutare gli effetti di un filtro H(z) non ideale
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 61
Mk
MLFX
Mk
MFH
M
Mk
MFV
Mk
MFH
M
Mk
MFW
MFY
M
k
M
k
M
k
1
0
1
0
1
0
1
1
1
ovvero in frequenza normalizzata
filtro con guadagno Lnella banda passante
21,
2min0,)()(
LMFF
MLX
MLFYPer un filtro ideale:
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 62
Per segnali a potenza finita si ha (utilizzando i risultati per decimatori e interpolatori):
2'1
0
'
2'1
0
'
1
1
c
M
kcxx
c
M
kcvvyy
kffHkffPML
kffHkffPM
fP
21
0
21
0
1
1
Mk
MFH
Mk
MLFP
ML
Mk
MFH
Mk
MFP
MFP
M
kxx
M
kvvyy
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
Esempio: conversione di un fattore L/M = 3/2(segnali a potenza finita)
63Ff
f2/cf cf
f
Sf
S
)S(Lδ 122
21
)( fPnTx xx
)( fPqTv vv''
)( fPqTw ww''
)( fPmTy yy'
2/''cf
2/'cf
'cf
F11/2
F
F
1/2
1/2
1/2 1
2/''cf
1/2L
M/2L
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
122 MSδ potenza della distorsione in banda1
2 potenza della distorsione fuoribanda ( L > M )
potenza totale della distorsione (interpolazione) (L/M>1)
MLSδ 22
122 LSδ
64
Con una conversione di un fattore L/M < 1 (decimazione) la potenza totale della distorsione è quella residua dello spettronella banda attenuata del filtro H(z) , tutta riportata nella bandautile del segnale decimato.
In conclusione:
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 65
In conclusione per ogni L/M :
)()(
filtrodelattenuatabandaresiduaPotenzafiltrodelpassantebandadesiderataPotenzaSNR
Nel caso L/M > 1 (interpolazione):
)1(1
22
L
SNR
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
Nel tempo: H(z) tipo FIR di durata N
Considerato che:
intero
)(
)()(
1
0
1
0
1
0
''''
LkMm,T
LkmMxkh
TL
kmMvkh
TkmMvkhmMTwmTy
N
k
N
k
N
k
'
66
1
0
'''''' )()(N
kkTqTvkhqTw
Nota: i coefficienti h[k] sono periodicamente tempo varianti (dipendono da m )
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
Schema finale della conversione di un fattore razionale L/M:
67
L H(z)Passa-basso M
M,
LF
f,ff'
cc
21
21min
22min
1
1
nTx 'mTy
Freq. campion.T
fc1
cc Lff ''cc f
MLf '
Il filtro H(z) deve essere progettato alla frequenza di campionamento Lfc
Freq. campion.
SottocampionatoreSovracampionatore
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 68
Esempio
Nella conversione fra i formati audio CD e DAT la frequenza di campionamento deve essere convertita da 44,1 kHz a 48 kHz.
Determinare il fattore di conversione, disegnare un possibile schema del sistema e definire le specifiche del filtro per mantenere un SNR almeno di 90 dB.
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
SEGNALI PASSA-BANDA
Bande possibili: intero,2
12
kf)(kffk cc
Interpolazione
70
Nota: k dispari spettro invertito
2cf f
L H(z)passa-banda
nTx 'mTy
cf2
'cf f
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
Per non averlo invertito, si modifica il segnaledi ingresso (prima della conversione):
f2
cf cf
nTxn1
71
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
Decimazione
Bande possibili: intero ,2
12
''cc f)(kffk
Per k dispari l’uscita ha lo spettro invertito
722
'cf f
MH(z)passa-banda
f2cf
nTx 'mTy
2
'cf f
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 73
Per non averlo invertito, si modifica il segnaledi uscita (dopo la conversione):
'1 mTym
Questa tecnica è alla base della codifica (decimazione) e della decodifica (interpolazione) del segnale audio nello standard MP3 (32 bande di uguale larghezza nella banda audio 0÷20 kHz) e in altre applicazioni che richiedono un banco di filtri (p.e. Cap. 9.9.2).
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 74
Esercizio (conversione fra standard TDM e FDM)
Due segnali PCM (voce nella banda 300÷3400 Hz) della stessa potenza campionati a 8 kHz sono convertiti in un aggregato di due canali FDM che occupa la banda 0÷8 kHz (4 kHz di banda per ogni canale)
Disegnare lo schema del sistema Definire le specifiche dei filtri in modo che il rapporto segnale-distorsione per ciascun segnale FDM sia non inferiore a 60 dB.
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 75
PROGETTO DI FILTRI PER INTERPOLAZIONE E
DECIMAZIONE
[Cap. 9.6]
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
PROGETTO DI FILTRI PER INTERPOLAZIONE E DECIMAZIONE
_______________________________________
ii) Minimizzazione quantità di operazioni: FIR
Caratteristiche:
i) Assenza di distorsione di fase: FIR
iii) Vincoli sulla risposta impulsiva per l’interpolazione (desiderabili ma non vincolanti)
76
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
Per iii) ricordando che
intero1
0 Lkm,T
LkmxkhmTy
N
k
'
e volendo imporre che in corrispondenza degli istantidi campionamento originari l’uscita sia uguale aicampioni originari dell’ingresso, ovvero che
TL
NrTxTNrTxpTrTxrLTy '
21'
21
77
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
occorre imporre:
e dalla relazione
12
1
Nh
Li,iNh di multiplo 02
1
Notare che con N≠ 2Lp-1 non si possono preservare i valoridei campioni originari (ma questo non è sempre necessario).
78
12 LpN
LipTrTxTL
iNrLxiNhrLTy
LpN
LpNi
' di multiplo,)(21
212
1
21
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
iv) Possibilità di sfruttare nell’interpolazionel’esistenza di bande dove il segnale è assente (dopo l’inserimento di campioninulli). In queste bande di assenza del segnale si possono imporre specifichemeno stringenti sulla maschera del filtroda progettare.
79
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
Metodo di progetto
Qualunque di quelli visti. In particolare:
• Metodo delle finestre (rispetta il requisito iii)
• Criterio di Chebychev, sfruttando in particolarele bande di assenza del segnale (iv) per diminuire il numero dei coefficienti. Si devonoimporre vincoli aggiuntivi per rispettare ilrequisito iii.
80
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
Esempio
Confrontare le risposte in frequenza di un filtro di interpolazione progettato con ilmetodo delle finestre e con il metodo diChebychev (imponendo il vincolo iii), a parità di numero di coefficienti.
81
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
Un caso particolare:FILTRI FIR “HALF - BAND”
(Cap. 9.6)
1)5.0()( FHFH
1
0.5
F1 F241
21 F
Per definizione:
82
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
Proprietà utile: risposta impulsiva h(n)
N = dispari
• In corrispondenza di multipli pari dal campione centrale la risposta impulsiva è nulla.
0 N-1 n21N
~ metà coefficienti uguali a zero83
h(n)
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
Per ogni campione d’uscita: 2P + 1 moltiplicazioni
(senza sfruttare la simmetria) P + 1 moltiplicazioni
(sfruttando la simmetria)Nota: hanno uguali valori di δ1 e δ2
Semplificazione realizzativa:
se N = 4P + 1, solo 2P + 1 coefficienti sono 0
84
Per quale valore del fattore di interpolazione o decimazione possono essere usati i filtri ‘half-band’ ?
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
STRUTTURE REALIZZATIVE PER DECIMATORI E
INTERPOLATORI
[Cap. 9.7]
85
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
DECIMATORI
86
nTxH(z) M
'mTy
Tfc
1 M
fMTT
f cc
11'
'Freq. campion.
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
z-1
z-1
z-1
h[0]
h[1]
h[2]
h[N-1]
M
FIR a struttura diretta
nTx 'mTy
87
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
z-1
z-1
z-1
h[0]
h[1]
h[2]
h[N-1]
M nTx 'mTy
M
M
M
88
Struttura che corrisponde alla formula della slide 21.Le N moltiplicazioni sono eseguite alla frequenza di uscita (la minore).
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 89
Per diminuire la complessità realizzativa si può sfruttare la simmetria della risposta impulsiva di un FIR a fase lineare.
Per esercizio: disegnare la struttura
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
INTERPOLATORI
90
nTxH(z)L
'mTy
Tfc
1 cc Lf
TL
Tf '
' 1Freq. campion.
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
z-1
z-1
Lh[0]
h[1]
h[2]
h[N-1]
FIR a strutturatrasposta
nTx 'mTy
z-1
91
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
z-1
z-1
L nTx 'mTy
z-1
h[0]
h[1]
h[2]
h[N-1]
L
L
L
92
Le N moltiplicazioni sono eseguite alla frequenza di ingresso(la minore).
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 93
Per diminuire la complessità realizzativa si può sfruttare la simmetria della risposta impulsiva di un FIR a fase lineare.
Per esercizio: disegnare la struttura
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
Proprietà generale:
Decimatori e interpolatori sono strutture duali, derivabili reciprocamente mediante operazionedi trasposizione di reti lineari.
94
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
Regole di trasposizione (complet.)
scambiare ingresso e uscita invertire il senso del flusso dei segnali punti di diramazione diventano punti di somma e
viceversa un’operazione di moltiplicazione per una sequenza
g[n] si trasforma in una moltiplicazione per g[-n] l’operazione di sottocampionamento si trasforma in
operazione di sovracampionamento dello stesso fattore e viceversa
95
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
Operazioni di trasposizione fra strutture realizzative
INGRESSO USCITA
R R
g[n] g[-n]96
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
Complessità realizzativa
Mr = numero di moltiplicazioni reali al secondoN = numero di campioni della risposta impulsiva FIR
Interpolatori: c'
c Lff cr fNM
Decimatori:Mff c'
c '
cr fNM
In generale 'ccr f,fNM min
Si può ridurre sfruttando la simmetria dei FIR a fase lineareoppure (se consentito) con i filtri ‘half-band’.
97
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
Esempio
Quale struttura si deve usare negli interpolatori e neidecimatori per sfruttare la simmetria dei FIR a faselineare?
98
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 99
Strutture polifasedi
interpolatori e decimatori
[Cap. 9.7.1]
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
Strutture polifase di filtri FIRFIR con N = QR ( R= M o L )
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0)(
R
k
Rk
k
R
k
Q
q
qRk
k
k
R
k
Q
q
kqR
N
n
n
zHz
zqhz
kqRhqh
zzkqRh
kqRnznhzH
100
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
Nota: applicando le regole di trasposizione si ottiene la strutturapolifase trasposta di un filtro FIR (per esercizio)
z-1
z-1
H0(zR)
H1(zR)
HR-1(zR)
Filtri polifase
Non convenienteper sistemi a frequenza dicampionamentocostante
nTx nTy
101
Strutturapolifase diun filtro FIR
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 102
Osservazione:Se iI filtro iniziale H(z) è un passa-basso con banda passante |F| ≤ 0.5/R, ciascuno dei filtri
ottenuto da una decimazione del fattore R della sua risposta impulsiva, ha una risposta in frequenza essenzialmente piatta nella sua banda |F| ≤ 0.5 .Sono dei passatutto che differiscono soltanto per la loro risposta in fase. Da questa proprietà discende il nome di filtri polifase.
1
0
)(Q
q
qkk zqhzH
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 103
Identità nobili [Cap. 3.11.3]
z-RR ≡ Rz-1
z-1R ≡ Rz-R
Generalizzazione: le identità sono ancora valide sostituendo:
)()(
1 zHzzHz RR
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
INTERPOLATORI
104
nTxH(z)L
'mTy
Tfc
1 cc Lf
TL
Tf '
' 1Freq. Campion.
Utilizzando per H(z) la sua struttura polifase e sfruttando le identità nobili si ottiene:
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 105
L
Filtri a bassafreq. camp.
z-1
z-1
H0(z)
H1(z)
HL-1(z)
nTx 'mTy
L
L
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
(m)L=0
LTT '
H0(z)
H1(z)
HL-1(z)
nTx
'mTy
106
Struttura polifase di un interpolatore
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 107
Osservazione
L’uscita di ciascuno degli L filtri polifase Hk(z) dello schema precedente è una versione del segnale di ingresso x(nT),filtrata passa-tutto e sfasata in modo da corrispondere agli istanti mT’ , con (m)L=k .
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
DECIMATORI
Utilizzando per H(z) la sua struttura polifase trasposta e sfruttando le identità nobili (oppure applicando direttamentele regole di trasposizione alla struttura degli interpolatori) si ottiene:
108
nTxH(z) M
'mTy
Tfc
1 M
fMTT
f cc
11'
'Freq. Campion.
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
nTxM
z-1
H0(z)
H1(z)
HM-1(z)z-1
M
M
'mTy
109
Filtri a bassafreq. camp.
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
(n)M=0
H0(z)
H1(z)
HM-1(z)
'mTy
nTx
TMT '
T
110
Struttura polifase di un decimatore
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
(mM)L=0LTT ' '
H0(z)
H1(z)
HL-1(z)
nTx
'mTy
111
Struttura polifase per la conversione di un fattore razionale L/M
CONVERSIONE DI UN FATTORE RAZIONALE L/MPrendendo uno ogni M campioni dell’uscita dell’interpolatore, la strutturadiviene ora:
LMTT '
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 112
Considerazioni finali
Le strutture polifase sono fra le più efficienti per la realizzazione di decimatori e interpolatori, specialmente per sistemi ad alte prestazioni (filtri con specifiche stringenti)[solo i filtri ‘half‐band’ hanno complessità realizzativa competitiva].
Quando le specifiche dei filtri non sono molto stringenti esiste anche una realizzazione alternativa di decimatori e interpolatori, particolarmente attraente perché non richiede moltiplicazioni ma solo somme.Si basa sui cosiddetti filtri CIC (Cascaded Integrator‐Comb).
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
Decimatori e Interpolatori con filtri CIC1
Si basano sulla realizzazione in forma ricorsiva di un filtro FIR ‘a finestra mobile’ di lunghezza D :
La sua risposta in frequenza (tipo passa‐basso) è:
1
1
0 11)(
zzzzH
DD
k
k
212
)()()(
DFj
eFsen
FDsenFH
113
1Cascaded Integrator Comb
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
-0.5 -0.25 0.25 0.5
1
2
3
4
5
6
7
8
F
|H(F)|
D=4
D=8
Risposta di ampiezza
114
E. Del Re – Elaborazione Numerica dei Segnali e Applicazioni
Un decimatore CIC ha la struttura:
Solo somme e minimo numero di celle di memoria.
z-1 z-D
D+‐
x(nT) y(mT’)Integratore Comb (pettine)
z-1
Dx(nT) y(mT’)
Integratore
z-1
+‐
Comb (pettine)
115
E. Del Re – Elaborazione Numerica dei Segnali e Applicazioni
Se il segnale x(nT) ha un contenuto spettrale limitato ad una banda stretta in bassa frequenza (dove |H(F)| ≈ cost ), il segnale decimato y(mT’) mantiene lo spettro attenuando la distorsione (aliasing) dovuta alle componenti spettrali intorno ai valori multipli di 1/D.Si può diminuire la distorsione, a scapito della risposta in banda, mettendo in cascata N filtri CIC (CIC di ordine N ):
Decimatore CIC del fattore D e di ordine N
che realizza un filtro con una risposta in frequenza (relativa a fc = 1/T )
x(nT)D
y(mT’)
z-1z-1 z-1 z-1
+ +‐ ‐
212
)()()(
DFNjN
N eFsen
FDsenFH
116
E. Del Re – Elaborazione Numerica dei Segnali e Applicazioni
Interpolatore CIC Esiste naturalmente anche la struttura CIC per gli interpolatori: essa si ottiene partendo da un blocco di inserimento di D-1 campioni nulli seguito da un comb e da un integratore oppure utilizzando direttamente le regole di trasposizione.
La struttura di un interpolatore CIC di ordine N è:
che realizza un filtro con una risposta in frequenza (relativa a f ’c = 1/T ‘) :
Interpolatore CIC del fattore D e di ordine N
212
)()()(
DFNjN
N eFsen
FDsenFH
117
x(nT)D
y(mT’)
z-1z-1 z-1 z-1
+ +‐ ‐
E. Del Re – Elaborazione Numerica dei Segnali e Applicazioni
Se il segnale x(nT) ha un contenuto spettrale limitato ad una banda stretta in bassa frequenza (dove |H(F)| ≈ cost ), il segnale interpolato y(mT’) attenua le repliche (immagini) centrate sui valori multipli di 1/D.
Di conseguenza le strutture CIC (in decimazione e in interpolazione) possono essere vantaggiosamente impiegate solo per un segnale passa‐basso limitato in banda ad una frequenza
e comunque subisce una sagomatura dovuta a |HN(F)|.Per limitare questa distorsione può essere usato un filtro compensatore in cascata (alla minima delle frequenze di campionamento) con una risposta in ampiezza 1/|HN(F)| nella banda del segnale | f |≤ fmax . Naturalmente , per non perdere i vantaggi di una realizzazione CIC, i filtri compensatori devono avere pochi coefficienti (poche moltiplicazioni).
2max
cff
118
E. Del Re – Elaborazione Numerica dei Segnali e Applicazioni
Esercizio
Interpolare di un fattore 10 un segnale con banda limitata a fmax=1 kHz, campionato a fc=10 kHz , con una struttura CIC.Determinare l’ordine N della struttura CIC in modo che l’attenuazione delle repliche immagini sia almeno di 40 dB. Determinare la conseguente massima attenuazione nella banda del segnale.
119
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 120
REALIZZAZIONE MULTISTADIODI
DECIMATORI E INTERPOLATORI
[Cap. 9.8]
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 121
Quando il fattore di conversione ( M o L ) è molto grande gli schemi precedenti possono richiedere filtri H(z) di durata N molto lunga (eccessiva per una realizzazione pratica).
EsempioInterpoliamo un segnale che occupa la banda (0÷31) kHz, campionato a fc = 64 kHz, alla frequenza f ’c = 1920 kHz ( L=30), con un filtro con deviazioni δ1 = δ2 = 0.001.
320010
1log132
2110
12
FF
N
È più efficiente realizzare la conversione della frequenza di campionamento in più stadi.
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 122
Si può fare quando il fattore di conversione ( M o L ) è fattorizzabile:
(non necessariamente fattori primi)
Vantaggi- riduzione del tasso di calcolo- riduzione memoria sistema- semplificazione del progetto dei filtri- minore sensibilità nella realizzazione con aritmetica a precisione
finita- migliore reiezione delle componenti spettrali da attenuare
Svantaggi- maggiore complessità della struttura di controllo (clock diversi)- attenta scelta di Q e di Mq o Lq
Conviene quando: L >> 1, M >> 1 ovvero L/M con L >> 1 e M >> 1 e bande di transizioni strette.
Q
Q
qq LLMM
11
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 123
Lo schema è il seguente:
nTxH1(z) M1
'mTy
Tff cc
1)1(
1
1
)(Q
cQc
M
ff
Q
cc
M
ff
1
'
Freq. Campion.
HQ(z) MQ
Decimatore multistadio
nTxH1(z)L1
'mTy
cc fLf 1)1( c
Q
Qcc fLff
1
)('Freq. Campion.
HQ(z)LQ
Interpolatore multistadio
Tfc
1
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 124
A) Iniziamo dal caso più semplice L=L1L2 (Q=2)
fp fc
)(nTx
Con 1 stadio:
pc
c
pc
c
ffLfC
ffLfN
2101log
232
2110
C dipende solo da δ1 e δ2 : assumiamo che C rimanga invariato negli schemi a singolo stadio e multistadio (valuteremo criticamente questa assunzione successivamente).Il tasso di moltiplicazioni per questa realizzazione è:
molt/s1, cstm NfT
f
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 125
Con 2 stadi
1° Stadio ( L1 )
2
11 2 L
Nff
fLCNpc
c
2° Stadio ( L2 )
c
pc
pc
pc
pc
c
pc
c
fff
LN
ffLff
ffLfC
ffLfLLCN
212
222 111
212
E il tasso di moltiplicazioni per questa realizzazione è:
molt/s)2
11(
1
1
21212,
c
pccccstm f
ffL
LL
NffLNfNT
Il risparmio è tanto maggiore quanto più grande è L2 e più stretta la banda di transizione iniziale.
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 126
Il risultato recedente suggerisce di scegliere per L1 il fattore minore e per L2 quello maggiore.
Le considerazioni precedenti si possono estendere con qualche cautela anche ad un numero superiore di stadi: la cautela deriva dal fatto che, dopo il primo stadio, la banda di transizione si allarga e il risparmio diminuisce.
In linea di massima conviene ordinare gli stadi diinterpolazione per valori crescenti dei fattori Lq
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 127
Nell’esempio precedente si ha:
sMmoltTLLsMmoltTLLsMmoltTLLsMmoltTL
stm
stm
stm
stm
/13,426,5/08,3010,3/45,2615,2/8,20430
2,21
2,21
2,21
1,
Con ogni scelta il risparmio è significativo e la configurazione migliore èL1=2, L2=15
Esercizio: Determinare il risparmio ulteriore effettuando l’interpolazione per 15 in due stadi (sistema a tre stadi)
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 128
Considerazioni finali sui valori di δ1 e δ2
1) I filtri Hq(z) sono in cascata e quindi per avere una complessiva deviazione in banda δ1 occorre che ciascuno abbia una
2) Se indichiamo con δ2’ la deviazione fuori banda di ciascuno dei filtri
Hq(z) , ogni stadio attenua del fattore δ2’ le Lq-1 repliche dello spettro
del segnale (tutte con la stessa potenza). Quindi per il rapporto segnale/distorsione:
Confrontandolo con quello a singolo stadio
la realizzazione multistadio è più vantaggiosa: ottiene lo stesso SNRcon una deviazione fuori banda dei filtri maggiore rispetto a quella dell’unico filtro del singolo stadio.
Q/1'
1
Q
qqL
SNR
1
2'2 )1(
1
)1(1
22
L
SNR
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 129
Quindi le realizzazioni a singolo stadio e multistadio non hanno le stesse specifiche dei filtri per le deviazioni in banda e fuori banda: i filtri della configurazione multistadio devono essere progettati con le deviazioni derivate in base alle due considerazioni precedenti.
Nota finaleNel confronto sulla complessità realizzativa dei due schemi (tasso di moltiplicazioni) abbiamo assunto costante il valore C, che a rigore non lo è. Tuttavia poiché:
i. le variazioni di δ1’ e δ2
’ rispetto a δ1 e δ2 tendono a compensarsi ii. la sensibilità di C da queste è ridotta dalla funzione logaritmica
l’analisi sviluppata e le sue conclusioni sono comunque da ritenersi sostanzialmente valide.
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 130
B) Consideriamo ora il caso della decimazione per il fattore M=M1M2 (Q=2)
Supponiamo che il filtro del singolo stadio abbia le specifiche:
2
1
dev. attenuata banda
trans.dibanda
dev. 0 passantebanda
δff
fff
δff
s
sp
p
1 stadio:
][
101log
32
''1,
2110
MffNfT
Cff
fCN
cccstm
ps
c
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 131
2 stadi:Nel primo stadio la banda di transizione possibile del filtro è
)1
1(
)(
11
1
Quindi
12 larghezza di
'2
2
1
''2
'21
'2
112,
112
'2
21
21
21
2
21111
c
pscccc
cstm
ps
c
c
ps
c
c
ccc
pc
pc
p
fff
MM
MNffNfMNfN
MfNT
MN
ffMfCN
fff
MN
MMMf
fCN
MMMf
MMf
Mff
Mff
Mfff
Il risparmio è tanto maggiore quanto più grande è M1 e più stretta la banda di transizione iniziale.
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 132
Il risultato precedente suggerisce di scegliere per M1 il fattore maggiore e per M2 quello minore. Ordinamento dei fattori invertito rispetto alla interpolazione multistadio.
Le considerazioni precedenti si estendono anche ad un numero superiore di stadi, con la stessa cautela dell’interpolazione.
In linea di massima conviene ordinare gli stadi di decimazione per valori decrescenti dei fattori Mq
OsservazioneNon è sorprendente l’inverso ordinamento dei fattori nella interpolazione e nella decimazione, ricordando che le relative strutture realizzative sono duali.Applicando le regole di trasposizione, una struttura multistadio di interpolazione si trasforma in una di decimazione e viceversa.
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 133
Considerazioni finali sui valori di δ1 e δ2
1) I filtri Hq(z) sono in cascata e quindi per avere una complessiva deviazione in banda δ1 occorre che ciascuno abbia una
2) Se indichiamo con δ2’ la deviazione fuori banda di ciascuno dei filtri Hq(z),
ogni stadio attenua del fattore δ2’ lo spettro da eliminare.
Quindi per il rapporto segnale/distorsione:
Solo nel caso di spettro iniziale con potenza uniforme su tutta la banda
Q/1'
1
Q
q
p
q-simo
ffSNR
1
2'2 ) filtro del attenuata banda nella Potenza(
][ banda nella segnale deldesiderata Potenza
Q
qqM
SNR
1
2'2 )1(
1
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 134
Confrontandola con quella a singolo stadio, la realizzazione multistadio è più vantaggiosa: ottiene lo stesso SNR con una deviazione fuori banda dei filtri maggiore rispetto a quella dell’unico filtro del singolo stadio.
Quindi, anche per la decimazione, le realizzazioni a singolo stadio e multistadio non hanno le stesse specifiche dei filtri per le deviazioni in banda e fuori banda: i filtri della configurazione multistadio devono essere progettati con le deviazioni derivate in base alle due considerazioni precedenti.
Vale ancora la stessa nota finaleNel confronto sulla complessità realizzativa dei due schemi (tasso di moltiplicazioni) abbiamo assunto costante il valore C, che a rigore non lo è. Tuttavia poiché:i. le variazioni di δ1
’ e δ2’ rispetto a δ1 e δ2 tendono a compensarsi
ii. la dipendenza di C da queste è ridotta dalla funzione logaritmica
l’analisi sviluppata e le sue conclusioni sono comunque da ritenersi sostanzialmente valide.
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 135
Esempio
Progettare un decimatore da una frequenza fc = 10kHz ad unafrequenza fc
’= 100 Hz (M = 100). Il segnale ha una banda passanteda 0 a 45 Hz e una banda di transizione da 45 a 50 Hz. Si richiede δ1 = δ2 = 0.01 (deviazioni complessive) e il segnale di partenza ha una densità spettrale di potenza uniforme.Confrontare la complessità realizzativa (moltiplicazioni/s) neiseguenti casi:
a) un solo stadio con M = 100
b) due stadi con M1 = 50 e M2 = 2
c) due stadi con M1 = 25 e M2 = 4
d) due stadi con M1 = M2 = 10
e) Per la configurazione più conveniente a due stadi, determinarel’ulteriore risparmio con una configurazione a tre stadi.
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 136
Ottimizzazione del progetto multistadio
Si devono determinare:Q, numero degli stadiMq (Lq), fattori di conversione
in modo da minimizzare il tasso di moltiplicazioni/s:
simoqfsimoqN
simoqfNT
TT
q
q
qqqm
Q
qqmm
stadio dello campion. difrequenza minore, stadio dello filtro dellunghezza ,
e stadio dello tasso
con
,
1,
Se il q-simo stadio usa filtri half-band il suo tasso si riduce di un fattore ~1/4
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 137
Criteri di massima da seguire
In genere il massimo risparmio si ha passando da uno stadio a due stadi; il risparmio ulteriore diminuisce all’aumentare del numero degli stadi.
Aumentando il numero degli stadi aumenta il numero di ‘clock’ presenti nella realizzazione; il risparmio computazionale all’aumentare di Q può non giustificare l’introduzione di nuovi ‘clock’.
Fattori ordinati in senso crescente per l’interpolazione e in senso decrescente per la decimazione
Utilizzare, se le prestazioni lo consentono, i filtri CIC Utilizzare, se possibile, i filtri ‘half-band’ che riducono drasticamente il
numero di moltiplicazioni. In questo caso i fattori di conversione devono essere uguali a 2. Questa scelta dei fattori di conversione è da privilegiare tutte le volte che sia possibile. Esempio: fattore di conversione 25=32 nella co-decodifica audio MP3.
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 138
ALCUNE APPLICAZIONI(delle numerose esistenti)
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 139
Riproduzione audio hi-fi dei CD
Il segnale audio x(nT) memorizzato sui CD è campionato a 44,1 kHz e quantizzato a 16 bit (SNR ≈ 90 dB). Il suo spettro è nella banda 0÷20 kHz.La ricostruzione diretta richiederebbe un DAC con un filtro analogico a fase lineare e banda passante piatta 0÷20 kHz e banda attenuata almeno di 90 dB a partire da 24,1 kHz. Troppo difficile e costoso da realizzare. Si allontanano le repliche spettrali del segnale con una operazione di interpolazione in modo da poter usare un filtro analogico con banda di transizione più larga, più facile da realizzare con le specifiche richieste (p.e. filtro di Bessel a fase quasi lineare del terzo ordine).La scelta (libera) più conveniente del fattore di interpolazione è una potenza del 2 in modo da realizzare una interpolazione multistadio con fattori 2 e filtri ‘half-band’.Tipicamente i riproduttori di CD usano una fattore di interpolazione L=8.
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 140
Lo schema è il seguente:
'mTy
kHzf c 1,44 kHzff cc 8,3528' Freq. Campion.
nTx
HHB(z)2
Riproduzione da CD
HHB(z)2 HHB(z)2 DAC ty
EsercizioProgettare il sistema in modo che il SNR del segnale y(mT’) sia almeno 90 dB. Calcolare la complessità realizzativa (molt/s) del sistema completo.Determinare il numero di bit Bm di una realizzazione in virgola fissa in modo che ogni stadio introduca una degradazione non superiore a 0,1 dB.
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 141
Conversione fra standard di memorizzazionedel segnale audio
________________________________________
Esistono due standard per l’audio ad alta fedeltà:
CD (compact Disc): fc =44,1 kHz, 16 bit (commerciale)
DAT (Digital Audio Tape): fc =48 kHz, 16 bit (professionale)
Per convertire fra i due standard occorre un fattore di conversione:
inversol'o160147
ML
Esercizio: Progettare un sistema di conversione da DAT a CD con una distorsione massima di -90 dB (segnale originale nella banda audio 0÷20 kHz). Singolo o multistadio?
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 142
Banchi di filtri[Cap. 9.9.2]
Si usano nelle cosidette analisi e sintesi di un segnale
Analisi Sintesi
H1(z)
x(nT)
HK(z)
H2(z)
M1
M2
MK
G1(z)
x’(nT)
L1
L2
LK
G2(z)
GK(z)
Analisi: si estrae e si riporta in bassa frequenza la banda di interesse.Sintesi: si inserisce il segnale nella banda di destinazione.I fattori di decimazione e interpolazione Mi = Li possono essere diversi a seconda della banda del segnale da estrarre (analisi) o da inserire (sintesi).Quali sono i possibili valori?
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 143
Caso di due canali: M1=M2=L1=L2=2
Utilizzando le relazioni ingresso-uscita nel dominio z del decimatore e dell’interpolatore per 2 si ottiene:
)()()()()(21
)()()()()(21)('
2211
2211
zXzGzHzGzH
zXzGzHzGzHzX
Condizioni di perfetta ricostruzione:
0)()()()(
0)()()()(
2211
2211nzczGzHzGzH
zGzHzGzH
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 144
Due tipiche applicazioni dei banchi di filtri
Codifica (analisi) e decodifica (sintesi) del segnale audio: p. e. nello standard MP3 si usano 32 bande uniformi nello spettro audio 0÷20 kHz : fattori di conversione tutti uguali pari a 32.
Transmultiplexers: conversione numerica diretta fra un aggregato FDM e una trama TDM (analisi) e viceversa tra una trama TDM e un aggregato FDM (sintesi)
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 145
Codifica per sottobande(voce e immagini)
Nella voce la maggior parte dell’energia è contenuta alle basse frequenzealle quali inoltre l’apparato uditivo è più sensibile per la comprensione e ilriconoscimento del parlatore. Una semplice suddivisione in sottobande della voce (0÷4 kHz o 0÷7 kHz a seconda della qualità) è la seguente:
e ciascuna banda filtrata e decimata è successivamente codificataseparatamente, in modo da avere minore perdita di informazione allebasse frequenze (più bit di codifica).
1 2 3 4
0 1/16 1/8 1/ 4 1/ 2 F
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 146
Lo schema realizzativo del codificatore è il seguente:
Decim. Passa-alto
M=2
Decim. Passa-basso
M=2
x(nT)
voce
Decim. Passa-alto
M=2
Decim. Passa-alto
M=2
Decim. Passa-basso
M=2
Decim. Passa-basso
M=2Banda 1
Banda 2
Banda 3
Banda 4
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 147
Lo schema precedente può facilmente estendersi ad un numero di bande maggiore di 4, aumentando la risoluzione spettrale alle basse frequenze.
Questa tecnica è stata applicata con buone prestazioni anche alla codifica di immagini, utilizzando filtri numerici bidimensionali.
EsercizioDisegnare lo schema del decodificatore per sottobande
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 148
Filtraggio a banda stretta
Un filtro numerico (singola frequenza) a banda B molto stretta (alto rapportofc/B , p.e. > 100 ) può essere molto costoso da realizzare: filtri FIR molto lunghi e/o IIR di ordine elevato. Può risultare più conveniente questo schema:
Si decima (multistadio) il segnale estraendo la banda di interesse e poi siinterpola (multistadio) dello stesso fattore per ottenere la banda desiderata alla frequenza originaria.Esercizio: Verificare con B=45 Hz e banda attenuata (60dB) da 50Hz e frequenza di campionamento 1/T=fc= 20 kHz.
Un altro approccio: Interpolated FIR (Es. 6.3 Cap. 6)
nTxH1(z) D H2(z)D
nTy
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 149
Traslazione frazionaria del passo di campionamento(Ritardo frazionario)
[Cap. 9.9.1]
Si generano i campioni del segnale di uscita con lo stesso pettine di campionamento del segnale di ingresso però traslato (p.e.) a sinistra di una frazione di T .Più precisamente si deve ritardare il segnale di ingresso di [un numerointero di passi di campionamento T più] una frazione di T :
Progettare un filtro passa-tutto che introduca esattamente la traslazione frazionaria τ è molto difficile. Lo schema di un interpolatore di un fattore L seguito da un decimatore dello stesso fattore offre una soluzione semplice e efficiente.
110 L,,,k,TLkτ
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 150
Lo schema di principio è il seguente:
Il filtro H(z), a fase lineare e di lunghezza N, introduce un ritardo ( N dispari )
Dopo la traslazione z r il ritardo effettivo è Quindi:
che determina la scelta di r .
z rL H(z) L nTx nTy
Freq. campion.Tfc
1
cc LfTL
Tf '
' 1c
cc f
Lff
'
2
12
1 '
LTNTNd
krN
L
mod21
2
1 ''' TkILTrNd
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali
Lo schema realizzativo è il seguente.Consideriamo la struttura polifase dell’interpolatore: i campioni dell’uscita dell’r-simo filtro polifase sono esattamente quelli con l’anticipo rT’ (Es 3.21)
il segnale y(nT) è l’uscita del r-simo filtro polifase Hr(z)151
H0(z)
Hr(z)
HL-1(z)
nTx
nTy
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 152
Per un fissato τ si progetta il filtro interpolatore H(z) e si seleziona la sua r-esima componente polifase. Occorre implementare un solo filtro polifase e di fatto si ha un sistema ad unica frequenza di campionamento.
La struttura si presta naturalmente a realizzare traslazioni frazionarie variabili nel tempo (p.e. sistemi di sincronizzazione nelle comunicazioni numeriche): le uscite dei filtri polifase forniscono le traslazioni a passi di (risoluzione della variazione del pettine di campionamento):
Il segnale traslato ha un rapporto segnale/distorsione (singolo stadio):
dovuto alle L-1 repliche attenuate di δ2 del segnale originale.
LT
)1(1
22
L
SNR
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 153
x(nT)
L 3 N 11
h[9] h[6] h[3] h[0]
h[10] h[7] h[4] h[1]
h[8] h[5] h[2]
k 2
k 1
k 0
y(nT)
Esempio
S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 154
Esercizio
Quale componente polifase usare per avere una traslazione frazionaria 3T/8 a sx con un filtro H(z) con N=95 ? E per 7T/8 ?E per 3T/8 a dx?
Esercizio
Per la traslazione frazionaria potrebbe essere usato un filtro H(z) con lunghezza N pari?Quali conclusioni possiamo trarne?
E. Del Re – Elaborazione Numerica dei Segnali e Applicazioni
Σxc(nT) d(nT) x(nT)
+‐
fc =1/TQBQ
155
Sigma‐Delta A/D e D/A
Sono convertitori sovracampionati che impiegano una frequenza di campionamentofc >>2fmax ( fmax banda occupata dal segnale) e una quantizzazione con un numero dibit BQ molto basso (al limite 1). Si basano sul principio che i campioni successivi di un segnale sovracampionato sono altamente correlati e quindi la loro differenza(dinamica limitata) può essere quantizzata con pochi bit. Lo schema di principio è il seguente:
Si quantizza la differenza d(nT) fra il segnale dal campionatore xc(nT) e una sua stima x(nT) all’uscita del blocco integratore Σ delle differenze.Sostituendo al quantizzatore il suo modello linearizzato, invertendo i blocchi Qe Σ e modellando l’integratore con una opportuna G(z), si ottiene:
Sigma‐Delta
E. Del Re – Elaborazione Numerica dei Segnali e Applicazioni 156
Scegliamo per G(z) un integratore numerico ritardato di un campione:
)()()(1
)( 1
1
TnTvTnTwnTvz
zzG
Si ha:
q. di err.dell' f.d.t.1)(1
1)(
segnale del f.d.t.)(1
)()(
con)()()()()(
1
1
zzG
zH
zzG
zGzH
zHzEzHzXzX
q
qqc
G(z)xc(nT) x(nT)+
‐
eq(nT)w(nT) v(nT)
z-1w(nT) v(nT)
E. Del Re – Elaborazione Numerica dei Segnali e Applicazioni 157
In frequenza:
FsenFH
FH
q 2)(
1)(
|H(F)|
|Hq(F)|
Fmax
Il segnale, ritardato di un campione, occupa la banda fino a Fmax = fmax /fc[sovracampionato del fattore M=1/(2 Fmax )], mentre lo spettro di potenza (bianco) dell’errore di quantizzazione è pesato dalla |Hq(F)|2 .Quindi filtrando l’uscita x(nT) nella banda fino a Fmax la varianza dell’errore dovuto alla quantizzazione a BQ bit si riduce a:
max
max
22
2 )(3
2 F
F q
B
q dFFHQ
0.25 0.5
1
2
F
E. Del Re – Elaborazione Numerica dei Segnali e Applicazioni
Si ottiene un guadagno del SNRq pari a:
grande) ( 32
1
)(
12
3
2max
max
MM
Msen
MdFFH
G F
F q
158
ovvero: 17,5log30 10 MGdB
E. Del Re – Elaborazione Numerica dei Segnali e Applicazioni
Sigma‐Delta
159
Lo schema finale diventa:
dove la parte numerica è solo dopo il quantizzatore; quella che precede è analogica discreta e campionata.D(z) passa‐basso [0÷Fmax] e M = 1/(2Fmax ).
Il guadagno del SNRq porta ad una quantizzazione effettiva in uscita di1:
86,0log23
02,6 2 MBGBB QdB
xc(nT) x(nT)+‐ z-1
QBQ D(z) My(mT’)
1 BqdBdBq SSNRSBSNR 223,77.402.6)(
E. Del Re – Elaborazione Numerica dei Segnali e Applicazioni
Esistono naturalmente anche i Sigma‐Delta D/A
nei quali la ricostruzione di un segnale numerico a Bq bit è effettuata interpolando di una fattore L prima di inviarlo al Sigma‐Delta che lo quantizza in uscita a BQ=1 bit. Il segnale (analogico) a 1 bit è inviato direttamente al filtro di ricostruzione.
I convertitori Sigma‐Delta A/D e D/A sono semplici, efficienti e a basso costo.
x(nT)L D(z)
y(mT’)Sigma‐Delta
160