sistim bilangan matematika

7/24/2019 Sistim Bilangan Matematika

1/39

TKS 4002Matematika I

Dr.Eng. Achfas Zacoeb, ST., MT.

Jurusan Teknik Sipil

Fakultas Teknik

Universitas Brawijaya


2/39

Materi

1. Bilangan Riil

2. Notasi Selang3. Pertidaksamaan

4. Nilai Mutlak

5. Sistim Koordinat Cartesius (Siku-Empat)6. Grafik Persamaan


3/39

1. Bilangan Riil

1.1. Himpunan Bilangan Riil

Bilangan Asli, biasa ditulis dengan lambang N{1, 2, 3,

}, terdiri dari Bilangan Genap {2, 4, 6, }, Ganjil, {1,3, 5, }, Bilangan Komposit {4, 6, 8, 9, }, danBilangan Prima {2, 3, 5, }.

Bilangan Cacah, biasa ditulis dengan lambang C{0, 1,

2, 3, }. Bilangan Bulat, biasa ditulis dengan lambang Z {, -

2, -1, 0, 1, 2, }.


4/39

1. Bilangan Riil (lanjutan)

Bilangan Rasional, biasa ditulis dengan lambang Q

adalah bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk a/b

dengan a dan bbilangan bulat dan b 0, sering jugadisebut dengan Bilangan Pecahan.

Bilangan Irrasional, biasa ditulis dengan lambang R\Q

adalah bilangan riill yang bukan rasional.

Bilangan Riil, biasa ditulis dengan lambang R.


5/39


1.2. Hubungan antar Bilangan Riil

Dalam notasi himpunan :

N C Z Q R

Dalam diagram Venn : N

CZ

Q

R

N=asliC=cacah

Z=bulat

Q=rasional

R=riil


6/39


1.3. Sifat Aljabar Bilangan Riil

Tertutup

a +b

R (tertutup pada penjumlahan)

a xb R (tertutup pada perkalian)

Komutatif

a +b = b +a (komutatif pada penjumlahan)a xb = b xa (komutatif pada perkalian)


7/39


Asosiatif

a +(b +c) = (a +b) +c (asosiatif pada penjumlahan)

a x(b xc) = (a x b) x c (asosiatif pada penjumlahan)

Distributif

a x (b +c) = (a xb) + (a xc) (asosiatif pada penjumlahan)

a x (b -c) = (a xb) -(a xc) (asosiatif pada pengurangan)


8/39


Elemen identitaspenjumlahan dan perkalian

a +0 = a, 0= elemen identitas penjumlahan

a x1 = a, 1= elemen identitas pekalian

Inverspenjumlahan dan perkalian

a + (-a) = 0, -a = invers penjumlahan/unsur

negatif

a x (1/a) = 1, a 0, 1/a = invers perkalian/kebalikan


9/39


1.4. Sifat Urutan Bilangan Riil

Sifat Trikotomi

Jika xdan ybilangan riil, maka satu dari hal berikut

berlaku :

x < y, x = y,x > y

Sifat Transitif

Jika x < ydan y < zmaka x < z


10/39


Sifat Penambahan

x < yjika dan hanya jika x + z < y + z

Sifat Perkalian

x < y dan z > 0jika dan hanya jika xz < yz

x < ydan z < 0jika dan hanya jika xz > yz


11/39

2. Notasi Selang

Bilangan riil memenuhi sifat aljabar (terhadap

operasi penjumlahan dan perkalian), sifat urutan

(tentang ), dan sifat kelengkapan.

Sifat kelengkapan memungkinkan untuk

menyatakan R sebagai suatu garis (yang tak

berlubang), yang disebut garis bilangan riil.


12/39

2. Notasi Selang (lanjutan)

Pada garis bilangan riil, setiap titik menyatakan

sebuah bilangan riil. Sebaliknya, setiap bilangan riil

dapat dinyatakan sebagai sebuah titik pada garis

bilangan riil. Untuk selanjutnya, R menjadi

himpunan semesta


13/39

2. Notasi Selang (lanjutan)

Notasi selang berikut yang sering digunakan :

(a,b) = {x Ra < x < b}

[a,b] = {x Ra x b}

[a,b) = {x Ra x < b}

(a,b] = {x Ra < x b}

(-,b) = {x Rx < b}(-,b] = {x Rx b}

(a,) = {x Rx > a}

[a,) = {x Rx a}


14/39

3. Pertidaksamaan

Dalam kalkulus, sering kali ditemui suatu

pertidaksamaan (dalam x), seperti x2< x.

Menyelesaikan suatu pertidaksamaan dalam xberarti menentukan himpunan semua nilai x yang

memenuhipertidaksamaan tersebut.

Himpunan semua nilai x yang memenuhi suatu

pertidaksamaan disebut sebagai himpunanpenyelesaian pertidaksamaan tersebut.


15/39

3. Pertidaksamaan (lanjutan)

Contoh 1. Selesaikan pertidaksamaan x2< x.

Jawab : Pertidaksamaan di atas akan diselesaikan dengan

menggunakan sifat-sifat aljabar dan urutan bilangan riil.Perhatikan bahwa :

x2< x x2x < 0 x(x 1) < 0

Pembuat nol dari x(x 1)adalah 0 dan 1. Tanda dari x(x 1)pada garis bilangan riil adalah :


16/39

3. Pertidaksamaan (lanjutan)

Nilai yang dicari adalah nilai xyang membuat x(x1) < 0(yaitu,yang membuat x(x 1) bernilai negatif), karena itu himpunan

penyelesaiannya adalah {x

R

0 < x < 1}atau selang (0,1).

Catatan :

Lambang berarti setara dengan.

Dua pernyataan setara apabila kebenaran pernyataan yang satu

mengakibatkan kebenaran pernyataan lainnya.


17/39

4. Nilai Mutlak

Lambang |x| menyatakan nilai mutlak bilangan x,

yang didefinisikan sebagai :

|x| = x, jika x > 0

|x| = 0, jika x = 0

|x| =x, jika x < 0

Jelas bahwa |x| 0untuk sembarang x R. Selainitu, |xy| = |x|.|y|, |x/y| = |x|/|y|, dan |x+y| |x|+|y|untuk setiap x, y R. Juga, |x|2= x2(jadi, |x| = x2);|x| < a a < x < a; dan |x| < |y| x2< y2.


18/39

4. Nilai Mutlak (lanjutan)

Contoh 2.Selesaikan pertidaksamaan |1/x3| > 6.

Jawab:|1/x3| > 6 |(1 3x)/x| > 6

|1 3x |/|x| > 6 |13x| > 6.|x| (x 0)

(1 3x)2> 36x2

27x2+ 6x1 < 0

(9x 1)(3x + 1) < 0

-1/3 < x < 1/9

Mengingat x 0, maka himpunan penyelesaiannya adalah :

(-1/3,0) U (0,1/9)


19/39

5. Sistim Koordinat Cartesius

Sistem koordinat Cartesius untuk bidang terdiri

dari dua sumbu koordinat (sumbu x dan sumbu

y) yang saling tegak lurus dan berpotongan di titikasal (0,0).

Bidang Cartesius terbagi atas empat kuadran.

Setiap titik pada bidang Cartesius dapat

dinyatakan sebagai pasangan bilangan (x,y), dansebaliknya pasangan bilangan (x,y) menyatakan

titik tertentu pada bidang.


20/39

5. Sistim Koordinat Cartesius(lanjutan)

(a,b)

r


21/39

6. Grafik Persamaan

Persamaan umum garis lurus pada bidang adalah :

Ax + By + C = 0

dengan A, Btak keduanya nol. Jika B 0, persamaantadi dapat dinyatakan sebagai :

y = mx + c

dengan mmenyatakan gradien atau kemiringan garis

tersebut. Persamaan garis lurus yang melalui P(x0,y0)

dengan gradien madalah :

yy0= m(xx0)


22/39

6. Grafik Persamaan (lanjutan)

Diberikan suatu persamaan

(dalam x dan y), seperti

y = x2, grafik persamaandapat digambar pada sistim

koordinat Cartesius. Terlihat

bahwa grafik y = x2simetris

terhadap sumbu-y.

y

x

y = x2


23/39

Latihan


24/39

Latihan (lanjutan)

3. Buktikanlah bahwa segitiga yang titik-titik sudutnya adalah (5,3),

(-2,4), dan (10,8) adalah segitiga sama kaki.

4. Carilah panjang ruas garis yang menghubungkan titik-titik tengahruas-ruas AB dan CD, dengan A = (1,3), B = (2,6), C = (4,7), dan

D = (3,4).

5. Carilah sebuah persamaan untuk tiap garis berikut dan tulislah dalam

bentuk Ax + By + C = 0:

a. Melalui (2,3) dengan kemiringan 4.b. Melalui (4,1) dan (8,2).

6. Tuliskan persamaan garis yang melalui (3,-3) yang :

a. Sejajar garis y = 2x + 5

b. Tegak lurus garis y = 2x + 5


25/39


26/39


27/39


28/39


29/39


30/39


31/39


32/39

Contoh 4

Tunjukkan bahwa titik-titik A(3,8), B(-11,3), dan

C(-8,-2) adalah titik-titik sudut dari segitiga sama kakiABC.

Jawab

Dengan menggunakan rumus jarak dua titik,

diperoleh IABI=221Karena panjang sisi AB sama dengan panjang sisi

AC, maka dapat dikatakan segitiga tersebut di atas

adalah segitiga sama kaki.


33/39

Contoh 5

Tunjukkan bahwa titik A(-3,-2), B(5,2) dan

C(9,4) terletak pada satu garis lurus

Jawab

Terlebih dahulu dicari panjang AB, BC, dan AC

Dengan rumus jarak dua titik diperoleh AB

=45 , BC = 25 danAC = 65, sehinggaAC + BC = AC, hal ini berarti titik A, B, dan C

terletak pada satu garis lurus


34/39

Garis l1 dan l2 //m1=m2

Garis l1 dan l2

m1m2=-1


35/39

Latihan

Buatlah ruas garis dan tentukan jarak antara pasangan titik yang diketahui berikut

ini:

P(4,5) dan Q(-1,3)

P(8,-2) dan Q(3,-1)

P(-1,-2) dan Q(-3,-8)

P(5,3) dan Q(2,-5)

Gambarlah luas suatu poligon (segi banyak) yang titik-titik sudutnya adalah

(-3,2), (1,5), (5,3), (1,-2)

(-5,0), (-3,-4), (3,-3), (7,2), (1,6)

Tunjukkan apakah segitiga yang titik-titik sudutnya dibawah ini adalah sama sisi.

A(2,-2), B(-3,-4) dan C(1,6)

K(-2,2), L(6,6) dan M(2,-2)

P(6,7), Q(-8,-1) dan R(-2,-7)

U(2,4), V(5,1) dan W(6,5)

U(1,1), V(5,1) dan W(5,5)


36/39

Tunjukkan bahwa titik-titik berikut terletak pada satu garis lurus

dengan menggunakan metode jarak.

(0,4), (3,-2), dan (-2,8) (-2,3), (-6,1), (-10,-1)

(1,2), (-3,10), (4,-4)

(1,3), (-2,-3), (3,7)

Jika M (9,2) membagi ruas garis yang melalui P(6,8) dan Q(x,y)

dengan perbandingan 3/7. Tentukan koordinat titik Q.


37/39

Tentukan x


38/39

Tentukan apakah titik2 berikut membentuk

segitiga siku-siku atau tidak?


39/39

Terima kasih

danSemoga Lancar Studinya!

sistim bilangan matematika

Documents