skemp bab 14 pemetaan dan fungsi
DESCRIPTION
PsikologiTRANSCRIPT
Pemetaan dan Fungsi | 209
Pada bagian 13, kita telah melihat cara memecahkan masalah dalam dunia
nyata dengan menggantikan hal-hal itu dengan sebuah cara penyelesaian dalam
matematika yang bersesuaian. Proses berpikir secara abstrak membawa kita dari
dunia nyata kedalam dunia matematika, namun hal itu tidak mudah dilakukan. Dan
memberikan bermacam-macam perlakuan dari permasalahan bersama dengan model
matematikanya, hal itu mungkin menjadi sulit untuk dilihat apapun dalam hal yang
umum antara aktivitas abstrak dengan model yang diperoleh. Ini mungkin merupakan
pertimbangan yang tidak umum dalam matematika dari proses abstrak.
Dari dua system matematika yang diberikan, sebuah korespondensi antara
keduanya yang memenuhi syarat tertentu, kita sebut sebuah pemetaan. Suatu metode
yang mendefinisikan dari suatu system ke system yang lain dinamakan fungsi. Pada
bagian ini kita akan melihat beberapa pemetaan dan mempertimbangkan kondisi yang
perlu untuk menjelaskan deskripsi ini. Kemudian kita akan memusatkan perhatian
pada fungsi yang berhubungan dengan pemetaan. Sebagai kesatuan dari keduanya,
dan apakah kita dapat mengembangkan oprerasi pada fungsi, sama dalam operasi
pada bilangan.
PEMETAAN
Dua sistem dalam matematika yang berkorespondensi dengan kondisi tertentu
disebut sebuah pemetaan. Pertama mengembangkan beberapa contoh. Kita
menganggap 2 himpunan dari obyek {mobil}, {nomor polisi}. Pada kebanyakan
negara persyaratan setiap mobil itu harus mempunyai nomor registrasi, tetapi tidak
ada mobil yang diizinkan memiliki dua nomor registrasi. Misalkan kita mempunyai
himpunan siswa yang telah selesai mengikuti ujian, dan suatu himpunan nilai.
Pemetaan dan Fungsi | 210
Himpunan nilai itu mungkin {bilangan 0 sampai 100}atau {A, B, C, D, E, F} atau
{ lulus, gagal}. Kemudian setiap siswa hanya dapat diberi satu dan hanya satu nilai.
Pada saat kita menyediakan makan malam, dan kita meletakkan satu dan hanya satu
tempat duduk. Asumsikan bahwa himpunan di atas terdefinisi, maka setiap kasus di
atas merupakan sebuah pemetaan, karakteristik dari setiap element himpunan yang
pertama (disebut himpunan asal) ada berpasangan satu-satu dengan anggota pada
himpunan ke dua (disebut himpunan peta).
Jadi korespondensi satu-satu antara dua himpunan adalah sebuah kejadian
khusus dari sebuah pemetaan, dengan sebuah tambahan yang juga memberikan
memberikan sebuah pemetaan yang terbalik. Hal ini mengingatkan bahwa
kemampuan membalik hubungan yang sama, dari korespondensi satu-satu.
Hal ini mudah untuk menjabarkan, dan pembaca dapat melihat bahwa
korespondensi satu-satu adalah salah satu jenis dari pemetaan. Dengan kata lain, dua
diagram berikut dinamakan sebuah pemetaan yang berkorespondensi satu-satu, dan
tetap merupakan pemetaan ketika arah anak panah dibalik.
Korespondensi satu-satu korespondensi balikan satu-satu
Kegunaan Pemetaan dalam Matematika
Kita telah mendapatkan bagian kegunaan pemetaan dalam matematika. Pada
setiap tahap pengembangan suatu sistem bilangan yang baru ada suatu pemetaan dari
sistem awal kesuatu sistem baru. Diagram dibawah ini merepresentasikan pemetaan
{bilangan cacah} ’into’ {bilangan bulat}.
xxxx
oooo
oooo
xxxx
Pemetaan dan Fungsi | 211
into
Catatan ’Into’, ’onto’, ’pada’ oleh matematikawan mengatakan bahwa pemetaan
’onto’ pada himpunan bayangan, jika setiap elemen dari himpunan bayangan adalah
berpasangan dengan beberapa elemen pada himpunan asal. Dan ’into’, jika beberapa
elemen himpunan bayangan tidak mempunyai pasangan. Jadi ’into’ digunakan untuk
himpunan bilangan cacah.
onto into
Pemetaan {bilangan cacah} ke {bilangan bulat} tidak satu-satu karena
bilangan bulat negatif bukan bayangan dari bilangan cacah. Jadi pemetaan itu tidak
dapat dibalik. Namun pemetaan antara {bilangan cacah} dan himpunan bagian dari
bilangan bulat {bilangan bulat positif dan nol } dapat dibalik. Hal ini, ada suatu
isomorfisma untuk penjumlahan dan perkalian.
01234
dst
+0 +1 -1+2 -2+3 -3+4 -4dst
****
***
***
****
01234
dst
+0 +1 -1+2 -2+3 -3+4 -4dst
Pemetaan dan Fungsi | 212
Pemetaan ini adalah isomorfisma pada setiap tahap dari sistem awal dan
subset dari sistem baru yang membuat pemetaan ini sangat berguna. Untuk suatu
model, sebagai satu bentuk nyata yang statis, diperlukan suatu himpunan serta operasi
di dalamnya. Sistem matematika dan isomorfisma membolehkan untuk memilih salah
satu sistem diantara sistem-sistem yang kita inginkan.
Sebuah pemetaan sederhana yang sering digunakan untuk menemukan rata-
rata. Misalnya, ada 10 orang yang mempunyai tinggi badan (dalam cm) 161, 180,
172, 175, 190, 163, 176, 160, 169, dan 184. Untuk mendapatkan rata-rata tinggi
mereka, digunakan suatu metode straightforward untuk menjumlahkan semua secara
bersama-sama dan membagi dengan 10. Tetapi dapat direduksi pekerjaan itu dengan
mengurangi 160 cm dari setiap tinggi badan, termasuk rata-ratanya. Total dari
pengurangan tersebut dibagi 10, dan kemudian menambahkan 160 cm untuk
mendapatkan hasilnya.
Tinggi sesungguhnya (cm) himpunan hasil
161 1
180 20
172 12
175 15
190 - 160 30
163 3
176 16
160 0
169 9
184 24
120 dibagi 10
+ 160
172 12
Implikasi dari hal di atas adalah pemetaan yang lain yang mudah dan sering
digunakan, dari sebuah himpunan ukuran (dalam kasus ini adalah tinggi dalam cm)
Pemetaan dan Fungsi | 213
kesebuah himpunan bilangan. Meskipun sederhana, bagaimana hal itu tak trivial dan
ada hal yang lebih dari itu yang bisa didapatkan dan telah dipelajari pada bagian 10.
Sebuah pemetaan digunakan ketika keluar negeri satu ke yang lain, untuk
contoh sebagai berikut:
Pounds terling Pesetas
10 1680
5 840
1 168
0,50 84
0,20 16,8
0,10 8,4
Ada juga pemetaan dari arah yang terbalik, dari pesetas ke pounds terling.
Sepasang bilangan yang berkorespondensi ketika dipasangkan dari kolom kanan ke
kiri berbeda ketika dipasangkan dari kolom kiri ke kanan. Pemetaan mata uang
berbeda dengan pemetaan yang kita gunakan pada pencarian rata-rata.
Sebuah pemetaan digunakan ketika mengadakan perjalanan dengan kereta api
antara sebuah himpunan nama stasiun dan sebuah himpunan dari waktu
pemberangkatan
Nama stasiun Jam berangkat
Menchester 10.00
Stock port 10.09
Wilmslow 10,17
Watford 12,24
Euston 12,44
Sebuah pemetaan penting digunakan bagi seorang prajurit tentara. Hal ini
memberikan total jarak untuk berbagai jenis waktu dan tempat, sebelum parasut
dibuka. Dengan mengabaikan pengaruh gesekan udara.
Pemetaan dan Fungsi | 214
Waktu (detik) Jarak (meter)
0 0
1 4,9
2 19,6
3 44,1
4 78,4
5 122,5
Sekarang kita tinjau suatu pemetaan yang lain, yang digunakan dalam kecepatan dan
manipulasi, dalam himpunan tujuan menjadi bentuk lain, dalam kasus ini tidak
bersifat matematis tapi dalam bentuk perwujudan system dalam kehidupan sehari-
hari.
Memperkirakan bahwa seorang agen pekerja dipilih dari semua orang yang
diregistrasi dengan karakteristik masing-masing seperti mampu dalam matematika,
cakap dalam berbahasa Italia, memiliki kebebasan untuk kemampuan, dan berumur di
bawah 25 tahun. Untuk semua yang lolos dalam registrasi mendapatkan sebuah kartu
macam-macam atribut sebagai tujuan untuk bekerja diwakili dengan perbedaan lokasi
dalam kartu. Memiliki atau tidak memiliki satu dari kartu ini diwakili dengan
pemberian sebuah lubang. Orang yang mempunyai semua atribut akan diwakili oleh
sebuah kartu dengan lubang pada semua sudut dan berkorespondensi lokasi ( dan
mungkin pada lokasi lainnya). Dalam sebuah operasi secara elektrik dan
menggunakan mesin, berlubang atau tidak berlubang dapat membuat control dalam
kontak, dan jika disini berhubungan dengan tiap bagian hal itu dapat menyusun untuk
sebuah mata uang. Kartu yang dipasangkan dengan bilangan dapat membuat suatu
pemetaan.
{orang-orang yang diregistrasi} { Kartu dengan nama mereka ditulis}
{atribut yang relevan} {lokasi dari kartu}
{atribut dari orang yang sama} {lubang pada kartu}
Pemetaan dan Fungsi | 215
{atribut yang diwakili untuk suatu pekerjaan} {tombol yang berhubungan
dalam sebuah mata uang}
{orang yang mewakili semua atribut} {kartu dengan nama mereka}
{mesin elektrik seleksi kartu} { seleksi dari setiap orang}
Anggota-anggota dari himpunan meliputi makanan obyek fisik (pribadi),
symbol tertulis (nama), kualitas pribadi (mampu berbahasa Italia), operasi yang pasti
dari setiap himpunan dan proses pemetaan, tipical, manual dan bantuan pemetaan,
mental dengan bantuan lubang, manual atau mesin, manual dengan menggunakan
keybord.
Disini dalam perbedaan yang cukup besar, sebuah contoh yang sederhana dari
geometri hal ini dapat dilihat dari gambar berikut.
Q
P
O adalah pusat, O merupakan titik tengah dari ruas garis PQ yang melalui O.
Bagaimana kita menjelaskannya?
Gambar elips pada kertas transparan dan gunakan sinar matahari untuk
meproyeksinya dikertas lain. Kertas itu harus tegak lurus dengan sinar matahari.
Dengan menggerakkan kertas transparan dalam posisi yang sesuai, kita mendapatkan
bayangan elips itu menjadi suatu lingkaran di kertas
O.
Pemetaan dan Fungsi | 216
Dari kegiatan fisik ini suatu pemetaan matematika dapat diabstraksi dan didefinisikan
secara geometri yang disebut dengan proyeksi orthogonal. Inilah gambar asli dan
bayangannya oleh suatu pemetaan itu.
P P’
Q Q’
Hal ini dapat dibuktikan, dengan sifat yang telah diketahui dengan baik dari
kesebangunan segitiga, bahwa proyeksi suatu segmen garis dengan titik tengahnya
adalah segmen garis yang lain dengan titik tengahnya pula. Kita ketahui bahwa
sebarang lingkaran yang berdiameter P’Q’ dibagi dua oleh titik pusat lingkaran O’,
kita ketahui bahwa gambar PQ semula dibagi dua oleh O. Dan dengan sebuah
proyeksi kesuatu lingkaran, banyak rujukan yang dapat digunakan membuktikan sifat
lain dari sebuah elips.
O O’
Pemetaan dan Fungsi | 217
Logaritma
Berikut contoh yang baik dari pemetaan jenis kedua. Bandingkan dua pemetaan
berikut:
128 1). 256 x 2). 27 x 28 = 215
768 640 256 + 32768
Karena 128 = 27 dan 256 = 28, keduanya mempunyai perhitungan yang sama namun
berbeda notasi. Alasan mengapa perhitungan yang kedua lebih mudah dan cepat
karena perkalian dua bilangan semula telah diganti dengan menjumlahkan dua
pangkatnya (dalam kasus ini penjumlahan penjumlahan merupakan suatu hal yang
mudah, tetapi walaupun kita telah mejumlahkan bilangan-bilangan pada himpunan
asal, hal ini akan tetap mempunyai perhitungan yang lebih sederhana dari pada
mengalikannya) .
Kita dapat menggunakan jalan pintas untuk sebarang bilangan yang dapat
ditulis sebagai bilangan pangkat dari 2 dengan bantuan tabel berikut:
2 = 21 32 = 25 512 = 29 8192 = 213
4 = 22 64 = 26 1024 = 210 16384 = 214
8 = 23 128 = 27 2048 = 211 32768 = 215
16 = 24 256 = 28 4096 = 212 65536 = 216
Contoh: 64 x 256 = 26 x 28 = 214 = 16384
Penggunaan tabel ini sangat bermanfaat untuk pembagian
Contoh: 16384 : 512 : 214 : 29 = 25 = 32
Metode kerja seperti ini berlaku juga untuk pangkat negatif
Contoh 1024 : 65536 = 210 : 216 = 2-6 =
Pada setiap contoh di atas, bilangan dasar (bilangan pokok) 2 tidak berperan
nyata pada perhitungan, karena yang dihitung hanya menjumlahkan pangkatnya.
Tabel tersebut di atas masih dengan mudah dibaca walaupun kita hilangkan bilangan
dasarnya dan pangkatnya dihitung lebih besar.
Pemetaan dan Fungsi | 218
Selanjutnya bilangan-bilangan pangkat tersebut dikatakan sebagai logaritma dari
bilangan semula.
Perhatikan tabel berikut yang merupakan tabel logaritma dengan bilangan dasar 2
Bilangan Logaritma
2 1
4 2
8 3
16 4
32 5
64 6
128 7
256 8
512 9
1024 10
2048 11
4096 12
8192 13
16384 14
32768 15
65536 16
131072 17
262144 18
524288 19
1048576 20
Perhitungan dengan sembarang bilangan ini sekarang disederhanakan dengan
memetakan ke-logaritma.
Pemetaan dan Fungsi | 219
Contoh 4096 x 128
Himpunan asal logaritma
4096 12
X +
128 7
524288 19
Hasil dari himpunan asal hasil dari himpunan bayangan
Keuntungan dari perhitungan menggunakan logaritmo Sangay terlihat pada
saat digunakan untuk mempermudah perhitungan yang lebih rumit, seperti contoh
berikut:
Untuk menyelesaikan dapat dilakukan sebagai berikut:
Himpunan bilangan asal logaritma
1048275 20
X +
8196 13
Pembilang 33
4096 12
X +
16384 14
penyebut 26
Pembilang : penyebut 33 – 26
Hasil dari himpunan asal 128 7 hasil dari logaritma
Kelemahan dari metode ini adalah dibatasi pada perhitungan dengan pangkat
bilangan bulat dengan bilangan pokok 2. Sehingga sebelum logaritma digunakan, kita
harus menemukan logaritma dari sembarang bilangan. Oleh karena itu kita
membutuhkan fungsi logaritma. Untuk ini fungsi diartikan sebagai suatu aturan atau
Pemetaan dan Fungsi | 220
cara dimana sembarang elemen pada himpunan asal dapat ditemukan elemen yang
bersesuaian dalam himpunan bayangan.
Berikut ini diberikan tabel logaritma (dalam 3 tempat decimal) dari bilangan
1,00 sampai 1,99. Bilangan dasar dari logaritma berikut adalah 10.
Tabel logaritma
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1,0 0,000 0,004 0,009 0,013 0,017 0,021 0,025 0,029 0,033 0,037
1,1 0,041 0,045 0,049 0,053 0,057 0,061 0,065 0,068 0,072 0,076
1,2 0,079 0,083 0,086 0,090 0,093 0,097 0,100 0,104 0,107 0,111
1,3 0,114 0,117 0,1209 0,124 0,127 0,130 0,134 0,137 0,140 0,143
1,4 0,146 0,149 0,152 0,155 0,158 0,161 0,164 0,167 0,170 0,173
1,5 0,176 0,179 0,182 0,185 0,188 0,190 0,193 0,196 0,199 0,201
1,6 0,204 0,207 0,210 0,212 0,215 0,218 0,220 0,223 0,225 0,228
1,7 0,230 0,233 0,236 0,238 0,240 0,243 0,246 0,248 0,250 0,253
1,8 0,255 0,258 0,260 0,263 0,265 0,267 0,270 0,272 0,274 0,277
1,9 0,279 0,281 0,283 0,286 0,288 0,290 0,292 0,295 0,297 0,299
Bilangan dari himpunan asal ditunjukkan diluar garis yaitu kolom paling kiri dari
baris paling atas, sedangkan logaritma yang bersesuaian berada dalam tabel. Sebagai
contoh, akan ditentukan logaritma dari bilangan 1,47. pertama kita tentukan baris
sesuai dengan baris dimana terletak bilangan 1,4 yang dikolom paling kiri, kemudian
telusuri pada baris tersebut dari kiri kekanan hingga kolom ke-7, sehingga
menemukan logaritma dari 14,7 adalah 0,167.
Contoh penggunaan logaritmo dari tabel di atas adalah sebagai berikut:
Untuk menghitung 1,47 x 1,13 x 1,08 dapat dilakukan sebagai berikut
Himpunan asal logaritmo
1,47 0,167
X 1,13 + 0,053
X 1,08 + 0,033 +
1,79 0,253
Pemetaan dan Fungsi | 221
Hasilnya adalah 1,79
Pemetaan sebaliknya dapat dilakukan dengan mencari bilangan yang nilai
logaritmanya dekat dengan 0,253 (kebetulan dalam contoh ini ada bilangan yang
tepat dalam tabel).
Untuk mempermudah dapat digunakan buku antilogaritma.
Misalkan kita ingin menentukan logaritma dari 173, tabel di atas menyajikan
1,73 sehingga kita menulis 173 sebagai 100 x 1,73, maka logarima 173 dapat
dihitung sebagai berikut:
Himpunan asal logaritma
102 2
X 1,73 + 0,238
102 x 1,73 2 + 0,238
Dengan cara seperti ini dapat pula dihitung logaritma dari 1730, 17300, 173000).
Kemudian logaritma dari bilangan seperti 0,0173 dapat dicari dengan menulis
sebagai 10-2 x 1, 73 dan dilakuan sebagai berikut:
Himpunan asal logaritma
10-2 -2
X 1,73 + 0,238
10-2 x 1,73 -2 + 0,238
Logarima dalam kasus ini adalah campuran dai bilangan bulat negatif ditambah
bilangan decimal positif. Ini lebih mudah dalam perhitungan dari pada mengganti -2
+ 0,238 dengan -1,762. Namur dalam penulisan kasus seperti ini tanda mines ditulis
di atas 2 menjadi sehingga keseluruhan logaritmanya ditulis sebagai ,238. Dengan
demikian kita dapat mencari logaritma dari sembarang bilangan dari tabel yang
memberikan nilai logaritma dari 1,00 sampai 9,99 atau jira ingin lebih akurat bisa dari
1,000 sampai 9,999 atau bahkan 1,000 sampai 9,9999.
Selain dengan logaritma dapat digunakan pemetaan lain berupa mistar hitung.
Sebagai contoh dilakukan dengan bilangan dasar 2. Mistar hitung adalah pemetaan
Pemetaan dan Fungsi | 222
sederhana untuk menghubungkan satuan panjang dengan logaritma, dan dinyatakan
hasilnya pada mistar. Langkahnya adalah sebagai berikut:
Himpunan asal : 1 2 4 8 16 32 64 ...
Logarima basis 2 : 0 1 2 3 4 5 6 ...
Panjang : 0cm 1cm 2cm 3cm 4cm 5cm 6cm
Mistar :
Dengan mengeluarkan dua himpunan ditengah, diperoleh:
1 2 4 8 16 32 64
Perkalian dua bilangan
Menjumlahkan dua logaritma
Menjumlahkan dua ukuran panjang
Meletakkan dua panjang dari ujung keujung pada garis lurus
Operasi terakhir dilakukan dengan menggunakan dua mistar yang bernotasi sama,
yang satu digeser di atas mistar yang lain.
Gambar di bawah ini menunjukkan suatu mistar geser berukuran 2.
Untuk menghitung 4 x 8
Pemetaan dan Fungsi | 223
jawab
4
1 2 4 8 16 32 64
1 2 4 8 16 32 64
8
4 x 8
Pergeseran dari mistar ini juga menghasilkan 4 x 2 = 8, 4 x 4 = 16, 4 x 16 = 64 dan
seterusnya. Karena membagi suatu bilangan dengan bilangan lainnya
mengurang-kan logaritma suatu bilangan dengan bilangan lain mengurangi satu
satuan panjang dari satuan panjang lainnya, dengan cara yang sama perhitungan 32 :
8 = 4. Dalam kasus ini kita menentukan 32 pada mistar , kemudian menempatkan 8
pada mistar geser berimpit dengan 32, dan membaca hasilnya 4 pada mistar yang
segaris dengan 1.
FUNGSI
Fungsi adalah suatu aturan atau metode, untuk sembarang dan setiap objek pada
himpunan asal, kita dapat menemukan dengan unik elemen yang berkorespondensi
dalam himpunan bayangan. Seperti apa yang kita harapkan dari uraian ini, fungsi
akan muncul dalam berbagai variasi. Perhatikan beberapa pemetaan yang diuraikan
dalam bab ini, kita dapat menemukan:
Pemetaan Fungsi
{mobil)} {nomor regitrasi} lihat pada buku registrasi mobil
{bilangan asli} {bilangan bulat} Tulis + didepan bilangan
Pemetaan dan Fungsi | 224
{asal dari ukuran tinggi}
{bayangan digunakan untuk hilangkan satuan dan kurangkan
menghitung rata-rata} 160
{titik pada elips} {titik pada lingkaran} proyeksi ortogonal yang cocok
{Bilangan rasional positif} {logarima} gunakan tabel logaritma
Pada contoh terakhir, fungsi logaritma diberikan dalam bentuk yang paling
baik untuk digunakan dalam perhitungan sehari-hari Perhatikan tabel yang memenuhi
fungsi yang diminta . Jika kita ingin tahu bagaiman tabel tersebut disusun, persamaan
fungsinya adalah : Log (x) = . Logarima ini disebut logaritma natural basisnya
bukan 10, tetapi berdasarkan hal ini digunakan basis 10 karena mudah dihitung.
Cara-cara berbeda dalam menyimbolkan fungsi yang sama membantu kita
untuk mengerti atau memusatkan perhatian kita pada aspek-aspek yang berbeda
dalam memahami fungsi.
Berikut ini suatu fungsi yang disajikan dalam 6 cara yang berbeda:
o Dengan kata-kata Kuadrat dari
o Dengan diagrakm Venn
Dan anak panah
o Dengan persamaan, x sebagai y = x2
variabl elemen dari himp asal dan
y variabel elemen dari himp bayangan
1
2
3
4
1 2 34 5 7 6 8 10 12 9 16 1718 29
Pemetaan dan Fungsi | 225
o Dengan tabel Himp. asal 1 2 3 4 5
Himp.Bayangan 1 4 9 16 25
o Dengan memasangkan unsur-unsur yang {(1,1), (2,4), (3,9) (4,16)
(5,25)...}
Bersesuaian, dalam hal ini akan diper-
Oleh himpunan baru yang unsur-
Unsurnya merupakan pasangan terurut
o Dengan grafik kartesius y
x
Salah satu cara yang sangat berguna adalah
menunjukkan bayangan dari suatu elemen x x2
variabel dari himpunan asal
Hal ini memungkin kita menetapkan berbagai f: x x2
fungsi dengan bayangan yang berbeda g: x x3
h: x 1/xHal ini dapat dibaca bahwa f adalah fungsi yang memetakan x ke x2 dan seterusnya.
Pada diagram venn, tabel dari himpunan pasangan terurut , himpunan asal
muncul sebagai himpunan bilangan asli, dengan nol dihilangkan. Tetapi kita tahu
bahwa fungsi ini dapat dikenakan pada semua jenis himpunan, himpunan bilangan
bulat, bilangan pecah, rasional dan bilangan real. Meskipun seperti dalam tabel hanya
Pemetaan dan Fungsi | 226
ditulis untuk bilangan-bilangan yang terbatas, tapi cukup jelas untuk menetapkan
secar eksplisitdomain dari fungsi ini (yaitu himpunan bilangan real). Secara umum
domain sembarang fungsi adalah himpunan dari obyek-obyek dalam himpunan asal
yang memberikan bayangan.
Berikut ini beberapa contoh fungsi yang disajikan sebagai persamaan aljabar
1) y = 7x + 4 2) y = 1/x 3) y = x 4) y = (x+1)(x-2)
Daerah asal yang dari contoh kedua adalah bilangan real kecuali nol, karena 1/0 tidak
mempunyai arti.
Berikut ini akan disajikan fungsi lain yang berbeda contoh-contoh di atas yang
disebut sebagai fungsi aljabar yakni semua fungsí yang domainnya adalah himpunan
semua titik pada bidang. Setiap gambar geometri dapat dipikirkan sebagai himpunan
titik, garis dapat dianggap sebagai titik-titik yang sangat rapat jaraknya dan kontinu.
Sehingga fungís ini disebut transformasi geometri, berperan pada setiap gambar
geometri , bayangannya menjadi gambar geometri yang lain. Dalam diagram di
bawah ini F menyatakan gambar semula dengan P sebagai titik variable terletak
padanya, F’ dan P’ merupakan bayangannya.
Pencerminan terhadap garis m, dengan m merupakan sumbu segmen garis PP’
m
P P’
Pemetaan dan Fungsi | 227
Rotasi dengan pusat O, dengan besar sudut yang diberikan
P P’
O
Translasi dengan jauh dan arah yang ditentukan
P P’
Dilatasi dengan pusat O, dalam kasus ini faktornya 2
P’
P
O
Pemetaan dan Fungsi | 228
Tarikan (peregangan): Suatu dilatasi dengan hanya satu arah. Disini jarak setiap titik
terhadap garis s dikalikan dua
s
P P’
Pelingsiran : lebih mudah memahami dengan gambar dari pada menguraikannya
dengan kata-kata s
P
P’
Operasi Pada Fungsi
Sekarang kita mempunyai dua kelas dari fungsi yaitu yang direpresentasikan dengan
persamaan aljabar seperti yang telah diberikan, yang disebut dengan fungsi aljabar
dan geometri transformasi. Selanjutnya wajar kalau dipertanyakan, apakah ada
operasi yang dapat kita lakukan pada fungsi-fungsi seperti ini, seperti yang kita
kerjakan pada bilangan?. Jika dapat kita lakukan, apakah kita mendapatkan sistem
bilangan baru? Jika tidak, sistem matematika apa yang kita peroleh? Bagaimana
karakteristiknya?.
Kita mulai dengan fungsi aljabar. Misalkan untuk menunjukkan peta dari x,
yang diperoleh dengan mengenakan fungsi f pada x dinotasikan dengan f(x).
Perhatikan bahwa ini tidak berarti mengalikan f dengan x , ini hasil dari menerapkan
Pemetaan dan Fungsi | 229
fungsi f pada x dan disebut nilai dari f. Kita katakan x dipetakan oleh f pada f(x) dan
disingkat menjadi
x f f(x)
Untuk keprluan penulisan dan pengetikan sering ditulis f: x f(x) yang
di-baca ” f mematkan x ke f(x). Karena f suatu fungsi aljabar yang memtakan
bilangan kebilangan, semua nilai fungsinya adalah bilangan real. Misalkan diambil g
sebagai fungsi yang lain , kita dapat mendefinisikan fungsi aljabar yang baru yang
disebut jumlah dari f dan g dan ditulis sebagai f g dengan x adalah semua nilai
dalam daerah asal f dan g.
f g: x f(x) + g(x)
dalam hal ini merupakan jumlah pada f dan g, sedangkan + jumlah pada f(x) dan
g(x). Kita juga bisa mendefinisikan suatu fungsi yang disebut hasil kali dari f dan g
dan ditulis sebagai f . g yang menyatakan bahwa f . g: x f(x) x g(x)
Dari kedua definisi ini dapat dilihat bahwa sebarang fungsi aljabar mempunyai sifat
seperti sistem bilangan. Sebagai contoh
Contoh: f g: x f(x) + g(x)
g f: x g(x) + f(x)
Karen a f(x) dan g(x) adalah bilangan, maka penjumlahan fungsi bersifat komutatif,
dan juga sifat-sifat fungsi yang lain dibawah operasi dan . adalah sama dengan
sifat-sifat bilangan real. Operasi-operasi ini tidak dapat diterapkan pada geometri
transformasi. Disini domain adalah himpunan titik pada bidang dan fungsinya bernilai
titik juga. Dan penjumlahan dua titik tidak mempunyai arti. Sebagai contoh, jika M
mewakili transformasi cerminan pada garis m, dan M(P) berarti peta dari titik P di
bawah transformasi cerminan pada garis m (dalam hal ini sama dengan mengatakan
M(P) adalah nilai fungsi dari M untuk P) dan jika N dan N(P) punya arti yang sama
untuk pencerminan terhadap garis n yang lain, kita tidak punya arti untuk M(P) +
N(P) analog seperti f(x) + g(x).
Pemetaan dan Fungsi | 230
m n
P • •M(P)
• N(P)
Sehingga jenis khusus dari penjumlahan dan hasil kali tidak dapat diterapkan pada
fungsi secara umum. Tetapi ada jenis hasil kali yang dapat diterapkan sekaligus pada
fungsi aljabar dan geometri transformasi dan juga banyak fungsi yang lain. Hasil kali
ini disebut komposisi dari dua fungsi dan ini merupakan fungsi tunggal yang hasilnya
sam dengan jika fungsi f dan g diterapkan secara berurutan. Diagram Venn dari
komposisi ini digambarkan sebagai berikut:
Himp. asal Himp.bayangan f himp. bayangan gf
f g
gf
Jika x adalah variabel dari himpunan asal, f(x) adalah peta dari x dibawah f, dan
g(f(x) adalah peta dari f(x) dibawah g, maka gf fungsi yang memetakan semua x ke-
gf(x) dalam notasi yang telah dikenal sebelumnya ditulis sebagai berikut:
Jika f: x f(x)
dan g: x g(x)
Sehingga g: f(x) gf(x), berarti g(f(x))
maka gf: x gf(x)
x gf(x)
f(x)
Pemetaan dan Fungsi | 231
Walaupun f fungsi yang terletak di depan , cara penulisan komposisi tersebut adalah
gf. Hasil komposisi ini pada umumnya tidak komutatif seperti dua contoh berikut ini.
1. Misalkan f dan g fungsi aljabar dengan f ”kuadrat dari” dan g”satu lebih banyak”
f g
gf
Jika f: x x2 g: x x + 1 sehingga g :x2 x2 + 1, maka gf: x x2 + 1
Jika g: x x + 1 dan f: x x2 sehingga f:x+1 (x+1)2, maka fg:x (x+1)2
2. Geometri Transformasi; Misalkan M dan N seperti pada transformasi yang telah
dijelaskan sebelumnya , dengan pencerminan berturut-turut terhadap garis m dan
n , maka NM(P) adalah pencerminan pertama di m, misalkan M(P), hasil ini
kemudian dicerminkan lagi di n dan menghasilkan NM(P)
m n
P M(P)
NM(P)
Selanjutnya MN(P) adalah pencerminan pertama di n hasilnya N(P), hasil ini
kemudian dicerminkan terhadap m dan menghasilkan MN(P)
x x2+1
x2
Pemetaan dan Fungsi | 232
m
n
P
MN(P) N(P)
TURUNAN
Bagi yang akrab dengan kalkulus akan sering menggunakan turunan. Turunan
merupakan operasi yang dikenakan pada fungsi tunggal, yang menghasilkan fungsi
lain yang disebut deravatif (turunan dari fungsi tersebut). Jika f adalah fungsi yang
berkaitan dengan gerakan benda , yang bergerak dari titik awal pada waktu t, maka
turunan dari fungsi f (ditulis dengan f’) menyatakan kecepatan pada waktu t dengan
menurunkan lagi fungsi f’ maka akan diperoleh fungsi lain f’’ yang menyatakan
percepatan pada waktu t.
Pada saat pertama kali melakukan penurunan suatu fungsi mungkin
melibatkan agak banyak perhitungan aljabar, dan hasil ini menyebabkan kita
menganggap bekerja dengan turunan tidak menyenangkan. Namun tidak sulit untuk
menunjukkan bahwa jika f g, maka (1) (f g)’= f’ g’ (2) (f . g)’= f’g +fg’
(3) (gf)’= g’f.f
Yang pertama menyerupai sifat distributif dari sistem bilangan dan dapat kita katakan
bahwa turunan bersifat distributif terhadap penjumlahan fungsi. Namun dua yang lain
adalah baru.