skkn toan lop10

7/26/2019 SKKN Toan lop10

1/20

www.MATHVN.com Sng kin kinh nghim mn Ton lp 10

Ng Quang Vn- Trng Xun Sn: Trng THPT Qunh Lu 4, Ngh An www.mathvn.com 1

a.

L do chn ti

Mt trong nhng vn cbn ca i mi chng trnh gio dc phthngl i mi phng php dy hc, trong c i mi phng php dy hc Ton.Vic i mi phng php dy hc Ton hin nay l nhm pht huy tnh tch ccca hc sinh qua khai thc vn dng nhng kh nng vn c, v t c, pht huytr lc trong hc sinh. Trong qu trnh ging dy trng PT bn thn chng ticng d rt nhiu tit dy ca ng nghip, trc tip bi dng hc sinh khgii, song chng ti nhn thy rng vic pht huy tr lc cho hc sinh cn rt nhiuhn ch. Nhiu bi ton trong cc k thi nh Hc sinh gii, thi vo cc trng i

hc, c bit cc bi tp trong sch gio khoa khng n ni kh. Thnhng nhiuhc sinh khng lm c mc du hc sinh c lm quen cc dng ton, biging ca thy, qua sch v. ng trc nhng vn nh vy, lm th no png c nhu cu i mi hin nay, lm cho hc sinh c hng th trong hc tp,khng b ng trc cc bi ton kh. Chng ti thy vic pht huy tr lc cho hcsinh, p dng vo cng tc bi ng hc sinh kh gii bc u c mt s kt qunht nh m chng ti mun trao i vi ng nghip. Trong bi vit ny chng tixin cp n vic pht huy tr lc cho hc sinh trong vic khai thc mt s biton bt ng thc n gin trong chng trnh Ton- THPT lp 10 qua khai

thc cc ng dng ca n nh tm gi tr ln nht, gi tr nh nht, bi ton nhndng tam gic, bi ton gii phng trnh, bt phng trnh, ngthc vectnhmpht huy t duy ton hc bi dng nng lc gii ton v lm ton cho hc sinhqua pht huy c tr lc gip hc sinh khai thc c cc yu t cn thit trongton hc nhm bi dng cho cc em t duy sng to,linh hot trong mi vn .

ng trc mvn nhvy, lm sao p ng c nhu cu i mi hinnay, lm cho hc sinh hng th,tch cc chng trong vic tip thu kin thc.Chng ti xin c mt strao i vi cc ng nghipl trnh by minh ho bngmt s bi ton bt ng thc qua khai thc ng dng vn dng gii cc biton c lin quan nhm Pht huy tr lc cho hc sinh kh gii qua khai thcmt s bi ton n gin trong chng trnh ton 10-THPT.Chng ti thnhtht mong c s gp chn thnh ca cc c gi bn thn chng ti ngyc mt hon thin.

B.ni dung

1. T mt bi ton n gin n vic khai thc ng dng n.

Chng minh cc bt ng thc,ng thclun l nhng ti hp dn. Vibi vit ny ti mun gii thiu mt s bt ng thc,ng thc hnh hc c


2/20



khai thc ng dng ca n nh mt bt ng thc n gin trong sch gio khoaTon10 -THPT qua nhm pht huy tr lc cho hc sinh.

Ta bt u i tmt sbi ton cbn trong sch gio khoa.

a/ V d 1: SGK i s 10(chng trnh chun), sau khi hc xong bi bt ngthc c mt bi tp sau(bi 4, tr.79)

Chng minh rng nu 0,0 ba th )(33 baabba ++ .(*)

ng thc xy ra khi no ?

Chng minh.

Cch 1:

2 2

2 2

2

( ) ( ) 0

( )( ) 0

( ) ( ) 0

a a b b a b

a b a b

a b a b

+

(*) 02323 + abbbaa

0)()(

0))((

0)()(

2

22

22

+

baba

baba

babbaa

Bt ng thc cui cng lun ng. ng thc xy ra khi v ch khi a = b.Cch 2:

Ta c: )()2)(())(( 2233 baabababbaabbababa +=+++=+

( v abba 222 + ). Du bng xy ra khi v ch khi a=b.

Nhn xt 1: v a, b l hai s dng nn, t (*) ta c th suy ra mt bt ng thc

mi baab

babaabba +

+++

3333

)(

bi ton ny nhiu gio vin cho l dnn c thkhng cn phi hng dn

hoc hng dn qua loa. Nhvy l vn cbn cha c gii quyt bst

mt trong nhng yu tquan trng trong pht trin tr lc cho hc sinh.Theo chng

ti, cn cho hc sinh suy nghv hng dn khai thc cc bi ton qua vn dng

tbi ton cbn trn hng dn gi cc bi ton c lin quan.


3/20



Bi 1: Cho 0, ba , chng minh rng3 3 3 3 3 3

2( )a b b c c a

a b cab bc ca

+ + ++ + + + (1)

HD: BT (1) gii c nh vic p dng nhn xt 1, ba ln

Bi 2. Cho a, b, c l ba s thc khng m. Chng minh rng

abcacbbcacba222333

++++ .

Chng minh.

p dng bt ng thc (*) ta c a3+ b3ab(a + b)

b3+ c3bc(b + c)

a3+ c3ac(a + c)Cng v vi v cc bt ng thc trn ta c

2(a3+ b3+ c3) a2(b + c) + b2(a + c) + c2(a + b) (1)

Mt khc p dng bt ng thc Csi cho hai s thc khng m ta c

a2(b + c) + b2(a + c) + c2(a + b) abcacbbca222 222 ++ (2)

T (1) v (2) suy ra iu phi chng minh.

ng thc xy ra khi v ch khi a = b = c.

Nhn xt 2: Thc cht y l mt dng khai thc bi ton trn di cch nhn khcm thi. Tuy nhin nu nh hc sinh khng bitvn dng v dtrnth liu biton trn hc sinh gii c khng phi n gin cht no. V bi ton sau y,chng ta c th t thm mt vn nhm khai thc bi ton trn vi vic ab=1.

Ta li c bi ton mi sau.

Bi 3. Cho a > 0, b > 0 v ab = 1. Chng minh rng 111

33

+

++ a

b

b

a.

Chng minh.

Bt ng thc cn chng minh tng ng vi 12

4433

++

+++

ba

baba.

p dng bt ng thc (*) v bt ng thc Csi cho hai s khng m ta c

12

2

2

2)(

2

224433

=++

++=

++

++

++

+++

ba

ba

ba

babaab

ba

baba (pcm).


4/20



ng thc xy ra khi v ch khi a = b = 1.

Bi 4. Chng minh rng

+

+

+

+

+

++++ c

ba

b

ac

a

cb

cbacba 2

3111

)( 333333

Trong a, b, c l ba s thc dng.

Chng minh.


b3+ c3bc(b + c)

a3+ c3ac(a + c)Suy ra 2(a3+ b3+ c3) bc(b + c) + ac(a + c) + ab(a + b) (1)

Mt khc p dng bt ng thc Csi cho ba s dng ta cabccba

3111333

++ (2)

T (1), (2) suy ra iu phi chng minh. ng thc xy ra khi v ch khi a = b = c.

Nhn xt 3: Ta c th chuyn ti bi ton trn v nhng bi ton m, th vic quy lv quen to cho chng ta d dng hn trong vic khai thc cc bi ton tng t

nhm pht huy tr lc cho hc sinh.Bi 5. Cho ba s a, b, c N tho mn iu kin a + b + c = 0. Chng minh rng

27a+ 27b+ 27c3a+ 3b+ 3c.

Chng minh.

p dng bt ng thc (*) ta c 27a+ 1 3a(3a+ 1)

27b+ 1 3b(3b+ 1)

27c+ 1 3c(3c+ 1)

Suy ra 27a+ 27b+ 27c+3 3a+ 3b+ 3c+ (3a)2 + (3b)2+ (3c)2 (1)

Mt khc (3a)2 + (3b)2+ (3c)23 3)333(3 2 =cba (2)

T (1),(2) suy ra iu phi chng minh.

ng thc xy ra khi v ch khi a = b = c = 0.

Bi 6: Cho ba s dng a, b, c. Chng minh rng

cba

aac

ca

ccb

bc

bab

ab++

+

+

+

+

+

2

33

2

33

2

33

3

5

3

5

3

5.


5/20



Chng minh.

p dng bt ng thc (*) ta c

a3+ b3 6b3ab(a + b) 6b3= b(a2+ ab 6b2) = (ab + 3b2)(a 2b)

abbab

ab

abbabab

+

+

23

5

)2)(3(5

2

33

333

Tng t bcccb

bc

+

2

3

52

33

, caaac

ca

+

2

3

52

33

Cng cc bt ng thc trn v vi v ta c iu phi chng minh.


Bi 7. Chng minh rng vi ba s dng a, b, c bt k ta c

322

3

22

3

22

3 cba

aacc

c

cbcb

b

baba

a ++

+++

+++

++

Chng minh.


3

2

))(()(3

3

22

3

22223

333223

3223

ba

baba

a

bababababaaa

baaabbaa

babbaa

++

+++++

+++

+

Tng t3

222

3 cb

cbcb

b

++,

3

222

3 ac

aacc

c

++

Cng v vi v cc bt ng thc trn ta c iu phi chng minh.


Bi 8. Cho x, y, z l ba s thc dng v xyz =1. Chng minh rng

3222

6336

99

6336

99

6336

99

++

++

++

++

++

+

xxzz

xz

zzyy

zy

yyxx

yx


6/20



Chng minh.

p dng bt ng thc (*) ta c (x3)3 + (y3)3 x6y3+ x3y6

3

6336

99

6336399

9633699

2

)(2

2

xyyxx

yx

yyxxxyx

xyxyxyx

++

+

+++

+++

Tng t 36336

992y

zzyy

zy

++

+, 3

6336

992z

xxzz

xz

++

+

Cng v vi v cc bt ng thc trn ta c

333

6336

99

6336

99

6336

99222

zyxxxzz

xz

zzyy

zy

yyxx

yx++

++

++

++

++

++

+ (1)

Mt khc p dng bt ng thc Csi ta c: x3+ y3+ z33xyz = 3. (2)

T (1), (2) suy ra iu phi chng minh. ng thc xy ra khi v ch khi x=y =z =1

Bi 9. Cho a, b, c l ba s thc dng. Chng minh rng

abccabcacabcbbabca

1111323333

++

+++

+++

.

Chng minh.


a3+ b3 + abc ab(a + b + c)

)(

1

33 cbaabc

c

babca ++

++

Tng t)(

133 cbaabc

a

cabcb ++

++,

)(

132 cbaabc

b

cabca ++

++



Nhn xt 4: Nu bi ton trn chng ta cng iu kin na abc=1. ta c bi

ton mi sau y.


7/20



Bi 10. Cho a, b, c l ba s thc dng v abc=1. Chng minh rng

3 3 3 3 3 3

1 1 11

1 1 1a b b c a c+ +

+ + + + + +

.

Nhn xt 5: Nu ta li t a3=x; b3=y; c3=z. Ta li c bi ton mi sau.

Bi 11. Cho x, y, z l ba s thc dng v xyz=1. Chng minh rng

11

1

1

1

1

1

+++

+++

++ xzzyyx.

Nhn xt 6: Ta li b i iu kin xyz=1. Ta li c bi ton mi kh hn

Bi 12.Cho x, y, z l ba s thc dng. Chng minh rng

3333

1111

xyzxyzxzxyzzyxzyyx

+++

+++

++.

Bi 13.Cho a, b, c >0 tho mn3 3 3

2 2 2 2 2 21

a b c

a b ab b c bc a c ca+ + =

+ + + + + +.

Tm gi tr ln nht ca biu thc S = a + b + c

Nhn xt 7: Vic chng minh cc bi 10,11,12,13 khng kh, nu bit s dng linhhot cc bi ton ng t bi 9. Nu HS khng bit vn dng bi 9(tc s vndng v d1). Th e l kh lm i vi cc em HS(k c i tuyn HSG).

Bi 14. Chng minh rnga

c

c

b

b

a

a

c

c

b

b

a++

+

+

333

. Trong a, b, c l

cc s thc dng.

Chng minh.

p dng bt ng thc (*) ta cb

a

b

a

b

a

b

a

b

a+=

++

11

3

Tng tc

b

c

b

c

b++

1

3

,a

c

a

c

a

c++

1

3

.



8/20



a

c

c

b

b

a

a

c

c

b

b

a

a

c

c

b

b

a++++++

+

+

3

333

(1)

Mt khc p dng bt ng thc Csi ta c 3++a

c

c

b

b

a (2)



Nhn xt 8: Nu chng ta li t Z

a

cY

c

bX

b

a=== ;; . Ta li c bi ton

mi sau

Bi 15.Chng minh rng ZYXZYX ++++ 333 . Trong X, Y, Z l cc sthc dng v XYZ=1.

Nhn xt 9: T bi ton va nu, nu chng ta t x=3a; y=3b,z=3c. Th ta c thgii bi ton 5 n gin hn.

Bi 16: Cho ba s a, b, c tho mn iu kin a + b + c = 0. Chng minh rng

27a+ 27b+ 27c3a+ 3b+ 3c.HD: Bi ton ny tr v vic chng minh BT x3+y3+z3 x+y+z. p dng bi ton15, ta c ngay kt qu.

Nhn xt 10: Ta li c bi ton mi tng qut bi ton 15 sau y.

Bi 17: Cho m l mt s khng m; x, y, z l 3 s tho mn: x+y+z=0.

Chng minh rng m3x+m3y+m3zmx+my+mz.

Nhn xt 11: T bi ton tng qut trn,qua qu trnh phn tch, nhn nh pht

huy tduy sng to cho hc sinh taxy dng bi ton tng qut v d1Bi 18 (bi ton tng qut v d1)

Cho a1, a2,..,anl cc s thc khng m, n*N . Chng minh rng

a1n+1+ a2

n+1+ .. + ann+1 a1a2..an(a1+ a2+ .. + an).

Chng minh.

p dng bt ng thc Csi cho n + 1 s thc khng m ta c

a1n+1+ a1

n+1+ a2n+1+ .. + an

n+1 (n + 1)a12a2an


9/20



a1n+1+ a2

n+1+ a2n+1+ . + an

n+1 (n + 1)a1a22a3an

.

a1n+1+ a2

n+1+ . + ann+1 + an

n+1 (n + 1)a1a2.an2


ng thc xy ra khi v ch khi a1 = a2= . = an.

p dng bt ng thc (*) v bt ng thc tng qut vo chng minh ccbt ng thc sau.

Bi 19.Cho a1, a2, .,anl cc s thc dng; n*

N . Chng minh rng

Chng minh.

p dng bt ng thc tng qut ca bt ng thc (*) ta c

Mt khc p dng bt ng Csi cho mu thc ca cc biu thc v tri ta c


ng thc xy ra khi v ch khi 1...21 ==== naaa

Nhn xt 12: T nhng v d minh ho thm chng ta c th khai thc bi ton trn

bng nhiu cch nhiu hng khc nhau.Hng cho hng cho hc sinh hiu rc nhng vn cbn ca n, hc sinh sinh sgii quyt c cc bi tontrn y ddng hn, qua nng cao c hng th tm ti, rn luyn c ctnh nhn ni kin tr pht huy tr lc cho hc sinh.

b/ V d 2. (Sch bi tp i s 10- chong trnh chun)

Chng minh rng nu 0,0 ba th )( 2244 baabba ++ .(**)

ng thc xy ra khi no ?

Chng minh.

)1(1

...11

...

11...

11

2121

11

2

1

1

+++

++

+

+++

nn

n

n

nn

aaaaaaaaa

)2(1

...11

...

1

......

...... 212112

21

12

21

2

2

12

1

1

+++

+++

++

+++

+

+++ +++

nnn

n

nn

nn

n

n

nn

n

n

n

nn

n

aaaaanaaaa

a

aaa

a

aaa

a

++

+

+++

++

+++

+

+++

+++

+++

11

2

1

1

12

21

12

21

2

2

12

1

1 1...

111

......

......

n

n

nn

n

n

nn

nn

n

n

nn

n

n

n

nn

n

aaanaaa

a

aaa

a

aaa

a


10/20



(**) 03344 + abbaba

0)()(

0))()((

0)()(

222

22

33

++

++

bababa

babababa

babbaa

Bt ng thc cui cng lun ng. ng thc xy ra khi v ch khi a = b.

Bi 1(bi ton tng qut).

Cho a1, a2,.,anl cc s thc khng m, n*N . Chng minh rng

a1n+2+ a2

n+2+ . + ann+2 a1a2.an(a1

2+ a22+ . + an

2).

Chng minh.

p dng bt ng thc Csi cho n + 1 s thc khng m ta c

a1n+2+ a1

n+2+ a1n+2+ a2

n+2+ . + ann+2 (n + 2)a1

3a2.an

a1n+2+ a2

n+2+ a2n+2+ a2

n+2+ . + ann+2 (n + 2)a1a2

3a3.an

a1n+2+ a2

n+2+ .+ ann+2 + an

n+2 + ann+2 (n + 2)a1a2.an

3

Cng v vi v cc bt ng thc trn ta c iu phi chng minh.ng thc xy ra khi v ch khi a1 = a2= . = an.

p dng bt ng thc (**) v bt ng thc tng qut vo chng minhcc bt ng thc sau.

Bi 2: Cho hai s dng a, b. Chng minh rng baa

bb

b

aa++ .

Chng minh.

Bt ng thc cn chng minh tng ng vi )(22 bababa ++ . ychnh l bt ng thc (**) cho hai s dng a v b nn ta c iu phi chngminh.

Bi3. Chng minh rng abcacbbcacba333444

++++ .

Trong a, b, c l ba s thc khng m.

Chng minh.

p dng bt ng thc (**) ta c a4+ b4a3b + ab3

b4+ c4b3c + bc3


11/20



a4+ c4a3c + ac3


2(a4+ b4+ c4) a3(b + c) + b3(a + c) + c3(a + b). (1)

Mt khc p dng bt ng thc C si cho hai s khng m ta c

a3(b + c) + b3(a + c) + c3(a + b) abcacbbca 333 222 ++ (2)


Bi 4. Cho ba s dng a, b, c. Chng minh rnga

c

c

b

b

a

a

c

c

b

b

a++

+

+

222

Chng minh.

p dng bt ng thc (**) ta c

++

b

a

b

a

b

a11

4

++

c

b

c

b

c

b11

4

++

ac

ac

ac 11

4


333222

3

+

+

++++

+

+

a

c

c

b

b

a

a

c

c

b

b

a

a

c

c

b

b

a(1)

Mt khc p dng bt ng thc Csi ta c 3++

a

c

c

b

b

a(2)

v p dng kt qu Bi 9.ta ca

c

c

b

b

a

a

c

c

b

b

a++

+

+

333

(3)

T (1), (2), (3) suy ra iu phi chng minh.



12/20



Bi 5. Chng minh rng

444124812

1616

124812

1616

124812

1616222

zyxxxzz

xz

zzyy

zy

yyxx

yx++

++

+

+++

+

+++

+

trong x, y, z l ba s thc dng.

Chng minh.

p dng bt ng thc (**) ta c ( ) ( ) 1244124444

yxyxyx ++

4

124812

1616

12481241616

164124121616

2

)(2

2

xyyxx

yx

yyxxxyx

xxyyxyx

++

+

+++

+++

Tng t4

124812

16162y

zzyy

zy

++

+,

4

124812

16162z

xxzz

xz

++

+.

Cng v vi v cc bt ng thc ta c iu phi chng minh.

ng thc xy ra khi v ch khi x = y = z.

Bi 6. Cho a, b, c l ba s thc dng. Chng minh rng

( ) )(3111 222333

555 cbacba

cba ++

++++

Chng minh.

p dng bt ng thc tng qut ca bt ng thc (**) cho n = 3 ta c

a5+ b5+ c5abc(a2+ b2+ c2) (1).

Mt khc p dng bt ng thc Csi cho ba s dng ta cabccba

3111333

++ (2)


Nhn xt 13: T bi ton 6, chng ta c th khai thc bc 5, i vi 2 s bng mtbt ng thc 2255 )( bababa ++ (***) r rng vic chng minh bt ng thcny qu tht khng kh. Tuy nhin, nu ngi thy bithg dn nhn nhnkhaithc bi ton c bn trn th vic nhn ra v chng minh bi ton ny l mt viclm n gin qua ta lic mt bi ton mi.


13/20



Bi 7: Cc s dng x, y, z c tch bng 1. Chng minh rng:

1555555 ++++++++ xzxz

zx

zyzy

yz

yxyx

xy

.

Chng minh:

p dng (***), ta c: xyyxyxxyyx ++++2255 )(

5 5 2 2

1

( ) 1 ( )

xy xy z

x xy y xy x y x y x y xy x y z = =

+ + + + + + + +

Tng tzyx

y

xzxz

zx

zyx

x

zyzy

yz

++

++++

++

5555;

Cng v theo v cc BT trn ta c iu cn chng minh

Cc bi tp tng t

p dng cc bt ng thc (*),(**) v cc bt ng thc tng qut ca chng giicc bi tp sau

Bi 8. Cho ba s dng a, b, c. Chng minh rng

)(222 cbaabccba ++++ .

Bi 9. Cho a, b, c l ba s dng v a2+ b2+ c2= 3. Chng minh rng

a3+ b3+ c3a + b + c.

Bi 10. Cho a, b, c, d l nhng s thc dng. Chng minh rng

a

d

d

c

c

b

b

a

a

d

d

c

c

b

b

a++++++

2

2

2

2

2

2

2

2

Bi 11. Cho a1, a2,,anl cc s thc dng (n 3, n N). Chng minh rng

( )

+++++

++++

++

++++++

n

nnn

n

n

nn

n

n

nn

a

aaa

a

aaa

a

aa

n

n

aaaaaa 121

2

31

1

2

21

21

......

......

1

1...

11...

Bi 12. Gii h phng trnh sau

=

=

2442

88

2)4(

2)3(

xxyy

xy


14/20



c/ V d 3:G l trng tm tam gic ABC khi v ch khi GA GB GC 0+ + =

Chng minh:

Gi M l trung im BC

Ta c: GA GB GC 0+ + =

( )GA GB GC = +

GA 2GM GA 2GM 0 = + =

G l trng tm tam gic ABC

Nhn xt 14:Nh vy v d trn ta biu th GA

qua 2 vect GB,GC.

Do Gthuc min trong tam gic ABC, cho nn G chia din tch tam gic ABC thnh 3

phn bng nhau c din tch l S1, S2, S3ln lt l din tch tam gic GBC, GCA,

GAB v bng ABC1

S3

v th (I) 1 2 3S GA S GB S GC 0+ + =

. iu ny cho ta lin

tng G l im bt k thuc min trong tam gic ABC. Khi ta c th vn dng

phng php chng minh nh l trn chng minh cho bi ton sau, qua vic

biu th mt vect qua hai vect khc.

Bi 1: ( thi ngh Olimpic 30/4 ln 8) Cho ABC, M thuc min trong tam gic.Gi S1, S2, S3ln lt l din tch tam gic MBC, MAC, MAB.

Chng minh rng: 1 2 3S MA S MB S MC 0 (1)+ + =

Gii:Nh vy chng minh bi ton 1, ta vn dng phng php biu th mtvect qua hai vect cn li

Ta c (1) 1 23 3

S SMC MA MBS S=

Ko di AM, MB ct BC, AC ln lt ti A1, B1. Dng hnh bnh hnh MB'CA'

MC MA' MB'= +

Gi H, K ln lt l hnh chiu A, C ln BM

1

1

B CB'C KC B'C KC MA' KC

AM B A AH AM AH AM AH= = = = (v B'C = MA')

A

BCM

G


15/20



1

2

1MB.KCS KC MA'2

1S AH MAMB.AH2

= = =

1

3

SMA' MA

S=

(*)

Tng t 2

3

SMB' MB

S=

(**)

T (*) v (**) ta suy ra 1 23 3

S SMC MA MBS S=

1 2 3S MA S MB S MC 0 + + =

Nht xt 15: bi ton 1 kt qu khng ph thuc vo im M, nu ta thay M bi Il tm ng trn ni tip tam gic ABC v r l bn knh ng trn th hc sinhc th s dng bi ton 1 gii bi ton sau.

Bi 2: (Tuyn tp 200 bi thi v ch Ton) Cho ABC, gi I l tm ng trn nitip ABC.t BC = c, BC = a, CA = b. Chng minh rng aIA bIB cIC 0+ + =

(2)

Gii vn tt:p dng bi ton 1, ta c:

1 2 3S IA S IB S IC+ +

1 1 1raIA rbIB rcIC 0

2 2 2 + + =

aIA bIB cIC 0 + + =

Bi 3: Cho ABC, gi I l tm ng trn ni tip ABC.

t AB = c, BC = a, CA = b.

Chng minh rng: IAsin A IBsin B ICsinC 0+ + =

Nhn xt 16:Ta thy v tr M thuc min trong tam gic, vy ABC nhn th tm Ong trn ngoi tip ABC thuc min trong. Do , ta c bi ton mi.

Bi 4: Cho ABC nhn, BC = a, CA = b, AB = c. Gi O l tm ng trn ngoitip ABC.

Chng minh rng:OAsin2A OBsin2B OCsin2C 0+ + =

(4)

A'

A

B CA1

B1 KB'

MH

A

BCa

I

r S1


16/20



Nhn xt 17:T kt qu bi to n 2, nu ta bnh phng v hng (2) khi xut hinIA.IB,IB.IC,IC.IA

. V s dng cng thc 2 2 21

AB.AC (AB AC BC )2

= +

.

(Tht vy 2 2CB (AB AC) CB (AB AC)= =

).

Ta li c bi ton mi sau.

Bi 5: ( thi ngh Olimpic 30/4 ln 8,9)Cho ABC nhn, BC = a, CA = b, AB= c. Gi I l tm ng trn ni tip ABC.

Chng minh rng:2 2 2IA IB IC

1bc ca ab

+ + = (5)

Gii vn tt:(2) 2(aIA bIB cIC) 0+ + =

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

a IA b IB c IC 2cbIA.IB 2caIC.IA 2abIA.IB 0

1a IA b IB c IC 2ab (IA IB a )

21 1

2ca (IC IA b ) 2ab (IA IB c ) 02 2

+ + + + + =

+ + + + +

+ + + =

(a2+ ab + ac) IA2+ (b2+ ba + bc) IB2+ (c2+ ca + cb) IC2- abc(a + b + c) = 0.

a(a + b + c) IA2

+ b(a + b + c) IB2

+ c(a + b + c) IC2

= abc (a + b + c)aIA2+ bIB2+ cIC2= abc.

2 2 2IA IB IC

1bc ca ab

+ + = .

Nhn xt 18: T cng thc (2) nu ta thay I bi M bt th ta lun c2(aMA bMB cMC)+ +

0 v bin i hon ton tng t nh bi ton 5,tasuy ra aMA2+ bMB2+ cMC2abc (***)

D thy du "=" xy ra M I. T ta c th vn dng gii bi ton sau:

Bi 6: Cho ABC nhn, BC = a, CA = b, AB = c. Chng minh rng tn ti duy nhtim M sao cho aMA2+ bMB2+ cMC2abc (6)

Hng dn:T (***) v (6) aMA2+ bMB2+ cMC2= abc M I, vi I l tmng trn ni tip ABC. Vy M duy nht.

Nhn xt 19:Cng bi ton 6, ta c th pht biu di dng khc. Nhm rn luynt duy sng to trong ton hc cho hc sinh t quy l v quen.


17/20



Bi 7: (Tuyn tp 200 bi thi v ch Ton) Cho ABC nhn, BC = a, CA = b, AB =c. Tm v tr M sao cho P = aMA2+ bMB2+ cMC2t gi tr nh nht.

Nhn xt 20:Qua dng bi ton trn, nu bit vn dng linh hot kt hp cc biton li, th ta c th vn dng gii cc bi ton tng t sau, nhng mc caohn.

Bi 8: ( thi ngh Olimpic 30/4 nm 1999) Cho ABC nhn, BC = a, CA = b,AB = c, ni tip ng trn (O; 1). Chng minh rng vi mi M ta lun c

a2(b2+ c2- a2) MA + b2(c2+ a2- b2) MB + c2(a2+ b2- c2) MC a2b2c2.

Gii vn tt:Theo bi ton 4, ta c OAsin2A OBsin2B OCsin2C 0+ + =

V OA = OB = OC = 1, a = 2RsinA = 2sinA, b = 2sinB, c = 2sinC.MA = OA. MA = OA . MA OA.MA OA(OA OM) (1 OA.OM) = =

(****)

Du bng xy ra ca (****) khi v ch khi OA,MA

cng hng.

Ta c: a2 (b2+ c2- a2) MA = 2abc sin2A. MA 2abcsin2A(1 - OA.MA

), tng tcho 2 trng hp cn li.

Ta suy ra

VT 2abc (sin2A + sin2B + sin2C) - 2abc. OM(OAsin2A OBsin2B OCsin2C)+ +

= 2abc. 4sinA. sinB. sinC = a2

b2

c2

C i mu cht ca bi ton ny, l xut hin a2(b2+ c2- a2) = 2abc cosA.sinA, O l tm

ng trn ngoi tip ABC nhn. Do , ta lin tng v vn dng bi ton 4.

Nhn xt 21:T bi ton trn c s xut hin a2(b2+ c2- a2) khi ta ngh ngayn cosA Do vy, nu bit kt hp vi cch gii bi ton 1, ta c th vn dnggii bi ton sau.

Bi 9:Cho ABC nhn, BC = a, CA = b, AB = c. Gi H l trc tm ABC.

Chng minh rng 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1

HA HB HC Ob c a c a b a b c+ + =+ + +

.

Gii s lc:Tng t bi ton 1.

Ko di AH, BH ct BC, AC ln lt ti A1, B1.

Dng hnh bnh hnh HB' CA'

HC HA' HB'= +

Ta c: 1

1

B CCB' a cosC

AH AB ccosA

= =


18/20



acosCHA' CB' HA

ccosA = =

(9')

tng tbcosC

HB' CA' HBccosB

= =

(9'')

T (9') v (9'') ta suy raa cosC b cosC

HC HA HBccosA ccosB

=

2 2 2 2 2 2 2 2 2

a b cHA HB HC 0

cosA cosB cosC

1 1 1HA HB HC 0b c a c a b a b c

+ + =

+ + =+ + +

2. Mt s kinh nghim c kt qua vic ging dy hc sinh pht huy tr lc

Theo chng ti, vic pht huy tr lc cho hc sinh l mt vic lm rt quantrng ca ngi Thy gio. N i hi ngi thy gio cn phi bit nhn nhn nh hng cc em hc sinh bit cch khai thc, vn dng linh hot cch gii, ccphng php chng minh, nhn nh bi ton trn nhiu phng din . Bn thnchng ti trong qu trnh dy hc thng xuyn p dng v thy rng tng i

c hiu qu. t c nhng hiu qu , chng ti thc hin mt s binphp sau

2.1. Lun tng cng tham kho ti liu, c bit l nghin cu k SGK(y lmt ti liu quan trng hn bao gi ht), qua c gng ghi li nhng biton c th khai thc cc ng dng ca n, gii bi ton c trong nhiucchnhm pht huy tr lc cho hc sinh.

2.2. Trong qua trnh ging dy ngi gio vin cn phi bit cch hng dnnhm cung cp cho cc em hc sinh cc phng php tip cn loi bi

ton v thng xuyn t cu hi bi ton ny c th khai thc tbi ton no? ng dng ca n ra sao?

2.3. Gio vin cn phi chun b cc kin thc hng dn Hc sinh tkhm ph, t t bi ton tng qut v c lp gii quyt n.

2.4. ng trc mt bi ton Gio vin cn hng dn v phn tch cho ccem Hc sinh phi xem xt n cch nhn nhn vn khc nhau, qua tm ra c cc nh hng c cch gii bi ton cho Hc sinh v cchkhai thc ng dng ca n.

A

A

B CA1

B1

B'


19/20



2.5. T vic khai thc cc ng dng ca n Gio vin c th hng cc emHc sinh bit lt ngc c vn , hng dn chuyn i cc dng bi

ton v cc bi ton mi hay hn v hiu qu hn.C kt lun.

Khai thc tim nng sch gio khoa, ng dng cc bi ton n gin sch giokhoa vo gii cc bi ton khc nhm pht trin tr lccho hc sinh l vic lm cnthit i vi mi gio vin, qua pht trin cho hc sinh t duy ton hc, c khnng vn dng v s linh hot trong gii quyt vn . i t nhng vn n gingii quyt cc vn phc tp ph hp vi qu trnh nhn thc ca hc sinh, t lm cho hc sinh yu thch v hng say hc tp mn ton hn.

Bng cch ny trong thi gian qua c nh trng phn cng ging dy v bidng hc sinh gii khi 10, 11, 12 bc u thu c kt qu ng khch l.

Qu trnh vn dng chuyn trn vo ging dy c khong 80%hc sinh giiquyt c 85%cc bi tp trong sch gio khoa, 19%hc sinh gii quyt trn vncc bi tp sch gio khoa. Chnh v th trong qu trnh bi dng hc sinh gii t13/14 em trong c 2 gii nh v 5 gii ba; trong cc k thi i hc 4 nm tr liy nm no cng c Hc sinh u i hc c im cao nht huyn.

Trn y l mt s kinh nghim ca bn thn chng ti c rt ra trong qu

trnh ging dy v bi dng hc sinh gii. Bn thn chng ti thy rt quan trngv rt thit thc trong cng vic dy hc c bit l cng tc bi dng hc sinhgii nh hin nay, nn mnh dn a ra. Rt mong cc cp chuyn mn ng gp kin, b sung bn thn ngy cng hon thin hn v c nhiu kt qu tt hn.Xin chn thnh cm n !

ng tc gi

Ng Quang Vn-Trng Xun Sn


20/20



S gio dc v o to ngh an

Trng thpt qunh lu 4

Sng kin kinh nghim khai thc ng dng mt s bt ng thc n

gin nhm rn luyn t duy lgic cho hc sinh

ng tc gi

Ng Quang Vn-Trng Xun Sn

skkn toan lop10

Documents