składanie funkcji i funkcja odwrotna
DESCRIPTION
Dane do maturyTRANSCRIPT
-
www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIR ZADAN Z MATEMATYKI
SKADNIE FUNKCJI I FUNKCJA ODWROTNAPoradnik stanowi kontynuacje poradnika o funkcjach - radzimy tam zajrzec w celu przypo-mnienia najwazniejszych pojec dotyczacych funkcji.
Skadanie funkcjiBardzo wazna cecha funkcji jest to, ze (czasami) mozna funkcje wykonywac jedna po dru-giej.
Niech f : X Y oraz g : Y Z. Funkcje h : X Z dana wzoremh(x) = g( f (x))
nazywamy zozeniem (superpozycja) funkcji f i g oraz oznaczamy h = g f .W pierwszej chwili mozna sie zagubic w rznych literkach wystepujacych w powyzszejdefinicji, dlatego warto zapamietac ponizszy diagram:
Xf//
g f
;;Yg// Z
Jezeli f (x) = 2x i g(x) = x2 to
g f (x) = g( f (x)) = g(2x) = (2x)2 = 4x2f g(x) = f (g(x)) = f (x2) = 2x2.
Jezeli f (x) = log x i g(x) = x2 to
g f (x) = g( f (x)) = g(log x) = log2 x.Zozenie f g natomiast nie ma sensu, bo logarytmowac mozemy tylko liczby do-datnie.
Funkcja odwrotnaJezeli myslimy o funkcji f : X Y jak o zbiorze strzaek, ktre przyporzadkowuja ele-mentom zbioru X (dziedziny) elementy zbioru Y (przeciwdziedziny), to funkcja odwrotnaf1 : Y X ma byc przyporzadkowaniem dziaajacym dokadnie na odwrt, tzn. ma przy-porzadkowywac elementom zbioru Y elementy zbioru X na odwrt niz robi to funkcja f .
X Y X Yf f-1
Materia pobrany z serwisu www.zadania.info1
-
www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIR ZADAN Z MATEMATYKI
W jezyku powyzszego obrazka, zamiana funkcji na funkcje odwrotna polega na zmianiezwrotw wszystkich strzaek.
Bardziej precyzyjna definicja funkcji odwrotnej f1 jest warunek:
f1(y) = x f (x) = y.
Nie kazda funkcja f : X Y posiada funkcje odwrotna.Funkcja f na lewym diagramie nie posiada funkcji odwrotnej, bo sa rzne strzakiprowadzace do tego samego elementu zbioru Y (funkcja f nie jest rznowartoscio-wa). W przypadku funkcji g na prawym diagramie problemem jest to, ze nie kazdyelement zbioru Y jest koncem pewnej strzaki (funkcja g nie jest na zbir Y).X Y X Yf g
W obu przypadkach zmiana zwrotw strzaek prowadzi do przyporzadkowania,ktre nie jest funkcja.
Podsumowujac,
funkcja f : X Y posiada funkcje odwrotna wtedy i tylko wtedy, gdy f jestwzajemnie jednoznaczna, tzn. gdy jest rznowartosciowa i na.
Wyznaczmy funkcje odwrotna do funkcji f (x) = 2x.Funkcja f wysya liczbe x na liczbe y = 2x. Funkcja odwrotna wysya w takim razieliczbe y na liczbe x = y2 . Jest to wiec funkcja: f
1(y) = y2 .
x=y/2 x
y
y=2x
y=2x
y=1/2x
x
y=1/2x
Na og jednak argument funkcji oznaczamy literka x (mwiac inaczej: rysujac wy-kres argumenty zaznaczamy na osi Ox, a nie Oy), wiec ostatni wzr zapisujemy wpostaci f1(x) = x2 .Jezeli chwile sie zastanowimy, to powyzszy rachunek ma sens: funkcja f zmienialiczby mnozac je przez 2, aby odwrcic skutki tej operacji musimy liczby dzielicprzez 2.
Materia pobrany z serwisu www.zadania.info2
-
www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIR ZADAN Z MATEMATYKI
Funkcja f : R R dana wzorem f (x) = x2 nie posiada funkcji odwrotnej, bo niejest ani rznowartosciowa, ani na. Sprbujmy poprawic funkcje f tak, aby byawzajemnie jednoznaczna. Zmieniajac przeciwdziedzine na przedzia 0,+) spra-wiamy, ze funkcja jest na. Aby rozwiazac problem rznowartosciowosci zmienia-my dziedzine na przedzia 0,+).
+1 +4 x-0.5
+1
+4
y
y=x2
x= y x
xy= x
y=x2
Tak poprawiona funkcja f : 0,+) 0,+) posiada funkcje odwrotna i jest niafunkcja: f1(x) =
x.
Funkcja logarytmiczna y = loga x, gdzie a > 0, a 6= 1 jest zdefiniowana jako funkcjaodwrotna do funkcji wykadniczej y = ax.
Przygladajac sie definicji funkcji odwrotnej nie jest trudno zauwazyc, ze wykresyfunkcji y = f (x) i y = f1(x) sa symetryczne wzgledem prostej y = x. Symetria tapozwala atwo naszkicowac np. wykres funkcji y =
x jako odbicie prawej gaezi
paraboli y = x2. Symetrie te dobrze tez widac na przykadzie funkcji f (x) = ax if1(x) = loga x.
x
y
x
y
y=log xa
y=log xa
y=axy=ax
a>1 a
-
www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIR ZADAN Z MATEMATYKI
Zadania.info Podoba Ci si ten poradnik?Poka go koleankom i kolegom ze szkoy!Jezeli myslimy o funkcji jak o maszynce, do ktrej wkadamy liczbe i w zamian otrzymujemyinna liczbe, to skadanie funkcji odpowiada przepuszczeniu liczby przez kilka kolejnychmaszynek.
Zozenie fn f2 f1 wyobrazamy sobie jako ciag maszynek:f1 f2 f3 fnx
2
Przypomnijmy, ze obliczajac g f (x) najpierw obliczamy wartosc funkcji f , a dopiero potemwartosc funkcji g. Z tego powodu przyjeo sie zapis g f czytac: zozenie f z g, czyli od prawejdo lewej.
3Czestym bedem przy pierwszym spotkaniu ze skadaniem jest mylenie zozenia z iloczy-nem funkcji.
Jezeli f (x) = 2x i g(x) = sin x to
(g f )(x) = ( f g)(x) = f (x) g(x) = 2x sin x(g f )(x) = g( f (x)) = sin 2x( f g)(x) = f (g(x)) = 2sin x.
4
Piszac skomplikowane wzory czesto (nieswiadomie) skadamy funkcje.
Funkcja f (x) = sin 2x+1
52x jest zozeniem funkcji f = f3 f2 f1, gdzie
f1(x) = 2x
f2(x) =x + 15 x
f3(x) = sin x.
Materia pobrany z serwisu www.zadania.info4
-
www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIR ZADAN Z MATEMATYKI
Jezeli f (x) = x3 i g(x) = ln x to zozenie g f nie ma sensu, bo zbiorem wartoscifunkcji f jestR, a dziedzina funkcji g jest mniejsza. Jezeli jednak myslimy w jezykuwzorw, to nie ma problemu z tym zozeniem:
g f (x) = ln x3.Tak jest, bo skadajac wzory automatycznie obcielismy dziedzine funkcji f do prze-dziau (0,+) tak, zeby otrzymany wzr mia sens.
5O skadaniu funkcji mozemy myslec jak o dziaaniu (mnozeniu) na funkcjach: z dwch funk-cji f i g tworzymy trzecia funkcje g f . Ciekawa wasnoscia tego dziaania jest to, ze nie jestono przemienne jak juz widzielismy w przykadach na og g f 6= f g.
6Skoro juz wspomnielismy, ze o skadaniu mozna myslec jak o mnozeniu, to dodajmy, zemnozenie to ma element neutralny (jedynke).
Dla dowolnego zbioru X oznaczamy przez idX : X X identycznosc na X, czylifunkcje dana wzorem:
idX(x) = x dla dowolnego x X.
Czesto, gdy jest jasne z kontekstu jaki zbir X mamy na mysli piszemy krtko id zamiastidX.
Jezeli f : X Y tof idX = idY f = f .
Z tego powodu identycznosc czasem oznacza sie symbolem: 1X = idX.
7Jedna z najwazniejszych wasnosci skadania funkcji jest acznosc: jezeli mamy trzy funkcje
Xf Y g Z hW.
to
h (g f ) = (h g) f .
Aby uzasadnic te rwnosc wystarczy obliczyc wartosc kazdej stron na argumencie x, w obuprzypadkach wyjdzie: h(g( f (x))).
Wasnosc acznosci oznacza, ze kolejnosc w jakiej wykonujemy kolejne zozenia (skada-jac ze soba kilka funkcji) nie ma znaczenia. Innymi sowy, w wyrazeniach, w ktrych skada-my kilka funkcji nie ma potrzeby pisania nawiasw. Podobnie jest oczywiscie ze zwykymdodawaniem i mnozeniem, wasnie dlatego wyrazenie 2+ 5+ 4+ 6 mozemy pisac bez na-wiasw (wynik nie zalezy od kolejnosci dodawan).
Materia pobrany z serwisu www.zadania.info5
-
www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIR ZADAN Z MATEMATYKI
8Inny sposb myslenia o skadaniu funkcji to podstawianie.
Jezeli g : R R jest funkcja kwadratowag(t) = t2 + bt + c
oraz f : R R dane wzorem f (x) = x2 to zozenieg f : R R
jest funkcja dwukwadratowa
g( f (x)) = g(x2) = x4 + bx2 + c.
Patrzac na te sytuacje od drugiej strony, podstawienie w powyzszym wzorze x = t2
pozwala rozozyc pozornie skomplikowana funkcje g f (wielomian stopnia 4) jakozozenie dwch prostszych funkcji f i g. Dzieki temu, ze bardzo dobrze rozumiemywasnosci funkcji f i g, sporo mozemy powiedziec o wasnosciach funkcji dwukwa-dratowej g f .
Wyznaczmy zbir wartosci funkcji h(x) = sin(cos x).Dana funkcja to zozenie h = g f funkcji t = f (x) = cos x i y = g(t) = sin t.Zbiorem wartosci funkcji f jest przedzia 1, 1, a funkcja g(t) = sin t na tymprzedziale jest rosnaca, wiec zbiorem wartosci funkcji h = g f jest przedziasin(1), sin 1 0, 84; 0, 84.
9
Umiejetnosc przedstawiania funkcji jako zozenia prostszych funkcji jest niezbedna przyliczeniu pochodnych. Powodem tego jest wzr na pochodna zozenia
[g( f (x))] = g( f (x)) f (x).
Niech f (x) = sin x i g(x) = x2. Korzystajac ze wzorw f (x) = cos x i g(x) = 2xobliczamy pochodna funkcji sin2 x = g f (x).
(sin2 x) = [g( f (x))] = g( f (x)) f (x) = 2 sin x cos x = sin 2x.
10
Jezeli ktos nie zauwazy: przejscie od funkcji do funkcji odwrotnej zamienia dziedzine i prze-ciwdziedzine miejscami, tzn. jezeli f : X Y to f1 : Y X.
Materia pobrany z serwisu www.zadania.info6
-
www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIR ZADAN Z MATEMATYKI
Niech a 6= 0 i f (x) = ax. Poniewaz f : R (0,+), dziedzina funkcji odwrotnejf1(x) = loga x jest przedzia (0,+). Wiemy tez, ze zbiorem wartosci funkcji f
1jest R.
x
y
x
y
y=log xa
y=log xa
y=axy=ax
a>1 a
-
www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIR ZADAN Z MATEMATYKI
Wyznaczmy funkcje odwrotna do funkcji f (x) = 4 log5(3 2x) + 1.
y = 4 log5(3 2x) + 1y 1
4= log5(3 2x) /5( )
5y1
4 = 5log5(32x) = 3 2x
x =3 5 y14
2.
Zatem f1(x) = 35x1
42 .
13
Wiemy juz, ze funkcja odwrotna do funkcji f istnieje tylko wtedy, gdy funkcja ta jest rz-nowartosciowa, ale jest tez odwrotnie: jezeli istnieje funkcja odwrotna f1 do f , to f jestfunkcja rznowartosciowa. Ponadto zbir wartosci funkcji f jest rwny dziedzinie funkcjif1.
W jednym z poprzednich przykadw sprawdzilismy, ze funkcja f (x) = 432x3 po-
siada funkcje odwrotna dana wzorem f1(x) = 3
32 2x . To oznacza, ze funkcja f
jest rznowartosciowa. Ponadto, ze wzoru na f1 widac, ze jej dziedzina jest zbirR \ 0. Taki sam jest wiec zbir wartosci funkcji f .
Oglniej: jezeli wzr funkcji y = f (x) ma te wasnosc, ze mozna z niego wyliczyc xw zaleznosci od y to funkcja jest rznowartosciowa.
Materia pobrany z serwisu www.zadania.info8
-
www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIR ZADAN Z MATEMATYKI
14
Czesto wyznaczenie wzoru funkcji odwrotnej jest niemozliwe i musimy zadowolic sie fak-tem, ze funkcja ta istnieje.
Mozna uzasadnic, ze funkcja f (x) = x5 + x jest wzajemnie jednoznaczna, wiec mafunkcje odwrotna. Nie umiemy jednak wyznaczyc jej wzoru.
Pomimo opisanego problemu zdarza sie, ze funkcja odwrotna jest nam potrzebna. W takiejsytuacji wprowadzamy nowe symbole na oznaczenie funkcji odwrotnej, dokadnie w tensposb pojawiaja symbole: n
, loga, arcsin, arccos, arctg, arcctg.15
Uzywajac zozenia funkcji mozna bardzo elegancko zdefiniowac funkcje odwrotna.
Funkcja g : Y X jest funkcja odwrotna do funkcji f : X Y wtedy i tylkowtedy, gdy
g f = idXf g = idY.
Znane ze szkoy wzory: aloga x = x oraz loga ax = x sa szczeglnym przypadkiem
powyzszych rwnosci.
Podkreslmy, ze w powyzszym warunku potrzebne sa oba zozenia jezeli zachodzi tylkojedna z rwnosci, funkcja g nie musi byc funkcja odwrotna do f .
Jezeli f : R R dana wzorem: f (x) = 2x oraz g : R R dana wzorem
g(x) =
{log2 x dla x > 00 dla x 6 0
to g f = idR. Jednak nie sa to funkcje odwrotne.
16
Zauwazmy, ze jezeli f1 i g1 sa funkcjami odwrotnymi do f i g to korzystajac z acznoscimamy
( f g) (g1 f1) = f (g g1) f1 = f id f1 = f f1 = id(g1 f1) ( f g) = g1 ( f1 f ) g = g1 id g = g1 g = id.
Wykazalismy zatem wzorek
( f g)1 = g1 f1.
Materia pobrany z serwisu www.zadania.info9
-
www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIR ZADAN Z MATEMATYKI
17Funkcje trygonometryczne nie sa odwracalne, ale mozemy rozwiazac ten problem odpo-wiednio ograniczajac ich dziedziny. Takie ograniczenia sa dosc naturalne:
sin :pi
2,pi
2
1, 1
cos : 0,pi 1, 1tg :
(pi
2,pi
2
) R
ctg : (0,pi) R.Odwracajac te funkcje otrzymujemy kolejno.
arcsin : 1, 1 pi
2,pi
2
arccos : 1, 1 0,piarctg : R
(pi
2,pi
2
)arcctg : R (0,pi).
Sa to tzw. funkcje cyklometryczne (albo koowe).
-1 +1 x
-1
+1
y
x
y
22
2
-
2-
y=sin x
y=arcsin x
+1
+1
-1
-1 2
2
y=cos x
y=arccos x
x
y
2
2
2-2-
y=tg x
y=arctg x
x
y
2
2
y=ctg x
y=arcctg x
Materia pobrany z serwisu www.zadania.info10
-
www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIR ZADAN Z MATEMATYKI
Jednym z rozwiazan rwnania sin x = 13 jest liczba x = arcsin13 . Zatem wszystkie
rozwiazania tego rwnania dane sa wzorem:
x = arcsin13+ 2kpi x = pi arcsin 1
3+ 2kpi, k C.
Z definicji funkcji y = arcsin x jest jasne, ze zawsze
sin(arcsin x) = x.
Poniewaz jednak odwracajac sinusa obcielismy jego dziedzine, odwrotne zozeniejest identycznoscia tylko na przedziale
pi2 , pi2 . Np.arcsin(sin 3pi) = arcsin 0 = 0.
18
Poniewaz zmieniajac przeciwdziedzine Y funkcji f : X Y na zbir wartosci f (X) sprawia-my, ze funkcja jest na, problem istnienia funkcji odwrotnej to przede wszystkim problemrznowartosciowosci. Jak widzielismy, czasem mozna atwo ograniczyc dziedzine tak, abyotrzymac funkcje rznowartosciowa (np. w przypadku y = x2, albo w przypadku funkcjitrygonometrycznych). Czasami jednak nie da sie tego zrobic.
Na wykresie ponizej przedstawiony jest fragment wykresu funkcji f (x) = sin 1x .
+0.125 x
-1.25
-0.25
+0.25
+1.25
y
Wykres ten jest daleki od doskonaosci, bo wykres funkcji f zblizajac sie do osi Oyjest coraz mocniej zageszczajaca sie sinusoida. W szczeglnosci, w okolicy x = 0,nie da sie obciac funkcji f do przedziau, na ktrym funkcja byaby rznowarto-sciowa. Powinno byc teraz jasne, ze nie ma prostego sposobu na odwrcenie tejfunkcji.
Materia pobrany z serwisu www.zadania.info11
-
www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIR ZADAN Z MATEMATYKI
19
Nawet jezeli da sie obciac funkcje tak, aby otrzymac funkcje rznowartosciowa, to na ogmozemy to zrobic na wiele rznych sposobw i jest kwestia konwencji, ktry z tych sposo-bw wybierzemy.
Zwyczajowo funkcje y = tg x odwraca sie na przedziale(pi2 , pi2 ), ale rwnie dobrze
mgby to byc zbir0, pi2
) (pi2 ,pi) lub (pi2 , 3pi2 ).Funkcje y = x2 mozemy odwrcic na przedziale 0,+), ale mozemy tez naprzedziale (, 0. W pierwszym przypadku jako funkcje odwrotna otrzymuje-my funkcje y =
x, a w drugim funkcje y = x.
-5 -1 +5 x
-5
-1
+1
+5
y
-5 -1 +5 x
-5
-1
+1
+5
yy=x2 y=x2
y= x
y=- x
20
Niech X bedzie zbiorem skonczonym, np. X = {1, 2, . . . , n} oraz S(X) niech oznacza zbirwszystkich wzajemnie jednoznacznych przeksztacen zbioru X (tzn. funkcji f : X X, ktresa wzajemnie jednoznaczne). Elementy zbioru S(X) to permutacje zbioru X. Jest to troszkeinny sposb patrzenia na permutacje od tego, z jakim spotykacie sie w szkole, wiec sprbu-jemy to troche wyjasnic. Funkcja f S(x) wysya 1 na element f (1), 2 na f (2) itd., mozemywiec myslec, ze f przestawia elementy zbioru X tak, ze 1 bedzie na miejscu f (1), 2 na f (2)itd. Dzieki temu, ze f jest wzajemnie jednoznaczna, zadne dwa elementy nie laduja na tymsamym miejscu, wiec mamy do czynienia z prawdziwa permutacja.
Elementy zbioru S(X) czesto zapisujemy uzywajac tabelki (tzw. postac tabelarycz-na permutacji). Np.
f =(
1 2 3 4 5 64 3 2 5 6 1
)oznacza permutacje zbioru 6-cio elementowego, ktra wysya 1 na 4, 2 na 3, 3 na 2itd.
Zaleta funkcyjnego patrzenia na permutacje jest to, ze dzieki temu widac, ze permutacjemozemy ze soba skadac (wykonywac jedna po drugiej).
Materia pobrany z serwisu www.zadania.info12
-
www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIR ZADAN Z MATEMATYKI
Jezeli f =(
1 2 3 42 3 1 4
)i g =
(1 2 3 44 2 1 3
)to f g wysya 1 na f (g(1)) = f (4) =
4, 2 wysya na f (g(2)) = f (2) = 3, 3 na f (g(3)) = f (1) = 2 i wreszcie 4 naf (g(4)) = f (3) = 1. Zatem(
1 2 3 42 3 1 4
)(
1 2 3 44 2 1 3
)=
(1 2 3 44 3 2 1
)
Zbir S(X) z dziaaniem ma nastepujace wasnosci(1) idX f = f idX dla f S(X) (istnienie elementu neutralnego);(2) dla dowolnego f S(X) istnieje f1 S(X) taka, ze
f f1 = f1 f = idX (istnienie elementu odwrotnego);
(3) dla dowolnych f1, f2, f3 S(X) mamyf1( f2 f3) = ( f1 f2) f3 (acznosc).
Dowolny zbir z dziaaniem speniajacym powyzsze trzy wasnosci nazywamy grupa. ZbirS(X) jest wiec (bardzo waznym) przykadem grupy.
Materia pobrany z serwisu www.zadania.info13