skoŘepiny - cvut.czmech.fd.cvut.cz/members/malinovsky/teorie-konstrukci/5... · rovnice pro...
TRANSCRIPT
SKOŘEPINY
Skořepiny jsou plošné konstrukce“
jejich tloušťka je mnohonásobně menší než zbývající dva rozměry
jejich střednicová plocha je zakřivená
Používají se jako
nosné části konstrukcí ohraničující nějaký objem (báně, střechy, kapotáž)
jako samostatné konstrukce s objemem (nádrže, potrubí, tlakové nádoby).
Při daném zatížení vznikají po
tloušťce skořepiny napětí, jejichž
charakter a průběh je obdobný jako
u stěn a desek.
Integrací napětí po tloušťce skořepiny
lze vyjádřit vnitřní síly vztažené ke
střednicové ploše – normálové síly,
posouvající síly a ohybové momenty.
x
y
z
0
xN
xN
yN
yN xyN
xyN
yxN
yxN
yQ
yQ
xQ
xQ
xyM
xyM
yxM
yxM
xM
xM
yM
yM
zp
Jedná se tedy opět o převedení výpočtu v trojrozměrném prostoru (3D) na úlohu
v dvojrozměrném prostoru (2D).
Na rozdíl od desek a stěn na element skořepiny působí všechny vnitřní síly, proto u
skořepin mluvíme o tzv. deskostěnovém působení konstrukce.
Napjatost skořepin
Membránový stav napjatosti. - Vlivem tvaru skořepiny a také charakteru zatížení se v některých případech téměř na
celé skořepině vliv ohybových momentů neuplatňuje (jsou nulové nebo zanedbatelně
malé)
- významných hodnot nabývají zejména normálové síly a částečně posouvající či
smykové síly.
Momentový stav napjatosti vlivem tvaru a charakteru zatížení se výrazně uplatňují ohybové momenty
silně se uplatňují také posouvající síly a normálové síly
Rozdíl je zřejmý z definice vnitřních sil:
- Při momentovém stavu napjatosti se normálová napětí (která jsou pro
namáhání konstrukce nejvýznamnější) po tloušťce mění (se vzdáleností od
střednicové plochy).
- Při membránovém stavu napjatosti se normálová napětí po výšce nemění, jsou
konstantní.
V místě podepření skořepiny, tj. v okrajových řezech, dochází k porušení
membránového stavu napjatosti a v hraniční oblasti vzniká momentový stav napjatosti.
Ten se zpravidla s rostoucí vzdáleností od kraje rychle utlumí.
Podobně dochází k lokálnímu porušení pouze membránové napjatosti vlivem defektů
skořepiny (náhlá změna tloušťky v omezené oblasti, lokální zboulení) nebo při zatížení
osamělými silami či momenty.
Membránová teorie
a) Rotační skořepiny
Tvar skořepiny vzniká rotací meridiánu kolem osy. Uplatňují se v řadě technických
aplikací, např. nádrže, zásobníky, tlakové nádoby, kupole).
Rovnice pro výpočet vnitřních membránových sil se odvozují z podmínek rovnováhy
na elementu skořepiny.
rpr
N
r
N
rrpNrN
rrN
rrpNrN
rrN
21
111
111
0cos
0cos
V praktických úlohách se často vyskytuje osová symetrie zatížení (tlak plynu, vody apod.),
takže úloha se zjednoduší a mluvíme o tzv. rotačně symetrické napjatosti.
rpr
N
r
N
rrpNrrNd
d
21
11 0cos
Příklady rotačních skořepin:
Zvláštním případem rotačně symetrických skořepin jsou trouby s vnitřním (vnějším)
přetlakem. Jsou tzv. cylindrické (válcové) skořepiny s uzavřeným průřezem.
kupole tlaková nádoba nádrž
x r
p
p N N
prN
b) Skořepina libovolného tvaru
Střednicová plocha je popsána v soustavě pravoúhlých souřadnic funkcí yxfz , .
Rovnice pro řešení skořepiny se dostanou z rovnic rovnováhy sil na elementu:
x
xyx py
N
x
N
y
yxyp
y
N
x
N
y
zp
x
zpp
y
zN
yx
zN
x
zN yxzyxyx
2
22
2
2
2
Příklady
eliptický paraboloid konoid
hyperbolický paraboloid rotační hyperbolický paraboloid (část)
c) Ploché skořepiny
Tvar skořepiny popsaný funkcí yxfz , je důležitý pro to, zda řešící rovnice složitý
nebo jednodušší tvar. V technické praxi jsou významné tzv. ploché skořepiny, u nichž
poměr vzepětí skořepiny k menšímu půdorysnému rozměru je menší než 1/5. Potom tvar
rovnic pro vnitřní síly je jednodušší a řešení méně obtížné.
Momentová teorie
K narušení membránové napjatosti dochází vlivem zatížení a okrajových podmínek.
Příklady:
Částečné naplnění trouby
tekutinou. V úrovni hladiny
dochází k vzniku ohybových
momentů.
Vznik ohybových momentů u
válcové nádrže ve vetknutí
stěny do dna.
Uzavření tlakové válcové nádoby dnem ve tvaru
kulového vrchlíku. Na spojení válce a vrchlíku
vznikají ohybové momenty, které se ve větší
vzdálenosti utlumí.
Momentová teorie opět byla rozpracována pro základní typy skořepin technické praxe.
Řešení se zavedením fyzikálních rovnic převádí na řešení průhybu a posunutí bodů
střednicové plochy (obdoba deskové a stěnové rovnice) a funkce napětí pro vyjádření
membránových sil.
Plocha se zápornou Gaussovou
křivostí
Příklad plochy se zápornou
Gaussovou křivostí
Odbavovací hala autobusového
nádraří Hradec Králové
Opera v Sydney
Stabilita skořepinových konstrukcí
Ztráta stability (zboulení) tenkostěnné skořepinové konstrukce:
dojde vlivem zatížení v její stěně k nadměrnému tlakovému napětí
dochází k přerozdělení rovnováhy v tlaku na rovnováhu v tlaku a ohybu, tzv.
bifurkace – rozdvojení rovnováhy
tuhost membránová je mnohem větší než ohybová
dochází k přeměně membránové energie napjatosti na společnou membránovou a
ohybovou energii napjatosti
vznikají výrazné deformace v podobě vln a výrazné snížení únosnosti
Jsou popsány dva základní typy boulení
- lineární, při kterém dochází v bifurkačním bodě k rozdvojení rovnováhy
o skořepina se zdeformuje do nového tvaru, který odpovídá kritickému zatížení
o úloha se převede na problém vlastních čísel nebo tvarů, kterým odpovídá pro
nejmenší hodnotu kritické břemeno
o kritická hodnota je pouze teoretická, v praxi jí nemůže být dosaženo a je
korigována redukčním součinitelem
- nelineární kolaps (prolomení, snap-through)
o namáhání je již zpočátku částečně membránové i momentové
o tuhost skořepiny vlivem membránových tlakových sil klesá
o po dosažení vrcholu se konstrukce prolomí
BL – bod bifurkace
OAC – rovnovážná křivka
OBN1D, OBN2E – sekundární křivky
nového rovnovážného stavu
Závislost posunutí na růstu zatížení
skořepinové konstrukce
Příklady ztráty stability válcových zásobníků
Na hodnotu kritického zatížení má vliv geometrie skořepiny, použitý materiál, okrajové
podmínky a také výrobní imperfekce – nedokonalosti tvaru. Kritické hodnoty zatížení se
zjišťují:
- experimentálně
- numerickou simulací
Příklad stanovení kritického zatížení kuželové skořepiny (Ing. Doubravka Středová 2012)
Experiment
Zkušební zařízení Zkušební vzorek po experimentu
Numerická simulace metodou konečných prvků
Numerické modely celého a komolého modelu
Zatěžovací analýza – geometricky i materiálově nelineární analýza
Grafické výstupy
Výsledná posunutí – krok výpočtu 7 Výsledná posunutí – krok výpočtu 12
Výsledná posunutí – krok výpočtu 150 Výsledná posunutí – krok výpočtu 250
Hodnotu kritického zatížení lze někdy zvýšit vyztužením skořepiny
Produktovody Tranzitní plynovody
Základní napjatost – kotlový vzorec – vnitřní přetlak plymu
Napětí obvodové v troubě t
pr
Základní napjatost narušují další vlivy
Výrobní imperfekce – ovalita
Korozní vady
Chyby v uložení potrubní linie
Sesuvné území
x r
p
p N N
prN
Nekruhovitost (ovalita) průřezu
Ovalita průřezu má výrazný vliv na změnu stavu napětí a deformace v potrubí. Je
definována vztahem:
00
00200DD
DDU
kde:
ubkyprůrůřezu průrůmě minimální je
ubkyprůrůřezu průrůmě maximální je
procentech vovalita je
D
D
U
Při experimentálních měřeních je obtížné ovalitu zkušebních tlakových nádob přesně
měřit. Proto se úvahy o vlivu ovality obracejí k numerickým metodám.
Základní předpoklad je, že průřez trubky má tvar elipsy. Pro malé ovality do 5% lze potom
uvažovat ve výpočtu, že při stejném obvodu kružnice a elipsy jsou rozdíly velké a malé
poloosy elipsy od poloměru kružnice stejné.
Potom změna poloměru 200
.
400
. rUDU
Přídavné napětí od vyrovnání ovality ( tzn.od ohybového momentu, vyvolaného změnou
křivosti průřezu trubky přechodem elipsy na kruh )
212
Et
kde 2
2
2
128
DD
D pro vedlejší poloosu elipsy
2
2
2
128
DD
D pro hlavní poloosu elipsy
2/DDD
je průměr střednice ideální trubky bez ovality.
r je poloměr ideální trubky bez ovality
t je tloušťka stěny potrubí
-100
0
100
200
300
400
500
0 2 4 6 8
stre
ss
f [
MP
a]
press of gas [ MPa ]
outer surface ( 2% ovality )
inner surface ( 2% ovality )
outer surface ( 5% ovality )
inner surface ( 5% ovality )
napětí dle kotlového vzorce
252
254
256
258
260
262
264
266
268
0 2 4 6 8 10
size
of
sem
iaxis
[ m
m ]
press of gas [ MPa ]
major semiaxis ( 2% ovality )
minor semiaxis ( 2% ovality )
major semiaxis ( 5% ovality )
minor semiaxis ( 5% ovality )
Maximální obvodové napětí y při
růstu vnitřního tlaku do teoretického
vyrovnání ovality
Vyrovnávání délek poloos eliptického
průřezu s růstem vnitřního tlaku plynu
Řešení metodou konečných prvků
Druhý způsob řešení napětí a deformací v prstenci zatíženém vnitřním přetlakem je
pomocí metody konečných prvků. S využitím symetrie lze modelovat čtvrtinu prstence,
nejlépe s použitím rovinného prvku popisujícího rovinnou deformaci.
Pracovní diagram oceli trubky
f426/6 mm
Model prstence
251
252
253
254
255
256
257
0 2 4 6 8 10
rad
ius
of
the
pip
e [m
m]
press of gas [MPa]
major semiaxis minor semiaxis
Změna poloos
eliptického průřezu
trubky f426/6 mm s
2% ovalitou
-50
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
stre
ss [
MP
a]
press of gas [MPa]
outer surface inner surface
membrane stress
Změna obvodového napětí f ve vrcholu vedlejší poloosy eliptického průřezu
trubky f426/6 mm při změně vnitřního přetlaku
Po odlehčení klesají napětí prakticky
lineárně, dochází k přerozdělení
deformací a napětí v celém objemu a
po úplném odlehčení se projevují
jako zbytková napětí v průřezu.
Tato zbytková napětí mohou hrát
příznivou roli při následném
zatěžování, kdy závislost mezi
vnitřním přetlakem a napětím je
podstatně déle lineární, a v případě
některých korozních vad, kdy
zbytková napětí vyvolávají kolem
nich sevření, která působí jako
bariéry proti šíření trhlin.
Obr.9.8. Zbytkové napětí f ve stěně trubky f 426/6 mm po odlehčení
Studie chování korozních důlků
Důležitou součástí při posuzování únosnosti a zbytkové životnosti dlouhodobě
provozovaných plynovodních potrubí je vyšetření účinků koroze.
Korozní vady jsou velmi častou geometrickou imperfekcí, která ovlivňuje napjatost
cylindrické skořepiny. Korozní poškození můžeme rozlišovat:
samostatný korozní důlek - tvar obvodu je blízký kružnici
blízké důlky - středy důlků jsou vzdáleny do 1,5 násobku průměru důlku
plošná koroze - plošné rozměry vady jsou větší než 3 tloušťky skořepiny
Model samostatného korozního důlku
na trubce pro MKP.
Průběh obvodového napětí y = f kolem
osamělého důlku.
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 20 40 60 80
coef
fici
ent
k t
coordinate z [ mm ]
v=4mm v=3mm v=2mm
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 20 40 60 80
coef
fici
ent
k t
coordinate z [ mm ]
v=4mm v=3mm v=2mm
Grafy průběhů koeficientů kt koncentrace obvodového napětí f pro osamělý důlek.
Vliv svaru na napětí ve stěně trubky
Při tlakování plynovodní trubky se spirálovým svarem byl pozorován i pouhým okem vliv
svaru na změnu tvaru.
Trubka se jevila jako dlouhý nafouknutý dětský balónek ovinutý provázkem. Svar působí
ztužujícím vlivem, který způsobuje, že v jeho okolí má příčný průřez trouby při zatížení
vnitřním přetlakem menší průměr.
Experimentální měření ukázala, že v těsné blízkosti dochází ke změně obvodového a
podélného napětí v plášti trouby a k natáčení os hlavních napětí. Obtížné však je určit,
jaký podíl má na těchto změnách vliv svaru a jaký podíl mají další vlivy, např.
geometrické imperfekce ( ovalita, mírné lokální zvlnění ), vnitřní pnutí a pod. Pro
vyhodnocení vlivu svaru se opět nabízí numerický výpočet metodou konečných prvků.
. Změna vydutí trubky v okolí svaru v podélném řezu
Změna obvodového napětí f v okolí svaru
Plastická zóna na okraji svaru při přechodu svaru do
základního materiálu
Uvedené příklady ukazují, že:
Vlivem ovality se zvyšují napětí na obvodu trouby
Ve stěně trouby zůstávají zbytková napětí při zplastizování některých částí průřezu
Korozní důlky a jiné korozní vady způsobují koncentrace napětí, převyšující
nominální napětí od vnitřního přetlaku.
Také kolem svarů díky různé kvalitě materiálu dochází ke koncentraci napětí a prudké
změně napjatosti v okolí svaru.
Vlivem tlakování plynu dochází k cyklické změně úrovně tlaku a tím i ke změně
napjatosti a ke změnám úrovně napětí.
Zjištění rozkmitu napětí v koncentracích napětí slouží k posouzení vzniku a růstu
trhlin a posouzení zbytkové životnosti plynovodu.