Sveuciliste u Zagrebu

PMF - Matematicki odjel

Radan Skoric

Temporalna logika

Diplomski rad

Zagreb, 7. listopada 2009.

Zahvaljujem se svojem mentoruna strpljenju i iznimnom trudu

te mojim roditeljima i sestrina iskrenoj podrsci svih ovih godina.

Sveuciliste u Zagrebu

PMF - Matematicki odjel

Radan Skoric

Temporalna logika

Diplomski rad

Voditelj rada:prof. dr. sc. Mladen Vukovic

Zagreb, 7. listopada 2009.

Ovaj diplomski rad obranjen je dana prednastavnickim povjerenstvom u sastavu:

1. , predsjednik

2. , clan

3. , clan

Povjerenstvo je rad ocijenilo ocjenom .

Potpisi clanova povjerenstva:

1.

2.

3.

Sadrzaj

1 Uvod 1

2 Modalna logika i osnovni temporalni jezik 22.1 Osnovni modalni jezik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Jezik temporalne logike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 Okviri, modeli i valjanost 43.1 Okviri i modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2 Istinitost formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.3 Valjanost formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.4 Medusobna nedefinabilnost operatora F i P . . . . . . . . . . . 93.5 Generirani i opci okviri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Bisimulacije 134.1 Ograniceni morfizmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2 Bisimulacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5 Kt logika 175.1 Normalne modalne logike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.2 Potpunost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.3 Kanonski modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.4 Minimalna i Kt temporalna logika . . . . . . . . . . . . . . . . 245.5 Kanonska svojstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.6 Nepotpunost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6 Operatori since i until 396.1 Definicija operatora since i until . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.2 Ekspresivna potpunost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.3 Aksiomatizacija logike sa since i until . . . . . . . . . . . . . . 45

7 Zakljucak 53

1 Uvod

Temporalna Logika je specijalna teorija iz familije modalnih logika.Modalna logika je, neformalno receno, klasicna logika kojoj su dodani

tzv. modalni operatori. Oni na jednostavan nacin uvode dodatna svojstva ulogicke formule, te ovisno o definiciji uvedenih modalnih operatora dobivamospecijalne teorije modalne logike, poput, kao sto cemo vidjeti, temporalnelogike.

Usprkos svojoj jednostavnosti, modalna logika se pokazala kao veomamocan matematicki alat za opisivanje i analizu relacijskih struktura. Relacij-ska struktura je neprazni skup nad kojim je definirana jedna ili vise relacija.One se prirodno pojavljuju u mnogim granama matematike pa cak i vise,kao npr. u lingvistici. Zbog toga modalne logike imaju veliku primjenu.

Kad govorimo o temporalnoj logici, zanimaju nas relacijske strukture ukojima su elementi uredeni u vremenski slijed. Temporalna logika sa bavianalizom izjava poput Kolnici ce biti suhi dok ne padne kisa., za razlikuod klasicne logike sudova koja moze analizirati samo izjave koje su uvijektocne, te ne moze nista reci o gornjem slucaju vec samo moze analiziratiizjave poput Ako kisa pada slijedi da su kolnici mokri.

Temporalna logika je tako posebnu primjenu nasla u formalnoj verifikacijigdje se koristi za izrazavanje uvjeta na vremensko ponasanje hardwarea i soft-warea.

U ovom tekstu najprije cemo uvesti pojmove modalne logike nuzne zauvodenje temporalne logike, nakon toga cemo sve analizirati kroz primjenuu temporalnoj logici.

1

2 Modalna logika i osnovni temporalni jezik

U skladu s napomenama u uvodu pocinjemo definiranjem osnova modalnogjezika i zavrsavamo uvodenjem osnovnog temporalnog jezika.

2.1 Osnovni modalni jezik

Kao sto je receno u uvodu, modalne logike su veoma mocan alat za rads relacijskim strukturama, te smo neformalno opisali relacijske strukture.Ovdje uvodimo formalnu definiciju:

Definicija 1. Relacijska struktura je n-torka F cija prva komponenta jeneprazni skup W zvan domena od F , a cije preostale komponente su relacijenad W. Pretpostavit cemo da svaka relacijska struktura sadrzi barem jednurelaciju.

Sada cemo formalno uvesti pojam modalnog jezika. Radi lakseg shvacanjanajprije cemo definirati osnovni modalni jezik, a zatim cemo tu definicijugeneralizirati na opceniti modalni jezik.

Definicija 2. Osnovni modalni jezik je definiran pomocu skupa propozi-cionalnih varijabli ciji elementi se obicno oznacavaju p, q, r, itd., i unarnogmodalnog operatora (diamond). Sintakticki ispravna formula je zadanaprodukcijskim pravilom:

:= p||| |

Pritom je p element skupa .

Slicno kao sto su egzistencijalni i univerzalni operator duali jedan drugome(u smislu da vrijedi x x), tako i postoji dualni operator (box)za koji je definiran kao := .

Ocito je da se upotrebom drugacijih modalnih operatora mogu dobitimodalni jezici razliciti od osnovnog. S tom motivacijom cemo definiratiopceniti modalni jezik.

Definicija 3. Modalni tip je uredeni par = (O, ) tako da je O neprazniskup, a funkcija iz O u N. Elementi skupa O se nazivaju modalni operatori.Koristit cemo simbole 4, 40,41, . . . za oznacavanje elemenata skupa O.Funkcija svakom operatoru iz O pridruzuje konacnu kratnost, tj. brojargumenata koje operator 4 prima.

2

Svaki operator 4i ima i svoj dualni operator koji se oznacava sa Oi, tj.Oi(1, . . . , n) je pokrata za 4i(1, . . . ,n).

U skladu s definicijom osnovnog modalnog jezika, unarne operatore ozna-cavamo sa a gdje je a element nekog skupa indeksa. Cesto pretpostavljamoda je kratnost operatora poznata i ne radimo razliku izmedu i O.

2.2 Jezik temporalne logike

Sada smo spremni za definiranje osnovnog jezika temporalne logike.

Osnovni jezik temporalne logike sadrzi dva unarna operatora koje oznaca-vamo sa F i P . Pretpostavljena interpretacija formula tipa F jeste ce biti istinito u nekom buducem1 vremenu, a pretpostavljena interpretacijaformula tipa P jeste ce biti istinito u nekom proslom2 vremenu.

Naravno F i P imaju i svoje dualne operatore i to, redom, G i H.G se cita Uvijek ce biti3, a H se cita Oduvijek je bilo4.

Tradicionalno se, radi jednostavnosti, operatori pisu bez zagrada pa cemood sada, uglavnom, pisati F ,P ,G i H.

1engleski buduce = Future2engleski proslo = Past3engleski ce biti = Going to be4engleski je bilo = Has been

3

3 Okviri, modeli i valjanost

3.1 Okviri i modeli

Modalni jezik je prilicno apstraktna matematicka struktura i kao takav do-biva smisao tek kad se primjeni na neku konkretnu strukturu. Ovo poglavljese bavi upravo takvim strukturama i primjenom modalne logike na njih.Prvo cemo definirati okvir za osnovni modalni jezik, konkretnu strukturu nakojoj zelimo interpretirati formule osnovnog modalnog jezika. Nakon togacemo definirati model, strukturu koja nam to i omogucuje. Na kraju cemote definicije poopciti za proizvoljne modalne jezike.

Definicija 4. Okvir za osnovni modalni jezik je uredeni par F = (W,R)tako da vrijedi:

(i). W je neprazni skup. Elemente skupa W nazivamo stanja.

(ii). R je binarna relacija na W.

Dakle, okvir za osnovni modalni jezik je jednostavno relacijska strukturasa samo jednom definiranom binarnom relacijom.

Veoma neformalno receno, doticnu binarnu relaciju, u slucaju temporalnelogike, mozemo zamisljati kao vremenski uredaj tocaka u W.

Definicija 5. Model za osnovni modalni jezik je uredeni par M = (F , V ),gdje je F okvir za osnovni modalni jezik, a V je funkcija koja svakoj propozi-cionalnoj varijabli p iz pridruzuje V(p), podskup od W. Funkcija V se zovevaluacija. Za dani modelM = (F , V ), kazemo da jeM zasnovan na okviruF , odnosno da je F okvir koji utemeljuje M.

Neformalno receno, V(p) promatramo kao skup tocaka u kojim je p is-tinita.

Okvir smo definirali kao relacijsku strukturu sa samo jednom relacijom.Takva struktura nam nece biti dovoljna za sve modalne jezike. Upravo zbogtoga uvodimo slijedecu definiciju.

Definicija 6. Neka je modalni tip. -okvir sadrzi:

neprazni skup W , koji nazivamo domena ili nosac

te za svaki n 0, i svaki n-arni modalni operator 4 iz , n+ 1 mjesnurelaciju R4.

4

Dakle, -okvir je opet relacijska struktura, samo ovaj put s fleksibilni-jom strukturom i vise relacija. Ako sadrzi samo konacni broj modal-nih operatora 41, . . . ,4n, pisemo F = (W,R41 , . . . , R4n), inace pisemoF = (W,R4)4 ili F = (W, {R4|4 }). Takav okvir pretvaramo umodel na analogan nacin kao kod obicnog modalnog jezika, dodavanjem val-uacije. Tocnije, -model je uredeni par M = (F , V ) gdje je F -okvir, a Vje valuacija s domenom , a kodomenom P(W ), gdje je W domena od F .

U konkretnom primjeru jezika temporalne logike, jedna odredena klasaokvira i modela se namece kao prirodni odabir za promatranje temporalnelogike i upravu nju cemo sada promotriti.

Bidirekcionalni okviri i modeliOsnovni temporalni jezik ima dva operatora, F i P . Dakle, prema gornjoj

definiciji, modeli za njega sadrze skup s dvije binarne relacije definirane nadnjim, RF (Relacija koja gleda u buducnost) i RP (Relacija koja gledau proslost), koje se redom koriste za interpretiranje F i P operatora. No,zbog pretpostavljene interpretacije F i P operatora, prirodno je da zahtije-vamo da RF i RP budu medusobno suprotne relacije, tj. da zahtijevamo daosnovni temporalni jezik promatramo samo na okvirima na kojima vrijedixy(RFxy RPyx).

Oznacimo relaciju inverznu relaciji R sa R. Sve okvire oblika (W,R,R)zvat cemo bidirekcionalni okviri, a sve modele zasnovane na takvim okvir-ima cemo zvati bidirekcionalni modeli. Tipicni primjeri takvih okvira bi biliskupovi cijelih, racionalnih i realnih brojeva sa standardnim uredajima, tj.((Z, ), (Q, ) i (R, )).

Bidirekcionalnim modelima cemo se jos pozabaviti u sljedecem poglavlju,kad definiramo pojam istinitosti formule na modelu.

3.2 Istinitost formula

Ocito je da smo okvire i modele uveli kako bi u njima interpretirali modalnelogike. Zato je nuzno da definiramo pojam istinitosti formule u danom -modelu.

Definicija 7. Neka je M = (W,R, V ) model osnovnog modalnog jezika,te w W proizvoljno stanje. Sada induktivno definiramo pojam istinitostiformule na M u stanju w (pisemo: M, w `, odnosno M, w 6 ` ako ne

5

vrijedi M, w `) slijedecim pravilima:

M, w ` p w V (p), p M, w 6 ` M, w ` M, w 6 `

M, w ` M, w ` ili M, w `M, w `4(1, . . . , n) postoje v1, . . . , vn W takvi da vrijedi

R4wv1 . . . vn te za svaki i vrijedi M, vi `i.

Korisno je prosiriti definiciju valuacije V s propozicionalnih varijabli naproizvoljne formule tako da V () oznacava skup stanja u kojima je istinita:

V () := {w|M, w `}.

Ovako definiran pojam istinitosti u stanju je veoma lokalan. Interpreti-ramo formule u nekom stanju unutar modela i pritom promatramo samo tostanje ili R4 dostiziva stanja. Sada uvodimo malo siri pojam.

Definicija 8. Formula je globalno, odnosno univerzalno istinita u modeluM (pisemo : M`), ako je istinita u svim stanjima izM (tj. akoM, w `za svaki w W ). Formula je ispunjiva u modelu M ako postoji baremjedno stanje izM u kojem je istinita. Formula je oboriva u modelu ako jenjena negacija ispunjiva.

Interpretacija na bidirekcionalnom modeluSjetimo se da smo bidirekcionalne okvire definirali kao okvire oblika

(W,R,R), a bidirekcionalne modele kao modele zasnovane na takvim o-kvirima. Sada nas zanima interpretacija formula na takvim okvirima. Ocitoimamo vrlo konkretan -okvir i definicije istinitosti za operatore F i P su, uskladu sa pretpostavljenim tumacenjem tih operatora:

M, w `F s(Rws M, s `)M, w `P s(Rws M, s `)

.No, primijetimo da, posto smo fiksirali drugu relaciju kao inverznu prvoj,

ne moramo je niti definirati jer je potpuno odredena prvom. Stovise, uz mod-ificiranu definiciju istinitosti, osnovni temporalni jezik mozemo interpretiratina okvirima (W,R) za osnovni modalni jezik:

M, w `F s(Rws M, s `)M, w `P s(Rsw M, s `).

6

Ovakve definicije sadrze kljucna svojstva pretpostavljene semantike: F gledaunaprijed po R, a P gleda unazad po R.

Primjer 1. Razmotrimo definirane pojmove na jednostavnom primjeru. Zaokvir cemo uzeti (N,

A je skracenica za H G, a njegovo znacenje je da vrijedi usvim dostizivim stanjima.

Promotrimo koje od slijedecih formula su valjane na zadanim okvirima:

GGp pAko definiramo valuaciju V (p) = {x|x > 0}, tada formula ocito nevrijedi niti u jednom od okvira (Z,

jenimo zakljucivanje oznaceno sa ?, slijedi da vrijedi:

(X,

Primjer 3. Pretpostavimo da se F moze definirati pomocu P.Promotrimo veoma jednostavan okvir F = (W,R), W = {1, 2, 3}, a R ={(1, 2), (2, 3)}. Neka je V proizvoljna valuacija.Promotrimo istinitost formule Fp u stanju 2. Ona se svodi na:

M, 2 `Fp 3 V (p)

Ako izrazimo Fp preko P onda cemo dobiti formulu koja nece u sebisadrzavati modalni operator F . Pretpostavimo da za valuaciju V vrijediM, 2 `Fp (analogno je ako Fp nije istinito u 2). Tada ocito mora vrijeditiM, 2 `. No, ta formula je potpuno odredena s restrikcijom valuacije V na{1, 2}, tj. sa skupom V (p)

{1, 2}.

Definirajmo valuaciju V tako da se poklapa sa V na {1, 2} ali ne sadrzi3. Tada ocito ne vrijedi M, 2 `Fp ali ne ovisi o valuaciji od p u 3 te josuvijek vrijedi M, 2 ` sto je kontradikcija.

Iz ovoga zakljucujemo da operator F nije definabilan pomocu operatoraP. Analogan je primjer da P nije definabilan pomocu F.

3.5 Generirani i opci okviri

U ovom poglavlju uvodimo neke dodatne pojmove vezane za pojam okvira.Ti pojmovi ce se pokazati veoma vazni za dokaz nekih teorema.

Kada promatramo formule na nekom podskupu svih stanja nekog okvira,cesto nam nije potreban cijeli okvir. Dapace, ponekad je i nuzno da proma-tramo sto manji okvir koji ipak sadrzi stanja koja nas zanimaju. Upravo utu svrhu uvodimo slijedecu definiciju.

Definicija 10. Za -okvir F = (W , R4)4 kazemo da je podokvir okviraF = (W,R4)4 ako je W podskup od W i ako za svaki 4 vrijediR4 = R4|W .

Za F kazemo da je generirani podokvir od F ako je podokvir od F i akoza svaki 4 vrijedi da u W i R4uu1 . . . un povlaci u1, . . . , un W .

Neka je X podskup skupa W . Neka je W najmanji podskup skupaW koji sadrzi X i zadovoljava uvjete generiranog podokvira. Tada gener-irani podokvir zasnovan na W zovemo podokvir generiran skupom X, aoznacavamo s FX . Ako je X skup koji se sastoji od samo jednog stanjaw, tada pisemo Fw i kazemo da je Fw podokvir generiran sa w, odnosnopodokvir generiran iz tocke.

Prilikom ogranicavanja naseg promatranja na podokvir bitno nam je daje istinitost formula u stanjima podokvira ocuvana. To ne vrijedi opcenitoza podokvire, no slijedeci teorem nam govori da to vrijedi za generiranepodokvire.

10

Teorem 1. Neka je F generirani podokvir okvira F , a proizvoljna formula.Tada F ` povlaci F `.

Dokaz. Neka je proizvoljna formula tako da vrijedi F `. Dalje, neka jeV proizvoljna valuacija na F . Primjetimo da je, zbog W W , V ujednoi valuacija na F . Dalje neka je w W proizvoljno stanje. Sada dokazujemoda vrijedi (F , V ), w `.

Dokaz se provodi indukcijom po slozenosti formule . Buduci da je wujedno i stanje okvira F , baza indukcije i slucaj za bulovske operatore trivi-jalno vrijede.

Preostaje modalni slucaj pa pretpostavimo da je = 4(1, . . . , n) zaneki4 . Vrijedi F ` pa specijalno vrijedi (F , V ), w `. Po definiciji, toznaci da postoje stanja v1, . . . , vn takva da vrijedi R4wv1 . . . vn i da za svakii vrijedi (F , V ), vi `i. Dalje, R4wv1 . . . vn povlaci da stanja v1, . . . , vn pri-padaju i generiranom podokviru F . Prema pretpostavci indukcije, za svakii vrijedi (F , V ), vi `i iz cega slijedi da vrijedi (F , V ), w `.

Kako su w i V bili proizvoljni, slijedi F `. Q.E.D.

Okrenimo se sada drugom dijelu ovog podnaslova, opcim okvirima, i pro-motrimo prvo motivaciju koja ce nas navesti na njihovu definiciju. Kada pro-matramo neki model imamo jednu fiksiranu valuaciju, a kada promatramookvir ustvari promatramo skup svih mogucih valuacija. No, ponekad nam jepotrebno nesto izmedu tih dviju krajnosti. Zanimaju nas okviri zajedno saskupom dopustivih valuacija. I upravo je to motivacija iza definicije opcihokvira. Definirat cemo okvir zajedno sa skupom dopustivih valuacija. No, tajskup mora i zadovoljavati neka svojstva. Naime, zelimo da bude zatvoren naskupovne operacije koje odgovaraju odredenim veznicima modalne logike. Zapropozicionalne veznike situacija je jasna. Osnovni veznici disjunkcije i ne-gacije odgovaraju skupovnim operacijama unije i komplementa. Zaista, akona primjer promotrimo u kojim je sve stanjima istinita formula p q vidimoda je istinita upravo u skupu stanja V (p)

V (q). Slicno je i s negacijom.

Ostali propozicionalni veznici se mogu zapisati u obliku disjunkcije i negacijepa ih ne moramo niti promatrati. No sto je sa modalnim operatorima? Kojeskupovne operacije pripadaju njima?

Promotrimo tu operaciju za operator F i oznacimo je s mF . Zelimo daza svaki model (W,R, V ) i proizvoljnu formulu vrijedi5:

V (F) = mF (V ()) (6)

5pritom, samo u ovom slucaju, radi jednostavnijeg zapisa, funkciju V shvacamo kaofunkciju koja i formulama, a ne samo propozicionalnim varijablama, pridruzuje skup stanjau kojima su istinite

11

Funkcija koja zadovoljava to svojstvo je mF : P(W ) P(W ), koja jedefinirana s

mF (X) = {w W : x X takav da wRx} . (7)

Zaista, promotrimo sva stanja u kojima vrijedi neka formula i skup tihstanja oznacimo sa X. Tada je skup stanja u kojima vrijedi F upravo skupstanja w za koja vrijedi wRx za neko x X. Analogno vrijedi za operatorP, samo zamijenimo relaciju R s inverznom relacijom.

Sada cemo definirati modalnu projekciju i opci okvir za proizvoljni modalnitip .

Definicija 11. Neka je F = (W,R4)4 -okvir. Tada za svaki 4 definiramo modalnu projekciju m4 kao funkciju na partitivnom skupu odskupa W sa:

m4(X1, . . . , Xn) = {w W | postoje w1, . . . , wn W takvi daR4ww1 . . . wn i wi Xi za svaki i.}

Definicija 12. Opci okvir je par (F , A), gdje je F -okvir, a A je neprazanpodskup partitivnog skupa od W koji je zatvoren za sljedece operacije:

(i). uniju: ako su X, Y A tada je i X Y A

(ii). komplement: ako je X A tada je W \X A

(iii). za svaki 4 , operaciju m4: ako je X A tada m4(X) A

12

4 Bisimulacije

4.1 Ograniceni morfizmi

U matematici opcenito, morfizmi ili preslikavanja koja cuvaju strukturu suveoma vazna. Ona nam omogucuju da promatranje svojstava objekata sve-demo na promatranje manjeg broja klasa ekvivalencije, odnosno objekataizmedu kojih postoji takvo preslikavanje koje cuva strukturu. Iz istih razlogapromatramo preslikavanja izmedu modela.

Definicija 13. Neka je modalni tip i neka su M i M -modeli. Homo-morfizam f sa M na M (pisemo f :MM) je funkcija f : W W saslijedecim svojstvima:

Za svaku propozicionalnu varijablu p i svaki element w iz W , ako jew V (p) onda vrijedi f(w) V (p).

Za svaki n > 0 i svaki n-arni 4 , te za svaku (n + 1)-torku(w0, . . . , wn) iz M, ako (w0, . . . , wn) R4 tada (f(w0), . . . , f(wn)) R4.

Dakle homomorfizam je preslikavanje koje cuva relacijske veze unutarokvira i istinitost propozicionalnih varijabli. No, da li homomorfizmi cuvajuistinitost formula? Pokazat cemo da ne cuvaju slijedecim veoma jednos-tavnim primjerom.

Primjer 4. Promotrimo dva bidirekcionalna modelaM = (W,R, V ) iM =(W , R, V ). Neka je W = {1, 2, 3}, R = {(1, 2), (2, 3)} i V (p) = {1, 2},gdje je p jedna fiksirana propozicionalna varijabla. S druge strane neka jeW = W , V (p) = V (p), ali R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}. Neka je f identitetana skupu W . Ocito je f homomorfizam jer cuva valuaciju i relacijske veze.Jedina razlika izmedu dva modela je u tome sto je R tranzitivna relacija.No promotrimo efekt na istinitost jednostavne formule, Gp :

Vrijedi M, 1 ` Gp, jer je p istinito u 2 .Ne vrijedi M, 1 ` Gp, jer p nije istinito u 3.

(8)

Dakle, vidimo da homorfizmi ne cuvaju istinitost formula. Primijetimoda bi gornji primjer vrijedio cak i ako bi homomorfizme ojacali do ekvivalen-cije na prvom uvjetu.

Naravno, prva ideja bi bila da oba uvjeta ojacamo do ekvivalencije, nopokazuje se da je to prejaki uvjet. Mozemo proci s blazim uvjetima. Tocnije,za cuvanje istinitosti formula dovoljni su nam ograniceni morfizmi.

13

Definicija 14. Neka je modalni tip i neka suM iM -modeli. Preslika-vanje f :M = (W,R4 , V )M = (W , R4 , V ) je ograniceni morfizamako zadovoljava slijedece uvjete:

w i f(w) zadovoljavaju iste propozicionalne varijable.

Za svaki operator4 iz , ako R4wv1 . . . vn tada R4f(w)f(v1) . . . f(vn).

Ako vrijedi R4f(w)v1 . . . vn tada postoje v1 . . . vn takvi da R4wv1 . . . vni da je f(vi) = v

i (1 i n).

Sada cemo pokazati da ograniceni morfizmi zaista cuvaju istinitost for-mula:

Teorem 2. Neka je modalni tip i neka su M i M -modeli. Neka jef : M M ograniceni morfizam. Tada, za svaku modalnu formulu isvaki element w izM vrijediM, w ` ako i samo akoM, f(w) `. Drugimrijecima: ograniceni morfizmi cuvaju istinitost modalnih formula.

Dokaz. Dokaz se provodi indukcijom po slozenosti formule .Osnovni korak i slucajevi za bulovske veznike se rutinski pokazuju pa

cemo se koncentrirati na slucajeve u kojima je oblika4(1, . . . , n),4 .Tada su formule i manje duljine od pa po pretpostavci indukcije tvrdnjateorema vrijedi za njih. Fiksirajmo proizvoljni 4 kratnosti n. Pretpostavimo da vrijedi M, w `. Tada postoje stanja v1 . . . vn,

takva da R4wv1 . . . vn i za svaki i, M, vi `i. Po pretpostavci indukcijevrijedi za svaki i, M, f(vi) `i. Dalje, buduci da iz definicije ogranicenoghomomorfizma slijedi R4f(w)f(v1) . . . f(vn), zakljucujemo M, f(w) `. Pretpostavimo da vrijedi M, f(w) `. Dakle, postoje v1, . . . , vn

M takvi da je R4f(w)v1 . . . vn i vrijedi za svaki i,M, vi `i. Sada iz defini-cije ogranicenog homomorfizma slijedi da postoje stanja vi, . . . , vn M takvada je R4wv1 . . . vn i da je i, f(vi) = vi. Sada upotrijebimo pretpostavku in-dukcije i dobijemoM, vi `i za svaki i, pa iz toga slijediM, w `. Q.E.D.

4.2 Bisimulacije

Kao sto smo vidjeli u definiciji ogranicenog morfizma, da bi se ocuvala is-tinitost formula na dva modela koja su u nekoj relaciji, neformalno govoreci,bitne su dvije stvari. Najprije je bitno da stanja koja su u relaciji zadovol-javaju iste propozicionalne varijable. Dalje je bitno da su i sva druga stanjadostiziva iz njih u nekakvoj relaciji.

Taj veoma neformalno opisani uvjet se kod ogranicenih morfizama for-malno postize stavljanjem uvjeta na funkciju koja preslikava stanja jednog

14

modela u stanja drugog. No, prirodno se javlja zelja da tu upotrebu funkcijezamijenimo nekakvim opcenitijim matematickim alatom, poput relacije. Sadase vec gotovo namece definicija bisimulacije.

Definicija 15. Neka je modalni tip i neka suM = (W,R4, V )4 iM =(W , R4, V

)4 -modeli. Neprazna binarna relacija Z W W se nazivabisimulacija izmedu M i M (pisemo: Z : MM) ako su zadovoljenislijedeci uvjeti:

(i). Ako je wZw tada w i w zadovoljavaju iste propozicionalne varijable.

(ii). Ako je wZw i R4wv1 . . . vn tada postoje v1, . . . , v

n W takvi da je

R4wv1 . . . v

n i za svaki i vrijedi (1 i n)viZvi. (tzv. forth uvjet)

(iii). Ako je wZw i R4wv1 . . . v

n tada postoje v1, . . . , vn W takvi da je

R4wv1 . . . vn i za svaki i vrijedi (1 i n)viZvi. (tzv. back uvjet)

Ako postoji neka bisimulacija izmedu modelaM iM pisemoMM. Akopostoji neka bisimulacija koja stavlja u relaciju stanje w iz M i stanje wiz M kazemo da su w i w bisimilarni i pisemo M, wM, w. Ako je izkonteksta jasno o kojim modelima se radi, ponekad cemo pisati ww.

Kao sto je vidljivo, bisimulacije su generalizacija ogranicenih morfizama usmislu da je umjesto funkcije upotrijebljena relacija izmedu dva modela. Noda bi to zaista bilo tako, vazno je provjeriti da li bisimulacije cuvaju istinitostmodalnih formula. Slijedeci teorem pokazuje da upravo to i vrijedi.

Teorem 3. Neka je modalni tip, a neka su M, M -modeli. Tada zasvaki w W i w W , iz ww slijedi da w i w ispunjavaju isti skupformula. Drugim rijecima, bisimulacije cuvaju istinitost modalnih formula.

Dokaz. Dokaz se provodi indukcijom po slozenosti proizvoljne formule .Slucaj kad se sastoji iz jedne propozicionalne varijable slijedi direktno iztocke (i) definicije 15. Slucaj kad je jednako ovisi samo o promatranojlogici i ispunjivost je ista na svim modelima. Slucaj sa bulovskim veznicimaslijedi direktno iz pretpostavke indukcije.

Za formule oblika 4(1, . . . , n) vrijediM, v `4(1, . . . , n) ako i samoako postoje stanja v1, . . . , vn takva da R4wv1 . . . vn i za svaki i vrijediM, vi `i. Buduci da ww, prema tocki (ii) definicije 15 slijedi da postojestanja v1, . . . , v

n takva da R

4wv1 . . . v

n i za svaki i vrijedi vvi. Prema pret-

postavci indukcije to povlaci da za svaki i vrijedi M, vi `i iz cega slijediM, w `4(1, . . . , n). Obrnuti slucaj se dokazuje analogno, uz upotrebutocke (iii) definicije 15. Q.E.D.

15

Rezultat prijasnjeg teorema je veoma bitan jer se moze upotrijebiti zamnoge rezultate koji govore o ocuvanju istinitosti formula. Demonstriratcemo to upotrebom upravo dokazanog teorema da bismo dobili jedan rezultatkoji ce nam kasnije trebati. Najprije cemo definirati pojam disjunktnih unijamodela, a zatim cemo dokazati da je istinitost formula ocuvana prilikomspajanja modela u disjunktnu uniju.

Definicija 16. Za disjunktne -modele Mi = (Wi, R4i, Vi)4 (i I) istogmodalnog tipa , njihova disjunktna unija je model

iMi = (W,R4, V )4

takav da je W unija svih skupova Wi, R4 je unija relacija R4i, a za svakupropozicionalnu varijablu p, V (p) =

iI Vi(p).

Teorem 4. Neka je modalni tip i neka su Mi(i I) disjunktni -modeli.Tada za svako i, za svako stanje w iz Mi, vrijedi: Mi, w i

iMi, w ispun-

javaju isti skup formula. Drugim rijecima, disjunktne unije cuvaju istinitostformula.

Dokaz. Definirajmo relaciju Z izmedu Mi iiMi kao Z = {(w,w)|w

Mi}. Ako pokazemo da je Z bisimulacija, dokaz ce slijediti direktno iz dokazateorema 3. Tocka (i) iz definicije 15 je trivijalno zadovoljena. Promotrimotocke (ii) i (iii). Svaki R4-korak u Mi je reproduciran u

iMi, a zbog

disjunktnosti modela u uniji, svaki R4-korak uiMi koji je krenuo iz stanja

koje se nalazi uMi nuzno potjece od odgovarajuceg R4 koraka izMi. Dakle,Z je bisimulacija. Q.E.D.

Bisimulacije i osnovni temporalni jezik.Vec smo prije odlucili da cemo temporalni jezik promatrati na bidirek-

cionalnim okvirima i modelima tipa (W,R, V ) u kojima je implicitno dodanarelacija R inverzna relaciji R. Zbog toga nam treba i pojam bisimulacijekoja uzima u obzir i R relaciju. Definiramo temporalnu bisimulaciju izmedumodela (W,R, V ) i (W , R, V ) kao bisimulaciju za -tip osnovnog tempo-ralnog jezika koja zadovoljava i slijedeca dva uvjeta:

Ako je wZw i Rvw, onda postoji v M takav da vZv i Rvw.

Ako je wZw i Rvw, onda postoji v M takav da vZvi Rvw.

To je naravno samo posebni zapis uobicajene definicije bisimulacije, zapisanna ovaj nacin da bi se naglasila priroda bidirekcionalnih okvira.

16

5 Kt logika

U ovom poglavlju cemo preciznije definirati sto je to temporalna logika.Definirat cemo normalne modalne logike. To su logike koje zadovoljavajuneka svojstva zatvorenosti. Vidjet cemo da se normalne modalne logike mogudefinirati semanticki i sintakticki. Definirat cemo temporalnu logiku na obanacina i pokazati da smo u oba slucaja dobili istu logiku, temporalnu logikukoju cemo oznaciti sa Kt.

Na kraju cemo se pozabaviti nekim istaknutim formulama temporalnelogike, tzv. formulama koje su kanonske za odredeno svojstvo. Takodercemo promotriti i neke ogranicavajuce rezultate, logike koje se cine razumnodefinirane, a ipak imaju neka nepozeljna svojstva.

5.1 Normalne modalne logike

Pretpostavimo da nas zanima odredena klasa okvira F i skup F svih for-mula valjanih na F . Postavlja se pitanje postoje li mehanizmi koji bi opisalipostupak generiranja F . Odgovor na to pitanje je sadrzan u konceptu nor-malne modalne logike.

Jednostavno receno, normalna modalna logika je skup formula koje za-dovoljavaju odredene sintakticke uvjete. Da bismo pokazali kakve uvjete,najprije cemo definirati aksiomatski sustav K i K-dokaz. Buduci da su tisustavi veoma vazni da definiranje normalne modalne logike, najprije cemoih definirati i objasniti za jednostavniji slucaj osnovnog modalnog jezika tetek potom prosiriti definiciju na proizvoljni modalni tip .

Definicija 17. K-dokaz je konacni niz formula od kojih je svaka ili aksiomili je dobivena iz prethodnih formula u nizu primjenom jednog od pravilaizvoda. Aksiomi od K su sve instance propozicionalnih tautologija uz dodatakslijedecih formula:

(K) (p q) (p q)

(Dual) p p.

Pravila izvoda za K su:

Modus ponens : iz i slijedi .

Uniformna supstitucija: iz , slijedi , gdje je dobivena iz uniform-nom zamjenom propozicionalnih varijabli u proizvoljnim formulama.

Generalizacija: iz , slijedi .

17

Napomena. Tautologije mogu sadrzavati modalitete. Na primjer, qqje primjer tautologije jer ima istu formu kao i p p.

Sada, kada smo definirali pojam K-dokaza za osnovni modalni jezik, i kadje jasna ideja i namjera iza K-dokaza, prosirit cemo definiciju na proizvoljnemodalne tipove. Definicija je potpuno analogna prijasnjoj definiciji samo jezbog prirode modalnih tipova, tehnicki kompliciranija.

Definicija 18. Neka je modalni tip. K-dokaz i K sustav za modalni tipje analogan K-dokazu s time da se (K) aksiom zamjenjuje skupom aksiomaKiO, za svaki dualni operator O i svaki i takav da 1 i (O). Aksiom(Dual) se zamjenjuje skupom aksioma DualO, za svaki dualni operator O:

(KiO) O(r1, . . . , p q, . . . , r(O))(O(r1, . . . , p, . . . , r(O)) O(r1, . . . , q, . . . , r(O)))

(Dual) 4(r1, . . . , r(O)) O(r1, . . . ,r(O)).

Modus ponens i uniformna supstitucija ne mijenjaju definiciju, ali genera-lizacija poprima novi oblik. Za operator O, pravilo generalizacije je danos:

O(, . . . , , . . . ,),

tj. za svaki operator O postoji n pravila generalizacije, po jedno za svako odnjegovih n parametara.

Sada je vjerojatno vec jasno kako cemo definiratu normalnu modalnulogiku.

Definicija 19. Fiksirajmo proizvoljni modalni jezik modalnog tipa . Mo-dalna logika u tom jeziku je skup formula koje sadrze sve tautologije te jezatvorena na primjenu modus ponensa i uniformne supstitucije. Modalnalogika je normalna ako sadrzi sve aksiome K aksiomatskog sustava za modalnitip te je zatvorena na primjenu svih pravila izvoda K-dokaza za modalnitip .

Primjer 5. Definirajmo S = {|O `, za svaku strukturu O S}, gdje jeS neka klasa okvira ili opcih okvira. Tada je S modalna logika.

S svakako sadrzi sve propozicionalne tautologije. Da bi smo se uvjerilida je S modalna logika, dovoljno je uvjeriti se da je zatvorena na modusponens i uniformnu supstituciju. U daljnjem dokazu cemo pretpostaviti daje S klasa opcih okvira. Tu pretpostavku mozemo napraviti zato sto je okvirujedno i opci okvir ciji skup dopustivih valuacija je upravo cijeli partitivni

18

skup.Da bismo pokazali da je S zatvorena na modus ponens, uzmimo proiz-

voljne formule i i pretpostavimo da vrijedi O ` i O ` za svakiO S. Pretpostavimo sada da postojiO S takav daO 6 `. Tada postojineki model M zasnovan na O i stanje w O takvo da vrijedi M, w 6 `.No, ujedno vrijedi iM, w ` iM, w ` sto je u kontradikciji saM 6 `pa zakljucujemo da je S zatvorena na modus ponens.

Da bi smo dokazali da je S zatvorena na uniformnu supstituciju uzmimoproizvoljne formule i . Formulu dobivamo uniformnom zamjenom svihpojavljivanja propozicionalne varijable p u formuli s formulom . Zelimopokazati da pripada S. Dokaz provodimo indukcijom po duljini zamjenskeformule :

Za bazu indukcije pretpostavimo da je oblika q, > ili , gdje je qproizvoljna propozicionalna varijabla. Buduci da vrijedi za svakudopustivu valuciju varijable p, vrijedi i za valuacije u kojima je p svudaistinita, nigdje istinita, ili istinita upravo u stanjima u kojima je qistinita. Dakle, u baznom slucaju supstitucija cuva istinitost.

Pretpostavimo sada da je S zatvorena na uniformnu supstituciju gdjeje duljina zamjenske formule manja od n. Tada je oblika 12 ili ,odnosno 4 za svaki 4 . Buduci se primarno bavimo osnovnimtemporalnim jezikom, pretpostaviti cemo da je 4 unarni modalni o-perator. Operatori vise kratnosti samo tehnicki kompliciraju dokaz anisu nam posebno zanimljivi. Formule , 1 i 2 su duljine manje odn. Promotrimo slucaj = 1 2. Promotrimo posebno dva mogucapodslucaja:

(i). Formule 1 i 2 su obje duljine jedan. Slucaj u kojem su 1ili 2 jednaki ili > nisu zanimljivi jer svode formulu na for-mulu duljine jedan. Pretpostavimo dakle da su te formule jednakenekim propozicionalnim varijablama, nazovimo ih p1 i p2. Daklepretpostavili smo da je = p1 p2. Ako uzmemo proizvoljnimodel zasnovan na nekom O S sa valuacijom V tada je skupstanja u kojima je istinita upravo V (p1)

V (p2). Kako je

valjana na svim modelima s dopustivim valuacijama varijable p, askup dopustivih valuacija je zatvoren na presjeke, tako je posebno valjana na svim valuacijama od p koje ujedno odgovaraju svimmogucim skupovima stanja u kojima je istinita na nekom mo-delu. Dakle, u specijalnom slucaju u kojem su 1 i 2 duljinejedan, S je zatvorena na uniformnu supstituciju sa zamjenskomformulom = 1 2.

19

(ii). Od formula 1 i 2 je barem jedna duljine vece od jedan. Bezsmanjenja opcenitosti, pretpostavimo da je to upravo 2. Tadacemo jednu uniformnu supstituciju zamijeniti s dvije ekvivalentnegdje obje obavljaju supstituciju sa zamjenskom formulom duljinemanje od n. Uvedimo najprije novu propozicionalnu varijablukoja se ne pojavljuje u nijednoj od formula , , 1 ili 2 ioznacimo ju sa q. Tada najprije dobijemo tako da u sup-stituiramo 2 q na mjesto p, a zatim dobijemo tako da u supstituiramo 2 na mjesto q. Time smo dobili formulu koja jeidenticna formuli koju bismo dobili supstitucijom u na mjestop, ali smo koristili zamjenske formule duljine manje od n pa popretpostavci indukcije pripada S.

Dakle, korak indukcije vrijedi za oblika 1 2. Dokaz za ostaleoblike formule se provodi analogno, samo u razmatranju prvog pod-slucaja koristimo zatvorenost skupa dopustivih valuacija na komple-mente i modalne projekcije.

Dakle, pokazali smo da je S zaista modalna logika.

Citanjem definicije 19 mozemo primijetiti da normalna modalna logikanije ogranicena samo na aksiome K sustava. Naravno, u definiciji je nam-jerno ostavljena mogucnost dodavanja aksioma. To nam je cesto potrebnoako zelimo promatrati manji skup, preciznije definiranih, modalnih logika.Cesto zelimo promatrati normalne modalne logike kojima smo dodali nekiskup formula koje takoder zelimo zvati aksiomima. Zato uvodimo slijedecudefiniciju.

Definicija 20. Neka je modalni tip i neka je skup -formula. DefiniramoK, normalnu modalnu logiku aksiomatiziranu (odnosno generiranu) sa ,kao najmanju modalnu -logiku koja sadrzi sve formule iz . Formule iz senazivaju aksiomi logike, a se naziva aksiomatizacija logike K. Normalnamodalna logika generirana praznim skupom se oznacava sa K .

Vaznost gornje definicije ce postati jasnija kada budemo definirali nor-malnu temporalnu logiku i njene dodatne aksiome.

5.2 Potpunost

Cesto se nalazimo u situaciji u kojoj promatramo neki skup formula i jednuizdvojenu formulu i zanima nas da li istinitost izdvojene formule slijedi izistinosti skupa formula. Obicno nam je to vazno jer znaci da analizom skupaformula mozemo doci do zakljucka o izdvojenoj formuli. Upravo takav odnos

20

izmedu skupa formula i neke pojednicne formule opisuje pojam lokalne se-manticke posljedice.

Definicija 21. (Lokalna semanticka posljedica) Neka je modalni tip, i nekaje S neka klasa struktura tipa (klasa modela ili okvira). Neka je skupformula, a formula iz jezika modalnog tipa . Kazemo da je lokalnasemanticka posljedica od nad S (pisemo: `S ) ako za svaki modelM izS, i sva stanja w iz M, imamo da M, w ` povlaci M, w `.

Dakle, lokalna semanticka posljedica od jednostavno govori da istini-tost od u nekom stanju iz modela povlaci istinitost od .Lokalnu semanticku posljedicu smo definirali jer nam je potrebna za defini-ranje jednog posebnog svojstva neke klase okvira: jake potpunosti. No, prijemoramo definirati jos jedan pojam:

Definicija 22. Neka je modalna logika i neka je formula. Tadakazemo da je teorem logike i pisemo ` . Neka je skup formula, tadakazemo da je izvediva iz u logici ako postoje 1, . . . , n takvi davrijedi ` (1 . . . n) . To oznacavamo sa ` .

Ako pazljivo promotrimo definicije 21 i 22 primijetit cemo da zapravogovore o veoma slicnim pojmovima. Prva govori o tome da istinitost skupaformula povlaci istinitost odredene promatrane formule. Druga pak govorio izvedivosti formule iz skupa formula. Intuitivno promatrano, zeljeli bismoda ta dva pojma imaju isto znacenje. Upravo o takvom pozeljnom svojstvumodalnih logika govori slijedeca definicija.

Definicija 23. Neka je S klasa okvira (ili modela). Logika je jako potpunau odnosu na S ako za bilo koji skup formula

{} imamo da `S povlaci

` .Logika je slabo potpuna s obzirom na S ako za svaku formulu vrijedi

da `S povlaci ` .Logika je jako (slabo) potpuna s obzirom na samo jednu strukturu

ako je jako (slabo) potpuna s obzirom na {}.

Dakle, logika je strogo potpuna za klasu okvira, ako lokalna semantickaposljedica na klasi okvira povlaci izvedivost u logici. Takoder primijetimo daje slaba potpunost poseban slucaj jake potpunosti u kojoj je prazan skup,pa jaka potpunost povlaci slabu potpunost.

Na prvi pogled se cini da ce biti veoma tesko dokazivati jaku potpunostneke logike u odnosu na klasu struktura jer se trazi da provjeru svojstva izdefinicije provedemo za svaki okvir ili model iz klase. No slijedeca defini-cija i jednostavni teorem nam daju cesto koristeni rezultat za dokaz jakepotpunosti.

21

Definicija 24. Skup formula je -konzistentan ako (laz) nije izvedivaiz u . Skup formula je -inkonzistentan ako je izvediva.

Teorem 5. Logika je jako potpuna za klasu struktura S ako i samo ako jesvaki -konzistentni skup formula ispunjiv na nekoj strukturi O S.

Dokaz. Pretpostavimo prvo da nije jako potpuna za S. Tada postoji skupformula

{} takav da `S ali 6` . Tada je

{} -konzistentan

skup formula koji nije ispunjiv niti na jednoj strukturi iz S.Za obrnuti smjer pretpostavimo da postoji -konzistentni skup koji nije

ispunjiv niti na jednoj strukturi O S. Tada za svaku formulu trivijalnovrijedi `S . Specijalno vrijedi i `S . Buduci da je jako potpuna za S,to povlaci ` . No to je nemoguce jer je -konzistentan skup. Q.E.D.

5.3 Kanonski modeli

Ako promatramo neku logiku i njene -konzistentne skupove postavlja seprirodno pitanje: da li mozemo konstruirati model u kojemce svaki -konzistentan skup biti ispunjiv?

Ovdje predstavljamo uvjerljivo najvazniji odgovor na takvo pitanje: iz-gradimo modele iz maksimalnog konzistentnog skupa formula, da budemotocniji, sagradimo kanonske modele. Upravo se slijedeca definicija bavi mak-simalnim konzistentnim skupom formula.

Definicija 25. Skup formula je maksimalno -konzistentan ako je -konzistentan, i ako je svaki skup formula, koji je pravi nadskup od , -inkonzistentan. Ako je maksimalan -konzistentan skup formula, kazemoda je -MCS6).

Buduci da su -MCS-ovi tako vazni, dokazimo prvo neka njihova svojstva:

Teorem 6. (Svojstva MCS-ova) Ako je logika i je -MCS tada vrijedi:

(i). je zatvorena na modus ponens, tocnije: , povlaci ;

(ii). ;

(iii). za sve formule : ili ;

(iv). za sve formule , : ako i samo ako ili .

6engleski M aximal C onsistent Set - maksimalan konzistentan skup

22

Dokaz. (U ostatku dokaza se podrazumijeva da ` oznacava `) Prije dokaza potockama dokazimo jedno jednostavno svojstvo. Neka je proizvoljna formula zakoju vrijedi ` . Kada bi takoder vrijedilo ` vrijedilo bi i ` ,tj. ` . Buduci da je konzistentan skup, to je nemoguce. Dakle, 0 . Iztoga slijedi da je

{} konzistentan skup. No tada iz maksimalnosti od slijedi

. Da sumiramo: ` . Sad cemo lako dokazati tocke dokaza.

(i). Iz trivijalno slijedi ` . No pa prema definiciji toupravo znaci da je izvediva iz . Iz toga, prema vec dokazanom, slijedi .

(ii). Neka je proizvoljna formula. Tada ` pa specijalno vrijedi ` .No iz toga slijedi . Zbog proizvoljnog odabira formule zakljucujemoda vrijedi .

(iii). Za proizvoljnu formulu postoje dva slucaja, ili je izvediva iz ili nijeizvediva. Ako je izvediva tada smo vidjeli da vrijedi pa smo gotovi.Ako pak nije izvediva tada je

{} konzistentan skup. No tada zbog

maksimalnosti od mora vrijediti .

(iv). Neka vrijedi ili . Promotrimo slucaj kada je . Slucaj dokazuje se sasvim analogno. Primjetimo da je propozicionalnatautologija pa pripada skupu . Sada primjenom tocke (i) ovog dokaza sli-jedi .

Za obrat, neka je i pretpostavimo 6 i 6 . Tada zbog tocke(iii) ovog dokaza slijedi i . Sada dajemo jedan izvod za izskupa .

1. ( ( )) (propozicionalna tautologija)2. ` ( ) (modus ponens)3. ` (modus ponens)4. ( ) (propozicionalna tautologija)5. ` ( ) (modus ponens)6. ` ( ) ( )7. `

Dosli smo do ` no to je u kontradikciji sa konzistentnoscu skupa .Zakljucujemo da je pocetna pretpostavka pogresna, odnosno da vrijedi ili .

Q.E.D.

Da bi smo dobili model u kojem ce svaki konzistentan skup biti ispunjivgradimo specijalan model, kanonski model, cija su stanja MCS-ovi promatrane

23

logike. Dakle, kanonski model se zapravo gradi iz maksimalno konzistentnihskupova formula.

Kanonski model za posebnu, normalnu, temporalnu logiku Kt ce biti definiranu slijedecem poglavlju.

5.4 Minimalna i Kt temporalna logika

U ovom poglavlju bavimo se pitanjem sto je zapravo temporalna logika, tj. mozemoli formalizirati koncept temporalne logike. Vodeni tom idejom, kao prvi vazni korakuvodimo slijedecu definiciju:

Definicija 26. Minimalna temporalna logika Ft je {|Ft `}, gdje je Ft klasasvih bidirekcionalnih okvira.

Dakle, definirali smo da se minimalna temporalna logika sastoji upravo odklase svih formula valjanih na klasi svih bidirekcionalnih okvira. S obzirom nanas interes u promatranju temporalne logike na okvirima, ovaj izbor definicije jeveoma razuman. No, da li mozemo aksiomatizirati Ft? Da bismo odgovorili nato pitanje uvodimo pojam normalne temporalne logike koja ce nam dati odgovorna to pitanje cim pokazemo da ona generira upravo formule u Ft .

Definicija 27. Normalna temporalna logika je normalna modalna logika (u os-novnom temporalnom jeziku) koja sadrzi p GPp i p HFp (aksiomi obrata).Najmanju normalnu temporalnu logiku oznacavamo Kt. Obicno normalne tempo-ralne logike nazivamo logikama vremena.

Vrijedi naglasiti aksiome K-sustava za osnovni temporalni jezik. K- aksiomisu G(p q) (Gp Gq) i H(p q) (Hp Hq), a Dualni aksiomi suFp Gp i Pp Hp.

Odmah definiramo i kanonski model za Kt, kljucnu strukturu za daljnje pro-matranje normalnih temporalnih (tj. vremenskih) logika:

Definicija 28. Kanonski model za vremensku logiku je strukturaM = (T, {RP , RF }, V ) tako da :

(i). T je skup svih -MCS-ova.

(ii). RP je binarna relacija na T definirana sa: RP ts ako za sve formule , s

povlaci P t.

(iii). RF je binarna relacija na T definirana sa: RF ts ako za sve formule , s

povlaci F t.

(iv). V je valuacija definirana sa V (p) = {t T|p t}.

24

Dakle, kanonski model se izgraduje iz skupa svih -MCS-ova, a svaki elementdomene modela je upravo jedan -MCS.

Kao sto vidimo, kanonski model je konsturiran na dosta apstraktan nacin.Buduci da su mu stanja skupovi formula, imamo zanimljivo svojstvo da su formulelogike ujedno i elementi elemenata domene. Zbog takve konstrukcije, kanonskimodel posjeduje neka zanimljiva svojstva.

Lema 1. Za proizvoljne w, v T, vrijedi RPwv ako i samo ako za svaku formulu, H w povlaci v. (Analogna tvrdnja vrijedi i za operator F )

Dokaz. Pretpostavimo prvo da vrijedi RPwv, te 6 v. Buduci da je v MCS moravrijediti v, a to po definiciji znaci da vrijedi P w. Zbog konzistentnostitada vrijedi P 6 w, tj. H 6 w. Dokazimo sada obrat. Neka je vproizvoljna formula. Tada redom vrijedi:

v 6 v H 6 w P() 6 w P 6 w P w . (9)

Primijetimo da smo dobili da za svaku formulu , cinjenica v povlaci P w,sto je upravo definicija za RPwv. Time je dokazan i obrat.

Dokaz za operator F je analogan. Q.E.D.

Prethodna lema nam govori da smo razumno definirali kanonski model, tj.da zaista posjeduje neka svojstva koja bi intuitivno ocekivali. Drugim rijecima,relacije RP i R

F su upravo onakve kakve nam trebaju. Jos treba provjeriti da

postoji dovoljno MCS-ova koji su u relaciji. No za to ce nam trebati slijedeca lemakoja govori o prosirenju -konzistentnog skupa formula na -MCS.

Lema 2. (Lindenbaumova lema) Neka je neki -konzistentan skup formula.Tada postoji -MCS + takav da +.

Dokaz. Neka je 0, 1, 2, . . . niz koji sadrzi sve formule logike (ima ih prebrojivomnogo). Definiramo + kao uniju rastuceg lanca -konzistentnih skupova, naslijedeci nacin:

0 =

n+1 =

{n{n} , ako je ovo Kt konzistentno

n{n} , inace

+ =n0

n .

Sada cemo dokazati da je + zaista -MCS. Kao prvo primijetimo da je zbogodabira n u svakom koraku n zaista -konzistentan skup za svaki n. Dalje,ako uzmemo proizvoljnu formulu ona ce se nalaziti negdje u numeriranom lancusvih formula pa je ili ili element +. No kada bi se i i nalazili u +mogli bi naci dovoljno veliki n tako da i i pripadaju skupu n. No posto

25

je n -konzistentni skup to je nemoguce. Dakle, za svaku formulu vrijedi datocno jedna od i pripada skupu +. Uzmimo sada proizvoljnu formulu takvu da + ` . Po definiciji to znaci da postoje 1, . . . , m iz + takvi da` (1 . . . m) . Kada bi vrijedilo + postojao bi neki n kojisadrzi , 1, . . . , m. No tada bi vrijedilo n ` sto je nemoguce jer je n-konzistentan skup. Dakle, mora vrijediti da + ` povlaci +. Sada jejasno da kada bi vrijedilo + ` bi vrijedilo , odnosno n za neko nsto je nemoguce. Drugim rijecima + je -konzistentan skup.

Za kraj primijetimo da za svaku formulu vrijedi da 6 + povlaci +.Dakle, ako skupu + dodamo bilo koju formulu koju vec ne sadrzi, postat ce-inkonzistentan skup. Dakle, + je zaista -MCS. Q.E.D.

Sada smo spremni da dokazemo lemu o egzistenciji.

Lema 3. (Lema o egzistenciji) Za svako stanje w T za koje vrijedi P w,postoji stanje v T takvo da RPwv i v. (Analogna tvrdnja vrijedi za operatorF )

Dokaz. Pretpostavimo P w. Konstruirat cemo stanje v T takvo da RPwvi v. Neka je v = {}

{|H w}. Pokazimo da je v konzistentan skup.

Pretpostavimo da nije. Tada postoje formule 1, . . . , n takve da` (1 n) . Dalje, iz pravila generalizacije i K-aksioma slijedi` H(1 n) H. Kako je (H1 Hn) H(1 n)teorem svake normalne temporalne logike, slijedi ` (H1 Hn) H.Skup v smo definirali tako da H1, . . . ,Hn w, a w je kao MCS zatvoren nakonjukciju pa vrijedi (H1 Hn) w. Primjenom pravila izvoda modusponens i svojstva MCS-ova dokazanog u teoremu 6, slijedi H w, tj. po du-alnosti operatora, P w. No, to je nemoguce jer je w MCS koji sadrzi P.Dakle, dobili smo kontradikciju i pokazali da je v konzistentan skup.

Sada definiramo v kao -MCS prosirenje od v, cije postojanje nam garan-tira Lindenbaumova lema. Po konstrukciji vrijedi v, te za svaku formulu ,H w povlaci v. Dakle, prema lemi 1 slijedi RPwv.

Dokaz za F je analogan. Q.E.D.

Teorem 7. Za svaki vremensku logiku i formulu vrijediM, w ` ako i samoako w.

Dokaz. Dokaz se provodi indukcijom po slozenosti od . Baza indukcije slijedi izdefinicije od V .

Za korak indukcije bulovski slucajevi se dokazuju iz definicije istinitosti pa ihovdje preskacemo i koncentriramo se na modalitete. Dokaz provodimo samo za Pjer je za operator F analogan. Dokazimo prvo jedan smjer. U tu svrhu pisemo

26

sljedeci niz implikacija:

M, w `P v(RPwv M, v `

) v

(RPwv v

)(Pretpostavka indukcije)

P w (Po definiciji od RP ).

Za dokaz u obrnutom smjeru, prema ekvivalencijama u gornjem dokazu, dovoljnoje naci stanje v takvo da vrijedi RPwv v, no lema o postojanju (Lema 3)govori upravo o postojanju takvog stanja te je time i obrnuti smjer dokazan.

Dokaz za F je analogan. Q.E.D.

Buduci da temporalne logike promatramo na bidirekcionalnim modelima, zeljelibismo da je takav i kanonski model. Pokazuje se da je kanonski model zaista bidi-rekcionalan.

Teorem 8. Za svaku vremensku logiku , RP ts povlaci RF st i R

F ts povlaci R

P st.

Dokaz. Dokazimo da RP ts povlaci RF st.

Uzmimo proizvoljni t. Da bismo dobili RF st trebamo, po definiciji, pokazatida t povlaci F s. Dokaz slijedi iz K-aksiom i aksioma vremenskih logikate primjenom pravila izvoda K-dokaza.

Najprije iz aksioma obrata primjenom pravila uniformne supstitucije dobijemoda je HF teorem vremenske logike . Iz t i upravo dobivenog teoremadobijemo da vrijedi HF t. Kada prema dualnom aksiomu raspisemo operatorH u terminima operatora P dobijemo da vrijedi P (F). Drugim rijecima, zasvaki w T takav da vrijedi RP tw, imamo F w. Buduci da po pretpostavciimamo RP ts, tada specijalno vrijedi F s. To, zbog odabira formule , povlaciRF st. Dakle, dokazali smo da R

P ts povlaci R

F st.

Obratna tvrdnja, tj. da RF ts povlaci RP st, se dokazuje na analogan nacin.

Q.E.D.

Sada smo spremni dokazati veoma bitan teorem koji ce nam dati sintaktickukarakterizaciju minimalne temporalne logike, teorem potpunosti:

Teorem 9. Kt je jako potpuna s obzirom na klasu svih bidirekcionalnih okvira, iKt = Ft.

Dokaz. Pokazimo najprije da jeKt jako potpuna s obzirom na svoj kanonski model.Zelimo dokazati da za svaki skup formula i formulu u logici Kt vrijedi da `Kt povlaci `Kt .

Primijetimo da je dovoljno promatrati samo Kt-konzistentne skupove. Naimeako bi postojao neki Kt-inkonzistentan skup tako da postoji w MKt takavda MKt , w ` tada bi takoder, za isti w vrijedilo MKt , w ` sto je nemogucepa nije ispunjiva na MKt . Iz toga trivijalno slijedi da su sve formule lokalne

27

semanticke posljedice od , ali isto tako je i svaka formula trivijalno izvediva iz ,pa su takvi skupovi formula nebitni za jaku potpunost.

Dakle, uzmimo proizvoljni Kt-konzistentan skup i primjenom Lindenbau-move leme ga prosirimo do Kt-MCSa

+. Zbog definicije od WKt slijedi + MKt . Zbog teorema 7 slijedi MKt ,+ `. Dakle, pokazali smo da je svaki Ktkonzistentan skup ispunjiv na kanonskom modelu. Sada prema teoremu 5 slijedi daje Kt jako potpuna za singularnu klasu modela koja sadrzi samo kanonski model,tj. Kt je jako potpuna za kanonski model.

Buduci da je u teoremu 8 pokazano da je kanonski model baziran na bidirek-cionalnom okviru, a upravo smo pokazali da je svaki Kt-konzistentan skup formulaispunjiv na kanonskom modelu opet iz teorema 5 slijedi da je Kt jako potpuno sobzirom na klasu svih bidirekcionalnih okvira.

Takoder, prisjetimo se da jaka potpunost povlaci slabu potpunost pa iz gornjegrezultata i definicije slabe potpunosti direktno slijedi Ft Kt.

Kao sto smo vidjeli u dokazu teorema 8 aksiomi obrata povlace da je okvir kojiutemeljuje model logike koja sadrzi aksiome obrata bidirekcionalan. Iz toga ocitoslijedi da je Kt Ft . Dakle Kt = Ft . Q.E.D.

Da zakljucimo, upravo smo dokazali da je Kt jako potpuna logika koja tocnogenerira formule minimalne temporalne logike. Time smo aksiomatizirali mini-malnu temporalnu logiku i opisali ju jednostavnim sintaktickim uvjetima. Tajvazni rezlutat je podloga za mnoga daljnja promatranja temporalne logike.

5.5 Kanonska svojstva

Do sada smo definirali kanonske modele, no termin kanonski ima i puno siru prim-jenu, baziranu na vec definiranom terminu kanonski model. Uvodimo definiciju zakanonsku formulu i logiku.

Definicija 29. Formula je kanonska ako za svaku normalnu logiku , povlaci da je valjana na kanonskom okviru od . Normalna logika je kanonskaako je njen kanonski okvir zaista okvir za . (Tj., je kanonska ako za sve takve da ` , vrijedi da je valjana na kanonskom okviru od .)

Sto je jos vaznije, termin kanonski mozemo prosiriti na semanticka svojstvalogika.

Definicija 30. (Kanonska svojstva) Neka je formula i P neko svojstvo. Akosvaki kanonski okvir za bilo koju normalnu logiku koja sadrzi formulu imasvojstvo P, tada je kanonska za P.

Oboruzani definicijom kanonskih svojstava, i s definiranom i aksiomatiziranomlogikom Kt, imamo temelje za pomniju analizu semantickih svojstava temporalnelogike, odnosno analize aksiomatskih prosirenja logike Kt. Ako promatramo vre-mensku logiku u neformalnom svijetlu stvarnih vremenskih fenomena koje bi htjeli

28

modelirati, vidimo da ce nas zanimati gusti i totalno uredeni okviri. Pritom cemose ograniciti na slijedece pitanje: Kako se temporalna logika gustih neogranicenihslabo linearnih okvira moze aksiomatizirati?

Pocnimo sa definicijom prikladne klase okvira.

Definicija 31. Za bidirekcionalni okvir (T,R) kazemo da je:

(i). gust (eng. Dense) ako postoji tocka izmedu svake dvije tocke koje su urelaciji, odnosno, formalno zapisano, xy(Rxy z(Rxz Rzy)).

(ii). neogranicen s desna ako svaka tocka ima sljedbenika.

(iii). neogranicen s lijeva ako svaka tocka ima prethodnika.

(iv). neogranicen (eng. Unbound) ako je neogranicen i s lijeva i s desna.

(v). totalan ako su svake dvije tocke ili jednake ili su u nekoj relaciji, odnosno,formalno zapisano, xy(Rxy x = y Ryx).

(vi). slabo linearan (eng. Weak Total Order) ako je totalan i tranzitivan.

Okvir sa svim navedenim svojstvima se zove DUWTO-okvir.

Da bismo nasli pozeljno aksiomatsko prosirenje Kt logike prvo trebamo odreditimodalne formule koje su kanonske za svojstva iz definicije. Za tri svojstva jeprilicno jednostavno identificirati kanonske formule.

Lema 4. Formula FFp Fp je kanonska za tranzitivnost.

Dokaz. Neka je bilo koja vremenska logika koja sadrzi FFp Fp. Neka je(T, R) njen kanonski okvir i uzmimo proizvoljne tocke w, v, u T takve davrijedi Rwv i Rvu. Neka je u proizvoljna formula. Tada Rvu povlaci F vpo definiciji. Takoder po definiciji F v i Rwv povlace FF w, te upravoiz aksioma FFp Fp primjenom pravila uniformne supstitucije i modus ponensslijedi F w. Zbog proizvoljnog odabira formule , po definiciji slijedi Rwu,a iz proizvoljnog odabira tocaka w,v i u slijedi tranzitivnost od (T, R). Dakle,FFp Fp je kanonska za tranzitivnost. Q.E.D.

Aksiom FFp Fp se tradicionalno oznacava sa (4).

Lema 5. Formula Gp Fp je kanonska za neogranicenost s desna.

Dokaz. Neka je bilo koja vremenska logika koja sadrzi Gp Fp. Neka je(T, R) njen kanonski okvir i uzmimo proizvoljnu tocku w T . Svakako je> pa primjenom generalizacije slijedi G> . Primijenimo uniformnu sup-stituciju i modus ponens te dobijemo F> w. Prema lemi o postojanju postojistanje v takvo da Rwv. Zbor proizvoljnog odabira tocke w slijedi da je (T, R)neogranicen s desna te je Gp Fp kanonska za neogranicenost s desna. Q.E.D.

Aksiom Gp Fp se tradicionalno oznacava sa (Dr).

29

Lema 6. Formula Hp Pp je kanonska za neogranicenost s lijeva.

Dokaz. Potpuno analogno dokazu za neogranicenost sa desna slijedi da je Hp Pp kanonska za neogranicenost sa lijeva. Q.E.D.

Aksiom Hp Pp se tradicionalno oznacava sa (Dl).

Buduci da dokaz kanonskog svojstva formule za gustocu nije trivijalan vrijediga posebno izdvojiti.

Lema 7. Formula Fp FFp je kanonska za gustocu.

Dokaz. Neka je bilo koja vremenska logika koja sadrzi Fp FFp. Neka je(T, R) njen kanonski okvir i uzmimo proizvoljne tocke t, t T takve da Rtt.Trebamo pokazati da postoji -MCS s takav da Rts i da Rst. Kada bismomogli pokazati da je {|G t}

{F| t} konzistentan skup formula imali

bismo trazeni rezultat jer bi bilo koji MCS koji prosiruje taj skup bio adekvatanizbor za s.

Pretpostavimo suprotno, da navedeni skup nije konzistentan. Tada postojikonacno mnogo formula 1, . . . , m, 1, . . . , n iz tog skupa tako da vrijedi:

` (1 m F1 Fn) (10)

.Definirajmo kao pokratu za 1 m i za 1 n. Primijetimo

da vrijedi t.Dalje, zbog ` F F1 Fn vrijedi ` F , odnosno

` F i konacno pravilom generalizacije ` G GF. Zato jer jeG1, . . . , Gm t, vrijedi G t, odnosno(modus ponens) GF t te zbogkonzistentnosti od t GF 6 t. To je upravo FF 6 t. No to povlaci daF 6 t jer, primjenom uniformne supstitucije na promatrani aksiom, imamo F FF t. No to je kontradikcija jer je t i Rtt pa mora vrijediti F t. Doslismo do kontradikcije i zakljucujemo da je {|G t}

{F| t} konzistentan

skup. Q.E.D.

Aksiom Fp FFp se tradicionalno oznacava sa (Den).

Jos jedino preostaje totalnost, ali ovdje nas dosadasnji pristup nije vise do-voljan. Primijetimo da niti jedna formula vremenske logike ne moze definiratitotalnost. Zaista, ako uzmemo dva disjunktna okvira tako da je svaki pojedinacnototalan i napravimo disjunktnu uniju, modalna (i temporalna) valjanost formula cebiti ocuvana kao direktna posljedica teorema 4. Pretpostavimo da postoji formulakoja je kanonska za totalnost. Tada bi ta formula bila valjana na tako konstru-iranom okviru no taj okvir ocito nije totalan. Dapace, kanonski okviri mogu bitisastavljeni iz disjunktnih podokvira generiranih iz tocaka. Takvi kanonski okvirinece biti totalni. Ukratko, da bismo dobili zeljeni rezultat o potpunosti, moramo

30

sagraditi model sa svojstvom za koje niti jedna modalna formula nije kanonska. Toje problem koji se cesto javlja prilikom dokazivanja semanticki dobivenih rezultata.

U danom slucaju totalnosti, malo drukciji pristup vodi do rijesenja. Prvo semoramo rijesiti moguce zablude. Do sada smo uvijek koristili cijeli kanonski model,ali to nije nuzno. Model generiran iz tocke je dovoljan. To slijedi iz cinjenice daako M, w onda za O, podmodel od M generiran sa w, vrijedi O, w 7.

Ogranicavanjem na modele generirane tockama povecali smo skup svojstavakoje mozemo definirati temporalnom formulom. Posebno, mozemo definirati to-talnost na modelima generiranim iz tocke. Za to ce nam trebati kanonske formuleza svojstva nema grananja na desno, odnosno, formalno zapisano:

xyz[(Rzx Rzy) (Rxy x = y Ryx)] (11)

i za nema grananja na lijevo, odnosno formalno zapisano:

xyz[(Rxz Ryz) (Rxy x = y Ryx)] . (12)

Sada cemo dokazati dvije leme koje govore upravo o formulama koje su kanonskeza ta svojstva.

Lema 8. Formula (Fp Fq) F (p Fq) F (p q) F (q Fp) je kanonska zanema grananja na desno.

Dokaz. Neka je bilo koja vremenska logika koja sadrzi (FpFq) F (pFq)F (p q) F (q Fp) i neka je (T, R) njen kanonski okvir. Uzmimo proizvoljnex, y, z T takve da vrijedi Rzx Rzy.

Ako uzmemo proizvoljne formule i takve da x i y tada zbogRzx Rzy vrijedi F F z. Primjenom pravila uniformne supstitucije imodus ponens na formulu iz iskaza teorema dobijemo da vrijedi F ( F) F ( ) F ( F) x. Sada cemo pokazati da svaki element te disjunkcijeredom povlaci Rxy, x = y i Ryx.

(i). Pretpostavimo da vrijedi F ( F) z. Prema lemi o postojanju slijedida postoji stanje v T takvo da Rzv i da vrijedi F v. Posebnovrijedi v. Buduci da je x proizvoljno odabrana, slijedi x v noposto su i x i v -MCS nije moguce x $ v pa mora vrijediti x = v. Dalje,zbog F v vrijedi F v no y je bila proizvoljna formula. Dakle,prema definiciji vrijedi Rxy.

(ii). Pretpostavimo sada da vrijedi F ( ) z. Kao i u (i) zakljucujemo davrijedi x, a specijalno vrijedi x. Kako je y proizvoljnoodabrana slijedi y x no oba skupa su -MCSovi pa mora vrijediti x = y.

(iii). Pretpostavimo da vrijedi F (F) z. Analogno zakljucivanju u tocki (i)zakljucujemo da vrijedi Ryx.

7vidi teorem 1

31

Buduci da ce barem jedan od elemenata disjunkcije biti istinit na z zakljucujemoda je (Fp Fq) F (p Fq) F (p q) F (q Fp) zaista kanonska za nemagrananja na desno. Q.E.D.

Aksiom (FpFq) F (pFq)F (pq)F (qFp) se tradicionalno oznacavasa (.3r).

Dokaz slijedece leme je sasvim analogan dokazu prethodne leme.

Lema 9. Formula (Pp Pq) P (p Pq) P (p q) P (q Pp) je kanonska zanema grananja na lijevo.

Aksiom (PpPq) P (pPq)P (pq)P (qPp) se tradicionalno oznacavasa (.3l).

Okvir koji nema grananja na lijevo, a niti na desno, nazivat cemo okvir bezgrananja.

Lema 10. Svaki totalni okvir (T,R) je okvir bez grananja. Nadalje, ako je Rtranzitivna i bez grananja i t T , tada je podokvir od (T,R) generiran sa t totalan.

Dokaz. Kao sto smo definirali, nema grananja na desno se formalno zapisajuformulom prvog reda:

xyz[(Rzx Rzy) (Rxy x = y Ryx)] . (13)

No, desna strana te implikacije je upravo totalnost sto znaci da na totalnom okvirurelacija uvijek vrijedi. Analogno vrijedi za Nema grananja na lijevo.

Za dokaz drugog dijela leme uzmimo proizvoljne tocke x i y razlicite od t (zat je ocito) i pokusajmo dokazati da vrijedi Rxy x = y Ryx. Buduci da jeokvir generiran iz tocke t, a R tranzitivna relacija, slijedi da za svaki x T vrijediRtxRxt. Iz toga slijedi da odnos izmedu t, x i y mozemo svesti na cetiri mogucaslucaja. Sada navodime sve slucajeve i odmah pokazujemo da iz svakog slucajaslijedi Rxy x = y Ryx:

(i). Rtx Rty - Buduci da vrijedi svojstvo nema grananja na desno direktnoslijedi Rxy x = y Ryx.

(ii). Rxt Ryt - Buduci da vrijedi svojstvo nema grananja na lijevo direktnoslijedi Rxy x = y Ryx.

(iii). RxtRty - Buduci da je R tranzitivna relacija vrijedi da RxtRty povlaciRxy.

(iv). RtxRyt - Buduci da je R tranzitivna relacija vrijedi da RytRtx povlaciRyx.

Q.E.D.

32

Sada smo spremni definirati vremensku logiku koja objedinjuje sve kanonskeformule spomenute u ovom poglavlju i dokazati da upravo ona daje odgovor napitanje postavljeno na pocetku poglavlja: Kako se temporalna logika gustih neo-granicenih slabo linearnih okvira moze aksiomatizirati?

Definicija 32. Neka je KtQ najmanja vremenska logika koja sadrzi sljedece for-mule:

(4) FFp Fp(Dr) Gp Fp(Dl) Gp Pp(Den) Fp FFp(.3r) (Fp Fq) F (p Fq) F (p q) F (q Fp)(.3l) (Pp Pq) P (p Pq) P (p q) P (q Pp)

Teorem 10. KtQ je jako potpuna s obzirom na klasu DUWTO-okvira.

Dokaz. Ako je neki KtQ konzistentan skup formula, prosirimo ga do KtQ-MCSa+. Neka jeM kanonski model za KtQ, i neka je O podmodel odM generiran sa+. Tada vrijedi O,+ . Nadalje, okvir koji utemeljuje O je DUWTO okvirkao sto i zelimo. Zaista, buduci da KtQ sadrzi kanonske aksiome za tranzitivnost,neogranicenost i gustocu, i M ima ta svojstva pa ih tako i O ima. I na kraju,buduci da su (.3l) i (.3r) kanonski za nema grananja,M nema grananja, a okvirkoji utemeljuje O je totalan.

Q.E.D.

5.6 Nepotpunost

Do sada smo promatrali logike za koje je dokaz potpunosti preko kanonskog okvirauspijevao. No, ta metoda nemoze uvijek donijeti rezultate. Na primjer, ne morasvaka normalna logika biti kanonska. Dapace, nije svaka normalna logika zaistalogika neke klase okvira. U ovom poglavlju dat cemo odgovor na pitanje: Da lije svaka normalna logika slabo potpuna s obzirom na neku glasu okvira? Definiratcemo jednu posebnu temporalnu logika za koju cemo pokazati da je konzistentna,ali nepotpuna.

Definicija 33. Neka je normalna modalna logika. je (okvirno-)potpuna akopostoji klasa okvira F takva da = F , a inace kazemo da je (okvirno-)nepotpuna.

Sada cemo demonstrirati postojanje nepotpunih logika u osnovnom tempo-ralnom jeziku. Najprije cemo definirati vremensku logiku KtTho i pokazati daje konzistentna. Zatim cemo pokazati da niti jedan okvir za KtTho ne mozevalidirati takozvani McKinsey aksiom (njegova inacica u temporalnoj logici jeGF FG). U tom trenutku uvest cemo KtThoM logiku, najmanju logikukoja sadrzi KtTho i McKinsey aksiom. Intuitivno bi nam se moglo uciniti da jeKtThoM inkonzistenta logika, no, iznenadujuce, KtThoM je konzistentna te nije

33

vremenska logika niti jedne klase okvira. Na kraju cemo to dokazati pomocu opcihokvira.

Definiramo KtTho kao vremensku logiku generiranu slijedecim aksiomima:

(Fp Fq) F (p Fq) F (p q) F (q Fp) (.3r) (14)Gp Fp (Dr) (15)

H(Hp p) Hp (Ll) (16)

Kao sto smo pokazali u prosloj tocki, prva dva aksioma su kanonske formuleza jednostvna svojstva (nema grananja na desno i neogranicenost sa desna). Trecaformula je Lobov aksiom zapisan u terminima operatora H. Svojstvo svih instanciLobovog aksioma je da su valjane na tocno onim okvirima koji su tranzitivni i nesadrze beskonacno silazece puteve8. U slijedecoj lemi cemo i dokazati to svojstvoza Lobov aksiom u terminima operatora H.

Lema 11. Aksiom H(Hp p) Hp je valjan na okviru F = (W,R) ako i samoako je F tranzitivan i dobro fundiran.

Dokaz. Uzmimo prvo da je F tranzitivan i dobro fundiran i pretpostavimo daaksiom H(Hp p) Hp nije valjan na F .

Tada postoji valuacija V i stanje w W takvo da (F , V ), w 6`H(Hp p) Hp. Drugim rijecima, vrijedi w `H(Hp p), ali w 6`Hp pa postoji stanje w1takvo da vrijedi w1Rw i w1 6` p. Zbog w `H(Hp p) slijedi da je formula Hp pvaljana na svim prethodnicima od w pa tako i na w1. No tada iz w1 6` p slijediw1 6`Hp. Ponavljanjem istog slijeda zakljucivanja nalazimo stanje w2 takvo davrijedi w2Rw1 i w2 6` p. Buduci da je R tranzitivna relacija, vrijedi w2Rw pa opetistim slijedom zakljucivanja slijedi w2 6`Hp. Ponavljanjem tog postupka mozemokonstruirati beskonacni silazeci put . . . w3Rw2Rw1Rw. No takvi putevi na F nepostoje. Dakle, aksiom H(Hp p) Hp je valjan na F .

Da bismo dokazali obrat, prvo cemo promotriti okvire koji nisu tranzitivni,a zatim okvire koji su tranzitivni ali nisu dobro fundirani. U oba slucaja cemonaci valuaciju V i stanje w takvo da (F , V ), w 6`H(Hp p) Hp. Time cemopokazati da Lobov aksiom ne moze biti valjan na okvirima koji nisu tranzitivni idobro fundirani i time ce dokaz biti gotov.

Dakle, pretpostavimo prvo da okvir F nije tranzitivan. Tada postoje stanjaw1, w2 i w3 takva da vrijedi w1Rw2 i w2Rw3, ali ne vrijedi w1Rw3. Definirajmovaluaciju V sa V (p) = W \ {w1, w2}. Tada je formula Hp p istinita u svimstanjima osim mozda u w1. Dakle, sigurno je istinita u svim prethodnicima od w3pa vrijedi (F , V ), w3 `H(Hp p). No, zbog w2 6` p ocito Hp nije istinita u w3.Drugim rijecima, Lobov aksiom nije valjan u stanju w3 s valuacijom V .

Pretpostavimo sada da je F tranzitivan, ali nije dobro fundiran. Drugim8drugim rijecima, dobro su fundirani

34

rijecima, F je tranzitivan okvir koji sadrzi bekonacni silazeci niz . . . w2Rw1Rw0.Iskoristit cemo postojanje takvog niza da bismo definirali valuaciju V :

V (p) = W \ {x W |postoji beskonacni silazeci put koji pocinje u x} (17)

Sada cemo pokazati da je pod takvom valuacijom formula Hp p istinita svuda.Za stanja u kojima je p istinita to trivijalno vrijedi, pa promotrimo proizvoljnostanje w u kojem p nije istinita. To znaci da postoji beskonacni silazeci putkoji pocinje u w. Svaki od elemenata tog puta je prethodnik od w i mozemo gapromatrati kao pocetak ostatka tog puta. Prema tome, p nije istinita u svakomod elemenata tog puta. Sad je jasno da ni Hp nije istinita u w, iz cega pak slijedida je Hp p istinita u w. Dakle Hp p je istinita svuda, a onda je posebnoi H(Hp p) istinita svuda. No Hp nije istinita u w0 pa ni Lobov aksiom nijeistinit u w0. Q.E.D.

Primijetimo da dobro fundirani okviri ne mogu sadrzavati refleksivne tocke.Buduci da su sva tri aksioma: (.3r), (Dr) i (Ll), valjana na okviru prirodnihbrojeva sa standardnim relacijama (< i >), KtTho je konzistentna. Ako je (T,R)okvir za KtTho i t T , tada je {u T |Rtu} desno neogranicen strogo totalnoureden skup.

Dalje, neka je KtThoM najmanja vremenska logika koja sadrzi KtTho i McK-insey aksiom (GFp FGp). Koji okviri pripadaju ovako obogacenoj logici?Odgovor je niti jedan, ili drukcije receno, KtThoM definira praznu klasu okvira.Da bi smo to pokazali najprije trebamo uvesti koncept kofinalnosti.

Definicija 34. Neka je (U,

(i). Za = 0 uzimamo neke tocke r0 i s0 iz U takve da r0 < s0 i definiramoR0 = {r0} i S0 = {s0}.

(ii). Ako je ordinal slijedbenik oblika + 1, tada razlikujemo dva slucaja:

(a) ako je R ili S kofinalan, onda definiramo R = R i S = S,

(b) ako ni R ni S nisu kofinalni, uzmemo neku gornju ogradu r od S,uzmemo s vece od r i definiramo R = R

{r} i S = S

{s}

(iii). Ako je granicni ordinal, definiramo R =

Razlika u dokazu bez te pretpostavke je samo tehnicka i nepotrebno kompliciraiskaz. Tada je po konstrukciji r < s, no s S, a r je gornja ograda od S. Iztoga slijedi r < r, a specijalno r 6= r. Zbog proizvoljnosti od i slijedi da jer i injektivno preslikavanje. No iz toga slijedi da je skup koji je manji ili jednakU sto je u kontradikciji sa odabirom . Dosli smo do kontradikcije i zakljucujemoda su R i S kofinalni. Q.E.D.

Pokazali smo da KtThoM definira praznu klasu okvira. Cini se da je i potpunau odnosu na tu klasu, tj. da je KtThoM nekonzistentna logika. No, kao sto cemovidjeti u slijedecem teoremu, to nije slucaj.

Teorem 11. KtThoM je konzistentna i nepotpuna.

Dokaz. Neka je okvirN = (N,

konzistentna, pa nije niti logika prazne klase okvira. Dakle, nije logika niti jedneklase okvira, tj. nepotpuna je. Q.E.D.

38

6 Operatori since i until

U ovom poglavlju promotrit cemo jedno cesto koristeno prosirenje osnovnog tem-poralnog jezika. Definirat cemo operatore since i until i tako prosiriti osnovnitemporalni jezik. Pokazat cemo da smo takvim prosirenjem dobili pravo prosirenjeekspresivnosti nad osnovnim temporalnim jezikom.

Operatori definirani u ovom poglavlju su uglavnom motivirani potrebom za for-malnim opisivanjem ponasanja racunalnih sustava. Dakle, temporalni jezik kojicemo definirati je proizasao direktno iz prakticne primjene pa je kao takav veomacesto koristen.

6.1 Definicija operatora since i until

Do sada smo promatrali samo temporalne operatore F i P. Pomocu njih mozemoizraziti tvrdnje poput Nesto ce se dogoditi i Nesto se dogodilo.

No ponekad nam to nije dovoljno. Na primjer, zelimo izraziti tvrdnje poputNesto dobro ce se dogoditi i do tada se nista lose nece dogoditi. Ili, maloopcenitije receno, tvrdnje oblika Dogodit ce se p, a do tada ce vrijediti q:

Potreba za izrazavanjem upravo takvih tvrdnji je bila motivacija za definiranjeuntil operatora U . Istinitost operatora U interpretiramo na slijedeci nacin:

t ` U(, ) ako i samo akopostoji v > t takav da v ` i za svaki s takav da t < s < v vrijedi s ` .

Operator suprotan operatoru U je since operator S:

t ` S(, )ako i samo akopostoji v < t takav da v ` i za svaki s takav da v < s < t vrijedi s ` .

Skup S, U -formula se izgraduje iz skupa propozicionalnih varijabli, uobica-jenih bulovskih veznika, i binarnih modalnih operatora S i U . Zrcalna slika formule se dobije simultanom zamjenom svih pojavljivanja U sa S i S sa U .

S, U -formule interpretiramo na okvirima oblika F = (T,

smo koristili za interpretaciju temporalnih logika. No, promijenili smo notacijuzato da bismo naglasili da nas kod S, U -formula primarno zanimaju oni okvirikod kojih je relacija zapravo potpuna u Dedekindovom smislu. O tome ce bitivise rijeci u daljnjem tekstu. Takoder, da bismo naglasili interes za temporalnuinterpretaciju S, U -formula, takve okvire cemo cesto zvati vremenskim tokovima.

Prirodno se postavlja pitanje: U kakvom je odnosu jezik S, U -formula naspramosnovnog temporalnog jezika? Kao prvo, primijetimo da se operatori F i P mogudefinirati pomocu operatora S i U . Zaista, vidimo da vrijedi F = U(,>) iP = S(,>). Dakle, jezik sa S i U operatorima je barem toliko ekspresivanpoput osvnovnog temporalnog jezika. Ali veoma je vazno pitanje da li je strogo ek-spresivniji? Ako odgovor nije potvrdan, daljnje proucavanje nema smisla. Srecompokazat cemo da je zaista strogo ekspresivniji. Da bi smo to pokazali, trebamonaci okvir s dvije valuacije takve da se slazu u valjanosti svih F i P formula, aliih se moze razlikovati pomocu S i U formula. Takav primjer je dosta lako naciza proizvoljni okvir pa cemo se odmah koncentrirati na dosta slozeniji ali i znatnovazniji problem dokaza da ta dva jezika nisu ekvivalentna cak i na skupu realnihbrojeva R sa standardnom relacijom

(ii). = AA je slozenosti n 1 pa mozemo primijeniti pretpostavku indukcije:

(M, x `A) (M, x `A)P.I. (M, f(x) `A) (M, f(x) `A)

(iii). = FAM, x `FA je ekvivalentno sa time da postoji t R takav da vrijedi t > x iM, t `A. No A je slozenosti n 1 pa vrijedi M, f(t) `A. No, primijetimoda zbog drugog uvjeta na funkciju f vrijedi f(t) > f(x). Te dvije tvrdnjesu ekvivalentne sa M, f(x) `FA.

(iv). = PADokaz se provodi analogno kao u slucaju operatora F .

Q.E.D.

Teorem 12. U se ne moze definirati na (R,

Pokazimo sada da za svaki x [1, 32 ] vrijedi:

(M2, x `)(M2,

5

4+x 1

2`)

. (22)

Da bi smo to pokazali definirajmo funkciju g : R R sa:

g(x) =

{54 +

x12 , x [1,

32 ]

x , x 6 [1, 32 ](23)

Buduci da se valuacija propozicionalnih varijabli ne mijenja unutar skupa [1, 32 ] ifunkcija g zadovoljava uvjete leme 13, tvrdnja slijedi. Primijetimo da je g(1) = 54 .

Sada imamo sve sta nam treba da bi smo indukcijom po slozenosti od dokazalida za svaki x R \ {1} vrijedi:

(M1, x `) (M2, x `). (24)

Baza indukcije slijedi direktno iz definicija valuacija V1 i V2. Korak za bulovskeslucajeve je trivijalan i analogan onome u dokazu leme 13 pa cemo ga ovdjeizostaviti. Koncentrirat cemo se na modalni slucaj.

Pretpostavimo dakle da je oblika FA. Pokazimo prvo da (M1, x `) povlaci(M2, x `). Iz M1, x `FA slijedi da postoji t > x takav da vrijedi M1, t `A.Sada imamo dva slucaja:

1. t = 1

(M1, 1 `A) (M1, 3 `A)Pretp.Ind. (M2, 3 `A)

Buduci da je 3 > 1 > x slijedi da vrijedi (M2, x `FA)

2. t 6= 1

(M1, t `A)Pretp.Ind. (M2, t `A) (M2, x `FA)

Pokazimo sada da vrijedi (M2, x `) (M1, x `). IzM2, x `FA slijedi dapostoji t > x takav da vrijedi M2, t `A. Sada opet imamo dva slucaja:

1. t = 1

(M2, 1 `A) (M2,5

4`A) Pretp.Ind. (M1,

5

4`A)

Buduci da je 54 > 1 > x slijedi da vrijedi (M2, x `FA)

2. t 6= 1

(M2, t `A)Pretp.Ind. (M1, t `A) (M1, x `FA)

42

Jos je preostalo promotriti korak indukcije za slucaj = PA. Za to je dovoljnoprimijetiti da funkcija g = g2 takoder zadovoljava uvjete leme 13. Buduci da jepod njom g(1) = 34 imamo (M2, 1 `) (M2,

34 `). Koristeci takav skok

u proslost, dokaz za slucaj operatora P se provodi analogno dokazu za slucajoperatora F . Q.E.D.

Da rezimiramo, pokazali smo da novo uvedeni operatori S i U mogu definiratioperatore F i P , ali da obrat ne vrijedi. Dakle, novo definirani jezik since i untiloperatora je strogo ekspresivniji od osnovnog temporalnog jezika. U daljnjemtekstu proucicemo koliko je zapravo ekspresivan jezik sa operatorima S i U .

6.2 Ekspresivna potpunost

Jedno veoma bitno svojstvo modalnih logika o kojem do sada nismo eksplicitnopisali, a opet se provlaci u pozadini cjelokupne dosadasnje diskusije, te se povre-meno pojavljuje u definicijama i iskazima, je veza modalnih logika i klasicnih logikaprvog i drugog reda10. Naime, svaka formula modalne logike odgovara nekoj for-muli logike drugog reda. Sto je jos zanimljivije, formule modalne logike cestoodgovaraju cak i formulama logike prvog reda. Iako to nismo naglasili, time smose intenzivno bavili u poglavlju 5.5, kada smo razmatrali kanonska svojstva. Topoglavlje ujedno i sadrzi neke veoma zanimljive primjere ekvivalentnosti modalnihformula formulama odredene logike prvog reda. U skladu s tom temom, u daljn-jem tekstu se podrazumijeva odredeno predznanje o osnovnim pojmovima teorijelogika prvog reda11.

Naravno, kada govorimo o formulama logike prvog ili drugog reda koje su ekvi-valentne nekoj modalnoj formuli, te formule moraju zivjeti u nekom konkretnomjeziku logike prvog ili drugog reda. Takav jezik nazivamo jezikom korespondencije.Neka je skup propozicionalnih varijabli i neka je L1

jezike i obrnuto. Time se i mnoga dobra svojstva modalnog jezika prenose naklasicni. Proucavanje ekspresivne potpunosti je veoma vazno u kontekstu tempo-ralnog jezika s operatorima since i until zbog toga sto je on ekspresivno potpunza klasu svih tokova vremena koji su potpuni u Dedekindovom smislu, koje cemoubrzo definirati. Nadalje, definirati cemo jos bogatiji temporalni jezik koji ce bitipotpun za klasu svih linearnih tokova vremena.

Za vremenski tok kazemo da je potpun u Dedekindovom smislu ako svaki pod-skup koji je odozgo omeden ima najmanju gornju medu, odnosno supremum.Standardni primjeri su (R, (M, y `))(M, x ` y < x, s > (M, y `)))

x, y < t, s > (M, x ` M, y `z < x, y](M, z `))).

(25)

44

Definicija S(, ) je analogna definiciji U (, ).

Sada bez dokaza navodimo teorem o ekspresivnoj potpunosti U , S logike kaoi logike obogacene Stavi veznicima. Sam dokaz je prekompliciran da bi smo gaovdje iznosili, a originalni dokaz se nalazi u [3].

Teorem 13. (Espresivna potpunost)

(i). Logika sa operatorima U , S je ekspresivno potpuna u odnosu na klasu svihvremenskih tokova koji su potpuni u Dedekind smislu.

(ii). Logika sa operatorima U , S, U , S je ekspresivno potpuna u odnosu na klasusvih linearnih vremenskih tokova.

6.3 Aksiomatizacija logike sa since i until

U ovom poglavlju uvodimo skup aksioma i pomocu njih definiramo tri razlicitaaksiomatska sustava te dokazujemo neke bitne rezultate potpunosti. U slijedecojdefiniciji uvodimo nas skup aksioma i nakon toga neformalno iznosimo motivacijeza njihov odabir.

Definicija 37. Definiramo slijedeci niz formula kao aksiome i navodimo njihoveoznake koje cemo upotrebljavati u daljnjem tekstu:

(A1a) G(p q) (U(p, r) U(q, r))(A2a) G(p q) (U(r, p) U(r, q))(A3a) p U(q, r) U(q S(p, r), r)(A4a) U(p, q) U(p, r) U(q r, q)(A5a) U(p, q) U(p, q U(p, q))(A6a) U(q U(p, q), q) U(p, q)(A7a) U(p, q) U(r, s) U(p r, q s) U(p s, q s) U(q r, q s)(Aib) zrcalne slike (A1a)-(A7a)(D) (F> U(>,)) (P> S(>,))(L) H PH(W) Fp U(p,p)(N) D L F>

Aksiome (A1a) i (A2a) mozemo promatrati kao ekvivalente vec poznatom ak-siomu distribucije, odnosno K aksiomu (p q) (p q). (A3a) iskazujecinjenicu da su operatori S i U medusobno suprotni, u smislu da skok sa U ubuducnost ima i suprotni skok sa S. Aksiomi (A4a) i (A5a) povezuju sadasnjei buduce stanje, odnosno rubna stanja intervala koji zadovoljava operator until,sa medu stanjima i obrnuto. (A6a) iskazuje tranzitivnost vremenskog toka, te jekonceptualno slican aksiomu (4) s kojim smo se susreli u poglavlju 5.5. (A7a) jepak konceptualno slican aksiomima (.3r) i (.3l) iz istog poglavlja, a povlaci line-arnost vremenskog toka. Svojstva preostalih aksioma (D), (L), (W) i (N) cemo

45

detaljnije promotriti buduci da su njihova svojstva malo slozenija i upravo ce se unjima razlikovati tri razlicita aksiomatska sustava koje cemo uvesti.

Definicija 38. Neka je F linearni vremenski tok i neka je t F proizvoljno stanje.Za tocku t > t kazemo da je slijedbenik od t ako ne postoji x F takav da

vrijedi t < x < t. Analogno se definira pojam prethodnika.Za F kazemo da je diskretno ureden ako za svaki t F vrijedi da ako postoji

neki s > t tada t ima slijedbenika i ako postoji neki p < t tada t ima prethodnika.

Lema 14. Neka je F linearni vremenski tok. Tada vrijedi:

(i). F `D ako i samo ako je F diskretno ureden.

(ii). F `W L ako i samo ako je F dobro ureden.

(iii). F `W N ako i samo ako je F = (N, . Zelimopokazati da tada nuzno vrijedi F , t `U(>,). Iz F , t `F> slijedi da postoji s > ttakav da F , s `>. Naravno > je istinito u svakom stanju tako da se taj zakljucakjednostavno svodi na to da postoji s > t. Buduci da je F diskretno ureden, postojislijedbenik t. Trivijalno vrijedi F , t `>, a buduci da ne postoji stanje x takvoda vrijedi t < x < t, trivijalno vrijedi F , t `U(>,). Dakle, vrijedi F , t `F> U(>,). Na, analogan nacin, promatranjem prethodnika od t zakljucujemo davrijedi F , t `P> S(>,). Dakle, vrijedi F , t `D. Zbog proizvoljnog odabirastanja t, vrijedi F `D.

Pretpostavimo sada da vrijedi F `D i pokazimo da to povlaci diskretnu urede-nost od F . U tu svrhu uzmimo proizvoljni t F i pretpostavimo da postoji s > t.Tada trivijalno vrijedi F , s `> iz cega slijedi F , t `F>. Zbog F , t `D primjenomprve konjukcije u D slijedi F , t `U(>,). Raspisom definicije istinitosti operatoraU vidimo da to znaci da postoji x > t takav da F , x `> i za svaki r takav dat < r < x vrijedi F , r `. No, nikada ne moze biti istinito pa takav r ne postoji.Drugim rijecima, x je upravo slijedbenik od t. Na analogni nacin, upotrebom drugekonjukcije u D, dokazujemo postojanje prethodnika od t. Dakle, F je diskretnoureden.

Sada cemo dokazati dio (ii). Pretpostavimo prvo da je F dobro ureden iuzmimo proizvoljni t F . Definirajmo skup A = {s|s F , s < t}. Tada imamodva moguca slucaja:

(i). A = Tada vrijedi F , t `H, a onda i F , t `L.

(ii). A 6= Tada, zbog dobre uredenosti od F , skup A ima najmanji element. Oznacimoga s a. Primijetimo da je < tranzitivna relacija pa bi svaki element manji

46

od a ujedno bio i manji od t pa bi pripadao skupu A. No, a je odabran kaonajmanji element skupa A pa zakljucujemo da nema elementa manjeg od a.Iz toga slijedi da vrijedi F , a `H. Tada, zbog a < t, vrijedi F , t `PH.

Dakle, svakako vrijedi F , t `H PH, odnosno F , t `L. Pokazimo sada da izdobre uredenosti slijedi F , t `Fp U(p,p). Pretpostavimo da vrijedi F , t `Fp.Definirajmo skup P = {s|s > t i F , s ` p}. Neka je s0 najmanji element skupaP . Tada za svaki r takav da t < r < s0 vrijedi F , r `p, odnosno, vrijediF , t `U(p,p). Dakle vrijedi F , t `Fp U(p,p), odnosno F , t `W . Zajedno savec dokazanim, imamo F , t `W L. Zbog proizvoljnog odabira stanja t, vrijediF `W L.

Pretpostavimo sada da vrijedi F `WL i da F nije dobro ureden. Tada postojineprazni podskup A F takav da nema najmanjeg elementa, odnosno, za svakia A postoji a A takav da a < a. Da bi smo dosli do kontradikcije, dovoljnoje pronaci jedan model i jedno stanje u kojem W L nece biti istinito. U tu svrhu,definirajmo valuaciju V sa V (p) = A i pomocu nje definirajmo modelM = (F , V ).Uzmimo sada proizvoljni a A. Najprije primijetimo da u niti jednom stanju iz Anece vrijediti H jer sva imaju prethodnike. Buduci da vrijediM, a `HPH,ocito mora vrijeditiM, a `PH. Drugim rijecima, postoji stanje x F takvo dax < a i da vrijedi M, x `H. No, H ne vrijedi niti u jednom stanju iz A pa xnije sadrzan u A. Dapace, ne postoji element iz F koji je manji od x. To, zboglinearnosti od F , povlaci da je x manji od svakog elementa iz F razlicitog od njegasamog. Dalje, mora vrijediti M, x `W , odnosno M, x `Fp U(p,p). Buducida je a > x, a po definiciji od V (P ) vrijedi M, a ` p, imamo M, x `Fp. Daljeprimjenom pravila izvoda modus ponens, imamoM, x `U(p,p). To po definicijiznaci da postoji stanje y > x takvo da M, y ` p i za svaki r takav da x < r < yvrijediM, r `p. No, zbog definicije od V (p), y nuzno pripada skupu A sto znacida postoji y A takav da y < y. Kako je x manje od svakog drugog stanja, takoje i x < y. No, M, y ` p sto je u kontradikciji sa odabirom stanja y. Dakle, F jedobro ureden.

Jos preostaje dokazati dio (iii). Pretpostavimo da vrijedi F `W N . Iz vecdokazanih dijelova (i) i (ii) vidimo da to povlaci da je F diskretno i dobro ureden.Jedini jos nerazjasnjeni dio formule je F `F>. On je ekvivalentan tome da zasvako stanje iz F postoji vece stanje, odnosno da je F neogranicen odozgo. Dakle,F je linearno, diskretno i dobro ureden skup koji je neogranicen odozgo. Bijekcijau (N, 0. Sada definiramo funkciju f : F sa f(ni) = i za svaki i , gdjeje ordinal kardinalnosti jednake F . Zbog neomedenosti odozgo, je neograniceniordinal pa vrijedi . Sada treba provjeriti da li je mozda strogo veci. No,ako je strogo veci tada sadrzi barem jedan granicni ordinal, . No to se kosisa diskretnom uredenoscu, buduci da postoji element iz manji od , ali nemaprethodnika. Dakle = , a f je izomorfizam iz F u (N,

Iz gornjeg razjasnjenja svojstava sa kojima su ekivalentni aksiomi W i N , jasnoje da su aksiomi W i N valjani na (N,

(ii). q() = q()

(iii). q( ) = q( ) = q( ) = max{q(), q()}

(iv). q(x) = q(x) = q() + 1Definicija 41. Za dva L1

Lema 16. Neka je Mi, i gdje je ordinal, kolekcija struktura takva da jesvaki Mi dobro ureden i n-ekvivalentan nekoj strukturi Si. Tada je leksikografskasuma

iMi dobro uredena i n-ekvivalentna

i Si.

Dokaz. Pokazimo najprije da je leksikografska suma dobro uredenih skupova i daljedobro uredena. Zaista, buduci da su ordinalni brojevi dobro uredeni i svaki od

(ii). a ima neposrednog prethodnika.Oznacimo neposrednog prethodnika od a sa a. Buduci da je a najmanji ele-ment od T \Z, mora vrijediti a Z. Buduci da je a neposredni prethodnik,za svaki b < a vrijedi b a. No sada je jasno da za svaki b < a vrijedi[b, a) = [b, a)

[a, a). Skup [b, a) ima dobro uredeni n-ekvivalent, a [a, a)

je skup od jednog elementa pa je trivijalno dobro ureden. Sada prema lemi16 slijedi da [b, a) ima dobro uredeni n-ekvivalent. Kako to vrijedi za svakib < a, slijedi da a pripada skupu Z, sto je kontradikcija.

(iii). Postoji uzlazni niz (b) c.Buduci da je a minimalni element od T \Z, svi b su u Z. Dalje, prema defini-ciji od Z, slijedi da svaki interval [b, b+1) ima dobro uredeni n-ekvivalentM. Prema lemi 16, leksikografska suma

zbog istinitosti aksioma W na M slijeda da vrijedi M, t `U(,). Ali to je ukontradikciji sa (ii). Dakle, slucaj M, t `U (, ) se ne moze pojaviti. Analognose dokazuje za S. Q.E.D.

Teorem 16. BW je slabo potpuna u odnosu na klasu svih dobro uredenih vremen-skih tokova.

Dokaz. Neka je BW-konzistentna formula. Konstruirajmo maksimalni BW-konzistentni skup takav da . Buduci da BW prosiruje B, je takoderB-konzistentan. Prema teoremu 14, postoji linearni modelM = (T,

7 Zakljucak

Osvrnimo se na kraju s dubljim razumijevanjem na pitanje postavljeno na pocetkurada: Sto je to temporalna logika? Kao i na pocetku, znamo da je temporalnalogika zapravo formalizacija naseg videnja logike toka vremena. No sada znamosta to tocno znaci. Temporalna logika je posebna modalna logika koja pruzamogucnost izrazavanja dvosmjernih svojstava relacijske strukture.

Osnovni temporalni jezik se veoma malo razlikuje od osnovnog modalnog jezika.Jednostavno receno, on osnovnom modalnom jeziku dodaje mogucnost gledanjau oba smjera relacijske strukture. No to je vec dovoljno da dobije znatno vecumoc izrazavanja. Naravno, dvosmjerne relacijske strukture veoma precizno for-maliziraju nase intuitivno shvacanje vremena. Zbog toga je i tako bitan rezultatdokaza potpunosti Kt logike cime smo u stvari aksiomatizirali osnovnu temporalnulogiku. Takav rezultat otvara vrata formalnom i samim time znatno robusnijemzapisu mnogih kompleksnih prakticnih svojstava i problema sustava koje proma-tramo. Pritom je bitna cinjenica da radimo upravo u domeni modalnih jezikajer lokaln