skript srt ws 2012

Institut fr Flugsysteme und Regelungstechnik

Skriptum zur Vorlesung

Systemtheorie und Regelungstechnik

von

Prof. Dr.-Ing. U. Klingauf

4. AuflageStand WS 2010

INHALTSVERZEICHNIS III

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 11.1 Die Bedeutung der Regelungstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Systemdenken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Das Wesen der Regelungstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Allgemeine Grundlagen 52.1 Grundelemente der Systembeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.2 bertragungsglieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.3 Blockschaltbilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Steuerung vs. Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.1 Steuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.2 Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Grundlegende Eigenschaften dynamischer Systeme . . . . . . . . . . . 112.4 Linearisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4.1 Statische Kennlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4.2 Nichtlineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Beschreibung dynamischer Systeme im Zeitbereich 193.1 Systembeschreibung mit Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . 19

3.1.1 Aufstellen der Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.1.3 Ausnutzung von Analogien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Systembeschreibung im Zustandsraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3 Lsung der Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3.1 Exakte Lsung der Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . 283.3.2 Numerische Lsung der Differentialgleichung (Simulation) . . 31

3.4 Systemantwort auf Testsignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4.1 Gebruchliche Testsignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4.2 Gewichtsfunktion (Impulsantwort) . . . . . . . . . . . . . . . . 363.4.3 bergangsfunktion (Sprungantwort) . . . . . . . . . . . . . . . 373.4.4 Rampenantwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5 Faltungsintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

IV INHALTSVERZEICHNIS

4 Systembeschreibung im Frequenzbereich 414.1 Zeigerdarstellung harmonischer Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2 Beschreibung periodischer Signale durch Fourierreihen . . . . . . . . . 43

4.2.1 Berechnung der Fourierapproximation . . . . . . . . . . . . . . 434.2.2 Beispiele periodischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3 Die Fouriertransformation nichtperiodischer Signale . . . . . . . . . . . 484.3.1 Das Fourierintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3.2 Amplitudendichtespektren nichtperiodischer Signale . . . . . . 48

4.4 Der Frequenzgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.4.1 Frequenzgangdarstellung im Bodediagramm . . . . . . . . . . . 514.4.2 Frequenzgangdarstellung in der Ortskurve . . . . . . . . . . . . 53

4.5 bergang zur Laplacetransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.5.1 Definition der Laplacetransformation . . . . . . . . . . . . . . . 544.5.2 Die Laplacetransformation von Signalen . . . . . . . . . . . . . 544.5.3 Korrespondierende Signaloperationen . . . . . . . . . . . . . . . 564.5.4 Die Laplacetransformation von Differentialgleichungen . . . . 574.5.5 Die Grenzwertstze der Laplacetransformation . . . . . . . . . 574.5.6 Hinweise zur Signalbestimmung im Laplacebereich . . . . . . . 58

5 bertragungsglieder 615.1 Rahmenregeln fr bertragungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2 Die Proportionalglieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.2.1 Das reine P-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.2.2 Das PT1-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.2.3 Das PT2-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2.4 Das PTn -Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.3 Die Integralglieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.3.1 Das einfache Integralglied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.3.2 Das doppelintegrierende Glied (I2-Glied) . . . . . . . . . . . . . 715.3.3 Das IT1-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.3.4 Das IT2-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.3.5 Das allgemeine ITn-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.4 Die differenzierenden Glieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.4.1 Das D-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.4.2 Das DT1-Glied (Vorhalteglied) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.4.3 Das DT2-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.4.4 Das DTn-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.5 Kombinationen von bertragungsgliedern . . . . . . . . . . . . . . . . 825.5.1 Das PID-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.5.2 Das PDT1-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.6 Nichtphasenminimale bertragungsglieder . . . . . . . . . . . . . . . . 855.6.1 Der Allpass 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.6.2 Der Allpass 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

INHALTSVERZEICHNIS V

5.6.3 Das Totzeitglied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.7 bersichtstabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6 Systemklassifikation 936.1 Analyse des Globalverhaltens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.1.1 Globales Proportionalverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.1.2 Globales D-Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.1.3 Globales I-Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.2 Systemstabilitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.3 Phasenminimalitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.4 Systemanalyse mit dem Bodediagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.4.1 Bestimmung des Globalverhaltens . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.4.2 Einfluss der Pole und Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.4.3 Zusammenhnge von Bodediagramm zur bergangsfunktion . 107

6.5 Regelungstechnische Bezeichnung von bertragungsgliedern . . . . . 108

7 Der geschlossene Regelkreis 1117.1 Grundlegende Beziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.1.1 Systemkombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.1.2 Formen des geschlossenen Regelkreises . . . . . . . . . . . . . . 1137.1.3 Verhalten des geschlossenen Regelkreises . . . . . . . . . . . . . 116

7.2 Der Regler im geschlossenen Regelkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.2.1 Klassische Standardregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.2.2 Einfluss der Reglerauswahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7.3 Realisierung von Reglerstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.3.1 Erzeugung von Reglerbertragungsfunktionen durch hohe Vor-

wrtsverstrkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.3.2 Beispiele technischer Umsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

8 Stabilitt von Regelungssystemen 1318.1 Einfhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1318.2 Allgemeine Stabilittsbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

8.2.1 Asymptotische Stabilitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1328.2.2 Grenzstabilitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1338.2.3 Instabilitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

8.3 Das Hurwitz-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1358.3.1 Anwendung zur Stabilittsbetrachtung . . . . . . . . . . . . . . 1358.3.2 Dimensionierung von Reglern mit dem Hurwitz-Kriterium . . 1368.3.3 Die Stabilittskarte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

8.4 Die Wurzelortskurve (WOK) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418.4.1 Definition und Nutzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418.4.2 Der offene Regelkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1428.4.3 Die Methodik der Wurzelortskurve . . . . . . . . . . . . . . . . 142

VI INHALTSVERZEICHNIS

8.5 Das Nyquist-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1498.5.1 Herleitung des vereinfachten Nyquist-Kriteriums . . . . . . . . 1498.5.2 Herleitung des allgemeinen Nyquist-Kriteriums . . . . . . . . . 1518.5.3 Nyquist mit Totzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

8.6 Stabilittsreserven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1598.6.1 Die absolute Stabilittsreserve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1598.6.2 Die relative Stabilittsreserve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1598.6.3 Stabilittsreserve in der Stabilittskarte . . . . . . . . . . . . . . 1608.6.4 Amplitudenrand und Phasenrand . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

9 Entwurf des Regelkreisverhaltens 1639.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

9.1.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1639.1.2 Methodenbersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1649.1.3 bertragungsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

9.2 Die Verfahren nach Ziegler/Nichols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1659.2.1 Definitionen zur bergangsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . 1659.2.2 Erstes Verfahren von Ziegler/Nichols . . . . . . . . . . . . . . . 1669.2.3 Zweites Verfahren nach Ziegler/Nichols

(Ersatzkenngrenverfahren) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1689.3 Einstellregeln nach dem symmetrischen Optimum . . . . . . . . . . . . 1699.4 Das Frequenzlinienverfahren zum Reglerentwurf . . . . . . . . . . . . 1719.5 Reglerauslegung mittels Wurzelortskurven . . . . . . . . . . . . . . . . 1769.6 Reglerauslegung mit Integralkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

9.6.1 Einfhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1789.6.2 Die lineare Regelflche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1799.6.3 Die betragslineare Regelflche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1809.6.4 Die quadratische Regelflche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1809.6.5 Die zeitgewichtete betragslineare Regelflche . . . . . . . . . . 1869.6.6 Die zeitgewichtete quadratische Regelflche . . . . . . . . . . . 1869.6.7 Erweiterungen der quadratischen Regelflche . . . . . . . . . . 1869.6.8 Die exponentiell zeitgewichtete quadratische Regelflche . . . . 187

9.7 Strukturelle Manahmen beim Reglerentwurf . . . . . . . . . . . . . . 1879.7.1 Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1879.7.2 Fhrungsfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1919.7.3 Strgrenaufschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1939.7.4 Hilfsgrenaufschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1969.7.5 Regelung mit Hilfsregelgre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1969.7.6 Die Kaskadenregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1969.7.7 Anti-Integrator-Windup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1989.7.8 Regleradaptionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

INHALTSVERZEICHNIS VII

10 Mehrgrensysteme 20310.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20310.2 Mehrgrensysteme im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . 20510.3 Regelung im Zustandsraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

10.3.1 Die Zustandsraumdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20710.3.2 Rcktransformation in den Frequenzbereich . . . . . . . . . . . 21310.3.3 Die Integration der Zustandsgleichung . . . . . . . . . . . . . . 21410.3.4 berprfung der Systemstabilitt . . . . . . . . . . . . . . . . . 21510.3.5 Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 21610.3.6 Der Regler im Zustandsraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21810.3.7 Der Zustandsbeobachter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

11 Einfache digitale Regelung 22111.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22111.2 Grundstzlicher Aufbau einer digitalen Regelung . . . . . . . . . . . . 22211.3 Effekte der Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

11.3.1 Zeitliche und betragsmige Diskretisierung . . . . . . . . . . . 22311.3.2 Das Shannonsche Abtasttheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 22511.3.3 Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22711.3.4 Richtwerte zur Wahl der Abtastzeit TA . . . . . . . . . . . . . . 228

11.4 Das Halteglied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22911.5 Die Differenzengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

11.5.1 Diskretisierung des PID-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . 23111.5.2 Allgemeine Approximation der Zeitableitungen . . . . . . . . . 232

11.6 Die z-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23311.7 Rechenregeln der z-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23711.8 Die z-bertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

11.8.1 Anwendung der z-Transformation aufDifferenzengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

11.8.2 Die z-bertragungsfunktion kontinuierlicher Systeme . . . . . 23911.8.3 Die praktische Durchfhrung der z-Transformation . . . . . . . 24011.8.4 Approximierte z-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . 24611.8.5 Rechenhinweise zur z-bertragungsfunktion . . . . . . . . . . . 249

11.9 Stabilitt von Abtastsystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25011.10Die Zustandsraumdarstellung bei diskreter Regelung . . . . . . . . . . 254

11 Einleitung

1.1 Die Bedeutung der Regelungstechnik

Das Prinzip der Regelung ist sehr weit verbreitet. So stellt z.B. das Lenken eines Fahr-zeugs, um dieses in der Spur zu halten, eine Regelung dar. Regelungen treten nichtnur in der Technik, sondern auch in der Natur sehr hufig auf: die Pupille des Augesregelt die Intensitt des Lichts, das auf die Netzhaut auftrifft. Auch populationsdy-namische und marktwirtschaftliche Prozesse lassen sich mit den Methoden der Rege-lungstechnik beschreiben.

Bild 1.1: Watts Fliehkraftregler

Die erste mathematische Beschreibung einer Regelung geht auf Maxwell zurck, demes 1868 gelang, Instabilittsprobleme mit Fliehkraftreglern zu erklren [1]. James Wattstattete erstmals 1788 seine Dampfmaschinen mit einem Fliehkraftregler zur Rege-lung der Geschwindigkeit aus. Dieser besteht aus zwei kugelfrmigen Gewichten,die mit zunehmender Drehzahl durch die Fliehkraft immer weiter nach auen gegendie Schwerkraft gezogen werden. ber einen Gelenk- und Hebelmechanismus wirdin der Dampfleitung der Maschine eine Drosselklappe bettigt, die die weitere Zufuhrdes Dampfes zur Maschine verkleinert. Die Maschine luft daraufhin langsamer, soda sich die Drosselklappe wieder ffnet. Diese Anordnung ist ein Musterbeispiel freine Regelung.

Als eigener Wissenschaftszweig hat sich die Regelungstechnik seit den 40er Jahrenstrmisch entwickelt. Ursprnglich von Wiener als Kybernetik bezeichnet (abgeleitet

2 1 EINLEITUNG

von griech. kyberntes fr Steuermann) [3], wird heute vor allem in der Technik derBegriff der Regelungstechnik verwendet. Verallgemeinert spricht man in letzter Zeitauch hufig von der Systemtheorie bzw. im Bereich der Geisteswissenschaften von derSystemik.

Die Regelungstechnik ist eine metadisziplinre (d.h. bergeordnete) Wissenschaft, dieeinheitliche Begriffe und Methoden fr verschiedenste Disziplinen in den Natur- undIngenieurwissenschaften anbietet und damit zu einem Erkenntnisgewinn fhrt. Sokann z.B. das Verhalten eines elektrischen Schwingkreises genauso beschrieben wer-den wie das eines mechanischen. Dies macht gleichzeitig die Faszination dieser Wis-senschaft aus.

Das Studium der Regelungstechnik untersttzt deshalb in besonderer Weise die zu-nehmende Vernetzung und Integration klassischer Disziplinen, wie z.B. Mechanik,Elektronik und Informatik zur Mechatronik, ohne die komplexe Entwicklungen wieIndustrieroboter, Magnetschwebebahn oder autonom fliegende Flugzeuge nicht mg-lich wren.

1.2 Systemdenken

In der Regelungstechnik befassen wir uns mit dem dynamischen Verhalten von Syste-men (von griech. sstema = Gebilde, das Zusammengestellte, Verbundene). Die Grund-idee des Systemdenkens ist, die fr die Aufgabenstellung magebenden Elementevon ihrer Umwelt so abzugrenzen, da sie modellhaft isoliert betrachtet werden kn-nen. Die Definition zweckmiger Systemgrenzen ist dabei eine wesentliche Aufgabedes Ingenieurs.

Bei der Modellbildung des Systems mssen zum einen die Umweltgren erfat wer-den, die das System beeinflussen. Diese nennen wir Eingangssignale. Zum anderenmu das dynamische Verhalten des Systems durch die entsprechenden physikali-schen Gesetze beschrieben werden. Dabei gilt das Prinzip der Rckwirkungsfreiheit:Die Eingangssignale werden stets als ideale Signale betrachtet, deren zeitlicher Ver-lauf fest vorgegeben oder vorgebbar ist und die vom System nicht beeinflubar sind.

Unter dem Einflu der Eingangssignale werden sich die Zustandsgren, die das dy-namische Verhalten des Systems beschreiben, zeitlich verndern. Diejenigen Zustands-gren, die in der Realitt gemessen werden knnen bzw. als Eingangssignale aufandere Systeme einwirken, werden als Ausgangssignale definiert. Auch diese werdenwieder als ideal betrachtet.

Dieser Ansatz ermglicht es, die dynamischen Eigenschaften jedes (Teil-)Systems iso-liert zu analysieren. Durch die Verknpfung von Teilsystemen zu einem Gesamtsy-stem lassen sich so beliebig komplexe Strukturen modellieren.

1.3 DAS WESEN DER REGELUNGSTECHNIK 3

System-zustand (t)x

Eingangs-signale (t)u

Ausgangs-signale (t)ySystem1

System2

Umwelt

Gesamtsystem

Bild 1.2: Abgrenzung von Systemen

1.3 Das Wesen der Regelungstechnik

Mit der zunehmenden Kenntnis der Eigenschaften eines Systems wchst unsere Mg-lichkeit, das Verhalten dieses Systems gezielt zu beeinflussen. Das ist das Wesen derRegelungstechnik. Im Zentrum steht dabei die Analyse von Systemen und die Synthesevon Regelungen, die besonders leistungsfhige Strukturen zur Systembeeinflussungsind. Es wird eine spezielle Systemtheorie verwendet, deren mathematische Metho-den im Zuge der Ausformung der Regelungstechnik entwickelt worden sind. Zusam-mengefat kann man formulieren:

Die Regelungstechnik ist die Wissenschaft von der gezielten Beeinflus-sung dynamischer Systeme, so da sie gewnschte Eigenschaften zeigen.

Die Schlagkraft der Regelungstechnik entstammt nicht etwa einem neu entwickel-ten Instrumentarium. Vielmehr beruht sie auf der interdisziplinren Erkenntnis undVerknpfung von Zusammenhngen durch den Regelungstechniker sowie der Ver-antwortung, die er fr den Gesamtproze hat. So muss sich der Regelungstechnikermit Disziplinen wie Mathematik, Mechanik, Physik, Chemie, Elektrotechnik, Me-technik, Strmungslehre, Biologie und vielen anderen auseinandersetzen, um das zuregelnde System zu verstehen und zu beschreiben. Diese Beschreibung erfolgt bevor-zugt in mathematischer Form, andere sind denkbar.

Um festzustellen, was in dem zu regelnden System, der sog. Regelstrecke, vor sich geht,mssen die Zustandsgren mit Hilfe von Sensoren (= Meglieder) gemessen werden.Eine Regelung kann jeweils nur so gut sein wie die Messung des Systemzustands.

Um die Regelstrecke gezielt beeinflussen zu knnen, verwenden wir Aktoren (= Stell-glieder, auch Aktuatoren oder Effektoren), die auf die Eingnge der Regelstrecke ein-wirken.

Schlielich fhren wir den Regler ein, der die Regelstrecke sowie die Me und Stell-glieder zu einem geschlossenen Regelkreis verknpft. Der Regelkreis ist das wichtigste

4 1 EINLEITUNG

Strukturelement der Regelungstechnik, er arbeitet nach dem Rckkopplungsprinzip.

Die Funktion des Reglers wird mit den Methoden der Regelungstechnik bestimmt.Die Realisierung kann entweder analog, (z.B. mechanisch, thermisch, pneumatisch,hydraulisch, elektronisch) oder digital (per Software auf einem Rechner) erfolgen.Insbesondere die Realisierung per Software erlangt in letzter Zeit besondere Bedeu-tung, weshalb sich der Regelungstechniker zunehmend mit dem Gebiet der Echtzeit-Datenverarbeitung befassen mu.

Bild 1.3: Die Elemente der Regelungstechnik

Im vorliegenden Manuskript werden die wichtigsten Methoden der klassischen Re-gelungstechnik systematisch dargestellt. Dabei liegt der Schwerpunkt der Darstel-lung auf linearen, kontinuierlichen Systemen. Aufgrund ihrer zunehmenden Bedeu-tung werden aber auch die Grundlagen digitaler Regelungen behandelt.

52 Allgemeine Grundlagen

2.1 Grundelemente der Systembeschreibung

2.1.1 Signale

Der Begriff Signal (von lat. signalis = dazu bestimmt ein Zeichen (signum) zu geben)bezeichnet abstrahiert die bertragung irgendeiner regelungstechnischen Informati-on. In der Regel handelt es sich um eine physikalisch messbare Gre, die sich zeitlichverndert. Das Kennzeichen des Signals ist, dass es gerichtet und rckwirkungsfreiist. Bild 2.1 zeigt die symbolische Darstellung eines Signals, Bild 2.2 zeigt die Darstel-lung von Signalverknpfungen.

Bild 2.1: Signal, gerichtet

Bild 2.2: Lineare Signalverknpfungen

6 2 ALLGEMEINE GRUNDLAGEN

2.1.2 bertragungsglieder

Um die Vorgnge in einem System besser zu erkennen, kann man sich von der techni-schen Ausfhrung der einzelnen Gerte, Anlagenteile oder Steuerelemente lsen unddiese einzeln als bertragungsglied oder -system mit Eingangs- und Ausgangssigna-len betrachten. Das bertragungsglied stellt neben dem statischen Zusammenhangzwischen Ein- und Ausgang in der Regel auch den dynamischen Zusammenhang dar.Bild 2.3 zeigt die Darstellung des bertragungsglieds fr den Fall eines linearen Zu-sammenhangs zwischen Ein- und Ausgang (d.h. es gilt das Superpositionsprinzip),Bild 2.4 zeigt die Darstellung im nichtlinearen Fall. Bild 2.5 zeigt einige gebruchliche

y=f (u)1u y

Bild 2.3: Linearer Zusammenhangzwischen Ein- und Ausgang

y =f (u)2u y

Bild 2.4: Nichtlinearer Zusammenhangzwischen Ein- und Ausgang

Darstellungsformen von bertragungsgliedern. In den zugehrigen Block kann manz.B.

a) die zugehrige Differentialgleichung,

b) die Systemantwort auf ein sprungfrmiges Eingangssignal,

c) die bertragungsfunktion,

d) oder das der mathematischen Operation entsprechende Formelzeichen

eintragen (die hier verwendeten Begriffe werden in den nachfolgenden Kapiteln nochausfhrlich behandelt).

2.1 GRUNDELEMENTE DER SYSTEMBESCHREIBUNG 7

u y...dt

u yT y+y=u

yu

1

1+Ts

a)u y

c)

b)

d)

Bild 2.5: quivalente Darstellungsformen linearer bertragungsglieder

2.1.3 Blockschaltbilder

Das Zusammenwirken der einzelnen bertragungsglieder und damit der einzelnenEingangs- und Ausgangssignale in einem System wird in der Regel durch ein Block-schaltbild beschrieben. Bild 2.6 zeigt ein Beispiel dafr.

F2

F3F1

F4

-

-

-

yu

Bild 2.6: Beispiel fr ein Blockschaltbild


2.2 Steuerung vs. Regelung

Obwohl die beiden Begriffe umgangssprachlich oft synonym verwendet werden, un-terscheidet sich eine Steuerung in ihrem Wirkprinzip grundstzlich von einer Rege-lung. Zur Veranschaulichung soll das Beispiel einer Raumheizung dienen.

2.2.1 Steuerung

Bild 2.7 zeigt eine gesteuerte Raumheizungsanlage. Die gewnschte Temperatur y =Tsoll des Raumes soll mit Hilfe eines Heizkrpers auch bei nderung der Auentem-peratur z1 = TA mglichst konstant gehalten werden. Das Kennfeld Q = f (TA, Tsoll)

Steuer-gert Ventil

Heizwasser-zustrom

Temperatur-vorwahl Tsoll

Heizungs-anlage

Aussentem-peratursensorTA

Bild 2.7: Beispiel einer Raumheizungssteuerung

beschreibt den zur Erreichung der gewnschten Raumtemperatur bentigten Heiz-wasserzustrom Q in Abhngigkeit von der Auentemperatur (Bild 2.8). Ist diesesKennfeld bekannt (z.B. durch Messung), kann durch Messung der Auentempera-tur der Heizwasserzustrom ber ein Ventil mit Hilfe eines Steuergerts so eingestelltwerden, dass die vorgewhlte Temperatur erreicht wird.

2.2 STEUERUNG VS. REGELUNG 9

0

2

4

6

-5-10 0 5-15 10[Celsius]

[Liter/min]

Tsoll

Bild 2.8: Kennfeld des Steuergerts

Das funktioniert allerdings nur, solange keine Strungen auf das System einwirken,die den bekannten Zusammenhang verndern. Im vorliegenden Beispiel wrde z.B.das ffnen eines Fensters zu einer unerwnschten nderung der Raumtemperaturfhren (Strgre z2). Der Nachteil einer Steuerung ist also, dass die Auswirkungennicht erfasster Strgren nicht beseitigt werden knnen. Es findet keine Ergebnis-kontrolle statt (tatschlich erreichte Raumtemperatur). Bild 2.9 zeigt ein Blockschalt-bild der Heizungssteuerung.

Steuer-gert Ventil

Wohn-rume


Aussentempera-tursensor TA

Q Tist

z2

z =T1 A

Bild 2.9: Blockschaltbild der Heizungssteuerung

Es wird deutlich, dass das Steuergert nur nderungen der Auentemperatur kom-pensieren kann, andere Strungen aber ungehindert auf die Raumtemperatur einwir-ken.


2.2.2 Regelung

Im Falle der in Bild 2.10 dargestellten geregelten Raumheizungsanlage wird die Raum-temperatur Tist als Regelgre gemessen und mit dem eingestellten Sollwert w = Tsoll(z.B. w = 20) verglichen. Weicht die Raumtemperatur vom Sollwert ab, wird bereinen Regler, der die Abweichung verarbeitet, der Wrmefluss der Heizung solan-ge verndert, bis der Sollwert erreicht ist. Alle Vernderungen der Raumtemperaturdurch Strungen wie z.B. nderung der Auentemperatur, ffnen des Fensters oderSonneneinstrahlung, werden als Abweichung erfasst und vom Regler beseitigt. Ther-mostatgeregelte Heizungen arbeiten genau nach diesem Prinzip.

Temp.-Regler Ventil

Heizwasser-zustrom


Heizungs-anlage

Innentem-peratursensorTist

+

-

Bild 2.10: Geregelte Raumheizung

Das Blockschaltbild der Heizungsregelung in Bild 2.11 macht den Unterschied zurSteuerung deutlich. Das wesentliche Element der Regelung ist die Rckfhrung derRegelgre, die zu einem geschlossenen Wirkungsablauf fhrt. Bei falscher Ausle-gung kann die Regelung allerdings instabil werden, d.h. die Regelgre wchst beralle Grenzen. Das kann man sich im Beispiel leicht verdeutlichen, wenn man das ne-gative Vorzeichen der Rckfhrung durch ein positives ersetzt.

2.3 GRUNDLEGENDE EIGENSCHAFTEN DYNAMISCHER SYSTEME 11

Temp.-Regler Ventil

Wohn-rume


Q Tist

z2

Innentempe-ratursensor

+

-

Bild 2.11: Blockschaltbild der Heizungsregelung

2.3 Grundlegende Eigenschaften dynamischer Systeme

Die Reaktion technischer Systeme auf uere Anregungen wird durch die physikali-schen Gesetze bestimmt, deren Gesetzmigkeiten normalerweise in Form von Glei-chungen erfasst werden, z.B.:

Newtonsches Gesetz: F = m a

Ohmsches Gesetz: U = R I

Die Grundvoraussetzung fr die Untersuchung und Beeinflussung des Verhaltensdynamischer Systeme ist, dass die dem System zugrunde liegenden physikalischenGesetzmigkeiten analytisch formuliert werden knnen. Sie stellen dann das sog.mathematische Modell eines Systems dar, das blicherweise durch Differentialgleichun-gen beschrieben wird.

Um das Verhalten eines realen Systems behandeln zu knnen, ist es oft erforderlich,das Systemverhalten soweit zu vereinfachen, dass nur die wirklich wichtigen Abhn-gigkeiten in dem Modell hinreichend genau beschrieben sind. Dabei unterscheidenwir zwischen der Struktur des Modells, die durch die beschreibenden Gleichungengegeben ist, und den Parametern des Modells, die das Systemverhalten quantifizie-ren.

Die Art der Modellbildung, die jeweils zur Anwendung kommen kann, wird vonden grundlegenden Systemeigenschaften bestimmt. Tabelle 2.1 zeigt eine mglicheKlassifikation von Systemeigenschaften.


Tabelle 2.1: Beispiele zur Systemklassifikation

Eigenschaft Beispiel Eigenschaft Beispielzeitvariant Bewegungsverhalten ei-

ner Rakete (Parameter:Treibstoffabbrand)

zeitinvariant Feder-Masse-Schwingermit konstanten Parame-tern

linear Idealer Schwinger (Fe-der, Masse, Dmpfer)

nichtlinear Reibung, Hysterese, Be-grenzung

kontinuierlich Schallplatte (Zeitverlaufstetig und zu jedemZeitpunkt gegeben)

zeitdiskret CD (Abtastsystem)

Eingren-system

System mit je einemEin- und Ausgang

Mehrgren-system

System mit mehrerenEin- und/oder Ausgn-gen

stabil Pendel (begrenztesEingangssignal fhrt zubegrenztem Ausgangs-signal)

instabil Inverses Pendel (Aus-gangssignal wchstber alle Grenzen)

KonzentrierteParameter

Idealer Schwinger (Fe-der, Masse, Dmpfer)

Verteilte Pa-rameter

Schwingende Saite oderStrmung um Tragfl-gel

Determi-nistisch

Idealer Schwinger (Fe-der, Masse, Dmpfer)

Stochastisch Straenverkehrsdichte

Die Methoden der klassischen Regelungstechnik sind primr auf lineare, zeitinvari-ante, kontinuierliche Eingrensysteme mit konzentrierten Parametern zugeschnit-ten. Nach Mglichkeit versuchen wir deshalb, reale Systeme auf mathematische Mo-delle mit diesen Eigenschaften zurckzufhren. Dazu gehrt die Linearisierung vonSystemen, die im nachfolgenden Abschnitt behandelt wird.

2.4 LINEARISIERUNG 13

2.4 Linearisierung

2.4.1 Statische Kennlinien

Liegt zwischen einem Eingangs und einem Ausgangssignal ein nichtlinearer, je-doch ber eine statische Kennlinie beschreibbarer Zusammenhang vor, wie in Ab-bildung 2.12 beispielhaft dargestellt, so folgt die Linearisierung folgendem Grund-prinzip:

Bild 2.12: Linearisierung einer statischen Kennlinie y = f(u)

Die Funktion wird an der Stelle (y0, u0), die wir den Arbeitspunkt nennen, durch eineReihenentwicklung dargestellt, die wir in bewhrter Weise nach dem ersten Gliedabbrechen:

y = f (u0) +d fdu

u=u0 (u u0) (2.1)

umgeschrieben

y = y0 +d fdu

u=u0 u

Dad fdu

u=u0

eine Konstante ist, verbleibt ein linearisierter Zusammenhang:

y = y0 + Ku oder y y0 = y = Ku (2.2)

Man beachte, dass in den meisten Fllen nach der Linearisierung unter Weglassen des mit

y = K u (2.3)


weitergerechnet und dabei vereinbart wird, dass es sich hierbei um kleine Abwei-chungen vom Arbeitspunkt y0, u0 handelt. Ist die Kennlinie von mehr als einem Para-meter abhngig, geht man ber zum vollstndigen Differential, hier gezeigt fr zweiParameter u1, u2 (siehe auch Abbildung 2.13);

y = f (u1, u2) (2.4)

Linearisierung um Arbeitspunkt: y0 = f (u1,0, u2,0)

y f (u1,0, u2,0) = y fu1

u1,0,u2,0 K1

u1 + fu2

u1,0,u2,0 K2

u2 (2.5)

y = K1u1 + K2u2 (2.6)

Bild 2.13: Linearisierung einer statischen Kennlinie mit zwei Parametern

wobei wiederum die hheren Glieder der Taylorreihenentwicklung weggelassen wur-den.

2.4.2 Nichtlineare Differentialgleichungen

Oft fhrt die Prozessbeschreibung auf eine nichtlineare Differentialgleichung. Soll sielinearisiert werden, muss man zunchst den Betriebspunkt festlegen. Sei die DGL vonder Form

y = f (y, u) (2.7)


so sind alle Punkte, fr die gilt

y = 0f (y0, u0) = 0

}Betriebs- oder Gleichgewichtspunkte

Die Bercksichtigung der Bedingung

f (y0, u0) = 0 (2.8)

nennen wir die Stationr- oder Gleichgewichtsrechnung. Whlt man daraus ein zu-sammengehriges Wertepaar

(y0, u0)

und schreibt

y = y0 + yu = u0 + u (2.9)

so erhlt man die um den Arbeitspunkt y0, u0 linearisierte DGL

yy

= f (y0, u0) 0

+ fy

u0,y0

A

y + fu

u0,y0

B

u + . . . (2.10)

Aus der Gleichgewichtsbedingung f (y0, u0) = 0 verschwindet dieser Term in Gleich-ung 2.10 und es verbleibt

y = Ay + Bu (2.11)

wobei A und B eine Funktion des Gleichgewichtspunktes sind und nur in ihrer Um-gebung als konstant angenommen werden drfen. Als Beispiel einer mglichen Li-nearisierung diene folgende nichtlineare Differentialgleichung (siehe Abbildung 2.14):


Bild 2.14: Zum nebenstehendenBeispiel

Die DGL sei gegeben zu

y + y2 = u

Die mglichen Gleichgewichtszustnde erhaltenwir aus y = 0 zu

y20 = u0y0 =

u0

Die Linearisierung um den Arbeitspunkt (y0, u0) ergibt

y + y20 + 2y0y + y2 = u0 + u (2.12)

Mit y20 = u0 verbleibt unter Vernachlssigung des quadratischen Terms y2:

y + Ky = u (2.13)K = 2y0 (2.14)

Sei nun zum Beispiely + f (y)y + g(y) = u (2.15)

gegeben, so verfhrt man hnlich. Aus

g(y0) = u0 (2.16)

erhalten wir den Gleichgewichtszustand, den wir durch y0 = y0 = 0 kennzeichnen.

Der Ansatz:

y = y0 + y (2.17)y = y (2.18)y = y (2.19)u = u0 + u (2.20)

fhrt schlielich auf

y + f (y0) K1

y + gy

y0

K2

y = u (2.21)

wobei das bei der Linearisierung auftretende Produkt y y als klein vernachlssigtwurde.


Hinweise:

1. Innerhalb der praktischen Anwendung kann es vorkommen, dass der Bereichder Gleichgewichtsrechnung (y0, u0) nicht kontinuierlich ist.

2. In weniger hufigen Anwendungsfllen kann eine Linearisierung auch um einendynamischen Arbeitspunkt y 6= 0 erfolgen oder notwendig sein.

3. Bei Systemen mit mehreren Ein und Ausgngen (Mehrgrenregelung) mussder Arbeitspunkt fr die mehreren Variablen simultan und kompatibel bestimmtwerden.

19

3 Beschreibung dynamischer Systemeim Zeitbereich

3.1 Systembeschreibung mit Differentialgleichungen

3.1.1 Aufstellen der Differentialgleichung

Das Verhalten dynamischer Systeme im Zeitbereich lsst sich im Allgemeinen durchDifferentialgleichungen beschreiben. Bei Systemen mit konzentrierten Parametern (be-ziehungsweise konzentrierten Energiespeichern) erhlt man gewhnliche Differential-gleichungen. Im Gegensatz dazu erhlt man bei Systemen mit verteilten Parametern,in denen verteilte Transportvorgnge ablaufen, partielle Differentialgleichungen.

Im letzteren Fall ist eine einfache Analyse anhand von einfachen physikalischen Be-trachtungen meistens nicht mglich. Die grundlegenden regelungstechnischen Me-thoden konzentrieren sich daher auf lineare, gewhnliche Differentialgleichungen.Deshalb versucht man in der Regel durch Linearisierung und Vereinfachung derarti-ge Differentialgleichungen herzuleiten.

Wird, wie in der Regelungstechnik blich, der Zusammenhang zwischen Eingangs-und Ausgangssignalen betrachtet, fhrt die mathematische Modellbildung auf eineinhomogene Differentialgleichung der Form:

a y +n(n)

a y + +a y +a y=b u +b u ++b un-1 1 0 0 1 m(n-1) (m)u y

Bild 3.1: Zusammenhang zwischen Eingangs- und Ausgangssignal

Im Allgemeinen gilt fr kausale, physikalisch realisierbare Systeme: m n.

20 3 BESCHREIBUNG DYNAMISCHER SYSTEME IM ZEITBEREICH

3.1.2 Beispiel

Als Beispiel wird ein Feder-Masse-Dmpfer System betrachtet, welches auf eine inho-mogene Differentialgleichung 2. Ordnung fhrt. ber ein Freikrperbild erhlt man

Bild 3.2: Feder-Masse-Dmpfer System

aus dem Krftegleichgewicht die Bewegungsgleichung fr die freigeschnittene Mas-se:

Bild 3.3: Feder-Masse-Dmpfer Freikrperbild

my(t) = u(t) dy(t) ky(t) (3.1)Schlielich erhlt man die inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung, welche dasvorliegende System beschreibt zu:

y(t) +dm

y(t) +km

y(t) =1m

u(t) (3.2)

Zur Wiederholung sei angemerkt, dass die allgemeine Form der inhomogenen Diffe-rentialgleichung 2. Ordnung durch

y(t) + 2D0y(t) + 20y(t) = Ku(t) (3.3)

beschrieben wird, wobei mit0 die Eigenkreisfrequenz des ungedmpften Systems vor-liegt und D das Lehrsche Dmpfungsma ist. Wie in diesem Beispiel verdeutlicht ist,

3.1 SYSTEMBESCHREIBUNG MIT DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 21

besteht eine quivalenz zwischen der Anzahl der voneinander unabhngigen Ener-giespeicher (in diesem Beispiel Masse und Feder) und der Ordnung der Differential-gleichung. Unabhngig bedeutet in diesem Fall, dass die Energiespeicher voneinan-der unabhngige Anfangsbedingungen annehmen knnen. So liegen beispielsweisebei zwei parallel oder in Reihe geschalteten Federn nicht zwei unabhngige Energie-speicher vor sondern bilden einen einzelnen Energiespeicher.

3.1.3 Ausnutzung von Analogien

Mit steigender Komplexitt der betrachteten Systeme erhht sich der Aufwand zurmathematischen Modellbildung zumeist in strkerem Mae, was zu einem Verlustder bersichtlichkeit ber die Systemzusammenhnge fhren kann. Indem man sichAnalogien zunutze macht, gelingt damit durch Vereinheitlichung der Betrachtungs-weise unterschiedlicher physikalischer Zusammenhnge eine vereinfachte Vorgehens-weise bei der Modellbildung. Hintergrund ist der Umstand, dass technisch sehr un-terschiedliche Systeme zu einer gleichartigen Differentialgleichung fhren. Anhandder folgenden Gegenberstellung wird der Zusammenhang von Systemanalogien er-kennbar. Abbildung 3.4 zeigt ein Dmpfersystem:

Bild 3.4: Dmpfer System

Fd(t) = d (

v1(t) v2(t))

Hierin sind v1 und v2 Geschwindigkeiten. Eine Dmpfungskraft stellt sich daher ein,sobald ein Geschwindigkeitsunterschied auftritt. Ein vergleichbarer Zusammenhangbesteht bei der Betrachtung eines Ohmschen Widerstandes:

Bild 3.5: Ohmscher Widerstand

uR(t) = R i(t)


Sowohl der Ohmsche Widerstand als auch der Dmpfer wirken hier als strom- bezie-hungsweise geschwindigkeitproportionales Dissipationselement, welches kinetische Ener-gie in Wrme umsetzt. Setzt man diese energetische Betrachtungsweise fort, fhrtdies zum einen auf den kinetischen Energiespeicher, welcher als mechanisches Ele-ment in Form der Masse vorliegt und als elektrisches Element durch eine Induktivittgebildet wird:

Fm(t) = mdv(t)

dt

Bild 3.6: Masse als Speicher kine-tischer Energie

uL(t) = Ldi(t)

dt

Bild 3.7: Induktivitt als kinetischer Energiespeicher

Als Speicher potentieller Energie wird die Federsteifigkeit k der Kapazitt C gegen-bergestellt:

Fk(t) = k (

v1(t) v2(t))

dt

Bild 3.8: Feder als Speicher poten-tieller Energie

uC(t) =1C

i(t)dt

Bild 3.9: Kapazitt als Speicher potentieller Energie

3.1 SYSTEMBESCHREIBUNG MIT DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 23

Neben dieser offensichtlichen Analogie zwischen mechanischen und elektrischen Sy-stemen existiert eine Analogie zu hydraulischen Systemen. Beim Flssigkeitstrans-port durch ein ebenes Rohr aufgrund einer Druckdifferenz kommt es (idealisiert) zueiner volumenstromproportionalen Wandreibung. Des weiteren wirkt die Masse derFlssigkeit als kinetischer Energiespeicher. Ohne die direkten Zusammenhnge zuformulieren sei die Analogie wie folgt dargestellt:

Bild 3.10: Hydraulische Analogie: Widerstand und Reibung

Hierin bezeichnen p1 und p2 den Druck, q beschreibt den Volumenstrom. Fr dieBewegungsgleichung der Materie in einem Rohrelement gilt unter der Annahme in-kompressiblen Mediums und laminarer Strmung:

l pir2 Masse

dqdt 1pir2

Beschleunigung

= pir2 p Kraft

k qvolumenstromproportionaleReibung

(3.4)

umgeformt

Lq + Rq = p (3.5)

mit L = lpir2

(3.6)

R =8 lpir4

(Zitat, hier nicht hergeleitet) (3.7)

= kinematische Viskositt


Als hydraulische Kapazitt wird ein Behlter (Querschnittsflche A) mit der Fll-standshhe H einer Flssigkeit mit der Dichte betrachtet. Aufgrund der Differenzvon ein- und ausgehendem Volumenstrom qe und qa ergibt sich ein Flssigkeitsvolu-men V im Behlter:

Bild 3.11: Hydraulische Kapazitt

V(t) = (

qe(t) qa(t))

dt

p(t) = g H= g V

A

= g

A

(qe(t) qa(t)

)dt

=1C

q(t)dt

3.2 Systembeschreibung im Zustandsraum

Neben der Darstellung durch eine Differentialgleichung nter Ordnung, lsst sich dieSystembeschreibung im Zeitbereich auf eine in vielen Fllen gnstigere Form brin-gen. Zur Aufstellung dieser sogenannten Zustandsraumdarstellung wird die Differen-tialgleichung nter Ordnung in ein System von gekoppelten linearen Differentialglei-chungen 1. Ordnung berfhrt. Diese Systembeschreibung lautet in der Form einerMatrizen-Vektor-Differentialgleichung:

x = Ax + Bu (3.8)

wobei x der Zustandsvektor, auch Prozessgren enthlt und mehrgrenfhig istu der Stellgrenvektor, die Stellgren ui enthltA die Systemmatrix, das homogene DGL-System wiedergibtB die Steuermatrix, fr den inhomogenen Teil der DGL, den Stelleingriff

verantwortlich ist

Die Darstellung im Zustandsraum fhrt nicht zwangslufig auf nur eine mglichePaarung A, B des gleichen Prozesses. Je nach Art des physikalischen Ansatzes be-ziehungsweise der Wahl der Prozesszustnde knnen die Systemmatrix A und dieSteuermatrix B unterschiedlich aussehen. Jedoch sind die Eigenwerte von A beimrichtigen Ansatz immer gleich.

Die Verwendung der Zustandsraumdarstellung zur Systembeschreibung bringt fol-gende Vorteile:

3.2 SYSTEMBESCHREIBUNG IM ZUSTANDSRAUM 25

Systemzusammenhnge, die in der bertragungsfunktion nicht mehr erkenn-bar sind, bleiben weiterhin dargestellt.

Zustzlich zur Ausgangsgre y erhlt man Informationen ber die Prozess-zwischengren.

Ein- und Mehrgrenprozesse werden gleich behandelt, damit ist die Zustands-raumdarstellung vor allem bei Mehrgrenprozessen den Frequenzbereichsme-thoden berlegen.

Wenn Lsungen im Zeitbereich bentigt werden, sind sie leicht erhltlich. Durch die standardisierte Darstellung sind viele mathematische, auch numeri-

sche Werkzeuge verfgbar.

Beispielhaft sei an dieser Stelle die berfhrung der Differentialgleichung nter Ord-nung in das Differentialgleichungssystem der Zustandsraumdarstellung dargestellt:

yn + a(n1)yn1 + a1y + a0y = b0u + b1u + + bmum (3.9)

Der Koeffizient an ist hierbei auf 1 normiert worden. Whlt man nun x =

x1...xn

alsZustandsvektor und macht folgende Zuordnung, so erhlt man:

x1 = yx2 = x1 = yx3 = x2 = y (3.10)

...xn = xn1 = y(n1)

womit sich die Systemmatrix, in dieser Form als Frobeniusmatrix bezeichnet, gemfolgender Struktur ergibt:

A =

0 1 0 0 . . . 00 0 1 0 . . . 0...

......

... . . ....

0 0 0 0 . . . 1a0 a1 a2 a3 ... an1

(3.11)

Die zugehrige Steuermatrix lautet hierzu:

B =

00...1

(3.12)


Bei der Berechnung von y erfolgt eine Linearkombination der Zustandsgren x1 bisxm+1

y = Cx mit C = (m+ 1 Elemente

b0, b1, ..., bm , 0, 0, ..., 0) n Elemente

fr m < n (3.13)

C heit Ausgangs- oder Beobachtungsmatrix. Der Gesamtzusammenhang folgt schlie-lich zu:

x = A x + B u (Zustands- oder Systemgleichung)y = C x + D u (Ausgangsgleichung) (3.14)

wobei die vektorielle Formulierung von u und y kennzeichnet, dass in dieser Darstel-lung auch die Beschreibung von Mehrgrensystemen mglich ist, wenn ein Systemmehrere Ein- und Ausgangsgren aufweist. In symbolischer Darstellung sieht einProzess dann aus, wie in Abbildung 3.12 gezeigt. Der beschriebene Prozess ist von

B

D

A

C[k]u [n]x [n]x y[p]

[n k] nIntegratoren

[p k]

[n n]

[p n]

Anfangsbedingungen x0

Bild 3.12: Prozess in allgemeiner Zustandsraumdarstellung

n-ter Ordnung, hat also n Zustandsgren und n Integratoren. Es sind k Eingangs-gren uk in u zusammengefasst. Die p Ausgangssignale yp sind im Ausgangsgr-envektor y zusammengefasst. Die Durchgangsmatrix D gibt schlielich an, welcherAnteil des Eingangssignals direkt auf das Ausgangssignal wirkt. Dies ist berhauptnur bei sprungfhigen Systemen der Fall. Dann wre m = n und die Beobachtungs-matrix C wird zu

C = (b0 bna0, b1 bna1, ..., bn1 bnan1) (3.15)

wegen des zu bercksichtigenden Durchgangsgrenanteils in D, der in C entspre-chend zu korrigieren ist.

3.2 SYSTEMBESCHREIBUNG IM ZUSTANDSRAUM 27

quivalent zur Behandlung der gewhnlichen inhomogenen Differentialgleichungwird aus dem homogenen Anteil x = Ax des Differentialgleichungssystems zur Be-rechnung der Systemeigenwerte das Eigenwertproblem fr die Systemmatrix A for-muliert wobei nun

det(I A) = 0 (3.16)

zu lsen ist und die Eigenwerte i des Systems vorliegen. Die zugehrigen Eigenvek-toren vi werden ber folgenden Ansatz bestimmt:

(i I A)vi = 0 (3.17)

Fr die Beschreibung von Differentialgleichungen existieren mehrere mgliche Zu-standsraumdarstellungen. Die vorab beschriebene Darstellung der Differentialglei-chung eines Eingrensystems unter Verwendung der Frobeniusmatrix wird als Re-gelungsnormalform bezeichnet. Abbildung 3.13 zeigt das entsprechende Blockschalt-bild:

u

n-1

bm

n

m

1

bm-1 b1 b0

am-1am a1 a0an-2an-1

y

x1x2

xn-1xn

Bild 3.13: Regelungsnormalform einer linearen inhomogenen Differentialgleichung

Neben der Regelungsnormalform sei an dieser Stelle die quivalente Darstellung, dieBeobachternormalform, erwhnt, welche durch eine abweichende Wahl der Prozesszu-stnde auf eine unterschiedliche mathematische Formulierung fhrt. Abbildung 3.14zeigt das entsprechende Blockschaltbild zur Beobachternormalform.


u

a1

-

b0 b1

-

a0

a2

b2

-

am-1

bm-1

-

an-1

-

y

1 2 n

am

bm

-m

Bild 3.14: Beobachternormalform einer linearen inhomogenen Differentialgleichung

3.3 Lsung der Differentialgleichungen

3.3.1 Exakte Lsung der Differentialgleichung

Wie aus der Mathematik bekannt, lst man die lineare, inhomogene Differentialglei-chung durch berlagerung der homogenen Lsung yh(t), die das Eigenverhalten desSystems beschreibt, und der Partikularlsung yp(t), die die Reaktion des Systems aufeine uere Anregung beschreibt:

y(t) = yh(t) homogene Lsung

+ yp(t) Partikularlsung

(3.18)

Fr die homogene Lsung verwendet man den Standardansatz:

yh(t) =n

i=n

kieit (3.19)

welcher eingesetzt in den homogenen Teil der Differentialgleichung das charakteristi-sche Polynom

p() = ann + an1n1 + . . . + a1+ a0 (3.20)ergibt. Aus p() = 0 erhlt man

i = i + ji, (3.21)

welche die Wurzeln des Polynoms, die Pole oder Eigenwerte des Systems genannt wer-den. Die Eigenwerte bestimmen, wie in den folgenden Kapiteln gezeigt wird, die we-sentlichen Eigenschaften des System, welche durch die entsprechenden Differenti-algleichungen beschrieben werden. Insbesondere betrifft dies die Stabilitt und die

3.3 LSUNG DER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 29

Schwingfhigkeit der beschriebenen Systeme. Besitzen die Pole einen positiven reellenAnteil, fhrt dies zur Instabilitt. Dies bedeutet, dass der homogene Lsungsanteil

yh(t) =n

i=n

kieit

aufgrund des positiven reellen Exponenten i ber alle Grenzen wchst. Konjugiertkomplexe Eigenwerte weisen auf Schwingfhigkeit hin, das heit, dass die Lsungy(t) keinen monoton ansteigenden Zeitverlauf aufweist, sondern der homogene L-sungsanteil je nach Vorzeichen des Realteils in den Eigenwerten durch auf- bezie-hungsweise abklingende Schwingungen geprgt wird.

Unter Verwendung des obigen Ansatzes sowie der dazu notwendigerweise bekann-ten Anfangsbedingungen

y0, y0, y0, . . . , y(n1)0 (3.22)

kann man die ki einfach bestimmen und erhlt fr das Bewegungsverhalten (Zeitver-halten) des homogenen Teils

yh(t) = k1e1t + k2e2t + k3e3t + . . . + knent (3.23)

Das heit, die Bewegung des Systems wird, solange keine Anregung vorliegt, als Su-perposition von bis zu n Eigenbewegungen erklrt.

Zur vollstndigen Lsung der Differentialgleichung verbleibt die Ermittlung der Par-tikularlsung. Hierzu existieren diverse Lsungsmethoden wie beispielsweise Varia-tion der Konstanten oder Ansatz vom Typ der Anregung, deren Herleitung an dieser Stellenicht aufgefhrt werden soll.

Als Beispiel betrachten wir das FederDmpferSystem der Abbildung 3.15:

Bild 3.15: FederDmpferSystem

Randbedingungen:

y(0) = 0 (3.24)

Kraft u(t) ={

0 fr t < 0u0 fr t > 0

(3.25)

DGL:

0 = cy dy + u (3.26) dc y + y =

1c

u (3.27)

allg.: Ty + y = Ku (3.28)


Homogene Lsung aus charakteristischem Polynom:

p() = T+ 1 != 0 (3.29)

= 1 = 1T (3.30)= yh(t) = C1e

tT (3.31)

Eine Partikularlsung istyp(t) = C0u0 (3.32)

Der zeitliche Verlauf von y(t) ist in der Abbildung 3.16 skizziert.

y

tT

c1 u0

Bild 3.16: Zeitverlauf von Gleichung( 3.34)

Eingesetzt in die Ausgangsdifferentialgleichungerhalten wir unter Verwendung der Randbedin-gungen:

C0 = C1 =1c

(3.33)

y(t) =1c(1 e tT )u0 (3.34)

Im Vorgriff auf eine sptere Systematik nennen wir ein System dieser Art, welchesein Eingangssignal fr t proportional am Ausgang und in obiger asymptotischzeitverzgerter Weise wieder ausgibt, ein Proportionalsystem mit Zeitverzgerung ersterOrdnung: PT1. Seine Blockdarstellung ist in der Abbildung 3.17 skizziert.

gleichwertigesymbolischeDarstellunginBlcken}

PT1 yu

yu

Bild 3.17: Darstellung eines PT1 Systems


3.3.2 Numerische Lsung der Differentialgleichung (Simulation)

Bei der Verwendung von rechnergesttzten Simulationen zur Modellanalyse, die zumBeispiel mit Matlab/Simulink durchgefhrt werden, erfolgt die Lsung der Diffe-rentialgleichungen nicht mehr analytisch. Vielmehr werden numerische Lsungsver-fahren eingesetzt, um die Lsungen der Differentialgleichungen zu approximieren.Hinsichtlich der numerischen Lsungsverfahren von Differentialgleichungen sollenan dieser Stelle die grundlegenden Zusammenhnge verdeutlicht werden, um einenberblick ber die generelle Vorgehensweise der Lsungsverfahren zu geben.

Die numerische Lsung von Differentialgleichungen erfolgt durch die Berechnungeiner Wertefolge, welche die Lsung der Zustandsgleichung

x(t) = A x(t) + B u(t)

approximiert. Der Ansatz zur Berechnung dieser Wertefolge ist grundstzlich durch

xk+1 = xk + xk (3.35)

formuliert. Innerhalb der numerischen Berechnungsverfahren existieren verschiede-ne Methoden zur Berechnung des bentigten Wertzuwaches. Diese numerischen In-tegrationsverfahren unterscheiden sich in der Wertzuwachsberechnung durch unter-schiedliche Anstze bei der Approximation der zeitlichen Ableitungen. Anstze zurDiskretisierung der ersten Zeitableitung eines Signals xk zum Zeitpunkt tk lauten bei-spielsweise:

xk xk+1 xktk

(3.36)

Diese als explizite Euler-Verfahren bekannte Zeitdiskretisierung entspricht einer Vor-wrtsdifferenzenformel fr die erste Zeitableitung zum Zeitpunkt tk, so dass die nu-merische Berechnung des Wertzuwachs fr die betreffenden Signalgren innerhalbeines Abtastintervalls t beim expliziten Euler-Verfahren wie folgt geschieht:

xk = tk+1

tkx()d = txk (3.37)

Bei dieser Methode ist die Approximation der zeitlichen Ableitung von 1. Ordnung.Abbildung 3.18 verdeutlicht den Ansatz zur Approximation der ersten zeitlichen Ab-leitung zum Zeitpunkt tk mittels der Steigung der Geraden durch die Punkte xk undxk+1


x

ttk

x0

Dxk

xk

tk+1ttk

Dtx

k

tk+1

Dxk

x

Bild 3.18: Approximation der Zeitableitung beim expliziten Euler-Verfahren

Beispielhaft sei an dieser Stelle fr ein Eingrensystem der Ablauf der numerischenLsung der Differentialgleichung unter Verwendung des Euler-Verfahrens dargestellt.Aus der Zustandsgleichung sind die Systemeigenschaften in Form der Matrizen Aund B sowie der Zustand xk zum Zeitpunkt tk bekannt. Damit lt sich die Zeitablei-tung xk zum Zeitpunkt tk direkt berechnen aus:

xk = Axk + Buk

ber den Integrationsalgorithmus nach Euler wird der approximierte Wertzuwachsxk berechnet:

xk = txk

Der neue Wert in der Wertefolge zur Approxiamtion von x(t) ergibt sich damit zu:

xk+1 = xk + xk

In dieser Reihenfolge wiederholt sich nun der Lsungsalgorithmus, indem nun diezeitliche Ableitung xk+1 direkt bestimmt wird und der Wertzuwachs fr den nchstenZeitschritt berechnet wird. Neben der hier gezeigten Approximation der Zustands-gleichung als Differentialgleichungssystem 1. Ordnung, existieren Methoden, welcheeine Diskretisierung der Zeitableitungen 2. Ordnung vornehmen. Dies resultiert al-lerdings in einem vergleichsweise hohen numerischen Aufwand, da die Zeitableitun-gen 1. Ordnung im Gleichungssystem als zustzliche Unbekannte eingefhrt werdenmssen. Hier werden also die Vorteile offensichtlich, die eine Systembeschreibungin Zustandsraumdarstellung mit sich bringt, da hierbei Differentialgleichungen h-herer Ordnung durch die gezeigte berfhrung in ein Differentialgleichungssystem


1. Ordnung einer numerischen Lsung mit adquatem Rechenaufwand zugnglichgemacht werden.

Wie eingangs erwhnt, gibt es verschiedene Integrationsverfahren zur Zuwachsbe-rechnung. Um eine Erhhung der Genauigkeit der numerischen Lsung zu erzielen,lsst sich durch Verwendung eines Integrationsverfahrens hherer Ordnung die Gteder Approximation verbessern. Beim Runge-Kutta (2) Verfahren wird die Berechnungdes Wertzuwachs gem

xk = txk + xk+1

2(3.38)

vorgenommen. Es handelt sich hierbei um ein implizites Mehrschrittverfahren 2. Ord-nung. Abbildung 3.19 zeigt die Approximation der ersten Zeitableitung durch eineTrapezintegration.

ttk

Dt

xk+1

tk+1

Dxk

x

xk

Bild 3.19: Approximation der Zeitableitung beim Runge-Kutta-Verfahren

Es muss an dieser Stelle erwhnt werden, dass bei diesem Verfahren in Ermangelungder Kenntnis von xk+1 zum Zeitpunkt tk in einem sogenannten Prdiktionsschritt einSchtzwert xk+1 berechnet werden muss. Hierfr bietet sich das bereits vorgestellteexplizite Euler-Verfahren an:

xk+1 = xk + xk = xk + txk (3.39)

Mit diesem Schtzwert erfolgt schlielich in einem Korrekturschritt die Berechnungdes bentigten Schtzwertes fr xk+1

xk+1 = A xk+1 + B uk+1

und damit die Bestimmung des gesuchten Wertzuwachses:

xk = txk + xk+1

2(3.40)


Zur Bestimmung des Wertzuwachses existieren weitere Integrationsverfahren hhe-rer Ordnung, wie beispielsweise das Runge-Kutta Verfahren 4. Ordnung oder das ThreePoint Backward-Verfahren. Diese Verfahren basieren auf Anstzen, die alle auf einerkonstanten Zeitschrittweite t aufbauen. Daneben existieren weitere Verfahren, wel-che die Zeitschrittweite variabel halten. Die Wahl der Verfahren zur Simulation ge-schieht nicht nur im Hinblick auf mglichst hohe Genauigkeit der Approximation.Zustzlich sind immer die Eigenschaften der Lsungsverfahren im Hinblick auf Re-chenaufwand, Echtzeitfhigkeit und Bedarf an Rechen- und Speicheraufwand bei derVerfahrensauswahl zur Simulation von Bedeutung.

3.4 Systemantwort auf Testsignale

3.4.1 Gebruchliche Testsignale

In der weiteren Analyse der Regelungssysteme ist es von entscheidender Bedeutung,wie ein System auf bestimmte Eingangssignale reagiert (siehe Abbildung 3.20).

System ?Testsignal

Bild 3.20: Analyse von Systemantworten

Als Eingangssignale von besonderer Bedeutung sind fr die Regelungstechnik diefolgenden sechs Signaltypen, wobei die ersten vier herausragen.

1

e

e

t

d(t)

e 0

Bild 3.21: Impulsfunktion (t)

Die Impulsfunktion (t) (DiracImpuls):

(t) = 0 fr t 6= 0 (3.41)+

(t) dt = 1 (3.42)

3.4 SYSTEMANTWORT AUF TESTSIGNALE 35

1

t

s(t)

Bild 3.22: Sprungfunktion (t)

Die Sprungfunktion (t):

(t) = 0 fr t < 0 (3.43)(t) = 1 fr t 0 (3.44)

(t) =t

() d (3.45)

t

t (t) s

Bild 3.23: Rampenfunktion

Die Rampenfunktion r(t):

r(t) = t (t) (3.46)

t

Bild 3.24: Harmonische Anregung

Die harmonische Anregung:

u(t) = (t) sin(t + 1) (3.47)u(t) = (t)

12j(ej(t+1) ej(t+1)) (3.48)

Die besondere Bedeutung der Signalformen Impuls, Sprung und harmonische Anre-gung liegt nun darin, dass die meisten technisch auftretenden Signale als Folge vonImpulsen oder Sprngen denkbar sind oder aus einer Summe harmonischer Signalezusammengesetzt werden knnen. Die Antworten der Systeme auf solche Testsignalehaben deshalb grundstzlichen Charakter.


Neben dieser Gruppe von Signalen seien an dieser Stelle zwei weitere Signalformenvorgestellt. Als stochastisches Signal zeigt Abbildung 3.25 ein zuflliges Zeitsignal,welches als weies beziehungsweise farbiges Rauschen bezeichnet wird. Unter binrenSignalen werden Impulsfolgen verstanden, deren Impulsbreite bei gleichbleibender Im-pulshhe vernderlich ist und gezielt beziehungsweise quasi zufllig moduliert wird.

t

Bild 3.25: Rauschen

Zufallssignale: Weies oder farbiges Rauschen

t

Bild 3.26: Binre Signale

Binre, gezielt oder quasi zufllig erzeugte Signa-le.

3.4.2 Gewichtsfunktion (Impulsantwort)

Die Antwort eines Systems auf ein ImpulsEingangssignal (t) heit Gewichtsfuntiong(t). Der Impuls selbst ist definiert als Signal mit (0) , wobei

(t)dt = 1

und nur zum Zeitpunkt t = 0 definiert ist. Fr das Beispiel des PT1 Systems erhltman zur Veranschaulichung:

gPT1(t) =KT

etT (3.49)

3.4 SYSTEMANTWORT AUF TESTSIGNALE 37

1

e

e

t

d(t)

e 0

Bild 3.27: Dirac - Impuls: math. Definition

1

t

d(t)

Bild 3.28: Dirac - Impuls: Darstellung

KT

tT

PT1 yu

g(t)

y

Bild 3.29: Gewichtsfunktion g(t) (Impulsantwort) eines PT1 System

3.4.3 bergangsfunktion (Sprungantwort)

Den Sprung (t) erhlt man durch Integration der Impulsfunktion (t) :

(t) =

(t)dt (3.50)

1

t

s(t)

Bild 3.30: Sprungfunktion

Die Antwort eines Systems auf einen Sprung alsEingangssignal heit bergangsfunktion h(t), auchSprungantwort genannt. Es gilt:

d(t)dt

= (t) (3.51)

dh(t)dt

= g(t) (3.52)

Am Beispiel PT1 :

hPT1(t) = K(1 etT ) (3.53)


PT1 yu

K

tT

y

Bild 3.31: bergangsfunktion (Sprungantwort) des PT1 Systems

3.4.4 Rampenantwort

t

t (t) s

Bild 3.32: Rampenfunktion

Die Rampenfunktion erhalten wir durch Integra-tion der Sprungfunktion (t). Die durch (t) ge-gebene Gltigkeitsdefinition gilt somit auch frt (t).Die Rampenantwort r(t) ist das Ausgangssignal ei-nes Systems auf einen rampenfrmigen Eingang.Es gilt:

dr(t)dt

= h(t) (3.54)

Am Beispiel des PT1-Gliedes:

tT

PT1 yu

y

Bild 3.33: Rampenantwort r(t) eines PT1- Gliedes

rPT1(t) = K(t T) + KTetT (3.55)

3.5 FALTUNGSINTEGRAL 39

3.5 Faltungsintegral

Aus den vorgestellten Systemantworten auf bestimmte Testsignale kommt der Ge-wichtsfunktion eine besondere Bedeutung zu. Abbildung 3.34 zeigt hierzu noch ein-mal beispielhaft fr ein beliebiges System die Systemantwort auf einen Impulsein-gang (t).

u

System

y

tt

g(t)

Bild 3.34: Gewichtsfunktion (Impulsantwort) eines Systems

Eine zeitliche Verschiebung des Eingangsimpulses resultiert erwartungsgem in ei-ner um die gleiche Zeitspanne verschobenen Impulsantwort. Abbildung 3.35 zeigtdie Verschiebung des Eingangsimpulses und der resultierenden Gewichtsfunktionauf den Zeitpunkt t = :

u

System

y

tt

g(t- )t

t t

Bild 3.35: Gewichtsfunktion, um t = verschoben

In einem Gedankenexperiment lsst sich damit jeder zeitliche Signalverlauf eines Ein-gangssignals durch eine Folge von vielen einzelnen Impulsen der Breite und derHhe u() darstellen. Folglich ergibt sich das Ausgangssignal y(t) aus einer Folgeder jeweiligen zu unterschiedlichen Zeitpunkten auftretenden Impulsantworten,welche sich entsprechend des jeweiligen gewichteten Impulseingangs ebenfalls um und u gewichtet ausprgen. Die resultierende Folge der einzelnen Impulsant-worten berlagert sich gem des Superpositionsprinzips und bildet in der Summedie Systemantwort auf das aus den einzelnen Impulsen aufgebaute Eingangssignal.Abbildung 3.36 zeigt beispielhafte Verlufe der Ein- und Ausgangsgre u(t) bezie-hungsweise y(t) als Summe aus Eingangsimpulsen und Impulsantworten:


u

System

y

ttDt

allerbisherigengewichtetenImpulsantworten

Bild 3.36: Eingangssignal als Summe von Impulsen Ausgangssignal als Summe vonImpulsantworten

Die Systemantwort zum Zeitpunkt t errechnet sich aus der Summe aller gewichtetenImpulsantworten gem

y(t) t

=0

u() g(t ) (3.56)

Wird der Grenzbergang d mit infinitesimal schmalen Eingangsimpulsen derBreite d gebildet, folgt aus der Summe das Faltungsintegral:

y(t) = t=0

u() g(t )d (3.57)

In dieser Formulierung wird deutlich, dass hier fr beliebige Eingangssignale u()beziehungsweise u(t) eine Berechnung der Systemantwort y(t) mglich wird, so-fern die Gewichtsfunktion g(t) des betrachteten Systems vorliegt. Ebenso lt sichim Umkehrschluss bei bekannten Verlufen von u(t) und y(t) die Gewichtsfunktiong(t) und ber deren Integration die bergangsfunktion h(t) ermitteln. So ergibt folg-lich das Faltungsintegral bei einem impulsfrmigen Eingangssignal gerade wiederdie Impulsantwort:

g(t) = t=0

() g(t )d (3.58)

41

4 Systembeschreibung imFrequenzbereich

Die bisherige Behandlung von Systemen im Zeitbereich bringt die Schwierigkeit mitsich, Differentialgleichungen im Zeitbereich lsen zu mssen, was mitunter bei Sy-stemen hherer Komplexitt den erforderlichen Aufwand immens vergrert. DieBeschreibung von Systemen im Frequenzbereich zeigt sich dagegen vorteilhaft im Hin-blick auf eine schnelle und einfach handhabbare Lsung von Differentialgleichun-gen und ermglicht eine systematische Charakterisierung von Eigenschaften der be-schriebenen Systeme.

4.1 Zeigerdarstellung harmonischer Signale

Zur Verdeutlichung der folgenden Herleitungen wird an dieser Stelle die Zeigerdar-stellung harmonischer Signale vorgestellt. Die allgemeine reelle Beschreibung eines har-monischen Signals erfolgt durch

u(t) = A cos(t + 0) mit 0 als Phasenverschiebung bei t0 (4.1)

Das harmonische Signal u(t) lsst sich durch einen Zeiger darstellen, wie in Abbil-dung 4.1 gezeigt wird.

tIm

Re

wt

cos( t)wA

Bild 4.1: Zeigerdarstellung eines harmonischen Signals

42 4 SYSTEMBESCHREIBUNG IM FREQUENZBEREICH

Hierbei wird die harmonische Funktion durch einen in der komplexen Zahlenebenerotierenden Vektor abgebildet, dessen Projektion auf die Realachse wiederum denreellen Verlauf von u(t) liefert. In diesem Fall lsst sich das Signal durch

u(t) = A Re{

ej(t+0)}= A Re

{ejt ej0

}(4.2)

beschreiben. Unter Verwendung der Euler-Formeln

ejt = cos(t) + j sin(t) (4.3)

cos(t) =12(ejt + ejt)

sin(t) =12j(ejt ejt)

gilt fr die komplexe Formulierung:

u(t) = ej(t+0) = cos(t + 0) + j sin(t + 0) (4.4)

Eine alternative Zeigerdarstellung interpretiert das harmonische Signal durch zweiin der komplexen Zahlenebene gegensinnig laufende Zeiger, allerdings mit der hal-ben Amplitude. Wird die Summe aus beiden rotierenden Zeigern auf die Realachseprojeziert, ergibt sich wieder das harmonische Signal.

Im

Re

wt -wt

Bild 4.2: Alternative Zeigerdarstellung eines harmonischen Signals

4.2 BESCHREIBUNG PERIODISCHER SIGNALE DURCH FOURIERREIHEN 43

4.2 Beschreibung periodischer Signale durchFourierreihen

4.2.1 Berechnung der Fourierapproximation

Zur Einfhrung der Systembeschreibung im Frequenzbereich sei zunchst ein Rck-griff auf die bekannte Fouriertransformation periodischer Signale vorweggenommen.Jedes periodische Signal y(t) mit der Periodendauer T kann durch eine endlicheAnzahl von harmonischen Funktionen mit Sinus- und Cosinusanteilen approximiertwerden. Diese Anteile sind ebenfalls periodisch und enthalten nur die Grundfrequenz

0 =2piT

(4.5)

sowie ganzzahlige () Vielfache davon. Diese sogenannte Fourierreihe wird daher be-schrieben aus der Summe von berlagerten, gewichteten harmonischen Anteilen:

y(t) =c02+

=1

[c cos( 0t) + d sin( 0t)] (4.6)

Die Gewichtungskoeffizienten c und d der Kosinus- beziehungsweise Sinusanteilewerden dabei ber die folgenden Bestimmungsgleichungen berechnet:

c0 =2T

T0

f (t)dt

c =2T

T0

f (t) cos( 0t)dt

d =2T

T0

f (t) sin( 0t)dt

Die hier angegebenen Herleitungen sind allgemeingltig. Bei periodischen Signalen,welche achsensymmetrisch zur Ordinatenachse sind, enthlt die approximierendeFourierreihe nur Kosinusanteile. Periodische Signale mit einer Punktsymmetrie zumUrsprung werden in der Fourierreihe nur durch Sinusanteile approximiert.


4.2.2 Beispiele periodischer Funktionen

Als erstes Beispiel wird eine Rechteckschwingung mit der Periodendauer T = 2pi be-trachtet. Abbildung 4.3 zeigt den Verlauf dieser periodischen Funktion:

p

t

-1

1

y(t)

2p 3p 4p

Bild 4.3: Beispiel Rechteckschwingung

Die Fourierapproximation ergibt sich zu:

y(t) =4pi(sin t +

sin 3t3

+sin 5t

5+

sin 7t7

+ ...) (4.7)

mit c0 = 0, c = 0 und d = 4pi . Abbildung 4.4 zeigt die Hhe der einzelnen harmoni-schen Signalanteile. In dieser Form entspricht dies einem aus diskreten Frequenzan-teilen bestehenden Frequenzspektrum des approximierten Signals y(t).

u

du

1197531

Bild 4.4: Koeffizienten zur Approximation der Rechteckschwingung

Stellt man bei Abbruch der Fourierapproximation nach dem 1., 2. bzw 3. Glied dieErgebnisse gegenber, erhlt man das Ergebnis aus Abbildung 4.5:


t

-1

1

y(t)

-4/p

4/p

Rechteckfunktion

1. Approximation

2. Approximation

Bild 4.5: Fourierapproximation 1. und 2. Ordnung der Rechteckschwingung

Abbildung 4.6 zeigt als zweites Beispiel die Sgezahnfunktion:

1

t

-1

1

y(t)

2

3

4

5

Bild 4.6: Beispiel Sgezahnfunktion

Ein Approximation erfolgt durch folgende Fourierreihe:

y(t) =2pi(sinpit sin 2pit

2+

sin 3pit3 ...) (4.8)

Fr die Koeffizienten gilt:

c = 0, d =2

pi (1)+1 = |d| = 2

pi (4.9)

Die Koeffizienten d der Sinusanteile alternieren im Vorzeichen. In Abbildung 4.7 istder Betrag der Koeffizienten ber der entsprechenden ten Harmonischen aufgetra-gen:


u

|du

|

654321

2/p

Bild 4.7: Koeffizienten zur Approximation der Sgezahnfunktion

Als abschlieendes Beispiel wird eine Dreiecksfunktion entsprechend Abbildung 4.8betrachtet:

1

t

-1

1

y(t)

2

3

4

5

Bild 4.8: Beispiel Dreiecksfunktion

Die periodische Dreiecksfunktion von Abbildung 4.8 wird approximiert zu

y(t) =12 4pi2

=1,3,5,...

cos pit2

(4.10)

In diesem Beispiel zeigt sich die Besonderheit, dass aufgrund der Achsensymmetriedie Fourierreihe nur Kosinus-Anteile enthlt. Allen gezeigten Beispielen ist gemein-sam, dass aufgrund der Periodizitt der Funktion y(t) nur Approximationsanteileaus ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz 0 auftreten. Am letzten Beispiel istweiterhin die Bedeutung von c0 als zeitlicher Mittelwert der Funktion y(t) ber einerPeriode T zu erkennen.


u

|cu

|

7531

c =1/20

Bild 4.9: Koeffizienten zur Approximation der Dreiecksfunktion

Fr ein allgemeines Beispiel ist in Abbildung 4.10 eine alternative Darstellung dis-kreter Frequenzanteile aufgefhrt. Durch die dreidimensionale Auftragung des Real-und Imaginrteils ber dem entsprechenden Vielfachen der Grundfrequenz beinhal-tet diese Darstellung neben dem Betrag des Frequenzanteils A(k) weiterhin noch des-sen Phasenlage (k)

Bild 4.10: Alternative Darstellung der Frequenzanteile

Fr die Funktionsapproximation ergibt sich hiermit:

y(t) =A02+

k=1

[Ak cos(k 0t + k)] (4.11)


4.3 Die Fouriertransformation nichtperiodischer Signale

Die bisher gezeigten Beispiele zur Fouriertransformation bezogen sich auf Beispielevon periodischen Signalen. Hierbei gelang aufgrund der Periodizitt eine Approxi-mation durch diskrete Sinus- beziehungsweise Kosinusanteile mit einem diskretenFrequenzspektrum. Geht man nun ber zur Approximation nichtperiodischer Signa-le, wird die Summe, die eine Fourierreihe liefert, berfhrt in das Fourierintegral.

4.3.1 Das Fourierintegral

Durch die Transformation nichtperiodischer Signale ber das Fourierintegral wirdweiterhin eine Approximation durch Sinus- beziehungsweise Kosinusanteile vorge-nommen. Jedoch im Gegensatz zu den vorherigen periodischen Beispielen existiertkeine Grundfrequenz 0 mehr, vielmehr wird im Regelfall jede Frequenz mit un-endlich vielen nichtganzzahligen Inkrementen auftreten. Die bislang diskreten Fre-quenzanteile verschmelzen zu einem kontinuierlichen Frequenzspektrum:

Y(j) = F (y(t)) =

y(t)ejtdt (4.12)

Das Ergebnis, dargestellt durch die komplexe Gre Y(j) beschreibt den Verlaufdes nichtperiodischen Signals dahingehend, dass sowohl Betrag A() und Argu-ment () als Funktion der Frequenz vorliegen. Somit sind smtliche Anteilemit der entsprechenden Amplitude A() und der auftretenden Phasenverschiebung() existent und bestimmbar. Die Fouriertransformation einer Zeitfunktion y(t)wird auch als Spektraldichte oder Dichtespektrum bezeichnet. Wird die Darstellungnach Betrag A() und Phase () aufgetrennt, so nennt man

A Amplitudendichtespektrum, Phasendichtespektrum.

Zur Vollstndigkeit sei an dieser Stelle noch die Rcktransformation angegeben:

y(t) = F1(Y(j)) = 12pi

+

Y(j)e+jtd (4.13)

4.3.2 Amplitudendichtespektren nichtperiodischer Signale

Wie in der Herleitung erwhnt ergeben sich bei der Fouriertransformation nichtpe-riodischer Signale kontinuierliche Frequenzspektren. Fr einige ausgewhlte Signaley(t) sei das Amplitudendichtespektrum in Abbildung 4.11 angegeben:

4.3 DIE FOURIERTRANSFORMATION NICHTPERIODISCHER SIGNALE 49

0

K

y(t)

t

-K

y(t)

t

Sprung

0

K

y(t)

t

Rechteckimpuls

T

Testsignaly(t)Amplitudendichte-

spektrum|A( )|wGraphischeDarstellung(K,T=1)

0

K

T

2T

Doppelrechteck-impuls

0

K

y(t)

t

Rampenfunktion

T

0

K

y(t)

t

Dreieckimpuls

T

|A( )|=wK

w

|A( )|=(1-cos( t))w w2K

w

|A( )|=wK

w T

2

|A( )|=sin w2()8K

w T

2

T4

w

|A( )|=K|sin()|w2

w

wT2

0.5 1 2 5 10 20 500

1

2

A( )w2,0

1;0

00,5 1 2 5 2010 50

0.5 1 2 5 10 20 500

0.5

1

A( )w1,0

0,5

00,5 1 2 5 2010 50

A( )w1,0

0,5

00,5 1 2 5 2010 50

0.5 1 2 5 10 20 500

0.5

1

A( )w1,0

0,5

00,5 1 2 5 2010 50

0.5 1 2 5 10 20 500

0.5

1

A( )w1,0

0,5

00,5 1 2 5 2010 50

Bild 4.11: Amplitudendichtespektrum einiger Signale


4.4 Der Frequenzgang

Die Behandlung von Systemen und Signalen im Frequenzbereich erleichtert die Be-stimmung einer Lsung der beschreibenden Differentialgleichung. Am folgenden Bei-spiel wird verdeutlicht, dass die Beschreibung im Frequenzbereich eine einheitlicheDarstellung hervorbringt. Die Beschreibung von Signalen als diskrete oder konti-nuierliche Summe harmonischer Anteile legt nahe, das Verhalten von Systemen beiharmonischen Anregungen zu analysieren. Allgemein wird daher im Folgenden zu-nchst ein System betrachtet, welches durch ein Eingangssignal u = sin(t) angeregtwird.

System y(t)u(t)=sin( t)w

Bild 4.12: Untersuchung der Antwort eines linearen Systems auf ein harmonischesEingangssignal

Zur weiteren Betrachtung wird davon ausgegangen, dass das System stabile Eigen-werte i aufweist, das heit, dass alle Realteile i der Eigenwerte in der linken Halb-ebene liegen. Folglich wird die Lsung der Differentialgleichung fr groe Zeiten tvon der Partikularlsung dominiert.

y(t) = yh + yp, yh(t)t 0 y(t)|t yp(t) (4.14)

Bei Anregung durch ein harmonisches Eingangssignal erfolgt der Ansatz zur Parti-kulrlsung gem:

yp = c cost + d sint (4.15)

Der bergang in eine komplexe Zeigerdarstellung liefert fr das anliegende harmo-nische Eingangssignal:

U = ejt = cost + j sint (4.16)Damit folgt als Lsungsansatz vom Typ der Anregung:

Yp = A exp j(t + ) (4.17)Wird der Ansatz in die zu lsende Differentialgleichung eingesetzt, beispielsweise in

any(n) + an1y(n1) + . . . + a1y + a0y = b0u + b1u + . . . + bmu(m) (4.18)

folgt unter Verwendung von

U(k) = (j)kejt

Y(k)p = (j)k A ej(t+)

4.4 DER FREQUENZGANG 51

folgender Zusammenhang:

an(j)n A ej(t+) + an1(j)n1 A ej(t+) + . . . + a0 A ej(t+)= b0 ejt + b1(j)ejt + . . . + bm(j)mejt (4.19)

Krzt man beide Seiten durch ejt und klammert A ej aus, verbleibtA ej (Polynom 1 in j) = (Polynom 2 in j ) (4.20)

Dies fhrt auf den sogenannten Frequenzgang:

F(j) = A ej = b0 + b1(j) + b2(j)2 + . . . + bm(j)m

a0 + a1(j) + a2(j)2 + . . . + an(j)n(4.21)

Der Frequenzgang F(j) beschreibt als komplexe Zahl in Abhngigkeit von der Fre-quenz der Anregung , alle Lsungen der vorliegenden Differentialgleichung aufharmonische Anregungen. Der Betrag des Frequenzganges A() beschreibt dabei,wie bereits hergeleitet, die Amplitude des harmonischen Ausgangssignals, das Argu-ment des Frequenzganges () gibt die entsprechende Phasenverschiebung an. Eswird deutlich, dass im stationren Fall aufgrund einer harmonischen Anregung mitder Amplitude Ae = 1 und einer Phasenverschiebung von e = 0 das Ausgangssi-gnal ebenfalls als harmonische Schwingung vorliegt mit einer vernderten Amplitu-de A() und einer Phasenverschiebung (), wobei Amplitude und Phase von derFrequenz der harmonischen Anregung abhngen.

4.4.1 Frequenzgangdarstellung im Bodediagramm

Die Darstellung des Frequenzganges erfolgt blicherweise im Bodediagramm. Das Bo-dediagramm besteht aus zwei Darstellungen, welche im Amplitudengang die Signal-verstrkung eines Systems in Abhngigkeit von der Anregungsfrequenz zeigt undim Phasengang die sich einstellende Phasenverschiebung des Ausgangssignals, eben-falls in Abhngigkeit von der Anregungsfrequenz darstellt. Als Beispiel sei ein Sy-stem betrachtet, welches durch die folgende Differentialgleichung beschrieben wird:

Ty + y = Ku (4.22)

Der bereits verwendete Lsungsansatz fhrt hier auf:

T Aj ej(t+) + A ej(t+) = K ejt (4.23)

F(j) = Y

U= A ej = K

1+ jT

A() = K1+ (T)2

Amplitudengang

() = arctan(T) Phasengang


Fr das vorliegende Beispielsystem sind die Verlufe im Bodediagramm mit Amplituden-und Phasengang in Abbildung 4.13 gezeigt: Die Auftragung der Frequenz erfolgt

A( )w

K

j(w)

w (logarithmisch)

w (logarithmisch)

0

-45

-90

T

1

3dB

1:1=20dB/Dekade

T

1

Treppenkurve= Abstraktiondes Verlaufs

Bild 4.13: Bodediagramm des betrachteten Beispielsystems

zweckmigerweise logarithmisch. Die Amplitudenverstrkung wird im Amplitu-dengang entweder mit ihrem Absolutwert, ebenfalls logarithmisch, oder in Dezibelmit quidistanten Skalenwerten aufgetragen. Die ntige Umrechung der Absolutwer-te in Dezibel erfolgt ber:

A()dB = 20 log A()absolut (4.24)

Bei beiden Skalenanordnungen zeigt der Amplitudengang dennoch eine unvernder-te Verlaufsform. Die Auftragung der Phasenverschiebung im Phasengang geschiehtin quidistanten Absolutwertschritten. Allerdings erfolgt auch hier wie beim Ampli-tudengang die Auftragung ber einer logarithmisch skalierten Anregungsfrequenz.

4.5 BERGANG ZUR LAPLACETRANSFORMATION 53

4.4.2 Frequenzgangdarstellung in der Ortskurve

Wird der Frequenzgang nach Betrag A() und Phase () in Polarkoordinaten auf-gezeichnet, so erhlt man die Ortskurve von F(j). In dieser Darstellung erfolgt eine

RevonF(j )w

ImvonF(j )w

w

j(w)

w = 0

w

K

A(w)

w =

1T

Bild 4.14: Ortskurve des betracheten Beispielsystems

direkte Zuordnung von Amplitude und vorliegender Phase. Die Ortskurve wird da-bei durch eine Punkteschar gebildet, von denen jeder Punkt eine Lsung der Diffe-rentialgleichung darstellt. Diese Form entspricht somit der gewohnten Darstellung ei-ner komplexen Zahl in der komplexen Zahlenebene mit dem entsprechenden BetragA() und dem Argument (). Im Vergleich zur Darstellung des Frequenzgangesim Bodediagramm fllt direkt auf, dass in der Ortskurve der Zusammenhang zur Fre-quenz der Anregung verlorengeht. Lediglich der Anfangs- und der Endpunkt derOrtskurve deklarieren die Grenzwerte der Anregungsfrequenz 0 und .Obgleich dies bei erster Betrachtung ein Nachteil ist, erweist sich die Ortskurve beider Ermittlung der Systemstabilitt, wie in nachfolgenden Kapiteln gezeigt wird, alssehr vorteilhaft.

4.5 bergang zur Laplacetransformation

Der offensichtliche Vorteil der Fouriertransformation liegt in der Mglichkeit, schnellund einfach handhabbar Auskunft ber die Antwort eines Systems auf einen harmo-nischen Eingang zu erhalten. Die technische Bedeutung der Fourierzerlegung liegtdarin, dass viele Signale als diskrete oder kontinuierliche Summe von harmonischenSignalen darstellbar sind. Andererseits ist gezeigt worden, dass mittels der Fourier-transformation auch der zwischen dem Eingang und dem Ausgang eines Systemsliegende Zusammenhang (d. h. die System-Differentialgleichung) einfach behandel-bar wird und auf den Frequenzgang fhrt.


4.5.1 Definition der Laplacetransformation

Die Vorteile durch die bequeme Behandlung linearer Differentialgleichungen durchden Frequenzgang zur Bestimmung von Lsungen bei harmonischen Systemanre-gungen legt nahe, eine Generalisierung der Vorgehensweise vorzunehmen. Bei derFouriertransformation gem

Y(j) = F (y(t)) =

y(t)ejtdt (4.25)

entstehen in einigen Fllen grundstzliche Schwierigkeiten, zum Beispiel bei Signa-len wie der -Funktion oder bei Systembeschreibungen durch Differentialgleichun-gen mit instabilen Eigenwerten. Des weiteren erscheint ein Integrationsbereich von bis nicht zweckmig. Daher ist nicht gewhrleistet, dass das Integral derFouriertransformation konvergiert. Diese Beschrnkungen werden weitgehend ver-mieden mittels einer anderen Transformation, der Laplacetransformation. Sie ist wiefolgt definiert:

Y(s) = L(y(t)) =

0

y(t)estdt

y(t) = L1(Y(s)) = 12pi j

c+jcj

Y(s)estds

Beide Gleichungen sehen der Fouriertransformation bzw. Rcktransformation sehrhnlich, jedoch ist zur Sicherstellung der Konvergenz der Laplacetransformation der

Laplaceoperator s = + j (4.26)

gewhlt und die untere Integrationsgrenze auf t = 0 gesetzt worden. In der Rck-transformation muss die Gre c nach definierten Regeln gewhlt werden. Zu weite-ren Erluterungen wird auf Unbehauen [2] verwiesen.

4.5.2 Die Laplacetransformation von Signalen

Wendet man die Laplace-Transformation L auf unterschiedliche Signale y(t) an, soerhlt man im Laplace-Bereich ein korrespondierendes Signal Y(s)

L(y(t)) = Y(s) beschrieben durch die Symbolik y(t) d t Y(s) (4.27)Fr einige wichtige Signale sei diese Korrespondenz in nachfolgender Tabelle ange-geben:


Tabelle 4.1: Korrespondierende Signale

Signal im Zeitbereich y(t) Laplacetransformierte Y(s)

Y(s) =

0

esty(t)dt

Impulsfunktion (t) 1

Sprungfunktion (t)1s

Rampenfunktion r(t) = (t) t1s2

tnn!

sn+1

eat1

s + a

(sin0t)0

s2 +20

(cos0t)s

s2 +20

1xt

1s

Der Vollstndigkeit halber (jedoch zumeist ohne technische Bedeutung) sei noch ver-merkt, dass nicht alle Signale laplacetransformierbar sind. So lsst sich z.B. fr y(t) =et

2keine Laplacetransformierte angeben.


4.5.3 Korrespondierende Signaloperationen

Werden auf Signale oder zwischen Signalen im Zeitbereich Operationen ausgebt, sosind diese auch im Laplacebereich darstellbar:

Tabelle 4.2: Korrespondierende Operationen

Operationen im Zeitbereich Operation im FrequenzbereichSignalsummationy1(t) + y2(t)

Y1(s) +Y2(s)

Multiplikation mit konstantem Faktora y(t) a Y(s)hnlichkeitssatzy(a t)

1a

Y(sa)

Differentiationdy(t)

dtsY(s) y(0+)

Mehrfache Differentiationd(n)y(t)

dtn

s(n)Y(s) s(n1)y(0+) s(n2)y(0+)s(n3)y(0+)...

n

i=1

s(ni) d(i1)y(t)dt(i1)

t=0+

Integrationt

0

y(t)dt1s

Y(s)

Totzeit (Verschiebungssatz)y(t TT) (t TT) e

sTTY(s)

t y(t) dY(s)ds

eat y(t) Y(s + a)Faltungssatz

t0

y1()y2(t )d = y1(t) y2(t) Y1(s) Y2(s)


4.5.4 Die Laplacetransformation von Differentialgleichungen

Die Systembeschreibung eines technischen Prozesses wurde bisher fr die Mehrzahlder interessierenden Flle durch eine lineare Differentialgleichung mit konstantenKoeffizienten erreicht.

a y +n(n)

a y + +a y +a y=b u +b u ++b un-1 1 0 0 1 m(n-1) (m)u(t) y(t)

Bild 4.15: Systembeschreibung durch lineare DGL

Werden auf diese Differentialgleichungen die Differentiationsregeln der Laplacetrans-formation angewendet so erhlt man:

u(t) d t U(s)y(t) d t Y(s)

Aus der linearen DGL wird

ansnY + an1sn1Y + ...+ a1sY + a0Y = b0U + b1sU + ...+ bmsmU (4.28)

somit:Y(s)U(s)

= F(s) =b0 + b1s + b2s2 + ...+ bmsm

a0 + a1s + a2s2 + ...+ ansn(4.29)

Damit wird der im Zeitbereich durch eine lineare Differentialgleichung dargestell-te Zusammenhang im Frequenzbereich durch eine gebrochenrationale Funktion, derbertragungsfunktion F(s) mit dem Laplaceoperator s abgebildet. Bei der Laplace-transformation der Differentialgleichung, insbesondere der Transformation der Ab-leitungsterme wurden alle Anfangswerte von u und y gleich Null gesetzt. In die-sem Fall werden die Anfangsbedingungen jedoch nicht vernachlssigt, sondern blei-ben bewusst unbercksichtigt, da bei der Laplacetransformation von Differentialglei-chungen die Darstellung eines linearen Systemverhaltens erfolgt, welches allgemein-gltig ist und nicht von Anfangsbedingungen abhngt.

Die bertragungsfunktion wird fr den Sonderfall s = j, ( = 0) zum Frequenz-gang F(j), wie bereits auf anderem Wege hergeleitet.

4.5.5 Die Grenzwertstze der Laplacetransformation

Bei der grundlegenden Betrachtung des Verhaltens von Systemen interessieren oftder Anfangswert, der Endwert oder die entsprechenden Steigungen des Eingangs-


beziehungsweise Ausgangssignals eines Systems. Im Zeitbreich erfolgt hierzu dieGrenzwertbetrachtung des entsprechenden Signals y(t). Im Laplacebereich wird die-se Grenzwertbetrachtung ebenfalls durchgefhrt. Die quivalenz der Grenzwertbil-dung im Laplacebereich zur bekannten Vorgehensweise im Zeitbereich ist mittels derGrenzwertstze formuliert. Fr den Anfangswertsatz gilt:

y(t = 0) = limt0

y(t) = lims sy(s) (4.30)

Der Endwertsatz lautet:

y() = limt y(t) = lims0

sy(s) (4.31)

Der Grenzwertsatz fr die Anfangssteigung eines Signals lautet schlielich:

y(t = 0) = limt0

y(t) = lims s(sy(s) y(0

+)) (4.32)

Mit Hilfe der Grenzwertstze knnen auch die Ableitungen betrachtet werden, wobeijedoch fr die Anfangswerte y(t = 0), y(t = 0), y(t = 0)... etc. die Differentiations-regel zu beachten ist (vgl. Tabelle 4.2). Bei der Anwendung der Grenzwerte mussallerdings gesichert sein, dass selbige auch existieren. So wre die Berechnung desGrenzwertes fr ein Signal y(t) = eat, a > 0, oder y(t) = sin(t) nicht sinnvoll.Daher ist es nicht mglich, ber einen Grenzwertsatz einen Stabilittsnachweis zufhren.

4.5.6 Hinweise zur Signalbestimmung im Laplacebereich

Die bequeme Art der Behandlung von Systemen und Signalen im Laplacebereichwird insbesondere bei der Lsung von Differentialgleichungen deutlich, wenn einSystemverhalten aufgrund eines Anregungssignals ermittelt werden muss. Wie inAbschnitt 3.5 hergeleitet, gelingt im Zeitbereich ber das Faltungsintegral die Bestim-mung der Lsung einer Differentialgleichung aufgrund beliebiger Anregungssignale.Dieser Zusammenhang lsst sich direkt in den Laplacebereich bertragen. Die Kor-respondenz der Faltung gem der Tabelle 4.2 liefert im Laplacebereich die Lsungeiner Differentialgleichung Y(s) aus dem mathematischen Produkt der laplacetrans-formierten Differentialgleichung F(s) und dem laplacetransformierten Eingangs- be-ziehungsweise Anregungssignal U(s).

Y(s) = F(s) U(s) (4.33)Einen Sonderfall hierbei stellt die Laplacetransformation der Impulsfunktion (t) dar.Diese entspricht transformiert dem Ausdruck L((t)) = 1, woraus direkt folgt, dassdie bertragungsfunktion F(s) eines Systems die Laplacetransformatierte dessen Ge-wichtsfunktion g(t) ist.

g(t) d t F(s) (4.34)


In Abbildung 4.16 sind die Transformationen des Impulses als Eingangssignal, derbertragungsfunktion eines Systems und der Gewichtsfunktion als Ausgangssignalzur Verdeutlichung dargestellt. Der gezeigte vereinfachende Zusammenhang der Aus-

System y(t)= g(t)d(t)

F(s) Y(s)=F(s)11

LL L

Bild 4.16: Laplacetransformation der Gewichtsfunktion

gangssignalberechnung durch ein mathematisches Produkt von bertragungsfunkti-on und Eingangssignal im Laplacebereich erfordert erhhte Aufmerksamkeit bei derBehandlung der mathematischen Terme. Im Laplacebereich ist nicht ohne weiteres zuunterscheiden, ob eine vorliegende gebrochenrationale Funktion f (s)mit Zhler- undNennerpolynom ein Signal beschreibt oder das Verhalten eines Systems als Transfor-mation der beschreibenden Differentialgleichung in Form der bertragungsfunktion.

61

5 bertragungsglieder

5.1 Rahmenregeln fr bertragungsfunktionen

Die im Folgenden behandelten bertragungsglieder basieren in ihrer

skript srt ws 2012

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