1

II. DIO: DINAMIKA PROCESA

1

SADRAJ 1. UVODNA RAZMATRANJA ..........................................................................................1

1.1. Pristup postavljanju matematikoga modela procesa ...................................................6 1.1.1. Temeljne jednadbe procesa .................................................................................7

2. PROCESI GIBANJA I SKLADITENJA FLUIDA......................................................14 2.1. Spremnici tekuina kao jedinine operacije ..............................................................15

2.1.1. Spremnik tekuine s odvoenjem tekuine pomou crpke promjenljive brzine vrtnje .......................................................................................................15

2.1.2. Spremnik tekuine s istjecanjem kroz regulacijski ventil ....................................17 2.1.3. Spremnik tekuine s utjecanjem i istjecanjem kroz regulacijske ventile .............22 2.1.4. Zatvoreni spremnik tekuine s utjecanjem i istjecanjem kroz regulacijske

ventile.................................................................................................................25 2.1.5. Nespregnuti i spregnuti spremnici tekuina .........................................................27

2.2. Crpke i kompresori .....................................................................................................30 2.2.1. Q-H karakteristika crpke ......................................................................................30 2.2.2. Q-H karakteristika postrojenja .............................................................................31

2.3. Modeliranje cijevi kroz koje protjeu fluidi ...............................................................34 2.3.1. Pasivni priguivai oscilacija tlaka i protoka na principu "notch" filtera ............36 2.3.2. Aktivni priguivai oscilacija tlaka i protoka zasnovani na zatvorenim

posudama ...........................................................................................................37 2.4. Mijeanje komponenata tekuine bez kemijskih reakcija...........................................39 2.5. Naelne sheme regulacije protoka i tlaka nestlaivih fluida.......................................45

1

1. UVODNA RAZMATRANJA

Temeljno pitanje upravljanja (automatizacije) procesa jest kako definirati ciljeve upravljanja:

zato upravljati? (to oekujemo od upravljanja?) gdje upravljati? (izabrati procesne veliine kojima treba upravljati) na koji nain upravljati? (odabrati prikladnu koncepciju upravljanja)

Upravljanje (automatizacija) procesa treba osigurati:

sigurnost rada procesa (osigurati upravljanjem da bilo koji dio procesa ne doe u potencijalno opasno stanje za ovjeka i okolinu);

ekonominost (to ukljuuje i racionalno troenje energenata); odravanje procesa unutar tehnolokih ogranienja pri djelovanju raznih

poremeaja;

odranje koliine i kakvoe proizvoda (obino odreeno zahtjevima trita).

Optimalno upravljanje optimizacija procesa:

kriterij optimalnosti => funkcija cilja. Kriterij optimalnosti slui kao polazite za definiranje strukture sustava upravljanja.

Struktura sustava upravljanja zasniva se na zahtjevima na upravljanje relevantnim procesnim veliinama (varijablama). Ti se zahtjevi specificiraju pomou pokazatelja kakvoe (neposrednih i posrednih).

Primjer 1.1. Postupak koncipiranja sustava upravljanja pei za predgrijavanje sirove nafte

Analiza procesa:

Proces koji se razmatra jest proces predgrijavanja sirove nafte u pei za predgrijavanje, koja je sastavni dio postrojenja za rafinaciju nafte prikazanog na slici 1.1. Napojne crpke dobavljaju frakcijskoj koloni sirovu naftu iz spremnika. Prije ulaska u frakcijsku kolonu sirova nafta se zagrijava u pei za predgrijavanje. Kao zagrijevno gorivo koristi se plin.

Da bi itavo postrojenje za rafinaciju radilo kvalitetno, neophodno je da temperatura T i protok Q sirove nafte na izlazu iz pei budu konstantni, iznosa T=T*, Q=Q0. Osim toga, iz sigurnosnih razloga i zbog metalurkih ogranienja, mora se osigurati da temperatura stijenke pei ne prijee iznos Tsm. Pri tome se protok nafte Qu i temperatura nafte Tu na ulazu u pe mogu znaajno mijenjati. Takoer se mijenjaju i tlak u dobavnim cijevima i toplinski kapacitet zagrijevnog plina.

Zahtjevi na sustav upravljanja odraavaju tri cilja koje se eli postii, a to su:

siguran rad: ogranienje temperature stijenke pei na iznos Ts

2

kvalitetan proizvod: temperatura sirove nafte na izlazu iz pei konstantna, iznosa T = T*

produktivan rad: osiguranje eljenog protoka sirove nafte na izlazu iz pei Q=Q0

Crpke

Spremnici sirovenafte

Pe zapredgrijavanje nafte

Frakcijska kolonaZrak Gorivo

Rashladnajedinica

Nafta

Laki derivati

Teki derivati

Ostatak

a)

Nafta

Zrak Gorivo

Qu,Tu

Qz - protok zrakaQg - protok gorivapg - tlak u cjevovodu gorivag - koliina topline u gorivu

Q,T

b)

Sl. 1.1. Postrojenje za rafinaciju nafte a); detaljniji prikaz pei za predgrijavanje b).

Zahtjevi na sustav upravljanja mogu se ukratko izrei na sljedei nain:

Osigurati zahtijevani dotok sirove nafte frakcijskoj koloni Q0 uz odravanje njezine temperature na eljenom iznosu T=T* neovisno o vanjskim utjecajima, potujui pri tome strogo ogranienje da temperatura stijenke pei niti u jednom trenutku ne prijee iznos Tsm.

Koncipiranje sustava upravljanja:

Postupak koncipiranja sustava upravljanja prikazat emo kroz dijalog inenjera tehnologa (IT) i inenjera automatiara (IA). Inenjer tehnolog zaduen je za osiguranje kvalitetnog rada postrojenja (u ovom sluaju pei za predgrijavanje sirove nafte), a inenjer automatiar za projektiranje sustava upravljanja koji e zadovoljiti zahtjeve koje postavlja inenjer tehnolog.

3

Mogui scenarij dijaloga:

1. faza razgovora:

IA: Koji su Vai proizvodni ciljevi?

IT: elimo da se frakcijskoj koloni osigura potrebna koliina sirove nafte zagrijane na eljenu temperaturu =*. Iznos eljene temperature T* odreen je tipom sirove nafte i eljenom produktivnou rada (eljenim protokom nafte Q0) i obino se mijenja svaka dva do tri dana.

Takoer, moramo voditi rauna da temperatura stijenke pei ne smije niti u jednom trenutku prijei granini iznos Tsm.

IA: Dakle, Va proces ima dvije izlazne veliine: protok nafte Q i temperaturu nafte T. Protok je odreen radnim reimom frakcijske kolone pa je mogue upravljati samo temperaturom nafte, zar ne?

IT: Upravo tako.

IA: Prema tome, zadaa sustava upravljanja jest odravanje temperature sirove nafte na izlazu iz pei konstantnom bez obzira na vanjske poremeaje (problem stabilizacije sustava), a svaka dva do tri dana pojavljuje se i problem slijeenja promjene referentne (eljene) vrijednosti temperature (servo problem).

IT: Da.

IA: Od ulaznih veliina u proces koje su upravljive?

IT: Protok zraka i protok goriva. Glavna upravljaka veliina zapravo je njihov omjer (engl. ratio control). Pri tome, obino, protok zraka drimo konstantnim, a mijenjamo samo protok goriva, kada je to potrebno.

IA: Ostale su ulazne varijable, kao to su promjena protoka sirove nafte Qu i promjena njezine temperature na ulazu u pe u, poremeajne veliine?

IT: Da.

IA: Postoji li jo neka procesna veliina koju treba uzeti u obzir?

IT: Postoji, tlak u dovodnoj cijevi goriva pg i koliina topline u gorivu g. Obje se ove veliine znaajno mijenjaju, a mi nemamo mogunosti utjecaja na te promjene. Promjene obiju ovih veliina predstavljaju poremeajne veliine.

IA: Koje mjerne i izvrne lanove imate ugraene?

IT: Termoparove za mjerenje temperatura T i Tu; mjerne prigunice za mjerenje protoka sirove nafte Q i mjerenje protoka goriva Qg; regulacijski ventil s pneumatskim prigonom za mijenjanje protoka goriva Qg. Osim toga, ugraen je i jedan optiki pirometar za nadzor temperature stijenke pei. Ako temperatura stijenke prijee namjetenu graninu temperaturu pirometar poalje alarmni signal, koji zaustavlja rad postrojenja.

4

2. faza razgovora:

IA: Imate li moda razvijen matematiki model pei?

IT: Ne, ali imamo jednoga rukovatelja (operatera) koji vrlo dobro razumije vladanje procesa. ak smo ga pokuali angairati da runo upravlja procesom, ali nismo postigli prihvatljivo vladanje procesa. Tipian primjer odziva procesa prikazan je na slici 1.2. Na slici su prikazani odzivi temperature sirove nafte na izlazu iz pei T na skokovitu promjenu njenog protoka Q uz runo upravljanje i bez upravljanja.

Runo upravljanje

Bez upravljanja

Vrijeme

Tem

pera

tura

T

T *

Sl. 1.2. Odziv temperature sirove nafte na izlazu iz pei na skokovitu promjenu njezinog

protoka uz runo upravljanje. IA: Imate li spoznaju o uzrocima nezadovoljavajueg vladanja pri runom upravljanju?

IT: Da. Kao to se sa slike 1.2 moe uoiti, rukovatelj izvrsno predvia uinke promjene protoka nafte na njezinu izlaznu temperaturu, ali ipak ne moe reagirati dovoljno brzo i/ili dovoljno tono. Isti je problem i s utjecajem ostalih poremeaja (tlak u dovodnoj cijevi goriva i koliina topline u gorivu).

IA: Jasno je, dakle, da moramo projektirati automatski sustav upravljanja. Pokuajmo za poetak primijeniti PID regulator koji e na temelju odstupanja mjerene vrijednosti temperature nafte na izlazu iz pei T od njezine eljene vrijednosti T* mijenjati dotok goriva Qg (podeavanjem otvora regulacijskog ventila na cijevi za dotok goriva), tako da se to odstupanje smanjuje prema nuli (Sl. 1.3.a)). Ja u podestiti parametre PID regulatora primjenom Ziegler-Nicholsovog postupka, a Vi pratite rad postrojenja neko vrijeme i po potrebi prepodeavajte parametre regulatora. Kada procijenite da je nuno, nazovite me pa emo zajedno analizirati vladanje procesa.

T

T *

TT *

S upravljanjem

Bez upravljanja

Vrijeme

Sl. 1.3. Sustav upravljanja s povratnom vezom.

5

3. faza razgovora:

IT: Postignuto je bolje vladanje sustava nego runim upravljanjem, ali jo uvijek nije zadovoljavajue. Naime, u prvih nekoliko sati rada postrojenja, kada se protok nafte postupno poveava, temperatura nafte na izlazu iz pei je preniska (Sl. 1.3.b)), pa frakcijska kolona ne moe raditi optimalno.

IA: Budui da je izvedeno mjerenje protoka sirove nafte, trebalo bi iskoristiti taj signal i projektirati tzv. unaprijedni regulator koji e mijenajti protok goriva u trenutku promjene protoka nafte. Predlaem da najprije isprobate samostalno djelovanje ovog unaprijednog regulatora (Sl. 1.4.a)), a tek ako ne postignete zadovoljavajue vladanje procesa, ukljuite i prethodno podeeni PID regulator temperature nafte (Sl. 1.5.a)).

Sl. 1.4. Sustav upravljanja s predupravljanjem

Sl. 1.5. Sustav upravljanja s povratnom vezom i predupravljanjem

4. faza razgovora:

IT: Samostalnom primjenom unaprijednog regulatora znaajno je ubrzana kompenzacija utjecaja promjene protoka sirove nafte na njezinu temperaturu. Meutim, pojavljuje se odstupanje vrijedosti temperature nafte u stacionarnom stanju od eljene vrijednosti (Sl. 1.4.b)). Ukljuivanjem PID regulatora temperature otklonjen je ovaj nedostatak (Sl. 1.5.b)).

IT: Iako se postignuto vladanje procesa moe smatrati zadovoljavajuim, ipak se pojavljuju znaajne fluktuacije temperature nafte na izlazu iz pei svaki put kada uoimo promjenu tlaka u dovodnoj cijevi goriva. Vjerujem, takoer, da i promjene koliine topline u gorivu doprinose fluktuaciji temperature nafte, premda to ne moemo kvantificirati. ini mi se ipak da promjena koliine topline manje utjee od promjene tlaka.

6

IA: Koncentrirajmo se onda na utjecaj promjene tlaka u dovodnoj cijevi goriva. Lako je razumljivo zato promjene tlaka utjeu na fluktuaciju temperature nafte. Naime, regulatori djeluju na otvorenost regulacijskog ventila na cijevi za dotok goriva, ali se uz isti otvor pri razliitim tlakovima ostvaruju i razliiti protoci goriva. Preme tome, treba ugraditi dodatni regulacijski krug koji e osigurati da protok goriva bude jednak protoku koji zahtjevaju regulatori temperature sirove nafte. Da bi se to postiglo ugradit emo regulator protoka goriva izmeu regulatora temperature i regulacijskog ventila na cijevi za dovod goriva (Sl. 1.6.a)). Dobiveni kaskadni sustav upravljanja trebao bi dati zadovoljavajue vladanje procesa. Odziv temperature sirove nafte na izlazu iz pei na skokovitu promjenu njezina protoka prikazan je na slici 1.6.b).

QgZrakBez upravljanja

S upravljanjem

Vrijeme

Qu,Tu

TT

T*

Sl.1.6. Kaskadni sustav upravljanja s povratnom vezom i predupravljanjem

Kao to se i iz opisanoga primjera moe zakljuiti, za uspjeno projektiranje sustava upravljanja neophodno je dobro poznavanje vladanja procesa. Poznavanje vladanja procesa osobito je vano pri sintezi regulatora (u opisanom primjeru: regulatora temperature sirove nafte, regulatora protoka goriva i unaprijednog regulatora za kompenzaciju promjena protoka sirove nafte).

Da bi se mogle primijeniti naprednije koncepcije upravljanja potrebno je imati na raspolaganju matematiki model procesa koji opisuje vladanje procesa u stacionarnim i dinamikim stanjima.

1.1. Pristup postavljanju matematikoga modela procesa

1. korak: Prouiti proces spoznati fizikalne (i kemijske) zakonitosti djelovanja u procesu (npr. tokove materijala, tokove energije).

2. korak: Fizikalne (i kemijske) zakonitosti izraziti pomou matematikih jednadbi.

7

1.1.1. Temeljne jednadbe procesa

Fizikalne (i kemijske) zakonitosti u procesu zasnivaju se na opem principu konzervacije (odranja ravnotee) kao temeljnom principu opstojnosti, koji se matematiki moe izraziti jednadbom:

AKUMULACIJA ULAZ IZLAZ UNUTARNJI PROIZVOD= + (1-1) odnosno jednadbom:

PROMJENAAKUMULACIJE

PROMJENAULAZA

PROMJENAIZLAZA

PROMJENAUNUTARNJEG PROIZVODA

LNM

OQP =LNM

OQP LNM

OQP +LNM

OQP

(1-2)

Jednadba (1-1), odnosno (1-2), zasniva se na opem principu konzervacije i naziva se opom temeljnom jednadbom procesa. Iz ope temeljne jednadbe slijede jednadbe odravanja ravnotee za razne fizikalne veliine:

jednadba ravnotee ukupne mase (bilanca ukupne mase): Dotok maseu proces

Odtok maseiz procesa

Vremenska promjenamase u procesu

LNM

OQP LNM

OQP =LNM

OQP ; (1-3)

jednadbe ravnotee komponenata mase (bilanca komponenata): Dotok molovaj te komponenteu proces

Odtok molovaj te komponenteiz procesa

Tvorba molovaj te komponenteuslijed kemijskereakcije

Vremenska promjenamolova j tekomponente u procesu

L

NMMM

O

QPPP

L

NMMM

O

QPPP

+ L

N

MMMM

O

Q

PPPP= L

NMMM

O

QPPP

;

(1-4)

jednadba ravnotee ukupne energije (bilanca energije): Dotok energijeu proces

Odtok energijeiz procesa

Rad kojiproizvodi proces

Vremenska promjenaenergije u procesu

LNM

OQP LNM

OQP LNM

OQP =LNM

OQP ;

(1-5)

jednadba ravnotee gibanja (bilanca gibanja): d mv

dtFi ji

j

N( ) ==

1

, (1-6)

gdje je:

m masa [kg], vi brzina u i-tom smjeru [m/s], Fji j-ta komponenta sile koja djeluje u i-tom smjeru [N].

Sastavnim dijelovima (tzv. konstitutivnim jednadbama, zakonima) u jednadbama ravnotee pojavljuju se:

jednadbe kemijskih kinetikih odnosa:

8

o Arrheniusov zakon ( k e E RT= ), o zakon djelovanja masa (R = FHG

IKJ

1v V

dndtj

j

R

);

jednadbe ekvilibrija (u uskoj sprezi s termodinamikim zakonitostima): o kemijski ekvilibrij, o fazni ekvilibrij;

jednadbe stanja: o gustoa kapljevine, o gustoa pare, o entalpija kapljevine, o entalpija pare;

jednadbe transporta: o Newtonov zakon viskoznosti (za prijenos momenta), o Fourierov zakon voenja topline (za prijenos topline), o Fickov zakon difuzije (za prijenos mase).

Dakle, jednadbe ravnotee omoguuju jedinstveno sagledavanje dinamike procesa kao znanosti o vremenskim promjenama stanja. Jedinstvenost se ogleda u analognim oblicima matematikih modela raznih procesa.

Primjer: Elektrika analogija i topografija procesa

Elektrika mrea: sastoji se od aktivnih i pasivnih elemenata. Aktivni elementi: izvori elektrike energije naponski i strujni izvori Pasivni elementi: troe ili pohranjuju elektriku energiju otpornici,

prigunice, kondenzatori Vodovodna mrea: sastoji se od aktivnih i pasivnih elemenata.

Aktivni elementi: izvori energije izvori tlaka (potencijala) i izvori protoka, kao to su crpke i kompresori

Pasivni elementi: troe ili pohranjuju mehaniku energiju cijevi, masa vode u cijevima, spremnici

Analogije valja promatrati kroz dinamike veliine i dinamike znaajke.

Dinamike veliine:

Pohranjivana (akumulirana, uskladitena) veliina (PV) o masa;

i/ili

9

o energija; i/ili

o koliina gibanja.

Tok (protok, struja) (T) o mase;

i/ili

o energije; i/ili

o koliine gibanja. Neuravnoteenost tokova mase i/ili energije i/ili koliine gibanja uzrokuje vremenske promjene pohranjivane veliine.

Napor (potencijal, potisak) (N) Ove veliine slijede, bez vremenskog kanjenja, promjene pohranjivane veliine.

Dinamike veliine u meusobnom su uzrono-posljedinom odnosu, kako je prikazano na slici 1.7.

Neuravnoteenost tokova mase i/ili energije i/ili

koliine gibanja

Promjena pohranjene

veliine

Promjena napora

izaziva

izaziva

(istodobno)

Tokovi su obino izvana narinute veliine (neovisne o

procesu) ili izravno ovisne veliine o iznosu napora

Sl. 1.7. Uzrono-posljedini odnos dinamikih veliina. Osim tri navedene dinamike veliine, u procesima s inercijskim svojstvima pojavljuje se i etvrta dinamika veliina:

Ubrzanje (u)

0( ) ( )

tdu tok tok u t dtdt

= =

10

Dinamike znaajke:

koeficijent kapaciteta (C): pohranjena veliinanapor

pohranjena veliinanapor

= ( )

( )

koeficijent otpora (R): naportok

naportok

= ( )

( )

koeficijent inercije (J): naporgradijent toka

naporgradijent toka

= ( )

( )

naporubrzanje

naporubrzanje

=FHGIKJ

( )( )

Navedene dinamike znaajke vrijede za linearne (linearizirane) odnose dinamikih veliina. Grafiki prikaz odnosa dinamikih veliina i dinamikih znaajki dan je na slici 1.8.

N

T

PVU

J NU

= C PVN

=

R NT

=

udtz Tdtz

Napor

Pohranjenaveliina

Tok

Ubrzanje

Sl. 1.8. Grafiki prikaz odnosa dinamikih veliina i dinamikih znaajki. Dinamike veliine i dinamike znaajke tipinih procesa prikazane su u tablici 1.1.

Kroz jedinstveno sagledavanje dinamike procesa, emu mogu posluiti i analogije, moe se postii da se:

uoe slina dinamika svojstva u razliitim procesima; naui postavljati jednadbe odranja (ravnotee) za razliite procese (uz

zanemarenje nerelevantnih pojava);

sagledaju utjecaji zanemarenja na strukturu i parametre matematikoga modela (npr. utjecaj redukcije matematikoga modela s raspodijeljenim parametrima u matematiki model s koncentriranim parametrima);

poveu parametri matematikoga modela i znaajke matematikoga modela (npr. vlastite vrijednosti, polovi, nule, vremenske konstante, vlastite frekvencije) s fizikalnim parametrima procesa.

11

Tab. 1.1. Dinamike veliine i dinamike znaajke.

PROCESI POHRANE MEHANIKI PROCESI

Teku-ine

Plino-vi

TOPLNSKI

PROCE

SI

STRUJANJE

FLUIDA transla-cija rotacija transla-cija

rota-cija

ELEKTRIKI

PROCESI

KEM

IJSK

I PR

OC

ESI*

m ili V

m E m ili V

Im=mv x Im=mv Im=J q N PV Pohranjivana

veliina

kg ili m3

kg J kg ili m3

kg ms

m rad kg ms

kgms

2

C=As Wb=Vs mol1)

m Q=

V q=

m Q=

H

m Q=

V q=

F x v= = F Mz i u n2) T

Tok kg/s ili

m3/s kg/s J/s

kg/s ili

m3/s N m/s rad/s N Nm A V mol/s

h P P v F Mz v u i c3) N

Napor m

Pascal=

N/m2 K

Pascal=

N/m2 m/s N Nm m/s rad/s V A

molm3

koeficijent kapaciteta

L NL

A ili A

/ pV R

mCp m/p m 1x

F C=

1

z fM C

=

m J C L N/c

C PVN

=

C PVN

=

kg/m ili m2

kgN m/ 2

JK

kg

N m/ 2

kg m/N rad/Nm kg kgm2 F H m3

koeficijent otpora L NL 2h/Q

2P Q/

1/QCp 2P Q/ v/F D Df 1D

1

Df R 1/R c/n

R NT

= R NT

= m

kg s/

N mkg s

//

2

KJ s/

N mkg s

//

2

m sN/ N

m s/ Nms

rad m s

N/ rad

Nms

VA

=

AV

= 1

s/m3

koeficijent inercije L NL - - - L/A

v dFdt

/

m J

1C

1

Cf L C -

/NJ

dT dt=

( / )

NJdT dt=

- - - m-1 m

N kg kgm2 m

N rad

Nm H F -

1) Mol je koliina tvari onoga sustava koji sadrava toliko jedinki koliko ima atoma u 0,012 kg izotopa ugljika 12 (12C). Te se jedinke moraju iskazati: to mogu biti atomi, molekule, ioni, elektroni itd, ili pak definirane skupine takvih estica. (Prema: Cvita, Kalaj: Fizike veliine i jedinice meunarodnog sustava, 1975.) 2) n stupanj (mjera) reakcije [mol/s] 3) c molarna koncentracija [mol/m3]

Sloenost i tonost matematikih modela ovise o svrsi kojoj slue, pa se razlikuju modeli za:

izuavanje fizikalno-kemijskih zakonitosti procesa; procesni nadzor; dijagnostiku; upravljanje procesom.

12

Po razini sloenosti matematikoga procesa mogu se postaviti tri razine modela:

1. razina (mikro razina): Detaljno opisuje proces (mikrokinetiki opis temeljen na vrlo detaljnom opisu procesnih operacija). Rezultat je obino veliki broj nelinearnih parcijalnih diferencijalnih jednadbi (ili jednadbi diferencija). Koristi se za izuavanje fizikalno-kemijskih fenomena.

2. razina (makro razina): Zanemaruju se mikrokinetiki fenomeni. Slui za projektiranje procesnih operacija na temelju makrokinetikoga opisa procesa.

3. razina: Ovo je u osnovi reducirani model koji opisuje dinamiko vladanje procesa i interakcije meu procesnim veliinama. Slui za sintezu sustava upravljanja.

Do matematikoga modela procesa dolazi se:

teoretskim pristupom (a priori model); eksperimentalnim pristupom (a posteriori model) identifikacija

procesa.

U praksi se daje prednost eksperimentalnom pristupu odreivanja matematikog modela procesa, dakle identifikaciji, a teoretski se model koristi za estimaciju strukture (estimaciju reda) modela.

Na slici 1.9 prikazan je postupak identifikacije procesa. Donji dio sheme za identifikaciju naziva se estimacijom (a kompletan postupak identifikacijom). Identifikacija zahtijeva nekoliko koraka:

izbor strukture modela; projekt provedbe eksperimenta; izbor test signala; provedbu mjerenja; estimaciju parametara; validaciju modela (prihvaanje modela).

Ovisno o zahtjevima na upravljanje procesom modeli mogu biti:

pojednostavljeni bitno je osigurati stabilan rad sustava; toniji/sloeniji (npr. za optimalno upravljanje, dijagnostiku).

Procesi kojima treba upravljati mogu biti veoma raznovrsni (npr. procesi u termoenergetskim postrojenjima, procesi u prehrambenoj industriji, procesi u proiavanju otpadnih voda, procesi u cementnoj industriji, petrokemijskoj, farmaceutskoj itd.). Meutim, u raznovrsnim procesima mogu se uoiti neke zajednike radnje operacije pa se proces dijeli u takozvane jedinine operacije.

13

Upravljanje jedininim operacijama obavlja se pomou relativno jednostavnih regulacijskih krugova (upravljakih shema jedininih operacija). Upravljake sheme jedininih operacija obino se realiziraju u obliku blokovskih modula (sklopovskih ili programskih).

Upravljanje jedininim operacijama predstavlja automatizaciju na najnioj razini (lokalnu automatizaciju).

Optimalna strategija upravljanja provodi se na nadreenim razinama upravljanja, gdje se mogu kompenzirati meudjelovanja jedininih operacija.

Parcijalne dif.jednadbe

(nelinearne)

Parcijalne dif.jednadbe(linearne)

Obine dif.jednadbe

PROCES MODELProcesnepobudeA priori

A posteriori

Mjerni podaci KvantiziraniuzorciParametrimodela

Stru

ktur

a

Pogrekemodeliranja

Pogrekelinearizacije

Pogreke usljedkoncentracije parametara

Mjerenja

um mjerenja umkvantizacije

Obrada signala

Struktura

Linearizacija Redukcija

Fizikalnezakonitosti

ESTIMACIJA

Sl. 1.9. Postupak identifikacije procesa.

14

2. PROCESI GIBANJA I SKLADITENJA FLUIDA Gibanje fluida posljedica je djelovanja sile (potiska). Primjerice, istjecanje fluida iz

spremnika posljedica je tlaka u fluidu koji nastaje zbog djelovanja gravitacijske sile, a gibanje fluida u cjevovodima posljedica je tlaka koji se pojavljuje uslijed sila potiska koje razvijaju crpke ili kompresori. Sustavi cjevovoda kroz koje se giba fluid obino su integrirani sa sustavima spremnika fluida. Koliina uskladitene tvari (fluida) u spremniku funkcija je dotoka i odtoka. Temeljna jednadba ravnotee masa u ovome sluaju glasi:

( ) ( ) ( ) ( )m t m t ddt

V t tu i = , (2-1) ili

( ) ( ) ( )u idQ t Q t m tdt

= , (2-2) gdje je:

m dmdt

= - maseni protok fluida [kg/s]; V - volumen uskladitenog fluida [m3]; - gustoa fluida [kg/m3]; Qu - ulazna koliina fluida (dotok) [kg/s]; Qi - izlazna koliina fluida (odtok) [kg/s]; m - uskladitena masa fluida [kg].

Koliina uskladitenog fluida u vremenu dobije se integriranjem jednadbe (2-2):

( ) [ ]0

( ) ( ) (0).t

u im t Q Q d m = + (2-3) Uskladitenje ima integralni karakter (simulira se blokom integracije). Uskladitena masa fluida u spremniku s konstantnim presjekom moe se izraunati prema izrazu:

m A h= , (2-4) gdje je:

A - povrina presjeka spremnika; - gustoa fluida; h - visina fluida.

Uvrtenjem (2-4) u (2-3) dobije se:

[ ]0

1( ) ( ) ( ) (0).t

u ih t Q Q d hA = + (2-5)

15

2.1. Spremnici tekuina kao jedinine operacije U postrojenjima za gibanje i skladitenje tekuina, spremnici tekuina pojavljuju se u raznim konfiguracijama. U nastavku se opisuju konfiguracije koje se najee pojavljuju. Pri opisu konfiguracija spremnika, zbog jednostavnosti je pretpostavljeno da imaju konstantne povrine poprenog presjeka (A=konst.). 2.1.1. Spremnik tekuine s odvoenjem tekuine pomou crpke promjenljive brzine

vrtnje Shematski prikaz spremnika tekuine s odvoenjem tekuine pomou crpke promjenljive brzine vrtnje dan je na slici 2.1. Za ovu je konfiguraciju karakteristino da odtok tekuine iz spremnika Qi praktiki ne ovisi o razini vode u spremniku h, ve je proporcionalan brzini vrtnje crpke c:

Q Ki c c= , (2-6) gdje je Kc koeficijent proporcionalnosti, ovisan o karakteristikama crpke. Na slici je crtkano prikazan i regulacijski krug razine tekuine u spremniku, koju odrava regulator razine mijenjanjem brzine vrtnje crpke.

Regulator razinetekuine uspremniku

Mjerenjerazine

A=konst.

-+

h

Qu

href

hm

Qi

cCrpka

Sl. 2.1. Spremnik tekuine s odvoenjem tekuine pomou crpke. Uvrtenjem izraza (2-6) u izraz (2-5) dobije se jednadba ravnotee masa za razmatranu konfiguraciju:

[ ]0

1( ) ( ) ( ) (0 )t

u c ch t Q K d hA

= + , (2-7) odnosno u s-podruju

( ) ( )( ) ( )01 1( ) u c c hH s Q s K sA s s

= + , (2-8) gdje je h(0-) razina tekuine u t = 0-.

16

Blokovska shema matematikog modela (izraz (2-7), odnosno (2-8)) razmatrane jedinine operacije, s regulacijskim krugom regulacije razine tekuine u spremniku, prikazana je na slici 2.2.

Kc

1A

1s

H(s)

Mjerni lan razine

Gm(s)

Regulator razine

GR(s)

C(s)

Qi(s)

+-

Qu(s)

jedinina operacija

-

+

Eh(s)Hm(s)

Href(s)

Sl. 2.2. Blokovska shema matematikog modela jedinine operacije odvoenja tekuine iz spremnika pomou crpke promjenljive brzine vrtnje (s regulacijskim krugom razine).

Elektrika analogija: Pretpostavimo da je c = konstantno, odnosno Qi = konstantno. Tada, uz h(0-) = 0 i H(s) = L{h(t)}, Qu(s)=L{qu(s)}, izraz (2-8) poprima oblik:

H s Q sA su

( ) ( )= 1 . (2-9)

Prema tome, mjera akumulacije tekuine u spremniku izraava se konstantom kapaciteta C = A. Analogni elektriki krug prikazan je na slici 2.3. Sastoji se od strujnog izvora sa strujom iznosa Qu i kondenzatora kapaciteta C = A na kojem je napon iznosa h.

strujniizvor

Qu

h

A dhdt

C A=

Sl. 2.3. Analogni elektrini krug spremnika tekuine s ulaznim tokom.

Prema tablici 1.1 konstanta kapaciteta moe se pisati kao:

17

( )pohranjena veliinanapor

u iQ Q dtPV mCN h h

= = = = . (2-10)

2.1.2. Spremnik tekuine s istjecanjem kroz regulacijski ventil Shematski prikaz spremnika tekuine s regulacijskim ventilom u odvodnoj cijevi dan je na slici 2.4. Odtok tekuine iz spremnika protokom Qi ovisan je o razini vode u spremniku h i o otvoru regulacijskog ventila xv. Na slici je crtkano prikazan i regulacijski krug razine tekuine u spremniku, koju odrava regulator razine mijenjanjem otvora regulacijskog ventila.

A=konst.

h

(P0)

(P1)

Qu

Qi

(P2)

Mjerenjerazine

Pozicionerventila

xv

hmhref + -

Regulator Sl. 2.4. Spremnik tekuine s istjecanjem kroz regulacijski ventil kao jedinina operacija (s

regulacijskim krugom razine). Jednadba ravnotee masa glasi:

Q t Q t A dh tdtu i

( ) ( ) ( ) . = (2-11) Pad tlaka koji se pojavljuje pri protjecanju tekuina kroz cijevi, otvore i regulacijske ventile proporcionalan je kvadratu protoka, to proizlazi iz Bernoullijeve jednadbe za stacionarno strujanje nestlaivog idealnog fluida:

P gh v konst+ + = 12

2 . , (2-12)

gdje je: P - statiki tlak, gh - tlak uvjetovan visinskom razlikom pojedinih dijelova fluida,

(hidrostatski tlak)

18

12

2v - dinamiki (brzinski) tlak. Jednadba (2-12) vrijedi za svaku toku strujnice, pa se za istjecanje tekuine iz spremnika kroz uski otvor (Sl. 2.5.) moe pisati:

h

P0 v1

v2Av P0

Sl. 2.5. Istjecanje tekuine iz spremnika kroz uski otvor.

P gh v P g v0 12

0 221

20 1

2+ + = + + , (2-13)

gdje je P0 atmosferski tlak. S obzirom da je povrina poprenog presjeka spremnika znatno vea od povrine poprenog presjeka otvora (A >> Av), brzina promjene razine tekuine u spremniku znatno je manja od brzine istjecanja (v1

19

Za povezivanje ventila u regulacijski krug koriste se tzv. pozicioneri. Oni pretvaraju upravljai elektriki signal uv (najee strujni 4-20 mA, a ponekad i naponski 0-10V) u odgovarajui pomak pogonskog motora, koji dovodi do promjene povrine presjeka ventila, koja je linearno proporcionalna iznosu upravljakoga signala. U tom se sluaju protjecanje kroz regulacijski ventil moe opisati sljedeim izrazom:

Q K u gh kg si v v= LNMOQP

' 2 , (2-18) gdje je:

uv - upravljaki signal pozicionera [mA] ili [V]; Kv' - konstanta proporcionalnosti regulacijskog ventila [m2/mA] ili [m2/V].

Izrazima (2-16), (2-17) i (2-18) opisano je istjecanje tekuine iz otvorenog spremnika kroz ventil uz pretpostavku da je iza ventila atmosferski tlak. Openito se protjecanje kroz ventil u cjevovodu, kojemu je na ulazu tlak P1 a na izlazu tlak P2, moe opisati sljedeim izrazima (daje se poopenje samo izraza (2-18), a za druge se dobije analogno):

Q k u P P kg si v v= LNMOQP1 2 . (2-19)

gdje je kv konstanta proporcionalnosti regulacijskog ventila [kgmmALNMMOQPP

] ili [kgmVLNMMOQPP

].

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Uvrtenjem izraza (2-17) u (2-11) dobije se nelinearna diferencijalna jednadba:

A dhdt

K A g h Qv v u + =2 , (2-20) s dvije nelinearnosti (umnokom - A hv i drugim korijenom - h ), koja predstavlja nelinearni matematiki model jedinine operacije istjecanja tekuine iz spremnika kroz regulacijski ventil. Blokovska shema nelinearnog matematikog modela jedinine operacije istjecanja tekuine iz spremnika kroz regulacijski ventil, dobivena iz (2-20), prikazna je na slici 2.6.

Q u

Q i

A v= f(x v)

+

-

h+ +z1A Q

K A g hv v 2

h (0 -)

Sl. 2.6. Blokovska shema nelinearnog matematikog modela jedinine operacije istjecanja tekuine iz spremnika kroz regulacijski ventil.

20

Linearizirani matematiki model jedinine operacije:

Provodimo postupak linearizacije diferencijalne jednadbe (2-20) u proizvoljno odabranoj radnoj toki (h0, Av0, Qi0, Qu0):

h h h= +0 , (2-21) A A Av v v= +0 , (2-22)

Q Q Q K g A A h hi i i v vo v= + = + +0 02 b g , (2-23) Q Q K A g hi u v v0 0 0 02= = , (2-24)

A d hdt

Q Qi u + = (2-25) Iz izraza (2-23), zanemarenjem lana Avh (Avh=0) i uvoenjem

aproksimacije h h h hh0 0 02

+ = + dobije se:

Q K A gh

h K A g h Ai v v v v v= + 00

0 021

22 . (2-26)

Koritenjem izraza (2-24), izraz (2-26) poprima oblik:

Q Qh

h QA

Ai i iv

v= + 00

0

02. (2-27)

Zamjenom diferencija u izrazu (2-27) diferencijalima d dobije se:

dQ Qh

dh QA

dA K dh K dAi i iv

v h A v= + = +00

0

02. (2-28)

Prvi lan u izrazu (2-28) opisuju inkrementalnu promjenu izlaznog protoka tekuine za inkrementalnu promjenu razine tekuine u spremniku dh, a drugi lan inkrementalnu promjenu izlaznog protoka tekuine za inkrementalnu promjenu poprenog presjeka otvora ventila dAv.

Prema tablici 1.1 koeficijent otpora R izraunava se prema izrazu:

R NaporTok

hQi

= = , (2-29)

a koeficijent kapaciteta C prema izrazu:

Pohranjena veliina mCNapor h

= = . (2-30) Iz izraza, (2-28), (2-29) i (2-27) dobije se iznos koeficijenta otpora:

RK

hQ

A

hQ

mskgh i

vi

= = = LNMOQP

1 2

0

0

0

, (2-31)

a iz izraza (2-30) i (2-4) iznos koeficijenta kapaciteta:

21

m A h kgC Ah h m

= = = . (2-32) Na osnovi poznatih koeficijenata otpora i kapaciteta mogue je izrauanti vremensku konstantu procesa (razmatrane jedinine operacije):

[ ]0 0 00 0

2 2 2 .i i

h mT C R A T sQ Q

= = = = (2-33) gdje je :

00

0i

m pohranjena masaTQ maseni protok

= = . (2-34) Izraz (2-27) napisan u sljedeem obliku:

11 1

i A v iQ h K A h QR R = + = + . (2-36)

i uvrten u izraz (2-25) daje:

C d hdt R

h K A Q RA v u + + = 1 , c h , (2-37)

odnosno

T d hdt

h R Q RK Au A v + = . (2-38)

Linearna diferencijalna jednadba (2-38) predstavlja linearizirani matematiki model jedinine operacije istjecanja tekuine iz spremnika kroz regulacijski ventil. Blokovska shema lineariziranog matematikog modela jedinine operacije istjecanja tekuine iz spremnika kroz regulacijski ventil, dobivena iz (2-38), prikazana je na lici 2.7.

RTs1 +

( )uQ s( )1iQ s( ) ( ){ }V VA s L A s=

Sl. 2.7. Blokovska shema lineariziranog matematikog modela jedinine operacije istjecanja tekuine iz spremnika kroz regulacijski ventil (s regulacijskim krugom razine).

Elektrika analogija: Na slici 2.8 prikazan je elektriki krug analogan lineariziranome modelu jedinine operacije istjecanja tekuine iz spremnika kroz regulacijski ventil, danom izrazom (2-37). Na slici su zbog jednostavnosti zapisa izostavljanje oznake , ali se podrazumijevaju perturbacijske veliine. Elektriki se krug sastoji od protuparalelnog spoja strujnih izvora sa

22

strujama iznosa iu=Qu, odnosno iv = KAAv te paralelnog spoja kondenzatora kapaciteta C = A, kroz koji tee struja ic i otpora R kroz koji tee struja iR.

Strujni izvori

iu=Qu

Av

iv=Qi=KAAv i hRR

=

C

i Q K A hRc u A v

=

R

+

h

- Sl. 2.8. Analogna elektrika shema jedinine operacije istjecanja tekuine iz spremnika kroz

regulacijski ventil. 2.1.3. Spremnik tekuine s utjecanjem i istjecanjem kroz regulacijske ventile

Shematski prikaz spremnika tekuine s regulacijskim ventilima u dovodnoj i odvodnoj cijevi dan je na slici 2.9.

A=konst.

h

P0

P2Qu Qi

P3P1uvu uvi

Sl. 2.9. Spremnik tekuine s utjecanjem i istjecanjem kroz regulacijske ventile.

Jednadba ravnotee masa glasi:

Adh t

dtQ t Q tu i b g b g b g= , (2-39)

gdje je: Q k u P Pu vu vu= 1 2 , (2-40) Q k u P Pi vi vi= 2 3 , (2-41) P P gh2 0= + . (2-42)

Jednadbe (2-39) do (2-42) predstavljaju nelinearni matematiki model razmatrane jedinine operacije. Blokovska shema modela prikazan je na slici 2.10.

23

+

+

+

+

+

+ +

-

-

- +

Q u

Q i

kvu

kvi

P1 P0P2

h(0 - )

P2

P0P3

g

g

hz1A

+

uvi

uvu

x

x

Sl. 2.10. Blokovska shema nelinearnog matematikog modela jedinine operacije za spremnik

tekuine prema slici 2.9. Linearizirani matematiki model jedinine operacije:

Lineariziraju se nelinearne diferencijalne jednadbe (2-40) i (2-41). Jednadba (2-40) moe se napisati u sljedeem obliku:

Q k u P P ghu vu vu= 1 0 . (2-43) Promjenljive veliine u jednadbi (2-43) su uvu, P1 i h, pa se linearizacija obavlja oko njihovih stacionarnih vrijednosti uvu0, P10 i h0 (uvu=uvu0+uvu, P1=P10+P1, h=h0+h). Ovisnost promjene ulaznog protoka u odnosu na stacionarnu vrijednost o promjenama ovih veliina moe se odrediti prema izrazu:

Q Qu

uP h

QP

Pu h

Qh

hu P

uu

vuvu

u

vu

u

uv

= + +

10 01

1

0 0 0 10, , ,, (2-44)

gdje je: = = =

Qu

k P P gh uu

Qu

Kuvu P h

vuvu

vu

u

vu10 010 0 0

0

0

0

01

, ,

= = =QP

k uP P gh

QP P gh

Kuu h

vu vuu

vu10

10 0 0

0

10 0 02

0 0

12 2, b g ,

= =

=

Qh

k u gP P gh

g QP P gh

Kuu P

vu vuu

vu0 10

010 0 0

0

10 0 032 2,

b g .

Analognim postupkom linearizira se i jednadba (2-41), koja se moe napisati u sljedeem obliku:

Q k u P gh Pi vi vi= + 0 3 . (2-45)

24

Promjenljive veliine u jednadbi (2-45) su uvi, P3 i h, pa se linearizacija obavlja oko njihovih stacionarnih vrijednosti uvi0, P30 i h0 (uvi=uvi0+uvi, h = h0+h, P3=P30+P3). Ovisnost promjene izlaznog protoka u odnosu na stacionarnu vrijednost o promjenama ovih veliina moe se odrediti prema izrazu:

33

30 0 0 0 0 30, , ,

i i ii vi

vivi vi

Q Q QQ u P hu P h

P h u h u P

= + + , (2-46)

gdje je: = =

Qu

Qu

Kivi P h

i

vi30 0

0

04

,,

= + =QP

QP gh P

Kiu h

i

vi3

0

0 0 305

0 0 2, b g , =

+ =

Qh

g QP gh P

Kiu P

i

vi 0 30

0

0 0 362,

b g .

Uvrtenjem perturbacijskih veliina, umjesto apsolutnih, u jednadbu (2-39), te primjenom izraza (2-44) i (2-46) dobije se linearna diferencijalna jednadba:

6 3 1 4 2 1 5 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )vu vi

d h tA K K h t K u t K u t K P t K P tdt

+ = + + , (2-47) koja predstavlja linearizirani matematiki model razmatrane jedinine operacije. Blokovska shema lineariziranog matematikog modela prikazana je na slici 2.11.

K2 K3

1A z

P1

uvu

uvi

P3

+

+

+

+ +

-

Qu

Qi

hK1

K4

K5

K6

+

+

Sl. 2.11. Blokovska shema lineariziranog matematikog modela jedinine operacije za spremnik tekuine prema slici 2.9..

25

2.1.4. Zatvoreni spremnik tekuine s utjecanjem i istjecanjem kroz regulacijske ventile

Shematski prikaz zatvorenog spremnika tekuine s regulacijskim ventilima u dovodnoj i odvodnoj cijevi dan je na slici 2.12. Ovakva se konfiguracija spremnika esto susree u kemijskim procesima. U spremniku je tekuina do visine h, a iznad je plin, koji nastaje kao rezultat kemijske reakcije ili isparavanjem tekuine u stanju vrenja.

A=konst.

h

P0,Vp ,Tp

P2Qu Qi

P3P1uvu uvi

Sl. 2.12. Zatvoreni spremnik tekuine s utjecanjem i istjecanjem kroz regulacijske ventile.

Pri analizi ove jedinine operacije pretpostavljamo sljedee:

idealni plin; izotermnost ekspanzije i kompresije plina (Tp = konst.); isparavanje tekuine zanemarivo; masa plina konstantna.

Ova se jedinina operacija opisuje istim matematikim modelom kao i jedinina operacija opisana u 2.1.3, to jest jednadbama (2-39) do (2-42). Razlika nastaje u tlaku P0, koji je u prethodnoj konfiguraciji bio nepromjenljiv i jednak atmosferskom tlaku, a u ovoj se konfiguraciji mijenja s promjenom zapremine plina u spremniku. Iznos promjene tlaka P0 odreen je jednadbom idealnog plina:

0 p pPV nRT= , (2-48) gdje je:

n - broj molova [mol], R - plinska konstanta [R=8,314 J/(kgmolK)].

Promjenom visine h mijenja se volumen plina Vp:

V V hAp = 0 , (2-49) gdje je V0 volumen spremnika. Blokovski prikaz modela izotermne ekspanzije/kompresije plina prikazan je na slici 2.13.

26

Vp=V0-hA

h

P00 p pPV nRT=

Vp

Sl. 2.13. Blokovska shema izotermne ekspanzije/kompresije plina

Blokovski prikaz matematikog modela zatvorenog spremnika tekuine s utjecanjem i istjecanjem kroz regulacijske ventile dan je na slici 2.14.

dhdt A

Q Qu i1 ( ) P P gh2 0

dTdt

Pm C

dVdt

p

p

p0

V V hAp 0 PV n RTp p0P1

P2

P3

P2

Qu

Qi h

Vp

Vp

P0

P0

P2

Tp

Adijabatskakompresija

Q k u P Pu vu vu= 1 2

2 3u vi viQ k u P P=

uvu

uvi

Sl. 2.14. Blokovska shema nelinearnog matematikog modela jedinine operacije za spremnik tekuine prema slici 2.12.

U sluaju adiabatske kompresije mijenja se temperatura plina (Tp konst.). Uinak kompresije plina manifestira se kroz toplinski ekvivalent plina (plin se zagrijava). Prema 1. zakonu termodinamike slijedi:

dE dU dW= + , (2-50)

gdje su: E toplinska energija izmijenjena s okolinom, [J], U unutarnja energija plina, [J], W rad plina, [J]. Snaga predana plinu uz pretpostavku adijabatskog stanja (dE=0, dU=-dW) ima oblik:

0pdVdW P

dt dt = . (2-51)

Promjena topline (unutarnje energije) plina u jedinici vremena odreena je izrazom:

27

( ) pp p p dTdU d mC T mCdt dt dt= = , (2-52) gdje su:

m masa plina u rezervoaru, [kg],

Cp specifini toplinski kapacitet plina, J

kgKLNMOQP .

Izjednaenjem izraza (2-51) i (2-52) dobije se izraz kojim je odreena promjena temperature plina, u obliku:

( )00p p pp u ip p

dT dV V V hAdhmC P A Q Qdt dt nRT dt n RT

= = = . (2-53) 2.1.5. Nespregnuti i spregnuti spremnici tekuina I. Nespregnuti (neinteraktivni) spremnici tekuina (Sl. 2.15.)

Q1

C1 h1

C2 h2

R1 Q2

R2 Q3

(ventil)

(ventil)

A1=konst.

A2=konst.

Sl. 2.15. Nespregnuti spremnici tekuine.

Prema analogijama obrazloenim u toki 2.1.2 dobiju se za prvi spremnik sljedee prijenosne funkcije:

H sQ s

RT s

1

1

1

11b gb g = + , (2-54)

gdje je:

T R C1 1 1= ; 1011 1 1 12 20

2; , .HhR C A RQ Q

= = = Nadalje je:

Q sH s R

2

1 1

1b gb g = . (2-55)

Iz (2-54) i (2-55) slijedi:

28

Q sQ s T s

2

1 1

11

b gb g = + . (2-56)

Analogno se dobije za drugi spremnik: H sQ s

RT s

2

2

2

21b gb g = + , (2-57)

gdje je:

T R C2 2 2= ; 20223 30

2HhRQ Q

= = ; C A2 2= . Iz (2-56) i (2-57) slijedi:

H sQ s

Q sQ s

H sQ s

RT s T s

2

1

2

1

2

2

2

1 21 1( )( )

( )( )

( )( )

= = + +b gb g . (2-58)

Elektrika analogija:

Elektrika analogna shema spremnika tekuina prema slici 2.15 prikazana je na slici 2.16, a dobivena je na temelju slike 2.8 uz pretpostavku da je otvor ventila konstantan (Av=0 na slici 2.8).

Strujniizvor C1

R1

Q1 h1

Strujniizvor C2

R2

Q2 h2

Q3

Q2

Sl. 2.16. Analogna elektrika shema nespregnutih spremnika tekuine. II. Spregnuti (interaktivni) spremnici tekuine (Sl. 2.17.):

Q1

C1 h1R1 Q2

R2 Q3

C2 h2

A1=konst. A2=konst.(ventil) (ventil)

Sl. 2.17. Spregnuti spremnici tekuine.

29

Prema slici 2.17. dobije se za prvi spremnik (radi kratkoe zapisa, kod svih vremenskih funkcija izostavljen je prefiks treba, stoga, imati na umu da se radi o malim promjenama oko radne toke):

Q Q C dhdt1 2 1

1 = , (2-59) gdje je:

C A1 1= i

Q h hR2

1 2

1

= . (2-60) Uvrtenjem (2-60) u (2-59) dobije se:

Q h hR

C dhdt1

1 2

11

1 = H s R Q s H sT s1

1 1 2

11( ) ( ) ( ) ,= ++ (2-61)

gdje je T R C1 1 1= . Isto tako slijedi za drugi spremnik:

Q Q C dhdt2 3 2

2 = , (2-62) gdje je:

C A2 2= i

2023 2

2 30

2, .HhQ RR Q

= = (2-63) Uvrtenjem (2-60) i (2-63) u (2-62) dobije se:

h hR

hR

C dhdt

1 2

1

2

22

2 = (2-64) odnosno:

H sH s

R RR R T s

2

1

2 1

2 1 21( )( )

//

,= + +b g (2-65) gdje je T R C2 2 2= . Iz (2-61) i (2-65) slijedi:

H sQ s

RT T R C s T T s

2

1

2

1 2 2 1 1 221

( )( )

.= + + + +b g (2-66) Elektrika analogija:

Elektrika analogna shema spremnika tekuine prema slici 2.17 prikazana je na slici 2.18. I ovdje je pretpostavljeno da je otvor ventila konstantan (Av = 0).

Q1 h1 h2

Strujniizvor

h hR

Q1 21

2 =

hR

Q22

3=Cdhdt1

1 C dhdt2

2

Sl. 2.18. Analogna elektrika shema spreguntih spremnika tekuine.

30

Usporedbom prijenosnih funkcija (2-58) i (2-66), te slika 2.16 i 2.18 moe se zakljuiti sljedee:

u nespregnutim spremnicima Q2 je neovisno o h2, u spregnutim spremnicima Q2 je ovisno o h2, vremenska konstanta T R Csp = 2 1 predstavlja mjeru sprege dvaju spremnika

tekuine prema slici 2.17 (faktor sprege).

2.2. Crpke i kompresori

Crpke (pumpe) su agregati koji slue za crpljenje (pumpanje) tekuina. Kompresori su agregati koji slue za tlaenje plinova. Pogonski motor crpke (kompresora) predaje, preko lopatica crpke (kompresora), energiju fluidu. U ovom potpoglavlju obraene su samo crpke, a zakljuci vezani za rad crpki naelno se mogu koristiti i za rad kompresora. 2.2.1. Q-H karakteristika crpke

Q-H karakteristika centrifugalne crpke prikazana je naslici 2.19 za dvije brzine vrtnje pogonskog motora crpke ( c c1 2> ).

Qcn Qcm

Hcn

Hcm

H mc

P barili

C1 = konst.

C2 = konst.

QC kg st h

/

/ Sl. 2.19. Q-H karakteristika centrifugalne crpke.

31

Q-H karakteristika centrifugalne crpke moe se priblino opisati sljedeom relacijom:

( )2

,cc cm cm cncn

QH H H HQ

(2-67)

gdje je:

Hcm - visina dobave crpke pri nultom protoku (dobije se ekstrapoliranjem ispitne karakteristike),

Hcn - visina dobave crpke pri nazivnom protoku, Qcn - nazivni protok.

Centrifugalna crpka ima, u analogiji prema elektrikom generatoru, unutarnji otpor, definiran kao:

( ) .c P HR kQ Q = =

* (2-68)

Energija koju crpka predaje tekuini manifestira se u poveanju izlaznog tlaka (P2) u odnosu na ulazni tlak (P1) (Sl. 2.20).

M

P1P2

ulazni(usisni) tlak

izlazni tlak

P H P P= = 2 1

Sl. 2.20. Ilustracija funkcije crpke. 2.2.2. Q-H karakteristika postrojenja

Q-H karakteristika postrojenja (cjevovoda) prikazana je na slici 2.21, a moe se priblino opisati izrazom:

( )2

pp pst pn pst

pn

QH H H H

Q +

, (2-69)

gdje je:

Hpst - hidrostatski tlak tekuine u postrojenju (cjevovodu), Hpn - tlak tekuine u postrojenju (cjevovodu) pri nazivnom protoku, Qpn - nazivni protok tekuine kroz postrojenje (cjevovod).

*

P ghZa vodu je bar mbar Pa

= =

=

F

HGGG

I

KJJJ

1 10

1 105

32

m

P barili

Hp

Qp kg s/

t h/

Hpst

Sl. 2.21. Q-H karakteristika postrojenja.

Ako nema gubitaka tekuine u postrojenju onda je:

Q Q Qp c = . (2-70)

Protok Q proporcionalan je brzini vrtnje pogonskog motora crpke c:

Q c~ . (2-71) Pri tome se mora imati u vidu doputeno podruje rada na Q-H karakteristici crpke, odnosno minimalna i maksimalna brzina vrtnje crpke.

Snaga na lopaticama crpke PLC koja se predaje kapljevini odreena je umnokom protoka i tlaka:

P H QLC p~ . (2-72) Iz Qp-Hp karakteristike, odnosno izraza (2-69), vidi se da je Hp~Qp2 pa slijedi:

P H Q P QLC p LC~ ~ 3 . (2-73) Snagu PLC na osovini crpke osigurava pogonski motor pa se moe zakljuiti da je snaga koju motor uzima iz pojne mree proporcionalna treoj potenciji protoka.

est je sluaj u raznim primjenama da je potrebno mijenjati protok, odnosno upravljati

protokom (tlakom). To se naelno moe obavljati na dva naina. I. Upravljanje protokom pomou ventila (prigunog ventila)

Pri tome se mijenja otpor R pomou ventila spojenog u seriju s crpkom (Sl. 2.22.) uz konstantnu brzinu vrtnje crpke (Sl. 2.23.).

33

P1Q1

P2 P3c=konst.

(R)

Sl. 2.22. Upravljanje protokom pomou prigunog ventila.

H

Q

H1

Q2 Q1

Karakteristikacrpke

Karakteristika postrojenja(uz manji otpor ventila)

C2= konst.

B2

H2

H'2C1= konst.

A1

A2

Karakteristika postrojenja(uz vei otpor ventila)

Sl. 2.23. Ilustracija mogunosti tednje energije.

Pretpostavimo da je potrebno smanjiti protok s vrijednosti Q1 na vrijednost Q2. To se postie odgovarajuim smanjenjem propusnosti prigunog ventila, odnosno poveanjem njegovog otpora R (strmija karakteristika postrojenja na slici 2.23.), odnosno premjetanjem radne toke iz A1 u A2. Snaga koju pogonski motor crpke uzima iz pojne mree u radnoj toki A1 proporcionalna je Q1H1, a u radnoj toki A2 Q2H2.

II. Upravljanje protokom pomou crpke s promjenljivom brzinom vrtnje

Uz isti zahtjev kao i u prethodnom sluaju, ovdje se smanjenje protoka postie smanjenjem brzine vrtnje crpke s iznosa c1 na iznos c2 (c2 < c1). Pri tome karakteristika postrojenja ostaje nepromjenjena, odnosno radna toka se premjeta iz A1 u B2. Snaga koju pogonski motor crpke uzima iz pojne mree za radnu toku B2 proporcionalna je Q H2 2 . Iz ovoga se zakljuuje da je mogua uteda snage PS koju uzima pogonski motor crpke iz pojne mree:

P H H Qs 2 2 2b g . (2-74) tednja energije osobito je vana kod pogona crpki veih snaga (termoelektrane, vodovodna postrojenja, ), a slino je i s kompresorima.

34

2.3. Modeliranje cijevi kroz koje protjeu fluidi

Za procese gibanja i skladitenja fluida potrebno je imati odgovarajui matematiki model cijevi kroz koje protjeu fluidi. Pretpostavimo da je u tu svrhu potrebno modelirati segment cijevi odreene duljine l i odreenog promjera d koji je zakljuen impedancijom ZT (Sl. 2.24.).

x

Q, PZT

Zakljuna impedancijax

Sl. 2.24. Nadomjesna shema cjevovoda.

Pristup modeliranju segmenta cijevi moe se zasnivati na modeliranju preko distribuiranih ili preko koncentriranih parametara. I. Modeliranje segmenta cijevi preko distribuiranih parametara Definiraju se induktivitet, otpor i kapacitet po jedinici duljine x (Sl. 2.24.). Jednadbe za tlak i protok, uz pretpostavku laminarnog strujanja fluida, funkcije su x i t:

+ =

+ =

L Qt

R Q Px

C Pt

G P Qx

(2-75)

gdje su: , , induktivitet, otpor i kapacitet po jedinici duljine;

provodljivost (gubici), ( =0 za nepropusnu cijev). L R CG G

Jednadbe (2-75) su valne jednadbe koje opisuju strujanje fluida kroz cijev. II. Modeliranje segmenta cijevi preko koncentriranih parametara U ovom se sluaju modeliranje cijevi obavlja uz odreene pretpostavke (duljina cijevi, promjer cijevi, materijal od kojeg je cijev izraena, vrsta fluida). Pri tome razlikujemo dva sluaja kako slijedi: a) ZT malog iznosa: To je sluaj kada je cijev zakljuena posudom, kao to je spremnik ili reaktor. Nadomjesna analogna elektrika shema u ovom sluaju prikazana je na slici 2.25.

35

Pu

R L

CT

PT

Qu

ukupni otpor segmenta cijevi

ukupni induktivitet segmenta cijevi

dinamikitlak u posudi

kapacitet posudeCrpka

Sl. 2.25. Nadomjesna analogna elektrika shema segmenta cijevi zakljuenog posudom

velikog kapaciteta. Ovisnost tlaka u posudi PT o ulaznom tlaku Pu prikazana je prijenosnom funkcijom:

P sP s LC s RC s

T

u T T

( )( )

.= + +1

12 (2-76)

Impedancija cijevi koju osjea crpka odreena je izrazom:

Z s P sQ s

LC s RC sC su

u

u

T T

T

( ) ( )( )

= = + +2 1 . (2-77)

b) ZT velikog iznosa: U ovom je sluaju analogna elektrika shema prikazana na slici 2.26.

Pu

R LPT

Qu

ZTC2

C2

Crpka

Sl. 2.26. Analogna elektrika shema segmenta cijevi zakljuenog posudom malog kapaciteta.

Ako je Z C sT >> 1

2

P sP s L C s R C s

T

u

( )( )

=+ +1

2 212

. (2-78)

U tom sluaju dobiva se izraz za impedanciju cijevi koji osjea crpka:

Z s P sQ s

LC s RC s

C s C s LC s RC su

u

u

( ) ( )( )

= =+ +

+ + +LNMOQP

2 21

2 2 2 21

2

2. (2-79)

36

Razvidno je iz izraza (2-76) do (2-79) da na izlazu cijevi, tj. na prikljunom troilu (posudi), mogu nastupiti oscilacije tlaka i protoka. Uzroci oscilacija, primjerice, mogu biti:

ukljuenje/iskljuenje jaih troila, ukljuenje/iskljuenje crpki, sustav cijevi ima svoje rezonantne frekvencije.

Mogue posljedice oscilacija, primjerice, mogu biti:

pretjerane vibracije graevine i cjevovoda i oteenja uvjetovana ovim vibracijama; pretjerano troenje i optereenje crpki ili kompresora. Npr. cjevovod moe imati

veliku impedanciju s obzirom na crpku ili kompresor. Ovo e stvarati "pice" tlaka koje mogu otetiti crpku ili kompresor;

nedoputene oscilacije tlaka i protoka na kraju cjevovoda, gdje je npr. esto spojena posuda (reaktor). Ove su oscilacije esto nedopustive sa stajalita procesa.

Mjere za sprjeavanje uzroka i posljedica:

brino projektiranje procesa (procesne opreme-posuda i nain njihova povezivanja), regulacijski zahvati.

Priguivai oscilacija tlaka i protoka mogu se projektirati analogno kao elektriki filtri (pasivni i aktivni), a mogu biti izvedeni kao

koncentrirani (pasivni i aktivni) ili distribuirani (pasivni).

2.3.1. Pasivni priguivai oscilacija tlaka i protoka na principu "notch" filtera

Ovi su priguivai prikladni u onim sluajevima kada se pojavljuju oscilacije koje imaju konstantnu frekvenciju. Naelna izvedba ovakvog priguivaa prikazana je na slici 2.27, a moe ga se prikazati u analogiji sa serijskim rezonantnim krugom (u literaturi iz akustike rezonator pod nazivom Helmholtzov rezonator).

Ql Qi

cjevovod

laminarnostrujanje

Pu

CD

RDLD

R0

Qu

LD

RD

CD

(pasivni priguiva)

a) b)

Sl. 2.27. Pasivni priguiva na principu notch filtera a) i nadomjesna analogna elektrika shema b)

37

Za sluaj da je otpor cjevovoda R0 >> RD, izraz za impedanciju priguivaa glasi:

Z s P sQ s

L C s R C sC sD

u

u

D D D D

D

( ) ( )( )

= = + +2 1 . (2-80)

Ako priguivaem treba priguiti, primjerice, frekvenciju 1, tada treba odabrati L CD D = 112 ;

pri tome RD treba biti im manji (cijev promjera barem kao cjevovod). Na frekvenciji 1 impedancija priguivaa znatno je manja od impedancije cjevovoda (Sl. 2.28.)

PQ

u

u

1 1= L CD D

Sl. 2.28. Frekvencijska karakteristika pasivnog priguivaa. 2.3.2. Aktivni priguivai oscilacija tlaka i protoka zasnovani na zatvorenim posudama

Za razliku od pasivnih priguivaa, aktivni priguivai su prikladni za priguenje niskih frekvencija. Ovi su priguivai relativno malih dimenzija. Nain rada aktivnog priguivaa oscilacija tlaka i protoka prikazan je na slici 2.29.

Filter

Reg.razine

href

u

Ut

Crpka

Qu

PV

h

Qi

R Pi

"Regulator tlaka"(booster relay)

Napajanjezrakom

Ispust

Sl. 2.29.Aktivni priguiva.

38

Promjene protoka Qu uvjetuju da se mijenja razina tekuina u posudi, to bi u pasivnom akumulatoru uvjetovalo porast/pad tlaka plina u posudi. Meutim, u razmatranom sluaju "regulator tlaka" dri tlak konstantnim. Izlazni protok odreen je razlikom tlakova Pv i Pi (pretpostavlja se da je hidrostatski tlak na dnu posude priblino jednak tlaku Pv, zbog malih dimenzija posude). Ako je Pi konstantan, bit e konstantan i izlazni protok. Analizom slike 2.29 dolazi se so sljedeih relacija:

Q s Q sA s

H su i( ) ( ) ( ) =1 , (2-81) gdje je A popreni presjek posude. Uz regulator razine proporcionalnog djelovanja s pojaanjem KRL slijedi:

U s H s H s Kref RL( ) ( ) ( ) ,= (2-82) U sU s

K G st f f( )( )

( ),= (2-83) P sU s

K G svt

RP RP( )( )

( )= (2-84) gdje je: Kf, Gf (s) - pojaanje i dinamiki lan filtra, KRP, GRP (s) - pojaanje i dinamiki lan regulatora tlaka. Izraz za izlazni protok glasi:

Q s P s P sRi

v i( ) ( ) ( )= , (2-85) gdje je R otpor izlazne cijevi.

Blokovski prikaz priguivaa sa slike 2.29, temeljen na izrazima (2-81) do (2-85), prikazan je na slici 2.30.

+

- -

-

+Qu(s) H(s)1A s

Href(s)

1R

KRLU(s)

KfGf(s)Ut(s)

Pi(s)PV(s)

KRPGRP(s)

Qi(s)

+

Sl. 2.30. Blokovska shema aktivnog priguivaa. Iz slike 2.30. slijedi:

39

Q sQ s

A sK K G s K G s

R

A sK K G s K G s

R

i

u

RL f f RP RP

RL f f RP RP

( )( )

( ) ( )

( ) ( ).=

+

1 1

1 1 1

(2-86)

Ako se pretpostavi da je:

1( ) ,1 ( )

( ) 1,

f ff

RP

K G sT s

G s

= +=

iz (2-86) slijedi:

Q sQ s RA T

K Ks RA

K Ks

i

u f

RL RP RL RP

( )( )

.=+ +1

12 (2-87)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Digresija: Iz dosadanjih razmatranja moe se zakljuiti da su tlak i razina proporcionalni integralu razlike izmeu ulaznog i izlaznog protoka. Ovaj matematiki paralelizam ima za posljedicu da se analiza i sinteza sustava upravljanja tlakom i razinom obavljaju na identian nain. Pri tome je, da bi se postigla regulacija razine (tlaka), potrebno djelovati na protok, ili da bi se postigla regulacija protoka, potrebno je djelovati na razinu (tlak). Dakle, regulacija protoka i regulacija tlaka (razine) meusobno su spregnuti regulacijski procesi. Tlak i protok su inherentno povezane, vremenski promjenljive, veliine pa nije mogue neovisno regulirati tlak i protok u nekom procesu. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2.4. Mijeanje komponenata tekuine bez kemijskih reakcija

Mijeanje u kontinuiranim procesima moe se obavljati na dva naina:

disperzijom jednog protoka u drugi i vremenskim usrednjavanjem promjena smjese u protoku.

Na slici 2.31. prikazan je proces mijeanja. Ulazni tok sadri dvije topljive komponente A i B s koncentracijama CAu i CBu (u opem sluaju moe biti i komponenata s koncentracijama Ciu), a izlazni tok s koncentracijama CAi i CBi. Mjerna jedinica za koncentraciju je kgm-3.

40

hP

qi, CAi , CBiP0

qu,CAu , CBu

uvV

P0

Sl. 2.31. Mijeanje otopine s dvije topive

komponente.

Pretpostavke:

idealno mijeanje;

izotermnost procesa mijeanja;

nema kemijskih reakcija.

Ukupna ravnotea mase (ukupna bilanca masa):

u idV q qdt

= . (2-88) Ravnotea masa pojedinih komponenata:

( )Ai Au u Ai id C V C q C qdt = (za komponentu A), (2-89) ( )Bi Bu u Bi id C V C q C qdt = (za komponentu B), (2-90)

U sluaju regulacije razine vrijedi:

0u i v v v vq q k u P P k u hg= = = . (2-91) Izrazi (2-88) do (2-90) predstavljaju matematiki model procesa mijeanja. Blokovska shema matematikog modela prikazana je na slici 2.32.

( )Ai Au u Ai id C V C q C qdt =

( )Bi u Bu i Bid VC q C q Cdt =

u idV q qdt

=

qi

CAi

CBi

qi

qu

CAu

CBu

qu

qu

qiV

Ravnotea komponentemase A

Ravnotea komponentemase B

Ukupna ravnoteamase

Sl. 2.32. Blokovski prikaz procesa mijeanja otopine s dvije topive komponente

41

Poopenje na mijeanje n ulaznih tokova s jednom komponentom:

V

qi, Ci

q1q2q3

qnqu

Ck ( )k=1, 2, ..., n

Sl. 2.33. Mijeanje n ulaznih tokova.

n ulaznih tokova, 1 izlazni tok,

Jednadbe ulaznih tokova:

1 1 1

2 2 2

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )n n n

Q t C t q tQ t C t q t

Q t C t q t

==

=# # ,

3

3

Varijable su izrazene u slijedeim jedinicama:

; ; k k kkg kg mQ C qs m s

(2-93)

Sustav jednadbi (2-93) moe se zapisati u skraenom obliku:

( ) ( ) ( )k k kQ t C t q t= , k= 1,... n. (2-94) Jednadba izlaznog toka:

( ) ( ) ( )i i iQ t C t q t= . (2-95)

Jednadba ukupne ravnotee masa (ukupna bilanca masa):

1 2( ) ( )i n i

d CV Q Q Q Qdt

= + + + " . (2-96)

Perturbacijskim postupkom, iz izraza (2-94) dobije se (alternativno se za oznaku vrijednosti varijable u radnoj toki umjesto X0 upotrebljava oznaka X ):

42

N N1( ) ( ) ( )

k k

k kk k k

k kq C

Q QQ s C s q sC q

= + , (2-97)

a iz izraza (2-95):

N N( ) ( ) ( )

i i

i ii i i

i iq C

Q QQ s C s q sC q

= + . (2-98)

U sluaju regulacije razine u spremniku mora biti 1

n

i kk

q q=

= . Blokovski prikaz lineariziranog modela proces mijeanja n ulaznih tokova bez kemijskih reakcija dan je na slici 2.34.

1q

2q

2C

nq

1C

iC

iq

C1(s)

q1(s)

Q1 (s)

+

+

+

++

+q2(s)

C2(s)

Cn(s)

+

+

qn(s)

++

+

-

Q2 (s)

Qn (s)

GH(s)qi(s)

Qi+

+

Ci(s)

1( )

n

kk

Q s Q ==

1Vs

+nC

1( ) ( )

n

u kk

q s q s=

=

+

Sl. 2.34. Blokovski prikaz lineariziranog modela procesa mijeanja n ulaznih tokova.

Prema slici 2.34. slijedi:

( ) 1( ) 1

i k

k i

i

C s qVC s q sq

= +

, (2-99)

43

( ) 1( ) 1

i k i

k i

i

C s C CVq s q sq

= +

. (2-100)

Blokovski prikaz sa slike 2.34 prikazan u zornijem obliku dan je na slici 2.35.

1q

2q

nq

1 iC C 2 iC C n iC C

1 1

1ii

Vq sq

+

Sl. 2.35. Transformirani oblik blokovskog prikaza prema slici 2.34.

Proces mjeanja u pravilu se odvija uz regulaciju odnosa (engl. ratio control), tj. sustav upravljanja koncentracijama stavlja u odnos ulazne protoke. Ilustrativan primjer regulacije odnosa je regulacija pH vrijednosti. Dva ulazna toka (q1, q2) elimo drati u odnosu:

2

1

q Rq

= . (2-101) (esto se zahtjeva =R konst. ). Ukupan dotok je:

1 1 2 1Q C q C q R = + . (2-102) Iz jednadbe (2-102) dobije se jednadba s perturbacijskim veliinama.

( )N N N

1 2

1 1 21 1 2

2 11 1

( ) ( ) ( ) ( )

C C R

Q Q Q QQ s C s q s C s R s

C q C RC qq q R

+

= + + +

. (2-103)

Isto tako je iz (2-101):

N N1 1

1 21 2

1

( ) ( ) ( )

Rq q

R RR s q s q sq q

= + . (2-104)

44

Blokovska shema matematikog modela procesa mijeanja, danog izrazima (2-103) i (2-104), prikazana je na slici 2.36 (pretpostavljena je regulacija razine).

1q

1q R 1 2C C R+ 2 1C q

22

1

qq

1

1q

1 1

1ii

Vq sq

+( )Q s

R s( ) iC

Sl. 2.36. Proces mijeanja dvaju tokova uz regulaciju odnosa.

Regulacija odnosa specijalni je sluaj unaprijedne regulacije (engl. feedforward). Jedna od ee susretanih shema prikazana je na slici 2.37.

R 2qR

2

1

qRq

=

Sl. 2.37. Regulacija odnosa.

Do sada smo pretpostavljali da se mjeanje komponenata obavlja bez kemijskih

reakcija. Pretpostavimo sada da komponente A i B (vidi sl. 2.31) stupaju u kemijsku reakciju. Ta reakcija definira se kao stehiometrijska jednadba:

A B C DkF+ + (2-105)

45

Brzina reakcije R moljed vremena.LNM

OQP odreena je izrazom:

R k VC CF A B= , (2-106)

gdje je kF konstanta brzine reakcije u volumenu V. U tom sluaju jednadbe ravnotea masa glase:

2 1 1 2 2( ) ( )A A A Ad C V C q C q RMdt

= + ravnotea komponente mase A, (2-107)

2 1 1 2 2( ) ( )B B B Bd C V C q C q RMdt

= + ravnotea komponente mase B, (2-108)

2 2 2( ) ( )C C Cd C V RM C qdt

= ravnotea komponente mase C, (2-109)

2 2 2( ) ( )D D Dd C V RM C qdt

= ravnotea komponente mase D, (2-110)

1 2dV q qdt

= ukupna ravnotea masa, (2-111) gdje je:

2 2F A BR k VC C= . (2-112) , , ,A B C DM M M M . molarna masa tvari A, B, C, D (2-113)

2.5. Naelne sheme regulacije protoka i tlaka nestlaivih fluida Protok: a) Pomou crpke s promjenljivom brzinom vrtnje (Sl. 2.38.)

Gm

GR- Q1m

Q1r

c

Qc

Q1(t)

P(t)

Q2(t)+

c L 1

L L c c c

Q = Q + Q ; Q = K P(t) - proputanje crpke (gubici crpke); Q =K .

Sl. 2.38. Regulacija protoka pomou crpke s promjenjlivom brzinom vrtnje. b) Pomou mimovodne cijevi (by-pass) (Sl. 2.39.)

46

Gm

GR- Q1m

Q1r

c=konst.

Qc QBp

Q1(t)

P(t)

Q2(t)

Qc=QL+Q1+QBp

Sl. 2.39. Regulacija protoka pomou mimovodne cijevi. Tlak: a) Pomou mimovodne cijevi (by-pass) (Sl. 2.40.)

GmGRc=konst.

Qc QBp

Q1(t)

P(t)

Q2(t)

Pm-

+ Pr

Sl. 2.40. Regulacija tlaka pomou mimovodne cijevi. b) Pomou regulacije izlaznog toka (Sl. 2.41.)

47

Gm

GR

Q1(t)

P(t)

Q2(t)

Pm-

+

Pr

Sl. 2.41. Regulacija tlaka preko izlaznog tlaka. Istovremena regulacija protoka i tlaka (kombinirana regulacija) (Sl. 2.42.):

Gm

GR

Q1m

Q1r

c

Qc

Q1P(t)

Q2+

-

GR

Gm

PmPr +

-

Sl. 2.42. Istovremena regulacija protoka i tlaka.

U ovom sluaju postoji meudjelovanje (sprega) izmeu reguliranih veliina Q1 i P. Upravljanje spregnutim procesima prikazano je u III. dijelu.