skripta obk

SVEUILITE U SPLITU GRAEVINSKO-ARHITEKTONSKI FAKULTET

Jure Radni Alen Harapin

OSNOVE BETONSKIH KONSTRUKCIJA

INTERNA SKRIPTA

Split, 2007.

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 2

SADRAJ:

1 Osnove pojmovi o Armiranom betonu...................................................................................... 4 1.1 Openito ................................................................................................................................ 4

2 Osnove prorauna AB konstrukcija.......................................................................................... 5 2.1 Openito ................................................................................................................................ 5 2.2 Osnovne pretpostavke...........................................................................................................7 2.3 Radni dijagram betona........................................................................................................... 8 2.4 Radni dijagram elika ............................................................................................................ 9 2.5 Koeficijenti sigurnosti ........................................................................................................... 10 2.6 Klase okolia........................................................................................................................ 11

3 Dimenzioniranje AB konstrukcija prema Graninim stanjima nosivosti ................................. 13 3.1 Minimalna i maksimalna armatura u presjeku ..................................................................... 13 3.2 Jednostruko armirani pravokutni presjek optereen momentom savijanja .......................... 13

3.2.1 Teoretske postavke ...................................................................................................... 13 3.2.2 Sluaj 1 ......................................................................................................................... 16 3.2.3 Sluaj 2 ......................................................................................................................... 17 3.2.4 Sluaj 3 ......................................................................................................................... 19 3.2.5 Sluaj 4 ......................................................................................................................... 21

3.3 Dvostruko armirani pravokutni presjek optereen momentom savijanja ............................. 22 3.4 Dimenzioniranje T i presjeka ............................................................................................ 26 3.5 Kratki elementi optereeni centrinom tlanom silom.......................................................... 31 3.6 Kratki elementi optereeni centrinom vlanom silom......................................................... 31 3.7 Dimenzioniranje pravokutnog presjeka na moment savijanja i uzdunu silu....................... 32

3.7.1 Uzduna vlana sila postupak Wuczkowskog ........................................................... 32 3.7.2 Uzduna tlana sila postupak Wuczkowskog ............................................................ 33 3.7.3 Uzduna tlana/vlana sila dimenzioniranje pomou dijagrama interakcije .............. 38

3.8 Dimenzioniranje okruglog presjeka naprezanih momentom savijanja i uzdunom silom.... 41 3.9 Dimenzioniranje presjeka na Poprenu silu......................................................................... 43

3.9.1 Openito ....................................................................................................................... 43 3.9.2 Postupak.......................................................................................................................43 3.9.3 Standardna metoda ...................................................................................................... 44 3.9.4 Metoda slobodnog odabira nagiba tlanih tapova ...................................................... 45 3.9.5 Minimalna (konstruktivna) armatura ............................................................................. 46

3.10 Dimenzioniranje presjeka na Moment torzije....................................................................... 50 3.10.1 Openito ....................................................................................................................... 50 3.10.2 Postupak.......................................................................................................................51 3.10.3 Zajedniko djelovanje Momenta torzije i Poprene sile ................................................ 52


3.10.4 Proraun ploa na proboj.............................................................................................. 57 3.10.5 Koso savijanje............................................................................................................... 57 3.10.6 Vitki elementi naprezani ekscentrinom tlanom silom ................................................ 57

4 Dimenzioniranje presjeka prema Graninim stanjima uporabe ............................................. 58 4.1 Openito .............................................................................................................................. 58 4.2 Granino stanje naprezanja................................................................................................. 58 4.3 Granino stanje pukotina ..................................................................................................... 59

4.3.1 Openito ....................................................................................................................... 59 4.3.2 Minimalna armatura ...................................................................................................... 59 4.3.3 Dokazni postupak bez kontrole irine pukotina ............................................................ 60 4.3.4 Proraun irine pukotina ............................................................................................... 60

4.4 Granino stanje progiba....................................................................................................... 64 4.4.1 Openito ....................................................................................................................... 64 4.4.2 Dokaz graninog stanja progibanja .............................................................................. 65

5 PRILOZI ................................................................................................................................. 72 Prilog 1: Tablice za dimenzioniranje pravokutnih presjeka prema graninim stanjima sloma ..... 73 Prilog 2: Tablice za dimenzioniranje T i presjeka...................................................................... 74 Prilog 3: Tablice za proraun pravokutnih krino armiranih ploa optereenih jednolikim

kontinuiranim optereenjem.......................................................................................... 75 Prilog 4: Dijagram za dimenzioniranje simetrino armiranih pravokutnih presjeka...................... 76 Prilog 5: Dijagram za dimenzioniranje simetrino armiranih pravokutnih presjeka...................... 77 Prilog 6: Dijagram za dimenzioniranje simetrino armiranih pravokutnih presjeka...................... 78 Prilog 7: Dijagram za dimenzioniranje simetrino armiranih krunih presjeka............................. 79 Prilog 8: Dijagram za dimenzioniranje simetrino armiranih krunih presjeka............................. 80 Prilog 9: Armaturne tablice........................................................................................................... 81


1 OSNOVE POJMOVI O ARMIRANOM BETONU

1.1 Openito

Beton je umjetni kamen, dakle materijal koji, kao i svaki kamen ima veliku tlanu ali malu vlanu vrstou. U kombinaciji s armaturom dobiva se novi materijal armirani beton, koji objedinjuje sve dobre karakteristike oba osnovna materijala. Efikasno djelovanje tih dvaju, po mehanikim karakteristikama razliitih materijala, omogueno je sljedeim:

Beton tokom svog stvrdnjavanja vrsto prianja uz elik (armaturu), tako da pri djelovanju vanjskih sila oni zajedno sudjeluju u noenju. Prianjanje elika i betona glavni je faktor njihovog zajednikog sudjelovanja u noenju.

Beton i elik imaju priblino jednake temperaturne koeficijente. Betonu, ovisno o agregata temperaturni koeficijent je: C1107.0104.1 55c

o = , a eliku: C1102.1 5c o= , zbog ega u kombinaciji ova dva materijala dolazi do neznatnog unutranjeg naprezanja pri temperaturnim promjenama.

Beton titi elik od korozije, ako je dovoljno kompaktan, zbog bazinog karaktera kemijskih reakcija i obilnog luenja Ca(OH)2.

Kombinacijom betona i elika u obliku armiranog betona postie se dobro iskoritenje obaju materijala, pri emu beton u prvom redu prima tlana, a elik vlana naprezanja.


2 OSNOVE PRORAUNA AB KONSTRUKCIJA

2.1 Openito

Pod pojmom graninog stanja presjeka odnosno konstrukcije, podrazumijeva se ono stanje pri kojem presjek odnosno konstrukcija gubi sposobnost da se odupre vanjskim utjecajima ili pak dobiva nedoputeno velike deformacije ili lokalna oteenja, ime prestaje ispunjavati postavljene kriterije u pogledu nosivosti, trajnosti i funkcionalnosti. Prema tome, konstrukcija (ili jedan njen dio) smatrat e se nepodobnom za predvienu uporabu ako je prekoraeno bar jedno od graninih stanja. Ovakav pristup, zasnovan na teoriji pouzdanosti konstrukcija, zahtijeva da se odabere ogranieni skup stanja za opisivanje ponaanja konstrukcije. Takva se stanja obino nazivaju graninim stanjima pri kojima konstrukcija zadovoljava uvjete za koje je projektirana.

Openito, uobiajeno je da se granina stanja dijele u dvije velike grupe:

a) granino stanje koje odgovara maksimalnoj nosivosti, a postie se:

lomom materijala u kritinom presjeku ili dosezanjem znatnijih deformacija; otkazivanjem nosivosti konstrukcije praeno pojavom tzv. plastinih zglobova, gdje se

formira mehanizam loma kod statiki neodreenih nosaa (kod ploa se formiraju tzv. linije loma);

dovoenjem konstrukcije ili elementa konstrukcije koje promatramo kao kruta tijela u stanje gubitka ravnotee;

izvijanjem u elastinom ili plastinom podruju; zamorom materijala (npr. za mostove i nosae kranskih staza); nestabilnou uslijed velikih pomaka i deformacija.

b) granina stanja upotrebljivosti, a postiu se:

graninim stanjem deformacija vezano za upotrebljivost i izgled elementa i konstrukcije u cjelini - proraun deformacija;

graninim stanjem pukotina - proraun pukotina. graninim stanjem naprezanja kontrola naprezanja.

Bitno je napomenuti da se jo uvijek esto proraun konstrukcija vri po teoriji elastinosti (linearna teorija), dok se dimenzioniranje vri po metodi graninih stanja. Dakle, oiti je nesklad takvog postupka jer, naime, nedjeljiva je nelinearna ovisnost naprezanje-deformacija za armirano betonski presjek od preraspodjele unutarnjih sila u statiki neodreenoj konstrukciji ("plastifikacija" presjeka i "plastifikacija" sistema).

Metoda graninih stanja promatra stanje deformacija i naprezanja neposredno pred slom presjeka. Da bi se mogla odrediti nosivost presjeka neposredno pred slom, valja poznavati i stanja naprezanja koja prethode graninome.

Greda od armiranog betona optereena koncentriranom silom u sredini raspona ima razliite stupnjeve iskoritenosti u raznim presjecima zavisno od momentnog dijagrama. Idui od leajeva prema sredini raspona vide se tri razliita stanja naprezanja, poznata u armiranom betonu kao stanja naprezanja I, II i III (crte 1).


F

R

I Ia II III

SREDINAPRESJEKA

Bez pukotina Sitne pukotine Pukotine predslom

1/2 l

n.o. n.o.n.o.

M M M M I Ia II III

d

Crte 1 - Stanja naprezanja AB grede

Za stanje I, naprezanja tlaka i vlaka su mala, pa je opravdano pretpostaviti da je raspodjela naprezanja linearna. Kraj stanja I (Ia) oznaava da je vlana vrstoa betona pred iscrpljenjem, pa raspodjela naprezanja u vlanoj zoni ide po krivulji dok je raspodjela tlanih naprezanja jo uvijek linearna. Stanje naprezanja II karakteristino je po tome to u vlanoj zoni nastaju pukotine i vlana se zona iskljuuje iz nosivosti, a raspodjela tlanih naprezanja ima oblik krivulje. Stanje naprezanja III (stanje neposredno pred slom) karakteristino je po tome to raspodjela tlanih naprezanja ima oblik krivulje, a u vlanoj zoni, kao i u zoni II, nastaju pukotine koje su jo vee i doseu neutralnu os. Tlana zona se smanjuje i neutralna os putuje prema gore.

Nain sloma armirano betonskih elemenata ovisi o postotku armiranja, o djelovanju unutranjih sila i o mehanikim karakteristikama betona i armature.

Openito slom presjeka moe nastati:

1. uslijed poputanja armature i to na 2 naina:

nedovoljnim armiranjem ( < min) tako da prilikom prijelaza iz faze I u fazu II dolazi do naglog poveanja naprezanja u armaturi, plastifikacije armature, formiranja veih pukotina i loma armature. Slom nastaje trenutno. Da se takav slom ne dogodi, potrebno je presjek armirati minimalnom armaturom;

iscrpljenou armature, kod ega se slom presjeka ne dogaa odmah poslije pojave pukotina, ve mu prethode sve vee pukotine i naglaene deformacije armature u vlanoj zoni (duktilan slom);

2. uslijed poputanja betona nastaje neduktilan slom. Takav slom nastaje kod jako armiranih presjeka, pri emu naprezanje u eliku ne dosee granicu poputanja. Slom nastaje iznenadno bez naglaenih pukotina i veih deformacija, osobito za betone visokih kvaliteta;

3. uslijed istodobnog poputanja betona i armature nastaje tkz. balansirani slom, koji je karakteriziran prethodnom pojavom naglaenih deformacija i pukotina.

Ako postoji mogunost slobodnog izbora presjeka, preporuuje se dimenzioniranje uz pretpostavku istodobne iscrpljenosti armature i betona, tj uz potpuno iskoritenje obaju materijala ili samo elika.


2.2 Osnovne pretpostavke

Elementi konstrukcija kod dimenzioniranja trebaju zadovoljiti uvjete: da postoji dovoljna sigurnost na lom, da je zadovoljen uvjet ogranienja pukotina za radna optereenja (uvjet trajnosti), da ukupne deformacije, s utjecajem puzanja, skupljanja i temperature, ne izazovu

nepovoljne utjecaje na konstrukciju u eksploataciji (uvjet uporabljivosti).

U proraunu se po pravilu izrauna jedno granino stanje, koje se smatra mjerodavnim, a zatim se, za usvojenu geometriju poprenih presjeka i kvaliteta materijala, dokazuje da su i ostala granina stanja zadovoljena.

U velikom broju sluajeva, u inenjerskoj praksi, najkritinije je stanje granine nosivosti - loma. Stoga se detaljan proraun - dimenzioniranje karakteristinih poprenih presjeka nosaa sprovodi prema teoriji granine nosivosti, a zatim se daje dokaz odnosno provjera ispunjenosti uvjeta koje trae granina stanja upotrebljivosti.

Meutim, zavisno od namjene objekta, okolne sredine, primijenjenog sistema konstrukcije i sl., moe se dogoditi da ne bude (uvijek) mjerodavno stanje loma, ve jedno od dva granina stanja upotrebljivosti. Tako, na primjer, u jako agresivnim sredinama, gdje se u toku eksploatacije doputaju vrlo male irine pukotina u betonu, moe biti najkritinije granino stanje pukotina, pa kao takvo i mjerodavno za proraun. Kod vitkih AB konstrukcija velikih raspona moe pak biti mjerodavno granino stanje deformacija, koje se kod savijenih elemenata svodi na granino stanje progiba. Uvjeti koje ovo granino stanje trai moraju se potivati radi osiguranja funkcionalnosti konstrukcije, posebno radi osiguranja kompatibilnosti deformacija (progiba) konstrukcije sa opremom, pregradnim zidovima, oblogama, izolacijama; zatim izbjegavanja nepovoljnih psiholokih efekata, itd.

Proraun prema graninim stanjima dakle obuhvaa proraune i kontrole ponaanja konstrukcija i to:

a) granino stanje loma: proraun statike ravnotee konstrukcije (gdje se konstrukcija promatrana kao kruto tijelo

provjerava na klizanje, izvijanje, prevrtanje, isplivavanje, odizanje oslonaca...); proraun unutarnjih sila koje vladaju u konstrukciji bilo linearnom teorijom (teorijom

elastinosti) ili transformacijom konstrukcije u mehanizme loma (proraun teorije plastinosti);

proraun granine nosivosti kritinih presjeka za djelovanje momenata savijanja i uzdunih sila, poprenih sila, momenata torzije, lokalnih naprezanja, probijanja, adhezije i sl.;

proraun graninog stanja loma uslijed zamora materijala (za posebne elemente konstrukcija).

b) granino stanje u eksploataciji: dokaz razmaka i otvora pukotina u vlanoj zoni betona; dokaz maksimalnih deformacija i progiba za upotrebljivost konstrukcije. Proraun po graninoj nosivosti lomu vri se na osnovu sljedeih pretpostavki:

presjeci i nakon deformiranja ostaju ravni (vrijedi hipoteza Bernoulli-a), iz ega proistie da je raspored deformacija po visini presjeka pravolinijski;

nosivost betona u vlanoj zoni se ne uzima u obzir. Vlanu silu prima armatura; prianjanje betona i elika nije narueno sve do samog loma konstrukcije. Dakle deformacije

betona i armature su iste za istu udaljenost od neutralne osi presjeka;

poznata je veza naprezanje-deformacija za armaturu i beton, ime je odreena veliina i raspored tlanih naprezanja po visini tlanog dijela presjeka.


2.3 Radni dijagram betona

Eksperimentalna istraivanja su pokazala da stvarni oblik veze izmeu naprezanja c i deformacije c za beton ovisi o nizu faktora: vrsti optereenja, stanju naprezanja u elementu (jednoosno, dvoosno ili vieosno), kvaliteti betona, brzini nanoenja optereenja, duine trajanja optereenja, obliku poprenog presjeka nosaa, koliine armature u tlanoj zoni presjeka, gustoi vilica itd.

Za potrebe prorauna-dimenzioniranja betonskih i armirano betonskih presjeka potrebno je iznai analitiku vezu izmeu naprezanja c i deformacija c betona, koja e s jedne strane biti vrlo jednostavna i primjenjiva u praksi, a s druge to vjernije opisivati stvarnu vezu. Ova analitika veza, koja se u literaturi naziva radni dijagram betona (RDB), u pravilnicima raznih zemalja poprima itav niz oblika: parabole drugog ili treeg stupnja, pravokutnika, parabole+pravokutnika i sl.

U naoj zemlji, a prema prijedlogu EC 2, usvojen je radni dijagram betona oblika parabola+pravokutnik (crte 2).

c

c[]

fcdfck

2.0 3.5

( ) ccckc 44f =

Crte 2 Radni dijagram betona

Raunski radni dijagram betona je dakle parabola:

( ) cccdc 44f = pri 0.20 c ()

tj pravac

cdc f= pri 5.30.2 c < () gdje je:

fcd - raunska tlana vrstoa betona, koja se dobiva iz karakteristine tlane vrstoe

Karakteristika betona C 12/15 C 16/20 C 20/25 C 25/30 C 30/37 C 35/45 C 40/50 C 45/55 C 50/60 fck

(MPa) vrstoa na valjku 12.0 16.0 20.0 25.0 30.0 35.0 40.0 45.0 50.0

fc,cub (MPa) vrstoa na kocki 15.0 20.0 25.0 30.0 37.0 45.0 50.0 55.0 60.0

fct,m (MPa)

Srednja vlana vrstoa 1.6 1.9 2.2 2.6 2.9 3.2 3.5 3.8 4.1

Rd (MPa)

Posmina vrstoa 0.18 0.22 0.26 0.30 0.34 0.37 0.41 0.44 0.48

Ecm (MPa)

Poetni modul elastinosti 26000.0 27500.0 29000.0 30500.0 32000.0 33500.0 35000.0 36000.0 37000.0

U tabeli su takoer dane i vrijednosti poetnog modula elastinosti te vlane vrstoe za pojedine

klase betona, izraunate po izrazima

[ ] [ ]

( ) [ ] [ ]MPaf;MPaf3.0fMPaf;MPa8f9500E

ck32

ckm,ct

ck3

ckcm

+=

()


2.4 Radni dijagram elika

Idealna veza izmeu naprezanja i deformacija za elik, kao raunski model za proraun-dimenzioniranje armirano betonskih presjeka, koja se u literaturi naziva radni dijagram elika (RD), uzima se u obliku bilinearnog dijagrama (crte 3). Maksimalno (granino) naprezanje elika fyk jednako je granici teenja (razvlaenja). Dakle usvaja se da je granina nosivost armature po naprezanjima dostignuta kada naprezanje u armaturi bude jednako granici razvlaenja.

s

s[]

fyk

20.0

fyd

Crte 3 Radni dijagram elika

Dakle smatra se da je dostignuta granina nosivost presjeka po vlanoj uzdunoj armaturi znatno prije no to elik ue u zonu ovrivanja. To je iz razloga to ve pri deformacijama od 5 do 20 armirano betonski nosai se toliko deformiraju da se praktiki iscrpljuje nosivost presjeka - deformacije rastu iako se vanjska sila ne mijenja (armatura "tee"). Pri prekoraenju deformacija od 20 dolazi do znaajnih rotacija presjeka i do znatne redukcije tlane zone to ima za posljedicu drobljenje i lom betona u tlaku.

U tablici su date mehanike karakteristike i uvjeti za pojedina svojstva elika za armiranje, koji u stvari predstavljaju traene kvalitete za pojedina svojstva.

ipkasta armatura

(nHRN EN 10080-2, nHRN EN 10080-3 i nHRN EN 10080-4)

Mreasta armatura (nHRN EN 10080-5)

Naziv i oznaka (broj) elika B 500A (1.0438) B 500B (1.0439)

B 450C (1.04)

B 500A (1.0438)

B 500B (1.0439)

B 450C (1.04)

Nazivni promjer, d (mm) Namot: 4-16 ipke: 6-40 Namot: 6-16 ipke: 6-40 Namot: 6-16 5-16 6-16 6-16

Granica razvlaenja fyk (MPa) 500 500 450 500 500 450

Omjer vlane vrstoe i granice razvlaenja 1.05 1.08

1.15 1.35 1.05 1.08

1.15 1.35


2.5 Koeficijenti sigurnosti

Metoda graninih stanja je semiprobabilistika metoda u kojoj se na principu vjerojatnoe intenziteta optereenja definiraju reprezentativne vrijednosti. Tim se vrijednostima pridruuju koeficijenti sigurnosti, pa se dobivaju raunske vrijednosti. eljeni stupanj sigurnosti postie se dakle preko koeficijenata sigurnosti. Zavisno o kakvom se optereenju radi imamo i razliite koeficijente sigurnosti. Koeficijenti sigurnosti variraju prema tome da li se radi o stalnom (vlastita teina, teina stalne opreme...), promjenjivom (korisno optereenje, snijeg, vjetar...) ili specijalnom optereenjenju (utjecaji temeperature, puzanja i skupljanja betona, seizmiki udari...).

Koeficijent sigurnosti, u biti, slui nam da "pokrijemo" neke netone pretpostavke koje smo uveli u raun, kao to su:

Netonost procjene stalnog i pokretnog optereenja; Netonost odreivanja vrstoa i deformacija materijala; Netonost usvojenog statikog sistema u odnosu na stvarnu konstrukciju; Odstupanje raunskih radnih dijagrama od stvarnih za pojedine materijale; Tolerantne greke prorauna; Greke odreivanja kritinih presjeka kod dimenzioniranja konstrukcije; Utjecaj puzanja i skupljanja betona na konanu vrstou, kao i utjecaj nejednolike

temperature; Neke netonosti kod izvoenja (tolerantna odstupanja vertikalnosti elemenata, netonost

dimenzija presjeka, itd.); Netonost u poloaju armature, naroito odstupanje u veliini zatitnog sloja u odnosu na

projektiranu statiku visinu presjeka; Moguu koroziju elika, koja utjee na smanjenje nosivosti; Zanemarivanje prostornog djelovanja konstrukcije i zanemarivanje prostornog stanja

naprezanja na vrstoe;

Zavisno od deformacije betona i elika definiraju se podruja za odreivanje stanja naprezanja, odnosno jedinstvenog koeficijenta sigurnosti, prema crteu 4.

ab

c

d

ef

g h

12

3

4

5

Vlak Tlak

A

C

B2d1d

d

As1

As2

20.0 3.0

3.52.0

Crte 4 Dijagram deformacija AB presjeka

1. Centrini i ekscentrini vlak u fazi malog ekscentriciteta u podruju 1 omeeni su linijama a

i b. Cijeli betonski presjek je vlano optereen. Ukupnu vlanu silu prima armatura. Toka A je toka rotacije presjeka.

2. Izmeu linija deformacija b i c, u podruju 2, dolaze sluajevi istog savijanja i savijanja sa uzdunom silom (N). Neutralna os uvijek se nalazi u presjeku, a po poloaju ide i do tlanog ruba. Mogui poloaji linija deformacije b i c imaju rotaciju u toki A. Samo u sluaju linije c beton je potpuno iskoriten.


3. Sluajevi istog savijanja i savijanja sa uzdunom silom mogu biti omeeni i linijama c i d, u podruju 3. Beton je u ovom podruju uvijek iskoriten do vrstoe (fcd). Presjeci su jae armirani za liniju deformacije d. Mogui poloaji linije deformacija imaju za rotaciju toku B.

4. Izmeu linija d i f u podruju 4, spadaju svi sluajevi sloenog savijanja sa ekscentrinom tlanom silom. Vlana armatura, As1, u pravilu nije uvijek iskoritena kod loma zbog malih deformacija elika. Toka rotacije linija deformacije je toka B. Za deformacije armature:

sydv1s Ef=


4. Korozija armature uzrokovana kloridima iz mora

XS1 Izloeni soli iz zraka, ali ne u direktnom dodiru s morskom vodom

Vanjski elementi u blizini obale C 30/37 55 0.50 300 -

XS2 Uronjeno Stalno uronjeni elementi u lukama C 35/45 55 0.45 320 -

XS3 U zonama plime i prskanja vode Zidovi lukobrana i molova C 35/45 55 0.45 340 -

5. Djelovanje smrzavanja i odmrzavanja, sa li bez sredstava za odleivanje

XF1 Umjereno zasieno vodom bez sredstava za odleivanje

Vanjski elementi C 30/37 - 0.55 300

XF2

Umjereno zasieno vodom sa sredstvom za odleivanje ili morska voda

Podruja prskanja vode s prometnih povrina, sa sredstvom za odleivanje (ali drukije od onog kod XF4); podruje prskanja morskom vodom

C 25/30 - 0.55 300

XF3 Jako zasieno vodom bez sredstava za odleivanje

Otvoreni spremnici za vodu; elementi u podruju kvaenja vodom (slatkovodna jezera i/ili rijeke) C 30/37 - 0.50 320

XF4

Jako zasieno vodom sa sredstvom za odleivanje ili morska voda

Prometne povrine tretirane sredstvima za odleivanje; preteno vodoravni elementi izloeni prskanju vode s prometnih povrina na koja se nanose sredstva za odleivanje; parkiraline ploe bez zatitnog sloja); elementi u podruju morske plime; mjesta na kojima moe doi do struganja u postrojenjima za tretiranje voda iz kanalizacije

C 30/37 - 0.45 340

Agregat prema HRN EN 12620

s dovoljnom otpornou

na smrzavanje;

Minimalna koliina

zraka 4.0%

6. Beton izloen kemijskom djelovanju

XA1 Slabo kemijski agresivan okoli Spremnici u postrojenjima za tretiranje voda iz kanalizacije; spremnici tekuih umjetnih gnojiva

C 30/37 - 0.55 300 -

XA2 Umjereno kem. agresivan okoli; konstrukcije u marinama

Betonski elementi u dodiru s morskom vodom; elementi u agresivnom tlu

C 35/45 - 0.50 320

XA3 Jako kemijski agresivan okoli

Kemijski agresivne vode u postrojenjima za tretiranje otpadnih voda; spremnici za silau i korita (lijebovi) za hranjenje ivotinja; rashladni tornjevi s dimnjacima za odvoenje dimnih plinova

C 35/45 - 0.45 360

Sulfatno otporni cement

7. Beton izloen habanju

XM1 Umjereno habanje Elementi industrijskih konstrukcija izloeni prometu vozila s pneumatskim gumama na kotaima

C 30/37 25 - -

XM2 Znatno habanje Elementi industrijskih konstrukcija izloeni prometu viljukara s pneumatskim ili tvrdim gumama na kotaima

C 30/37 45 - -

XM3 Ekstremno habanje

Elementi industrijskih konstrukcija izloeni prometu viljukara s pneumatskim gumama ili elinim kotaima; hidraulike konstrukcije u vrtlonim (uzburkanim) vodama (npr. Bazeni za destilaciju); povrine izloene prometu gusjeniara

C 35/45 50 - -

Manje maks. zrno agregata


3 DIMENZIONIRANJE AB KONSTRUKCIJA PREMA GRANINIM STANJIMA NOSIVOSTI

3.1 Minimalna i maksimalna armatura u presjeku

Slom slabo armiranih presjeka, kao to je prije istaknuto, nastaje trenutno. Da bi sprijeili takav slom potrebno je presjek armirati minimalnom armaturom.

Minimalna vlana armatura odreuje se iz uvjeta spreavanja krtog loma, tj. iz uvjeta da ukupnu vlanu silu u betonu kod pojave pukotina preuzme vlana armatura. Osim toga ova armatura smanjuje irinu pukotina kod loma betona.

EC-2 utvruje jedinstveni minimalni postotak armiranja za presjeke optereenje dominantno na savijanje: %1.0min,l =

Maksimalna vlana armatura u presjeku odreuje se iz uvjeta da kapacitet rotacije pri lomu bude dovoljan da bi se mogla izvriti redistribucija momenata du nosaa. Plastifikacija armature se mora izvriti prije iscrpljenja nosivosti betona da do sloma ne bi dolo drobljenjem betona u tlaku.

EC-2 utvruje jedinstveni maximalni postotak armiranja za presjeke optereenje dominantno na savijanje: %0.4max,l =

3.2 Jednostruko armirani pravokutni presjek optereen momentom savijanja

3.2.1 Teoretske postavke U presjeku optereenom momentom savijanja javlja se stanje deformacije-naprezanja kakvo je

prikazano na crteu 5.

Neutralna os

d-x

b1d 1

s1A

h

2

d

sdM

d-d

s1 Fs1

2

c2cF

0.85 fcd

x=*d

z=*d

A

B

Crte 5 - Naprezanja i deformacije jednostruko armiranog pravokutnog AB presjeka

Linija deformacije je pravac jer vrijedi Bernoullieva hipoteza ravnih presjeka. Naprezanje u betonu je odreeno radnim dijagramom betona (parabola+pravokutnik) - crte 2, a naprezanje u armaturi po radnom dijagramu elika crte 3.

Za dimenzioniranje presjeka koristi se uvjetom ravnotee koji se za ovaj sluaj moe iskazati

==

s1c

s1csd

F=F 0H

zF=zF=M 0M (3.1)

gdje su: iisd MM = - raunska vrijednost utjecaja (raunski moment);


cF - raunska sila u betonu (tlana sila); s1F - raunska sila u armaturi (vlana sila); z - krak unutranjih sila; x - udaljenost neutralne osi od tlanog ruba presjeka; d - udaljenost teita vlane armature od tlanog ruba presjeka, statika visina presjeka; b, h - dimenzije presjeka (irina i visina); 1d - udaljenost teita vlane armature od ruba presjeka.

Tlana sila u betonu za opi popreni presjek moe se izraziti kao integral naprezanja po povrini poprenog presjeka:

dA FA

cb = (3.2) Za pravokutni popreni presjek kod kojeg je irina (b) konstantna izraz 3.2 se transformira u:

cdvx

0cc f b x =dx bF = (3.3)

gdje je v koeficijent punoe RDB-a, ovisan o stupnju iskoritenosti betona, a predstavlja odnos povrine RDB-a i povrine pravokutnika ( xfcd ).

( )

5.32 3

2 3

20612

2cc2

c2v

2c2c2c

v


cd

2sd

vsd fdbM=85.0 = (3.10)

gdje su: b - irina pravokutnog presjeka; d - statika visina presjeka; cdf - raunska vrstoa betona; sd - bezdimenzionalna vrijednost momenta savijanja.

Potrebna povrina armature dobit e se iz:

yd

sds1yds1sd fd

MA;dfA=M = (3.11)

Na isti nain moe se postaviti jednadba preko sume horizontalnih sila:

cd

yd

cd

yds1v

yds1cdv

s1c

ff

ff

bdA85.0

fA=fbd85.0

F=F 0N

===

= (3.12)

gdje su: - mehaniki koeficijent armiranja; - stvarni koeficijent armiranja;

Kod praktinog rjeavanja pojedinih zadataka dimenzioniranja armirano betonskih presjeka, niz uvedenih koeficijenata se oitava iz tablica. Jedne takve tablice dane su u prilogu 1, a njihovo a njihovo praktino koritenje biti e prikazano na konkretnim primjerima koji se javljaju u praksi.


3.2.2 Sluaj 1 Postupak

Poznate su dimenzije betonskog presjeka, kvaliteta materijala i raunsko optereenje. Potrebno je odrediti potrebnu povrinu armature.

Iz izraza (3.10). odredi se bezdimenzionalna vrijednost momenta savijanja:

sd sdMbd= 2 fcd te se iz tablica (prilog 1) za odabranu deformaciju armature s1 oitaju vrijednosti c2, i . Potrebna povrina armature dobiva se prema izrazu (3.11).

AM

ssd

1 = d fyd

Numeriki primjer

Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost teita vlane armature od ruba presjeka d1=5 cm. Element je izraen iz betona klase C 30/37 (klasa okolia XC2), armiran s B 500B. Element je optereen raunskim optereenjem Msd=260 kNm. Potrebno je odrediti potrebnu povrinu armature.

s1A

sdM

b = 40

d =

5d

= 55

h =

60

x =

10.6

7c

1

materijal:

C 30/37 ; fck = 30.0 MPa

MPa0.205.10.30ff cckcd === B 500B ; fyk = 500.0 MPa

MPa8.43415.10.500ff sykyd === optereenje

kNm0.260Msd =

geometrija

cm60hcm40b

==

cm55560dhd

cm0.5d

1

1

====

107.00.25540

100260f bd

M2

cd2sd

sd ===

iz tablica s1 = 10.0 ; c2 = 2.4 ; = 0.925; = 0.194 cm67.1055194.0dx ===

2yd

sd1s cm 75.1148.4355925.0

100260 fd

MA === odabrano 616 (As=12.06 cm

2)


s1A

3.5

0.8

1.6

5.1

30.8

1.6

4.56

1.6

4.56

1.6

4.56

1.6

4.56

1.6

4.56

1.60.8

340


Poznate su dimenzije betonskog presjeka b/d i kvaliteta materijala. Potrebno je odrediti moment nosivosti i potrebnu povrinu armature. (Nepoznato nam je As1, s1, c2 i moment nosivosti).

Moment nosivosti presjeka je onaj moment za kojega su oba materijala (beton i elik) u potpunosti iskoriteni. Dakle c2 =3.5 a s1=3-20 .

Izborom s1=3 dobiva se veliki moment nosivosti i vie armature, a izborom s1=20 mali moment nosivosti i malo armature

Za pretpostavljene deformacije iz tablica se oitaju koeficijenti sd i . Izrazima (3.10) i (3.11) dobivamo traene veliine.

cd2

lim,sdlim,Rd f bdM =

fd

MA

yd

lim,Rd1s =

Numeriki primjer

Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost teita vlane armature od ruba presjeka d1=5 cm. Element je izraen iz betona klase C 30/37 (klasa okolia XC2), armiran s B 500B. Potrebno je odrediti moment nosivosti i potrebnu povrinu armature.

s1A

sdM

b = 40

d =

5d

= 55

h =

60

c

1

materijal:

C 30/37 ; fck = 30.0 MPa


MPa8.43415.10.500ff sykyd ===


geometrija

cm60hcm40b

==

cm55560dhd

cm0.5d

1

1

====

Pretpostavimo: s1 = 20.0 i c2 = 3.5 iz tablica sd,lim = 0.096; lim = 0.938; lim = 0.149 kNm32.2320.25540096.0f bdM 2cd

2sdlim,Rd ===

cm19.855149.0dx lim ===

2ydlim

lim,Rd1s cm 36.1048.4355938.0

10032.232 fd

MA =

==

Pretpostavimo: s1 = 3.0 i c2 = 3.5 iz tablica sd,lim = 0.288; lim = 0.776; lim = 0.538 kNm96.6960.25540288.0f bdM 2cd

2sdlim,Rd ===

cm59.2955538.0dx lim ===

2ydlim

lim,Rd1s cm 56.3748.4355776.0

10096.696 fd

MA =

==

U tablici su dani odnosi momenta nosivosti i uzdune armature za jo neke deformacije elika: s1 c2 lim lim Rd,lim x MRd,lim As1

3.0 3.5 0.538 0.776 0.288 29.59 696.96 37.56

5.0 3.5 0.412 0.829 0.235 22.65 568.23 28.67

10.0 3.5 0.259 0.892 0.159 14.26 385.16 18.05

15.0 3.5 0.189 0.921 0.120 10.41 290.24 13.17

20.0 3.5 0.149 0.938 0.096 8.19 232.32 10.36

s1A

b = 40

d =

5d

= 55

h =

60

1

=3.5c2

s120 15 10 5 3

8.19

10.4

114

.26

22.6

529

.60



Poznati su kvaliteta materijala i raunsko optereenje. Potrebno je odrediti dimenzije betonskog presjeka i potrebnu povrinu armature. (Nepoznato nam je: b, h, As1, s1, c2).

Unaprijed se odabere irina presjeka b, te se izraunavanjem izraza (3.10) po d odredi potrebna visina presjeka.

cdlim,sd

sdpot

cd2sd

lim,sd f bMd;

f bdM

=

te se za odabrano d, potrebna povrina armature dobiva prema izrazu (3.11)

fd

MAyd

sd1s =

Numeriki primjer

Potrebno je odrediti optimalni betonski presjek, za raunski moment Msd=300 kNm.. Element je izraen iz betona klase C 30/37 (klasa okolia XC2), armiran s B 500B. Potrebno je odrediti moment nosivosti i potrebnu povrinu armature.

s1A

sdM

b = 40

d =

5d

= 55

h =

60

c

1

materijal:

C 30/37 ; fck = 30.0 MPa


MPa8.43415.10.500ff sykyd ===

Pretpostavimo: s1 = 10.0 i c2 = 3.5 iz tablica sd,lim = 0.159; lim = 0.892; lim = 0.259

cdlim,sd

sdpot f b

Md

b (cm) d (cm)

10.0 97.1

20.0 68.7

30.0 56.1

40.0 48.6

50.0 43.4

60.0 39.7

70.0 36.7 0.0

20.0

40.0

60.0

80.0

100.0

120.0

0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0

h (cm)

b


Za presjeke koji su optereeni momentom savijanja povoljan odnos dimenzija je d/b = 1.5-2.0.

cm60hcm35b

od

od

==

cm55560dhd

cm0.5d

1

1

====

142.00.25535

100300f bd

M2

cd2sd

sd ===


2yd

sd1s cm 88.1348.4355904.0

100300 fd

MA === 716 (As=14.07 cm

2)

s1A

3.50.8

3.5

3.5

0.8

1.6

5.1

352.53

1.6 1.60.8

1.61.6 1.6 1.61.6

2.532.532.532.532.53

Armatura nije dobro odabrana jer je mali razmak izmeu ipki.

21s cm 88.13A = 618 (As=15.27 cm2)

s1A

3.50.8

3.5

3.5

0.8

1.8

5.2

35

0.81.8

3.12

1.8

3.12

1.8

3.12

1.8

3.12

1.8

3.12

1.8

Ova armatura je bolje odabrana.



Poznate su dimenzije betonskog presjeka (b/h), povrina armature i kvaliteta materijala. Potrebno je odrediti moment nosivosti. (Nepoznato nam je: Msd).

Uz pretpostavku deformacija armature s1 = 20.0 , nae se mehaniki koeficijent armiranja (izraz 3.12):

cd

yds1

ff

bdA =

te nakon to se iz tablica (prilog 1) oitaju koeficijenti limsd, ili lim moment nosivosti se odredi prema jednom od sljedeih izraza

ydlim1slim,Rd

cd2

limsd,lim,Rd

fd AMilifdbM

==

Vano je napomenuti da se na ovaj nain dobiva najmanji moment nosivosti. Odabirom manjih deformacija

Numeriki primjer

Potrebno je odrediti optimalni betonski presjek, za raunski moment Msd=300 kNm.. Element je izraen iz betona klase C 30/37 (klasa okolia XC2), armiran s B 500B. Potrebno je odrediti moment nosivosti i potrebnu povrinu armature.

s1A

sdM

b = 40

d =

5d

= 55

h =

60

c

1

materijal:

C 30/37 ; fck = 30.0 MPa


MPa8.43415.10.500ff sykyd ===

Pretpostavimo: s1 = 10.0 i c2 = 3.5 , i b=60 cm iz tablica sd,lim = 0.159; lim = 0.892; lim = 0.259

cm65.392.060159.0

100300f b

Mdcdlim,sd

sdpot =

=


3.3 Dvostruko armirani pravokutni presjek optereen momentom savijanja

Dvostruko armirani presjeci su oni presjeci koji posjeduju vlanu i tlanu armaturu (crte 6). Dvostruko armirani presjeci upotrebljavaju se kada je raunski moment Msd vei od momenta nosivosti MRd,lim kojeg presjek moe preuzeti bez tlane armature.

Neutralna os

sdN d-x

b1d 1

s1A

h

2

d

d

sdM

s2A

2

d-d

s1 Fs1

s2

2

c2s2F

cF

0.85 fcd

x=*d

z=*d

Crte 6 - Naprezanja i deformacije dvostruko armiranog pravokutnog AB presjeka

U dvostruko armiranom presjeku utjecaj tlane armature na njegovu nosivost moe se uzeti u obzir ako je ona povezana sponama na razmaku: sw 15 ( - promjer ipke tlane armature) i ako je zadovoljen uvjet x 2d2 (x - udaljenost neutralne osi od tlanog ruba presjeka , d2 -udaljenost teita tlane armature od ruba presjeka). Time se tlana armatura osigurava od izvijanja!

Za betone razreda C 35/45 prema normi HRN EN 1992-1-1 najvea doputena granina vrijednost koeficijenta poloaja neutralne osi iznosi lim=0.45. S tim u vezi mogu se izraunati i ostali parametri:

.2520=;.8130=;.450=

.2784=;.53=

limsd,limlim

s1c2

(3.13)

Prema tome najvei moment savijanja koji jednostruko armirani presjek moe preuzeti je:

( )cd2cd2lim,sdlim,Rd f bd252.0f bdM == (3.14) Za betone razreda C 40/50 prema normi HRN EN 1992-1-1 najvea doputena granina

vrijednost koeficijenta poloaja neutralne osi iznosi lim=0.35. S tim u vezi mogu se izraunati i ostali parametri:

.2060=;.8540=;.350=

.56=;.53=

limsd,limlim

s1c2

(3.15)

Prema tome najvei moment savijanja koji jednostruko armirani presjek moe preuzeti je:

( )cd2cd2lim,sdlim,Rd f bd206.0f bdM == (3.16) Limitirajui moment preuzimaju beton i vlana armatura, dok razliku do stvarnog momenta

preuzimaju dodatna vlana i tlana armatura. Prema tome potrebna armatura e se izraunati prema izrazima:

( ) fddMM

fd M

Ayd2

lim,Rdsd

ydlim

lim,Rd1s

+= - ukupna vlana armatura (3.17)

( ) ddMM

A2s2

lim,Rdsd2s

= - tlana armatura (3.18)


Gdje je s2 tlano naprezanje u armaturi. Pri deformaciji v2s uzima se da je yd2s f= a za v2s > , sa se izraunava iz izraza:

=1

dd

E2

2ss2s (3.19)

gdje je:

2s - vlana deformacija elika promatrana kao apsolutna vrijednost, Es - modul elastinosti elika ( GPa200Es = ), v - Granina deformacija pri kojoj dolazi do teenja armature (= syd Ef ).

Numeriki primjer 1

Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost teita vlane i tlane armature od ruba presjeka d1=d2=5 cm. Element je izraen iz betona klase C 30/37 (klasa okolia XC2), armiran s B 500B. Element je optereen raunskim optereenjem Msd=760 kNm. Potrebno je odrediti potrebnu povrinu armature.

s1A

sdM

b = 40

d =

5d

= 55

c

1

cs2A

d =

52

materijal:

C 30/37 ; fck = 30.0 MPa



MPa0.760Msd =

geometrija

cm60hcm40b

==

cm55560dhd

cm0.5dd

1

21

=====

314.00.25540

100760f bd

M2

cd2sd

sd ===

Vidljivo je da izraunati sd vei od maksimalnog kojeg moemo oitati iz tablica. Presjek je potrebno dvostruko armirati. Raunamo moment nosivosti:

.2520=;.8130=;.450=

.2784=;.53=

limsd,limlim

s1c2

kNm8.6092.05540252.0f bd252.0f bdM 2cd2

cd2

lim,sdlim,Rd ====


Vlana armatura:

( )( )

( )2

yd2

lim,Rdsd

ydlim

lim,Rd1s

cm27.3891.636.31

48.435551008.6090.760

48.4355.81301008.609

fddMM

fd M

A

=+=

=+

=+=

s1A

s2A

d =

52

x =

24.7

5

= 3.5 c2 = 2.79 s2

cm75.245545.0dx lim ===

79.25.375.24

0.575.24 xdx

dxx 2c2

2s2

2s2c ====

( ) 10002000008.434

Ef

s

yd500 Bv == () = 2.17

yds2v2s f =>

( )( )

( ) 2yd2lim,Rdsd

2s cm91.6 48.435551008.6090.760

fddMM

A ==

=

21s cm 27.38A = odabrano 532 (As=40.21 cm2) 22s cm 91.6A = odabrano 320 (As=9.42 cm2)

s1A

3.5 3.850.8

3.5

3.5

0.8

3.2

5.9

40

3.20.8

3.2

3.85

3.2

3.85

3.2

3.85

3.2

s2A

3.5

0.8

25.

33

Krivo su pretpostavljene veliine d1 i d2, pa ponavljamo proraun.

cm60hcm40b

==

cm54660dhd

cm5.5dcm0.6d

1

2

1

=====

kNm9.5872.05440252.0f bd252.0f bdM 2cd2

cd2

lim,sdlim,Rd ==== Vlana armatura:

( )( )

( )2

yd2

lim,Rdsd

ydlim

lim,Rd1s

cm96.3816.880.30

48.435.5541009.5870.760

48.4354.81301009.587

fddMM

fd M

A

=+=

=+

=+=

Tlana armatura

( )( )

( ) 2yd2lim,Rdsd

2s cm16.8 48.435.5541009.5870.760

fddMM

A ==

=

Vidljivo je da se armatura nije znaajno promijenila. Vrijede odabrane ipke.


Numeriki primjer 2

Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost teita vlane armature od ruba presjeka d1=6 cm, a udaljenost teita tlane armature od ruba presjeka d2=12 cm. Element je izraen iz betona klase C 30/37 (klasa okolia XC2), armiran s B 500B. Element je optereen raunskim optereenjem Msd=760 kNm. Potrebno je odrediti potrebnu povrinu armature.

s1A

sdM

b = 40

d =

5d

= 55

c

1

cs2A

d =

12

2

materijal:

C 30/37 ; fck = 30.0 MPa



MPa0.760Msd =

geometrija

cm60hcm40b

==

cm54660dhd

cm0.12dcm0.6d

1

2

1

=====

314.00.25540

100760f bd

M2

cd2sd

sd ===

kNm9.5872.05440252.0f bd252.0f bdM 2cd2

cd2

lim,sdlim,Rd ==== Vlana armatura:

( )( )

( )2

yd2

lim,Rdsd

ydlim

lim,Rd1s

cm22.4042.980.30

48.4312541009.5870.760

48.4354.81301009.587

fddMM

fd M

A

=+=

=+

=+=

s1A

s2A

d =

12

2

x =

24.7

5

= 3.5 c2

= 1.80 s2

cm75.245545.0dx lim ===

80.15.375.24

0.1275.24 xdx

dxx 2c2

2s2

2s2c ====

( ) 10002000008.434

Ef

s

yd500 Bv == () = 2.17

MPa6.3600018.0200000E 2sss2v2s ===>

( )( )

( ) 22s2lim,Rdsd

2s cm36.11 06.3612551009.5870.760

ddMM

A ==

=


21s cm 22.40A = odabrano 532 (As=40.21 cm2) 22s cm 36.11A = odabrano 420 (As=12.57 cm2)

s1A

3.5 3.850.8

3.5

3.5

0.8

3.2

5.9

40

3.20.8

3.2

3.85

3.2

3.85

3.2

3.85

3.2

s2A

3.5

0.8

25.

33

Napomena: Ovim postupkom se praktiki moe odrediti armatura za bilo koji zadani moment Msd. No, potrebno je uvijek imati na umu da ukupni postotak armature u presjeku ne prijee maksimalnu doputenu vrijednost.

%2.24060

57.1221.404060AA

AA 2s1s

c

sll =

+=+==

Maksimalna vrijednost koliine armature za presjeke naprezanje savijanjem je (prema EC2) l,max=4%, to je vie od dobivene vrijednosti, te zakljuujemo da je presjek ispravno dimenzioniran. Meutim, ovaj postotak armature je praktino prevelik za dani presjek, te je potrebno poveati presjek i/ili smanjiti optereenje.

3.4 Dimenzioniranje T i presjeka

T presjecima nazivamo one presjeke ija tlana zona ima oblik slova "T", crte 7.

Neutralna os

d-x

b1d 1

s1A

h

2

d

d

sdM

s2A x2

zd-d

s1 Fs1

s2

2

c2s2F

cF

0.85 f cdbeff

c

fh

*

w

Crte 7 T - presjek

Dakle, osim oblika, da bi presjek bio T presjek mora biti ispunjen i uvjet da je x>hf . Ako je x


ploa rade zajedniki, tj ako je u presjecima 1-1 i 2-2 osigurana vrsta veza izmeu rebra i ploe, sposobna primiti posminu silu.

Openito, u proraunu T presjeka primjenjuju se dva postupka u zavisnosti od odnosa beff/bw. Naelno, ako je beff>5bw primjenjuje se pojednostavljeni proraun, koji je za praksu dovoljno toan, a nalazi se na strani sigurnosti. Pri tome se pretpostavlja da ukupnu tlanu silu prima samo ploa, i da ova sila djeluje u srednjoj ravnini ploe, tj. da je krak unutranjih sila z=(d-hf/2). Dakle, zanemaruje se tlana sila koju prima dio rebra izmeu neutralne osi i donje ivice ploe

Neutralna os

d-x

b1d 1

s1A

h

2

d

d

sdM

x2

s1 Fs1

s2c2

cF

0.85 fcdbeff

c

fh

*

w

z =

d - h

/2

f

Crte 8 "T" presjek s odnosom beff/bw>5

Koristei uvjete ravnotee, dobiva se izraz za potrebnu povrinu presjeka vlane armature.

( ) ydfsd

1s f2/hdMA = (3.20)

U praksi se najee pretpostave-usvoje dimenzije presjeka, a zatim se odreuje armatura. Pri tom se, u pravilu, ne ide na potpuno iskoritavanje betona, jer bi to dalo neracionalne, previe armirane presjeke. Dakle granina nosivost ovakvih presjeka dostie se po armaturi (10-20 ). S obzirom na veliku nosivost ploe, tlana raunska armatura je u pravilu nepotrebna i ekonomski neopravdana.

Izuzetno kada aktivna irina ploe beff nije mnogo vea od irine rebra bw, a T presjek izloen savijanju s velikom tlanom silom, moe se javiti potreba i za tlanom raunskom armaturom.

Ako je beff5bw, obino se ne zadovoljavamo prethodnim, pojednostavljenim postupkom prorauna T presjeka, posebno ako je nosa T presjeka veeg raspona i optereenja. Tada primjenjujemo toniji postupak u kojem ne zanemarujemo doprinos tlanog dijela rebra. Toniji postupak primjenjujemo i onda kada je beff>5bw ako je x >>hf. To e se dogoditi kod presjeka optereenih na savijanje s velikom tlanom silom. Tada se doprinos nosivosti presjeka velike tlane zone rebra ne smije zanemariti.

U praksi se dimenzioniranje T presjeka svodi na dimenzioniranje zamjenjujueg presjeka irine bi. irina bi odreuje se iz uvjeta da se, pri jednakim poloajima neutralne osi, dobiju jednake tlane sile u zadanom i zamjenjujuem presjeku.

Polazina osnova nam je pravokutni presjek irine jednake irini ploe.

Nakon izraunavanja koeficijenta sd i oitavanja koeficijenta , odreujemo poloaj neutralne osi (3.6), pri emu se mogu pojaviti dvije mogunosti:

neutralna os prolazi kroz plou ili njenim donjim rubom. Takav presjek proraunavamo kao pravokutni dimenzija beff/d, dakle za oitani odreujemo armaturu prema (3.11).

neutralna os sijee rebro.


Neutralna os

sdN d-x

b1d 1

s1A

h

2

d

dsdM

s2A x2

zd-d

s1 Fs1

s2

2

c2s2F

cF

0.85 f cd

beff

c

fh

*

bi

w Crte 9 Zamjenjujui "T" presjek

irinu fiktivnog T presjeka bi moemo odrediti iz izraza:

effbi bb = (3.21) pri emu se koeficijent b moe izraunati iz formule (3.22) ili dovoljno tono oitati iz tablica danih u prilogu 2, to u praksi predstavlja uobiajeni postupak.

=

w

efff

v

vb b

b1d

h11 (3.22)

pri emu su: v - koeficijent punoe radnog dijagrama betona za deformaciju 2c ; v - koeficijent punoe radnog dijagrama betona za deformaciju c ;

Nakon pronalaenja aktivne irine bi zamjenjujueg T presjeka provodi se dimenzioniranje kao za pravokutni presjek poznatih dimenzija bi/d. Dobivene nova vrijednost usporeuje se sa starom, pa nastane li razlika, postupak se ponavlja.

Na ovaj nain T presjek je zamijenjen s pravokutnim presjekom pa se mogu koristiti sva pomona sredstva za proraun pravokutnih presjeka (tablice, dijagrami i sl.)

Numeriki primjer 1

Zadan je betonski presjek dimenzija prema slici. Element je izraen iz betona klase C 25/30 (klasa okolia XC2), armiran s B 500B. Element je optereen raunskim optereenjem Msd=700 kNm. Potrebno je odrediti potrebnu povrinu armature.

sdM

b = 40w

s1A

d =

95

c

d =

5

h =

100

1

h =

15

f

b = 150effmaterijal:

C 25/30 ; fck = 25.0 MPa



MPa0.700Msd =


poetni presjek: beff/d = 150/95: 031.0

67.195150100700

f dbM

2cd

2eff

sdsd =

==

iz tablica s1 = 10.0 ; c2 = 1.0 ; = 0.968; = 0.091 cm0.15hcm65.895091.0dx f ==== neutralna os sijee rebro! Potrebno je odrediti aktivnu irinu fiktivnog T presjeka. Aktivnu irinu oitavamo iz Tablice u Prilogu 2, prethodno izraunavi parametre:

75.340

150bb

w

eff == , 16.09515

dhf == , 225.0=

Te iz tablice oitamo b: 91.0b = Fiktivna irina je:

cm 5.13615091.0bb effbi ===

dhf bbeff

0.550 0.525 0.500 0.475 0.450 0.425 0.400 0.375 0.350 0.325 0.300 0.275 0.250 0.225 0.200 0.175 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 0.025 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

dx= b 0.550 0.525 0.500 0.475 0.450 0.425 0.400 0.375 0.350 0.325 0.300 0.275 0.250 0.225 0.200 0.175 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 0.025 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

0.550 0.513 0.489 0.464 0.437 0.413 0.386 0.362 0.335 0.309 0.284 0.259 0.232 0.207 0.181 0.155 0.130 0.103 0.078 0.052 0.026 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

0.550 0.513 0.487 0.461 0.436 0.409 0.383 0.357 0.330 0.303 0.276 0.249 0.221 0.194 0.166 0.139 0.111 0.083 0.056 0.028 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99

0.550 0.513 0.487 0.460 0.434 0.407 0.379 0.351 0.323 0.295 0.266 0.237 0.208 0.178 0.149 0.119 0.090 0.060 0.030 0.99 0.98 0.98 0.98 0.98 0.98 0.98 0.98

0.550 0.512 0.485 0.459 0.431 0.403 0.374 0.345 0.315 0.285 0.254 0.223 0.192 0.160 0.129 0.097 0.065 0.032 0.98 0.97 0.97 0.97 0.96 0.96 0.96 0.96

0.550 0.512 0.485 0.457 0.428 0.399 0.368 0.337 0.306 0.273 0.240 0.207 0.173 0.139 0.105 0.070 0.035 0.97 0.96 0.95 0.94 0.94 0.94 0.94 0.93

0.550 0.511 0.483 0.454 0.425 0.394 0.362 0.329 0.295 0.260 0.224 0.188 0.151 0.114 0.076 0.038 0.96 0.94 0.93 0.92 0.91 0.91 0.91 0.90

0.550 0.510 0.481 0.451 0.420 0.388 0.354 0.318 0.281 0.243 0.204 0.164 0.124 0.083 0.042 0.95 0.92 0.90 0.89 0.88 0.88 0.87 0.87

0.550 0.509 0.479 0.448 0.415 0.381 0.344 0.305 0.265 0.223 0.180 0.136 0.091 0.046 0.93 0.90 0.87 0.86 0.85 0.84 0.84 0.83

0.550 0.508 0.477 0.444 0.409 0.372 0.331 0.289 0.244 0.198 0.150 0.101 0.051 0.91 0.87 0.84 0.83 0.81 0.80 0.80 0.79

0.550 0.507 0.473 0.439 0.401 0.360 0.316 0.268 0.218 0.166 0.112 0.056 0.90 0.84 0.81 0.79 0.78 0.76 0.76 0.75

0.550 0.505 0.469 0.432 0.391 0.345 0.295 0.241 0.184 0.125 0.063 0.88 0.82 0.78 0.75 0.74 0.72 0.71 0.70

0.550 0.502 0.464 0.423 0.378 0.326 0.268 0.206 0.140 0.071 0.86 0.79 0.74 0.72 0.70 0.68 0.67 0.66

0.550 0.499 0.457 0.412 0.360 0.299 0.232 0.158 0.081 0.84 0.76 0.71 0.68 0.65 0.64 0.62 0.61

0.550 0.494 0.448 0.397 0.335 0.262 0.181 0.093 0.82 0.73 0.68 0.64 0.61 0.59 0.58 0.57

0.550 0.488 0.435 0.374 0.298 0.208 0.108 0.80 0.70 0.64 0.60 0.57 0.55 0.53 0.52

0.550 0.479 0.418 0.342 0.243 0.127 0.78 0.67 0.60 0.56 0.53 0.51 0.49 0.48

0.550 0.467 0.392 0.288 0.154 0.76 0.64 0.58 0.53 0.49 0.47 0.45 0.43

0.550 0.449 0.347 0.192 0.74 0.62 0.54 0.49 0.45 0.42 0.40 0.38

0.550 0.420 0.252 0.72 0.59 0.50 0.45 0.41 0.38 0.36 0.34

0.550 0.351 0.71 0.56 0.47 0.41 0.37 0.34 0.31 0.29

0.550 0.69 0.53 0.43 0.37 0.33 0.29 0.27 0.25


Analiziramo novi presjek: bi/d = 136.5/100 146.0

67.1955.1361003000

f dbM

2cd

2i

sdsd =

==

iz tablica s1 = 10.0 ; c2 = 3.2 ; = 0.901; = 0.242 Ponovno je potrebno odrediti aktivnu irinu fiktivnog T presjeka ( = 0.242):

Te iz tablice oitamo b: 88.0b = Fiktivna irina je:

cm 0.13215088.0bb effbi === Analiziramo novi presjek: b/d = 132.0/100

151.067.195132

1003000f db

M2

cd2

i

sdsd =

==

iz tablica s1 = 10.0 ; c2 = 3.3 ; = 0.898; = 0.248 poto je promjena mala, zadovoljavamo se dobivenim rezultatom. 2

yd

sd1s cm 87.8048.4395898.0

1003000 fd

MA === odabrano 620 (As=18.85 cm

2)

Da smo prihvatili da je zadani presjek vitak (beff>5bw):

( ) ( ) 2ydfsd

1s cm 85.7848.43215951003000

f2hdMA =

==

Napomena uz primjer 2: Potrebna povrina armature je korektno izraunata danim formulama, meutim postava ove armature u presjek bi bila prilino nezgodna.

%5.010015087.80

AA

c

1ss ===

dhf bbeff

0.550 0.525 0.500 0.475 0.450 0.425 0.400 0.375 0.350 0.325 0.300 0.275 0.250 0.225 0.200 0.175 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 0.025 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

dx= b 0.550 0.525 0.500 0.475 0.450 0.425 0.400 0.375 0.350 0.325 0.300 0.275 0.250 0.225 0.200 0.175 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 0.025 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

0.550 0.513 0.489 0.464 0.437 0.413 0.386 0.362 0.335 0.309 0.284 0.259 0.232 0.207 0.181 0.155 0.130 0.103 0.078 0.052 0.026 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

0.550 0.513 0.487 0.461 0.436 0.409 0.383 0.357 0.330 0.303 0.276 0.249 0.221 0.194 0.166 0.139 0.111 0.083 0.056 0.028 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99

0.550 0.513 0.487 0.460 0.434 0.407 0.379 0.351 0.323 0.295 0.266 0.237 0.208 0.178 0.149 0.119 0.090 0.060 0.030 0.99 0.98 0.98 0.98 0.98 0.98 0.98 0.98

0.550 0.512 0.485 0.459 0.431 0.403 0.374 0.345 0.315 0.285 0.254 0.223 0.192 0.160 0.129 0.097 0.065 0.032 0.98 0.97 0.97 0.97 0.96 0.96 0.96 0.96

0.550 0.512 0.485 0.457 0.428 0.399 0.368 0.337 0.306 0.273 0.240 0.207 0.173 0.139 0.105 0.070 0.035 0.97 0.96 0.95 0.94 0.94 0.94 0.94 0.93

0.550 0.511 0.483 0.454 0.425 0.394 0.362 0.329 0.295 0.260 0.224 0.188 0.151 0.114 0.076 0.038 0.96 0.94 0.93 0.92 0.91 0.91 0.91 0.90

0.550 0.510 0.481 0.451 0.420 0.388 0.354 0.318 0.281 0.243 0.204 0.164 0.124 0.083 0.042 0.95 0.92 0.90 0.89 0.88 0.88 0.87 0.87

0.550 0.509 0.479 0.448 0.415 0.381 0.344 0.305 0.265 0.223 0.180 0.136 0.091 0.046 0.93 0.90 0.87 0.86 0.85 0.84 0.84 0.83

0.550 0.508 0.477 0.444 0.409 0.372 0.331 0.289 0.244 0.198 0.150 0.101 0.051 0.91 0.87 0.84 0.83 0.81 0.80 0.80 0.79

0.550 0.507 0.473 0.439 0.401 0.360 0.316 0.268 0.218 0.166 0.112 0.056 0.90 0.84 0.81 0.79 0.78 0.76 0.76 0.75

0.550 0.505 0.469 0.432 0.391 0.345 0.295 0.241 0.184 0.125 0.063 0.88 0.82 0.78 0.75 0.74 0.72 0.71 0.70

0.550 0.502 0.464 0.423 0.378 0.326 0.268 0.206 0.140 0.071 0.86 0.79 0.74 0.72 0.70 0.68 0.67 0.66

0.550 0.499 0.457 0.412 0.360 0.299 0.232 0.158 0.081 0.84 0.76 0.71 0.68 0.65 0.64 0.62 0.61

0.550 0.494 0.448 0.397 0.335 0.262 0.181 0.093 0.82 0.73 0.68 0.64 0.61 0.59 0.58 0.57

0.550 0.488 0.435 0.374 0.298 0.208 0.108 0.80 0.70 0.64 0.60 0.57 0.55 0.53 0.52

0.550 0.479 0.418 0.342 0.243 0.127 0.78 0.67 0.60 0.56 0.53 0.51 0.49 0.48

0.550 0.467 0.392 0.288 0.154 0.76 0.64 0.58 0.53 0.49 0.47 0.45 0.43

0.550 0.449 0.347 0.192 0.74 0.62 0.54 0.49 0.45 0.42 0.40 0.38

0.550 0.420 0.252 0.72 0.59 0.50 0.45 0.41 0.38 0.36 0.34

0.550 0.351 0.71 0.56 0.47 0.41 0.37 0.34 0.31 0.29

0.550 0.69 0.53 0.43 0.37 0.33 0.29 0.27 0.25


Mogua armatura bila bi 836 (As1=81.43 cm2), pa skica armature jasno pokazuje da je potrebno ponoviti proraun s novom vrijednosti d110.0 cm.

3.50.8

3.5

3.5

0.8

3.6

9.7

40

3.60.8

5.67

3.6

3.6

3.6

Teite armature

5.67

3.6

5.67

3.6

3.5 Kratki elementi optereeni centrinom tlanom silom

Poto je beton materijal koji posjeduje veliku tlanu vrstou, esto nema potrebe za armiranjem kratkih elemenata optereenih centrinom tlanom silom. Kratkim elementima smatramo one elemente kod kojih nema pojave izvijanja.

Potrebna armatura u presjeku, uz poznate dimenzije, proraunava se po izrazu:

cdyd

cdcsdreq,s f85.0f

f85.0ANA = (3.23)

Ako je vrijednost req,sA negativna, armatura nije potrebna i tada se postavlja minimalna armatura.

Vano je napomenuti da bi presjeci optereeni na centrini tlak u svakom sluaju trebali biti minimalno armirani. Pojava armature, posebno vee koliine, u takvim presjecima ukazuje na iscrpljenost betona i nedostatne dimenzije presjeka.

3.6 Kratki elementi optereeni centrinom vlanom silom

Elementi naprezani na centrini vlak mogu se proraunavati na dva naina:

1. Ako monolitnost betona nije vana i u njemu mogu nastati pukotine, sve sile vlaka preuzima armatura

yd

sdreq,s f

NA = (3.24)

2. Ako treba paziti na trajnu monolitnost betona, to znai da beton konstrukcije ne smije imati pukotina, tada:

1

ssm,ctcRdsd

fAfANN

+= (3.25)

pri emu su: iisd NN = - raunska vrijednost utjecaja (raunska uzduna sila); RdN - raunska nosivost; cA - ukupna povrina betonskog presjeka;


mct,f - srednja vlana vrstoa betona (tablica u poglavlju 2.4); sf - stvarna vrstoa elika; 1 - koeficijent sigurnosti od pojave pukotina: 1.2-1.5 i ovisi o vanosti konstrukcije;;

Stvarno naprezanje u armaturi nalazi se iz uvjeta da su relativne deformacije betona c i elika s u trenutku nastanka pukotina jednake (uvjet monolitnosti):

ssscm

m,ctcs Ef;E

f ===

Prema pokusima opasnost od pojave pukotina u betonu nastaje kada relativna deformacija betona dosegne vrijednost c = 0.1.

Iz izraza (3.25) moe se odrediti potrebna koliina armature za zadani betonski presjek odnosno potrebna povrina betonskog presjeka za zadani koeficijent armiranja.

Ovdje je takoer vano napomenuti da je generalno potrebno izbjegavati armiranog betonske elemente optereene na centrini vlak. Takve elemente je znatno ekonominije izvesti iz elika ili nekog drugog materijala (npr. karbonska vlakna i sl.).

3.7 Dimenzioniranje pravokutnog presjeka na moment savijanja i uzdunu silu

3.7.1 Uzduna vlana sila postupak Wuczkowskog

Kada na pravokutni presjek osim momenta savijanja Msd djeluje i uzduna vlana sila Nsd govorimo o ekscentrinom vlaku ili savijanju s uzdunom vlanom silom. Primjer takvog sluaja prikazan je na crteu 10.

Neutralna os

sdN d-x

b1d 1

s1A

h

2

d

d

sdM

s2A

2

d-d

s1 Fs1

s2

2

c2s2F

cF

0.85 fcd

x=*d

z=*d

Crte 10 Pravokutni presjek optereen momentom savijanja i tlanom silom

Dimenzioniranju presjeka pristupa se tako da se sila prebaci u teite vlane armature, crte 11.

Neutralna os

sdN

d-x

b1d 1

s1A

h

2

d

d

sdsMs2A

2

d-d

s1 Fs1

s2

2

c2s2F

cF

0.85 fcd

x=*d

z=*d

d-h /

2

Crte 11 Prebacivanje sile u teite vlane armature


Raunski moment savijanja s obzirom na vlanu armaturu bit e:

=2hdNMM sdsdsds (3.26)

Moment nosivosti (najvei moment savijanja koji jednostruko armirani presjek moe preuzeti) je:

cd2

lim,sdlim,Rd f bdM = (3.27) Pa se potrebna armatura moe dobiti po slijedeim izrazima:

( ) fN

fddMM

fd M

Ayd

sd

yd2

lim,Rdsd

ydlim

lim,Rd1s +


( ) ddMM

A2s2

lim,Rdsd2s


gdje je

s2 tlano naprezanje u armaturi (izraz 3.19)

Kada je raunski moment Msd nije vei od momenta nosivosti MRd,lim, prethodni izrazi za potrebnu koliinu armature se reduciraju:

f

N fd

MAyd

sd

yd

sd1s += - ukupna vlana armatura (3.30)

0A 2s = - tlana armatura (3.31)

3.7.2 Uzduna tlana sila postupak Wuczkowskog

U sluaju kada na pravokutni presjek osim momenta savijanja Msd djeluje i uzduna tlana sila Nsd govorimo o ekscentrinom tlaku ili savijanju s uzdunom tlanom silom. Primjer takvog sluaja prikazan je na crteu 12.

Neutralna os

sdN d-x

b1d 1

s1A

h

2

d

d

sdM

s2A

2

d-d

s1 Fs1

s2

2

c2s2F

cF

0.85 fcd

x=*d

z=*d

Crte 12 Pravokutni presjek optereen momentom savijanja i tlanom silom

Dimenzioniranju presjeka takoer se pristupa tako da se sila prebaci u teite vlane armature, crte 13.


Neutralna os

sdN

d-x

b1d 1

s1A

h

2

d

d

sdsMs2A

2

d-d

s1 Fs1

s2

2

c2s2F

cF

0.85 fcd

x=*d

z=*d

d-h /

2

Crte 13 Prebacivanje sile u teite vlane armature

Raunski moment savijanja s obzirom na vlanu armaturu bit e:

+=2hdNMM sdsdsds (3.32)

Moment nosivosti (najvei moment savijanja koji jednostruko armirani presjek moe preuzeti) je:

cd2

lim,sdlim,Rd f bdM = (3.33) Pa se potrebna armatura moe dobiti po slijedeim izrazima:

( ) fN

fddMM

fd M

Ayd

sd

yd2

lim,Rdsd

ydlim

lim,Rd1s


( ) ddMM

A2s2

lim,Rdsd2s


gdje je

s2 tlano naprezanje u armaturi (izraz 3.19)

Kada je raunski moment Msd nije vei od momenta nosivosti MRd,lim, prethodni izrazi za potrebnu koliinu armature se reduciraju:

f

N fd

MAyd

sd

yd

sd1s = - ukupna vlana armatura (3.36)

0A 2s = - tlana armatura (3.37)


Numeriki primjer 1

Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost teita vlane armature od ruba presjeka d1=5 cm. Element je izraen iz betona klase C 30/37 (klasa okolia XC2), armiran s B 500B. Element je optereen raunskim optereenjem Msd=260 kNm i Nsd=-120 kN (tlana sila). Potrebno je odrediti potrebnu povrinu armature.

s1A

sdM

b = 40

d =

5d

= 55

h =

60

x =

10.6

7c

1

sdN

x =

11.3

3

materijal:

C 30/37 ; fck = 30.0 MPa



kNm0.260Msd = kN0.120Nsd = (tlana sila)

geometrija

cm60hcm40b

==

cm55560dhd

cm0.5d

1

1

====

Moment s obzirom na teite vlane armature

kNm0.290260.055.00.1200.260

2hdNMM sdsdsds =

+=

+=

Moment nosivosti za s1 = 10.0 ( 159.0lim,sd = ) sds

2cd

2cd

2lim,sdlim,Rd MkNm8.3842.05540159.0f bd159.0f bdM >====

120.00.25540

100290f bd

M2

cd2sds

sd ===


0.0A

cm 44.1076.220.13 48.43

0.12048.4355919.0

100290 f

N fd

MA

2s

2

yd

sd

yd

sd1s

===

==

21s cm 44.10A = odabrano 616 (As=12.06 cm2) Kao usporedba mogu se navesti rezultati za isto savijanje (djelovanje samog momenta) iz toke

3.2.2.

Poloaj neutralne osi: cm67.10xsav = < cm33.11x tl,exc = Potrebna armatura: 2sav,1s cm 75.11A = > 2tl,exc,1s cm 44.10A =


Numeriki primjer 2

Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost teita vlane armature od ruba presjeka d1=5 cm. Element je izraen iz betona klase C 30/37 (klasa okolia XC2), armiran s B 500B. Element je optereen raunskim optereenjem Msd=260 kNm i Nsd=120 kN (vlana sila). Potrebno je odrediti potrebnu povrinu armature.

s1A

sdM

b = 40

d =

5d

= 55

h =

60

x =

9.57

c

1

sdN

x =

11.3

3

materijal:

C 30/37 ; fck = 30.0 MPa



kNm0.260Msd = kN0.120Nsd = (vlana sila)

geometrija

cm60hcm40b

==

cm55560dhd

cm0.5d

1

1

====


kNm0.230260.055.00.1200.260

2hdNMM sdsdsds =

=

=


2cd

2cd

2lim,sdlim,Rd MkNm8.3842.05540159.0f bd159.0f bdM >====

095.00.25540

100230f bd

M2

cd2sds

sd ===


0.0A

cm 06.1376.230.10 48.43

0.12048.4355934.0

100230 f

N fd

MA

2s

2

yd

sd

yd

sd1s

==+=+

==

21s cm 06.13A = odabrano 716 (As=14.07 cm2) Kao usporedba mogu se navesti rezultati za isto savijanje (djelovanje samog momenta) iz toke

3.2.2. i rezultati iz prethodnog primjera:

Poloaj neutralne osi: cm57.9x vl,exc = < cm67.10xsav = < cm33.11x tl,exc = Potrebna armatura: 2vl,exc,1s cm 06.13A = > 2sav,1s cm 75.11A = > 2tl,exc,1s cm 44.10A =


Numeriki primjer 3

Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost teita vlane armature od ruba presjeka d1=5 cm. Element je izraen iz betona klase C 30/37 (klasa okolia XC2), armiran s B 500B. Element je optereen raunskim optereenjem Msd=360 kNm i Nsd=-240 kN (tlana sila). Potrebno je odrediti potrebnu povrinu armature.

s1A

sdM

b = 40

d =

5d

= 55

h =

60

c

1

sdN

s2A

materijal:

C 30/37 ; fck = 30.0 MPa




geometrija

cm60hcm40b

==

cm55560dhd

cm0.5d

1

1

====


kNm0.420260.055.00.2400.360

2hdNMM sdsdsds =

+=

+=


2cd

2cd

2lim,sdlim,Rd MkNm8.3842.05540159.0f bd159.0f bdM

( )( )

( ) 2yd2lim,Rdsds

2s cm62.1 48.435551008.3840.420

fddMM

A ==

=

odabrano 212 (As=2.26 cm2)


3.7.3 Uzduna tlana/vlana sila dimenzioniranje pomou dijagrama interakcije

Pravokutni presjeci pri djelovanju momenta savijanja i uzdune tlane ili vlane sile mogu se takoer proraunati pomou dijagrama interakcije. Dijagrami su napravljeni za razliite vrste armature i za razliite omjere d1/h (d2/h) i za razliite omjere As2/As1. Dijagrami za armaturu B500, simetrinu armaturu (As2=As1) i tri odnosa d1/h (d2/h) prikazani su u prilozima 4, 5 i 6.

Postupak je vrlo jednostavan. Za proraunate bezdimenzionalne vrijednosti:

cd

sdsd

cd2sd

sd

fhbN

fhbM

==

(3.38)

u dijagramima interakcije se oita mehaniki koeficijent armiranja , te se prorauna potrebna armatura prema izrazima

s1s2

yd

cd

yd

cdcs1

AA

ffhb

ffAA

===

(3.39)

Numeriki primjer 1

Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost teita armatura od ruba presjeka d1=d2=5 cm. Element je izraen iz betona klase C 30/37 (klasa okolia XC2), simetrino armiran s B 500B. Element je optereen raunskim optereenjem Msd=260 kNm i Nsd=-120 kN (tlana sila). Potrebno je odrediti potrebnu povrinu armature.

s1A

sdM

b = 40

d =

5d

= 55

h =

60

c

1

sdN

As2

d =

52

materijal:

C 30/37 ; fck = 30.0 MPa




geometrija

cm60hcm40b

==

083.0605hd

cm0.5dd

1

21

=====

Koristimo dijagram: =0.075 (prilog 5)

090.0

0.26040100260

f bhM

025.00.26040

120f bh

N

2cd

2sd

sd

cd

sdsd

===

===


b

d 1

s1A

hd

sdMs1A

sdN

d 2

=0.05

0.100.15

0.200.25

0.300.35

0.400.45

0.500.55

0.60

0.65

0.700.75

0.80

0.85

0.90

0.95

1.00

075.0hdhd0.1AA

500B

21

1s2s

=====

yd

cd2s1s

cd2sd

sd

cd

sdsd

ffhbAA

fhbM

fhbN

==

=

=

=0.05

0.100.15

0.200.2530

Oitano 090.0= Armatura

2s1s2

2s1

cm94.9AA

cm94.948.430.2604009.0A

====

Vidljivo je da je armatura izraunata na ovakav nain znatno vea nego armatura izraunata postupkom Wuczkowskog, iako je sama vlana armatura (As1) neto manja:

2s2s1Wuctot,sl,

2s2s1dijtot,sl,

cm44.100.044.10AAA

cm88.1994.994.9AAA

=+=+==+=+=

U sluaju da je moment alternirajui (mijenja smjer), vidljivo je da bi ukupna armatura tada bila manja.


Numeriki primjer 2

Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost teita armatura od ruba presjeka d1=d2=5 cm. Element je izraen iz betona klase C 30/37 (klasa okolia XC2), simetrino armiran s B 500B. Element je optereen raunskim optereenjem Msd=860 kNm i Nsd=-420 kN (tlana sila). Potrebno je odrediti potrebnu povrinu armature.

s1A

sdM

b = 40

d =

5d

= 55

h =

60

c

1

sdN

As2

d =

52

materijal:

C 30/37 ; fck = 30.0 MPa




geometrija

cm60hcm40b

==

083.0605hd

cm0.5dd

1

21

=====

Koristimo dijagram: =0.075

300.0

0.26040100860

f bhM

088.00.26040

420f bh

N

2cd

2sd

sd

cd

sdsd

===

===

b

d 1

s1A

hd

sdMs1A

sdN

d 2

=0.05

0.100.15

0.200.25

0.300.35

0.400.45

0.500.55

0.60

0.65

0.700.75

0.800.85

0.90

0.95

1.00

075.0hdhd0.1AA

500B

21

1s2s

=====

yd

cd2s1s

cd2sd

sd

cd

sdsd

ffhbAA

fhbM

fhbN

==

=

=

=0.05

0.100.15

0.200.25

0.300.35

0.400.45

0.500


2s1s2

2s1

cm22.34AA

cm22.3448.430.2604031.0A

====


3.8 Dimenzioniranje okruglog presjeka naprezanih momentom savijanja i uzdunom silom

Odreivanje potrebne armature za elemente okruglog presjeka najlake je sprovesti pomou dijagrama interakcije.

Na slian nain kao za pravokutne presjeke izraeni su dijagrami za dimenzioniranje krunih presjeka. Dijagrami, izraeni za armaturu B500 simetrino rasporeenu po opsegu, te za odnose

85.0rrs == i 90.0rrs == , priloeni su u prilozima 7 i 8.

Neutralna os

sdN

d 1

sA

d=2r

sdM

s,max

c2

r

rs

Crte 14 Kruni presjek optereen momentom savijanja i tlanom silom

Dijagram se koristi na slian nain kao i dijagram za pravokutne presjeke. Dakle, za proraunati odnos: rrs= , proraunaju se bezdimenzionalne vrijednosti:

cdc

sdsd

cdc

sdsd fA

N;fAr

M== (3.40)

te se iz dijagrama interakcije oita mehaniki koeficijent armiranja i prorauna ukupna potrebna armatura prema izrazu:

yd

cdcs f

fAA = (3.41)

Proraunatu armaturu je potrebno jednoliko raspodijeliti po opsegu.

Numeriki primjer

Okrugli betonski stup dimenzija d=50 cm (udaljenost teita armatura od ruba presjeka d1 =4 cm), izraen je iz betona klase C 40/50 (klasa okolia XC2), simetrino armiran s B 500B. Stup je optereen raunskim optereenjem Msd=160 kNm i Nsd=-320 kN (tlana sila). Potrebno je odrediti potrebnu povrinu armature.

sdM

sdN

5044 42

sA

materijal: C 40/50 ; fck = 40.0 MPa MPa7.265.10.40ff cckcd === B 500B ; fyk = 500.0 MPa MPa8.43415.10.500ff sykyd === optereenje kNm0.160Msd = kN0.320Nsd = (tlana sila)


geometrija

cm21drr

cm25r

1s ===

84.02521rr

cm0.4d

s

1

====

Koristimo dijagram: 85.0= (prilog 7)

122.067.2255.1963

100160f rA

M

061.067.25.1963

320f A

Ncm5.196325rA

cdc

sdsd

cdc

sdsd

222c

===

======

=0.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.600.65

0.700.750.800.850.900.95

1.00

sA

rsdN

sdMsr

c

cd

sdsd

cd

sdsd

rA

fM

fN

=

=

=

0.85rr500B

s ==

cA

cA r

yd

cd2s1s f

fAA ==2

cA

=0.050.1

00.1

5


2

yd

cdcs

cm1.1248.43

67.25.1963100.0

ffAA

==

==

Odabrana simetrina armatura:

1212 As=13.57 cm2

%7.05.1963

13.57AA

c

s ===

5044 42

sA =1212


3.9 Dimenzioniranje presjeka na Poprenu silu

3.9.1 Openito Poprene sile se proraunavaju prema poboljanoj Mrsch-Ritterovoj analogiji reetke. Po toj

metodi pretpostavlja se da jedan dio poprene sile prihvaa beton i uzduna armatura nakon razvoja dijagonalnih pukotina u betonu, a ostatak poprene sile se prihvaa vertikalnim sponama (stremenovima) i/ili kosom armaturom (Standardna metoda).

Po drugoj metodi Metodi slobodnog odabira nagiba tlanih tapova, koja se kao alternativa predlae s EC2, nosivost betona se ne uzima u obzir, ve se uzima blai kut nagiba tlanih dijagonala od 45, ime se postiu utede na poprenoj armaturi, ali se poveava uzduna armatura, izravno ili preko pomaka dijagrama vlanih sila prilikom raspodijele armature.

hdz

swswswl

Vwd

F

Vwd

F

VRd1

Crte 15 Model Mrsch-Ritterove reetke

3.9.2 Postupak Uvjet nosivosti na poprene sile:

Rdsd VV (3.42) gdje je:

Vsd raunska poprena sila VRd raunska nosivost na poprene sile

Raunska armatura za prihvaanje poprenih sila (tj. glavnih kosih vlanih naprezanja) nee biti potrebna ako je zadovoljen uvjet:

( )[ ] db15.0402.1kVV wcplRd1Rdsd ++= (3.43) gdje je:

Rd raunska vrstoa na djelovanje glavnih kosih naprezanja 1d6.1k = - korekcijski faktor (d u metrima) l koeficijent armiranja uzdunom armaturom (As/Ac) < 0.02 (2.0%) bw najmanja irina presjeka u vlanoj zoni d statika visina presjeka cp = Nsd/Ac sredinje naprezanje (+ za tlak, - za vlak) Nsd raunska uzduna sila u presjeku Ac povrina betonskog presjeka

Za presjek u kojem je zadovoljen izraz 3.43, raunska poprena armatura nije potrebna, ali je uvijek potrebno postaviti minimalnu (konstruktivnu) poprenu armaturu.


Ako na presjek istovremeno s poprenim silama djeluje i moment torzije, tada se uzima 0.0V 1Rd = , i cjelokupnu poprenu silu preuzima armatura.

Nosivost tlanih tapova biti e zadovoljena ako je:

d9.0bf5.0zbf5.0VV wcdwcd2Rdsd = (3.44) pri emu je:

5.0200f7.0 ck = redukcijski faktor (fck u N/mm2)

Tablica Karakteristika betona: Karakteristika betona C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60

fck (MPa)

vrstoa na valjku 12 16 20 25 30 35 40 45 50

fc,cub (MPa)

vrstoa na kocki 15 20 25 30 37 45 50 55 60

Rd (MPa)

Posmina vrstoa 0.18 0.22 0.26 0.30 0.34 0.37 0.41 0.44 0.48

Ako u elementu djeluje uzduna tlana sila, potrebno je reducirati nosivost tlanih tapova:

2Rdcd

eff,cp2Rdred,2Rd Vf

1V67.1V

= (3.45)

pri emu je:

cs

2syksdeff,cp A

AfN

= - tlano naprezanje u betonu

Ako nije zadovoljen uvjet 1Rdsd VV potrebno je proraunati raunsku armaturu za prijem poprenih sila.

Vsd0 VRd2VRd1 Vsd

Konstrukcijska poprecnaarmatura

Proracun poprecnearmature

Nedoputenopodrucje

Vwd

Crte 16 Podruja poprenih sila

3.9.3 Standardna metoda Standardna metoda prorauna presjeka na djelovanje poprenih sila pretpostavlja nagib tlanih

tapova u betonu od 45. Poprena armatura (stremenovi, vilice, spone) se proraunava iz uvjeta:

w

d,ywswwd

wd1Rd3Rdsd

szmfA

V

VVVV=

+= (3.46)

gdje je:

Asw povrina jedne grane spone m reznost spona


z krak unutranjih sila (z 0.9 d) sw razmak spona fyw,d raunska granica poputanja poprene armature

Nosivost kose armature moe se izraunati po izrazu:

( ) += sinctg1s

zfAV d,ywswwd (3.47)

gdje je:

s razmak kose armature mjeren uzdu osi elementa kut nagiba kosih ipki prema osi nosaa (crte 17)

s s s

Crte 17 Kutovi kod prorauna poprenih sila

3.9.4 Metoda slobodnog odabira nagiba tlanih tapova Ovaj postupak doputa veu slobodu rasporeda armature od normalnog postupka, to dovodi do

racionalnijeg razmjetaja poprene armature, ali moe dovesti do poveanja uzdune vlane armature. Ovaj se postupak preporua kad je element istodobno napregnut poprenim silama i torzijom.

Nagib tlanih tapova prema uzdunoj osi () bira se u granicama: 5.2tg4.02.688.21 oo - Kada se glavna uzduna armatura vodi do leaja 0.2tg5.04.636.26 oo - Kada se glavna uzduna armatura postupno prekida u polju

Kod elemenata s vertikalnom poprenom armaturom (sponama), nosivost na poprene sile dobiva se iz izraza:

=

==+=

ctgV

mzfAs

f21

sbfmA

:uvjetuz;ctgs

mzfAVV

tgctgzbfV

Sd

d,ywsww

cdww

d,ywsw

w

d,ywswwd3Rd

wcd2Rd

(3.48)


Vsd0 VRd2Vsd

Proracun poprecnearmature

Nedoputenopodrucje

Vwd

Kod elemenata s kosom poprenom armaturom, nosivost na poprene sile:

( )

+==

++=

cos1sinf

21

sbfA

:uvjetuz

sinctgctgs

zfAVV

ctg1ctgctgzbfV

cd

ww

d,ywsw

d,ywswwd3Rd

2wcd2Rd

(3.49)

Da bi se ustanovila najmanja koliina poprene armature za mala i srednja posmina naprezanja, gornje granice za ctg , bit e u obinom sluaju mjerodavne za dimenzioniranje. Za vea posmina naprezanja najveu vrijednost za ctg (to odgovara najmanjoj koliini poprene armature) moe se nai izjednaavanjem vrijednosti proraunskih poprenih sila VSd i VRd2.

Nakon raspucavanja nosaa, sila u donjem pojasu bit e:

( )+= ctgctgV21

zMF SdSds (3.50)

te je za drugi lan potrebno poveati uzdunu armaturu u polju.

3.9.5 Minimalna (konstruktivna) armatura Ukupna poprena armatura (spone) ne smije biti manja od minimalne:

m

bsA wwminmin,sw= (3.51)

Tablica 4.1 - Minimalni postoci armiranja Klasa betona C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60

min 0.0007 0.0011 0.0013 Tablica 4.2 - Maksimalni razmaci spona

Broj Raunska poprena sila Vsd Maksimalni razmak spona u smjeru

glavne vlane armature sw,max Maksimalni razmak vertikalnih krakova

spona u poprenom smjeru sp,max

1 Vsd 0.2 VRd2 0.8 d; 30 cm 1.0 d; 80 cm 2 0.2 VRd2 Vsd 0.67 VRd2 0.6 d; 30 cm 0.6 d; 30 cm 3 Vsd > 0.67 VRd2 0.3 d; 20 cm 0.3 d; 20 cm

gdje je:

d statika visina presjeka


b

ddh

1

s p,max s p,max s p,maxs w,max s w,max s w,max s w,max s w,max

Numeriki primjer

Potrebno je dimenzionirati ab gredu, l=8.0 m, dimenzija 3080 cm, udaljenost teita armatura od ruba presjeka d1 =7 cm. Greda je izraena iz betona klase C 30/37 i armirana s B 500B.

Greda je optereena optereenjem prema skici. Potrebno je odrediti potrebnu povrinu armature.

G, Q g, q

1.0 7.08.0

30

73 807

s1A

beton:

C 30/37 fck = 30.0 MPa MPa0.205.10.30ff cckcd === Rd = 0.34 MPa

armatura:

B 500B fyk = 500.0 MPa MPa8.43415.10.500ff sykyd ===

Optereenje:

kN5.1540.675.10.4035.1QGS

'mkN3.270.115.10.835.1qgskN0.67Q;'mkN0.11qkN0.40G;'mkN0.8g

qg

qg

=+=+==+=+=

====


G, Qg, q

1.0 7.08.0

30

73 807

3.3

244.4217.1

62.6

128.5

230.8

302.4

R =244.4 kN R =128.5 kN

V (kN)sd

M (kNm)sd

s1Aa b

a bc d

Nosa je prvo potrebno dimenzionirati na moment savijanja.

095.00.27330

10040.302fdb

M2

cd2sd

sd ===

iz tablica s1 = 10.0 ; c2 = 2.1 ; = 0.934 2

yd

sd1s cm20.1048.4373934.0

30240fd

MA ===

Odabrana armatura prikazana je na skici:

30

737

s1516 (A =10.05 cm )2

s214 (A =3.08 cm )2

s2214 (A =3.08 cm )2

Za proraun nosaa na poprene sile koristi se standardna metoda prorauna.

00675.0803021.16

AA

cm21.1608.325.10A

c

sl

2s

===

=+=

skripta obk

Documents