skripte iz osnova racunarastva
DESCRIPTION
ortTRANSCRIPT
Materijal za vežbe iz predmeta OSNOVE RAČUNARSTVA 1
Asistenti: Nikola Đukić, Milutin Nikolić Fakultet tehničkih nauka, 2012/2013
Kombinacione mreže
Kombinacione mreže su logička kola kod kojih se vrednost izlaza određuje na osnovu trenutne
vrednosti ulaza u logičko kolo. U realnosti je potrebno neko određeno vreme (zbog propagacije
signala) za formiranje važećeg izlaznog logičkog nivoa posle svake promene vrednosti ulaza ali
nakon toga vrednost izlaza je nezavisna od prethodnih vrednosti ulaza.
Ponašanje kombinacionih mreža opisano je preko Bulovih funkcija. Promenljive x1,x2...xn nazivaju se
binarnim (logičkim, Bulovim) promenljivama ako mogu imati samo dva stanja, koja se nazivaju
"istinit" (1) i "lažan" (0). Bulova algebra, kao i svaka druga algebra zahteva definiciju skupa osnovnih
simbola i definiciju operacija nad osnovnim simbolima. U Bulovoj algebri skup osnovnih simbola
predstavljaju 0 i 1, dok su osnovne logičke operacije Bulove algebre su: I, ILI, NE, NI, NILI i
ekskluzivno ILI. Tabele istinitosti i simboli osnovnih logičkih operacija možemo videti na slici 1.
Slika 1 Osnovne logičke operacije
X �
0 1
1 0
X Y � ∙ �
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
X Y � + �
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
X Y � ⊕ �
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
X Y � ∙ �
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
X Y � + �
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
Tabela 1 Tabela istintosti za osnovne logičke operacije
Materijal za vežbe iz predmeta OSNOVE RAČUNARSTVA 2
Asistenti: Nikola Đukić, Milutin Nikolić Fakultet tehničkih nauka, 2012/2013
Svaka logička funkcija se može izraziti jednom od sledećih kombinacija logičkih operacija:
• NE, I i ILI logičkih operacija,
• NILI logičkom operacijom ili
• NI logičkom operacijom.
Svaka od ove tri kombinacije naziva se bazis. Iz praktičnih razloga najčešće se koristi NILI ili NI operacija za implementiranje logičkih funkcija.
Aksiome Bulove algebre, kao i najvažnije teoreme (bez dokaza) su:
1. Neutralni element:
0 + � = �1 ∙ � = �
2. Idempotencija:
� + � = �� ∙ � = �
3. Komplementacija:
� + � = 1� ⋅ � = 04. Involucija:
� = �
5. Komutacija:
� + = + �� ∙ = ∙ �
6. Asocijacija:
(�+ )+�=�+( +�)(�∙ )∙�=�∙( ∙�)
7. Distribucija:
� ∙ ( + �) = � ∙ + � ∙ �� + ( ∙ �) = (� + ) ∙ (� + �) 8. Apsorpcija:
� + (� ∙ ) = �� ∙ (� + ) = �� + (� ∙ ) = � + � ∙ (� + ) = � ∙
9. De Morganova teorema:
� + = � ⋅ � ∙ = � +
Materijal za vežbe iz predmeta OSNOVE RAČUNARSTVA 3
Asistenti: Nikola Đukić, Milutin Nikolić Fakultet tehničkih nauka, 2012/2013
Dekoderi
Dekoderi su kombinacione mreže sa više ulaza i izlaza, gde svaka dozvoljena kombinacija ulaznih
promenljivih aktivira određen izlaz. U okviru ovog kursa biće korišćen potpuni dekoder. Ulazi
potpunog dekodera su binarno kodirani brojevi. Ako je broj ulaza potpunog dekodera jednak n,
onda je broj mogućih varijacija 2n i zato je broj izlaza potpunog dekodera jednak 2n. Za svaku ulaznu
kombinaciju uvek je samo jedan izlaz aktivan. Dekoder može imati enable (kontrolni) ulaz koji
dozvoljava rad dekodera prema funkcijskoj tablici, ili zamrzava stanje na izlazima dekodera na
predefinisano stanje, bez obzira na stanja na ostalim ulazima. Na Slika 2 Potpuni dekoder (2/4)je
prikazan potpuni dekoder sa dva ulaza i četiri izlaza (2/4), pored slike prikazana je i kombinaciona
tabela potpunog dekodera, kao i logičke funkcije koje opisuju njegove izlaze.
Slika 2 Potpuni dekoder (2/4)
E A1 A0 S3 S2 S1 S0
1 0 0 0 0 0 1
1 0 1 0 0 1 0
1 1 0 0 1 0 0
1 1 1 0 0 0 0
0 X X 0 0 0 0
Tabela 2 Kombinaciona tabela potpunog dekodera (2/4)
�� = � ∙ �� ∙ ���� = � ∙ �� ∙ ���� = � ∙ �� ∙ ���� = � ∙ �� ∙ ��
Materijal za vežbe iz predmeta OSNOVE RAČUNARSTVA 4
Asistenti: Nikola Đukić, Milutin Nikolić Fakultet tehničkih nauka, 2012/2013
Koderi
Dekoderi su kombinacione mreže sa više ulaza i izlaza, gde svaki od ulaza generiše određen kod na
izlazu. U okviru ovog kursa biće razmatran potpuni koder, odnosno koder kod kog se izlazni kod
dužine n bita formira na osnovu 2n izlaza. Koder može imati enable (kontrolni) ulaz koji dozvoljava
rad kodera prema funkcijskoj tablici, ili zamrzava stanje na izlazima kodera na predefinisano stanje,
bez obzira na stanja na ostalim ulazima. Na Slika 2 Potpuni dekoder (2/4)je prikazan potpuni koder
sa četiri ulaza i dva izlaza (4/2), pored slike prikazana je i kombinaciona tabela potpunog kodera,
kao i logičke funkcije koje opisuju njegove izlaze.
Slika 3 Simbol kodera (4/2)
E I3 I2 I1 I0 A1 A0
1 0 0 0 1 0 0
1 0 0 1 0 0 1
1 0 1 0 0 1 0
1 1 0 0 0 1 1
0 X X X X 0 0
Tabela 3 Kombinaciona tabela potpunog kodera (4/2)
�� = � ∙ (�� + ��)�� = � ∙ (�� + ��)
Multiplekseri
Pored n binarnih ulaza i jednog izlaza, multiplekser ima adresne ulaze koji određuju ulaz koji će biti
prosleđen do izlaza i ENABLE (kontrolni) ulaz koji omogućuva funkcionisanje logičkog kola (EN = 1) ili
postavlja izlaz za nulu za bilo koje stanje ulaza.
Materijal za vežbe iz predmeta OSNOVE RAČUNARSTVA 5
Asistenti: Nikola Đukić, Milutin Nikolić Fakultet tehničkih nauka, 2012/2013
Multiplekser je najlakše razumeti ako se posmatra kao višepoložajni mehanički prekidač.
Slika 4 Unutrašnja struktura multipleksera predstavljena kao višepoložajni mehanički prekidač
Multiplekser prosleđuje jedan od svojih ulaznih signala (I0...In-1) na izlaz S. Adresni ulazi
multipleksera (A0...Am-1) određuju koji će od ulaznih signala biti prosleđen na izlaz S. U jednom
vremenskom trenutku samo jedan ulaz može biti povezan na izlaz multipleksera. Na Slika 2 Potpuni
dekoder (2/4)je prikazan multiplekser sa četiri ulaza i dva adresna ulaza (multiplekser 4 na 2), pored
slike prikazana je i logička funkcija koja opisuje njegov izlaz.
E
MUX
I0
I1
I2
I3
S
A0 A1
Slika 5 Simbol multipleksera 4 na 2
� = � ∙ ��� ∙ �� ∙ �� + �� ∙ �� ∙ �� + �� ∙ �� ∙ �� + �� ∙ �� ∙ ���
Demultiplekseri
Uloga demultipleksera je da podatak sa ulaza I prosleđuje na jedan od svojih izlaza (S0...Sn-1) u
zavisnosti od stanja na adresnim ulazima demultipleksera (A0...Am-1). U datom vremenskom
trenutku ulaz može biti prosleđen na samo jedan izlaz.
Materijal za vežbe iz predmeta OSNOVE RAČUNARSTVA 6
Asistenti: Nikola Đukić, Milutin Nikolić Fakultet tehničkih nauka, 2012/2013
Pored jednog ulaza i n binarnih izlaza, demultiplekser ima adresne ulaze koji određuju ulaz koji će
biti prosleđen do izlaza i ENABLE (kontrolni) ulaz koji omogućuva funkcionisanje logičkog kola (EN =
1) ili postavlja izlaz za nulu za bilo koje stanje ulaza.
Princip funkcionisanja demultipleksera se najlaše predstavlja višepoložajnim mehaničkim
prekidačem, prikazanom na slici 5.
Slika 6 Unutrašnja struktura demultipleksera predstavljena kao višepoložajni mehanički prekidač
Na Slika 2 Potpuni dekoder (2/4)je prikazan demultiplekser sa četiri izlaza i dva adresna ulaza
(demultiplekser 2 na 4), pored slike prikazane su i logičke funkcije koja opisuju njegove izlaze.
Slika 7 Simbol demultipleksera 2 na 4
�� = � ∙ �� ∙ �� ∙ ��� = � ∙ �� ∙ �� ∙ ��� = � ∙ �� ∙ �� ∙ ��� = � ∙ �� ∙ �� ∙ �
Materijal za vežbe iz predmeta OSNOVE RAČUNARSTVA 7
Asistenti: Nikola Đukić, Milutin Nikolić Fakultet tehničkih nauka, 2012/2013
Zadaci:
1. Koristeći Karnaugh-ove karte naći minimalnu DNF i minimalnu KNF prekidačke funkcije koju
realizuje kombinaciona mreža prikazana na slici.
a) Realizovati dobijenu KNF sa što manje NILI elemenata
b) Realizovati dobijenu DNF sa što manje NI elemenata
U svim slučajevima na ulaze mreže dolaze i signali koji predstavljaju negacije nezavisnih
promenjivih.
Rešenje:
�� = �̅����̅�
�� = �̅�����
�� = �̅��̅���
����� = �̅����̅��� = �̅�����
����� = �̅��̅��̅��� = �̅��̅���
= ����� + ����� + ���� + �� + �� = �̅����� + �̅��̅��� + ���̅����̅� + �̅����� + �̅��̅���= �̅��� + ���̅����̅� + �̅���
(1) = !0�1�, 1010, �0�1# a) KNF
Materijal za vežbe iz predmeta OSNOVE RAČUNARSTVA 8
Asistenti: Nikola Đukić, Milutin Nikolić Fakultet tehničkih nauka, 2012/2013
x1 x2
x3 x4 00 01 11 10
00 0 0 0 0
01 1 0 0 1
11 1 1 0 1
10 1 1 0 1
= (�̅� + �̅�) ∙ (�� + ��) ∙ (�̅� + ��) = (�̅� + �̅�) ∙ (�� + ��) ∙ (�̅� + ��)$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ =
= (�̅� + �̅�)$$$$$$$$$$$$ + (�� + ��)$$$$$$$$$$$$ + (�̅� + ��)$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
x1 x2 x3 x4
f
Materijal za vežbe iz predmeta OSNOVE RAČUNARSTVA 9
Asistenti: Nikola Đukić, Milutin Nikolić Fakultet tehničkih nauka, 2012/2013
b) DNF
x1 x2
x3 x4 00 01 11 10
00 0 0 0 0
01 1 0 0 1
11 1 1 0 1
10 1 1 0 1
= �̅��� + �̅��� + �̅��� = �̅��� + �̅��� + �̅���%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% = �̅���$$$$$$ ∙ �̅���$$$$$$ ∙ �̅���$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
Materijal za vežbe iz predmeta OSNOVE RAČUNARSTVA 10
Asistenti: Nikola Đukić, Milutin Nikolić Fakultet tehničkih nauka, 2012/2013
2. Koristeći Karnaugh-ove karte naći minimalnu DNF i minimalnu KNF prekidačke funkcije koju
realizuje kombinaciona mreža prikazana na slici.
a) Realizovati dobijenu KNF sa što manje NILI elemenata
b) Realizovati dobijenu DNF sa što manje NI elemenata
U svim slučajevima na ulaze mreže dolaze i signali koji predstavljaju negacije nezavisnih
promenjivih.
Rešenje:
���� = �����̅� + �̅��̅��� + �̅����̅� + ������ = ����
���� = �̅��̅��̅� + �̅����̅� + �����̅� + ������ = �̅��̅� + ���̅��� + ������
�&� = ���$$$$$$$� ∙ ���� = ����$$$$$$ ∙ (�̅��̅� + ���̅��� + ������) = (�̅� + �̅�) ∙ (�̅��̅� + ���̅��� + ������)= �̅��̅� + �̅��̅��̅� + �����̅��� = �̅��̅� + �����̅���
�&� = ���� ∙ ���$$$$$$$� = ���� ∙ (�̅��̅� + ���̅��� + ������)$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ = ���� ∙ (�̅��̅�$$$$$$ ∙ ���̅���$$$$$$$$$ ∙ ������$$$$$$$$$) == ���� ∙ (�� + ��) ∙ (�̅� + �� + �̅�) ∙ (�̅� + �̅� + �̅�) == ���� ∙ (���� + ���̅��̅��� + �� + ���̅�) ∙ (�̅� + �̅� + �̅�) == ���� ∙ (���̅� + ��) ∙ (�̅� + �̅� + �̅�) = ������ ∙ (�̅� + �̅� + �̅�) = �������̅�
�&� = ���� ∙ ���� = ���� ∙ (�̅��̅� + ���̅��� + ������) = ���̅��� + ��������
= �&� + �&� + �&� = �̅��̅� + �����̅��� + �������̅� + ���̅��� + ��������= �̅��̅� + ������ + ������ + ���̅��� = �̅��̅� + ������ + ����
(1) = !00��, 11�1,1�1�#
Materijal za vežbe iz predmeta OSNOVE RAČUNARSTVA 11
Asistenti: Nikola Đukić, Milutin Nikolić Fakultet tehničkih nauka, 2012/2013
a) KNF
x1 x2
x3 x4 00 01 11 10
00 1 0 0 0
01 1 0 1 0
11 1 0 1 1
10 1 0 1 1
= (�� + �̅�) ∙ (�̅� + �� + ��) ∙ (�̅� + �� + ��) = (�� + �̅�) ∙ (�̅� + �� + ��) ∙ (�̅� + �� + ��)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%= (�� + �̅�)$$$$$$$$$$$$ + (�̅� + �� + ��)$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ + (�̅� + �� + ��)$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
x1 x2 x3 x4
f
b) DNF
x1 x2
x3 x4 00 01 11 10
00 1 0 0 0
01 1 0 1 0
11 1 0 1 1
10 1 0 1 1
= �̅��̅� + ���� + ������ = �̅��̅� + ���� + ������%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% = �̅��̅�$$$$$$ ∙ ����$$$$$$ ∙ ������$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
Materijal za vežbe iz predmeta OSNOVE RAČUNARSTVA 12
Asistenti: Nikola Đukić, Milutin Nikolić Fakultet tehničkih nauka, 2012/2013
Materijal za vežbe iz predmeta OSNOVE RAČUNARSTVA 13
Asistenti: Nikola Đukić, Milutin Nikolić Fakultet tehničkih nauka, 2012/2013
3. Koristeći Karnaugh-ove karte naći minimalnu DNF i minimalnu KNF prekidačke funkcije koju
realizuje kombinaciona mreža prikazana na slici.
a) Realizovati dobijenu KNF sa što manje NILI elemenata
b) Realizovati dobijenu DNF sa što manje NI elemenata
U svim slučajevima na ulaze mreže dolaze i signali koji predstavljaju negacije nezavisnih
promenjivih.
Rešenje:
�&� = ���̅��̅ = ����
�&� = �����̅ = ����
�&� = ���̅�� = ����
�&� = ����� = ����
���� = �(���̅� + ����) = �� ∙ '������ + ������( = �������� + ��������
���� = �(���̅� + ����) = 1 ∙ '������ + ������( = �̅��̅��� + ������
= �&� +���� +���� =���� + �������� + �������� + �̅��̅��� + ������ == ���� + �������� + �̅��̅��� + ������
(1) = !�01�, 0101, �111, �110#
Materijal za vežbe iz predmeta OSNOVE RAČUNARSTVA 14
Asistenti: Nikola Đukić, Milutin Nikolić Fakultet tehničkih nauka, 2012/2013
a) KNF
)*+ = (�� + ��) ∙ (�� + ��) ∙ (�� + ��) = (�� + ��) ∙ (�� + ��) ∙ (�� + ��) == (�� + ��) + (�� + ��) + (�� + ��)
b) DNF
,*+ =�� + ������ = �� + ������ = �� ∙ ������
Materijal za vežbe iz predmeta OSNOVE RAČUNARSTVA 15
Asistenti: Nikola Đukić, Milutin Nikolić Fakultet tehničkih nauka, 2012/2013
Materijal za vežbe iz predmeta OSNOVE RAČUNARSTVA 16
Asistenti: Nikola Đukić, Milutin Nikolić Fakultet tehničkih nauka, 2012/2013
4. Koristeći Karnaugh-ove karte naći minimalnu DNF i minimalnu KNF prekidačke funkcije koja
realizuje logiku integrisanog kola 4511. Na ulaz integrisanog kola dolazi četvorobitna
promenljiva x4x3x2x1 koja predstavlja broj koji treba prikazati u binarnom zapisu.
Rešenje:
X4 X3 X2 X1 a b c d e f g
0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0
0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0
0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1
0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1
0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1
1 0 1 0 X X X X X X X
1 0 1 1 X X X X X X X
1 1 0 0 X X X X X X X
1 1 0 1 X X X X X X X
1 1 1 0 X X X X X X X
1 1 1 1 X X X X X X X
Materijal za vežbe iz predmeta OSNOVE RAČUNARSTVA 17
Asistenti: Nikola Đukić, Milutin Nikolić Fakultet tehničkih nauka, 2012/2013
Za segment a:
DNF:
-,*+ = �� + �� + ���� + ���� = �� + �� + ���� + ���� = �� ∙ �� ∙ ���� ∙ ����
KNF:
-)*+ = (�� + �� + �� + ��) ∙ (�� + �� + ��) = (�� + �� + �� + ��) ∙ (�� + �� + ��) == (�� + �� + �� + ��) + (�� + �� + ��)
Materijal za vežbe iz predmeta OSNOVE RAČUNARSTVA 18
Asistenti: Nikola Đukić, Milutin Nikolić Fakultet tehničkih nauka, 2012/2013
Za segment b:
DNF:
.,*+ = �� + ���� + ���� = �� + ���� + ���� = �� ∙ ���� ∙ ����
KNF:
Materijal za vežbe iz predmeta OSNOVE RAČUNARSTVA 19
Asistenti: Nikola Đukić, Milutin Nikolić Fakultet tehničkih nauka, 2012/2013
.)*+ = (�� + �� + ��) ∙ (�� + �� + ��) = (�� + �� + ��) ∙ (�� + �� + ��) == (�� + �� + ��) + (�� + �� + ��)
Za segment c:
DNF:
/,*+ = �� + �� + �� = �� + �� + �� = �� ∙ �� ∙ ��
Materijal za vežbe iz predmeta OSNOVE RAČUNARSTVA 20
Asistenti: Nikola Đukić, Milutin Nikolić Fakultet tehničkih nauka, 2012/2013
KNF:
/)*+ = �� + �� + �� = �� + �� + ��
Segment d:
DNF:
0,*+ = �� + ���� + ���� + ���� + ������ = �� + ���� + ���� + ���� + ������ == �� ∙ ���� ∙ ���� ∙ ���� ∙ ������
Materijal za vežbe iz predmeta OSNOVE RAČUNARSTVA 21
Asistenti: Nikola Đukić, Milutin Nikolić Fakultet tehničkih nauka, 2012/2013
KNF:
0)*+ = (�� + �� + �� + ��) ∙ (�� + �� + ��) ∙ (�� + �� + ��) == (�� + �� + �� + ��) ∙ (�� + �� + ��) ∙ (�� + �� + ��) == (�� + �� + �� + ��) + (�� + �� + ��) + (�� + �� + ��)
Za segment e:
DNF:
Materijal za vežbe iz predmeta OSNOVE RAČUNARSTVA 22
Asistenti: Nikola Đukić, Milutin Nikolić Fakultet tehničkih nauka, 2012/2013
1,*+ = ���� + ���� = ���� + ���� = ���� ∙ ����
KNF:
1)*+ = �� ∙ (�� + ��) = �� ∙ (�� + ��) = �� + (�� + ��)
Za segment f:
DNF
Materijal za vežbe iz predmeta OSNOVE RAČUNARSTVA 23
Asistenti: Nikola Đukić, Milutin Nikolić Fakultet tehničkih nauka, 2012/2013
,*+ = �� + ���� + ���� + ���� = �� + ���� + ���� + ���� = �� ∙ ���� ∙ ���� ∙ ����
KNF:
)*+ = (�� + ��) ∙ (�� + ��) ∙ (�� + �� + ��) = (�� + ��) ∙ (�� + ��) ∙ (�� + �� + ��) == (�� + ��) + (�� + ��) + (�� + �� + ��)
Materijal za vežbe iz predmeta OSNOVE RAČUNARSTVA 24
Asistenti: Nikola Đukić, Milutin Nikolić Fakultet tehničkih nauka, 2012/2013
Za segment g:
DNF:
2,*+ = �� + ���� + ���� + ���� = �� + ���� + ���� + ���� = �� ∙ ���� ∙ ���� ∙ ����
KNF: