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Optimización Evolutiva Multiobjetivo basada en elAlgoritmo de Kuhn-Munkres

José Antonio Molinet Berenguer

Director: Dr. Carlos Artemio Coello Coello

CINVESTAV-IPNDepartamento de Computación

23 de octubre del 2014

JOSÉ A. MOLINET BERENGUER (CINVESTAV) AEMO basado en Kuhn-Munkres 23 de octubre del 2014 1 / 60

Contenido

1 IntroducciónMotivaciónPlanteamiento del problemaObjetivo

2 Optimización evolutiva de muchos objetivos3 Propuesta

Evolución Diferencial Húngara EDHGeneración de vectores de pesos

4 Resultados experimentalesAnálisis de las componentes de EDHComparación de EDH con otros algoritmos

5 ConclusionesTrabajo futuro

6 Referencias


Introducción

Introducción

Un gran número de problemas presentes en diversas áreas delconocimiento requieren la optimización simultánea de varios obje-tivos en conflicto [1].

Estos problemas, denominados Problemas de Optimización Multi-objetivo (POMs), no poseen una solución única, sino un conjuntode soluciones que representan los distintos compromisos entre losobjetivos.

La noción de óptimo más comúnmente empleada en este tipo deproblemas es la optimalidad de Pareto, la cual considera como so-luciones óptimas a las no dominadas.


Introducción

Introducción

Figura : Soluciones óptimas de un método de Localización de Objetos Basadoen Energía en una Red de Sensores Inalámbricos.


Introducción

Introducción

Durante la solución de un problema de optimización multiobjetivose busca la mejor aproximación posible del Frente de Pareto (FP).

En las últimas dos décadas se han considerado tres criterios fun-damentales como medida de cuán bueno es un conjunto de solu-ciones como aproximación del frente de Pareto [2]:

1 Convergencia de las soluciones, de tal forma que la distancia entreel conjunto obtenido y el verdadero FP sea mínima.

2 Buena distribución de las soluciones en el espacio objetivo, es decir,una distribución de las soluciones lo más uniforme posible.

3 La extensión del conjunto de soluciones en el espacio objetivo debecubrir la mayor región posible del FP.


Introducción

Introducciónf 2

f1

(a)

f 2

f1

(b)

f 2

f1

(c)

f 2

f1

(d)

Figura : Características del conjunto de soluciones que aproximan a un frentede Pareto. En (a) las soluciones no poseen una distribución uniforme, en (b)las soluciones no convergen al FP verdadero y en (c) las soluciones no seextienden por todo el frente. En (d) las soluciones poseen las tres propiedadesdeseables: distribución uniforme, convergencia y extensión.


Introducción

Introducción

Los Algoritmos Evolutivos Multiobjetivo (AEMOs) se han converti-do en una de las técnicas más utilizadas para lidiar con problemasde optimización multiobjetivos, pues han mostrado gran efectividadal solucionar problemas con dos y tres objetivos [1].

Los AEMOs simulan los principios básicos de la evolución naturalplanteados en el Neo-Darwinismo. Estos algoritmos aplican sobreuna población de individuos (soluciones) operadores de selección,asignación de aptitud, mutación, reproducción y elitismo, con el finde lograr la mejor aproximación posible del frente de Pareto.


Introducción

Introducción

Figura : Esquema general de un algoritmo evolutivo.


Introducción

Introducción

Durante varios años, el mecanismo de selección de los AEMOsestuvo mayormente basado en la dominancia de Pareto, pues per-mite diferenciar soluciones en problemas con dos o tres objetivos.

Entre los AEMOs basados en la dominancia de Pareto, algunos delos más representativos son:

MOGA (Fonseca y Fleming, 1993)

NPGA (Horn y Nafpliotis, 1993)

NSGA (Srinivas y Deb, 1994) y NSGA-II (Deb et al., 2002)

SPEA (Zitzler y Thiele, 1999) y SPEA-II (Zitzler et al., 2002)

PAES (Knowles y Corne, 1999)


Introducción

Introducción

En años recientes, diversos estudios han comprobado que al in-crementarse el número de funciones objetivo a optimizar, resultaineficaz el uso de la dominancia de Pareto para lograr convergen-cia y buena distribución de las soluciones [3].

Esto ocurre porque a medida que el número de objetivos aumenta,la proporción de individuos no dominados en la población crece,lo cual deteriora la capacidad de la dominancia de Pareto paradiscriminar entre soluciones [4], [5].


Introducción

Introducción

Figura : Porcentaje de vectores no dominados entre 200 generados aleatoria-mente en un hipercubo unitario k-dimensional (Ishibuchi et al., 2008)


Introducción

Introducción

Debido a que los AEMOs con esquemas de selección basados enla dominancia de Pareto no son efectivos en problemas con másde 3 objetivos, se han realizado un gran número de investigacio-nes para mejorar el rendimiento de los AEMOs en este tipo deproblemas.

Las principales propuestas se han enfocado en el desarrollo demecanismos de selección alternativos, la reducción del número deobjetivos y la exploración de sólo algunas regiones del espacio desoluciones.

Dentro de estas nuevas propuestas, los métodos de escalariza-ción y los basados en indicadores se han convertido en los máspopulares.


Introducción Motivación


2 Optimización evolutiva de muchos objetivos

3 PropuestaEvolución Diferencial Húngara EDHGeneración de vectores de pesos



6 Referencias



Motivación

Existe un gran número de problemas en los que se deben optimi-zar varios objetivos en conflicto. En su mayoría poseen más de 3funciones objetivo a optimizar simultáneamente.

Los algoritmos basados en dominancia de Pareto han demostra-do ser ineficientes para diferenciar los individuos en espacios desolución de alta dimensión.

Se han propuesto relaciones de dominancia alternativas o enfo-carse en determinas áreas del espacio de soluciones, pero estono permite obtener soluciones en todo el frente de Pareto.



Motivación

Los AEMOs basados en el hipervolumen han mostrado el mejordesempeño en problemas de optimización con 4 o más objetivos.No obstante, estos algoritmos poseen un costo computacional muyelevado y los métodos que reducen el tiempo de cómputo obtienensoluciones cuya calidad se degrada rápidamente al aumentar elnúmero de objetivos.

Otros AEMOs utilizan indicadores que poseen menor complejidadcomputacional, pero la calidad de las soluciones que obtienen noes comparable a la obtenida con el hipervolumen, pues no poseenlas propiedades matemáticas de este indicador.


Introducción Planteamiento del problema






6 Referencias


Introducción Planteamiento del problema

Planteamiento del problema

La mayoría de los AEMOs existentes no son capaces de obtener unabuena aproximación del frente de Pareto en problemas de optimiza-ción con un gran número de funciones objetivo y los AEMOs que mejordesempeño han mostrado en este tipo de problemas, poseen un costocomputacional que aumenta exponencialmente con el número de obje-tivos.


Introducción Objetivo






6 Referencias



Objetivo

Proponer un algoritmo evolutivo multiobjetivo basado en un nuevo es-quema de selección que mejore el desempeño de los algoritmos repre-sentativos del estado del arte en la optimización de muchas funcionesobjetivo.



Objetivos específicos

Estudio de los algoritmos evolutivos para la optimización de mu-chos objetivos.

Adaptar el problema de la selección de individuos en una poblaciónpara ser resuelto con el algoritmo de asignación lineal de Kuhn-Munkres.

Implementar un método de diseño uniforme para generar conjun-tos de vectores de pesos uniformemente espaciados.

Implementar un algoritmo evolutivo multiobjetivo con un esquemade selección basado en el algoritmo de Kuhn-Munkres.

Comparar el algoritmo propuesto con otros representativos del es-tado del arte, utilizando diversos problemas de prueba.


Optimización evolutiva de muchos objetivos






6 Referencias




En la literatura actual, se han presentado diversos AEMOs para solu-cionar problemas con más de tres funciones objetivo. A continuación,se mencionarán algunas de los enfoques más populares.

1 basados en relaciones de preferencia

2 que reducen la dimensión del espacio objetivo

3 basados en información de preferencia

4 basados en indicadores

5 basados en descomposición


Optimización evolutiva de muchos objetivos AEMOs basados en relaciones de preferencia

AEMOs basados en relaciones de preferencia

Estos algoritmos utilizan como criterios de selección a relacionesde preferencias distintas a la dominancia de Pareto. Algunos deestos AEMOs se basan en modificaciones de la dominancia dePareto, otros consideran el número de objetivos en los cuales unasolución es mejor que otra, la magnitud de la mejora o el númerode subespacios en los que una solución permanece no dominada.

Aunque estos AEMOs obtienen mejores resultados que los basa-dos en la dominancia de Pareto, las soluciones que producen sonsolo un subconjunto del frente de Pareto. Además, gran parte delas relaciones de preferencia requieren parámetros adicionales, locual puede limitar su aplicación en ciertos problemas reales.


Optimización evolutiva de muchos objetivos AEMOs que reducen la dimensión del espacio objetivo

AEMOs que reducen la dimensión del espacio objetivo

Estos AEMOs intentan convertir el problema original en instanciasde menor dimensión (número de objetivos) que puedan solucionar-se con técnicas ya existentes. Estos algoritmos se pueden agruparen dos clases principales: los métodos de partición del espacio ylos métodos que reducen el número de objetivos del problema.

Estas técnicas asumen la existencia de objetivos redundantes o laindependencia entre subconjuntos de objetivos. Sin embargo, granparte de los problemas no cumplen con estas características y portanto, el espacio objetivo no se reduce suficientemente como paraque sean efectivos los criterios de selección utilizados. Además,puede que se prescinda de objetivos fundamentales para descubrirel frente de Pareto en su totalidad.


Optimización evolutiva de muchos objetivos AEMOs basados en información de preferencia

AEMOs basados en información de preferencia

En determinados problemas de optimización multiobjetivo, el to-mador de decisiones (TD) solo está interesado en una región es-pecífica del frente de Pareto. Esto ha propiciado el desarrollo devarios AEMOs que utilizan la información de preferencia del TDpara guiar la búsqueda hacia la región de interés.

Estos métodos requieren de la intervención del tomador de deci-siones para identificar las regiones de interés. Sin embargo, cuan-do aumenta el número de objetivos, la cantidad de informaciónrequerida se hace mayor y más compleja de obtener por parte delTD. Además, en ciertos problemas reales no se tiene informaciónprevia sobre las soluciones requeridas.


Optimización evolutiva de muchos objetivos AEMOs basados en indicadores

AEMOs basados en indicadores

Un indicador de desempeño es una medida cuantitativa de la cali-dad con que un conjunto de soluciones no dominadas representael frente de Pareto. Debido a que la efectividad de los AEMOs esgeneralmente evaluada con estos indicadores, cada vez son máslas propuestas que transforman el problema multiobjetivo originalen el problema de optimizar uno de estos indicadores.

El hipervolumen se ha convertido en la opción más popular de losAEMOs basados en indicadores. Sin embargo, su costo compu-tacional aumenta exponencialmente con el número de objetivos.Esto ha motivado el desarrollo de métodos más eficientes para sucálculo y el uso de indicadores alternativos que posean propieda-des similares. Aunque estas propuestas han mejorado el tiempode cómputo, no logran mantener la calidad de las soluciones.


Optimización evolutiva de muchos objetivos AEMOs basados en descomposición

AEMOs basados en descomposición

Estos algoritmos utilizan una función de escalarización para trans-formar un problema de optimización multiobjetivo en varios sub-problemas de un solo objetivo, los cuales se optimizan simultánea-mente mediante la evolución de una población de soluciones.

La efectividad de los AEMOs basados en descomposición depen-de en gran medida de la función de escalarización (o función deutilidad) que incorporen y de la distribución de los vectores de pe-sos utilizados por dicha función. Esto ha motivado un reciente inte-rés en el desarrollo de nuevas funciones de utilidad y de métodospara generar vectores de pesos uniformemente espaciados.


Propuesta






6 Referencias


Propuesta

Propuesta

El AEMO que proponemos transforma el proceso de selección en unproblema de asignación lineal (PAL) utilizando un conjunto de vectoresde pesos uniformemente espaciados y una función de costo.

Figura : Población de individuos (soluciones) de la generación t .


Propuesta

Propuesta

Nuestra propuesta inicia con una población de n individuos generadosde forma aleatoria. Estos individuos serán los padres de n individuoshijos que se obtendrán de aplicar la evolución diferencial.

Figura : Población de individuos de la generación t y su descendencia, obte-nida al aplicar los operadores de recombinación.


Propuesta

Propuesta

Con los 2n individuos que se tienen al unir la población de padres y lapoblación de hijos y con los n vectores de pesos uniformemente distri-buidos, se construye la matriz de costos del problema de asignación.

Figura : Población de individuos de los cuales se deben seleccionar los quemejor aproximen el frente de Pareto (según los vectores de pesos a, b, c y d).


Propuesta

Propuesta

El problema de asignación se soluciona mediante el algoritmo de Kuhn-Munkres (o método húngaro). Los individuos asignados a los vectoresde pesos serán los sobrevivientes y pasarán a la siguiente generación.

Figura : En azul los individuos seleccionados con el algoritmo de Kuhn-Munkres para convertirse en la población de padres de la generación t + 1.


Propuesta

Propuesta

En caso de que no se utilice una estrategia de asignación óptima (comoel algoritmo de Kuhn-Munkres), la calidad de la aproximación del frentede Pareto puede degradarse.

Figura : En rojo los individuos seleccionados con un método voraz para con-vertirse en la población de padres de la generación t + 1.


Propuesta Evolución Diferencial Húngara EDH

Evolución Diferencial Húngara EDH

Figura : Pseudocódigo de la Evolución Diferencial Húngara (EDH).


Propuesta Generación de vectores de pesos

Generación de vectores de pesos

Nuestra propuesta requiere de un conjunto de vectores uniformementedispersos en el espacio objetivo para aproximar el frente de Pareto. Elmétodo más utilizado en los AEMOs ha sido el simplex-lattice, el cualproduce un conjunto de puntos igualmente espaciados. Sin embargo,este método presenta tres problemas principales:

La distribución de los vectores de pesos no es muy uniforme.

El número de vectores generados aumenta de manera no linealcon respecto al número de objetivos.

La mayor parte de los vectores están distribuidos en la frontera delsímplex.




101

102

103

104

105

106

2 3 4 5 6 7 8 9 10

Núm

ero

de v

ecto

res

de p

esos

Número de objetivos

(b)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

w1 w2 w3 w4 w5 w6

(a)

20 %

40 %

60 %

80 %

100 %

2 3 4 5 6 7 8 9 10

Vec

tore

s de

pes

os e

n la

fron

tera

Número de objetivos

(c)

Figura : Deficiencias del método simplex-lattice. En (a) se muestra la alta tasade repetición del valor de cada componente de los 126 vectores generados enun espacio de 6 dimensiones. En (b) se presenta el crecimiento exponencialdel número de vectores y en (c) el aumento de la proporción de vectoresfronterizos.




Recientemente, algunos AEMOs han utilizado otros métodos paragenerar el conjunto de vectores de pesos. Las dos tendencias fun-damentales radican en usar métodos basados en el hipervolumeno métodos del diseño uniforme.

Los primeros tratan de maximizar el hipervolumen cubierto por losvectores de pesos en el espacio objetivo, pero el costo compu-tacional de este proceso crece exponencialmente con el númerode objetivos.

En el segundo caso, combinan el método glp (good lattice point)con métodos del diseño uniforme. Aunque obtienen resultados su-periores a los basados en hipervolumen, su costo computacionaltambién crece exponencialmente con el número de objetivos.




En nuestro trabajo, proponemos sustituir el método glp por el métodode Hammersley, pues este último posee un costo computacional muyinferior y obtiene vectores con una distribución cercana a la obtenidapor glp.




0 0.5

1

0 0.5

1

0

0.5

1

w3

Monte Carlo

w2w1

w3

0 0.5

1 0

0.5 1

0

0.5

1

w3

Diseño Uniforme

w2w1

w3

0 0.5

1

0 0.5

1

0

0.5

1

w3

Simplex−lattice

w2w1

w3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

w1 w2 w3 w4

Monte Carlo

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

w1 w2 w3 w4

Diseño Uniforme

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

w1 w2 w3 w4

Simplex−lattice

Figura : Vectores de pesos obtenidos en los símplex de 3 y 4 dimensiones.JOSÉ A. MOLINET BERENGUER (CINVESTAV) AEMO basado en Kuhn-Munkres 23 de octubre del 2014 39 / 60

Resultados experimentales






6 Referencias


Resultados experimentales

La evaluación de nuestra propuesta EDH se realizó con base enlos resultados de dos experimentos. En el primero se variaron loscomponentes de EDH para estudiar la influencia de éstos en eldesempeño del algoritmo. En el segundo experimento se compa-raron los resultados de EDH con los obtenidos por tres AEMOsrepresentativos del estado del arte (MOEA/D, MOEA/D-DE y SMS-EMOA).

En ambos experimentos se utilizaron 16 problemas que pertene-cen a los conjuntos de prueba DTLZ y WFG. De estos 16 proble-mas se obtuvieron 144 instancias al variar el número de objetivosentre 2 y 10. La calidad de las soluciones obtenidas por cada al-goritmo se evaluó con los indicadores hipervolumen y distanciageneracional invertida.


Resultados experimentales Análisis de las componentes de EDH

Análisis de las componentes de EDH

El algoritmo propuesto EDH utiliza un conjunto de vectores de pe-sos uniformemente distribuidos y una función de costo para trans-formar el proceso de selección en un problema de asignación.

En la versión que proponemos, los vectores de pesos son gene-rados con un método de diseño uniforme y como función de costoutilizamos la descomposición de Tchebycheff modificada.

Otras tres versiones se pueden obtener si variamos estos elemen-tos de EDH:

EDH-Tch utiliza la descomposición de Tchebycheff original en lugarde la modificada.

EDH-SL utiliza el método de simplex-lattice para generar los vecto-res de pesos.

EDH-Tch-SL utiliza tanto la descomposición de Tchebycheff originalcomo el método de simplex-lattice.




Figura : Ranking de las variantes de EDH en los problemas DTLZ y WFG.JOSÉ A. MOLINET BERENGUER (CINVESTAV) AEMO basado en Kuhn-Munkres 23 de octubre del 2014 43 / 60



Figura : Soluciones obtenidas por las distintas variantes de EDH en problemasDTLZ con 3 objetivos.




Figura : Soluciones obtenidas por las distintas variantes de EDH en problemasWFG con 3 objetivos.


Resultados experimentales Comparación de EDH con otros algoritmos

Comparación de EDH con otros algoritmos

Este segundo experimento consiste en validar EDH comparando sudesempeño con respecto a tres algoritmos representativos del estadodel arte:

Los AEMOs basados en descomposición MOEA/D y MOEA/D-DE

El AEMO basado en el hipervolumen SMS-EMOA




Figura : Ranking de los distintos AEMOs en los problemas DTLZ y WFG.JOSÉ A. MOLINET BERENGUER (CINVESTAV) AEMO basado en Kuhn-Munkres 23 de octubre del 2014 47 / 60



Figura : Soluciones obtenidas por EDH, MOEA/D, MOEA/D-DE y SMS-EMOAen los problemas DTLZ1 y 2 con 3 objetivos.




Figura : Soluciones obtenidas por EDH, MOEA/D, MOEA/D-DE y SMS-EMOAen los problemas WFG1 y 3 con 3 objetivos.




Figura : Soluciones obtenidas por EDH, MOEA/D, MOEA/D-DE y SMS-EMOAen los problemas WFG6 y 7 con 3 objetivos.




Figura : Tiempo de ejecución promedio de EDH, MOEA/D, MOEA/D-DE ySMS-EMOA en problemas DTLZ y WFG.


Conclusiones






6 Referencias


Conclusiones

Conclusiones

Se realizó una revisión de los principales AEMOs propuestos parasolucionar problemas con más de tres objetivos, resaltando susventajas y limitaciones.

Los algoritmos basados en indicadores y los basados en descom-posición se han convertido rápidamente en las alternativas máspopulares. Sin embargo, la efectividad de estos AEMOs se degra-da al aumentar el número de objetivos.

En el presente trabajo se propuso un algoritmo evolutivo para so-lucionar problemas con mas de tres objetivos. El aspecto principalde nuestra propuesta es que transforma el proceso de selecciónen un problema de asignación lineal.


Conclusiones

Conclusiones

Para construir el problema de asignación lineal se emplea un con-junto de vectores de pesos uniformemente distribuidos en el espa-cio objetivo y una función de utilidad (o función de costo).

Se propuso generar los vectores de pesos utilizando una combi-nación entre un métodos de diseño uniforme y un métodos quasiMonte Carlo, que logra una distribución cercana a la uniforme.

El AEMO propuesto, denominado evolución diferencial húngaraEDH, se comparó con respecto a MOEA/D, MOEA/D-DE y SMS-EMOA, que poseen un amplio reconocimiento en la literatura es-pecializada.


Conclusiones

Conclusiones

Los resultado experimentales indican que:El tiempo de ejecución de SMS-EMOA asciende a días cuando elnúmero de objetivos es mayor o igual a 5.

SMS-EMOA presenta dificultad para converger en problemas conmúltiples óptimos locales o con frentes de Pareto degenerados.

En un gran número de problemas SMS-EMOA genera solucionescon una pobre distribución.

MOEA/D y MOEA/D-DE pierden capacidad de convergencia en lamedida que aumenta el número de objetivos.

Además, la diversidad de la soluciones generadas por MOEA/D yMOEA/D-DE se ve afectada considerablemente en problemas conmás de tres objetivos.


Conclusiones

Conclusiones

EDH obtiene los mayores valores del hipervolumen en todas lasinstancias con más de 5 objetivos.

En problemas como DTLZ1, DTLZ3 y DTLZ6 también alcanza elmayor hipervolumen para las instancias con menos de 5 objetivos.

Según la distancia generacional invertida, EDH obtiene los mejo-res valores en 126 de las 144 instancias de problema.

El tiempo de ejecución no de EDH no depende del número deobjetivos como en el caso de SMS-EMOA.

La calidad de las soluciones obtenidas por EDH en problemas conhasta 10 objetivos y el tiempo de cómputo que requiere, lo convier-ten en una opción competitiva frente a otros AEMOs existentes.


Conclusiones Trabajo futuro






6 Referencias


Conclusiones Trabajo futuro

Trabajo futuro

El método húngaro, utilizado en EDH para solucionar el problemade asignación lineal, posee un orden O(n3), donde n es el númerode soluciones que se desean. En caso de requerirse un gran nú-mero de soluciones, se recomienda implementar otro algoritmo deasignación o un método de programación lineal.

En espacios de alta dimensionalidad, el método propuesto en EDHpara generar los vectores de pesos tiende a concentrar los vecto-res en el interior del simplex. Se recomienda combinar este métodocon el símplex-lattice, para obtener vectores en los extremos.

El desempeño del mecanismo de selección de EDH depende engran medida de la función de costo utilizada para construir el pro-blema de asignación. Se recomienda explorar función de costo queevalúen cuán factible es una solución como aproximación del fren-te de Pareto.


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