slides k1

1

Kinematički paroviKinematički parovi

Mirko Husnjak

4/25/2005 2

Kinematički paroviKinematičkim parovi povezuju članove mehanizmaMogu imati najmanje jedan a najviše pet stupnjeva slobodeDijele se na više i niže

Viši-dodir u točki ili linijiNiži – dodir u plohi

2

4/25/2005 3

Kugla-ravnina

p515

OznakaBroj kinem. veza

Broj st. slobode

4/25/2005 4

Valjak-ravnina

p424


Broj st. slobode

3

4/25/2005 5

Sferni zglob

p333


Broj st. slobode

4/25/2005 6

Sferni zglob

4

4/25/2005 7

Sferni zglob

4/25/2005 8

Sferni zglob

p333


Broj st. slobode

5

4/25/2005 9

Sferni zglob

p333


Broj st. slobode

4/25/2005 10

Prizma ravnina

p333


Broj st. slobode

6

4/25/2005 11

Cilindrični par

p242


Broj st. slobode

4/25/2005 12

Rotacioni par

p151


Broj st. slobode

7

4/25/2005 13

Translacijski par

p151


Broj st. slobode

4/25/2005 14

Translacijski par

8

4/25/2005 15

Translacijski par

4/25/2005 16

Vijčani par

p151


Broj st. slobode

9

4/25/2005 17

Vijčani par

p151


Broj st. slobode

4/25/2005 18

Rotacioni par

p151


Broj st. slobode

Niži kinematički parovi mogu se izvesti i uz pomoć nekoliko viših. Analiza tako izvedenog para složena je, jer često sadrži prekobrojne veze.

10

4/25/2005 19

Ravninski parovi-rotacioni par

p151


Broj st. slobode

4/25/2005 20

Ravninski parovi-klizač

p151


Broj st. slobode

11

4/25/2005 21

Ravninski parovi-kontakt tijela

p242


Broj st. slobode

4/25/2005 22

Primjer RRSS

Broj stupnjeva slobode 3D mehanizma

4n =

1 2p =

3 2p =

( ) ( )5

16 1 6 i

iw n i p

=

= − − −∑6 3 5 2 3 2 2w = ⋅ − ⋅ − ⋅ =

2w =

ukupni broj svih tijela

dva rotoida

dva sferna zgloba

jedan stupanj slobode je rotacija člana S-S oko osi koja spaja središta sfernih zglobova i bez utjecaja je na odnos gibanja ulaznog člana A i izlaznog člana B

12

4/25/2005 23

Primjer 3D


6n =

1 4p =

3 3p =

( ) ( )5

16 1 6 i

iw n i p

=

= − − −∑6 5 5 4 3 3 1w = ⋅ − ⋅ − ⋅ =

1w =


rotacioni zglobovi

sferni zglobovi

4/25/2005 24

Primjer 3D


4n =

1 4p =

( ) ( )5

16 1 6 i

iw n i p

=

= − − −∑

( ) 16 1 56 3 5 4

w n pw= − −

= ⋅ − ⋅2w =


rotacioni zglobovi

13

4/25/2005 25

Primjer 3D


4n =

1 2p =

( ) ( )5

16 1 6 i

iw n i p

=

= − − −∑

( ) 1 26 1 5 46 3 5 2 4 2

w n p pw= − − −

= ⋅ − ⋅ − ⋅0w =


rotacioni zglobovi

2 2p = cilindrični

4/25/2005 26

Primjer 3D


4n =

1 3p =

( ) ( )5

16 1 6 i

iw n i p

=

= − − −∑

( ) 1 26 1 5 46 3 5 3 4 1

w n p pw= − − −

= ⋅ − ⋅ − ⋅1w = −


rotacioni zglobovi

2 1p = cilindrični

14

4/25/2005 27

Primjer 3D


4n =

1 3p =

( ) ( )5

16 1 6 i

iw n i p

=

= − − −∑

( ) 1 26 1 5 46 3 5 3 4 1

w n p pw= − − −

= ⋅ − ⋅ − ⋅1w = −


rotacioni zglobovi

2 1p = cilindrični

4/25/2005 28

Primjer četverokut


4n =

1 4p =

( ) ( )3

13 1 3 i

iw n i p

=

= − − −∑

3 3 2 4 1w = ⋅ − ⋅ =

1w =


četiri rotoida

15

4/25/2005 29

Primjer četverokut


4n =

1 4p =

( ) ( )3

13 1 3 i

iw n i p

=

= − − −∑

3 3 2 4 1w = ⋅ − ⋅ =

1w =


četiri rotoida

4/25/2005 30

Primjer šesteročlani mehanizam


6n =

1 6p =

( ) ( )3

13 1 3 i

iw n i p

=

= − − −∑

3 5 2 7 1w = ⋅ − ⋅ =

1w =


rotoidi

1 1p = translatoid

16

4/25/2005 31

Primjer šesteročlani mehanizam


6n =

1 7p =

( ) ( )3

13 1 3 i

iw n i p

=

= − − −∑

3 5 2 7 1w = ⋅ − ⋅ =

1w =


rotoidi

1 0p = translatoid

4/25/2005 32

Primjer krivuljni


3n =

1 1p =

( ) ( )3

13 1 3 i

iw n i p

=

= − − −∑3 2 2 2 1 1w = ⋅ − ⋅ − =

1w =


rotoid

1 1p = translatoid

2 1p = kontakt

17

4/25/2005 33

Primjer krivuljni


5n =

1 4p =

( ) ( )3

13 1 3 i

iw n i p

=

= − − −∑3 4 2 5 1 1w = ⋅ − ⋅ − =

1w =


rotoid

1 1p = translatoid

2 1p = kontakt

4/25/2005 34

Primjer krivuljni


3n =

1 1p =

( ) ( )3

13 1 3 i

iw n i p

=

= − − −∑3 2 2 2 1 1w = ⋅ − ⋅ − =

1w =


rotoid

1 1p = translatoid

2 1p = kontakt

18

4/25/2005 35

Primjer krivuljni


4n =

1 2p =

( ) ( )3

13 1 3 i

iw n i p

=

= − − −∑3 3 2 3 1 2w = ⋅ − ⋅ − =

2w =


rotoid

1 1p = translatoid

2 1p = kontakt

4/25/2005 36

Primjer krivuljni

19

4/25/2005 37

Primjer krivuljni

1

Kinematička analiza mehanizamaKinematička analiza mehanizama

Mirko Husnjak

Zadatak kinematičke analize

Kinematika proučava gibanje (u ovom slučaju mehanizama) bez obzira na uzroke. Ona treba odrediti:

položaj članova mehanizma uz zadane dimenzije članova i zadani položaj pogonskog člana.putanje, brzine i ubrzanja točaka mehanizmaprijenosnu funkciju mehanizma (funkciju koja povezuje gibanje izlaznog člana u ovisnosti o gibanju ulaznog ili pogonskog člana mehanizma)

2

Metode kinematičke analize

Grafičke metodemetoda trenutnih polova brzinametoda plana brzina i ubrzanja

Analitičke metodeNumeričke metode

Trenutni polovi brzina0

0

0

P

P A PA

A PA

PA A

v

v v v

v rr vω

ω

=

= + =

+ × =× = −

( )( ) ( )2

2

PA A

PA PA A

PA A

APA

r v

r r v

r vvr

ω ω ω

ω ω ω ω ω

ω ωωω

× × = − ×

⋅ − ⋅ = − ×

= ××

=

Apsolutni trenutni pol brzina je ona točka tijela (kod ravninskog gibanja) koja ima brzinu jednaku nuli.

3

Trenutni polovi brzina

Kad jednom poznajemo trenutni pol brzina brzine možemo promatrati tako da zamišljamo da tijelo rotira oko trenutnog pola brzina kutnom brinom tijela.

Vrijedi samo za brzine!

A

B

v PA

v PB

ω

ω

=

=

Trenutni pol brzina zapravo predstavlja dvije koincidentne točke: jedne koja pripada tijelu (2) i ima brzinu jednaku nuli i druge koja pripada referentnoj ravnini (1), tako da možemo govoriti i o relativnom trenutnom polu brzina tijela i referentne ravnine.

Poloide

polovi koji pripadaju referentnoj ravnini (nepomična poloida)

polovi koji pripadaju tijelu koje se giba planarno (pomična poloida)

4

Poloide

Svako se planarno gibanje može promatrati kao čisto kotrljanje pomične poloide po nepomičnoj!

Poloide


5

Poloide


Relativni trenutni pol brzina

Relativni trenutni pol brzina P1,2 dvaju tijela (1 i 2) predstavljaju dvije koincidentne točke P1 i P2 (tijela 1 i tijela 2) sa svojstvom da je njihova relativna brzina jednaka nuli.

1 2P Pv v=

6

Relativni trenutni pol brzina

Relativni trenutni pol brzina P1,2 kinematički je dakle ekvivalentan zglobnoj vezi (u nekom trenutku vremena) između dva tijela – gibanje: relativna rotacija jednog tijela u odnosu na drugo.

1 2P Pv v=

Jednako kinematičko svojstvo kao zglobna veza

Relativni trenutni polovi brzina koji direktno zadovoljavaju definiciju

7

Kennedy-Aronholdtov teorem

Tri trenutna pola brzina triju tijela koja se relativno gibaju leže na istom pravcu.

Kennedy-Aronholdtov teorem

Kennedy-Aronholdt

Tri trenutna pola brzina triju tijela koja se relativno gibaju leže na istom pravcu.

Dokaz: Reducio ad absurdum.

Pretpostavimo da trenutni pol brzina tijela 2 i 3 nije na pravcu koji prolaci kroz već zadane polove P1,2 i P1,3 već da je u točki Q2,3.

Tada će brzina točke Q2 biti okomita na P1,2Q2,3 , a brzina točke Q3 okomita na P1,3Q2,3.

Te okomice, očito, nisu istog pravca jer smo točku Q2,3 odabrali izvan pravca koji spaja polove P1,2P1,3.

Da bi se postiglo da brzine vQ2 i vQ3imaju isti pravac pol P2,3 mora biti na pravcu koji prolazi točkama P1,2 i P1,3 .

8

Broj trenutnih polova mehanizma

Kako je broj članova mehanizma n a između svaka dva člana imamo jedan relativni pol brzina to će ukupni broj polova biti jednak broju parova bez ponavljanja koje možmo dobiti od n.

( ) ( )12 1 2P

n n nn n

−⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠

Npr. za četveročlani mehanizam:

( )4 4 34 62 1 2Pn⎛ ⎞ ⋅

= = =⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠

Određivanje trenutnih polova mehanizma

1. Odredimo broj polova:

( ) ( )12 1 2P

n n nn n

−⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠

Četveročlani mehanizam:

( )4 4 34 62 1 2Pn⎛ ⎞ ⋅

= = =⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠

9


2. Odredimo polove koji direktno zadovoljavaju definiciju

3. Pomoću Kennedy-Aronholdtova teorema pronađemo ostale polove.


10

Primjena trenutnih polova mehanizma

2,4 2 1,2 2,4 4 1,4 2,4Pv P P P Pω ω= × = ×

1,2 2,44

2 1,4 2,4

P PP P

ωω

=


11



12



13


2,4 2 1,2 2,4 4 1,4 2,4Pv P P P Pω ω= × = ×

1,2 2,44

2 1,4 2,4

P PP P

ωω

=


14


2,3 21 1,2 2,3 31 1,3 2,3Pv P P P Pω ω= × = ×

1,2 2,331

21 1,3 2,3

P PP P

ωω

=


15


32,3 21 1,2 2,3P Av P P vω= × =

3 21 1,2 2,3Av P Pω=


16



17

Plan brzina i ubrzanja

B A BAr r r= +

Veza između položaja, brzina i ubrzanja dviju točaka jednog krutog tijela kod planarnog gibanja


B A BAr r r= +

Veza između brzina dviju točaka jednog krutog tijela kod planarnog gibanja

B A BAv v rω= + ×

B A BAdr dr drdt dt dt

= +

18


Veza između ubrzanja dviju točaka jednog krutog tijela kod planarnog gibanja

( )B ABA

dv dv d rdt dt dt

ω= + ×

BAB A BA

drda a rdt dtω ω= + × + ×

( )B A BA BAa a r rα ω ω= + × + × ×

B A BAv v rω= + ×


Veza između ubrzanja dviju točaka jednog krutog tijela kod planarnog gibanja

( )B A BA BAa a r rα ω ω= + × + × ×2

B A BA BAa a r rα ω= + × −t n

B A BA BAa a a a= + +

19



20



21



22



23



24

Plan položaja

1 1

2 2

3 3

A

B A

B

v rv v rv r

ωω

ω

= ×= + ×= ×

Plan brzina

1 1

2 2

3 3

A

B A

B

v rv v rv r

ωω

ω

= ×= + ×= ×

25

Plan ubrzanja

21 1 1 1

22 2 2 2

23 3 3 3

A

B A

B

a r r

a a r r

a r r

ω ε

ω ε

ω ε

= − + ×

= − + ×

= − + ×

Plan položaja

26

Plan položaja

Plan brzina

1 1

2 2

A

B

v O A

v O B

ω

ω

=

=

12 1

2

rr

ω ω=

B A B A rv v v v′= + +

27

Plan ubrzanja

Za kraj

28

Za kraj

Za kraj

slides k1

Documents