Slovenská matemati ká spolo£nos´sek ia JSMF�ilinská pobo£ka JSMF

46. konferen iaslovenský h matematikov20. � 23. november 2014Jasná pod Chopkom

Slovenská matemati ká spolo£nos´sek ia JSMF�ilinská pobo£ka JSMF

46. konferen iaslovenský h matematikov20. � 23. november 2014Jasná pod ChopkomEditori: Mariana Mar£oková, Mária Kúdel£íková

Konferen ia slovenský h matematikov

4

Jasná pod Chopkom, 20. � 23. november, 2014Obsah1 O konferen ii 7Výbor Slovenskej matemati kej spolo£nosti . . . . . . . . . . . . 8Výbory konferen ie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Predbeºný program 46. konferen ie slovenský h matematikov . 122 Abstrakty predná²ok 15Marián Ambrozy: Heideggerova �lozo�a matematiky . . . . . 15Hynek Ba hratý, Katarína Ba hratá: Rozumejú ºia i kon-²truk£nej geometrii a u£itelia ºiakom? . . . . . . . . . . . 16Jaromír Ba²tine , Hanna Dem henko, Josef Diblík: Sta-bility of linear dis rete systems with onstant oe� ientsand a single delay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Max Igor Bazovský: Two generalizations of Pythagora's the-orem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Silvia Baºíková: Reálne úlohy ako motivá ia pre ºiakov SO� 22Ján Be¬a£ka: Obsah elipsy a pravdepodobnos´ kon�gurá ií priPokri s ko kami - náhodné javy s Ex elom na gymnáziu . 23So¬a �eretková: Objavné vyu£ovanie matematiky v kontexteprojektu 7RP PRIMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Josef Diblík, Hana Halfarová, Jan �afa°ík: Planar linearweakly delayed dis rete systems with onstant oe� ients . 25Lu ia Fi ová, Miroslav Repovský: �kolské a národné testo-vania z matematiky v elektroni kom prostredí E-test . . . 28Peter Frolkovi£: Numeri ká matematika . . . . . . . . . . . . 29Katarína Fur o¬ová: Vizualizá ia rie²enia slovný h úloh . . 30�árka Gergelitsová, Tomá² Holan: Zamy²lení nad konstruk-£ními úlohami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Jozef Han£: Matemati ké úlohy a úlohy matematiky v (ne)prí-rodovednom vzdelávaní . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

Konferen ia slovenský h matematikovVeronika Hube¬áková: Kladenie správny h otázok vo vyu£o-vaní matematiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Zuzana Christozova: Projekt SCIENTIX II je príleºitos´ spo-lupra ova´ v komunite európsky h u£ite©ov . . . . . . . . . 34Jaroslav Jaro²: Trigonometri ké funk ie a i h zov²eobe neniaz poh©adu diferen iálny h rovní . . . . . . . . . . . . . . . 35Ireneusz Kre h, Roman Rosiek: Eye-tra king approa h toresear h on sto hasti graphs solving . . . . . . . . . . . . 36Zuzana Na²ti ká: Bilingválne slovensko-angli ké vyu£ovaniematematiky v niº²om sekundárnom vzdelávaní. Návrh u£eb-ného materiálu k temati kému elku o uhlo h v trojuholníko h 37Eva O e©áková: Prira¤ovanie ºiakov do krúºkov - matemati kéa algoritmi ké otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Lubo² Pi k: O klamné intui i a dal²í h radoste h matematikovaºivota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Peter Ri htarik: Optimization via dire t sear h . . . . . . . 40Marián Ruºi£ka: 40th anniversary of lasses fo used on mat-hemati s at Gymnázium, 9 Po²tová Str., Ko²i e . . . . . . 41Mária Slaví£ková: Didakti ký poten iál zdanlivo jednodu hejúlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42�tefan Tka£ik, Du²ana �tiberová: Galileov poh©ad na neko-ne£no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 �lánky na aktuálne témy 44Beloslav Rie£an: Na²a Jednota a dve storo£ni e . . . . . . . 444 Organizujeme. . . 46Sú´aº � O enu akademika �tefana S hwarza � . . . . . . . . . 46Sú´aº � O enu Petra Pavla Barto²a � . . . . . . . . . . . . . . 476

Jasná pod Chopkom, 20. � 23. november, 20141 O konferen iiTradí iaPrvá konferen ia slovenský h matematikov sa konala v roku 1969. Jej za-kladate©mi boli Ladislav Berger a Jozef Morav£ík.Usporiadatelia• Jednota slovenský hmatematikov a fyzikov (JSMF), pobo£ka �ilina,• Slovenská matemati ká spolo£nos´, sek ia JSMF,• Katedra matematiky �ilinskej univerzity v �iline,• Katedra aplikovanej matematiky �ilinskej univerzity v �iline.�pe i�ká iaDomá a konferen ia. Na konferen iu sú pozývaní hostia zo zahrani£ia.�asová periodi itaKaºdoro£ne kon om novembra.Miesto konaniaJasná pod ChopkomCieleV rám i elej matemati kej komunity na Slovensku• sprostredkováva´ informá ie o nový h poznatko h v matematike,• napomáha´ rie²i´ problémy ºivota u£ite©ov matematiky,• zdokona©ova´ metodiku vyu£ovania matematiky,• plni´ aj spolo£enskú, komunika£nú a organizátorskú funk iu.

7

Konferen ia slovenský h matematikovVýbor Slovenskej matemati kej spolo£nostiPredseda:prof. RNDr. Roman NEDELA, DrS .Podpredseda pre vede kú sek iu:do . RNDr. Vojte h BÁLINT, CS .Podpredseda pre pedagogi kú sek iu:do . RNDr. Du²an �VEDA, CS .Tajomník:do . RNDr. Alfonz HAVIAR, CS .Revízna komisia:do . RNDr. Mariana MAR�OKOVÁ, CS .RNDr. Lu ia RUMANOVÁ, PhD.�lenovia vede kej sek ie:prof. RNDr. Pavol BRUNOVSKÝ, DrS .prof. RNDr. Katarína CECHLÁROVÁ, DrS .RNDr. Jaroslav GURI�AN, PhD.do . Mgr. Radoslav HARMAN, PhD.do . RNDr. Róbert JAJCAY, PhD.prof. RNDr. Stanislav JENDRO�, DrS .prof. RNDr. Karol MIKULA, DrS .prof. RNDr. Pavol ZLATO�, CS .8

Jasná pod Chopkom, 20. � 23. november, 2014�lenovia pedagogi kej sek ie:do . RNDr. Katarína BACHRATÁ, PhD.do . PaedDr. So¬a �ERETKOVÁ, PhD.Mgr. Tatiana HIKOVÁdo . RNDr. Zbyn¥k KUBÁ�EK, CS .RNDr. Eva ORAVCOVÁMgr. Zuzana SEDLIA�KOVÁ, PhD.RNDr. Ladislav SPI�IAK, CS .PaedDr. �ubi a TÖRÖKOVÁdo . PaedDr. Katarína �ILKOVÁ, PhD.

9

Konferen ia slovenský h matematikovVýbory konferen ieOrganiza£ný výbor: Mariana Mar£okováBoºena Doro iakováZuzana Sedlia£kováMária Kúdel£íkováMartin ZáborskýVladimír GuldanProgramový výbor:Vede ká sek ia: Pavol BrunovskýRoman NedelaKatarína Ce hlárováMariana Mar£okováDidakti ká sek ia: Du²an �vedaKatarína Ba hratáEditori zborníka: Mariana Mar£okováMária Kúdel£íkováAdresa konferen ie:• www.konferen iajasna.sk• mariana.mar okova�fpv.uniza.sk• zuzana.sedlia kova�fstroj.uniza.sk• bozena.doro iakova�fstroj.uniza.sk10

Jasná pod Chopkom, 20. � 23. november, 2014Pozvaní predná²ajú i:• Peter Frolkovi£SvF STU Bratislava• �árka GergelitsováGymnázium Bene²ov,MFF UK Praha, �R• Jozef Han£UPJ� Ko²i e• Tomá² HolanMFF UK Praha, �R• Jaroslav Jaro²FMFI UK Bratislava• Lubo² Pi kMFF UK Praha, �R• Peter Ri htarikUniversity of Edinburgh, UKSú´aºeNa konferen ii sú kaºdoro£ne vyhlásené výsledky dvo h mate-mati ký h sú´aºí:• Sú´aº � O enu akademika �tefana S hwarza �• Sú´aº � O enu Petra Pavla Barto²a �

11

Konferen ia slovenský h matematikovPredbeºný program 46. konferen ie slovenský hmatematikov�tvrtok 20. novembra 201414.00 � 22.00 hod. Prí hod, prezentá ia, ubytovanie, s h�dze.Piatok 21. novembra 201409.00 � 09.15 hod. Otvorenie konferen ie a vyhlásenie výsledkovsú´aºí SMS09.15 � 09.45 hod. Predná²ka ví´aza sú´aºe � O enu Petra PavlaBarto²a �09.45 � 10.15 hod. Prestávka na kávu10.15 � 11.15 hod. �. Gergelitsová, T. Holan: Zamy²lení nad konstruk-£ními úlohami11.15 � 12.00 hod. Prihlásené referátyObed15.00 � 16.00 hod. J. Han£: Matemati ké úlohy a úlohy matematiky v(ne)prírodovednom vzdelávaní16.00 � 18.00 hod. Program pre u£ite©ov Z� a S�: Matemati ké úlohyv kontexte diagnostikovania a rozvíjania matemati ký h s hopnostíVe£era12

Jasná pod Chopkom, 20. � 23. november, 2014Sobota 22. novembra 201409.00 � 10.00 hod. P. Ri htarik: Optimization via dire t sear h10.00 � 10.30 hod. Prestávka na kávu10.30 � 11.30 hod. J. Jaro²: Trigonometri ké funk ie a i h zov²eobe ne-nia z poh©adu diferen iálny h rovní 11.30 � 12.30 hod. Prihlásené referátyObed13.30 � 14.30 hod. S h�dza Výboru Slovenskej matemati kejspolo£nosti15.00 � 16.00 hod. L. Pi k: O klamné intui i a dal²í h radoste h mate-matikova ºivota16.00 � 17.00 hod. Prihlásené referátyVe£era20.00 hod. Spolo£enský ve£erNede©a 23. novembra 201409.00 � 10.00 hod. P. Frolkovi£: Numeri ká matematika10.00 � 10.15 hod. Prestávka10.15 � 11.50 hod. Prihlásené referáty12.00 hod. Ukon£enie konferen ieObed13

Konferen ia slovenský h matematikov

14

Jasná pod Chopkom, 20. � 23. november, 20142 Abstrakty predná²okHeideggerova �lozo�a matematikyMarián AmbrozyMartin Heidegger - jeden z najvplyvnej²í h �lozofov 20. storo£ia prejavilvo svojom nesmierne rozsiahlom diele i tenden ie vyjadri´ sa k matema-tike. Sú také výrazné, ºe je moºné hovori´ o vlastnej �lozo�i matematiky.Heidegger predov²etkým vníma matematiku ²ir²ie neº je jej tradi£né po-nímanie. Ná² �lozof poníma matemati£no ako: 1. �to, £omu sa je moºné harakterizovaným sp�sobom a iba ním nau£i´, 2. sp�sob u£enia a po-stup sám� [1, 79℄. �alej uvádza, ºe vlastné matemati£no spo£íva v ur£eníve i, ktoré ne£erpá z nej samej, ale leºí v základe ur£ení ve í. Pri odpo-vedi na otázku, £o je matematika Heidegger nevy hádza z matematiky.Domnieva sa, ºe nejde o prírodnú vedu a ºe na prírodovede ké fakultynepatrí. Matemati£no v Heideggerovom ponímaní dáva svoje bytostné ur-£enie samo zo seba. �Heidegger sa matematizá iu usiluje u hopi´ v rovineontologi kej, v rovine metafyzi kého zmyslu matemati£na a rozvrhu ve -nosti ve í� [2, 258℄. Jeho hodnotenie vplyvu niektorý h matematikov sanesie v omyle nerozli²ovania di²tink ie medzi nimi, ako presved£ivo ukázalLadislav Kvasz.Referen ie[1℄ Heidegger, Martin; Novov¥ká matemati ká p°írodní v¥da,In: SCIPHI 6, 1994.[2℄ Kvasz, Ladislav; Zrod vedy ako lingvisti ká udalos´, Praha, 2013.[3℄ Su harek, Pavol; Komentár k s héme £asovosti v Bytí a £ase(�� 65 - 68), In: Cestami Heideggerovhomyslenia, Pusté Ú©any, 2011.Kontakt: Mgr. Marián Ambrozy, PhD.Vysoká ²kola medzinárodného podnikania ISMDu hnovi£ovo námestie 1, 080 01 Pre²ove-mail: ambrozy.marian�gmail. om15

Konferen ia slovenský h matematikovRozumejú ºia i kon²truk£nej geometrii au£itelia ºiakom?Hynek Ba hratý, Katarína Ba hratáV dejiná h matematiky a zárove¬ v osobný h skúsenostia h v䣲iny mate-matikov a aj jej zapálený h u£ite©ov zaujíma geometria význa£né miesto.Mnohý h k matematike priviedla, ukázala im jej krásu a zárove¬ silu ar-gumentá ie. Geometrami boli starí a slávni Gré i od Thalesa ez Pyta-gora po Ar himeda, geometria pomohla Al-Chavarizmimu a Cardanovi srovni ami, pomohla Galileovi s Keplerom vo fyzike. V 17. storo£í viedlamatematikov k objavu prin ípov analýzy a v 18. storo£í pomáhala ma-temati kú analýzu budova´. V 19. storo£í sa zbavila euklidovský h pút a ez topológiu prenikla do najmodernej²ej matematiky. Euklidove Stó haisú najdlh²ie a najvia vydávanou u£ebni ou a druhou najvydávanej²ouknihou ©udstva.Ke¤ sa ale vrátime do na²ej reality, geometria je zárove¬ oblas´ou,ktorá vo vyu£ovaní matematiky a v jej osnová h má £oraz ´aº²ie postave-nie a postupne obmedzované zastúpenie. Najhlb²ia prí£ina tohto javu jemoºno skrytá uº v slávnej vete �Neexistuje krá©ovská esta ku geometrii�.Táto £as´ matematiky je zrejme najsilnej²ie odolná vo£i formálnemu vy-u£ovaniu a formálnym vedomostiam, aj snahe u£i´ (e-)atraktívne, rý hloa �efektívne�.Tým sa dostávame k obsahu ná²ho príspevku. Kon²truk£né úlohy pred-stavujú pre vyu£ovanie aj pre históriu oblas´, kde sa geometria z remeslamení na abstraktnú vedu, kde sa zru£nosti a skúsenosti menia na poznaniea porozumenie. Na konkrétny h ukáºka h rie²ení kaskády kon²truk£ný húloh (prevaºne ºiakmi druhého stup¬a Z�) ilustrujeme via eré fenomény,ktoré sme si pri i h analýze uvedomili. Mnohé z ni h sme nepoznali alebosme im nevenovali potrebnú pozornos´, iné naopak povaºujeme za d�leºitéalebo samozrejmé, pri£om sa ukázali nepotrebné alebo dokon a obmedzu-jú e pre rozvoj myslenia ºiaka. Druhým d�leºitým postrehom je skuto£-nos´, ºe pravdepodobne výrazne pre e¬ujeme vyspelos´ ºiakov v rý hlosti,s akou v oblasti geometrie získavajú skúsenosti a s hopnosti. Treba uva-ºova´ aj o veku, v ktorom je moºné tieto s hopnosti automatizova´ a16

Jasná pod Chopkom, 20. � 23. november, 2014formalizova´.Pozorované zákonitosti sme si overili na via erý h skupiná h detí a prir�zny h formá h prá e, neprekra£ujú ale rozsah prípadovej ²túdie. Radipreto privítame ¤al²iu diskusiu a spoluprá u v tejto oblasti vyu£ovania.To by mohla by´ esta, ktorou geometrii zabezpe£íme d�stojné a zmyslu-plné postavenie a úlohu v matemati kom vzdelávaní.Kontakt: RNDr. Hynek Ba hratý, PhD.e-mail: Hynek.Ba hraty�fri.uniza.skdo . RNDr. Katarína Ba hratá, PhD.e-mail: Katarina.Ba hrata�fri.uniza.skKatedra softvérový h te hnológiíFakulta riadenia a informatiky �UKore²ponden£ný seminár SEZAM, www.sezam.sk

17

Konferen ia slovenský h matematikovStability of linear dis rete systems with onstant oe� ients and a single delayJaromír Ba²tine , Hanna Dem henko, Josef DiblíkRe ently, the investigation of the properties of linear di�eren e systemswith delay has been paid in reasing attention. In the ontribution, wegive su� ient onditions for the asymptoti stability of linear di�eren esystems with onstant oe� ients and single delayx (k + 1) = Ax (k) +Bx (k −m) , k = 0, 1, . . . (1)where A, B are n× n onstant matri es, x = (x1, . . . , xn)

T :

{−m,−0, 1, . . .} → Rn, and m ∈ N. An exponential estimate of thenorm of solutions is given as well. Initial problem for (1) is de�ned as

x (k) = xk, k = −m,−m+ 1, . . . , 0 where xk ∈ R.For an arbitrary matrix B, |B| := √

λmax (BTB). Denote by λmax (A),λmin (A) the maximum and minimum eigenvalues of a symmetri matrixA. Also, de�ne

ϕ (A) := λmax (A)/λmin (A) .A trivial solution x(k) = 0, k = −m,−m + 1, . . . of (1) is Lyapunovstable if, for an arbitrary ε > 0, there exists δ (ε) > 0 su h that, for anyother solution x (k), we have |x (k)| < ε for k = 0, 1, . . . , and ‖x (0)‖m <

δ (ε) where ‖x (0)‖m := max {|x (i)|, i = −m,−m+ 1, . . . , 0}. If, more-over, limk→+∞ |x (k)| = 0, then the trivial solution is alled asymptoti stable. The trivial solution of system (1) is alled Lyapunov exponentiallystable if there exist onstants N > 0 and θ ∈ (0, 1) su h that|x(k)| ≤ N‖x(0)‖mθk, k = 1, 2, . . . .The asymptoti stability of (1) an be studied by the orresponding ha-ra teristi equation

det(

λm+1I − λmA−B)

= 0 (2)whi h, in general, is a polynomial equation of degree (m+ 1)n. A majordi� ulty in the investigation of the properties of roots of (2) is that, forlarge m, the dimension of the polynomial is high.18

Jasná pod Chopkom, 20. � 23. november, 2014The result formulated below was derived by the se ond Lyapunov met-hod. In the investigation of stability of linear dis rete equations, an im-portant role is played by what is alled the Lyapunov equationATHA−H = −C (3)where A is a given n×n matrix and H , C are n×n matri es. It is knownthat the linear system

x (k + 1) = Ax (k) , k = 0, 1, . . .is exponentially stable, i.e., ρ(A) < 1 if and only if, for an arbitrarypositive de�nite symmetri n× n matrix C, the matrix equation (3) hasa unique solution - a positive de�nite symmetri matrix H [3℄.Theorem 1. Let ρ(A) < 1, C be a �xed positive de�nite matrix, matrixH solve the orresponding Lyapunov matrix equation (3), and

Li(H) > 0, i = 1, 2, 3 (4)whereL1(H) :=λmax(H)− λmin(C) + |ATHB|,

L2(H) :=λmin(H)− ϕ(H)[

|ATHB|+ |BTHB|]

,

L3(H) :=λmin(C)−(

1 + ϕ2(H))

|ATHB| − ϕ2(H)|BTHB|.Then, the system with delay (1) is exponentially stable and, for an arbit-rary solution x (k), the estimate|x(k)| ≤

√

ϕ(H)‖x(0)‖mΘk/2(H), k ≥ 0 (5)holds whereΘ(H) :=

L1(H)

L2(H)ϕ(H)< 1 .Example 1. Let n = 3 and system (1) have the form

x1(k + 1) = ax1(k) + bx2(k −m),

x2(k + 1) = cx2(k) + dx3(k −m),

x3(k + 1) = ex3(k) + fx1(k −m)19

Konferen ia slovenský h matematikovwhere k ≥ 0. If max{|a|, |c|} < |e| < 1, max{|b|, |d|} < |f |, |e|+ |f | < 1,then, for an arbitrary solution x (k), the estimate|x(k)| ≤

(

e2 + |ef |

1− |ef | − f2

)k/2

‖x(0)‖m, k ≥ 0holds.For further reading on the topi we refer to [1℄�[3℄ and to the referen estherein.A knowledgement. This resear h was supported by the Grant FEKT-S-11-2-921 of Fa ulty of Ele tri al Engineering and Communi ation, BUT.Referen es[1℄ J. �ermák, J. Jánský: Stability swit hes in linear delay di�eren e equations,Appl. Math. Comput. 243 (2014) 755�766.[2℄ E. Kaslik: Stability results for a lass of di�eren e systems with delay, Adv.Di�eren e Equ. 2009 (2009), Arti le ID 938492, 1�13.[3℄ S. N. Elaydi: An Introdu tion to Di�eren e Equations, UndergraduateTexts in Mathemati s, Springer, Third Edition, 2005.Kontakt: do . RNDr. Jaromír Ba²tine , CS .Ústav matematikyFakulta elektrote hniky a komunika£ní h te hnológiíVysoké u£ení te hni ké v Brn¥Te hni ká 2848/8, �abov°esky, 61600, Brno, �Re-mail: bastine �fee .vutbr. z20

Jasná pod Chopkom, 20. � 23. november, 2014Two generalizations of Pythagora's theoremMax Igor BazovskýLet T be a triangle with sides (a, b, c). T is a harmoni triple triangle ifits sides form a harmoni triple (HT ), i.e., if1

a=

1

(a+ b)+

1

(a+ b+ c).We studied these triples in the 2012, and 2013 versions of the �Konferen iaslovenský hmatematikov�. In this presentation we ompletely hara terizesu h triangles and show that they lead to two �ni e� generalizations ofPythagora's theorem.Note our de�nition of harmoni triple triangles is to be distinguishedfrom that used by Professor Shailesh Shirali, voluminous author, head ofRishi math enter, dire tor of and editor of Resonan e (Indian undergra-duate s ien e journal). In referen es [1℄ to [3℄, Professor Shirali, requiresthat 1/a = 1/b+ 1/c, whi h leads to very di�erent theorems than ours.Referen es[1℄ Harmoni Triples, Part 1, At Right Angles, Vol 2, No. 1, Mar h, 2013(http://www.slideshare.net/sultan18/apu-131317-atrightanglesmar h2013�nalhighreswithpullout), pg. 20 to 23.[2℄ Harmoni Triples, Part 2, At Right Angles, July Vol 2, No. 2, 2013(http://www.tea herso�ndia.org/en/tags/generation-harmoni -triples)[3℄ Harmoni Triples, Part 3, At Right Angles, Vol 3, No. 1, Mar h 2014Kontakt: Mgr. Ing. Max Igor Bazovskýd� hod a�tefánikova 704, 905 01 Seni ae-mail: maxbazovsky�gmail. om

21

Konferen ia slovenský h matematikovReálne úlohy ako motivá ia pre ºiakov SO�Silvia BaºíkováV ²kolskej praxi matematiku u£íme predov²etkým prostrední tvom úloh.Úlohám musíme venova´ náleºitú pozornos´, pretoºe sú doleºitý moti-va£ný £inite©. Popri úlohá h v zbierka h u£ite© by mal vyuºíva´ úlohy,ktoré urobia vyu£ovanie matematiky zábavnej²ím a radostnej²ím. U£ite©by mohol vybera´ také úlohy, ktoré sú pre ºiakov zaujímavé, také s kto-rými sa stretnú v reálnom ºivote.Optimálna situá ia nastane, ak ºiak prijme úlohu za svoju a rie²i ju akosvoj vlastný problém. �iak prestáva rie²i´ úlohu pod vonkaj²ím tlakom,interiorizá ia úlohy mu vytvára predpoklady pre originálne rie²enie.V tomto príspevku Vám ukáºeme, £o sa udialo na hodiná h matema-tiky, ktoré sme odu£ili na SO� u ºiakov 1. ro£níka v odbore manaºmentregionálneho estovného ru hu.Kontakt: Mgr. Silvia BaºíkováSpojená ²kola, S ota Viatora 8, RuºomberokKAGDM, FMFI UK, Mlynská dolina, Bratislavae-mail: silvia.bazikova�gmail. om

22

Jasná pod Chopkom, 20. � 23. november, 2014Obsah elipsy a pravdepodobnos´ kon�gurá iípri Pokri s ko kami - náhodné javy s Ex elomna gymnáziu Ján Be¬a£kaStredo²kolá i sa s náhodnými javmi stretávajú v rám i po£tu pravdepo-dobnosti a ²tatistiky. Ako príklad náhodného javu slúºi losovanie £íslaalebo výber gu©�£ky danej farby z osudia, a podobne. Generátor náhod-ný h £ísel je pri ²túdiu náhodný h javov uºito£nou pom� kou.V príspevku sú prezentované dve apliká ie, v ktorý h generátor náhod-ný h £ísel hrá k©ú£ovú úlohu. Apliká ie slúºia na overenie matemati ký hhypotéz ²tatisti kými metódami.Prvá apliká ia prezentuje pre laika udivujú u metódu výpo£tu obsahuplo²ného útvaru metódou Monte Carlo. Na základe analógie medzi obsa-hom kruhu a opísaného ²tvor a a elipsy a opísaného obd¨ºnika bola vyslo-vená hypotéza o tvare vzor a pre obsah elipsy. Pomo ou metódy MonteCarlo s 5000 generovanými bodmi bola hypotéza overená.Druhá apliká ia simuluje hru Poker s ko kami. Najprv bola kombinato-ri kými vzor ami vypo£ítaná pravdepodobnos´ nastania kon�gurá ií. Po-tom bolo simulovaný h 20000 vrhov a bola vypo£ítaná relatívna po£etnos´výskytu kon�gurá ií. Výsledky potvrdili správnos´ výpo£tu vzor ami.Vývoj apliká ií bol odskú²aný so ºiakmi posledného ro£níka gymnáziav po£te 50 a ²tudentmi magisterského ²túdia u£ite©stva matematiky v po-£te 54. Ú£astní i na záver hodín vyplnili dotazník, ktorým bolo zis´ované,£i bola hodina pre ni h zaujímavá, £i rozumeli u£ivu a £i h ú modelova´i iné javy.Kontakt: PaedDr. Ján Be¬a£ka, PhD.Katedra informatiky FPV UKFTr. A. Hlinku 1, Nitrae-mail: jbena ka�ukf.skhttp://www.ki.fpv.ukf.sk/∼jbena ka/23

Konferen ia slovenský h matematikovObjavné vyu£ovanie matematiky v kontexteprojektu 7RP PRIMASSo¬a �eretkováEurópska komisia vydala v roku 2007 správu o vyu£ovaní prírodovedný hpredmetov a matematiky s názvom: S ien e Edu ation NOW: A renewedPedagogy for the Future of Europe. Publikovanie správy vyvolalo priamureak iu Európskej únie: projekty v rám i 7. rám ového programu zamera-né na vzdelávanie v oblasti matematiky a prírodovedný h predmetov. Jed-ným z tý hto projektov bol projekt PRIMAS (Promoting inquiry in Mat-hemati s and s ien e edu ation a ross Europe - Predstavujeme Európeobjavné vyu£ovanie matematiky a prírodovedný h predmetov), ktorý sarie²il v roko h 2010 � 2013. Rie²itelia zo ²trnásti h univerzít z dvanásti hkrajín Európy si dali za ie© podpori´ realizá iu objavného vyu£ovania nazákladný h a stredný h ²kolá h.Výstupom projektu sú u£ebné texty a materiály podporujú e medzi-predmetové vz´ahy, najmä matematiky a ostatný h prírodovedný h pred-metov, pre ºiakov vo veku 6 � 16 rokov. K u£ebným textom a materiálomboli pripravené kurzy ¤al²ieho vzdelávania a podporné materiály pre u£i-te©ov z praxe a tieº pre ²tudentov u£ite©stva zamerané na osvojenie arozvíjanie metód objavného vyu£ovania. V príspevku budú predstavenémoduly objavného vyu£ovania s ukáºkami úloh a aktivít dostupné na we-bovej stránke projektu PRIMAS (www.primas-proje t.eu) i v slovenskomjazyku.Kontakt: do . PaedDr. So¬a �eretková, PhD.Katedra matematiky FPV UKF v NitreTr. A. Hlinku 1, 949 01 Nitrae-mail: s eretkova�ukf.sk24

Jasná pod Chopkom, 20. � 23. november, 2014Planar linear weakly delayed dis rete systemswith onstant oe� ientsJosef Diblík, Hana Halfarová, Jan �afa°íkWe use the notation: for integers s, q, s ≤ q, Zqs := {s, s + 1, . . . , q}.Similarly, we de�ne the set Z∞

s . Consider an initial problem for dis reteplanar systemsx(k + 1) = Ax(k) +Bx(k −m), k ∈ Z

∞

0 , (1)x(k) = ϕ(k), k ∈ Z

0−m (2)where m > 0 is a �xed integer, A = (aij) and B = (bij) are onstant

2 × 2 matri es, x : Z∞−m → R2, ϕ : Z0

−m → R2. The existen e and uniqu-eness of the solution of the initial problem (1), (2) on Z∞−m is obvious.The solution x : Z∞

−m → R2 of (1), (2) is de�ned as an in�nite sequen e{x(−m) = ϕ(−m), . . . , x(0) = ϕ(0), x(1), x(2), . . . } su h that, for anyk ∈ Z∞

0 , equality (1) holds.The spa e of initial data (2) with ϕ : Z0−m → R2 is 2(m+1)-dimensional.We des ribe the fa t that, among the systems (1), there are what is alledweakly delayed systems. Their spa e of solutions, being initially 2(m+1)-dimensional, on a redu ed interval, turns into a spa e having dimensionless than 2(m+ 1).The system (1) is alled weakly delayed if, for every λ ∈ C \ {0},

det(

A+ λ−mB − λI)

= det (A− λI)where I is the unit matrix. If a system is weakly delayed, it remains soafter every linear transformation x(k) = Sy(k) with a nonsingular 2 × 2matrix S. Theny(k + 1) = ASy(k) +BSy(k −m)with AS = S−1AS, BS = S−1BS.Theorem 1. System (1) is weakly delayd if and only if trB = detB = 0and det(A+B) = detA. 25

Konferen ia slovenský h matematikovFor the matrix A, there exists a nonsingular matrix S transforming itto the Jordan matrix form Λ = S−1AS where Λ depends on the roots ofthe equationλ2 − (trA)λ + detA = 0. (3)The transformation y(k) = S−1x(k) transforms (1) into a system

y(k + 1) = Λy(k) +B∗y(k −m), k ∈ Z∞

0with B∗ = S−1BS, B∗ = (b∗ij), i, j = 1, 2. Initial problem (2) turnsinto an initial problem y(k) = ϕ∗(k), k ∈ Z0−m with ϕ∗ : Z0

−m → R2where ϕ∗(k) = S−1ϕ(k) is the initial fun tion orresponding to the initialfun tion ϕ in (2).Theorem 2. Let system (1) be weakly delayed and let (3) have both rootsdi�erent from zero. Then, the spa e of solutions, being initially 2(m+1)-dimensional, is on Z∞

m+2 only1) (m+ 2)-dimensional if (b∗12)2 + (b∗21)2 > 0.2) 2-dimensional if b∗12 = b∗21 = 0.Theorem 3. Let system (1) be weakly delayed and let (3) have a sim-ple root λ = 0. Then, the spa e of solutions, being initially 2(m + 1)-dimensional, is either (m+ 1)-dimensional or 1-dimensional on Z∞

m+2.Theorem 4. Let system (1) be weakly delayed and let (3) have a two-fold root λ = 0. Then, the spa e of solutions, being initially 2(m + 1)-dimensional, turns into a 0-dimensional spa e on Z∞1 , namely, into thezero solution.The weakly delayed system was �rst de�ned in [1℄ for systems of li-near delayed di�erential systems with onstant oe� ients. Nevertheless,parti ular examples of the behavior of solutions of ertain systems (beinga tually weakly delayed systems) an be found in various books on delayeddi�erential equations. Results given in this ontribution are proved in [2℄.For further reading, we refer to [3℄ and [4℄. Weakly delayed systems anbe simpli�ed and their solutions found in expli it analyti al forms. Theformulas are rather ompli ated and an be found in the above papers.A knowledgement. Authors are supported by the Grant FEKT-S-11-2-921 of Fa ulty of Ele tri al Engineering and Communi ation, BUT.26

Jasná pod Chopkom, 20. � 23. november, 2014Referen es[1℄ D. Ya. Khusainov, D. B. Benditkis, J. Diblík, Weak delay in systems withan aftere�e t, Fun t. Di�er. Equ. 9 (2002), 385-404.[2℄ J. Diblík, D. Khusainov, Z. �marda: Constru tion of the general solutionof planar linear dis rete systems with onstant oe� ients and weak delay,Adv. Di�eren e Equ., 2009, Arti le ID 784935, 1�18.[3℄ J. Diblík, H. Halfarová: Expli it general solution of planar linear dis retesystems with onstant oe� ients and weak delays, Adv. Di�eren e Equ.,2013, 2013:50 doi:10.1186/1687-1847-2013-50, 1-29.[4℄ J. Diblík, H. Halfarová: General expli it solution of planar weakly delayedlinear dis rete systems and pasting its solutions, Abstr. Appl. Anal., 2014,Arti le ID 627295, 1�37.Kontakt: prof. RNDr. Josef Diblík, DrS .Ústav matematikyFakulta elektrote hniky a komunika£ní h te hnológiíVysoké u£ení te hni ké v Brn¥Te hni ká 2848/8, �abov°esky, 61600, Brno, �Re-mail: diblik�fee .vutbr. z

27

Konferen ia slovenský h matematikov�kolské a národné testovania z matematikyv elektroni kom prostredí E-testLu ia Fi ová, Miroslav RepovskýRealizá ia ²kolský h a národný h meraní elektroni kou formou je imple-mentovaná v rám i národného projektu �Zvy²ovanie kvality vzdelávaniana základný h a stredný h ²kolá h s vyuºitím elektroni kého testovania�.Autori poukáºu na moºnosti vyuºitia dvo h elektroni ký h prostredí (in-terný a externý portál) pri tvorbe ²kolský h testov z matematiky, ktorébudú vyuºíva´ ²koly na r�znej úrovni (u£ite©a, ºiaka, manaºment ²koly) apri národný h testo h z matematiky, ktorý h ie©om je overi´ vedomosti azru£nosti ºiakov v plnom rozsahu príslu²ný h pedagogi ký h dokumentov.Kontakt: PaedDr. Lu ia Fi ová, PhD.RNDr. Miroslav RepovskýNárodný ústav erti�kovaný h meraní vzdelávania�ehrianska 9, 851 07 Bratislava 5e-mail: lu ia.� ova�nu em.sk

28

Jasná pod Chopkom, 20. � 23. november, 2014Numeri ká matematikaPeter Frolkovi£V príspevku sa pokúsim vysvetli´, £o sa skrýva pod pojmom numeri kámatematika z poh©adu, ktorý by mohol by´ zaujímavý a po hopite©ný ipre ²ir²iu odbornú verejnos´. Úspe hy a úskalia numeri kej matematikybudem ilustrova´ na vlastný h skúsenostia h pre reálne príklady z praxevede ko-te hni ký h výpo£tov, predov²etkým pre numeri ké metódy narie²enie par iálny h diferen iálny h rovní .Kontakt: do . RNDr. Peter Frolkovi£, CS .Katedra matematiky a deskriptívnej geometrieStavebná fakulta STURadlinského 11, 841 04 Bratislavae-mail: peter.frolkovi �gmail. om

29

Konferen ia slovenský h matematikovVizualizá ia rie²enia slovný h úlohKatarína Fur o¬ováV minulom akademi kom roku sme realizovali experiment zameraný narie²enie slovný h úloh. Ú£astníkmi boli ²tudenti druhého ro£níka medziod-borového ²túdia v kombiná ii s matematikou. I²lo o rie²enie jednodu hý hslovný h úloh pre základnú ²kolu. Najprv mali ²tudenti rie²i´ úlohy pod©avlastného uváºenia a následne s uvedením in²truk ie �úlohu £o najvia vi-zualizujte�. Vizualizá ia totiº patrí k základným kognitívnym stratégiámv objavovaní a s hopnosti rie²i´ matemati ké problémy. Cie©om bolo zisti´,do akej miery sú ²tudenti s hopní dané úlohy vizualizova´ a vysvetli´ i hºiakom základnej ²koly, ktorí sa e²te nestretli s klasi kým zostavovanímrovní a i h rie²ením.V príspevku predstavíme niektoré sp�soby rie²enia slovný h úloh pro-strední tvom vizualizá ie za hytené pomo ou pera SmartPen (via nawww.smartpen.sk). Domnievame sa, ºe tieto rie²enia budú vhodnou po-m� kou pri vzdelávaní budú i h u£ite©ov v oblasti rozvíjania i h vlastný hs hopností vy íti´ a pozna´ ako ºiak myslí, prípadne v ktorý h etapá hrie²enia slovný h úloh má problémy. To im umoºní individualizova´ svojep�sobenie smerom k ºiakovi.Príspevok vznikol s podporou grantu VVGS-2013-119.Kontakt: RNDr. Katarína Fur o¬ováÚstav matemati ký h viedPrírodovede ká fakulta UPJ�Jesenná 5, 04001 Ko²i ee-mail: katarina.fur onova�gmail. om30

Jasná pod Chopkom, 20. � 23. november, 2014Zamy²lení nad konstruk£ními úlohami�árka Gergelitsová, Tomá² HolanKonstruk£ní úlohy p°edstavují problémy, které lidé °e²í tisí e let. Jeji h°e²ení je sou£ástí výuky geometrie na v²e h stupní h ²koly.R·zné obtíºe a p°ekáºky na stran¥ u£itele i ºák· vedou k tomu, ºese jeji h °e²ení pomalu ze ²kol vytrá í. Nejsou atraktivní, nepovaºují seza prakti ky uºite£né a tak je dne²ní nedostate£n¥ motivované studen-stvo bere jako nutné zlo nebo je p°ehlíºí a jako ned·leºité, neuºite£néa nezábavné je odmítá °e²it (moºná ne proto, ºe jsou neuºite£né, ale ºejsou pra né a t¥ºké). P°itom se domníváme, ºe konstruk£ní úlohy jsou prorozvoj my²lení student· prosp¥²né a t¥ºko nahraditelné.Ve svém p°ísp¥vku se h eme zamyslet nad tím, zda by bylo moºnévyuºít zm¥n, ke kterým v poslední h lete h do²lo v rozvoji a roz²í°eníte hnologií, k obnovení významu konstruk£ní h úloh ve výu e matematiky.Ch eme také p°edstavit jeden prost°edek, který se snaºí takovou zm¥nupodporovat a pro mnohé studenty je sám o sob¥ motivují í.Kontakt: RNDr. �árka Gergelitsová, Ph.D.KSVI MFF UK PrahaMalostranské nám. 25, 118 00 Praha 1, �Re-mail: Sarka �gbn. zRNDr. Tomá² Holan, Ph.D.KSVI MFF UK PrahaMalostranské nám. 25, 118 00 Praha 1, �Re-mail: Tomas.Holan�m�. uni. z31

Konferen ia slovenský h matematikovMatemati ké úlohy a úlohy matematikyv (ne)prírodovednom vzdelávaníJozef Han£Na základe ilustratívny h úvodný h príkladov matemati ký h úloh nap�de prírodný h vied (konkrétne vo fyzike) si ukáºeme, aké matemati -ké vedomosti, zru£nosti, £i úvahy pri i h rie²ení potrebujeme, sledujeme,resp. diagnostikujeme. Z uvedený h príkladov nám vyplynie, akým sp�-sobom by sa mala u£i´ (a diagnostikova´) matematika pre prírodoved ov(ale aj neprírodoved ov, £i stredo²kolákov) a akú úlohu by v ¬om malihra´ digitálne te hnológie. Predkladaný model tzv. obrátenej výu£by jediametrálne odli²nou alternatívnou tradi£ný h sú£asný h, nepopulárny ha zlyhávajú i h sp�sobov, akým sa v sú£asnosti u£ia matemati ké kurzyna V�, £i matematika na S�.Kontakt: do . RNDr. Jozef Han£, PhD.Ústav fyzikálny h viedPrírodovede ká fakulta UPJ�Park Angelinum 9, 040 01 Ko²i ee-mail: jozef.han �upjs.sk

32

Jasná pod Chopkom, 20. � 23. november, 2014Kladenie správny h otázok vo vyu£ovanímatematiky Veronika Hube¬ákováBádanie v matematike je vo ve©kej miere zaloºené na s hopnosti mate-matika poloºi´ (si) správnu otázku. Preto je v bádate©skom vyu£ovanímatematiky dobrá otázka u£ite©ovým najuºito£nej²ím nástrojom. U£ite©�správnymi� otázkami motivuje ºiakov k rozmý²©aniu, vytvára tlak naporozumenie, identi�kuje miskon ep ie, ktoré ºia i majú, poskytuje imspätnú väzbu, ktorá ºiakom dáva priestor na ¤al²iu aktivitu a presúva´aºisko vyu£ovania z u£ite©a na ºiaka. Navy²e m�ºeme predpoklada´, ºeu£ite© kladením dobrý h otázok u£í ºiakov správne sa pýta´. Kladeniesprávny h otázok je tak ve©mi prirodzenou sú£as´ou tzv. formatívnehohodnotenia, hodnotenia pre u£enie. Niektorí autori v tomto smere hovoriao �proximálnom formatívnom hodnotení� alebo o �na diskurze zaloºenomhodnotení�.Formatívne hodnotenie v prírodný h vedá h je aktuálnou otázkou rie-²enou aj v európskom projekte SAILS, ktorý si kladie za ie© pripravi´u£ite©a na to, aby bol s hopný hodnoti´ výsledky bádate©ského vyu£ova-nia sp�sobom primeraným tejto vyu£ova ej metóde. V príspevku predsta-víme nástroj na rozvíjanie zru£nosti kladenia správny h otázok, ktorý jevhodný pre ²tudentov u£ite©stva matematiky.Tento príspevok vznikol s podporou VEGA 1/1331/12 a VVGS-2013-119.Kontakt: RNDr. Veronika Hube¬ákováÚstav matemati ký h viedPrírodovede ká fakulta UPJ�Jesenná 5, 040 01 Ko²i ee-mail: veronika.hubenakova�student.upjs.sk33

Konferen ia slovenský h matematikovProjekt SCIENTIX II je príleºitos´spolupra ova´ v komunite európsky h u£ite©ovZuzana ChristozovaSCIENTIX je projekt a zárove¬ portál Európ-skej komisie (www.s ientix.eu), na výmenu skú-seností, zdie©anie príkladov dobrej praxe a ²íre-nia informá ií z oblasti výuky tzv. STEM pred-metov (S ien e, Te hnology, Engeneering, Mat-hemati s), predmetov zameraný h na prírodo-vedné a odborné vzdelávanie v Európe. Jeho ie-©om je systematizá ia vzdeláva í h materiálov avede ký h ²túdií, ktoré sú výstupmi európsky hprojektov zameraný h na prírodné vedy, ktoré boli realizované za posled-ný h 7 rokov alebo práve prebiehajú. Hlavne u£itelia matematiky, fyziky,biológie, hémie a te hni ký h predmetov tu nájdu mnoho in²piratív-ny h digitálny h zdrojov vo via erý h európsky h jazyko h. Na portálisú zhromaºdené materiály, ktoré predstavujú skúsenosti z implementá ieinovatívny h metód vzdelávania, popularizá ie prírodný h a te hni ký hpredmetov - u£ebné texty, prezentá ie, videá a experimenty z moderný hdynami ky rozvíjajú i h sa vedný h oblastí ako napr. nanote hnológie, in-formatika, mobilné te hnológie. . . U£itelia zaregistrovaní na portáli majúmoºnos´ zú£ast¬ova´ sa na medzinárodný h workshopo h, letný h ²ko-lá h, konferen iá h a nájs´ zaujímavú in²pirá iu pre svoju prá u. V sú£as-nosti sa uskuto£¬ujú vzdeláva ie online podujatia v European S hoolnetA ademy.Kontakt: Ing. Zuzana ChristozovaSpojená ²kola Martin�ervenej armády 25, 03601 Martine-mail: hristozova�gmail. om34

Jasná pod Chopkom, 20. � 23. november, 2014Trigonometri ké funk ie a i h zov²eobe neniaz poh©adu diferen iálny h rovní Jaroslav Jaro²Vý hodiskom predná²ky je fakt, ºe klasi ké trigonometri ké funk ie sínusa kosínus je moºné de�nova´ ako ²pe iálne rie²enia lineárnej diferen iálnejrovni e y′′ + y = 0 sp¨¬ajú e za£iato£né podmienky y(0) = 0, y′(0) = 1,resp. y(0) = 1, y′(0) = 0. Takýto prístup nielenºe umoº¬uje jednodu- ho a elegantne dokáza´ známe trigonometri ké vzor e, ale aj de�nova´r�zne zov²eobe nenia funk ií sínus a kosínus, ke¤ generujú a lineárna di-feren iálna rovni a druhého rádu je nahradená kvázilineárnou rovni ou,diferen iálnymi rovni ami vy²²í h rádov, rovni ami s Laguerreovými de-rivá iami, £i frak ionálnymi diferen iálnymi rovni ami.Cie©om predná²ky je tieº ukáza´, ºe zov²eobe nené trigonometri kéfunk ie majú zaujímavé apliká ie napr. v botanike (Gielisov super-vzore )a v astronómii (geometria ²pirálový h galaxií s prie£kou).Kontakt: prof. RNDr. Jaroslav Jaro², CS .Katedra matemati kej analýzy a numeri kej matematikyFakulta matematiky, fyziky a informatikyUniverzita Komenského v BratislaveMlynská dolina, 842 48 Bratislavae-mail: jaros�fmph.uniba.sk

35

Konferen ia slovenský h matematikovEye-tra king approa h to resear hon sto hasti graphs solvingIreneusz Kre h, Roman RosiekThe arti le presents the results of resear h involving the use of eyetra -king te hniques to re ord and des ribe the strategy of analysis sto hasti graphs in the form of game boards. The experiment was ondu ted in agroup of 50 students of mathemati s. Resear h makes some suggestionsfor design and deployment of graphs and graphi al omposition of games.The studies involving the eyetra king analysis of re ords s anpaths, grid-maps and heatmaps of respondents, indi ate that very important is thedesign of the game board. The subje ts had a tenden y to observe a longverti al pie es of boards. If the observed obje ts were lo ated in the sameverti al line, that more time was devoted to these fragments, whi h werelo ated above. As it is evident, observations of obje ts were started fromthe left. The results are an indi ation for further testing. In future studieswill be arried out analysis of the game boards Penney type, in whi h thegeometri symmetry is disturbed (sto hasti symmetry, regardless of thegeometri stru ture of the board, will always be preserved).Kontakt: dr. Ireneusz Kre hInstitute of Mathemati sPedagogi al University of Cra owul. Pod hor¡»y h 2, 30-084 Kraków, Polande-mail: ikre h�up.krakow.pldr. Roman RosiekInstitute of Physi sPedagogi al University of Cra owul. Pod hor¡»y h 2, 30-084 Kraków, Polande-mail: rosiek�up.krakow.pl36

Jasná pod Chopkom, 20. � 23. november, 2014Bilingválne slovensko-angli ké vyu£ovaniematematiky v niº²om sekundárnom vzdelávaní.Návrh u£ebného materiálu k temati kému elkuo uhlo h v trojuholníko hZuzana Na²ti káAktuálny �tátny vzdeláva í program kladie na absolventov základný h²k�l poºiadavku, aby dokázali �primerane komunikova´ v materinskom advo h udzí h jazyko h�, a sú£asne aby boli sp�sobilí �uplat¬ova´ základmatemati kého myslenia�, aplikova´ �matemati ké myslenie na rie²enieprakti ký h problémov v kaºdodenný h situá iá h�, pouºíva´ �matema-ti ké modely logi kého a priestorového myslenia a prezentá ie (vzor e,modely, ²tatistika, diagramy, grafy, tabu©ky� (�VP, Prílohy: MatematikaISCED 2, Angli ký jazyk ISCED 2 - úrovne A1, A2; 2010). V súvislostis týmito poºiadavkami sa £oraz via stretávame s bilingválnym vzdeláva-ním nielen na gymnáziá h, ale uº aj na základný h ²kolá h. Príprava kva-litného dvojjazy£ného u£ebného materiálu je jedna z mnoºstva podmie-nok, ktoré treba zabezpe£i´, aby boli v bilingválnom vyu£ovaní primeranerozvíjané matemati ké kompeten ie v obo h vyu£ova í h jazyko h, bezuprednost¬ovania rozvoja jazykový h kompeten ií. Vy hádzajú z kogni-tívnej teórie bilingvizmu pod©a Colina Bakera (2001) o tzv. analógii ©adov- ov a modeli spolo£nej základnej sp�sobilosti, a z teórie interak ionistov oosvojovaní jazykov (Lightbown - Spada, 2006), je metodologi ký prístupIntegrovaného vyu£ovania odborný h predmetov a udzieho jazyka, známypod akronymom CLIL; (Mehisto - Marsh - Frigols, 2008; Menzlová, 2012;Pokriv£áková a kol. 2008, Pokriv£áková, 2013) povaºovaný za perspek-tívny aj v oblasti slovensko-angli kého vyu£ovania matematiky. Na bázeuvedený h vý hodísk prebieha v sú£asnosti príprava u£ebný h materiálov,ktorý h pouºite©nos´ a ú£innos´ bude v praxi overovaná v ¤al²í h etapá hvýskumu.Kontakt: Mgr. Zuzana Na²ti káKatedra matematiky, FPV UKF v NitreTr. A. Hlinku 1, 949 74 Nitrae-mail: zuzana.nasti ka�ukf.sk37

Konferen ia slovenský h matematikovPrira¤ovanie ºiakov do krúºkov - matemati kéa algoritmi ké otázkyEva O e©ákováPredstavme si entrum vo©ného £asu, ktoré ponúka mnoºstvo rozmani-tý h aktivít (krúºkov) na vo©ný £as. Kaºdý krúºok má obmedzený po£etmiest (kapa itu) a ú£astní ky poplatok. Kaºdý ºiak má ur£itý rozpo£et,ktorý m�ºe minú´ na krúºky. Zárove¬ predpokladáme, ºe niektoré krúºkysa mu pá£ia via a iné menej. Cie©om je nájs´ priradenie detí do krúºkovtak, aby nikto neprekro£il svoj rozpo£et, ºiaden krúºok neprekro£il svojukapa itu a aby kaºdé die´a bolo £o moºno najspokojnej²ie. Ukáºeme, akoje moºné pomo ou matemati ký h metód modelova´ popísanú situá iu ajej podobné. Predvedieme nieko©ko algoritmov a odpovieme na nieko©kozaujímavý h otázok: Ako zisti´, £i nejaké priradenie sp¨¬a stanovené pod-mienky? Ako nájs´ aspo¬ jedno také priradenie? Je moºné priradi´ v²etkydeti na aspo¬ jeden krúºok? Ko©ko najvia detí je moºné priradi´? Ko©konajmenej krúºkov treba otvori´?Referen ie[1℄ K. Ce hlárová, P. Eirinakis, T. Fleiner, D. Magos, I. Mourtos, E. Pot-pinková, Pareto optimality in many-to-many mat hing problems,Dis rete Optimization, 2014, Pages 160-169.Kontakt: RNDr. Eva O e©ákováÚstav matemati ký h viedPrírodovede ká fakulta UPJ�Jesenná 5, 040 01 Ko²i ee-mail: eva.o elakova�student.upjs.sk38

Jasná pod Chopkom, 20. � 23. november, 2014O klamné intui i a dal²í h radoste hmatematikova ºivotaLubo² Pi kJedná se o malé (a místy nep°íli² váºné) zamy²lení nad postavením ma-tematiky (a matematik·) v moderním sv¥t¥ a v kontextu na²í usp¥ hanédoby. Na nep°íli² uspo°ádané posloupnosti rozli£ný h p°íklad· a post°eh·ilustrujeme, jak je matematika vnímána lai kou ve°ejností a jak interagujes n¥kterými jinými dis iplínami. Budou uvedeny p°íklady vyuºívání (azneuºívání) matematiky politiky, podvodníky, um¥l i i lai kou ve°ejností.Zvlá²tní pozornost bude v¥nována otázkám v¥de ké (zejména matema-ti ké a fyzikální) intui e a jistým jejím úskalím. Klamavost intui e budedoloºena na p°íklade h úloh, které svád¥jí (a le koho svedly) k nesprávným°e²ením.Kontakt: prof. RNDr. Lubo² Pi k, CS .Katedra matemati ké analýzyMatemati ko-fyzikální fakulta UK PrahaSokolovská 83, 186 75 Praha 8 - Karlín, �Re-mail: pi k�karlin.m�. uni. z

39

Konferen ia slovenský h matematikovOptimization via dire t sear hPeter Ri htarikOptimization algorithms are iterative pro edures for �nding an appro-ximate minimizer of a fun tion of several variables. Countless pra ti alproblems an be solved using su h algorithms; for instan e: image deno-ising, spam lassi� ation, fraud dete tion, book re ommendation, bridge onstru tion, signal re onstru tion, portfolio sele tion, arbitrage dete tionand webpage ranking.In this talk I will des ribe a very simple optimization algorithm (asimpli�ed variant of what is known as the `dire t sear h method') basedon fun tion evaluations only. In parti ular, the algorithm works with a�xed set of dire tionsD and maintains a stepsize parameter alpha. In ea hiteration, the algorithm is allowed to take a step of length alpha along oneof the dire tions in D. If su h a step leads to a �su� ient de rease� of thefun tion, the step is taken. Otherwise, the method stays in the urrentpoint and the stepsize is halved. The pro ess is repeated. That's it!I will explain that the method is able to �nd an approximate lo alminimum of any su� iently smooth fun tion. Moreover, it is possible towrite down an upper bound on the number of fun tion evaluations neededto obtain a solution of any given a ura y - bounds of this type are alled` omplexity results'. I will explain in detail what the bound means and willalso sket h the mathemati s used in the analysis. The results are basedon joint work with Jakub Kone£ný (University of Edinburgh).Kontakt: Peter Ri htarik, PhD.S hool of Mathemati s, University of EdinburghJames Clerk Maxwell Buildinge-mail: peter.ri htarik�ed.a .uk40

Jasná pod Chopkom, 20. � 23. november, 201440th anniversary of lasses fo used on mathe-mati s at Gymnázium, 9 Po²tová Str., Ko²i eMarián Ruºi£kaGymnázium at 9 Po²tová Str. in Ko²i e, whi h has been lo ated in ahistori al building in the entre of the ity sin e its foundation in thea ademi year 1969/70, has been proud to be alled �mathemati al� forfour de ades. It was well-earned thanks to the quality and professionalwork of tea hers and their students in the lasses fo used on mathemati s,nowadays lasses with extended tea hing of mathemati s. Students of the�rst mathemati al lass and their tea her of mathemati s and a lasstea her as well RNDr. Katarína Grünmannová were at the in eption ofthis tradition in the a ademi year 1974/75 and started the history of themathemati al gymnázium - in that time one of the two in Slovakia.The aim of establishing these spe ial lasses was to support studentsgifted at mathemati s and provide them with the possibility of inten-sive development of their talent, fo us them on the study at universitieswhere mathemati s is a dominant subje t and to improve the results ofthe Slovak national team at International Mathemati s Olympiad. The�rst tea hers of mathemati s at these lasses were RNDr. K. Grünman-nová and Mi hal �£erbák. The guarantor of the quality assigned by theMinistry of Edu ation was professor RNDr. Ernest Ju ovi£ from the Na-tural S ien e Fa ulty of UPJ� in Ko²i e. The �rst external head of theMathemati s Olympiad Club was prof. RNDr. Lev Bukovský, DrS . andhe was followed by other tea hers of the fa ulty. Within the four de a-des there were generations of s hool-leavers and we are pleased to saythat many of them de ided to follow their tea hers in their profession andare university tea hers at the Natural S ien e Fa ulty of UPJ� in Ko²i enowadays, namely RNDr. Jozef Jirásek, PhD.; RNDr. Ivan �eºula, CS .;RNDr. Roman Soták, PhD.; RNDr. Stanislav Kraj£i, PhD.; RNDr. Vladi-mír Dan£ík, PhD., do . RNDr.Tomá² Madaras, PhD., RNDr. Igor Fabri iand others.Kontakt: RNDr. Marián Ruºi£kaGymnázium Po²tová 9 v Ko²i ia hPo²tová 9, 042 52 Ko²i ee-mail: Marian.Ruzi ka�gympos.sk41

Konferen ia slovenský h matematikovDidakti ký poten iál zdanlivo jednodu hejúlohy Mária Slaví£kováZada´ dobrú matemati kú úlohu na vyu£ova ej hodine v rám i motiva£nejfázy, alebo dobrú úlohu na zistenie vedomostí ºiaka sú náro£né úlohy naj-mä z h©adiska prípravy. Aby sme sa stále neopakovali a ne itovali r�znematemati ké zbierky, snaºíme sa £astokrát vymyslie´ vlastné úlohy, ktoréby boli na jednej strane pre ºiakov/²tudentov zaujímavé a na druhej stranenám povedali nie£o o úrovni i h matemati ký h vedomostí. Je tu samoz-rejme riziko nesprávny h, alebo nejasný h formulá ií, ale moºno právetieto nejednozna£nosti nám umoºnia lep²ie po hopi´ uvaºovanie na²i hºiakov/²tudentov.Odpor k slovným úlohám ako takým sa za£ína uº na prvom stupnizákladný h ²k�l a pre hodom do vy²²í h stup¬ov sa len stup¬uje. Aj vy-soko²kolá i - budú i u£itelia matematiky - sa hrozia via ako dvojslovného,prípadne jednoriadkového znenia úlohy, ktorú treba vyrie²i´. �ítanie s po-rozumením sa stáva ve©kým problémom (ako nasved£ujú napr. výsledkyPISA 2009). Je zaráºajú e, ºe ºia i sa £asto pýtajú �Na £o mi to kedy vºivote bude?�, no akonáhle dostanú na rie²enie komplexnú, slovne zadanúúlohu zo ºivota, ne h ú ju rie²i´, lebo �je tam prive©a textu�.V krátkom príspevku odprezentujeme zopár úloh s i h didakti kýmzámerom ako aj i h interpretá iou a rie²ením ²tudentov.Kontakt: PaedDr. Mária Slaví£ková, PhD.Fakulta matematiky, fyziky a informatikyUniverzita Komenského v BratislaveMlynská dolina, 842 48 Bratislavae-mail: slavi kova�fmph.uniba.sk42

Jasná pod Chopkom, 20. � 23. november, 2014Galileov poh©ad na nekone£no�tefan Tka£ik, Du²ana �tiberováV matematike poznáme 3 krízy, ktoré sp�sobilo nekone£no. Prvá kríza saodohrala v starovekom Gré ku a súvisela s nájdením úse£iek, ktoré bolinesúmerate©né. Bolo to v 5. storo£í pred n.l., ke¤ Hippasos z Metapontuobjavil ira ionálnos´. Ukázal, ºe nedá sa nájs´ spolo£ná mierka, ktorou bysme zmerali stranu ²tvor a a jeho uhloprie£ku. Tesne po ¬om pri²iel Ze-nón z Eley, ktorý prostrední tvom svoji h známy h apórií poprel aktuálnenekone£no. Druhú krízu sp�sobili objavením nekone£ne malý h veli£ín vdruhej polovi i 17. storo£ia Isaa Newton a G. Wilhem Leibniz. Tretiakríza sa spája s Georgom Cantorom a jeho d�kazom, ºe mohutnos´ mno-ºiny ra ionálny h £ísel je men²ia ako mohutnos´ mnoºiny reálny h £ísel.�astokrát sa zabúda na Galilea Galileiho a jeho poh©ady na neko-ne£no. Vo svojej knihe Dis orsi e dimostrazioni matemati he intorno adue nuove s ienze, ktorá vy²la v roku 1638, Galileo v jej prvej kapitoleopisuje te hniky, ako porovnáva´ po£et prvkov nekone£ný h mnoºín. Po-mo ou Aristotelovho kolesa ukazuje existen iu bijektívneho zobrazeniamedzi úse£kami r�zny h d¨ºok a tieº, ºe v priestore sú miera úse£ky ajedného bodu rovnaké. A ¤al²ie paradoxy nekone£na. Prvotným ie©omGalilea bolo ukáza´ protire£enie k tvrdeniu Aristotela: �as´ je vºdy men-²ia ako elok. Za²iel v²ak ove©a ¤alej, ako predpokladal a objavil novýpoh©ad na nekone£né mnoºiny. Cie©om príspevku bude oprá²i´ tieto prvépokrokové názory na pojem nekone£na, na ktoré nadviazal v roku 1873George Cantor.Kontakt: RNDr. �tefan Tka£ik, PhD.B . Du²ana �tiberováKatedra matematiky, PF KU v RuºomberkuHrabovská esta 1, 034 01 Ruºomberoke-mail: stefan.tka ik�ku.sk, stiberova�gmail. om43

Konferen ia slovenský h matematikov3 �lánky na aktuálne témyNa²a Jednota a dve storo£ni eBeloslav Rie£anUº z geogra� kej polohy Slovenska vidie´, ºe sa mu nemohli vyhnú´ ºiadnevýznamnej²ie prúdy vede ké, ani umele ké. A predsa, moderná slovenskámatematika neoplýva mnoºstvom okrúhly h výro£í vedú i h osobností.Cie©om nasledujú i h riadkov je upozorni´ na dve tohoro£né storo£ni eosobností, s ktorými som mal moºnos´ stýka´ sa pravidelne a po dlh²iudobu. A na tomto pozadí sa h em pozrie´ na minulos´, prítomnos´ abudú nos´ na²ej Jednoty. Presnej²ie jej matemati kej £asti.Pod©a dátumu narodenia, aj pod©a abe edy:Kornélia Kropiláková, rod. Kaliská (12. 1. 1914 Slovenská �up£a -24. 1. 1992 Bratislava),�tefan S hwarz (18. 5. 1914 Nové Mesto nad Váhom - 6. 12. 1996Bratislava).Obaja vy hádzali z na²i h medzivojnový h pomerov v Banskej Bys-tri i, resp. v Novom Meste nad Váhom, aby pokra£ovali v ²túdiu na Uni-verzite Karlovej v Prahe. Mal som ²´astie, ºe obaja ma prijímali. KornéliaKropiláková v r. 1950 do Gymnázia Andreja Sládkovi£a v Banskej Bys-tri i, �tefan S hwarz v r. 1958 na Katedru matematiky Slovenskej vysokej²koly te hni kej v Bratislave.V pä´desiaty h roko h 20. storo£ia urobila slovenská matematika pre-nikavý skok vpred. Boli tu dve entrá, z ktorý h ten pokrok vyºaroval.Jedno na Univerzite Komenského pod zá²titou Jura Hron a, druhé naSV�T pod vedením �tefana S hwarza. Ale tento vede ký rast mal svojepodhubie, v ktorom ex elovali takí stredo²kolskí profesori ako KornéliaKropiláková, re£ená Kora: v tom £ase sa ustanoviv²ia Matemati ká olym-piáda a rozvíjajú a sa Jednota £s. matematikov a fyzikov.�tefan S hwarz bol nielen vedú ou vede kou osobnos´ou, prvým slo-venským matematikom, ktorý prenikol do sveta, nielen neprekonate©nýmpedagógom, ale prejavil sa aj ako organizátor. V 60. roko h to v SAVvyvr holilo funk iou jej predsedu. Bol to nádejný £as elej £eskoslovenskej44

Jasná pod Chopkom, 20. � 23. november, 2014spolo£nosti. Tú slovenskú matemati kú nádej nezmaril ani ruský vpád vauguste 1968. Naopak, v r. 1969 vzniká tradí ia kaºdoro£ný h konferen- ií v Jasnej, aj Matemati kej sek ie JSMF. Obe in²titú ie zdruºujú takpopredný h ved ov, ako aj popredný h u£ite©ov matematiky. KornéliaKropiláková aj tu hrala nie nevýznamnú rolu. Dva roky bola podpredsed-ní£kou bratislavskej pobo£ky, ²tyri roky podpredsední£kou eloslovenskejmatemati kej sek ie.Pravda, Matemati ká sek ia JSMF, popritom, ºe zdruºovala k uºito£-nej komuniká ii i k ak iám ved ov a u£ite©ov, mala v 70. roko h e²te jednuneo enite©nú prednos´: zadrºiavala demokrati ké tradí ie. Tak vo©by jejorgánov sa konali kaºdé dva roky, vo vedú i h funk iá h bolo moºné zo-trva´ len 2 funk£né obdobia, a najmä na kandidátke bolo o tretinu via kandidátov, ako bolo volený h.Ne h mi je dovolené spomenú´ jeden dojímavý príbeh z tý h £ias. Vy-nikajú im funk ionárom bol Zdenko Vla hynský, viedol sek iu základný h²k�l. Ale £o sa nestalo? Raz pri²iel Zdenko na s h�dzu výboru. Oznámilnám, ºe pri normaliza£ný h previerka h dopadol zle, ºe ne h e, aby Jed-nota mala kv�li nemu problémy, a preto odstupuje z funk ie.Aj preto je slovenská matematika tam, kde je.A pamätajme: Historia - magistra vitae.Kontakt: prof. RNDr. Beloslav Rie£an, DrS ., dr. h. . mult.Katedra matematiky FPV UMBTajovského 40, 974 01 Banská Bystri aMatemati ký ústav SAV�tefánikova 49, 841 01 Bratislavae-mail: Beloslav.Rie an�umb.sk45

Konferen ia slovenský h matematikov4 Organizujeme. . .Sú´aº � O enu akademika �tefana S hwarza �Vyhlásenie sú´aºe:Slovenská matemati ká spolo£nos´, sek ia JSMF, vyhlasuje narok 2015 sú´aºO enu akademika �tefana S hwarzaPravidlá sú´aºe:1. Podanie prihlá²ky do sú´aºe adresova´ na predsedu SMS.2. Prihlá²ku podáva sú´aºia i alebo ©ubovo©né matemati ké pra oviskona Slovensku so súhlasom sú´aºia eho.3. Vek sú´aºia eho do 30 rokov v danom kalendárnom roku.4. Riadne £lenstvo v JSMF.5. Predloºenie jediného sú´aºného súboru vede ký h prá z matemati-ky.6. Sú´aºný súbor prá pozostáva z prá , z ktorý h kaºdá alebo bolapublikovaná v niektorom vede kom matemati kom £asopise alebo jepriloºené potvrdenie o prijatí na jej publikovanie.7. �iadna z predkladaný h prá nebola v minulosti sú£as´ou súboruprá , ktorý uº bol o enený v tejto sú´aºi.8. Náleºitosti prihlá²ky do sú´aºe: prihlá²ka, krátky ºivotopis, doklado £lenstve v JSMF, súbor sú´aºný h prá (2- krát).9. Uzávierka pre podanie prihlá²ok do sú´aºe: 30. jún 2015.10. Výbor SMS ustanoví komisiu pre vyhodnotenie sú´aºe a na základenávrhu tejto komisie odmení najlep²í h sú´aºia i h enami.11. Slávnostné vyhlásenie výsledkov bude na nasledujú ej Konferen iislovenský h matematikov v r. 2015.12. Ví´az sú´aºe má právo prednies´ predná²ku o svoji h výsledko h vprograme Konferen ie slovenský h matematikov v r. 2015.46

Jasná pod Chopkom, 20. � 23. november, 2014Sú´aº � O enu Petra Pavla Barto²a �Vyhlásenie sú´aºe:Slovenská matemati ká spolo£nos´, sek ia JSMF, vyhlasuje narok 2015 sú´aºO enu Petra Pavla Barto²aPravidlá sú´aºe:1. Podanie prihlá²ky do sú´aºe na adresu predsedu SMS.2. Prihlá²ku podáva sú´aºia i alebo ©ubovo©né matemati ké pra oviskona Slovensku so súhlasom sú´aºia eho.3. Pedagogi ká prax teraz alebo v minulosti vo výu£be matematikyna strednej alebo základnej ²kole minimálne po£as tro h ²kolský hrokov.4. Riadne £lenstvo v JSMF.5. Predloºenie jediného sú´aºného súboru vede ký h prá z matemati-ky.6. Sú´aºný súbor prá pozostáva z oblasti vyu£ovania matematiky.Jedná sa o prá e vede kého harakteru z oblasti vyu£ovania mate-matiky, alebo o u£ebni e a iné u£ebné texty pre základné a stredné²koly, alebo o prá e popularizujú e matematiku pokia© súvisia s jejvyu£ovaním, a pod.7. �iadna z predkladaný h prá nebola v minulosti sú£as´ou súboruprá , ktorý uº bol o enený v tejto sú´aºi.8. Náleºitosti prihlá²ky do sú´aºe: prihlá²ka, krátky ºivotopis, doklado £lenstve v JSMF, súbor sú´aºný h prá (2-krát).9. Uzávierka pre podanie prihlá²ok do sú´aºe: 30. jún 2015.10. Výbor SMS ustanoví komisiu pre vyhodnotenie sú´aºe a na základenávrhu tejto komisie odmení najlep²í h sú´aºia i h enami.11. Slávnostné vyhlásenie výsledkov bude na nasledujú ej Konferen iislovenský h matematikov v r. 2015.12. Ví´az sú´aºe má právo prednies´ predná²ku o svoji h výsledko h vprograme Konferen ie slovenský h matematikov v r. 2015.47

Konferen ia slovenský h matematikovPoznámky:

48

Jasná pod Chopkom, 20. � 23. november, 2014

49

Za obsahovú a jazykovú stránku príspevkovzodpovedajú autori.DOVIDENIA V ROKU 2015OPÄ� V JASNEJ,PRIATELIA!

Editori: Mariana Mar£oková, Mária Kúdel£íkováTla£: EDIS � vydavate©stvo �ilinskej univerzity,�ilina, november 2014Vydanie: prvéNáklad: 150 výtla£kovISBN: 978-80-554-0946-7Vydanie zborníka bolo �nan£ne podporenégrantom KEGA £. 057 �U - 4/2012Vytla£ené z dodaný h predl�h