slope deflexion

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CAPÍTULO DEFORMACIONES ANGULARES CHRISTIAN OTTO MOHR (08/10/1835 02/10/1918) Nació en una familia de terratenientes en Wesselburen en el Holstein Alemania. Entró en el Instituto Politécnico Hannover, a la edad de 16 años y se graduó con una licenciatura en 1855. En 1868 Otto Mohr se convirtió en profesor de Ingeniería Mecánica en la Polytechnicum Stuttgart. Otto Mohr fue uno de los ingenieros más laureados de Europa en el siglo 19. En 1868, a la edad de 32 años, Mohr fue invitado a ser el profesor de ingeniería mecánica en la Polytechnicum Stuttgart. A pesar de un parto sin pulir, sus conferencias fueron bien recibidas por los estudiantes debido a su simplicidad, claridad y concisión. Ser a la vez teórico y la práctica de ingeniería civil, Mohr sabía de su tema a fondo y siempre fue capaz de traer algo fresco e interesante para la atención de sus estudiantes. En 1873, Mohr se trasladó a la Polytechnicum Dresde, y enseñó allí hasta la edad de 65 años (1900). Después de su retiro, se quedó en el área de Dresden, donde continuó su labor científica hasta su muerte. Los Teoremas de Mohr representan un valioso aporte para el cálculo de deformaciones en estructuras es así que tenemos lo siguiente: 1er. Teorema: “El ángulo comprendido entre las tangentes en dos puntos cualesquiera de la línea elástica, es igual al área total del trozo correspondiente del diagrama de momentos flectores, dividido por el módulo de rigidez “. 2do. Teorema: “La ordenada de un punto de la elástica, respecto a la tangente en otro punto, es igual al momento estático de la superficie de momentos flectores, comprendida entre las ordenadas de ambos puntos, respecto al punto primero, dividido por el módulo de rigidez E.I ". FUENTE: www.pacific.math.ualberta.ca VIII

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Page 1: Slope Deflexion

C A P Í T U L O

DEFORMACIONES ANGULARES

CHRISTIAN OTTO MOHR (08/10/1835 – 02/10/1918)

Nació en una familia de terratenientes en Wesselburen en el

Holstein Alemania. Entró en el Instituto Politécnico Hannover,

a la edad de 16 años y se graduó con una licenciatura en

1855. En 1868 Otto Mohr se convirtió en profesor de

Ingeniería Mecánica en la Polytechnicum Stuttgart. Otto

Mohr fue uno de los ingenieros más laureados de

Europa en el siglo 19.

En 1868, a la edad de 32 años, Mohr fue invitado a ser

el profesor de ingeniería mecánica en la Polytechnicum

Stuttgart. A pesar de un parto sin pulir, sus

conferencias fueron bien recibidas por los estudiantes

debido a su simplicidad, claridad y concisión. Ser a la

vez teórico y la práctica de ingeniería civil, Mohr sabía de

su tema a fondo y siempre fue capaz de traer algo fresco e

interesante para la atención de sus estudiantes. En 1873,

Mohr se trasladó a la Polytechnicum Dresde, y enseñó allí hasta

la edad de 65 años (1900). Después de su retiro, se quedó en el área de Dresden,

donde continuó su labor científica hasta su muerte.

Los Teoremas de Mohr representan un valioso aporte para el cálculo de

deformaciones en estructuras es así que tenemos lo siguiente:

1er. Teorema:

“El ángulo comprendido entre las tangentes en dos puntos cualesquiera de la línea

elástica, es igual al área total del trozo correspondiente del diagrama de momentos

flectores, dividido por el módulo de rigidez “.

2do. Teorema:

“La ordenada de un punto de la elástica, respecto a la tangente en otro punto, es igual al

momento estático de la superficie de momentos flectores, comprendida entre las

ordenadas de ambos puntos, respecto al punto primero, dividido por el módulo de

rigidez E.I ".

FUENTE: www.pacific.math.ualberta.ca

VIII

OII

Page 2: Slope Deflexion

ING. RONALD SANTANA TAPIA

VIII - 2

INTRODUCCIÓN

El método pendiente-deflexión (PD) representa el punto de inicio en la evolución del

método matricial de rigidez como este es conocido actualmente.

El método pendiente-deflexión “PD” puede ser utilizado para analizar todo tipo de vigas

y pórticos estáticamente indeterminados. Las ecuaciones clásicas de pendiente-

deflexión son derivadas por medio del teorema del momento-área considerando la

deformación causada sólo por los momentos de flexión y despreciando los debidos por

fuerzas de cortantes y axiales. Básicamente, un número de ecuaciones simultáneas son

planteadas con incógnitas como las rotaciones angulares y los desplazamientos de cada

nodo. Una vez que estas ecuaciones han sido solucionadas, los momentos en todos los

nudos pueden ser determinados. El método pendiente-deflexión “PD” es simple de

explicar y aplicar ya que se basa en el equilibrio de los nudos y de los elementos. El

método pendiente-deflexión “PD” clásico es enseñado en cursos elementales de

“ANÁLISIS ESTRUCTURAL I” y empleados en el diseño estructural porque este provee

una perspectiva clara y completa de cómo los momentos internos y las deformaciones

están interrelacionados, conceptos que son esenciales en la ingeniería estructural.

OBJETIVOS

Identificar adecuadamente las variables, los casos y las restricciones para las

estructuras a analizar para luego resolver correctamente las estructuras que

cumplan todas las condiciones y requisitos previos en los que se aplicará el método,

para de esta manera lograr llevar a cabo un buen y adecuado análisis.

Identificar adecuadamente las ecuaciones y demás variables que se han de utilizar

durante la resolución de las estructuras planteadas para de esta manera tener la

lucidez adecuada y solucionar correctamente los problemas del capítulo.

Interpretar adecuadamente los resultados obtenidos por el método y plasmarlos

adecuadamente el los diagramas correspondientes (de momentos flectores y

fuerzas cortantes) para su posterior utilización en trabajos de diseño de concreto

armado, diseño en acero, entre otras aplicaciones.

Dar la respectiva y adecuada solución a los problemas propuestos del capítulo en

base al conocimiento adquirido en la parte teórica y práctica del capítulo que a

continuación se procede a desarrollar.

Page 3: Slope Deflexion

DEFORMACIONES ANGULARES

VIII - 3

TEOREMA DE LAS DEFORMACIONES ANGULARES

(SLOPE – DEFLECTION)

(Pendiente – Deflexión)

El método pendiente-deflexión se basa en expresar los momentos de los extremos de

los miembros de estructuras estáticamente indeterminadas en función de los giros y

deflexiones observadas en los nudos, teniendo como supuesto que si bien los nudos

pueden girar o deflectarse, los ángulos entre los elementos que convergen en el nudo

se mantienen constantes.

RESTRICCIONES:

Este método considera sólo el efecto de la flexión sobre los elementos y omite el efecto

del corte y axial.

Este método es adecuado para el análisis de estructuras pequeñas, corresponde a un

caso especial del método de las deformaciones o rigideces y proporciona una muy

buena aproximación inicial para presentar la formulación matricial del método de la

rigidez.

VENTAJAS:

Este método presenta la ventaja de proporcionar de manera inmediata un primer esbozo

de la deformada.

Figura 8.1

Page 4: Slope Deflexion

ING. RONALD SANTANA TAPIA

VIII - 4

Figura 8.2

SE CALCULA:

Momentos flectores en los extremos de las barras deseadas y/o analizadas.

LAS VARIABLES:

Las principales variables utilizadas durante el desarrollo del curso son los

desplazamientos. Existen dos tipos de desplazamientos desconocidos: angulares y

lineales. Las incógnitas angulares son los ángulos de giro de los nudos rígidos del

sistema analizado. Las incógnitas lineales son los desplazamientos lineales de los

nudos del sistema.

APLICACIÓN:

Sea una parte de la viga que sometida a un sistema de cargas cualquiera.

Sean (i) y (j) dos secciones cualesquiera de la viga de sección constante con una

longitud “Lij” y un momento de inercia de la sección igual “Iij”.

En la resolución por este método se consideran como incógnitas (variables) los

desplazamientos en los nudos de la estructura. A fin de presentar la ecuaciones que

definen este método considere el siguiente elemento estructural ubicado entre los

puntos “i y j” con las constantes ya descritas así tenemos la siguiente gráfica.

Observación:

Para la aplicación del método se asume para todos los efectos en sentido horario

POSITIVO.

Page 5: Slope Deflexion

DEFORMACIONES ANGULARES

VIII - 5

Figura 8.3

OBJETIVO PRINCIPAL:

Calcular los momentos en los extremos:

Figura 8.4

En donde “Mij y Mji” son los momentos finales a determinar mediante el método.

DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO:

Para cumplir con el objetivo trazado primero debemos identificar adecuadamente

nuestras variables a partir del siguiente gráfico:

Figura 8.5

Page 6: Slope Deflexion

ING. RONALD SANTANA TAPIA

VIII - 6

El método consiste en determinar “ del elemento en función de las cargas

(Momentos de Empotramiento Perfecto:

) y de las deformaciones producidas por

estas “ .Es así que las deformaciones (giros y desplazamientos) utilizadas por

el método son las siguientes:

Desplazamiento transversal relativo del extremo (j) respecto del extremo (i)

Rotación de la barra “i j”

La manera o forma de relacionar las deformaciones y desplazamientos ya mencionadas

con los momentos finales a determinar (“Mij y Mji”) es mediante las ecuaciones de

Maney que presentamos a continuación.

ECUACIONES DE MANEY:

( )

( )

En donde:

Momentos flectores con signos de Maney

Momentos de empotramiento perfecto (MEP)

Giros en (i) y (j) respectivamente

Deformación angular (ROTACION) de la barra “i j”

Estas ecuaciones se utilizarán cuando sean conocidas las deformaciones: de

no ser así se recomienda trabajar con las expresiones simplificadas siguientes:

Rigidices relativas:

Page 7: Slope Deflexion

DEFORMACIONES ANGULARES

VIII - 7

Cambio de variable:

( )

( )

Cuando los nudos solamente giran más no desplazan, como es común en sistema de

vigas hiperestáticas, entonces:

Entonces las fórmulas simplificadas serían las siguientes:

( )

( )

DEMOSTRACIÓN:

Resolveremos por el Principio de Superposición de efectos, considerando 4 estados.

Estado “0”:

Momentos producidos por las cargas con extremos del elemento en la condición de

perfectamente empotrados.

Figura 8.6

Estado “1”:

M

j

ij

iMji

º

º

Page 8: Slope Deflexion

ING. RONALD SANTANA TAPIA

VIII - 8

Momentos producidos por el giro elástico del extremo empotrado (i)

Figura 8.7

Estado “2”:

Momentos producidos por el giro elástico del extremo empotrado (i).

Figura 8.8

Estado “3”:

Momentos producidos por la rotación de la barra o debido al desplazamiento transversal

relativo del extremo (j) respecto del extremo (i).

Figura 8.9

Superponiendo:

( )

ji

Page 9: Slope Deflexion

DEFORMACIONES ANGULARES

VIII - 9

( )

Resolviendo el estado: 1

Aplicando la ecuación de los 3 momentos:

Figura 8.10

( )

(

)

Tramo: (0) – (1) – (2)

( ) ( ) (

)

( )

Tramo: (1) – (2) – (3)

( ) ( ) ( )

( )

De (1) y (2):

Page 10: Slope Deflexion

ING. RONALD SANTANA TAPIA

VIII - 10

Figura 8.11

Por lo tanto:

Figura 8.12

Resolviendo el estado: 2

Por analogía:

Resolviendo el estado: 3

Figura 8.13

Tramo: (0) – (1) – (2)

( ) ( ) (

)

M ji

M ij

i j Para el método

Page 11: Slope Deflexion

DEFORMACIONES ANGULARES

VIII - 11

( )

Tramo: (1) – (2) – (3)

( ) ( ) (

)

( )

De (3) y (4):

Figura 8.14

Por lo tanto:

Page 12: Slope Deflexion

ING. RONALD SANTANA TAPIA

VIII - 12

Figura 8.15

Reemplazando en (I) y (II):

(

)

( )

(

)

( )

Ecuaciones de Maney:

( )

( )

Page 13: Slope Deflexion

DEFORMACIONES ANGULARES

VIII - 13

GRADO DE HIPERGEOMETRIA:

También llamado GRADO DE INDETERMINACIÓN CINEMÁTICA. Es esta una

propiedad muy importante para el análisis de toda estructura; el grado de

hipergeometría se basa en las variables ya descritas anteriormente es así que juega un

papel importante dentro del análisis de los sistemas analizados.

Básicamente está dado por el número de giros y desplazamientos desconocidos de los

nudos de la estructura.

Estos giros y desplazamientos son las incógnitas que se calcularan por este método y

consecuentemente usando las expresiones planteadas anteriormente, los momentos

flectores con signos de Maney y los momentos flectores finales.

NOTA:

Se puede mencionar como algo resaltante que no se consideran el giro y

desplazamientos en el extremo libre del volado.

EJEMPLO:

Determinar del grado de hipergeometría del siguiente sistema mostrado a continuación

considerando para 1-2 y 3-4 un EI constante y para la barra 2-3 considerar EI=∞.

Figura 8.16

Page 14: Slope Deflexion

ING. RONALD SANTANA TAPIA

VIII - 14

SOLUCIÓN:

Como se puede apreciar en la gráfica el efecto de la fuerza externa que actúa sobre el

nudo 2 provocará un desplazamiento lateral de todo el sistema en conjunto que a la vez

provocará la rotación de ciertos nudos, es así que tenemos la siguiente gráfica para un

mejor entendimiento:

Como podemos apreciar en la gráfica la fuerza externa provoca solo un desplazamiento

lateral (y ángulos de giro en 1 y 4; en los nodos 2 y 3 no existe ángulos de giro

alguno debido a la naturaleza de la barra 2-3.Es así que tenemos:

GRADO DE HIPERGEOMETRÍA = 3er. GRADO (

DIAGRAMA FINAL DE MOMENTO FLECTOR

Todo problema o sistema analizado se resuelve de forma descompuesta, entonces será

necesario graficar previamente el diagrama de momentos en los nudos. Los momentos

en los nudos se determinarán por las fórmulas anteriores ya descritas, para los valores

de los desplazamientos determinados del sistema de ecuaciones.

En los tramos, donde existen cargas externas, será necesario agregar al diagrama de

momentos en los nudos, el diagrama de momentos debido a la acción de las cargas

externas, como si se tratase de una viga simplemente apoyada sometida a dichas

cargas.

DIAGRAMA FINAL DE FUERZA CORTANTE

Para graficar el diagrama de fuerza cortante, se utiliza la dependencia diferencial de la

fuerza cortante en base al momento flector.

Page 15: Slope Deflexion

DEFORMACIONES ANGULARES

VIII - 15

En el tramo, donde el diagrama de momento flector es lineal, el valor numérico de la

fuerza cortante se determina como la tangente del ángulo de desviación del diagrama

con el eje de la barra.

En el tramo, donde el diagrama es curvo, la fuerza cortante puede ser calculada como la

suma algebraica de dos fuerzas cortantes.

DIAGRAMA FINAL DE FUERZA AXIAL

Las fuerzas axiales o normales, se determinarán a partir de la condición de equilibrio de

los nudos del sistema analizado. Para ello, a los nudos se les aplicará sus cargas

externas, las fuerzas cortantes, así como las fuerzas axiales correspondientes.

Los nudos se deben de analizar en forma consecutiva, de tal manera, que en cada uno

de ellos no debe haber más de dos fuerzas axiales desconocidas.

PARTICULARIDADES DEL CÁLCULO DE PÓRTICOS SIMÉTRICOS

En los pórticos simétricos, sometidos a cargas simétricas, sólo surgirán fuerzas y

deformaciones simétricas. En base a ello, para su cálculo se deben de tomar

desplazamientos simétricos desconocidos. Los desplazamientos que permiten

deformaciones anti simétricas del sistema analizado, consecuentemente serán nulos.

Si las cargas son anti simétricas, entonces los desplazamientos desconocidos se deben

de tomar también anti simétricos. Los desplazamientos que permiten una deformación

simétrica, también son nulos.

Si sobre el pórtico actúa una carga general, entonces será necesario dividirlo en

componentes simétricos y anti simétricos. El cálculo del pórtico ante cada componente

se realiza en forma separada y el diagrama final resulta como la suma de ambos.

EJEMPLO N° 1:

Para el siguiente sistema de pórticos simétricos de acero, con cargas también simétricas

se pide bosquejar las deformaciones y desplazamientos que sufre la estructura como

consecuencia de las cargas aplicadas.

Page 16: Slope Deflexion

ING. RONALD SANTANA TAPIA

VIII - 16

Figura 8.17

SOLUCION:

El pórtico tiene siete nudos rígidos, en consecuencia, los ángulos de giro desconocidos

son 6Debido a la simetría del pórtico y de las cargas externas, entonces

la deformación del pórtico también será simétrica, esto es:

Esta manera, producto de la simetría del pórtico tenemos tres ángulos de giro

desconocidos Nd=3:

Para determinar el número de desplazamientos lineales desconocidos, elaboramos el

esquema del pórtico con rótulas (introduciendo articulaciones en todos los

empotramientos y nudos rígidos porque se trata del análisis de una estructura de acero)

Los esquemas de desplazamiento de cada nudo del pórtico se muestran en la siguiente

figura:

Page 17: Slope Deflexion

DEFORMACIONES ANGULARES

VIII - 17

Del gráfico anterior se puede concluir que debido a la naturaleza simétrica del pórtico

analizado en dimensiones y cargas se pueden notar desplazamientos laterales debido a

la acción de las cargas distribuidas; se puede mencionar también que 7=

y como consecuencia de esto podemos decir que:

En consecuencia, el pórtico indicado tiene cuatro incógnitas:

y

es así que exige la formulación y solución de un sistema de cuatro ecuaciones.

RIGIDEZ LATERAL:

Se entiende por rigidez lateral a la propiedad de resistencia de los elementos a la

deformación lateral.

Page 18: Slope Deflexion

ING. RONALD SANTANA TAPIA

VIII - 18

Donde:

EJEMPLO Nº 2:

Hallar la rigidez lateral de cada columna del sistema mostrado en la figura:

Figura 8.18

Solución:

P Pe e

h

L

Page 19: Slope Deflexion

DEFORMACIONES ANGULARES

VIII - 19

1º. De las ecuaciones de Maney se tiene:

M 1-2, M 2-1

( ) =

(

) ………………. (1)

( ) =

(

)…….…………..…. (2)

2º. De la ecuación (1) se tiene :

(

)

(

)

3º. Reemplazando en la ecuación (2):

(

) =

(

) =

4º. Finalmente tenemos para el elemento 1-2:

EJEMPLO Nº 3

Hallar la rigidez lateral de cada columna del sistema mostrada en la siguiente figura:

Page 20: Slope Deflexion

ING. RONALD SANTANA TAPIA

VIII - 20

Figura 8.19

SOLUCIÓN:

1º. De las ecuaciones de Maney se tiene:

M 1-2, M 2-1

( ) =

(

)

( ) =

(

)

Page 21: Slope Deflexion

DEFORMACIONES ANGULARES

VIII - 21

2º. Así tenemos para el elemento 1-2:

Page 22: Slope Deflexion

ING. RONALD SANTANA TAPIA

VIII - 22

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

PROBLEMA 8.1

De la estructura mostrada empotrada en uno de sus extremos y volado en el otro

extremo como muestra la figura determinar los momentos flectores en los extremos de

los elementos y dibujar el DMF y DFC (EI=constante).

Figura 8.20

SOLUCIÓN:

1º. Grado de Hipergeometría 5º GRADO ( )

2º. Rigideces

Page 23: Slope Deflexion

DEFORMACIONES ANGULARES

VIII - 23

m.c.m. = 12

3º. M.E.P.

4º. Deformada:

m.c.m. = 6

5º. Ecuación de barras:

( )

( )

( )

Page 24: Slope Deflexion

ING. RONALD SANTANA TAPIA

VIII - 24

( )

( )

( )

( )

( )

( )

6º. Equilibrio de nudos:

Nudo:

( )

Nudo:

( )

( )

Nudo:

( )

Page 25: Slope Deflexion

DEFORMACIONES ANGULARES

VIII - 25

De la estática: (Encontrados la 5ta ecuación)

Equilibrio Nudo:

( ) ( )

( )

De (1), (2), (3), (4) y (5):

7º. Momentos de Maney

Page 26: Slope Deflexion

ING. RONALD SANTANA TAPIA

VIII - 26

8º. Momentos flectores

9º. Isostatización

Page 27: Slope Deflexion

DEFORMACIONES ANGULARES

VIII - 27

PROBLEMA 8.2

De la estructura mostrada empotrada en uno de sus extremos y volado en el otro

extremo como muestra la figura determinar los momentos flectores en los extremos de

los elementos y dibujar el DMF y DFC (EI=constante).

Figura 8.21

Page 28: Slope Deflexion

ING. RONALD SANTANA TAPIA

VIII - 28

SOLUCIÓN:

1º. Grado de Hipergeometría : 5º GRADO ( )

2º. Rigideces:

3º. M.E.P.

4º. Deformada

5º. Ecuación de barras:

( )

( )

Page 29: Slope Deflexion

DEFORMACIONES ANGULARES

VIII - 29

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

6º. Equilibrio de nudos

Nudo:

( )

Nudo:

⁄ ( )

( )

Nudo:

( )

Page 30: Slope Deflexion

ING. RONALD SANTANA TAPIA

VIII - 30

De la estática: (Encontramos la 5ta ecuación)

Equilibrio nudo:

( )

De (1), (2), (3), (4) y (5):

7º. Momentos de Maney

Page 31: Slope Deflexion

DEFORMACIONES ANGULARES

VIII - 31

8º. Momentos flectores

9º. Isostatización

Page 32: Slope Deflexion

ING. RONALD SANTANA TAPIA

VIII - 32

PROBLEMA 8.3

Para la estructura empotrada en sus dos extremos, determinar los momentos flectores

en los extremos de los elemento y dibujar el DMF y DFC (EI=1).

Figura 8.22

Page 33: Slope Deflexion

DEFORMACIONES ANGULARES

VIII - 33

SOLUCION

1º. Grado de hipergeometría: 3º GRADO ( )

2º. M.E.P.

3º. Desplazamientos:

4º. Ecuación de barras:

Ecuaciones de Maney:

( )

( )

( (

))

(

)

Page 34: Slope Deflexion

ING. RONALD SANTANA TAPIA

VIII - 34

( (

))

(

)

( ( ))

( )

( ( ))

( )

( (

))

(

)

( (

))

(

)

5º. Equilibrio de nudos:

Nudo:

(

)

( )

(

) ( )

Nudo:

( )

(

)

(

) ( )

De ( ) ( )

Remplazando en ( ) ( )

Remplazando en las ecuaciones de barras

Page 35: Slope Deflexion

DEFORMACIONES ANGULARES

VIII - 35

6º. De la estática:

En todo el sistema:

Por simetria de la estructura

Nudo:

Page 36: Slope Deflexion

ING. RONALD SANTANA TAPIA

VIII - 36

( )

Nudo:

( )

7º. Momentos de Maney

8º. Momentos flectores

Page 37: Slope Deflexion

DEFORMACIONES ANGULARES

VIII - 37

9º. Dibujo del DFC y DMF

(-)D.F.C.

P

(+)

-P

(-)

(-)

D.M.F.

-4.5P

-1.5P

+1.5P

(+)

(+)

(+)

+1.5P

+1.5P

-1.5P-4.5P