slope galope

Mtodo de equilibrio de Slope-DeflectionIntroduccin En este captulo se expone una versin particular del mtodo general de equilibrio conocida con el nombre de Mtodo de Slope-Deflection (MSD). Dicho mtodo est indicado para el clculo de estructuras planas hiperestticas que se deforman fundamentalmente por la accin del momento flector, siendo despreciables las deformaciones originadas por los esfuerzos axiles y cortantes. Tal es el caso de las vigas continuas y de las estructuras aporticadas de nudos rgidos. El MSD consiste en expresar los momentos flectores que actan en las secciones extremas (nudos) de cada barra en funcin de los giros y de la diferencia entre los desplazamientos normales a ella en dichas secciones extremas. Estas expresiones se denominan ecuaciones de Slope-Deflection. Las incgnitas primarias del problema son los referidos giros en los nudos y los desplazamientos relativos entre los nudos de cada barra que sean desconocidos a priori (de ah la denominacin del mtodo). Estas se calculan planteando el equilibrio de momentos en los nudos cuyos giros sean desconocidos y el equilibrio de fuerzas en los nudos afectados por desplazamientos relativos. Una vez calculadas dichas incgnitas cinemticas, se obtienen los momentos en las secciones extremas de cada barra aplicando las ecuaciones de SD. Conocidos estos momentos, es inmediato deducir las leyes de esfuerzos internos mediante consideraciones de equilibrio esttico. En relacin con la aplicabilidad del MSD, es importante destacar que su complejidad aumenta con el nmero de nudos libres (con el nmero de giros y de desplazamientos relativos desconocidos). Sin embargo, es muy til para resolver manualmente estructuras de alto grado de hiperestaticidad que presenten pocas incgnitas cinemticas (estructuras con pocos grados de libertad). No se quiere dejar de comentar que el MSD es un mtodo sistemtico, pues no hay que realizar ninguna eleccin de variables, que opera con independencia del grado de hiperestaticidad, por lo que resulta fcil de programar e implementar en ordenador. De hecho, la versin matricial del mtodo de equilibrio (Mtodo Directo de Rigidez, MDR), que se en las asignatura de Teora de Estructuras y Construcciones Industriales, es actualmente la tcnica ms generalizada de anlisis de estructuras de barras mediante ordenador. Ecuaciones de Slope-Deflection En la Figura 1a se representa una barra de una estructura plana definida por los nudos i y j. Su cinemtica puede ser reproducida superponiendo la cinemtica del problema que resulta de aplicar los desplazamientos y los giros habidos en los nudos (Figura 1b) y la del problema que recoge la accin de las cargas que actan en el interior de la barra supuesta sta biempotrada (giro y desplazamiento nulos en los nudos, Figura 1c). Se considerarn positivos los giros y momentos que se produzcan en sentido horario.

Mtodo de equilibrio de Slope-Deflection

Pg. 1/19

Figura 1 En relacin con la Figura 1a, es claro que, despreciando la deformacin debida al axil, el desplazamiento u x 0 es el mismo en ambos nudos, representando un movimiento de slido rgido que no implica esfuerzos ni deformaciones en la pieza. Asimismo, los desplazamientos normales a la barra pueden descomponerse en un movimiento de slido rgido definido por el desplazamiento u y 0 (i ) del nudo i (que tampoco implica esfuerzos ni deformaciones) y unos desplazamientos producidos por el desplazamiento relativo ji del nudo j respecto del nudo i ( ji = u y 0 ( j ) u y 0 (i ) ). La deformada correspondiente a estos ltimos desplazamientos (que s originan esfuerzos en la barra) es la S1 de la Figura 1b. Como consecuencia, el clculo de esfuerzos internos requiere considerar solamente la superposicin del estado de deformacin originado por los giros i y j de los nudos (deformada S2) con el asociado al desplazamiento relativo ji (deformada S1) y con el correspondiente a la accin de las cargas sobre la barra biempotrada (deformada S3, Figura 1c). Se denominan ecuaciones de Slope-Deflection a las dos ecuaciones que expresan, respectivamente, los momentos M ij y M ji que actan en las secciones inicial y final deMtodo de equilibrio de Slope-Deflection

Pg. 2/19

la barra en funcin de i , j , ji y de las cargas aplicadas en el interior de la pieza (Figura 1d). Ntese que estos momentos son positivos cuando actan en sentido horario, al igual que los giros.

Figura 2 Al tratarse de ecuaciones lineales, stas se deducirn por superposicin de los cuatro problemas representados en la Figura 2. El primero de ellos (Figura 2a) recoge la deformacin debida solamente al giro i . Las condiciones de sustentacin supuestas hacen que j y ji sean nulos. Como no se consideran cargas en el interior de la barra,I es necesario aplicar el momento M ij (i ) para producir dicho giro. En la Figura 2b se

muestra el problema correspondiente a la deformacin originada solamente por el giro j ( ji = i = 0 ). M II ( j ) es el momento que hay que aplicar en el nudo j para originar ji dicho giro. El caso relativo a la deformacin debida a ji ( i = j = 0 ) es el indicado en la Figura 2c, siendo F ( ji ) la fuerza que provoca el desplazamiento relativo entre ambos nudos. Ntese que F ( ji ) acta en la seccin extrema j (no es una fuerzaMtodo de equilibrio de Slope-Deflection

Pg. 3/19

aplicada en el dominio de la barra). Los momentos que aparecen en i y en j son, en este III caso, M ij ( ji ) y M III ( ji ) , respectivamente. Por ltimo, en la Figura 2d se ji representa el problema relativo a la deformacin debida a las cargas aplicadas en el dominio de la barra, supuesta sta biempotrada ( i = j = ji = 0 ). Es usual llamarE momentos de empotramiento ( M ij (cargas) y M E (cargas) ) a los momentos que se ji

producen en este caso. En definitiva, las ecuaciones de slope-deflection que se van a calcular son de la siguiente forma: I II III E M ij = M ij (i ) + M ij ( j ) + M ij ( ji ) + M ij (cargas)

M ji = M Iji (i ) + M II ( j ) + M III ( ji ) + M E (cargas) ji ji jiA continuacin se calcularn cada uno de los sumandos que aparecen en el segundo trmino de las ecuaciones anteriores: I Clculo de M ij (i ) y de M Iji (i ) (Figura 3).

Se trata de una viga hiperesttica que puede ser resuelta fcilmente mediante el mtodo de compatibilidad. As, tomando la reaccin en el apoyo izquierdo como incgnita hiperesttica (H) se obtiene la isosttica base de la Figura 3b. Aplicando el PFV supuesto el estado virtual de la Figura 3c e imponiendo como condicin que el descenso del apoyo izquierdo sea nulo: 1 L I ( x )(M ij (i ) H x )dx = 0 E I z 0 de donde resulta: I 3M ij (i ) H= 2L Tomando momentos respecto al empotramiento: 1 I I M Iji ( i ) = M ij (i ) + H L = M ij ( i ) 2 La expresin del giro i puede ser deducida aplicando el PFV con el estado virtual de la Figura 3d: 1 L I i = (1)(M ij (i ) H x )dx E I z 0 Integrando y operando: 4EI z I M ij (i ) = i L Por tanto: 2EI z M Iji (i ) = i L En la Figura 3e se han representado las fuerzas y momentos en los nudos de la barra en funcin de i .


Pg. 4/19

Figura 3 II Clculo de M ij ( j ) y de M II ( j ) (Figura 4). ji

Este problema resulta de intercambiar la posicin de los apoyos en la viga de la Figura 3a, por lo que las expresiones buscadas se obtienen sin ms que intercambiar los resultados deducidos anteriormente:

Figura 4Mtodo de equilibrio de Slope-Deflection

Pg. 5/19

2EI z i L 4EI z M II ( j ) = i ji LII M ij ( j ) =

Figura 5


Pg. 6/19

III Clculo de M ij ( ji ) y de M III ( ji ) (Figura 5). ji

Se aplicar de nuevo el mtodo de compatibilidad. La incgnita hiperesttica ser el momento en el apoyo izquierdo (Figura 5b) y la estructura virtual para determinarla mediante el PFV ser la de la Figura 5c. Aplicando el PFV: 1 L (1)(F x + H )dx = 0 E I z 0 Por tanto: 1 III H = F L = M ij ( ji ) 2 Con referencia a la Figura 5d, tomando momentos respecto del apoyo derecho: III M III ( ji ) = M ij ( ji ) ji La expresin de ji ser deducida aplicando el PFV tomando como estructura virtual la representada en la Figura 5e: 1 L F L3 ji = ( x )(F x + H )dx = E I z 0 12EI z Por tanto: 12EI z F= ji L3 y 6EI z III M ij ( ji ) = M III ( ji ) = ji ji L2 Estos resultados ha sido representados en la Figura 5f. E Clculo de M ij (cargas) y de M E (cargas) (Figura 6). ji

Dado que el sistema de cargas exteriores es arbitrario, el clculo de los momentos de empotramiento requiere resolver en cada caso la barra en cuestin. No obstante, es conveniente conocer el valor de estos momentos en los casos indicados en la Figura 6, pues se dan frecuentemente en la prctica. Volviendo a las ecuaciones de slope-deflection, stas se obtienen superponiendo los resultados anteriores: 4EI z 2EI z 6EI z E M ij = i + j ji + M ij (cargas) 2 L L L 2EI z 4EI z 6EI z M ji = i + j ji + M E (cargas) ji 2 L L L


Pg. 7/19

Figura 6


Pg. 8/19

Descripcin del Mtodo de Slope-Deflection Si b es el nmero de barras de la estructura, aplicando las 2b ecuaciones de slopedeflection se expresarn los momentos en los extremos de las barras en funcin de los giros de los nudos y de los desplazamientos relativos entre ellos que sean desconocidos. Estas variables, que son los grados de libertad de la estructura, son las incgnitas a determinar en primer lugar cuando se aplica el MSD. Por cada giro desconocido se puede aplicar una ecuacin referida al equilibrio de momentos en el nudo en cuestin y por cada descenso relativo desconocido se puede plantear una ecuacin de equilibrio de fuerzas en la direccin de dicho desplazamiento, la cual se puede tambin expresar en trminos de momentos (de giros y de desplazamientos relativos), sin ms que plantear el equilibrio de cada barra y de cada nudo de la estructura. Por tanto, se dispone de igual nmero de ecuaciones que de incgnitas (en el prximo apartado se aclarar mejor esta idea resolviendo algunos ejemplos). Una vez determinados los giros y desplazamientos independientes, los momentos en los extremos de las barras se calculan automticamente sustituyendo los valores correspondientes en las ecuaciones de slope-deflection. A partir de ellos, la construccin de los diagramas de flectores y la determinacin de los restantes esfuerzos es inmediata planteando relaciones de equilibrio en nudos y barras. Ejemplo 1: Calcular y representar los diagramas de esfuerzos internos en la viga continua representada en la Figura 7. Las dos barras que forman la viga son de igual seccin y material, con una rigidez a flexin ( EI z ) constante. Se despreciarn las deformaciones debidas a los esfuerzos axil y cortante.

Figura 7 Solucin: La incgnita primaria de este problema ser b , pues la deformacin de la barra se produce sin giros en a y en c y sin descensos relativos entre apoyos ( a = c = ba = cb = 0 ). En la Figura 8 se puede apreciar que b deber ser una cantidad negativa, segn el convenio de signos establecido anteriormente.


Pg. 9/19

Figura 8 Inicialmente se expresarn los momentos en los extremos de las barras en funcin de b aplicando las ecuaciones de slope-deflection (Figura 9). En este caso las ecuaciones son:

Figura 9

M ab = M bc

2EI z b 8 16 4EI z = b 8

M ba = M cb

4EI z b + 8 16 2EI z = b 8

donde para deducir los momentos de empotramiento de la barra A se ha utilizado la Figura 6. En la barra B dichos momentos son nulos. Y despus se calcular el giro b imponiendo el equilibrio de momentos en el nudo bM ba + M bc = 0 4EI z 4EI z b + 8 + b = 0 16 8

de donde:

b =que es negativo como se esperaba.

32 3EI z

Sustituyendo en las expresiones de los momentos en los extremos de las barras: M ab = 9.33 T m M bc = 5.33 T m M ba = 5.33 T m M cb = 2.66 T m

A partir de estos momentos, es inmediato calcular las leyes de esfuerzos. As, aislando la barra A e imponiendo su equilibrio (Figura 10), se obtiene la reaccin vertical en el apoyo izquierdo y el cortante en la seccin que apoya en b: R2 a = 2.25 TMtodo de equilibrio de Slope-Deflection

V yA (16) = 1.75 TPg. 10/19

Figura 10 Haciendo lo mismo con la barra B (Figura 11a), se obtiene R2c y el cortante en la seccin que apoya en b: R2 c = 1.0 T V yB (8) = 1.0 T

a) Figura 11

b)

Por ltimo, aislando el apoyo b (Figura11b), se deduce que la reaccin en el mismo es R2b = 2.75 T . En la Figura 12 se ha representado la estructura sometida al conjunto de cargas exteriores.

Figura 12 En la Figura 13 se ha dibujado los diagramas de momentos flectores.

Figura 13Mtodo de equilibrio de Slope-Deflection

Pg. 11/19

Y por ltimo, en la Figura 14 se indica el diagrama de esfuerzos cortantes.

Figura 14 Ejemplo 2: Calcular y representar los diagramas de momentos flectores en la estructura porticada de la Figura 15, en la que la rigidez a flexin del dintel (B) es el doble que la de los pilares. Despreciar las deformaciones que no sean debidas a los momentos flectores.

Figura 15 Solucin: Como los giros en los apoyos son conocidos (son nulos), los giros incgnitas son b y c . Adems, considerando despreciable la deformacin debida al axil, los nudos b y c no pueden sufrir desplazamientos verticales, por lo que cb = 0 . Por la misma razn, los desplazamientos horizontales del dintel consisten en una traslacin del mismo como slido rgido ( ba = cd ). En la Figura 16 se recogen estas conclusiones previas sobre la deformada aproximada del prtico cuando el descenso y los giros son positivos (no es la deformada real del prtico). Por tanto, las incgnitas para la resolucin mediante el MSD son b , c y ba = cd = .


Pg. 12/19

Figura 16 Aplicando las ecuaciones de Slope-Deflection a cada una de las tres barras (Figura 17): 2E I z 2E I z 3 3 M ba = M ab = b 2b 16 16 16 16 4EI z 4EI z (2b + c ) 19.2 (b + 2c ) + 28.8 M bc = M cb = 20 20 2E I z 2E I z 3 3 M cd = M dc = 2 c c 16 16 16 16

Figura 17


Pg. 13/19

Para calcular las tres incgnitas, se plantearn las siguientes ecuaciones de equilibrio: Equilibrio de momentos en el nudo b:

M ba + M bc = 0

Equilibrio de momentos en el nudo c: M cb + M cd = 0

Equilibrio de fuerzas horizontales en el dintel (Figura 18):

Figura 18 Considerando el equilibrio de fuerzas segn la direccin de en el nudo b: F S =0 o bien: F +T = 0 pues: S = R = T Aislando los pilares: M + M ba M + M dc T = cd F = ab 16 16 Por tanto: M ab + M ba + M cd + M dc = 0 Sustituyendo los valores de los momentos dados por las ecuaciones de slope-deflection y resolviendo el sistema:

b =

46.1 EI z

c =

60.6 EI z

=

58.1 EI z


Pg. 14/19

Considerando estos valores, la deformada aproximada del prtico es como la mostrada en la Figura 19.

Figura 19 Y sustituyndolos en las ecuaciones de slope-deflection se obtienen los momentos en los extremos de las barras: M ab = 7.12 T m M ba = 12.89 T m M bc = 12.89 T m M cb = 13.79 T m M cd = 13.79 T m M dc = 6.22 T m A partir de estos momentos es fcil obtener los diagramas de flectores, representados en la Figura 20, sin ms que aplicar las ecuaciones de equilibrio.

Figura 20


Pg. 15/19

Cargas equivalentes en vigas

Figura 21


Pg. 16/19

Figura 22


Pg. 17/19

Figura 23


Pg. 18/19

Figura 24


Pg. 19/19

slope galope

Documents