Slovnıcek elementarnıch pojmu diferencialnıhoa integralnıho poctu pro mlade fyziky

Kratky studijnı material pro vsechny zajemce o fyziku

Vzniklo pro ucely SS souteze Vedecky ctyrboj, 2019

Pavel Kus, Jaromır Mielec

Poslednı editace: 25.11.2019

Obsah

1 Limita 2

2 Derivace 4

3 l’Hospitalovo pravidlo a Tayloruv rozvoj 7

4 Integraly 9

5 Diferencialnı rovnice 13

Slovo uvodem

Cılem tohoto kratkeho textu je vylozit zakum SS prehled elementarnıch zakladudiferencialnıho a integralnıho poctu, ktere by mohli prakticky vyuzıt pri resenı SSsoutezı a seminaru. Ani zdaleka se tento text nesnazı suplovat SS ucebnice matema-tiky [1], kam ctenare dale odkazujeme. Za zmınku stojı studijnı texty z knihovnickyFyzikalnı olympiady [2], [3], ktere kladou duraz na aplikaci teto matematiky vefyzice.Vıce o soutezi Vedecky ctyrboj, pro jejız ucely tento kratky studijnı text vznikl, lzenalezt zde: https://vedeckyctyrboj.cz/.

Studijnı text Fyzika

1 Limita

Zakladnım pojmeme je limita funkce f(x) v bode x0. Jedna se o vyraz:

limx→x0

f(x), (1)

ktery rıka, k jake hodnote se funkce f blızı, kdyz s x jdeme cım dal blıze k x0. Limitaje tedy cıslo, bezne znacıme L.Proc jednoduse nenapıseme:

limx→x0

f(x) = f(x0)? (2)

Pokud platı, ze funkce f je v bode x0 definovana a spojita (funkci bychom nakreslilijednou carou), potom vyraz (2) skutecne platı a limita funkce f v bode x0 se rovnafunkcnı hodnote v tomto bode. To je ostatne dobre patrne z obr. 1.Limita nam rıka, k jake hodnote speje funkce f(x), jak x je cım dale blıze x0, i kdyzv bode x0 nenı funkce definovana nebo nenı spojita. Limita je tedy obecnejsı pojem,ktery zavadıme k detailnejsımu studiu prubehu funkcı.Z obr. 2 je jasne, ze k x0 se na ose x muzeme blızit zleva i zprava. Zavadıme protojednostranou limitu zleva:

L1 = limx→x0−

f(x) (3)

a zprava:L2 = lim

x→x0+f(x). (4)

Obrazek 1: Vlevo: Limita a funkcnı hodnota v bode se pro spojite funkce rovnajı;Vpravo: Limita a funkcnı hodnota v bode pro nespojite funkce nemusı byt totozne.

Pokud se limita zleva a zprava sobe rovnajı, limita v bode x0 existuje a je jim rovna:

limx→x0−

f(x) = limx→x0+

f(x) = limx→x0

f(x), (5)

poprıpade:L1 = L2 = L. (6)

2

Studijnı text Fyzika

Obrazek 2: Limity zleva a zprava se nerovnajı: L1 6= L2, tedy limita L neexistuje

Pokud se limita zleva a zprava ve svych hodnotach rozchazejı, limita v bode x0

neexistuje, viz obr. 2.Pri vysetrovanı prubehu funkce nas typicky zajıma, jak se funkce chova v ne-konecnech. Pak ma smysl zavadet pouze jednostranne limity. Bezne pıseme:

limx→−∞

f(x), limx→+∞

f(x). (7)

O limitach bychom toho mohli rıci mnohem vıce, ale pro ucely tohoto textu namtento strucny lec intuitivnı zaklad bude stacit. Pro formalne spravne definovanılimity odkazeme na prıslusnou literaturu [1].Nez zavedeme dalsı novy pojem derivace, spocıtame limity nekolika vybranych funkcıv zadanych bodech. Vypocty limit mohou byt znacne trikove a k jejich vycıslenı jepotreba jiste zkusenosti. My si zde ukazeme jednoduche limity a pozdeji v kap. 3 siukazeme mocne nastroje pro pocıtanı komplikovanejsıch prıkladu.

Budeme resit nasledujıcı prıklady:

a) f1(x) = x+ c v x0 = 0, kde c ∈ R;

b) f2(x) = x2−1x−1 v x0 = 1;

c) f3(x) = cosx v x0 =∞;

d) f4(x) = ex v x0 =∞;

e) f5(x) = ex v x0 = −∞;

Resenı:

a)limx→0

(x+ c) = 0 + c = c.

3

Studijnı text Fyzika

Funkce f1 je v bode x0 = 0 definovana a spojita a stacilo pouze dosadit dofunkce, abychom urcili jejı funkcnı hodnotu. Take se rıka, ze funkce f1 mavlastnı limitu ve vlastnım bode (co znamena

”nevlastnı“ ukazeme v dalsıch

prıkladech).

b) Dosazenım x0 = 1 do citatele a jmenovatele zlomku bychom dostali nedefi-novany vyraz 0/0. Limita v bode x0 = 0 presto existuje, jen funkcnı hodnotaceleho zlomku nenı v tomto bode definovana. Pouzijeme trik

”rozklad ctvercu“:

x2−1x−1 = (x+1)(x−1)

x−1 = x+ 1. Potom limita funkce g = x+ 1 v bode x0 = 1 je:

limx→1

(x+ 1) = 2.

Co jsme vlastne udelali? Formalne jsme ve vypoctu nahradili funkci f2 funkcıg, ktera je na rozdıl od f2 v bode x0 = 1 definovana, a funkce majı jinak stejnygraf. Situace je podobna obr. 1, kdyby levy obrazek odpovıdal funkci g a pravyfunkci f2. Z obrazku bychom si mohli myslet, ze funkce majı stejnou limitu.To je skutecne pravda a pro formalnı dukaz bychom museli vyjıt z formalnıdefinice limity, kterou jsme neuvedli. Opet odkazujeme na prıslusnou literaturu[1]. Zde bychom rekli, ze funkce f2 ma vlastnı limitu v nevlastnım bode.

c) Funkce cosx je oscilujıcı funkce, ktera nabyva hodnot [−1, 1]. Jak jde x donekonecna, funkcnı hodnote stale

”osciluje“ mezi dve krajnımi hodnotami -1

a 1, jednostranna limita v x0 =∞ proto nenı definovana.

d)lim

x→+∞ex = +∞.

Take se rıka, ze funkce f4 ma nevlastnı limitu v nevlastnım bode

e)lim

x→−∞ex = 0.

Podobne se rıka, ze funkce f5 ma vlastnı limitu v nevlastnım bode.

2 Derivace

Novym a nemene dulezitym pojmem je derivace funkce f v bode a. Ten je definovanylimitou takto:

limx→a

f(x)− f(a)

x− a. (8)

Geometricky je derivace funkce f v bode a smernice nejake prımky. Co tato vetaznamena? Mejme prımku zadanou rovnicı

y = kx+ b, (9)

kde k je tzv. smernice prımky, jejız hodnota s ohledem na znamenko rıka, jestli jeprımka rostoucı (a > 0), konstantnı (a = 0) nebo klesajıcı (a < 0). Konstanta b pakposouva prımku po ose y.

4

Studijnı text Fyzika

Predstavme si, ze a ani b nezname, ovsem zname ve dvou bodech x1 a x2 funkcnıhodnoty y1 = y(x1) a y2 = y(x2). Potom smernice prımky je rovna:

a =y2 − y1

x2 − x1. (10)

U prımky je jedno, v jakych dvou jejıch bodech zname funkcnı hodnoty. Prımka jakotakova

”roste“ nebo

”klesa“ ve vsech bodech stejne, popr. je konstantnı.

U obecne funkce f(x) se muze derivace (jak se funkce menı) bod od bodu lisit, protoje nutne hledat limitu (8). Geometricky je prımka se smernicı rovnou derivaci funkcef v bode a tecnou ke grafu funkce f v bode a (pri vhodne volbe konstanty b). Tutotecnu bychom dostali jako secnu pro ∆x = x− a→ 0, viz obr. 3.

Obrazek 3: Geometricka predstava derivace

Pokud je derivace funkce f v bode x kladna/zaporna/nulova, je funkce v bode x ros-toucı/klesajıcı/konstantnı, viz obr. 4. Derivace je velmi dulezitym nastrojem, pokudresıme optimalizacnı ulohu - mame zadanou zavislost veliciny f na x a snazıme senajıt takovou hodnotu x, v nız bude mıt funkce f extrem - minimum nebo maximum(tj. derivace funkce je nulova). Na konci teto kapitolky si vyresıme jednu ukazkovouoptimalizacnı ulohu.

Obrazek 4: K vykladu derivace: a) funkce je rostoucı, b) funkce je klesajıcı, c) funkcema v x = a tzv. inflexnı bod : na velmi malem (infinitezimalnım) okolı bodu a jefunkce konstantnı

Pote, co jsme si vysvetlili zakladnı ideu derivace, vrat’me se zpet k tomu, jak derivaciznacıme. Rozdıl v citateli (8) oznacıme ∆f(x) = f(x) − f(a), rozdıl ve jmenovali

5

Studijnı text Fyzika

∆x = x− a. S tımto oznacenım bychom napsali:

limx→a

f(x)− f(a)

x− a= lim

∆x→0

∆f

∆x

∣∣∣∣a

, (11)

kde svisla cara udava, v jakem bode derivaci vycıslujeme.Matematici zasli se znacenım jeste dale a zavedli:

f ′(a) = f ′(x)

∣∣∣∣a

=df(x)

dx

∣∣∣∣a

= lim∆x→0

∆f

∆x. (12)

To slovy vlastne znamena, ze d je”velmi male“ ∆. Carka nad f je pak nejjednodusım

zapisem toho, ze se jedna o derivaci. Nakonec muzeme pro derivaci volit kterykolivz techto zapisu:

f ′(a) = f ′(x)

∣∣∣∣a

=df(x)

dx

∣∣∣∣a

= lim∆x→0

∆f

∆x

∣∣∣∣a

= limx→a

f(x)− f(a)

x− a. (13)

Byva zvykem, ze pokud nemame na mysli konkretnı bod a a radeji bychom psalivyraz pro derivaci funkce v libovolnem bode jejıho definicnıho oboru, namısto a psatrovnou x. Tedy derivace funkce f v nejakem bode x bychom napsali jako f ′(x). Provypocty derivacı z definice ve tvaru limity je ovsem praktictejsı x a a rozlisovat.

Z definice derivace funkce lze odvodit tyto zakladnı vlastnosti:

1. (f(x) + g(x))′ = f ′(x) + g′(x),

2. (f(x)g(x))′ = f ′(x)g(x) + g(x)f ′(x),

3.(f(x)g(x)

)′= f ′(x)g(x)−f(x)g′(x)

g(x)2.

Ukazme si na prıkladu derivace funkce f(x) = xn, jak najıt jejı derivace. Z definicepıseme:

f ′(a) = lim∆x→0

f(x+ ∆x)− f(x)

∆x

∣∣∣∣a

= limx→a

(x+ ∆x)n − xn

∆x

∣∣∣∣a

. (14)

Nynı vyuzijeme binomickeho rozvoje: (x + ∆x)n =∑n

i=0

(ni

)xn−i (∆x)i = xn +

nxn−1∆x + . . . , kde tecky . . . jsou cleny, ktere obsahujı vyssı mocniny ∆x. Dosa-zenam do (14) dostaneme:

f ′(a) = limx→a

xn + nxn−1∆x+ . . .− xn

∆x

∣∣∣∣a

= nxn−1

∣∣∣∣a

= nan−1, (15)

kde cleny xn se odecetly a cleny schovane v teckach po vydelenı ∆x obsahujı prvnınebo vyssı mocniny ∆x, coz v limite ∆x → 0 z techto clenu udela nulu. Zbyvajediny nenulovy clen, nxn−1, ktery po vycıslenı v x = a da hodnotu derivace funkcev libovolnem bode a z definicnıho oboru funkce f .Na zaver poznamenejme, ze se bezne namısto a pıse rovnou x, tedy prvnı derivacefunkce f v bode x je:

f ′(x) = nxn−1. (16)

6

Studijnı text Fyzika

Krom teto prvnı derivace (jedna carka nad f) lze konstruovat i vyssı derivace,naprıklad:

f ′′(x) = n(n− 1)xn−2. (17)

Krom tohoto zapisu druhe derivace pomocı carek je bezne psat f (2)(x), coz byvauzitecne pri zapisu vyssıch derivacı, naprıklad n-tou derivaci funkce f bychom zapsalijako f (n)(x).

f f ′ f f ′

c, c ∈ R 0 sinx cosx

x 1 cosx − sinx

xn, n ∈ N nxn−1 tgx 1cos2 x

xa, a ∈ R, x > 0 axa−1 cotgx − 1sin2 x

ex ex arcsinx 1√1−x2

ax, a > 0 ax ln a arccosx − 1√1−x2

lnx, x > 0 1x arctg 1

1+x2

loga x, x > 0, a > 0, a 6= 1 1x ln a arccotg − 1

1+x2

Tabulka 1: Tabulka zakladnıch derivacı

Prıklad: Pohyb v homogennım tıhovem poli

Mıcek byl vyhozen svisle vzhuru s pocatecnı rychlostı v0 v tıhovem poli s gravitacnımzrychlenım g. Vyska nad zemı je dana vztahem h = h0 + v0t − 1

2gt2. Nasım cılem

bude urcit maximalnı dosazenou vysku.To udelame jednoduse tak, ze zderivujeme funkci h(t) podle t a polozıme rovnu nule:

dh(t)

dt= v0 − gt = 0, (18)

coz je ve shode s nası intuicı, tedy mıcek dosahne maximalnı vysky nad zemı, kdyzse mıcek pri svislem letu vzhuru zastavı a jeho rychlost bude nulova.Samozrejme, striktne vzato jsme nedokazali, ze se jedna o maximum, dokonce jsmeani nedokazali, ze se jedna o extrem. Z intuice je nam ale tato skutecnost jasna apro podrobnejsı diskuzi odkazujeme [2].

3 l’Hospitalovo pravidlo a Tayloruv rozvoj

V praxi se setkavame s limitami typu 0/0 nebo ∞/∞. S prvnım typem jsme sedokonce setkali v prıkladu b) na konci kapitoly 1. Tam jsme si lehce poradili trikem

7

Studijnı text Fyzika

”rozdılu ctvercu”, ne vsak vzdy lze udelat podobny trik. V takovych situacıch existujıdva zakladnı postupy, jak limitu vyresit. Ani jeden nebudeme dokazovat ci se blızezabyvat jejich formalnım nalezitostmi, jen uvedeme vysledky.Prvnım postupem je l’Hospitalovo pravidlo (cteme ”lopitalovo”). To rıka, ze pokudplatı a) nebo b):

a) limx→a f(x) = limx→a g(x) = 0,

b) limx→a g(x) = ±∞,

pak platı:

limx→a

=f(x)

g(x)= lim

x→a=f ′(x)

g′(x). (19)

V b) pritom nenı kladena zadna podmınka na limitu funkce f , muze to byt i dokoncei limx→a f(x) = +∞.Ukazme si to na prıkladu b) z konce kapitoly 1:

limx→1

x2 − 1

x− 1

00= limx→1

2x

1= 2. (20)

Druhym postupem je tzv. Tayloruv rozvoj funkce f kolem bodu a. Funkce f v libo-volnem bode x lze rozlozit do (obecne nekonecneho) souctu polynomu jedinecnymzpusobem:

f(x) =

∞∑k

1

k!f (k)(a)(x− a)k, (21)

kde kolem bodu a delame rozvoj, f (k) je jine oznacenı pro k-tou derivaci a k! =1 · 2 · 3 · . . . · (k − 1)k, bezne rıkame ”k faktorial”1.Bez sumy bychom rozvoj kolem bodu a zapsali takto:

f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +1

2f ′′(a)(x− a)2 +

1

6f ′′′(a)(x− a)3 + . . . . (22)

Tayloruv rozvoj nam vlastne rıka, ze pokud budeme znat v nejakem bode a funkcnıhodnotu funkce f a vsechny jejı derivace, zname pak funkcnı hodnotu v libovolnembode jejıho definicnıho oboru.Na predchozı ulohu nema smysl snazit se aplikovat Tayloruv rozvoj, nebot’ funkcejak v citateli tak jmenovateli jsou jiz polynomy. Kde lze pouzıt Tayloruv rozvoj astejne tak l’Hospitalovo pravidlo, si ukazeme na dalsım prıkladu.Predtım ale udelejme drobrou poznamku. Pokud pıseme Tayloruv rozvoj funkce fa napıseme cleny do jisteho radu n a vyssı uz ne, byva zvykem psat namısto tecek. . . radeji O(xn+1). To znamena, ze jsme neuvedli vsechny polynomy stupne n+ 1 avyssı. Konvence je ve skutecnosti o neco bohatsı, ale do toho zde nebudeme zabıhat.Nynı spocıtejme prıklad:

limx→0

cosx− 1

sinx. (23)

1Jen pripomenme, ze 0! = 1.

8

Studijnı text Fyzika

Formalne se opet jedna o vyraz 0/0. Pouzitım l’Hospitalova pravidla dostavame:

limx→0

cosx− 1

sinx

00= limx→0

− sinx

cosx= 0, (24)

kde jsme vyuzili derivacı funkcı sinx, cosx a konstanty z tab. 1.Nynı vypocet provedeme s Taylorovym rozvojem. Taylorovy rozvoje pro funkcı sinxa cosx kolem pocatku jsou:

sinx =

∞∑k=0

(−1)k1

(2k + 1)!x2k+1 = x− 1

6x3 + . . . , (25)

cosx =∞∑k=0

(−1)k1

(2k)!x2k = 1− 1

4x2 + . . . . (26)

Dosazenım rozvoju do limity dostavame

limx→0

cosx− 1

sinx= lim

x→0

1− 14x

2 +O(x4) + 1

x+O(x3)= lim

x→0

−14x+O(x3)

1 +O(x2)= 0, (27)

kde jsme v predposlednım rovnıtku vytkli citatele a jmenovatele x, ktere se vzajemnezrusily.

4 Integraly

Mejme graf na obr. 5 a pozadujme spocıtat plochu pod krivkou. V prvnım priblızenısi muzeme osu x rozdelit na male elementy ∆x = (b − a)/n a sestrojit nad nimiobdelnıcky s vyskou f(xi) (tzv. dolnı odhad). Plochu pod krivkou bychom pak od-hadli jako:

S =

n∑i=0

f(x)∆x. (28)

Obrazek 5: Geometricky vyznam integrace: obsah plochy pod krivkou

Pro limitu n→∞ zavadıme nove znacenı:

∆x→ dx,

n∑i=0

→∫ b

a. (29)

9

Studijnı text Fyzika

Je intuitivne jasne, ze pokud bychom delenı na ose x zjemnovali vıce a vıce, byl byvypocet obsahu plochy stale vıce presnejsı. Formalne bychom psali:

S = limn→∞

n∑i=0

f(x)∆x =

∫ b

af(x)dx. (30)

Vyraz (30) se nazyva urcity integral a jeho geometricky vyznam je obsah plochypod krivkou ohranicenou integracnımi mezemi a a b.Vedle urciteho integralu definujeme neurcity integral, ktery se od urciteho lisı neudanımintegracnıch mezı. Jak tak to chapat? Zatımco urcity integral byl cıslo, neurcity jezobrazenı, ktere na vstupu vezme funkci f(x) a vratı funkci jinou, tzv. primitivnıfunkci F (x) ve stejnem bode x. Co jsme zatım rekli bychom napsali takto:

F (x) =

∫f(x)dx. (31)

Nenı zatım zrejme, jak souvisı urcity integral (cıslo) s neurcitym integralem (zobra-zenım). Abychom to pochopili, musıme si neurcity integral definovat rigorozne. Pakbude jeho souvislost s urcitym integralem jasna.Primitivnı funkce se definuje jako inverznı zobrazenı k derivaci. Co to znamena?Presne to znamena, ze pro nejake libovolne x je derivace primitivnı funkce F rovnafunkci f v bode x:

F ′(x) = f(x). (32)

Z teto definice je vidno, ze primitivnı funkce je urcera az na konstantu, tj. proG(x) = F (x) + c platı:

G′(x) = (F (x) + c)′ = F ′(x) + c′ = F ′(x) = f(x). (33)

Primitivnı funkce jednoduchych funkcı lze urcit tak, ze je proste uhadneme. Mejmeprıklad f(x) = xn. Z tab. 1 vıme, ze f ′(x) = nxn−1. Snazıme se najıt takoveF (x), ze F ′(x) = f(x). Zde nenı narocne uhadnout hledanou primitivnı funkciF (x) = xn+1/(n+ 1) + c, kde c je integracnı konstanta. Prehled primitivnıch funkcıjednoduchych funkcı je v tab. 2Kdyz mame predstavu, co to primitivnı funkce je, pojd’me se podıvat, jak souvisıs urcitym integralem. K tomu budeme potrebovat tzv. Lagrangeovu vetu o strednıhodnote. Ta rıka, ze pro funkci f definovanou na intervalu [a, b] existuje bod ξ ∈(a, b), ze:

f ′(ξ) =f(b)− f(a)

b− a. (34)

Geometricky vyznam Lagrangeovy vety vidıme na obr. 6.Z Lagrangeovy vety a z definice neurciteho integralu plyne:

f(ξi) =F (xi+1)− F (xi)

xi+1 − xi, (35)

kde ξi ∈ (xi, xi+1). Nynı jsme jiz krucek od naseho cıle. Dosadıme do (36):

S =

n∑i=0

f(ξi)∆x 'n∑i=0

f(ξi)(xi+1 − xi) =

n∑i=0

F (xi+1)− F (xi) = F (xn−1)− F (x0).

(36)

10

Studijnı text Fyzika

f F f F

c, c ∈ R cx cosx sinx

xa, a ∈ R/{−1}, x > 0 xa+1

a+1 tgx − ln | cosx|

x−1 ln |x| cotgx ln | sinx|

ex ex 1cos2 x

tgx

ax, a > 0, a 6= 0 ax

ln a1√

1−x2 arcsinx nebo − arccosx

sinx − cosx 11+x2

arctgx nebo −arccotx

Tabulka 2: Tabulka zakladnıch derivacı

Pro limitu n→∞ dostavame:

S =

∫ b

af(x)dx = F (b)− F (a), (37)

kde x0 = a a xn−1 → b v limite.Pokud jsme schopni urcit primitivnı funkci F (x), spocıtame urcity integral (plochu)mezi integracnımi mezemi a a b tak, ze vycıslıme primitivnı funkci v techto krajnıchbodech a odecteme od sebe. Bezne se uzıva zapis:∫ b

af(x)dx = [F (x)]ba = F (b)− F (a). (38)

Prave strane rovnice (37) se take prezdıva Newton-Leibnitzova formule.V praxi se setkavame s potrebou zintegrovat funkce, jejıchz primitivnı funkce senehledajı tak snadno, jak bychom nasli pro funkce z tab. 2. Existujı rozlicne zpusoby,jak si poradit s komplikovanejsımi integraly. Cılem vsech je prevest komplikovanyintegral na nejakou variantu integralu z tab. 2. My si zde predstavıme metody perpartes a substituce.

Per partes

V kapitole o derivacıch 2 jsme setkali s Leibnitzovym pravidlem:

(f(x)g(x))′ = f ′(x)g(x) + g(x)f ′(x). (39)

Nynı tuto rovnici integrujme:∫ b

a(f(x)g(x))′ dx =

∫ b

af ′(x)g(x)dx+

∫ b

ag(x)f ′(x)dx. (40)

Protoze integrovanı je inverznı operace k derivovanı, pro levou stranu rovnice okamzitepıseme: ∫ b

a(f(x)g(x))′ dx = [f(x)g(x)]ba. (41)

11

Studijnı text Fyzika

Obrazek 6: K Lagrangeove veta

Vysledna formule znı:∫ b

af(x)g′(x)dx = [f(x)g(x)]ba −

∫ b

af ′(x)g(x)dx (42)

Pro ilustraci teto metody mejme prıklad:∫ ∞0

xe−xdx = [x.(−e−x)]∞0 −∫ ∞

01.(−e−x)dx, (43)

Prvnı dva cleny v [. . . ]ba vyjdou nulove, nebot’:

[x.(−e−x)]∞0 = −xe−x∣∣∣∣x=∞

+ xe−x∣∣∣∣x=0

= 0, (44)

pritom to, ze prvnı clen je nulovy, plyne z jeho limity:

limx→∞

x.e−x = limx→∞

x

ex

∞∞= lim

x→∞

1

ex= 0. (45)

Substituce

Druhou zakladnı metodou je substituce. Jak nazev napovıda, zmenıme integracnıpromennou a doufame, ze prevedeme integral do jednodussıho/dobre znameho tvaru,ve kterem ho uz umıme vyresit.Princip substituce si ukazeme prımo na prıkladu. Mejme urcit:∫ 1

0xe−x

2dx. (46)

Zvolıme substituci: y = x2, najdeme dy = 2xdx a upravıme integracnı meze: y(0) =0, y(1) = 1. Substitucı integracnı promenne v integralu a zmenou integracnıch mezıdostavame: ∫ 1

0xe−x

2dx =

1

2

∫ 1

0e−ydy =

1

2[−e−y]10 =

1

2(1− e−1). (47)

12

Studijnı text Fyzika

Prıklad: Obvod a obsah kruhu

Chceme-li spocıtat obvod kruhu, provadıme integraci:

O =

∫obvod

dl. (48)

Ze symetrie lze pro element kruhu psat: dl = Rdφ, kde R je polomer kruhu a dφmaly uhel. Ocividne probıha uhel od [0, 2π). Dostavame tım:

O =

∫obvod

dl =

∫ 2π

0Rdφ = R[φ]2π0 = 2πR. (49)

Pri vypoctu plochy kruhu opet vyjdeme ze symetrie. Chceme spocıtat integral:

S =

∫plocha

dS, (50)

kde dS = 2πrdr je infinitezimalnı ploska a integrace probıha mezi [0, R] (tedy odstredu na okraj). Nas integral proto vypada:

S =

∫plocha

dS =

∫ R

02πrdr = 2π

[r2

2

]R0

= πR2. (51)

5 Diferencialnı rovnice

Jednou z nejdulezitejsıch aplikacı diferencialnıho a integralnıho poctu je resenı dife-rencialnıch rovnic. Principem resenı rovnic je hledanı funkcı, u nichz mame zadanepodmınky na jejich derivace. V teto kapitole se seznamıme pouze s nejjednodussımitypy rovnic a metodami resenı.

Separace promennych

Nejjednodussı rovnice, se kterymi se muzeme setkat, jsou tvaru:

d

dtx(t) = g(t)h(x(t)). (52)

Hledame funkci x(t), ktera vyhovuje rovnici (52). Postup je takovy, ze vyrazy ex-plicitne zavisejıcı na promenne t prevedeme na jednu stranu, zavislou promennou xna druhou a integrujeme obe strany:

dx

h(x)=

dt

g(t)⇒∫

dx

h(x)=

∫g(t)dt. (53)

Pokud se nam obe strany rovnice podarı vyintegrovat, zbyva algebraickymi upravamivyjadrit hledane x(t). Tento obecny postup si ilustrujeme na konkretnım prıkladunıze.

13

Studijnı text Fyzika

Prıklad: Pad s odporem

Mejme kulicku o hmotnosti m, kterou upustıme z pocatecnı vysky h0 a nechamepadat. Pri padu kulicky lze predpokladat linearnı zavislost odporove sıly na rych-losti padu, tj. F = −kv, kde k > 0. Nasim ukolem bude nalezt rychlost kulicky vobecnem case t.

Nejprve si zadanı prepıseme v reci rovnic:

ma = F = −kv +mg. (54)

Vıme, ze zrychlenı je derivace rychlosti podle casu – dostavame tedy diferencialnırovnici:

d

dtv(t) = −kv(t)

m+ g. (55)

Upravou rovnice dostaneme: ∫mdv

kv − gm= −

∫1dt. (56)

Pouzitım substituce: w = kv − gm, dw = kdv vyresıme integral:

m

kln |kv−mg| = −t+C0 ⇒ ln |kv−mg| = − tk

m+C1 ⇒ kv−mg = K0e

− tkm , (57)

coze dava:v(t) = K1e

− tkm +

mg

k. (58)

Pomocı pocatecnı podmınky v(0) = 0 dopocıtame integracnı konstantu K1 = −mgk .

Pro rychlost v case t jsme tedy dostali vztah:

v(t) =mg

k

(1− e−

tkm

). (59)

Linearnı rovnice 1. radu

Dalsım dulezitym typem diferencialnıch rovnic jsou linearnı rovnice. Budou nas tedyzajımat rovnice tvaru:

d

dtx(t) = a(t)x+ b(t). (60)

Pro ucely tohoto textu budeme predpokladat, ze b(t) = 0. Potom dostavame rovnici:

d

dtx(t) = a(t)x. (61)

Takovou diferencialnı rovnici nazyvame homogennı linearnı rovnice 1. radu. Homo-gennı, protoze platı b(t) = 0, a 1. radu, protoze se v rovnici vyskytujı nejvyse prvnıderivace, a linearnı, nebot’ soucet dvou ruznych resenı rovnice je opet jejı resenı. Tutorovnici lze vyresit metodou separace promennych, kterou jsme si ukazali v minulecasti.

14

Studijnı text Fyzika

Harmonicky oscilator

Krasnym prıkladem pokrocilejsı diferencialnı rovnice je harmonicky oscilator. Resımenasledujıcı problem – mame hmotny bod o hmotnosti m, na ktery pusobı jedinasıla F ve smeru k bodu x = 0. Tato sıla navıc zavisı jen na souradnici hmotnehobodu x a konstante k > 0. Na jednu stranu tedy dostavame2 F = −kx, na druhoustranu mame z 2. Newtonova zakona F = ma. Kdyz obe rovnice dame dohromady,dostavame pohybovou rovnici harmonickeho oscilatoru3:

x′′(t) +k

mx(t) = 0. (62)

Oznacme si ω =√

km . Pokud si vzpomeneme na derivace zakladnıch funkcı, po

chvılce premyslenı nas napadne, ze funkce cos(ωt) bude resenı rovnice. To stejneby nas mohlo napadnout i o funkci sin(ωt). Protoze obe goniometricke funkce jsouresenım rovnice (62), ktera je linearnı, je linearnı kombinace:

x(t) = C1 cos(ωt) + C2 sin(ωt) = A cos(ωt+ φ). (63)

opet resenım te same rovnice. Vsimneme si, ze velicina ω, kterou jsme na zacatkudefinovali jako k/m, ma vyznam uhlove frekvence ω = 2π/T , kde T je perioda.To, ze soucet dvou resenı je opet resenı, je netrivialnı tvrzenı a obecne neplatı. Zdeplatı prave z toho duvodu, ze nase rovnice je linearnı.

Dulezite je si uvedomit, ze pokud dostaneme pri resenı fyzikalnı ulohy rovnici, kterama formalne stejny tvar jako (62), pak musı mıt i stejne resenı a to nezavisle nafyzikalnı podstate problemu. Fyzikalnı system se tak chova v abstraktnım slovasmyslu jako

”harmonicky oscilator“ (nebo

”pruzina“).

Prıklad: Brzdeny pohyb

Teleso o hmotnosti m se pohybuje rychlostı v0 a proti jejımu pohybu pusobı sılaprımo umerna jeho rychlosti F = −kv. Na jake draze s1 teleso zastavı?Resenı: Pomocı 2. Newtonova zakona sestavıme pohybovou rovnici:

F = ma = mdv

dt= m

dv

dx

dx

dt= mv

dv

dx= −kv. (64)

Tuto rovnici vyresıme separacı promennych:

mdv = −kdx⇒ m

∫ 0

v0

dv = −k∫ s1

0dx⇒ s1 =

mv0

k. (65)

2Znamenko minus vyjadruje, ze sıla pusobı do rovnovazne polohy, kterou jsme zavedli jakox0 = 0.

3Vyuzıvam toho, ze zrychlenı je derivace rychlosti podle casu, a tedy druha derivace drahy podlecasu.

15

Studijnı text Fyzika

Reference

[1] MATEMATIKA PRO GYMNAZIA DIFERENCIALNI A INTEGRALNIPOCET, Dag Hruby; Josef Kubat, Prometheus, 1997

[2] DIFERENCIALNI POCET VE FYZICE, Miroslava Jaresova, Ivo Volf,Studijnı text Fyzikalnı olympiady, http://fyzikalniolympiada.cz/texty/

matematika/difpoc.pdf

[3] INTEGRALNI POCET VE FYZICE, Miroslava Jaresova, Ivo Volf, Studijnı textFyzikalnı olympiady, http://fyzikalniolympiada.cz/texty/matematika/

intpoc.pdf

16