slucajna promjenljiva

S T A T I S T I K A

XVIII SLUČAJNA PROMJENLJIVA

18-1. Slučajna promjenljiva

1. Za jednu promjenljivu X, koja može uzimati razne vrijednosti niza:

sa odgovarajućim vjerovatnoćama P tj.

kažemo da X predstavlja jednu slučajnu (aleatornu) promjenljivu. Tako prilikom bacanja kocke mogu da se pojave sledeći događaji: = 1, 2, 3, 4, 5 i 6 tj. X može uzeti neku od ovih vrijednosti. Ali, mi ne možemo tačno znati koja će vrijednost (od ovih) pasti prilikom jednog bacanja kocke. To bi bilo sličajno da pogodimo broj koji će pasti. No, sigurno je da će pasti jedna od ovih vrijednosti sa odgovarajućom vjerovatnoćom , a koja će to vrijednost biti, zavisi od slučaja.

Takve slučajne promjenljive mogu da budu: bacanje kocke, bacanje novčića, registrovanje telefonskih poziva u jednom intervalu, pogoci u cilj sa određene udaljenosti, broj neispravnih proizvoda u sukcesivno uzimanim uzorcima i čitav niz drugih slučajnih promjenljivih, gdje obilježje X uzima niz različitih vrijednosti, a svakoj od tih vrijednosti pripada određena vjerovatnoća. U slučaju sa bacanjem kocke imali smo da X uzima vrijednost X: 1, 2, 3, 4, 5, 6, sa odgovarajućim vjerovatnoćama

.

Pošto je X slučajna promjenljiva, onda i svaka funkcija od X može, takođe, biti slučajna promjenljiva. Takve slučajne promjenljive bi, na pr. bile:

itd

2) Slučajne promjenljive mogu biti:

a) diskontinuirane (prekidne) veličine i

b) kontinuirane (neprekidne) veličine

Promjenljivu X nazivamo diskretnom (prekidnom) slučajnom promjenljivom ako vrijednosti, koje uzima , obrazuju konačan ili beskonačan niz i ako je uzimanje bilo koje od ovih vrijednosti iz niza slučajan događaj sa odgovarajućim vrijednostima

. Ovdje je vjerovatnoća da slučajna varijabla X uzme vrijednost je vjerovatnoća da promjenljiva X uzme vrijednost itd. U stvari, imamo:

Vjerovatnoće moraju da zadovolje dva uslova:

1. Sve vrijednosti su veće ili jednake nuli.

2. Pošto se događaji međusobno isključuju, unija tih događaja je siguran događaj, pa je suma vjerovatnoća jednaka jedinici. Ili,

306

Univerzitet Crne Gore u Podgorici ─ Ekonomski fakultet

za

18-2. Zakon vjerovatnoće

Skup parova vrijednosti gdje je i = 1, 2,.....n, odnosno

zovemo zakonom vjerovatnoće konkretne slučajne promjenljive X. To su nizovi vrijednosti sa jedne strane i odgovarajuće vjerovatnoće pojavljivanja tih vrijednosti, sa druge strane, koje se često tabelarno prikazuju.

Pr. 1. Ako se bacaju dvije kocke, kao slučajnu varijablu definišemo zbir na kockama (2, 3, 4....12). Kao što znamo broj parova je 36, pa bi iz tog niza parova registrovali one parove koji daju moguće zbirove od 2 do 12. Dobili bi uz zbirove i vjerovatnoće pojavljivanja pojedinih zbirova:

Pr. 2. Neka je 100 strijelaca gađalo jedan cilj i imalo sledeće pogotke, iz pet pokušaja:

Broj pogodaka Broj strijelaca Empirijske vjerovatnoće0 5 0,051 39 0,392 28 0,283 15 0,154 9 0,095 4 0,04

100

U ovom primjeru su empirijske vjerovatnoće izjednačene sa relativnim

frekvencijama, pa smo dobili jedan empirijski zakon vjerovatnoće.

Zakon vjerovatnoće se može predstaviti grafički preko histograma i na taj način se dobija kompletniji raspored odgovarajućih vjerovatnoća promjenljive X. Gornji primjer o broju pogodaka sa odgovarajućim vjerovatnoćama bi imao sledeći izgled:

307

S T A T I S T I K A

0.4

0.3

0.2

0.1

0 0 1 2 3 4 5

Slika XVIII.1

Ovdje se za veličinu grupnog razmaka uzima jedinična dužina, pa je površina pravougaonika iznad pojedinog razmaka jednaka vjerovatnoći .

Zakon vjerovatnoće se ne mijenja ako se izvrše neke transformacije slučajne

promjenljive X. Radi ilustracije je uzet slučaj kada slučajnu varijablu množimo konstantom "a",

kada je uvećamo za konstantu "c" i slučaj kada slučajnu varijablu, množenu sa "a" uvećamo za

konstantu "c".

Bacanje kocke

308


Kada je u pitanju neprekidna varijabla, onda se kod neprekidnog rasporeda traži vjerovatnoća da aleatorna promjenljiva X uzme ma koju vrijednost infinitezimalnog razmaka:

Takve aleatorne promjenljive su težina, visina, razne dimenzije osovina, odlivaka i sl. Ove slučajne promjenljive mogu uzeti bilo koju vrijednost iz razmaka (a,b) koji može biti konačan, beskonačan, otvoren, zatvoren, poluotvoren itd. (a najčešće se pojavljuju otvoreni i beskonačni razmaci).

Zakonom vjerovatnoće neprekidne slučajne promjenljive određuju se vjerovatnoća da X bude u razmaku i gdje su i iz intervala (a,b), tj.

gdje su

U stvari, sko se cio interval (a,b) podijeli na podrazmake podjednake dužine , tada imamo da X uzima vrijednosti:

Ako postoji funkcija f(x) takva da je:

onda finkciju f(x) zovemo zakonom vjerovatnoće neprekidne slučajne promjenljive X, gdje se f(x) d x naziva elementarnom vjerovatnoćom. Ova elementarna vjerovatnoća predstavlja da će slučajna promjenljiva X uzeti neku vrijednost iz intervala:

Pošto je jer je onda imamo da je

Iz ovog proizilazi da f(x) mora da ispuni uslove:

1. za svako

2. Zbir elementarnih vjerovatnoća je jednak 1. Jer, ako se X kreće u razmaku od , onda je i

Otuda imamo da je za one vrijednosti X za koje je i .

18-3. Funkcija rasporeda

309

S T A T I S T I K A

Funkcija rasporeda je funkcija koja definiše vjerovatnoću kada se slučajna promjenljiva nalazi u intervalu , da će aleatorna promjenljiva X uzeti vrijednosti manje ili jednake od nekog , odnosno . Ili,

zovu se funkcijom rasporeda ili kumulativnom funkcijom rasporeda vjerovatnoća slučajne promjenljive X.

Osobenosti funkcije rasporeda su:

1. Funkcija rasporeda je monotono neopadajuća po x i definisana je za svako . Vrijednosti funkcije rasporeda su sve veće i veće, jer se vjerovatnoća kumuliraju,

pa je:

ili

jer je razmak jedan sadržan u razmaku dva.

2. Monotonija i ograničenost funkcije rasporeda povlače postojanje graničnih vrijednosti i . Odnosno:

- nemoguć slučaj

- siguran događaj

3. Pošto funkcija rasporeda predstavlja kumulaciju vjerovatnoća, onda se njene vrijednosti kreću od 0 do 1 tj. .

Ako je u pitanju prekidna veličina, tada aleatorna promjenljiva uzima vrijednosti koje su sve manje od neke granične vrijednosti x, pa imamo da je:

Tu svakoj vrijednosti X odgovara neka vjerovatnoća, tj.

Ako bi ovaj znak vjerovatnoće predstavljali grafički, dobili bi histogram vjerovantoća. No, ako bi grafički predstavljali ovu funkciju rasporeda, imali bi dijagram stepenastog oblika, jer je u pitanju prekidna veličina, što se može vidjeti na sl. XVIII. 2.

Broj podataka Elementarna vjerovatnoća Kumul. vrijednost0 0,05 0,051 0,39 0,442 0,28 0,72

310


3 0,15 0,874 0,09 0,965 0,04 1,00

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 0 1 2 3 4 5

Slika XVIII.2

Poznavanje funkcije rasporeda omogućuje nam da pronađemo zakon rasporeda i obratno. Jer, ako znamo funkciju rasporeda i vrijednosti X, tada imamo:

Iz ovog slijedi da se pojedine vjerovatnoće mogu dobiti sledećim postupkom:

Kod neprekidne slučajne varijable vrlo je važno poznavati funkciju rasporeda, jer se preko ove takođe može konstruisati zakon vjerovatnoće neprekidne slučajne varijable. To se postiže nalaženjem izvoda funkcije rasporeda:

311

S T A T I S T I K A

Obrnuto od ovog postupka, integral zakona vjerovatnoće u datim granicama (a,b) daju funkciju rasporeda. Kod neprekidne slučajne varijable imamo da je:

Ovdje je a

Grafički se funkcija rasporeda neprekidne slučajne varijable asimptotski približava pravoj Y = 1. (sl. XVIII.3).

1

0

312


18-4. Očekivane vrijednosti

Neka je data slučajna promjenljiva X koja uzima vrijednosti , sa odgovarajućim vjerovatnoćama , tj.:

Pod očekivanom vrijednošću slučajne promjenljive X ili E(X), podrazumijevamo ukupan zbir proizvoda pojedinih vrijednosti slučajne promjenljive X sa odgovarajućim vrijednostima njihovih pojavnih vjerovatnoća. Odnosno:

Ako ovaj red na desnoj strani konvergira apsolutno, tada varijabla X ima konačnu očekivanu

vrijednost i obrnuto, ako ne konvergira apsolutno, onda varijabla X nema konačnu

očekivanu vrijednost.

Pr. Broj neispravnih proizvoda X: 0 1 2 3 4

Vjerovatnoća pojavljivanja P: 2/20 5/20 7/20 3/20 1/20

18-4.1. Osobine očekivanih vrijednosti

a) Očekivana vrijednost konstante c jednaka je toj konstanti c. Ako imamo:

gdje su jednaki c, tada dobijamo:

odnosno očekivana vrijednost

2. Očekivana vrijednost proizvoda konstante "a" i slučajne promjenljive X jednaka je proizvodu te konstante i očekivane vrijednosti te slučajne promjenljive.

313

S T A T I S T I K A

Slijedi da je

Slično bi bilo kad bi slučajna promjenljiva imala oblik aX+c, gdje su "a" i "c" konstante. U tom slučaju bi očekivana vrijednost bila:

Pr.

E: 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 + 6/6 = 21/6 = 7/2

U = aX+b X: 4 6 8 10 12 14

a=2 p: 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

b=2

1. Očekivana vrijednost neprekidne varijable X dobija se sabiranjem proizvoda sa odgovarajućim elementarnim vjerovatnoćama f(x)dx. Ali, pošto je u pitanju neprekidna promjenljiva, tih proizvoda je beskonačno mnogo, a njihov zbir je očekivana vrijednost te neprekidne slučajne varijable. Ona se dobija pomoću integrala, odnosno,

gdje je

I neprekidna slučajna varijabla treba da zadovolji navedene osobine:

a)

tj. očekivana Vvrijednost konstante jednaka je toj konstanti

b)

odnosno, očekivana vrijednost proizvoda konstante i slučajne promjenljive X, jednaka je proizvodu te konstante i očekivane vrijednosti te promjenljive.

c)

2. Očekivana vrijednost odstupanja slučajne promjenljive X od njene očekivane vrijednosti tj.

314


jer, pretpostavlja se da je očekivana vrijednost promjenljive X jedan konstantan broj tj. , pa je otuda

Očekivana vrijednost zbira (razlike) slučajnih promjenljivih jednaka je zbiru (razlici) očekivanih vrijednosti pojedinih slučajnih promjenljivih.

Očekivana vrijednost proizvoda (količnika) slučajnih promjenljivih jednaka je proizvodu (količniku) očekivanih vrijednosti pojedinih slučajnih promjenljivih.

315

slucajna promjenljiva

Documents