Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez

Doğrusal Programlama

§ Belirli bir amacın gerçekleşmesini etkileyen bazı kısıtlayıcı koşulların

ve bu kısıtlayıcı koşulların doğrusal eşitlik ya da eşitsizlik biçiminde

verilmesi durumunda amaca en uygun çözümün bulunmasını

sağlayan bir matematiksel yöntemdir.

§ Amaç fonksiyonunu en büyük veya en küçük yapacak en iyi çözüme

adım adım yaklaşan bir algoritma (hesaplama yöntemi)’ dır.

Doğrusal Programlama

UYGULANDIĞI ALANLAR § Yatırım ve üretim planlamasında § Ulaştırma sorunlarının çözümünde, § İşletmelerin kuruluş yerlerinin saptanması, § Beslenme problemlerinin çözümünde, § İşletmelerde görevlerin planlanmasında

Doğrusal Programlama

•  Modeldeki değişkenlerin rakamlarla ifade edilebilir (kantitatif ) olması gerekir.

Kalitatif değişkenlerle model kurulamaz.

•  Değişkenler arasında alternatif seçim olanağı olmalıdır. Alternatif yoksa DP

söz konusu olamaz, örneğin bir çiftlikte tek bitki yetiştirilecekse

optimizasyona gerek yoktur, çiftlikte birkaç alternatif bitki yetiştirilebilecekse,

çiftlik karının maksimum olabilmesi için hangi bitkiden ne kadar üretim

yapılması gerektiği, DP ile belirlenebilir.

Doğrusal Programlama’nın dayandığı varsayımlar

§ Değişkenler arasında kurulan ilişkiler doğrusal olmalıdır.

§ DP’nın uygulanacağı işletme problemleri kısa dönemli olmalıdır.

§ Tarımsal üretimde girdi ve üretim fiyatları ancak kısa dönemlerde

sabit kabul edilebilir.

Doğrusal Programlama’nın dayandığı varsayımlar

§ Y=a+bX Doğrusal ilişki (2 değişken arasında, Y bağımlı değişken, X bağımsız değişken)

§ Y=b0+b1X1+b2X2+......+bnXn Doğrusal ilişki (Birkaç bağımsız değişken ile bağımlı değişken arasında)

§ Y=5X Doğrusal ilişki

§ Y=3X2 Doğrusal değil (Eğrisel ilişki)

§ Y=4+7(X)0.5 Doğrusal değil (Eğrisel ilişki)

Doğrusal İlişki

§ DP modelinde 3 unsur vardır :

1.  Amaç fonksiyonu

2.  Kısıtlar (kısıtlayıcı fonksiyonlar)

3.  Pozitiflik kısıtı

Doğrusal Programlamanın Matematiksel Yapısı

§ Maksimizasyon

§ Minimizasyon

Amaç Fonksiyonu

21max 5545 xxZ +=

21min 525 xxZ +=

§ Amaç fonksiyonu Z, değişkenler X ve sabit katsayılar C ile

gösterilirse, amaç fonksiyonu:

§ Veya :

§ Zmaks=C1X1+C2X2+.........+CnXn biçiminde ifade edilir.

Amaç Fonksiyonu

∑=

=n

iCiXiZ

1

max/min

Kısıtlar

),.......2,1(j 1

mbXan

ijiij =≥∑

=

),.......2,1(j 1

mbXan

ijiij =≤∑

=

),.......2,1(j 1

mbXan

ijiij ==∑

=

§ Doğrusal programlama modelleri gerçek problemlere uygulanır. Bu

nedenle değişkenler negatif değerli olamazlar. Böylece:;

yazılmalıdır.

Pozitiflik Kısıtı

0 .......XX n1 ≥

§ Modele girecek olan değişkenler problemi açıklayan kantitatif

büyüklüklerdir. Bu değişkenlerin optimum değerleri modelin

çözümü ile bulunur.

§ Parametreler ve sabiteler ise, bu değişkenlerin katsayılarını

oluştururlar.

Değişkenler

§ Modele girecek olan değişkenler; X1, X2,.......,Xn

§ Verilen sabit değerler (ham madde miktarları veya makine kapasiteleri)

b1,b2,........,bm

§ Değişkenler arasındaki ilişkileri kuran parametreler; a11,a12,.......,anm ile ifade edilir.

Değişkenler

1.  Problemin belirlenmesi

2.  Model değişkenlerinin belirlenmesi

3.  Model parametrelerinin belirlenmesi

4.  Matematiksel modelin kurulması

5.  Problemin çözülmesi

6.  Sonuçların değerlendirilmesi (yorumlanması)

7.  Sonuçların uygulanması

Doğrusal Programlama Aşamaları

§ Çözülmek istenen sorun ortaya konur.

§ Örneğin, işletmenin özellikleri, üretilecek alternatif ürünler, üretimde

kullanılan girdiler ve miktarları, kullanılan girdilerin kapasiteleri,

üretilecek ürünlerden elde edilecek gelirler, vb.

Problemin belirlenmesi

§ Üretilecek alternatif ürünler, DP modelinin karar değişkenlerini

(X1, X2, X3, ........) oluşturur.

Model Değişkenlerinin Belirlenmesi

§ Üretilecek alternatif ürünlerin gelirleri veya masrafları, DP modelinin

amaç fonksiyonunun katsayılarını (c1, c2, c3, ........) oluşturur.

§ Üretimde kullanılan girdilerin (malların, kaynakların) miktarları,

kısıtların a parametrelerini, bu kaynakların kapasiteleri ise kısıtların b

parametrelerini oluşturur.

Model Parametrelerinin Belirlenmesi

§  Amaç fonksiyonu

Zmaks=C1X1+C2X2+.........+CnXn

§  Kısıtlar a11X1+a12X2+................ +a1nXn <= b1 a21X1+a22X2+................ +a2nXn <= b2 ........................................... am1X1+am2X2+................ +amnXn <= bm

§  Pozitiflik kısıtı X1>=0 X2>=0 ......... Xn>=0

Matematiksel Modelin Kurulması

Z: Enbüyük veya enküçük yapılacak olan amaç fonksiyonu değeri

c: Karar değişkenlerinin amaç fonksiyonuna katkısı (gelir veya masraf

gibi)

X: Karar değişkenleri

a: Teknoloji katsayıları (karar değişkenlerinin üretimi için gerekli kaynak

miktarları)

b: Sınırlı kaynak miktarları (kaynak kapasiteleri)

Matematiksel Modelin Kurulması

§  Grafik Çözüm

§  Simpleks Çözüm

§  Bilgisayar yazılımları yardımıyla çözüm

Problemin Çözülmesi

§  Geliştirilmiş olan modelle sistemin çalışması karşılaştırılır ve modelin beklenen davranışı sergileyip sergilemeyeceği incelenir.

§  Modelin geçmiş olaylara uygulanarak ortaya çıkan sonuçları değerlendirilir ve geçerliliği hakkında bilgiler toplanır.

§  Elde edilen optimum çözüm sonuçlarının işletme için (yönetim

açısından) uygun olup olmadığı incelenir.

§  Uygun olmayan sonuçlar varsa ilk aşamaya geri dönülerek yeni bir model oluşturulur ve tekrar çözülür, sonuçlar yine değerlendirilir.

Sonuçların Değerlendirilmesi (Yorumlanması) ve Uygulanması

§  Bir oyuncak imalatçısı model otomobil ve uçak üretimi yapmayı planlamaktadır.

§  Şirket bu iki imalatını iki ayrı işlemin yapıldığı I ve II nolu atölyelerinde gerçekleştirmektedir. Çizelgede bir adet model otomobil ile model uçak imali için atölye işlem süreleri ve atölye kapasiteleri verilmiştir.

§  Bir model otomobil satışından 45 TL, bir model uçak satışından ise 55 TL

kar elde edilecektir.

§  Maksimum kar için her bir üründen ne kadar imal edilmelidir?

Örnek Problem

Örnek Problem

1.  Problemin belirlenmesi (problem verilmiş)

2.  Model değişkenlerinin (X) belirlenmesi

3.  Model parametrelerinin (a,b,c) belirlenmesi

4.  Matematiksel modelin kurulması

Örnek Problem Çözüm Aşamaları

Sistematik Özet

1.  Amaç fonksiyonu

2.  Kısıtlar

3.  Pozitiflik koşulu

Matematiksel Model

21max 5545 xxZ +=

18010312046

21

21

≤+

≤+

xxxx

0, 21 ≥xx

§ Kuru tarım yapan bir çiftçi sulu tarıma geçmek istiyor.

§ Kuruda yetiştirdiği bitkiler biliniyor.

§ Sulu tarımda hangi bitkileri yetiştirirse karı maksimum olur?

Örnek Problem

§ Kuruda ve suluda yetiştirebileceği (agroekolojik açıdan uygun) ürünler?

§ Bu ürünlerin pazarlama durumu?

§ Bu ürünler için gerekli teknoloji düzeyi?

§ O yörede bu ürünlerden ne kadar kazanabileceği (TL/da) ?

§  Verimi

§  Satış fiyatı

§  Üretim girdileri miktar ve fiyatları

Bilinmesi Gerekenler

§ Arazi kısıtlı mı?

§ Su kısıtlı mı?

§ Sermaye kısıtlı mı?

§  İşgücü kısıtlı mı?

§ Münavebe gerekli mi?

§ Pazarlama kısıtları var mı?

§ Hayvancılık yapılacak mı?

Bilinmesi Gerekenler

Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez

Teşekkürler