smart solution un matematika sma 2014 (full version free edition)
TRANSCRIPT
Smart Solution
UJIAN NASIONAL
Matematika SMA (Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang
TAHUN PELAJARAN 2013/2014
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2014
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 1
By Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) SKL 1. Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah.
1. 1. Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis.
Implikasi
Kesetaraan Implikasi
๐ โ ๐ โก ~๐ โจ ๐ โก ~๐ โ ~๐
Penarikan Kesimpulan
Modus Ponens & Tollens Silogisme โimplikasiโ + โpernyataanโ = โpernyataanโ โimplikasiโ + โimplikasiโ = โimplikasiโ Coret pernyataan yang sama Selesai Keterangan: Warning!! Jika terdapat pernyataan majemuk selain implikasi, maka ubah dulu menggunakan konsep kesetaraan implikasi.
Modus Ponens dan Modus Tollens
Pola penarikan kesimpulan menggunakan Modus Ponens dan Modus Tollens adalah serupa, yakni penarikan kesimpulan dari dua premis. Premis pertama adalah harus sebuah implikasi, dan premis kedua berisi pernyataan tunggal. Hasil dari penarikan kesimpulan adalah pernyataan tunggal.
Contoh: Premis 1 : Jika hari ini hujan deras, maka Bona tidak keluar rumah. Premis 2 : Bona keluar rumah. Kesimpulan : Hari ini tidak hujan deras.
Silogisme
Penarikan kesimpulan menggunakan Silogisme adalah penarikan kesimpulan dari dua premis yang harus berupa implikasi. Hasil dari penarikan kesimpulan adalah implikasi dan bentuk setara yang lain. Contoh: Premis 1 : Jika cuaca hujan maka Agus pakai payung. Premis 2 : Jika Agus pakai payung maka Agus tidak basah. Kesimpulan : Jika cuaca hujan maka Agus tidak basah. = Cuaca tidak hujan atau Agus tidak basah. = Jika Agus basah maka cuaca tidak hujan.
SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA Program IPA
Per Indikator Kisi-Kisi UN 2014
Halaman 2 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
1. 2. Menentukan ingkaran atau kesetaraan dari pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor.
Ingkaran
Pernyataan Majemuk Pernyataan Berkuantor
โDan, Atauโ โJika Makaโ โSemua, Adaโ Ubah operator dan pernyataan โdan tidakโ Ubah kuantor dan pernyataan
Selesai Keterangan: โDan, Atauโ
Pola ingkaran dari pernyataan majemuk konjungsi dan disjungsi adalah sama, yaitu tukarkan operator dan ingkarkan semua pernyataannya. Contoh: Ingkaran dari Saya makan mie dan dia membeli baju adalah: Saya tidak makan mie atau dia tidak membeli baju
โJika Makaโ Pola ingkaran dari pernyataan majemuk implikasi adalah โdan tidakโ. Contoh: Ingkaran dari Jika saya lulus ujian maka ayah memberi hadiah adalah: Saya lulus ujian dan ayah tidak memberi hadiah
โSemua, Adaโ
Pola ingkaran dari pernyataan berkuantor adalah sama, yaitu tukarkan operator kuantornya dan ingkarkan pernyataannya. Contoh: Ingkaran dari Semua siswa ikut upacara bendera pada hari Senin. adalah: Ada siswa tidak ikut upacara bendera pada hari Senin
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 3
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Diketahui premis-premis sebagai berikut:
Premis 1 : Jika hari ini hujan deras, maka Bona tidak keluar rumah.
Premis 2 : Bona keluar rumah.
Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah ....
A. Hari ini hujan deras
B. Hari ini hujan tidak deras
C. Hari ini hujan tidak deras atau bona tidak keluar rumah
D. Hari ini tidak hujan dan Bona tidak keluar rumah
E. Hari ini hujan deras atau Bona tidak keluar rumah
2. Ingkaran pernyataan โJika semua anggota keluarga pergi, maka semua pintu rumah dikunci rapat โ adalah
....
A. Jika ada anggota rumah yang tidak pergi maka ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat.
B. Jika ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat maka ada anggota keluarga yang tidak pergi.
C. Jika semua pintu rumah ditutup rapat maka semua anggota keluarga pergi.
D. Semua anggota keluarga pergi dan ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat.
E. Semua pintu rumah tidak dikunci rapat dan ada anggota keluarga yang tidak pergi.
3. Diketahui premis-premis berikut:
Premis 1 : Jika Tio kehujanan, maka Tio sakit.
Premis 2 : Jika Tio sakit, maka ia demam.
Kesimpulan dari kedua premis tersebut adalah ....
A. Jika Tio sakit maka ia kehujanan.
B. Jika Tio kehujanan maka ia demam.
C. Tio kehujanan dan ia sakit.
D. Tio kehujanan dan ia demam.
E. Tio demam karena kehujanan.
4. Ingkaran pernyataan โJika semua mahasiswa berdemonstrasi maka lalu lintas macetโ adalah ....
A. Mahasiswa berdemonstrasi atau lalu lintas macet.
B. Mahasiswa berdemonstrasi dan lalu lintas macet.
C. Semua mahasiswa berdemonstrasi dan lalu lintas tidak macet.
D. Ada mahasiswa berdemonstrasi.
E. Lalu lintas tidak macet.
5. Diketahui premis-premis sebagai berikut:
Premis I : โJika Cecep lulus ujian maka saya diajak ke Bandung.โ
Premis II : โJika saya diajak ke Bandung maka saya pergi ke Lembang.โ
Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah ....
A. Jika saya tidak pergi ke Lembang maka Cecep lulus ujian.
B. Jika saya pergi ke Lembang maka Cecep lulus ujian.
C. Jika Cecep lulus ujian maka saya pergi ke Lembang.
D. Cecep lulus ujian dan saya pergi ke Lembang.
E. Saya jadi pergi ke Lembang atau Cecep tidak lulus ujian.
6. Negasi dari pernyataan: โJika semua siswa SMA mematuhi disiplin sekolah maka Roy siswa teladanโ,
adalah ...
A. Semua siswa SMA mematuhi disiplin sekolah dan Roy bukan siswa teladan.
B. Semua siswa SMA mematuhi disiplin sekolah dan Roy siswa teladan.
C. Ada siswa SMA mematuhi disiplin sekolah dan Roy bukan siswa teladan.
D. Ada siswa SMA mematuhi disiplin sekolah atau Roy siswa teladan.
E. Jika siswa SMA disiplin maka Roy siswa teladan.
Modus tollens : โ๐ข๐๐๐ โ โผ ๐๐๐๐ข๐๐ ๐๐๐๐ข๐๐ โด โผ โ๐ข๐๐๐ Jadi kesimpulannya hari ini tidak hujan deras.
โผ [(โ๐๐๐๐๐๐ก๐, ๐๐๐๐๐) โ (โ๐๐๐๐ก๐ข, ๐๐๐๐ข๐๐๐)] โก (โ๐๐๐๐๐๐ก๐, ๐๐๐๐๐) โง (โ๐๐๐๐ก๐ข, โผ ๐๐๐๐ข๐๐๐)
Silogisme : โ๐ข๐๐๐ โ ๐ ๐๐๐๐ก ๐ ๐๐๐๐ก โ ๐๐๐๐๐ โด โ๐ข๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐ Jadi kesimpulannya Jika Tio kehujanan, maka ia demam.
โผ [(โ๐๐โ๐๐ ๐๐ ๐ค๐, ๐๐๐๐) โ ๐๐๐๐๐ก] โก (โ๐๐โ๐๐ ๐๐ ๐ค๐, ๐๐๐๐) โง โผ ๐๐๐๐๐ก
Silogisme : ๐๐ข๐๐ข๐ โ ๐ต๐๐๐๐ข๐๐ ๐ต๐๐๐๐ข๐๐ โ ๐ฟ๐๐๐๐๐๐ โด ๐๐ข๐๐ข๐ โ ๐ฟ๐๐๐๐๐๐ Jadi kesimpulannya Jika Cecep lulus ujian maka saya pergi ke Lembang.
โผ [(โ๐ ๐๐ ๐ค๐, ๐๐๐๐๐ก๐ขโ๐) โ ๐ก๐๐๐๐๐๐] โก (โ๐ ๐๐ ๐ค๐, ๐๐๐๐๐ก๐ขโ๐) โง โผ ๐ก๐๐๐๐๐๐
Halaman 4 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
SKL 2. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan aturan pangkat, akar dan logaritma, fungsi aljabar sederhana, fungsi kuadrat, fungsi eksponen dan grafiknya, fungsi komposisi dan fungsi invers, sistem persamaan linear, persamaan dan pertidaksamaan kuadrat, persamaan lingkaran dan garis singgungnya, suku banyak, algoritma sisa dan teorema pembagian, program linear, matriks dan determinan,vektor, transformasi geometri dan komposisinya, barisan dan deret, serta mampu menggunakannya dalam pemecahan masalah.
2. 1. Menggunakan aturan pangkat, akar dan logaritma.
Pangkat
Definisi Sifat ๐๐ = ๐ ร ๐ รโฆร ๐โ
๐ ๐๐๐๐ก๐๐
โBilangan Pokok Samaโ โKurungโ
untuk ๐ โ 0, berlaku:
๐0 = 1
๐โ๐ =1
๐๐
๐๐ ร ๐๐ = ๐๐+๐
๐๐
๐๐= ๐๐โ๐ ; ๐ โ 0
(๐๐)๐ = ๐๐ร๐
(๐ ร ๐)๐ = ๐๐ ร ๐๐
(๐
๐)๐=๐๐
๐๐ ; ๐ โ 0
Pangkat Pecahan
Bentuk Akar
Definisi Sifat โInvers Pangkatโ โBentuk Akar Samaโ โKurungโ
๐ = ๐๐ โ โ๐๐
= ๐
"Pangkat Pecahan"
โ๐๐
= ๐1๐
๐โ๐๐+ ๐โ๐
๐= (๐ + ๐)โ๐
๐
๐โ๐๐โ ๐โ๐
๐= (๐ โ ๐)โ๐
๐
โโ๐๐๐= โ๐
๐ร๐
โ๐๐๐
= โ๐๐ร โ๐
๐
โ๐
๐
๐=
โ๐๐
โ๐๐ ; ๐ โ 0
Haram menjadi penyebut pecahan
Rasionalisasi
โkalikan sekawan penyebutโ
๐
โ๐=
๐
โ๐รโ๐
โ๐
๐
โ๐+โ๐=
๐
โ๐+โ๐รโ๐โโ๐
โ๐โโ๐
Syarat: ๐ โ ๐ ๐ โ โค +
"Bentuk Akar Beda" Untuk ๐ > ๐, berlaku:
โ๐ + โ๐ = โ(๐ + ๐) + 2โ๐๐
โ๐ โ โ๐ = โ(๐ + ๐) โ 2โ๐๐
Syarat: ๐, ๐ โ โ๐ โ โค +
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 5
Logaritma
Definisi Sifat ๐๐ = ๐ โ ๐ log ๐ = ๐
Sehingga diperoleh:
๐0 = 1 โ ๐ log 1 = 0
๐1 = ๐ โ ๐ log ๐ = 1
๐๐ = ๐๐ โ ๐ log ๐๐ = ๐
"Penjumlahan Pengurangan"
๐ log(๐๐) = ๐ log ๐ + ๐ log ๐
๐ log (๐
๐) = ๐ log ๐ โ ๐ log ๐
๐ log ๐๐ = ๐ โ ๐ log ๐
"Perbandingan"
๐ log ๐ =๐ log ๐๐ log ๐
=1
๐ log ๐๐ log ๐ = ๐ log ๐ โ ๐ log ๐
๐๐ log ๐๐ =๐
๐โ ๐ log ๐
Tipe soal yang sering keluar
Pangkat Menyederhanakan bentuk pangkat
Bilangan pokok berupa angka, ubah ke bentuk bilangan pokok yang paling sederhana. Bilangan pokok berupa variabel, lakukan operasi pangkat tiap variabel. Contoh: Tentukan bentuk sederhana dari:
2512 โ 12
56
834 โ 6
13
= โฆ.
Penyelesaian:
2512 โ 12
56
834 โ 6
13
=2512 โ (22 โ 3)
56
(23)34 โ (2 โ 3)
13
=2512 โ 2
53 โ 3
56
294 โ 2
13 โ 3
13
= 2512+53โ94โ13 โ 3
56โ13
= 2โ12 โ 3
12
=312
212
= (3
2)
12
๐ log ๐ = ๐ log ๐ โ ๐๐ log๐ = ๐
Syarat: ๐, ๐ > 0๐ โ 1
Contoh: Tentukan bentuk sederhana dari: 24๐โ7๐โ2๐1
6๐โ2๐โ3๐โ6= โฆ.
Penyelesaian: 24๐โ7๐โ2๐1
6๐โ2๐โ3๐โ6= 8 โ ๐โ7โ(โ2) โ ๐โ2โ(โ3) โ ๐1โ(โ6)
= 8๐โ5๐๐7
=8๐๐7
๐5
Halaman 6 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Bentuk Akar Menyederhanakan Bentuk Akar
Cari faktor bilangan tersebut yang dapat diakar, sehingga mendapatkan bentuk akar paling sederhana. Contoh:
โ72 = โ36โ2 = 6โ2
โ543
= โ273
โ23= 3โ2
3
Menyederhanakan bentuk akar dengan konsep โ(๐ + ๐) ยฑ ๐โ๐๐ = โ๐ ยฑ โ๐
Pastikan bilangan di depan akar adalah harus angka 2. Jika bukan 2, maka ubahlah menjadi 2. Contoh:
โ5 + โ24 = โฆ. Penyelesaian:
โ5 + โ24 = โ5 + โ4โ6 = โ5 + ๐โ6 = โ(3 + 2) + 2โ3 โ 2 = โ3 + โ2
Menyederhanakan bentuk akar dengan merasionalisasi penyebut pecahan bentuk akar
Kalikan dengan 1 (pecahan yang pembilang dan penyebutnya adalah sekawan bentuk akar tersebut)
Sekawan dari โ๐ adalah โ๐.
Sekawan dari โ๐ + โ๐ adalah โ๐ โ โ๐.
Sekawan dari โ๐ โ โ๐ adalah โ๐ + โ๐. Contoh: Bentuk sederhana dari
3โ3 + โ7
โ7 โ 2โ3
adalah โฆ. Penyelesaian:
3โ3 + โ7
โ7 โ 2โ3=3โ3 + โ7
โ7 โ 2โ3รโ7 + 2โ3
โ7 + 2โ3=3โ21 + 18 + 7 + 2โ21
7 โ 12=25 + 5โ21
โ5= โ5 โ โ21
Logaritma Menyederhanakan bentuk logaritma
Gunakan definisi dan sifat logaritma untuk menyederhanakan logaritma. Contoh: 5 โ 2 log 3 + 2 log 5 โ 2 log 15
2 log 9= โฆ.
Penyelesaian: 5 โ 2 log 3 + 2 log 5 โ 2 log 15
2 log 9=2 log 35 + 2 log 5 โ 2 log 15
2 log 9
=
2 log (35 โ 515
)
2 log 9
=2 log 34
2 log 9
= 9 log 34
= 9 log(32)2
= 9 log 92
= 2 โ 9 log 9= 2 โ 1= 2
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 7
Menyusun bentuk logaritma menggunakan beberapa bentuk logaritma yang lain. Gunakan definisi untuk menyusun bentuk logaritma menggunakan beberapa bentuk logaritma yang lain. Contoh: Jika 2 log 3 = ๐ dan 3 log 5 = ๐. Nilai dari 12 log 150 = โฆ. Penyelesaian:
12 log 150 =3 log 1503 log 12
=3 log(2 โ 3 โ 52)3 log(22 โ 3)
=3 log 2 + 3 log 3 + 3 log 52
3 log 22 + 3 log 3=3 log 2 + 3 log 3 + 2 โ 3 log 5
2 โ 3 log 2 + 3 log 3
=
1๐+ 1 + 2๐
2๐+ 1
=
1๐ + 1 + 2๐
2๐+ 1
ร๐
๐
=1 + ๐ + 2๐๐
2 + ๐
Cara tersebut cukup menyita waktu kalau digunakan saat mengerjakan soal UN, karena kita harus menuliskan panjang lebar konsep definisi dan sifat logaritma. Nah, perhatikan urutan mengerjakannya: Pertama, ubah logaritma menjadi perbandingan. Kedua, faktorkan numerus kedua logaritma tersebut sehingga memuat bilangan pada logaritma yang diketahui. Ketiga, menjabarkan kedua logaritma tersebut dengan menggunakan sifat penjumlahan logaritma. Keempat, mengubah bentuk logaritma ke dalam variabel yang diketahui pada soal. Kelima, apabila masih terdapat bentuk pecahan, bulatkan dengan mengalikan KPK penyebut. Selesai.
TRIK SUPERKILAT: Perhatikan basis dan numerus pada bentuk logaritma yang diketahui.
๐ log ๐ = ๐ dan ๐ log ๐ = ๐. Ternyata bilangannya adalah 2, 3, dan 5.
Lalu, cari bilangan yang sama.
Ternyata bilangan yang sama adalah 3.
Semua bilangan akan menjadi numerus dari bentuk logaritma yang akan menjadi acuan kita nanti, sedangkan bilangan yang sama akan menjadi basis dari logaritma tersebut.
๐ log 2 =1
๐
๐ log 5 = ๐ ๐ log 3 = 1 Cara membacanya:
Bilangan 2 pada langkah berikutnya akan disubstitusi dengan 1
๐.
Bilangan 5 pada langkah berikutnya akan disubstitusi dengan b. Bilangan 3 pada langkah berikutnya akan disubstitusi dengan 1.
Perhatikan basis dan numerus pada bentuk logaritma yang ditanyakan. Ubah menjadi pecahan (๐๐ข๐๐๐๐ข๐
๐๐๐ ๐๐ ).
๐๐ log ๐๐๐ โ๐๐๐
๐๐
Faktorkan kedua bilangan tersebut dengan memperhatikan ketiga angka tadi (2, 3, dan 5). Segera substitusikan faktor dari kedua bilangan tersebut seperti cara membaca ketiga logaritma acuan tadi. Jangan lupa untuk mengubah tanda perkalian menjadi penjumlahan.
150
12=2 ร 3 ร 5 ร 5
2 ร 2 ร 3=
1๐+ 1 + ๐ + ๐
1๐+1๐+ 1
=
1๐+ 1 + 2๐
2๐+ 1
Jadi,
๐๐ log ๐๐๐ =
1๐+ 1 + 2๐
2๐+ 1
Halaman 8 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Diketahui ,2,2
1 ba dan .1c Nilai dari
12
32
..
..
cba
cba adalah ....
A. 1
B. 4
C. 16
D. 64
E. 96
2. Diketahui ,2,4 ba dan .2
1c Nilai
3
421)(
c
ba adalah ....
A. 2
1
B. 4
1
C. 8
1
D. 16
1
E. 32
1
3. Jika diketahui ,5
1,
3
1 yx dan .2z Nilai
423
24
zyx
yzx adalah ....
A. 32
B. 60
C. 100
D. 320
E. 640
(๐โ1)2 ร๐4
๐โ3= (4โ1)2 ร
24
(12)โ3
=1
16ร16
8
=1
8
๐ฅโ4๐ฆ๐งโ2
๐ฅโ3๐ฆ2๐งโ4= ๐ฅโ4โ(โ3) ๐ฆ(1โ2) ๐งโ2โ(โ4)
= ๐ฅโ1 ๐ฆโ1 ๐ง2
= (1
3)โ1
(1
5)โ1
(2)2
= 3 โ 5 โ 4= 60
๐โ2๐๐3
๐๐2๐โ1=๐4
๐3๐=
14
(12)3
2
=1
14
= 4
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 9
4. Bentuk 327
733
dapat disederhanakan menjadi bentuk ....
A. 21525
B. 21525
C. 2155
D. 215
E. 215
5. Bentuk 32
322
dapat disederhanakan menjadi bentuk ....
A. 634
B. 64
C. 64
D. 64
E. 64
6. Bentuk 52
532
dapat disederhanakan menjadi bentuk ....
A. 104173
1
B. 104153
2
C. 104153
2
D. 104173
1
E. 104173
1
3โ3 + โ7
โ7 โ 2โ3=3โ3 + โ7
โ7 โ 2โ3รโ7 + 2โ3
โ7 + 2โ3
=3โ21 + 18 + 7 + 2โ21
7 โ 12
=25 + 5โ21
โ5
= โ5 โ โ21
LOGIKA PRAKTIS: Pembilang positif semua tandanya. Sekawan penyebut juga positif semua. Pasti pembilang hasil rasionalisasi positif juga (plus plus). Lihat bentuk bilangan negatif lebih besar dari bilangan positif, artinya perkalian penyebut dengan sekawan penyebut pasti negatif. Pola jawabannya pasti negatif semua (min min). Duh, tapi sayang ada dua jawaban yang seperti kriteria tsb. (A dan E).
โ2 โ 2โ3
โ2 โ โ3=โ2 โ 2โ3
โ2 โ โ3รโ2 + โ3
โ2 + โ3
=2 + โ6 โ 2โ6 โ 6
2 โ 3
=โ4 โ โ6
โ1
= 4 + โ6
โ2 + 3โ5
โ2 โ โ5=โ2 + 3โ5
โ2 โ โ5รโ2 + โ5
โ2 + โ5
=2 + โ10 + 3โ10 + 15
2 โ 5
=17 + 4โ10
โ3
=1
โ3(17 + 4โ10)
= โ1
3(17 + 4โ10)
Halaman 10 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
7. Diketahui a3log5 dan .4log3 b Nilai 15log4 ....
A. ab
a1
B. b
a
1
1
C. a
b
1
1
D. a
ab
1
E. b
ab
1
8. Diketahui ,6log3 p .2log3 q Nilai 288log24 ....
A. qp
qp
2
32
B. qp
qp
2
23
C. qp
qp
32
2
D. qp
qp
23
2
E. qp
pq
32
2
9. Diketahui ,3log2 x .10log2 y Nilai 120log6 ....
A. 1
2
x
yx
B. 2
1
yx
x
C. 2xy
x
D. x
xy 2
E. 1
2
x
xy
Jika adik-adik butuh โbocoranโ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.
4 log 15 =3 log 153 log 4
=3 log 153 log 4
=3 log(3 ร 5)
3 log 4
=3 log 3 + 3 log 5
3 log 4
=1 +
1๐
๐ร๐
๐
=๐ + 1
๐๐
TRIK SUPERKILAT: Lihat bentuk logaritma. Cari angka yang sama. Paksakan angka itu menjadi basis logaritma!
5 log 3 = ๐ โ 3 log 5 =1
๐3 log 4 = ๐3 log 3 = 1
}
bertemu 5 tulis
1
๐bertemu 4 tulis ๐bertemu 3 tulis 1
Ingat tanda kali diganti tambah ya. Cara cepat ini meringkas pengerjaan ini lho! Lihat angka berwarna biru pada cara biasa di samping! Jadi,
4 log 15
jadikanpecahanโ
15
4
faktorkansehingga
munculangka warna
biru di atasโ
3 ร 5
4
ubah tandakali menjadi
tambah,dan
โ 1 +
1๐
๐= ๐๐ ๐ก ๐๐ ๐ก
24 log 288
โ3 log 2883 log 24
โ3 log(23 ร 62)3 log(22 ร 6)
โ3 log 23 + 3 log 62
3 log 22 + 3 log 6
โ3 โ 3 log 2 + 2 โ 3 log 6
2 โ 3 log 2 + 3 log 6
โ3๐ + 2๐
2๐ + ๐
TRIK SUPERKILAT: Lihat bentuk logaritma. Cari angka yang sama. Paksakan angka itu menjadi basis logaritma! 3 log 6 = ๐3 log 2 = ๐3 log 3 = 1
} bertemu 6 tulis ๐bertemu 2 tulis ๐bertemu 3 tulis 1
Ingat tanda kali diganti tambah ya. Cara cepat ini meringkas pengerjaan pada kotak biru disamping lho! Lihat angka berwarna biru pada cara biasa di samping! Jadi,
24 log 288
jadikanpecahanโ
288
24
faktorkansehingga
munculangka warna
biru di atasโ
23 ร 62
22 ร 6
ubah tandakali menjadi
tambah,dan
โ 3๐ + 2๐
2๐ + ๐= ๐๐ ๐ก ๐๐ ๐ก
6 log 120
โ2 log 1202 log 6
โ2 log(22 ร 3 ร 10)
2 log(2 ร 3)
โ2 log 22 + 2 log 3 + 2 log 10
2 log 2 + 2 log 3
โ2 โ 2 log 2 + 2 log 3 + 2 log 10
2 log 2 + 2 log 3
โ2 + ๐ฅ + ๐ฆ
1 + ๐ฅ
TRIK SUPERKILAT: Lihat bentuk logaritma. Cari angka yang sama. Paksakan angka itu menjadi basis logaritma! 2 log 3 = ๐ฅ2 log 10 = ๐ฆ2 log 2 = 1
} bertemu 3 tulis ๐ฅbertemu 10 tulis ๐ฆbertemu 2 tulis 1
Ingat tanda kali diganti tambah ya. Cara cepat ini meringkas pengerjaan pada kotak biru disamping lho! Lihat angka berwarna biru pada cara biasa di samping! Jadi,
6 log 120
jadikanpecahanโ
120
6
faktorkansehingga
munculangka warna
biru di atasโ
22 ร 3 ร 10
2 ร 3
ubah tandakali menjadi
tambah,dan
โ 2 + ๐ฅ + ๐ฆ
1 + ๐ฅ= ๐๐ ๐ก ๐๐ ๐ก
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 11
2. 2. Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.
Persamaan Kuadrat (PK) ๐๐๐ + ๐๐ + ๐ = ๐
Akar-Akar PK
๐ฅ1 =โ๐+โ๐2โ4๐๐
2๐ atau ๐ฅ2 =
โ๐โโ๐2โ4๐๐
2๐
Jumlah Akar-Akar PK Hasil Kali Akar-Akar PK
๐ฅ1 + ๐ฅ2 = โ๐
๐ ๐ฅ1๐ฅ2 =
๐
๐
Selisih Akar-Akar PK
|๐ฅ1 โ ๐ฅ2| =โ๐2โ4๐๐
๐=
โ๐ท
๐
Bentuk Simetri Akar-Akar PK
๐ฅ1
2 ยฑ ๐ฅ22 = (๐ฅ1 ยฑ ๐ฅ2)2 โ 2๐ฅ1๐ฅ2
๐ฅ12 โ ๐ฅ2
2 = (๐ฅ1 + ๐ฅ2)(๐ฅ1 โ ๐ฅ2)
๐ฅ13 ยฑ ๐ฅ2
3 = (๐ฅ1 ยฑ ๐ฅ2)3 โ 3(๐ฅ1๐ฅ2)(๐ฅ1 ยฑ ๐ฅ2)
๐ฅ14 ยฑ ๐ฅ2
4 = (๐ฅ12 ยฑ ๐ฅ2
2)2 โ 2(๐ฅ1๐ฅ2)2
1
๐ฅ1ยฑ
1
๐ฅ2=
๐ฅ1 ยฑ ๐ฅ2
๐ฅ1๐ฅ2
1
๐ฅ12
+1
๐ฅ22
=๐ฅ1
2 + ๐ฅ22
(๐ฅ1๐ฅ2)2
๐ฅ1
๐ฅ2ยฑ
๐ฅ2
๐ฅ1=
๐ฅ12 ยฑ ๐ฅ2
2
๐ฅ1๐ฅ2
Halaman 12 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menyusun bentuk simetri akar-akar PK Ubah bentuk operasi aljabar dari akar-akar persamaan kuadrat sedemikian sehingga memuat rumus jumlah dan hasil kali akar-akar PK (dan rumus selisih akar-akar PK, kalau diperlukan). Berikut ini contoh bentuk simetri akar-akar PK yang sering muncul dalam soal: Jumlah Kuadrat Akar-Akar PK:
๐ฅ12 + ๐ฅ2
2 = โฆ. Penyelesaian: Ingat bentuk (๐ฅ1 + ๐ฅ2)2 = ๐ฅ1
2 + 2๐ฅ1๐ฅ2 + ๐ฅ22, maka diperoleh:
๐ฅ12 + ๐ฅ2
2 = (๐๐ + ๐๐)2 โ 2๐๐๐๐ Selisih Kuadrat Akar-Akar PK
๐ฅ12 โ ๐ฅ2
2 = โฆ. Penyelesaian: Ingat bentuk (๐ฅ1 โ ๐ฅ2)2 = ๐ฅ1
2 โ 2๐ฅ1๐ฅ2 + ๐ฅ22, maka diperoleh:
๐ฅ12 โ ๐ฅ2
2 = (๐๐ โ ๐๐)2 + 2๐๐๐๐ Atau ingat bentuk (๐ฅ1 + ๐ฅ2)(๐ฅ1 โ ๐ฅ2) = ๐ฅ1
2 โ ๐ฅ12, maka diperoleh:
๐ฅ12 โ ๐ฅ2
2 = (๐๐ + ๐๐)(๐๐ โ ๐๐) Jumlah Pangkat Tiga Akar-Akar PK
๐ฅ13 + ๐ฅ2
3 = โฆ. Penyelesaian: Ingat bentuk (๐ฅ1 + ๐ฅ2)3 = ๐ฅ1
3 + 3๐ฅ12๐ฅ2 + 3๐ฅ1๐ฅ2
2 + ๐ฅ23
= ๐ฅ13 + 3(๐ฅ1๐ฅ2)(๐ฅ1 + ๐ฅ2) + ๐ฅ2
3
maka diperoleh: ๐ฅ1
3 + ๐ฅ23 = (๐๐ + ๐๐)3 โ 3(๐๐๐๐)(๐๐ + ๐๐)
Jumlah Pangkat Empat Akar-Akar PK:
๐ฅ14 + ๐ฅ2
4 = โฆ. Penyelesaian: Ingat bentuk (๐ฅ2 + ๐ฅ2
2)2 = ๐ฅ14 + 2๐ฅ2๐ฅ2 + ๐ฅ2
4, maka diperoleh:
๐ฅ14 + ๐ฅ2
4 = (๐๐๐ + ๐๐
๐)2
โ 2(๐๐๐๐)2
= [(๐๐ + ๐๐)2 โ 2๐๐๐๐]2 โ 2(๐๐๐๐)2
Dan lain-lain โฆ.
Contoh: Persamaan kuadrat โ2๐ฅ2 + 3๐ฅ โ 2 = 0 memiliki akar-akar ๐ฅ1 dan ๐ฅ2, maka nilai ๐ฅ1
2 + ๐ฅ22 = ....
Penyelesaian: Pertama, cari jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat tersebut:
๐๐ + ๐๐ = โ๐
๐= โ
3
โ2=
3
2
๐๐๐๐ =๐
๐=
โ2
โ2= 1
Kedua, cari bentuk identik dari ๐ฅ1
2 + ๐ฅ22 yang memuat bentuk ๐ฅ1 + ๐ฅ2 dan ๐ฅ1
2 + ๐ฅ22.
๐ฅ1
2 + ๐ฅ22 = (๐๐ + ๐๐)2 โ 2๐๐๐๐
= (3
2)
2โ 2(1)
=9
4โ 2
=1
4
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 13
Menyusun PK Baru
Diketahui: ๐๐๐ + ๐๐ + ๐ = ๐ adalah PK Lama
๐๐ dan ๐๐ adalah akar-akar PK Lama ๐ถ dan ๐ท adalah akar-akar PK Baru
Cek dan perhatikan! Apakah ๐ถ dan ๐ท identik atau tidak?
Jika ๐ผ dan ๐ฝ identik Jika ๐ผ dan ๐ฝ tidak identik Cari invers akar PK Baru, Cari jumlah dan hasil kali akar PK Lama ๐ทโ๐ ๐๐ + ๐๐ dan ๐๐๐๐
Substitusi ๐ทโ๐ ke PK Lama
cari jumlah dan hasil kali akar PK Baru ๐ถ + ๐ท dan ๐ถ๐ท
menggunakan nilai ๐๐ + ๐๐ dan ๐๐๐๐
Rumus PK Baru adalah Rumus PK Baru adalah ๐(๐ทโ๐)
2+ ๐(๐ทโ๐) + ๐ = 0 ๐ฅ2 โ (๐ถ + ๐ท)๐ฅ + (๐ถ๐ท) = 0
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS: Ditambah artinya substitusi pengurangan. Dikurangi artinya substitusi penjumlahan. Dikalikan artinya pangkat naik. Otomatis kalau dibagi maka pangkat turun. Dibalik artinya juga dibalik. Dinegatifkan artinya koefisien ๐ juga dinegatifkan. Misal PK Lama adalah ๐๐ฅ2 + ๐๐ฅ + ๐ = 0, maka:
1. PK Baru yang akar-akarnya (๐ผ + ๐) dan (๐ฝ + ๐) ๐(๐ฅ โ ๐)2 + ๐(๐ฅ โ ๐) + ๐ = 0
2. PK Baru yang akar-akarnya (๐ผ โ ๐) dan (๐ฝ โ ๐) ๐(๐ฅ + ๐)2 + ๐(๐ฅ + ๐) + ๐ = 0
3. PK Baru yang akar-akarnya (๐๐ผ) dan (๐๐ฝ) ๐๐ฅ2 + ๐๐๐ฅ + ๐๐๐ = 0
4. PK Baru yang akar-akarnya (๐
๐ถ) dan (
๐
๐ท)
๐๐ฅ2 + ๐๐ฅ + ๐ = 0
5. PK Baru yang akar-akarnya (โ๐ผ) dan (โ๐ฝ) ๐๐ฅ2 โ ๐๐ฅ + ๐ = 0
Halaman 14 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh 1: Akar-akar persamaan kuadrat 3๐ฅ2 โ 12๐ฅ + 2 = 0 adalah ๐ผ dan ๐ฝ. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (๐ผ + 2) dan (๐ฝ + 2) adalah โฆ. Penyelesaian: Pertama, cek dan perhatikan apakah akar-akar PK Baru simetris atau tidak?
Akar-akar PK Baru (๐ผ + 2) dan (๐ฝ + 2), ternyata simetris. Memiliki pola yang sama, yaitu (๐ฅ + 2). Kedua, cari invers dari akar-akar PK Baru, (๐ฅ + 2).
Invers dari (๐ฅ + 2) adalah (๐ โ ๐). Ketiga, Substitusikan (๐ โ ๐) menggantikan variabel ๐ฅ pada PK Lama:
3(๐ โ ๐)2 โ 12(๐ โ ๐) + 2 = 0
โ 3(๐ฅ2 โ 4๐ฅ + 4) โ 12๐ฅ + 24 + 2 = 0
โ 3๐ฅ2 โ 12๐ฅ + 12 โ 12๐ฅ + 24 + 2 = 0โ 3๐ฅ2 โ 24๐ฅ + 38 = 0
Jadi, PK Baru yang akar-akarnya (๐ผ + 2) dan (๐ฝ + 2) adalah 3๐ฅ2 โ 24๐ฅ + 38 = 0.
Contoh 2: Akar-akar persamaan kuadrat 2๐ฅ2 โ 4๐ฅ + 8 = 0 adalah ๐ผ dan ๐ฝ.
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya ๐ผ
๐ฝ dan
๐ฝ
๐ผ adalah โฆ.
Penyelesaian: Pertama, cek dan perhatikan apakah akar-akar PK Baru simetris atau tidak?
Akar-akar PK Baru ๐ผ
๐ฝ dan
๐ฝ
๐ผ, ternyata tidak simetris. Tidak memiliki pola yang sama.
Kedua, cari jumlah dan hasil kali akar-akar PK Lama.
๐ถ + ๐ท = โโ4
2= 2
๐ถ๐ท =8
2= 4
Ketiga, cari jumlah dan hasil kali akar-akar PK Baru menggunakan nilai ๐ถ + ๐ท dan ๐ถ๐ท .
๐ผ
๐ฝ+
๐ฝ
๐ผ=
๐ผ2 + ๐ฝ2
๐ผ๐ฝ
=(๐ถ + ๐ท)2 โ 2๐ถ๐ท
๐ถ๐ท
=๐2 โ 2 โ ๐
๐
=4 โ 8
4
= โ4
4= โ1
๐ผ
๐ฝ
๐ฝ
๐ผ= 1
Keempat, rumus PK Baru adalah:
๐ฅ2 โ (jumlah akar-akar PK baru)๐ฅ + hasil kali akar-akar PK baru = 0
๐ฅ2 โ (โ1)๐ฅ + 1 = 0
๐ฅ2 + ๐ฅ + 1 = 0
Jadi, PK Baru yang akar-akarnya ๐ผ
๐ฝ dan
๐ฝ
๐ผ adalah ๐ฅ2 + ๐ฅ + 1 = 0.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 15
Contoh 3 Akar-akar persamaan kuadrat 2๐ฅ2 โ 5๐ฅ + 3 = 0 adalah ๐ผ dan ๐ฝ. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (๐ผ + 3) dan (๐ฝ + 3) adalah โฆ. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah penjumlahan dengan dua, maka PK Baru adalah substitusi dengan (๐ฅ โ 3). Jadi, PK Baru adalah: 2(๐ฅ โ 3)2 โ 5(๐ฅ โ 3) + 3 = 0 Jabarkan sendiri yaโฆ!
Contoh 4 Akar-akar persamaan kuadrat 3๐ฅ2 + 12๐ฅ โ 1 = 0 adalah ๐ผ dan ๐ฝ. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (๐ผ โ 2) dan (๐ฝ โ 2) adalah โฆ. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah pengurangan dengan dua, maka PK Baru adalah substitusi dengan (๐ฅ + 2). Jadi, PK Baru adalah: 3(๐ฅ + 2)2 + 12(๐ฅ + 2) โ 1 = 0 Jabarkan sendiri yaโฆ!
Contoh 5 Akar-akar persamaan kuadrat โ4๐ฅ2 + 2๐ฅ โ 7 = 0 adalah ๐ผ dan ๐ฝ. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2๐ผ dan 2๐ฝ adalah โฆ. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah perkalian dengan dua, maka setiap suku dikalikan dengan dua berpangkat naik, mulai dari pangkat nol. Pangkat nol nggak usah ditulis, karena jelas sama dengan 1. OK? Jadi, PK Baru adalah: โ4๐ฅ2(20) + 2๐ฅ(21) โ 7(22) = 0 Jabarkan sendiri yaโฆ!
Contoh 6 Akar-akar persamaan kuadrat 7๐ฅ2 โ 5๐ฅ + 13 = 0 adalah ๐ผ dan ๐ฝ.
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya ๐ผ
5 dan
๐ฝ
5 adalah โฆ.
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah pembagian dengan lima, maka setiap suku dikalikan dengan lima berpangkat turun, sampai pangkat nol. Pangkat nol nggak usah ditulis, karena jelas sama dengan 1. OK? Jadi, PK Baru adalah: 7๐ฅ2(55) โ 5๐ฅ(51) + 13(50) = 0 Jabarkan sendiri yaโฆ!
Contoh 6 Akar-akar persamaan kuadrat 2๐ฅ2 โ ๐ฅ + 5 = 0 adalah ๐ผ dan ๐ฝ.
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 1
๐ผ dan
1
๐ฝ adalah โฆ.
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah kebalikan dari akar-akar PK Lama, maka Tukar posisi koefisien ๐ฅ2 dengan konstanta. Jadi, PK Baru adalah: 5๐ฅ2 โ ๐ฅ + 2 = 0
Halaman 16 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh 7 Akar-akar persamaan kuadrat โ๐ฅ2 + 2๐ฅ + 4 = 0 adalah ๐ผ dan ๐ฝ. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya โ๐ผ dan โ๐ฝ adalah โฆ. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah negatif dari akar-akar PK Lama, maka PK Baru adalah koefisien ๐ฅ dikalikan (โ1). Jadi, PK Baru adalah: โ๐ฅ2 + 2๐ฅ(โ1) + 4 = 0
โ๐ฅ2 โ 2๐ฅ + 4 = 0
Contoh 7
Akar-akar persamaan kuadrat 2๐ฅ2 โ 5๐ฅ + 3 = 0 adalah ๐ผ dan ๐ฝ. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (2๐ผ โ 3) dan (2๐ฝ โ 3) adalah โฆ. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah perkalian dengan dua, dilanjutkan pengurangan dengan tiga dari akar-akar PK Lama, maka PK Baru adalah suku dikalikan dengan dua berpangkat naik, mulai dari pangkat nol, dilanjutkan dengan substitusi (๐ฅ + 3). Jadi, PK Baru adalah: 2๐ฅ2(20) โ 5๐ฅ(21) + 3(22) = 0
2๐ฅ2 โ 10๐ฅ + 12 = 0
Dilanjutkan dengan substitusi (๐ฅ + 3). 2(๐ฅ + 3)2 โ 10(๐ฅ + 3) + 12 = 0 Jabarkan sendiri yaโฆ!
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 17
Berlawanan Berkebalikan ๐ = 0 ๐ = ๐
Sifat-Sifat Akar-Akar PK
Perbandingan Selisih ๐๐2 = (๐ + 1)2๐๐ ๐ท = (๐๐)2 Keterangan: Menggunakan sifat-sifat akar-akar PK untuk menentukan bagian dari PK yang tidak diketahui.
Inti dari permasalahan ini adalah melengkapkan variabel yang tidak diketahui pada PK dengan menggunakan sifat tertentu dari akar-akarnya. TRIK SUPERKILAT Sifat akar-akar persamaan kuadrat ๐๐ฅ2 + ๐๐ฅ + ๐ = 0 yang mungkin keluar di soal:
1. Jika akar yang satu kelipatan ๐ dari akar yang lain (๐ฅ1 = ๐๐ฅ2), maka ๐๐2 = (๐ + 1)2๐๐ 2. Jika selisih akar-akarnya adalah ๐ (|๐ฅ1 โ ๐ฅ2| = ๐), maka ๐ท = (๐๐)2 3. Jika akar-akarnya berlawanan (๐ฅ1 = โ๐ฅ2 atau ๐ฅ1 + ๐ฅ2 = 0), maka ๐ = 0
4. Jika akar-akarnya berkebalikan (๐ฅ1 =1
๐ฅ2 atau ๐ฅ1๐ฅ2 = 1), maka ๐ = ๐
Contoh: Akar-akar persamaan kuadrat 2๐ฅ2 + ๐๐ฅ + 16 = 0 adalah ๐ผ dan ๐ฝ. Jika ๐ผ = 2๐ฝ dan ๐ผ, ๐ฝ positif maka nilai ๐ = โฆ. Penyelesaian: Pertama, lihat ternyata akar-akar PK tersebut adalah memiliki kelipatan tertentu.
Karena ๐ผ = 2๐ฝ, maka jelas nilai ๐ = 2.
Kedua, gunakan sifat perbandingan akar-akar PK. ๐๐2 = (๐ + 1)2๐๐
โ 2๐2 = (2 + 1)2 โ 2 โ 16
โ ๐2 = 32 โ 42 โ ๐ = ยฑ12
Ketiga, karena akar-akarnya positif maka jumlah kedua akar tersebut juga positif, sehingga:
๐ฅ1 + ๐ฅ2 > 0 โ โ๐
๐> 0
โ โ๐
2> 0
โ ๐ < 0
Sehingga pilih nilai ๐ yang negatif. Jadi, ๐ = โ12.
Halaman 18 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Akar-akar persamaan kuadrat 042 axx adalah p dan .q Jika ,82 22 aqpqp maka nilai a
....
A. โ8
B. โ4
C. 4
D. 6
E. 8
2. Persamaan kuadrat 05)1(2 xmx mempunyai akar-akar 1x dan .2x Jika
,82 21
2
2
2
1 mxxxx maka nilai m ....
A. โ3 atau โ7
B. 3 atau 7
C. 3 atau โ7
D. 6 atau 14
E. โ6 atau โ14
3. Persamaan kuadrat 0442 pxx mempunyai akar-akar 1x dan .2x Jika ,322
2
1
2
21 xxxx maka nilai
p ....
A. โ4
B. โ2
C. 2
D. 4
E. 8
Jika adik-adik butuh โbocoranโ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.
๐ฅ12 + ๐ฅ2
2 โ 2๐ฅ1๐ฅ2 = 8๐
โ (๐ฅ1 + ๐ฅ2)2 โ 4๐ฅ1๐ฅ2 = 8๐
โ (โ๐ + 1)2 + 20 = 8๐
โ ๐2 โ 10๐ + 21 = 0โ (๐ โ 3)(๐ โ 7) = 0โ ๐ โ 3 = 0 atau ๐ โ 7 = 0โ ๐ = 3 โโ๐ = 7
๐ฅ1 + ๐ฅ2 = โ๐ + 1 ๐ฅ1. ๐ฅ2 = โ5
๐ + ๐ = โ๐ ๐. ๐ = โ4
๐2 โ 2๐๐ + ๐2 = 8๐
โ (๐ + ๐)2 โ 4๐๐ = 8๐
โ ๐2 + 16 = 8๐โ ๐2 โ 8๐ + 16 = 0โ (๐ โ 4)(๐ โ 4) = 0โ ๐ = 4
๐ฅ1๐ฅ22 + ๐ฅ1
2๐ฅ2 = 32
โ ๐ฅ1๐ฅ2(๐ฅ1 + ๐ฅ2) = 32
โ 4(โ4๐) = 32โ โ16๐ = 32
โ ๐ =32
โ16โ ๐ = โ2
๐ฅ1 + ๐ฅ2 = โ4๐ ๐ฅ1. ๐ฅ2 = 4
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 19
2. 3. Menyelesaikan masalah persamaan atau fungsi kuadrat dengan menggunakan diskriminan.
Persamaan Kuadrat (PK) ๐๐๐ + ๐๐ + ๐ = ๐
Diskriminan
๐ซ = ๐๐ โ ๐๐๐ Persamaan Kuadrat Fungsi Kuadrat ๐๐ฅ2 + ๐๐ฅ + ๐ = 0 ๐(๐ฅ) = ๐๐ฅ2 + ๐๐ฅ + ๐ ๐ท โฅ 0 ๐ท < 0 ๐ท > 0 ๐ท = 0 ๐ท < 0 akar real akar imajiner memotong menyinggung terpisah ๐ท > 0 ๐ท = 0 ๐ > 0, ๐ท < 0 ๐ < 0, ๐ท < 0 berbeda kembar definit positif definit negatif ๐ท = ๐2 rasional
TRIK SUPERKILAT. Perhatikan tiga soal di bawah ini, sebenarnya tidak berbeda. Alias maksud ketiga soal itu sama persis!
โPersamaan kuadrat ๐๐ฅ2 + (๐ + 2)๐ฅ โ ๐ + 4 = 0 akan memiliki dua akar real berbeda untuk nilai ๐ = โฆ.โ โFungsi kuadrat ๐ฆ = ๐๐ฅ2 + (๐ + 2)๐ฅ โ ๐ + 4 memotong sumbu X di dua titik. Batas-batas nilai ๐ yang memenuhi adalah โฆ.โ โGrafik ๐ฆ = ๐๐ฅ2 + (๐ + 2)๐ฅ โ ๐ + 4 memotong garis ๐ = ๐ di dua titik. Batas-batas nilai ๐ yang memenuhi adalah โฆ.โ
๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐ข๐๐๐๐๐ก ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ akar real ๐๐๐๐๐๐๐๐น๐ข๐๐๐ ๐ ๐๐ข๐๐๐๐๐ก ๐๐๐๐๐๐๐๐ sumbu X di ๐๐๐ titik ๐๐๐๐๐๐๐๐บ๐๐๐๐๐ ๐๐ข๐๐๐๐๐ก ๐๐๐๐๐๐๐๐ garis di ๐๐๐ titik ๐๐๐๐๐๐๐
} โ ๐ท > 0
๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐ข๐๐๐๐๐ก ๐๐๐๐๐๐๐๐ akar real ๐๐๐๐๐๐ (= ๐๐๐๐)๐น๐ข๐๐๐ ๐ ๐๐ข๐๐๐๐๐ก ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ sumbu X di ๐๐๐๐ titik๐บ๐๐๐๐๐ ๐๐ข๐๐๐๐๐ก ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ garis di ๐๐๐๐ titik ๐๐๐๐๐๐๐
} โ ๐ท = 0
๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐ข๐๐๐๐๐ก ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ akar real๐น๐ข๐๐๐ ๐ ๐๐ข๐๐๐๐๐ก ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐/๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ sumbu X ๐บ๐๐๐๐๐ ๐๐ข๐๐๐๐๐ก ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐/๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ garis
} โ ๐ท < 0
Soal jebakan, bila hanya ada kata Persamaan kuadrat memiliki dua akar real tanpa tambahan kata berbeda atau kembar, berarti dua akar real tersebut pasti gabungan dari dua akar real berbeda dan kembar. Jadi ๐ท โฅ 0.
Halaman 20 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Soal yang sering ditanyakan PERSAMAAN KUADRAT. Persamaan kuadrat memiliki dua akar berbeda.
Contoh: Jika persamaan kuadrat ๐๐ฅ2 + (๐ + 2)๐ฅ โ ๐ + 4 = 0 akan memiliki dua akar berbeda. Batas-batas nilai p yang memenuhi adalah โฆ. Penyelesaian: Dari persamaan kuadrat ๐๐ฅ2 + (๐ + 2)๐ฅ โ ๐ + 4 = 0 diperoleh:
๐ = ๐, ๐ = (๐ + 2), dan ๐ = (โ๐ + 4) Persamaan kuadrat memiliki dua akar berbeda, maka diskriminan ๐ท harus memenuhi ๐ท > 0
๐ท > 0 โ ๐2 โ 4๐๐ < 0โ (๐ + 2)2 โ 4(๐)(โ๐ + 4) < 0
โ ๐2 + 4๐ + 4 + 4๐2 โ 16๐ < 0
โ 5๐2 โ 12๐ + 4 < 0
โ (5๐ โ 2)(๐ โ 2) < 8
โ ๐ <2
5 ๐๐ก๐๐ข ๐ > 2
โ ๐ <2
3
Sehingga nilai m yang memenuhi adalah ๐ <2
3.
Persamaan kuadrat memiliki akar kembar.
Contoh: Jika diketahui sebuah persamaan kuadrat ๐ฅ2 + (๐ โ 3)๐ฅ + 4 = 0 memiliki dua akar kembar. Maka nilai ๐ yang memenuhi adalah โฆ. Penyelesaian: Dari persamaan kuadrat ๐ฅ2 + (๐ โ 3)๐ฅ + 4 = 0 diperoleh:
๐ = 1, ๐ = (๐ โ 3), ๐๐๐ ๐ = 4 Persamaan kuadrat memiliki dua akar kembar, maka diskriminan ๐ท harus memenuhi ๐ท = 0
๐ท = 0 โ ๐2 โ 4๐๐ = 0โ (๐ โ 3)2 โ 4(1)(4) = 0
โ (๐ โ 3)2 โ 16 = 0
โ ๐2 โ 6๐ + 9 โ 16 = 0โ ๐2 โ 6๐ โ 7 = 0โ (๐ + 1)(๐ โ 7) = 0โ ๐ = โ1 atau ๐ = 3
Sehingga persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar kembar untuk nilai ๐ = โ1 atau ๐ = 7.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 21
Persamaan kuadrat tidak memiliki akar real (akarnya imajiner) Contoh:
Persamaan kuadrat 1
2๐ฅ2 + (๐ + 2)๐ฅ + (๐ +
7
2) = 0 tidak memiliki akar real untuk nilai ๐ = โฆ.
Penyelesaian:
Dari persamaan kuadrat 1
2๐ฅ2 + (๐ + 2)๐ฅ + (๐ +
7
2) = 0 diperoleh:
๐ =1
2, ๐ = (๐ + 2), ๐๐๐ ๐ = (๐ +
7
2)
Persamaan kuadrat memiliki akar imajiner maka diskriminan ๐ท harus memenuhi ๐ท < 0.
๐ท < 0 โ ๐2 โ 4๐๐ < 0
โ (๐ + 2)2 โ 4 (1
2) (๐ +
7
2) < 0
โ ๐2 + 4๐ + 4 โ 2๐ โ 7 < 0
โ ๐2 + 2๐ โ 3 < 0
โ (๐ + 3)(๐ โ 1) < 0โ ๐ = โ3 ๐๐ก๐๐ข ๐ = 1 (๐๐๐๐๐ข๐๐ก ๐๐๐)
Daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut pada garis bilangan: Jadi persamaan kuadrat akan memiliki akar-akar tidak real untuk nilai โ1 < ๐ < 3.
3 โ1
โ + +
Halaman 22 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
FUNGSI KUADRAT Fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik berbeda (memotong).
Contoh: Grafik ๐ฆ = ๐๐ฅ2 + (๐ + 2)๐ฅ โ ๐ + 4 memotong sumbu X di dua titik. Batas-batas nilai p yang memenuhi adalah โฆ. Penyelesaian: Dari fungsi kuadrat ๐ฆ = ๐๐ฅ2 + (๐ + 2)๐ฅ โ ๐ + 4 diperoleh:
๐ = ๐, ๐ = (๐ + 2), ๐๐๐ ๐ = (โ๐ + 4) Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X, maka diskriminan ๐ท harus memenuhi ๐ท > 0
๐ท > 0 โ ๐2 โ 4๐๐ < 0โ (๐ + 2)2 โ 4(๐)(โ๐ + 4) < 0
โ ๐2 + 4๐ + 4 + 4๐2 โ 16๐ < 0
โ 5๐2 โ 12๐ + 4 < 0
โ (5๐ โ 2)(๐ โ 2) < 8
โ ๐ <2
5 ๐๐ก๐๐ข ๐ > 2
โ ๐ <2
3
Sehingga nilai m yang memenuhi adalah ๐ <2
3.
Fungsi kuadrat memotong satu titik di sumbu X (menyinggung).
Contoh: Grafik fungsi kuadrat ๐(๐ฅ) = ๐ฅ2 + (๐ โ 3)๐ฅ + 4 menyinggung sumbu X pada satu titik. Maka nilai ๐ yang memenuhi adalah โฆ. Penyelesaian: Dari fungsi kuadrat ๐(๐ฅ) = ๐ฅ2 + (๐ โ 3)๐ฅ + 4 diperoleh:
๐ = 1, ๐ = (๐ โ 3), ๐๐๐ ๐ = 4 Persamaan kuadrat memiliki dua akar kembar, maka diskriminan ๐ท harus memenuhi ๐ท = 0
๐ท = 0 โ ๐2 โ 4๐๐ = 0โ (๐ โ 3)2 โ 4(1)(4) = 0
โ (๐ โ 3)2 โ 16 = 0
โ ๐2 โ 6๐ + 9 โ 16 = 0โ ๐2 โ 6๐ โ 7 = 0โ (๐ + 1)(๐ โ 7) = 0โ ๐ = โ1 atau ๐ = 3
Sehingga fungsi kuadrat tersebut menyinggung sumbu X pada satu titik untuk nilai ๐ = โ1 atau ๐ = 7.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 23
Fungsi kuadrat tidak memotong maupun menyinggung sumbu X. (terpisah) Contoh:
Fungsi kuadrat ๐ฆ =1
2๐ฅ2 + (๐ + 2)๐ฅ + (๐ +
7
2) tidak akan menyinggung dan tidak memotong sumbu X
untuk nilai ๐ = โฆ. Penyelesaian:
Dari fungsi kuadrat ๐ฆ =1
2๐ฅ2 + (๐ + 2)๐ฅ + (๐ +
7
2) diperoleh:
๐ =1
2, ๐ = (๐ + 2), ๐๐๐ ๐ = (๐ +
7
2)
Persamaan kuadrat memiliki akar imajiner maka diskriminan ๐ท harus memenuhi ๐ท < 0.
๐ท < 0 โ (๐ + 2)2 โ 4 (1
2) (๐ +
7
2) < 0
โ ๐2 + 4๐ + 4 โ 2๐ โ 7 < 0
โ ๐2 + 2๐ โ 3 < 0
โ (๐ + 3)(๐ โ 1) < 0โ ๐ = โ3 ๐๐ก๐๐ข ๐ = 1 (๐๐๐๐๐ข๐๐ก ๐๐๐)
Daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut pada garis bilangan: Jadi fungsi kuadrat tidak akan menyinggung maupun memotong sumbu X untuk untuk nilai โ1 < ๐ < 3.
3 โ1
โ + +
Halaman 24 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Fungsi kuadrat memotong garis di dua titik (memotong). Contoh: Grafik fungsi kuadrat ๐(๐ฅ) = ๐ฅ2 + ๐๐ฅ + 4 memotong garis ๐ฆ = 3๐ฅ + 4. Nilai b yang memenuhi adalah โฆ. Penyelesaian: Substitusikan ๐ฆ = 3๐ฅ + 4 dan ๐ฆ = ๐ฅ2 + ๐๐ฅ + 4
โ ๐ฅ2 + ๐๐ฅ + 4 = 3๐ฅ + 4โ ๐ฅ2 + ๐๐ฅ + 4 โ 3๐ฅ โ 4 = 0โ ๐ฅ2 + (๐ โ 3)๐ฅ = 0
Koefisien-koefisien persamaan kuadrat
๐ = 1, ๐ = (๐ โ 3), ๐๐๐ ๐ = 0 Kurva memotong garis, maka diskriminan ๐ท harus memenuhi D > 0
๐ท = 0 โ (๐ โ 3)2 โ 4(1)(0) > 0
โ (๐ โ 3)2 โ 0 > 0
โ (๐ โ 3)2 > 0โ ๐ โ 3 > 0โ ๐ > 3
Sehingga grafik fungsi kuadrat akan memotong garis untuk nilai b > 3.
Perhatikan, soal di bawah ini masih menggunakan soal di atas, hanya kalimatnya saja yang diganti! OK? Fungsi kuadrat memotong garis di satu titik (menyinggung).
Contoh: Grafik fungsi kuadrat ๐(๐ฅ) = ๐ฅ2 + ๐๐ฅ + 4 menyinggung garis ๐ฆ = 3๐ฅ + 4. Nilai b yang memenuhi adalah โฆ. Penyelesaian: Kurva menyinggung garis, maka diskriminan ๐ท harus memenuhi ๐ท = 0
๐ท = 0 โ (๐ โ 3)2 โ 4(1)(0) = 0
โ (๐ โ 3)2 โ 0 = 0
โ (๐ โ 3)2 = 0โ ๐ โ 3 = 0โ ๐ = 3
Sehingga grafik fungsi kuadrat akan menyinggung garis untuk nilai ๐ = 3.
Fungsi kuadrat tidak memotong atau tidak menyinggung garis (terpisah).
Contoh: Grafik fungsi kuadrat ๐(๐ฅ) = ๐ฅ2 + ๐๐ฅ + 4 tidak memotong dan tidak menyinggung garis ๐ฆ = 3๐ฅ + 4. Nilai b yang memenuhi adalah โฆ. Penyelesaian: Kurva terpisah garis, maka diskriminan ๐ท harus memenuhi ๐ท < 0
๐ท = 0 โ (๐ โ 3)2 โ 4(1)(0) < 0
โ (๐ โ 3)2 โ 0 < 0
โ (๐ โ 3)2 < 0โ ๐ โ 3 < 0โ ๐ < 3
Sehingga grafik fungsi kuadrat tidak akan memotong dan tidak menyinggung garis untuk nilai ๐ < 3.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 25
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Persamaan kuadrat 042)2(2 mxmx mempunyai akar-akar real, maka batas nilai m yang
memenuhi adalah ....
A. 2m atau 10m
B. 10m atau 2m
C. 2m atau 10m
D. 102 m
E. 210 m
2. Persamaan kuadrat 0)4(22 2 pxpx mempunyai dua akar real berbeda. Batas-batas nilai p yang
memenuhi adalah ....
A. 2p atau 8p
B. 2p atau 8p
C. 8p atau 2p
D. 82 p
E. 28 p
Jika adik-adik butuh โbocoranโ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.
Akar-akar real โ ๐ท โฅ 0
๐2 โ 4๐๐ โฅ 0โ (๐ โ 2)2 โ 4 . 1 . (2๐ โ 4) โฅ 0
โ ๐2 โ 12๐ + 20 โฅ 0โ (๐ โ 2)(๐ โ 10) โฅ 0
๐๐๐๐๐ข๐๐ก ๐๐๐ โถ ๐ โ 2 = 0 atau ๐ โ 10 = 0
โ ๐ = 2โ โ โโ ๐ = 10
+ +
โ
2 10
Jadi daerah penyelesaian: ๐ โค 2 atau ๐ โฅ 10
Akar-akar real berbeda โ ๐ท > 0
๐2 โ 4๐๐ โฅ 0
โ (2(๐ โ 4))2
โ 4 . 2 . ๐ โฅ 0
โ 4๐2 โ 40๐ + 64 โฅ 0
โ 4(๐ โ 2)(๐ โ 8) โฅ 0๐๐๐๐๐ข๐๐ก ๐๐๐ โถ
๐ โ 2 = 0 atau ๐ โ 8 = 0โ ๐ = 2โ โ โโ ๐ = 8
+ +
โ
2 8
Jadi daerah penyelesaian: ๐ < 2 atau ๐ > 8
Halaman 26 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
2. 4. Menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan sistem persamaan linear.
Ingat lagi tentang konsep determinan matriks
Determinan Matriks
|๐ ๐๐ ๐
| = ๐๐ โ ๐๐
|
๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐๐ โ ๐
| = ๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐โ โ ๐๐๐ โ ๐๐โ โ ๐๐๐
Untuk lebih detil tentang determinan matriks, lihat juga SMART SOLUTION untuk SKL tentang Matriks!
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
(SPLDV)
Bentuk Umum SPLDV
๐1๐ฅ + ๐1๐ฆ = ๐๐
๐2๐ฅ + ๐2๐ฆ = ๐๐
Penyelesaian SPLDV
Nilai ๐ฅ Nilai ๐ฆ Kolom ๐ฅ diganti! Kolom ๐ฆ diganti!
๐ฅ =|๐๐ ๐1๐๐ ๐2
|
|๐1 ๐1๐2 ๐2
| ๐ฆ =
|๐1 ๐๐๐2 ๐๐
|
|๐1 ๐1๐2 ๐2
|
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 27
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
(SPLTV)
Bentuk Umum SPLTV
๐1๐ฅ + ๐1๐ฆ + ๐1๐ง = ๐ ๐
๐2๐ฅ + ๐2๐ฆ + ๐2๐ง = ๐ ๐
๐3๐ฅ + ๐3๐ฆ + ๐3๐ง = ๐ ๐
Penyelesaian SPLTV
Nilai ๐ฅ Nilai ๐ฆ Nilai ๐ง Kolom ๐ฅ diganti! Kolom ๐ฆ diganti! Kolom ๐ง diganti!
๐ฅ =
|
๐ ๐ ๐1 ๐1๐ ๐ ๐2 ๐2๐ ๐ ๐3 ๐3
|
|๐1 ๐1 ๐1๐2 ๐2 ๐2๐3 ๐3 ๐3
|
๐ฆ =
|
๐1 ๐ ๐ ๐1๐2 ๐ ๐ ๐2๐3 ๐ ๐ ๐3
|
|๐1 ๐1 ๐1๐2 ๐2 ๐2๐3 ๐3 ๐3
|
๐ง =
|
๐1 ๐1 ๐ ๐๐2 ๐2 ๐ ๐๐3 ๐3 ๐ ๐
|
|๐1 ๐1 ๐1๐2 ๐2 ๐2๐3 ๐3 ๐3
|
Keterangan: Pada prakteknya dalam pengerjaan soal SPL, metode determinan matriks ini hanya bisa digunakan apabila matriks SPL-nya adalah berbentuk persegi. Tekniknya, gunakan metode determinan untuk menentukan salah satu variabel pada SPLDV, lalu variabel yang lain bisa diperoleh menggunakan metode substitusi. Kenapa kok harus menggunakan determinan matriks. Karena langkah ini lebih pasti dalam menyelesaikan soal tipe UN, tanpa harus berfikir keras mencari langkah tepat untuk metode eliminasi maupun substitusi. Namun, kalian tetap harus menguasai langkah eliminasi maupun substitusi supaya paham juga langkah dasarnya. Oke? Penyelesaian SPLDV secara online bisa dilihat pada halaman berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/simulasi-spldv-sistem-persamaan-linear.html?spref=pdf Penyelesaian SPLDV secara online bisa dilihat pada halaman berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/simulasi-spltv-sistem-persamaan-linear.html?spref=pdf
Halaman 28 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT: Untuk mencari penyelesaian SPLDV, variabel yang akan dicari harus diletakkan di pojok KIRI, lalu lihat koefisien variabel yang lain! Lalu kali silang, kali silang. Selesai deh. Contoh Soal:
Penyelesaian dari SPL {2๐ฅ โ 3๐ฆ = 13๐ฅ + 5๐ฆ = 11
adalah โฆ.
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: 2๐ฅ โ 3๐ฆ = 13๐ฅ + 5๐ฆ = 11
Karena yang paling pojok kiri variabel ๐ฅ, maka ini berarti kita akan mencari nilai dari variabel ๐ฅ. Lalu pilih salah satu koefisien dari variabel ๐ฆ. Bebas kok! Kita boleh memilih salah satu di antara โ3atau 5. 2๐ฅ โ 3๐ฆ = 13๐ฅ + 5๐ฆ = 11
Oke, misalkan kita bersepakat untuk menggunakan acuan bilangan โ3, ya? 2๐ฅ โ 3๐ฆ = 13๐ฅ + 5๐ฆ = 11
Siap? Perhatikan SPLDV tersebut yang saya beri kotak berwarna merah. Hitung selisih dari kali silang tersebut. Ingat acuan awal kita adalah bilangan โ3! Hasilnya adalah: โ3 dikalikan silang dengan 11, dikurangi dengan 1 dikalikan silang dengan 5. (โ3)(11) โ (1)(5) = โ33 โ 5 = โ๐๐ 2๐ฅ โ 3๐ฆ = 13๐ฅ + 5๐ฆ = 11
Oke, sekarang hitung selisih perkalian silang dari bagian yang berwarna biru tersebut. Masih ingat acuan awal kita tadi? Iya, bilangan โ3 adalah acuan awal dalam menghitung selisih kali silang! Hasilnya adalah: โ3 dikalikan silang dengan 3, dikurangi 2 dikalikan silang dengan 5. (โ3)(3) โ (2)(5) = โ9 โ 10 = โ๐๐ Jadi, nilai variabel ๐ฅ adalah pembagian dari hasil selisih kali silang pertama dan kedua.
๐ฅ =โ๐๐
โ๐๐= 2
Selesai! Paham, kan? Kalau mencari nilai ๐ฆ, gimana dong? Gampang aja. Kalau ingin menerapkan langkah TRIK SUPERKILAT yang sama, maka syaratnya apa tadi? Ya! Betul! Variabel ๐ฆ harus dipindah ke pojok kiri!!!!!! Sehingga SPLDV akan berubah menjadi: โ3๐ฆ + 2๐ฅ = 1
5๐ฆ + 3๐ฅ = 11
Lalu lakukan dengan langkah yang sama seperti saat mencari variabel ๐ฅ di atas. Oke?
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 29
Contoh 1: Pak Ali bekerja selama 6 hari dengan 4 hari di antaranya lembur mendapat upah Rp74.000,00. Pak Bisri bekerja selama 5 hari dengan 2 hari di antaranya lembur mendapat upah Rp55.000,00. Pak Ali, Pak Bisri, dan Pak Catur bekerja dengan aturan upah yang sama. Jika Pak Catur bekerja 4 hari dengan terus menerus lembur, maka upah yang akan diperoleh adalah .... Penyelesaian: Misal:
๐ฅ = hari biasa๐ฆ = hari lembur
Maka sistem persamaan linear dari soal tersebut adalah:
6๐ฅ + 4๐ฆ = ๐๐. ๐๐๐5๐ฅ + 2๐ฆ = ๐๐. ๐๐๐
Ditanyakan:
4๐ฅ + 4๐ฆ = ? Penyelesaian SPL menggunakan determinan matriks.
๐ฅ =|๐๐. ๐๐๐ 4๐๐. ๐๐๐ 2
|
|6 45 2
|=
148.000 โ 220.000
12 โ 20=
โ72.000
โ8= 9.000
๐ฆ =|6 ๐๐. ๐๐๐5 ๐๐. ๐๐๐
|
|6 45 2
|=
330.000 โ 370.000
12 โ 20=
โ40.000
โ8= 5.000
Jadi,
4๐ฅ + 4๐ฆ = 4(9.000) + 4(5.000)= 36.000 + 20.000= 56.000
TRIK SUPERKILAT:
Dengan acuan koefisien variabel ๐ฆ adalah 4, maka nilai variabel ๐ฆ diperoleh dengan cara: โ(4 dikali silang dengan 55.000) dikurangi (2 dikali silang dengan 74.000)โ dibagi dengan โ(4 dikali silang dengan 5) dikurangi (6 dikali silang dengan 2)โ
Halaman 30 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh 2: Avi, Via dan Iva pergi bersama-sama ke toko buah. Avi membeli 1 kg apel, 2 kg salak, dan 2 kg kelengkeng dengan harga Rp47.000,00. Via membeli 2 kg apel, 1 kg salak, dan 3 kg kelengkeng dengan harga Rp68.500,00. Iva membeli 3 kg apel, 2 kg salak, dan 1 kg kelengkeng dengan harga Rp63.000,00. Jika Vero membeli 1 kg apel dan 1 kg kelengkeng di toko tersebut, maka berapakah yang harus dibayarkan oleh Vero? Penyelesaian: Misal:
๐ฅ = buah apel๐ฆ = buah salak๐ง = buah kelengkeng
Maka sistem persamaan linear dari soal tersebut adalah:
๐ฅ + 2๐ฆ + 2๐ง = 47.0002๐ฅ + ๐ฆ + 3๐ฅ = 68.5003๐ฅ + 2๐ฆ + ๐ง = 63.000
Penyelesaian SPL menggunakan determinan matriks.
๐ฅ =
|๐๐. ๐๐๐ 2 2๐๐. ๐๐๐ 1 3๐๐. ๐๐๐ 2 1
|
|1 2 22 1 33 2 1
|
๐ฆ =
|1 ๐๐. ๐๐๐ 22 ๐๐. ๐๐๐ 33 ๐๐. ๐๐๐ 1
|
|1 2 22 1 33 2 1
|
๐ง =
|1 2 ๐๐. ๐๐๐2 1 ๐๐. ๐๐๐3 2 ๐๐. ๐๐๐
|
|1 2 22 1 33 2 1
|
Contoh 3: Jumlah uang Artha dan Deby adalah Rp142.000,00. Selisih uang Yanti dan uang Artha Rp4.000,00. Dua kali uang Yanti sama dengan uang Deby ditambah Rp100.000,00. Jumlah uang Artha, Deby, dan Yanti adalah โฆ. Penyelesaian: Misal:
๐ฅ = uang Artha๐ฆ = uang Deby๐ง = uang Yanti
Perhatikan dan baca soal dengan seksama. Buat model matematikanya, jangan lupa ubah menjadi bentuk matriks ya!
Jumlah uang Artha dan Deby adalah Rp142.000,00 โ ๐ฅ + ๐ฆ = 142.000โ ๐ + ๐ + ๐๐ = ๐๐๐. ๐๐๐
Selisih uang Yanti dan uang Artha Rp4.000 โ ๐ง โ ๐ฅ = 4.000
โ โ๐ + ๐๐ + ๐ = ๐. ๐๐๐
Dua kali uang Yanti sama dengan uang Deby ditambah Rp100.000,00 โ 2๐ง = ๐ฆ + 100.000
โ ๐๐ โ ๐ + ๐๐ = ๐๐๐. ๐๐๐
Sehingga model matematika SPLTV dari soal tersebut adalah:
๐ฅ + ๐ฆ + 0๐ง = 47.000โ๐ฅ + 0๐ฆ + ๐ฅ = 68.5000๐ฅ โ ๐ฆ + 2๐ง = 63.000
Penyelesaian SPL menggunakan determinan matriks.
๐ฅ =
|๐๐๐. ๐๐๐ 1 โ0
๐. ๐๐๐ 0 1๐๐๐. ๐๐๐ โ1 2
|
|1 1 โ0
โ1 0 10 โ1 2
|
๐ฆ =
|1 ๐๐๐. ๐๐๐ โ0
โ1 ๐. ๐๐๐ 10 ๐๐๐. ๐๐๐ 2
|
|1 1 โ0
โ1 0 10 โ1 2
|
๐ง =
|1 1 ๐๐๐. ๐๐๐2 0 ๐. ๐๐๐3 โ1 ๐๐๐. ๐๐๐
|
|1 1 โ0
โ1 0 10 โ1 2
|
Jadi nilai ๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง pasti ketemu deh!
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 31
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Umur pak Andi 28 tahun lebih tua dari umur Amira. Umur bu Andi 6 tahun lebih muda dari umur pak
Andi. Jika jumlah umur pak Andi, bu Andi, dan Amira 119 tahun, maka jumlah umur Amira dan bu Andi
adalah ....
A. 86 tahun
B. 74 tahun
C. 68 tahun
D. 64 tahun
E. 58 tahun
2. Umur Deksa 4 tahun lebih tua dari umur elisa. Umur elisa 3 tahun lebih tua dari umur Firda. Jika jumlah
umur Deksa, Elisa dan Firda 58 tahun, jumlah umur Deksa dan Firda adalah ....
A. 52 tahun
B. 45 tahun
C. 42 tahun
D. 39 tahun
E. 35 tahun
Jika adik-adik butuh โbocoranโ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.
Misal ๐ฅ = Pak Andi ๐ฆ = Bu Andi ๐ง = Amira
๐ฅ = ๐ง + 28 โ ๐ง = ๐ฅ โ 28๐ฆ = ๐ฅ โ 6
๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง = 119
โ ๐ฅ + (๐ฅ โ 6) + (๐ฅ โ 28) = 119โ 3๐ฅ โ 34 = 119โ 3๐ฅ = 153โ ๐ฅ = 51
Jadi, ๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง = 119โ 51 + ๐ฆ + ๐ง = 119โ ๐ฆ + ๐ง = 119 โ 51โ ๐ฆ + ๐ง = 68
Misal ๐ = Umur Deksa ๐ = Umur Elisa ๐ = Umur Firda
๐ = ๐ + 4๐ = ๐ + 3 โ ๐ = ๐ โ 3
๐ + ๐ + ๐ = 58
โ (๐ + 4) + ๐ + (๐ โ 3) = 58
โ 3๐ + 1 = 58โ 3๐ = 57โ ๐ = 19
Jadi, ๐ + ๐ + ๐ = 58โ ๐ + 19 + ๐ = 58โ ๐ + ๐ = 58 โ 19
โ ๐ + ๐ = 39
Halaman 32 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
2. 5. Menentukan persamaan lingkaran atau garis singgung lingkaran.
Persamaan Lingkaran
Persamaan Lingkaran Bentuk Umum
(๐ฅ โ ๐)2 + (๐ฆ โ ๐)2 = ๐2 ๐ฅ2 + ๐ฆ2 + ๐ด๐ฅ + ๐ต๐ฆ + ๐ถ = 0 dibagi (โ2)
Pusat Jari-jari Pusat
(๐, ๐) ๐ (โ1
2๐ด,โ
1
2๐ต)
Jumlah kuadrat pusat dikurangi ๐ถ
Jari-jari
๐ = โ(โ1
2๐ด)2+ (โ
1
2๐ต)
2โ ๐ถ
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 33
Persamaan Garis Singgung (PGS) Lingkaran
PGS Lingkaran PGS Lingkaran di titik (๐ฅ1, ๐ฆ1) pada lingkaran dengan gradien ๐ Pangkat dua menjadi perkalian dua faktor. Ingat pola persamaan garis lurus ๐ = ๐๐ + ๐ Pangkat satu menjadi setengah penjumlahan. Lalu perhatikan gambar berikut!
๐ฅ2 ๐๐๐๐๐๐ก๐ โ ๐ฅ1๐ฅ
(๐ฅ โ ๐)2 ๐๐๐๐๐๐ก๐ โ (๐ฅ1 โ ๐)(๐ฅ โ ๐)
๐ฅ ๐๐๐๐๐๐ก๐ โ
1
2(๐ฅ1 + ๐ฅ)
Karena ada dua PGS Lingkaran bergradien ๐, maka PGS tersebut adalah ๐ = ๐๐ ยฑ ๐
dimana ๐ = ๐โ๐ +๐๐ PGS lingkaran di titik (๐ฅ1, ๐ฆ1) pada lingkaran pusat di (0, 0) dan jari-jari ๐ ๐ฅ1๐ฅ + ๐ฆ1๐ฆ = ๐
2 PGS dengan gradien ๐ dari lingkaran pusat (0, 0) dan jari-jari ๐
๐ฆ = ๐๐ฅ ยฑ ๐โ1 +๐2 PGS lingkaran di titik (๐ฅ1, ๐ฆ1) pada lingkaran pusat di (0, 0) dan jari-jari ๐ (๐ฅ1 โ ๐)(๐ฅ โ ๐) + (๐ฆ1 โ ๐)(๐ฆ โ ๐) = ๐
2 PGS dengan gradien ๐ dari lingkaran pusat (๐, ๐) dan jari-jari ๐
(๐ฆ โ ๐) = ๐(๐ฅ โ ๐) ยฑ ๐โ1 +๐2 PGS lingkaran di titik (๐ฅ1, ๐ฆ1) pada lingkaran dengan bentuk umum ๐ฅ2 + ๐ฆ2 + ๐ด๐ฅ + ๐ต๐ฆ + ๐ถ = 0
๐ฅ1๐ฅ + ๐ฆ1๐ฆ +๐ด
2(๐ฅ1 + ๐ฅ) +
๐ต
2(๐ฆ1 + ๐ฆ) + ๐ถ = 0
Catatan Tambahan: Ingat juga tentang konsep jarak titik (๐ฅ1, ๐ฆ1) ke garis ๐๐ฅ + ๐๐ฆ + ๐ = 0:
๐ = |๐๐ฅ1 + ๐๐ฆ1 + ๐
โ๐2 + ๐2|
TRIK SUPERKILAT: PGS lingkaran pusat (๐ฅ1, ๐ฆ1) jari-jari ๐ yang sejajar dengan garis ๐๐ฅ + ๐๐ฆ + ๐ = 0:
๐๐ฅ + ๐๐ฆ = ๐๐ฅ1 + ๐๐ฆ1 ยฑ ๐โ๐2 + ๐2
PGS lingkaran pusat (๐ฅ1, ๐ฆ1) jari-jari ๐ yang tegak lurus dengan garis ๐๐ฅ + ๐๐ฆ + ๐ = 0:
๐๐ฅ โ ๐๐ฆ = ๐๐ฅ1 โ ๐๐ฆ1 ยฑ ๐โ๐2 + ๐2
Halaman 34 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
PGS Lingkaran
di titik (๐ฅ1, ๐ฆ1) yang berada di luar lingkaran
Titik Singgung (๐, ๐)
Diperoleh PGS + Persamaan Lingkaran (dalam variabel ๐, ๐).
Substitusi titik (๐ฅ1, ๐ฆ1) ke PGS, lalu substitusi PGS ke persamaan lingkaran
Diperoleh dua titik Singgung (๐1, ๐1) dan (๐2, ๐2)
Substitusikan ke PGS di langkah kedua
Selesai
TRIK SUPERKILAT: Cari gradien PGS tersebut menggunakan rumus PGS dengan gradien tertentu. PGS akan diperoleh dengan mensubstitusi titik di luar lingkaran tersebut dan nilai gradien. Selesai.
(๐ฅ1, ๐ฆ1)
(๐, ๐)
(0, 0)
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 35
Contoh Soal: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik (5, 5) yang menyinggung lingkaran ๐ฅ2 + ๐ฆ2 = 10! Penyelesaian: PGS menyinggung titik tertentu di lingkaran. Misal titik singgung tersebut (๐, ๐). Artinya titik (๐, ๐)tersebut berada baik di PGS maupun lingkaran. Sehingga, diperoleh PGS lingkaran dan persamaan lingkaran dalam variabel ๐ dan ๐.
Perhatikan bahwa (๐, ๐) berada di lingkaran, maka: PGS lingkaran di titik (๐, ๐) adalah ๐๐ + ๐๐ = ๐๐ Persamaan lingkaran dengan pusat (0, 0) dan melewati titik (๐, ๐) adalah ๐๐ + ๐๐ = ๐๐
Karena PGS melewati (5, 5) maka bila kita substitusikan (๐, ๐) ke PGS akan diperoleh: ๐๐ฅ + ๐๐ฆ = 10 โ 5๐ + 5๐ = 10
โ ๐ + ๐ = 2โ ๐ = 2 โ ๐
Dari persamaan lingkaran ๐2 + ๐2 = 10 dan ๐ = 2 โ ๐, substitusikan ๐ = ๐ โ ๐ ke persamaan lingkaran diperoleh:
๐2 + (2 โ ๐)2 = 10
โ ๐2 + (4 โ 4๐ + ๐2) = 10
โ 2๐2 โ 4๐ + 4 = 10โ 2๐2 โ 4๐ + 4 โ 10 = 0โ 2๐2 โ 4๐ โ 6 = 0โ ๐2 โ 2๐ โ 3 = 0โ (๐ + 1)(๐ โ 3) = 0โ ๐ = โ1 atau ๐ = 3
Dari ๐ = โ1 atau ๐ = 3 akan diperoleh nilai ๐, yaitu: ๐ = โ1 โ ๐ = 2 โ ๐ = 2 + 1 = 3 ๐ = 3 โ ๐ = 2 โ ๐ = 2 โ 3 = โ1
Jadi dua titik singgung tersebut adalah (โ๐, ๐) dan (๐,โ๐). Sehingga PGS lingkaran pada titik (โ๐, ๐) dan (๐,โ๐) adalah:
โ๐ฅ + 3๐ฆ = 10 dan 3๐ฅ โ ๐ฆ = 10. TRIK SUPERKILAT:
Lingkaran ๐ฅ2 + ๐ฆ2 = 10 adalah lingkaran dengan titik pusat (0, 0) dan jari-jari ๐ = โ10.
Cari nilai gradien PGS tersebut dengan mensubstitusikan titik (5, 5) dan jari-jari โ10 ke dalam rumus:
๐ฆ = ๐๐ฅ ยฑ ๐โ1 + ๐2
โ 5 = ๐(5) ยฑ โ10โ1 + ๐2
โ 5โ 5๐ = ยฑโ10โ1 +๐2 (kuadratkan kedua ruas)
โ 25 โ 50๐ + 25๐2 = 10 + 10๐2
โ 15๐2 โ 50๐ + 15 = 0โ 3๐2 โ 10๐ + 3 = 0โ (3๐ โ 1)(๐ โ 3) = 0
โด ๐ =1
3 atau ๐ = 3
Jadi, persamaan garis singgung melalui (5 ,5) dan gradien ๐ =1
3
๐ฆ โ ๐ฆ1 = ๐(๐ฅ โ ๐ฅ1)
๐ฆ โ 5 =1
3(๐ฅ โ 5)
โ๐ฅ + 3๐ = 10
Persamaan garis singgung melalui (5 ,5) dan gradien ๐ = 3
๐ฆ โ ๐ฆ1 = ๐(๐ฅ โ ๐ฅ1)
๐ฆ โ 5 = 3(๐ฅ โ 5)๐๐ โ ๐ = 10
(5, 5)
(๐, ๐)
(0, 0)
Halaman 36 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Tipe Soal Sering Muncul pada Bab Lingkaran:
Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran
Perhatikan pola persamaan lingkaran yang ada pada soal!
Contoh:
1. Diberikan persamaan lingkaran ๐ฅ2 + ๐ฆ2 = 25, maka pusat dan jari-jari lingkaran adalah โฆ.
Penyelesaian:
(๐ฅ โ 0)2 + (๐ฆ โ 0)2 = 25
Pusat di (0, 0) dan jari-jari 5.
2. Diberikan persamaan lingkaran (๐ฅ โ 3)2 + (๐ฆ โ 4)2 = 25, maka pusat dan jari-jari lingkaran adalah โฆ.
Penyelesaian:
(๐ฅ โ 3)2 + (๐ฆ + 4)2 = 25
Pusat di (3, -4) dan jari-jari 5.
3. Diberikan persamaan lingkaran ๐ฅ2 + ๐ฆ2 โ 2๐ฅ + 4๐ฅ โ 20 = 0, maka pusat dan jari-jari lingkaran adalah โฆ.
Penyelesaian:
๐ฅ2 + ๐ฆ2 โ 2๐ฅ + 4๐ฅ โ 20 = 0 dibagi (-2)
Maka pusat (1, โ2), dan jari-jari adalah ๐ = โ(1)2 + (โ2)2 โ (โ20)
๐2 = 25 โ ๐ = 5
๐2 = 25 โ ๐ = 5
1 โ 2
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 37
Menentukan persamaan lingkaran
Seringkali tidak diketahui jari-jari lingkaran.
Misal diketahui pusat lingkaran (๐, ๐) dan lingkaran menyinggung sumbu X, maka ๐ = |๐|.
Misal diketahui pusat lingkaran (๐, ๐) dan lingkaran menyinggung sumbu Y, maka ๐ = |๐|.
Seringkali juga jari-jari diperoleh dengan menggunakan rumus jarak titik ke garis. Bila diketahui pusat lingkaran dan garis singgung lingkaran, maka jari-jari lingkaran adalah jarak titik pusat ke garis singgung.
Contoh:
1. Persamaan lingkaran dengan pusat (5, โ1) dan jari-jari 3 adalah โฆ.
Penyelesaian:
Persamaan lingkaran dengan pusat (๐, ๐) dengan jari-jari ๐:
(๐ฅ โ ๐)2 + (๐ฆ โ ๐)2 = ๐2
(๐ฅ โ 5)2 + (๐ฆ + 1)2 = 9
atau diubah ke bentuk umum persamaan lingkaran:
(๐ฅ โ 5)2 + (๐ฆ + 1)2 = 9 โ ๐ฅ2 โ 10๐ฅ + 25 + ๐ฆ2 + 2๐ฆ + 1 โ 9 = 0
โ ๐ฅ2 + ๐ฆ2 โ 10๐ฅ + 2๐ฆ + 17 = 0
2. Persamaan lingkaran dengan pusat di (3, 2) yang menyinggung sumbu X adalah โฆ.
Penyelesaian:
(๐ฅ โ 3)2 + (๐ฆ โ 2)2 = 22
โ ๐ฅ2 + ๐ฆ2 โ 6๐ฅ โ 4๐ฆ + 9 = 0
3. Persamaan lingkaran dengan pusat di (โ1, 2) yang menyinggung sumbu Y adalah โฆ.
Penyelesaian:
(๐ฅ + 1)2 + (๐ฆ โ 2)2 = (โ1)2
โ ๐ฅ2 + ๐ฆ2 + 2๐ฅ โ 4๐ฆ + 4 = 0
4. Persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 4) dan menyinggung garis 3๐ฅ โ 4๐ฆ โ 2 = 0 adalah โฆ.
Penyelesaian:
Pusat (๐ฅ1, ๐ฆ1) = (1, 4)
Garis 3๐ฅ โ 4๐ฆ โ 2 = 0, dengan ๐ = 3, ๐ = โ4, dan ๐ = โ2.
Persamaan lingkaran dengan pusat (๐ฅ1, ๐ฆ1) menyinggung garis ๐๐ฅ + ๐๐ฆ + ๐ = 0 adalah:
(๐ฅ โ ๐)2 + (๐ฆ โ ๐)2 = [๐๐ฅ1+๐๐ฆ1+๐
โ๐2+๐2]2
โ (๐ฅ โ 1)2 + (๐ฆ โ 4)2 = [3(1) โ 4(4) โ 2
โ32 + 42]
2
โ ๐ฅ2 โ 2๐ฅ + 1 + ๐ฆ2 โ 8๐ฆ + 16 = 9
โ ๐ฅ2 + ๐ฆ2 โ 2๐ฅ โ 8๐ฆ + 8 = 0
Halaman 38 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan persamaan garis singgung lingkaran pada titik yang terletak di lingkaran.
Ingat konsep PGS dapat dilihat dari bentuk persamaan lingkarannya.
Pangkat dua diubah menjadi perkalian dua faktor.
Pangkat satu, diubah menjadi setengah penjumlahan.
Contoh:
1. Persamaan garis singgung lingkaran ๐ฅ2 + ๐ฆ2 = 25 di titik (4, โ3) adalah โฆ.
Penyelesaian:
๐ฅ1 = 4 dan ๐ฆ1 = โ3
Ingat, ganti ๐ฅ2 menjadi ๐ฅ1๐ฅ, dan ๐ฅ menjadi (๐ฅ1+๐ฅ
2).
๐ฅ2 + ๐ฆ2 = 25โ ๐ฅ1๐ฅ + ๐ฆ1๐ฆ = 25
Sehingga persamaan garis singgungnya adalah:
4๐ฅ โ 3๐ฆ = 25
2. Persamaan garis singgung lingkaran (๐ฅ โ 1)2 + (๐ฆ โ 4)2 = 25 di titik (โ2, 0) adalah โฆ.
Penyelesaian:
๐ฅ1 = โ2 dan ๐ฆ1 = 0
Ingat, ganti ๐ฅ2 menjadi ๐ฅ1๐ฅ, dan ๐ฅ menjadi (๐ฅ1+๐ฅ
2).
(๐ฅ โ 1)2 + (๐ฆ โ 4)2 = 25
โ (๐ฅ1 โ 1)(๐ฅ โ 1) + (๐ฆ1 โ 4)(๐ฆ โ 4) = 25
Sehingga persamaan garis singgungnya adalah:
(โ2 โ 1)(๐ฅ โ 1) + (0 โ 4)(๐ฆ โ 4) = 25
โ (โ3)(๐ฅ โ 1) + (โ4)(๐ฆ โ 4) = 25โ โ3๐ฅ โ 4๐ฆ โ 6 = 0
3. Persamaan garis singgung lingkaran ๐ฅ2 + ๐ฆ2 โ 6๐ฅ + 4๐ฆ โ 12 = 0 di titik (7, 1) adalah โฆ.
Penyelesaian:
๐ฅ1 = 7 dan ๐ฆ1 = 1
Ingat, ganti ๐ฅ2 menjadi ๐ฅ1๐ฅ, dan ๐ฅ menjadi (๐ฅ1+๐ฅ
2).
๐ฅ2 + ๐ฆ2 โ 6 ๐ฅ + 4 ๐ฆ โ 12 = 0
โ ๐ฅ1๐ฅ + ๐ฆ1๐ฆ โ 6 (๐ฅ1 + ๐ฅ22
) + 4 (๐ฆ1 + ๐ฆ
2) โ 12 = 0
Sehingga persamaan garis singgungnya adalah:
7๐ฅ + ๐ฆ โ 3(7 + ๐ฅ) + 2(1 + ๐ฆ) โ 12 = 0โ 4๐ฅ + 3๐ฆ โ 31 = 0
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 39
Menentukan persamaan garis singgung lingkaran pada titik yang terletak di luar lingkaran.
1. Persamaan garis singgung lingkaran ๐ฅ2 + ๐ฆ2 = 9 di titik (1, 3) adalah โฆ.
Penyelesaian:
TRIK SUPERKILAT:
Lingkaran pusat (0, 0) dan jari-jari ๐ = 3.
Cek apakah titik (1, 3) berada di dalam atau di luar lingkaran (?).
๐ฅ2 + ๐ฆ2 = 9 โ (1)2 + (3)2 = 10 > 9 (maka titik berada di luar lingkaran)
Gunakan rumus berikut:
๐ฆ = ๐๐ฅ ยฑ ๐โ1 +๐2
โ 3 = ๐(1) ยฑ 3โ1 +๐2
โ 3โ๐ = ยฑ3โ1 +๐2 (kuadratkan kedua ruas)
โ 9 โ 6๐ +๐2 = 9 + 9๐2
โ 8๐2 + 6๐ = 0โ 2๐(4๐ + 3) = 0
โด ๐ = 0 atau ๐ = โ3
4
Melalui (1 ,3) dan gradien ๐ = 0
๐ฆ โ ๐ฆ1 = ๐(๐ฅ โ ๐ฅ1)
๐ฆ โ 3 = 0(๐ฅ โ 1)๐ฆ = 3
Melalui (1 ,3) dan gradien ๐ = โ3
4
๐ฆ โ ๐ฆ1 = ๐(๐ฅ โ ๐ฅ1)
๐ฆ โ 3 = โ3
4(๐ฅ โ 1)
4๐ฆ โ 12 = โ3๐ฅ + 33๐ฅ + 4๐ฆ = 15
Halaman 40 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang sejajar atau tegak lurus terhadap sebuah garis.
1. Persamaan garis singgung lingkaran (๐ฅ โ 3)2 + (๐ฆ + 5)2 = 80 yang sejajar dengan garis ๐ฆ โ2๐ฅ + 5 = 0 adalah โฆ.
Penyelesaian:
Trik Superkilat:
Sesuaikan sejajar apa nggak?
Masukkan substitusikan pusat
ยฑ Rumus substitusikan jari-jari dan koefisien
Lingkaran pusat (3, โ5) dan jari-jari ๐ = โ80
PGS yang sejajar ๐ฆ โ 2๐ฅ + 5 = 0 adalah ๐ฆ โ 2๐ฅ juga!!!
๐ฆ โ 2๐ฅ = (โ5) โ 2(3) ยฑ โ80 โ12 + (โ2)2
โ ๐ฆ โ 2๐ฅ = โ11 ยฑ 20โ ๐ฆ = 2๐ฅ โ 11 ยฑ 20
2. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran ๐ฅ2 + ๐ฆ2 โ 4๐ฅ โ 8๐ฆ + 15 = 0 yang tegak lurus garis ๐ฅ + 2๐ฆ = 6 adalah โฆ.
Penyelesaian:
Trik Superkilat:
Lingkaran pusat (2, 4) jari-jari ๐ = โ5
PGS yang sejajar ๐ฅ + 2๐ฆ = 6 adalah ๐ฅ + 2๐ฆ harus diubah menjadi 2๐ฅ โ ๐ฆ !!!
2๐ฅ โ ๐ฆ = 2(2) โ (4) ยฑ โ5 โ(2)2 + (1)2
โ 2๐ฅ โ ๐ฆ = 0 ยฑ 5โ 2๐ฅ โ ๐ฆ = 5 dan 2๐ฅ โ ๐ฆ = โ5
PGS lingkaran pusat (๐ฅ1, ๐ฆ1) jari-jari ๐ yang sejajar dengan garis ๐๐ฅ + ๐๐ฆ + ๐ = 0:
๐๐ฅ + ๐๐ฆ = ๐๐ฅ1 + ๐๐ฆ1 ยฑ ๐โ๐2 + ๐2
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 41
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Lingkaran L 93122 yx memotong garis .3y Garis singgung lingkaran yang melalui titik
potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah ....
A. 2x dan 4x
B. 2x dan 2x
C. 2x dan 4x
D. 2x dan 4x
E. 8x dan 10x
Jika adik-adik butuh โbocoranโ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.
Memotong garis ๐ฆ = 3 ๐ฆ = 3 โ (๐ฅ + 1)2 + (3 โ 3)2 = 9
โ (๐ฅ + 1)2 = 9โ ๐ฅ + 1 = ยฑ3โ ๐ฅ + 1 = โ3 atau ๐ฅ + 1 = 3โ ๐ฅ1 = โ4 โโ๐ฅ2 = 2
Jadi titik potongnya di (โ4, 3) dan (2, 3)
PGS lingkaran (๐ฅ1 + ๐)(๐ฅ + ๐) + (๐ฆ1 + ๐)(๐ฆ + ๐) = ๐
2 (โ4, 3) โ (โ4 + 1)(๐ฅ + 1) + 0 = 9
โ โ3๐ฅ โ 3 = 9โ ๐ฅ = โ4
(2, 3) โ (2 + 1)(๐ฅ + 1) + 0 = 9โ 3๐ฅ + 3 = 9โ ๐ฅ = 2
TRIK SUPERKILAT: Gunakan sketsa lingkaran
๐ฆ = 3
๐ฅ = 2 ๐ฅ = โ4
Halaman 42 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
2. 6. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan teorema sisa atau teorema faktor.
Polinomial (Suku Banyak) ๐ญ(๐) = ๐๐๐๐ + ๐๐โ๐๐๐โ๐ + ๐๐โ๐๐๐โ๐ + โฆ + ๐๐๐ + ๐๐
Nilai Suku Banyak
Jika diketahui ๐น(๐ฅ) = 2๐ฅ3 โ 5๐ฅ2 + ๐ฅ โ 3 Tentukan nilai ๐น(๐ฅ) untuk ๐ฅ = 3 !
Cara Biasa Cara Horner โSubstitusi ๐โ โKalikan miring-miringโ ๐น(3) = 2(3)2 โ 5(3)2 + (3) โ 3
= 54 โ 45 + 3 โ 3= 9
๐ฅ = 3 2 โ5 โ1 โ3โ6 3 12
2 1 4 9
Pembagian Suku Banyak
Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian 2๐ฅ3 โ 5๐ฅ2 + ๐ฅ โ 3 oleh ๐ฅ โ 3!
Cara Biasa Cara Horner โPorogapitโ โKalikan miring-miringโ ๐๐๐ + ๐๐ + 4๐ฅ โ
๐ โ ๐ 2๐ฅ3 โ 5๐ฅ2 + ๐ฅ โ 3 โ2๐ฅ3 โ 6๐ฅ2 โ
๐ฅ2 + ๐ฅ โ ๐ฅ2 โ 3๐ฅ โ
โ 4๐ฅ โ 3 โ โ 4๐ฅ โ 12 โ
โ โ ๐ โ
๐ โ ๐ = ๐๐ = ๐ 2 โ5 โ1 โ3
โ6 3 12
๐ ๐ ๐ ๐
hasil bagi sisa 2๐ฅ2 + ๐ฅ + 4 9
Jadi ๐น(3) = 9
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 43
Tips mengingat konsep pembagian suku banyak! Jika 7 dibagi 2, hasilnya 3, tapi masih sisa 1. Jadi ๐ = ๐ โ ๐ + ๐
Yang dibagi = pembagi ร hasil bagi + sisa
๐ญ(๐) = ๐ท(๐) โ ๐ฏ(๐) + ๐บ(๐)
Inti permasalahannya pembagian suku banyak adalah:
Gimana kalau pembaginya adalah nol? dan
Gimana kalau sisa pembagian adalah nol?
Suku Banyak
Teorema Sisa Teorema Faktor
๐น(๐ฅ) = ๐ท(๐) โ ๐ป(๐ฅ) + ๐(๐ฅ)
๐น(๐ฅ) = (๐ โ ๐) โ ๐ป(๐ฅ) + ๐(๐ฅ)
๐น(๐) = ๐ โ ๐ป(๐) + ๐(๐)
๐น(๐ฅ) = ๐(๐ฅ) โ ๐ป(๐ฅ) + ๐บ(๐)
๐น(๐) = (๐ฅ โ ๐) โ ๐ป(๐) + ๐บ(๐)
๐น(๐) = (๐ฅ โ ๐) โ ๐ป(๐) + ๐
๐น(๐) = ๐(๐) ๐น(๐ฅ) = (๐ฅ โ ๐) โ ๐ป(๐ฅ)
Jika suku banyak di bagi (๐ฅ โ ๐) (๐ฅ โ ๐) adalah faktor suku banyak maka sisanya adalah ๐น(๐) jika dan hanya jika ๐น(๐) = 0 Artinya: Artinya: Jika ๐น(๐ฅ) dibagi oleh (๐ฅ โ ๐) maka sisanya adalah ๐น(๐) Jika (๐ฅ โ ๐) adalah faktor dari ๐น(๐ฅ), maka ๐น(๐) = 0
Jika ๐น(๐ฅ) dibagi oleh (๐๐ฅ + ๐) maka sisanya adalah ๐น (โ๐
๐) Jika ๐น(๐) = 0, maka (๐ฅ โ ๐) merupakan faktor dari ๐น(๐ฅ)
Derajat sisa selalu satu kurangnya dari derajat pembagi ๐น(๐ฅ) dibagi (๐ฅ โ ๐) sisanya ๐ ๐น(๐ฅ) dibagi (๐ฅ โ ๐)(๐ฅ โ ๐) sisanya ๐๐ฅ + ๐
3
2 7
6
1
Halaman 44 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT Contoh Soal: Tentukan sisa pembagian suku banyak ๐ฅ3 โ 6๐ฅ โ 5 oleh ๐ฅ2 โ 2๐ฅ โ 3 ! Penyelesaian: Karena ๐ฅ2 โ 2๐ฅ โ 3 bisa difaktorkan menjadi (๐ฅ + 1)(๐ฅ โ 3), maka sisa pembagian suku banyak bisa kita cari menggunakan konsep teorema sisa.
Mari kita kerjakan: ๐(๐ฅ) dibagi (๐ฅ + 1), artinya sisanya adalah ๐(โ1) = 0 ๐(๐ฅ) dibagi (๐ฅ โ 3), artinya sisanya adalah ๐(3) = 4
Susun dalam susunan seperti matriks.
|โ1 03 4
| Maka sisa pembagiannya adalah:
(๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐)๐(๐ฅ) = (๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐)๐ฅ + (๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐)
((โ1) โ (3)) ๐(๐ฅ) = (0 โ 4) ๐ฅ + ((โ4) โ (0))
โ4 ๐(๐ฅ) = โ4๐ฅ + (โ4)
๐(๐ฅ) = ๐ฅ + 1
Jadi sisa pembagian ๐ฅ3 โ 6๐ฅ โ 5 oleh ๐ฅ2 โ 2๐ฅ โ 3 adalah ๐ฅ + 1.
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dengan cara Horner Modifikasi: Perhatikan pembagi:
๐ฅ2 โ 2๐ฅ โ 3 = 0โ ๐ฅ2 = 2๐ฅ + 3
Maka hasil bagi dan sisa pembagian bisa diperoleh dengan memodifikasi cara Horner menjadi:
1 โ0 โ6 โ5
3 3 6
2 2 4
๐ ๐ ๐ ๐
Jadi sisa pembagian ๐ฅ3 โ 6๐ฅ โ 5 oleh ๐ฅ2 โ 2๐ฅ โ 3 adalah ๐ฅ + 1.
hasil bagi sisa ๐ฅ + 2 โ โ ๐ฅ + 1
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 45
Contoh Soal:
Suku banyak ๐(๐ฅ) dibagi (๐ฅ + 1) sisanya 10 dan jika dibagi (2๐ฅ โ 3) sisanya 5. Jika suku banyak ๐(๐ฅ) dibagi (2๐ฅ2 โ ๐ฅ โ 3), sisanya adalah โฆ. Penyelesaian: Ingat jika pembaginya berderajat 2, maka sisanya adalah suku banyak berderajat 1.
Jika suku banyak ๐(๐ฅ) dibagi (2๐ฅ2 โ ๐ฅ โ 3), sisanya adalah ๐๐ฅ + ๐. Ingat sisa pembagian suku banyak oleh (๐ฅ โ ๐) adalah ๐(๐).
Dan sisa pembagian suku banyak oleh (๐๐ฅ + ๐) adalah ๐ (โ๐
๐).
Mari kita kerjakan:
๐(๐ฅ) dibagi (๐ฅ + 1) sisa 10, artinya ๐(โ1) = 10
๐(๐ฅ) dibagi (2๐ฅ โ 3) sisa 5, artinya ๐ (3
2) = 5
Susun dalam susunan seperti matriks.
|โ1 10
3
25 |
Maka sisa pembagiannya adalah:
(๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐)๐(๐ฅ) = (๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐)๐ฅ + (๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐)
((โ1) โ (3
2)) ๐(๐ฅ) = (10 โ 5) ๐ฅ + ((โ5) โ (15))
โ5
2๐(๐ฅ) = 5๐ฅ + (โ20)
๐(๐ฅ) = โ2๐ฅ + 8
Jadi sisa pembagian ๐(๐ฅ) dibagi (2๐ฅ2 โ ๐ฅ โ 3) adalah โ2๐ฅ + 8.
Contoh TRIK SUPERKILAT yang lain masih diketikโฆ Selalu update di http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 46 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Suku banyak berderajat 3, jika dibagi 62 xx bersisa ,25 x jika dibagi 322 xx bersisa
.43 x Suku banyak tersebut adalah ....
A. 42 23 xxx
B. 42 23 xxx
C. 42 23 xxx
D. 42 23 xx
E. 42 23 xx
2. Suku banyak berderajat 3, jika dibagi 322 xx bersisa ,43 x jika dibagi 22 xx bersisa
.32 x Suku banyak tersebut adalah ....
A. 1223 xxx B. 1223 xxx C. 1223 xxx D. 12 23 xxx E. 12 23 xxx
3. Suatu suku banyak berderajat 3 jika dibagi 232 xx bersisa 64 x dan jika dibagi 62 xx bersisa
108 x Suku banyak tersebut adalah ....
A. 432 23 xxx B. 423 23 xxx C. 732 23 xxx D. 7822 23 xxx E. 91042 23 xxx
Jika adik-adik butuh โbocoranโ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.
TRIK SUPERKILAT: ๐(๐ฅ) dibagi (๐ฅ + 2)(๐ฅ โ 3) bersisa (5๐ฅ โ 2) Artinya: ๐(โ2) = 5(โ2) โ 2 = โ12
๐(3) = 5(3) โ 2 = 13
๐(๐ฅ) dibagi (๐ฅ + 1)(๐ฅ โ 3) bersisa (3๐ฅ + 4) Artinya: ๐(โ1) = 3(โ1) + 4 = 1
๐(3) = 3(3) + 4 = 13
Misal kita pilih satu fungsi saja, ๐(โ1) = 1 Jadi, pilih diantara jawaban dimana jika disubstitusikan ๐ฅ = โ1 maka hasilnya adalah 1. Dan ternyata hanya dipenuhi oleh jawaban D saja.
TRIK SUPERKILAT: ๐(๐ฅ) dibagi (๐ฅ + 3)(๐ฅ โ 1) bersisa (3๐ฅ โ 4) Artinya: ๐(โ3) = 3(โ3) โ 4 = โ13
๐(1) = 3(1) โ 4 = โ1
๐(๐ฅ) dibagi (๐ฅ + 1)(๐ฅ โ 2) bersisa (2๐ฅ + 3) Artinya: ๐(โ1) = 2(โ1) + 3 = 1
๐(3) = 2(3) + 3 = 9
Misal kita pilih satu fungsi saja, ๐(1) = โ1 Jadi, pilih diantara jawaban dimana jika disubstitusikan ๐ฅ = 1 maka hasilnya adalah โ1. Dan ternyata hanya dipenuhi oleh
jawaban B saja.
TRIK SUPERKILAT: ๐(๐ฅ) dibagi (๐ฅ โ 1)(๐ฅ โ 2) bersisa (4๐ฅ โ 6) Artinya: ๐(1) = 4(1) โ 6 = โ2
๐(2) = 4(2) โ 6 = 2
๐(๐ฅ) dibagi (๐ฅ + 2)(๐ฅ โ 3) bersisa (8๐ฅ โ 10) Artinya: ๐(โ2) = 8(โ2) โ 10 = โ26
๐(3) = 8(3) โ 10 = 14
Misal kita pilih satu fungsi saja, ๐(1) = โ2 Jadi, pilih diantara jawaban dimana jika disubstitusikan ๐ฅ = 1 maka hasilnya adalah โ2. Dan ternyata hanya dipenuhi oleh
jawaban A saja.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 47
2. 7. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan komposisi dua fungsi atau fungsi invers.
Fungsi Komposisi
Definisi Sifat Tidak Komutatif (๐ โ ๐)(๐ฅ) โ (๐ โ ๐)(๐ฅ) Assosiatif (๐ โ (๐ โ โ))(๐ฅ) = ((๐ โ ๐) โ โ)(๐ฅ)
Identitas (๐ โ ๐ผ)(๐ฅ) = (๐ผ โ ๐)(๐ฅ)
(๐ โ ๐)(๐ฅ) = ๐(๐(๐ฅ))
(๐ โ ๐)(๐ฅ) = ๐(๐(๐ฅ))
Fungsi Invers
Definisi Sifat โIdentitasโ (๐ โ ๐โ1) = (๐โ1 โ ๐) = ๐ผ โInvers Komposisi itu Dibalikโ (๐ โ ๐)โ1 = (๐โ1 โ ๐โ1) (๐ โ ๐)โ1 = (๐โ1 โ ๐โ1) โPenyusun Komposisiโ (๐ โ ๐) = โ โ ๐ = (โ โ ๐โ1) (๐ โ ๐) = โ โ ๐ = (๐โ1 โ โ)
TRIK SUPERKILAT TRIK SUPERKILAT โBalik Operasi, Balik Urutanโ โHilangkan Yang Lainโ +
โ โ
ร โ รท
๐2 โ โ๐
๐ log ๐ฅ โ ๐๐ฅ
(๐ โ ๐) = โ
โ ๐ โ ๐ โ ๐โ๐โ ๐๐๐๐๐ก๐๐ก๐๐
= โ โ ๐โ๐
โ ๐ = โ โ ๐โ1
โGambarkanโ
=
๐ฅ ๐(๐ฅ) ๐(๐(๐ฅ))
= (๐ โ ๐)(๐ฅ)
๐ ๐
๐ โ ๐
๐ฅ = ๐โ1(๐ฅ) ๐ฆ = ๐(๐ฅ)
๐
๐โ1
Grafik fungsi ๐(๐ฅ) dan ๐โ1(๐ฅ) simetris terhadap garis ๐ฆ = ๐ฅ
๐ ๐โ1
โ
๐ ๐
โ
Halaman 48 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Tipe Soal yang Sering Muncul
Menyusun komposisi fungsi
Contoh Soal 1: Diketahui ๐(๐ฅ) = 2๐ฅ โ 1 dan ๐(๐ฅ) = ๐ฅ2 โ 5๐ฅ + 2. Tentukan (๐ โ ๐)(๐ฅ) = ?
Penyelesaian: (๐ โ ๐)(๐ฅ) = ๐(๐(๐ฅ))
= ๐(๐ฅ2 โ 5๐ฅ + 2)
= 2(๐ฅ2 โ 5๐ฅ + 2) โ 1
= 2๐ฅ2 โ 10๐ฅ + 4 โ 1= 2๐ฅ2 โ 10๐ฅ + 3
Contoh Soal 2: Diketahui ๐(๐ฅ) = 2๐ฅ โ 1 dan ๐(๐ฅ) = ๐ฅ2 โ 5๐ฅ + 2. Tentukan (๐ โ ๐)(๐ฅ) = ?
Penyelesaian: (๐ โ ๐)(๐ฅ) = ๐(๐(๐ฅ))
= ๐(2๐ฅ โ 1)
= (2๐ฅ โ 1)2 โ 5(2๐ฅ โ 1) + 2
= 4๐ฅ2 โ 4๐ฅ + 1 โ 10๐ฅ + 5 + 2= 4๐ฅ2 โ 14๐ฅ + 3
Menentukan nilai komposisi fungsi
Contoh Soal 1: Diketahui ๐(๐ฅ) = 2๐ฅ โ 1 dan ๐(๐ฅ) = ๐ฅ2 โ 5๐ฅ + 2. Tentukan (๐ โ ๐)(5) = ?
Penyelesaian: (๐ โ ๐)(๐ฅ) = ๐(๐(๐ฅ))
= ๐(๐ฅ2 โ 5๐ฅ + 2)
= 2(๐ฅ2 โ 5๐ฅ + 2) โ 1
= 2๐ฅ2 โ 10๐ฅ + 4 โ 1= 2๐ฅ2 โ 10๐ฅ + 3
Jadi, (๐ โ ๐)(5) = 2(5)2 โ 10(5) + 3 = 50 โ 50 + 3 = 3 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Karena ๐(5) = 2, maka: ๐(๐(5)) = ๐(2) = 3
Contoh Soal 2: Diketahui ๐(๐ฅ) = 2๐ฅ โ 1 dan ๐(๐ฅ) = ๐ฅ2 โ 5๐ฅ + 2. Tentukan (๐ โ ๐)(โ1) = ?
Penyelesaian: (๐ โ ๐)(๐ฅ) = ๐(๐(๐ฅ))
= ๐(2๐ฅ โ 1)
= (2๐ฅ โ 1)2 โ 5(2๐ฅ โ 1) + 2
= 4๐ฅ2 โ 4๐ฅ + 1 โ 10๐ฅ + 5 + 2= 4๐ฅ2 โ 14๐ฅ + 8
Jadi, (๐ โ ๐)(โ1) = 4(โ1)2 โ 14(โ1) + 8 = 4 + 14 + 8 = 26 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Karena ๐(โ1) = โ3, maka: ๐(๐(โ1)) = ๐(โ3) = 26
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 49
Menentukan fungsi pembentuk komposisi Contoh Soal 1: Diketahui (๐ โ ๐)(๐ฅ) = 3๐ฅ + 2 dan ๐(๐ฅ) = 3๐ฅ โ 1, maka ๐(๐ฅ) = ?
Penyelesaian:
(๐ โ ๐)(๐ฅ) = 3๐ฅ + 2
๐(๐(๐ฅ)) = 3๐ฅ + 2
3๐(๐ฅ) โ 1 = 3๐ฅ + 2 3๐(๐ฅ) = 3๐ฅ + 2 + 1 3๐(๐ฅ) = 3๐ฅ + 3
๐(๐ฅ) =3๐ฅ + 3
3
๐(๐ฅ) = ๐ฅ + 1
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Karena ๐ โ ๐ = โ, maka ๐ = ๐โ1 โ โ.
Jadi ๐(๐ฅ) = ๐โ1(โ(๐ฅ)), artinya substitusikan fungsi komposisi โ ke fungsi ๐โ1.
Invers akan dibahas nanti.
Contoh Soal 2: Diketahui (๐ โ ๐)(๐ฅ) = 3๐ฅ + 2 dan ๐(๐ฅ) = ๐ฅ + 1, maka ๐(๐ฅ) = ?
Penyelesaian:
(๐ โ ๐)(๐ฅ) = 3๐ฅ + 2
๐(๐(๐ฅ)) = 3๐ฅ + 2
๐(๐ฅ + 1) = 3๐ฅ + 2โ ๐๐ข๐๐๐ข๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐ข๐ (๐ฅ+1)
๐(๐ฅ + 1) = 3(๐ฅ + 1) โ 1 ๐(๐ฅ) = 3๐ฅ โ 1
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Karena ๐ โ ๐ = โ, maka ๐ = โ โ ๐โ1.
Jadi ๐(๐ฅ) = โ(๐โ1(๐ฅ)), artinya substitusikan fungsi ๐โ1 ke fungsi komposisi โ.
Invers akan dibahas nanti. Contoh Soal 3: Diketahui (๐ โ ๐)(๐ฅ) = 2๐ฅ2 โ 10๐ฅ + 3 dan ๐(๐ฅ) = 2๐ฅ โ 1, maka ๐(๐ฅ) = ?
Penyelesaian:
(๐ โ ๐)(๐ฅ) = 2๐ฅ2 โ 10๐ฅ + 3 ๐(๐(๐ฅ)) = 2๐ฅ2 โ 10๐ฅ + 3
2๐(๐ฅ) โ 1 = 2๐ฅ2 โ 10๐ฅ + 3 2๐(๐ฅ) = 2๐ฅ2 โ 10๐ฅ + 4
3๐(๐ฅ) =2๐ฅ2 โ 10๐ฅ + 3
2
๐(๐ฅ) = ๐ฅ2 โ 5๐ฅ + 2
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Karena ๐ โ ๐ = โ, maka ๐ = ๐โ1 โ โ. Jadi ๐(๐ฅ) = ๐โ1(โ(๐ฅ)), artinya substitusikan fungsi komposisi โ ke fungsi ๐โ1.
Invers akan dibahas nanti.
Halaman 50 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 4: Diketahui (๐ โ ๐)(๐ฅ) = 2๐ฅ2 โ 10๐ฅ + 3 dan ๐(๐ฅ) = ๐ฅ2 โ 5๐ฅ + 2, maka ๐(๐ฅ) = ?
Penyelesaian:
(๐ โ ๐)(๐ฅ) = 2๐ฅ2 โ 10๐ฅ + 3
๐(๐(๐ฅ)) = 2๐ฅ2 โ 10๐ฅ + 3
๐(๐ฅ2 โ 5๐ฅ + 2) = 2๐ฅ2 โ 10๐ฅ + 3โ ๐๐ข๐๐๐ข๐๐๐๐
๐๐๐๐ก๐ข๐ (๐ฅ2โ5๐ฅ+2)
๐(๐ฅ2 โ 5๐ฅ + 2) = 2(๐ฅ2 โ 5๐ฅ + 2) โ 1 ๐(๐ฅ) = 2๐ฅ โ 1
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Karena ๐ โ ๐ = โ, maka ๐ = โ โ ๐โ1. Jadi ๐(๐ฅ) = โ(๐โ1(๐ฅ)), artinya substitusikan fungsi ๐โ1 ke fungsi komposisi โ.
Invers akan dibahas nanti.
Contoh Soal 5: Diketahui (๐ โ ๐)(x) = 4๐ฅ2 โ 14๐ฅ + 8 dan ๐(๐ฅ) = 2๐ฅ โ 1, maka ๐(๐ฅ) = ?
Penyelesaian:
(๐ โ ๐)(๐ฅ) = 4๐ฅ2 โ 14๐ฅ + 8 ๐(๐(๐ฅ)) = 4๐ฅ2 โ 14๐ฅ + 8
๐(2๐ฅ โ 1) = ๐๐๐ โ 14๐ฅ + 8โ ๐๐ข๐๐๐ข๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐ข๐ (2๐ฅโ1)
๐(2๐ฅ โ 1) = (๐๐ โ ๐)๐ + ๐๐ โ ๐ โ 14๐ฅ + 8 ๐(2๐ฅ โ 1) = (2๐ฅ โ 1)2 โ ๐๐๐ + 7 ๐(2๐ฅ โ 1) = (2๐ฅ โ 1)2 โ ๐(๐๐ โ ๐) โ ๐ + 7 ๐(2๐ฅ โ 1) = (2๐ฅ โ 1)2 โ 5(2๐ฅ โ 1) + 2
๐(๐ฅ) = ๐ฅ2 โ 5๐ฅ + 2
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Karena ๐ โ ๐ = โ, maka ๐ = โ โ ๐โ1. Jadi ๐(๐ฅ) = โ(๐โ1(๐ฅ)), artinya substitusikan fungsi ๐โ1 ke fungsi komposisi โ.
Invers akan dibahas nanti.
๐๐๐๐๐๐ (2๐ฅ โ 1)2 = 4๐ฅ2 โ 4๐ฅ + 1, ๐๐๐๐ 4๐ฅ2 = (2๐ฅ โ 1)2 + 4๐ฅ โ 1)
๐๐๐๐๐๐ โ 5(2๐ฅ โ 1) = โ10๐ฅ + 5, ๐๐๐๐ โ 10๐ฅ = โ5(2๐ฅ โ 1) โ 5
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 51
Menentukan Invers Fungsi Contoh Soal 1: Jika ๐(๐ฅ) = 2๐ฅ โ 1, tentukan ๐โ1(๐ฅ)!
Penyelesaian: ๐(๐ฅ) = 2๐ฅ โ 1 ๐ฆ = 2๐ฅ โ 1 2๐ฅ = ๐ฆ + 1
๐ฅ =๐ฆ + 1
2
๐โ1(๐ฅ) =๐ฅ + 1
2
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Perhatikan ๐ฆ = 2๐ฅ โ 1, Urutan operasi yang dilakukan terhadap ๐ฅ adalah: 1. Dikalikan 2 2. Dikurangi 1 Maka operasi invers adalah BALIK OPERASI DAN BALIK URUTAN: 1. Ditambah 1 2. Dibagi 2 Sehingga:
๐โ1(๐ฅ) =๐ฅ + 1
2
Contoh Soal 2: Jika ๐(๐ฅ) = ๐ฅ2 โ 4๐ฅ + 3, tentukan ๐โ1(๐ฅ)!
Penyelesaian: ๐(๐ฅ) = ๐ฅ2 โ 4๐ฅ + 3
๐ฆ = ๐ฅ2 โ 4๐ฅ + 3
๐ฆ = ๐ฅ2 โ 4๐ฅ + 4 โ 1
๐ฆ = (๐ฅ โ 2)2 โ 1
(๐ฅ โ 2)2 = ๐ฆ + 1
๐ฅ โ 2 = โ๐ฆ + 1
๐ฅ = โ๐ฆ + 1 + 2
๐โ1(๐ฅ) = โ๐ฅ + 1 + 2
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: ๐(๐ฅ) = ๐ฅ2 โ 4๐ฅ + 3 ubah dulu menggunakan metode melengkapkan kuadrat sempurna, sehingga menjadi ๐(๐ฅ) = (๐ฅ โ 2)2 โ 1. Urutan operasi yang dilakukan terhadap ๐ฅ adalah: 1. Dikurangi 2 2. Dikuadratkan 3. Dikurangi 1 Maka operasi invers adalah BALIK OPERASI DAN BALIK URUTAN: 1. Ditambah 1 2. Diakar kuadrat 3. Ditambah 2 Sehingga:
๐โ1(๐ฅ) = โ๐ฅ + 1 + 2
Halaman 52 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 3:
๐(๐ฅ) =3๐ฅ + 5
2๐ฅ + 1
Tentukan ๐โ1(๐ฅ)!
Penyelesaian:
๐(๐ฅ) =3๐ฅ + 5
2๐ฅ + 4
๐ฆ =3๐ฅ + 5
2๐ฅ + 4๐ฆ(2๐ฅ + 4) = 3๐ฅ + 52๐ฅ๐ฆ + 4๐ฆ = 3๐ฅ + 52๐ฅ๐ฆ โ 3๐ฅ = โ4๐ฆ + 5
๐ฅ(2๐ฆ โ 3) = โ4๐ฆ + 5
๐ฅ =โ4๐ฆ + 5
2๐ฆ โ 3
๐โ1(๐ฅ) =โ4๐ฅ + 5
2๐ฅ โ 3
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
๐(๐ฅ) =๐๐ฅ + ๐
๐๐ฅ + ๐โ ๐โ1(๐ฅ) =
โ๐๐ฅ + ๐
๐๐ฅ โ ๐
Tukarkan dan ubah tanda diagonal utama.
๐(๐ฅ) =3๐ฅ + 5
2๐ฅ + 4โ ๐โ1(๐ฅ) =
โ4๐ฅ + 5
2๐ฅ โ 3
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 53
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Diketahui fungsi 13)( xxf dan .32)( 2 xxg Komposisi fungsi ))(( xfg ....
A. 139 2 xx
B. 369 2 xx
C. 669 2 xx
D. 21218 2 xx
E. 11218 2 xx
2. Diketahui fungsi 32)( xxf dan .32)( 2 xxxg Komposisi fungsi ))(( xfg ....
A. 942 2 xx
B. 342 2 xx
C. 1864 2 xx
D. xx 84 2
E. xx 84 2
3. Diketahui fungsi 12)( xxf dan .4)( 2 xxxg Komposisi fungsi ))(( xgf ....
A. 282 2 xx
B. 282 2 xx
C. 182 2 xx
D. 282 2 xx
E. 182 2 xx
Jika adik-adik butuh โbocoranโ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.
(๐ โ ๐)(๐ฅ) = ๐(๐(๐ฅ))
= ๐(3๐ฅ โ 1)
= 2(3๐ฅ โ 1)2 โ 3
= 2(9๐ฅ2 โ 6๐ฅ + 1) โ 3
= 18๐ฅ2 โ 12๐ฅ + 2 โ 3= 18๐ฅ2 โ 12๐ฅ โ 1
TRIK SUPERKILAT: (๐ โ ๐)(๐ฅ) artinya substitusikan ๐(๐ฅ) ke ๐(๐ฅ). Coba ah iseng saya substitusikan ๐ฅ = 0 ke ๐(๐ฅ), ternyata hasilnya ๐(๐ฅ) = โ1. Iseng lagi ah, saya substitusikan ๐ฅ = โ1 ke ๐(๐ฅ), Ternyata hasilnya ๐(โ1) = โ1. Lalu saya substitusikan 0 ke semua pilihan jawaban. Mana yang hasilnya โ1? Ternyata jawaban E saja!
(๐ โ ๐)(๐ฅ) = ๐(๐(๐ฅ))
= ๐(2๐ฅ โ 3)
= (2๐ฅ โ 3)2 + 2(2๐ฅ โ 3) โ 3
= (4๐ฅ2 โ 12๐ฅ + 9) + (4๐ฅ โ 6) โ 3
= 4๐ฅ2 โ 8๐ฅ
TRIK SUPERKILAT: (๐ โ ๐)(๐ฅ) artinya substitusikan ๐(๐ฅ) ke ๐(๐ฅ). Coba ah iseng saya substitusikan ๐ฅ = 1 ke ๐(๐ฅ), ternyata hasilnya ๐(1) = โ1. Iseng lagi ah, saya substitusikan ๐ฅ = โ1 ke ๐(๐ฅ), ternyata hasilnya ๐(โ1) = โ4. Lalu saya substitusikan 1 ke semua pilihan jawaban. Mana yang hasilnya โ4? Ternyata hanya dipenuhi oleh jawaban E saja!
(๐ โ ๐)(๐ฅ) = ๐(๐(๐ฅ))
= ๐(๐ฅ2 โ 4๐ฅ)
= 2(๐ฅ2 โ 4๐ฅ) + 1
= 2๐ฅ2 โ 8๐ฅ + 1
TRIK SUPERKILAT: (๐ โ ๐)(๐ฅ) artinya substitusikan ๐(๐ฅ) ke ๐(๐ฅ). Coba ah iseng saya substitusikan ๐ฅ = 0 ke ๐(๐ฅ), ternyata hasilnya ๐(0) = 0. Iseng lagi ah, saya substitusikan ๐ฅ = 0 ke ๐(๐ฅ), ternyata hasilnya ๐(0) = 1. Lalu saya substitusikan 0 ke semua pilihan jawaban. Mana yang hasilnya 1? Ternyata hanya dipenuhi oleh jawaban C saja!
Halaman 54 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
2. 8. Menyelesaikan masalah program linear.
Program Linear
Definisi Langkah Penyelesaian Sebuah metode yang digunakan untuk 1. Buat model matematika. memecahkan masalah yang berkaitan 2. Lukis grafik model matematika. dengan optimasi linear (nilai optimum) 3. Tentukan daerah penyelesaian. 4. Cari titik pojok daerah penyelesaian. 5. Substitusi titik pojok ke fungsi objektif. 6. Pilih nilai optimum. Konsep yang dibutuhkan
Pertidaksamaan Linear Contoh Soal Program Linear Dua Variabel dan Penyelesaiannya ๐๐ฅ + ๐๐ฆ โฅ ๐๐ Sebuah area parkir dengan luas 3.750 m2, dan maksimal hanya dapat ditempati 300 kendaraan yang terdiri atas sedan dan bus. Jika luas sebuah sedan 5 m2 dan bus 15 m2, biaya parkir sebuah sedan dan sebuah bus adalah Rp2.000 dan Rp5.000, maka berapa jumlah sedan dan bus yang parkir supaya pendapatan parkirnya menjadi maksimal!
Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
๐๐ฅ + ๐๐ฆ โค ๐๐๐๐ฅ + ๐๐ฆ โค ๐๐
๐ฅ โฅ 0๐ฆ โฅ 0
Model Matematika Sebuah area parkir dengan luas 3.750 m2, dan maksimal hanya dapat ditempati 300 kendaraan yang terdiri atas sedan dan bus. Jika luas sebuah sedan 5 m2 dan bus 15 m2, maka tentukanlah model matematikanya !
{
๐ฅ + ๐ฆ โค 300๐ฅ + 3๐ฆ โค 750, bentuk sederhana 5๐ฅ + 15๐ฆ โค 3750๐ฅ โฅ 0, jumlah sedan tidak mungkin negatif
๐ฆ โฅ 0, jumlah bus tidak mungkin negatif ๐ฅ, ๐ฆ elemen bilangan cacah.
๐
๐ ๐ฅ
๐ฆ
O
๐
๐ ๐ฅ
๐ฆ
O
๐
๐
Sedan (๐ฅ)
Bus (๐ฆ)
Total
Banyak kendaraan 1 1 300 Luas kendaraan 5 15 3750
Sedan (๐ฅ)
Bus (๐ฆ)
Total
Banyak kendaraan 1 1 300 Luas kendaraan 5 15 3750
Biaya Parkir 2.000 5.000
Fungsi kendalanya:
{
๐ฅ + ๐ฆ โค 300๐ฅ + 3๐ฆ โค 750, bentuk sederhana 5๐ฅ + 15๐ฆ โค 3750๐ฅ โฅ 0, jumlah sedan tidak mungkin negatif
๐ฆ โฅ 0, jumlah bus tidak mungkin negatif ๐ฅ, ๐ฆ elemen bilangan cacah.
Fungsi Objektif: ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = 2.000๐ฅ + 3.000๐ฆ Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan: Titik potong garis ๐ฅ + ๐ฆ = 300 dan ๐ฅ + 3๐ฆ = 750: ๐ฅ = 225 dan ๐ฆ = 75 Jadi titik pojoknya adalah: (0, 0), (300, 0), (225, 75), dan (0, 250). Uji titik pojok: (๐ฅ, ๐ฆ) ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = 2.000๐ฅ + 3.000๐ฆ (0, 0) 2.000(0) + 3.000(0) = 0
(300, 0) 2.000(300) + 3.000(0) = 600.000 (225, 75) 2.000(225) + 3.000(75) = 675.000 (0, 250) 2.000(0) + 3.000(250) = 750.000
Jadi, pendapatan maksimal adalah Rp750.000 untuk parkir 250 bus.
๐๐๐
๐๐๐ ๐ฅ
๐ฆ
O
๐๐๐
๐๐๐
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 55
TRIK SUPERKILAT: Dalam mengerjakan soal UN Matematika SMA, materi soal Program Linear memang tipe soal yang menghabiskan banyak waktu. Ya! Penyelesaian Program Linear ini membutuhkan perhitungan yang banyak dan perhitungannya harus dilakukan dengan cermat karena membutuhkan ketelitian tinggi dalam menggambar sketsa grafik, menguji titik untuk menemukan daerah penyelesaian pertidaksamaan, mencari titik potong dua garis, dan mensubstitusi titik pojok ke fungsi objektif untuk menemukan nilai optimum. Padahal waktu yang diberikan untuk setiap soal UN Matematika SMA itu hanya sekitar 3 menit saja! Penjabaran langkah dasarnya sebagai berikut:
Pertama, adik-adik harus mengubah soal cerita sehingga bisa dituliskan menjadi model matematika dari beberapa fungsi kendala yang membentuk sistem pertidaksamaan linear dan sebuah fungsi objektif. Kedua, adik-adik harus menggambarkan model matematika tersebut ke dalam bidang koordinat Cartesius. Ketiga, dari gambar grafik model matematika, adik-adik harus bisa menentukan daerah penyelesaian dari fungsi kendala dalam bidang koordinat Cartesius. Keempat, daerah penyelesaian dari fungsi kendala berbentuk poligon, dimana titik-titik sudutnya adalah titik pojok. Adik-adik perlu melihat apakah ada titik pojok yang berupa titik potong dua garis yang koordinatnya perlu dicari menggunakan teknik eliminasi dan substitusi dari kedua persamaan garis tersebut. Kelima, titik-titik pojok tersebut merupakan titik ekstrim yang akan kita periksa nilai fungsi objektifnya. Terakhir, nilai terbesar dari fungsi objektif adalah nilai maksimum, sedangkan nilai terkecil dari fungsi objektif adalah nilai minimum. Nah, jika terdapat dua titik pojok yang menghasilkan nilai fungsi objektif yang sama, maka penyelesaian nilai optimum terdapat pada sepanjang ruas garis yang menghubungkan kedua titik pojok tersebut.
Perhatikan gambar di bawah: TRIK SUPERKILAT Model Matematika Grafik Max itu YEX Daerah Penyelesaian Urutkan perbandingan ๐ฅ โถ ๐ฆ Titik Pojok Letak Fungsi Objektif Substitusi Titik Pojok Nilai Optimum Nah, sebenarnya metode TRIK SUPERKILAT memotong langkah dasar sampai di model matematika saja. Metode TRIK SUPERKILAT menggunakan modifikasi dari teori gradien untuk menyelesaikan program linear.
Pertama, apabila yang ditanyakan adalah nilai maksimum, maka tuliskan urutan Y-E-X. (Ingat MAX itu huruf akhirnya X, jadi yang ditulis juga harus berakhiran X). Kalau yang ditanyakan adalah nilai minimum, maka urutannya adalah X-E-Y. Kedua, urutkan nilai dari perbandingan koefisien ๐ฅ dan koefisien ๐ฆ dari semua fungsi kendala maupun fungsi objektif. Urutkan dari nilai yang terkecil menuju ke nilai terbesar. Terakhir lihat dimana letak perbandingan koefisien ๐ฅ dan koefisien ๐ฆ dari fungsi objektif.
Jika terletak di Y, maka nilai optimal berada di sumbu Y, substitusikan ๐ฅ = 0 ke fungsi di sebelahnya. Jika terletak di E, maka nilai optimal berada di perpotongan antara kedua fungsi di sebelahnya. Jika terletak di X, maka nilai optimal berada di sumbu X, substitusikan ๐ฆ = 0 ke fungsi di sebelahnya.
Halaman 56 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Tipe Soal yang Sering Muncul
Menentukan nilai optimum fungsi objektif. Contoh Soal: Suatu perusahaan tas dan sepatu memerlukan 4 unsur A dan 6 unsur B perminggu untuk masing-masing hasil produksinya. Setiap tas memerlukan satu unsur A dan dua unsur B, setiap sepatu memerlukan dua unsur A dan dua unsur B. Bila setiap tas untungnya 3000 rupiah, setiap sepatu untungnya 2000 rupiah, maka banyak tas dan sepatu yang dihasilkan per minggu agar diperoleh untung yang maksimal adalah โฆ. a. 2 sepatu b. 3 sepatu c. 3 tas d. 4 tas e. 2 tas dan 2 sepatu
Penyelesaian: Model Matematika
Tas (๐ฅ) Sepatu (๐ฆ) Total Unsur A 1 2 4 Unsur B 2 2 6 Untung 3000 2000
Fungsi kendala: ๐ฅ + 2๐ฆ โค 4 (perbandingan koefisien ๐ฅ dan ๐ฆ adalah 1/2) 2๐ฅ + 2๐ฆ โค 6 (perbandingan koefisien ๐ฅ dan ๐ฆ adalah 1) Fungsi objektif: maks 3000๐ฅ + 2000๐ฆ =โฆ. (perbandingan koefisien ๐ฅ dan ๐ฆ adalah 3/2)
LANGSUNG MASUK KE LANGKAH TRIK SUPERKILAT: Memaksimumkan berarti Y-E-X!!!!!
Sumbu ๐ Eliminasi Sumbu ๐
Urutkan Perbandingan Koefisien X:Y
Cari perbandingan koefisien ๐ฅ dan ๐ฆ untuk masing-masing fungsi kendala dan objektif, lalu urutkan dari kecil ke besar.
Sumbu ๐ Eliminasi Sumbu ๐ 1/2 1 3/2
Letak Fungsi Objektif
Perhatikan tabel tadi:
Sumbu ๐ Eliminasi Sumbu ๐ 1/2 1 3/2
Karena fungsi objektif yang perbandingan koefisiennya adalah 3/2 terletak pada kolom Sumbu ๐, maka artinya nilai optimum adalah terletak di sumbu X untuk persamaan yang berada disebelahnya (yaitu persamaan dengan perbandingan koefisien bernilai 1) Artinya substitusikan ๐ฆ = 0 untuk persamaan 2๐ฅ + 2๐ฆ = 6 2๐ฅ + 2๐ฆ = 6
2๐ฅ + 2(0) = 6 ๐ฅ = 3
Jadi, agar keuntungan maksimal maka perusahaan tersebut haruslah menjual 3 tas. Jadi, dapat disimpulkan bahwa nilai maksimum keuntungan adalah Rp9.000,00.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 57
Menentukan nilai optimum fungsi objektif, ada nilai perbandingan ๐ dan ๐ yang sama.
Contoh Soal : Seorang anak diharuskan minum dua jenis tablet setiap hari. Tablet jenis I mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. Tablet jenis II mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam 1 hari anak tersebut memerlukan 25 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet I Rp4.000,00 per biji dan tablet II Rp8.000,00 per biji, pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari adalah โฆ.
Penyelesaian Cara Biasa: Model Matematika
Fungsi kendala: 5๐ฅ + 10๐ฆ โฅ 25; 3๐ฅ + ๐ฆ โฅ 5; ๐ฅ โฅ 0; ๐ฆ โฅ 0, ๐ฅ, ๐ฆ elemen bilangan cacah. Fungsi objektif: Minimumkan ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = 4.000๐ฅ + 8.000๐ฆ
Grafik dan Daerah Penyelesaian Titik Pojok
Dua dari tiga titik pojok sudah bisa dilihat pada grafik yaitu (5, 0) dan (0, 5). Sementara satu titik pojok belum diketahui yaitu titik potong kedua garis. Menentukan titik potong kedua garis menggunakan metode eliminasi substitusi: 5๐ฅ + 10๐ฆ = 25 3๐ฅ + 10๐ฆ = 25 Substitusi ๐ฆ = 2 ke salah satu persamaan: 3๐ฅ + ๐ฆ = 5 3๐ฅ + 2 = 5
3๐ฅ = 5 โ 2 3๐ฅ = 3
๐ฅ =3
3
๐ฅ = 1 Jadi titik potong kedua kurva adalah di titik (1, 2) Sehingga titik pojok adalah (5, 0), (1, 2), dan (0,5)
Substitusi Titik Pojok Substitusikan titik-titik pojok tersebut ke fungsi objektif untuk mencari titik manakah yang memiliki nilai objektif paling kecil.
Titik pojok (๐ฅ, ๐ฆ) Fungsi objektif ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = 4.000๐ฅ + 8.000๐ฆ (5, 0) 4.000(5) + 8.000(0) = 20.000 + 12.000 = 20.000 (1, 2) 4.000(1) + 8.000(2) = 04.000 + 16.000 = 20.000 (0, 5) 4.000(0) + 8.000(5) = 20.000 + 40.000 = 40.000
Nilai Optimum
Dari tabel tersebut diperoleh nilai minimum fungsi objektif ๐(๐ฅ, ๐ฆ) terjadi pada titik (5, 0) dan (1, 2) yaitu dengan pengeluaran sebesar Rp20.000,00.
5 X
Y
5
3
5
2,5
ร 3 ร 5
15๐ฅ + 30๐ฆ = 75 15๐ฅ + 35๐ฆ = 25
25๐ฆ = 50
๐ฆ =50
25
๐ฆ = 2
TRIK SUPERKILAT: Tablet
I Tablet
II Jumlah Perbandingan
koef ๐ฅ dan ๐ฆ Vitamin
A 5 10 25 1/2
Vitamin B
3 1 5 3/1
Harga 4.000 8.000 1/2 Urutkan perbandingan dari kecil ke besar.
X E Y 1/2 1/2 2/2
Kesimpulan: Perhatikan perbandingan fungsi objektif yang bernilai 1/2 terdapat di X dan E, Di X, artinya nilai optimum diperoleh di perpotongan sumbu X dengan fungsi di dekatnya, yaitu fungsi kendala dengan perbandingan 1/2 . Di E, artinya nilai optimum juga diperoleh dari hasil titik potong antara fungsi kendala dengan perbandingan 1/2 dan 3/1.
Halaman 58 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Anak usia balita dianjurkan dokter untuk mengkonsumsi kalsium dan zat besi sedikitnya 60 gr dan 30
gr. Sebuah kapsul mengandung 5 gr kalsium dan 2 gr zat besi, sedangkan sebuah tablet mengandung 2 gr
kalsium dan 2 gr zat besi. Jika harga sebuah kapsul Rp.1.000,00 dan harga sebuah tablet Rp.800,00, maka
biaya minimum yang harus dikeluarkan untuk memenuhi kebutuhan anak balita tersebut adalah ....
A. Rp12.000,00
B. Rp14.000,00
C. Rp18.000,00
D. Rp24.000,00
E. Rp36.000,00
2. Seorang pedagang sepeda ingin membeli 25 sepeda untuk persediaan. Ia ingin membeli sepeda gunung
dengan harga Rp1.500.000,00 per buah dan sepeda balap dengan harga Rp2.000.000,00 per buah. Ia
merencanakan tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp42.000.000,00. Jika keuntungan sebuah sepeda
gunung Rp500.000,00 dan sebuah sepeda balap Rp600.000,00, maka keuntungan maksimum yang
diterima pedagang adalah .... A. Rp13.400.000,00 B. Rp12.600.000,00 C. Rp12.500.000,00 D. Rp10.400.000,00 E. Rp8.400.000,00
3. Seorang ibu hendak membuat dua jenis kue. Kue jenis I memerlukan 40 gram tepung dan 30 gram gula.
Kue jenis II memerlukan 20 gram tepung dan 10 gram gula. Ibu hanya memiliki persediaan tepung
sebanyak 6 kg dan gula 4 kg. jika kue jenis I dijual dengan harga Rp4.000,00 dan kue jenis II dijual
dengan harga Rp1.600,00, maka pendapatan maksimum yang diperoleh ibu adalah .... A. Rp30.400,00 B. Rp48.000,00 C. Rp56.000,00 D. Rp59.200,00 E. Rp72.000,00
Jika adik-adik butuh โbocoranโ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.
TRIK SUPERKILAT: Kapsul Tablet Jumlah Perbandingan
koef ๐ฅ dan ๐ฆ Kalsium 5 2 60 5/2 Zat Besi 2 2 30 2/2 Harga 1.000 800 10/8
Urutkan perbandingan dari kecil ke besar. X E Y
2/2 10/8 5/2
Ternyata fungsi objektif (warna biru) berada di E. Artinya titik minimumnya berada di hasil eliminasi kedua fungsi kendala. (Gunakan metode determinan matriks)
๐ฅ =|60 230 2
|
|5 22 2
|=60
6= 10; ๐ฆ =
|5 602 30
|
|5 22 2
|=30
6= 5
Jadi nilai minimumnya adalah: ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = 1.000(10) + 800(5) = Rp14.000,00
TRIK SUPERKILAT: (harga dalam ribuan rupiah) Sepeda
gunung Sepeda balap
Jumlah Perbandingan koef ๐ฅ dan ๐ฆ
Jumlah 1 1 25 1/1 Harga 1.500 2.000 42.000 3/4
Untung 500 600 5/6 Urutkan perbandingan dari kecil ke besar.
Y E X 3/4 5/8 1/1
Ternyata fungsi objektif (warna biru) berada di E (titik potong atau hasil eliminasi substitusi dua fungsi kendala) Gunakan metode determinan matriks
๐ฅ =|25 1
42.000 2.000|
|1 1
1.500 2.000|=8.000
500= 16;
๐ฅ + ๐ฆ = 25 โ 16 + ๐ฆ = 25 โ ๐ฆ = 9;
Jadi nilai maksimum adalah: ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = 500(16) + 600(9) = Rp13.400
TRIK SUPERKILAT: Kue
jenis I Kue
jenis II Jumlah Perbandingan
koef ๐ฅ dan ๐ฆ
Tepung 40 20 6.000 4/2 Gula 30 10 4.000 3/1
Harga 4.000 1.600 40/16 Urutkan perbandingan dari kecil ke besar.
Y E X 4/2 40/16 3/1
Ternyata fungsi objektif (warna biru) berada di E (titik potong atau hasil eliminasi substitusi dua fungsi kendala) Gunakan metode determinan matriks
๐ฅ =|6.000 204.000 10
|
|40 2030 10
|=โ20.000
โ200= 100;
30๐ฅ + 10๐ฆ = 4.000 โ 3.000 + 10๐ฆ = 4.000 โ ๐ฆ = 100;
Jadi nilai maksimum adalah: ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = 4.000(100) + 1.600(100) = Rp560.000
Soal ini tidak ada jawabannya, mungkin maksudnya pilihan jawaban A, B, C, D, dan E kurang satu angka nol.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 59
2. 9. Menyelesaikan operasi matriks.
Matriks
Bentuk Umum Operasi Aljabar Matriks
๐ด๐ร๐ = (
๐11 ๐12
๐21 ๐22โฏ
๐1๐
๐2๐
โฎ โฑ โฎ๐๐1 ๐๐2 โฏ ๐๐๐
)
Transpose Matriks โTukar Baris Kolomโ
๐ด = (๐ ๐๐ ๐
) โ ๐ด๐ = (๐ ๐๐ ๐
)
Determinan Matriks 2 ร 2 โDiagonal Utama โ Diagonal Sampingโ
๐ด = (๐ ๐๐ ๐
) โ |๐ด| = |๐ ๐๐ ๐
| = ๐๐ โ ๐๐
Invers Matriks 2 ร 2 โPembagian Matriksโ ๐ด๐ดโ1 = ๐ดโ1๐ด = ๐ผ
๐ด = (๐ ๐๐ ๐
) โ ๐ดโ1 =1
|๐ด|(
๐ โ๐โ๐ ๐
)
Persamaan Matriks โDikali Invers dari Kanan atau Kiri ???โ
๐ด๐ต = ๐ถ โ { ๐ด = ๐ด๐ฉโ๐
๐ต = ๐จโ๐๐ถ
Kesamaan Matriks
โElemen yang Sama, Nilainya Samaโ
(๐ ๐1 โ5
) = (3 โ21 โ5
) โ { ๐ = 3๐ = โ2
Penjumlahan Matriks
โJumlahkan Elemen yang Samaโ
(๐ ๐๐ ๐
) + (๐ ๐๐ โ
) = (๐ + ๐ ๐ + ๐๐ + ๐ ๐ + โ
)
Pengurangan Matriks
โKurangkan Elemen yang Samaโ
(๐ ๐๐ ๐
) โ (๐ ๐๐ โ
) = (๐ โ ๐ ๐ โ ๐๐ โ ๐ ๐ โ โ
)
Perkalian Matriks dengan Skalar
โKalikan dengan Semua Elemenโ
๐ (๐ ๐๐ ๐
) = (๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐
)
Perkalian Matriks dengan Matriks
โSyarat Harus Dipenuhiโ
( )๐ร๐
( )๐ร๐
= ( )๐ร๐
โJumlah Perkalian Elemen Baris Kolomโ
(๐ ๐๐ ๐
) (๐ ๐๐ โ
) = (๐๐ + ๐๐ ๐๐ + ๐โ๐๐ + ๐๐ ๐๐ + ๐โ
)
sama
Halaman 60 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT: Dalam mengerjakan soal UN Matematika SMA, materi soal Matriks ini boleh dibilang yang paling mudah, asalkan menguasai betul konsep dasar dari Matriks itu sendiri. Mengapa? Karena hanya diperlukan perhitungan aljabar sederhana. Nah, untuk mempercepat proses perhitungan kita bisa menggunakan sifat-sifat dari Operasi Aljabar Matriks, Transpose Matriks, Determinan Matriks, dan Invers Matriks. Sifat Operasi Aljabar Matriks:
๐ด + ๐ต = ๐ต + ๐ด ๐ด โ ๐ต โ ๐ต โ ๐ด ๐ด + (๐ต + ๐ถ) = (๐ด + ๐ต) + ๐ถ ๐ด(๐ต + ๐ถ) = ๐ด๐ต + ๐ด๐ถ ๐ด๐ต โ ๐ต๐ด
Sifat Transpose Matriks:
(๐ด + ๐ต)๐ = ๐ด๐ + ๐ต๐ (๐ด๐)๐ = ๐ด (๐ด โ ๐ต)๐ = ๐ต๐ โ ๐ด๐ (๐๐ด)๐ = ๐๐ด๐
Sifat Determinan Matriks:
|๐ด๐| = |๐ด|
|๐ดโ1| =1
|๐ด|
|๐ด โ ๐ต| = |๐ด| โ |๐ต| ๐ด โ ๐ต = ๐ถ โ |๐ด| โ |๐ต| = |๐ถ|
|๐ด| โ |๐ต| = |๐ถ| โ |๐ต| =|๐ถ|
|๐ด|
|(๐ด โ ๐ต)โ1| =1
|๐ต|โ
1
|๐ด|
Sifat Invers Matriks:
๐ด๐ดโ1 = ๐ดโ1๐ด = ๐ผ (๐ด โ ๐ต)โ1 = ๐ตโ1 โ ๐ดโ1
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 61
Tipe Soal yang Sering Muncul
Menentukan Operasi Aljabar Matriks. Contoh Soal 1:
Diketahui matriks-matriks ๐ด = (โ๐ 21 0
), ๐ต = (4 ๐
๐ + 5 โ6), ๐ถ = (
โ1 30 2
), dan ๐ท = (4 ๐
โ2 3)
Jika 2๐ด โ ๐ต = ๐ถ๐ท maka nilai dari ๐ + ๐ + ๐ = โฆ. a. โ6 b. โ2 c. 0 d. 1 e. 8
Penyelesaian:
2๐ด โ ๐ต = ๐ถ๐ท โ 2 (โ๐ 21 0
) โ (4 ๐
๐ + 5 โ6) = (
โ1 30 2
) (4 ๐
โ2 3)
โ (โ2๐ 4
2 0) โ (
4 ๐๐ + 5 โ6
) = (โ10 โ๐ + 9โ4 6
)
โ (โ2๐ โ 4 4 โ ๐โ3 โ ๐ 6
) = (โ10 โ๐ + 9โ4 6
)
Dengan menggunakan konsep kesamaan matriks, diperoleh: โ2๐ โ 4 = โ10 โ โ2๐ = โ10 + 4
โ โ2๐ = โ6โ ๐ = 3
โ3 โ ๐ = โ4 โ โ๐ = โ4 + 3
โ โ๐ = โ1โ ๐ = 1
4 โ ๐ = โ๐ + 9 โ 4 โ ๐ = โ(1) + 9
โ 4 โ ๐ = 8โ โ๐ = 8 โ 4โ โ๐ = 4โ ๐ = โ4
Jadi nilai ๐ + ๐ + ๐ = (โ4) + (1) + (3)
= 0
Halaman 62 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan Determinan Matriks. Contoh Soal 1:
Diketahui matriks ๐ด = (3 20 5
), dan ๐ต = (โ3 โ1
โ17 0).
Jika ๐ด๐ก = transpos matriks ๐ด dan ๐ด๐ = ๐ต + ๐ด๐ก, maka determinan matriks ๐= โฆ. a. โ6 b. โ2 c. 0 d. 1 e. 8
Penyelesaian: ๐ด๐ = ๐ต + ๐ด๐ก โ ๐ = ๐ดโ1(๐ต + ๐ด๐ก)
=1
|๐ด|๐ด๐๐(๐ด)(๐ต + ๐ด๐ก)
=1
15(
5 โ20 3
) ((โ3 โ1
โ17 0) + (
3 02 5
))
=1
15(
5 โ20 3
) (0 โ1
โ15 5)
=1
15(
30 โ15โ45 15
)
= (2 โ1
โ3 1)
Karena ๐ = (2 โ1
โ3 1), maka determinan matriks ๐ adalah :
|๐| = |2 โ1
โ3 1| = 2 โ 3 = โ1
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Sebenarnya metode yang digunakan dalam TRIK SUPERKILAT hampir sama dengan metode Basic Concept, hanya saja kita akan menggunakan sifat determinan untuk mempermudah langkah perhitungan determinan. Perhatikan langkah yang berwarna merah atau biru di bawah ini. ๐ด๐ = ๐ต + ๐ด๐ก โ |๐ด||๐| = |๐ต + ๐ด๐ก|
โ |๐| =|๐ต+๐ด๐ก|
|๐ด|
โ |๐| =|๐ต+๐ด๐ก|
|๐ด|
=โ15
15
= โ1
๐พ๐๐ก๐ ๐๐ข๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ก ๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ก๐๐๐๐
๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐โ ๐๐ข๐๐ข ๐๐๐ก๐๐๐๐ (๐ต + ๐ด๐ก)
๐๐๐๐๐ฆ๐๐ก๐ ๐ต + ๐ด๐ก = ((โ3 โ1
โ17 0) + (
3 02 5
))
= (0 โ1
โ15 5)
๐ฝ๐๐๐, |๐ต + ๐ด๐ก| = โ15
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 63
Contoh Soal 2:
Diketahui matriks ๐ด = (4 23 โ4
), dan ๐ต = (5 โ32 1
).
Jika ๐ถ๐ด = ๐ต dan ๐ถโ1 adalah invers matriks ๐ถ maka determinan dari matriks ๐ถโ1 = โฆ. a. โ2 b. โ1 c. 1 d. 2 e. 3
Penyelesaian: ๐ถ โ ๐ด = ๐ต โ ๐ถ = ๐ต โ ๐ดโ1
โ ๐ถโ1 = (๐ต โ ๐ดโ1)โ1
โ ๐ถโ1 = ๐ด โ ๐ตโ1
= (4 23 โ4
) โ1
11(
1 3โ2 5
)
=1
11(
4 23 โ4
) (1 3
โ2 5)
=1
11(
0 2211 โ11
)
= (0 21 โ1
)
Karena ๐ถโ1 = (0 21 โ1
), maka determinan matriks ๐ถโ1 adalah :
|๐ถโ1| = |0 21 โ1
| = 0 โ 2 = โ2
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Sebenarnya metode yang digunakan dalam TRIK SUPERKILAT hampir sama dengan metode Basic Concept, hanya saja kita akan menggunakan sifat determinan untuk mempermudah langkah perhitungan determinan. Perhatikan langkah yang berwarna merah di bawah ini. ๐ถ โ ๐ด = ๐ต โ ๐ถ = ๐ต โ ๐ดโ1
โ ๐ถโ1 = (๐ต โ ๐ดโ1)โ1
โ ๐ถโ1 = ๐ด โ ๐ตโ1
โ |๐ถโ1| =|๐ด|
|๐ต|
=โ22
11= โ2
Halaman 64 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Diketahui matriks A =
15
3 y, B =
63
5x dan C =
9
13
y.
Jika A + B โ C =
4
58
x
x, maka nilai yxyx 2 adalah ....
A. 8
B. 12
C. 18
D. 20
E. 22
Jika adik-adik butuh โbocoranโ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.
๐ด + ๐ต โ ๐ถ = (8 5๐ฅ
โ๐ฅ โ4)
โ (๐ฅ + 6 ๐ฆ + 62 โ ๐ฆ โ4
) = (8 5๐ฅ
โ๐ฅ โ4)
โ ๐ฅ + 6 = 8โด ๐ฅ = 2
โ 2 โ ๐ฆ = โ๐ฅโด ๐ฆ = 4
Substitusi ๐ฅ = 2 dan ๐ฆ = 4 ๐ฅ + 2๐ฅ๐ฆ + ๐ฆ = 2 + 16 + 4 = 22
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 65
2. 10. Menyelesaikan operasi aljabar beberapa vektor dengan syarat tertentu.
Vektor
Notasi Vektor Operasi Aljabar Vektor
๏ฟฝโ๏ฟฝ = ๐1๐ + ๐2๐ + ๐3๏ฟฝโโ๏ฟฝ = (
๐1
๐2
๐3
)
๐๏ฟฝโ๏ฟฝ = ๐๐1๐ + ๐๐2๐ + ๐๐3๏ฟฝโโ๏ฟฝ = (
๐๐1
๐๐2
๐๐3
)
๐1 komponen pada sumbu X ๐2 komponen pada sumbu Y ๐3 komponen pada sumbu Z
Panjang Vektor โAkar dari jumlah kuadratโ
|๏ฟฝโ๏ฟฝ| = โ๐12 + ๐2
2 + ๐32
Vektor Posisi โTitik Koordinat = Komponen Vektorโ
๐๐ดโโ โโ โโ = ๏ฟฝโ๏ฟฝ = (
๐ฅ๐
๐ฆ๐
๐ง๐
)
Vektor Pada Dua Titik โBelakang Kurangi Depanโ
๐ด๐ต = ๏ฟฝโโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ = (
๐ฅ๐ โ ๐ฅ๐
๐ฆ๐ โ ๐ฆ๐
๐ง๐ โ ๐ง๐
)
๐ด(๐ฅ๐ , ๐ฆ๐ , ๐ง๐)
๏ฟฝโ๏ฟฝ
O
๐ด(๐ฅ๐ , ๐ฆ๐ , ๐ง๐)
๐ต(๐ฅ๐, ๐ฆ๐ , ๐ง๐)
๏ฟฝโโ๏ฟฝ
โ๏ฟฝโ๏ฟฝ
O
Penjumlahan Vektor
โJumlahkan Komponen yang Samaโ
๏ฟฝโ๏ฟฝ + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = (
๐1
๐2
๐3
) + (
๐1
๐2
๐3
) = (
๐1 + ๐1
๐2 + ๐2
๐3 + ๐3
)
Pengurangan Vektor
โKurangkan Komponen yang Samaโ
๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = (
๐1
๐2
๐3
) โ (
๐1
๐2
๐3
) = (
๐1 โ ๐1
๐2 โ ๐2
๐3 โ ๐3
)
Perkalian Skalar
โDua Vektor Harus Searahโ โKalikan Komponen yang Samaโ
๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = |๏ฟฝโ๏ฟฝ||๏ฟฝโโ๏ฟฝ| cos ๐
๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = ๐1๐1 + ๐2๐2 + ๐3๐3
Perkalian Vektor
โDua Vektor Harus Tegak Lurusโ โPutar Komponen yang Bedaโ
๏ฟฝโ๏ฟฝ ร ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = |๏ฟฝโ๏ฟฝ||๏ฟฝโโ๏ฟฝ| sin ๐
๏ฟฝโ๏ฟฝ ร ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = |๐ ๐ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ
๐1 ๐2 ๐3
๐1 ๐2 ๐3
|
Pembagian Ruas Garis
โHasil Kali Silang Dibagi Jumlahnyaโ
๐ =๐๏ฟฝโโ๏ฟฝ + ๐๏ฟฝโ๏ฟฝ
๐ + ๐
๏ฟฝโ๏ฟฝ
๏ฟฝโโ๏ฟฝ
๐
๐ด(๐ฅ๐ , ๐ฆ๐ , ๐ง๐)
๐ต(๐ฅ๐, ๐ฆ๐ , ๐ง๐)
๐(๐ฅ๐, ๐ฆ๐, ๐ง๐)
๐
๐
๐
Halaman 66 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Sifat Operasi Vektor:
๏ฟฝโ๏ฟฝ + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = ๏ฟฝโโ๏ฟฝ + ๏ฟฝโ๏ฟฝ
(๏ฟฝโ๏ฟฝ + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ) + ๐ = ๏ฟฝโ๏ฟฝ + (๏ฟฝโโ๏ฟฝ + ๐)
๏ฟฝโ๏ฟฝ + 0 = 0 + ๏ฟฝโ๏ฟฝ = ๏ฟฝโ๏ฟฝ ๏ฟฝโ๏ฟฝ + (โ๏ฟฝโ๏ฟฝ) = 0
Sifat Perkalian Skalar (Perkalian Titik/Dot Product) Dua Vektor:
๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = ๏ฟฝโโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ
๏ฟฝโ๏ฟฝ โ (๏ฟฝโโ๏ฟฝ + ๐) = ๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ + ๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๐
๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ = |๏ฟฝโ๏ฟฝ|2
๏ฟฝโ๏ฟฝ โฅ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = 0 Sifat Perkalian Vektor (Perkalian Silang/Cross Product) Dua Vektor:
๐ ร ๐ = ๐ ร ๐ = ๏ฟฝโโ๏ฟฝ ร ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = 0
๐ ร ๐ = ๏ฟฝโโ๏ฟฝ
๐ ร ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = ๐
๏ฟฝโโ๏ฟฝ ร ๐ = ๐
๐ ร ๐ = โ๏ฟฝโโ๏ฟฝ
๏ฟฝโโ๏ฟฝ ร ๐ = โ๐
๐ ร ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = โ๐
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 67
TRIK SUPERKILAT:
Jabarkan
Lihat Syarat
Hitung Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA tentang indikator soal operasi aljabar vektor ini, satu hal yang sering ditanyakan adalah hasil operasi perkalian titik terhadap beberapa operasi aljabar penjumlahan maupun pengurangan vektor dengan syarat ada dua vektor yang tegak lurus.
Misal diketahui ๏ฟฝโ๏ฟฝ, ๏ฟฝโโ๏ฟฝ, dan ๐ . Jika ๏ฟฝโ๏ฟฝ โฅ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ, maka tentukan hasil dari (๏ฟฝโ๏ฟฝ + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ) โ (๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๐)!
Maka jabarkan (๏ฟฝโ๏ฟฝ + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ) โ (๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๐) = ๏ฟฝโ๏ฟฝ โ (๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๐) + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ โ (๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๐)
= (๏ฟฝโโโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ) โ (๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๐) + (๏ฟฝโโโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ) โ (๏ฟฝโโ๏ฟฝ โ ๐)
= |๏ฟฝโโโ๏ฟฝ|๐
โ (๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๐) + ๐ โ (๏ฟฝโโ๏ฟฝ โ ๐)
Tips dan triknya adalah, Lihat syarat,
Bahwa kita tidak perlu menghitung hasil perkalian titik dari dua vektor yang tegak lurus. Cukup kalikan pada komponen yang sama untuk menentukan hasil perkalian skalar (perkalian titik atau dot product).
Lalu perkalian titik dua vektor yang sama akan menghasilkan nilai yang sama dengan kuadrat panjang vektor tersebut.
Perhatikan tulisan berwarna merah (๏ฟฝโโโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ). Perkalian titik dari dua vektor yang tegak lurus adalah NOL!
Perhatikan warna biru (๏ฟฝโโโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ). Perkalian titik dari dua vektor yang sama adalah KUADRAT PANJANG VEKTOR!
Lalu hitung perkalian titiknya. Masih ingat (๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๐) atau (๏ฟฝโโ๏ฟฝ โ ๐)?
Perkalian titik dua vektor yang tidak tegak lurus itu KALIKAN KOMPONEN YANG SAMA! SELESAI!
Halaman 68 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
KESIMPULAN LOGIKA PRAKTIS: Satu hal yang unik pada operasi aljabar vektor adalah untuk penjumlahan, pengurangan dan perkalian titik, semua operasi hanya dilakukan pada KOMPONEN VEKTOR YANG SAMA.
Kalau penjumlahan dua vektor, ya jumlahkan komponen-komponen yang sama. Jika pengurangan dua vektor, maka kurangkanlah komponen-komponen yang sama. Dan apabila perkalian titik, juga kalikan komponen-komponen yang sama.
PERBEDAAN mendasar hanya ada pada PERKALIAN SILANG, atau dikenal dengan perkalian vektor atau cross product. Triknya adalah sebagai berikut:
๐
๐ ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ +
๐ ร ๐ = ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ Jadi kalau perkaliannya dua komponen vektor yang posisinya searah jarum jam hasilnya POSITIF komponen vektor berikutnya.
๐ dikalikan silang dengan ๐ maka hasilnya POSITIF ๏ฟฝโโ๏ฟฝ.
๐ dikalikan silang dengan ๏ฟฝโโ๏ฟฝ maka hasilnya POSITIF ๐.
๏ฟฝโโ๏ฟฝ dikalikan silang dengan ๐ maka hasilnya POSITIF ๐. Sehingga, apabila dibalik arah perkalian silangnya, hasilnya NEGATIF.
Contohnya yaitu apabila ๐ dikalikan silang dengan ๐ maka hasilnya NEGATIF ๏ฟฝโโ๏ฟฝ.
๐ ร ๐ = โ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 69
Tipe Soal yang Sering Muncul
Menyelesaikan Operasi Perkalian Titik dengan Syarat Ada Vektor yang Tegak Lurus. Contoh Soal:
Diketahui vektor ๏ฟฝโ๏ฟฝ = (๐22
), ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = (2
โ53
) dan ๐ = (21
โ1). Jika vektor ๏ฟฝโ๏ฟฝ tegak lurus dengan vektor ๏ฟฝโโ๏ฟฝ, maka
tentukan nilai dari 2๏ฟฝโ๏ฟฝ โ (๏ฟฝโโ๏ฟฝ โ 3๐) = โฆ.
a. 0 b. 6 c. 12 d. 18 e. 24
Penyelesaian:
๏ฟฝโ๏ฟฝ โฅ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = 0
โ (๐22
) โ (2
โ53
) = 0
โ 2๐ โ 10 + 6 = 0โ 2๐ โ 4 = 0โ 2๐ = 4โ ๐ = 2
Dengan demikian diperoleh:
๏ฟฝโ๏ฟฝ = (222
)
Dengan menggunakan sifat perkalian titik dua vektor, diperoleh:
๏ฟฝโ๏ฟฝ โฅ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = 0
๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๐ = (222
) โ (21
โ1) = (2 โ 2) + (2 โ 1) + (2 โ (โ1)) = 4 + 2 โ 2 = 4
2๐ โ (๐ โ 3๐) = 2๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ โ 2๏ฟฝโ๏ฟฝ โ 3๐
= 2(๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ) โ 6(๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๐)
= 2(0) โ 6(4)= 0 + 24= 24
Jadi nilai 2๐ โ (๐ โ 3๐) = 24 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Lihat bahwa ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ tegak lurus ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ, maka ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ = ๐ Jabarkan perkalian titik pada soal:
2๏ฟฝโ๏ฟฝ โ (๏ฟฝโโ๏ฟฝ โ 3๐) = ๐(๏ฟฝโโโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ) โ 6(๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๐)
= ๐ โ 6(4)= โ24
Halaman 70 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menyelesaikan Operasi Perkalian Titik dengan Syarat Ada Vektor yang Berlawanan. Contoh Soal:
Diketahui vektor ๏ฟฝโ๏ฟฝ = (1๐โ2
), ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = (2
โ31
) dan ๐ = (โ224
). Jika vektor ๏ฟฝโ๏ฟฝ berlawanan dengan vektor ๐, maka
tentukan nilai dari 4๏ฟฝโ๏ฟฝ โ (2๐ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ) = โฆ.
a. โ24 b. 0 c. 12 d. 48 e. 72
Penyelesaian: ๏ฟฝโ๏ฟฝ berlawanan arah dengan ๐ โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ = โ๐๐
โ (1๐โ2
) = โ๐ (โ224
)
Dari persamaan tersebut diperoleh:
1 = โ๐(โ2) โ ๐ =1
2
Maka,
๐ = โ๐(2) โ ๐ = (โ1
2) (2) = โ1
Dengan demikian diperoleh:
๏ฟฝโ๏ฟฝ = (1
โ1โ2
)
Dengan menggunakan sifat perkalian titik dua vektor, diperoleh:
๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = (1
โ1โ2
) โ (2
โ31
) = (1 โ 2) + ((โ1) โ (โ3)) + ((โ2) โ 1) = 2 + 3 โ 2 = 3
๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๐ = (1
โ1โ2
) โ (โ224
) = (1 โ (โ2)) + ((โ1) โ 2) + ((โ2) โ 4) = โ2 โ 2 โ 8 = โ12
4๏ฟฝโ๏ฟฝ โ (2๐ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ) = 4๏ฟฝโ๏ฟฝ โ 2๐ โ 4๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ
= 8(๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๐) โ 4(๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ)
= 8(3) โ 4(โ12)
= 24 โ (โ48)= 72
Jadi nilai 4๏ฟฝโ๏ฟฝ โ (2๐ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ) = 72
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Dua vektor itu berlawanan jika angkanya juga saling berlawanan dan berkelipatan. Perhatikan vektor ๏ฟฝโ๏ฟฝ dan vektor ๐ berikut:
๏ฟฝโ๏ฟฝ = (1๐โ2
) dan ๐ = (โ224
)
Bandingkan kotak merah dan kotak biru. Logika praktisnya. Kalau โ2 itu 1, maka 2 itu โ1. Jelas bahwa ๐ = โ1.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 71
Menyelesaikan Operasi Perkalian Titik dengan Syarat Ada Vektor yang Sama Panjang. Contoh Soal:
Diketahui vektor ๏ฟฝโ๏ฟฝ = (1๐
โ2), ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = (
2โ31
) dan ๐ = (โ224
). Jika panjang vektor ๏ฟฝโ๏ฟฝ sama dengan panjang vektor
๏ฟฝโโ๏ฟฝ, dan ๐ < 0, maka tentukan nilai dari (๏ฟฝโ๏ฟฝ + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ) โ (๏ฟฝโโ๏ฟฝ โ ๐) = โฆ.
a. โ5 b. โ3 c. 3 d. 9 e. 15
Penyelesaian:
|๏ฟฝโ๏ฟฝ|=|๏ฟฝโโ๏ฟฝ| โ โ(1)2 + (๐)2 + (โ2)2 = โ(2)2 + (โ3)2 + (1)2
โ (1)2 + (๐)2 + (โ2)2 = (2)2 + (โ3)2 + (1)2
โ 1 + ๐2 + 4 = 4 + 9 + 1
โ ๐2 + 5 = 14
โ ๐2 + 5 โ 14 = 0
โ ๐2 โ 9 = 0pembuat nol
โ (๐ + 3)(๐ โ 3) = 0โ ๐ + 3 = 0 atau ๐ โ 3 = 0โ ๐ = โ3 โโ atau ๐ = 3
Karena syarat ๐ > 0, maka ๐ = 3.
Dengan demikian diperoleh ๏ฟฝโ๏ฟฝ = (13
โ2)
Dengan menggunakan sifat perkalian titik dua vektor, diperoleh:
๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = (13
โ2) โ (
2โ31
) = (1 โ 2) + (3 โ (โ3)) + ((โ2) โ 1) = 2 โ 9 โ 2 = โ9
๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๐ = (13
โ2) โ (
โ224
) = (1 โ (โ2)) + (3 โ 2) + ((โ2) โ 4) = โ2 + 6 โ 8 = โ4
๏ฟฝโโ๏ฟฝ โ ๐ = (2
โ31
) โ (โ224
) = (2 โ (โ2)) + ((โ3) โ 2) + (1 โ 4) = โ4 โ 6 + 4 = โ6
|๏ฟฝโโ๏ฟฝ|2
= (2)2 + (โ3)2 + (1)2 = 4 + 9 + 1 = 14
(๏ฟฝโ๏ฟฝ + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ) โ (๏ฟฝโโ๏ฟฝ โ ๐) = ๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๐ + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ โ ๐
= ๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๐ + |๏ฟฝโโ๏ฟฝ|2
โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ โ ๐
= (โ9) โ (โ4) + 14 โ (โ6)= โ9 + 4 + 14 + 6= 15
Jadi nilai (๏ฟฝโ๏ฟฝ + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ) โ (๏ฟฝโโ๏ฟฝ โ ๐) = 15
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Dua vektor itu sama panjang jika kuadrat dari komponennya juga sama. Nah perhatikan vektor ๏ฟฝโ๏ฟฝ dan ๏ฟฝโโ๏ฟฝ
๏ฟฝโ๏ฟฝ = (1๐โ2
) dan ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = (2
โ31
)
Ingat pada bilangan kuadrat itu tidak masalah bilangannya positif atau negatif. Karena bilangan positif maupun negatif kalau dikuadratkan hasilnya sama. Bukti: (โ2)2 = (2)2 = 4.
Sekarang bandingkan bilangan pada vektor ๏ฟฝโ๏ฟฝ dan ๏ฟฝโโ๏ฟฝ. Pada vektor ๏ฟฝโโ๏ฟฝ memuat bilangan 2, 3, dan 1. Logika praktisnya. Karena vektor ๏ฟฝโ๏ฟฝ sudah ada bilangan 1 dan 2, maka pasti ๐ = 3 (pilih yang positif sesuai syarat pada soal ๐ > 0).
Halaman 72 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Diketahui vektor
1
2
p
a
;
6
3
4
b
; dan .
3
1
2
c
Jika a tegak lurus ,b maka hasil dari
cba 3.2 adalah ....
A. 171
B. 63
C. โ63
D. โ111
E. โ171
2. Diketahui vektor kjxia 3 , kjib 2 , dan kjic 23 Jika a tegak lurus ,b
maka hasil dari cba .2 adalah ....
A. โ20
B. โ12
C. โ10
D. โ8
E. โ1
3. Diketahui vektor .22dan ,23,2 kjickjibkxjia Jika a tegak lurus ,c
maka caba . adalah ....
A. โ4
B. โ2
C. 0
D. 2
E. 4
Jika adik-adik butuh โbocoranโ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.
Karena ๏ฟฝโ๏ฟฝ โฅ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = 0
โ (๐2
โ1) โ (
4โ36
) = 0
โ 4๐ โ 6 โ 6 = 0โ ๐ = 3
(๏ฟฝโ๏ฟฝ โ 2๏ฟฝโโ๏ฟฝ) โ (3๐) = (3 โ 8
2 โ (โ6)โ1 โ 12
) โ (6
โ39
)
= (โ58
โ13) โ (
6โ39
)
= โ30 โ 24 โ 117= โ171
Karena ๏ฟฝโ๏ฟฝ โฅ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = 0
โ (1
โ๐ฅ3
) โ (21
โ1) = 0
โ 2 โ ๐ฅ โ 3 = 0โ ๐ฅ = โ1
(2๏ฟฝโ๏ฟฝ) โ (๏ฟฝโโ๏ฟฝ โ ๐) = (226
) โ (2 โ 11 โ 3
โ1 โ 2)
= (226
) โ (1
โ2โ3
)
= 2 โ 4 โ 18= โ20
Karena ๏ฟฝโ๏ฟฝ โฅ ๐ โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๐ = 0
โ (12
โ๐ฅ) โ (
212
) = 0
โ 2 + 2 โ 2๐ฅ = 0โ ๐ฅ = 2
(๏ฟฝโ๏ฟฝ + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ) โ (๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๐) = (1 + 32 โ 2
โ2 + 1) โ (
1 โ 22 โ 1
โ2 โ 2)
= (40
โ1) โ (
โ11
โ4)
= โ4 + 0 + 4= 0
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 73
2. 11. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan besar sudut atau nilai perbandingan trigonometri sudut antara dua vektor.
Sudut Antara Dua Vektor
Diketahui
Komponen Vektor Titik Koordinat Panjang dan ResultanVektor
๏ฟฝโ๏ฟฝ = ๐1๐ + ๐2๐ + ๐3๏ฟฝโโ๏ฟฝ
๏ฟฝโโ๏ฟฝ = ๐1๐ + ๐2๐ + ๐3๏ฟฝโโ๏ฟฝ
๐ต๐ดโโโโ โโ = ๏ฟฝโโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ
๐ต๐ถโโโโโโ = ๐ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ
|๏ฟฝโ๏ฟฝ + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ|2
= |๏ฟฝโ๏ฟฝ|2
+ |๏ฟฝโโ๏ฟฝ|2
+ 2|๏ฟฝโ๏ฟฝ||๏ฟฝโโ๏ฟฝ| cos ๐ผ
|๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ|2
= |๏ฟฝโ๏ฟฝ|2
+ |๏ฟฝโโ๏ฟฝ|2
โ 2|๏ฟฝโ๏ฟฝ||๏ฟฝโโ๏ฟฝ| cos ๐ผ
Kosinus Sudut Kosinus Sudut Antara Dua Vektor Antara Dua Vektor
cos ๐ผ =๏ฟฝโโโ๏ฟฝโ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ
|๏ฟฝโโโ๏ฟฝ||๏ฟฝโโโ๏ฟฝ| cos ๐ผ =
|๏ฟฝโโโ๏ฟฝ+๏ฟฝโโโ๏ฟฝ|2
โ(|๏ฟฝโโโ๏ฟฝ|2
+|๏ฟฝโโโ๏ฟฝ|2
)
2|๏ฟฝโโโ๏ฟฝ||๏ฟฝโโโ๏ฟฝ|
atau
cos ๐ผ =(|๏ฟฝโโโ๏ฟฝ|
2+|๏ฟฝโโโ๏ฟฝ|
2)โ|๏ฟฝโโโ๏ฟฝโ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ|
2
2|๏ฟฝโโโ๏ฟฝ||๏ฟฝโโโ๏ฟฝ|
Besar Sudut Antara Dua Vektor โSudut berapa yang nilai cosnya ๐"
cos ๐ผ = ๐ฅ โ ๐ผ = cosโ1(๐ฅ)
๐ถ = โ (๐ฉ๐จโโโโโโโ, ๐ฉ๐ชโโโโโโโ)
๐ด
๐ถ ๐ต ๐ถ
|๏ฟฝโโ๏ฟฝ|
|๏ฟฝโ๏ฟฝ|
๐ถ = โ (๏ฟฝโโโ๏ฟฝ, ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ)
๏ฟฝโโ๏ฟฝ
๏ฟฝโ๏ฟฝ
Halaman 74 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT: Tentukan dua vektor Cek Perkalian titik Perkalian titik = 0 Perkalian titik โ 0 ๐ผ = 90ยฐ Gunakan rumus cos ๐ผ
Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA tentang indikator soal sudut antara dua vektor, jelas bahwa satu hal yang sering ditanyakan adalah besar sudut yang dibentuk antara dua vektor. Nah, vektor yang diketahui ada tiga jenis, pertama diketahui komponen vektor, kedua diketahui vektor yang dibentuk oleh dua titik, dan yang terakhir adalah panjang atau resultan vektor. Langkah TRIK SUPERKILAT:
Hal pertama yang harus dilakukan adalah menentukan dua vektor yang membentuk sudut ๐ผ. Kedua, segera tentukan apakah perkalian titik kedua vektor tersebut nol. Jika benar, maka sudut ๐ผ pasti 90ยฐ! Kalau
perkalian titiknya tidak nol, maka segera tentukan panjang kedua vektor dan gunakan rumus cos ๐ผ yang sesuai dengan kondisi soal.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 75
LOGIKA PRAKTIS Mencari Panjang Vektor dengan Tripel Pythagoras:
Masih ingat tripel Pythagoras? Asyikโฆ.!
Misal vektor ๏ฟฝโ๏ฟฝ = 3๐ โ 4๐ + 12๏ฟฝโโ๏ฟฝ, maka tentukan panjang vektor ๏ฟฝโ๏ฟฝ? Kalau menggunakan konsep dari panjang vektor, maka pengerjaan kita akan seperti berikut:
|๏ฟฝโ๏ฟฝ| = โ32 + (โ4)2 + 122 = โ9 + 16 + 144 = โ169 = 13 Apabila kita ingat bagaimana pola bilangan pada tripel Pythagoras, maka pengerjaan kita seperti berikut:
๏ฟฝโ๏ฟฝ = ๐๐ โ ๐๐ + ๐๐๏ฟฝโโ๏ฟฝ 3 4 12 (ingat tripel Pythagoras 3, 4, 5) 5 12 (ingat tripel Pythagoras 5, 12, 13) 13
Keterangan:
Pertama, abaikan tanda negatif pada setiap komponen vektor. Jadi kita hanya fokus untuk melihat komponen vektor ๏ฟฝโ๏ฟฝ yaitu 3, 4, 12.
Karena kita ingat tripel Pythagoras 3, 4, 5. Maka 3, 4 kita sederhanakan menjadi 5. Jadi, sekarang komponen vektor semula 3, 4, 5 kini menjadi 5, 12.
Nah, karena kita ingat tripel Pythagoras 5, 12, 13. Maka 5 dan 12 bisa kita sederhanakan menjadi 13. Selesai! Panjang vektor ๏ฟฝโ๏ฟฝ adalah 13!
Trik Cepat Hitung Tripel Pythagoras
Tripel Pythagoras yang sering muncul
3 4 5
5 12 13
7 24 25
9 40 41
8 15 17
Cara cepat menghafal bilangan tripel Pythagoras Khusus bilangan ganjil seperti 3, 5, 7, 9, dstโฆ maka tripel Pythagorasnya adalah bilangan tersebut dengan dua bilangan lain yang selisihnya satu dan jumlahnya adalah kuadrat bilangan ganjil tersebut!
Contoh: 32 = 9 maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 9 adalah 4 dan 5. Sehingga tripel Pythagoras yang dimulai oleh angka 3 adalah 3, 4, 5.
52 = 25 maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 25 adalah 12 dan 13, sudah pasti tripel Pythagorasnya 5, 12, 13
3
4
5 5
12
13
Halaman 76 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
LOGIKA PRAKTIS Mencari Panjang Vektor dengan Tripel Pythagoras Bentuk Akar: Kalau sebelumnya adalah tripel Pythagoras bentuk biasa, sekarang bagaimana tripel Pythagoras bentuk akar? Sebenarnya prinsip dasar teorema Pythagoras bisa dengan mudah menyelesaikan masalah ini. Namun, apabila mau sedikit kreatif mengembangkan imajinasi, maka ada jalan lain yang lebih menyenangkan. Apa sih Tripel Pythagoras bentuk akar itu????? Lihat konsepnya pada gambar di bawah:
Misal sisi tegak lurus sebuah segitiga siku-siku adalah ๐โ๐ dan ๐โ๐, dan misal sisi miring segitiga siku-siku adalah ๐ฅ, maka nilai ๐ฅ bisa ditentukan oleh:
๐ฅ2 = (๐โ๐)2
+ (๐โ๐)2
โ ๐ฅ = โ๐2๐ + ๐2๐
โ ๐ฅ = โ๐2(๐ + ๐)
โ ๐ฅ = โ๐2โ๐ + ๐
โ ๐ฅ = ๐โ๐ + ๐
Jadi jelas bahwa pola bilangan tripel Pythagoras seperti ini:
Tripel Pythagoras bentuk akar
๐ โ๐ ๐ โ๐ ๐ โ๐ + ๐
Contoh:
Sekarang mari cermati contoh soal panjang vektor di bawah ini!
Misal vektor ๏ฟฝโ๏ฟฝ = 4๐ โ 2๐ + 6๏ฟฝโโ๏ฟฝ, maka tentukan panjang vektor ๏ฟฝโ๏ฟฝ? Kalau menggunakan konsep dari panjang vektor, maka pengerjaan kita akan seperti berikut:
|๏ฟฝโ๏ฟฝ| = โ42 + (โ2)2 + 62 = โ16 + 4 + 36 = โ56 = โ4โ14 = 2โ14 Apabila kita ingat pola bilangan pada tripel Pythagoras bentuk akar, maka pengerjaan kita seperti berikut:
๏ฟฝโ๏ฟฝ = ๐๐ โ ๐๐ + ๐๏ฟฝโโ๏ฟฝ (hanya lihat pada komponen vektor saja, abaikan tanda negatif) 4 2 6 (FPB dari 4, 2, dan 6 adalah 2. Ubah bilangan 4, 2, 6 menjadi 2 dikali akar berapa gituโฆ)
๐โ๐ ๐โ๐ ๐โ๐ (jumlahkan 4 + 1 + 9)
๐โ๐ + ๐ + ๐
๐โ๐๐
๐ โ๐
๐ โ๐
๐ โ๐ + ๐
bilangannya harus sama, kalau nggak sama cari FPBnya
jumlahkan saja bilangan di dalam akar
๐ โ๐
๐ โ๐
๐ฅ
4โ4
4โ9
4โ13 8
12
Cari FPB dari 12 dan 8. FPBnya adalah 4. Berarti jadikan bilangan pokoknya menjadi 4.
Artinya 12 = 4โ9 dan 8 = 4โ4,
Jadi sisi miring dari segitiga tersebut adalah 4โ9 + 4 = 4โ13
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 77
Tipe Soal yang Sering Muncul
Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui komponen dua vektor. Contoh Soal:
Diketahui vektor ๏ฟฝโ๏ฟฝ = 4๐ + 2๐ + 2๏ฟฝโโ๏ฟฝ dan ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = 3๐ + 3๐. Besar sudut antara vektor ๏ฟฝโ๏ฟฝ dan ๏ฟฝโโ๏ฟฝ adalah โฆ. a. 30 b. 45 c. 60 d. 90 e. 120
Penyelesaian:
๏ฟฝโ๏ฟฝ = 4๐ + 2๐ + 2๏ฟฝโโ๏ฟฝ = (422
) โ |๏ฟฝโ๏ฟฝ| = โ42 + 22 + 22 = โ16 + 4 + 4 = โ24 = โ4โ6 = 2โ6
๏ฟฝโโ๏ฟฝ = 3๐ + 3๐ = (330
) โ |๏ฟฝโโ๏ฟฝ| = โ32 + 32 + 02 = โ9 + 9 + 0 = โ18 = โ9โ2 = 3โ2
Dengan demikian diperoleh:
cos ๐ผ =๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ
|๏ฟฝโ๏ฟฝ||๏ฟฝโโ๏ฟฝ|
=
(422
) โ (330
)
2โ6 โ 3โ2
=(4)(3) + (2)(3) + (2)(0)
6โ12
=12 + 6 + 0
6โ4โ3
=18
12โ3
=18
12โ3ร
โ3
โ3
=18โ3
36
=1
2โ3
Jadi karena cos ๐ผ =1
2โ3, maka besar sudut ๐ผ = 30ยฐ
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Lihat bahwa ๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ โ 0, maka jelas jawaban D (90ยฐ) pasti salah! Segera cari panjang masing-masing vektor dengan Tripel Pythagoras bentuk akar:
๏ฟฝโ๏ฟฝ = 4๐ + 2๐ + 2๏ฟฝโโ๏ฟฝ = (422
) = (2โ4
2โ1
2โ1
) โ |๏ฟฝโ๏ฟฝ| = 2โ4 + 1 + 1 = 2โ6
๏ฟฝโโ๏ฟฝ = 3๐ + 3๐ = (330
) = (3โ1
3โ10
) โ |๏ฟฝโโ๏ฟฝ| = 3โ1 + 1 = 3โ2
Lanjutkan dengan menghitung nilai cos ๐ผ menggunakan rumus:
cos ๐ผ =๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ
|๏ฟฝโ๏ฟฝ||๏ฟฝโโ๏ฟฝ|=
(422
) โ (330
)
2โ6 โ 3โ2= ๐๐ ๐ก ๐๐ ๐ก ๐๐ ๐ก โฆ
Halaman 78 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui beberapa titik koordinat. Contoh Soal:
Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika ๏ฟฝโโ๏ฟฝ mewakili ๐ด๐ตโโโโ โโ dan ๏ฟฝโ๏ฟฝ mewakili ๐ด๐ถโโโโโโ , maka sudut yang dibentuk oleh vektor ๏ฟฝโโ๏ฟฝ dan ๏ฟฝโ๏ฟฝ adalah โฆ a. 30 b. 45 c. 60 d. 90 e. 120
Penyelesaian:
๐ด๐ตโโโโ โโ = ๏ฟฝโโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ = (612
) โ (212
) = (400
) โ |๐ด๐ตโโโโ โโ | = โ42 + 02 + 02 = โ16 + 0 + 0 = โ16 = 4
๐ด๐ถโโโโโโ = ๐ โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ = (652
) โ (212
) = (440
) โ |๐ด๐ถโโโโโโ | = โ42 + 42 + 02 = โ16 + 16 + 0 = โ32 = 4โ2
Dengan demikian diperoleh:
cos ๐ผ =๐ด๐ตโโโโ โโ โ ๐ด๐ถโโโโโโ
|๐ด๐ตโโโโ โโ ||๐ด๐ถโโโโโโ |
=
(400
) โ (440
)
4 โ 4โ2
=(4)(4) + (0)(4) + (0)(0)
16โ2
=16 + 0 + 0
16โ2
=16
16โ2
=1
โ2
=1
โ2ร
โ2
โ2
=1
2โ2
Jadi karena cos ๐ผ =1
2โ2, maka besar sudut ๐ผ = 45ยฐ
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS:
Lihat bahwa ๐ด๐ตโโโโ โโ โ ๐ด๐ถโโโโโโ โ 0, maka jelas jawaban D (90ยฐ) pasti salah! Lanjutkan segera dengan mencari panjang masing-masing vektor dengan Tripel Pythagoras bentuk akar:
๐ด๐ตโโโโ โโ = ๏ฟฝโโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ = (612
) โ (212
) = (400
) โ |๐ด๐ตโโโโ โโ | = 4 (karena komponen yang lain nol)
๐ด๐ถโโโโโโ = ๐ โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ = (652
) โ (212
) = (440
) = (4โ1
4โ10
) โ |๐ด๐ถโโโโโโ | = 4โ1 + 1 = 4โ2
serta hasil kali titik dari ๐ด๐ตโโโโ โโ โ ๐ด๐ถโโโโโโ tidak mungkin memuat bilangan bentuk akar.
Karena panjang ๐ด๐ถ memuat bilangan โ2. Jadi feeling kita mengatakan bahwa nilai cos ๐ผ =1
2โ2, dan satu-
satunya jawaban yang mengakibatkan nilai cos ๐ผ =1
2โ2 adalah๐ผ = 45ยฐ.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 79
Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui panjang dan resultan vektor. Contoh Soal:
Diketahui|๏ฟฝโ๏ฟฝ| = 2, |๏ฟฝโโ๏ฟฝ| = 3, dan |๏ฟฝโ๏ฟฝ + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ| = โ19. Besar sudut antara vektor ๏ฟฝโ๏ฟฝ dan ๏ฟฝโโ๏ฟฝ adalah โฆ.
a. 30 b. 45 c. 60 d. 90 e. 120
Penyelesaian:
Ingat |๏ฟฝโ๏ฟฝ + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ|2
= |๏ฟฝโ๏ฟฝ|2
+ |๏ฟฝโโ๏ฟฝ|2
+ 2|๏ฟฝโ๏ฟฝ||๏ฟฝโโ๏ฟฝ| cos ๐ผ
Dengan demikian diperoleh:
|๏ฟฝโโ๏ฟฝ + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ|2
= |๏ฟฝโโ๏ฟฝ|2
+ |๏ฟฝโโ๏ฟฝ|2
+ 2|๏ฟฝโโ๏ฟฝ||๏ฟฝโโ๏ฟฝ| cos ๐ผ
โ (โ19)2
= (2)2 + (3)2 + 2(2)(3) cos ๐ผ
โ 19 = 4 + 9 + 12 cos ๐ผ
โ 19 = 13 + 12 cos ๐ผ
โ 19 โ 13 = 12 cos ๐ผ
โ 6 = 12 cos ๐ผ
โ6
12= cos ๐ผ
โ1
2= cos ๐ผ
โ cos ๐ผ =1
2
Jadi, karena cos ๐ผ =1
2, maka besar sudut ๐ผ = 60ยฐ
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS: Ingat kalau diketahui jumlah kedua vektor maka kosinus sudut antara dua vektor adalah:
cos ๐ผ =|๏ฟฝโ๏ฟฝ + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ|
2โ (|๏ฟฝโ๏ฟฝ|
2+ |๏ฟฝโโ๏ฟฝ|
2)
2|๏ฟฝโ๏ฟฝ||๏ฟฝโโ๏ฟฝ|
=19 โ (4 + 9)
12
=19 โ 13
12
=6
12
=1
2
Jadi, karena cos ๐ผ =1
2, maka besar sudut ๐ผ = 60ยฐ
Halaman 80 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Diketahui vektor
3
3
2
a
dan .
4
2
3
b
Sudut antara vektor a dan b adalah ....
A. 135ยฐ
B. 120ยฐ
C. 90ยฐ
D. 60ยฐ
E. 45ยฐ
2. Diketahui titik A (1, 0, โ2), B (2, 1, โ1), C (2, 0, โ3). Sudut antara vektor AB dengan AC adalah ....
A. 30ยฐ
B. 45ยฐ
C. 60ยฐ
D. 90ยฐ
E. 120ยฐ
Jika adik-adik butuh โbocoranโ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.
cos โ (๏ฟฝโ๏ฟฝ, ๏ฟฝโโ๏ฟฝ) =๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ
|๐||๐|
=6 + 6 โ 12
โ22โ29= 0
โด cos ๐ = 0 โ ๐ = 90ยฐ
๐ด๐ตโโโโ โโ = ๐ต โ ๐ด = (1, 0, 1)
๐ด๐ถโโโโโโ = ๐ถ โ ๐ด = (1, 0, โ1
cos โ (๐ด๐ตโโโโ โโ , ๐ด๐ถโโโโโโ ) =๐ด๐ตโโโโ โโ โ ๐ด๐ถโโโโโโโโโโโโ
|๐ด๐ตโโโโ โโ ||๐ด๐ถโโโโโโ |
=1 + 0 โ 1
โ2โ2= 0
โด cos ๐ = 0 โ ๐ = 90ยฐ
TRIK SUPERKILAT: Cek dulu. Apakah hasil perkalian titiknya nol?. Kalau nol pasti siku-siku. Dan ternyata benar, perkalian titik kedua vektor sama dengan nol, jadi jawabannya pasti C.
TRIK SUPERKILAT: Cek dulu. Apakah hasil perkalian titiknya nol?. Kalau nol pasti siku-siku. Dan ternyata benar, perkalian titik kedua vektor sama dengan nol, jadi jawabannya pasti C.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 81
2. 12. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan panjang proyeksi atau vektor proyeksi.
Proyeksi Vektor
Proyeksi Orthogonal Vektor ๏ฟฝโ๏ฟฝ pada Vektor ๏ฟฝโโ๏ฟฝ
โBayangan vektor ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ pada vektor ๏ฟฝโโโ๏ฟฝโ
Proyeksi vektor |๏ฟฝโ๏ฟฝ| pada vektor |๏ฟฝโโ๏ฟฝ| adalah vektor |๏ฟฝโโ๏ฟฝ|
Perhatikan daerah arsir, pada segitiga tersebut berlaku,
cos ๐ผ =|๏ฟฝโโ๏ฟฝ|
|๏ฟฝโ๏ฟฝ|
Sehingga,
|๐| = |๏ฟฝโ๏ฟฝ| cos ๐ผ
Masih ingat dengan sudut antara dua vektor?
cos ๐ผ =๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ
|๏ฟฝโ๏ฟฝ||๏ฟฝโโ๏ฟฝ| sehingga |๏ฟฝโโ๏ฟฝ| = |๏ฟฝโ๏ฟฝ|
๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ
|๏ฟฝโ๏ฟฝ||๏ฟฝโโ๏ฟฝ|
Panjang Proyeksi Vektor
Proyeksi skalar
|๏ฟฝโโ๏ฟฝ| =๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ
|๏ฟฝโโ๏ฟฝ|
Masih ingat dengan panjang vektor satuan?
๏ฟฝฬ๏ฟฝ =๏ฟฝโโ๏ฟฝ
|๏ฟฝโโ๏ฟฝ| sehingga ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = |๏ฟฝโโ๏ฟฝ|
๏ฟฝโโ๏ฟฝ
|๏ฟฝโโ๏ฟฝ|
Vektor Proyeksi
Proyeksi vektor
๏ฟฝโโ๏ฟฝ =๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ
|๏ฟฝโโ๏ฟฝ|2 ๏ฟฝโโ๏ฟฝ
๐ผ
|๏ฟฝโ๏ฟฝ|
|๏ฟฝโโ๏ฟฝ| |๏ฟฝโโ๏ฟฝ|
Halaman 82 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT:
Vektor Proyeksi Perhatikan dua vektor yang terkait. Proyeksi vektor apa ke vektor apa?
Proyeksi vektor ๏ฟฝโ๏ฟฝ pada vektor ๏ฟฝโโ๏ฟฝ Vektor yang diproyeksikan: Diproyeksikan ke vektor apa?
Vektor ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ Vektor ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ Perhatikan opsi jawaban Pilihan Ganda Cek opsi jawaban yang merupakan
kelipatan dari vektor ๏ฟฝโโ๏ฟฝ Hanya ada satu jawaban Lebih dari satu jawaban SELESAI! Lanjutkan dengan rumus
๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ
|๏ฟฝโโ๏ฟฝ|2 dikali ๏ฟฝโโ๏ฟฝ
SELESAI
Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA pada indikator soal tentang proyeksi vektor, jelas bahwa satu hal yang sering ditanyakan adalah panjang proyeksi vektor atau vektor proyeksi. Nah, jika yang ditanyakan vektor proyeksi maka jawaban yang benar seharusnya adalah kelipatan dari vektor tujuan proyeksi . Kesimpulan Langkah TRIK SUPERKILAT:
Perhatikan vektor tempat proyeksi vektor. Kedua, segera tentukan apakah perkalian ada opsi jawaban
yang merupakan kelipatan dari vektor tersebut. Jika ada maka kemungkinan besar itulah jawaban yang benar.
Kok bisa? Buktinya apa?
Perhatikan rumus vektor proyeksi orthogonal berikut:
๏ฟฝโโ๏ฟฝ =๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ
|๏ฟฝโโ๏ฟฝ|2
โโ๐๐ ๐๐๐๐ฆ๐
๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐ก๐
๏ฟฝโโ๏ฟฝ = ๐ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = kelipatan ๐ dari ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 83
Tipe Soal yang Sering Muncul
Menentukan panjang proyeksi vektor. Contoh Soal:
Diketahui vektor ๏ฟฝโ๏ฟฝ = 4๐ + 2๐ + 2๏ฟฝโโ๏ฟฝ dan ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = 3๐ + 3๐. Panjang proyeksi vektor ๏ฟฝโ๏ฟฝ pada vektor ๏ฟฝโโ๏ฟฝ adalah โฆ.
a. 1
2โ18
b. โ18
c. 2โ18
d. 3โ18
e. 4โ18
Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep proyeksi vektor, maka diperoleh:
|๐| =๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ
|๏ฟฝโโ๏ฟฝ|
=
(422
) โ (330
)
โ32 + 32 + 02
=(4)(3) + (2)(3) + (2)(0)
โ9 + 9 + 0
=12 + 6 + 0
โ18
=18
โ18
=18
โ18โ
โ18
โ18
=18
18โ18
= โ18
Jadi, panjang proyeksi vektor ๏ฟฝโ๏ฟฝ pada vektor ๏ฟฝโโ๏ฟฝ adalah โ18.
Halaman 84 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan vektor proyeksi. Contoh Soal 1:
Diketahui vektor ๏ฟฝโ๏ฟฝ = 5๐ โ 8๐ dan ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = 2๐ โ ๐ + 2๏ฟฝโโ๏ฟฝ, maka vektor proyeksi orthogonal vektor ๏ฟฝโ๏ฟฝ pada ๏ฟฝโโ๏ฟฝ adalah โฆ.
a. ๐ โ ๐ โ 2๏ฟฝโโ๏ฟฝ
b. 2๐ + 4๐ + 4๏ฟฝโโ๏ฟฝ
c. 2๐ โ ๐ โ 4๏ฟฝโโ๏ฟฝ
d. 2๐ + 2๐ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ
e. 4๐ โ 2๐ + 4๏ฟฝโโ๏ฟฝ
Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep vektor proyeksi, maka diperoleh:
๐ =๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ
|๏ฟฝโโ๏ฟฝ|2 ๏ฟฝโโ๏ฟฝ
=
(5
โ80
) โ (2
โ12
)
(โ22 + (โ1)2 + 22)2 (2๐ โ ๐ + 2๏ฟฝโโ๏ฟฝ)
=(5)(2) + (โ8)(โ1) + (0)(2)
22 + (โ1)2 + 22 (2๐ โ ๐ + 2๏ฟฝโโ๏ฟฝ)
=10 + 8 + 0
4 + 1 + 4(2๐ โ ๐ + 2๏ฟฝโโ๏ฟฝ)
=18
9(2๐ โ ๐ + 2๏ฟฝโโ๏ฟฝ)
= 2(2๐ โ ๐ + 2๏ฟฝโโ๏ฟฝ)
= 4๐ โ 2๐ + 4๏ฟฝโโ๏ฟฝ
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Perhatikan vektor tujuan atau sasaran proyeksi adalah vektor ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = 2๐ โ ๐ + 2๏ฟฝโโ๏ฟฝ.
Perhatikan opsi jawaban, yang merupakan kelipatan dari vektor ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = 2๐ โ ๐ + 2๏ฟฝโโ๏ฟฝ hanyalah jawaban E yaitu dua
kalinya vektor ๏ฟฝโโ๏ฟฝ. Selesai!
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 85
Contoh Soal 2:
Diketahui vektor ๐ = ๐ โ 2๐ + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ dan ๏ฟฝโ๏ฟฝ = 2๐ โ 2๐ + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ, maka vektor proyeksi orthogonal vektor ๐ pada ๏ฟฝโ๏ฟฝ adalah โฆ.
a. 2๐ โ 2๐ + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ
b. 7
9(2๐ โ 2๐ + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ)
c. 1
9(2๐ โ 2๐ + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ)
d. 9
7(2๐ โ 2๐ + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ)
e. 1
2(2๐ โ 2๐ + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ)
Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep vektor proyeksi, maka diperoleh:
๐ =๐ โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ
|๐|2 ๏ฟฝโ๏ฟฝ
=
(1
โ21
) โ (2
โ21
)
(โ22 + (โ2)2 + 12)2 (2๐ โ 2๐ + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ)
=(1)(2) + (โ2)(โ2) + (1)(1)
22 + (โ2)2 + 12 (2๐ โ 2๐ + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ)
=2 + 4 + 1
4 + 4 + 1(2๐ โ 2๐ + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ)
=7
9(2๐ โ 2๐ + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ)
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Perhatikan vektor tujuan atau sasaran proyeksi adalah vektor ๏ฟฝโ๏ฟฝ = 2๐ โ 2๐ + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ.
Perhatikan opsi jawaban, yang merupakan kelipatan dari vektor ๏ฟฝโ๏ฟฝ = 2๐ โ 2๐ + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ adalah semua jawaban. Jadi kerjakan dengan cara biasa saja.
Halaman 86 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan komponen vektor apabila diketahui panjang vektor proyeksinya. Contoh Soal:
Diketahui vektor ๏ฟฝโ๏ฟฝ = (21๐ฅ
) dan ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = (30
โ4), dan panjang proyeksi vektor ๏ฟฝโ๏ฟฝ pada ๏ฟฝโโ๏ฟฝ adalah 2. Maka nilai 2๐ฅ = โฆ.
a. โ2 b. โ1 c. 0 d. 1 e. 2
Penyelesaian:
Panjang vektor proyeksi vektor ๏ฟฝโ๏ฟฝ pada ๏ฟฝโโ๏ฟฝ adalah:
|๐| =๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ
|๏ฟฝโโ๏ฟฝ|
โ 2 =
(21๐ฅ
) โ (30
โ4)
โ32 + 02 + (โ4)2
โ 2 =(2)(3) + (1)(0) + (๐ฅ)(4)
โ9 + 0 + 16
โ 2 =6 + 0 + 4๐ฅ
โ25
โ 2 =4๐ฅ + 6
5โ 10 = 4๐ฅ + 6โ 10 โ 6 = 4๐ฅโ 4 = 4๐ฅ
โ4
4= ๐ฅ
โ 1 = ๐ฅโ ๐ฅ = 1
Jadi nilai dari 2๐ฅ = 2(1) = 2
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 87
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Diketahui vektor kjia 65 dan .22 kjib Proyeksi orthogonal vektor a pada b adalah ....
A. kji 22
B. kji 22
C. kji 22
D. kji 22
E. kji 22
2. Proyeksi orthogonal vektor kjia 34 pada kjib 32 adalah ....
A. )32(14
13kji
B. )32(14
15kji
C. )32(7
8kji
D. )32(7
9kji
E. kji 624
Jika adik-adik butuh โbocoranโ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.
Proyeksi ๏ฟฝโ๏ฟฝ ๐๐ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ =๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ
|๐|2๏ฟฝโโ๏ฟฝ
=5 โ 12 โ 2
(โ1 + 4 + 4)2 ๏ฟฝโโ๏ฟฝ
= โ9
9 ๏ฟฝโโ๏ฟฝ
= โ๐ + 2๐ + 2๏ฟฝโโ๏ฟฝ
TRIK SUPERKILAT:
Pilihan jawaban harus merupakan kelipatan dari ๏ฟฝโโ๏ฟฝ.
Lihat pola tanda pada ๏ฟฝโโ๏ฟฝ plus min min. Jadi jawaban yang mungkin saja benar adalah plus min min atau min plus plus. Dan itu hanya dipenuhi oleh pilihan jawaban D.
Proyeksi ๏ฟฝโ๏ฟฝ ๐๐ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ =๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ
|๐|2๐
=8 + 1 + 9
(โ4 + 1 + 9)2 (2๐ + ๐ + 3๏ฟฝโโ๏ฟฝ)
=18
14(2๐ + ๐ + 3๏ฟฝโโ๏ฟฝ)
=9
7(2๐ + ๐ + 3๏ฟฝโโ๏ฟฝ)
Halaman 88 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
2. 13. Menentukan bayangan titik atau kurva karena dua transformasi atau lebih.
Transformasi Geometri Acuan
Translasi Pencerminan Rotasi Dilatasi โPergeseranโ โข terhadap ๐ฅ = ๐ sebesar ๐ pusat ๐ถ sebesar ๐ pusat ๐ถ โข terhadap ๐ฆ = ๐ โข terhadap titik (0, 0) โข terhadap ๐ฆ = ยฑ๐ฅ โข terhadap ๐ฆ = ๐๐ฅ + ๐ Menggunakan konsep matriks transformasi Bentuk umum
Transformasi terhadap Titik Transformasi terhadap Kurva โBayangan ๐จ(๐, ๐) adalah ๐จโฒ(๐โฒ, ๐โฒ)โ โSubstitusikan ๐, ๐ pada fungsi kurvaโ
(๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) = ๐(
๐ฅ๐ฆ) (
๐ฅ๐ฆ) = ๐
โ1 (๐ฅโฒ๐ฆโฒ)
๐ = Matriks Transformasi ๐โ1 = Invers Matriks Transformasi
Komposisi Transformasi โIngat (๐ โ ๐) artinya ๐ dikerjakan lebih dulu daripada ๐โ (๐๐ โ โฆ โ ๐2 โ ๐1) merupakan komposisi transformasi ๐1 dilanjutkan oleh transformasi ๐2 dan seterusnya sampai dengan transformasi ๐๐
Komposisi Komposisi Dua Transformasi Titik Dua Transformasi Kurva โBayangan ๐จ(๐, ๐) adalah ๐จโฒ(๐โฒ, ๐โฒ)โ โSubstitusikan ๐, ๐ pada fungsi kurvaโ
(๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) = (๐2 โ ๐1) (
๐ฅ๐ฆ) (
๐ฅ๐ฆ) = (๐2 โ ๐1)
โ1 (๐ฅโฒ๐ฆโฒ)
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 89
Tabel Transformasi Geometri Translasi
Translasi
Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi
1. Transformasi identitas ๐ด(๐ฅ, ๐ฆ)
๐ผ โ ๐ดโฒ(๐ฅ, ๐ฆ) (
๐ฅโฒ๐ฆโฒ) = (
๐ ๐๐ ๐
) (๐ฅ๐ฆ)
2. Translasi oleh (๐๐)
๐ด(๐ฅ, ๐ฆ) ๐=(
๐๐)
โ ๐ดโฒ(๐ฅ + ๐, ๐ฆ + ๐) (๐ฅโฒ๐ฆโฒ) = (
๐ ๐๐ ๐
) (๐ฅ๐ฆ) + (
๐๐)
Pencerminan
Pencerminan
terhadap garis ๐ = โฆ. Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi
1. Pencerminan terhadap sumbu Y (๐ฅ = 0)
๐ด(๐ฅ, ๐ฆ) ๐๐ ๐Y โ ๐ดโฒ(โ๐ฅ, ๐ฆ) (
๐ฅโฒ๐ฆโฒ) = (
โ๐ ๐๐ ๐
) (๐ฅ๐ฆ)
2. Pencerminan terhadap garis ๐ฅ = ๐
๐ด(๐ฅ, ๐ฆ) ๐๐ฅ=๐ โ ๐ดโฒ(๐๐ โ ๐ฅ, ๐ฆ) (
๐ฅโฒ โ ๐๐ฆโฒ
) = (โ๐ ๐๐ ๐
) (๐ฅ โ ๐๐ฆ )
Pencerminan
terhadap garis ๐ = โฆ. Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi
3. Pencerminan terhadap sumbu X (๐ฆ = 0)
๐ด(๐ฅ, ๐ฆ) ๐๐ ๐X โ ๐ดโฒ(๐ฅ, โ๐ฆ) (
๐ฅโฒ๐ฆโฒ) = (
๐ ๐๐ โ๐
) (๐ฅ๐ฆ)
4. Pencerminan terhadap garis ๐ฆ = ๐
๐ด(๐ฅ, ๐ฆ) ๐๐ฆ=๐ โ ๐ดโฒ(๐ฅ, ๐๐ โ ๐ฆ) (
๐ฅโฒ๐ฆโฒ โ ๐
) = (๐ ๐๐ โ๐
) (๐ฅ
๐ฆ โ ๐)
Pencerminan
terhadap titik (โฆ., โฆ.) Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi
5. Pencerminan terhadap titik asal ๐(0, 0)
๐ด(๐ฅ, ๐ฆ) ๐๐(0,0) โ โ ๐ดโฒ(โ๐ฅ,โ๐ฆ) (
๐ฅโฒ๐ฆโฒ) = (
โ๐ ๐๐ โ๐
) (๐ฅ๐ฆ)
6. Pencerminan terhadap titik ๐ท(๐, ๐)
๐ด(๐ฅ, ๐ฆ) ๐๐ท(๐,๐) โ ๐ดโฒ(๐๐ โ ๐ฅ, ๐๐ โ ๐ฆ) (
๐ฅโฒ โ ๐๐ฆโฒ โ ๐
) = (โ๐ ๐๐ โ๐
) (๐ฅ โ ๐๐ฆ โ ๐)
Pencerminan
terhadap garis ๐ = ยฑ๐ Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi
7. Pencerminan terhadap ๐ฆ = ๐ฅ
๐ด(๐ฅ, ๐ฆ) ๐๐ฆ=๐ฅ โ ๐ดโฒ(๐ฆ, ๐ฅ) (
๐ฅโฒ๐ฆโฒ) = (
๐ ๐๐ ๐
) (๐ฅ๐ฆ)
8. Pencerminan terhadap garis ๐ฆ = โ๐ฅ
๐ด(๐ฅ, ๐ฆ) ๐๐ฆ=โ๐ฅ โโ ๐ดโฒ(โ๐ฆ,โ๐ฅ) (
๐ฅโฒ๐ฆโฒ) = (
๐ โ๐โ๐ ๐
) (๐ฅ๐ฆ)
Pencerminan
terhadap garis ๐ = ๐๐ Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi
9. Pencerminan terhadap garis ๐ฆ = ๐๐ฅ
dimana ๐ = tan ๐
๐ด(๐ฅ, ๐ฆ) ๐๐ฆ=๐๐ฅ โโ ๐ดโฒ(๐ฅโฒ, ๐ฆโฒ)
๐ฅโฒ = ๐ฅ cos2๐ + ๐ฆ sin 2๐
๐ฆโฒ = ๐ฅ sin 2๐ โ ๐ฆ cos2๐
(๐ฅโฒ๐ฆโฒ) = (
๐๐จ๐ฌ ๐๐ฝ ๐ฌ๐ข๐ง ๐๐ฝ๐ฌ๐ข๐ง ๐๐ฝ โ๐๐จ๐ฌ ๐๐ฝ
) โ(๐ฅ๐ฆ)
10. Pencerminan terhadap garis ๐ฆ = ๐๐ฅ + ๐
dimana ๐ = tan ๐
๐ด(๐ฅ, ๐ฆ) ๐๐ฆ=๐๐ฅ+๐ โโ โ ๐ดโฒ(๐ฅโฒ, ๐ฆโฒ)
๐ฅโฒ = ๐ฅ cos2๐ + (๐ฆ โ ๐) sin2๐
๐ฆโฒ = ๐ฅ sin 2๐ โ (๐ฆ โ ๐) cos2๐ + ๐
(๐ฅโฒ
๐ฆโฒ โ ๐) = (
๐๐จ๐ฌ ๐๐ฝ ๐ฌ๐ข๐ง ๐๐ฝ๐ฌ๐ข๐ง ๐๐ฝ โ๐๐จ๐ฌ ๐๐ฝ
) (๐ฅ
๐ฆ โ ๐)
Halaman 90 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Rotasi
Rotasi sebesar ๐ฝ
terhadap titik (โฆ., โฆ.) Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi
1. Rotasi ๐ยฐ berlawanan jarum jam terhadap pusat ๐(0, 0)
๐ด(๐ฅ, ๐ฆ) ๐ [๐,๐] โ ๐ดโฒ(๐ฅโฒ, ๐ฆโฒ)
๐ฅโฒ = ๐ฅ cos๐ โ ๐ฆ sin๐
๐ฆโฒ = ๐ฅ sin ๐ + ๐ฆ cos๐
(๐ฅโฒ๐ฆโฒ) = (
๐๐จ๐ฌ ๐ฝ โ ๐ฌ๐ข๐ง ๐ฝ๐ฌ๐ข๐ง ๐ฝ ๐๐จ๐ฌ ๐ฝ
) (๐ฅ๐ฆ)
2. Rotasi ๐ยฐ berlawanan jarum jam terhadap pusat ๐ท(๐, ๐)
๐ด(๐ฅ, ๐ฆ) ๐ [๐ท(๐,๐),๐] โ ๐ดโฒ(๐ฅโฒ, ๐ฆโฒ)
๐ฅโฒ = (๐ฅ โ ๐) cos๐ โ (๐ฆ โ ๐) sin ๐ + ๐
๐ฆโฒ = (๐ฅ โ ๐) sin๐ + (๐ฆ โ ๐) cos๐ + ๐
(๐ฅโฒ โ ๐๐ฆโฒ โ ๐
) = (๐๐จ๐ฌ ๐ฝ โ๐ฌ๐ข๐ง ๐ฝ๐ฌ๐ข๐ง ๐ฝ ๐๐จ๐ฌ ๐ฝ
) (๐ฅ โ ๐๐ฆ โ ๐)
Dilatasi
Dilatasi pusat (โฆ., โฆ.)
faktor dilatasi ๐ Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi
1. Dilatasi [๐, ๐] ๐ด(๐ฅ, ๐ฆ)
๐ท[๐,๐] โ ๐ดโฒ(๐๐ฅ, ๐๐ฆ) (
๐ฅโฒ๐ฆโฒ) = (
๐ ๐๐ ๐
) (๐ฅ๐ฆ)
2. Dilatasi [๐ท(๐, ๐), ๐] ๐ด(๐ฅ, ๐ฆ)
๐ท[๐ท(๐,๐),๐] โ ๐ดโฒ(๐ฅโฒ, ๐ฆโฒ)
๐ฅโฒ = ๐(๐ฅ โ ๐) + ๐
๐ฆโฒ = ๐(๐ฆ โ ๐) + ๐
(๐ฅโฒ โ ๐๐ฆโฒ โ ๐
) = (๐ ๐๐ ๐
) (๐ฅ โ ๐๐ฆ โ ๐)
Keterangan: Transformasi terhadap titik:
Masukkan titik (๐ฅ, ๐ฆ) ke matriks transformasi sehingga diperoleh titik bayangan transformasi (๐ฅโฒ, ๐ฆโฒ).
(๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) = ๐ (
๐ฅ๐ฆ)
Transformasi terhadap fungsi (kurva):
Substitusikan ๐ฅ dan ๐ฆ ke fungsi sehingga fungsi baru hasil transformasi mengandung variabel ๐ฅโฒ dan ๐ฆโฒ. Untuk mempermudah gunakan invers matriks:
(๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) = ๐ (
๐ฅ๐ฆ) โ ๐โ1 (
๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) = (
๐ฅ๐ฆ)
โ (๐ฅ๐ฆ) = ๐
โ1 (๐ฅโฒ
๐ฆโฒ)
Jika matriks transformasinya mudah diinvers menggunakan invers fungsi, maka tidak perlu menggunakan invers matriks. Mubazir.
Keterangan warna:
= โTransformasi ACUANโ. = โTransformasi TURUNANโ.
(๐๐จ๐ฌ ๐๐ฝ ๐ฌ๐ข๐ง๐๐ฝ๐ฌ๐ข๐ง๐๐ฝ โ๐๐จ๐ฌ ๐๐ฝ
) = โMatriks Transformasi ACUANโ
๐ท(๐, ๐) = Persamaan Matriks Transformasinya perlu penyesuaian terhadap โACUANโ.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 91
TRIK SUPERKILAT konsep matriks transformasi untuk pencerminan, rotasi dan dilatasi. LOGIKA PRAKTIS untuk menyusun matriks transformasi ACUAN.
Buat dua titik, ๐ด(1, 0) dan ๐ต(0, 1) pada bidang koordinat Transformasikan kedua titik Tulis hasil transformasi titik ke dalam matriks kolom Selesailah matriks transformasi kita Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA pada indikator soal tentang transformasi geometri, jelas bahwa satu hal yang sering ditanyakan adalah bayangan kurva terhadap beberapa transformasi. Untuk transformasi terhadap suatu titik sepertinya peluangnya kecil untuk muncul dalam soal UN 2013 nanti. Nah, sebenarnya ada cara yang cukup mudah untuk mengingat pola matriks transformasi dari pencerminan, rotasi maupun dilatasi. Perhatikan langkah di bawah ini. Hubungan Matriks dan Transformasi
Misalkan ๐ = (๐ ๐๐ ๐
) adalah matriks transformasi ๐,
maka hasil dari transformasi titik ๐จ(๐, ๐) adalah:
(๐ฅ๐ดโฒ
๐ฆ๐ดโฒ) = (
๐ ๐๐ ๐
) (10) = (
๐๐)
dan hasil dari transformasi titik ๐ฉ(๐, ๐) adalah:
(๐ฅ๐ตโฒ
๐ฆ๐ตโฒ) = (
๐ ๐๐ ๐
) (01) = (
๐๐ )
Sehingga proses menyusun matriks transformasi ๐ adalah dengan meletakkan titik ๐ด(1, 0) dan ๐ต(0, 1) pada
bidang koordinat lalu kita transformasikan. Misalkan, (๐ฅ๐ดโฒ
๐ฆ๐ดโฒ) adalah hasil transformasi dari titik A sedangkan
(๐ฅ๐ตโฒ
๐ฆ๐ตโฒ) adalah hasil transformasi titik B, maka matriks transformasi tersebut adalah:
๐ = (๐ ๐๐ ๐
) = (๐๐จโฒ ๐๐ฉ
โฒ
๐๐จโฒ ๐๐ฉ
โฒ)
Contohnya bagaimana?? Oke, berikut ini beberapa contoh matriks transformasi : Pencerminan terhadap sumbu Y (garis ๐ = ๐).
Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap sumbu Y (garis ๐ฅ = 0), maka titik A akan berpindah ke samping kiri, sehingga koordinatnya menjadi ๐จโฒ(โ๐, ๐). sedangkan titik B tidak berpindah, tetap di B, sehingga koordinatnya tetap di ๐ฉโฒ(๐, ๐). Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap sumbu Y (garis ๐ฅ = 0) adalah:
๐ด๐๐๐ = (โ๐ ๐๐ ๐
)
Koordinat ๐จโฒ(โ๐, ๐) Koordinat ๐ฉโฒ(๐, ๐)
๐ด(1, 0)
๐ต(0, 1)
(โ1, 0)
(0,โ1)
๐จ(๐, ๐)
๐จโฒ(โ๐, ๐)
๐ฉโฒ(๐, ๐)
๐ ๐ Y
๐ ๐ Y
Halaman 92 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pencerminan terhadap sumbu X (garis ๐ = ๐).
Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap sumbu X (garis ๐ฆ = 0), maka titik A tidak akan berpindah, tetap di A, sehingga koordinatnya tetap di ๐จโฒ(๐, ๐). sedangkan titik B akan berpindah ke bawah, sehingga koordinatnya menjadi ๐ฉโฒ(๐,โ๐). Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap sumbu X (garis ๐ฆ = 0) adalah:
๐ด๐๐๐ฟ = (๐ ๐๐ โ๐
)
Koordinat ๐จโฒ(๐, ๐) Koordinat ๐ฉโฒ(๐,โ๐)
Pencerminan terhadap titik asal ๐ถ(0, 0).
Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap titik asal ๐(0, 0), maka titik A akan berpindah ke samping kiri, sehingga koordinatnya menjadi ๐จโฒ(โ๐, ๐). sedangkan titik B tidak berpindah, tetap di B, sehingga koordinatnya menjadi ๐ฉโฒ(๐, ๐). Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap titik asal ๐(0, 0) adalah:
๐ด๐ถ(๐,๐) = (โ๐ ๐๐ โ๐
)
Koordinat ๐จโฒ(โ๐, ๐) Koordinat ๐ฉโฒ(๐, ๐)
Pencerminan terhadap garis ๐ = ๐.
Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap garis ๐ฆ = ๐ฅ, maka titik A akan berpindah ke kiri atas, sehingga koordinatnya menjadi ๐จโฒ(๐, ๐). dan titik B akan berpindah ke kanan bawah, sehingga koordinatnya menjadi ๐ฉโฒ(๐, ๐). Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap garis ๐ฆ = ๐ฅ adalah:
๐ด๐=๐ = (๐ ๐๐ ๐
)
Koordinat ๐จโฒ(๐, ๐) Koordinat ๐ฉโฒ(๐, ๐)
๐จ(๐, ๐)
๐จโฒ(โ๐, ๐)
๐ฆ = ๐ฅ
๐ฉ(๐, ๐)
(๐,โ๐)
๐(0, 0)
๐(0, 0)
๐จ(๐, ๐)
๐จโฒ(๐, ๐)
๐ฆ = ๐ฅ
๐ฉโฒ(๐, ๐)
๐ฉ(๐, ๐)
๐จโฒ(๐, ๐)
๐ ๐ X
๐ ๐ X
๐ฉ(๐, ๐)
๐ฉโฒ(๐, โ๐)
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 93
Pencerminan terhadap garis ๐ = โ๐.
Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap garis ๐ฆ = โ๐ฅ, maka titik A akan berpindah ke kiri bawah, sehingga koordinatnya menjadi ๐จโฒ(๐,โ๐). dan titik B akan berpindah ke kiri bawah, sehingga koordinatnya menjadi ๐ฉโฒ(โ๐, ๐). Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap garis ๐ฆ = โ๐ฅ adalah:
๐ด๐=โ๐ = (๐ โ๐โ๐ ๐
)
Koordinat ๐จโฒ(๐,โ๐) Koordinat ๐ฉโฒ(โ๐, ๐)
Rotasi 90ยฐ berlawanan jarum jam dengan pusat ๐ถ(๐, ๐).
Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap rotasi 90ยฐ berlawanan jarum jam dengan pusat ๐(0, 0), maka titik A akan berpindah ke kiri atas, sehingga koordinatnya menjadi ๐จโฒ(๐, ๐). dan titik B akan berpindah ke kiri bawah, sehingga koordinatnya menjadi ๐ฉโฒ(โ๐, ๐). Jadi matriks transformasi rotasi 90ยฐ berlawanan jarum jam dengan pusat ๐(0, 0):
๐ด๐น(๐ถ,๐๐ยฐ) = (๐ โ๐๐ ๐
)
Koordinat ๐จโฒ(๐, ๐) Koordinat ๐ฉโฒ(๐, ๐)
Rotasi 180ยฐ berlawanan jarum jam dengan pusat ๐ถ(๐, ๐).
Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap rotasi 180ยฐ berlawanan jarum jam dengan pusat ๐(0, 0), maka titik A akan berpindah ke samping kiri, sehingga koordinatnya menjadi ๐จโฒ(โ๐, ๐). dan titik B akan berpindah ke bawah, sehingga koordinatnya menjadi ๐ฉโฒ(๐,โ๐). Jadi matriks transformasi rotasi 180ยฐ berlawanan jarum jam dengan pusat ๐(0, 0):
๐ด๐น(๐ถ,๐๐๐ยฐ) = (โ๐ ๐๐ โ๐
)
Koordinat ๐จโฒ(โ๐, ๐) Koordinat ๐ฉโฒ(๐,โ๐)
๐ฆ = โ๐ฅ
๐จ(๐, ๐)
๐จโฒ(๐, โ๐)
๐ฆ = โ๐ฅ
๐ฉ(๐, ๐)
๐ฉโฒ(โ๐, ๐)
rotasi 90ยฐ berlawanan jarum jam
๐จ(๐, ๐)
๐จโฒ(๐, ๐)
๐ฉ(๐, ๐)
๐ฉโฒ(โ๐, ๐)
rotasi 90ยฐ berlawanan jarum jam
rotasi 180ยฐ berlawanan jarum jam
๐จ(๐, ๐)
๐จโฒ(โ๐, ๐)
๐ฉ(๐, ๐)
๐ฉโฒ(๐, โ๐)
rotasi 180ยฐ berlawanan jarum jam
Halaman 94 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Rotasi 270ยฐ berlawanan jarum jam dengan pusat ๐ถ(๐, ๐). atau sama dengan Rotasi 90ยฐ searah jarum jam dengan pusat ๐ถ(๐, ๐).
Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap rotasi 270ยฐ berlawanan jarum jam dengan pusat ๐(0, 0) atau sama dengan rotasi 90ยฐ searah jarum jam dengan pusat ๐(0, 0), maka titik A akan berpindah ke kiri bawah, sehingga koordinatnya menjadi ๐จโฒ(๐,โ๐). dan titik B akan berpindah kanan bawah, sehingga koordinatnya menjadi ๐ฉโฒ(๐, ๐). Jadi matriks transformasi rotasi 270ยฐ berlawanan jarum jam dengan pusat ๐(0, 0) atau sama dengan rotasi 90ยฐ searah jarum jam dengan pusat ๐(0, 0):
๐ด๐น(๐ถ,๐๐๐ยฐ) = ๐ด๐น(๐ถ,โ๐๐ยฐ) = (๐ ๐โ๐ ๐
)
Koordinat ๐จโฒ(๐, โ๐) Koordinat ๐ฉโฒ(๐, ๐)
Dilatasi dengan faktor skala dilatasi sebesar ๐ dengan pusat ๐ถ(๐, ๐).
Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk dilatasi dengan faktor skala dilatasi sebesar ๐ dengan pusat ๐(0, 0), maka titik A berpindah sebesar faktor skala, sehingga koordinatnya menjadi ๐จโฒ(๐, ๐). dan titik B berpindah sebesar faktor skala, sehingga koordinatnya menjadi ๐ฉโฒ(๐, ๐). Jadi matriks transformasi dilatasi faktor skala dilatasi sebesar ๐ dan pusat ๐(0, 0):
๐ด๐ซ(๐ถ,๐) = (๐ ๐๐ ๐
)
Koordinat ๐จโฒ(๐, ๐) Koordinat ๐ฉโฒ(๐, ๐)
rotasi 270ยฐ berlawanan jarum jam rotasi 90ยฐ searah jarum jam
๐จ(๐, ๐)
๐จโฒ(๐, โ๐)
๐ฉโฒ(๐, ๐)
๐ฉ(๐, ๐)
rotasi 270ยฐ berlawanan jarum jam rotasi 90ยฐ searah jarum jam
dilatasi dengan faktor skala k
๐จ(๐, ๐)
๐จโฒ(๐, ๐)
๐ฉโฒ(๐, ๐)
๐ฉ(๐, ๐)
dilatasi dengan faktor skala k
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 95
Pencerminan terhadap garis ๐ = ๐๐, dengan ๐ = ๐ญ๐๐ง๐ฝ.
Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap garis ๐ฆ = ๐๐ฅ dengan ๐ = tan๐, maka titik A akan berputar sejauh 2๐, sehingga menjadi ๐จโฒ(๐๐จ๐ฌ ๐๐ฝ, ๐ฌ๐ข๐ง ๐๐ฝ). dan titik B akan berputar sejauh โ(90 โ 2๐), sehingga menjadi ๐ฉโฒ(๐ฌ๐ข๐ง ๐๐ฝ,โ๐๐จ๐ฌ ๐๐ฝ). Jadi matriks transformasi pencerminan terhadap garis ๐ฆ = ๐๐ฅ dengan ๐ = tan ๐:
๐ด๐=๐๐ = (๐๐จ๐ฌ๐๐ฝ ๐ฌ๐ข๐ง๐๐ฝ๐ฌ๐ข๐ง๐๐ฝ โ๐๐จ๐ฌ ๐๐ฝ
)
Koordinat ๐จโฒ(๐๐จ๐ฌ ๐๐ฝ, ๐ฌ๐ข๐ง ๐๐ฝ) Koordinat ๐ฉโฒ(๐ฌ๐ข๐ง ๐๐ฝ,โ ๐๐จ๐ฌ๐๐ฝ)
Rotasi sebesar ๐ฝ berlawanan jarum jam dengan pusat ๐ถ(๐, ๐).
Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap rotasi 180ยฐ berlawanan jarum jam dengan pusat ๐(0, 0), maka titik A akan berputar sejauh ๐, sehingga koordinatnya menjadi ๐จโฒ(๐๐จ๐ฌ ๐ฝ, ๐ฌ๐ข๐ง ๐ฝ). dan titik B akan berputar sejauh ๐, sehingga koordinatnya menjadi ๐ฉโฒ(โ๐ฌ๐ข๐ง ๐ฝ, ๐๐จ๐ฌ ๐ฝ). Jadi matriks transformasi rotasi 180ยฐ berlawanan jarum jam dengan pusat ๐(0, 0):
๐ด๐น(๐ถ,๐ฝ) = (๐๐จ๐ฌ๐ฝ โ๐ฌ๐ข๐ง๐ฝ๐ฌ๐ข๐ง๐ฝ ๐๐จ๐ฌ๐ฝ
)
Koordinat ๐จโฒ(๐๐จ๐ฌ ๐ฝ, ๐ฌ๐ข๐ง ๐ฝ) Koordinat ๐ฉโฒ(โ๐ฌ๐ข๐ง ๐ฝ, ๐๐จ๐ฌ ๐ฝ)
Kesimpulan LOGIKA PRAKTIS menyusun matriks transformasi acuan:
Dari semua matriks transformasi yang ada, satu hal yang penting dan yang perlu diingat adalah bagaimana konsep menyusun matriks transformasi tersebut , yaitu:
Kolom pertama matriks transformasi adalah bayangan titik ๐จ(๐, ๐) terhadap transformasi tersebut. Kolom kedua matriks transformasi adalah bayangan titik ๐ฉ(๐, ๐) terhadap transformasi tersebut.
๐ = (๐ ๐๐ ๐
) = (๐๐จโฒ ๐๐ฉ
โฒ
๐๐จโฒ ๐๐ฉ
โฒ)
๐จ(๐, ๐)
๐ฉ(๐, ๐)
๐ฝ
๐จโฒ(๐๐จ๐ฌ ๐ฝ , ๐ฌ๐ข๐ง๐ฝ)
๐ฉโฒ(โ๐ฌ๐ข๐ง ๐ฝ, ๐๐จ๐ฌ ๐ฝ) ๐ฝ
๐จ(๐, ๐)
๐ฝ
๐จโฒ(๐๐จ๐ฌ ๐๐ฝ , ๐ฌ๐ข๐ง๐๐ฝ)
๐ฝ
๐ฉ(๐, ๐)
๐ฉโฒ(๐๐จ๐ฌ (๐๐ยฐ โ ๐๐ฝ), โ ๐ฌ๐ข๐ง(๐๐ยฐ โ ๐๐ฝ)) atau dengan sifat kuadran
bisa diubah menjadi ๐ฉโฒ(๐ฌ๐ข๐ง ๐๐ฝ,โ ๐๐จ๐ฌ ๐๐ฝ)
๐๐ยฐ โ ๐๐ฝ
๐ฝ
๐ฝ
Halaman 96 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS untuk menyusun matriks transformasi TURUNAN.
Masih ingat matriks transformasi acuan kita. Oke saya ingatkan lagi! Berikut ini matriks acuan kita. Semuanya yang berwarna biru memang serba nol! Ini acuan kita.
Pencerminan:
terhadap garis ๐ฆ = ๐ (sumbu X) terhadap garis ๐ฅ = ๐ (sumbu Y) terhadap titik (0, 0) terhadap garis ๐ฆ = ยฑ๐ฅ terhadap garis ๐ฆ = ๐๐ฅ + ๐
Rotasi
sebesar ๐ berlawanan arah jarum jam dengan pusat ๐ถ(๐, ๐)
Dilatasi
faktor dilatasi ๐ dengan pusat ๐ถ(๐, ๐)
Perhatikan yang saya tandai warna biru. Itu yang bisa berubah! Perhatikan perbedaannya dengan transformasi di bawah ini! Pencerminan:
pencerminan terhadap garis ๐ฆ = ๐ pencerminan terhadap garis ๐ฅ = ๐ pencerminan terhadap titik (๐, ๐) pencerminan terhadap garis ๐ฆ = ๐๐ฅ + ๐
Rotasi
rotasi sebesar ๐ berlawanan arah jarum jam, tapi dengan pusat rotasi titik ๐ท(๐, ๐)
Dilatasi
dilatasi dengan faktor dilatasi ๐, tapi dengan pusat rotasi titik ๐ท(๐, ๐)
Tidak perlu khawatir lagi, gunakan LOGIKA PRAKTIS seperti ini: Pertama, lakukan translasi supaya kembali ke posisi transformasi acuan. Misal rotasi sebesar ๐, kok pusatnya di titik ๐(๐, ๐) bukan ๐(0, 0)?
Maka lakukan translasi (โ๐โ๐) pada titik tersebut, agar pusatnya menjadi ke ๐(0, 0)
(๐ฅ โ ๐๐ฆ โ ๐)
Kedua, lakukan transformasi rotasi yang dimaksud!
(๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) = ๐๐ (๐,๐) (
๐ฅ โ ๐๐ฆ โ ๐)
Ketiga, kembalikan hasil transformasi ke posisi semula dengan mentranslasi balik yaitu ๐ = (๐๐).
(๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) = ๐๐ (๐,๐) (
๐ฅ โ ๐๐ฆ โ ๐) + (
๐๐)
atau biasa ditulis dengan:
(๐ฅโฒ โ ๐๐ฆโฒ โ ๐
) = ๐๐ (๐,๐) (๐ฅ โ ๐๐ฆ โ ๐)
Kesimpulan LOGIKA PRAKTIS menyusun matriks transformasi TURUNAN dari matriks transformasi ACUAN:
Ingat bentuk matriks transformasi ACUAN, lalu lakukan translasi pada kedua variabel titik awal maupun hasil akhir, sehingga bentuk matriks transformasi TURUNAN sebagai berikut:
(๐ฅโฒ โ ๐๐ฆโฒ โ ๐
) = ๐ (๐ฅ โ ๐๐ฆ โ ๐)
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 97
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS untuk Transformasi pada Kurva terhadap matriks transformasi ๐ป = (๐ ๐๐ ๐
).
Masih ingat pengerjaan transformasi pada kurva? Asyik! Kalau transformasi sebuah titik, tinggal masukin aja ke persamaan matriks transformasi. Sedangkan apabila transformasi dilakukan pada sebuah kurva, maka perlu diinvers terlebih dahulu supaya muncul bentuk ๐ฅ = โฆ .atau ๐ฆ = โฆ. yang kemudian akan disubstitusikan ke persamaan. Nah, ini dia bentuk persamaan matriks transformasinya.
(๐ฅ๐ฆ) = ๐
โ1 (๐ฅโฒ๐ฆโฒ)
Sekarang misal bunyi soalnya seperti ini: Diketahui persamaan ๐๐ + ๐๐ + ๐ = ๐, maka bayangan persamaan tersebut oleh transformasi yang
bersesuaian dengan matriks (๐ ๐๐ ๐
) adalah โฆ. ???
Nah, misalkan matriks transformasi ๐ adalah ๐ = (๐ ๐๐ ๐
) dan |๐| adalah determinan matriks transformasi
tersebut, maka persamaan matriks transformasi menjadi:
(๐ฅ๐ฆ) = ๐
โ1 (๐ฅโฒ๐ฆโฒ)
โ (๐ฅ๐ฆ) =
1
|๐|(๐ โ๐โ๐ ๐ ) (
๐ฅโฒ
๐ฆโฒ)
Dari persamaan matriks tersebut diperoleh:
๐ฅ =1
|๐|(๐ ๐ฅโฒ โ ๐๐ฆโฒ)
๐ฆ =1
|๐|(โ๐๐ฅโฒ + ๐๐ฆโฒ)
Substitusikan ๐ฅ dan ๐ฆ pada persamaan ๐๐ฅ + ๐๐ฆ + ๐ = 0, maka akan diperoleh:
๐ [1
|๐|(๐ ๐ฅโฒ โ ๐๐ฆโฒ)] + ๐ [
1
|๐|(โ๐๐ฅโฒ + ๐๐ฆโฒ)] + ๐ = 0 (kalikan semua ruas dengan |๐|)
โ ๐(๐ ๐ฅโฒ โ ๐๐ฆโฒ) + ๐(โ๐๐ฅโฒ + ๐๐ฆโฒ) + |๐|๐ = 0
โ ๐๐ ๐ฅโฒ โ ๐๐๐ฆโฒ โ ๐๐๐ฅโฒ + ๐๐๐ฆโฒ + |๐|๐ = 0
โ ๐๐ ๐ฅโฒ โ ๐๐๐ฅโฒ + ๐๐๐ฆโฒ โ ๐๐๐ฆโฒ + |๐|๐ = 0
โ (๐๐ โ ๐๐)๐ฅโฒ + (๐๐ โ ๐๐)๐ฆโฒ + |๐|๐ = 0
โ |๐ ๐๐ ๐
| ๐ฅโฒ + |๐ ๐๐ ๐
|๐ฆโฒ + |๐ ๐๐ ๐
| ๐ = 0
TRIK SUPERKILAT:
Jadi rumus cepat untuk bayangan garis ๐๐ฅ + ๐๐ฆ + ๐ = 0 terhadap matriks transformasi ๐ = ( ๐ ๐๐ ๐
):
|๐ ๐๐ ๐
| ๐ฅ + |๐ ๐๐ ๐
| ๐ฆ + |๐ ๐๐ ๐
| ๐ = 0
Halaman 98 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Tipe Soal yang Sering Muncul
Menentukan bayangan transformasi tunggal terhadap sebuah titik. Contoh Soal 1:
Bayangan dari titik ๐ด(3,โ5) oleh transformasi ๐ = (23) adalah โฆ.
a. (5, โ8) b. (5, โ2) c. (1, โ2) d. (โ5, 2) e. (โ5, 8)
Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep translasi diperoleh:
(๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) = (
๐ฅ๐ฆ) + (
๐๐) = (
3โ5) + (
23) = (
5โ2)
Contoh Soal 2: Bayangan dari titik ๐ต(3,โ5) oleh pencerminan terhadap garis ๐ฆ = โ2 adalah โฆ. a. (5, โ8) b. (5, โ2) c. (1, โ2) d. (โ5, 2) e. (โ5, 8)
Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep pencerminan maka kita harus mengembalikan ke garis acuan yaitu ๐ฆ = 0
alias sumbu X, masih ingat kan matriks transformasinya?
(๐ฅโฒ
๐ฆโฒ + 2) = ๐๐ ๐๐ (
๐ฅ๐ฆ + 2)
โ (๐ฅโฒ
๐ฆโฒ + 2) = (
1 00 โ1
) (3
(โ5) + 2)
โ (๐ฅโฒ
๐ฆโฒ + 2) = (
1 00 โ1
) (3โ3)
โ (๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) + (
02) = (
33)
โ (๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) = (
33) โ (
02)
โ (๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) = (
31)
Atau menggunakan pemetaan:
๐ด(๐ฅ, ๐ฆ) ๐๐ฆ=๐ โ ๐ดโฒ(๐ฅ, ๐๐ โ ๐ฆ)
Jadi: ๐ฅโฒ = ๐ฅ = 3 ๐ฆโฒ = 2๐ โ ๐ฆ = 2(โ2) โ (โ5) = โ4 + 5 = 1
Jadi bayangan titik tersebut adalah ๐ตโฒ(3, 1) Atau menggunakan grafik. (3, 1) ๐ฆ = โ2 (3, โ5)
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 99
Contoh Soal 3: Bayangan dari titik ๐ถ(โ2, 1) oleh rotasi sebesar 45ยฐ dengan pusat (1, 2) adalah โฆ.
a. (1 โ โ2, 2 โ โ2)
b. (2 โ โ2, 1 โ โ2)
c. (โ1 + โ2, 1 โ โ2)
d. (2 + โ2, 2 โ โ2)
e. (1 โ โ2, 2 + โ2)
Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep rotasi maka kita harus mengembalikan rotasi acuan dengan pusat ๐(0, 0)
masih ingat kan matriks transformasinya?
(๐ฅโฒ โ 1๐ฆโฒ โ 2
) = ๐๐ (๐,45ยฐ) (๐ฅ โ 1๐ฆ โ 2
)
โ (๐ฅโฒ โ 1๐ฆโฒ โ 2
) = (cos 45ยฐ โsin 45ยฐsin45ยฐ cos 45ยฐ
) (โ2 โ 11 โ 2
)
โ (๐ฅโฒ โ 1๐ฆโฒ โ 2
) = (
1
2โ2 โ
1
2โ2
1
2โ2
1
2โ2
)(โ3โ1)
โ (๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) + (
โ1โ2) = (
โ3
2โ2 +
1
2โ2
โ3
2โ2 โ
1
2โ2
)
โ (๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) + (
โ1โ2) = (
โโ2
โ2โ2)
โ (๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) = (
โโ2
โ2โ2) โ (
โ1โ2)
โ (๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) = ( 1 โ โ2
2 โ 2โ2)
Contoh Soal 4: Bayangan dari titik ๐ท(4, 2) oleh dilatasi dengan faktor dilatasi โ2 dan pusat (0, 5) adalah โฆ. a. (8, 4) b. (8, 1) c. (โ8, 1) d. (โ8, 3) e. (โ8, 11)
Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep dilatasi maka kita harus mengembalikan ke dilatasi acuan pusat ๐(0, 0)
masih ingat kan matriks transformasinya?
(๐ฅโฒ
๐ฆโฒ โ 5) = ๐๐ท(๐,โ2) (
๐ฅ๐ฆ โ 5)
โ (๐ฅโฒ
๐ฆโฒ โ 5) = (
โ2 00 โ2
) (4
2 โ 5)
โ (๐ฅโฒ
๐ฆโฒ โ 5) = (
โ2 00 โ2
) (4โ3)
โ (๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) + (
0โ5) = (
โ86)
โ (๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) = (
โ86) โ (
0โ5)
โ (๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) = (
โ811)
Halaman 100 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan bayangan komposisi transformasi terhadap sebuah titik. Bayangan dari titik ๐ธ(2, 0) oleh pencerminan terhadap sumbu X dan dilanjutkan dengan rotasi 90ยฐ terhadap titik asal ๐(0, 0) adalah โฆ. a. (2, 0) b. (2, โ2) c. (1, 2) d. (0, 2) e. (0, โ2)
Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep komposisi transformasi maka:
(๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) = ๐๐ (๐,90ยฐ) โ ๐๐ ๐๐ (
๐ฅ๐ฆ)
โ (๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) = (
0 โ11 0
) (1 00 โ1
) (20)
โ (๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) = (
0 11 0
) (20)
โ (๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) = (
02)
Penyelesaian LOGIKA PRAKTIS: Untuk mencari matriks komposisi transformasi dapat dilakukan langkah sebagai berikut: Titik A(1, 0) di transformasikan sebagai berikut: Dicerminkan oleh sumbu X dilanjutkan rotasi 90ยฐ, hasilnya ๐ดโฒ(0, 1) Titik B(0, 1) ditransformasikan sebagai berikut: Dicerminkan oleh sumbu X dilanjutkan rotasi 90ยฐ, hasilnya ๐ตโฒ(1, 0) Maka matriks komposisi transformasinya adalah:
๐ = (0 11 0
)
Sehingga,
(๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) = ๐ (
๐ฅ๐ฆ)
โ (๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) = (
0 11 0
) (20)
โ (๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) = (
02)
Selesai!
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 101
Menentukan bayangan transformasi tunggal terhadap sebuah kurva. Contoh Soal 1:
Bayangan dari kurva 3๐ฅ โ 2๐ฆ = 7 oleh transformasi ๐ = (25) adalah โฆ.
a. 3๐ฅ โ 2๐ฆ = 3 b. 3๐ฅ โ 2๐ฆ = 5 c. 3๐ฅ โ 2๐ฆ = 9 d. 3๐ฅ โ 2๐ฆ = 11 e. 3๐ฅ โ 2๐ฆ = 23
Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep translasi diperoleh:
(๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) = (
๐ฅ๐ฆ) + (
๐๐) ๐๐๐ฃ๐๐๐ โ (
๐ฅ๐ฆ) = (
๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) โ (
๐๐)
(๐ฅ๐ฆ) = (
๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) โ (
๐๐)
โ (๐ฅ๐ฆ) = (
๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) โ (
25)
โ (๐ฅ๐ฆ) = (
๐ฅโฒ โ 2๐ฆโฒ โ 5
) โ๐ฅ = ๐ฅโฒ โ 2๐ฆ = ๐ฆโฒ โ 5
Sehingga, substitusi nilai ๐ฅ dan ๐ฆ pada persamaan 3๐ฅ โ 2๐ฆ = 7, diperoleh:
โ 3(๐ฅโฒ โ 2) โ 2(๐ฆโฒ โ 5) = 7
โ 3๐ฅโฒ โ 6 โ 2๐ฆโฒ + 10 = 7
โ 3๐ฅโฒ โ 2๐ฆโฒ + 4 = 7
โ 3๐ฅโฒ โ 2๐ฆโฒ = 7 โ 4
โ 3๐ฅโฒ โ 2๐ฆโฒ = 3
Jadi persamaan bayangannya adalah 3๐ฅ โ 2๐ฆ = 3
TRIK SUPERKILAT:
๐๐ + ๐๐ = ๐ ๐ป=(
๐๐)
โ ๐๐ + ๐๐ = ๐ + ๐๐ + ๐๐
3๐ฅ โ 2๐ฆ = 7 ๐=(
25)
โ 3๐ฅ โ 2๐ฆ = 7 + 3(2) โ 2(5)โ 3๐ฅ โ 2๐ฆ = 7 + 6 โ 10โ 3๐ฅ โ 2๐ฆ = 3
Halaman 102 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 2: Bayangan dari kurva ๐ฆ = 2๐ฅ2 + 3๐ฅ โ 1 oleh pencerminan terhadap sumbu Y adalah โฆ. a. ๐ฆ = 2๐ฅ2 + 3๐ฅ โ 1 b. ๐ฆ = โ2๐ฅ2 + 3๐ฅ โ 1 c. ๐ฆ = 2๐ฅ2 โ 3๐ฅ โ 1 d. ๐ฆ = โ2๐ฅ2 โ 3๐ฅ โ 1 e. ๐ฆ = 3๐ฅ2 โ 2๐ฅ โ 1
Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep pencerminan terhadap sumbu Y diperoleh:
(๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) = (
โ1 00 1
) (๐ฅ๐ฆ) โ
๐ฅโฒ = โ๐ฅ๐ฆโฒ = ๐ฆ
๐๐๐ฃ๐๐๐ โ
๐ฅ = โ๐ฅโฒ
๐ฆ = ๐ฆโฒ
Sehingga, substitusi nilai ๐ฅ dan ๐ฆ pada persamaan ๐ฆ = 2๐ฅ2 + 3๐ฅ โ 1, diperoleh:
โ ๐ฆ = 2๐ฅ2 + 3๐ฅ โ 1
โ ๐ฆโฒ = 2(โ๐ฅโฒ)2 + 3(โ๐ฅโฒ) โ 1
โ ๐ฆโฒ = 2๐ฅโฒ2โ 3๐ฅโฒ โ 1
Jadi persamaan bayangannya adalah ๐ฆ = 2๐ฅ2 โ 3๐ฅ โ 1.
TRIK SUPERKILAT: Untuk transformasi pada sebuah kurva, apabila matriksnya mudah untuk diinvers maka tidak perlu menggunakan invers matriks, cukup inverskan dengan cara biasa saja. Contohnya matriks transformasi yang elemennya 0 atau 1. Gunakan invers matriks apabila matriksnya sukar untuk diinvers dengan cara biasa.
Contoh Soal 3: Bayangan dari kurva ๐ฆ = 4๐ฅ2 โ 1 oleh pencerminan terhadap rotasi sebesar sudut ๐ = ๐ dengan pusat ๐(1, 2) adalah โฆ. a. ๐ฆ = โ4๐ฅ2 + 16๐ฅ โ 11 b. ๐ฆ = 4๐ฅ2 + 16๐ฅ โ 11 c. ๐ฆ = โ4๐ฅ2 โ 16๐ฅ โ 11 d. ๐ฆ = โ4๐ฅ2 โ 16๐ฅ + 11 e. ๐ฆ = 4๐ฅ2 โ 16๐ฅ + 11
Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep rotasi sebesar 180ยฐ terhadap pusat ๐(1, 2) diperoleh:
(๐ฅโฒ โ 1๐ฆโฒ โ 2
) = (โ1 00 โ1
)(๐ฅ โ 1๐ฆ โ 2
) ๐๐๐ฃ๐๐๐ โ (
๐ฅ โ 1๐ฆ โ 2
) = (โ1 00 โ1
) (๐ฅโฒ โ 1๐ฆโฒ โ 2
)
(๐ฅ โ 1๐ฆ โ 2
) = (โ1 00 โ1
) (๐ฅโฒ โ 1๐ฆโฒ โ 2
)
โ (๐ฅ๐ฆ) + (
โ1โ2) = (
โ๐ฅโฒ + 1โ๐ฆโฒ + 2
)
โ (๐ฅ๐ฆ) = (
โ๐ฅโฒ + 1โ๐ฆโฒ + 2
) โ (โ1โ2)
โ (๐ฅ๐ฆ) = (
โ๐ฅโฒ + 2โ๐ฆโฒ + 4
) โ๐ฅ = โ๐ฅโฒ + 2๐ฆ = โ๐ฆโฒ + 4
Sehingga, substitusi nilai ๐ฅ dan ๐ฆ pada persamaan = 4๐ฅ2 โ 1 , diperoleh:
โ ๐ฆ = 4๐ฅ2 โ 1
โ โ๐ฆโฒ + 4 = 4(โ๐ฅโฒ + 2)2 โ 1
โ โ๐ฆโฒ + 4 = 4(๐ฅโฒ2โ 4๐ฅโฒ + 4) โ 1
โ โ๐ฆโฒ = 4๐ฅโฒ2โ 16๐ฅโฒ + 16 โ 1 โ 4
โ โ๐ฆโฒ = 4๐ฅโฒ2โ 16๐ฅโฒ + 11
โ ๐ฆโฒ = โ4๐ฅโฒ2+ 16๐ฅโฒ โ 11
Jadi persamaan bayangannya adalah ๐ฆ = โ4๐ฅ2 + 16๐ฅ โ 11.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 103
Contoh Soal 4: Bayangan dari kurva 2๐ฆ = 6๐ฅ โ 1 oleh pencerminan terhadap dilatasi dengan faktor skala 2 dengan pusat ๐(1, 0) adalah โฆ. a. (5, โ8) b. (5, โ2) c. (1, โ2) d. (โ5, 2) e. (โ5, 8)
Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep dilatasi dengan faktor skala 2 terhadap pusat ๐(1, 0) diperoleh:
(๐ฅโฒ โ 1๐ฆโฒ
) = (2 00 2
) (๐ฅ โ 1๐ฆ) ๐๐๐ฃ๐๐๐ โ (
๐ฅ โ 1๐ฆ) =
1
4(2 00 2
) (๐ฅโฒ โ 1๐ฆโฒ
)
โ (๐ฅ๐ฆ) + (
โ10) =
1
4(2๐ฅโฒ โ 22๐ฆโฒ
)
โ (๐ฅ๐ฆ) =
1
4(2๐ฅโฒ โ 22๐ฆโฒ
) โ (โ10)
โ (๐ฅ๐ฆ) = (
1
2๐ฅโฒ โ
1
21
2๐ฆโฒ
)โ (โ10)
โ (๐ฅ๐ฆ) = (
1
2๐ฅโฒ +
1
21
2๐ฆโฒ
) โ๐ฅ =
1
2๐ฅโฒ +
1
2
๐ฆ =1
2๐ฆโฒ
Sehingga, substitusi nilai ๐ฅ dan ๐ฆ pada persamaan 2๐ฆ = 6๐ฅ โ 1 , diperoleh:
โ 2๐ฆ = 6๐ฅ โ 1
โ 2(1
2๐ฆโฒ) = 6 (
1
2๐ฅโฒ +
1
2) โ 1
โ ๐ฆโฒ = 3๐ฅโฒ + 3 โ 1
โ ๐ฆโฒ = 3๐ฅโฒ + 2
Jadi persamaan bayangannya adalah ๐ฆ = 3๐ฅ + 2.
Halaman 104 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 5:
Bayangan dari kurva ๐ฅ โ 2๐ฆ + 3 = 0 oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks (2 โ31 โ1
) adalah
โฆ. a. ๐ฅ โ ๐ฆ + 3 = 0 b. 2๐ฅ + ๐ฆ + 3 = 0 c. ๐ฅ + ๐ฆ + 3 = 0 d. ๐ฅ โ 2๐ฆ โ 3 = 0 e. โ๐ฅ โ ๐ฆ + 3 = 0
Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep matriks transformasi diperoleh:
(๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) = (
2 โ31 โ1
) (๐ฅ โ 1๐ฆ) ๐๐๐ฃ๐๐๐ โ (
๐ฅ๐ฆ) =
1
1(โ1 3โ1 2
) (๐ฅโฒ
๐ฆโฒ)
โ (๐ฅ๐ฆ) = (
โ๐ฅโฒ + 3๐ฆโฒ
โ๐ฅโฒ + 2๐ฆโฒ) โ
๐ฅ = โ๐ฅโฒ + 3๐ฆโฒ
๐ฆ = โ๐ฅโฒ + 2๐ฆโฒ
Sehingga, substitusi nilai ๐ฅ dan ๐ฆ pada persamaan 2๐ฆ = 6๐ฅ โ 1 , diperoleh:
โ ๐ฅ โ 2๐ฆ + 3 = 0
โ (โ๐ฅโฒ + 3๐ฆโฒ) โ 2(โ๐ฅโฒ + 2๐ฆโฒ) + 3 = 0
โ โ๐ฅโฒ + 3๐ฆโฒ + 2๐ฅโฒ โ 4๐ฆโฒ + 3 = 0
โ โ๐ฅโฒ + 2๐ฅโฒ + 3๐ฆโฒ โ 4๐ฆโฒ + 3 = 0
โ ๐ฅโฒ โ ๐ฆโฒ + 3 = 0
Jadi persamaan bayangannya adalah ๐ฅ โ ๐ฆ + 3 = 0 TRIK SUPERKILAT
Bayangan garis ๐๐ฅ + ๐๐ฆ + ๐ = 0 terhadap matriks transformasi ๐ = ( ๐ ๐๐ ๐
):
|๐ ๐๐ ๐
| ๐ฅ + |๐ ๐๐ ๐
| ๐ฆ + |๐ ๐๐ ๐
| ๐ = 0
Bayangan garis ๐ฅ โ 2๐ฆ + 3 = 0 terhadap matriks transformasi ๐ = ( 2 โ31 โ1
):
|1 โ21 โ1
| ๐ฅ + |2 โ31 โ2
|๐ฆ + |2 โ31 โ1
| ๐ = 0
โ (โ1 โ (โ2))๐ฅ + (โ4 โ (โ3))๐ฆ + (โ2 โ (โ3))3 = 0
โ ๐ฅ โ ๐ฆ + 3 = 0
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 105
Menentukan bayangan komposisi transformasi terhadap sebuah kurva. Contoh Soal 1: Bayangan garis 2๐ฅ โ 3๐ฆ + 6 = 0 oleh refleksi terhadap garis ๐ฆ = ๐ฅ diikuti oleh rotasi dengan pusat ๐(0, 0) sejauh setengah putaran adalah โฆ. a. 3๐ฅ โ 2๐ฆ + 6 = 0 b. 2๐ฅ + 3๐ฆ + 6 = 0 c. โ3๐ฅ โ 2๐ฆ + 6 = 0 d. โ2๐ฅ + 2๐ฆ + 6 = 0 e. 3๐ฅ + 2๐ฆ + 6 = 0
Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep komposisi matriks transformasi diperoleh:
(๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) = (๐2 โ ๐1) (
๐ฅ๐ฆ)
(๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) = ๐๐ (๐,180ยฐ)๐๐ฆ=๐ฅ (
๐ฅ๐ฆ)
(๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) = (
โ1 00 โ1
)(0 11 0
) (๐ฅ๐ฆ)
(๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) = (
0 โ1โ1 0
)(๐ฅ๐ฆ)
(๐ฅโฒ๐ฆโฒ) = (
โ๐ฆโ๐ฅ) ๐๐๐ฃ๐๐๐ โ
๐ฅ = โ๐ฆโฒ
๐ฆ = โ๐ฅโฒ
Sehingga, substitusi nilai ๐ฅ dan ๐ฆ pada persamaan 2๐ฅ โ 3๐ฆ + 6 = 0 , diperoleh:
โ 2๐ฅ โ 3๐ฆ + 6 = 0
โ 2(โ๐ฆโฒ) โ 3(โ๐ฅโฒ) + 6 = 0
โ 3๐ฅโฒ โ 2๐ฆโฒ + 6 = 0
Jadi persamaan bayangannya adalah 3๐ฅ โ 2๐ฆ + 6 = 0
Penyelesaian LOGIKA PRAKTIS: Untuk mencari matriks komposisi transformasi dapat dilakukan langkah sebagai berikut: Titik A(1, 0) dicerminkan oleh garis ๐ฆ = ๐ฅ dilanjutkan rotasi 180ยฐ pusat O, hasilnya ๐ดโฒ(0, โ1) Titik B(0, 1) dicerminkan oleh garis ๐ฆ = ๐ฅ dilanjutkan rotasi 180ยฐ pusat O, hasilnya ๐ตโฒ(โ1, 0) Maka matriks komposisi transformasinya adalah:
๐ = (0 โ1โ1 0
)
Sehingga,
(๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) = (
0 โ1โ1 0
)(๐ฅ๐ฆ)
(๐ฅโฒ๐ฆโฒ) = (
โ๐ฆโ๐ฅ) ๐๐๐ฃ๐๐๐ โ
๐ฅ = โ๐ฆโฒ
๐ฆ = โ๐ฅโฒ
Sehingga, substitusi nilai ๐ฅ dan ๐ฆ pada persamaan 2๐ฅ โ 3๐ฆ + 6 = 0 , diperoleh:
โ 2๐ฅ โ 3๐ฆ + 6 = 0
โ 2(โ๐ฆโฒ) โ 3(โ๐ฅโฒ) + 6 = 0
โ 3๐ฅโฒ โ 2๐ฆโฒ + 6 = 0
Jadi persamaan bayangannya adalah 3๐ฅ โ 2๐ฆ + 6 = 0
Halaman 106 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 2: Bayangan garis ๐ฆ = ๐ฅ2 โ 3๐ฅ + 2 oleh pencerminan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan dilatasi pusat ๐(0, 0) dan faktor skala 3 adalah โฆ. a. ๐ฅ2 โ 9๐ฅ โ 3๐ฆ + 18 = 0 b. ๐ฅ2 โ 9๐ฅ + 3๐ฆ + 18 = 0 c. ๐ฅ2 โ 3๐ฅ + 9๐ฆ + 18 = 0 d. ๐ฅ2 + 9๐ฅ โ 3๐ฆ โ 18 = 0 e. ๐ฅ2 โ 9๐ฅ โ 3๐ฆ โ 18 = 0
Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep komposisi matriks transformasi diperoleh:
(๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) = (๐2 โ ๐1) (
๐ฅ๐ฆ)
(๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) = ๐๐ท(๐,3)๐๐ ๐ข๐๐๐ข๐ (
๐ฅ๐ฆ)
(๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) = (
3 00 3
) (1 00 โ1
)(๐ฅ๐ฆ)
(๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) = (
3 00 โ3
) (๐ฅ๐ฆ)
(๐ฅโฒ๐ฆโฒ) = (
3๐ฅโ3๐ฆ
) ๐๐๐ฃ๐๐๐ โ
๐ฅ =1
3๐ฅโฒ
๐ฆ = โ1
3๐ฆโฒ
Sehingga, substitusi nilai ๐ฅ dan ๐ฆ pada persamaan ๐ฆ = ๐ฅ2 โ 3๐ฅ + 2 , diperoleh:
โ ๐ฆ = ๐ฅ2 โ 3๐ฅ + 2
โ โ1
3๐ฆโฒ = (
1
3๐ฅโฒ)
2
โ 3(1
3๐ฅโฒ) + 2
โ โ1
3๐ฆโฒ =
1
9๐ฅโฒ2โ ๐ฅโฒ + 2 (kalikan semua ruas dengan 9)
โ โ3๐ฆโฒ = ๐ฅโฒ2โ 9๐ฅโฒ + 18
โ ๐ฅโฒ2โ 9๐ฅโฒ + 3๐ฆโฒ + 18 = 0
Jadi persamaan bayangannya adalah ๐ฅ2 โ 9๐ฅ + 3๐ฆ + 18 = 0
Penyelesaian LOGIKA PRAKTIS: Untuk mencari matriks komposisi transformasi dapat dilakukan langkah sebagai berikut:
Titik A(1, 0) diicerminkan oleh sumbu X dilanjutkan dilatasi dengan faktor dilatasi 3 pusat O, hasilnya ๐ดโฒ(3, 0)
Titik B(0, 1) diicerminkan oleh sumbu X dilanjutkan dilatasi dengan faktor dilatasi 3 pusat O, hasilnya ๐ตโฒ(0, โ3)
Maka matriks komposisi transformasinya adalah:
๐ = (3 00 โ3
)
Dan seterusnya, setelah komposisi matriks transformasi ketemu maka langkah selanjutnyanya sama dengan penyelesaian cara biasa di atas.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 107
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Bayangan garis 52 yx bila ditransformasi dengan matriks transformasi
21
53 dilanjutkan dengan
pencerminan terhadap sumbu X adalah ....
A. 5411 yx
B. 524 yx
C. 5114 yx
D. 553 yx
E. 5113 yx
2. Bayangan kurva 293 xxy jika dirotasi dengan pusat O (0, 0) sejauh 90ยฐ dilanjutkan dengan dilatasi
dengan pusat O (0, 0) dan faktor skala 3 adalah ....
A. yyx 33 2
B. yyx 32
C. yyx 33 2
D. xxy 33 2
E. yxy 32
3. Bayangan kurva 332 xxy jika dicerminkan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan dilatasi pusat O
dan faktor skala 3 adalah ....
A. 027392 yxx
B. 027392 yxx
C. 02793 2 yxx
D. 02793 2 yxx
E. 02793 2 xx
4. Persamaan bayangan lingkaran 422 yx bila dicerminkan terhadap garis 2x dilanjutkan dengan
translasi
4
3 adalah ....
A. 0138222 yxyx
B. 0138222 yxyx
C. 0138222 yxyx
D. 0138222 yxyx
E. 0132822 yxyx
Jika adik-adik butuh โbocoranโ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.
TIPS SUPERKILAT:
Bayangan garis ๐๐ฅ + ๐๐ฆ + ๐ = 0 terhadap matriks transformasi ๐ = ( ๐ ๐๐ ๐
):
|๐ ๐๐ ๐
| ๐ฅ + |๐ ๐๐ ๐
| ๐ฆ + |๐ ๐๐ ๐
| ๐ = 0
๐1 = (3 51 2
) ; ๐2 =๐๐ ๐ ๐ฅ
(1 00 โ1
) ; ๐ = ๐2 โ ๐1 = (1 00 โ1
) (3 51 2
) = (3 5โ1 โ2
)
Bayangan garis ๐ฅ โ 2๐ฆ โ 5 = 0 terhadap matriks transformasi T adalah : |1 โ2โ1 โ2
| ๐ฅ + |3 51 โ2
| ๐ฆ + |3 5โ1 โ2
| (โ5) = 0 โ โ4๐ฅ โ 11๐ฆ + 5 = 0
โ 4๐ฅ + 11๐ฆ = 5
๐1 = (0 โ11 0
) ; ๐2 = (3 00 3
)
๐2 โ ๐1 = (3 00 3
) (0 โ11 0
) = (0 โ33 0
)
(๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) = (
0 โ33 0
) (๐ฅ๐ฆ)
๐ฅโฒ = โ3๐ฆ โ ๐ฆ = โ1
3๐ฅโฒ
๐ฆโฒ = 3๐ฅ โ ๐ฅ =1
3๐ฆโฒ
๐ฆ = 3๐ฅ โ 9๐ฅ2 โ (โ1
3๐ฅโฒ) = 3 (
1
3๐ฆโฒ) โ 9 (
1
3๐ฆโฒ)
2
โ โ1
3๐ฅโฒ = ๐ฆโฒ โ ๐ฆโฒ2 (dikali โ 3)
โ ๐ฅโฒ = 3๐ฆโฒ2โ 3๐ฆโฒ
๐1 = (0 โ11 0
) ; ๐2 = (3 00 3
)
๐2 โ ๐1 = (3 00 3
) (1 00 โ1
) = (3 00 โ3
)
(๐ฅโฒ
๐ฆโฒ) = (
3 00 โ3
) (๐ฅ๐ฆ)
๐ฅโฒ = 3๐ฅ โ ๐ฅ =1
3๐ฅโฒ
๐ฆโฒ = โ3๐ฆ โ ๐ฆ = โ1
3๐ฆโฒ
๐ฆ = ๐ฅ2 + 3๐ฅ + 3
โ (โ1
3๐ฆโฒ) = (
1
3๐ฅ)2
+ 3(1
3๐ฅโฒ) + 3
โ โ1
3๐ฆโฒ =
1
9๐ฅโฒ2 + ๐ฅโฒ + 3 (dikali โ 9)
โ โ3๐ฆโฒ = ๐ฅโฒ2 + 9๐ฅโฒ + 27
โ 0 = ๐ฅโฒ2 + 9๐ฅโฒ + 3๐ฆโฒ + 27
(๐ฅ, ๐ฆ) ๐๐ฅ=2 โ (4 โ ๐ฅ, ๐ฆ)
(โ34)
โ (1 โ ๐ฅ, ๐ฆ + 4)
๐ฅโฒ = 1 โ ๐ฅ โ ๐ฅ = 1 โ ๐ฅโฒ ๐ฆโฒ = ๐ฆ + 4 โ ๐ฆ = ๐ฆโฒ โ 4 ๐ฅ2 + ๐ฆ2 = 4 โ (1 โ ๐ฅ)2 + (๐ฆ โ 4)2 = 4
โ ๐ฅ2 โ 2๐ฅ + 1 + ๐ฆ2 โ 8๐ฅ + 16 = 4
โ ๐ฅ2 + ๐ฆ2 โ 2๐ฅ โ 8๐ฆ + 17 = 4
โ ๐ฅ2 + ๐ฆ2 โ 2๐ฅ โ 8๐ฆ + 17 โ 4 = 0
โ ๐ฅ2 + ๐ฆ2 โ 2๐ฅ โ 8๐ฆ + 13 = 0
TRIK SUPERKILAT:
Bayangkan titik pusat (0, 0) dicerminkan terhadap ๐ฅ = 2, akan berpindah ke (0, 4), lalu ditranslasi -3 satuan di sumbu X, dan 4 satuan di sumbu Y, maka titik tersebut sekarang berada di (1, 4).
Jadi persamaan lingkaran dengan pusat (1, 4) adalah jawaban A!!!
Halaman 108 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
2. 14. Menentukan penyelesaian pertidaksamaan eksponen atau logaritma.
Pertidaksamaan Eksponen atau Logaritma
Eksponen Logaritma
๐๐(๐ฅ) ๐ log ๐(๐ฅ)
Syarat Eksponen Syarat Logaritma ๐ > 0 dan ๐ โ 1 ๐ > 0 dan ๐ โ 1 ๐(๐ฅ) bebas berapapun boleh ๐(๐ฅ) > 0 Perhatikan bilangan pokoknya
๐๐(๐ฅ) atau ๐ log ๐(๐ฅ) pasti sudah memenuhi syarat
Lebih Dari Satu Diantara Nol dan Satu
๐ > 1 0 < ๐ < 1 โTanda pertidaksamaan tetapโ โTanda pertidaksamaan dibalikโ
๐๐(๐ฅ) โฅ ๐๐(๐ฅ) โ ๐(๐ฅ) โฅ ๐(๐ฅ)
๐๐(๐ฅ) โค ๐๐(๐ฅ) โ ๐(๐ฅ) โค ๐(๐ฅ)๐ log ๐(๐ฅ) โฅ ๐ log ๐(๐ฅ) โ ๐(๐ฅ) โฅ ๐(๐ฅ)๐ log ๐(๐ฅ) โค ๐ log ๐(๐ฅ) โ ๐(๐ฅ) โค ๐(๐ฅ)
๐๐(๐ฅ) โฅ ๐๐(๐ฅ) โ ๐(๐ฅ) โค ๐(๐ฅ)
๐๐(๐ฅ) โค ๐๐(๐ฅ) โ ๐(๐ฅ) โฅ ๐(๐ฅ)๐ log ๐(๐ฅ) โฅ ๐ log ๐(๐ฅ) โ ๐(๐ฅ) โค ๐(๐ฅ)๐ log ๐(๐ฅ) โค ๐ log ๐(๐ฅ) โ ๐(๐ฅ) โฅ ๐(๐ฅ)
Syarat Eksponen Syarat Logaritma ๐(๐ฅ) bebas berapapun boleh ๐(๐ฅ) > 0, ๐(๐ฅ) > 0
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 109
TRIK SUPERKILAT Baca soal Cek topik soal tentang apa? Pertidaksamaan Eksponen Pertidaksamaan Logaritma Selesaikan pertidaksamaan Selesaikan pertidaksamaan Syarat numerus harus positif Iriskan dalam garis bilangan Selesai Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA pada indikator soal tentang pertidaksamaan eksponen atau logaritma, mau tidak mau kita harus paham tentang bagaimana sifat perpangkatan atau logaritma itu sendiri. Lalu yang tak kalah pentingnya adalah untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma, maka perlu diperhatikan juga syarat logaritma itu terdefinisi, selain bilangan pokok harus positif dan tidak boleh satu, juga harus dipenuhi syarat numerus harus positif.
Halaman 110 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Tipe Soal yang Sering Muncul
Menentukan penyelesaian pertidaksamaan eksponen bentuk ๐๐(๐) โฅ ๐๐(๐). Contoh Soal:
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan (1
8)๐ฅ+3
โฅ (1
2)๐ฅ2โ1
adalah โฆ.
a. โ5 โค ๐ฅ โค 2 b. โ2 โค ๐ฅ โค 5 c. ๐ฅ โค โ2 atau ๐ฅ โฅ 5 d. ๐ฅ โค โ5 atau ๐ฅ โฅ 2 e. ๐ฅ โฅ 5
Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep pertidaksamaan eksponen diperoleh:
(1
8)๐ฅ+3
โฅ (1
2)๐ฅ2โ1
โ (2โ3)๐ฅ+3 โฅ (2โ1)๐ฅ2โ1
โ 2โ3(๐ฅ+3) โฅ 2โ1(๐ฅ2โ1)
โ 2โ3๐ฅโ9 โฅ 2โ๐ฅ2+1
โ โ3๐ฅ โ 9 โฅ โ๐ฅ2 + 1โ ๐ฅ2 โ 3๐ฅ โ 10 โฅ 0โ (๐ฅ + 2)(๐ฅ โ 5) โฅ 0Pembuat nol
โ ๐ฅ + 2 = 0 atau ๐ฅ โ 5 = 0โ ๐ฅ = โ2 โ atau โ ๐ฅ = 5
Periksa daerah penyelesaian pada garis bilangan,
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {๐ฅ|๐ฅ โค โ2 atau ๐ฅ โฅ 5}.
kita punya dua pilihan, yaitu mengubah 1
8 dan
1
2
menjadi 1
2 pangkat berapa atau 2 pangkat berapa
konsekuensinya?
kalau memilih 1
2maka tanda pertidaksamaan harus dibalik,
sedangkan bila memilih 2 maka tanda pertidaksamaan tetap
}
saya lebih memilih 2, supaya tandanya tidak berubah
+ +
โ
โ2 5
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 111
Menentukan penyelesaian pertidaksamaan eksponen bentuk
๐จ{๐๐(๐)}๐+๐ฉ{๐๐(๐)} + ๐ช โฅ ๐
Contoh Soal 1: Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 32๐ฅ+1 โ 4 . 3๐ฅ+2 + 34 > 0 adalah โฆ. a. 0 < ๐ฅ < 2 b. 1 < ๐ฅ < 2 c. ๐ฅ < 1 atau ๐ฅ > 2 d. ๐ฅ < 0 atau ๐ฅ > 1 e. ๐ฅ > 2
Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep pertidaksamaan eksponen diperoleh:
32๐ฅ+1 โ 4 . 3๐ฅ+2 + 34 > 0 (Ingat 32๐ฅ+1 = 32๐ฅ โ 31 dan 3๐ฅ+2 = 3๐ฅ โ 32)
โ 3 . 32๐ฅ โ 4 . 9 . (3๐ฅ) + 27 > 0
โ 3 . (3๐ฅ)2 โ 36. (3๐ฅ) + 27 > 0Misal ๐ = 3๐ฅ
โ 3๐2 โ 36๐ + 81 > 0โ 3(๐ โ 3)(๐ โ 9) > 0Pembuat nol โถ
โ ๐ โ 3 = 0 atau ๐ โ 9 = 0โ ๐ = 3 โโโ atau โ๐ = 9
Periksa daerah penyelesaian pada garis bilangan,
Jadi daerah penyelesaian:
๐ < 3 atau ๐ > 93๐ฅ < 3 atau 3๐ฅ > 9๐ฅ < 1 atau ๐ฅ > 2
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {๐ฅ|๐ฅ < 1 atau ๐ฅ > 2}.
+ +
โ
3 9
Halaman 112 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 2: Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3๐ฅ + 35โ๐ฅ > 36 adalah โฆ. a. 2 < ๐ฅ < 3 b. 3 < ๐ฅ < 9 c. ๐ฅ < 2 atau ๐ฅ > 3 d. ๐ฅ < 3 atau ๐ฅ > 9 e. ๐ฅ > 3
Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep pertidaksamaan eksponen diperoleh:
3๐ฅ + 35โ๐ฅ > 36 (Jadikan ruas kiri sama dengan nol)
โ 3๐ฅ + 35โ๐ฅ โ 36 > 0 (Ingat 35โ๐ฅ = 35 โ 3โ๐ฅ dan 35 = 243)
โ 3๐ฅ + 243. 3โ๐ฅ โ 36 > 0 (Kalikan semua ruas dengan 3๐ฅ , supaya tidak ada bentuk 3โ๐ฅ)
โ 3๐ฅ . 3๐ฅ + 243. 3โ๐ฅ. 3๐ฅ โ 36. 3๐ฅ > 0โ 32๐ฅ + 243 โ 36. 3๐ฅ > 0โ 32๐ฅ โ 36. 3๐ฅ + 243 > 0โ (3๐ฅ)2 โ 36. 3๐ฅ + 243 > 0Misal ๐ = 3๐ฅ
โ ๐2 โ 36๐ + 243 > 0โ (๐ โ 9)(๐ โ 27) > 0
Pembuat nol โถ โ ๐ โ 9 = 0 atau ๐ โ 27 = 0โ ๐ = 9 atau โ๐ = 27
Periksa daerah penyelesaian pada garis bilangan,
Jadi daerah penyelesaian:
๐ < 9 atau ๐ > 273๐ฅ < 3 atau 3๐ฅ > 9๐ฅ < 2 atau ๐ฅ > 3
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {๐ฅ|๐ฅ < 2 atau ๐ฅ > 3}.
+ +
โ
9 27
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 113
Menentukan penyelesaian pertidaksamaan logaritma bentuk ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐(๐) โฅ ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐(๐). Contoh Soal 1:
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 4 log(๐ฅ2 โ ๐ฅ) <1
2 adalah โฆ.
a. 0 < ๐ฅ < 1 b. 1 < ๐ฅ < 2 c. ๐ฅ < 0 atau ๐ฅ > 1 d. โ1 < ๐ฅ < 0 atau 1 < ๐ฅ < 2 e. ๐ฅ > 1
Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep pertidaksamaan logaritma diperoleh:
4 log(๐ฅ2 โ ๐ฅ) <1
2 (Ingat ubah
1
2menjadi bentuk logaritma 4 log berapa ya?)
โ 4 log(๐ฅ2 โ ๐ฅ) < 4 log 2
โ ๐ฅ2 โ ๐ฅ < 2โ ๐ฅ2 โ ๐ฅ โ 2 < 0โ (๐ฅ + 1)(๐ฅ โ 2) < 0Pembuat nol
โ ๐ฅ + 1 = 0 atau ๐ฅ โ 2 = 0โ ๐ฅ = โ1 โ atau โ ๐ฅ = 2
Periksa daerah penyelesaian pada garis bilangan,
Daerah yang memenuhi adalah โ1 < ๐ฅ < 2 .............................................................(1) Jangan lupa!! Agar pertidaksamaan logaritma tersebut memiliki arti, maka harus memenuhi syarat yaitu numerus logaritma harus positif.
(๐ฅ2 โ ๐ฅ) > 0 โ ๐ฅ(๐ฅ โ 1) > 0Pembuat nol
โ ๐ฅ = 0 atau ๐ฅ โ 1 = 0โ ๐ฅ = 0 โ โโatau โ ๐ฅ = 1
Periksa daerah penyelesaian pada garis bilangan,
Daerah yang memenuhi adalah ๐ฅ < 0 atau ๐ฅ > 1 ..................................................(2)
Dari (1) dan (2), irisan daerah penyelesaian yang memenuhi adalah sebagai berikut: Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {๐ฅ|โ1 < ๐ฅ < 0 atau 1 < ๐ฅ < 2}.
โ
+ +
โ1 2
+ +
โ
0 1
โ1 2
0 1
โ1 0 1 2
Halaman 114 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 2: Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2 log(3 โ ๐ฅ) + 2 log(๐ฅ + 5) < 2 log(2๐ฅ + 3) adalah โฆ. a. 0 < ๐ฅ < 3 b. 2 < ๐ฅ < 3 c. ๐ฅ < 2 atau ๐ฅ > 3 d. 0 < ๐ฅ < 2 atau 2 < ๐ฅ < 3 e. ๐ฅ > 5
Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep pertidaksamaan logaritma diperoleh:
2 log(3 โ ๐ฅ) + 2 log(๐ฅ + 5) < 2 log(2๐ฅ + 3)
โ 2 log(3 โ ๐ฅ)(๐ฅ + 5) < 2 log(2๐ฅ + 3)
โ (3 โ ๐ฅ)(๐ฅ + 5) < (2๐ฅ + 3)
โ โ๐ฅ2 โ 2๐ฅ + 15 < 2๐ฅ + 3โ ๐ฅ2 + 4๐ฅ โ 12 > 0โ (๐ฅ + 6)(๐ฅ โ 2) > 0Pembuat nol
โ ๐ฅ + 6 = 0 atau ๐ฅ โ 2 = 0โ ๐ฅ = โ6 โ atau โ ๐ฅ = 2
Periksa daerah penyelesaian pada garis bilangan,
Daerah yang memenuhi adalah ๐ฅ < โ6 atau ๐ฅ > 2 .............................................(1) Jangan lupa!! Agar pertidaksamaan logaritma tersebut memiliki arti, maka harus memenuhi syarat yaitu numerus logaritma harus positif.
3 โ ๐ฅ > 0 โ โ๐ฅ > โ3โ ๐ฅ < 3 ..............................................................................................................................(2) ๐ฅ + 5 > 0
โ ๐ฅ > โ5 ..............................................................................................................................(3) 2๐ฅ + 3 > 0
โ 2๐ฅ > โ3
โ ๐ฅ > โ3
2 ..........................................................................................................................(4)
Dari (1), (2), (3) dan (4), irisan daerah penyelesaian yang memenuhi adalah sebagai berikut: Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {๐ฅ| 2 < ๐ฅ < 3}.
+ +
โ
โ6 2
โ6 2
3
2 3
โ3
2
โ5
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 115
Menentukan penyelesaian pertidaksamaan logaritma bentuk ๐จ{๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐(๐)}๐ +๐ฉ{๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐(๐)} + ๐ช โฅ ๐ Contoh Soal: Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2 log2(๐ฅ โ 3) โ 2 log(๐ฅ โ 3)3 + 2 > 0 adalah โฆ. a. 1 < ๐ฅ < 2 b. ๐ฅ < 1 atau ๐ฅ > 2 c. ๐ฅ < 3 atau ๐ฅ > 5 d. 1 < ๐ฅ < 5 atau ๐ฅ > 5 e. ๐ฅ > 3
Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep pertidaksamaan eksponen diperoleh:
2 log2(๐ฅ โ 1) โ 2 log(๐ฅ โ 1)3 + 2 > 0 (Ingat 2 log(๐ฅ โ 1)3 = 3. 2 log(๐ฅ โ 1))
โ 2 log2(๐ฅ โ 1) โ 3. 2 log(๐ฅ โ 1) + 2 > 0
โ (2 log(๐ฅ โ 1))2 โ 3. 2 log(๐ฅ โ 1) + 2 > 0
Misal ๐ = 2 log(๐ฅ โ 1)
โ ๐2 โ 3๐ + 2 > 0โ (๐ โ 1)(๐ โ 2) > 0
Pembuat nol โถ โ ๐ โ 1 = 0 atau ๐ โ 2 = 0โ ๐ = 1 โ๐ = 2
Periksa daerah penyelesaian pada garis bilangan,
Jadi daerah penyelesaian:
๐ < 1 atau ๐ > 22 log(๐ฅ โ 1) < 1 atau 2 log(๐ฅ โ 1) > 2
๐ฅ โ 1 < 21 atau ๐ฅ โ 1 > 22
๐ฅ โ 1 < 2 atau ๐ฅ โ 1 > 4๐ฅ < 2 + 1 atau ๐ฅ > 4 + 1
๐ฅ < 3 atau ๐ฅ > 5 ................................................................ (1)
Jangan lupa!! Agar pertidaksamaan logaritma tersebut memiliki arti, maka harus memenuhi syarat yaitu numerus logaritma harus positif.
๐ฅ โ 1 > 0 โ ๐ฅ > 1 ................................................................................................................................(2)
Dari (1) dan (2), irisan daerah penyelesaian yang memenuhi adalah sebagai berikut: Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {๐ฅ|1 < ๐ฅ < 3 atau ๐ฅ > 5}.
+ +
โ
1 2
1
3 5
1 3 5
Halaman 116 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 099.1092 xx , Rx adalah ....
A. 1x atau 9x
B. 0x atau 1x
C. 1x atau 2x
D. 1x atau 2x
E. 1x atau 1x
2. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 01255.65 12 xx , Rx adalah ....
A. 21 x
B. 255 x
C. 1x atau 2x
D. 1x atau 2x
E. 5x atau 25x
3. Penyelesaian pertidaksamaan 082.52 112 xx adalah ....
A. 0x atau 2x
B. 1x atau 4x
C. 2x atau 4x
D. 20 x
E. 41 x
4. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan R,03.2893 12 xxx adalah ....
A. 1x atau 2x
B. 1x atau 2x
C. 1x atau 2x
D. 1x atau 2x
E. 1x atau 2x
Jika adik-adik butuh โbocoranโ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.
92๐ฅ โ 10 . 9๐ฅ + 9 > 0โ (9๐ฅ)2 โ 10. (9๐ฅ) + 9 > 0
Misal ๐ = 9๐ฅ โ ๐2 โ 10๐ + 9 > 0โ (๐ โ 1)(๐ โ 9) > 0๐๐๐๐๐ข๐๐ก ๐๐๐ โถ
โ ๐ โ 1 = 0 atau ๐ โ 9 = 0โ ๐ = 1 โ๐ = 9
+ +
โ
1 9
Jadi daerah penyelesaian: ๐ < 1 atau ๐ > 109๐ฅ < 1 atau 9๐ฅ > 9๐ฅ < 0 atau ๐ฅ > 1
52๐ฅ โ 6 . 5๐ฅ+1 + 125 > 0โ (5๐ฅ)2 โ 30. (5๐ฅ) + 125 > 0
Misal ๐ = 5๐ฅ โ ๐2 โ 30๐ + 125 > 0โ (๐ โ 5)(๐ โ 25) > 0
๐๐๐๐๐ข๐๐ก ๐๐๐ โถ โ ๐ โ 5 = 0 atau ๐ โ 25 = 0โ ๐ = 5 โโโ๐ = 25
+ +
โ
5 25
Jadi daerah penyelesaian: ๐ < 5 atau ๐ > 255๐ฅ < 5 atau 5๐ฅ > 25๐ฅ < 1 atau ๐ฅ > 2
22๐ฅ+1 โ 5 . 2๐ฅ+1 + 8 โฅ 0โ 2(2๐ฅ)2 โ 10. (2๐ฅ) + 8 โฅ 0
Misal ๐ = 2๐ฅ โ 2๐2 โ 10๐ + 8 โฅ 0โ 2(๐ โ 1)(๐ โ 4) โฅ 0
๐๐๐๐๐ข๐๐ก ๐๐๐ โถ โ ๐ โ 1 = 0 atau ๐ โ 4 = 0โ ๐ = 1 โโโ๐ = 4
+ +
โ
1 4
Jadi daerah penyelesaian: ๐ โค 1 atau ๐ โฅ 42๐ฅ โค 1 atau 2๐ฅ โฅ 4๐ฅ โค 0 atau ๐ฅ โฅ 2
32๐ฅ+1 + 9 โ 28 . 3๐ฅ > 0โ 3 โ 32๐ฅ โ 28 . 3๐ฅ + 9 > 0
Misal ๐ = 3๐ฅ โ 3๐2 โ 28๐ + 9 > 0โ (3๐ โ 1)(๐ โ 9) > 0
๐๐๐๐๐ข๐๐ก ๐๐๐ โถ โ 3๐ โ 1 = 0 atau ๐ โ 9 = 0
โ ๐ =1
3โโ โ โโโ๐ = 9
+ +
โ
1/3 9
Jadi daerah penyelesaian:
๐ <1
3 atau ๐ > 9
3๐ฅ <1
3 atau 3๐ฅ > 9
๐ฅ < โ1 atau ๐ฅ > 2
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 117
2. 15. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi eksponen atau fungsi logaritma.
Fungsi Eksponen atau Logaritma
Fungsi Eksponen Fungsi Logaritma
๐(๐ฅ) = ๐๐ฅ saling invers ๐(๐ฅ) = ๐ log ๐ฅ
Syarat Fungsi Eksponen Syarat Fungsi Logaritma ๐ > 0 dan ๐ โ 1 ๐ > 0 dan ๐ โ 1 ๐ฅ bebas berapapun boleh ๐ฅ > 0
Perhatikan syarat fungsi
Sifat Fungsi Eksponen Sifat Fungsi Logaritma Definit positif, untuk berapapun nilai ๐ฅ Logaritma terdefinisi apabila ๐ฅ > 0 ๐(๐ฅ) selalu positif (grafik di atas sumbu X) (grafik selalu di sebelah kanan sumbu Y)
๐๐ = ๐ โ memotong sumbu Y di titik (0, 1) ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ = ๐ โ memotong sumbu X di titik (1, 0)
Tidak pernah memotong sumbu X, Tidak pernah memotong sumbu Y, memiliki asimtot datar sumbu X (๐ฆ = 0) memiliki asimtot tegak sumbu Y (๐ฅ = 0)
Grafik Fungsi Logaritma Grafik Fungsi Eksponen ๐ > 0 ๐ < ๐ < 1 ๐ > 0 ๐ < ๐ < 1 โmonoton naikโ โmonoton turunโ โmonoton naikโ โmonoton turunโ
(0, 1)
X
Y
O
(0, 1) X
Y
O (0, 1)
X
Y
O
(0, 1) X
Y
O
๐(๐ฅ) = ๐๐ฅ
๐(๐ฅ) = ๐๐ฅ
๐(๐ฅ) = ๐ log ๐ฅ
๐(๐ฅ) = ๐ log ๐ฅ
Halaman 118 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT menentukan persamaan fungsi jika diketahui grafik fungsinya. Lihat Grafik Cek Jenis Grafik Fungsi Fungsi Logaritma Fungsi Eksponen Perhatikan transformasi apa yang terjadi pada fungsi Logaritma atau Eksponen Selesai Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA pada indikator soal tentang grafik fungsi eksponen atau logaritma, mutlak kita harus paham tentang sifat dan aturan eksponen atau logaritma. Hal lain yang tidak kalah pentingnya adalah mengingat bagaimana transformasi yang terjadi pada sebuah fungsi. Misalkan ๐ฆ = ๐(๐ฅ) adalah fungsi logaritma atau fungsi eksponen, maka transformasi yang terjadi pada grafik antara lain sebagai berikut:
๐ฆ = ๐(๐ฅ โ ๐), grafik digeser ๐ satuan ke arah kanan. ๐ฆ = ๐(๐ฅ + ๐), grafik digeser ๐ satuan ke arah kiri. Transformasi sumbu X sifatnya berlawanan.
๐ฆ = ๐(๐๐ฅ), grafik didilatasi dengan faktor 1
๐.
๐ฆ = ๐(๐ฅ) + ๐, grafik digeser ๐ satuan ke arah atas. ๐ฆ = ๐(๐ฅ) โ ๐, grafik digeser ๐ satuan ke arah bawah. Transformasi sumbu Y sifatnya bersesuaian. ๐ฆ = ๐ ๐(๐ฅ), grafik didilatasi sebesar faktor ๐.
๐ฆ = ๐(โ๐ฅ), grafik dicerminkan terhadap sumbu X. ๐ฆ = โ๐(๐ฅ), grafik dicerminkan terhadap sumbu X.
LOGIKA PRAKTIS mengingat transformasi yang terjadi pada grafik fungsi. Apabila variabel ๐ฅ yang diubah-ubah, maka sifatnya berlawanan dengan yang seharusnya. Contoh:
๐ฆ = 2๐ฅ+3, artinya grafik ๐ฆ = 2๐ฅ digeser ke kiri sebesar 3 satuan. ๐ฆ = 23๐ฅ, artinya grafik ๐ฆ = 2๐ฅ diciutkan 3 kali lipat dari semula.
Apabila variabel ๐ฆ atau fungsinya ๐(๐ฅ) yang diubah-ubah, maka sifatnya bersesuaian dengan yang seharusnya. Contoh:
๐ฆ = 2๐ฅ + 3, artinya grafik ๐ฆ = 2๐ฅ digeser ke atas sebesar 3 satuan. ๐ฆ = 3(2๐ฅ), artinya grafik ๐ฆ = 2๐ฅ direnggangkan 3 kali lipat dari semula.
Apabila variabel ๐ฅ maupun ๐ฆ atau ๐(๐ฅ) dikalikan dengan negatif. Maka harus dicerminkan.
๐ฆ = 2โ๐ฅ, artinya grafik ๐ฆ = 2๐ฅ dicerminkan terhadap sumbu X ๐ฆ = โ(2๐ฅ), artinya grafik ๐ฆ = 2๐ฅ dicerminkan terhadap sumbu Y.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 119
Tipe Soal yang Sering Muncul
Menentukan persamaan dari grafik fungsi eksponen. Contoh Soal 1: Fungsi eksponen yang sesuai dengan grafik di samping adalah โฆ.
a. ๐ฆ = 3โ๐ฅ โ 1
b. ๐ฆ =13
๐ฅโ1
c. ๐ฆ =13
๐ฅ+1
d. ๐ฆ =13
๐ฅ
+ 1
e. ๐ฆ =13
๐ฅ
โ 1
Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep grafik fungsi eksponen diperoleh persamaan umum grafik fungsi eksponen:
๐ฆ = ๐๐ฅ
Grafik melalui titik (0, 0), sehingga diperoleh: 0 = ๐0
Dengan memandang sifat logaritma ๐0 โ 0, jelas bahwa grafik tersebut mengalami transformasi pada sumbu Y, sehingga persamaan umum grafik fungsi eksponen menjadi:
๐ฆ = ๐๐ฅ + ๐ต Grafik melalui titik (0, 0), sehingga diperoleh:
๐ฆ = ๐๐ฅ + ๐ต โ 0 = ๐0 + ๐ตโ 0 = 1 + ๐ตโ ๐ต = โ1
Sehingga, persamaan grafiknya sekarang adalah ๐ฆ = ๐๐ฅ โ 1. Uji titik yang lain untuk menemukan nilai ๐.
Grafik melalui titik (โ1, 2), sehingga diperoleh:
๐ฆ = ๐๐ฅ โ 1 โ 2 = ๐โ1 โ 1
โ 2 =1
๐โ 1
โ 2 + 1 =1
๐
โ 3 =1
๐
โ ๐ =1
3
Jadi, persamaan grafiknya adalah ๐ฆ =13
๐ฅ
โ 1.
2
โ1 X
Y
O
Halaman 120 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Perhatikan grafik eksponen monoton turun berarti 0 < ๐ < 1.
Coba perhatikan jawaban pada soal, pilih jawaban yang menggunakan bilangan pokok 1
3.
Artinya 1
3 pangkat berapa gituโฆ
Jadi jawaban A jelas tidak tepat.
Nah, sekarang ingat grafik dari ๐ฆ =1
3
๐ฅ adalah sebagai berikut:
Jadi, grafik pada soal tersebut adalah hasil pergeseran dari grafik ๐ฆ =1
3
๐ฅ ke bawah
sejauh 1 satuan di sumbu Y, artinya variabel ๐ฆ atau ๐(๐ฅ) harus dikurangi 1.
Jadi, persamaan grafik pada soal adalah ๐ฆ =1
3
๐ฅโ 1.
Selesai!!
Penyelesaian LOGIKA PRAKTIS:
Grafik melewati titik (โ1, 2), cek ๐(โ1) = 2 pada semua opsi jawaban:
A. ๐ฆ = 3โ๐ฅ โ 1 โ ๐(โ1) = 3โ1 โ 1 โ 2
B. ๐ฆ =13
๐ฅโ1
โ ๐(โ1) =13
(โ1)โ1
= 9 โ ๐(๐ฅ) โ 2
C. ๐ฆ =13
๐ฅ+1
โ ๐(โ1) =13
(โ1)+1
= 1 โ ๐(๐ฅ) โ 2
D. ๐ฆ =13
๐ฅ
+ 1 โ ๐(โ1) =13
(โ1)
+ 1 = 4 โ ๐(๐ฅ) โ 2
E. ๐ฆ =13
๐ฅ
โ 1 โ ๐(โ1) =13
โ1
โ 1 = 3 โ 1 = 2 (Jadi inilah jawaban yang benar!)
3
โ1 X
Y
O
(1, 0)
๐ฆ =1
3
๐ฅ
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 121
Menentukan persamaan dari grafik fungsi logaritma. Contoh Soal 1: Fungsi logaritma yang sesuai dengan grafik di samping adalah โฆ. a. ๐ฆ = 3 log 2๐ฅ b. ๐ฆ = 3 log(๐ฅ โ 2) c. ๐ฆ = 3 log(๐ฅ + 2) d. ๐ฆ = 3 log ๐ฅ โ 2 e. ๐ฆ = 3 log ๐ฅ + 2
Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep grafik fungsi logaritma diperoleh persamaan umum grafik fungsi logaritma:
๐ฆ = ๐ log ๐ฅ
Grafik melalui titik (โ1, 0), sehingga diperoleh: 0 = ๐ log(โ1)
Dengan memandang sifat logaritma ๐ log 1 = 0, jelas bahwa grafik tersebut mengalami transformasi pada sumbu X, sehingga persamaan umum grafik fungsi logaritma menjadi:
๐ฆ = ๐ log(๐ฅ + ๐ด) Grafik melalui titik (โ1, 0), sehingga diperoleh:
0 = ๐ log(โ1 + ๐ด) โ ๐0 = โ1 + ๐ดโ 1 = โ1 + ๐ดโ 1 + 1 = ๐ดโ 2 = ๐ดโ ๐ด = 2
Sehingga persamaan grafiknya sekarang adalah ๐ฆ = ๐ log(๐ฅ + 2). Uji titik yang lain untuk menemukan nilai ๐. Grafik melalui titik (1, 1), sehingga diperoleh:
1 = ๐ log(1 + 2) โ ๐ log 3 = 1
โ ๐1 = 3โ ๐ = 3
Jadi, persamaan grafiknya adalah ๐ฆ = 3 log(๐ฅ + 2). Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Grafik logaritma monoton naik, berarti ๐ > 1. Dan ternyata tepat, nilai ๐ lebih dari 1. Coba perhatikan jawaban pada soal, semua menggunakan bilangan pokok 3. Artinya semuanya 3 log(๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ก๐ข) Nah, sekarang ingat grafik dari ๐ฆ = 3 log ๐ฅ adalah sebagai berikut:
Jadi, grafik pada soal di atas adalah hasil pergeseran dari grafik ๐ฆ = 3 log ๐ฅ ke kiri sejauh 2 satuan di sumbu X, artinya variabel ๐ฅ harus ditambah 2.
Jadi, persamaan grafik pada soal adalah ๐ฆ = 3 log(๐ฅ + 2). Selesai!!
Penyelesaian LOGIKA PRAKTIS:
Grafik melewati titik (1, 1), cek ๐(1) = 1 pada semua opsi jawaban:
A. ๐(๐ฅ) = 3 log 2๐ฅ โ ๐(1) = 3 log 2 โ 1 B. ๐(๐ฅ) = 3 log(๐ฅ โ 2) โ ๐(1) =3 log(โ1) โ 1 C. ๐(๐ฅ) = 3 log(๐ฅ + 2) โ ๐(1) =3 log 3 = 1 (Jadi inilah jawaban yang benar!) D. ๐(๐ฅ) = 3 log ๐ฅ โ 2 โ ๐(1) =3 log 1 โ 2 โ 1 E. ๐(๐ฅ) = 3 log ๐ฅ + 2 โ ๐(1) =3 log 1 + 2 โ 1
(โ1, 0) 1
1 7
2
X O
1
3 9
2
X
Y
O 1
Y
๐ฆ = 3 log ๐ฅ
Halaman 122 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah ....
A. 12)( xxf
B. 12)( xxf
C. xxf log)( 2
D. )1log()( 2 xxf
E. 22)( xxf
2. Perhatikan gambar grafik fungsi eksponen berikut ini. Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah ....
A. xxf 3)(
B. 13)( xxf
C. 13)( xxf
D. 13)( xxf
E. 13)( xxf
3. Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah ....
A. xxf 2)(
B. 12)( xxf
C. 223)( xxf
D. 13)( xxf
E. 23)( xxf
4. Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah ....
A. xxf 2)(
B. 12)( xxf
C. 12)( xxf
D. 13)( xxf
E. xxf 3)(
Jika adik-adik butuh โbocoranโ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.
TRIK SUPERKILAT: Grafik tersebut adalah grafik eksponen yang didapatkan dari hasil pergeseran pada sumbu Y untuk grafik ๐ฆ = 2๐ฅ Jadi grafik tersebut adalah ๐ฆ =2๐ฅ โ 1
TRIK SUPERKILAT: Grafik tersebut adalah grafik eksponen yang didapatkan dari hasil pergeseran pada sumbu Y untuk grafik ๐ฆ = 3๐ฅ Jadi grafik tersebut adalah ๐ฆ = 3๐ฅ + 1
TRIK SUPERKILAT: Grafik tersebut adalah grafik eksponen yang didapatkan dari hasil pergeseran pada sumbu X untuk grafik ๐ฆ = 3๐ฅ Jadi grafik tersebut adalah ๐ฆ = 3๐ฅโ2
TRIK SUPERKILAT: Grafik tersebut adalah grafik eksponen yang didapatkan dari hasil pergeseran pada sumbu Y untuk grafik ๐ฆ = 2๐ฅ Jadi grafik tersebut adalah ๐ฆ = 2๐ฅ + 1
Y
X -1 0 1 2 3
3
2
1
(0, 2)
(1, 3)
y
Y
xX 2 3
3
1
Y
X -3 -2 -1 0 1 2 3
4
2
10
Y
X 1 2 3
3
2
1
-3
-2
-1
(2, 3)
(1, 1)
(-1, -2
1)
2
1
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 123
2. 16. Menyelesaikan masalah deret aritmetika.
Deret Aritmetika
Barisan Bilangan Deret Bilangan ๐1, ๐2, ๐3, โฆ , ๐๐ ๐๐ = ๐1 + ๐2 + ๐3 + โฆ + ๐๐
Barisan Aritmetika Deret Aritmetika
๐๐ = ๐ + (๐ โ 1)๐ ๐๐ =๐2
(2๐ + (๐ โ 1)๐)
=๐2
(๐ + ๐๐)
Hubungan ๐๐ dan ๐๐ ๐๐ = ๐๐ โ ๐๐โ1 Keterangan:
๐๐ = suku ke-๐๐๐ = jumlah ๐ suku pertama๐ = suku pertama๐ = beda๐ = banyaknya suku
Halaman 124 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Hubungan antara ๐ผ๐ dan ๐บ๐, maupun beda suku barisan. Suku depan ๐๐ diintegralkan, jumlah koefisien ๐๐ dan ๐๐ harus sama.
๐ผ๐ ๐บ๐ Suku depan ๐๐ diturunkan, jumlah koefisien ๐๐ dan ๐๐ harus sama.
Koefisien Koefisien suku depan suku depan ambil aja dikali dua
beda beda Untuk meringkas pengerjaan soal UN Matematika SMA dalam topik materi barisan dan deret aritmetika ini, maka perlu kita coba buktikan dulu TRIK SUPERKILAT yang akan kita gunakan. TRIK SUPERKILAT yang akan kita gunakan adalah sebuah penyederhanaan langkah dari penjabaran terhadap hubungan antara dua hal, yaitu ๐๐ (suku ke-๐), dan ๐๐ (jumlah n suku pertama). Dari definisi barisan aritmetika dan deret aritmetika diperoleh:
๐๐ = ๐ + (๐ โ 1)๐ = ๐ + ๐๐ โ ๐= ๐๐ + (๐ โ ๐)
dan
๐๐ =๐
2(2๐ + (๐ โ 1)๐)
=๐
2(2๐ + ๐๐ โ ๐)
=๐
2๐2 +
(2๐โ๐)
2๐
Kesimpulan! Dari konsep ๐๐ = ๐ + (๐ โ 1)๐ akan menghasilkan sebuah formula dengan bentuk ๐๐ = ๐๐ + (๐ โ ๐) Lho ini kan integral!!! Berarti ini turunan!!
Dari konsep ๐๐ =๐
2(2๐ + (๐ โ 1)๐) akan menghasilkan sebuah formula berbentuk ๐๐ =
๐
๐๐๐ +
(2๐โ๐)
2๐
Untuk suku pertama berlaku ๐1 = ๐1 โ ๐ + (๐ โ ๐) =๐
2+
(2๐โ๐)
2.
Jadi, pada suku pertama dan jumlah suku pertama itu nilainya pasti sama, sehingga hal tersebut juga membuktikan bahwa jumlah koefisien baik ๐ผ๐ maupun ๐บ๐ adalah sama. Beda barisan aritmetika adalah koefisien suku depan dari ๐ผ๐ Dari konsep ๐๐ = ๐ + (๐ โ 1)๐ akan menghasilkan sebuah formula dengan bentuk ๐๐ = ๐๐ + (๐ โ ๐) Berarti beda barisan aritmetika adalah koefisien suku depan ๐บ๐ dikalikan 2.
Dari konsep ๐๐ =๐
2(2๐ + (๐ โ 1)๐) akan menghasilkan sebuah formula berbentuk ๐๐ =
๐
๐๐2 +
(2๐โ๐)
2๐
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 125
Logika Praktis pada Tipe Soal yang Sering Muncul
Menentukan ๐บ๐ jika diketahui ๐ผ๐:
Jumlah ๐ suku pertama jika diketahui ๐๐ = 2๐ + 1 adalah โฆ. Langkah logika praktis: ๐2 diperoleh dari integral 2๐. Perhatikan ๐๐ jumlah koefisiennya adalah 2 + 1 = 3, sementara ๐๐ = ๐2 + sesuatu. Karena jumlah koefisien ๐๐ dan ๐๐ harus sama, maka jelas sesuatunya adalah 2. Jadi ๐๐ = ๐2 + 2. SELESAI.
Menentukan ๐ผ๐ jika diketahui ๐บ๐:
Rumus suku ke-๐ jika diketahui ๐๐ = 3๐2 + 5 adalah โฆ. Langkah logika praktis: 6๐ diperoleh dari turunan 3๐2. Perhatikan ๐๐ jumlah koefisiennya adalah 3 + 5 = 8, sementara ๐๐ = 6๐ + sesuatu. Karena jumlah koefisien ๐๐ dan ๐๐ harus sama, maka jelas sesuatunya adalah 2. Jadi ๐๐ = ๐2 + 2. SELESAI.
Menentukan beda jika diketahui ๐ผ๐:
Jika diketahui ๐๐ = 2๐ โ 5, beda barisan aritmetika tersebut adalah โฆ. Langkah logika praktis: Beda barisan aritmetika diperoleh dari koefisien depan (variabel ๐ pangkat terbesar), yaitu2. Koefisien tersebut ambil aja. Sehingga beda barisan aritmetika adalah 3. SELESAI.
Menentukan beda jika diketahui ๐บ๐:
Jika diketahui ๐๐ = 3๐2 + 5, beda barisan aritmetika tersebut adalah โฆ Langkah logika praktis: Beda barisan aritmetika diperoleh dari koefisien depan (variabel ๐ pangkat terbesar), yaitu 3. Koefisien tersebut kalikan dua. Sehingga beda barisan aritmetika adalah 3 ร 2 = 6. SELESAI.
Halaman 126 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Beda Barisan Aritmetika Jika diketahui dua suku pada barisan aritmetika, maka beda dari barisan aritmetika tersebut bisa ditentukan dengan:
๐ =๐๐ โ ๐๐
๐ โ ๐
Bukti:
๐๐ = ๐ + (๐ โ ๐)๐ โฆโฆโฆโฆ..(1)
๐๐ = ๐ + (๐ โ ๐)๐ โฆโฆโฆโฆ..(2)
Dengan mengeliminasi ๐ pada persamaan (1) dan (2) akan diperoleh: ๐๐ = ๐ + (๐ โ ๐)๐ โ ๐๐ = ๐ + ๐๐ โ ๐๐
๐๐ = ๐ + (๐ โ ๐)๐ โ ๐๐ = ๐ + ๐๐ โ ๐๐
๐๐ โ ๐๐ = (๐ โ ๐)๐ โ ๐ =๐๐ โ ๐๐
๐ โ ๐
Menentukan beda jika diketahui dua suku dari barisan aritmetika:
Jika diketahui ๐7 = 19 dan ๐10 = 28, beda barisan aritmetika tersebut adalah ๐ =28โ19
10โ7=
9
3= 3.
Langkah logika praktis: Beda adalah suku besar kurangi suku kecil, lalu hasilnya dibagi dengan selisih indeks suku besar dikurangi indeks suku kecil. Atau Selisih suku dibagi selisih indeks suku. SELESAI.
Menentukan suku ke-๐ง jika diketahui dua suku dari barisan aritmetika:
Jika diketahui ๐3 = 24 dan ๐8 = 54, tentukan suku ke-15 dari barisan tersebut! Langkah logika praktis: Suku ke 15 adalah suku ke-8 ditambah 7 beda lagi. Jadi, ๐15 = ๐8 + 7๐
= 54 + 7 (54โ24
8โ3)
= 54 + 7(6)= 54 + 42= 96
SELESAI.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 127
Menentukan suku ke-๐ง jika diketahui dua suku dari barisan aritmetika dan selisih indeksnya sama:
Jika diketahui ๐3 = 24 dan ๐8 = 54, tentukan suku ke-13 dari barisan tersebut! Langkah logika praktis: Perhatikan, suku-suku pada soal, suku ke-3, suku ke-8 dan suku ke-13. Bukankah indeks suku barisan tersebut selisihnya sama? 13 โ 8 = 8 โ 3, yaitu sama-sama berselisih 5. Ingat kalau selisih indeks suku barisan tersebut sama maka selisihnya suku tersebut juga sama! Suku ke 13 adalah suku ke-8 ditambah selisih suku ke-8 dan suku ke-3. Jadi, ๐15 = ๐8 + ๐8 โ ๐3
= 54 + (54 โ 24)= 54 + 30= 84
Atau 24 ke 54 itu ditambah 30, maka 54 ditambah 30 lagi sama dengan 84. SELESAI.
Menentukan suku ke-๐ง jika diketahui dua suku dari barisan aritmetika dan selisih indeksnya berkelipatan.
Jika diketahui ๐2 = 15 dan ๐5 = 45, tentukan suku ke-14 dari barisan tersebut! Langkah logika praktis: Perhatikan, suku-suku pada soal, suku ke-2, suku ke-5 dan suku ke-14. Bukankah indeks suku barisan tersebut berkelipatan? Selisih dari 14 โ 5 adalah 9, sementara itu selisih 5 โ 2 adalah 3. Jadi 9 dibagi 3 itu adalah 3. Ingat kalau selisih indeks suku barisan tersebut 3 kali lebih besar maka selisihnya suku tersebut juga 3 kali lebih besar! Suku ke 14 adalah suku ke-5 ditambah tiga kali selisih suku ke-5 dan suku ke-2. Jadi, ๐14 = ๐5 + 3 (๐5 โ ๐2)
= 45 + 3(45 โ 15)= 45 + 90= 135
SELESAI.
Menyimpulkan makna dari jumlah beberapa suku.
Jika diketahui ๐1 + ๐5 + ๐6 = 45, tentukan suku ke-4 dari barisan tersebut! Langkah logika praktis: Perhatikan, ada tiga suku. Suku-suku pada soal adalah suku ke-1, suku ke-5 dan suku ke-6. Bukankah indeks suku barisan tersebut bisa dibagi tiga? Kenapa dibagi tiga? Ya sebanyak jumlah suku tadi! 1 + 5 + 6
3= 4
Ya udah berarti suku ke empat adalah rata-rata dari jumlah ketiga suku tersebut.
Jadi, ๐4 =(๐1+๐5+๐6)
3
=45
3
= 15
SELESAI.
Halaman 128 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan Sn = 2n2 + 4n. Suku ke-9 dari deret
aritmetika tersebut adalah ....
A. 30
B. 34
C. 38
D. 42
E. 46
2. Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan .32 nnSn Suku ke-20 deret aritmetika
tersebut adalah ....
A. 30
B. 34
C. 38
D. 42
E. 46
3. Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan .2
3
2
5 2 nnSn Suku ke-10 dari deret
aritmetika tersebut adalah ....
A. 49
B. 472
1
C. 35
D. 332
1
E. 29
4. Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan .52 nnSn Suku ke-20 dari deret
aritmetika tersebut adalah ....
A. 44
B. 44
C. 40
D. 38
E. 36
5. Keuntungan seorang pedagang bertambah setiap bulan dengan jumlah yang sama. Jika keuntungan pada
bulan pertama sebesar Rp46.000,00 dan pertambahan keuntungan setiap bulan Rp18.000,00 maka jumlah
keuntungan sampai bulan ke-12 adalah ....
A. Rp1.740.000,00
B. Rp1.750.000,00
C. Rp1.840.000,00
D. Rp1.950.000,00
E. Rp2.000.000,00
TRIK SUPERKILAT 1: ๐9 = ๐9 โ ๐8
= 2(92 โ 82) + 4(9 โ 8) = 2(17) + 4 = 38
๐ = ๐ ๐46.000,00๐ = ๐ ๐18.000,00๐12 = ?
๐๐ =๐
2(2๐ + (๐ โ 1)๐)
๐12 =12
2(2(46) + (11)18) dalam ribuan rupiah
= 6(92 + 198)
= 6(290)= 1.740
TRIK SUPERKILAT 1: ๐20 = ๐20 โ ๐19
= (202 โ 192) + 3(20 โ 19) = 39 + 3 = 42
TRIK SUPERKILAT 1: ๐10 = ๐10 โ ๐9
=5
2(102 โ 92) +
3
2(10 โ 9)
=95
2+
3
2
= 49
TRIK SUPERKILAT 1: ๐20 = ๐20 โ ๐19
= (202 โ 192) + 5(20 โ 19) = 39 + 5 = 44
TRIK SUPERKILAT 2: ๐๐ = 2๐2 + 4๐ โ ๐๐ = 4๐ + 2 ๐9 = 4๐ + 2
= 4(9) + 2 = 36 + 2 = 38
TRIK SUPERKILAT 2: ๐๐ = ๐2 + 3๐ โ ๐๐ = 2๐ + 2 ๐9 = 2๐ + 2
= 2(20) + 2 = 40 + 2 = 42
TRIK SUPERKILAT 2:
๐๐ =5
2๐2 +
3
2๐ โ ๐๐ = 5๐ โ 1
๐9 = 5๐ โ 1 = 5(10) โ 1 = 50 โ 1 = 49
TRIK SUPERKILAT 2: ๐๐ = ๐2 + 5๐ โ ๐๐ = 2๐ + 4 ๐9 = 2๐ + 4
= 2(20) + 4 = 40 + 4 = 44
TRIK SUPERKILAT: ๐๐ = 18.000๐ + 28.000 โ ๐๐ = 9.000๐2 + 37.000๐ ๐12 = 9.000(12)2 + 37.000(12)
= 9.000(144) + 444.000 = 1.296.000 + 444.000 = 1.740.000
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 129
6. Harminingsih bekerja di perusahaan dengan kontrak selama 10 tahun dengan gaji awal Rp.1.600.000,00.
Setiap tahun Harminingsih mendapat kenaikan gaji berkala sebesar Rp200.000,00. Total seluruh gaji yang
diterima Harminingsih hingga menyelesaikan kontrak kerja adalah ....
A. Rp25.800.000,00
B. Rp25.200.000,00
C. Rp25.000.000,00
D. Rp18.800.000,00
E. Rp18.000.000,00
7. Sebuah pabrik memproduksi barang jenis A pada tahun pertama sebesar 1.960 unit. Tiap tahun produksi
turun sebesar 120 unit sampai tahun ke-16. Total seluruh produksi yang dicapai sampai tahun ke-16
adalah ....
A. 45.760
B. 45.000
C. 16.960
D. 16.000
E. 19.760
Jika adik-adik butuh โbocoranโ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.
๐ = ๐ ๐1.600.000,00๐ = ๐ ๐200.000,00๐10 = ?
๐๐ =๐
2(2๐ + (๐ โ 1)๐)
๐10 =10
2(2(1.600) + (9)200) dalam ribuan rupiah
= 5(3.200 + 1.800)
= 5(5.000)= Rp25.000
๐ = 1.960๐ = โ120๐16 = ?
๐๐ =๐
2(2๐ + (๐ โ 1)๐)
๐16 =16
2(2(1.960) + (15)(โ120))
= 8(3.920 โ 1.800)
= 8(2.120)= 16.960
Halaman 130 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
2. 17. Menyelesaikan masalah deret geometri.
Deret Geometri
Barisan Bilangan Deret Bilangan ๐1, ๐2, ๐3, โฆ , ๐๐ ๐๐ = ๐1 + ๐2 + ๐3 + โฆ + ๐๐
Barisan Geometri Deret Geometri
๐๐ = ๐๐๐โ1 ๐๐ =๐(๐๐โ1)
๐โ1, |๐| > 1
๐๐ =๐(1โ๐๐)
1โ๐, |๐| < 1
Deret Geometri Tak Hingga
๐โ =๐
๐โ1
Hubungan ๐๐ dan ๐๐ ๐๐ = ๐๐ โ ๐๐โ1 Keterangan:
๐๐ = suku ke-๐๐๐ = jumlah ๐ suku pertama๐โ = jumlah deret geometri tak hingga๐ = suku pertama๐ = rasio๐ = banyaknya suku
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 131
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Rasio Barisan Geometri Jika diketahui dua suku pada barisan geometri, maka rasio dari barisan geometri tersebut bisa ditentukan dengan:
๐ = โ๐๐
๐๐
๐โ๐
Bukti:
๐๐ = ๐๐๐โ๐ โฆโฆโฆโฆ..(1)
๐๐ = ๐๐๐โ๐ โฆโฆโฆโฆ..(2)
Dengan membagi pada persamaan (1) dan (2) akan diperoleh: ๐๐
๐๐=
๐๐๐โ๐
๐๐๐โ๐โ
๐๐
๐๐= ๐(๐โ๐)โ(๐โ๐)
โ๐๐
๐๐= ๐โ(๐โ๐)
โ๐๐
๐๐= ๐๐โ๐
โ ๐ = โ๐๐
๐๐
๐โ๐
Jika jarak antar dua suku barisan geometri itu sama, maka rasio antar dua suku barisan tersebut juga sama. Jika jarak indeks antar dua suku barisan sama,
๐ผ๐ ๐ผ๐ ๐ผ๐
Maka rasio antar dua suku suku barisan juga sama. Bukti: Dari rumus suku ke-n ๐๐ = ๐๐๐โ1 diperoleh: ๐2 = ๐๐ ๐5 = ๐๐4 ๐8 = ๐๐7
Rasio ๐5 dan ๐2 adalah ๐5
๐2=
๐๐4
๐๐= ๐3
Rasio ๐8 dan ๐5 adalah ๐8
๐5=
๐๐7
๐๐4 = ๐3
Terbukti bahwa jika selisih indeks antar dua suku sama, maka rasio antar dua suku tersebut juga sama.
Halaman 132 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Logika Praktis pada Tipe Soal yang Sering Muncul
Menentukan rasio jika diketahui dua suku dari barisan geometri:
Jika diketahui ๐3 = 16 dan ๐7 = 256, rasio barisan geometri tersebut adalah โฆ. Langkah logika praktis:
๐ = โ๐7
๐3
7โ3
= โ256
16
4
= โ164
= 2
Rasio adalah hasil pembagian suku besar dengan suku kecil, lalu hasilnya diakar pangkat selisih indeks suku besar dikurangi indeks suku kecil. Atau Pembagian suku diakar pangkat selisih indeks suku. SELESAI.
Menentukan suku ke-๐ง jika diketahui dua suku dari barisan geometri:
Jika diketahui ๐3 = 16 dan ๐7 = 256, tentukan suku ke-9 dari barisan tersebut! Langkah logika praktis: Suku ke 9 adalah suku ke-7 dikalikan rasio pangkat 2.
๐ = โ๐7
๐3
7โ3
= โ256
16
4
= โ164
= 2
Jadi, ๐9 = ๐7 ร ๐2
= 256 ร 22
= 256 ร 4= 1024
SELESAI.
Menentukan suku ke-๐ง jika diketahui dua suku dari barisan geometri dan selisih indeksnya sama:
Jika diketahui ๐2 = 6 dan ๐4 = 24, tentukan suku ke-6 dari barisan tersebut! Langkah logika praktis: Perhatikan, suku-suku pada soal, suku ke-2, suku ke-4 dan suku ke-6. Bukankah indeks suku barisan tersebut selisihnya sama? 6 โ 4 = 4 โ 2, yaitu sama-sama berselisih 2. Ingat kalau selisih indeks suku barisan tersebut sama maka rasio suku tersebut juga sama! Suku ke 4 adalah suku ke-2 ditambah rasio suku ke-4 dan suku ke-2.
Jadi, ๐6 = ๐4 ร๐4
๐2
= 24 ร24
6
= 96
Atau 6 ke 24 itu dikali 4, maka 24 dikali 4 lagi sama dengan 96. SELESAI.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 133
Menentukan suku ke-๐ง jika diketahui dua suku dari barisan geometri dan selisih indeksnya berkelipatan.
Jika diketahui ๐2 = 4 dan ๐5 = 12, tentukan suku ke-11 dari barisan tersebut! Langkah logika praktis: Perhatikan, suku-suku pada soal, suku ke-2, suku ke-5 dan suku ke-11. Bukankah indeks suku barisan tersebut berkelipatan? Selisih dari 11 โ 5 adalah 6, sementara itu selisih 5 โ 2 adalah 3. Ingat kalau selisih indeks suku barisan tersebut 2 kali lebih besar maka rasio suku tersebut adalah pangkat 2 lebih besar! Suku ke 14 adalah suku ke-5 dikali pangkat tiga dari rasio suku ke-5 dan suku ke-2.
Jadi, ๐14 = ๐5 ร (๐5
๐2)
2
= 45 ร 3 (12
4)
2
= 45 ร 3(3)2
= 45 ร 27= 1215
SELESAI.
Halaman 134 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT deret geometri tak hingga
Apabila yang ditanyakan adalah lintasan bola yang jatuh dengan rasio pemantulan ๐
๐ maka lintasan yang
ditempuh bola sampai berhenti adalah sebagai berikut:
๐โ = ๐ (๐ + ๐
๐ โ ๐)
Bukti: Perhatikan gambar lintasan bola berikut:
dst โฆ
Mari kita ringkas rumus deret geometri tak hingga berikut: Untuk lintasan bola ke bawah dimulai dengan ๐, sedang untuk lintasan ke atas dimulai oleh ๐๐, sehingga diperoleh rumus panjang seluruh lintasan bola:
๐โ =๐
1 โ ๐+
๐๐
1 โ ๐=
๐(1 + ๐)
1 โ ๐
Misal ๐ =๐
๐, maka diperoleh:
๐โ =๐ (1 +
๐๐
)
1 โ๐๐
=๐ (
๐ + ๐๐
)
๐ โ ๐๐
= ๐ (๐ + ๐
๐) (
๐
๐ โ ๐) = ๐ (
๐ + ๐
๐ โ ๐)
Jadi, ๐โ = ๐(๐ + ๐)
(๐ โ ๐)
Logika Praktis pada Tipe Soal yang Sering Muncul
Aplikasi jumlah deret geometri tak hingga.
Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2
3 dari ketinggian
sebelumnya. Maka panjang lintasan yang dilalui bola sampai berhenti adalah โฆ. Langkah logika praktis:
Misal ๐ =๐
๐=
2
3, maka ๐ = 2 dan ๐ = 3;
Ketinggian awal bola, ๐ = 10 m.
Jadi, ๐โ = ๐(๐ + ๐)
(๐ โ ๐)
= 10(3 + 2)
(3 โ 2)= 10 โ 5= 50 m
SELESAI.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 135
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Barisan geometri dengan suku ke-5 adalah 3
1 dan rasio
3
1 , maka suku ke-9 barisan geometri tersebut
adalah ....
A. 27
B. 9
C. 27
1
D. 81
1
E. 243
1
2. Barisan geometri dengan 384U7 dan rasio = 2. Suku ke-10 barisan tersebut adalah ....
A. 1.920
B. 3.072
C. 4.052
D. 4.608
E. 6.144
3. Suku ke-tiga dan suku ke-tujuh suatu deret geometri berturut-turut 16 dan 256. Jumlah tujuh suku pertama
deret tersebut adalah ....
A. 500
B. 504
C. 508
D. 512
E. 516
Jika adik-adik butuh โbocoranโ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.
๐5 =1
3= ๐๐4
๐ =1
3๐9 = ?
๐9 = ๐๐8 = (๐๐4)๐4 = (1
3) (
1
3)
4
=1
35=
1
243
๐3 = 16 = ๐๐2
๐7 = 256 = ๐๐6
๐7 = ?
๐7
๐3
=256
16โ
๐๐6
๐๐2= 16 โ ๐4 = 16 โ ๐ = 2
๐3 = 16 โ ๐๐2 = 16 โ 4๐ = 16 โ ๐ = 4
๐7 =๐(๐7 โ 1)
๐ โ 1
=4(128 โ 1)
2 โ 1= 4(127)= 508
๐7 = ๐๐6 = 384๐ = 2๐10 = ?
๐10 = ๐๐9 = (๐๐6)๐3 = 384(2)3 = 384 โ 8 = 3.072
Halaman 136 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
SKL 3. Memahami sifat atau geometri dalam menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang, jarak dan sudut.
3. 1. Menghitung jarak dan sudut antara dua objek (titik, garis dan bidang) di ruang.
Dimensi Tiga
Garis Tegak Lurus Bidang
jika garis tersebut โฅ setiap garis pada bidang โminimal dua garis sajaโ
Jarak Sudut
Titik dan โSesuatuโ Selain Titik dan โSesuatuโ Syarat keduanya harus sejajar
Jarak Titik dan Titik Jarak Garis dan Garis Sudut Garis dan Garis โberupa garis lurusโ โharus tegak lurusโ โsudut terkecilโ
Jarak Titik dan Garis Jarak Garis dan Bidang Sudut Garis dan Bidang โharus tegak lurusโ โharus tegak lurusโ โsudut garis dengan proyeksinyaโ
Jarak Titik dan Bidang Jarak Bidang dan Bidang Sudut Bidang dan Bidang โharus tegak lurusโ โharus tegak lurusโ โsudut dua garis โฅ garis potongโ
๐ฝ
๐ฝ
๐ฝ
๐ถ ๐ถ
๐ถ
๐ท ๐ท
๐ถ
๐ถ ๐ถ
๐ถ
๐ถ
๐ถ
๐ท
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 137
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Dimensi Tiga
Pada kubus ABCD.EFGH berlaku: Misal sisi kubus adalah ๐ cm, Akan diperoleh diagonal-diagonal kubus sebagai berikut:
Diagonal sisi kubus ๐จ๐ช = ๐โ๐ cm.
Diagonal ruang kubus adalah ๐ฌ๐ช = ๐โ๐ cm. Misal titik potong diagonal sisi alas adalah O dan titik potong diagonal sisi atas adalah P, maka akan diperoleh panjang ruas garis berikut:
Ruas garis ๐ถ๐ฎ = ๐จ๐ท =๐
๐โ๐ cm.
Serta akan diperoleh ๐ธ๐ถ โฅ ๐๐บ dan ๐๐บ โฅ ๐ด๐. Perhatikan penampang bidang diagonal ACGE, nah kita bisa mengamati pada diagonal ruang EC, terbagi menjadi tiga bagian yang sama panjang yaitu:
๐ฌ๐ธ = ๐ธ๐น = ๐น๐ช =๐
๐๐ฌ๐ช =
๐
๐๐โ๐ cm.
Oke, untuk menghindari hanya sekadar menghafal pola dari ruas garis istimewa pada kubus seperti garis diagonal, garis yang menghubungkan titik potong diagonal sisi dengan titik sudut sisi di depannya, dan pola dari garis diagonal ruang yang terbagi adil tiga bagian, maka Pak Anang tidak menyarankan untuk menghafalnya. Yah syukur-syukur kalau bisa hafal karena terbiasa mengerjakan, itu lebih baik. Namun, alangkah lebih bijak bila adik-adik mampu menguasai teorema Pythagoras plus tripel Pythagorasnya. Masih ingat pembahasan SMART SOLUTION tripel Pythagoras pada bab Vektor? Di halaman selanjutkan akan dibahas tentang TRIPEL PYTHAGORAS!
A B
C D
E F
G H
O
P
A B
C D
E F
G H
O
P
A C
G E
O
P
Q
R
Q
R
Halaman 138 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
LOGIKA PRAKTIS Tripel Pythagoras:
Masih ingat tripel Pythagoras? Asyikโฆ.! Pola tripel Pythagoras ini penting bila adik-adik ingin cepat menyelesaikan konsep Pythagoras pada segitiga siku-siku, tanpa harus memakan banyak waktu. Gunakan logika praktis dari pengembangan konsep dasar yang telah adik-adik dapatkan di sekolah. Oke kita mulai trik menghafalnya duluโฆ.
Pada gambar di samping, adik-adik tentu sudah hafal konsep Pythagoras berikut: ๐2 = ๐2 + ๐2, dengan catatan pada gambar tersebut sisi ๐ adalah sisi terpendek! Seumpama diubah menjadi ๐2 = ๐2 โ ๐2, โkan ya nggak papa to ya? Heheโฆ Sama aja! Perhatikan: ๐2 = ๐2 โ ๐2
โ ๐2 = (๐ + ๐) (๐ โ ๐)โ carilahbilanganyang
selisihnyasatu
Jadi disini kita mencari dua bilangan ๐, ๐ yang selisihnya satu dan jumlah kedua bilangan harus sama dengan kuadrat sisi terpendek! Ini hanya berlaku untuk sisi terpendek ganjil, yaitu 3, 5, 7, 9, dst.
Trik Cepat Hitung Tripel Pythagoras
Tripel Pythagoras yang sering muncul
3 4 5
5 12 13
7 24 25
9 40 41
8 15 17
Pola dasar tripel Pythagoras tersebut juga berlaku untuk kelipatannya.
Contoh:
Maka, untuk menentukan sisi miring, cari FPB dari 10 dan 24 yaitu 2.
Coret semua sisi dengan dibagi 2. Maka akan ditemukan pola dasar dari
tripel Pythagoras yaitu 5, 12, 13.
Jadi, sisi miringnya adalah 2 ร 13 = 26 cm.
Selesai!
Cara cepat menghafal bilangan tripel Pythagoras Khusus bilangan ganjil seperti 3, 5, 7, 9, dstโฆ maka tripel Pythagorasnya adalah bilangan tersebut dengan dua bilangan lain yang selisihnya satu dan jumlahnya adalah kuadrat bilangan ganjil tersebut!
Contoh: 32 = 9 maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 9 adalah 4 dan 5. Sehingga tripel Pythagoras yang dimulai oleh angka 3 adalah 3, 4, 5.
52 = 25 maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 25 adalah 12 dan 13, sudah pasti tripel Pythagorasnya 5, 12, 13
3
4
5 5
12
13
๐
๐
๐
10
24
๐ฅ 5
12
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 139
LOGIKA PRAKTIS Tripel Pythagoras Bentuk Akar: Kalau sebelumnya adalah tripel Pythagoras bentuk biasa, sekarang bagaimana tripel Pythagoras bentuk akar? Sebenarnya prinsip dasar teorema Pythagoras bisa dengan mudah menyelesaikan masalah ini. Namun, apabila mau sedikit kreatif mengembangkan imajinasi, maka ada jalan lain yang lebih menyenangkan. Apa sih Tripel Pythagoras bentuk akar itu????? Lihat konsepnya pada gambar di bawah:
Misal sisi tegak lurus sebuah segitiga siku-siku adalah ๐โ๐ dan ๐โ๐, dan misal sisi miring segitiga siku-siku adalah ๐ฅ, maka nilai ๐ฅ bisa ditentukan oleh:
๐ฅ2 = (๐โ๐)2+ (๐โ๐)
2
โ ๐ฅ = โ๐2๐ + ๐2๐
โ ๐ฅ = โ๐2(๐ + ๐)
โ ๐ฅ = โ๐2โ๐ + ๐
โ ๐ฅ = ๐โ๐ + ๐
Jadi jelas bahwa pola bilangan tripel Pythagoras seperti ini:
Tripel Pythagoras bentuk akar
๐ โ๐ ๐ โ๐ ๐ โ๐ + ๐
Contoh:
Penerapan Tripel Pythagoras bentuk akar pada Dimensi Tiga Masih ingat ruas garis AP dan OG pada kubus tadi? Nih gambarnya lihat di bawah:
Perhatikan โ๐ด๐ธ๐, ๐ด๐ธ = ๐ cm dan ๐ธ๐ =1
2๐โ2 cm, maka:
๐ด๐ธ = ๐ cm =1
2๐โ4 cm.
๐ธ๐ =1
2๐โ2 cm
Jelas bahwa panjang
๐ด๐ =1
2๐โ6 cm.
๐ โ๐
๐ โ๐
๐ โ๐ + ๐
bilangannya harus sama, kalau nggak sama cari FPBnya
jumlahkan saja bilangan di dalam akar
๐ โ๐
๐ โ๐
๐ฅ
4โ4
4โ9
4โ13 8
12
Cari FPB dari 12 dan 8. FPBnya adalah 4. Berarti jadikan bilangan pokoknya menjadi 4.
Artinya 12 = 4โ9 dan 8 = 4โ4,
Jadi sisi miring dari segitiga tersebut adalah 4โ9 + 4 = 4โ13
A B
D
E F
G H
O
P
C
1
2๐โ4
1
2๐โ2
E
A
P
Halaman 140 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
KESIMPULAN TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Dimensi Tiga:
Pada soal UN mengenai dimensi tiga, untuk mencari jarak, hal pertama yang harus dilakukan adalah membuat garis bantu sehingga bisa diperoleh sebuah segitiga. Dan kebanyakan bisa diselesaikan dengan menerapkan konsep tripel Pythagoras dan konsep Kesebangunan kelas IX SMP.
Sedangkan untuk mencari sudut, hal pertama yang harus dilakukan adalah mencari titik perpotongan antara kedua objek lalu membuat garis bantu sehingga bisa diperoleh sebuah segitiga. Dan kebanyakan bisa diselesaikan dengan menerapkan konsep tripel Pythagoras, Aturan Sinus dan Kosinus dan konsep Kesebangunan kelas IX SMP.
Trik Superkilat yang lainnya masih akan dipublish nantiโฆ. :) Terus kunjungi http://pak-anang.blogspot.com โฆ..
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 141
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 12 cm. Jika P titik tengah CG, maka jarak titik P
dengan garis HB adalah ....
A. 8 5 cm
B. 6 5 cm
C. 6 3 cm
D. 6 2 cm
E. 6 cm
2. Pada kubus ABCD.EFGH, panjang rusuk 8 cm. Jarak titik E dengan bidang BGD adalah ....
A. 33
1 cm
B. 33
2 cm
C. 33
4 cm
D. 33
8 cm
E. 33
16 cm
A B
E F
H G
B
D C
P
12 cm
12 cm
C
P
B 12 cm
6 cm
PB = โBC2 + PC2
= โ122 + 62
= โ144 + 36
= โ180
= 6โ5 cm
BP dan PH sama panjang, karena BP dan PH adalah garis miring dari segitiga siku-siku dengan sisi 12 cm dan 6 cm.
BP dan PH siku-siku karena BP dan PH berada pada dua sisi yang saling tegak lurus (BCGF dan EFGH).
BH adalah diagonal ruang, BH = 12โ3 cm.
Segitiga BPH adalah segitiga sama kaki. Sehingga proyeksi P (titik Pโฒ) tepat berada di tengah-tengah BH. Jadi panjang
BPโฒ = PH = 6โ3 cm.
Jarak titik P ke garis HB adalah panjang PPโฒ.
P B
6โ5 cm
6โ5 cm
Pโฒ
Pโฒ
PPโฒ = โBP2 โ BPโฒ2
= โ(6โ5)2โ (6โ3)
2
= โ180 โ 108
= โ72
= 6โ2 cm
A B
E F
H G
B
D C
8 cm
8 cm
A P
E
4โ2 cm
8 cm
EP = โEA2 + AP2
= โ82 + (4โ2)2
= โ64 + 32
= โ96
= โ16โ6
= 4โ6 cm
Jarak titik ke bidang adalah jarak titik ke proyeksi titik pada bidang.
Buat bidang yang melewati E dan tegak lurus bidang BDG, bidang tersebut adalah bidang diagonal ACGE.
Cari proyeksi titik E pada garis potong kedua bidang (GP) dengan membuat garis yang melewati E dan tegak lurus bidang BDG.
Proyeksi titik E pada bidang BDG adalah Eโฒ.
Sehingga jarak titik E ke bidang BDG adalah jarak E ke Eโ.
Perhatikan segitiga EGP, segitiga tersebut segitiga samakaki, karena
EP = GP = 4โ6 cm. Sedangkan EG adalah diagonal sisi, EG = 8โ2 cm.
Eโฒ
P
A C
G E
P
Eโฒ
Perhatikan sudut EGP
sinโ ๐ธ๐บ๐ =๐ธ๐ธโฒ
๐ธ๐บ=๐๐โฒ
๐บ๐
โ ๐ธ๐ธโฒ =๐๐โฒ
๐บ๐โ ๐ธ๐บ
=8
4โ6ร 8โ2
=16
3โ3 cm
Pโฒ
TRIK SUPERKILAT: Perhatikan bidang diagonal ACGE
EC adalah diagonal ruang, sehingga ๐ธ๐ถ = 8โ3 cm Jadi,
๐ธ๐ธโฒ =2
3๐ธ๐ถ =
2
38โ3 =
16
3โ3 cm
A C
G E
P
Eโฒ
Pโฒ
TRIK SUPERKILAT: Perhatikan garis PPโ.
Garis tersebut sejajar dengan AC, dimana AC adalah diagonal sisi. ๐ด๐ถ = 12โ2 cm Tapi panjangnya PPโ cuma separuh dari AC. Jadi,
๐๐โฒ =1
2 12โ2 = 6โ2 cm
Halaman 142 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
3. Diketahui limas segi empat beraturan P.QRST. Dengan rusuk alas 3 cm dan rusuk tegak
23 cm. Tangen sudut antara garis PT dan alas QRST adalah ....
A. 33
1
B. 2
C. 3
D. 22
E. 32
4. Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan rusuk alas 2 cm dan rusuk tegak 3 cm. Nilai
tangen sudut antara garis TD dan bidang alas ABCD adalah ....
A. 24
1
B. 22
1
C. 23
2
D. 2
E. 22
5. Diketahui limas segitiga beraturan T.ABC dengan rusuk 6 cm. Nilai kosinus sudut antara
garis TC dan bidang ABC adalah ....
A. 36
1
B. 23
1
C. 33
1
D. 22
1
E. 32
1
P
Q R
S T
3 cm
3 cm
3โ2 cm
Alas limas bentuknya persegi dengan sisi 3 cm.
Diagonal sisi alas limas adalah TR dan QS. TR = QS = 3โ2 cm.
Proyeksi titik P pada bidang QRST adalah di Pโฒ. Dimana Pโฒ terletak di perpotongan kedua diagonal alas.
Jadi sudut antara garis PT dan alas QRST adalah sudut yang dibentuk oleh garis PT dengan TR (โ PTR).
Karena pada bidang PRT terdapat segitiga siku-siku PTPโ, maka akan lebih mudah menemukan tangen โ PTR menggunakan segitiga siku-siku tersebut. (โ PTR = โ PTPโ)
Pโฒ
P
T Pโฒ
3โ2 cm
3
2โ2 cm
PPโฒ = โPT2 โ TPโฒ2 = โ(3โ2)2โ (
3
2โ2)
2
= โ18 โ9
2= โ
27
2=3โ3
โ2=3
2โ6 cm
Tangen sudut antara garis PT dan alas QRST adalah:
tanโ (PTฬ ฬ ฬ ฬ , QRST) =PPโฒ
TPโฒ=
32โ6
32โ2= โ3
โ2 cm
T
A B
C D
2 cm
2 cm
โ3 cm
Alas limas bentuknya persegi dengan sisi 2 cm.
Diagonal sisi alas limas adalah AC dan BD. AC = BD = 2โ2 cm.
Proyeksi titik T pada bidang ABCD adalah di T. Dimana Tโฒ terletak di perpotongan kedua diagonal alas.
Jadi sudut antara garis TD dan alas ABCD adalah sudut yang dibentuk oleh garis TD dengan DB (โ TDB).
Karena pada bidang TBD terdapat segitiga siku-siku TDTโ, maka akan lebih mudah menemukan tangen โ TDB menggunakan segitiga siku-siku tersebut. (โ TDB = โ TDTโ)
Tโฒ
T
D Tโฒ
โ3 cm
TTโฒ = โTD2 โ DTโฒ2 = โ(โ3)2โ (โ2)
2= โ3 โ 2 = 1 cm
Tangen sudut antara garis TD dan alas ABCD adalah:
tanโ (TDฬ ฬ ฬ ฬ , ABCD) =TTโฒ
DTโฒ=1
โ2=1
2โ2
3 cm
Alas limas bentuknya segitiga dengan sisi 6 cm. Dan semua sisi limas adalah segitiga sama sisi dengan rusuk 6 cm.
Perhatikan jika Tโ adalah proyeksi T pada alas ABC dan D adalah titik tengah AB, maka CD adalah ruas garis yang melewati Tโ.
Perhatikan segitiga CDT, karena TTโ tegak lurus CD, maka bidang CDT tegak lurus bidang ABC.
Karena TC berada di CDT dan CDT tegak lurus ABC, maka sudut yang dibentuk oleh garis TC dan bidang ABC adalah sudut antara garis TC dan ruas garis CD.
T
B
D
6 cm
C
A
B
T
Tโ
D
6 cm
6 cm 6 cm
C
D
T
6 cm
3โ3 cm
TD = โTB2 โ BD2
= โ(6)2 โ (3)2
= โ27
= 3โ3 cm
3โ3 cm
3โ3 cm
cos โ (TCฬ ฬ ฬ ฬ , ABC) =TC2 + DC2 โ TD2
2 โ TC โ DC
=62 + (3โ3)
2โ (3โ3)
2
2 โ 6 โ (3โ3)
=36
36โ3
=1
3โ3
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 143
6. Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah .
Nilai sin = ....
A. 22
1
B. 32
1
C. 33
1
D. 23
2
E. 34
3
Jika adik-adik butuh โbocoranโ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.
Kubus rusuk 4 cm.
EG adalah diagonal sisi,
maka EG = 4โ2 cm.
Karena P perpotongan diagonal sisi atas, maka
๐ธ๐ =1
2๐ธ๐บ โ ๐ธ๐ = 2โ2 cm
Perhatikan garis AE dan bidang AFH yang berwarna biru, sudut yang dibentuk oleh garis AE dan AFH bisa dicari lewat bidang segitiga yang berwarna biru.
P
A
4 cm
2โ2 cm AP = โAE2 + EP2
= โ(4)2 + (2โ2)2
= โ16 + 8
= โ24
= 2โ6 cm
Jika sudut antara AE dan AFH adalah ๐ผ dan โ๐ด๐น๐ธ siku-siku di ๐ธ, maka
sin ๐ผ =๐ ๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ข๐๐ข๐ก
๐ ๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐โ sin ๐ผ =
๐ธ๐
๐ด๐
=2โ2
2โ6
=1
โ3
=1
3โ3
A B
E F
H G
D C
4 cm
4 cm
P E
Halaman 144 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pengantar Konsep Dasar Trigonometri
Segitiga Siku-Siku dan Teorema Pythagoras
Teorema Pythagoras
๐2 = ๐2 + ๐2
Tripel Pythagoras
3 4 5 5 12 13 7 24 25 9 40 41
dst โฆ
8 15 17 20 21 29
Teorema Pythagoras โBentuk Akarโ
Tripel Pythagoras
โBentuk Akarโ
๐โ๐ ๐โ๐ ๐โ๐ + ๐
๐
๐
๐
๐โ๐
๐โ๐
๐โ๐ + ๐
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 145
Definisi Perbandingan Trigonometri
Segitiga Siku-Siku
Sinus Kosinus Tangen
sin ๐ =sisi depan
sisi miring cos ๐ =
sisi samping
sisi miring tan ๐ =
sisi depan
sisi samping
DEMI SIN, SAMI COS, DESA TAN
Identitas Trigonometri
Kebalikan Perbandingan Pythagoras
sec ๐ฅ =1
cos ๐ฅ
csc ๐ฅ =1
sin ๐ฅ
cot ๐ฅ =1
tan ๐ฅ
SEC = SEper Cos
tan ๐ด =sin ๐ด
cos ๐ด
TAN A adalah SINA DIPERKOSA
Ingat teorema Phytagoras: ๐2 + ๐2 = ๐2
โ๐2
๐2+
๐2
๐2=
๐2
๐2
โ (๐
๐)
2
+ (๐
๐)
2
= 1
Jadi,
sin2 ๐ฅ + cos2 ๐ฅ = 1
tan2 ๐ฅ + 1 = sec2 ๐ฅ
1 + cot2 ๐ฅ = csc2 ๐ฅ
sa
mi
de mi
de
sa
๐ฝ ๐ฝ ๐ฝ
sisi Samping
sisi Miring
sisi Depan
sudut ๐ฝ
๐
๐
๐
๐ฝ
dibagi
๐๐จ๐ฌ๐ ๐ dibagi
๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐
Halaman 146 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa Kuadran I
Segitiga Sama Sisi Persegi Segitiga Tripel Pythagoras โSudut 30ยฐ dan 60ยฐโ โSudut 45ยฐโ โSudut diapit sisi 5 dan 3 adalah 53ยฐโ
Sudut Istimewa Kuadran I Sudut Istimewa Pythagoras
sin 30ยฐ =1
2
cos 30ยฐ =โ3
2
tan 30ยฐ =โ3
1
sin 60ยฐ =โ3
2
cos 60ยฐ =1
2
tan 60ยฐ =1
โ3
sin 45ยฐ =1
โ2
cos 45ยฐ =1
โ2
tan 45ยฐ =1
1
sin 37ยฐ =3
5
cos 37ยฐ =4
5
tan 37ยฐ =3
4
sin 53ยฐ =4
5
cos 53ยฐ =3
5
tan 53ยฐ =4
3
Trik Menghafalkan Cepat , urutannya ๐
๐โ๐ s/d
๐
๐โ๐ Trik Menghafal, gambarkan segitiga 3 4 5.
Tabel Nilai Trigonometri Tabel Nilai Trigonometri
๐ฝ ๐ฌ๐ข๐ง ๐ฝ ๐๐จ๐ฌ ๐ฝ ๐ญ๐๐ง ๐ฝ ๐ฝ ๐ฌ๐ข๐ง ๐ฝ ๐๐จ๐ฌ ๐ฝ ๐ญ๐๐ง ๐ฝ
0ยฐ 1
2โ๐
37ยฐ
3
5
4
5
3
4
30ยฐ 1
2โ๐ 53ยฐ
4
5
3
5
4
3
45ยฐ 1
2โ๐
60ยฐ 1
2โ๐
90ยฐ 1
2โ๐
3
4
5
1
1
2
4
5
1
1 โ2 3
53ยฐ
37ยฐ 45ยฐ
45ยฐ
2 2
60ยฐ 60ยฐ
60ยฐ
1
2 โ3
30ยฐ
60ยฐ
dib
alik
sin
a d
iper
ko
sa
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 147
Nilai Perbandingan Trigonometri
Tabel Nilai Trigonometri
๐ฝ ๐ฌ๐ข๐ง ๐ฝ ๐๐จ๐ฌ ๐ฝ ๐ญ๐๐ง ๐ฝ
0ยฐ 0 1 0
30ยฐ 1
2
1
2โ3
1
3โ3
45ยฐ 1
2โ2
1
2โ2 1
60ยฐ 1
2โ3
1
2 โ3
90ยฐ 1 0 โ
Kuadran Relasi Sudut Periodisasi Periksa Sudut sin ๐ฅ = sin(โก + ๐ โ ๐๐๐ยฐ) ๐ฅ (180ยฐ โ ๐ฅ) Pilih Acuan cos ๐ฅ = cos(โก + ๐ โ ๐๐๐ยฐ) Genap Ganjil ๐ฅ (โ๐ฅ) 180ยฐ ยฑ ฮฑ 90ยฐ ยฑ ๐ผ 360ยฐ โ ฮฑ 270ยฐ ยฑ ๐ผ tan ๐ฅ = tan(โก + ๐ โ ๐๐๐ยฐ) SEMUA SINdikat ๐ฅ TANgan KOSong Fungsi Fungsi Berubah dimana ๐ bilangan bulat Tetap sin โ cos tan โ cot
Grafik Cek Kuadran sin ๐ผ Tanda ยฑ Selesai cos ๐ผ
tan ๐ผ Relasi Sudut Negatif
sin(โ๐ผ) = โ sin ๐ผcos(โ๐ผ) = cos ๐ผtan(โ๐ผ) = โ tan ๐ผ
0ยฐ
90ยฐ
180ยฐ
270ยฐ
360ยฐ
Kuadran I Kuadran II
Kuadran IV Kuadran III
Semua + sin +
tan + cos +
Persamaan Trigonometri sin ๐ฅ = sin ๐ผ โ ๐ฅ = โก + ๐ โ ๐๐๐ยฐ ๐ผ (180ยฐ โ ๐ผ)
cos ๐ฅ = cos ๐ผ โ ๐ฅ = โก + ๐ โ ๐๐๐ยฐ ๐ผ (โ๐ผ)
tan ๐ฅ = tan ๐ผ โ ๐ฅ = โก + ๐ โ ๐๐๐ยฐ ๐ผ
dimana ๐ bilangan bulat
360ยฐ
360ยฐ
360ยฐ
Halaman 148 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Nilai Perbandingan Trigonometri
Diperoleh dari sudut pada segitiga siku-siku
Kalau segitiganya nggak siku-siku. Gimana?
๐ adalah sisi di depan sudut ๐ด ๐ adalah sisi di depan sudut ๐ต ๐โ adalah sisi di depan sudut ๐ถ
Aturan Sinus dan Aturan Kosinus
Aturan Sinus Aturan Kosinus
โAda pasangan sudutโsisi yang berhadapanโ โDiketahui dan ditanyakan 3 sisi dan 1 sudutโ
sisi โ sudut โ sudut
(diketahui satu sisi dan dua sudut)
sisi โ sisi โ sudut
(diketahui dua sisi dan satu sudut di depannya)
sisi โ sudut โ sisi
(diketahui dua sisi dan sudut yang diapitnya)
sisi โ sisi โ sisi
(diketahui ketiga sisi segitiga)
๐
sin ๐ด=
๐
sin ๐ต=
๐
sin ๐ถ
๐2 = ๐2 + ๐2 โ 2๐๐ cos ๐ด
โ cos ๐ด =๐2 + ๐2 โ ๐2
2๐๐
Luas Segitiga
alas โ tinggi
๐ฟ =1
2(๐ ร ๐ก)
sisi โ sudut โ sisi
๐ฟ =1
2๐๐ sin ๐ถ
satu sisi dan semua sudut
๐ฟ =1
2
๐2 sin ๐ต sin ๐ถ
sin ๐ด
sisi โ sisi โ sisi
๐ฟ = โ๐ (๐ โ ๐)(๐ โ ๐)(๐ โ ๐)
dimana ๐ =1
2(๐ + ๐ + ๐)
sin ๐ถ =๐ก
๐
โ ๐ก = ๐ sin ๐ถ
a
sin A=
b
sin B
โ ๐ =๐ sin ๐ต
sin ๐ด
๐ถ ๐ต
๐ ๐
๐
๐ด
๐ก
๐
๐ ๐
๐
๐ถ
๐
๐
๐ถ ๐ต ๐
๐ด
๐ถ ๐ต
๐
๐ต
๐ ๐
?
? ๐
?
๐
๐ด ๐ ๐
๐
?
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 149
Luas Segitiga
sisi โ sudut โ sisi
๐ฟ =1
2๐๐ sin ๐ถ
Luas Segi-n Beraturan Misal segidelapan beraturan. Maka segidelapan beraturan tersusun atas delapan segitiga sama kaki.
Masing-masing segitiga memiliki sudut pusat sebesar 360ยฐ
8= 45ยฐ.
Sehingga luas segidelapan beraturan adalah delapan kali luas segitiga tersebut.
Luas dan Keliling Segi-n Beraturan
sudut pusat =๐๐๐ยฐ
๐
๐ฟ = ๐ โ1
2๐2 sin (
360ยฐ
๐)
๐พ = ๐๐โ2 (1 โ cos (360ยฐ
๐))
๐ถ
๐
๐
๐ ๐
360ยฐ
๐
๐ ๐
Halaman 150 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Trigonometri Kelas XI IPA
Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Alat Bukti: Lingkaran satuan dan 3 buah juring masing-masing bersudut ๐ด, ๐ต, dan (โ ๐ต).
Diperoleh dua segitiga yaitu, โ๐๐๐ dan โ๐๐๐ dengan โ ๐๐๐ = โ ๐๐๐ sehingga, ๐๐ = ๐๐ Dengan membuktikan ๐๐ = ๐๐, diperoleh: ๐๐จ๐ฌ(๐จ + ๐ฉ) = ๐๐จ๐ฌ ๐จ ๐๐จ๐ฌ ๐ฉ โ ๐ฌ๐ข๐ง ๐จ ๐ฌ๐ข๐ง ๐ฉ ๐๐จ๐ฌ(๐จ โ ๐ฉ) diperoleh dengan sifat relasi sudut negatif ๐๐จ๐ฌ(๐จ + (โ๐ฉ))
๐ฌ๐ข๐ง(๐จ + ๐ฉ) dan ๐ฌ๐ข๐ง(๐จ โ ๐ฉ) diperoleh dengan sifat relasi sudut kuadran I
Jumlah dan Selisih Dua Sudut
sin(๐ด ยฑ ๐ต) = sin ๐ด cos ๐ต ยฑ cos ๐ด sin ๐ตcos(๐ด ยฑ ๐ต) = cos ๐ด cos ๐ต โ sin ๐ด sin ๐ต
Substitusi ๐ฉ = ๐จ Eliminasi ๐ฌ๐ข๐ง(๐จ + ๐จ) = ๐ฌ๐ข๐ง ๐๐จ ๐ฌ๐ข๐ง(๐จ + ๐ฉ) dengan ๐ฌ๐ข๐ง(๐จ โ ๐ฉ) ๐๐จ๐ฌ(๐จ + ๐จ) = ๐๐จ๐ฌ ๐๐จ ๐๐จ๐ฌ(๐จ + ๐ฉ) dengan ๐๐จ๐ฌ(๐จ โ ๐ฉ)
Trigonometri Sudut Rangkap Jumlah, Selisih dan Perkalian Sudut Rangkap Sinus Sudut Rangkap Kosinus Sin 2๐ด = 2 sin ๐ด cos ๐ด cos 2๐ด = cos2 ๐ด โ sin2 ๐ด ๐ + ๐ 2๐๐ถ
๐ โ ๐ 2๐ถ๐
Substitusi identitas trigonometri ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐จ + ๐๐จ๐ฌ๐ ๐จ = ๐ ๐ถ + ๐ถ 2๐ถ๐ถ
๐ถ โ ๐ถ โ2๐๐โโ โ โ
Sudut Rangkap Kosinus Yang Lain
Sinus Kuadrat Kosinus Kuadrat cos 2๐ด = 1 โ 2 sin2 ๐ด cos 2๐ด = 2 cos2 ๐ด โ 1
Trigonometri Setengah Sudut Sinus Setengah Sudut Kosinus Setengah Sudut
sin ๐ด = โ1 โ cos 2๐ด
2 cos ๐ด = โ
1 + cos 2๐ด
2
1
2โ
1
2โ
โ โ
๐ด ๐ต
โ๐ต
๐
๐
๐
๐ ๐
๐
๐
๐ ๐
๐
๐
Khusus untuk tan(๐ด ยฑ ๐ต), tangen sudut rangkap dan
tangen setengah sudut, cukup gunakan sifat identitas โTAN A = SINA DIPERKOSAโ
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 151
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Pengantar Trigonometri.
Modul Pengantar Trigonometri ini adalah suplemen untuk modul TRIK SUPERKILAT dan SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013. Mengingat materi Trigonometri memerlukan penguasaan konsep dasar yang kuat pada setiap pokok bahasan. Pada survey yang dilakukan kepada siswa SMA menunjukkan bahwa materi Trigonometri dan Dimensi Tiga adalah topik materi yang paling menakutkan di kalangan siswa. Jadi, tidak ada salahnya apabila pada pokok bahasan Trigonometri ini diberikan suplemen materi pengantar Trigonometri sebagai penguat penguasaan konsep dasar Trigonometriโฆ Untuk sementara hanya konsep trigonometri kelas X dan XI IPA yang dibahas. Trik Superkilat Cara Mudah Menghafal Rumus Trigonometri kelas X dan XI IPA yang lainnya masih akan dilanjutkan dan dipublish segeraโฆ. :) Kunjungi laman http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_11.html untuk mengunduh update materi SMART SOLUTION Pengantar Trigonometri iniโฆ :)
Jika adik-adik butuh โbocoranโ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.
Halaman 152 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
SKL 4. Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan, identitas, dan rumus trigonometri dalam pemecahan masalah.
4. 1. Menyelesaikan masalah geometri dengan menggunakan aturan sinus atau kosinus.
Nilai Perbandingan Trigonometri
Diperoleh dari sudut pada segitiga siku-siku
Kalau segitiganya nggak siku-siku. Gimana?
๐ adalah sisi di depan sudut ๐ด ๐ adalah sisi di depan sudut ๐ต ๐โ adalah sisi di depan sudut ๐ถ
Aturan Sinus dan Kosinus
Aturan Sinus Aturan Kosinus
โAda dua pasangan sudutโsisi yang berhadapanโ โDiketahui dan ditanyakan 3 sisi dan 1 sudutโ
sisi โ sudut โ sudut
(diketahui satu sisi dan dua sudut)
sisi โ sisi โ sudut
(diketahui dua sisi dan satu sudut di depannya)
sisi โ sudut โ sisi
(diketahui dua sisi dan sudut yang diapitnya)
sisi โ sisi โ sisi
(diketahui ketiga sisi segitiga)
๐
sin ๐ด=
๐
sin ๐ต=
๐
sin ๐ถ
๐2 = ๐2 + ๐2 โ 2๐๐ cos ๐ด
โ cos ๐ด =๐2 + ๐2 โ ๐2
2๐๐
Luas Segitiga
alas โ tinggi
๐ฟ =1
2(๐ ร ๐ก)
sisi โ sudut โ sisi
๐ฟ =1
2๐๐ sin ๐ถ
satu sisi dan semua sudut
๐ฟ =1
2
๐2 sin ๐ต sin ๐ถ
sin ๐ด
sisi โ sisi โ sisi
๐ฟ = โ๐ (๐ โ ๐)(๐ โ ๐)(๐ โ ๐)
dimana ๐ =1
2(๐ + ๐ + ๐)
sin ๐ถ =๐ก
๐
โ ๐ก = ๐ sin ๐ถ
a
sin A=
b
sin B
โ ๐ =๐ sin ๐ต
sin ๐ด
๐ถ ๐ต
๐ ๐
๐
๐ด
๐ก
๐
๐ ๐
๐
๐ถ
๐
๐
๐ถ ๐ต ๐
๐ด
๐ถ ๐ต
๐
๐ต
๐ ๐
?
? ๐
?
๐
๐ด ๐ ๐
๐
?
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 153
Luas Segitiga
sisi โ sudut โ sisi
๐ฟ =1
2๐๐ sin ๐ถ
Luas Segi-n Beraturan Misal segidelapan beraturan. Maka segidelapan beraturan tersusun atas delapan segitiga sama kaki.
Masing-masing segitiga memiliki sudut pusat sebesar 360ยฐ
8= 45ยฐ.
Sehingga luas segidelapan beraturan adalah delapan kali luas segitiga tersebut.
Luas dan Keliling Segi-n Beraturan
sudut pusat =๐๐๐ยฐ
๐
๐ฟ = ๐ โ1
2๐2 sin (
360ยฐ
๐)
๐พ = ๐๐โ2 (1 โ cos (360ยฐ
๐))
๐ถ
๐
๐
๐ ๐
360ยฐ
๐
๐ ๐
Halaman 154 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
LOGIKA PRAKTIS Aturan Sinus dan Aturan Kosinus:
Segitiga punya tiga unsur atau komponen penyusun, yaitu 3 sisi dan 3 sudut. Untuk menyelesaikan masalah segitiga dengan aturan sinus atau kosinus maka perlu diperhatikan acuan sebagai berikut: Komponen yang diketahui dan ditanyakan dari segitiga adalah 3 sisi dan 1 sudut, maka penyelesaiannya adalah harus menggunakan aturan kosinus. Komponen yang diketahui dan ditanyakan dari segitiga adalah 2 sisi dan 2 sudut, maka penyelesaiannya adalah:
- Jika masing-masing sisi dan sudut saling berhadapan, maka harus menggunakan aturan sinus. - Jika masing-masing sisi dan sudut tidak saling berhadapan, maka periksa dulu apakah:
o Diketahui dua sudut, maka penyelesaiannya harus mencari sudut ketiga dulu menggunakan sifat sudut segitiga 180ยฐ, dan dilanjutkan menggunakan aturan sinus.
o Diketahui satu sudut, maka penyelesaiannya bisa menggunakan aturan kosinus untuk mencari satu sisi yang lain, lalu dilanjutkan dengan aturan sinus. (Atau apabila ada satu pasangan sisi sudut yang berhadapan, bisa menggunakan aturan sinus dulu untuk menentukan pasangan sudut yang lain, lalu menggunakan sifat sudut segitiga 180ยฐ)
Atau bisa digambarkan seperti berikut: Periksa jumlah komponen yang diketahui dan ditanyakan 3 sisi dan 1 sudut 2 sisi dan 2 sudut Periksa! Gunakan aturan kosinus Apakah kedua pasangan sisi dan sudut tersebut saling berhadapan Saling berhadapan Ada yang tidak berhadapan Periksa! Gunakan aturan sinus Berapa jumlah sudut yang diketahui
Dua sudut Satu sudut
Cari sudut ketiga, lalu Gunakan aturan kosinus gunakan aturan sinus dilanjutkan dengan aturan sinus
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 155
Tipe Soal yang Sering Muncul
Menentukan unsur atau komponen segitiga menggunakan aturan sinus atau kosinus. Contoh Soal: Diberikan segi empat ABCD seperti gambar di bawah! Panjang BC adalah โฆ.
a. 4โ2 cm
b. 6โ2 cm
c. 7โ3 cm
d. 5โ6 cm
e. 7โ6 cm
Penyelesaian: Pertama kita mempertimbangkan apakah kita akan menggunakan aturan sinus atau aturan kosinus. Lalu pada segitiga yang mana kita akan menerapkan aturan sinus atau kosinus tersebut.
Perhatikan gambar, terlihat ada dua segitiga. 1. โ๐ด๐ต๐ถ dengan diketahui 1 sisi dan 1 sudut. 2. โ๐ด๐ถ๐ท dengan diketahui 1 sisi dan 2 sudut.
Nah, ternyata โ๐ด๐ต๐ถ tidak bisa kita terapkan aturan sinus atau kosinus, karena aturan sinus dan kosinus bisa digunakan jika minimal diketahui 3 atau lebih unsur atau komponen dari segitiga! Sekarang amati โ๐ด๐ถ๐ท ternyata sudah diketahui 3 komponen segitiga, sehingga agar โ๐ด๐ต๐ถ tepat diketahui minimal 3 komponen maka kita harus mencari panjang ๐จ๐ช terlebih dahulu. Perhatikan โ๐ด๐ถ๐ท,
Diketahui 1 sisi dan 2 sudut, ditanyakan 1 sisi ๐ด๐ถ. (2 sisi dan 2 sudut) Periksa apakah kedua pasang sisi dan sudut saling berhadapan? Ya! Maka pada โ๐จ๐ช๐ซ berlaku aturan sinus:
๐ด๐ถ
sin ๐ท=
๐ด๐ท
sin ๐ถโ ๐ด๐ถ =
๐ด๐ท
sin ๐ถร sin ๐ท
=10
sin 45ยฐร sin 30ยฐ
=10
12 โ2
ร1
2
=10
โ2
=10
โ2ร
โ2
โ2 (rasionalisasi penyebut bentuk akar)
=10โ2
2
= 5โ2 cm
Nah, sekarang perhatikan โ๐ด๐ต๐ถ,
Diketahui 2 sisi dan 1 sudut, ditanyakan 1 sisi ๐ต๐ถ. (3 sisi dan 1 sudut) Pasti berlaku aturan kosinus pada โ๐จ๐ฉ๐ช:
๐ต๐ถ2 = ๐ด๐ต2 + ๐ด๐ถ2 โ 2 ๐ด๐ต ๐ด๐ถ cos ๐ด
= (10โ2)2
+ (5โ2)2
โ 2(10โ2)(5โ2) cos 60
= 200 + 50 โ 200 โ1
2= 250 โ 100= 150 cm
Jadi,
๐ต๐ถ = โ150 = โ25โ6 = 5โ6 cm
D
A
C
30ยฐ
45ยฐ
?
A
B
C
60ยฐ
10โ2 cm
5โ2 cm ?
D
A
B
C
60ยฐ
10โ2 cm
30ยฐ
45ยฐ
Halaman 156 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan luas segi-n beraturan. Contoh Soal: Luas segi-12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah โฆ. a. 192 cm2 b. 172 cm2 c. 162 cm2 d. 148 cm2 e. 144 cm2
Penyelesaian: Ingat luas segitiga:
sisi โ sudut โ sisi
๐ฟ =1
2๐๐ sin ๐ถ
Segi-12 beraturan terdiri atas 12 segitiga yang kongruen, jadi kita cukup mencari luas salah satu segitiga penyusun segi-12 beraturan tersebut.
Perhatikan โ๐ด๐๐ต,
๐ฟโ๐ด๐๐ต =1
2๐๐ด ๐๐ต sin โ ๐ด๐๐ต
=1
2โ 8 โ 8 โ sin 30ยฐ
= 32 โ1
2= 16 cm2
Jadi, luas segi-12 beraturan adalah:
๐ฟ๐ ๐๐๐โ12 ๐๐๐๐๐ก๐ข๐๐๐ = 12 ร ๐ฟโ๐ด๐๐ต
= 12 โ 16= 192 cm2
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Ingat luas segi-n beraturan dengan jari-jari lingkaran luar ๐ adalah:
๐ฟ๐ ๐๐๐โ๐ ๐๐๐๐๐ก๐ข๐๐๐ = ๐ โ1
2๐2 sin
360ยฐ
๐= 12 โ
1
2โ 82 โ sin 30ยฐ = 192 cm2
8 8
๐
O
A B
๐ถ
๐
๐
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 157
Menentukan keliling segi-n beraturan. Contoh Soal: Keliling segi-12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah โฆ.
a. 96โ2 + โ3 cm
b. 96โ2 โ โ3 cm
c. 8โ2 + โ3 cm
d. 8โ2 โ โ3 cm
e. โ128 โ โ3 cm
Penyelesaian: Segi-12 beraturan terdiri atas 12 segitiga yang kongruen, jadi kita cukup mencari panjang keliling pada salah satu segitiga penyusun segi-12 beraturan tersebut, yaitu panjang sisi ๐ด๐ต.
Perhatikan โ๐ด๐๐ต, Diketahui 2 sisi dan 1 sudut ditanyakan 1 sisi ๐ด๐ต. (3 sisi dan 1 sudut) Pasti berlaku aturan kosinus:
๐ด๐ต2 = ๐2 + ๐2 โ 2 ๐ ๐ cos ๐= (8)2 + (8)2 โ 2(8)(8) cos 30
= 64 + 64 โ 128 โ1
2โ3
= 128 โ 64โ3 cm
Jadi,
๐ด๐ต = โ128 โ 64โ3 cm
Sehingga, keliling segi-12 beraturan adalah
๐พ๐ ๐๐๐โ12 ๐๐๐๐๐ก๐ข๐๐๐ = 12 ร ๐ด๐ต
= 12โ128 โ 64โ3 cm
= 12 ร โ64โ2 โ โ3 cm
= 12 ร 8โ2 โ โ3 cm
= 96โ2 โ โ3 cm
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Ingat keliling segi-n beraturan dengan jari-jari lingkaran luar ๐ adalah:
๐พ๐ ๐๐๐โ๐ ๐๐๐๐๐ก๐ข๐๐๐ = ๐๐โ2(1 โ cos ๐) = 12 โ 8 โ โ2 (1 โ1
2โ3) = 96โ2 โ โ3 cm
๐ = 8 ๐ = 8
๐
O
A B
Halaman 158 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan volume bangun ruang menggunakan aturan sinus atau kosinus. Contoh Soal: Diberikan prisma tegak segitiga ABC.DEF dengan
panjang rusuk ๐ด๐ต = 6 cm, ๐ต๐ถ = 3โ7 cm, dan ๐ด๐ถ = 3 cm. Tinggi prisma adalah 20 cm. Volume prisma adalah โฆ.
a. 55โ2 cm3
b. 60โ2 cm3
c. 75โ3 cm3
d. 90โ3 cm3
e. 120โ3 cm3
Penyelesaian: Perhatikan prisma tegak segitiga ABC.DEF berikut:
Perhatikan โ๐ด๐ต๐ถ,
Ingat lagi tentang luas segitiga,
alas โ tinggi
๐ฟ =1
2(๐ ร ๐ก)
sisi โ sudut โ sisi
๐ฟ =1
2๐๐ sin ๐ถ
satu sisi dan semua sudut
๐ฟ =1
2
๐2 sin ๐ต sin ๐ถ
sin ๐ด
sisi โ sisi โ sisi
๐ฟ = โ๐ (๐ โ ๐)(๐ โ ๐)(๐ โ ๐)
dimana ๐ =1
2(๐ + ๐ + ๐)
Ternyata kita bisa menggunakan rumus ๐ฟ = โ๐ (๐ โ ๐)(๐ โ ๐)(๐ โ ๐). Yang jadi masalah adalah ada sisi yang memuat bentuk akar. Repot deh perkaliannya nanti.
Pilih saja rumus luas segitiga yang ๐ฟ =1
2๐๐ sin ๐ถ, dengan catatan kita harus tahu salah satu sudut dari
segitiga tersebut. Akan dicari salah satu sudut segitiga (misalkan โ ๐ต), dengan diketahui 3 sisi segitiga. (3 sisi dan 1 sudut) Pasti berlaku aturan kosinus, yaitu:
๐ด๐ถ2 = ๐ด๐ต2 + ๐ต๐ถ2 โ 2 ๐ด๐ต ๐ต๐ถ cos ๐ด๐ต
F D
E
B
C A
F D
E
B
C A
A
B
C
6 cm
3 cm
3โ7 cm
๐ก
๐
๐ ๐
๐
๐ถ
๐
๐
๐ถ ๐ต ๐
๐ด
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 159
Sehingga,
๐ด๐ถ2 = ๐ด๐ต2 + ๐ต๐ถ2 โ 2 ๐ด๐ต ๐ต๐ถ cos ๐ต โ cos ๐ต =๐ด๐ต2 + ๐ต๐ถ2 โ ๐ด๐ถ2
2 โ ๐ด๐ต โ ๐ด๐ถ
=(6)2 + (3โ7)
2โ (3)2
2(6)(3โ7)
=36 + 63 โ 9
36โ7
=90
36โ7
=5
2โ7
Jadi,
cos ๐ต =5
2โ7
Nilai kosinus tersebut bisa dinyatakan pada segitiga siku-siku berikut, Sehingga akan diperoleh nilai sinus dari โ ๐ต,
sin ๐ต =โ3
2โ7
Dari nilai sinus โ ๐ต dan panjang sisi ๐ด๐ต dan ๐ต๐ถ dan rumus luas segitiga ๐ฟ =1
2๐๐ sin ๐ถ diperoleh luas
segitiga ๐ด๐ต๐ถ, yaitu:
๐ฟโ๐ด๐ต๐ถ =1
2๐ด๐ต ๐ต๐ถ sin โ ๐ต
=1
2(6)(3โ7) (
โ3
2โ7)
=9
2โ3 cm2
Jadi, volum prisma tersebut adalah:
๐ = ๐ฟ๐ ร ๐ก
= ๐ฟโ๐ด๐ต๐ถ ร ๐ก
=9
2โ3 ร 20
= 90โ3 cm3
B 5
2โ7 โ3
Halaman 160 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Diketahui segienam beraturan. Jika jari-jari lingkaran luar segienam beraturan adalah 10 satuan, maka
luas segienam beraturan tersebut adalah ....
A. 150 satuan luas
B. 2150 satuan luas
C. 3150 satuan luas
D. 300 satuan luas
E. 2300 satuan luas
2. Panjang jari-jari lingkaran luar segidelapan beraturan adalah 6 cm. keliling segidelapan tersebut adalah ....
A. 06 22 cm
B. 12 22 cm
C. 36 22 cm
D. 48 22 cm
E. 72 22 cm
3. Luas segi-12 beraturan adalah 192 cm2. Keliling segi-12 beraturan tersebut adalah ....
A. 96 32 cm
B. 96 32 cm
C. 8 32 cm
D. 8 32 cm
E. 3128 cm
4. Keliling suatu segienam beraturan adalah 72 cm. Luas segienam tersebut adalah ....
A. 3432 cm
B. 432 cm
C. 3216 cm
D. 2216 cm
E. 216 cm
Jika adik-adik butuh โbocoranโ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.
๐ฟ๐ ๐๐๐โ๐ =๐
2๐2 sin
360ยฐ
๐
โ ๐ฟ๐ ๐๐๐โ6 =6
2(10)2 sin
360ยฐ
6= 3 โ 100 โ sin 60ยฐ
= 300 โ1
2โ3
= 150โ3
TRIK SUPERKILAT: Karena bangunnya adalah segienam, berarti sudut pusatnya 60ยฐ, sementara jari-jari lingkaran luar adalah bilangan bulat tanpa bentuk akar, jadi jawabannya pasti memuat
โ3 yang berasal dari nilai sin 60ยฐ. Dari sini tanpa menghitung kita akan tahu bahwa jawaban yang benar hanya C saja.
๐ฅ = โ๐2 + ๐2 โ 2 โ ๐ โ ๐ โ cos360ยฐ
๐
๐พ๐ ๐๐๐โ๐ = ๐ โ ๐ฅ = ๐ โ (โ๐2 + ๐2 โ 2 โ ๐ โ ๐ โ cos360ยฐ
๐) = ๐ โ (โ2๐2 (1 โ cos
360ยฐ
๐))
โ ๐พ๐ ๐๐๐โ8 = 8 โ 6 (โ2 (1 โ1
2โ2) )
= 48โ2 โ โ2 cm
๐ฅ
6 6
๐ฟ = 12 โ1
2โ ๐2 โ sin (
2๐
12) โ 192 = 3๐2 โ ๐2 = 64 โ ๐ = 8 cm
๐ฅ = โ๐2 + ๐2 โ 2 โ ๐ โ ๐ โ cos360ยฐ
๐
๐พ๐ ๐๐๐โ๐ = ๐ โ ๐ฅ = ๐ โ (โ๐2 + ๐2 โ 2 โ ๐ โ ๐ โ cos360ยฐ
๐) = ๐ โ (โ2๐2 (1 โ cos
360ยฐ
๐))
โ ๐พ๐ ๐๐๐โ8 = 12 โ 6 (โ2 (1 โ1
2โ3) )
= 96โ2 โ โ3 cm
๐ฅ
8 8
Karena bangun segienam, maka segitiga yang terbentuk adalah segitiga sama sisi. Akibatnya semua sisi segitiga adalah 12 cm.
12
12 12
๐ฟ๐ ๐๐๐โ๐ =๐
2๐2 sin
360ยฐ
๐
โ ๐ฟ๐ ๐๐๐โ6 =6
2(12)2 sin
360ยฐ
6= 3 โ 144 โ sin 60ยฐ
= 432 โ1
2โ3
= 216โ3 cm2
TRIK SUPERKILAT: Karena segienam, berarti sudut pusatnya 60ยฐ, sementara jari-jari lingkaran luar adalah bilangan bulat tanpa bentuk akar, jadi
jawabannya pasti memuat โ3 yang berasal dari nilai sin 60ยฐ. Dari sini tanpa menghitung kita akan tahu bahwa jawaban yang benar hanya A atau C saja.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 161
4. 2. Menyelesaikan persamaan trigonometri.
Nilai Perbandingan Trigonometri
Tabel Nilai Trigonometri
๐ฝ ๐ฌ๐ข๐ง ๐ฝ ๐๐จ๐ฌ ๐ฝ ๐ญ๐๐ง ๐ฝ
0ยฐ 0 1 0
30ยฐ 1
2
1
2โ3
1
3โ3
45ยฐ 1
2โ2
1
2โ2 1
60ยฐ 1
2โ3
1
2 โ3
90ยฐ 1 0 โ
Kuadran Relasi Sudut Periodisasi Periksa Sudut sin ๐ฅ = sin(โก + ๐ โ ๐๐๐ยฐ) ๐ฅ (180ยฐ โ ๐ฅ) Pilih Acuan cos ๐ฅ = cos(โก + ๐ โ ๐๐๐ยฐ) Genap Ganjil ๐ฅ (โ๐ฅ) 180ยฐ ยฑ ฮฑ 90ยฐ ยฑ ๐ผ 360ยฐ โ ฮฑ 270ยฐ ยฑ ๐ผ tan ๐ฅ = tan(โก + ๐ โ ๐๐๐ยฐ) SEMUA SINdikat ๐ฅ TANgan KOSong Fungsi Fungsi Berubah dimana ๐ bilangan bulat Tetap sin โ cos tan โ cot
Grafik Cek Kuadran sin ๐ผ Tanda ยฑ Selesai cos ๐ผ
tan ๐ผ Relasi Sudut Negatif
sin(โ๐ผ) = โ sin ๐ผcos(โ๐ผ) = cos ๐ผtan(โ๐ผ) = โ tan ๐ผ
0ยฐ
90ยฐ
180ยฐ
270ยฐ
360ยฐ
Kuadran I Kuadran II
Kuadran IV Kuadran III
Semua + sin +
tan + cos +
Persamaan Trigonometri sin ๐ฅ = sin ๐ผ โ ๐ฅ = โก + ๐ โ ๐๐๐ยฐ ๐ผ (180ยฐ โ ๐ผ)
cos ๐ฅ = cos ๐ผ โ ๐ฅ = โก + ๐ โ ๐๐๐ยฐ ๐ผ (โ๐ผ)
tan ๐ฅ = tan ๐ผ โ ๐ฅ = โก + ๐ โ ๐๐๐ยฐ ๐ผ
dimana ๐ bilangan bulat
360ยฐ
360ยฐ
360ยฐ
Halaman 162 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
LOGIKA PRAKTIS Pengerjaan Persamaan Trigonometri:
Peta konsep di samping bisa diterjemahkan sebagai berikut:
o Jika ada persamaan sin ๐ฅ = sin ๐ผ, maka penyelesaiannya adalah:
๐ฅ1 = ๐ผ + ๐ โ 360ยฐ
๐ฅ2 = (180ยฐ โ ๐ผ) + ๐ โ 360ยฐ
o Jika ada persamaan cos x = cos ฮฑ, maka penyelesaiannya adalah:
x1 = ๐ผ + ๐ โ 360ยฐ
x2 = (โฮฑ) + ๐ โ 360ยฐ
o Jika ada persamaan tan x = tan ฮฑ, maka penyelesaiannya adalah:
x = ๐ผ + ๐ โ 180ยฐ
Nah, proses menentukan persamaan trigonometri sederhana adalah melalui manipulasi aljabar menggunakan identitas trigonometri pada persamaan awal pada soal. Jadi logika praktisnya bisa tergambar dalam diagram di bawah: Misal ditanyakan tentukan himpunan penyelesaian dari: Persamaan Awal pada Soal Manipulasi Aljabar Identitas Trigonometri
Diperoleh Persamaan Trigonometri Sederhana sin ๐ฅ = sin ๐ผ cos ๐ฅ = cos ๐ผ tan ๐ฅ = tan ๐ผ Cari Himpunan Penyelesaian
Persamaan Trigonometri Sederhana sin ๐ฅ = sin ๐ผ โ ๐ฅ = โก + ๐ โ ๐๐๐ยฐ ๐ผ (180ยฐ โ ๐ผ)
cos ๐ฅ = cos ๐ผ โ ๐ฅ = โก + ๐ โ ๐๐๐ยฐ ๐ผ (โ๐ผ)
tan ๐ฅ = tan ๐ผ โ ๐ฅ = โก + ๐ โ ๐๐๐ยฐ ๐ผ
dimana ๐ bilangan bulat
cos 4๐ฅ โ cos 2๐ฅ = โ1
โ (2 cos2 2๐ฅ โ 1) โ cos 2๐ฅ = โ1
โ 2 cos2 2๐ฅ โ cos 2๐ฅ โ 1 = โ1โ 2 cos2 2๐ฅ โ cos 2๐ฅ = 0โ cos 2๐ฅ (2 cos 2๐ฅ โ 1) = 0
โ cos 2๐ฅ = 0 atau cos 2๐ฅ =1
2
Jadi, untuk cos 2๐ฅ = 0 = cos 90ยฐ, maka 2๐ฅ1 = 90ยฐ + ๐ โ 360ยฐ โ ๐ฅ1 = 45ยฐ + ๐ โ 180ยฐ 2๐ฅ2 = โ90ยฐ + ๐ โ 360ยฐ โ ๐ฅ2 = โ45ยฐ + ๐ โ 180ยฐ
Jadi, untuk cos 2๐ฅ =1
2= cos 60ยฐ, maka
2๐ฅ1 = 60ยฐ + ๐ โ 360ยฐ โ ๐ฅ1 = 30ยฐ + ๐ โ 180ยฐ 2๐ฅ2 = โ60ยฐ + ๐ โ 360ยฐ โ ๐ฅ2 = โ30ยฐ + ๐ โ 180ยฐ
Dstโฆ dstโฆ. Sehingga akan diperoleh himpunan nilai ๐ฅ yang memenuhi persamaan trigonometri tersebut.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 163
LOGIKA PRAKTIS Menyusun Rumus Persamaan Trigonometri dengan Panduan Grafik Trigonometri:
Inti permasalahan tentang persamaan trigonometri adalah menemukan sudut-sudut yang menghasilkan suatu nilai perbandingan trigonometri. Sudut-sudut tersebut berulang untuk periode tertentu. Misalnya, berapa saja sih sudut yang dapat menghasilkan nilai sinus sama dengan 1? Pernyataan di atas bisa dituliskan dalam bentuk: sin ๐ฅ = 1 = sin 90ยฐ โ ๐ฅ = 90ยฐ Nah, karena sudah hafal tabel nilai trigonometri dan paham tentang konsep dasar perbandingan trigonometri, maka bisa ditentukan nilai sinus sama dengan 1 dipenuhi oleh sin 90ยฐ. Padahal, fungsi sinus memiliki grafik yang berulang-ulang sesuai periodenya masing-masing. Sehingga, untuk nilai sinus sama dengan 1 tidak hanya dipenuhi oleh sudut 90ยฐ. Namun, masih banyak lagi sudut yang menghasilkan nilai sinus sama dengan 1.
Bagaimana cara mudah menyusun rumus perbandingan trigonometrinya? Perhatikan gambar di atas. Grafik sinus berulang-ulang naik turun, seperti huruf โSโ tidur terbalik. Berulang-ulangnya setiap 360ยฐ. โ โ Sekarang perhatikan grafiknya, nilai awal grafik sinus di kuadran I adalah positif. Nilai sinus akan kembali positif di kuadran II. Jadi,
sin ๐ฅ = sin ๐ผ โ ๐ฅ = โก + ๐ โ ๐๐๐ยฐ ๐ผ (180ยฐ โ ๐ผ)
Grafik kosinus berulang-ulang turun naik seperti huruf โCโ tidur. Berulang-ulangnya setiap 360ยฐ. โ โ Sekarang perhatikan grafiknya, nilai awal grafik kosinus di kuadran I adalah positif. Nilai kosinus akan kembali positif di kuadran IV. (karena grafiknya simetris terhadap sumbu Y, maka kuadran sebelah kiri kuadran I juga positif, kan ya?). Jadi,
cos ๐ฅ = cos ๐ผ โ ๐ฅ = โก + ๐ โ ๐๐๐ยฐ ๐ผ (โ๐ผ)
Grafik tangen berulang-ulang naik terputus-putus. Berulang setiap 180ยฐ. Sekarang perhatikan grafiknya, nilai positif hanya di kuadran I dan berulang-ulang setiap 180ยฐ. Jadi,
tan ๐ฅ = tan ๐ผ โ ๐ฅ = โก + ๐ โ ๐๐๐ยฐ ๐ผ
Grafik Daerah kuadran bernilai positif
360ยฐ
360ยฐ
360ยฐ
periode
periode
periode
Halaman 164 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Tipe Soal yang Sering Muncul
Menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri. Contoh Soal: Himpunan penyelesaian dari cos 4๐ฅ โ cos 2๐ฅ = โ1 ; 0 โค ๐ฅ โค 360ยฐ adalah โฆ. a. {30ยฐ, 45ยฐ, 135ยฐ, 150ยฐ, 210ยฐ, 225ยฐ, 315ยฐ, 330ยฐ} b. {30ยฐ, 60ยฐ, 135ยฐ, 180ยฐ, 210ยฐ, 225ยฐ, 300ยฐ, 330ยฐ} c. {0ยฐ, 30ยฐ, 135ยฐ, 150ยฐ, 210ยฐ, 225ยฐ, 300ยฐ, 330ยฐ} d. {30ยฐ, 45ยฐ, 120ยฐ, 135ยฐ, 210ยฐ, 225ยฐ, 300ยฐ} e. {30ยฐ, 45ยฐ, 135ยฐ, 150ยฐ, 240ยฐ, 225ยฐ, 315ยฐ}
Penyelesaian:
cos 4๐ฅ โ cos 2๐ฅ = โ1โ (2 cos2 2๐ฅ โ 1) โ cos 2๐ฅ = โ1
โ 2 cos2 2๐ฅ โ cos 2๐ฅ โ 1 = โ1โ 2 cos2 2๐ฅ โ cos 2๐ฅ = 0โ cos 2๐ฅ (2 cos 2๐ฅ โ 1) = 0
โ cos 2๐ฅ = 0 atau cos 2๐ฅ =1
2
Jadi, untuk cos 2๐ฅ = 0 = cos 90ยฐ, maka
2๐ฅ1 = 90ยฐ + ๐ โ 360ยฐ โ ๐ฅ1 = 45ยฐ + ๐ โ 180ยฐ untuk ๐ = 0 โ ๐ฅ = 45ยฐ untuk ๐ = 1 โ ๐ฅ = 225ยฐ 2๐ฅ2 = โ90ยฐ + ๐ โ 360ยฐ โ ๐ฅ2 = โ45ยฐ + ๐ โ 180ยฐ untuk ๐ = 1 โ ๐ฅ = 225ยฐ untuk ๐ = 2 โ ๐ฅ = 315ยฐ
Jadi, untuk cos 2๐ฅ =1
2= cos 60ยฐ, maka
2๐ฅ1 = 60ยฐ + ๐ โ 360ยฐ โ ๐ฅ1 = 30ยฐ + ๐ โ 180ยฐ untuk ๐ = 0 โ ๐ฅ = 30ยฐ untuk ๐ = 1 โ ๐ฅ = 210ยฐ 2๐ฅ2 = โ60ยฐ + ๐ โ 360ยฐ โ ๐ฅ1 = โ30ยฐ + ๐ โ 180ยฐ untuk ๐ = 1 โ ๐ฅ = 150ยฐ untuk ๐ = 2 โ ๐ฅ = 330ยฐ
Sehingga himpunan penyelesaian adalah {30ยฐ, 45ยฐ, 135ยฐ, 150ยฐ, 210ยฐ, 225ยฐ, 315ยฐ, 330ยฐ}.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 165
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Himpunan penyelesaian persamaan 1cos22cos xx ; ฯ20 x adalah ....
A. {0, ฯ,2
1ฯ,
2
32ฯ }
B. {0, ฯ,2
1ฯ,
3
22ฯ }
C. {0, ฯ,2
1ฯ, ฯ,
2
3}
D. {0, ฯ,2
1ฯ
3
2}
E. {0, ฯ,2
1ฯ }
2. Himpunan penyelesaian persamaan 12sin34cos xx ; 1800 x adalah ....
A. }150 ,201{
B. }165 ,501{
C. }150 ,03{
D. }165 ,03{
E. }105 ,15{
3. Himpunan penyelesaian persamaan 1sin22cos xx ; ฯ20 x adalah ....
A. }2ฯ,2
3ฯฯ,0,{
B. }2ฯ,3
4ฯฯ,0,{
C. }2ฯฯ,ฯ,3
20,{
D. }2ฯฯ,,0{
E. }2
3ฯฯ,0,{
cos ๐ฅ = 0 = cos๐
2
Penyelesaiannya:
๐ฅ = ยฑ๐
2+ ๐ โ 2๐
cos 2๐ฅ โ 2 cos ๐ฅ = โ1โ (2 cos2 ๐ฅ โ 1) โ 2 cos ๐ฅ + 1 = 0
โ 2 cos2 ๐ฅ โ 2 cos ๐ฅ = 0โ 2 cos ๐ฅ (cos ๐ฅ โ 1) = 0โ 2 cos ๐ฅ = 0 atau cos ๐ฅ โ 1 = 0โ cos ๐ฅ = 0 โโ cos ๐ฅ = 1
1) ๐ฅ =๐
2+ ๐ โ 2๐
=๐
2
2) ๐ฅ = โ๐
2+ ๐ โ 2๐
=3
2๐
cos ๐ฅ = 1 = cos 0 Penyelesaiannya: ๐ฅ = 0 + ๐ โ 2๐ 3) ๐ฅ = 0 + ๐ โ 2๐
= 0, 2๐
Jadi jawabannya sebenarnya tidak ada karena untuk interval 0 < ๐ฅ < 2๐
maka yang memenuhi hanya {๐
2,
3
2๐}
Jika intervalnya diubah 0 โค ๐ฅ โค 2๐, maka penyelesaiannya {0,๐
2,
3
2๐, 2๐}
sin 2๐ฅ = โ1
2= โ sin 30ยฐ = sin(โ30ยฐ)
sin 2๐ฅ = โ1
2= โ sin 150ยฐ = sin(โ150ยฐ)
Penyelesaiannya:
cos 4๐ฅ + 3 sin ๐ฅ = โ1โ (1 โ 2 sin2 2๐ฅ) + 3 sin 2๐ฅ + 1 = 0
โ โ2 sin2 2๐ฅ + 3 sin 2๐ฅ + 2 = 0โ (โsin 2๐ฅ + 2)(2 sin 2๐ฅ + 1) = 0โ โ sin 2๐ฅ + 2 = 0 atau 2 sin 2๐ฅ + 1 = 0
โ sin 2๐ฅ = 2 (mustahil) โโsin 2๐ฅ = โ1
2
2) ๐ฅ = โ150ยฐ + ๐ โ 360ยฐ= โ75ยฐ + ๐ โ 180ยฐ= 105ยฐ
1) ๐ฅ = โ30ยฐ + ๐ โ 360ยฐ= โ15ยฐ + ๐ โ 180ยฐ= 165ยฐ
Soal ini tidak ada jawabannya, mungkin maksudnya pilihan jawaban B bukan 150ยฐ, tapi salah ketik. Seharusnya 105ยฐ.
sin ๐ฅ = 0 = sin 0 = sin ๐
sin ๐ฅ = โ1 = sin3๐
2
Penyelesaiannya:
cos 2๐ฅ โ 2 sin ๐ฅ = 1โ (1 โ 2 sin2 ๐ฅ) โ 2 sin 2๐ฅ โ 1 = 0
โ โ2 sin2 ๐ฅ โ 2 sin ๐ฅ = 0โ โ2 sin ๐ฅ (sin ๐ฅ + 1) = 0โ โ2 sin ๐ฅ = 0 atau sin ๐ฅ + 1 = 0โ sin ๐ฅ = 0 โโโ โโ sin ๐ฅ = โ1
1) ๐ฅ = 0 + ๐ โ 2๐= 0
TRIK SUPERKILAT:
Satu-satunya jawaban yang tidak memuat 2๐ adalah E. Perhatikan batas yang diminta soal. 2๐ tidak diikutkan.
3) ๐ฅ =3๐
2+ ๐ โ 2๐
=3๐
2
2) ๐ฅ = ๐ + ๐ โ 2๐= ๐
Halaman 166 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
4. Himpunan penyelesaian persamaan 02cos32cos xx untuk ฯ20 x adalah ....
A.
2ฯฯ,2
3,
2
ฯ,0
B.
2ฯฯ,3
5,
3
ฯ,0
C.
2ฯฯ,2
3,
3
ฯ,0
D.
ฯ3
2ฯ,,
2
ฯ,0
E.
2ฯฯ,,2
ฯ,0
Jika adik-adik butuh โbocoranโ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.
cos ๐ฅ =1
2= cos
๐
3
Penyelesaiannya:
๐ฅ = ยฑ๐
3+ ๐ โ 2๐
cos 2๐ฅ โ 3 cos ๐ฅ + 2 = 0โ (2 cos2 ๐ฅ โ 1) โ 3 cos ๐ฅ + 2 = 0
โ 2 cos2 ๐ฅ โ 3 cos ๐ฅ + 1 = 0โ (2 cos ๐ฅ โ 1)(cos ๐ฅ โ 1) = 0โ 2 cos ๐ฅ โ 1 = 0 atau cos ๐ฅ โ 1 = 0
โ cos ๐ฅ =1
2 โโcos ๐ฅ = 1
1) ๐ฅ =๐
3+ ๐ โ 2๐
=๐
3
2) ๐ฅ = โ๐
3+ ๐ โ 2๐
=5
3๐
cos ๐ฅ = 1 = cos 0 Penyelesaiannya: ๐ฅ = 0 + ๐ โ 2๐
3) ๐ฅ = 0 + ๐ โ 2๐= 0, 2๐
Jadi jawabannya sebenarnya tidak ada karena untuk interval 0 โค ๐ฅ < 2๐
maka yang memenuhi hanya {0,๐
3,
5
3๐}
Jika intervalnya diubah 0 โค ๐ฅ โค 2๐, maka penyelesaiannya {0,๐
3,
5
3๐, 2๐}
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 167
4. 3. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan nilai perbandingan trigonometri yang menggunakan rumus jumlah dan selisih sinus, kosinus dan tangent serta jumlah dan selisih dua sudut.
Trigonometri Kelas XI IPA
Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Alat Bukti: Lingkaran satuan dan 3 buah juring masing-masing bersudut ๐ด, ๐ต, dan (โ๐ต).
Diperoleh dua segitiga yaitu, โ๐๐๐ dan โ๐๐๐ dengan โ ๐๐๐ = โ ๐๐๐ sehingga, ๐๐ = ๐๐ Dengan membuktikan ๐๐ = ๐๐, diperoleh: ๐๐จ๐ฌ(๐จ + ๐ฉ) = ๐๐จ๐ฌ๐จ ๐๐จ๐ฌ๐ฉ โ ๐ฌ๐ข๐ง๐จ ๐ฌ๐ข๐ง๐ฉ
๐๐จ๐ฌ(๐จ โ ๐ฉ) diperoleh dengan sifat relasi sudut negatif ๐๐จ๐ฌ(๐จ + (โ๐ฉ))
๐ฌ๐ข๐ง(๐จ + ๐ฉ) dan ๐ฌ๐ข๐ง(๐จ โ ๐ฉ) diperoleh dengan sifat relasi sudut kuadran I
Jumlah dan Selisih Dua Sudut
sin(๐ด ยฑ ๐ต) = sin๐ด cos๐ต ยฑ cos๐ด sin๐ตcos(๐ด ยฑ ๐ต) = cos๐ด cos๐ต โ sin๐ด sin๐ต
Substitusi ๐ฉ = ๐จ Eliminasi ๐ฌ๐ข๐ง(๐จ + ๐จ) = ๐ฌ๐ข๐ง๐๐จ ๐ฌ๐ข๐ง(๐จ + ๐ฉ) dengan ๐ฌ๐ข๐ง(๐จ โ ๐ฉ) ๐๐จ๐ฌ(๐จ + ๐จ) = ๐๐จ๐ฌ ๐๐จ ๐๐จ๐ฌ(๐จ + ๐ฉ) dengan ๐๐จ๐ฌ(๐จ โ ๐ฉ)
Trigonometri Sudut Rangkap Jumlah, Selisih dan Perkalian
Sudut Rangkap Sinus Sudut Rangkap Kosinus Sin2๐ด = 2 sin๐ด cos๐ด cos 2๐ด = cos2 ๐ด โ sin2 ๐ด ๐ + ๐ 2๐๐ถ
๐ โ ๐ 2๐ถ๐
Substitusi identitas trigonometri ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐จ + ๐๐จ๐ฌ๐ ๐จ = ๐ ๐ถ + ๐ถ 2๐ถ๐ถ
๐ถ โ ๐ถ โ2๐๐โโ โ โ
Sudut Rangkap Kosinus Yang Lain Sinus Kuadrat Kosinus Kuadrat cos 2๐ด = 1 โ 2 sin2 ๐ด cos2๐ด = 2 cos2 ๐ด โ 1
Trigonometri Setengah Sudut Sinus Setengah Sudut Kosinus Setengah Sudut
sin๐ด = โ1 โ cos2๐ด
2 cos๐ด = โ
1 + cos 2๐ด
2
1
2โ
1
2โ
โ โ
๐ด ๐ต
โ๐ต
๐
๐
๐
๐ ๐
๐
๐
๐ ๐
๐
๐
Khusus untuk tan(๐ด ยฑ ๐ต), tangen sudut rangkap dan
tangen setengah sudut, cukup gunakan sifat identitas โTAN A = SINA DIPERKOSAโ
Halaman 168 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Trigonometri Jumlah Selisih Dua Sudut.
Intisari dari masalah tentang jumlah selisih sinus kosinus tangen serta masalah tentang jumlah selisih dua sudut adalah kita harus memahami bagaimana konsep awal dari cos(๐ด + ๐ต). Begitu konsep awal ini dipahami, maka dengan menggunakan konsep-konsep dasar trigonometri di kelas X, maka semua konsep tentang trigonometri di kelas XI IPA akan segera muncul satu-persatu dengan sendirinya. Untuk mendampingi pemahaman konsep dasar yang sudah diperoleh lewat pembelajaran di sekolah, kali ini Pak Anang akan membagikan konsep LOGIKA PRAKTIS dalam menyusun rumus jumlah selisih dua sudut sebagai berikut: Konsep awal yang harus diingat adalah sin(๐ด ยฑ ๐ต) dan cos(๐ด ยฑ ๐ต).
sin(๐ด ยฑ ๐ต) = sin๐ด cos๐ต ยฑ cos๐ด sin๐ตcos(๐ด ยฑ ๐ต) = cos๐ด cos๐ต โ sin๐ด sin๐ต
Perhatikan, untuk sin(๐ด ยฑ ๐ต), diawali huruf โSโ, yang secara kreatif imajinatif dimaknai dengan:
SELANG-SELING SIN SAMA
โSELANG-SELINGโ dimulai dari SIN
๐ฌ๐ข๐ง(๐จ ยฑ ๐ฉ) SAMA tanda plus minusnya
sin(๐ด + ๐ต) = sin ๐ด cos๐ต + cos๐ด sin ๐ตsin(๐ด โ ๐ต) = sin ๐ด cos๐ต โ cos๐ด sin ๐ต
Jadi, untuk cos(๐ด ยฑ ๐ต) tinggal membalik konsep menghafal rumus sin(๐ด ยฑ ๐ต) di atas.
Tidak SELANG-SELING (KEMBAR) Bukan SIN (Jadi, dimulai dari cos) Tidak SAMA (Tanda plus minus berbeda)
cos(๐ด + ๐ต) = cos๐ด cos ๐ต โ sin ๐ด sin ๐ตcos(๐ด โ ๐ต) = cos๐ด cos ๐ต + sin ๐ด sin ๐ต
Keterangan: Selang-seling diambil dari bahasa Jawa, artinya adalah pola yang selalu bergantian.
Tanda SAMA
โSELANG-SELINGโ, bergantian SIN COS lalu COS SIN
Dimulai dari SIN
Tanda BEDA
KEMBAR, bergantian COS COS lalu SIN SIN
Dimulai dari COS
Keterangan: Kalau cos(๐ด ยฑ ๐ต) berarti kebalikannya. SELANG-SELING diawali SIN >< Kembar diawali COS SAMA >< BERBEDA
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 169
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Trigonometri Sudut Rangkap. Masih ingat dengan konsep rumus jumlah sudut sinus kosinus pada halaman sebelumnyaโฆโฆ??
sin(๐ด + ๐ต) = sin๐ด cos๐ต + cos๐ด sin๐ต dan
cos(๐ด + ๐ต) = cos๐ด cos๐ต โ sin๐ด sin๐ต
Asyikโฆ. Nah, konsep kedua yang harus melekat kuat di otak adalah tentang sin2๐ด dan cos 2๐ด, diperoleh dari rumus sin(๐ด + ๐ต) dan cos(๐ด + ๐ต) dengan mengganti ๐ต = ๐ด. sin(๐ด + ๐ต) dan cos(๐ด + ๐ต) Ganti ๐ต = ๐ด sin 2๐ด dan cos 2๐ด Konsep untuk mendapatkan sin2๐ด adalah:
sin(๐ด + ๐ต) = sin ๐ด cos๐ต + cos๐ด sin ๐ต
sin(๐ด + ๐ด) = sin ๐ด cos๐ด + cos๐ด sin ๐ด
sin 2๐ด = 2 sin ๐ด cos๐ด
Konsep untuk mendapatkan cos 2๐ด adalah:
cos(๐ด + ๐ต) = cos๐ด cos ๐ต โ sin ๐ด sin ๐ต
cos(๐ด + ๐ด) = cos๐ด cos๐ด โ sin ๐ด sin ๐ด
cos 2๐ด = cos2 ๐ด โ sin2 ๐ด
Jadi,
sin 2๐ด = 2 sin ๐ด cos๐ดcos 2๐ด = cos2 ๐ฅ โ sin2 ๐ฅ
Halaman 170 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Kosinus Sudut Rangkap yang Lain.
Masih ingat dengan konsep rumus kosinus sudut rangkap pada halaman sebelumnyaโฆโฆ??
cos 2๐ด = cos2๐ด โ sin2 ๐ด
Asyikโฆ.
Nah, konsep ketiga yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus cos 2๐ด yang lainnya. Rumus kosinus sudut rangkap yang lain diperoleh dari cos 2๐ด dengan mensubstitusikan identitas trigonometri Pythagoras. cos 2๐ด = cos2๐ด โ sin2 ๐ด Substitusi sin2 ๐ด + cos2 ๐ด = 1
cos2๐ด = 2 cos2๐ด โ 1 cos2๐ด = 1 โ 2 sin2 ๐ด
Konsep untuk mendapatkan cos 2๐ด = 2 cos2 ๐ด โ 1 adalah:
cos 2๐ด = cos2 ๐ด โ sin2 ๐ด
cos 2๐ด = cos2 ๐ด โ (1 โ cos2 ๐ด)
cos 2๐ด = 2 cos2 ๐ด โ 1
Konsep untuk mendapatkan cos 2๐ด = 1 โ 2 sin2๐ด adalah:
cos 2๐ด = cos2 ๐ด โ sin2 ๐ด
cos 2๐ด = (1 โ sin2 ๐ด) โ sin2 ๐ด
cos 2๐ด = 1 โ 2 sin2 ๐ด
TRIK SUPERKILAT cara menghafalkannya adalah:
Perhatikan selalu ada angka 1, selalu ada 2sin2 atau 2cos2. Polanya selalu bentuk pengurangan.
cos 2๐ด = ๐ช ๐ฐ cos 2๐ด = 2 ๐os2 ๐ด โ ๐
cos 2๐ด = ๐ช ๐ฐ ๐บ
cos 2๐ด = ๐ฐ ๐บ cos 2๐ด = ๐ โ 2 ๐ฌin2 ๐ด
sin2 ๐ด + cos2๐ด = 1โ sin2๐ด = 1 โ cos2 ๐ด
sin2 ๐ด + cos2๐ด = 1โ cos2๐ด = 1 โ sin2 ๐ด
Keterangan TRIK SUPERKILAT: Ingat posisi huruf alfabet,
posisi C lebih awal dari S. Gunakan singkatan CIS, jadi cos2๐ด memiliki dua bentuk lain, yaitu CI dan IS.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 171
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Trigonometri Setengah Sudut.
Masih ingat dengan konsep rumus kosinus sudut rangkap Pythagoras pada halaman sebelumnyaโฆโฆ??
cos 2๐ด = 2 cos2๐ด โ 1 cos 2๐ด =1 โ 2 sin2 ๐ด
Asyikโฆ.
Nah, konsep keempat yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus trigonometri setengah sudut. Rumus trigonometri setengah sudut diperoleh dari konsep โcos 2๐ด Pythagorasโ. Pak Anang menyebut rumus cos2๐ด Pythagoras untuk dua konsep atau rumus di atas. โcos 2๐ด Pythagorasโ
cos2๐ด = 2 cos2๐ด โ 1 cos2๐ด = 1 โ 2 sin2 ๐ด
Invers, โpindah ruasโ sampai diperoleh cos๐ด dan sin๐ด
cos๐ด = โ1 + cos 2๐ด
2 sin๐ด = โ
1 โ cos2๐ด
2
Konsep rumus trigonometri sudut setengah tersebut SEBENARNYA TIDAK PERLU DIHAFALโฆโฆโฆ!
Kenapa?
Karena sebenarnya yang perlu diingat dan dihafal adalah perubahan dari konsep โcos2๐ด Pythagorasโ menjadi konsep trigonometri sudut setengah hanya mengalami proses invers, alias โpindah ruasโ saja. Kesimpulannya, RUMUSNYA TIDAK BERUBAH MAKNA, HANYA BERUBAH FORMASI SAJAโฆ..!!!!!
Jadi, misalkan lupa rumus trigonometri setengah sudut tidak jadi masalah, asalkan ingat pola di bawah ini:
cos 2๐ด = 2 cos2 ๐ด โ 1 dan cos 2๐ด = 1 โ 2 sin2 ๐ด
LOGIKA PRAKTIS cara menghafalkannya adalah:
Perhatikan selalu ada angka 1, selalu ada angka 2, selalu ada cos2A. Polanya selalu bentuk akar.
cos 2๐ด = 2 cos2๐ด โ 1 โ cos๐ด = โ1 + cos 2๐ด
2
cos 2๐ด = 1 โ 2 sin2 ๐ด โ sin๐ด = โ1 โ cos 2๐ด
2
Konsep trigonometri sudut setengah Diketahui sudut rangkap, ditanya setengah sudut.
Konsep trigonometri sudut setengah Diketahui sudut rangkap, ditanya setengah sudut.
Konsep trigonometri sudut rangkap Diketahui suatu sudut,
ditanya sudut rangkapnya.
Konsep trigonometri sudut rangkap Diketahui suatu sudut,
ditanya sudut rangkapnya.
+ Keterangan TRIK SUPERKILAT: Dihasilkan dari invers konsep โcos 2๐ด Pythagorasโ
Tanda plus minus dilihat dari tanda koefisien trigonometri.
Halaman 172 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Jumlah, Selisih, dan Perkalian Trigonometri.
Masih ingat dengan konsep rumus jumlah sudut sinus kosinus pada TRIK SUPERKILAT paling awal tadiโฆโฆ??
sin(๐ด ยฑ ๐ต) = sin๐ด cos๐ต ยฑ cos๐ด sin๐ต dan
cos(๐ด ยฑ ๐ต) = cos๐ด cos๐ต โ sin๐ด sin๐ต
Asyikโฆ.
Nah, konsep kelima yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus trigonometri jumlah dan selisih sinus kosinus perkalian sinus kosinus. Konsep rumus ini diperoleh dengan mengeliminasi komponen yang sama pada sin(๐ด + ๐ต) dan sin(๐ด โ ๐ต) serta mengeliminasi komponen yang sama pada cos(๐ด + ๐ต) dan cos(๐ด โ ๐ต).
Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut sin(๐ด ยฑ ๐ต) cos(๐ด ยฑ ๐ต) Eliminasi Eliminasi sin(๐ด + ๐ต) dengan sin(๐ด โ ๐ต) cos(๐ด + ๐ต) dengan cos(๐ด โ ๐ต) sin(๐ด + ๐ต) sin(๐ด + ๐ต) cos(๐ด + ๐ต) cos(๐ด + ๐ต) sin(๐ด โ ๐ต) sin(๐ด โ ๐ต) cos(๐ด โ ๐ต) cos(๐ด โ ๐ต)
2 sin๐ด cos๐ต 2 cos๐ด sin๐ต 2 cos๐ด cos๐ต โ2sin๐ด sin๐ต Substitusi
(๐จ + ๐ฉ) = ๐ถ (๐จ โ ๐ฉ) = ๐ท (๐ด + ๐ต) = ๐ผ (๐ด + ๐ต) = ๐ผ (๐ด โ ๐ต) = ๐ฝ (๐ด โ ๐ต) = ๐ฝ
2๐ด = (๐ผ + ๐ฝ) 2๐ต = (๐ผ โ ๐ฝ)
๐จ =๐
๐(๐ถ + ๐ท) ๐ฉ =
๐
๐(๐ถ โ ๐ท)
sin ๐ผ sin ๐ผ cos ๐ผ cos ๐ผ sin๐ฝ sin๐ฝ cos๐ฝ cos๐ฝ
2 sin1
2(๐ผ + ๐ฝ) cos
1
2(๐ผ โ ๐ฝ) 2 cos
1
2(๐ผ + ๐ฝ) sin
1
2(๐ผ โ ๐ฝ) 2 cos
1
2(๐ผ + ๐ฝ) cos
1
2(๐ผ โ ๐ฝ) โ2 sin
1
2(๐ผ + ๐ฝ) sin
1
2(๐ผ โ ๐ฝ)
LOGIKA PRAKTIS cara membacanya:
Keterangan cara membaca TRIK SUPERKILAT: S adalah sin dan C adalah cos.
๐ฌ๐ข๐ง(๐จ + ๐ฉ) + ๐ฌ๐ข๐ง(๐จ โ ๐ฉ) = ๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐จ ๐๐จ๐ฌ ๐ฉ
๐ + ๐ 2๐๐ถ
๐ โ ๐ 2๐ถ๐
๐ถ + ๐ถ 2๐ถ๐ถ
๐ถ โ ๐ถ โ2๐๐โโ โ โ
๐ฌ๐ข๐ง ๐จ + ๐ฌ๐ข๐ง๐ฉ = ๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐
๐(๐จ + ๐ฉ) ๐๐จ๐ฌ
๐
๐(๐จ โ ๐ฉ)
1
2โ
1
2โ
โ โ
S + S = 2 S C
(๐ด + ๐ต) (๐ด โ ๐ต)
๐ด ๐ต
โ โ
S + S = 2 S C
1
2โ
1
2โ
1
2(๐ด + ๐ต)
1
2(๐ด โ ๐ต)
๐ด ๐ต
+ + โ โ
+ โ
dibagi 2 dibagi 2
+ + โ โ
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 173
LOGIKA PRAKTIS cara menyusun rumus jumlah, selisih dan perkalian trigonometri:
Keterangan cara menyusun TRIK SUPERKILAT:
๐ + ๐ 2๐๐ถ
๐ โ ๐ 2๐ถ๐
๐ถ + ๐ถ 2๐ถ๐ถ
๐ถ โ ๐ถ โ2๐๐โโ โ โ
Perhatikan cara membacanya: tanda โ dibaca (๐ด + ๐ต) dan tanda โ dibaca (๐ด โ ๐ต)
๐ + ๐
1
2โ1
2โ
โ 2๐๐ถ dibaca: ๐ฌ๐ข๐ง ๐จ + ๐ฌ๐ข๐ง๐ฉ = ๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐
๐(๐จ + ๐ฉ) ๐๐จ๐ฌ
๐
๐(๐จ โ ๐ฉ)
๐ + ๐ โโ โ 2๐๐ถ dibaca: ๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐จ ๐๐จ๐ฌ ๐ฉ = ๐ฌ๐ข๐ง(๐จ + ๐ฉ) + ๐ฌ๐ข๐ง(๐จ โ ๐ฉ)
JEMBATAN KELEDAI untuk menghafalkan rumus jumlah selisih dan perkalian trigonometri:
Sayang ditambah sayang menjadi dua-duanya sangat cinta. Sayang dikurangi sayang menjadi dua-duanya cintanya sirna. Cinta ditambah cinta menjadi dua-duanya cinta-cintaan. Cinta dikurangi cinta menjadi aduhโฆ. dua-duanya sayangnya sirna. Keterangan: kata aduh dimaknai sebagai tanda negatif (โ).
1
2โ
1
2โ
โ โ
Masih ingat dengan rumus jumlah dua sudut trigonometri kan?
sin(๐ด + ๐ต) = sin๐ด cos ๐ต + cos ๐ด sin ๐ต cos(๐ด + ๐ต) = cos๐ด cos ๐ต โ sin๐ด sin๐ต
Ditulis ulang dengan singkat sebagai berikut:
๐+= ๐๐ถ + ๐ถ๐ ๐ถ+= ๐ถ๐ถ โ ๐๐
Lihat ruas kiri ada ๐ + dan ๐ถ +, Ini yang ditulis di kolom kiri dengan membubuhkan tanda + dan โ bergantian. Tanda + dan โ ini diperoleh dari proses eliminasi. Jadi, urutannya adalah ๐ + ๐, lalu ๐ โ ๐, dan ๐ถ + ๐ถ lalu ๐ถ โ ๐ถ. ๐ + ๐
๐ โ ๐
๐ถ + ๐ถ
๐ถ โ ๐ถ
Lalu perhatikan ruas kanan, ada berturut-turut adalah ๐๐ถ, ๐ถ๐, ๐ถ๐ถ, dan โ ๐๐. Itulah yang ditulis urut dari atas ke bawah dengan membubuhkan angka 2. Angka 2 tersebut diperoleh dari hasil eliminasi. 2๐๐ถ
2๐ถ๐
2๐ถ๐ถ
โ2๐๐โโ โ โ Nah, lalu dikonstruksi seperti pada TRIK SUPERKILAT menjadi bagan di bawah ini: ๐ + ๐ 2๐๐ถ
๐ โ ๐ 2๐ถ๐
๐ถ + ๐ถ 2๐ถ๐ถ
๐ถ โ ๐ถ โ2๐๐โโ โ โ
1
2โ
1
2โ
โ โ
Halaman 174 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Rumus Jumlah Selisih Dua Sudut, Jumlah Selisih atau Perkalian untuk Tangen.
Nah, konsep keenam atau konsep terakhir yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus jumlah selisih dua sudut untuk tangen, dilanjutkan dengan tangen sudut rangkap, tangen setengah sudut. Khusus untuk tangen sebenarnya jika lupa rumusnya, cukup ingat aja sifat perbandingan untuk tangen, yaitu:
โTAN A adalah SINA DIPERKOSAโ atau dituliskan sebagai:
๐ญ๐๐ง๐จ =๐ฌ๐ข๐ง๐จ
๐๐จ๐ฌ๐จ
Sehingga,
tan(๐ด + ๐ต) =sin(๐ด + ๐ต)
cos(๐ด + ๐ต)โ tan(๐ด + ๐ต) =
sin๐ด cos๐ต + cos๐ด sin๐ต
cos๐ด cos๐ต โ sin๐ด sin๐ตร
1cos๐ด cos๐ต
1cos๐ด cos๐ต
= sin๐ด cos๐ตcos๐ด cos๐ต +
cos๐ด sin๐ตcos๐ด cos๐ต
cos ๐ด cos๐ตcos๐ด cos๐ต
โsin๐ด sin๐ตcos๐ด cos๐ต
=
sin๐ดcos๐ด
+sin๐ตcos๐ต
1 โsin๐ดcos๐ด
sin๐ตcos๐ต
=tan๐ด + tan๐ต
1 โ tan๐ด tan๐ต
Jadi,
tan(๐ด ยฑ ๐ต) =tan๐ด ยฑ tan๐ต
1 โ tan๐ด tan๐ต
Sehingga jika ๐ต = ๐ด, akan diperoleh:
tan(๐ด + ๐ด) =tan๐ด + tan๐ด
1 โ tan๐ด tan๐ด โ tan 2๐ด =
2 tan๐ด
1 โ tan2 ๐ด
Tangen setengah sudut diperoleh dari rumus sinus dan kosinus setengah sudut:
sin๐ด = โ1 โ cos 2๐ด
2
cos๐ด = โ1 + cos2๐ด
2
}
tan๐ด =sin๐ด
cos๐ด=โ1 โ cos 2๐ด
2
โ1 + cos 2๐ด2
= โ1 โ cos 2๐ด
2ร โ
2
1 + cos 2๐ด= โ
1 โ cos2๐ด
1 + cos2๐ด
Jadi,
tan ๐ด = โ1 โ cos 2๐ด
1 + cos 2๐ด
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 175
Rumus Khusus untuk Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut Jumlah dan Selisih Dua Sudut Tangen
sin(๐ด ยฑ ๐ต) = sin๐ด cos๐ต ยฑ cos๐ด sin๐ตcos(๐ด ยฑ ๐ต) = cos๐ด cos๐ต โ sin๐ด sin๐ต
tan(๐ด ยฑ ๐ต) =sin(๐ดยฑ๐ต)
cos(๐ดยฑ๐ต)=
tan๐ดยฑtan๐ต
1โtan๐ด tan๐ต
Substitusi ๐ฉ = ๐จ Substitusi ๐ฉ = ๐จ ๐ฌ๐ข๐ง(๐จ + ๐จ) = ๐ฌ๐ข๐ง๐๐จ ๐๐จ๐ฌ(๐จ + ๐จ) = ๐๐จ๐ฌ ๐๐จ
Trigonometri Sudut Rangkap Tangen Sudut Rangkap Sudut Rangkap Sinus Sudut Rangkap Kosinus Sin2๐ด = 2 sin๐ด cos๐ด cos 2๐ด = cos2 ๐ด โ sin2 ๐ด
Substitusi identitas trigonometri ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐จ + ๐๐จ๐ฌ๐ ๐จ = ๐
โ โ
Sudut Rangkap Kosinus Yang Lain
Sinus Kuadrat Kosinus Kuadrat cos 2๐ด = 1 โ 2 sin2 ๐ด cos2๐ด = 2 cos2 ๐ด โ 1
Trigonometri Setengah Sudut Tangen Setengah Sudut Sinus Setengah Sudut Kosinus Setengah Sudut Tangen Setengah Sudut
sin๐ด = โ1 โ cos2๐ด
2 cos๐ด = โ
1 + cos 2๐ด
2
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS yang lain akan segera diupdate dan dipublishโฆ. Jadi, kunjungi selalu laman web http://pak-anang.blogspot.com untuk melihat update terbaru TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS nya.
Khusus untuk tan(๐ด ยฑ ๐ต), tangen sudut rangkap dan
tangen setengah sudut, cukup gunakan sifat identitas โTAN A = SINA DIPERKOSAโ
๐ญ๐๐ง(๐จ + ๐จ) = ๐ญ๐๐ง๐๐จ
tan 2๐ด =2 tan๐ด
1 โ tan2 ๐ด
tan๐ด =sin๐ด
cos๐ด= โ
1 โ cos2๐ด
1 + cos2๐ด
Halaman 176 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Tipe Soal yang Sering Muncul
Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut. Contoh Soal: Diketahui dari sin75ยฐ + cos 75ยฐ adalah โฆ.
a. 1
4โ6
b. 1
2โ2
c. 1
2โ3
d. 1
e. 1
2โ6
Penyelesaian: Ingat, sin(๐ด + ๐ต) = sin๐ด cos๐ต + cos๐ด sin๐ต dan cos(๐ด + ๐ต) = cos๐ด cos๐ต โ sin๐ด sin๐ต. Perhatikan juga bahwa 75ยฐ = (45ยฐ + 30ยฐ). Sehingga,
sin 75ยฐ + cos 75ยฐ = sin(45ยฐ + 30ยฐ) + cos(45ยฐ + 30ยฐ)
= (sin45ยฐ cos30ยฐ + cos 45ยฐ sin 30ยฐ) + (cos 45ยฐ cos 30ยฐ โ sin45ยฐ sin 30ยฐ)
= (1
2โ2 โ
1
2โ3 +
1
2โ2 โ
1
2) + (
1
2โ2 โ
1
2โ3 โ
1
2โ2 โ
1
2)
=1
4โ6 +
1
4โ6
=1
2โ6
Cara lain untuk soal ini menggunakan TRIK SUPERKILAT ada di halaman 184.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 177
Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut jika diketahui perbandingan trigonometri dari dua sudut tersebut. Contoh Soal 1:
Diketahui sin๐ด =4
5 dan sin๐ต =
7
25, dengan ๐ด sudut lancip dan ๐ต sudut tumpul. Nilai dari cos(๐ด โ ๐ต) = โฆ.
a. โ117
125
b. โ100
125
c. โ75
125
d. โ44
125
e. โ21
25
Penyelesaian: Ingat, jika diketahui sebuah nilai perbandingan trigonometri, maka perbandingan trigonometri yang lain bisa ditemukan menggunakan alat bantu segitiga siku-siku.
Segitiga siku-siku untuk menyatakan sin๐ด =4
5 adalah: (Ingat ๐ด adalah sudut lancip)
Sehingga, cos๐ด =3
5
Segitiga siku-siku untuk menyatakan sin๐ต =7
25 adalah: (Ingat ๐ต adalah sudut tumpul)
Sehingga, cos๐ต = โ24
25 (Ingat nilai cos sudut tumpul adalah negatif)
Jadi,
cos(๐ด โ ๐ต) = cos๐ด cos๐ต + sin๐ด sin๐ต
=3
5โ (โ
24
25) +
4
5โ7
25
= โ72
125+
28
125
= โ44
125
4
3
5
๐ด
7
24
25
๐ต
Halaman 178 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 2:
Pada segitiga ๐ด๐ต๐ถ lancip, diketahui cos๐ด =4
5 dan sin๐ต =
12
13, maka sin๐ถ = โฆ.
a. 20
65
b. 36
65
c. 56
65
d. 60
65
e. 63
65
Penyelesaian: Ingat, jika diketahui sebuah nilai perbandingan trigonometri, maka perbandingan trigonometri yang lain bisa ditemukan menggunakan alat bantu segitiga siku-siku.
Segitiga siku-siku untuk menyatakan cos๐ด =4
5 adalah: (Ingat ๐ด adalah sudut lancip)
Sehingga, sin๐ด =3
5
Segitiga siku-siku untuk menyatakan sin๐ต =12
13 adalah: (Ingat ๐ต adalah sudut lancip)
Sehingga, cos๐ต =5
13
Ingat, besar sudut dalam segitiga ๐ด๐ต๐ถ = 180ยฐ.
โ ๐ด+ ๐ต + ๐ถ = 180ยฐโ ๐ถ = 180 โ (๐ด + ๐ต)
Sehingga,
sin๐ถ = sin(180ยฐ โ (๐ด + ๐ต)) (Ingat sifat relasi sudut antar kuadran sin(180ยฐ โ ๐ผ) = sin๐ผ)
โ sin๐ถ = sin(๐ด + ๐ต)
Jadi,
sin ๐ถ = sin(๐ด + ๐ต) = sin๐ด cos๐ต + cos๐ด sin๐ต
=3
5โ5
13+4
5โ12
13
=15
65+48
65
=63
65
3
4
5
๐ด
13
5
12
๐ต
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 179
Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut jika diketahui pola rumusnya. Contoh Soal: Nilai sin45ยฐ cos15ยฐ + cos45ยฐ sin 15ยฐ sama dengan โฆ.
a. 1
2
b. 1
2โ2
c. 1
2โ3
d. 1
2โ6
e. 1
3โ3
Penyelesaian: Ingat, sin๐ด cos๐ต + cos๐ด sin๐ต = sin(๐ด + ๐ต) Sehingga,
sin 45ยฐ cos 15ยฐ + cos 45ยฐ sin15ยฐ = sin(45ยฐ + 15ยฐ) = sin60ยฐ =1
2โ3
Halaman 180 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut untuk menentukan salah satu komponen rumusnya.
Contoh Soal:
Diketahui ๐ dan ๐ adalah sudut lancip dan ๐ โ ๐ = 30ยฐ. Jika cos ๐ sin ๐ =1
6, maka nilai dari sin๐ cos ๐ = โฆ.
a. 1
6
b. 2
6
c. 3
6
d. 4
6
e. 5
6
Penyelesaian: Lihat pada soal, diketahui selisih dua sudut ๐ โ ๐, dan salah satu komponen dari rumus jumlah atau selisih dua sudut yakni cos๐ sin๐. Dengan melihat bahwa yang diketahui komponen perkalian SELANG-SELING, maka rumus yang digunakan adalah sin(๐ โ ๐). Jadi,
sin(๐ โ ๐) = sin๐ cos ๐ โ cos ๐ sin๐
โ sin 30ยฐ = sin๐ cos ๐ โ1
6
โ1
2= sin๐ cos ๐ โ
1
6
โ1
2+1
6= sin๐ cos ๐
โ3
6+1
6= sin๐ cos ๐
โ4
6= sin๐ cos ๐
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 181
Menentukan rumus jumlah atau selisih dua sudut untuk menentukan salah satu komponen rumusnya
Contoh Soal:
Diketahui (๐ด + ๐ต) =๐
3 dan sin๐ด sin๐ต =
1
4. Nilai dari cos(๐ด โ ๐ต) = โฆ.
a. โ1
b. โ1
2
c. 1
2
d. 3
4
e. 1
Penyelesaian: Lihat pada soal, diketahui jumlah dua sudut ๐ด + ๐ต, dan salah satu komponen dari rumus jumlah atau selisih dua sudut yakni sin๐ด sin๐ต. Dengan melihat bahwa yang diketahui komponen perkalian KEMBAR, maka rumus yang digunakan adalah cos(๐ด + ๐ต). Sehingga untuk mencari nilai cos(๐ด โ ๐ต) maka harus komplit terlebih dahulu komponen dari rumusnya, SIN SIN udah ada, tinggal COS COS yang belum ada. Nilai COS COS dicari menggunakan rumus cos(๐ด โ ๐ต):
cos(๐ด + ๐ต) = cos๐ด cos๐ต โ sin๐ด sin๐ต
โ cos๐
3= cos๐ด cos๐ต โ
1
4
โ1
2= cos๐ด cos๐ต โ
1
4
โ1
2+1
4= cos๐ด cos๐ต
โ2
4+1
4= cos๐ด cos๐ต
โ3
4= cos๐ด cos๐ต
Jadi,
cos(๐ด โ ๐ต) = cos๐ด cos๐ต + sin๐ด sin๐ต
=3
4+1
4= 1
Halaman 182 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menggunakan rumus perkalian sinus kosinus. Contoh Soal:
Nilai dari cos10ยฐ
cos40ยฐ cos50ยฐ adalah โฆ.
a. 3 b. 2 c. 1
d. 1
2
e. 1
4
Penyelesaian: Sudut yang digunakan pada soal bukan sudut istimewa. Pada soal terdapat perkalian antara COS dengan COS, maka berlaku konsep perkalian dua kosinus. Jadi,
cos 10ยฐ
cos 40ยฐ cos 50ยฐ=
cos10ยฐ
12 ร 2 cos40ยฐ cos 50ยฐ
(munculkan bentuk 2 cos๐ด cos๐ต = cos(๐ด + ๐ต) + cos(๐ด โ ๐ต))
=cos10ยฐ
12ร (cos(40ยฐ + 50ยฐ) + cos(40ยฐ โ 50ยฐ))
(dibagi1
2= dikali
2
1)
=cos10ยฐ
cos90ยฐ + cos(โ10ยฐ)ร2
1 (ingat relasi sudut negatif, cos(โ๐ผ) = cos๐ผ)
=2 cos10ยฐ
0 + cos10ยฐ
=2 cos10ยฐ
cos10ยฐ= 2
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 183
Menggunakan rumus jumlah atau selisih sinus kosinus. Contoh Soal: Nilai dari cos 195ยฐ + cos 105ยฐ adalah โฆ.
a. 1
2โ6
b. 1
2โ3
c. 1
2โ2
d. 0
e. โ1
2โ6
Penyelesaian:
Ingat cos๐ด + cos๐ต = 2 cos1
2(๐ด + ๐ต) cos
1
2(๐ด โ ๐ต)
Jadi,
cos 195ยฐ + cos 105ยฐ = 2 cos1
2(195ยฐ + 105ยฐ) cos
1
2(195ยฐ โ 105ยฐ)
= 2 cos1
2(300ยฐ) cos
1
2(90ยฐ)
= 2 cos 150ยฐ cos45ยฐ
= 2 (โ1
2โ3) (
1
2โ2)
= โ1
2โ6
Halaman 184 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT Memanipulasi rumus sin + cos atau sin โ cos menggunakan relasi sudut antar kuadran. Contoh Soal: Nilai dari sin 75ยฐ + cos 75ยฐ adalah โฆ.
a. 1
4โ6
b. 1
2โ2
c. 1
2โ3
d. 1
e. 1
2โ6
Penyelesaian: Ingat, nggak ada rumus jadi untuk sinus ditambah kosinus. Yang ada hanyalah sin + sin, sin โ sin, cos + cos, dan cos โ cos. Nah, supaya bisa menggunakan rumus jumlah selisih sinus kosinus, maka gunakan relasi sudut antar kuadran untuk mengubah sin + cos, menjadi sin + sin atau cos + cos. Ingat, sin(90ยฐ โ ๐ผ) = cos๐ผ atau cos(90ยฐ โ ๐ผ) = sin๐ผ. Jadi,
sin 75ยฐ + cos 75ยฐ = sin75ยฐ + cos(90ยฐ โ 15ยฐ) = sin75ยฐ + sin 15ยฐ
= 2 sin1
2(75ยฐ + 15ยฐ) cos
1
2(75ยฐ โ 15ยฐ)
= 2 sin1
2(90ยฐ) cos
1
2(60ยฐ)
= 2 sin45ยฐ cos30ยฐ
= 2 (1
2โ2) (
1
2โ3)
=1
2โ6
Kunjungi selalu laman web http://pak-anang.blogspot.com untuk melihat update TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS terbarunya.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 185
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Diketahui 3
ฯฮฒฮฑ dan
4
1ฮฒsinฮฑsin dengan ฮฑ dan ฮฒ merupakan sudut lancip. Nilai ฮฒ)cos(ฮฑ ....
A. 1
B. 4
3
C. 2
1
D. 4
1
E. 0
2. Diketahui nilai 5
1ฮฒcosฮฑsin dan
5
3ฮฒ) (ฮฑsin untuk 180ฮฑ0 dan .90ฮฒ0
Nilai ฮฒ) (ฮฑsin ....
A. 5
3
B. 5
2
C. 5
1
D. 5
1
E. 5
3
3. Diketahui 5
3ฮฑsin dan
13
12cos lancip)sudut dan ( . Nilai ฮฒ) (ฮฑsin ....
A. 65
56
B. 65
48
C. 65
36
D. 65
20
E. 65
16
4. Jika 3
ฯBA dan ,
8
5B cosA cos maka B)cos(A ....
A. 4
1
B. 2
1
C. 4
3
D. 1
E. 4
5
cos(๐ผ โ ๐ฝ) = cos๐ผ cos๐ฝ + sin ๐ผ sin ๐ฝ (diketahui dari soal sin ๐ผ โ sin ๐ฝ =1
4 dan ๐ผ โ ๐ฝ =
๐
3)
โ1
2= cos๐ผ cos๐ฝ +
1
4
โ cos ๐ผ cos ๐ฝ =1
4
cos(๐ผ + ๐ฝ) = cos๐ผ cos๐ฝ โ sin ๐ผ sin ๐ฝ
โ cos(๐ผ + ๐ฝ) =1
4โ
1
4
โ cos(๐ผ + ๐ฝ) = 0
sin(๐ผ โ ๐ฝ) = sin ๐ผ cos ๐ฝ โ cos ๐ผ sin ๐ฝ (diketahui dari soal sin ๐ผ โ cos ๐ฝ =1
5 dan sin(๐ผ โ ๐ฝ) =
3
5)
โ3
5=
1
5โ cos ๐ผ sin ๐ฝ
โ cos ๐ผ sin ๐ฝ = โ2
5
sin(๐ผ + ๐ฝ) = sin ๐ผ cos ๐ฝ + cos ๐ผ sin ๐ฝ
โ sin(๐ผ + ๐ฝ) =1
5+ (โ
2
5)
โ sin(๐ผ + ๐ฝ) = โ1
5
sin(๐ผ + ๐ฝ) = sin ๐ผ cos ๐ฝ + cos ๐ผ sin ๐ฝ
โ sin(๐ผ + ๐ฝ) =3
5โ12
13+
4
5โ5
13
โ sin(๐ผ + ๐ฝ) =36
65+
20
65
โ sin(๐ผ + ๐ฝ) =56
65
๐ผ 3
5
4
๐ฝ 5
13
12
sin ๐ผ =3
5
โ cos ๐ผ =4
5
cos ๐ฝ =12
13
โ sin ๐ฝ =5
13
cos(๐ด + ๐ต) = cos๐ด cos ๐ต โ sin๐ด sin๐ต (diketahui dari soal cos ๐ด cos ๐ต =5
8 dan ๐ผ + ๐ฝ =
๐
3)
โ1
2=
5
8โ sin๐ด sin๐ต
โ sin๐ด sin๐ต =1
8
cos(๐ด โ ๐ต) = cos๐ด cos ๐ต + sin๐ด sin๐ต
โ cos(๐ด โ ๐ต) =5
8+
1
8
โ cos(๐ด โ ๐ต) =6
8=
3
4
Halaman 186 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
5. Nilai dari 165sin75sin adalah ....
A. 24
1
B. 34
1
C. 64
1
D. 22
1
E. 62
1
Jika adik-adik butuh โbocoranโ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.
sin ๐ด โ sin ๐ต = 2 cos (๐ด + ๐ต
2) sin (
๐ด โ ๐ต
2)
โ sin 75ยฐ โ sin 165ยฐ = 2 cos (75ยฐ + 165ยฐ
2) sin (
75ยฐ โ 165ยฐ
2)
= 2 cos 120ยฐ sin(โ45ยฐ) (ingat sin(โ๐ฅ) = โ sin ๐ฅ)
= โ2 cos 120ยฐ sin 45ยฐ= โ2 cos(180ยฐ โ 60ยฐ) sin 45ยฐ (ingat cos(180ยฐ โ ๐ฅ) = โ cos ๐ฅ)
= โ2 (โcos 60ยฐ) sin 45ยฐ
= 2 cos 60ยฐ sin 45
= 2 โ1
2โ1
2โ2
=1
2โ2
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 187
SKL 5. Memahami konsep limit, turunan dan integral dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri, serta mampu menerapkannya dalam pemecahan masalah.
5. 1. Menghitung nilai limit fungsi aljabar dan fungsi trigonometri.
Limit Aljabar
Bentuk Umum
lim๐ฅโ๐
๐(๐ฅ)
Limit ๐ฅ โ ๐ Limit ๐ฅ โ โ
โJika ๐(๐) terdefinisiโ โJika ๐(๐) =๐
๐โ โ
๐
โ itu mendekati nolโ
lim๐ฅโ๐
๐(๐ฅ) = ๐(๐) ๐(๐ฅ) diubah sehingga
pembuat nilai 0
0 hilang. lim
๐ฅโโ
1
๐ฅ๐= 0
Pemfaktoran Dikali Sekawan Akar Dibagi Variabel Pangkat Tertinggi
lim๐ฅโ๐
๐(๐ฅ)
๐(๐ฅ)= lim
๐ฅโ๐
(๐ฅ โ ๐)๐(๐ฅ)
(๐ฅ โ ๐)๐(๐ฅ)
Sehingga hilanglah pembuat
nilai 0
0, yaitu
(๐ฅโ๐)
(๐ฅโ๐)
โ lim๐ฅโ๐
๐(๐ฅ)
๐(๐ฅ)
โ๐(๐)
๐(๐)
lim๐ฅโ2
โ2๐ฅ โ 2
2๐ฅ โ 4
Bentuk limit tersebut memuat
bentuk akar yaitu โ2๐ฅ โ 2, yang
bentuk sekawannya โ2๐ฅ + 2.
โ lim๐ฅโ2
โ2๐ฅ โ 2
2๐ฅ โ 4ร
โ2๐ฅ + 2
โ2๐ฅ + 2
โ lim๐ฅโ2
(2๐ฅ โ 4)
(2๐ฅ โ 4)(โ2๐ฅ + 4)
Sehingga hilanglah pembuat
nilai 0
0, yaitu
2๐ฅโ4
2๐ฅโ4
lim
๐ฅโโ
3๐ฅ2 โ 2๐ฅ + 4
5๐ฅ2 + 9๐ฅ โ 3
Nilai limit di atas adalah bentuk tak tentu โ
โ,
bagilah semua suku pembilang dan penyebut
dengan variabel pangkat tertinggi, yaitu ๐ฅ2,
โ lim๐ฅโโ
3๐ฅ2
๐ฅ2 โ2๐ฅ๐ฅ2 +
4๐ฅ2
5๐ฅ2
๐ฅ2 +9๐ฅ๐ฅ2 โ
3๐ฅ2
โ lim๐ฅโ2
3 โ 0 + 0
5 + 0 โ 0
โ3
5
Aturan LโHรดpital โDiturunkanโ
lim๐ฅโ๐
๐(๐ฅ)
๐(๐ฅ)= lim
๐ฅโ๐
๐โฒ(๐ฅ)
๐โฒ(๐ฅ)
Dikali Sekawan Akar
lim๐ฅโโ
โ2๐ฅ2 + 3๐ฅ โ 1 โ โ2๐ฅ2 โ ๐ฅ + 5
Nilai limit adalah bentuk tak tentu โ โ โ,
kalikan dengan bentuk sekawan akar.
lim๐ฅโโ
โ2๐ฅ2 + 3๐ฅ โ 1 โ โ2๐ฅ2 โ ๐ฅ + 5 รโ2๐ฅ2 + 3๐ฅ โ 1 + โ2๐ฅ2 โ ๐ฅ + 5
โ2๐ฅ2 + 3๐ฅ โ 1 + โ2๐ฅ2 โ ๐ฅ + 5
Setelah itu lanjutkan dengan membagi
variabel pangkat tertinggi.
Halaman 188 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Limit Trigonometri
Sinus dan Tangen Kosinus โJahatโ โCoret Sintaโ โHapus Kosinusโ
lim๐ฅโ0
sin ๐ฅ
๐ฅ= lim
๐ฅโ0
๐ฅ
sin ๐ฅ= 1
lim๐ฅโ0
tan ๐ฅ
๐ฅ= lim
๐ฅโ0
๐ฅ
tan ๐ฅ= 1
lim๐ฅโ0
sin ๐ฅ
tan ๐ฅ= lim
๐ฅโ0
tan ๐ฅ
sin ๐ฅ= 1
lim๐ฅโ0
sin ๐ฅ
sin ๐ฅ= lim
๐ฅโ0
tan ๐ฅ
tan ๐ฅ= 1
lim๐ฅโ0
sin ๐๐ฅ
๐๐ฅ= lim
๐ฅโ0
๐๐ฅ
sin ๐๐ฅ=
๐
๐
lim๐ฅโ0
tan ๐๐ฅ
๐๐ฅ= lim
๐ฅโ0
๐๐ฅ
tan ๐๐ฅ=
๐
๐
lim๐ฅโ0
sin ๐๐ฅ
tan ๐๐ฅ= lim
๐ฅโ0
tan ๐๐ฅ
sin ๐๐ฅ=
๐
๐
lim๐ฅโ0
sin ๐๐ฅ
sin ๐๐ฅ= lim
๐ฅโ0
tan ๐๐ฅ
tan ๐๐ฅ=
๐
๐
lim๐ฅโ0
cos ๐ฅ = lim๐ฅโ0
1
cos ๐ฅ= 1
lim๐ฅโ0
cos ๐๐ฅ = lim๐ฅโ0
1
cos ๐๐ฅ= 1
Kosinus โBaikโ adalah Kosinus yang menyebabkan nilai limit menjadi 0.
Ingat lagi identitas trigonometri
1 โ cos ๐ฅ = 2 sin21
2๐ฅ
1 โ cos2 ๐ฅ = sin2 ๐ฅ
Kosinus โBaikโ โUbah Kosinusโ
lim๐ฅโ0
๐ โ ๐๐จ๐ฌ ๐
๐ฅ2 = lim๐ฅโ0
2 sin2 12
๐ฅ
๐ฅ2 = lim๐ฅโ0
2 โsin
12
๐ฅ
๐ฅโ
sin12
๐ฅ
๐ฅ
lim๐ฅโ0
๐๐จ๐ฌ ๐ โ ๐
๐ฅ2 = lim๐ฅโ0
โ2 sin2 12
๐ฅ
๐ฅ2 = lim๐ฅโ0
โ2 โsin
12
๐ฅ
๐ฅโ
sin12
๐ฅ
๐ฅ
lim๐ฅโ0
๐ โ ๐๐จ๐ฌ ๐๐
๐ฅ2 = lim๐ฅโ0
2 sin2 12
๐๐ฅ
๐ฅ2 = lim๐ฅโ0
2 โsin
12
๐๐ฅ
๐ฅโ
sin12
๐๐ฅ
๐ฅ
lim๐ฅโ0
๐๐จ๐ฌ ๐๐ โ ๐
๐ฅ2 = lim๐ฅโ0
โ2 sin2 12
๐๐ฅ
๐ฅ2 = lim๐ฅโ0
โ2 โsin
12
๐๐ฅ
๐ฅโ
sin12
๐๐ฅ
๐ฅ
lim๐ฅโ0
๐๐จ๐ฌ ๐๐ โ ๐๐จ๐ฌ ๐๐
๐ฅ2= lim
๐ฅโ0
2 sin2 12
๐๐ฅ โ 2 sin2 12
๐๐ฅ
๐ฅ2= dst dst โฆ
lim๐ฅโ0
๐ โ ๐๐จ๐ฌ๐ ๐
๐ฅ2 = lim๐ฅโ0
sin2 ๐ฅ
๐ฅ2 = lim๐ฅโ0
sin ๐ฅ
๐ฅโ
sin ๐ฅ
๐ฅ
lim๐ฅโ0
๐๐จ๐ฌ๐ ๐ โ ๐
๐ฅ2 = lim๐ฅโ0
โ sin2 ๐ฅ
๐ฅ2 = lim๐ฅโ0
โsin ๐ฅ
๐ฅโ
sin ๐ฅ
๐ฅ
lim๐ฅโ0
๐ โ ๐๐จ๐ฌ๐ ๐๐
๐ฅ2 = lim๐ฅโ0
sin2 ๐๐ฅ
๐ฅ2 = lim๐ฅโ0
sin ๐๐ฅ
๐ฅโ
sin ๐๐ฅ
๐ฅ
lim๐ฅโ0
๐๐จ๐ฌ๐ ๐๐ โ ๐
๐ฅ2 = lim๐ฅโ0
โ sin2 ๐๐ฅ
๐ฅ2 = lim๐ฅโ0
โsin ๐๐ฅ
๐ฅโ
sin ๐๐ฅ
๐ฅ
lim๐ฅโ0
๐๐จ๐ฌ๐ ๐๐ โ ๐๐จ๐ฌ๐ ๐๐
๐ฅ2 = lim๐ฅโ0
sin2 ๐๐ฅ โ sin2 ๐๐ฅ
๐ฅ2 = dst dst โฆ
dst โฆ dst โฆ
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 189
LOGIKA PRAKTIS Pengerjaan Limit. Secara umum proses mengerjakan soal limit adalah sebagai berikut:
lim๐ฅโ๐
๐(๐ฅ)
Substitusi ๐ฅ = ๐ ke ๐(๐ฅ)
Periksa Hasilnya? Bentuk tertentu Bentuk tak tentu
(๐
๐,0
๐= 0,
๐
0= โ) (
0
0,โ
โ, โ โ โ, โฆ )
Selesai
Ubah
Halaman 190 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Aljabar Menggunakan Aturan LโHopital (Turunan).
Cara cepat untuk menyelesaikan limit aljabar yang menghasilkan bentuk tak tentu 0
0 adalah dengan
menggunakan aturan LโHopital, yaitu mencari turunan dari pembilang dan penyebut. Lalu langkah berikutnya adalah disubstitusikan limitnya ke fungsi. Selesai. Contoh:
lim๐ฅโ2
2๐ฅ2 โ 7๐ฅ + 6
4๐ฅ โ 8=
0
0
Sehingga,
lim๐ฅโ2
2๐ฅ2 โ 7๐ฅ + 6
4๐ฅ โ 8= lim
๐ฅโ2
4๐ฅ โ 7
4=
4(2) โ 7
4=
8 โ 7
4=
1
4
diturunkan
diturunkan
disubstitusikan
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 191
Asal Muasal TRIK SUPERKILAT Limit Aljabar Menggunakan Modifikasi Aturan LโHopital (Turunan Modifikasi). Perhatikan misalkan kita hendak mencari penyelesaian dari:
lim๐ฅโ๐
โ๐(๐ฅ)๐โ โ๐(๐ฅ)๐
โ(๐ฅ)= โฆ.
Bentuk limit tersebut menghasilkan suatu nilai tak tentu yaitu 0
0.
Jadi kesimpulannya adalah:
lim๐ฅโ๐
โ๐(๐ฅ)๐โ โ๐(๐ฅ)๐
โ(๐ฅ)=
0
0 โ untuk ๐ฅ โ ๐ {
โ๐(๐ฅ)๐
โ โ๐(๐ฅ)๐
= 0 โ โ๐(๐ฅ)๐
= โ๐(๐ฅ)๐
โ(๐ฅ) = 0
Maka, penyelesaiannya bisa menggunakan aturan LโHopital, meskipun cukup panjang karena fungsi yang dilimitkan masih memuat bentuk akar. Sehingga dengan menggunakan aturan LโHopital:
lim๐ฅโ๐
โ๐(๐ฅ)๐โ โ๐(๐ฅ)๐
โ(๐ฅ)= lim
๐ฅโ๐
๐๐๐ฅ
[ โ๐(๐ฅ)๐โ โ๐(๐ฅ)๐
]
๐๐๐ฅ
[โ(๐ฅ)]
(ingat๐
๐๐ฅ( โ๐(๐ฅ)
๐) =
๐
๐๐ฅ(๐(๐ฅ))
1๐)
(sehingga๐
๐๐ฅ( โ๐(๐ฅ)
๐) =
1
๐(๐(๐ฅ))
1๐
โ1โ ๐โฒ(๐ฅ) =
๐โฒ(๐ฅ)
๐ โ (๐(๐ฅ))๐โ1
๐
=๐โฒ(๐ฅ)
๐( โ๐(๐ฅ)๐)
๐โ1)
= lim๐ฅโ๐
๐โฒ(๐ฅ)
๐( โ๐(๐ฅ)๐)
๐โ1 โ๐โฒ(๐ฅ)
๐( โ๐(๐ฅ)๐)
๐โ1
โโฒ(๐ฅ)
(ingat untuk ๐ฅ โ ๐ berlaku โ๐(๐ฅ)๐
= โ๐(๐ฅ)๐
)
= lim๐ฅโ๐
๐โฒ(๐ฅ)
๐( โ๐(๐ฅ)๐)
๐โ1 โ๐โฒ(๐ฅ)
๐( โ๐(๐ฅ)๐)
๐โ1
โโฒ(๐ฅ) (keluarkan
1
๐( โ๐(๐ฅ)๐)
๐โ1 dari kedua ruas)
= (1
๐( โ๐(๐ฅ)๐)
๐โ1) ร (lim๐ฅโ๐
๐โฒ(๐ฅ) โ ๐โฒ(๐ฅ)
โโฒ(๐ฅ))
Pangkat Akar Nilai Akar Pangkat Akar โ 1 Aturan LโHopital, tapi tanpa tanda akar Jadi, kesimpulannya jadilah sebuah TRIK SUPERKILAT, yang Pak Anang beri nama, TURUNAN MODIFIKASI. Mengapa? Karena prinsipnya sama dengan proses mencari nilai limit dengan menggunakan aturan LโHopital, yakni dengan mencari turunan pembilang dan penyebut. Namun, TRIK SUPERKILAT tidak menggunakan tanda akar, dan hasilnya nanti harus dikalikan dengan โsesuatuโ.
Sesuatu itu adalah, pangkatร(nilai akar)pangkat-1 yang harus diletakkan terbalik dengan letak akar semula.
Halaman 192 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Aljabar Menggunakan Modifikasi Aturan LโHopital (Turunan Modifikasi).
Cara cepat untuk menyelesaikan limit aljabar yang memuat bentuk akar dan menghasilkan bentuk tak tentu 0
0
adalah dengan menggunakan modifikasi aturan LโHopital, yaitu memodifikasi cara mencari turunan dari pembilang atau penyebut bentuk akar. Lalu langkah berikutnya adalah disubstitusikan limitnya ke fungsi. Selesai.
Soal Limit ๐ฅ โ ๐ bentuk 0
0 yang memuat bentuk akar
Perhatikan tiga hal Buang Tanda Akar, Ganti dengan Kurung Pangkat Akar Nilai Akar Letak Akar Turunkan Pembilang Penyebut (Aturan LโHopital)
Kalikan dengan โSesuatuโ Selesai! Misal soalnya adalah sebagai berikut:
lim๐ฅโ2
โ3๐ฅ + 3 โ โ5๐ฅ โ 1
๐ฅ2 โ 4=
0
0
Maka tiga hal yang harus segera diperhatikan pada soal adalah:
Periksa akar pangkat berapa?
lim๐ฅโ2
โ3๐ฅ + 3 โ โ5๐ฅ โ 1
๐ฅ2 โ 4=
0
0
โ โ๐
โ akar pangkat "๐"
Periksa nilai dari akar pada soal.
lim๐ฅโ2
โ3๐ฅ + 3 โ โ5๐ฅ โ 1
๐ฅ2 โ 4=
0
0
โ โ๐๐ + ๐ = โ๐(๐) + ๐ = โ๐ = "๐"
Lihat letak akar!
Kalau di atas tulis di bawah. Kalau di bawah tulis di atas.
Apa yang ditulis?
pangkat ร (nilai akar)pangkatโ1
lim๐ฅโ2
โ3๐ฅ + 3 โ โ5๐ฅ โ 1
๐ฅ2 โ 4=
0
0
โ akar berada di atas โ tulis di bawah
โ๐
pangkat ร (nilai akar)pangkatโ๐
Keterangan TRIK SUPERKILAT: Dikalikan sesuatu, maksudnya dikalikan dengan:
pangkatร(nilai akar)pangkat-1 yang letaknya berkebalikan dengan letak akar.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 193
Nah sekarang praktek mengerjakan soalnya: Tentukan nilai dari:
lim๐ฅโ2
โ3๐ฅ + 3 โ โ5๐ฅ โ 1
๐ฅ2 โ 4= โฆ.
Perhatikan soal! lim๐ฅโ2
โ3๐ฅ + 3 โ โ5๐ฅ โ 1
๐ฅ2 โ 4
Buang tanda akar! Ganti akar dengan tanda kurung lim
๐ฅโ2
(3๐ฅ + 3) โ (5๐ฅ โ 1)
๐ฅ2 โ 4
Gunakan aturan LโHopital! Mencari turunan dari
pembilang dan penyebut
lim๐ฅโ2
๐๐๐ฅ
[(3๐ฅ + 3) โ (5๐ฅ โ 1)]
๐๐๐ฅ
[๐ฅ2 โ 4]
โ ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐
๐ โ ๐
๐๐= ๐ฅ๐ข๐ฆ
๐โ๐
โ๐
๐๐=
โ๐
๐(๐)=
โ๐
๐
Masih ingat apa yang ditulis? Pangkat = 2
Nilai Akar = 3 Letak Akar = di atas
โ2
4ร
1
pangkatร(nilai akar)pangkat-1
โโ๐
๐ร
๐
๐ โ (๐)๐โ๐=
โ๐
๐ร
๐
๐= โ
๐
๐๐
Selesaiโฆ!!!! โด lim๐ฅโ2
โ3๐ฅ + 3 โ โ5๐ฅ โ 1
๐ฅ2 โ 4= โ
1
12
Contoh Pengerjaan TRIK SUPERKILAT Modifikasi Aturan LโHopital Versi Lebih Singkat: Tentukan nilai dari:
lim๐ฅโ2
โ2๐ฅ + 1 โ โ4๐ฅ โ 3
5๐ฅ โ 15= โฆ.
Sehingga,
lim๐ฅโ2
โ2๐ฅ + 1 โ โ4๐ฅ โ 3
5๐ฅ โ 10= lim
๐ฅโ2
2 โ 4
5ร
1
2โ5=
โ2
5ร
1
2โ5= โ
1
5โ5= โ
1
25โ5
Diturunkan tanpa tanda akar
Diturunkan tanpa tanda akar
Dikalikan โsesuatuโ
Keterangan TRIK SUPERKILAT: Dikalikan sesuatu, maksudnya dikalikan dengan:
pangkatร(nilai akar)pangkat-1 yang letaknya berkebalikan dengan letak akar.
Halaman 194 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Aljabar Menuju Tak Hingga dengan Membagi Variabel Pangkat Tertinggi. Cara cepat untuk menyelesaikan limit aljabar menuju tak hingga dengan membagi variabel pangkat tertinggi adalah dengan membandingkan pangkat variabel pada pembilang dan penyebut. Selesai.
Soal Limit ๐ฅ โ โ bentuk โ
โ
Bentuk umum
lim๐ฅโโ
๐1๐ฅ๐ + ๐2๐ฅ๐โ1 + ๐3๐ฅ๐โ2 + โฆ + ๐๐
๐1๐ฅ๐ + ๐2๐ฅ๐โ1 + ๐3๐ฅ๐โ2 + โฆ + ๐๐
Bandingkan pangkat terbesar dari pembilang dan penyebut
๐ < ๐ ๐ = ๐ ๐ > ๐
Nilai limit = 0 Nilai limit = ๐1
๐1 Nilai limit = โ
Misal soalnya adalah sebagai berikut:
lim๐ฅโโ
5๐ฅ3 + 2๐ฅ โ 15
2๐ฅ4 โ 3๐ฅ2 + 1= โฆ.
Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah pangkat terbesar ada di bawahโฆ.. Berarti KEEECIIIIILLLLLโฆ. Sehingga nilai limitnya adalah 0 (nol).
lim๐ฅโโ
2๐ฅ3 + 5๐ฅ2 + 7
3๐ฅ2 + 13๐ฅ + 5= โฆ.
Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah pangkat terbesar ada di atasโฆ.. Berarti BEEESAAAARRRRRRโฆ. Sehingga nilai limitnya adalah +โ (positif tak terhingga).
lim๐ฅโโ
4๐ฅ3 + 5๐ฅ โ 21
3๐ฅ3 + 7๐ฅ2 โ 4= โฆ.
Apabila pangkat terbesar ada di atas dan di bawah, maka nilai limitnya adalah hasil pembagian koefisien variabel pangkat tertinggi tersebut.
Perbandingan koefisien bertanda positif
LOGIKA PRAKTIS menghafalkan: Ingat, kecil โ 0, besar โ โ Kalau pangkat terbesar di bawah berarti nol. Bawah itu KEEEECIIIILLLLโฆ. Kalau pangkat tertinggi di atas berarti tak hingga. Atas itu BEESAAAARRRโฆ. Jika pangkat tertinggi ada di atas dan di bawah, maka lihat koefisiennya saja. Selesai!
Kalau pangkat terbesar di bawah berarti nol. Bawah itu KEEEECIIIILLLLโฆ. Jadi nilai limitnya sama dengan nol.
Kalau pangkat terbesar di atas berarti tak hingga. Atas itu BEEESAAARRโฆ. Jadi nilai limitnya sama dengan positif tak hingga, perbandingannya positif..
Kalau pangkat terbesar di atas dan di bawah berarti nilai limitnya adalah hasil
pembagian koefisien yang memuat variabel pangkat tertinggi, yaitu 4
3.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 195
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Aljabar Menuju Tak Hingga dengan Mengalikan Bentuk Sekawan Akar. Cara cepat untuk menyelesaikan limit aljabar menuju tak hingga dengan mengalikan bentuk sekawan akar adalah membandingkan koefisien suku derajat dua dan suku derajat satu di dalam tanda akar. Selesai.
Soal Limit ๐ฅ โ โ bentuk โ โ โ Bentuk umum
lim๐ฅโโ
โ๐๐ฅ2 + ๐๐ฅ + ๐ โ โ๐๐ฅ2 + ๐๐ฅ + ๐
Bandingkan koefisien suku derajat dua di dalam tanda akar
๐ < ๐ ๐ = ๐ ๐ > ๐
Nilai limit = โโ Nilai limit = ๐โ๐
2โ๐ Nilai limit = +โ
Misal soalnya adalah sebagai berikut:
lim๐ฅโโ
โ2๐ฅ2 + 3๐ฅ โ 4 โ โ๐ฅ2 โ 7๐ฅ โ 1 = โฆ.
Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah koefisien terbesar ada di akar bertanda positif. Sehingga nilai limitnya adalah +โ (positif tak hingga).
lim๐ฅโโ
โ๐ฅ2 + 3๐ฅ โ 4 โ โ2๐ฅ2 โ 7๐ฅ โ 1 = โฆ.
Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah koefisien terbesar ada di akar bertanda positif. Sehingga nilai limitnya adalah โโ (negatif tak hingga).
lim๐ฅโโ
โ2๐ฅ2 + 3๐ฅ โ 4 โ โ2๐ฅ2 โ 7๐ฅ โ 1 = โฆ.
Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah koefisien terbesar ada di kedua bentuk akar.
Sehingga nilai limitnya adalah ๐โ๐
2โ๐=
3โ(โ7)
2โ2=
10
2โ2=
5
โ2=
5
2โ2
LOGIKA PRAKTIS menghafalkan: Ingat, akar tanda positif โ +โ, akar tanda negatif โ โโ Kalau koefisien terbesar di akar bertanda positif. Maka nilai limit POSITIF TAK HINGGAโฆ. Kalau koefisien terbesar di akar bertanda negatif. Maka nilai limit NEGATIF TAK HINGGAโฆ. Jika koefisien tertinggi sama pada kedua bentuk akar, maka gunakan rumusnya. Selesai!
Kalau koefisien terbesar ada di akar bertanda positif. Maka nilai limit adalah POSITIF TAK HINGGAAAAAAAโฆ.
Kalau koefisien terbesar ada di akar bertanda negatif. Maka nilai limit adalah NEGATIF TAK HINGGAAAAAAAโฆ.
Kalau koefisien terbesar ada di kedua bentuk akar.
Maka nilai limit adalah ๐โ๐
2โ๐โฆ.
๐
๐ โ ๐
Halaman 196 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Trigonometri Menggunakan Aturan Sinta Coret. Cara cepat untuk menyelesaikan limit trigonometri yang memuat bentuk sinus atau tangen dan menghasilkan
bentuk tak tentu 0
0 adalah dengan mencoret sinus dan tangen sehingga tinggal menyisakan sudutnya saja. Lalu
langkah berikutnya adalah mencoret variabel yang sama pada pembilang dan penyebut. Selesai.
Soal Limit Fungsi Trigonometri ๐ฅ โ 0 bentuk 0
0
Jika limit memuat bentuk sin atau tan, maka coret sin atau tan. Lalu sederhanakan bentuk yang tersisa.
lim๐ฅโ0
sin ๐ฅ
๐ฅ= lim
๐ฅโ0
๐ฅ
sin ๐ฅ= 1
lim๐ฅโ0
tan ๐ฅ
๐ฅ= lim
๐ฅโ0
๐ฅ
tan ๐ฅ= 1
lim๐ฅโ0
sin ๐ฅ
tan ๐ฅ= lim
๐ฅโ0
tan ๐ฅ
sin ๐ฅ= 1
lim๐ฅโ0
sin ๐ฅ
sin ๐ฅ= lim
๐ฅโ0
tan ๐ฅ
tan ๐ฅ= 1
lim๐ฅโ0
sin ๐๐ฅ
๐๐ฅ= lim
๐ฅโ0
๐๐ฅ
sin ๐๐ฅ=
๐
๐
lim๐ฅโ0
tan ๐๐ฅ
๐๐ฅ= lim
๐ฅโ0
๐๐ฅ
tan ๐๐ฅ=
๐
๐
lim๐ฅโ0
sin ๐๐ฅ
tan ๐๐ฅ= lim
๐ฅโ0
tan ๐๐ฅ
sin ๐๐ฅ=
๐
๐
lim๐ฅโ0
sin ๐๐ฅ
sin ๐๐ฅ= lim
๐ฅโ0
tan ๐๐ฅ
tan ๐๐ฅ=
๐
๐
Contoh Soal
lim๐ฅโ0
๐ฅ sin 2๐ฅ
5๐ฅ tan 3๐ฅ=
1 โ 2
3 โ 5=
2
15
Coret sin dan tan, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
lim๐ฅโ0
5๐ฅ sin2 2๐ฅ
3๐ฅ2 tan ๐ฅ= lim
๐ฅโ0
5๐ฅ sin 2๐ฅ sin 2๐ฅ
3 ๐ฅ ๐ฅ tan ๐ฅ=
5 โ 2 โ 2
3=
20
3
Coret sin dan tan, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
lim๐ฅโ0
5๐ฅ2 tan 3๐ฅ
sin3 2๐ฅ= lim
๐ฅโ0
5๐ฅ ๐ฅ tan 3๐ฅ
sin 2๐ฅ sin 2๐ฅ sin 2๐ฅ=
5 โ 5 โ 3
2 โ 2 โ 2=
75
8
Coret sin dan tan, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
lim๐ฅโ0
sin 3๐ฅ + tan 6๐ฅ
4๐ฅ= lim
๐ฅโ0
3๐ฅ + 6๐ฅ
4๐ฅ= lim
๐ฅโ0
9๐ฅ
4๐ฅ=
9
4
Coret sin dan tan, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
lim๐ฅโ0
5๐ฅ2
๐ฅ(tan 7๐ฅ โ sin 3๐ฅ)= lim
๐ฅโ0
5๐ฅ2
๐ฅ(7๐ฅ โ 3๐ฅ)= lim
๐ฅโ0
5๐ฅ2
4๐ฅ2=
5
4
Coret sin dan tan, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 197
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Trigonometri Menggunakan Aturan Hapus Kosinus. Cara cepat untuk menyelesaikan limit trigonometri yang memuat bentuk kosinus โjahatโ dan menghasilkan
bentuk tak tentu 0
0 adalah dengan menghapus fungsi kosinus yang bernilai 1. Lalu langkah berikutnya adalah
mencoret variabel yang sama pada pembilang dan penyebut. Selesai.
Soal Limit Fungsi Trigonometri ๐ฅ โ 0 bentuk 0
0
Jika limit memuat bentuk cos โjahatโ, maka hapus cos. Lalu sederhanakan bentuk yang tersisa.
lim๐ฅโ0
cos ๐ฅ = lim๐ฅโ0
1
cos ๐ฅ= 1
lim๐ฅโ0
cos ๐๐ฅ = lim๐ฅโ0
1
cos ๐๐ฅ= 1
Contoh Soal
lim๐ฅโ0
cos ๐ฅ
๐ฅ= lim
๐ฅโ0
1
๐ฅ=
1
0= โ
Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
lim๐ฅโ0
3๐ฅ
cos 7๐ฅ= lim
๐ฅโ03๐ฅ = 0
Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
lim๐ฅโ0
2๐ฅ cos 5๐ฅ
3 sin ๐ฅ= lim
๐ฅโ0
2๐ฅ
3 sin ๐ฅ= lim
๐ฅโ0
2
3=
2
3
Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
lim๐ฅโ0
sin 3๐ฅ + ๐ฅ cos 2๐ฅ
tan 5๐ฅ cos 7๐ฅ= lim
๐ฅโ0
3๐ฅ + ๐ฅ
5๐ฅlim๐ฅโ0
4๐ฅ
5๐ฅ= lim
๐ฅโ0
4
5=
4
5
Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
lim๐ฅโ0
2๐ฅ2 cos ๐ฅ
๐ฅ sin 3๐ฅ= lim
๐ฅโ0
2๐ฅ ๐ฅ
๐ฅ 3๐ฅ= lim
๐ฅโ0
2
3=
2
3
Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
lim๐ฅโ0
3๐ฅ cos 2๐ฅ
๐ฅ cos2 5๐ฅ= lim
๐ฅโ0
3๐ฅ
๐ฅ= lim
๐ฅโ0
3
1= 3
Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
Halaman 198 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Trigonometri Menggunakan Aturan Ubah Kosinus. Cara cepat untuk menyelesaikan limit trigonometri yang memuat bentuk kosinus โbaikโ dan menghasilkan
bentuk tak tentu 0
0 adalah dengan mengubah fungsi kosinus yang menyebabkan nilai limit menjadi 0 dengan
menggunakan sifat identitas trigonometri. Lalu langkah berikutnya adalah mencoret variabel yang sama pada pembilang dan penyebut. Selesai.
Soal Limit Fungsi Trigonometri ๐ฅ โ 0 bentuk 0
0
Jika limit memuat bentuk cos โbaikโ, maka ubah cos. Lalu sederhanakan bentuk yang tersisa.
lim๐ฅโ0
๐ โ ๐๐จ๐ฌ ๐๐
๐ฅ2= lim
๐ฅโ0
๐๐
๐๐ ๐๐
๐ฅ2=
1
2๐2
lim๐ฅโ0
๐๐จ๐ฌ ๐๐ โ ๐
๐ฅ2= lim
๐ฅโ0
โ๐๐
๐๐ ๐๐
๐ฅ2= โ
1
2๐2
lim๐ฅโ0
๐๐จ๐ฌ ๐๐ โ ๐๐จ๐ฌ ๐๐
๐ฅ2= lim
๐ฅโ0
๐๐
๐๐ ๐๐ โ๐๐
๐๐ ๐๐
๐ฅ2=
1
2(๐2 โ ๐2)
lim๐ฅโ0
๐ โ ๐๐จ๐ฌ๐ ๐๐
๐ฅ2= lim
๐ฅโ0
๐๐ ๐๐
๐ฅ2= ๐2
lim๐ฅโ0
๐๐จ๐ฌ๐ ๐๐ โ ๐
๐ฅ2= lim
๐ฅโ0
โ ๐๐ ๐๐
๐ฅ2= โ ๐2
lim๐ฅโ0
๐๐จ๐ฌ๐ ๐๐ โ ๐๐จ๐ฌ๐ ๐๐
๐ฅ2= lim
๐ฅโ0
๐๐ ๐๐ โ ๐๐ ๐๐
๐ฅ2= (๐2 โ ๐2)
Contoh Soal
lim๐ฅโ0
๐ โ ๐๐จ๐ฌ ๐๐
3๐ฅ2= lim
๐ฅโ0
๐๐ ๐๐ ๐๐
3 ๐ฅ ๐ฅ= lim
๐ฅโ0
2
3=
2
3
Ubah cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
lim๐ฅโ0
๐ โ ๐๐จ๐ฌ๐ ๐๐
3๐ฅ2= lim
๐ฅโ0
๐๐ ๐๐
3 ๐ฅ ๐ฅ= lim
๐ฅโ0
2 โ 2
3= lim
๐ฅโ0
4
3=
4
3
Ubah cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_23.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Limit Fungsi Aljabar dan Limit Fungsi Trigonometri iniโฆ.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 199
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Nilai x
x
x 93
5lim
0....
A. โ30
B. โ27
C. 15
D. 30
E. 36
2. Nilai
32
1lim
1 x
x
x....
A. 8
B. 4
C. 0
D. โ4
E. โ8
3. Nilai
3
12lim
3 x
x
x....
A. 4
1
B. 2
1
C. 1
D. 2
E. 4
lim๐ฅโ0
5๐ฅ
3 โ โ9 + ๐ฅ = lim
๐ฅโ0
5๐ฅ
3 โ โ9 + ๐ฅร
3 + โ9 + ๐ฅ
3 + โ9 + ๐ฅ
= lim๐ฅโ0
5๐ฅ โ (3 + โ9 + ๐ฅ)
9 โ (9 + ๐ฅ)
= lim๐ฅโ0
5๐ฅ โ (3 + โ9 + ๐ฅ)
โ๐ฅ
= lim๐ฅโ0
โ5 โ (3 + โ9 + ๐ฅ)
= โ5 โ (3 + โ9)
= โ5 โ 6= โ30
TRIK SUPERKILAT:
lim๐ฅโ0
5๐ฅ
3 โ โ9 + ๐ฅ =
5
โ1โ
2 โ 3
1= โ30
lim๐ฅโ1
1 โ ๐ฅ
2 โ โ๐ฅ + 3 = lim
๐ฅโ1
1 โ ๐ฅ
2 โ โ๐ฅ + 3 ร
2 + โ๐ฅ + 3
2 + โ๐ฅ + 3
= lim๐ฅโ1
(1 โ ๐ฅ) โ (2 + โ๐ฅ + 3)
4 โ (๐ฅ + 3)
= lim๐ฅโ1
(1 โ ๐ฅ) โ (2 + โ๐ฅ + 3)
(1 โ ๐ฅ)
= lim๐ฅโ1
(2 + โ๐ฅ + 3)
= 2 + โ1 + 3
= 2 + โ4= 2 + 2= 4
TRIK SUPERKILAT:
lim๐ฅโ1
1 โ ๐ฅ
2 โ โ๐ฅ + 3 =
โ1
โ1โ
2 โ 2
1= 4
TRIK SUPERKILAT:
lim๐ฅโ3
2 โ โ๐ฅ + 1
๐ฅ โ 3=
โ1
1โ
1
2 โ 2= โ
1
4
lim๐ฅโ1
2 โ โ๐ฅ + 1
๐ฅ โ 3= lim
๐ฅโ3
2 โ โ๐ฅ + 1
๐ฅ โ 3ร
2 + โ๐ฅ + 1
2 + โ๐ฅ + 1
= lim๐ฅโ3
4 โ (๐ฅ + 1)
(๐ฅ โ 3) โ (2 + โ๐ฅ + 1)
= lim๐ฅโ3
(3 โ ๐ฅ)
(๐ฅ โ 3) โ (2 + โ๐ฅ + 1)
= lim๐ฅโ3
โ1
(2 + โ๐ฅ + 1)
=โ1
2 + โ4
= โ1
4
Halaman 200 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
4. Nilai
xx
x
x 2tan
2cos1lim
0....
A. โ2
B. โ1
C. 0
D. 1
E. 2
5. Nilai
xx
x
x 2tan
14coslim
0....
A. 4
B. 2
C. โ1
D. โ2
E. โ4
Jika adik-adik butuh โbocoranโ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.
lim๐ฅโ0
1 โ cos 2๐ฅ
๐ฅ tan 2๐ฅ= lim
๐ฅโ0
1 โ (1 โ 2 sin2 ๐ฅ)
๐ฅ tan 2๐ฅ
= lim๐ฅโ0
2 sin2 ๐ฅ
๐ฅ tan 2๐ฅ
= lim๐ฅโ0
2 sin ๐ฅ sin ๐ฅ
๐ฅ tan 2๐ฅโ
๐ฅ
๐ฅโ
2๐ฅ
2๐ฅ
= lim๐ฅโ0
2 โsin ๐ฅ
๐ฅโ
sin ๐ฅ
๐ฅโ
2๐ฅ
tan 2๐ฅโ
๐ฅ
2๐ฅ
= 2 โ 1 โ 1 โ 1 โ1
2= 1
TRIK SUPERKILAT:
lim๐ฅโ0
1 โ cos 2๐ฅ
๐ฅ tan 2๐ฅ=
12
โ 2 โ 2
1 โ 2= 1
lim๐ฅโ0
cos 4๐ฅ โ 1
๐ฅ tan 2๐ฅ= lim
๐ฅโ0
(1 โ 2 sin2 2๐ฅ) โ 1
๐ฅ tan 2๐ฅ
= lim๐ฅโ0
โ2 sin2 2๐ฅ
๐ฅ tan 2๐ฅ
= lim๐ฅโ0
โ2 sin 2๐ฅ sin 2๐ฅ
๐ฅ tan 2๐ฅโ
2๐ฅ
2๐ฅโ
2๐ฅ
2๐ฅ
= lim๐ฅโ0
โ2 โsin 2๐ฅ
2๐ฅโ
sin 2๐ฅ
2๐ฅโ
2๐ฅ
tan 2๐ฅโ
2๐ฅ
๐ฅ
= โ2 โ 1 โ 1 โ 1 โ 2 = โ4
TRIK SUPERKILAT:
lim๐ฅโ0
cos 4๐ฅ โ 1
๐ฅ tan 2๐ฅ=
โ12
โ 4 โ 4
1 โ 2= โ4
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 201
5. 2. Menyelesaikan soal aplikasi turunan fungsi.
Turunan Fungsi
Definisi
๐โฒ(๐ฅ) = limโโ0
๐(๐ฅ + โ) โ ๐(๐ฅ)
โ
dengan catatan limit ini ada
Turunan Fungsi Aljabar Turunan Fungsi Trigonometri ๐(๐ฅ) = ๐
โ ๐โฒ(๐ฅ) = 0
๐(๐ฅ) = ๐๐ฅ๐ โ ๐โฒ(๐ฅ) = ๐. ๐๐ฅ๐โ1
Sifat: ๐(๐ฅ) = ๐๐ข
โ ๐โฒ(๐ฅ) = ๐๐ขโฒ
๐(๐ฅ) = ๐ข ยฑ ๐ฃ โ ๐โฒ(๐ฅ) = ๐ขโฒ ยฑ ๐ฃโฒ
๐(๐ฅ) = ๐ข โ ๐ฃ โ ๐โฒ(๐ฅ) = ๐ขโฒ๐ฃ + ๐ข๐ฃโฒ
๐(๐ฅ) =๐ข๐ฃ
โ ๐โฒ(๐ฅ) =
๐ขโฒ๐ฃโ๐ข๐ฃโฒ
๐ฃ2
๐(๐ฅ) = ๐(๐ข) โ ๐โฒ(๐ฅ) = ๐โฒ(๐ข) โ ๐ขโฒ
Aplikasi Turunan Fungsi
Gradien Garis Singgung Kurva ๐ฆ = ๐(๐ฅ) di titik ๐ฅ = ๐
๐ = ๐โฒ(๐)
Gradien garis singgung digunakan untuk melihat naik atau turunnya sebuah grafik fungsi.
Grafik Fungsi ๐ Grafik Fungsi ๐ Grafik Fungsi ๐ Naik Tidak Naik dan Tidak Turun Turun ๐โฒ(๐) > 0 ๐โฒ(๐) = 0 ๐โฒ(๐) < 0
Titik dimana grafik fungsi ๐ tidak naik atau tidak turun disebut titik stasioner.
Titik Maksimum Titik Belok Titik Minimum โnaik โ stasioner โ naikโ โnaik โ stasioner โ turunโ atau โturun โ stasioner โ naikโ โturun โ stasioner โ turunโ
๐ฌ๐ข๐ง๐๐๐จ๐ฌ๐
โ๐ฌ๐ข๐ง๐โ๐๐จ๐ฌ๐
๐(๐ฅ) = tan ๐ฅ
โ ๐โฒ(๐ฅ) = sec2 ๐ฅ
๐(๐ฅ) = cot ๐ฅ โ ๐โฒ(๐ฅ) = โcsc2 ๐ฅ
๐(๐ฅ) = sec ๐ฅ โ ๐โฒ(๐ฅ) = sec ๐ฅ tan ๐ฅ
๐(๐ฅ) = csc ๐ฅ โ ๐โฒ(๐ฅ) = โcsc๐ฅ cot ๐ฅ
Simbol
๐โฒ(๐ฅ) = ๐ฆโฒ =๐๐ฆ
๐๐ฅ=๐
๐๐ฅ(๐(๐ฅ))
Persamaan Garis Singgung di titik (๐ฅ1, ๐ฆ1)
๐ฆ โ ๐ฆ1 = ๐(๐ฅ โ ๐ฅ1)
Halaman 202 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
LOGIKA PRAKTIS Turunan Fungsi Aljabar. Secara umum turunan fungsi aljabar sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut:
๐(๐) = ๐๐๐ โ ๐โฒ(๐) = ๐ โ ๐๐๐โ๐
๐ โ ๐๐๐ ๐ โ ๐๐๐โ๐
Proses mencari turunan fungsi ๐๐ฅ๐:
1. Kalikan pangkatnya dengan fungsi! 2. Kurangi satu pangkatnya! 3. Selesai!
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 203
LOGIKA PRAKTIS Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Sinus Kosinus. Secara umum turunan fungsi trigonometri sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut: Cara membacanya:
๐ฌ๐ข๐ง ๐๐๐จ๐ฌ ๐
โ๐ฌ๐ข๐ง ๐โ๐๐จ๐ฌ ๐
๐ฆ = sin ๐ฅ โ ๐ฆโฒ = cos ๐ฅ
๐ฆ = cos ๐ฅ โ ๐ฆโฒ = โsin ๐ฅ
๐ฆ = โsin ๐ฅ โ ๐ฆโฒ = โcos ๐ฅ
๐ฆ = โcos ๐ฅ โ ๐ฆโฒ = sin ๐ฅ
Jadi turunannya sinus adalah kosinus. Turunannya kosinus adalah negatif sinus.
KONSEP DASAR Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Selain Sinus Kosinus. Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain diperoleh dengan menggunakan sifat turunan fungsi pembagian:
๐ฆ =๐ข
๐ฃ โ ๐ฆโฒ =
๐ขโฒ๐ฃ โ ๐ข๐ฃโฒ
๐ฃ2
Contohnya bagaimana turunan dari fungsi tan ๐ฅ?
โ ๐ฆ = tan๐ฅ =sin๐ฅ
cos ๐ฅ โ
๐ข = sin ๐ฅ โ ๐ขโฒ = cos ๐ฅ๐ฃ = cos ๐ฅ โ ๐ฃโฒ = โsin ๐ฅ
โ ๐ฆโฒ =๐ขโฒ๐ฃ โ ๐ข๐ฃโฒ
๐ฃ2=cos ๐ฅ cos ๐ฅ โ sin ๐ฅ (โ sin ๐ฅ)
cos2 ๐ฅ=cos2 ๐ฅ + sin2 ๐ฅ
cos2 ๐ฅ=
1
cos2 ๐ฅ= sec2 ๐ฅ
Jadi, ๐ฆ = tan ๐ฅ โ ๐ฆโฒ = sec2 ๐ฅ.
Silahkan temukan sendiri turunan fungsi cot ๐ฅ , sec ๐ฅ , dan csc ๐ฅ menggunakan aturan dan sifat tersebut!!!
LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafalkan Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Selain Sinus Kosinus.
๐ = ๐ญ๐๐ง๐๐ = ๐๐จ๐ญ๐๐ = ๐ฌ๐๐ ๐๐ = ๐๐ฌ๐ ๐
} โ
turunan dari fungsi yang berawalan huruf c selalu negatif
fungsi berawalan huruf c hanya kumpul dengan yang berawalan c juga
๐ญ๐๐ง ๐ dan ๐๐จ๐ญ ๐ turunannya kembar
โ tan ๐ฅ cot ๐ฅ sec ๐ฅ csc ๐ฅ โก๐ โก๐ Tips membaca LOGIKA PRAKTIS: Turunannya tan ๐ฅ adalah sec2 ๐ฅ. Turunannya sec ๐ฅ adalah sec ๐ฅ tan ๐ฅ
Turunannya cot ๐ฅ adalah โ csc2 ๐ฅ. Turunannya csc ๐ฅ adalah โcsc ๐ฅ cot ๐ฅ โก๐
Cara membacanya: ๐ฆ = tan ๐ฅ
โ ๐ฆโฒ = sec2 ๐ฅ
๐ฆ = cot ๐ฅ โ ๐ฆโฒ = โcsc2 ๐ฅ
๐ฆ = sec ๐ฅ โ ๐ฆโฒ = sec ๐ฅ tan ๐ฅ
๐ฆ = csc ๐ฅ โ ๐ฆโฒ = โcsc ๐ฅ cot ๐ฅ
Halaman 204 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Persamaan Garis Singgung Kurva). Kurva ๐(๐ฅ) Tentukan turunan ๐(๐ฅ) yaitu ๐โฒ(๐ฅ) Persamaan Garis Lurus melewati titik (๐ฅ1, ๐ฆ1) Gradien Garis Singgung Kurva dengan gradien ๐ di ๐ฅ = ๐ adalah adalah: ๐ = ๐โฒ(๐) ๐ฆ โ ๐ฆ1 = ๐(๐ฅ โ ๐ฅ1) Gradien Garis Singgung Kurva ๐(๐ฅ) di titik (๐ฅ1, ๐ฆ1) dengan gradien ๐ adalah: (๐ฆ โ ๐ฆ1) = ๐(๐ฅ โ ๐ฅ1)
Contoh Soal:
Diketahui โ adalah garis singgung kurva ๐ฆ = ๐ฅ3 โ 4๐ฅ2 + 2๐ฅ โ 3 pada titik (1, โ4). Titik potong garis โ dengan sumbu X adalah โฆ.
a. (โ3,0) b. (โ2,0) c. (โ1,0)
d. (โ1
2, 0)
e. (โ1
3, 0)
Pembahasan:
Diketahui kurva ๐(๐ฅ) yaitu: ๐(๐ฅ) = ๐ฅ3 โ 4๐ฅ2 + 2๐ฅ โ 3 โ ๐โฒ(๐ฅ) = 3๐ฅ2 โ 8๐ฅ + 2
Gradien garis singgung kurva di ๐ฅ = 1 adalah:
๐ = ๐โฒ(๐ฅ) โ ๐ = ๐โฒ(1)
= 3(1)2 โ 8(1) + 2= 3 โ 8 + 2= โ3
Persamaan garis singgung kurva di titik (1, โ4) dengan gradien ๐ = โ3 adalah:
๐ฆ โ ๐ฆ1 = ๐(๐ฅ โ ๐ฅ1) โ ๐ฆ โ (โ4) = โ3(๐ฅ โ 1)โ ๐ฆ + 4 = โ3๐ฅ + 3โ ๐ฆ = โ3๐ฅ + 3 โ 4โ ๐ฆ = โ3๐ฅ โ 1
Jadi garis โ adalah ๐ฆ = โ3๐ฅ โ 1. Titik potong garis โ terhadap sumbu X terjadi saat ๐ฆ = 0, sehingga:
๐ฆ = 0 โ 0 = โ3๐ฅ โ 1โ 3๐ฅ = โ1
โ ๐ฅ = โ1
3
Jadi, titik potong garis โ terhadap sumbu X adalah (โ1
3, 0).
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 205
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi.
Hubungan antara Jarak (๐), Kecepatan (๐), dan Percepatan (๐). *)
Jika ada soal tentang hubungan antara jarak, kecepatan, dan percepatan pada gerak maka konsep berikut bisa membantu kita dalam mengerjakan soal tersebut:
๐
๐
๐ Contoh Soal 1:
Suatu peluru ditembakan ke atas. Jika tinggi โ meter setelah ๐ก detik dirumuskan dengan โ(๐ก) = 120๐ก โ 5๐ก2, maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah โฆ. meter.
a. 270 b. 320 c. 670 d. 720 e. 770
Pembahasan:
Fungsi yang menyatakan ketinggian peluru adalah โ(๐ก). Fungsi yang menyatakan kecepatan peluru adalah ๐ฃ(๐ก). Hubungan antara dua fungsi tersebut adalah:
๐ฃ(๐ก) =๐
๐๐ก(โ(๐ก)) โ ๐ฃ(๐ก) =
๐
๐๐ก(120๐ก โ 5๐ก2)
โด ๐ฃ(๐ก) = 120 โ 10๐ก
Suatu peluru dikatakan telah berada di titik tertinggi apabila kecepatannya sama dengan nol.
๐ฃ(๐ก) = 0 โ 120 โ 10๐ก = 0โ โ10๐ก = โ120
โ ๐ก =โ120
โ10โด ๐ก = 12 s
Sehingga tinggi maksimum akan dicapai saat ๐ก = 12 s, yaitu
โ(๐ก) = 120๐ก โ 5๐ก2 โ โ(2) = 120(12) โ 5(12)2
= 1440 โ 720= 720 m
Jadi tinggi maksimum peluru adalah 720 m.
Turun artinya turunan fungsi. Sehingga cara membacanya seperti ini:
Fungsi ๐ฃ adalah turunan dari fungsi ๐ . atau dinotasikan ๐ฃ =๐๐
๐๐ก= ๐ โฒ(๐ก)
Fungsi ๐ adalah turunan dari fungsi ๐ฃ. atau dinotasikan ๐ =๐๐ฃ
๐๐ก= ๐ฃโฒ(๐ก)
*) Dikutip dari SMART SOLUTION UN Fisika SMA 2013 SKL 2.1 Kinematika Gerak (http://pak-anang.blogspot.com/2012/12/smart-solution-un-fisika-sma-2013-skl.html)
turun
turun
Halaman 206 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 2:
Jarak yang ditempuh sebuah mobil dalam waktu ๐ก diberikan oleh fungsi ๐ (๐ก) =1
4๐ก4 โ
3
2๐ก3 โ 6๐ก2 + 5๐ก.
Kecepatan maksimum mobil tersebut akan tercapai pada saat ๐ก = โฆ. detik
a. 6 b. 4 c. 3 d. 2 e. 1
Pembahasan:
Fungsi yang menyatakan jarak tempuh mobil adalah ๐ (๐ก). Fungsi yang menyatakan kecepatan mobil adalah ๐ฃ(๐ก). Hubungan antara dua fungsi tersebut adalah:
๐ฃ(๐ก) =๐
๐๐ก(๐ (๐ก)) โ ๐ฃ(๐ก) =
๐
๐๐ก(1
4๐ก4 โ
3
2๐ก3 โ 6๐ก2 + 5๐ก)
โด ๐ฃ(๐ก) = ๐ก3 โ9
2๐ก2 โ 12๐ก + 5
Kecepatan maksimum akan tercapai jika sudah tidak ada lagi percepatan (๐(๐ก) = 0).
๐(๐ก) =๐
๐๐ก(๐ฃ(๐ก)) โ ๐(๐ก) =
๐
๐๐ก(๐ก3 โ
9
2๐ก2 โ 12๐ก + 5)
โด ๐(๐ก) = 3๐ก2 โ 9๐ก โ 12
Sehingga, ๐(๐ก) = 0 โ 3๐ก2 โ 9๐ก โ 12 = 0 (๐๐๐๐๐๐ 3)
โ ๐ก2 โ 3๐ก โ 4 = 0โ (๐ก + 1)(๐ก โ 4) = 0pembuat nol
โ ๐ก + 1 = 0 atau ๐ก โ 4 = 0โ ๐ก = โ1 โatau โ ๐ก = 4
TM
Karena waktu tidak mungkin negatif, maka untuk ๐ก = โ1 adalah TM (tidak memenuhi). Jadi, kecepatan maksimum mobil akan dicapai saat ๐ก = 4 detik.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 207
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Fungsi Naik dan Fungsi Turun). Kurva ๐(๐ฅ) Tentukan turunan ๐(๐ฅ) yaitu ๐โฒ(๐ฅ) Periksa nilai ๐โฒ(๐ฅ) pada interval [๐, ๐] ๐โฒ(๐ฅ) > 0 โ Fungsi ๐ naik ๐โฒ(๐ฅ) < 0 โ Fungsi ๐ turun
โFungsi Naikโ โFungsi Turunโ
Contoh Soal:
Grafik dari ๐(๐ฅ) =2
3๐ฅ3 โ ๐ฅ2 โ 12๐ฅ + 20 naik untuk interval โฆ.
a. 3 < ๐ฅ < โ2 b. โ2 < ๐ฅ < 3 c. ๐ฅ < โ2 atau ๐ฅ > 3 d. ๐ฅ < 2 atau ๐ฅ > โ3 e. ๐ฅ < โ3 atau ๐ฅ > โ2
Pembahasan:
Naik atau turunnya grafik fungsi ๐(๐ฅ) dapat dilihat dari nilai ๐โฒ(๐ฅ).
๐(๐ฅ) =2
3๐ฅ3 โ ๐ฅ2 โ 12๐ฅ + 20 โ ๐โฒ(๐ฅ) = 2๐ฅ โ 2๐ฅ โ 12
Fungsi ๐(๐ฅ) naik apabila ๐โฒ(๐ฅ) > 0. Sehingga,
๐โฒ(๐ฅ) = 0 โ 2๐ฅ โ 2๐ฅ โ 12 > 0 (๐๐๐๐๐๐ 2)
โ ๐ฅ2 โ ๐ฅ โ 6 > 0โ (๐ฅ + 2)(๐ฅ โ 3) > 0pembuat nol
โ ๐ฅ + 2 = 0 atau ๐ฅ โ 3 = 0โ ๐ฅ = โ2 โatau โ ๐ฅ = 3
Daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut pada garis bilangan:
Jadi grafik fungsi ๐(๐ฅ) akan naik dalam interval ๐ฅ < โ2 atau ๐ฅ > 3.
3 โ2
โ + +
๐ ๐ ๐โฒ(๐ฅ)
+
๐ ๐ ๐โฒ(๐ฅ)
โ
Halaman 208 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Titik Stasioner).
Kurva ๐(๐ฅ) Tentukan turunan ๐(๐ฅ) yaitu ๐โฒ(๐ฅ) Periksa nilai ๐โฒ(๐ฅ) pada ๐ฅ = ๐ ๐โฒ(๐) โ 0 โ Fungsi ๐ naik atau turun ๐โฒ(๐) = 0 โ Fungsi ๐ stasioner Menentukan jenis titik stasioner grafik fungsi ๐(๐) Metode grafis Metode analitis (Uji turunan pertama) (Uji turunan kedua) titik titik maksimum minimum
stasioner naik turun naik stasioner
titik belok
turun naik stasioner stasioner turun naik stasioner
TIPS Mengingat Titik Maksimum Minimum:
Perhatikan Grafik Fungsi ๐(๐ฅ) = sin๐ฅ, 0ยฐ โค ๐ฅ โค 360ยฐ
TIPS Mengingat Titik Belok:
Perhatikan Grafik Fungsi ๐(๐ฅ) = cos๐ฅ, 0ยฐ โค ๐ฅ โค 360ยฐ
๐ ๐ ๐โฒ(๐ฅ)
โ + +
๐ ๐ ๐โฒ(๐ฅ)
โ โ + +
๐
๐โฒโฒ(๐) < 0 ๐โฒโฒ(๐) = 0 ๐โฒโฒ(๐) > 0 Titik Maksimum Titik Belok Titik Minimum
360ยฐ
360ยฐ
cos ๐ฅ
sin ๐ฅ ๐๐๐
๐๐๐
๐๐๐๐๐
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 209
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Masalah Maksimum Minimum). Nilai maksimum atau minimum fungsi ๐(๐ฅ) pada interval ๐ โค ๐ฅ โค ๐ Tentukan nilai ๐(๐ฅ) pada ujung interval Tentukan nilai stasioner ๐(๐ฅ) ๐(๐) dan ๐(๐) (Jika ada)
Pilih nilai terbesar nilai maksimum Pilih nilai terkecil nilai minimum
Contoh Soal:
Nilai maksimum dari fungsi ๐(๐ฅ) =1
3๐ฅ3 โ
3
2๐ฅ2 + 2๐ฅ + 9 pada interval โโค ๐ฅ โค 3 adalah โฆ.
a. 92
3
b. 95
6
c. 10
d. 101
2
e. 102
3
Pembahasan:
Nilai ๐(๐ฅ) pada ujung interval 0 โค ๐ฅ โค 3.
๐ฅ = 0 โ ๐(0) =1
3(0)3 โ
3
2(0)2 + 2(0) + 9 = 9
๐ฅ = 3 โ ๐(0) =1
3(3)3 โ
3
2(3)2 + 2(3) + 9 = 9
Fungsi ๐(๐ฅ) stasioner saat ๐โฒ(๐ฅ) = 0.
๐(๐ฅ) =1
3๐ฅ3 โ
3
2๐ฅ2 + 2๐ฅ + 9 โ ๐โฒ(๐ฅ) = ๐ฅ2 โ 3๐ฅ + 2
๐โฒ(๐ฅ) = 0 โ ๐ฅ2 โ 3๐ฅ + 2 = 0
โ (๐ฅ โ 1)(๐ฅ โ 2) = 0โ ๐ฅ โ 1 = 0 atau ๐ฅ โ 2 = 0โ ๐ฅ = 1 atau ๐ฅ = 2
Sehingga, dari sketsa kurva ๐(๐ฅ) pada interval 0 โค ๐ฅ โค 3 terlihat bahwa: ๐(๐ฅ) maksimum di titik ๐ฅ = 1 atau mungkin maksimum di ๐ฅ = 3 dan ๐(๐ฅ) minimum di ๐ฅ = 2.
Periksa dulu apakah ๐(๐ฅ) maksimum di ๐ฅ = 1 atau di ๐ฅ = 3 dengan membandingkan nilai ๐(๐ฅ) pada kedua titik tersebut.
๐ฅ = 1 โ ๐(0) =1
3(1)3 โ
3
2(1)2 + 2(1) + 9 = 9
5
6
๐ฅ = 3 โ ๐(0) =1
3(3)3 โ
3
2(3)2 + 2(3) + 9 = 9
Jadi nilai maksimum ๐(๐ฅ) adalah 95
6.
1 2 ๐โฒ(๐ฅ)
โ + +
Halaman 210 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Penerapan Maksimum Minimum).
Agar luas daerah arsir maksimum, maka:
Koordinat titik ๐ = (1
2๐,1
2๐)
Luas maksimum ๐ฟ =1
4๐๐
Agar luas daerah arsir maksimum, maka:
Koordinat titik ๐ = (1
2
๐ถ
๐ด ,1
2
๐ถ
๐ต)
Luas maksimum ๐ฟ =1
4
๐ถ2
๐ด๐ต
Luas persegi panjang akan maksimum jika bentuknya persegi.
๐ = ๐ ๐ = ๐
} ๐ฟ = ๐ ร โ = ๐ ร ๐ = ๐ 2
Untuk penerapan maksimum minimum pada soal cerita, penyelesaiannya adalah sesuai alur berikut: Perhatikan apa yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan Ubah persamaan menjadi satu variabel saja, menggunakan substitusi / eliminasi Periksa keadaan stasioner fungsi Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_29.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Aplikasi Turunan Fungsi iniโฆ.
X
Y
๐
๐
๐(1
2๐,1
2๐)
X
Y
๐ถ
๐ด
๐ด๐ฅ + ๐ต๐ฆ = ๐ถ ๐ถ
๐ต
๐(1
2
๐ถ
๐ด,1
2
๐ถ
๐ต)
โ
๐
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 211
Contoh Soal:
Perhatikan gambar di samping! Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum apabila koordinat M adalah โฆ.
a. (2, 5) b. (3, 4) c. (3, 5) d. (4, 3) e. (5, 3)
Pembahasan:
Persamaan garis lurus yang melewati titik (8, 0) dan (0, 6) adalah: 6๐ฅ + 8๐ฆ = 48
Misal koordinat ๐ adalah (๐ฅ, ๐ฆ). Jadi persegi panjang tersebut memiliki ukuran panjang ๐ฅ dan lebar ๐ฆ. Panjang = ๐ฅ Lebar = ๐ฆ, dari persamaan 6๐ฅ + 8๐ฆ = 48 โ 8๐ฆ = 48 โ 6๐ฅ
โ ๐ฆ =48โ6๐ฅ
8
โ ๐ฆ = 6 โ3
4๐ฅ
Jadi luas persegi panjang adalah:
๐ฟ = ๐ ร โ
= ๐ฅ (6 โ3
4๐ฅ)
= 6๐ฅ โ3
4๐ฅ2
๐ฟ = 6๐ฅ โ3
4๐ฅ2 โ ๐ฟโฒ = 6 โ
3
2๐ฅ
Luas persegi panjang akan maksimum jika ๐ฟโฒ = 0
๐ฟโฒ = 0 โ 6 โ3
2๐ฅ = 0
โ โ3
2๐ฅ = โ6
โ ๐ฅ =โ6
โ32
โ ๐ฅ = โ6 ร (โ2
3)
โ ๐ฅ = 4
Substitusikan ๐ฅ = 4 ke ๐ฆ = 6 โ3
4๐ฅ diperoleh:
๐ฆ = 6 โ3
4(4) = 6 โ 3 = 3
Jadi, luas persegi panjang diarsir akan maksimum jika koordinat ๐ = (4, 3)
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Agar luas daerah arsir maksimum, maka:
Koordinat titik ๐ = (1
2๐,1
2๐)
Luas maksimum ๐ฟ =1
4๐๐
Karena ๐ = 8 dan ๐ = 6, dan supaya luas daerah arsir maksimum maka koordinat ๐ = (4, 3).
X
Y
8
6
๐
X
Y
๐
๐
๐(1
2๐,1
2๐)
Halaman 212 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Suatu perusahaan memproduksi x unit barang, dengan biaya )2484( 2 xx dalam ribu rupiah untuk
tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp40.000,00 tiap unit, maka keuntungan
maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah ....
A. Rp16.000,00
B. Rp32.000,00
C. Rp48.000,00
D. Rp52.000,00
E. Rp64.000,00
2. Suatu perusahaan memproduksi x unit barang, dengan biaya 30105 2 xx dalam ribuan rupiah untuk
tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp50.000,00 tiap unit, maka keuntungan
maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah ....
A. Rp10.000,00
B. Rp20.000,00
C. Rp30.000,00
D. Rp40.000,00
E. Rp50.000,00
Jika adik-adik butuh โbocoranโ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.
๐(๐ฅ) = 40๐ฅ โ (4๐ฅ2 โ 8๐ฅ + 24)๐ฅ = โ4๐ฅ3 + 8๐ฅ2 + 16๐ฅ ๐(๐ฅ)akan maksimum untuk ๐ฅ yang memenuhi ๐โฒ(๐ฅ) = 0 โ ๐โฒ(๐ฅ) = 0
โ โ12๐ฅ2 + 16๐ฅ + 16 = 0 (dibagi โ 4)
โ 3๐ฅ2 โ 4๐ฅ โ 4 = 0โ (3๐ฅ + 2)(๐ฅ โ 2) = 0
โ ๐ฅ = โ2
3 atau ๐ฅ = 2
Karena ๐ฅ mewakili jumlah barang, tidak mungkin negatif sehingga yang memenuhi hanya ๐ฅ = 2
Substitusikan ๐ฅ = 2 ke ๐(๐ฅ), diperoleh: ๐(๐ฅ) = โ4(2)3 + 8(2)2 + 16(2)
= โ32 + 32 + 32 = 32
๐(๐ฅ) = 50๐ฅ โ (5๐ฅ2 โ 10๐ฅ + 30)๐ฅ = โ5๐ฅ3 + 10๐ฅ2 + 20๐ฅ ๐(๐ฅ)akan maksimum untuk ๐ฅ yang memenuhi ๐โฒ(๐ฅ) = 0 โ ๐โฒ(๐ฅ) = 0
โ โ15๐ฅ2 + 20๐ฅ + 20 = 0 (dibagi โ 5)
โ 3๐ฅ2 โ 4๐ฅ โ 4 = 0โ (3๐ฅ + 2)(๐ฅ โ 2) = 0
โ ๐ฅ = โ2
3 atau ๐ฅ = 2
Karena ๐ฅ mewakili jumlah barang, tidak mungkin negatif sehingga yang memenuhi hanya ๐ฅ = 2
Substitusikan ๐ฅ = 2 ke ๐(๐ฅ), diperoleh: ๐(๐ฅ) = โ5(2)3 + 10(2)2 + 20(2)
= โ40 + 40 + 40 = Rp40
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 243
Pengayaan Konsep Dasar Integral Trigonometri
Integral Trigonometri
Bagaimana Pola Penyelesaian dari โซ ๐ญ๐๐ง ๐ โ ๐ atau โซ ๐๐จ๐ญ ๐ โ ๐ Bagaimana Pola Penyelesaian dari โซ ๐ฌ๐๐ ๐ โ ๐ atau โซ ๐๐ฌ๐ ๐ โ ๐ Bagaimana Pola Penyelesaian dari โซ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐ โ ๐ atau โซ ๐๐จ๐ฌ๐ ๐ โ ๐ Bagaimana Pola Penyelesaian dari โซ ๐ญ๐๐ง๐ ๐ โ ๐ atau โซ ๐๐จ๐ญ๐ ๐ โ ๐
Bagaimana Pola Penyelesaian dari โซ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐ ๐๐จ๐ฌ๐ ๐ โ ๐? Bagaimana Pola Penyelesaian dari โซ ๐ญ๐๐ง๐ ๐ ๐ฌ๐๐๐ ๐ โ ๐ Bagaimana Pola Penyelesaian dari โซ ๐๐จ๐ญ๐ ๐ ๐๐ฌ๐๐ ๐ โ ๐? Bagaimana Pola Penyelesaian dari Teknik Integral Substitusi Trigonometri? Bagaimana Pola Penyelesaian Integral menggunakan Rumus Reduksi? Dan masih banyak yang lainnyaโฆ.
Halaman 244 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Bagaimana Pola Penyelesaian dari โซ ๐ญ๐๐ง ๐ โ ๐ atau โซ ๐๐จ๐ญ ๐ โ ๐
Untuk bentuk โซ tan ๐ฅ โ ๐ฅ dan โซ cot ๐ฅ โ ๐ฅ, maka ubah bentuk tan ๐ฅ dan cot ๐ฅ menggunakan identitas trigonometri perbandingan.
tan ๐ฅ =sin ๐ฅ
cos ๐ฅ
cot ๐ฅ =cos ๐ฅ
sin ๐ฅ
Ternyata sudah menjadi sebuah bentuk integral substitusi berikut:
โซsin ๐ฅ
cos๐ ๐ฅโ ๐ฅ
โซcos ๐ฅ
sin๐ ๐ฅโ ๐ฅ
Dan jangan lupa juga konsep dasar integral berikut:
โซ1
๐ฅโ ๐ฅ = ln|๐ฅ| + ๐ถ
Serta ingat juga sifat logaritma (ln ๐ฅ = ๐ log ๐ฅ = logaritma natural) berikut:
ln1
๐ฅ= โ ln ๐ฅ
Contoh Soal 1:
โซ tan ๐ฅ โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan:
โซ tan ๐ฅ โ ๐ฅ = โซsin ๐ฅ
cos ๐ฅโ ๐ฅ
= โซsin ๐ฅ
cos ๐ฅ
โ (cos ๐ฅ)
โ sin ๐ฅ
= โ โซ1
cos ๐ฅโ (cos ๐ฅ)
= โ ln|cos ๐ฅ| + ๐ถ= โ ln |1
sec ๐ฅ| + ๐ถ = ln|sec ๐ฅ| + ๐ถ
Contoh Soal 2:
โซ tan 3๐ฅ โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan:
โซ tan 3๐ฅ โ ๐ฅ = โซsin 3๐ฅ
cos 3๐ฅโ ๐ฅ
= โซsin 3๐ฅ
cos 3๐ฅ
โ (cos 3๐ฅ)
โ3 sin 3๐ฅ
= โ1
3โซ
1
cos 3๐ฅโ (cos 3๐ฅ)
= โ1
3ln|cos 3๐ฅ| + ๐ถ= โ
1
3ln |
1
sec 3๐ฅ| + ๐ถ =
1
3ln|sec 3๐ฅ| + ๐ถ
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 245
Contoh Soal 3:
โซ cot ๐ฅ โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan:
โซ cot ๐ฅ โ ๐ฅ = โซcos ๐ฅ
sin ๐ฅโ ๐ฅ
= โซcos ๐ฅ
sin ๐ฅ
โ (sin ๐ฅ)
cos ๐ฅ
= โซ1
sin ๐ฅโ (sin ๐ฅ)
= ln|sin ๐ฅ| + ๐ถ
Contoh Soal 4:
โซ cot 5๐ฅ โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan:
โซ cot 5๐ฅ โ ๐ฅ = โซcot 5๐ฅ
sin 5๐ฅโ ๐ฅ
= โซcos 5๐ฅ
sin 5๐ฅ
โ (sin 5๐ฅ)
5 sin 5๐ฅ
=1
5โซ
1
cos 5๐ฅโ (cos 5๐ฅ)
=1
5ln|sin 5๐ฅ| + ๐ถ
Halaman 246 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Bagaimana Pola Penyelesaian dari โซ ๐ฌ๐๐ ๐ โ ๐ atau โซ ๐๐ฌ๐ ๐ โ ๐
Untuk bentuk โซ sec ๐ฅ โ ๐ฅ dan โซ csc ๐ฅ โ ๐ฅ, maka ubah bentuk sec ๐ฅ dan csc ๐ฅ menggunakan identitas trigonometri perbandingan.
sec ๐ฅ =1
cos ๐ฅ
csc ๐ฅ =1
sin ๐ฅ
Lalu kita upayakan supaya menjadi bentuk integral substitusi berikut:
โซsec2 ๐ฅ + sec ๐ฅ tan ๐ฅ
sec ๐ฅ + tan ๐ฅโ ๐ฅ
Dan jangan lupa juga konsep dasar integral berikut:
โซ1
๐ฅโ ๐ฅ = ln|๐ฅ| + ๐ถ
Contoh Soal 1:
โซ sec ๐ฅ โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan:
โซ sec ๐ฅ โ ๐ฅ = โซ sec ๐ฅ ร (sec ๐ฅ + tan ๐ฅ
sec ๐ฅ + tan ๐ฅ) โ ๐ฅ
= โซsec2 ๐ฅ + sec ๐ฅ tan ๐ฅ
sec ๐ฅ + tan ๐ฅโ ๐ฅ
= โซsec2 ๐ฅ + sec ๐ฅ tan ๐ฅ
sec ๐ฅ + tan ๐ฅ
โ (sec ๐ฅ + tan ๐ฅ)
sec ๐ฅ tan ๐ฅ + sec2 ๐ฅ
= โซ1
sec ๐ฅ + tan ๐ฅโ (sec ๐ฅ + tan ๐ฅ)
= ln|sec ๐ฅ + tan ๐ฅ| + ๐ถ
Contoh Soal 2:
โซ sec 2๐ฅ โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan:
โซ sec 2๐ฅ โ ๐ฅ = โซ sec 2๐ฅ ร (sec 2๐ฅ + tan 2๐ฅ
sec 2๐ฅ + tan 2๐ฅ) โ ๐ฅ
= โซsec2 2๐ฅ + sec 2๐ฅ tan 2๐ฅ
sec 2๐ฅ + tan 2๐ฅโ ๐ฅ
= โซsec2 2๐ฅ + sec 2๐ฅ tan 2๐ฅ
sec 2๐ฅ + tan 2๐ฅ
โ (sec 2๐ฅ + tan 2๐ฅ)
2 sec 2๐ฅ tan 2๐ฅ + 2 sec2 2๐ฅ
= โซsec2 2๐ฅ + sec 2๐ฅ tan 2๐ฅ
sec 2๐ฅ + tan 2๐ฅ
โ (sec 2๐ฅ + tan 2๐ฅ)
2(sec 2๐ฅ tan 2๐ฅ + sec2 2๐ฅ)
=1
2โซ
1
sec 2๐ฅ + tan 2๐ฅโ (sec 2๐ฅ + tan 2๐ฅ)
=1
2ln|sec 2๐ฅ + tan 2๐ฅ| + ๐ถ
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 247
Contoh Soal 3:
โซ csc ๐ฅ โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan:
โซ csc ๐ฅ โ ๐ฅ = โซ csc ๐ฅ ร (csc ๐ฅ โ cot ๐ฅ
csc ๐ฅ โ cot ๐ฅ) โ ๐ฅ
= โซcsc2 ๐ฅ โ csc ๐ฅ cot ๐ฅ
csc ๐ฅ โ cot ๐ฅโ ๐ฅ
= โซcsc2 ๐ฅ โ csc ๐ฅ cot ๐ฅ
csc ๐ฅ โ cot ๐ฅ
โ (csc ๐ฅ โ cot ๐ฅ)
โ csc ๐ฅ cot ๐ฅ + csc2 ๐ฅ
= โซcsc2 ๐ฅ โ csc ๐ฅ cot ๐ฅ
csc ๐ฅ โ cot ๐ฅ
โ (csc ๐ฅ โ cot ๐ฅ)
csc2 ๐ฅ โ csc ๐ฅ cot ๐ฅ
= โ โซ1
csc ๐ฅ โ cot ๐ฅโ (csc ๐ฅ โ cot ๐ฅ)
= ln|csc ๐ฅ โ cot ๐ฅ| + ๐ถ
Contoh Soal 4:
โซ csc 4๐ฅ โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan:
โซ csc 4๐ฅ โ ๐ฅ = โซ csc 4๐ฅ ร (csc 4๐ฅ โ cot 4๐ฅ
csc 4๐ฅ โ cot 4๐ฅ) โ ๐ฅ
= โซcsc2 4๐ฅ โ csc 4๐ฅ cot 4๐ฅ
csc 4๐ฅ โ cot 4๐ฅโ ๐ฅ
= โซcsc2 4๐ฅ โ csc 4๐ฅ cot 4๐ฅ
csc 4๐ฅ โ cot 4๐ฅ
โ (csc 4๐ฅ โ cot 4๐ฅ)
โ4 csc 4๐ฅ cot 4๐ฅ + 4 csc2 4๐ฅ
= โซcsc2 4๐ฅ โ csc 4๐ฅ cot 4๐ฅ
csc 4๐ฅ โ cot 4๐ฅ
โ (csc 4๐ฅ + cot 4๐ฅ)
4(csc2 4๐ฅ โ csc 4๐ฅ cot 4๐ฅ)
=1
4โซ
1
csc 4๐ฅ โ cot 4๐ฅโ (csc 4๐ฅ โ cot 4๐ฅ)
= โ1
4ln|csc 4๐ฅ โ cot 4๐ฅ| + ๐ถ
Halaman 248 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Bagaimana Pola Penyelesaian dari โซ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐ โ ๐ dengan ๐ = bilangan ganjil? Bagaimana Pola Penyelesaian dari โซ ๐๐จ๐ฌ๐ ๐ โ ๐ dengan ๐ = bilangan ganjil?
Nah, jika pangkat dari fungsi integran sinus adalah genap, maka kita harus menggunakan sifat identitas trigonometri Pythagoras, yaitu.
sin2 ๐ฅ + cos2 ๐ฅ = 1 โ sin2 ๐ฅ = 1 โ cos2 ๐ฅโ cos2 ๐ฅ = 1 โ sin2 ๐ฅ
Lalu beberapa bagian dari suku penjabaran dari integral kita bawa ke bentuk integral substitusi berikut:
โซ sin๐ ๐ฅ cos ๐ฅ โ ๐ฅ
โซ cos๐ ๐ฅ sin ๐ฅ โ ๐ฅ
Contoh Soal 1:
โซ sin3 ๐ฅ โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan:
โซ sin3 ๐ฅ โ ๐ฅ = โซ sin2 ๐ฅ โ sin ๐ฅ โ ๐ฅ
= โซ(1 โ cos2 ๐ฅ) sin ๐ฅ โ ๐ฅ
= โซ(sin ๐ฅ โ cos2 ๐ฅ sin ๐ฅ) โ ๐ฅ
= โซ sin ๐ฅ โ ๐ฅ โ โซ cos2 ๐ฅ sin ๐ฅ โ ๐ฅ
= โ cos ๐ฅ โ โซ cos2 ๐ฅ sin ๐ฅโ (cos ๐ฅ)
โ sin ๐ฅ
= โ cos ๐ฅ + โซ cos2 ๐ฅ โ (cos ๐ฅ)
= โ cos ๐ฅ +1
3cos3 ๐ฅ + ๐ถ
Contoh Soal 2:
โซ sin5 ๐ฅ โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan:
โซ sin5 ๐ฅ โ ๐ฅ = โซ sin4 ๐ฅ โ sin ๐ฅ โ ๐ฅ
= โซ(sin2 ๐ฅ)2 โ sin ๐ฅ โ ๐ฅ
= โซ(1 โ cos2 ๐ฅ)2 sin ๐ฅ โ ๐ฅ
= โซ(1 โ 2 cos2 ๐ฅ + cos4 ๐ฅ) sin ๐ฅ โ ๐ฅ
= โซ(sin ๐ฅ โ 2 cos2 ๐ฅ sin ๐ฅ + cos4 ๐ฅ sin ๐ฅ) โ ๐ฅ
= โซ sin ๐ฅ โ ๐ฅ โ 2 โซ cos2 ๐ฅ sin ๐ฅ โ ๐ฅ + โซ cos4 ๐ฅ sin ๐ฅ โ ๐ฅ
= โ cos ๐ฅ โ 2 โซ cos2 ๐ฅ sin ๐ฅโ (cos ๐ฅ)
โ sin ๐ฅ+ โซ cos4 ๐ฅ sin ๐ฅ
โ (cos ๐ฅ)
โ sin ๐ฅ
= โ cos ๐ฅ + โซ cos2 ๐ฅ โ (cos ๐ฅ) โ โซ cos4 ๐ฅ โ (cos ๐ฅ)
= โ cos ๐ฅ +2
3cos3 ๐ฅ โ
1
5cos5 ๐ฅ + ๐ถ
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 249
Contoh Soal 3:
โซ cos3 ๐ฅ โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan:
โซ cos3 ๐ฅ โ ๐ฅ = โซ cos2 ๐ฅ โ cos ๐ฅ โ ๐ฅ
= โซ(1 โ sin2 ๐ฅ) cos ๐ฅ โ ๐ฅ
= โซ(cos ๐ฅ โ sin2 ๐ฅ cos ๐ฅ) โ ๐ฅ
= โซ cos ๐ฅ โ ๐ฅ โ โซ sin2 ๐ฅ cos ๐ฅ โ ๐ฅ
= sin ๐ฅ โ โซ sin2 ๐ฅ cos ๐ฅโ (sin ๐ฅ)
cos ๐ฅ
= sin ๐ฅ โ โซ sin2 ๐ฅ โ (sin ๐ฅ)
= sin ๐ฅ โ1
3sin3 ๐ฅ + ๐ถ
Contoh Soal 4:
โซ cos5 ๐ฅ โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan:
โซ cos5 ๐ฅ โ ๐ฅ = โซ cos4 ๐ฅ โ cos ๐ฅ โ ๐ฅ
= โซ(cos2 ๐ฅ)2 โ cos ๐ฅ โ ๐ฅ
= โซ(1 โ sin2 ๐ฅ)2 cos ๐ฅ โ ๐ฅ
= โซ(1 โ 2 sin2 ๐ฅ + sin4 ๐ฅ) cos ๐ฅ โ ๐ฅ
= โซ(cos ๐ฅ โ 2 sin2 ๐ฅ cos ๐ฅ + sin4 ๐ฅ cos ๐ฅ) โ ๐ฅ
= โซ cos ๐ฅ โ ๐ฅ โ 2 โซ sin2 ๐ฅ cos ๐ฅ โ ๐ฅ + โซ sin4 ๐ฅ cos ๐ฅ โ ๐ฅ
= sin ๐ฅ โ 2 โซ sin2 ๐ฅ cos ๐ฅโ (sin ๐ฅ)
cos ๐ฅ+ โซ sin4 ๐ฅ cos ๐ฅ
โ (sin ๐ฅ)
cos ๐ฅ
= sin ๐ฅ + โซ sin2 ๐ฅ โ (sin ๐ฅ) โ โซ sin4 ๐ฅ โ (sin ๐ฅ)
= sin ๐ฅ โ2
3sin3 ๐ฅ +
1
5sin5 ๐ฅ + ๐ถ
Halaman 250 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 5:
โซ 2 sin3 3๐ฅ โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan:
โซ 2 sin3 3๐ฅ โ ๐ฅ = 2 โซ sin3 3๐ฅโ (3๐ฅ)
3
=2
3โซ sin3 3๐ฅ โ (3๐ฅ)
=2
3โซ sin2 3๐ฅ โ sin 3๐ฅ โ (3๐ฅ)
=2
3โซ(1 โ cos2 3๐ฅ) sin 3๐ฅ โ (3๐ฅ)
=2
3โซ(sin 3๐ฅ โ cos2 3๐ฅ sin 3๐ฅ) โ (3๐ฅ)
=2
3[โซ sin 3๐ฅ โ (3๐ฅ) โ โซ cos2 3๐ฅ sin 3๐ฅ โ (3๐ฅ)]
=2
3[(โ cos 3๐ฅ) โ โซ cos2 3๐ฅ sin 3๐ฅ
โ (cos 3๐ฅ)
โ sin 3๐ฅ]
=2
3[โ cos 3๐ฅ + โซ cos2 3๐ฅ โ (cos 3๐ฅ)]
= โ2
3cos 3๐ฅ +
2
3โซ cos2 3๐ฅ โ (cos 3๐ฅ)
= โ2
3cos 3๐ฅ +
2
3โ
1
3cos3 3๐ฅ + ๐ถ
= โ2
3cos 3๐ฅ +
2
9cos3 3๐ฅ + ๐ถ
Contoh Soal 6:
โซ 3 cos3 5๐ฅ โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan:
โซ 3 cos3 5๐ฅ โ ๐ฅ = 3 โซ cos3 5๐ฅโ (5๐ฅ)
5
=3
5โซ cos3 5๐ฅ โ (5๐ฅ)
=3
5โซ cos2 5๐ฅ โ cos 5๐ฅ โ (5๐ฅ)
=3
5โซ(1 โ sin2 3๐ฅ) cos 5๐ฅ โ (5๐ฅ)
=3
5โซ(cos 5๐ฅ โ sin2 5๐ฅ cos 5๐ฅ) โ (5๐ฅ)
=3
5[โซ cos 5๐ฅ โ (5๐ฅ) โ โซ sin2 5๐ฅ cos 5๐ฅ โ (5๐ฅ)]
=3
5[(sin 5๐ฅ) โ โซ sin2 5๐ฅ cos 5๐ฅ
โ (sin 5๐ฅ)
cos 5๐ฅ]
=3
5[sin 5๐ฅ โ โซ sin2 5๐ฅ โ (sin 5๐ฅ)]
=3
5sin 5๐ฅ โ
3
5โซ sin2 5๐ฅ โ (sin 5๐ฅ)
=3
5sin 5๐ฅ โ
3
5โ
1
3sin3 3๐ฅ + ๐ถ
=3
5sin 5๐ฅ โ
3
15sin3 3๐ฅ + ๐ถ
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 251
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS โซ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐ โ ๐ dengan ๐ = bilangan ganjil?
โซ sin๐ ๐ฅ โ ๐ฅ = (Karena n bilangan ganjil maka ๐ = 2๐ + 1)
= โซ sin2๐+1 ๐ฅ โ ๐ฅ (Ingat sifat pangkat sin2๐+1 = sin2๐ ๐ฅ sin ๐ฅ)
= โซ sin2๐ ๐ฅ sin ๐ฅ โ ๐ฅ (Ingat sifat pangkat sin2๐ ๐ฅ = (sin2 ๐ฅ)๐)
= โซ(sin2 ๐ฅ)๐ sin ๐ฅ โ ๐ฅ (Ingat identitas trigonometri sin2 ๐ฅ = 1 โ cos2 ๐ฅ)
= โซ(1 โ cos2 ๐ฅ)๐ sin ๐ฅ โ ๐ฅ (Samakan dulu operator integralnya)
= โซ(1 โ cos2 ๐ฅ)๐ sin ๐ฅโ (cos ๐ฅ)
โ sin ๐ฅ
= โ โซ(1 โ cos2 ๐ฅ)๐ โ (cos ๐ฅ)
Ingat Binomial Newton:
(๐ + ๐)๐ = โ ๐๐ถ๐ โ ๐๐โ๐ โ ๐๐
๐
๐=1
(1 โ cos2 ๐ฅ)๐ = โ ๐๐ถ๐ โ 1๐โ๐
โ (โ cos2 ๐ฅ)๐
๐
๐=0
= โ โซ โ ๐๐ถ๐ โ 1๐โ๐
โ (โ cos2 ๐ฅ)๐
๐
๐=0
โ (cos ๐ฅ) (Ingat 1๐โ๐ = 1 jadi coret saja)
= โ โซ โ ๐๐ถ๐ โ (โ cos2 ๐ฅ)๐
๐
๐=0
โ (cos ๐ฅ) (Keluarkan konstanta dari integral)
= โ โ ๐๐ถ๐ โซ(โ cos2 ๐ฅ)๐
โ (cos ๐ฅ)
๐
๐=0
(Ingat (โ cos2 ๐ฅ)๐ = ((โ1) โ cos2 ๐ฅ)๐
)
= โ โ ๐๐ถ๐ โซ((โ1) โ cos2 ๐ฅ)๐
โ (cos ๐ฅ)
๐
๐=0
(Ingat ((โ1) โ cos2 ๐ฅ)๐
= (โ1)๐(cos2 ๐ฅ)
๐)
= โ โ ๐๐ถ๐ โซ(โ1)๐(cos2 ๐ฅ)
๐โ (cos ๐ฅ)
๐
๐=0
(Keluarkan konstanta dan (cos2 ๐ฅ)๐
= cos2๐ ๐ฅ)
= โ โ ๐๐ถ๐ โ (โ1)๐
โซ cos2๐ ๐ฅ โ (cos ๐ฅ)
๐
๐=0
(Masukkan tanda negatif ke dalam bentuk sigma)
= โ(โ1) โ ๐๐ถ๐ โ (โ1)๐
โซ cos2๐ ๐ฅ โ (cos ๐ฅ)
๐
๐=0
(Ingat (โ1) โ ๐๐ถ๐ โ (โ1)๐
= (โ1)๐+1)
= โ(โ1)๐+1 โ ๐๐ถ๐ โซ cos2๐ ๐ฅ โ (cos ๐ฅ)
๐
๐=0
(Ingat โซ cos2๐ ๐ฅ โ (cos ๐ฅ) =1
2๐ + 1cos2๐+1 ๐ฅ)
= โ(โ1)๐+1 โ ๐๐ถ๐ โ1
2๐ + 1cos2๐+1 ๐ฅ
๐
๐=0
(Rapikan bentuknya)
= โ(โ1)๐+1 โ ๐๐ถ๐
2๐ + 1cos2๐+1 ๐ฅ
๐
๐=0
(Hore! Selesai)
Bilangan segitiga pascal
Bilangan ganjil, penyebut dan pangkat dari kosinus selalu dalam urutan naik dengan pola
bilangan ganjil berawal dari angka 1.
Berawal dari negatif, lalu bergantian negatif positif negatif positif dstโฆ.
Halaman 252 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 1: Oke, misalkan kita hendak menyelesaikan soal berikut:
โซ sin5 ๐ฅ โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan: Karena pangkatnya ganjil berarti:
๐ = 2๐ โ 1 โ 5 = 2๐ โ 1โ 5 + 1 = 2๐โ 6 = 2๐โ ๐ = 3
Jadi kita perlu 3 suku sajaโฆโฆ OK!!!!!
โซ sin5 ๐ฅ โ ๐ฅ = ๐๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐๐ + ๐ถ
Ingat ada tiga hal yang perlu kita persiapkan dalam menyusun jawaban.
1. Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya sinus maka harus diawali dari tanda negatif dulu. 2. Bilangan segitiga pascal. 3. Bilangan ganjil (cos ๐ฅ berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil).
Tanda positif negatif โซ sin5 ๐ฅ โ ๐ฅ = โ โโโ + โ โ + ๐ถ
Bilangan segitiga pascal โซ sin5 ๐ฅ โ ๐ฅ = โ ๐ + ๐ โโ โ ๐ โโ + ๐ถ
Bilangan ganjil โซ sin5 ๐ฅ โ ๐ฅ = โ ๐๐๐จ๐ฌ๐ ๐
๐ + ๐
๐๐จ๐ฌ๐ ๐
๐ โ ๐
๐๐จ๐ฌ๐ ๐
๐ + ๐ถ
Jadi penyelesaiannya adalah:
โซ sin5 ๐ฅ โ ๐ฅ = โ cos ๐ฅ + 2
3cos3 ๐ฅ โ
1
5cos5 ๐ฅ + ๐ถ
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 253
Contoh Soal 2: Oke, misalkan kita hendak menyelesaikan soal berikut:
โซ sin7 ๐ฅ โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan: Karena pangkatnya ganjil berarti:
๐ = 2๐ โ 1 โ 7 = 2๐ โ 1โ 7 + 1 = 2๐โ 7 = 2๐โ ๐ = 4
Jadi kita perlu 4 suku sajaโฆโฆ OK!!!!!
โซ sin7 ๐ฅ โ ๐ฅ = ๐๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐๐ + ๐ถ
Ingat ada tiga hal yang perlu kita persiapkan dalam menyusun jawaban.
1. Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya sinus maka harus diawali dari tanda negatif dulu. 2. Bilangan segitiga pascal. 3. Bilangan ganjil (cos ๐ฅ berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil).
Tanda positif negatif โซ sin7 ๐ฅ โ ๐ฅ = โ โโโ + โ โ โโโ + โ +๐ถ
Bilangan segitiga pascal โซ sin7 ๐ฅ โ ๐ฅ = โ ๐ + ๐ โโ โ ๐ โโ + ๐ + ๐ถ
Bilangan ganjil โซ sin7 ๐ฅ โ ๐ฅ = โ ๐๐๐จ๐ฌ๐ ๐
๐ + ๐
๐๐จ๐ฌ๐ ๐
๐ โ ๐
๐๐จ๐ฌ๐ ๐
๐ + ๐
๐๐จ๐ฌ๐ ๐
๐+ ๐ถ
Jadi penyelesaiannya adalah:
โซ sin7 ๐ฅ โ ๐ฅ = โ cos ๐ฅ + cos3 ๐ฅ โ 3
5cos5 ๐ฅ +
1
7cos7 ๐ฅ + ๐ถ
Halaman 254 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 3: Oke, misalkan kita hendak menyelesaikan soal berikut:
โซ sin3 5๐ฅ โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan: Karena pangkatnya ganjil berarti:
๐ = 2๐ โ 1 โ 3 = 2๐ โ 1โ 3 + 1 = 2๐โ 4 = 2๐โ ๐ = 2
Jadi kita perlu 2 suku sajaโฆโฆ OK!!!!!
โซ sin3 5๐ฅ โ ๐ฅ = ๐๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐๐ + ๐ถ
Nah karena fungsi sudut dan operator integral belum cocok, maka harus melalui penyelesaian dengan menggunakan teknik integral substitusi dulu.
Lihat sudutnya sinus 5๐ฅ, sedangkan operatornya โ ๐ฅ. Jadi โ ๐ฅ harus disesuaikan menjadi ๐(5๐ฅ)
5.
Sehingga,
โซ sin3 5๐ฅ โ ๐ฅ = โซ sin3 5๐ฅโ (5๐ฅ)
5=
1
5โซ sin3 5๐ฅ โ (5๐ฅ)
Artinya,
โซ sin3 5๐ฅ โ ๐ฅ =1
5โซ sin3 5๐ฅ โ (5๐ฅ)
Ingat ada tiga hal yang perlu kita persiapkan dalam menyusun jawaban.
1. Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya sinus maka harus diawali dari tanda negatif dulu. 2. Bilangan segitiga pascal. 3. Bilangan ganjil (cos ๐ฅ berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil).
Tanda positif negatif โซ sin3 5๐ฅ โ (5๐ฅ) = โ โโโ + โ +๐ถ
Bilangan segitiga pascal โซ sin3 5๐ฅ โ (5๐ฅ) = โ ๐ + ๐ โโ + ๐ถ
Bilangan ganjil โซ sin3 5๐ฅ โ (5๐ฅ) = โ ๐๐๐จ๐ฌ๐ ๐๐
๐ + ๐
๐๐จ๐ฌ๐ ๐๐
๐ + ๐ถ
Jadi penyelesaiannya adalah:
โซ sin3 5๐ฅ โ ๐ฅ =1
5โซ sin3 5๐ฅ โ (5๐ฅ) =
1
5( โ cos 5๐ฅ +
1
3cos3 5๐ฅ + ๐ถ)
= โ1
5cos 5๐ฅ +
1
15cos3 5๐ฅ + ๐ถ
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 255
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS โซ ๐๐จ๐ฌ๐ ๐ โ ๐ dengan ๐ = bilangan ganjil?
โซ cos๐ ๐ฅ โ ๐ฅ = (Karena n bilangan ganjil maka ๐ = 2๐ + 1)
= โซ cos2๐+1 ๐ฅ โ ๐ฅ (Ingat sifat pangkat cos2๐+1 = cos2๐ ๐ฅ cos ๐ฅ)
= โซ cos2๐ ๐ฅ cos ๐ฅ โ ๐ฅ (Ingat sifat pangkat cos2๐ ๐ฅ = (cos2 ๐ฅ)๐)
= โซ(cos2 ๐ฅ)๐ cos ๐ฅ โ ๐ฅ (Ingat identitas trigonometri cos2 ๐ฅ = 1 โ sin2 ๐ฅ)
= โซ(1 โ sin2 ๐ฅ)๐ cos ๐ฅ โ ๐ฅ (Samakan dulu operator integralnya)
= โซ(1 โ sin2 ๐ฅ)๐ cos ๐ฅโ (sin ๐ฅ)
cos ๐ฅ
= โซ(1 โ sin2 ๐ฅ)๐ โ (sin ๐ฅ)
Ingat Binomial Newton:
(๐ + ๐)๐ = โ ๐๐ถ๐ โ ๐๐โ๐ โ ๐๐
๐
๐=1
(1 โ sin2 ๐ฅ)๐ = โ ๐๐ถ๐ โ 1๐โ๐
โ (โ sin2 ๐ฅ)๐
๐
๐=0
= โซ โ ๐๐ถ๐ โ 1๐โ๐
โ (โ sin2 ๐ฅ)๐
๐
๐=0
โ (sin ๐ฅ) (Ingat 1๐โ๐ = 1 jadi coret saja)
= โซ โ ๐๐ถ๐ โ (โ sin2 ๐ฅ)๐
๐
๐=0
โ (sin ๐ฅ) (Keluarkan konstanta dari integral)
= โ ๐๐ถ๐ โซ(โ sin2 ๐ฅ)๐
โ (sin ๐ฅ)
๐
๐=0
(Ingat (โ sin2 ๐ฅ)๐ = ((โ1) โ sin2 ๐ฅ)๐
)
= โ ๐๐ถ๐ โซ((โ1) โ sin2 ๐ฅ)๐
โ (sin ๐ฅ)
๐
๐=0
(Ingat ((โ1) โ sin2 ๐ฅ)๐
= (โ1)๐(sin2 ๐ฅ)
๐)
= โ ๐๐ถ๐ โซ(โ1)๐(sin2 ๐ฅ)
๐โ (sin ๐ฅ)
๐
๐=0
(Keluarkan konstanta dan (cos2 ๐ฅ)๐
= cos2๐ ๐ฅ)
= โ ๐๐ถ๐ โ (โ1)๐
โซ sin2๐ ๐ฅ โ (sin ๐ฅ)
๐
๐=0
(Ingat (โ1) โ ๐๐ถ๐ โ (โ1)๐
= (โ1)๐+1)
= โ(โ1)๐ โ ๐๐ถ๐ โซ sin2๐ ๐ฅ โ (sin ๐ฅ)
๐
๐=0
(Ingat โซ sin2๐ ๐ฅ โ (sin ๐ฅ) =1
2๐ + 1sin2๐+1 ๐ฅ)
= โ(โ1)๐ โ ๐๐ถ๐ โ1
2๐ + 1sin2๐+1 ๐ฅ
๐
๐=0
(Rapikan bentuknya)
= โ(โ1)๐ โ ๐๐ถ๐
2๐ + 1sin2๐+1 ๐ฅ
๐
๐=0
(Hore! Selesai)
Bilangan segitiga pascal
Bilangan ganjil, penyebut dan pangkat dari sinus selalu dalam urutan naik dengan pola
bilangan ganjil berawal dari angka 1.
Berawal dari positif, lalu bergantian positif negatif positif negatif dstโฆ.
Halaman 256 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 1: Oke, misalkan kita hendak menyelesaikan soal berikut:
โซ cos5 ๐ฅ โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan: Karena pangkatnya ganjil berarti:
๐ = 2๐ โ 1 โ 5 = 2๐ โ 1โ 5 + 1 = 2๐โ 6 = 2๐โ ๐ = 3
Jadi kita perlu 3 suku sajaโฆโฆ OK!!!!!
โซ cos5 ๐ฅ โ ๐ฅ = ๐๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐๐ + ๐ถ
Ingat ada tiga hal yang perlu kita persiapkan dalam menyusun jawaban.
1. Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya kosinus maka harus diawali dari tanda positif dulu. 2. Bilangan segitiga pascal. 3. Bilangan ganjil (sin ๐ฅ berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil).
Tanda positif negatif โซ cos5 ๐ฅ โ ๐ฅ = + โโโ โ โ + + ๐ถ
Bilangan segitiga pascal โซ cos5 ๐ฅ โ ๐ฅ = + ๐ โ โ ๐ โโ + ๐ โโ + ๐ถ
Bilangan ganjil โซ cos5 ๐ฅ โ ๐ฅ = + ๐๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐
๐ โ ๐
๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐
๐+ ๐
๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐
๐ + ๐ถ
Jadi penyelesaiannya adalah:
โซ cos5 ๐ฅ โ ๐ฅ = sin ๐ฅ + 2
3sin3 ๐ฅ โ
1
5sin5 ๐ฅ + ๐ถ
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 257
Contoh Soal 2: Oke, misalkan kita hendak menyelesaikan soal berikut:
โซ cos7 ๐ฅ โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan: Karena pangkatnya ganjil berarti:
๐ = 2๐ โ 1 โ 7 = 2๐ โ 1โ 7 + 1 = 2๐โ 7 = 2๐โ ๐ = 4
Jadi kita perlu 4 suku sajaโฆโฆ OK!!!!!
โซ cos7 ๐ฅ โ ๐ฅ = ๐๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐๐ + ๐ถ
Ingat ada tiga hal yang perlu kita persiapkan dalam menyusun jawaban.
1. Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya kosinus maka harus diawali dari tanda positif dulu. 2. Bilangan segitiga pascal. 3. Bilangan ganjil (sin ๐ฅ berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil).
Tanda positif negatif โซ cos7 ๐ฅ โ ๐ฅ = + โโโ โ โ + โโโ โ โ +๐ถ
Bilangan segitiga pascal โซ cos7 ๐ฅ โ ๐ฅ = + ๐ โ ๐ โโ + ๐ โโ โ ๐ + ๐ถ
Bilangan ganjil โซ cos7 ๐ฅ โ ๐ฅ = + ๐๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐
๐ โ ๐
๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐
๐+ ๐
๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐
๐โ ๐
๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐
๐+ ๐ถ
Jadi penyelesaiannya adalah:
โซ cos7 ๐ฅ โ ๐ฅ = sin ๐ฅ โ sin3 ๐ฅ + 3
5sin5 ๐ฅ โ
1
7sin7 ๐ฅ + ๐ถ
Halaman 258 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 3: Oke, misalkan kita hendak menyelesaikan soal berikut:
โซ cos3 5๐ฅ โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan: Karena pangkatnya ganjil berarti:
๐ = 2๐ โ 1 โ 3 = 2๐ โ 1โ 3 + 1 = 2๐โ 4 = 2๐โ ๐ = 2
Jadi kita perlu 2 suku sajaโฆโฆ OK!!!!!
โซ cos3 5๐ฅ โ ๐ฅ = ๐๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐๐ + ๐ถ
Nah karena fungsi sudut dan operator integral belum cocok, maka harus melalui penyelesaian dengan menggunakan teknik integral substitusi dulu.
Lihat sudutnya sinus 5๐ฅ, sedangkan operatornya โ ๐ฅ. Jadi โ ๐ฅ harus disesuaikan menjadi ๐(5๐ฅ)
5.
Sehingga,
โซ cos3 5๐ฅ โ ๐ฅ = โซ cos3 5๐ฅโ (5๐ฅ)
5=
1
5โซ cos3 5๐ฅ โ (5๐ฅ)
Artinya,
โซ cos3 5๐ฅ โ ๐ฅ =1
5โซ cos3 5๐ฅ โ (5๐ฅ)
Ingat ada tiga hal yang perlu kita persiapkan dalam menyusun jawaban.
1. Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya kosinus maka harus diawali dari tanda positif dulu. 2. Bilangan segitiga pascal. 3. Bilangan ganjil (sin ๐ฅ berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil).
Tanda positif negatif โซ cos3 5๐ฅ โ (5๐ฅ) = + โโโ โ โ +๐ถ
Bilangan segitiga pascal โซ cos3 5๐ฅ โ (5๐ฅ) = + ๐ โ ๐ โโ + ๐ถ
Bilangan ganjil โซ cos3 5๐ฅ โ (5๐ฅ) = + ๐๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐๐
๐ โ ๐
๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐๐
๐ + ๐ถ
Jadi penyelesaiannya adalah:
โซ cos3 5๐ฅ โ ๐ฅ =1
5โซ cos3 5๐ฅ โ (5๐ฅ) =
1
5( sin 5๐ฅ โ
1
3sin3 5๐ฅ + ๐ถ)
= 1
5sin 5๐ฅ โ
1
15sin3 5๐ฅ + ๐ถ
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 259
Bagaimana Pola Penyelesaian dari โซ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐ โ ๐ dengan ๐ = bilangan genap? Bagaimana Pola Penyelesaian dari โซ ๐๐จ๐ฌ๐ ๐ โ ๐ dengan ๐ = bilangan genap?
Nah, jika pangkat dari fungsi integran sinus adalah genap, maka kita harus menggunakan sifat identitas trigonometri kosinus sudut rangkap, yaitu.
cos 2๐ฅ = 2 cos2 ๐ฅ โ 1 โ cos2 ๐ฅ =1
2cos 2๐ฅ โ
1
2
cos 2๐ฅ = 1 โ 2 sin2 ๐ฅ โ sin2 ๐ฅ =1
2โ
1
2cos 2๐ฅ
Contoh Soal 1:
โซ sin2 ๐ฅ โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan:
โซ sin2 ๐ฅ โ ๐ฅ = โซ (1
2โ
1
2cos 2๐ฅ) โ ๐ฅ
=1
2๐ฅ โ
1
2โซ cos 2๐ฅ โ ๐ฅ
=1
2๐ฅ โ
1
2โซ cos 2๐ฅ
โ (2๐ฅ)
2
=1
2๐ฅ โ
1
2โ
1
2โซ cos 2๐ฅ โ (2๐ฅ)
=1
2๐ฅ โ
1
4sin 2๐ฅ + ๐ถ
Contoh Soal 2:
โซ sin4 ๐ฅ โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan:
โซ sin4 ๐ฅ โ ๐ฅ = โซ(sin2 ๐ฅ)2 โ ๐ฅ
= โซ (1
2โ
1
2cos 2๐ฅ)
2
โ ๐ฅ
= โซ (1
4โ
1
2cos 2๐ฅ +
1
4cos2 2๐ฅ) โ ๐ฅ
= โซ (1
4โ
1
2cos 2๐ฅ +
1
4(
1
2+
1
2cos 4๐ฅ)) โ ๐ฅ
= โซ (1
4โ
1
2cos 2๐ฅ +
1
8+
1
8cos 4๐ฅ) โ ๐ฅ
= โซ (3
8โ
1
2cos 2๐ฅ +
1
8cos 4๐ฅ) โ ๐ฅ
= โซ3
8โ ๐ฅ โ โซ
1
2cos 2๐ฅ โ ๐ฅ + โซ
1
8cos 4๐ฅ โ ๐ฅ
=3
8๐ฅ โ
1
4sin 2๐ฅ +
1
32sin 4๐ฅ
Halaman 260 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Bagaimana Pola Penyelesaian dari โซ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐ ๐๐จ๐ฌ๐ ๐ โ ๐? Nah, untuk bentuk integral โซ sin๐ ๐ฅ cos๐ ๐ฅ โ ๐ฅ, maka kita harus menggunakan sifat identitas trigonometri Pythagoras, yaitu.
sin2 ๐ฅ + cos2 ๐ฅ = 1 โ sin2 ๐ฅ = 1 โ cos2 ๐ฅโ cos2 ๐ฅ = 1 โ sin2 ๐ฅ
Lalu beberapa bagian dari suku penjabaran dari integral kita bawa ke bentuk integral substitusi berikut:
โซ sin๐ ๐ฅ cos ๐ฅ โ ๐ฅ
โซ cos๐ ๐ฅ sin ๐ฅ โ ๐ฅ
Contoh Soal 1:
โซ sin3 ๐ฅ cos2 ๐ฅ โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan:
โซ sin3 ๐ฅ cos2 ๐ฅ โ ๐ฅ = โซ cos2 ๐ฅ sin2 ๐ฅ โ sin ๐ฅ โ ๐ฅ
= โซ cos2 ๐ฅ (1 โ cos2 ๐ฅ) sin ๐ฅ โ ๐ฅ
= โซ(1 โ cos4 ๐ฅ) sin ๐ฅ โ ๐ฅ
= โซ(sin ๐ฅ โ cos4 ๐ฅ sin ๐ฅ) โ ๐ฅ
= โซ sin ๐ฅ โ ๐ฅ โ โซ cos4 ๐ฅ sin ๐ฅ โ ๐ฅ
= โ cos ๐ฅ โ โซ cos4 ๐ฅ sin ๐ฅโ (cos ๐ฅ)
โ sin ๐ฅ
= โ cos ๐ฅ + โซ cos4 ๐ฅ โ (cos ๐ฅ)
= โ cos ๐ฅ +1
5cos5 ๐ฅ + ๐ถ
Contoh Soal 2:
โซ sin2 ๐ฅ cos3 ๐ฅ โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan:
โซ sin2 ๐ฅ cos3 ๐ฅ โ ๐ฅ = โซ sin2 ๐ฅ cos2 ๐ฅ โ cos ๐ฅ โ ๐ฅ
= โซ sin2 ๐ฅ (1 โ sin2 ๐ฅ) cos ๐ฅ โ ๐ฅ
= โซ(1 โ sin4 ๐ฅ) cos ๐ฅ โ ๐ฅ
= โซ(cos ๐ฅ โ sin4 ๐ฅ cos ๐ฅ) โ ๐ฅ
= โซ cos ๐ฅ โ ๐ฅ โ โซ sin4 ๐ฅ cos ๐ฅ โ ๐ฅ
= sin ๐ฅ โ โซ sin4 ๐ฅ cos ๐ฅโ (sin ๐ฅ)
cos ๐ฅ
= sin ๐ฅ + โซ sin4 ๐ฅ โ (sin ๐ฅ)
= sin ๐ฅ +1
5sin5 ๐ฅ + ๐ถ
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 261
Bagaimana Pola Penyelesaian dari โซ ๐ญ๐๐ง๐ ๐ ๐ฌ๐๐๐ ๐ โ ๐? Nah, untuk bentuk integral โซ tan๐ ๐ฅ sec๐ ๐ฅ โ ๐ฅ, maka kita harus menggunakan sifat identitas trigonometri Pythagoras, yaitu.
sin2 ๐ฅ + cos2 ๐ฅ = 1 โ tan2 ๐ฅ + 1 = sec2 ๐ฅโ 1 + cot2 ๐ฅ = csc2 ๐ฅ
Lalu beberapa bagian dari suku penjabaran dari integral kita bawa ke bentuk integral substitusi berikut:
โซ tan๐ ๐ฅ sec2 ๐ฅ โ ๐ฅ, jika pangkat sec ๐ฅ genap.
โซ sec๐ ๐ฅ (sec ๐ฅ tan ๐ฅ) โ ๐ฅ, jika pangkat sec ๐ฅ ganjil, atau pangkat tan ๐ฅ ganjil.
Contoh Soal 1:
โซ tan2 ๐ฅ sec2 ๐ฅ โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan: Karena pangkat sec ๐ฅ genap, maka sisakan bentuk sec2 ๐ฅ. Oh ternyata bentuk integral sudah dalam bentuk โซ tan๐ ๐ฅ sec2 ๐ฅ โ ๐ฅ. Okelah kalau begitu. Langsung saja!
โซ tan2 ๐ฅ sec2 ๐ฅ โ ๐ฅ = โซ tan2 ๐ฅ sec2 ๐ฅโ (tan ๐ฅ)
sec2 ๐ฅ
= โซ tan2 ๐ฅ โ (tan ๐ฅ)
=1
3tan3 ๐ฅ + ๐ถ
Contoh Soal 2:
โซ tan2 ๐ฅ sec4 ๐ฅ โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan: Karena pangkat sec ๐ฅ genap, maka sisakan bentuk sec2 ๐ฅ. Gunakan bantuan identitas trigonometri tan2 ๐ฅ + 1 = sec2 ๐ฅ Sehingga, bentuk integral menjadi โซ tan๐ ๐ฅ sec2 ๐ฅ โ ๐ฅ.
โซ tan2 ๐ฅ sec4 ๐ฅ โ ๐ฅ = โซ tan2 ๐ฅ sec2 ๐ฅ sec2 ๐ฅ โ ๐ฅ
= โซ tan2 ๐ฅ (tan2 ๐ฅ + 1) sec2 ๐ฅ โ ๐ฅ
= โซ(tan4 ๐ฅ + tan2 ๐ฅ) sec2 ๐ฅ โ ๐ฅ
= โซ(tan4 ๐ฅ sec2 ๐ฅ + tan2 ๐ฅ sec2 ๐ฅ) โ ๐ฅ
= โซ tan4 ๐ฅ sec2 ๐ฅ โ ๐ฅ + โซ tan2 ๐ฅ sec2 ๐ฅ โ ๐ฅ
= โซ tan4 ๐ฅ sec2 ๐ฅโ (tan ๐ฅ)
sec2 ๐ฅ+ โซ tan2 ๐ฅ sec2 ๐ฅ
โ (tan ๐ฅ)
sec2 ๐ฅ
= โซ tan4 ๐ฅ โ (tan ๐ฅ) + โซ tan2 ๐ฅ โ (tan ๐ฅ)
=1
5tan5 ๐ฅ +
1
3tan3 ๐ฅ + ๐ถ
Halaman 262 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 3:
โซ tan3 ๐ฅ sec4 ๐ฅ โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan: Cara 1: Karena pangkat sec ๐ฅ genap, maka sisakan bentuk sec2 ๐ฅ. Gunakan bantuan identitas trigonometri tan2 ๐ฅ + 1 = sec2 ๐ฅ Sehingga, bentuk integral menjadi โซ tan๐ ๐ฅ sec2 ๐ฅ โ ๐ฅ.
โซ tan3 ๐ฅ sec4 ๐ฅ โ ๐ฅ = โซ tan3 ๐ฅ sec2 ๐ฅ sec2 ๐ฅ โ ๐ฅ
= โซ tan3 ๐ฅ (tan2 ๐ฅ + 1) sec2 ๐ฅ โ ๐ฅ
= โซ(tan5 ๐ฅ + tan3 ๐ฅ) sec2 ๐ฅ โ ๐ฅ
= โซ(tan5 ๐ฅ sec2 ๐ฅ + tan3 ๐ฅ sec2 ๐ฅ) โ ๐ฅ
= โซ tan5 ๐ฅ sec2 ๐ฅ โ ๐ฅ + โซ tan3 ๐ฅ sec2 ๐ฅ โ ๐ฅ
= โซ tan5 ๐ฅ sec2 ๐ฅโ (tan ๐ฅ)
sec2 ๐ฅ+ โซ tan3 ๐ฅ sec2 ๐ฅ
โ (tan ๐ฅ)
sec2 ๐ฅ
= โซ tan5 ๐ฅ โ (tan ๐ฅ) + โซ tan3 ๐ฅ โ (tan ๐ฅ)
=1
6tan6 ๐ฅ +
1
4tan4 ๐ฅ + ๐ถ
Cara 2: Karena pangkat tan ๐ฅ ganjil, maka sisakan bentuk sec ๐ฅ tan ๐ฅ. Gunakan bantuan identitas trigonometri tan2 ๐ฅ + 1 = sec2 ๐ฅ Sehingga, bentuk integral menjadi โซ sec๐ ๐ฅ (sec ๐ฅ tan ๐ฅ) โ ๐ฅ.
โซ tan3 ๐ฅ sec4 ๐ฅ โ ๐ฅ = โซ tan2 ๐ฅ sec3 ๐ฅ (sec ๐ฅ tan ๐ฅ) โ ๐ฅ
= โซ(sec2 ๐ฅ โ 1) sec3 ๐ฅ (sec ๐ฅ tan ๐ฅ) โ ๐ฅ
= โซ(sec5 ๐ฅ โ sec3 ๐ฅ) (sec ๐ฅ tan ๐ฅ) โ ๐ฅ
= โซ (sec5 ๐ฅ (sec ๐ฅ tan ๐ฅ) โ sec3 ๐ฅ (sec ๐ฅ tan ๐ฅ)) โ ๐ฅ
= โซ sec5 ๐ฅ (sec ๐ฅ tan ๐ฅ) โ ๐ฅ โ โซ sec3 ๐ฅ (sec ๐ฅ tan ๐ฅ) โ ๐ฅ
= โซ sec5 ๐ฅ (tan ๐ฅ sec ๐ฅ)โ (sec ๐ฅ)
sec ๐ฅ tan ๐ฅโ โซ sec3 ๐ฅ (tan ๐ฅ sec ๐ฅ)
โ (sec ๐ฅ)
sec ๐ฅ tan ๐ฅ
= โซ sec5 ๐ฅ โ (sec ๐ฅ) โ โซ sec3 ๐ฅ โ (sec ๐ฅ)
=1
6sec6 ๐ฅ โ
1
4sec4 ๐ฅ + ๐ถ
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 263
Contoh Soal 4:
โซ tan3 ๐ฅ sec3 ๐ฅ โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan: Karena pangkat sec ๐ฅ ganjil, maka sisakan bentuk sec ๐ฅ tan ๐ฅ. Gunakan bantuan identitas trigonometri tan2 ๐ฅ + 1 = sec2 ๐ฅ Sehingga, bentuk integral menjadi โซ sec๐ ๐ฅ (sec ๐ฅ tan ๐ฅ) โ ๐ฅ.
โซ tan3 ๐ฅ sec3 ๐ฅ โ ๐ฅ = โซ tan2 ๐ฅ sec2 ๐ฅ (sec ๐ฅ tan ๐ฅ) โ ๐ฅ
= โซ(sec2 ๐ฅ โ 1) sec2 ๐ฅ (sec ๐ฅ tan ๐ฅ) โ ๐ฅ
= โซ(sec4 ๐ฅ โ sec2 ๐ฅ) (sec ๐ฅ tan ๐ฅ) โ ๐ฅ
= โซ(sec4 ๐ฅ (sec ๐ฅ tan ๐ฅ) โ sec2 ๐ฅ (sec ๐ฅ tan ๐ฅ)) โ ๐ฅ
= โซ sec4 ๐ฅ (sec ๐ฅ tan ๐ฅ) โ ๐ฅ โ โซ sec2 ๐ฅ (sec ๐ฅ tan ๐ฅ) โ ๐ฅ
= โซ sec4 ๐ฅ (tan ๐ฅ sec ๐ฅ)โ (sec ๐ฅ)
sec ๐ฅ tan ๐ฅโ โซ sec2 ๐ฅ (tan ๐ฅ sec ๐ฅ)
โ (sec ๐ฅ)
sec ๐ฅ tan ๐ฅ
= โซ sec4 ๐ฅ โ (sec ๐ฅ) โ โซ sec2 ๐ฅ โ (sec ๐ฅ)
=1
5sec5 ๐ฅ โ
1
3sec3 ๐ฅ + ๐ถ
Halaman 264 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Bagaimana Pola Penyelesaian dari โซ ๐๐จ๐ญ๐ ๐ ๐๐ฌ๐๐ ๐ โ ๐? Nah, untuk bentuk integral โซ cot๐ ๐ฅ csc๐ ๐ฅ โ ๐ฅ, maka kita harus menggunakan sifat identitas trigonometri Pythagoras, yaitu.
sin2 ๐ฅ + cos2 ๐ฅ = 1 โ tan2 ๐ฅ + 1 = sec2 ๐ฅโ 1 + cot2 ๐ฅ = csc2 ๐ฅ
Lalu beberapa bagian dari suku penjabaran dari integral kita bawa ke bentuk integral substitusi berikut:
โซ cot๐ ๐ฅ csc2 ๐ฅ โ ๐ฅ, jika pangkat csc ๐ฅ genap.
โซ csc๐ ๐ฅ (csc ๐ฅ cot ๐ฅ) โ ๐ฅ, jika pangkat csc ๐ฅ ganjil, atau pangkat cot ๐ฅ ganjil.
Contoh Soal 1:
โซ cot2 ๐ฅ csc2 ๐ฅ โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan: Karena pangkat csc ๐ฅ genap, maka sisakan bentuk csc2 ๐ฅ. Oh ternyata bentuk integral sudah dalam bentuk โซ cot๐ ๐ฅ csc2 ๐ฅ โ ๐ฅ. Okelah kalau begitu. Langsung saja!
โซ cot2 ๐ฅ csc2 ๐ฅ โ ๐ฅ = โซ cot2 ๐ฅ csc2 ๐ฅโ (cot ๐ฅ)
โ csc2 ๐ฅ
= โ โซ cot2 ๐ฅ โ (cot ๐ฅ)
= โ1
3cot3 ๐ฅ + ๐ถ
Contoh Soal 2:
โซ cot2 ๐ฅ csc4 ๐ฅ โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan: Karena pangkat csc ๐ฅ genap, maka sisakan bentuk csc2 ๐ฅ. Gunakan bantuan identitas trigonometri cot2 ๐ฅ + 1 = csc2 ๐ฅ Sehingga, bentuk integral menjadi โซ cot๐ ๐ฅ csc2 ๐ฅ โ ๐ฅ.
โซ cot2 ๐ฅ csc4 ๐ฅ โ ๐ฅ = โซ cot2 ๐ฅ csc2 ๐ฅ csc2 ๐ฅ โ ๐ฅ
= โซ cot2 ๐ฅ (1 + cot2 ๐ฅ) csc2 ๐ฅ โ ๐ฅ
= โซ(cot2 ๐ฅ + cot4 ๐ฅ) csc2 ๐ฅ โ ๐ฅ
= โซ(cot2 ๐ฅ csc2 ๐ฅ + cot4 ๐ฅ csc2 ๐ฅ) โ ๐ฅ
= โซ cot2 ๐ฅ csc2 ๐ฅ โ ๐ฅ + โซ cot4 ๐ฅ csc2 ๐ฅ โ ๐ฅ
= โซ cot2 ๐ฅ csc2 ๐ฅโ (cot ๐ฅ)
โ csc2 ๐ฅ+ โซ cot4 ๐ฅ csc2 ๐ฅ
โ (cot ๐ฅ)
โ csc2 ๐ฅ
= โ โซ cot2 ๐ฅ โ (cot ๐ฅ) โ โซ cot2 ๐ฅ โ (cot ๐ฅ)
= โ1
3cot3 ๐ฅ โ
1
5tan5 ๐ฅ + ๐ถ
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 265
Contoh Soal 3:
โซ cot3 ๐ฅ csc4 ๐ฅ โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan: Cara 1: Karena pangkat csc ๐ฅ genap, maka sisakan bentuk csc2 ๐ฅ. Gunakan bantuan identitas trigonometri 1 + cot2 ๐ฅ = csc2 ๐ฅ Sehingga, bentuk integral menjadi โซ cot๐ ๐ฅ csc2 ๐ฅ โ ๐ฅ.
โซ cot3 ๐ฅ csc4 ๐ฅ โ ๐ฅ = โซ cot3 ๐ฅ csc2 ๐ฅ csc2 ๐ฅ โ ๐ฅ
= โซ cot3 ๐ฅ (1 + cot2 ๐ฅ) csc2 ๐ฅ โ ๐ฅ
= โซ(cot3 ๐ฅ + cot5 ๐ฅ) csc2 ๐ฅ โ ๐ฅ
= โซ(cot3 ๐ฅ csc2 ๐ฅ + cot5 ๐ฅ csc2 ๐ฅ) โ ๐ฅ
= โซ cot3 ๐ฅ csc2 ๐ฅ โ ๐ฅ + โซ cot5 ๐ฅ csc2 ๐ฅ โ ๐ฅ
= โซ cot3 ๐ฅ csc2 ๐ฅโ (cot ๐ฅ)
โ csc2 ๐ฅ+ โซ cot5 ๐ฅ csc2 ๐ฅ
โ (cot ๐ฅ)
โ csc2 ๐ฅ
= โ โซ cot3 ๐ฅ โ (cot ๐ฅ) โ โซ cot5 ๐ฅ โ (cot ๐ฅ)
= โ1
4cot4 ๐ฅ โ
1
6cot6 ๐ฅ + ๐ถ
Cara 2: Karena pangkat cot ๐ฅ ganjil, maka sisakan bentuk csc ๐ฅ cot ๐ฅ. Gunakan bantuan identitas trigonometri cot2 ๐ฅ + 1 = csc2 ๐ฅ Sehingga, bentuk integral menjadi โซ csc๐ ๐ฅ (csc ๐ฅ cot ๐ฅ) โ ๐ฅ.
โซ cot3 ๐ฅ csc4 ๐ฅ โ ๐ฅ = โซ cot2 ๐ฅ csc3 ๐ฅ (csc ๐ฅ cot ๐ฅ) โ ๐ฅ
= โซ(csc2 ๐ฅ โ 1) csc3 ๐ฅ (csc ๐ฅ cot ๐ฅ) โ ๐ฅ
= โซ(csc5 ๐ฅ โ csc3 ๐ฅ) (csc ๐ฅ cot ๐ฅ) โ ๐ฅ
= โซ (csc5 ๐ฅ (csc ๐ฅ cot ๐ฅ) โ csc3 ๐ฅ (csc ๐ฅ cot ๐ฅ)) โ ๐ฅ
= โซ csc5 ๐ฅ (csc ๐ฅ cot ๐ฅ) โ ๐ฅ โ โซ csc3 ๐ฅ (csc ๐ฅ cot ๐ฅ) โ ๐ฅ
= โซ csc5 ๐ฅ (cot ๐ฅ csc ๐ฅ)โ (csc ๐ฅ)
โ csc ๐ฅ cot ๐ฅโ โซ csc3 ๐ฅ (cot ๐ฅ csc ๐ฅ)
โ (csc ๐ฅ)
โ csc ๐ฅ cot ๐ฅ
= โ โซ csc5 ๐ฅ โ (csc ๐ฅ) + โซ csc3 ๐ฅ โ (csc ๐ฅ)
= โ1
6csc6 ๐ฅ +
1
4csc4 ๐ฅ + ๐ถ
Halaman 266 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 4:
โซ cot3 ๐ฅ csc3 ๐ฅ โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan: Karena pangkat csc ๐ฅ ganjil, maka sisakan bentuk csc ๐ฅ cot ๐ฅ. Gunakan bantuan identitas trigonometri 1 + cot2 ๐ฅ = csc2 ๐ฅ Sehingga, bentuk integral menjadi โซ csc๐ ๐ฅ (csc ๐ฅ cot ๐ฅ) โ ๐ฅ.
โซ cot3 ๐ฅ csc3 ๐ฅ โ ๐ฅ = โซ cot2 ๐ฅ csc2 ๐ฅ (csc ๐ฅ cot ๐ฅ) โ ๐ฅ
= โซ(csc2 ๐ฅ โ 1) csc2 ๐ฅ (csc ๐ฅ cot ๐ฅ) โ ๐ฅ
= โซ(csc4 ๐ฅ โ csc2 ๐ฅ) (csc ๐ฅ cot ๐ฅ) โ ๐ฅ
= โซ(csc4 ๐ฅ (csc ๐ฅ cot ๐ฅ) โ csc2 ๐ฅ (csc ๐ฅ cot ๐ฅ)) โ ๐ฅ
= โซ csc4 ๐ฅ (csc ๐ฅ cot ๐ฅ) โ ๐ฅ โ โซ csc2 ๐ฅ (csc ๐ฅ cot ๐ฅ) โ ๐ฅ
= โซ csc4 ๐ฅ (cot ๐ฅ csc ๐ฅ)โ (csc ๐ฅ)
โ csc ๐ฅ cot ๐ฅโ โซ csc2 ๐ฅ (cot ๐ฅ csc ๐ฅ)
โ (csc ๐ฅ)
โ csc ๐ฅ cot ๐ฅ
= โ โซ csc4 ๐ฅ โ (csc ๐ฅ) + โซ csc2 ๐ฅ โ (csc ๐ฅ)
= โ1
5csc5 ๐ฅ +
1
3csc3 ๐ฅ + ๐ถ
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 267
Bagaimana Pola Penyelesaian dari Teknik Integral Substitusi Trigonometri?
Bentuk Substitusi Turunan Hasil
โ๐2 โ ๐ฅ2 ๐ฅ = ๐ sin ๐ โ ๐ฅ = ๐ cos ๐ โ ๐ โ๐2 โ ๐ฅ2 = ๐ cos ๐
โ๐2 + ๐ฅ2 ๐ฅ = ๐ tan ๐ โ ๐ฅ = ๐ sec2 ๐ โ ๐ โ๐2 + ๐ฅ2 = ๐ sec ๐
โ๐ฅ2 โ ๐2 ๐ฅ = ๐ sec ๐ โ ๐ฅ = ๐ sec ๐ tan ๐ โ ๐ โ๐ฅ2 โ ๐2 = ๐ tan ๐
Halaman 268 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Dan masih banyak yang lainnyaโฆ.
Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru dari suplemen modul TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Pengayaan Integral Trigonometri iniโฆ.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 269
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Pengayaan Integral Trigonometri.
Modul Pengayaan Integral Trigonometri ini adalah suplemen untuk modul TRIK SUPERKILAT dan SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013. Mengingat materi Integral khususnya yang menyangkut Trigonometri memerlukan penguasaan konsep dasar yang kuat pada setiap pokok bahasan. Pada survey yang dilakukan kepada siswa SMA menunjukkan bahwa materi Trigonometri dan Dimensi Tiga adalah topik materi yang paling menakutkan di kalangan siswa. Jadi, tidak ada salahnya apabila pada pokok bahasan Integral Trigonometri ini diberikan suplemen materi pengayaan Integral Trigonometri sebagai bukti bahwa Integral Trigonometri itu mudah dipahami dan dikerjakan dengan metode TRIK SUPERKILAT dan SMART SOLUTION yang menyenangkan sambil menyelami konsep dasar Integral Trigonometri itu sendiriโฆ Untuk sementara hanya beberapa tipe soal integral trigonometri plus integral substitusi trigonometri yang dibahas. Untuk tipe soal yang lain akan segera diupload dan dibagikan. Jadi selalu tunggu di blog Pak Anang ya :) Kunjungi laman http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html untuk mengunduh update materi SMART SOLUTION Pengayaan Integral Trigonometri iniโฆ :)
Jika adik-adik butuh โbocoranโ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 213
5. 3. Menentukan integral tak tentu dan integral tertentu fungsi aljabar dan fungsi trigonometri.
Integral Tak Tentu
Definisi โKebalikan Proses Turunanโ
๐น(๐ฅ) Integral Turunan
๐(๐ฅ)
๐นโฒ(๐ฅ) = ๐(๐ฅ) โ โซ๐(๐ฅ) โ ๐ฅ = ๐น(๐ฅ) + ๐ถ
Integral Fungsi Aljabar Integral Fungsi Trigonometri
โซ ๐ฅ๐ โ ๐ฅ =1
๐+1๐ฅ๐+1 + ๐ถ
โซ ๐๐ฅ๐ โ ๐ฅ =๐
๐+1๐ฅ๐+1 + ๐ถ
Sifat:
โซ โ [๐(๐ฅ)] = ๐(๐ฅ) + ๐
โซ ๐ โ ๐(๐ฅ)โ ๐ฅ = ๐โซ ๐(๐ฅ) โ ๐ฅ
โซ [๐(๐ฅ) ยฑ ๐(๐ฅ)] โ ๐ฅ = โซ ๐(๐ฅ) โ ๐ฅ ยฑ โซ ๐(๐ฅ) โ ๐ฅ
Integral Tertentu
Definisi
โซ ๐(๐ฅ) โ ๐ฅ๐
๐
= ๐น(๐ฅ) |๐
๐= ๐น(๐) โ ๐น(๐)
๐ฌ๐ข๐ง๐๐๐จ๐ฌ๐
โ๐ฌ๐ข๐ง๐โ๐๐จ๐ฌ๐
โซ sec2 ๐ฅ โ ๐ฅ = โ tan ๐ฅ + ๐ถ
โซ csc2 ๐ฅ โ ๐ฅ = โcot ๐ฅ + ๐ถ
โซ sec ๐ฅ tan ๐ฅ โ ๐ฅ = โsec ๐ฅ + ๐ถ
โซ csc๐ฅ cot ๐ฅ โ ๐ฅ = โcsc ๐ฅ + ๐ถ
Halaman 214 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Teknik Integral Aljabar
Integral Langsung โJika sesuai dengan Rumus Dasarโ harus dalam bentuk pangkat
โซโก๐ โ โก = 1
๐+1โก๐+1 + ๐ถ
harus sama
โซ [๐(๐ฅ) ยฑ ๐(๐ฅ)] โ ๐ฅ = โฆ. boleh dalam bentuk penjumlahan atau pengurangan tidak boleh perkalian pembagian!!!!!
โซ [๐(๐ฅ) ร ๐(๐ฅ)] โ ๐ฅ = โฆ.
โซ[๐(๐ฅ)
๐(๐ฅ)] โ ๐ฅ = โฆ.
Jika tidak bisa diintegralkan secara langsung, maka bisa menggunakan salah satu dari metode berikut:
Diubah Substitusi Parsial
โซ 3๐ฅ(๐๐๐ + ๐)5 โ ๐
Fungsi integran dan operator masih belum sama harus sama
โซ 3๐ฅ(๐๐๐ + ๐)5 โ (๐๐๐ + ๐)
4๐ฅ
โซ โ๐ฅ โ ๐ฅ โซ5
๐ฅ2โ ๐ฅ
Bentuk pangkat Bentuk pangkat belum terlihat!!! belum terlihat!!!
โซ ๐ฅ12 โ ๐ฅ โซ 5๐ฅโ2 โ ๐ฅ
โซ ๐ฅ(๐ฅ + 3) โ ๐ฅ โซ (๐ฅ + 1)2 โ ๐ฅ Nggak boleh dalam Nggak boleh dalam bentuk perkalian!!! bentuk perkalian!!!
โซ (๐ฅ2 + 3๐ฅ) โ ๐ฅ โซ (๐ฅ2 + 2๐ฅ + 1) โ ๐ฅ
dan lain-lain โฆ
turunan
โซ 3๐ฅ2(๐๐๐ + ๐)5 โ ๐
Fungsi integran dan operator masih belum sama harus sama
โซ 3๐ฅ2(๐๐๐ + ๐)5 โ (๐๐๐ + ๐)
4๐ฅ
โซ ๐ข โ ๐ฃ = ๐ข๐ฃ โ โซ ๐ฃ โ ๐ข
turunan
Perbedaan mendasar antara teknik integral substitusi dengan
teknik integral parsial.
Sederhanakan! Nggak boleh muncul
variabel ๐
Sederhanakan! Tetapi masih muncul
variabel ๐
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 215
LOGIKA PRAKTIS Integral Fungsi Aljabar. Secara umum integral fungsi aljabar sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut:
๐(๐) = ๐๐๐ โ ๐ญ(๐) =๐
๐+๐๐๐+๐ + ๐ช
๐๐๐ ๐๐๐+๐ ๐
๐+๐๐๐+๐
Proses mencari integral fungsi ๐๐ฅ๐ terhadap ๐ฅ:
1. Tambah satu pangkatnya! 2. Bagi koefisien dengan bilangan hasil langkah pertama! 3. Tambahkan dengan konstanta ๐ถ. 4. Selesai!
TRIK SUPERKILAT Integral Fungsi Aljabar Pangkat Pecahan.
Sebagaimana sudah kita ketahui bersama, bahwa konsep dasar integral adalah sebagai berikut: Lho ini kan saling berkebalikan?
๐(๐) = ๐๐ โ ๐ญ(๐) =๐
๐+๐๐๐+๐ + ๐ช
Nah, seringkali kita kesulitan mengerjakan integral dengan langkah pasti dan yakin apabila bertemu dengan bentuk pangkat pecahan. Misalnya,
โซ2๐ฅ32 โ ๐ฅ = 2โซ๐ฅ
32 โ ๐ฅ (
Ingat konsep โซ ๐๐(๐ฅ) โ ๐ฅ = ๐โซ ๐(๐ฅ) โ ๐ฅ alias buang semua konstanta keluar integral
)
= 2 โ2
5๐ฅ52 + ๐ถ
=4
5๐ฅ52 + ๐ถ
Sesuai konsep integral, pangkatnya kan harus ditambah 1!
Pangkat 3
2 ditambah 1 menjadi berapa?
5
2, kan?
Mudah saja, balik angka 5
2 menjadi
2
5.
Jadi,
โซ๐ฅ32 โ ๐ฅ =
2
5๐ฅ52 + ๐ถ
Lho ini kan saling berkebalikan?
Halaman 216 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Teknik Integral Trigonometri
Integral Langsung โJika sesuai konsep 6 Turunan Trigonometriโ
โซ sinโก โ โก = โcosโก + ๐ถ
โซ cosโก โ โก = โsinโก + ๐ถ
โซ sec2 โก โ โก = โ tanโก + ๐ถ
โซ csc2 โก โ โก = โcotโก + ๐ถ
โซ secโก tanโกโ โก = โsecโก + ๐ถ
โซ cscโก cot โก โ โก = โcscโก + ๐ถ
โซ [๐(๐ฅ) ยฑ ๐(๐ฅ)] โ ๐ฅ boleh dalam bentuk penjumlahan atau pengurangan
Jika tidak bisa diintegralkan secara langsung, maka bisa menggunakan salah satu dari metode berikut:
Diubah Substitusi Parsial
โซ tan2 ๐ฅ โ ๐ฅ โซ cot2 ๐ฅ โ ๐ฅ Adanya konsep Adanya konsep integral ๐ฌ๐๐๐ ๐ !!! integral ๐๐ฌ๐๐ ๐ !!!
โซ (sec2 ๐ฅ โ 1) โ ๐ฅ โซ (csc2 ๐ฅ โ 1) โ ๐ฅ โซ sin๐๐ฅ cos๐๐ฅ โ ๐ฅ โซ sin2 ๐ฅ โ ๐ฅ โซ cos๐๐ฅ cos๐๐ฅ โ ๐ฅ โซ cos2 ๐ฅ โ ๐ฅ โซ sin๐๐ฅ sin๐๐ฅ โ ๐ฅ dst โฆ Diubah menjadi Sin Cos berpangkat bentuk perjumlahan genap harus diubah! Ingat Rumus Perkalian Ingat Rumus Sin Cos ke penjumlahan setengah sudut
๐ + ๐ 2๐๐ถ๐ โ ๐ 2๐ถ๐๐ถ + ๐ถ 2๐ถ๐ถ๐ถ โ ๐ถ โ 2๐๐
sin2 ๐ฅ =1
2โ1
2cos2๐ฅ
cos2 ๐ฅ =1
2+1
2cos 2๐ฅ
Jadi, โซ sin4 ๐ฅ โ ๐ฅ juga diubah menjadi
โซ sin2 ๐ฅ sin2 ๐ฅ โ ๐ฅ
dan lain-lain โฆ
โซ 2๐ฅ sin(๐๐๐ + ๐)โ ๐
Fungsi integran dan operator masih belum sama harus sama
โซ 2๐ฅ sin(๐๐๐ + ๐) โ (๐๐๐ + ๐)
6๐ฅ
โซ ๐ฌ๐ข๐ง3 ๐ฅ cos ๐ฅ โ ๐
Fungsi integran dan operator masih belum sama harus sama
โซ ๐ฌ๐ข๐ง3 ๐ฅ cos ๐ฅ โ (๐ฌ๐ข๐ง ๐)
cos ๐ฅ
โซ 2๐ฅ2 sin(๐๐๐ + ๐) โ ๐
Fungsi integran dan operator masih belum sama harus sama
โซ 2๐ฅ2 sin(๐๐๐ + ๐) โ (๐๐๐ + ๐)
6๐ฅ
โซ ๐ข โ ๐ฃ = ๐ข๐ฃ โ โซ ๐ฃ โ ๐ข โ โ
turunan turunan
Sederhanakan! Nggak boleh muncul
variabel ๐
turunan
Sederhanakan! Nggak boleh muncul
variabel ๐
Sederhanakan! Tetapi masih muncul
variabel ๐
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 217
LOGIKA PRAKTIS Integral Fungsi Trigonometri Dasar Sinus Kosinus. Secara umum integral fungsi trigonometri sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut: Cara membacanya:
๐ฌ๐ข๐ง ๐๐๐จ๐ฌ ๐
โ๐ฌ๐ข๐ง ๐โ๐๐จ๐ฌ ๐
โซ โsin ๐ฅ โ ๐ฅ = โ cos ๐ฅ + ๐ถ
โซ โcos ๐ฅ โ ๐ฅ = โ sin ๐ฅ + ๐ถ
โซ โsin ๐ฅ โ ๐ฅ = โ cos ๐ฅ + ๐ถ
โซ โcos ๐ฅ โ ๐ฅ = โ sin ๐ฅ + ๐ถ
Jadi integralnya sinus adalah negatif kosinus. Integralnya kosinus adalah sinus.
KONSEP DASAR Integral Fungsi Trigonometri Dasar Selain Sinus Kosinus. Dasar dari konsep integral fungsi trigonometri selain sinus kosinus adalah harus paham dan hafal turunan dari fungsi trigonometri. *) Perhatikan konsep berikut:
tan ๐ฅ cot ๐ฅ sec ๐ฅ csc ๐ฅ โก๐ โก๐
*) Dikutip dari SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 SKL 5.2 Aplikasi Turunan Fungsi, Halaman 203 (http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_29.html)
Jadi, dengan melihat bahwa integral adalah lawan dari proses turunan, diperoleh konsep berikut:
โซ sec2 ๐ฅ โ ๐ฅ = โ tan ๐ฅ + ๐ถ
โซ csc2 ๐ฅ โ ๐ฅ = โcot ๐ฅ + ๐ถ
โซ sec ๐ฅ tan ๐ฅ โ ๐ฅ = โsec ๐ฅ + ๐ถ
โซ csc ๐ฅ cot ๐ฅ โ ๐ฅ = โcsc ๐ฅ + ๐ถ
Cara membacanya: ๐ฆ = tan ๐ฅ
โ ๐ฆโฒ = sec2 ๐ฅ
๐ฆ = cot ๐ฅ โ ๐ฆโฒ = โcsc2 ๐ฅ
๐ฆ = sec ๐ฅ โ ๐ฆโฒ = sec ๐ฅ tan ๐ฅ
๐ฆ = csc ๐ฅ โ ๐ฆโฒ = โcsc ๐ฅ cot ๐ฅ
Halaman 218 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Tips dan Trik Integral Trigonometri
Intinya pada integral trigonometri harus menguasai bagaimana konsep trigonometri serta bagaimanakah sifat turunan dari fungsi trigonometri. OK! Disamping itu, harus menguasai bagaimana konsep identitas trigonometri yang pernah Pak Anang tulis pada Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 pada SKL 4 Pengantar Trigonometri di laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_11.html Rumus Identitas Trigonometri yang sering digunakan dalam integral adalah:
Rumus identitas trigonometri
sin2 ๐ฅ + cos2 ๐ฅ = 1tan2 ๐ฅ + 1 = sec2 ๐ฅ1 + cot2 ๐ฅ = csc2 ๐ฅ
sin2 ๐ฅ =1
2โ1
2cos2๐ฅ
cos2 ๐ฅ =1
2+1
2cos 2๐ฅ
sin2๐ฅ = 2 sin๐ฅ cos ๐ฅ
Rumus perkalian trigonometri
sin ๐ฅ cos ๐ฆ =1
2[sin(๐ฅ + ๐ฆ) + sin(๐ฅ โ ๐ฆ)]
cos ๐ฅ sin ๐ฆ =1
2[sin(๐ฅ + ๐ฆ) โ sin(๐ฅ โ ๐ฆ)]
cos ๐ฅ cos ๐ฆ =1
2[cos(๐ฅ + ๐ฆ) + cos(๐ฅ โ ๐ฆ)]
sin ๐ฅ sin๐ฆ = โ1
2[cos(๐ฅ + ๐ฆ) โ cos(๐ฅ โ ๐ฆ)]
Apabila ada integral yang memuat fungsi trigonometri pangkat ๐ dan memuat fungsi turunannya maka bisa dituliskan konsep integral substitusinya sebagai berikut:
โซ sin๐ ๐ฅ (cos๐ฅ) โ ๐ฅ =1
๐ + 1sin๐+1 ๐ฅ + ๐ถ
โซ cos๐ ๐ฅ (sin๐ฅ) โ ๐ฅ = โ1
๐ + 1cos๐+1 ๐ฅ + ๐ถ
โซ tan๐ ๐ฅ (sec2 ๐ฅ) โ ๐ฅ =1
๐ + 1tan๐+1 ๐ฅ + ๐ถ
โซ cot๐ ๐ฅ (csc2 ๐ฅ) โ ๐ฅ = โ1
๐ + 1cot๐+1 ๐ฅ + ๐ถ
โซ sec๐ ๐ฅ (sec๐ฅ tan ๐ฅ) โ ๐ฅ =1
๐ + 1sec๐+1 ๐ฅ + ๐ถ
โซ csc๐ ๐ฅ (csc ๐ฅ cot ๐ฅ) โ ๐ฅ = โ1
๐ + 1csc๐+1 ๐ฅ + ๐ถ
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 219
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral dengan Mengubah Bentuk Integral. Seringkali dalam pengerjaan integral kita bertemu dengan integral yang bentuk integralnya โsedikit berbedaโ dari konsep dasar, namun sebenarnya apabila kita mau mengubahnya terlebih dahulu menggunakan sifat-sifat aljabar maupun sifat identitas trigonometri, bentuk integral tersebut bisa kembali sesuai dengan konsep dasar. Seperti telah diketahui bahwa untuk integral fungsi aljabar harus dalam bentuk pangkat dan variabel fungsi integral dengan operator harus sama. Bentuk integral yang diperbolehkan adalah penjumlahan atau pengurangan. TITIK! Sementara untuk integral fungsi trigonometri harus memenuhi sifat 6 turunan fungsi trigonometri, serta bentuk yang diperbolehkan adalah penjumlahan atau pengurangan. Serta perkecualian untuk bentuk perkalian tertentu yang bisa diubah menjadi penjumlahan pengurangan lewat rumus perkalian ke penjumlahan trigonometri. TITIK! Berikut ini adalah beberapa contoh penyelesaian integral dengan cara mengubah bentuk integral:
Contoh Soal 1:
Hasil dari
โซ3โ๐ฅ25
โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan:
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih berbentuk akar. Ubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pecahan dong!
โซ3โ๐ฅ25
โ ๐ฅ = 3โซ โ๐ฅ25
โ ๐ฅ (Ingat โ๐ฅ๐๐
= ๐ฅ๐๐ )
= 3โซ๐ฅ25 โ ๐ฅ (Ingat โซ ๐ฅ
๐๐ โ ๐ฅ =
๐
๐ + ๐๐ฅ๐+๐๐ + ๐ถ atau TRIK SUPERKILAT di halaman 215)
= 3 โ5
7๐ฅ75 + ๐ถ
=15
7๐ฅ75 + ๐ถ
Contoh Soal 2:
Hasil dari
โซ2
5๐ฅ3โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan:
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih ada variabel berpangkat menjadi penyebut. Ubah bentuk tersebut bentuk pangkat negatif dong!
โซ2
5๐ฅ3โ ๐ฅ = (Ingat
1
๐ฅ๐= ๐ฅโ๐)
= โซ2
5๐ฅโ3 โ ๐ฅ
=2
5โซ๐ฅโ3 โ ๐ฅ
=2
5โ1
โ2๐ฅโ2 + ๐ถ
= โ1
5๐ฅโ2 + ๐ถ
= โ1
5๐ฅ2+ ๐ถ
Halaman 220 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 3:
Hasil dari
โซ1
๐ฅโ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan:
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pembagian. Ubah bentuk tersebut menjadi bentuk pangkat negatif dong!
โซ1
๐ฅโ ๐ฅ = (Ingat
1
๐ฅ๐= ๐ฅโ๐)
= โซ๐ฅโ1 โ ๐ฅ
=1
0๐ฅโ0 + ๐ถ
= tidak terdefinisi
Lho kok tidak terdefinisi???????? Ya! Khusus โซ๐ฅ๐ โ ๐ฅ apabila ๐ = โ1 maka penyelesaiannya tidak menggunakan konsep dasar integral. Jadi,
โซ๐ฅโ1 โ ๐ฅ โ 1
โ1 + 1๐ฅโ1+1 + ๐ถ
tetapi menggunakan rumus:
โซ๐ฅโ1 โ ๐ฅ = โซ1
๐ฅโ ๐ฅ = ln|๐ฅ| + ๐ถ
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 221
Contoh Soal 5:
Hasil dari
โซ๐ฅ2(3๐ฅ โ 5)โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan:
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk perkalian. Ubah bentuk perkalian menjadi penjumlahan atau pengurangan dong! Dengan mengalikan secara distributif!
โซ๐ฅ2(3๐ฅ โ 5) โ ๐ฅ = โซ(3๐ฅ3 โ 5๐ฅ2) โ ๐ฅ (Ingatโซ(๐(๐ฅ) + ๐(๐ฅ)) โ ๐ฅ = โซ๐(๐ฅ) โ ๐ฅ + โซ๐(๐ฅ)โ ๐ฅ )
= โซ3๐ฅ3 โ ๐ฅ โ โซ5๐ฅ2 โ ๐ฅ
=3
4๐ฅ4 โ
5
3๐ฅ3 + ๐ถ
Contoh Soal 6:
Hasil dari
โซ(2๐ฅ โ 3)2 โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan:
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pangkat ๐ atau dalam bentuk perkalian sebanyak ๐ faktor sebagaimana sifat dari pangkat itu sendiri yaitu ๐๐ = ๐ ร ๐ ร ๐ รโฆร ๐โ
๐ ๐๐๐๐๐ฆ๐๐ ๐ ๐๐๐๐ก๐๐
.
Ubah bentuk tersebut menjadi penjumlahan atu pengurangan dong! Dengan mengalikan sebanyak ๐ faktor!
โซ(2๐ฅ โ 3)2 โ ๐ฅ = โซ(2๐ฅ โ 3)(2๐ฅ โ 3)โ ๐ฅ (Ingat (๐ + ๐)2 = ๐2 + 2๐๐ + ๐2 )
= โซ(4๐ฅ2 โ 12๐ฅ + 9)โ ๐ฅ
=4
3๐ฅ3 โ 6๐ฅ2 + 9๐ฅ + ๐ถ
Contoh Soal 7:
Hasil dari
โซ4๐ฅ5 โ 3๐ฅ3
2๐ฅ2โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan:
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pembagian. Ubah bentuk tersebut menjadi penjumlahan dong! Dengan menyederhanakannya dulu, tentunyaโฆ..
โซ4๐ฅ5 โ 3๐ฅ3
2๐ฅ2โ ๐ฅ = โซ(
4๐ฅ5
2๐ฅ2โ3๐ฅ3
2๐ฅ2)โ ๐ฅ (Ingat
๐ + ๐
๐=๐
๐+๐
๐ )
= โซ(2๐ฅ3 โ3
2๐ฅ)โ ๐ฅ
= โซ2๐ฅ3 โ ๐ฅ โโซ3
2๐ฅ โ ๐ฅ
(
Menyelesaikan bentukโซ
3
2๐ฅ โ ๐ฅ yang paling mudah adalah
โซ3
2๐ฅ โ ๐ฅ =
3
2โซ๐ฅ โ ๐ฅ =
3
2โ1
2๐ฅ2 + ๐ถ
)
=2
4๐ฅ4 โ
3
2โ1
2๐ฅ2 + ๐ถ
=1
2๐ฅ4 โ
3
4๐ฅ2 + ๐ถ
Halaman 222 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 8:
Hasil dari
โซ(3 + tan2 ๐ฅ) โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan:
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih ada bentuk bukan turunan fungsi trigonometri dasar. Bentuk tan2 ๐ฅ bukanlah 6 turunan fungsi trigonometri dasar. Jadi โซ tan2 ๐ฅ โ ๐ฅ tidak bisa dikerjakan langsung. Padahal konsep dasar integral trigonometri yang ada hanyalah โซ sec2 ๐ฅ โ ๐ฅ = tan ๐ฅ + ๐ถ. Ubah bentuk tan2 ๐ฅ menjadi bentuk sec2 ๐ฅ dong! Ya! Dengan menggunakan identitas trigonometri berikut:
tan2 ๐ฅ + 1 = sec2 ๐ฅ โ tan2 ๐ฅ = sec2 ๐ฅ โ 1
โซ(3 + tan2 ๐ฅ) โ ๐ฅ = (Ingat tan2 ๐ฅ = sec2 ๐ฅ โ 1)
= โซ(3 + (sec2 ๐ฅ โ 1)) โ ๐ฅ
= โซ(2 + sec2 ๐ฅ) โ ๐ฅ
= โซ2โ ๐ฅ + โซsec2 ๐ฅ โ ๐ฅ
= 2๐ฅ + tan ๐ฅ + ๐
Contoh Soal 9:
Hasil dari
โซ(2 cot2 ๐ฅ โ 5)โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan:
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih ada bentuk bukan turunan fungsi trigonometri dasar. Bentuk cot2 ๐ฅ bukanlah 6 turunan fungsi trigonometri dasar. Jadi โซ cot2 ๐ฅ โ ๐ฅ tidak bisa dikerjakan langsung. Padahal konsep dasar integral trigonometri yang ada hanyalah โซ csc2 ๐ฅ โ ๐ฅ = โcot ๐ฅ + ๐ถ. Ubah bentuk tan2 ๐ฅ menjadi bentuk sec2 ๐ฅ dong! Ya! Dengan menggunakan identitas trigonometri berikut:
1 + cot2 ๐ฅ = csc2 ๐ฅ โ cot2 ๐ฅ = csc2 ๐ฅ โ 1
โซ(2 cot2 ๐ฅ โ 5)โ ๐ฅ = (Ingat cot2 ๐ฅ = csc2 ๐ฅ โ 1)
= โซ(2(csc2 ๐ฅ โ 1) โ 5)โ ๐ฅ
= โซ(2 csc2 ๐ฅ โ 7)โ ๐ฅ
= โซ2 csc2 ๐ฅ โ ๐ฅ โ โซ7โ ๐ฅ
= 2โซcsc2 ๐ฅ โ ๐ฅ โ 7๐ฅ + ๐
= 2(โcot ๐ฅ) โ 7๐ฅ + ๐= โ2cot ๐ฅ โ 7๐ฅ + ๐
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 223
Contoh Soal 10:
Hasil dari
โซsin 3๐ฅ cos๐ฅ โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan:
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih ada bentuk perkalian fungsi trigonometri. Ubah bentuk perkalian menjadi penjumlahan atau pengurangan dong! Ya! Dengan menggunakan salah satu dari identitas trigonometri berikut: Rumus perkalian trigonometri
sin ๐ฅ cos ๐ฆ =1
2[sin(๐ฅ + ๐ฆ) + sin(๐ฅ โ ๐ฆ)]
cos ๐ฅ sin ๐ฆ =1
2[sin(๐ฅ + ๐ฆ) โ sin(๐ฅ โ ๐ฆ)]
cos ๐ฅ cos ๐ฆ =1
2[cos(๐ฅ + ๐ฆ) + cos(๐ฅ โ ๐ฆ)]
sin๐ฅ sin๐ฆ = โ1
2[cos(๐ฅ + ๐ฆ) โ cos(๐ฅ โ ๐ฆ)]
Jadi,
โซsin3๐ฅ cos๐ฅ โ ๐ฅ = โซ1
2[sin(3๐ฅ + ๐ฅ) + sin(3๐ฅ โ ๐ฅ)] โ ๐ฅ
= โซ1
2(sin 4๐ฅ + sin 2๐ฅ)โ ๐ฅ
= โซ(1
2sin4๐ฅ +
1
2sin 2๐ฅ)โ ๐ฅ
= โซ1
2sin 4๐ฅ โ ๐ฅ + โซ
1
2sin 2๐ฅ โ ๐ฅ
=1
2โซsin 4๐ฅ โ ๐ฅโ
+1
2โซsin 2๐ฅ โ ๐ฅโ
Karena fungsi sudut dan operator integral tidak sama.Sudut sinus 4๐ฅ dan 2๐ฅ, sementara operator integralnya โ ๐ฅ.Maka proses perhitungannya dilanjutkan dengan teknik integral substitusi!Yang akan dibahas pada bagian selanjutnya.OK!
Halaman 224 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 10:
Hasil dari
โซsin2 ๐ฅ โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan:
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pangkat ๐ atau dalam bentuk perkalian sebanyak ๐ faktor sebagaimana sifat dari pangkat itu sendiri yaitu ๐๐ = ๐ ร ๐ ร ๐ รโฆร ๐โ
๐ ๐๐๐๐๐ฆ๐๐ ๐ ๐๐๐๐ก๐๐
.
Ubah bentuk tersebut menjadi penjumlahan atu pengurangan dong! Ya! Jika pangkat ๐ adalah pangkat bilangan genap menggunakan salah satu dari identitas trigonometri berikut: Rumus identitas trigonometri
sin2 ๐ฅ =1
2โ1
2cos 2๐ฅ
cos2 ๐ฅ =1
2+1
2cos 2๐ฅ
Jadi,
โซsin2 ๐ฅ โ ๐ฅ = โซ(1
2โ1
2cos 2๐ฅ) โ ๐ฅ
= โซ1
2โ ๐ฅ โโซ
1
2cos 2๐ฅ โ ๐ฅ
=1
2๐ฅ โ
1
2โซcos 2๐ฅ โ ๐ฅโ
Karena fungsi sudut dan operator integral tidak sama.Sudut kosinus 2๐ฅ, sementara operator integralnya โ ๐ฅ.Maka proses perhitungannya dilanjutkan dengan teknik integral substitusi!Yang akan dibahas pada bagian selanjutnya.OK!
Contoh Soal 10:
Hasil dari
โซsin3 ๐ฅ โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan:
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pangkat ๐ atau dalam bentuk perkalian sebanyak ๐ faktor sebagaimana sifat dari pangkat itu sendiri yaitu ๐๐ = ๐ ร ๐ ร ๐ รโฆร ๐โ
๐ ๐๐๐๐๐ฆ๐๐ ๐ ๐๐๐๐ก๐๐
.
Ubah bentuk tersebut menjadi penjumlahan atu pengurangan dong! Ya! Jika pangkat ๐ adalah pangkat bilangan ganjil menggunakan salah satu dari identitas trigonometri berikut: Rumus identitas trigonometri
sin2 ๐ฅ = 1 โ cos2 ๐ฅcos2 ๐ฅ = 1 โ sin2 ๐ฅ
Jadi,
โซsin3 ๐ฅ โ ๐ฅ = โซsin2 ๐ฅ sin ๐ฅ โ ๐ฅ
= โซ(1 โ cos2 ๐ฅ) sin ๐ฅ โ ๐ฅ
= โซ(sin ๐ฅ โ cos2 ๐ฅ sin ๐ฅ) โ ๐ฅ
= โซsin ๐ฅ โ ๐ฅ โโซcos2 ๐ฅ sin ๐ฅ โ ๐ฅโ
Karena fungsi integran dan operator integral tidak sama.
Fungsi integran cos2 ๐ฅ sin ๐ฅ , sementara operator integralnya โ ๐ฅ.Maka proses perhitungannya dilanjutkan dengan teknik integral substitusi!Yang akan dibahas pada bagian selanjutnya.OK!
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 225
LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Substitusi. Ingat Lagi Ya!!!!!! Konsep Dasar Integral harus dalam bentuk pangkat
โซโก๐ โ โก = 1
๐+1โก๐+1 + ๐ถ
harus sama
Bentuk dan Tipe Soal Integral Menggunakan
Teknik Integral Substitusi harus dalam bentuk pangkat
โซโก๐ โ โ belum sama
Gantilah operator integral dengan fungsi yang disubstitusi. Tentukan turunan operator integral tersebut dan letakkan menjadi penyebut. Periksa! Apakah hasil bagi fungsi yang lain dengan turunan operator integral masih memuat variabel ๐ฅ? Tidak! Ya! Nggak ada variabel ๐ฅ lagi! Masih menyisakan variabel ๐ฅ! Integral Substitusi Integral Parsial Teknik Tabulasi
Halaman 226 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT Teknik Integral Substitusi. Perhatikan konsepnya:
โ
โ ๐ฅ(๐ฅ2 + 4๐ฅ โ 9) = (2๐ฅ + 4) โ โ (๐ฅ2 + 4๐ฅ โ 9) = (2๐ฅ + 4)โ ๐ฅ
โโ (๐ฅ2 + 4๐ฅ โ 9)
(2๐ฅ + 4)= โ ๐ฅ
โ โ ๐ฅ =โ (๐ฅ2 + 4๐ฅ โ 9)
(2๐ฅ + 4)
Jadi โ ๐ฅ pada soal bisa diganti dengan ๐(๐(๐ฅ))
๐โฒ(๐ฅ)
Atau dalam kalimat bisa diartikan sebagai berikut: Jadi, โ ๐ฅ dapat diganti dengan sebuah fungsi permisalan dibagi oleh turunan fungsi tersebut! Contoh:
โซ(3๐ฅ โ 5)10000000000000 โ ๐ = โซ(3๐ฅ โ 5)10000000000000โ (๐๐ โ ๐)
๐
โซsin(4๐ฅ)โ ๐ = โซsin(4๐ฅ)โ (๐๐)
๐
โซ3๐ฅ cos(2๐ฅ2)โ ๐ = โซ3๐ฅ cos(2๐ฅ2)โ (๐๐๐)
๐๐
dan lain-lain โฆ..
Nah intisari dari teknik integral substitusi adalah mengupayakan agar turunan fungsi yang disubstitusi bisa membagi habis variabel pada fungsi lain yang tidak disubstitusi. Contohnya:
โซ3๐ฅ cos(2๐ฅ2) โ ๐ฅ = โซ3๐ฅ cos(2๐ฅ2)โ (2๐ฅ2)
4๐ฅ= โซ
3๐ฅ
4๐ฅcos(2๐ฅ2) โ (2๐ฅ2) = โซ
3
4cos(2๐ฅ2) โ (2๐ฅ2) = โซ
3
4cos โก โ โก
Pokoknya variabel ๐ฅ Hore!!!!! Hore!!!!!! harus hilang!!! Variabel ๐ฅ udah hilang!!!! Sudah sama!!!! Kalau hilang berarti integral substitusi. Kalau enggak hilang berarti integral parsial.
turunannya
turunannya
turunannya
turunannya
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 227
Contoh Soal 1:
Hasil dari
โซ(๐ฅ โ 3)(๐ฅ2 โ 6๐ฅ + 1)โ3 โ ๐ฅ = โฆ.
a. โ1
8(๐ฅ2 โ 6๐ฅ + 1)โ4 + ๐ถ
b. โ1
4(๐ฅ2 โ 6๐ฅ + 1)โ4 + ๐ถ
c. โ1
2(๐ฅ2 โ 6๐ฅ + 1)โ4 + ๐ถ
d. โ1
4(๐ฅ2 โ 6๐ฅ + 1)โ2 + ๐ถ
e. โ1
2(๐ฅ2 โ 6๐ฅ + 1)โ2 + ๐ถ
Pembahasan:
Perhatikan soal,
โซ(๐ฅ โ 3)(๐๐ โ ๐๐ + ๐)โ3โ ๐
belum sama
Mari kita coba cek, apakah integral tersebut bisa diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi ataukah teknik integral parsial.
โซ(๐ฅ โ 3)(๐๐ โ ๐๐ + ๐)โ3โ ๐ โ โซ(๐ฅ โ 3)(๐๐ โ ๐๐ + ๐)
โ3 โ (๐๐ โ ๐๐ + ๐)
(๐๐ โ ๐)
Periksa, apakah hasil (๐ฅโ3)
(2๐ฅโ6) tidak menyisakan variabel ๐ฅ?
Ternyata hasil dari (๐ฅโ3)
(2๐ฅโ6)=1
2 , dan kita sudah tidak menemukan variabel ๐ฅ yang tersisa.
Maka, penyelesaian integral tersebut adalah menggunakan teknik integral substitusi. Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:
โซ(๐ฅ โ 3)(๐ฅ2 โ 6๐ฅ + 1)โ3 โ ๐ฅ = โซ(๐ฅ โ 3)(๐ฅ2 โ 6๐ฅ + 1)โ3โ (๐ฅ2 โ 6๐ฅ + 1)
(2๐ฅ โ 6) (Ingat โซ
1
2โก๐ โ ๐ฅ =
1
2โซโก๐ โ ๐ฅ)
=๐
๐โซ(๐ฅ2 โ 6๐ฅ + 1)โ3 โ (๐ฅ2 โ 6๐ฅ + 1) (Ingat โซโก๐ โ ๐ฅ =
1
๐ + 1โก๐+1 + ๐ถ)
=1
2โ
๐
((โ๐) + ๐)(๐๐ โ ๐๐ + ๐)(โ๐)+๐ + ๐ถ
=1
2โ1
(โ2)(๐ฅ2 โ 6๐ฅ + 1)โ2 + ๐ถ
= โ1
4(๐ฅ2 โ 6๐ฅ + 1)โ2 + ๐ถ
Ganti operator integral
turunannya
Periksa hasilnya, apakah masih menyisakan variabel ๐?
2
1
Halaman 228 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 2:
Hasil dari
โซ6๐ฅโ3๐ฅ2 + 5โ ๐ฅ = โฆ.
a. 2
3(6๐ฅ2 + 5)โ6๐ฅ2 + 5 + ๐ถ
b. 2
3(3๐ฅ2 + 5)โ3๐ฅ2 + 5 + ๐ถ
c. 2
3(๐ฅ2 + 5)โ๐ฅ2 + 5 + ๐ถ
d. 3
2(๐ฅ2 + 5)โ๐ฅ2 + 5 + ๐ถ
e. 3
2(3๐ฅ2 + 5)โ3๐ฅ2 + 5 + ๐ถ
Pembahasan:
Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:
โซ6๐ฅโ3๐ฅ2 + 5โ ๐ฅ = Tanda akar diubah menjadi bentuk pangkat dulu!OK!
(Ingat โซโโกโ ๐ฅ = โซโก12 โ ๐ฅ)
= โซ6๐ฅ(3๐ฅ2 + 5)12 โ ๐ฅ (Samakan dulu operator integralnya )
= โซ6๐ฅ(3๐ฅ2 + 5)12โ (3๐ฅ2 + 5)
6๐ฅ
= โซ(3๐ฅ2 + 5)12 โ (3๐ฅ2 + 5) (Ingat โซโก๐ โ ๐ฅ =
1
๐ + 1โก๐+1 + ๐ถ)
=๐
(๐๐ + ๐)
(๐๐๐ + ๐)๐๐+๐+ ๐ถ
=132
(3๐ฅ2 + 5)32 + ๐ถ
=2
3(3๐ฅ2 + 5)
32 + ๐ถ
=2
3(3๐ฅ2 + 5)
1+12 + ๐ถ (Ingat sifat pangkat ๐๐+๐ = ๐๐ โ ๐๐)
=2
3(3๐ฅ2 + 5)(3๐ฅ2 + 5)
12 + ๐ถ
=2
3(3๐ฅ2 + 5)โ3๐ฅ2 + 5 + ๐ถ
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 229
Contoh Soal 3:
Hasil dari
โซ3
2๐ฅ โ 5โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan:
Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:
โซ3
2๐ฅ โ 5โ ๐ฅ = 3โซ
1
2๐ฅ โ 5โ ๐ฅ = 3โซ(2๐ฅ โ 5)โ1 โ ๐ฅ (Samakan dulu operator integralnya)
= 3โซ(2๐ฅ โ 5)โ1 โ (2๐ฅ โ 5)
2
=3
2โซ(2๐ฅ โ 5)โ1 โ (2๐ฅ โ 5) (Buang semua konstanta keluar integral)
=3
2ln|2๐ฅ โ 5| + ๐ถ
Contoh Soal 4:
Hasil dari
โซ3๐ฅ โ 1
๐ฅ2 โ ๐ฅโ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan:
Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:
โซ3๐ฅ โ 1
๐ฅ2 โ ๐ฅโ ๐ฅ = โซ
3๐ฅ
๐ฅ(๐ฅ โ 1)โ ๐ฅ (Ingat
๐(๐ฅ)
๐(๐ฅ)โ(๐ฅ)=
๐ด
๐(๐ฅ)+
๐ถ
โ(๐ฅ))
3๐ฅ โ 1
๐ฅ(๐ฅ โ 1)=๐ด
๐ฅ+
๐ต
(๐ฅ โ 1)
โ3๐ฅ โ 1
๐ฅ(๐ฅ โ 1)=๐ด(๐ฅ โ 1)
๐ฅ(๐ฅ โ 1)+
๐ต๐ฅ
๐ฅ(๐ฅ โ 1)
โ3๐ฅ โ 1
๐ฅ(๐ฅ โ 1)=๐ด(๐ฅ โ 1) + ๐ต๐ฅ
๐ฅ(๐ฅ โ 1)
โ3๐ฅ โ 1
๐ฅ(๐ฅ โ 1)=๐ด๐ฅ โ ๐ด + ๐ต๐ฅ
๐ฅ(๐ฅ โ 1)
โ3๐ฅ โ 1
๐ฅ(๐ฅ โ 1)=(๐ด + ๐ต)๐ฅ โ ๐ด
๐ฅ(๐ฅ โ 1)
โ 3๐ฅ โ 1 = (๐ด + ๐ต)๐ฅ โ ๐ด
}
๐ด + ๐ต = 3
๐ด = 1 } ๐ด = 1 dan ๐ต = 2
โ โซ3๐ฅ โ 1
๐ฅ2 โ ๐ฅโ ๐ฅ = โซ
๐ด
๐ฅ+
๐ต
(๐ฅ โ 1)โ ๐ฅ (Ingat, dari perhitungan di atas ternyata ๐ด = 1 dan ๐ต = 2)
โ โซ3๐ฅ โ 1
๐ฅ2 โ ๐ฅโ ๐ฅ = โซ
1
๐ฅ+
2
(๐ฅ โ 1)โ ๐ฅ
= โซ1
๐ฅโ ๐ฅ + โซ
2
(๐ฅ โ 1)โ ๐ฅ
= ln|๐ฅ| + โซ2
(๐ฅ โ 1)
โ (๐ฅ โ 1)
1+ ๐ถ
= ln|๐ฅ| + 2โซ1
(๐ฅ โ 1)โ (๐ฅ โ 1) + ๐ถ
= ln|๐ฅ| + 2 ln|๐ฅ โ 1| + ๐ถ
Halaman 230 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 5:
Hasil dari
โซsin(4๐ฅ โ ๐)โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan:
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral dari fungsi trigonometri yang sudutnya tidak sama dengan operator integralnya. Maksudnya? Perhatikan sudut fungsi sinus yaitu (4๐ฅ โ ๐). Padahal operator integralnya adalah โ ๐ฅ. Artinya fungsi sinus tersebut diintegralkan terhadap variabel ๐ฅ. Maka langkah penyelesaiannya adalah mensubstitusi operator integralnya agar sesuai dengan sudut fungsi trigonometrinya. Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:
โซsin(4๐ฅ โ ๐)โ ๐ฅ = (Samakan dulu operator integralnya )
= โซsin(4๐ฅ โ ๐)โ (4๐ฅ โ ๐)
4
Ternyata tidak ada variabel ๐ฅ tersisa.Jadi benar bahwa kita memilih langkah integral substitusi bukan integral parsial.
=1
4โซsin(4๐ฅ โ ๐)โ (4๐ฅ โ ๐) (Ingat โซ sinโกโ โก = โcosโก + ๐ถ)
=1
4โ (โ cos(4๐ฅ โ ๐)) + ๐ถ
= โ1
4cos(4๐ฅ โ ๐) + ๐ถ
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 231
Contoh Soal 5:
Hasil dari
โซsin3 ๐ฅ cos ๐ฅ โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan:
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral dari fungsi trigonometri beserta turunannya. Maksudnya? Masih ingat dengan 6 turunan fungsi trigonometri kan?
๐(๐ฅ) = sin๐ฅ โ ๐โฒ(๐ฅ) = cos๐ฅ
๐(๐ฅ) = cos๐ฅ โ ๐โฒ(๐ฅ) = โsin ๐ฅ
๐(๐ฅ) = tan ๐ฅ โ ๐โฒ(๐ฅ) = sec2 ๐ฅ
๐(๐ฅ) = cot ๐ฅ โ ๐โฒ(๐ฅ) = โcsc2 ๐ฅ
๐(๐ฅ) = sec๐ฅ โ ๐โฒ(๐ฅ) = sec๐ฅ tan ๐ฅ
๐(๐ฅ) = csc ๐ฅ โ ๐โฒ(๐ฅ) = โcsc ๐ฅ cot ๐ฅ
Coba lihat dan amati 6 fungsi trigonometri dan turunannya di atas. Apabila ada integral yang memuat fungsi trigonometri pangkat ๐ dan memuat fungsi turunannya maka bisa dituliskan konsep integral substitusinya sebagai berikut:
โซ sin๐ ๐ฅ (cos๐ฅ) โ ๐ฅ =1
๐ + 1sin๐+1 ๐ฅ + ๐ถ
โซ cos๐ ๐ฅ (sin๐ฅ) โ ๐ฅ = โ1
๐ + 1cos๐+1 ๐ฅ + ๐ถ
โซ tan๐ ๐ฅ (sec2 ๐ฅ) โ ๐ฅ =1
๐ + 1tan๐+1 ๐ฅ + ๐ถ
โซ cot๐ ๐ฅ (csc2 ๐ฅ) โ ๐ฅ = โ1
๐ + 1cot๐+1 ๐ฅ + ๐ถ
โซ sec๐ ๐ฅ (sec๐ฅ tan ๐ฅ) โ ๐ฅ =1
๐ + 1sec๐+1 ๐ฅ + ๐ถ
โซ csc๐ ๐ฅ (csc ๐ฅ cot ๐ฅ) โ ๐ฅ = โ1
๐ + 1csc๐+1 ๐ฅ + ๐ถ
Jadi โซ sin3 ๐ฅ cos ๐ฅ โ ๐ฅ bisa diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi. Dengan mengganti operator integral dari yang semula โ ๐ฅ menjadi โ (sin๐ฅ). Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:
โซsin3 ๐ฅ cos ๐ฅ โ ๐ฅ = (Samakan dulu operator integralnya )
= โซsin3 ๐ฅ cos๐ฅโ (sin๐ฅ)
cos ๐ฅ
= โซsin3 ๐ฅ โ (sin ๐ฅ) (Ingat โซ sin๐ โกโ (sinโก) =1
๐ + 1sin๐+1 โก + ๐ถ)
=1
4sin4 ๐ฅ + ๐ถ
Halaman 232 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 6:
Hasil dari
โซsin3 ๐ฅ โ ๐ฅ = โฆ.
Pembahasan:
Integral sin atau cos berpangkat ganjil arah penyelesaiannya selalu ke bentuk integral berikut:
โซ sin๐ ๐ฅ (cos๐ฅ) โ ๐ฅ =1
๐ + 1sin๐+1 ๐ฅ + ๐ถ
โซ cos๐ ๐ฅ (sin๐ฅ) โ ๐ฅ = โ1
๐ + 1cos๐+1 ๐ฅ + ๐ถ
Jadi, selalu disisakan satu fungsi sin atau cos berpangkat 1. Misalnya โซ sin3 ๐ฅ โ ๐ฅ, maka harus diubah supaya ada suku fungsi integran yang menjadi โซ cos2 ๐ฅ sin ๐ฅ. Konsep identitas trigonometri yang selalu digunakan jika bertemu sin atau cos pangkat ganjil adalah:
sin2 ๐ฅ + cos2 ๐ฅ = 1 Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:
โซsin3 ๐ฅ โ ๐ฅ = (Untuk soal integral sin atau cos pangkat ganjil selalu sisakan sin atau cos pangkat 1)
Jadi ubah dulu sin๐ ๐ฅ = sin๐โ1 ๐ฅ sin ๐ฅ
= โซsin2 ๐ฅ sin๐ฅ โ ๐ฅ
= โซ(1 โ cos2 ๐ฅ) sin๐ฅ โ ๐ฅ (Ingat sin2 ๐ฅ + cos2 ๐ฅ = 1 โ sin2 ๐ฅ = 1 โ cos2 ๐ฅ)
= โซ(sin ๐ฅ โ cos2 ๐ฅ sin๐ฅ) โ ๐ฅ (Ingat โซ ๐(๐ฅ) + ๐(๐ฅ)โ ๐ฅ = โซ ๐(๐ฅ) โ ๐ฅ + โซ ๐(๐ฅ) โ ๐ฅ)
= โซsin ๐ฅ โ ๐ฅ โโซcos2 ๐ฅ sin ๐ฅ โ ๐ฅ (Penyelesaian โซ cos2 ๐ฅ sin ๐ฅ โ ๐ฅ lihat Contoh Soal 4)
= โcos ๐ฅ โ โซcos2 ๐ฅ sin ๐ฅโ (cos ๐ฅ)
โ sin๐ฅ (Ingat โซ cos๐ โกโ (cosโก) =
1
๐ + 1cos๐+1 โก + ๐ถ)
= โcos ๐ฅ + โซcos2 ๐ฅ โ (cos๐ฅ)
= โcos ๐ฅ +1
3cos3 ๐ฅ + ๐ถ
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Langkah penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTISnya bisa dilihat nanti pada Suplemen Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 pada SKL 5 tentang PENGAYAAN INTEGRAL TRIGONOMETRI pada laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html !! Jadi selalu tunggu update terbarunya ya!!!
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 233
LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Parsial. Ingat Lagi Ya!!!!!! Konsep Dasar Integral harus dalam bentuk pangkat
โซโก๐ โ โก = 1
๐+1โก๐+1 + ๐ถ
harus sama
Bentuk dan Tipe Soal Integral Menggunakan
Teknik Integral Parsial atau
Metode Tabulasi harus dalam bentuk pangkat
โซโก๐ โ โ belum sama
Gantilah operator integral dengan fungsi yang disubstitusi. Tentukan turunan operator integral tersebut dan letakkan menjadi penyebut. Periksa! Apakah hasil bagi fungsi yang lain dengan turunan operator integral masih memuat variabel ๐ฅ? Tidak! Ya! Nggak ada variabel ๐ฅ lagi! Masih menyisakan variabel ๐ฅ! Integral Substitusi Integral Parsial Teknik Tabulasi
Halaman 234 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 1:
Hasil dari โซ๐ฅโ๐ฅ + 1โ ๐ฅ = โฆ.
a. 2
5(๐ฅ + 1)โ๐ฅ + 1 โ
2
3(๐ฅ + 1)2โ๐ฅ + 1 + ๐ถ
b. 2
15(3๐ฅ2 + ๐ฅ โ 2)โ๐ฅ + 1 + ๐ถ
c. 2
15(3๐ฅ2 + ๐ฅ + 4)โ๐ฅ + 1 + ๐ถ
d. 2
15(3๐ฅ2 โ ๐ฅ โ 2)โ๐ฅ + 1 + ๐ถ
e. 2
5(๐ฅ2 + ๐ฅ โ 2)โ๐ฅ + 1 + ๐ถ
Pembahasan:
Perhatikan soal, ubah dulu tanda akar menjadi bentuk pangkat,
โซ๐ฅโ๐ฅ + 1โ ๐ฅ = โซ๐ฅ(๐ + ๐)12 โ ๐
belum sama Mari kita coba cek, apakah integral tersebut bisa diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi ataukah teknik integral parsial.
โซ๐ฅ(๐ + ๐)12 โ ๐ โ โซ๐ฅ (๐ + ๐)
12โ (๐ + ๐)
๐
Periksa, apakah hasil ๐ฅ
1 tidak menyisakan variabel ๐ฅ?
Ternyata hasil dari ๐ฅ
1= ๐ฅ , dan kita masih menemukan variabel ๐ฅ yang tersisa.
Maka, penyelesaian integral tersebut adalah menggunakan teknik integral parsial.
โซ๐ฅ(๐ฅ + 1)12 โ ๐ฅ = (Ingat integral parsial โซ๐โ ๐ = ๐๐ โโซ๐โ ๐)
Misal ๐ = ๐ฅ โโ ๐ข
โ ๐ฅ= 1
โ โ ๐ = โ ๐ฅ
Maka โ ๐ = (๐ฅ + 1)12โ ๐ฅ โ โซ โ ๐ฃ = โซ (๐ฅ + 1)
12โ ๐ฅ
โ ๐ =2
3(๐ฅ + 1)
32
โ โซ๐ฅ(๐ฅ + 1)12 โ ๐ฅ = ๐๐ โ โซ๐โ ๐
= ๐ โ๐
๐(๐ + ๐)
๐๐ โโซ
๐
๐(๐ + ๐)
๐๐ โ ๐
=2
3๐ฅ(๐ฅ + 1)
32 โ
2
3โซ(๐ฅ + 1)
32โ (๐ฅ + 1)
1
=2
3๐ฅ(๐ฅ + 1)
32 โ
2
3โ2
5(๐ฅ + 1)
52 + ๐ถ
=2
3๐ฅ(๐ฅ + 1)
32 โ
4
15(๐ฅ + 1)
52 + ๐ถ (keluarkan FPB-nya (๐ฅ + 1)
12)
= (๐ฅ + 1)32 [2
3๐ฅ โ
4
15(๐ฅ + 1)] + ๐ถ
= (๐ฅ + 1)12(๐ฅ + 1) (
6
15๐ฅ โ
4
15) + ๐ถ
= (๐ฅ + 1)12(๐ฅ + 1)
2
15(3๐ฅ โ 2) + ๐ถ
=2
15(3๐ฅ โ 2)(๐ฅ + 1)(๐ฅ + 1)
12 + ๐ถ
=2
15(3๐ฅ2 + ๐ฅ โ 2)(๐ฅ + 1)
12 + ๐ถ
=2
15(3๐ฅ2 + ๐ฅ โ 2)โ๐ฅ + 1 + ๐ถ
Ganti operator integral
Periksa hasilnya, apakah masih menyisakan variabel ๐?
turunannya
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 235
Contoh Soal 2a:
Hasil dari
โซ(๐ฅ2 + 1) cos ๐ฅ โ ๐ฅ = โฆ.
a. ๐ฅ2 sin ๐ฅ + 2๐ฅ cos๐ฅ + ๐ถ
b. (๐ฅ2 โ 1) sin๐ฅ + 2๐ฅ cos๐ฅ + ๐ถ
c. (๐ฅ2 + 3) sin๐ฅ โ 2๐ฅ cos๐ฅ + ๐ถ
d. 2๐ฅ2 cos๐ฅ + 2๐ฅ2 sin ๐ฅ + ๐ถ
e. 2๐ฅ sin๐ฅ โ (๐ฅ2 โ 1) cos๐ฅ + ๐ถ
Pembahasan:
Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:
โซ(๐ฅ2 + 1)โ ๐
cos ๐ฅ โ ๐ฅโ โ ๐
= (Ingat integral parsial โซ๐โ ๐ = ๐๐ โโซ๐โ ๐)
Misal ๐ = 2๐ฅ โโ ๐ข
โ ๐ฅ= 2
โ โ ๐ = 2โ ๐ฅMaka โ ๐ = cos ๐ฅ โ ๐ฅ โ โซ โ ๐ฃ = โซ cos ๐ฅ โ ๐ฅ
โ ๐ = sin๐ฅ
โ โซ(๐ฅ2 + 1) cos ๐ฅ โ ๐ฅ = ๐๐ โโซ๐โ ๐
= (๐๐ + ๐) โ ๐ฌ๐ข๐ง๐ โ โซ๐ฌ๐ข๐ง๐ โ ๐๐โ ๐
= (๐ฅ2 + 1) sin๐ฅ โ โซ2๐ฅ sin๐ฅ โ ๐ฅ
(Bentuk โซ2๐ฅ sin ๐ฅ โ ๐ฅ diselesaikan menggunakan teknik integral parsial)
โ โซ(๐ฅ2 + 1) cos ๐ฅ โ ๐ฅ = (๐ฅ2 + 1) sin๐ฅ โ โซ2๐ฅโ๐sin ๐ฅ โ ๐ฅโ โ ๐
Misal ๐ = 2๐ฅ โโ ๐ข
โ ๐ฅ= 2
โ โ ๐ = 2โ ๐ฅMaka โ ๐ = sin ๐ฅ โ ๐ฅ โ โซ โ ๐ฃ = โซ sin๐ฅ โ ๐ฅ
โ ๐ = โcos ๐ฅ
โ โซ(๐ฅ2 + 1) cos ๐ฅ โ ๐ฅ = (๐ฅ2 + 1) sin๐ฅ โ [๐๐ โโซ๐โ ๐] + ๐ถ1
= (๐ฅ2 + 1) sin๐ฅ โ [2๐ฅ โ (โ cos ๐ฅ) โ โซ(โcos๐ฅ) โ 2 โ ๐ฅ + ๐ถ2] + ๐ถ1
= (๐ฅ2 + 1) sin๐ฅ โ [(โ2๐ฅ cos ๐ฅ) +โซ2 cos๐ฅ โ ๐ฅ + ๐ถ2] + ๐ถ1
= (๐ฅ2 + 1) sin๐ฅ โ [(โ2๐ฅ cos ๐ฅ) + 2 sin๐ฅ + ๐ถ2] + ๐ถ1= (๐ฅ2 + 1) sin๐ฅ + 2๐ฅ cos๐ฅ โ 2 sin๐ฅ + ๐ถ2 + ๐ถ1โ
๐ช๐+๐ช๐=๐ช
= (๐ฅ2 + 1) sin๐ฅ โ 2 sin๐ฅ + 2๐ฅ cos๐ฅ + ๐ถ
= (๐ฅ2 + 1 โ 2) sin๐ฅ + 2๐ฅ cos๐ฅ + ๐ถ
= (๐ฅ2 โ 1) sin๐ฅ + 2๐ฅ cos๐ฅ + ๐ถ
Menyelesaikan integral dengan teknik integral parsial bisa juga dilakukan menggunakan metode tabulasi. Langkah penyelesaian integral parsial dengan metode tabulasi adalah memisah bagian yang mudah diturunkan hingga nol, dan bagian yang rumit. Penyelesaian metode tabulasi untuk soal ini ada di halaman berikutnya!
Halaman 236 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT Teknik Integral Parsial Menggunakan Metode Tabulasi. Contoh Soal 2b:
Hasil dari
โซ(๐ฅ2 + 1) cos ๐ฅ d๐ฅ = โฆ.
a. ๐ฅ2 sin ๐ฅ + 2๐ฅ cos๐ฅ + ๐ถ
b. (๐ฅ2 โ 1) sin๐ฅ + 2๐ฅ cos๐ฅ + ๐ถ
c. (๐ฅ2 + 3) sin๐ฅ โ 2๐ฅ cos๐ฅ + ๐ถ
d. 2๐ฅ2 cos๐ฅ + 2๐ฅ2 sin ๐ฅ + ๐ถ
e. 2๐ฅ sin๐ฅ โ (๐ฅ2 โ 1) cos๐ฅ + ๐ถ
Pembahasan TRIK SUPERKILAT Integral Parsial menggunakan Metode Tabulasi:
Langkah penyelesaian integral parsial dengan menggunakan metode tabulasi : Buat tabel dengan dua kolom. Isi kolom kiri dengan turunan bagian yang mudah secara terus-menerus hingga turunannya sama dengan nol. Isi kolom kanan dengan integral bagian yang rumit secara terus-menerus sebanyak baris kolom kiri. Kalikan kolom kiri dan kanan dengan arah menyerong serta kalikan juga dengan tanda plus minus bergantian. Ingat! Selalu diawali oleh tanda plus!! Selesai!
โซ(๐ฅ2 + 1)โ mudah
cos ๐ฅโrumit
โ ๐ฅ = (Pisahkan bagian yang mudah diturunkan hingga nol dengan bagian yang rumit)
Kolom Kiri
(Turunkan)
Kolom Kanan
(Integralkan)
(๐ฅ2 + 1) cos ๐ฅ
2๐ฅ sin ๐ฅ
2 โcos ๐ฅ
0 โsin๐ฅ
โซ(๐ฅ2 + 1) cos ๐ฅ d๐ฅ = (๐ฅ2 + 1) sin๐ฅ + 2๐ฅ cos ๐ฅ โ 2 sin ๐ฅ + ๐ถ
= (๐ฅ2 + 1) sin๐ฅ โ 2 sin ๐ฅ + 2๐ฅ cos ๐ฅ + ๐ถ
= (๐ฅ2 + 1 โ 2) sin๐ฅ + 2๐ฅ cos ๐ฅ + ๐ถ
= (๐ฅ2 โ 1) sin๐ฅ + 2๐ฅ cos ๐ฅ + ๐ถ
Penyelesaian menggunakan teknik integral parsial ada di halaman sebelumnya. Coba bandingkan hasilnya!
โ
โ
โ (๐ฅ2 + 1) sin ๐ฅ
2๐ฅ cos ๐ฅ
โ2 sin๐ฅ
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 237
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Trigonometri.
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Trigonometri yaitu tentang:
bagaimana cara praktis menguasai konsep integral fungsi trigonometri; ciri-ciri soal integral fungsi trigonometri yang bisa diselesaikan dengan integral langsung atau hanya bisa
diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi maupun teknik integral parsial.
Semuanya bisa dilihat nanti pada Suplemen Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 pada SKL 5 tentang PENGAYAAN INTEGRAL TRIGONOMETRI pada laman web berikut http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html !! Jadi selalu tunggu update terbarunya ya!!!
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Substitusi Trigonometri.
Sepertinya untuk soal integral UN Matematika SMA 2013 nanti tidak akan muncul soal yang harus dikerjakan
dengan teknik integral substitusi trigonometri, yaitu fungsi-fungsi yang memuat bentuk โ๐ โ ๐ข2, โ๐ + ๐ข2, dan
โ๐ข2 โ ๐. Namun untuk TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Substitusi Trigonometri juga bisa dilihat nanti pada Suplemen Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 pada SKL 5 tentang PENGAYAAN INTEGRAL TRIGONOMETRI pada laman web berikut http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html !! Jadi selalu tunggu update terbarunya ya!!!
Halaman 238 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Cepat Menyelesaikan Integral Tertentu.
Perhatikan konsep dasar dari Integral Tertentu
โซ ๐(๐ฅ) โ ๐ฅ๐
๐
= ๐น(๐ฅ) |๐
๐= ๐น(๐) โ ๐น(๐)
Contoh Soal 1:
Hasil dari
โซ (6๐ฅ2 โ 8๐ฅ + 3)4
2
โ ๐ฅ = โฆ.
a. 96
b. 108
c. 112
d. 116
e. 128
Pembahasan:
Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:
โซ (6๐ฅ2 โ ๐ฅ + 3)4
2
โ ๐ฅ = [2๐ฅ3 โ1
2๐ฅ2 + 3๐ฅ]
2
4
= (2(4)3 โ1
2(4)2 + 3(4)) โ (2(2)3 โ
1
2(2)2 + 3(2))
= (2 โ 64 โ1
2โ 16 + 12) โ (2 โ 8 โ
1
2โ 4 + 6)
= (128 โ 8 + 12) โ (16 โ 2 + 6)
= (132) โ (20)= 112
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS:
Langkah penyelesaian TRIK SUPERKILAT hanya mengubah cara perhitungan supaya menjadi lebih sederhana menggunakan kebalikan dari sifat distributif, yakni mengumpulkan faktor yang sama dalam perhitungan.
Misal ๐น(๐ฅ) = 2๐ฅ3 โ1
2๐ฅ2 + 3๐ฅ
Maka, ๐น(๐) โ ๐น(๐) = (2(4)3 โ1
2(4)2 + 3(4)) โ (2(2)3 โ
1
2(2)2 + 3(2))
= 2(4)3 โ1
2(4)2 + 3(4) โ 2(2)3 +
1
2(2)2 โ 3(2)
= 2(4)3 โ 2(2)3 โ1
2(4)2 +
1
2(2)2 + 3(4) โ 3(2)
= 2 (43 โ 23)โ selisihnya ๐ฅ3
โ1
2(42 โ 22)โ selisihnya ๐ฅ2
+ 3 (4 โ 2)โ selisihnya ๐ฅ
โซ (6๐ฅ2 โ ๐ฅ + 3)4
2
โ ๐ฅ = [2๐ฅ3 โ1
2๐ฅ2 + 3๐ฅ]
2
4
= 2(43 โ 23) โ1
2(42 โ 22) + 3(4 โ 2)
= 2(64 โ 8) โ1
2(16 โ 4) + 3(2)
= 2(56) โ1
2(12) + 3(2)
= 112 โ 6 + 6= 112
Catatan: TRIK SUPERKILAT Integral tertentu ini hanya berlaku apabila fungsi integrannya adalah fungsi aljabar.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 239
Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Integral iniโฆ.
Halaman 240 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Hasil dari
dx
xx
x72 723
13 ....
A.
C7233
162
xx
B.
C7234
162
xx
C.
C7236
162
xx
D.
C72312
162
xx
E.
C72312
172
xx
2. Hasil dari dxxx 133 2 ....
A. C13)13(3
2 22 xx
B. C13)13(2
1 22 xx
C. C13)13(3
1 22 xx
D. C13)13(2
1 22 xx
E. C13)13(3
2 22 xx
3. Hasil dari dxxxx92 96434 ....
A. C96410
1 102 xx
B. C3215
1 20x
C. C3220
1 20x
D. C96420
1 102 xx
E. C96430
1 102 xx
4. Hasil dari
dx
x
x
7 53
2
52
2 ....
A. C527
3 7 33 x
B. C523
6 6 73 x
C. C527
6 7 63 x
D. C526
7 7 23 x
E. C526
7 2 73 x
โซ3๐ฅ โ 1
(3๐ฅ2 โ 2๐ฅ + 7)7 โ ๐ฅ = โซ(3๐ฅ โ 1)(3๐ฅ2 โ 2๐ฅ + 7)โ7
โ (3๐ฅ2 โ 2๐ฅ + 7)
(6๐ฅ โ 2)
=1
2โซ(3๐ฅ2 โ 2๐ฅ + 7)โ7โ (3๐ฅ2 โ 2๐ฅ + 7)
=1
2โ (โ
1
6) (3๐ฅ2 โ 2๐ฅ + 7)โ6 + C
=โ1
12(3๐ฅ2 โ 2๐ฅ + 7)6+ C
โซ3๐ฅโ3๐ฅ2 + 1 โ ๐ฅ = โซ3๐ฅ(3๐ฅ2 + 1)12 โ (3๐ฅ2 + 1)
6๐ฅ
=1
2โซ(3๐ฅ2 + 1)
12 โ (3๐ฅ2 + 1)
=1
2โ2
3โ (3๐ฅ2 + 1)
32 + C
=1
3(3๐ฅ2 + 1)โ3๐ฅ2 + 1 + C
โซ(4๐ฅ + 3)(4๐ฅ2 + 6๐ฅ โ 9)9 โ ๐ฅ = โซ(4๐ฅ + 3)(4๐ฅ2 + 6๐ฅ โ 9)9 โ (4๐ฅ2 + 6๐ฅ โ 9)
8๐ฅ + 6
=1
2โซ(4๐ฅ2 + 6๐ฅ โ 9)
9 โ (4๐ฅ2 + 6๐ฅ โ 9)
=1
2โ1
10โ (4๐ฅ2 + 6๐ฅ โ 9)
10+ C
=1
20(4๐ฅ2 + 6๐ฅ โ 9)
10+ C
โซ2๐ฅ2
โ(2๐ฅ3 โ 5)57
โ ๐ฅ = โซ2๐ฅ2
โ(2๐ฅ3 โ 5)57
โ (2๐ฅ3 โ 5)
(6๐ฅ2)
=1
3โซ(2๐ฅ3 โ 5)โ
57 โ (2๐ฅ3 โ 5)
=1
3โ7
2(2๐ฅ3 โ 5)
27 + C
=7
6โ(2๐ฅ3 โ 5)27
+ C
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 241
5. Nilai dari
2
1
2 54 dxxx ....
A. 6
33
B. 6
44
C. 6
55
D. 6
65
E. 6
77
6. Nilai dari
4
1
2 22 dxxx ....
A. 12
B. 14
C. 16
D. 18
E. 20
7. Nilai dari
2
0
2 733 dxxx ....
A. 6
B. 10
C. 13
D. 16
E. 22
8. Nilai dari
3
1
2 342 dxxx ....
A. 3
127
B. 2
127
C. 3
137
D. 2
137
E. 2
151
โซ (4๐ฅ2 โ ๐ฅ + 5) โ ๐ฅ2
1
= [4
3๐ฅ3 โ
1
2๐ฅ2 + 5๐ฅ]
1
2
= (4
3(2)3 โ
1
2(2)2 + 5(2)) โ (
4
3(1)3 โ
1
2(1)2 + 5(1))
= (32
3โ 2 + 10) โ (
4
3โ1
2+ 5)
=56
3โ35
6
=112 โ 35
6
=77
6
โซ (๐ฅ2 โ 2๐ฅ + 2) โ ๐ฅ4
1
= [1
3๐ฅ3 โ ๐ฅ2 + 2๐ฅ]
1
4
= (1
3(4)3 โ (4)2 + 2(4)) โ (
1
3(1)3 โ (1)2 + 2(1))
= (64
3โ 16 + 8) โ (
1
3โ 1 + 2)
=64
3โ 8 โ
1
3โ 1
= 12
โซ (3๐ฅ2 โ 3๐ฅ + 7) โ ๐ฅ2
0
= [๐ฅ3 โ3
2๐ฅ2 + 7๐ฅ]
0
2
= ((2)3 โ3
2(2)2 + 7(2)) โ ((0)3 โ
3
2(0)2 + 7(0))
= (8 โ 6 + 14) โ (0) = 16
โซ (2๐ฅ2 + 4๐ฅ โ 3) โ ๐ฅ3
1
= [2
3๐ฅ3 + 2๐ฅ2 + 3๐ฅ]
0
2
= (2
3(3)3 + 2(3)2 + 3(3)) โ (
2
3(1)3 + 2(1)2 + 3(1))
= (18
3+ 18 + 9) โ (
2
3+ 2 + 3)
= (18
3+ 27) โ (
2
3+ 5)
= 27 โ 5 +18
3โ2
3
= 22 +16
3
= 22 + 51
3
= 271
3
Halaman 242 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
9. Nilai dari
ฯ2
1
0
cos32sin2 dxxx ....
A. โ5
B. โ1
C. 0
D. 1
E. 2
10. Nilai dari
ฯ2
1
0
cos2sin3 dxxx ....
A. โ2
B. โ1
C. 0
D. 1
E. 2
11. Nilai dari 2
ฯ
0
)2sin( dxx ....
A. โ2
B. โ1
C. 0
D. 2
E. 4
12. Nilai dari
ฯ3
1
0
)cos32(sin dxxx ....
A. 324
3
B. 334
3
C. 3214
1
D. 3214
2
E. 3214
3
Jika adik-adik butuh โbocoranโ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.
โซ (2 sin 2๐ฅ โ 3 cos ๐ฅ)
๐2
0
โ ๐ฅ = [โ cos 2๐ฅ โ 3 sin ๐ฅ]0
12๐
= (โcos ๐ โ 3 sin1
2๐) โ (โ cos 0 โ 3 sin 0)
= (1 โ 3) โ (โ1 โ 0)= โ2 + 1= โ1
โซ (3 sin 2๐ฅ โ cos ๐ฅ) โ ๐ฅ
12๐
0
= [โ3
2cos 2๐ฅ โ sin ๐ฅ]
0
12๐
= (โ3
2cos๐ โ sin
1
2๐) โ (โ
3
2cos 0 โ sin 0)
= (โ3
2โ 1) โ (โ
3
2โ 0)
= 2
โซ sin(2๐ฅ โ ๐) โ ๐ฅ
๐2
0
= [โ1
2cos(2๐ฅ โ ๐)]
0
๐2
= (โ1
2cos 0) โ (โ
1
2cos(โ๐))
= (โ1
2) โ (
1
2)
= 1
TRIK SUPERKILAT:
โซ sin(2๐ฅ โ ๐) โ ๐ฅ
๐2
0
= โซ โsin(2๐ฅ) โ ๐ฅ
๐2
0
= [1
2cos(2๐ฅ)]
0
๐2
= 1
โซ (sin 2๐ฅ + 3 cos ๐ฅ) โ ๐ฅ
13๐
0
= [โ1
2cos 2๐ฅ + 3 sin ๐ฅ]
0
13๐
= (โ1
2cos 240ยฐ + 3 sin 60ยฐ) โ (โ
1
2cos 0ยฐ + 3 sin 0ยฐ)
= (โ1
2(โ1
2) +
3
2โ3) โ (โ
1
2+ 0)
=1
4+3
2โ3 +
1
2
=3
4+3
2โ3
=3
4(1 + 2โ2)
Halaman 270 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
5. 4. Menghitung luas daerah dan volume benda putar dengan menggunakan integral.
Aplikasi Integral
Luas Daerah Volume Benda Putar
Luas Daerah Dibatasi Kurva Diputar Mengelilingi Sumbu X
Diputar Mengelilingi Sumbu Y
Volume Benda Antara Dua Kurva
Luas Daerah Dibatasi Dua Kurva
๐ฟ = โซ ๐(๐ฅ)
๐
๐
๐๐ฅ
๐ฆ
๐ฅ = ๐
๐ฆ = ๐(๐ฅ)
๐ฅ ๐ฅ = ๐
๐ฟ = โ โซ ๐(๐ฆ)
๐
๐
๐๐ฆ
๐ฅ
๐ฅ = ๐(๐ฆ) ๐ฆ
๐ฆ = ๐
๐ฆ = ๐
๐ฟ = โ โซ ๐(๐ฅ)
๐
๐
๐๐ฅ
๐ฆ = ๐(๐ฅ)
๐ฅ
๐ฆ
๐ฅ = ๐ ๐ฅ = ๐
๐ฟ = โซ ๐(๐ฆ)
๐
๐
๐๐ฆ
๐ฆ = ๐
๐ฅ = ๐(๐ฆ)
๐ฅ
๐ฆ
๐ฆ = ๐
๐ฟ = โ โซ ๐(๐ฅ)
๐
๐
๐๐ฅ + โซ ๐(๐ฅ)
๐
๐
๐๐ฅ
๐ฆ = ๐(๐ฅ)
๐ฅ
๐ฆ
๐ฅ = ๐
๐ฅ = ๐
๐ฅ = ๐
๐ฟ = โซ[๐(๐ฆ) โ ๐(๐ฆ)]
๐
๐
๐๐ฆ
๐ฆ = ๐
๐ฆ = ๐
๐ฅ1 = ๐(๐ฆ)
๐ฅ
๐ฆ ๐ฅ2 = ๐(๐ฆ)
๐ฟ = โซ[๐(๐ฅ) โ ๐(๐ฅ)]
๐
๐
๐๐ฅ
๐ฅ = ๐ ๐ฅ = ๐
๐ฆ1 = ๐(๐ฅ)
๐ฅ
๐ฆ
๐ฆ2 = ๐(๐ฅ)
๐ฅ = ๐
๐ = ๐ โซ(๐(๐ฅ))2
๐
๐
๐๐ฅ
๐ฆ = ๐(๐ฅ)
๐ฅ
๐ฆ
๐ฅ = ๐
๐ = ๐ โซ(๐(๐ฆ))2
๐
๐
๐๐ฆ ๐ฆ = ๐
๐ฆ = ๐
๐ฅ = ๐(๐ฆ)
๐ฅ
๐ฆ
๐ = ๐ โซ [(๐(๐ฅ))2
โ (๐(๐ฅ))2
]
๐
๐
๐๐ฅ
๐ฅ = ๐
๐ฆ1 = ๐(๐ฅ)
๐ฅ
๐ฆ
๐ฅ = ๐
๐ฆ2 = ๐(๐ฅ)
๐ฆ = ๐
๐ฅ2 = ๐(๐ฆ)
๐ฅ
๐ฆ
๐ฆ = ๐
๐ฅ1 = ๐(๐ฆ)
๐ = ๐ โซ [(๐(๐ฅ))2
โ (๐(๐ฅ))2
]
๐
๐
๐๐ฅ
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 271
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Integral (Luas Daerah)
Luas Daerah
Dibatasi Diketahui Garis Memotong Dua Kurva Lebar dan Tinggi Kurva di Titik Puncak
๐ท = ๐2 โ 4๐๐ adalah nilai diskriminan persamaan kuadrat: ๐๐ฅ2 + ๐๐ฅ + ๐ = 0. Persamaan kuadrat tersebut diperoleh dari persekutuan kedua kurva.
๐ฟ =๐ทโ๐ท
6๐2
๐ฟ =2
3ร Lebar ร Tinggi
Lebar
Tinggi
๐ฟ =1
6ร Lebar ร Tinggi
Lebar
Tinggi
๐ฟ๐๐๐๐๐ =1
3๐๐
๐ฟ๐๐๐ ๐๐ =2
3๐๐
๐
๐
X
Y
X
Y
X
Y
(๐ , ๐)
๐ฟ๐๐๐๐๐ =1
6๐๐
๐ฟ๐๐๐ ๐๐ =1
2๐๐
๐
๐
X
Y (๐ , ๐)
Halaman 272 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 1a:
Luas daerah yang dibatasi parabola ๐ฆ = 8 โ ๐ฅ2 dan garis ๐ฆ = 2๐ฅ adalah ....
a. 36 satuan luas
b. 411
3 satuan luas
c. 412
3 satuan luas
d. 46 satuan luas
e. 462
3 satuan luas
Pembahasan:
Sketsa grafik dari soal adalah sebagai berikut:
Titik potong parabola dengan garis adalah: ๐ฆ1 = ๐ฆ2
โ 2๐ฅ = 8 โ ๐ฅ2
โ 2๐ฅ โ (8 โ ๐ฅ2) = 0
โ 2๐ฅ โ 8 + ๐ฅ2 = 0โ ๐ฅ2 + 2๐ฅ โ 8 = 0โ (๐ฅ + 4)(๐ฅ โ 2) = 0โ ๐ฅ + 4 = 0 atau ๐ฅ โ 2 = 0โ ๐ฅ = โ4 โ atau โ ๐ฅ = 2
Jadi titik potong parabola dengan garis adalah di titik ๐ฅ = โ4 dan ๐ฅ = 2. Titik potong tersebut merupakan batas integrasi untuk mencari luas daerah.
Jadi rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut:
๐ฟ = โซ [๐(๐ฅ) โ ๐(๐ฅ)] ๐๐ฅ2
โ4
Nah, sekarang kita menentukan ๐(๐ฅ) dan ๐(๐ฅ). Pada interval batas integrasi โ4 โค ๐ฅ โค 2, berlaku ๐(๐ฅ) โฅ ๐(๐ฅ). Maka dengan melihat sketsa grafik, jelas terlihat bahwa:
๐(๐ฅ) = 8 โ ๐ฅ2 dan ๐(๐ฅ) = 2๐ฅ
Sehingga rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut:
๐ฟ = โซ [(8 โ ๐ฅ2) โ (2๐ฅ)] ๐๐ฅ2
โ4
Oke, sekarang kita hitung luasnya menggunakan konsep integral tertentu.
๐ฟ = โซ [(8 โ ๐ฅ2) โ (2๐ฅ)] ๐๐ฅ2
โ4
= โซ (โ๐ฅ2 โ 2๐ฅ + 8) ๐๐ฅ2
โ4
= [โ1
3๐ฅ3 โ ๐ฅ2 + 8๐ฅ]
โ4
2
= (โ1
3(2)3 โ (2)2 + 8(2)) + (โ
1
3(โ4)3 โ (โ4)2 + 8(โ4))
= (โ8
3โ 4 + 16) โ (
64
3โ 16 โ 32)
= (โ8 โ 12 + 48
3) โ (
64 โ 48 โ 96
3)
=28
3โ (โ
80
3)
=28
3+
80
3
=108
3= 36 satuan luas
X
Y ๐ฆ1 = 2๐ฅ
๐ฆ2 = 8 โ ๐ฅ2
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 273
Contoh Soal 1b:
Luas daerah yang dibatasi parabola ๐ฆ = 8 โ ๐ฅ2 dan garis ๐ฆ = 2๐ฅ adalah ....
a. 36 satuan luas
b. 411
3 satuan luas
c. 412
3 satuan luas
d. 46 satuan luas
e. 462
3 satuan luas
Pembahasan TRIK SUPERKILAT:
Langkahnya seperti cara mencari titik potong atau titik persekutuan kedua kurva. Titik potong parabola dengan garis adalah:
๐ฆ1 = ๐ฆ2
โ 2๐ฅ = 8 โ ๐ฅ2
โ 2๐ฅ โ (8 โ ๐ฅ2) = 0
โ 2๐ฅ โ 8 + ๐ฅ2 = 0โ ๐ฅ2 + 2๐ฅ โ 8 = 0โ (๐ฅ + 4)(๐ฅ โ 2) = 0โ ๐ฅ + 4 = 0 atau ๐ฅ โ 2 = 0โ ๐ฅ = โ4 โ atau โ ๐ฅ = 2
Dari persamaan kuadrat ๐ฅ2 + 2๐ฅ โ 8 = 0, diperoleh nilai diskriminan:
๐ท = ๐2 โ 4๐๐ โ ๐ท = (2)2 โ 4(1)(โ8)= 4 + 32= 36
Sehingga luas daerah bisa dihitung menggunakan rumus cepat berikut:
๐ฟ =๐ทโ๐ท
6๐2=
36โ36
6(1)2=
36 ร 6
6= 36 satuan luas
Stop sampai sini aja. Persamaan kuadrat ini yang akan dicari nilai diskriminannya.
Halaman 274 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 2a:
Luas daerah yang dibatasi kurva ๐ฆ = ๐ฅ2, ๐ฆ = ๐ฅ + 2 , sumbu Y di kuadran I adalah ....
a. 2
3 satuan luas
b. 4
3 satuan luas
c. 6
3 satuan luas
d. 8
3 satuan luas
e. 10
3 satuan luas
Pembahasan:
Sketsa grafik dari soal adalah sebagai berikut:
Titik potong parabola dengan garis adalah: ๐ฆ1 = ๐ฆ2
โ ๐ฅ2 = ๐ฅ + 2โ ๐ฅ2 โ (๐ฅ + 2) = 0
โ ๐ฅ2 โ ๐ฅ โ 2 = 0โ (๐ฅ + 1)(๐ฅ โ 2) = 0โ ๐ฅ + 1 = 0 atau ๐ฅ โ 2 = 0โ ๐ฅ = โ1 โ atau โ ๐ฅ = 2
Jadi titik potong parabola dengan garis adalah di titik ๐ฅ = โ1 dan ๐ฅ = 2. Batas integrasi untuk mencari luas daerah adalah garis ๐ฅ = 0 dan ๐ฅ = 2.
Jadi rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut:
๐ฟ = โซ [๐(๐ฅ) โ ๐(๐ฅ)] ๐๐ฅ2
0
Nah, sekarang kita menentukan ๐(๐ฅ) dan ๐(๐ฅ). Pada interval batas integrasi 0 โค ๐ฅ โค 2, berlaku ๐(๐ฅ) โฅ ๐(๐ฅ). Maka dengan melihat sketsa grafik, jelas terlihat bahwa:
๐(๐ฅ) = ๐ฅ + 2 dan ๐(๐ฅ) = ๐ฅ2
Sehingga rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut:
๐ฟ = โซ [(๐ฅ + 2) โ (๐ฅ2)] ๐๐ฅ2
0
Oke, sekarang kita hitung luasnya menggunakan konsep integral tertentu.
๐ฟ = โซ [(๐ฅ + 2) โ (๐ฅ2)] ๐๐ฅ2
0
= โซ (โ๐ฅ2 + ๐ฅ + 2) ๐๐ฅ2
0
= [โ1
3๐ฅ3 +
1
2๐ฅ2 + 2๐ฅ]
0
2
= (โ1
3(2)3 +
1
2(2)2 + 2(2)) + (โ
1
3(0)3 +
1
2(0)2 + 2(0))
= (โ8
3+ 2 + 4) โ (0)
=โ8 + 6 + 12
3
=10
3 satuan luas
X
Y
๐ฆ2 = ๐ฅ + 2 ๐ฆ1 = ๐ฅ2
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 275
Contoh Soal 2b:
Luas daerah yang dibatasi kurva ๐ฆ = ๐ฅ2, ๐ฆ = ๐ฅ + 2 , sumbu Y di kuadran I adalah ....
a. 2
3 satuan luas
b. 4
3 satuan luas
c. 6
3 satuan luas
d. 8
3 satuan luas
e. 10
3 satuan luas
Pembahasan TRIK SUPERKILAT:
Sketsa grafik dari soal adalah sebagai berikut:
Titik potong parabola dengan garis adalah: ๐ฆ1 = ๐ฆ2
โ ๐ฅ2 = ๐ฅ + 2โ ๐ฅ2 โ (๐ฅ + 2) = 0
โ ๐ฅ2 โ ๐ฅ โ 2 = 0โ (๐ฅ + 1)(๐ฅ โ 2) = 0โ ๐ฅ + 1 = 0 atau ๐ฅ โ 2 = 0โ ๐ฅ = โ1 โ atau โ ๐ฅ = 2
Jadi, kita bisa menggunakan TRIK SUPERKILAT untuk menyelesaikan soal tersebut, dengan langkah berikut:
= โ
{Luas daerah arsir} = {2
3 luas segiempat, alas 2 dan tinggi 4} โ {luas segitiga, alas 2 dan tinggi 4 โ 2 = 2}
๐ฟ๐๐๐ ๐๐ =2
3๐ฟโก โ ๐ฟโ
=2
3(2)(4) โ
1
2(2)(2)
=16
3โ 2
=16 โ 6
3
=10
3 satuan luas
Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_20.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Aplikasi Integral iniโฆ.
Y
X
๐ฆ2 = ๐ฅ + 2
2
4
2
๐ฆ1 = ๐ฅ2
2
4
2
Y
X
2
4
2
Y
X
2
4
2
Y
X
Halaman 276 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Integral (Volume Benda Putar)
Volume Benda Putar
Dibatasi Kurva dan Garis Sumbu
๐ท = ๐2 โ 4๐๐ adalah nilai diskriminan persamaan kuadrat: ๐๐ฅ2 + ๐๐ฅ + ๐ = 0. Persamaan kuadrat tersebut adalah persamaan kurva pada soal.
X
๐ฟ =๐ท2โ๐ท
30๐3 ๐
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 277
Contoh Soal 1a:
Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva ๐ฆ = ๐ฅ2 โ 2๐ฅ dan sumbu Y diputar mengelilingi sumbu X adalah ....
a. 8
15๐ satuan volume
b. 12
15๐ satuan volume
c. 16
15๐ satuan volume
d. 20
15๐ satuan volume
e. 24
15๐ satuan volume
Pembahasan:
Sketsa grafik dari soal adalah sebagai berikut:
Titik potong parabola dengan sumbu X adalah: ๐ฆ = 0
โ ๐ฅ2 โ 2๐ฅ = 0โ ๐ฅ(๐ฅ โ 2) = 0โ ๐ฅ = 0 atau ๐ฅ โ 2 = 0โ ๐ฅ = 0 โโ atau โ ๐ฅ = 2
Jadi titik potong parabola dengan garis adalah di titik ๐ฅ = 0 dan ๐ฅ = 2. Titik potong tersebut merupakan batas integrasi untuk mencari volume benda putar.
Jadi rumus integral untuk mencari volume benda putar adalah sebagai berikut:
๐ฟ = ๐ โซ [๐(๐ฅ)]2 ๐๐ฅ2
0
Nah, karena hanya dibatasi sebuah kurva maka jelas bahwa: ๐(๐ฅ) = ๐ฅ2 โ 2๐ฅ
Sehingga rumus integral untuk mencari volume benda putar adalah sebagai berikut:
๐ฟ = ๐ โซ [(๐ฅ2 โ 2๐ฅ)]2 ๐๐ฅ2
0
Oke, sekarang kita hitung volumenya menggunakan konsep integral tertentu.
๐ฟ = ๐ โซ [(๐ฅ2 โ 2๐ฅ)]2 ๐๐ฅ2
0
= ๐ โซ (๐ฅ4 โ 4๐ฅ3 + 4๐ฅ2) ๐๐ฅ2
0
= ๐ [1
5๐ฅ5 โ ๐ฅ4 +
4
3๐ฅ3]
0
2
= ๐ [(1
5(2)5 โ (2)4 +
4
3(2)3) + (
1
5(0)5 โ (0)4 +
4
3(0)3)]
= ๐ [(32
5โ 16 +
32
3) โ (0)]
= ๐ [96 โ 240 + 160
15]
=16
15๐ satuan volume
X
Y ๐ฆ = ๐ฅ2 โ 2๐ฅ
Halaman 278 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 1b:
Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva ๐ฆ = ๐ฅ2 โ 2๐ฅ dan sumbu Y diputar mengelilingi sumbu X adalah ....
a. 8
15๐ satuan volume
b. 12
15๐ satuan volume
c. 16
15๐ satuan volume
d. 20
15๐ satuan volume
e. 24
15๐ satuan volume
Pembahasan TRIK SUPERKILAT:
Langkahnya seperti cara mencari titik potong atau titik persekutuan kurva dengan sumbu putar. Titik potong parabola dengan garis adalah:
๐ฆ = 0
โ ๐ฅ2 โ 2๐ฅ = 0โ ๐ฅ(๐ฅ โ 2) = 0โ ๐ฅ = 0 atau ๐ฅ โ 2 = 0โ ๐ฅ = 0 โโ atau โ ๐ฅ = 2
Dari persamaan kuadrat ๐ฅ2 โ 2๐ฅ = 0, diperoleh nilai diskriminan:
๐ท = ๐2 โ 4๐๐ โ ๐ท = (2)2 โ 4(1)(0)= 4
Sehingga volume benda putar bisa dihitung menggunakan rumus cepat berikut:
๐ฟ =๐ท2โ๐ท
30๐3 ๐ =
(4)2โ4
30(1)3 ๐ =
16 ร 2
30๐ =
16
15๐ satuan volume.
Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_20.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Aplikasi Integral iniโฆ.
Stop sampai sini aja. Persamaan kuadrat ini yang akan dicari nilai diskriminannya.
15
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 279
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva 342 xxy dan xy 3 adalah ....
A. 6
41 satuan luas
B. 3
19 satuan luas
C. 2
9 satuan luas
D. 3
8 satuan luas
E. 6
11 satuan luas
2. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva 432 xxy dan xy 1 adalah ....
A. 3
2 satuan luas
B. 3
4 satuan luas
C. 4
7 satuan luas
D. 3
8 satuan luas
E. 3
15 satuan luas
3. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva 342 xxy dan 1 xy adalah ....
A. 6
41 satuan luas
B. 3
19 satuan luas
C. 2
9 satuan luas
D. 3
8 satuan luas
E. 6
11 satuan luas
TRIK SUPERKILAT: ๐ฆ1 = ๐ฆ2
โ ๐ฅ2 โ 4๐ฅ + 3 = 3 โ ๐ฅโ ๐ฅ2 โ 3๐ฅ = 0
๐ฝ๐๐๐ ๐ท = ๐2 โ 4๐๐ = 9
๐ฟ =๐ทโ๐ท
6๐2=
9โ9
6 โ 12
=27
6
=9
2 satuan luas
Luas daerah diarsir:
๐ฟ = โซ ๐ฆ1 โ ๐ฆ2
๐
๐
๐๐ฅ
= โซ (3 โ ๐ฅ) โ (๐ฅ2 โ 4๐ฅ + 3)3
0
๐๐ฅ
= โซ (โ๐ฅ2 + 3๐ฅ)3
0
๐๐ฅ
= [โ1
3๐ฅ3 +
3
2๐ฅ2]
0
3
= (โ1
3(3)3 +
3
2(3)2) โ (โ
1
3(0)3 +
3
2(0)2)
= (โ9 +27
2) โ (0)
=9
2 satuan luas
TRIK SUPERKILAT: Pembahasan masih dilanjutkan dan akan diupdate setiap saat. Temukan update terbarunya dan selalu kunjungi http://pak-anang.blogspot.com
Y
X 3 1
3
๐ฆ = 3 โ ๐ฅ
๐ฆ = ๐ฅ2 โ 4๐ฅ + 3
TRIK SUPERKILAT: ๐ฆ1 = ๐ฆ2
โ ๐ฅ2 โ 4๐ฅ + 3 = ๐ฅ โ 1โ ๐ฅ2 โ 5๐ฅ + 4 = 0
๐ฝ๐๐๐ ๐ท = ๐2 โ 4๐๐ = 9
๐ฟ =๐ทโ๐ท
6๐2=
9โ9
6 โ 12
=27
6
=9
2 satuan luas
Luas daerah diarsir:
๐ฟ = โซ ๐ฆ1 โ ๐ฆ2
๐
๐
๐๐ฅ
= โซ (๐ฅ โ 1) โ (๐ฅ2 โ 4๐ฅ + 3)4
1
๐๐ฅ
= โซ (โ๐ฅ2 + 5๐ฅ โ 4)4
1
๐๐ฅ
= [โ1
3๐ฅ3 +
5
2๐ฅ2 โ 4๐ฅ]
1
4
= (โ1
3(4)3 +
5
2(4)2 โ 4(4)) โ (โ
1
3(1)3 +
5
2(1)2 โ 4(1))
= (โ64
3+
80
2โ 16) โ (โ
1
3+
5
2โ 4)
=9
2 satuan luas
Y
X 4
3
3
๐ฆ = ๐ฅ โ 1
๐ฆ = ๐ฅ2 โ 4๐ฅ + 3
-1 1
TRIK SUPERKILAT: ๐ฆ1 = ๐ฆ2
โ ๐ฅ2 + 3๐ฅ + 4 = 1 โ ๐ฅโ ๐ฅ2 + 4๐ฅ + 3 = 0
๐ฝ๐๐๐ ๐ท = ๐2 โ 4๐๐ = 4
๐ฟ =๐ทโ๐ท
6๐2=
4โ4
6 โ 1
=8
6
=4
3 satuan luas
Luas daerah diarsir:
๐ฟ = โซ ๐ฆ1 โ ๐ฆ2
๐
๐
๐๐ฅ
= โซ (1 โ ๐ฅ) โ (๐ฅ2 + 3๐ฅ + 4)โ1
โ3
๐๐ฅ
= โซ (โ๐ฅ2 โ 4๐ฅ โ 3)โ1
โ3
๐๐ฅ
= [โ1
3๐ฅ3 โ 2๐ฅ2 โ 3๐ฅ]
โ3
โ1
= (โ1
3(โ1)3 โ 2(โ1)2 โ 3(โ1)) โ (โ
1
3(โ3)3 โ 2(โ3)2 โ 3(โ3))
= (1
3โ 2 + 3) โ (9 โ 18 + 9)
=4
3 satuan luas
Y
X
4
-1 -3 ๐ฆ = 1 โ ๐ฅ
๐ฆ = ๐ฅ2 + 3๐ฅ + 4
2
1
Halaman 280 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
4. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva 2xy dan 34 xy diputar 360ยฐ
mengelilingi sumbu X adalah ....
A. ฯ15
1113 satuan volume
B. ฯ15
413 satuan volume
C. ฯ15
1112 satuan volume
D. ฯ15
712 satuan volume
E. ฯ15
412 satuan volume
5. Volume benda putar yang terjadi untuk daerah yang dibatasi oleh kurva 2xy dan xy 2 diputar
mengelilingi sumbu X sejauh 360ยฐ adalah ....
A. ฯ15
113 satuan volume
B. ฯ15
44 satuan volume
C. ฯ15
46 satuan volume
D. ฯ15
66 satuan volume
E. ฯ15
117 satuan volume
6. Volume benda putar yang terjadi untuk daerah yang dibatasi oleh kurva 2xy dengan xy 2 diputar
mengelilingi sumbu X sejauh 360ยฐ adalah ....
A. ฯ2 satuan volume
B. ฯ15
13 satuan volume
C. ฯ15
44 satuan volume
D. ฯ15
412 satuan volume
E. ฯ15
214 satuan volume
Jika adik-adik butuh โbocoranโ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.
Y
X
๐ฆ = 4๐ฅ โ 3
๐ = ๐ โ ๐
๐ฆ = ๐ฅ2
๐
= ๐๐
โ ๐๐ + ๐
Volume benda putar
๐ = ๐ โซ ๐ฆ12 โ ๐ฆ2
2๐
๐
๐๐ฅ = ๐ โซ (4๐ฅ โ 3)2 โ (๐ฅ2)23
1
๐๐ฅ
= ๐ โซ (4๐ฅ โ 3)2 โ (๐ฅ2)23
1
๐๐ฅ
= ๐ โซ (โ๐ฅ4 + 16๐ฅ2 โ 24๐ฅ + 9)3
1
๐๐ฅ
= [โ1
5๐ฅ5 +
16
3๐ฅ3 โ 12๐ฅ2 + 9๐ฅ]
1
3
= (โ1
5(3)5 +
16
3(3)3 โ 12(3)2 + 9(3))
โ (โ1
5(1)5 +
16
3(1)3 โ 12(1)2 + 9(1))
= (โ243
5+ 144 โ 108 + 27)
โ (โ1
5+
16
3โ 12 + 9)
= (216
15) โ (
32
15)
=184
15= 12
4
5 satuan volume
3 1
Volume benda putar
๐ = ๐ โซ ๐ฆ12 โ ๐ฆ2
2๐
๐
๐๐ฅ = โ ๐ โซ (โ๐ฅ2)2 โ (โ2๐ฅ)22
0
๐๐ฅ
= โ ๐ โซ (๐ฅ4 โ 4๐ฅ2)2
0
๐๐ฅ
= โ๐ [1
5๐ฅ5 โ
4
3๐ฅ3]
0
2
= โ๐ [(1
5(2)5 โ
4
3(2)3) โ (
1
5(0)5 โ
4
3(0)3)]
= โ๐ (32
5โ
32
3)
= โ๐ (96 โ 160
15)
=64
15๐ = 4
4
15๐ satuan volume
Y
X
๐ฆ = โ2๐ฅ
๐ = ๐ โ ๐
๐ฆ = โ๐ฅ2
๐
= ๐๐
โ ๐๐ + ๐
2
-4
Volume benda putar
๐ = ๐ โซ ๐ฆ12 โ ๐ฆ2
2๐
๐
๐๐ฅ = โ ๐ โซ (2๐ฅ)2 โ (๐ฅ2)22
0
๐๐ฅ
= โ ๐ โซ (4๐ฅ2 โ ๐ฅ4)2
0
๐๐ฅ
= โ๐ [4
3๐ฅ3 โ
1
5๐ฅ5]
0
2
= โ๐ [(4
3(2)3 โ
1
5(2)5) โ (
4
3(0)3 โ
1
5(0)5)]
= โ๐ (32
5โ
32
3)
= โ๐ (96 โ 160
15)
=64
15๐ = 4
4
15๐ satuan volume
Y
X
๐ฆ = ๐ฅ2
๐ = ๐ โ ๐
๐ฆ = 2๐ฅ
๐
= ๐๐
โ ๐๐ + ๐
2
4
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 281
SKL 6. Mengolah, menyajikan dan menafsirkan data, serta mampu memahami kaidah pencacahan, permutasi, kombinasi, peluang kejadian dan mampu menerapkannya dalam pemecahan masalah.
6. 1. Menghitung ukuran pemusatan atau ukuran letak dari data dalam bentuk tabel, diagram, atau grafik.
Membaca Data
Tabel Diagram Grafik
Tahun Banyak Siswa
2008 500
2009 400
2010 600
2011 750
2012 650
Tabel Distribusi Poligon Frekuensi Frekuensi
Berat (kg)
Banyak Siswa
40 โ 44 3
45 โ 49 7
50 โ 54 13
55 โ 59 11
60 โ 64 6
Batas Batas
โ0,5 Bawah Atas +0,5 60 64
1
2(60+64)
Nilai Tengah Kelas 62 (64,5 โ 59,5) Panjang Interval Kelas 5 Keterangan: Pada kelas interval 60 โ 64, Pada kelas interval 60 โ 64, Pada kelas interval 60 โ 64,
60 adalah batas bawah. 60 โ 0,5 = 59,5 adalah tepi bawah. 64,5 โ 69,5 = 5 adalah panjang interval kelas.
64 adalah batas atas. 64 + 0,5 = 64,5 adalah tepi atas. โโ1
2(60 + 64) = 62 adalah nilai tengah kelas
0
200
400
600
800
2008 2009 2010 2011 2012
Ban
yak
Sis
wa
Tahun
0
200
400
600
800
2008 2009 2010 2011 2012
Ban
yak
Sis
wa
Tahun
3
7
13
11
6
0
2
4
6
8
10
12
14
40
-44
45
-49
50
-54
55
-59
60
-64
Ban
yak
Sis
wa
Berat (kg)
0
2
4
6
8
10
12
14
42
47
52
57
62
Ban
yak
Sis
wa
Berat (kg)
Tepi Bawah
59,5
Tepi Atas 64,5
Histogram
Halaman 282 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Histogram dan Poligon Frekuensi
Histogram
Kelas Interval Nilai Tepi Kelas Nilai Tengah Kelas โLebar histogram menyatakan โBatas histogram menyatakan โTitik tengah histogram kelas intervalโ tepi atas dan tepi bawah kelasโ adalah nilai tengah kelasโ
Poligon Frekuensi
Poligon Frekuensi โTitik tengah histogram dihubungkan dengan garisโ
3
7
13
11
6
0
2
4
6
8
10
12
14
40
-44
45
-49
50
-54
55
-59
60
-64
Ban
yak
Sis
wa
Berat (kg)
3
7
13
11
6
0
2
4
6
8
10
12
14B
anya
k S
isw
a
Berat (kg)
3
7
13
11
6
0
2
4
6
8
10
12
14
42
47
52
57
62
Ban
yak
Sis
wa
Berat (kg)
0
2
4
6
8
10
12
14
42
47
52
57
62
Ban
yak
Sis
wa
Berat (kg)
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 283
Distribusi Kumulatif dan Ogive
Distribusi Kumulatif
Tabel Distribusi Tabel Distribusi Tabel Distribusi Frekuensi Frekuensi Kumulatif Frekuensi Kumulatif Kurang Dari Lebih Dari โKurang dari Tepi Atasโ โLebih dari Tepi Bawahโ
Berat (kg)
Banyak Siswa Berat (kg)
Cara mencari ๐๐ โค
๐๐ โค Berat (kg)
Cara mencari ๐๐ โฅ ๐๐ โฅ
40 โ 44 3 โค 44,5 3 3 โฅ 39,5 6+11+13+7+3 40
45 โ 49 7 โค 49,5 3+7 10 โฅ 44,5 6+11+13+7 37
50 โ 54 13 โค 54,5 3+7+13 23 โฅ 49,5 6+11+13 30
55 โ 59 11 โค 59,5 3+7+13+11 34 โฅ 54,5 6+11 17
60 โ 64 6 โค 64,5 3+7+13+11+13 40 โฅ 59,5 6 6
Ogive
Ogive Positif Ogive Negatif โOgive Naikโ โOgive Turunโ
Manfaat dan Kegunaan Digunakan untuk menentukan ukuran letak seperti Median, Kuartil, Desil, maupun Persentil
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Fre
ku
ensi
Ku
nu
lati
f
Berat (kg)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Fre
ku
ensi
Ku
nu
lati
f
Berat (kg)
Halaman 284 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Ukuran Pemusatan
Data Tunggal
Mean Median Modus
โJumlah nilai dibagi banyak dataโ โNilai tengah data terurutโ โData paling sering munculโ
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ =โ๐ฅ๐
๐
Rata-rata dari 2, 5, 6, 3, 5, 4, 7, 8
adalah:
Rata-rata adalah jumlah nilai dibagi dengan banyaknya data.
Hitung jumlah dari semua data
lalu bagi dengan banyaknya data.
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ =โ๐ฅ๐
๐
=2 + 5 + 6 + 3 + 5 + 4 + 7 + 8
8
=40
8= 5
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ = ๐ฅ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ +โ๐๐
๐
dimana, ๐๐ = (๐ฅ๐ โ ๐ฅ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ) ๐ฅ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ = rataan sementara
Rata-rata dari 2, 5, 6, 3, 5, 4, 7, 8
adalah:
Misal kita memilih nilai rata-rata sementara adalah ๐ฅ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ = 5,
maka ๐๐ = ๐ฅ๐ โ 5. Artinya semua data dikurangi 5.
Sehingga nilai rata-ratanya adalah:
๐ฅ๐ 2 5 6 3 5 4 7 8 ๐๐ โ3 0 1 โ2 0 โ1 2 3
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ = ๐ฅ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ +โ๐๐
๐
= 5 +โ3 + 1 โ 2 โ 1 + 2 + 3
8
= 5 +0
8= 5 + 0= 5
๐๐ = ๐ฅ๐+12
, untuk ๐ ganjil
Nilai tengah dari data
6, 9, 3, 9, 4 adalah:
Terdapat 5 buah data (๐ = 5), artinya jumlah data ganjil.
Jangan lupa, data harus diurutkan terlebih dahulu dari kecil ke besar.
3, 4, 6, 9, 9
๐๐ = ๐ฅ
5+12
= ๐ฅ62
= ๐ฅ3
= 6
๐๐ =
๐ฅ๐2
+ ๐ฅ๐2
+1
2, untuk ๐ genap
Nilai tengah dari data 7, 2, 9, 8, 5, 4 adalah:
Terdapat 6 buah data (๐ = 6),
artinya jumlah data genap.
Jangan lupa, data harus diurutkan terlebih dahulu dari kecil ke besar.
2, 4, 5, 7, 8, 9
Median adalah rata-rata kedua bilangan ini
๐๐ =
๐ฅ๐2
+ ๐ฅ๐2
+1
2
=๐ฅ3 + ๐ฅ4
2
=5 + 7
2
=12
2= 6
Modus dari data berikut 7, 4, 8, 5, 3, 8, 6, 5, 5, 3 adalah:
Frekuensi dari setiap data:
Data 3 4 5 6 7 8
Frekuensi 2 1 3 1 1 2
Atau dengan mengurutkan data:
3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 8
Karena data 5 muncul 3 kali, maka nilai modus = 5
Modus dari data berikut 7, 6, 8, 5, 9, 8, 6, 8, 6, 4 adalah:
Frekuensi dari setiap data:
Data 4 5 6 7 8 9
Frekuensi 1 1 3 1 3 1
Atau dengan mengurutkan data:
4, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9
Perhatikan, karena data 6 dan 8 sama-sama muncul 3 kali,
maka modus = 6 dan 8
Modus dari data berikut 7, 6, 4, 6, 5, 8, 8, 5, 4, 7 adalah:
Frekuensi dari setiap data:
Data 4 5 6 7 8
Frekuensi 2 2 2 2 2
Atau dengan mengurutkan data:
4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8
Karena data seimbang, semua data sama-sama muncul sebanyak 2 kali, maka modus tidak ada.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 285
Ukuran Pemusatan
Data Berkelompok
Mean Median Modus
โJumlah nilai dibagi banyak dataโ โNilai tengah data terurutโ โData paling sering munculโ
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ =โ๐๐๐ฅ๐
โ๐๐
Data ๐๐ ๐ฅ๐ ๐๐๐๐
40 โ 44 3 42 126
45 โ 49 7 47 329
50 โ 54 13 52 676
55 โ 59 11 57 627
60 โ 64 6 62 372
Jumlah 40 2130
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ =โ๐๐๐๐
โ๐๐=
๐๐๐๐
๐๐
= 5310
40= 53,25
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ = ๐ฅ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ +โ๐๐๐๐
โ๐๐
dimana, ๐๐ = (๐ฅ๐ โ ๐ฅ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ) ๐ฅ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ = rataan sementara
Misal ๐ฅ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ = 52, maka
๐๐ = (๐ฅ๐ โ 52).
๐๐ ๐ฅ๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐
3 42 โ10 โ30
7 47 โ5 โ35
13 52 0 0
11 57 5 55
6 62 10 60
40 Jumlah 50
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ = ๐ฅ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ +โ๐๐๐ ๐
โ๐๐= 52 +
๐๐
๐๐= 52 + 1,25= 53,25
๐๐ = ๐๐ + (
12 ๐ โ ๐๐
๐๐๐
) โ ๐
Data ๐๐ Data ๐๐
โค
40 โ 44 3 โค 44,5 3
45 โ 49 7 โค ๐๐, ๐ 10
50 โ 54 13 โค 54,5 23
55 โ 59 11 โค 59,5 34
60 โ 64 6 โค 64,5 40
Jumlah 40
Jumlah data sebanyak ๐ = ๐๐,
sehingga diperoleh ๐
๐๐ = ๐๐.
Median terletak pada
kelas interval yang memuat data ke-20, yaitu kelas ke-3.
Jadi, letak kelas median yaitu pada kelas interval 50 โ 54, dengan panjang interval 5, serta memiliki frekuensi 13
dan nilai tepi bawahnya 49,5.
Sehingga, frekuensi kumulatif kurang dari 49,5 adalah 10.
๐๐ = ๐๐ + (
๐๐ ๐ โ ๐๐
๐๐ด๐
) โ ๐
= ๐๐, ๐ + (๐๐ โ ๐๐
๐๐) โ ๐
= 49,5 +50
13= 49,5 + 3,85= 53,35
๐๐ = ๐๐ + (๐
๐ + ๐) โ ๐
Data ๐๐
40 โ 44 3
45 โ 49 7
50 โ 54 13
55 โ 59 11
60 โ 64 6
Modus terletak pada
kelas interval yang memuat data dengan jumlah frekuensi terbesar.
Data dengan jumlah frekuensi
terbesar yaitu sebanyak 13 data terletak pada kelas interval ke-3.
Jadi, letak kelas modus yaitu pada kelas interval 50 โ 54, dengan panjang interval 5.
Selisih frekuensi kelas modus
terhadap kelas interval sebelumnya adalah ๐ = ๐๐ โ ๐ = ๐.
Selisih frekuensi kelas modus
terhadap kelas interval sesudahnya adalah ๐ = ๐๐ โ ๐๐ = ๐.
๐๐ = ๐๐ + (๐
๐ + ๐) โ ๐
= 49,5 + (๐
๐ + ๐) โ ๐
= 49,5 +30
8= 49,5 + 3,75= 53,25
๐ = ๐๐ โ ๐๐ = ๐
๐ = ๐๐ โ ๐ = ๐
Halaman 286 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Ukuran Letak
Data Berkelompok
Quartil Desil Persentil
โMembagi 4 bagian sama besar โMembagi 10 bagian sama besar โMembagi 100 bagian sama besar dari data terurutโ dari data terurutโ dari data terurutโ
๐๐ = ๐๐ + (
๐4
๐ โ ๐๐
๐๐๐
) โ ๐
Data ๐๐ Data ๐๐
โค
40 โ 44 3 โค 44,5 3
45 โ 49 7 โค 49,5 10
50 โ 54 13 โค ๐๐, ๐ 23
55 โ 59 11 โค 59,5 34
60 โ 64 6 โค 64,5 40
Jumlah 40
Misal ditanyakan nilai ๐3 = ?
Jumlah data sebanyak ๐ = ๐๐,
sehingga diperoleh ๐
๐๐ = ๐๐.
๐3 terletak pada
kelas interval yang memuat data ke-30, yaitu kelas ke-4.
Jadi, letak kelas ๐3 yaitu
pada kelas interval 55 โ 59, dengan panjang interval 5, serta memiliki frekuensi 11
dan nilai tepi bawahnya 54,5.
Sehingga, frekuensi kumulatif kurang dari 54,5 adalah 23.
๐3 = ๐๐ + (
๐๐ ๐ โ ๐๐
๐๐ธ๐
) โ ๐
= ๐๐, ๐ + (๐๐ โ ๐๐
๐๐) โ ๐
= 54,5 +35
11= 54,5 + 3,18= 57,68
๐ท๐ = ๐๐ + (
๐10
๐ โ ๐๐
๐๐ท๐
) โ ๐
Data ๐๐ Data ๐๐
โค
40 โ 44 3 โค 44,5 3
45 โ 49 7 โค 49,5 10
50 โ 54 13 โค ๐๐, ๐ 23
55 โ 59 11 โค 59,5 34
60 โ 64 6 โค 64,5 40
Jumlah 40
Misal ditanyakan nilai ๐ท7 = ?
Jumlah data sebanyak ๐ = ๐๐,
sehingga diperoleh ๐
๐๐๐ = ๐๐.
๐ท7 terletak pada
kelas interval yang memuat data ke-28, yaitu kelas ke-4.
Jadi, letak kelas ๐ท7 yaitu
pada kelas interval 55 โ 59, dengan panjang interval 5, serta memiliki frekuensi 11
dan nilai tepi bawahnya 54,5.
Sehingga, frekuensi kumulatif kurang dari 54,5 adalah 23.
๐ท7 = ๐๐ + (
๐๐๐ ๐ โ ๐๐
๐๐ซ๐
) โ ๐
= ๐๐, ๐ + (๐๐ โ ๐๐
๐๐) โ ๐
= 54,5 +25
11= 54,5 + 2,27= 56,77
๐๐ = ๐๐ + (
๐100
๐ โ ๐๐
๐๐๐
) โ ๐
Data ๐๐ Data ๐๐
โค
40 โ 44 3 โค 44,5 3
45 โ 49 7 โค 49,5 10
50 โ 54 13 โค ๐๐, ๐ 23
55 โ 59 11 โค 59,5 34
60 โ 64 6 โค 64,5 40
Jumlah 40
Misal ditanyakan nilai ๐75 = ?
Jumlah data sebanyak ๐ = ๐๐,
sehingga diperoleh ๐๐
๐๐๐๐ = ๐๐.
๐75 terletak pada
kelas interval yang memuat data ke-30, yaitu kelas ke-4.
Jadi, letak kelas ๐75 yaitu
pada kelas interval 55 โ 59, dengan panjang interval 5, serta memiliki frekuensi 11
dan nilai tepi bawahnya 54,5.
Sehingga, frekuensi kumulatif kurang dari 54,5 adalah 23.
๐75 = ๐๐ + (
๐๐๐๐๐ ๐ โ ๐๐
๐๐ท๐๐
) โ ๐
= ๐๐, ๐ + (๐๐ โ ๐๐
๐๐) โ ๐
= 54,5 +35
11= 54,5 + 3,18= 57,68
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 287
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Statistika (Mean data berkelompok)
Cara cepat dan memahami ukuran pemusatan data adalah memahami terlebih dahulu konsep dasar dari mean. Mean atau nilai rata-rata diperoleh dengan menjumlahkan semua nilai lalu dibagi dengan banyaknya data. Ada 3 cara mencari mean (nilai rata-rata):
Mean Metode Deviasi Sistem Kode
โMenggunakan data sesungguhnyaโ โMenggunakan selisih data โMenggunakan sistem kodeโ terhadap rata-rata sementaraโ
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ =โ๐๐๐ฅ๐
โ๐๐
Data ๐๐ ๐ฅ๐ ๐๐๐๐
40 โ 44 3 42 126
45 โ 49 7 47 329
50 โ 54 13 52 676
55 โ 59 11 57 627
60 โ 64 6 62 372
Jumlah 40 2130
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ =โ๐๐๐๐
โ๐๐=
๐๐๐๐
๐๐
= 5310
40= 53,25
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ = ๐ฅ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ +โ๐๐๐๐
โ๐๐
Misal ๐ฅ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ = 52, maka
๐๐ = (๐ฅ๐ โ 52).
Semua data dikurangi dengan rata-rata dugaan.
๐๐ ๐ฅ๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐
3 42 โ10 โ30
7 47 โ5 โ35
13 52 0 0
11 57 5 55
6 62 10 60
40 Jumlah 50
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ = ๐ฅ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ +โ๐๐๐ ๐
โ๐๐= 52 +
๐๐
๐๐= 52 + 1,25= 53,25
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ = ๐ฅ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ + (โ๐๐๐ข๐
โ๐๐) โ ๐
Misal ๐ฅ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ = 52, maka
๐ข๐ =(๐ฅ๐ โ 52)
๐
Bagi semua nilai ๐๐ dengan panjang interval kelas.
๐๐ ๐ฅ๐ ๐๐ ๐๐๐๐
3 42 โ2 โ6
7 47 โ1 โ7
13 52 0 0
11 57 1 11
6 62 2 12
40 Jumlah 10
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ = ๐ฅ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ +โ๐๐๐๐
โ๐๐โ ๐ = 52 +
๐๐
๐๐โ ๐
= 52 +๐๐
๐๐= 52 + 1,25= 53,25
Halaman 288 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Statistika (Modus data berkelompok)
Untuk data berbentuk tabel, letak modus adalah kelas interval data dengan frekuensi terbanyak, Atau untuk data berbentuk histogram, letak modus adalah kelas interval dengan batang yang paling tinggi. Perhatikan tabel distribusi frekuensi dan histogram berikut:
Tabel Distribusi Frekuensi
Berat (kg)
Banyak Siswa
40 โ 44 3
45 โ 49 7
50 โ 54 13
55 โ 59 11
60 โ 64 6
Nah, konsep modus adalah perpotongan dari dua garis berikut pada histogram:
Tabel Distribusi Frekuensi
Berat (kg)
Banyak Siswa
40 โ 44 3
45 โ 49 7
50 โ 54 13
55 โ 59 11
60 โ 64 6
Perhatikan, TRIK SUPERKILAT: karena โ ๐ต๐น๐ด = โ ๐ท๐น๐ถ dan โ ๐ด๐ต๐น = โ ๐ถ๐น๐ท, Jadi, untuk mengingat maka โ๐ด๐น๐ต sebangun dengan โ๐ถ๐น๐ท. rumus modus gunakan cara ini:
Sehingga diperoleh perbandingan: ๐๐ = ๐๐ + (๐
๐+๐) ๐
๐ = selisih dengan kelas di atasnya๐ = selisih dengan kelas di bawahnya
Catatan: Biasanya tabel distribusi frekuensi disusun dari data terkecil ke terbesar.
3
7
13
11
6
0
2
4
6
8
10
12
14
40
-44
45
-49
50
-54
55
-59
60
-64
Ban
yak
Sis
wa
Berat (kg)
3
7
13
11
6
0
2
4
6
8
10
12
14
40
-44
45
-49
50
-54
55
-59
60
-64
Ban
yak
Sis
wa
Berat (kg)
Histogram
Histogram
Letak
Modus
๐
๐๐ ๐๐
๐
๐
๐ด
๐ต ๐ถ
๐ท
๐ธ ๐บ ๐น
๐
๐น๐ธ
๐ด๐ต=
๐น๐บ
๐ถ๐ทโ
๐ฅ
๐=
๐ โ ๐ฅ
๐โ ๐๐ฅ = ๐(๐ โ ๐ฅ)โ ๐๐ฅ = ๐๐ โ ๐๐ฅโ ๐๐ฅ + ๐๐ฅ = ๐๐
โ (๐ + ๐)๐ฅ = ๐๐
โ ๐ฅ = (๐
๐ + ๐) ๐
Jadi, nilai modus adalah: ๐๐ = ๐๐ + ๐ฅ
๐๐ = ๐๐ + (๐
๐ + ๐) ๐
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 289
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Fre
ku
ensi
Ku
nu
lati
f
Berat (kg)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Fre
ku
ensi
Ku
nu
lati
f
Berat (kg)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Statistika (Median data berkelompok)
Median adalah nilai tengah dari data terurut, maka otomatis kita harus mengurutkan data terlebih dahulu.
Pada data berkelompok, untuk mengurutkan data dapat dilakukan dengan membuat tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari. Dan secara grafik juga bisa ditentukan dengan menggambar kurva ogive positif.
Perhatikan tabel distribusi frekuensi, frekuensi kumulatif kurang dari, dan ogive positif di bawah ini:
Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Frekuensi Kurang Dari
Berat (kg)
Banyak Siswa Berat (kg)
Cara mencari ๐๐ โค
๐๐ โค
40 โ 44 3 โค 44,5 3 3
45 โ 49 7 โค 49,5 3+7 10
50 โ 54 13 โค ๐๐, ๐ 3+7+13 23
55 โ 59 11 โค 59,5 3+7+13+11 34
60 โ 64 6 โค 64,5 3+7+13+11+13 40
Misalkan terdapat data sebanyak ๐ buah, maka letak median adalah pada data ke - 1
2๐.
Karena banyakya data adalah 40 buah, maka ๐ = 40, sehingga data ke โ 1
2๐ adalah terletak pada urutan ke-20.
Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Frekuensi Kurang Dari
Berat (kg)
Banyak Siswa Berat (kg)
Cara mencari ๐๐ โค
๐๐ โค
40 โ 44 3 โค 44,5 3 3
45 โ 49 7 โค 49,5 3+7 10
50 โ 54 13 โค 54,5 3+7+13 23
55 โ 59 11 โค 59,5 3+7+13+11 34
60 โ 64 6 โค 64,5 3+7+13+11+13 40
Perhatikan, karena โ ๐ด๐ธ๐ท = โ ๐ด๐ต๐ถ dan โ ๐ด๐ท๐ธ = โ ๐ด๐ถ๐ต, maka โ๐ด๐ธ๐ท sebangun dengan โ๐ด๐ต๐ถ. Sehingga diperoleh perbandingan:
๐ด๐ธ
๐ด๐ต=
๐ธ๐ท
๐ต๐ถโ
๐ฅ
๐=
12 ๐ โ ๐๐
๐๐๐
โ ๐ฅ = (
12 ๐ โ ๐๐
๐๐๐) ๐
Jadi, nilai median adalah: ๐๐ = ๐๐ + ๐ฅ
๐๐ = ๐๐ + (
12 ๐ โ ๐๐
๐๐๐) ๐
Letak Median
๐
๐๐
๐
๐๐
Ogive Positif
Ogive Positif
๐ท
๐ถ
๐ธ ๐ด ๐ต
๐
๐๐ โ ๐๐
๐๐ด๐
๐
๐
Letak
Median
๐
๐ท
๐
๐๐ โ ๐๐
1
2๐
๐๐ด๐
๐ถ
๐๐ ๐๐
๐ธ ๐๐ ๐ด ๐ต
๐
Halaman 290 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Kesimpulan akhir TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Modus dan Median Data Berkelompok Setelah kita mempelajari konsep dasar dari cara menentukan nilai modus dan median untuk data berkelompok pada halaman sebelumnya, kini saatnya kita merangkum TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS dalam memperkuat konsep dasar Modus dan Median untuk data berkelompok tersebut ke dalam sebuah rangkaian konsep TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS yang mudah dimengerti yang disusun dalam tabel di bawah ini:
Modus Median
Persamaan
Ukuran Pemusatan, khususnya nilai Modus dan Median untuk data berkelompok, keduanya sebenarnya memiliki konsep awal yang sama.
๐๐ = ๐๐ + ( ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ) ๐ ๐๐ = ๐๐ + (
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ) ๐
TRIK SUPERKILAT
โTepi bawah ditambah sebagian dari panjang intervalโ
Modus Median
Perbedaan
Untuk Modus, nilai perbandingan tersebut adalah selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelum modus
dibagi jumlah dari selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelum dan
sesudah modus.
Untuk Median, nilai perbandingan tersebut adalah selisih antara letak
median (1
2๐) dengan frekuensi
kumulatif sebelum kelas median dibagi dengan frekuensi kelas median itu
sendiri.
( ๐
๐ + ๐ ) (
๐๐
๐ โ ๐๐
๐๐ด๐ )
TRIK SUPERKILAT
(atas
atas + bawah) (
letak median โ ๐๐
๐๐ด๐ )
*) Catatan: Biasanya tabel distribusi frekuensi disusun dari data terkecil ke terbesar. Jadi ๐ = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas di atasnya. Jadi ๐ = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas di bawahnya.
**) Catatan: Letak median adalah setengah dari banyak data (1
2๐).
**) *)
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 291
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Ukuran Letak Data Berkelompok (Median, Kuartil, Desil dan Persentil) Ukuran Letak dari data berkelompok memiliki konsep yang sama persis dengan median data berkelompok. Ya!!!! Karena median adalah ukuran letak yang membagi data terurut menjadi dua bagian sama besar..
Median adalah ukuran letak yang membagi data menjadi 2 bagian yang sama besar. Nah, Kuartil adalah ukuran letak yang membagi data menjadi 4 bagian yang sama besar. Sementara, Desil adalah ukuran letak yang membagi data menjadi 10 bagian yang sama besar. Nah, Persentil adalah ukuran letak yang membagi data menjadi 100 bagian yang sama besar.
Ukuran Letak untuk data berkelompok tersebut dapat disusun ke dalam sebuah konsep TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS yang mudah dimengerti yang disusun dalam tabel di bawah ini:
Median Ukuran Letak (UL)
Persamaan
Ukuran Letak (Kuartil, Desil, dan Persentil) untuk data berkelompok, sebenarnya memiliki konsep awal yang sama dengan konsep nilai Median data berkelompok.
๐๐ = ๐๐ + (
๐๐๐ญ๐๐ค๐๐๐๐ข๐๐ง
โ ๐๐
๐Median) ๐ ๐๐ฟ = ๐๐ + (
๐๐๐ญ๐๐ค๐๐ โ ๐๐
๐UL) ๐
TRIK SUPERKILAT
โ(Median 2), (Kuartil 4), (Desil 10), (Persentil 100)โ
Median Kuartil Desil Persentil
Notasi ๐๐ ๐๐ ๐ท๐ ๐๐
Membagi ๐ data terurut menjadi ๐ bagian yang
sama besar
๐ = 1 ๐ = 4 ๐ = 10 ๐ = 100
Banyaknya UL 1 buah UL
(๐๐)
3 buah UL
(๐1, ๐2, ๐3)
9 buah UL
(๐ท1, โฆ , ๐ท9)
99 buah UL
(๐1, โฆ , ๐99)
Rumus Dasar ๐ผ๐ณ๐ = ๐ป๐ + (
๐๐
๐ โ ๐๐
๐๐ผ๐ณ๐
) ๐
Perbedaan ( ๐๐ ๐ โ ๐๐
๐๐ด๐ ) (
๐๐ ๐ โ ๐๐
๐๐ธ๐
) (
๐๐๐ ๐ โ ๐๐
๐๐ซ๐
) (
๐๐๐๐ ๐ โ ๐๐
๐๐ท๐
)
Halaman 292 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Tipe Soal yang Sering Muncul
Menentukan ukuran pemusatan dan ukuran letak dari data berbentuk tabel. Contoh Soal: Perhatikan tabel di bawah ini:
Data Frekuensi
(๐๐)
45 โ 49 7
50 โ 54 15
55 โ 59 18
60 โ 64 11
65 โ 69 9
Jumlah 60
Tentukan nilai mean, modus, median, ๐3, ๐ท4, ๐26 !
Penyelesaian: Mencari nilai mean / nilai rata-rata: Untuk mencari nilai mean atau nilai rata-rata, maka kita harus menentukan:
- Nilai tengah (๐ฅ๐ = {47, 52, 57, 62, 67}) - Panjang kelas interval (๐ = 5) - Nilai rata-rata sementara / rata-rata dugaan (๐ฅ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ = 57)
TRIK SUPERKILAT: menentukan ๐ฅ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ, dipilih kelas interval yang berada di tengah-tengah.
- Kode (๐๐), yang diperoleh dari (๐ฅ๐ โ ๐ฅ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ) dibagi dengan ๐ TRIK SUPERKILAT: menentukan ๐๐ , kelas rataan sementara kita kasih angka 0. kelas di atasnya bernilai negatif, โ1, โ2, โ3, dstโฆ kelas di atasnya bernilai positif, 1, 2, 3, dstโฆ
- Nilai ๐๐๐๐ , yaitu hasil perkalian antara ๐๐ dengan ๐๐ .
Nah, sekarang perhatikan tabel di bawah ini:
Data Frekuensi
(๐๐) Nilai Tengah
(๐๐) ๐ผ๐ ๐๐๐ผ๐
45 โ 49 7 47 โ2 โ14
50 โ 54 15 52 โ1 โ15
55 โ 59 18 57 0 0
60 โ 64 11 62 1 11
65 โ 69 9 67 2 18
Jumlah 60 0
Jadi nilai rata-rata adalah:
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ = ๐ฅ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ + (โ๐๐๐๐
โ๐๐) ๐
= 57 + (0
60) 5
= 57 + 0= 57
Mudah bukan?!
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 293
Mencari nilai modus: Untuk mencari nilai modus, maka kita harus menentukan:
- Kelas modus adalah kelas interval dengan frekuensi tertinggi, yakni berada di kelas interval ke tiga. - Tepi bawah kelas modus (๐๐ = 55 โ 0,5 = 54,5) - Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas interval sebelumnya (๐ = 18 โ 15 = 3)
TRIK SUPERKILAT: kelas interval sebelumnya adalah kelas interval yang terletak di atas kelas modus.
- Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas interval sesudahnya (๐ = 18 โ 11 = 7) TRIK SUPERKILAT: kelas interval sesudahnya adalah kelas interval yang terletak di bawah kelas modus.
Nah, sekarang perhatikan tabel di bawah ini:
Data Frekuensi
(๐๐)
45 โ 49 7
50 โ 54 15
55 โ 59 18
60 โ 64 11
65 โ 69 9
Jumlah 60
Jadi nilai modus adalah:
๐๐ = ๐๐ + (๐
๐ + ๐) ๐
= 54,5 + (3
3 + 7) 5
= 54,5 + (3
10) 5
= 54,5 + 1,5= 56
Mudah bukan?!
๐ = ๐๐ โ ๐๐ = ๐
๐ = ๐๐ โ ๐๐ = ๐
Halaman 294 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Mencari nilai median: Untuk mencari nilai median, maka kita harus menentukan:
- Frekuensi kumulatif bawah. - Jumlah frekuensi data (๐ = 60)
- Karena ditanyakan median maka tentukan nilai 1
2๐. (
1
2๐ =
1
2(60) = 30)
- Letak kelas median. Median terletak pada kelas interval yang memuat data ke-30, dengan melihat kolom frekuensi kumulatif bawah. TRIK SUPERKILAT:
Data Frekuensi
(๐๐) ๐๐ TRIK SUPERKILAT: Makna ๐๐
45 โ 49 7 7 Terdiri dari data ke 1 s/d data ke 7
50 โ 54 15 22 Terdiri dari data ke 8 s/d data ke 22
55 โ 59 18 40 Terdiri dari data ke 23 s/d data ke 40
60 โ 64 11 51 Terdiri dari data ke 41 s/d data ke 51
65 โ 69 9 60 Terdiri dari data ke 52 s/d data ke 60
Jumlah 60
Jadi median terletak pada kelas interval 55 โ 59.
- Tepi bawah kelas median (๐๐ = 55 โ 0,5 = 54,5) - Frekuensi kumulatif sebelum kelas median (๐๐ = 22) - Frekuensi kelas median (๐๐๐ = 18)
Nah, sekarang perhatikan tabel di bawah ini:
Data Frekuensi
(๐๐) ๐๐
45 โ 49 7 7
50 โ 54 15 22
55 โ 59 18 40
60 โ 64 11 51
65 โ 69 9 60
Jumlah 60
Jadi nilai median adalah:
๐๐ = ๐๐ + (
12 ๐ โ ๐๐
๐๐๐) ๐
= 54,5 + (20 โ 22
18) 5
= 54,5 + (8
18) 5
= 54,5 + 2,22= 56,72
Mudah bukan?!
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 295
Mencari nilai Kuartil ke-tiga (๐ธ๐): Untuk mencari nilai ๐3, maka kita harus menentukan:
- Frekuensi kumulatif bawah. - Jumlah frekuensi data (๐ = 60)
- Karena ditanyakan ๐3 maka tentukan nilai 3
4๐. (
3
4๐ =
3
4(60) = 45)
- Letak kelas ๐3. ๐3 terletak pada kelas interval yang memuat data ke-45, dengan melihat kolom frekuensi kumulatif bawah. TRIK SUPERKILAT:
Data Frekuensi
(๐๐) ๐๐ TRIK SUPERKILAT: Makna ๐๐
45 โ 49 7 7 Terdiri dari data ke 1 s/d data ke 7
50 โ 54 15 22 Terdiri dari data ke 8 s/d data ke 22
55 โ 59 18 40 Terdiri dari data ke 23 s/d data ke 40
60 โ 64 11 51 Terdiri dari data ke 41 s/d data ke 51
65 โ 69 9 60 Terdiri dari data ke 52 s/d data ke 60
Jumlah 60
Jadi ๐3 terletak pada kelas interval 60 โ 64.
- Tepi bawah kelas ๐3 (๐๐ = 60 โ 0,5 = 59,5) - Frekuensi kumulatif sebelum kelas ๐3 (๐๐ = 40)
- Frekuensi kelas ๐3 (๐๐3= 11)
Nah, sekarang perhatikan tabel di bawah ini:
Data Frekuensi
(๐๐) ๐๐
45 โ 49 7 7
50 โ 54 15 22
55 โ 59 18 40
60 โ 64 11 51
65 โ 69 9 60
Jumlah 60
Jadi nilai Kuartil ke-3 adalah:
๐3 = ๐๐ + (
34 ๐ โ ๐๐
๐๐3
) ๐
= 59,5 + (45 โ 40
11) 5
= 59,5 + (5
11) 5
= 59,5 + 2,27= 61,77
Mudah bukan?!
Halaman 296 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Mencari nilai Desil ke-empat (๐ซ๐): Untuk mencari nilai ๐ท4, maka kita harus menentukan:
- Frekuensi kumulatif bawah. - Jumlah frekuensi data (๐ = 60)
- Karena ditanyakan ๐ท4 maka tentukan nilai 4
10๐. (
4
10๐ =
4
10(60) = 24)
- Letak kelas ๐ท4. ๐ท4 terletak pada kelas interval yang memuat data ke-24, dengan melihat kolom frekuensi kumulatif bawah. TRIK SUPERKILAT:
Data Frekuensi
(๐๐) ๐๐ TRIK SUPERKILAT: Makna ๐๐
45 โ 49 7 7 Terdiri dari data ke 1 s/d data ke 7
50 โ 54 15 22 Terdiri dari data ke 8 s/d data ke 22
55 โ 59 18 40 Terdiri dari data ke 23 s/d data ke 40
60 โ 64 11 51 Terdiri dari data ke 41 s/d data ke 51
65 โ 69 9 60 Terdiri dari data ke 52 s/d data ke 60
Jumlah 60
Jadi ๐ท4 terletak pada kelas interval 55 โ 59.
- Tepi bawah kelas ๐ท4 (๐๐ = 55 โ 0,5 = 54,5) - Frekuensi kumulatif sebelum kelas ๐ท4 (๐๐ = 22)
- Frekuensi kelas ๐ท4 (๐๐ท4= 18)
Nah, sekarang perhatikan tabel di bawah ini:
Data Frekuensi
(๐๐) ๐๐
45 โ 49 7 7
50 โ 54 15 22
55 โ 59 18 40
60 โ 64 11 51
65 โ 69 9 60
Jumlah 60
Jadi nilai Desil ke-4 adalah:
๐ท4 = ๐๐ + (
410 ๐ โ ๐๐
๐๐ท4
) ๐
= 54,5 + (24 โ 22
18) 5
= 54,5 + (2
18) 5
= 54,5 + 0,56= 55,06
Mudah bukan?!
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 297
Mencari nilai Persentil ke-26 (๐ท๐๐): Untuk mencari nilai ๐26, maka kita harus menentukan:
- Frekuensi kumulatif bawah. - Jumlah frekuensi data (๐ = 60)
- Karena ditanyakan ๐26 maka tentukan nilai 26
100๐. (
26
100๐ =
26
100(60) = 15,6)
- Letak kelas ๐26. ๐26 terletak pada kelas interval yang memuat data ke-26, dengan melihat kolom frekuensi kumulatif bawah. TRIK SUPERKILAT:
Data Frekuensi
(๐๐) ๐๐ TRIK SUPERKILAT: Makna ๐๐
45 โ 49 7 7 Terdiri dari data ke 1 s/d data ke 7
50 โ 54 15 22 Terdiri dari data ke 8 s/d data ke 22
55 โ 59 18 40 Terdiri dari data ke 23 s/d data ke 40
60 โ 64 11 51 Terdiri dari data ke 41 s/d data ke 51
65 โ 69 9 60 Terdiri dari data ke 52 s/d data ke 60
Jumlah 60
Jadi ๐26 terletak pada kelas interval 50 โ 54.
- Tepi bawah kelas ๐26 (๐๐ = 50 โ 0,5 = 49,5) - Frekuensi kumulatif sebelum kelas ๐26 (๐๐ = 7)
- Frekuensi kelas ๐26 (๐๐26= 15)
Nah, sekarang perhatikan tabel di bawah ini:
Data Frekuensi
(๐๐) ๐๐
45 โ 49 7 7
50 โ 54 15 22
55 โ 59 18 40
60 โ 64 11 51
65 โ 69 9 60
Jumlah 60
Jadi nilai Persentil ke-26 adalah:
๐26 = ๐๐ + (
26100 ๐ โ ๐๐
๐๐26
) ๐
= 50,5 + (15,6 โ 7
15) 5
= 50,5 + (8,6
15) 5
= 50,5 + 2,87= 53,37
Mudah bukan?!
Halaman 298 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan ukuran pemusatan dan ukuran letak dari data berbentuk diagram (Histogram) Untuk menyelesaikan soal dengan bentuk data diagram atau histogram, maka kita harus mengenali dulu label pada sumbu X histogram tersebut. Secara umum ada 3 jenis histogram berdasarkan label pada sumbu X:
Kelas Interval Nilai Tepi Kelas Nilai Tengah Kelas โLebar histogram menyatakan โBatas histogram menyatakan โTitik tengah histogram kelas intervalโ tepi atas dan tepi bawah kelasโ adalah nilai tengah kelasโ
Contoh Soal: Perhatikan gambar berikut: Tentukan Median dari data di atas โฆ. Penyelesaian: Ubah dulu histogram menjadi data tabel distribusi frekuensi.
Nilai ๐ ๐๐ 135 โ 139 3 3 140 โ 144 5 8 145 โ 149 7 15 150 โ 154 10 25 155 โ 159 9 34 160 โ 164 6 40
Jumlah 40 Jadi nilai median adalah:
๐๐ = ๐๐ + (
12 ๐ โ ๐๐
๐๐๐) ๐ = 149,5 + (
20 โ 15
10) 5 = 149,5 + (
5
10) 5 = 149,5 + 2,5 = 152
Mudah bukan?!
3
7
13
11
6
0
2
4
6
8
10
12
14
40
-44
45
-49
50
-54
55
-59
60
-64
Ban
yak
Sis
wa
Berat (kg)
3
7
13
11
6
0
2
4
6
8
10
12
14
Ban
yak
Sis
wa
Berat (kg)
3
7
13
11
6
0
2
4
6
8
10
12
14
42
47
52
57
62
Ban
yak
Sis
wa
Berat (kg)
134,5 139,5 144,5 149,5 154,5 159,5 164,5
3
5
7
9 10
f
Nilai
6
134,5 139,5 144,5 149,5 154,5 159,5 164,5
3
5
7
9 10
f
Nilai
6
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 299
Menentukan ukuran pemusatan dan ukuran letak dari data berbentuk diagram (Poligon) Untuk menyelesaikan soal dengan bentuk data poligon frekuensi, maka kita harus mengenali dulu label pada sumbu X. Secara umum label pada sumbu X pada poligon frekuensi adalah nilai tengah dari histogram.
Poligon Frekuensi โTitik tengah histogram dihubungkan dengan garisโ
Contoh Soal: Berikut ini poligon frekuensi dari data berat badan siswa kelas XII A. Modus berat badan siswa โฆ. kg Penyelesaian: Ubah dulu poligon frekuensi menjadi data tabel distribusi frekuensi.
Tepi antara 32 dan 37 adalah nilai tengah antara 32 dan 37 = 32+37
2= 34,5
Nilai ๐ 30 โ 34 3 35 โ 39 9 40 โ 44 6 45 โ 49 5 50 โ 54 4 55 โ 59 3
Jadi nilai modus adalah:
๐๐ = ๐๐ + (๐
๐ + ๐) ๐ = 34,5 + (
6
6 + 3) 5 = 34,5 + (
6
9) 5 = 34,5 + 3,33 = 37,83
Mudah bukan?!
0
2
4
6
8
10
12
14
42
47
52
57
62
Ban
yak
Sis
wa
Berat (kg)
3
4
5
6
9
Frekuensi
32 37 42 47 52 57
Berat badan (kg)
3
4
5
6
9
Frekuensi
32 37 42 47 52 57
Berat badan (kg)
Halaman 300 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan ukuran pemusatan dan ukuran letak dari data berbentuk grafik (Ogive). Untuk menyelesaikan soal dengan bentuk data ogive, maka kita harus mengenali dulu label pada sumbu X dan Y. Secara umum label pada sumbu X pada ogive adalah nilai tepi bawah atau atas dari kelas interval. Secara umum label pada sumbu X pada ogive adalah nilai frekuensi kumulatif.
Ogive Positif Ogive Negatif โOgive Naikโ โOgive Turunโ
Contoh Soal: Data nilai ulangan Matematika siswa kelas XIIB disajikan dalam bentuk ogive positif sebagai berikut: Kuartil atas data siswa adalah โฆ. Penyelesaian: Ubah dulu ogive menjadi data tabel distribusi frekuensi.
Nilai Cara mencari ๐ ๐ ๐๐
1 โ 20 4 โ 0 = 4 4 4 21 โ 40 10 โ 4 = 6 6 10 41 โ 60 20 โ 10 = 10 10 20 61 โ 80 35 โ 20 = 15 15 35
81 โ 100 40 โ 35 = 5 5 40 Jumlah 40
Jadi nilai kuartil atas (๐3) adalah:
๐3 = ๐๐ + (
34 ๐ โ ๐๐
๐๐3
) ๐ = 60,5 + (30 โ 20
15) 20 = 60,5 + (
10
15) 20 = 60,5 + 13,33 = 73,83
Mudah bukan?!
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Fre
ku
ensi
Ku
nu
lati
f
Berat (kg)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Fre
ku
ensi
Ku
nu
lati
f
Berat (kg)
๐๐ โค
4
10
20
35
40
0,5 20,5 40,5 60,5 80,5 100,5 Nilai
๐๐ โค
4
10
20
35
40
0,5 20,5 40,5 60,5 80,5 100,5 Nilai
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 301
Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/03/smart-solution-un-matematika-sma-2013.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Statistik (Ukuran Pemusatan atau Ukuran Letak) iniโฆ.
Halaman 302 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Data yang diberikan dalam tabel frekuensi sebagai berikut:
Kelas Frekuensi
20 โ 29
30 โ 39
40 โ 49
50 โ 59
60 โ 69
70 โ 79
80 โ 89
3
7
8
12
9
6
5
Nilai modus dari data pada tabel adalah ....
A. 7
405,49
B. 7
365,49
C. 7
365,49
D. 7
405,49
E. 7
485,49
Jika adik-adik butuh โbocoranโ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.
๐1 = 12 โ 8 = 4 ๐2 = 12 โ 9 = 3 ๐๐ = 50 โ 0,5 = 49,5 ๐ = 10
๐๐ = ๐๐ +๐1
๐1 + ๐2
โ ๐
= 49,5 +4
4 + 3โ 10
= 49,5 +40
7
H
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 303
6. 2. Menyelesaikan masalah sehari-hari dengan menggunakan kaidah pencacahan, permutasi atau kombinasi.
Kaidah Pencacahan
Aturan Perkalian
Banyak cara memilih unsur pertama
Banyak cara memilih unsur kedua
Banyak cara memilih kedua unsur sekaligus
๐ ๐ ๐ ร ๐
Faktorial โPerkalian Bilangan Urutโ ๐! = ๐ ร (๐ โ 1) ร (๐ โ 2) ร โฆ ร 3 ร 2 ร 1 Catatan: 1! = 1 dan 0! = 1
Banyak cara menyusun ๐ buah unsur dari keseluruhan ๐ buah unsur
Permutasi Kombinasi โPerhatikan Urutanโ โUrutan Tidak Diperhatikanโ
๐๐๐ =๐!
(๐ โ ๐)!
Catatan: ๐ โค ๐
๐๐ถ๐ =
๐!
๐! (๐ โ ๐)!
Catatan: ๐ โค ๐
Permutasi Ada Unsur Sama โAda ๐ unsur yang sama, ada ๐ต unsur yang sama, dan ๐ unsur yang samaโ
๐๐(๐,โ,๐) =๐!
๐! โ! ๐!
Catatan: ๐ + โ + ๐ โค ๐
๐๐ถ๐ =
๐๐๐
๐!
Permutasi Siklis โPosisi Melingkarโ
๐๐ ๐๐๐๐๐ = (๐ โ 1)!
Kombinasi adalah permutasi tanpa memperhatikan urutan obyek. Jadi, rumus kombinasi diperoleh dari permutasi ๐ unsur dari ๐ unsur
namun karena hasil permutasi tersebut urutan tidak diperhatikan maka dianggap hasil permutasi tersebut ada ๐ unsur yang sama.
Halaman 304 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Menyusun Rumus Permutasi. Cara paling mudah untuk menyusun rumus permutasi adalah menggunakan definisi aslinya. Di sekolah mungkin adik-adik diberikan rumus permutasi seperti dituliskan pada halaman sebelumnya, yaitu:
๐๐๐ =๐!
(๐ โ ๐)!
Padahal, definisi asli dari permutasi adalah sebagai berikut:
๐๐๐ = ๐ ร (๐ โ 1) ร (๐ โ 2) ร โฆ ร (๐ โ ๐ + 1) Rumus tersebut adalah pengembangan dari aturan perkalian dalam menyusun banyak ๐ unsur berbeda yang bisa dibuat dari ๐ unsur. Misalnya saja, menyusun 3 unsur berbeda dari 5 unsur yang diberikan. Maka kita akan membuat 3 kotak sebagai berikut:
Pada kotak pertama bisa diisi 5 unsur. Pada kotak kedua bisa diisi 4 unsur, karena 1 unsur sudah diisikan pada kotak pertama. Pada kotak ketiga bisa diisi 3 unsur, karena 2 unsur sudah diisikan pada kotak pertama dan kedua. Sehingga dari aturan perkalian diperoleh banyaknya cara menyusun 3 unsur berbeda dari 5 unsur adalah:
5 ร 4 ร 3 = 60 cara. Dari sini jelas bahwa rumus permutasi 3 unsur berbeda dari 5 unsur adalah:
5 ร 4 ร 3 = โperkalian mundur dimulai dari bilangan 5 sebanyak 3 faktorโ Jadi bisa disimpulkan bahwa:
๐๐ท๐ = โ๐ฉ๐๐ซ๐ค๐๐ฅ๐ข๐๐ง ๐ฆ๐ฎ๐ง๐๐ฎ๐ซ ๐๐ข๐ฆ๐ฎ๐ฅ๐๐ข ๐๐๐ซ๐ข ๐๐ข๐ฅ๐๐ง๐ ๐๐ง ๐ ๐ฌ๐๐๐๐ง๐ฒ๐๐ค ๐ ๐๐๐ค๐ญ๐จ๐ซโ Sehingga dengan mudah kita hitung nilai permutasi berikut:
15๐4 = 15 ร 14 ร 13 ร 12 (perkalian mundur 4 angka terakhir dari 15)
10๐3 = 10 ร 9 ร 8 (perkalian mundur 3 angka terakhir dari 10)
7๐2 = 8 ร 7 (perkalian mundur 2 angka terakhir dari 7)
5๐2 = 5 ร 4 (perkalian mundur 2 angka terakhir dari 5) Dstโฆ dstโฆ dstโฆ
Atau bila soalnya berbentuk kalimat seperti berikut:
Di suatu kelas terdapat 12 siswa. Banyak cara memilih ketua, wakil ketua, dan sekretaris dari 12 siswa dalam suatu kelas tersebut adalah sebanyak โฆ. cara. Karena kita menyusun 3 siswa dari keseluruhan 12 siswa dengan memperhatikan urutan, maka digunakan konsep permutasi 12๐3. Sehingga banyak cara memilihnya ada sebanyak:
12๐3 = 12 ร 11 ร 10 = 1320 cara (perkalian mundur 3 angka terakhir dari 12)
Mudah bukan?!
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 305
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Menyusun Rumus Kombinasi. Cara paling mudah untuk menyusun rumus kombinasi adalah menggunakan definisi aslinya. Di sekolah mungkin adik-adik diberikan rumus kombinasi seperti dituliskan pada halaman sebelumnya, yaitu:
๐๐ถ๐ =๐!
๐! (๐ โ ๐)!
Padahal, definisi asli dari permutasi adalah sebagai berikut:
๐๐ถ๐ =๐๐ถ๐
๐!
Penjelasannya sebagai berikut:
Kombinasi adalah permutasi tanpa memperhatikan urutan obyek. Jadi, rumus kombinasi diperoleh dari permutasi ๐ unsur dari ๐ unsur, namun karena hasil permutasi tersebut urutan tidak diperhatikan, maka dianggap hasil permutasi tersebut ada ๐ unsur yang sama.
Jadi bisa disimpulkan bahwa:
๐๐ช๐ = โ(๐ฉ๐๐ซ๐ค๐๐ฅ๐ข๐๐ง ๐ฆ๐ฎ๐ง๐๐ฎ๐ซ ๐๐ข๐ฆ๐ฎ๐ฅ๐๐ข ๐๐๐ซ๐ข ๐๐ข๐ฅ๐๐ง๐ ๐๐ง ๐ ๐ฌ๐๐๐๐ง๐ฒ๐๐ค ๐ ๐๐๐ค๐ญ๐จ๐ซ)
(๐ฉ๐๐ซ๐ค๐๐ฅ๐ข๐๐ง ๐ฆ๐๐ฃ๐ฎ ๐๐ข๐ฆ๐ฎ๐ฅ๐๐ข ๐๐๐ซ๐ข ๐๐ข๐ฅ๐๐ง๐ ๐๐ง ๐ ๐ฌ๐๐๐๐ง๐ฒ๐๐ค ๐ ๐๐๐ค๐ญ๐จ๐ซ)โ
Sehingga dengan mudah kita hitung nilai permutasi berikut:
15๐ถ4 =15 ร 14 ร 13 ร 12
1 ร 2 ร 3 ร 4 (
perkalian mundur 4 angka terakhir dari 15
perkalian maju 4 angka terdepan)
10๐ถ3 =10 ร 9 ร 8
1 ร 2 ร 3 (
perkalian mundur 3 angka terakhir dari 10
perkalian maju 3 angka terdepan)
7๐ถ2 =8 ร 7
1 ร 2(
perkalian mundur 2 angka terakhir dari 7
perkalian maju 2 angka terdepan)
Dstโฆ dstโฆ dstโฆ
Atau bila soalnya berbentuk kalimat seperti berikut:
Di suatu kelas terdapat 12 siswa. Banyak cara memilih 3 siswa dari 12 siswa dalam suatu kelas tersebut adalah sebanyak โฆ. cara. Karena kita menyusun 3 siswa dari keseluruhan 12 siswa dengan tanpa memperhatikan urutan, maka digunakan konsep kombinasi 12๐ถ3. Sehingga banyak cara memilihnya ada sebanyak:
12๐ถ3 =12 ร 11 ร 10
1 ร 2 ร 3= 220 cara (
perkalian mundur 2 angka terakhir dari 15
perkalian maju 2 angka terdepan)
Mudah bukan?! Khusus untuk Kombinasi berlaku sifat berikut:
๐๐ช๐ = ๐๐ช(๐โ๐)
Jadi,
10๐ถ7 = 10๐ถ3 =10 ร 9 ร 8
1 ร 2 ร 3(
perkalian mundur 3 angka terakhir dari 10
perkalian maju 3 angka terdepan)
2
Halaman 306 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Tipe Soal yang Sering Muncul
Menentukan kaidah pencacahan menggunakan aturan perkalian. Contoh Soal 1: Dari angka-angka: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah โฆ.
Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:
Angka Ratusan
Angka Puluhan
Angka Satuan
7
7 7
Jadi banyaknya bilangan yang terdiri atas 3 angka boleh berulang adalah: 7 ร 7 ร 7 = 343 buah. Contoh Soal 2: Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah โฆ.
Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, karena tidak
mungkin ada angka ratusan 0. Biasanya bilangan 012 hanya ditulis 12 gitu aja. Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:
Angka Ratusan
Angka Puluhan
Angka Satuan
6
7 7
Jadi banyaknya bilangan yang terdiri atas 3 angka boleh berulang adalah: 6 ร 7 ร 7 = 294 buah.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 307
Contoh Soal 3: Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan genap yang terdiri dari 3 angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah โฆ.
Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka satuan : karena ada syarat bilangan harus genap maka angka satuan hanya dapat dipilih
sebanyak 4 cara saja, yaitu diisi dengan angka 0, 2, 4, 6. Angka puluhan : dapat dipilih 7 angka, yaitu angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, karena tidak
mungkin ada angka ratusan 0. Biasanya bilangan 012 hanya ditulis 12 gitu aja. Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:
Angka Ratusan
Angka Puluhan
Angka Satuan
6
7 4
Jadi banyaknya bilangan terdiri atas 3 angka boleh berulang lebih dari 320 adalah: 6 ร 7 ร 4 = 168 buah. Contoh Soal 4: Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan ganjil yang terdiri dari 3 angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah โฆ.
Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka satuan : karena ada syarat bilangan harus ganjil maka angka satuan hanya dapat dipilih
sebanyak 3 cara saja, yaitu diisi dengan angka 1, 3, 5. Angka puluhan : dapat dipilih 7 angka, yaitu angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, karena tidak
mungkin ada angka ratusan 0. Biasanya bilangan 012 hanya ditulis 12 gitu aja. Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:
Angka Ratusan
Angka Puluhan
Angka Satuan
6
7 3
Jadi banyaknya bilangan terdiri atas 3 angka boleh berulang lebih dari 320 adalah: 6 ร 7 ร 3 = 126 buah.
Halaman 308 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 5: Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun lebih dari 300 adalah โฆ.
Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka lebih dari 300, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka ratusan : karena ada syarat harus lebih dari 300 maka angka ratusan hanya dapat dipilih
sebanyak 4 cara, yaitu diisi dengan angka 3, 4, 5, 6. Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Angka Ratusan
Angka Puluhan
Angka Satuan
4
7 7
Jadi banyaknya bilangan terdiri atas 3 angka boleh berulang lebih dari 300 adalah: 4 ร 7 ร 7 = 196 buah.
Contoh Soal 6: Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun lebih dari 320 adalah โฆ.
Penyelesaian: Bilangan lebih dari 320, artinya kita harus memecah menjadi dua bagian, yaitu: - Bilangan ratusan dengan angka ratusan 3, yang bilangan puluhannya harus lebih dari 20. - Bilangan ratusan dengan angka ratusan selain 3. Untuk bilangan ratusan dengan angka ratusan 3, yang bilangan puluhannya harus lebih dari 20. maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka ratusan : angka ratusan hanya dapat dipilih sebanyak 1 cara saja, yaitu diisi angka 3 saja. Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 5 cara saja, yaitu dapat diisi dengan angka 2, 3, 4, 5, 6. Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Angka Ratusan
Angka Puluhan
Angka Satuan
1
5 7
Untuk bilangan ratusan dengan angka ratusan selain 3, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 3 cara saja, yaitu diisi dengan angka 4, 5, dan 6 saja. Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Angka Ratusan
Angka Puluhan
Angka Satuan
3
7 7
Jadi banyaknya bilangan terdiri atas 3 angka boleh berulang lebih dari 320 adalah: (1 ร 5 ร 7) + (3 ร 7 ร 7) = 35 + 147 = 182 buah.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 309
Contoh Soal 7: Dari angka-angka: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka dengan tidak angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah โฆ.
Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Misal kita pilih angka 1 sebagai angka ratusan. Angka puluhan : angka puluhan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan
sebagai angka ratusan. Jadi angka puluhan hanya dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 2, 3, 4, 5, 6, 7. Misal kita pilih angka 2 sebagai angka puluhan.
Angka satuan : angka satuan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan sebagai angka ratusan, dan angka 2 yang digunakan sebagai angka puluhan. Jadi angka satuan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka 3, 4, 5, 6, 7 saja.
Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:
Angka Ratusan
Angka Puluhan
Angka Satuan
7
6 5
Jadi banyaknya bilangan yang terdiri atas 3 angka tidak boleh berulang adalah: 7 ร 6 ร 5 = 210 buah. Contoh Soal 8: Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka dengan tidak angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah โฆ.
Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, karena tidak
mungkin ada angka ratusan 0. Biasanya bilangan 012 hanya ditulis 12 gitu aja. Misal kita pilih angka 1 sebagai angka ratusan
Angka puluhan : angka puluhan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan sebagai angka ratusan. Jadi angka puluhan hanya dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 0, 2, 3, 4, 5, 6. Misal kita pilih angka 2 sebagai angka puluhan.
Angka satuan : angka satuan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan sebagai angka ratusan, dan angka 2 yang digunakan sebagai angka puluhan. Jadi angka satuan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka 0, 3, 4, 5, 6 saja.
Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:
Angka Ratusan
Angka Puluhan
Angka Satuan
6
6 5
Jadi banyaknya bilangan yang terdiri atas 3 angka tidak boleh berulang adalah: 6 ร 6 ร 5 = 180 buah.
Halaman 310 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 9: Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan genap yang terdiri dari 3 angka dengan tidak angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah โฆ.
Penyelesaian: Bilangan genap dan tersedia angka 0 (nol), artinya kita harus memecah menjadi dua bagian, yaitu: - Bilangan genap dengan angka 0 (nol) berada di posisi angka satuan. - Bilangan genap dengan angka genap selain 0 (nol) berada di posisi angka satuan. Untuk bilangan genap dengan angka 0 (nol) berada di posisi angka satuan, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka satuan : karena angka satuan sudah pasti 0 (nol) maka angka satuan hanya dapat dipilih
sebanyak 1 cara saja, yaitu diisi dengan angka 0 saja. Angka puluhan : dapat dipilih 6 angka, yaitu angka 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Misal kita pilih angka 1 sebagai angka puluhan. Angka ratusan : angka ratusan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 0 yang sudah digunakan
sebagai angka satuan, dan angka 1 yang digunakan sebagai angka puluhan. Jadi angka satuan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka 2, 3, 4, 5, 6 saja.
Angka Ratusan
Angka Puluhan
Angka Satuan
1
6 5
Untuk bilangan genap dengan angka genap selain 0 (nol) berada di posisi angka satuan, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka satuan : karena angka satuan sudah pasti angka bukan 0 (nol) maka angka satuan hanya
dapat dipilih sebanyak 3 cara saja, yaitu diisi dengan angka 2, 4, 6 saja. Misal kita pilih angka 2 sebagai angka satuan.
Angka ratusan : angka ratusan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 2 yang sudah digunakan sebagai angka satuan, dan jangan lupa angka 0 tidak boleh berada di angka ratusan. sehingga untuk angka ratusan dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu angka 1, 3, 4, 5, 6. Misal kita pilih angka 1 sebagai angka ratusan.
Angka puluhan : angka puluhan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 2 yang sudah digunakan sebagai angka satuan, dan angka 1 yang digunakan sebagai angka ratusan. Jadi angka puluhan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka 0, 3, 4, 5, 6 saja.
Angka Ratusan
Angka Puluhan
Angka Satuan
3
5 5
Jadi banyaknya bilangan genap terdiri atas 3 angka tidak boleh berulang adalah: (1 ร 6 ร 5) + (3 ร 5 ร 5) = 30 + 75 = 105 buah.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 311
Contoh Soal 10: Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan ganjil yang terdiri dari 3 angka dengan tidak angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah โฆ.
Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka satuan : karena ada syarat bilangan harus ganjil maka angka satuan hanya dapat dipilih
sebanyak 3 cara saja, yaitu diisi dengan angka 1, 3, 5. Misal kita pilih angka 1 sebagai angka satuan.
Angka ratusan : angka ratusan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan sebagai angka satuan, dan jangan lupa angka 0 tidak boleh berada di angka ratusan. sehingga untuk angka ratusan dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu angka 2, 3, 4, 5, 6. Misal kita pilih angka 2 sebagai angka ratusan.
Angka puluhan : angka puluhan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan sebagai angka satuan, dan angka 2 yang digunakan sebagai angka ratusan. Jadi angka puluhan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka 0, 3, 4, 5, 6 saja.
Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:
Angka Ratusan
Angka Puluhan
Angka Satuan
3
5 5
Jadi banyaknya bilangan ganjil terdiri atas 3 angka tidak boleh berulang adalah: 3 ร 5 ร 5 = 75 buah.
Halaman 312 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan kaidah pencacahan menggunakan permutasi. Contoh Soal 1: Berapa banyak cara menempatkan 7 orang duduk dalam satu baris dalam urutan yang berbeda? Penyelesaian: Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan permutasi karena urutan posisi duduk diperhatikan. Sehingga ๐ด๐ต โ ๐ต๐ด. Maka banyaknya posisi duduk adalah sebanyak 7 orang diambil sekaligus semuanya. Tujuh orang disusun secara permutasi sebanyak 7 orang.
7๐7 =7!
(7 โ 7)!=
7!
0!=
7!
1= 7 ร 6 ร 5 ร 4 ร 3 ร 2 ร 1 = 5040
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
๐๐ท๐ = โ๐ฉ๐๐ซ๐ค๐๐ฅ๐ข๐๐ง ๐ฆ๐ฎ๐ง๐๐ฎ๐ซ ๐๐ข๐ฆ๐ฎ๐ฅ๐๐ข ๐๐๐ซ๐ข ๐๐ข๐ฅ๐๐ง๐ ๐๐ง ๐ ๐ฌ๐๐๐๐ง๐ฒ๐๐ค ๐ ๐๐๐ค๐ญ๐จ๐ซโ
7 permutasi 7, bisa diartikan perkalian 7 angka terakhir dari 7.
7๐7 = 7 ร 6 ร 5 ร 4 ร 3 ร 2 ร 1 = 5040 Contoh Soal 2: Dari keseluruhan 7 orang ada berapa banyak cara menempatkan orang duduk dalam satu baris yang terdiri dari 4 kursi dalam urutan yang berbeda? Penyelesaian: Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan permutasi karena urutan posisi duduk diperhatikan. Sehingga ๐ด๐ต โ ๐ต๐ด. Maka banyaknya posisi duduk adalah mengambil 4 orang dari total 7 orang secara permutasi. Tujuh orang disusun secara permutasi sebanyak 4 orang.
7๐4 =7!
(7 โ 4)!=
7!
3!=
7 ร 6 ร 5 ร 4 ร 3 ร 2 ร 1
3 ร 2 ร 1= 7 ร 6 ร 5 ร 4 = 840
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: 7 permutasi 4, bisa diartikan perkalian 4 angka terakhir dari 7.
7๐4 = 7 ร 6 ร 5 ร 4 = 840 Contoh Soal 3: Ada 12 orang calon pengurus OSIS, akan dipilih 3 orang untuk menduduki posisi ketua, wakil ketua, dan sekretaris. Ada berapa banyak cara menyusun pengurus OSIS tersebut? Penyelesaian: Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan permutasi karena urutan posisi jabatan pengurus diperhatikan. Sehingga ๐ด๐ต โ ๐ต๐ด. Maka banyaknya posisi duduk adalah mengambil 3 orang dari keseluruhan 12 orang secara permutasi. Dua belas orang disusun secara permutasi sebanyak 3 orang.
12๐3 =12!
(12 โ 3)!=
12!
9!=
12 ร 11 ร 10 ร 9 ร 8 ร 7 ร 6 ร 5 ร 4 ร 3 ร 2 ร 1
9 ร 8 ร 7 ร 6 ร 5 ร 4 ร 3 ร 2 ร 1= 12 ร 11 ร 10 = 1320
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: 12 permutasi 3, bisa diartikan perkalian 3 angka terakhir dari 12.
12๐3 = 12 ร 11 ร 10 = 1320
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 313
Menentukan kaidah pencacahan menggunakan permutasi dengan ada unsur yang sama. Contoh Soal 1: Berapa banyak cara menyusun kata berlainan dari kata MATEMATIKA? Penyelesaian: Elemen penyusun kata MATEMATIKA adalah M, A, T, E, M, A, T, I, K, A. Maka banyaknya elemen adalah: ๐ = 10 Banyak elemen huruf yang sama adalah: - Huruf M ada sebanyak 2 buah, jadi ๐ = 2. - Huruf A ada sebanyak 3 buah, jadi โ = 3. - Huruf T ada sebanyak 2 buah, jadi ๐ = 2. Jadi banyaknya kata berbeda yang bisa disusun adalah:
10๐(2,3,2) =10!
2! 3! 2!=
10 ร 9 ร 8 ร 7 ร 6 ร 5 ร 4 ร 3 ร 2 ร 1
2 ร 1 ร 3 ร 2 ร 1 ร 2 ร 1= 151.200 kata
Contoh Soal 2: Dalam suatu rak buku terdapat 5 buku Biologi, dan 4 buku Matematika serta 1 buah buku Fisika. Buku-buku tersebut akan disusun dengan ditumpuk dari bawah ke atas. Ada berapa banyak cara berbeda dalam menyusun buku tersebut? Penyelesaian: Elemen penyusun ada 5 buku Biologi, 4 buku Matematika, serta 1 buah buku Fisika. Maka banyaknya elemen adalah: ๐ = 10 Banyak elemen huruf yang sama adalah: - Buku Biologi ada sebanyak 5 buah, jadi ๐ = 5. - Buku Matematika ada sebanyak 4 buah, jadi โ = 4. Jadi banyaknya susunan berbeda dari buku yang bisa disusun adalah:
10๐(5,4) =10!
5! 4!=
10 ร 9 ร 8 ร 7 ร 6 ร 5 ร 4 ร 3 ร 2 ร 1
5 ร 4 ร 3 ร 2 ร 1 ร 4 ร 3 ร 2 ร 1= 1.260 cara
Contoh Soal 3: Ada 3 bendera merah, 1 bendera biru, dan 1 bendera hijau. Bendera-bendera tersebut akan digantung secara vertikal, maka ada berapa banyak cara menyusun bendera tersebut secara berbeda? Penyelesaian: Elemen penyusun ada 3 bendera merah, 1 bendera biru, dan 1 bendera hijau. Maka banyaknya elemen adalah: ๐ = 5 Banyak elemen huruf yang sama adalah: - Bendera merah ada sebanyak 3 buah, jadi ๐ = 3. Jadi banyaknya susunan berbeda dari bendera yang bisa disusun adalah:
5๐(3) =5!
3!=
5 ร 4 ร 3 ร 2 ร 1
3 ร 2 ร 1= 20 cara
Halaman 314 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan kaidah pencacahan menggunakan permutasi siklis. Contoh Soal 1: Tentukan ada berapa banyak cara mengatur posisi duduk 5 orang mengelilingi meja berbentuk lingkaran! Penyelesaian: Mengatur 7 orang duduk secara melingkar, ๐ = 5. Berarti kita gunakan permutasi siklis.
๐๐ ๐๐๐๐๐ = (5 โ 1)! = 4! = 4 ร 3 ร 2 ร 1 = 24 cara
Contoh Soal 2: Berapa cara 10 orang dapat duduk mengelilingi meja bundar apabila ada 2 orang yang harus duduk secara berdekatan? Penyelesaian: Karena ada 2 orang harus duduk berdekatan, berarti 2 orang ini kita anggap menjadi satu kesatuan. Sementara banyak cara menyusun 2 orang yang duduk saling berdekatan sebanyak 2!. Nah, karena 2 orang dianggap menjadi satu, maka dari total 10 orang kini tinggal 9 orang yang akan diatur duduk secara melingkar. Mengatur 9 orang duduk secara melingkar, ๐ = 9. Berarti kita gunakan permutasi siklis.
๐๐ ๐๐๐๐๐ = (9 โ 1)! = 8! Jadi banyaknya cara menyusun 10 orang duduk melingkar apabila ada 2 orang yang harus duduk bersebelahan:
๐ = ๐๐ ๐๐๐๐๐ ร 2! = 8! 2! = 8 ร 7 ร 6 ร 5 ร 4 ร 3 ร 2 ร 1 ร 2 ร 1 = 80.640 cara
Contoh Soal 3: Ada 4 orang siswa kelas X, 3 orang siswa kelas XI, dan 2 orang siswa kelas XII akan berunding duduk mengelilingi meja bundar. Berapa banyak cara duduk apabila siswa satu kelas harus duduk bersebelahan. Penyelesaian: Nah, yang ditanyakan oleh soal adalah banyak cara menyusun 3 kelompok kelas yang akan diatur duduk secara melingkar. Berarti kita gunakan permutasi siklis.
๐๐ ๐๐๐๐๐ = (3 โ 1)! = 2! Sementara banyaknya cara menyusun posisi duduk siswa kelas X adalah sebanyak 4๐4 = 4!. Sementara banyaknya cara menyusun posisi duduk siswa kelas XI adalah sebanyak 3๐3 = 3!. Sementara banyaknya cara menyusun posisi duduk siswa kelas XII adalah sebanyak 2๐2 = 2!. Jadi banyaknya cara menyusun siswa duduk melingkar apabila ada siswa satu kelas harus duduk bersebelahan:
๐ = ๐๐ ๐๐๐๐๐ ร 4! ร 3! ร 2! = 2! ร 4! ร 3! ร 2! = 576 cara
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 315
Menentukan kaidah pencacahan menggunakan kombinasi. Contoh Soal 1: Dari keseluruhan 7 orang ada berapa banyak cara memilih 4 orang untuk dijadikan pengurus RT? Penyelesaian: Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan kombinasi karena urutan posisi duduk tidak diperhatikan. Sehingga ๐ด๐ต = ๐ต๐ด. Maka banyaknya cara memilih adalah memilih 4 orang dari total 7 orang secara kombinasi Tujuh orang dipilih secara kombinasi sebanyak 4 orang.
7๐ถ4 =7!
(7 โ 4)! 4!=
7!
3! 4!=
7 ร 6 ร 5 ร 4 ร 3 ร 2 ร 1
3 ร 2 ร 1 ร 4 ร 3 ร 2 ร 1=
7 ร 6 ร 5
3 ร 2 ร 1= 35
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
๐๐ช๐ = โ(๐ฉ๐๐ซ๐ค๐๐ฅ๐ข๐๐ง ๐ฆ๐ฎ๐ง๐๐ฎ๐ซ ๐๐ข๐ฆ๐ฎ๐ฅ๐๐ข ๐๐๐ซ๐ข ๐๐ข๐ฅ๐๐ง๐ ๐๐ง ๐ ๐ฌ๐๐๐๐ง๐ฒ๐๐ค ๐ ๐๐๐ค๐ญ๐จ๐ซ)
(๐ฉ๐๐ซ๐ค๐๐ฅ๐ข๐๐ง ๐ฆ๐๐ฃ๐ฎ ๐๐ข๐ฆ๐ฎ๐ฅ๐๐ข ๐๐๐ซ๐ข ๐๐ข๐ฅ๐๐ง๐ ๐๐ง ๐ ๐ฌ๐๐๐๐ง๐ฒ๐๐ค ๐ ๐๐๐ค๐ญ๐จ๐ซ)โ
7 kombinasi 4, bisa diartikan perkalian 4 angka terakhir dari 7 dibagi perkalian 4 angka awal.
7๐ถ4 =7 ร 6 ร 5 ร 4
4 ร 3 ร 2 ร 1= 35
Contoh Soal 2: Ada 12 orang siswa yang telah mendaftar, akan dipilih 3 orang untuk menjadi pengurus OSIS. Ada berapa banyak cara menyusun pengurus OSIS tersebut? Penyelesaian: Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan kombinasi karena urutan posisi jabatan pengurus tidak diperhatikan. Sehingga ๐ด๐ต = ๐ต๐ด. Maka banyaknya posisi duduk adalah mengambil 3 orang dari keseluruhan 12 orang secara permutasi. Dua belas orang disusun secara permutasi sebanyak 3 orang.
12๐ถ3 =12!
(12 โ 3)! 3!=
12!
9! 3!=
12 ร 11 ร 10 ร 9 ร 8 ร 7 ร 6 ร 5 ร 4 ร 3 ร 2 ร 1
9 ร 8 ร 7 ร 6 ร 5 ร 4 ร 3 ร 2 ร 1 ร 3 ร 2 ร 1
=12 ร 11 ร 10
3 ร 2 ร 1= 220
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: 12 kombinasi 3, bisa diartikan perkalian 3 angka terakhir dari 12 dibagi perkalian 3 angka awal.
12๐ถ3 =12 ร 11 ร 10
3 ร 2 ร 1= 1320
Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/03/smart-solution-un-matematika-sma-2013_31.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Kaidah Pencacahan (Aturan Perkalian, Permutasi, dan Kombinasi) iniโฆ.
Halaman 316 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Bilangan terdiri dari 4 angka disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 5, 6, dan 7. Banyak susunan bilangan
dengan angka-angka yang berlainan (angka-angkanya tidak boleh berulang) adalah ....
A. 20
B. 40
C. 80
D. 120
E. 360
2. Banyak susunan kata yang dpat dibentuk dari kata โWIYATAโ adalah ....
A. 360 kata
B. 180 kata
C. 90 kata
D. 60 kata
E. 30 kata
Jika adik-adik butuh โbocoranโ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.
Permutasi 4 angka dari 6 angka:
6๐4 =6!
(6 โ 4)! =
6!
2!=
6 โ 5 โ 4 โ 3 โ 2 โ 1
2 โ 1= 6 โ 5 โ 4 โ 3 = 360
Permutasi 6 unsur dari dengan ada 2 unsur yang sama, yakni huruf A: 6!
2!=
6 โ 5 โ 4 โ 3 โ 2 โ 1
2 โ 1= 360 kata
Bisa juga dikerjakan dengan menggunakan aturan perkalian, banyaknya bilangan berbeda yang bisa dibentuk adalah: ๐ = 6 ร 5 ร 4 ร 3 = 360 bilangan
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 317
6. 3. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan peluang suatu kejadian.
Peluang Kejadian
Ruang Sampel Banyaknya Kejadian โsemua kejadian yang mungkinโ โkejadian yang ditanyakan di soalโ ๐(๐) ๐(๐ด)
Peluang Kejadian โbanyak kejadian dibagi banyak ruang sampelโ
๐(๐ด) =๐(๐ด)
๐(๐)
0 โค ๐(๐ด) โค 1
โ โ mustahil pasti
Peluang Kejadian Komplemen โpeluang tidak terjadinya Aโ
๐(๐ด) + ๐(๐ด)๐ถ = 1
๐(๐ด)๐ถ = 1 โ ๐(๐ด)๐ถ
Frekuensi Harapan โbanyak kejadian dalam ๐ kali percobaanโ
๐โ(๐ด) = ๐ ร ๐(๐ด)
Halaman 318 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Peluang Kejadian Majemuk
Peluang Gabungan Dua Kejadian Peluang Dua Kejadian Bersyarat โPeluang Kejadian A atau B โPeluang Kejadian A dan B A dan B mungkin terjadi bersamaโ dengan syarat B telah terjadi" ๐(๐ด โช ๐ต) = ๐(๐ด) + ๐(๐ต) โ ๐(๐ด โฉ ๐ต) catatan: ๐ด โฉ ๐ต โ โ โPeluang Kejadian A dan B dengan syarat A telah terjadiโ
Peluang Dua Kejadian Saling Lepas โPeluang Kejadian A atau B A dan B tidak mungkin terjadi bersamaโ ๐(๐ด โช ๐ต) = ๐(๐ด) + ๐(๐ต) โ ๐(๐ด โฉ ๐ต) catatan: ๐ด โฉ ๐ต = โ
Peluang Dua Kejadian Saling Bebas โPeluang Kejadian A dan B yang tidak saling mempengaruhiโ ๐(๐ด โฉ ๐ต) = ๐(๐ด) ร ๐(๐ต)
๐(๐ด|๐ต) =๐(๐ด โฉ ๐ต)
๐(๐ต)
๐(๐ต|๐ด) =๐(๐ด โฉ ๐ต)
๐(๐ด)
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 319
KONSEP DASAR Menyusun Ruang Sampel. Pada soal UN Matematika SMA beberapa tahun terakhir, materi peluang yang sering ditanyakan adalah menentukan peluang kejadian pada:
- pelemparan dua buah dadu, - pelemparan beberapa mata uang koin, - pengambilan beberapa bola yang diletakkan dalam sebuah kotak dengan atau tanpa pengembalian, - pengambilan beberapa kartu pada kartu bridge atau kartu remi.
Cara menyusun ruang sampel ada berbagai macam cara, diantaranya adalah:
- diagram pohon - tabel - mendaftar anggota
Contoh: Menyusun ruang sampel untuk percobaan pelemparan dua dadu. Menggunakan tabel.
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Menggunakan diagram pohon. Dadu 1 Dadu 2 Hasilnya 1 (1,1) 2 (1,2) 1 3 (1,3) 4 (1,4) 5 (1,5) 6 (1,6) 1 (2,1) 2 (2,2) 2 3 (2,3) 4 (2,4) 5 (2,5) 6 (2,6) 1 (3,1) 2 (3,2) 3 3 (3,3) 4 (3,4) 5 (3,5) 6 (3,6) Awal 1 (4,1) 2 (4,2) 4 3 (4,3) 4 (4,4) 5 (4,5) 6 (4,6) 1 (5,1) 2 (5,2) 5 3 (5,3) 4 (5,4) 5 (5,5) 6 (5,6) 1 (6,1) 2 (6,2) 6 3 (6,3) 4 (6,4) 5 (6,5) 6 (6,6)
Dadu 1
Dadu 2
Halaman 320 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menyusun ruang sampel untuk pelemparan dua mata uang koin. Menggunakan tabel.
A G
A (A,A) (A,G)
G (G,A) (G,G)
Menggunakan diagram pohon. Koin 1 Dadu 2 Hasilnya A (A,A) A G (A,G) Awal A (G,A) G G (G,G)
Menyusun ruang sampel untuk satu set kartu bridge atau kartu remi. Dalam satu set kartu bridge atau kartu remi terdapat 52 kartu (tanpa kartu joker).
Koin 2
Koin 1
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 321
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Menemukan Kejadian Tertentu pada Ruang Sampel Pelemparan Beberapa Koin. Contoh Soal: Dalam pelemparan dua koin tentukan peluang paling banyak muncul satu angka! Penyelesaian: Nah, kejadian paling sedikit muncul satu angka bisa diartikan sebagai berikut:
- muncul 1 angka, 1 gambar. - muncul 2 angka (dua-duanya angka).
A G
A (A,A) (A,G)
G (G,A) (G,G)
Maka peluang kejadian muncul paling sedikit satu angka adalah:
๐(๐ด) =๐(๐ด)
๐(๐)=
3
4
Menyusun TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS: Perhatikan pada tabel ruang sampel tersebut:
Banyak kejadian muncul 0 angka = 1 kejadian Banyak kejadian muncul 1 angka = 2 kejadian Banyak kejadian muncul 2 angka = 1 kejadian
Pada perluasan soal ini untuk pelemparan 3 koin akan menghasilkan ruang sampel sebagai berikut:
Banyak kejadian muncul 0 angka = 1 kejadian Banyak kejadian muncul 1 angka = 3 kejadian Banyak kejadian muncul 2 angka = 3 kejadian Banyak kejadian muncul 3 angka = 1 kejadian
Ingat? Bentuk barisan bilangan berikut: 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 Nah,ternyata TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS untuk menyusun banyak kejadian tertentu pada pelemparan beberapa koin adalah menggunakan bilangan segitiga pascal atau di SMA dikenal sebagai konsep binomial newton, yang tentunya sudah kita kuasai. Contoh TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS: Ruang sampel pada pelemparan 3 koin secara praktis bisa dinyatakan dalam penjabaran bentuk aljabar berikut:
(๐ด + ๐บ)3 = ๐ด3 + 3๐ด2๐บ + 3๐ด๐บ2 + ๐บ3 1 kejadian muncul 3 angka, 3 kejadian muncul 2 angka dan 1 gambar, 3 kejadian muncul 1 angka dan 2 gambar, 1 kejadian muncul 3 gambar.
Koin 2
Koin 1
๐ = kejadian pelemparan dua koin secara bersama-sama ๐ = {(๐ด, ๐ด), (๐ด, ๐บ), (๐บ, ๐ด), (๐บ, ๐บ)} ๐(๐) = 4 ๐ด = kejadian muncul paling sedikit 1 angka ๐ด = {(๐ด, ๐ด), (๐ด, ๐บ), (๐บ, ๐ด)} ๐(๐ด) = 3
Halaman 322 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Jumlah Dua Mata Dadu pada Ruang Sampel Pelemparan Dua Dadu. Contoh Soal: Pada pelemparan dua dadu secara bersama-sama, tentukan peluang munculnya dua dadu berjumlah 9! Penyelesaian: ๐(๐) = 36 ๐ด = kejadian muncul dua dadu berjumlah 9 ๐ด = {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)} ๐(๐ด) = 4 Maka peluang kejadian muncul dua dadu berjumlah 9 adalah:
๐(๐ด) =๐(๐ด)
๐(๐)=
4
36
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Menghafal banyak kejadian jumlah angka pada pelemparan dua mata dadu:
Jumlah angka pada dua dadu 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Banyaknya kejadian 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
Nah, sekarang coba perhatikan dengan jeli tabel dari ruang sampel pelemparan dua dadu berikut:
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Jumlah Dua Mata Dadu
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Kejadian yang
mungkin terjadi
1 + 1 1 + 2 1 + 3 1 + 4 1 + 5 1 + 6 2 + 6 3 + 6 4 + 6 5 + 6 6 + 6
2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 4 2 + 5 3 + 5 4 + 5 5 + 5 6 + 5
3 + 1 3 + 1 3 + 3 3 + 4 4 + 4 5 + 4 6 + 4
4 + 1 4 + 2 4 + 3 5 + 3 6 + 3
5 + 1 5 + 2 6 + 2
6 + 1
Banyaknya Kejadian
1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
Jadi kesimpulan TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS adalah sebagai berikut: Jumlah terkecil dua mata dadu adalah 2 dan jumlah terbesar adalah 12.
Jumlah angka pada dua dadu 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Banyaknya kejadian 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
naik dari 1 sampai 6 lalu turun dari 6 ke 1 lagi
Dadu 1
Dadu 2
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 323
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Pengambilan Beberapa Kelereng di dalam Sebuah Kotak.
Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/04/smart-solution-un-matematika-sma-2013.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Peluang Kejadian iniโฆ.
Halaman 324 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Dua buah dadu dilempar undi bersama-sama satu kali. Peluang muncul mata dadu berjumlah 5 atau 7
adalah ....
A. 9
1
B. 6
1
C. 18
5
D. 3
2
E. 9
5
2. Dalam kotak terdapat 3 kelereng merah dan 4 kelereng putih, kemudian diambil 3 kelereng sekaligus
secara acak. Peluang terambil paling sedikit 2 kelereng putih adalah ....
A. 35
3
B. 35
4
C. 35
7
D. 35
12
E. 35
22
Jika adik-adik butuh โbocoranโ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.
1 2 3 4 5 6 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6
S = kejadian melempar dua mata dadu n(S) = 36
A = kejadian muncul mata dadu 5 n(A) = 4
B = kejadian muncul mata dadu 7 n(B) = 6
Peluang muncul mata dadu berjumlah 5 atau 7: ๐(๐ด โช ๐ต) = ๐(๐ด) + ๐(๐ต)
=๐(๐ด)
๐(๐)+
๐(๐ต)
๐(๐)
=4
36+
6
36
=10
36
=5
18
๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐: Menghafal banyak kejadian jumlah angka pada pelemparan dua mata dadu:
Jumlah angka pada dua dadu 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Banyaknya kejadian 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
S = kejadian mengambil 3 kelereng sekaligus dari 7 kelereng
n(S) = 7C3 =7!
(7 โ 3)! 3!=
7 โ 6 โ 5
3 โ 2 โ 1= 35
A = kejadian terambil 2 kelereng putih dari pengambilan 3 kelereng sekaligus
n(A) = 4C2 โ 3C1 =4!
(4 โ 2)! 2!โ
3!
(3 โ 1)! 1!=
4 โ 3
2 โ 1โ
3
1= 18
B = kejadian terambil 3 kelereng putih dari pengambilan 3 kelereng sekaligus
n(B) = 4C3 โ 3C0 =4!
(4 โ 3)! 3!โ
3!
(3 โ 0)! 0!= 4 โ 1 = 4
Peluang terambil paling sedikit 2 kelereng putih dari pengambilan 3 kelereng sekaligus:
๐(๐ด โช ๐ต) = ๐(๐ด) + ๐(๐ต) =๐(๐ด)
๐(๐)+
๐(๐ต)
๐(๐)=
18
35+
4
35=
22
35