Odabrana poglavlja operacionih istraživanja

SMO SA ČEKANjEM

UVOD

Primena Teorije masovnog opsluživanja (Queueing Theory), koja podrazumeva modeliranje i određivanje performansi različitih sistema masovnog opsluživanja, prisutna je i u logistici, naročito u sistemu rukovanja materijalom. U toj oblasti posebna pažnja posvećuje se sistemima masovnog opsluživanja sa čekanjem.

U zavisnosti od prirode ulaznog potoka, karaktera vremena opsluge, broja kanala opsluživanja, discipline opsluživanja, broja mesta u redu za čekanje i veličine populacije, formuliše se veliki broj modela SMO, a u skladu sa pobrojanim atributima vrši se i notacija SMO-a. Najveći broj SMO-a, kada je u pitanju mogućnost njihovog egzaktnog rešavanja, odnosi se na sisteme kod kojih je ulazni potok Puasonovski, a vreme opsluge eksponencijalno raspodeljeno. Sa druge strane veliki broj procesa u realnosti i ima ove karakteristike, ili karakteristike približne ovima, pa će zbog toga nadalje i biti prikazan SMO sa čekanjem čije su karakteristike, ulazni potok Puasonovski (vremena između nailazaka korisnika su eksponencijalno raspodeljena, broj korisnika koji nailaze u jednakim vremenskim intervalima raspodeljen po Puasonovoj raspodeli), vreme opsluživanja korisnika raspodeljeno po eksponencijalnoj raspodeli, broj kanala opsluživanja je n, disciplina opsluživanja je prvi pristigao prvi opslužen (FCFS – First Come First Served), broj mesta u redu za čekanje neograničen i veličina populacije neograničena.

SISTEM SA ČEKANJEM M/M/n/FCFS//

Neka je intenzitet pristupa korisnika iz neograničenog izvora saobraćaja u sistem, odnosno broj zahteva koji u jedinici vremena postavljaju korisnici iz neograničenog izvora saobraćaja. Dakle, =broj zahteva za opsluživanje/jedinica vremena. Neka je srednje vreme

opsluživanja korisnika u sistemu. Tada je intenzitet opsluživanja = . Ako sistem raspolaže sa n

kanala opsluživanja tri veličine, n, i definišu posmatrani sistem. Ako sistem raspolaže sa neograničenim brojem mesta u redu za čekanje tada sistem ima

neograničeni broj stanja:

x0 - u sistemu nema ni jednog korisnika, svi kanali opsluživanja su slobodni, u redu za čekanje nema ni jednog korisnika

x1 – u sistemu je jedan korisnik, zauzet je jedan kanal opsluživanja, preostalih (n-1) kanala su slobodni, red ne postoji

xk (k<n) – u sistemu je k<n korisnika, zauzeto je k kanala opsluživanja , preostalih (n-k) kanala su slobodni, red ne postoji.

xn – u sistemu su zauzeti svi kanali opsluživanja, red ne postoji.xn+1 – zauzeti su svi kanali opsluživanja, u redu za čekanje je jedan korisnik.

xk (k>n) –zauzeti su svi kanali opsluživanja , u redu čeka (k-n) korisnika.

Intenzitet opsluživanja sistema je za k<n jednak k=k, a za kn jednak k=n.

Graf stanja:

1

X0 X1 Xk<n Xn-1 Xn Xk>n

2 k (k 1) (n 1) n n n n

U uslovima statističke ravnoteže sledi sledeći sistem algebarskih jednačina:

Za k < n uvedimo smenu .

Neposredo sledi da je , k=0,1, ...,n

pa se dobija odakle je

Ako stavimo da je (saobraćaj koji sistem trpi), sledi da je:

, pošto je . (1)

Iz (1), je :

(2)

Za uvedimo smenu da je , pa je rešenje ove jednačine za

, za koje je :

Sledi da je: .

Koristeći i (2) imamo:

(3)

2

Odnosno:

Znajući ovo, iz normirajućeg uslova imamo:

♦ PERFORMANSE SISTEMA SU:

Verovatnoća otkaza sistema, odnosno verovatnoća da če korisnik dobiti otkaz zbog zauzetosti svih kanala opsluživanja:

Verovatnoća opsluge sistema:

Gubitak saobraćaja:

Verovatnoća postojanja reda:

3

ni i i

0 n 1 i ni i 0 i 1 i n

i 0 i n

1 1p , , , , za 1

1 1 1ni! n!

Verovatnoća da će korisnik čekati u redu pre opsluge:

Srednja dužina reda je srednji broj korisnika koji čekaju u redu:

Srednji broj zauzetih kanala je:

Stepen zauzetosti sistema:

Gubitak sistema je gubitak koji sistem trpi zbog nepotpune zauzetosti kanala:

Srednje vreme provedeno u redu:

Srednji broj korisnika u sistemu:

4

Srednje vreme provedeno u sistemu:

Jednokanalni SMO sa čekanjem- Performanse

za n = 1 imamo:

Iz prethodnog zaključujemo da je:

5

♦ Performanse jednokanalnog SMO sa čekanjem su:

Verovatnoća postojanja reda:

Verovatnoća da će korisnik čekati u redu pre opsluge:

Srednja dužina reda je srednji broj korisnika koji čekaju u redu:

Srednji broj zauzetih kanala je:

Stepen zauzetosti sistema:

Srednje vreme čekanja u redu:

Srednji broj korisnika u sistemu:

Dvokanalni SMO sa čekanjem - Performanse

za n = 2 imamo:

6

Iz prethodnog zaključujemo da je:

♦ Performanse dvokanalnog SMO sa čekanjem su:

Verovatnoća postojanja reda:

Verovatnoća da će korisnik čekati u redu pre opsluge:

Srednja dužina reda je srednji broj korisnika koji čekaju u redu:

Srednji broj zauzetih kanala je:

Stepen zauzetosti sistema: Srednje vreme čekanja u redu:

Srednji broj korisnika u sistemu:

7

Kriterijumi za ocenu kvaliteta opsluge

Povoljna organizacija rada sistema sa čekanjem pretpostavlja sa jedne strane dovoljnu zauzetost sistema, a sa druge zadovoljavajući nivo opsluge. Kvalitet opsluge se u najvećoj meri odnosi na vreme provedeno u redu za čekanje. U tom smislu za kvalitetnije opsluživanje se smatra ono koje omogućava što kraće vreme boravka korisnika u redu.

Sistem opsluživanja koji posmatramo u potpunosti je određen trima veličinama . Svakom od ove tri veličine može se na odgovarajući način upravljati. Broj kanala opsluživanja možemo, naravno ukoliko su nam na raspolaganju potrebni resursi, povećavati ili smanjivati, po potrebi. Pristupom korisnika u sistem možemo upravljati tako što ćemo određene kategorije korisnika usmeravati na opsluživanje u vreme manjeg intenziteta saobraćaja. Srednjim vremenom opsluživanja možemo upravljati boljom organizacijom opsluživanja, uvođenjem većeg stepena automatizacije u opsluživanju, ili odlaganjem poslova koji nisu neophodni u datom trenutku za vreme kada su kanali opsluživanja manje opterećeni. su parametri koji se koriste i čijim se variranjem menja kvalitet opsluživanja.

Nezavisno od ovih mogućnosti razmotrimo neke od mogućih kriterijuma za ocenu kvaliteta opsluživanja.

Kriterijum I :

Ovaj kriterijum sadrži u sebi proizvoljnost u odnosu na izbor broja 1. Za dovoljno male vrednosti broja ne može se postići dovoljno veliki stepen zauzetosti sistema. To međutim ne znači da ovaj kriterijum ne može imati i praktične primene, prvenstveno u sistemima većih kapaciteta.

U narednim tabelama date su granične vrednosti za i S, u slučaju kada je =0.1, 0.2, 0.3, 0.4 i 0.5, u zavisnosti od promene broja kanala opsluživanja.

=0.1n 1 2 3 ... 0.3162 0.8288 1.4245 ...S 31.62% 41.44% 47.78% ...

=0.2n 1 2 3 ... 0.4472 1.0711 1.7658 ...S 44.72% 53.56% 58.86% ...

=0.3n 1 2 3 ... 0.5477 1.2492 2.0187 ...S 54.77% 62.46% 67.29% ...

8

=0.4n 1 2 3 ... 0.6325 1.3952 2.2045 ...S 63.25% 69.76% 73.48% ...

=0.5n 1 2 3 ... 0.7071 1.5215 2.3724 ...S 70.71% 76.06% 79.08% ...

Zaključak o efikasnosti upotrebe ovog kriterijuma sledi neposredno iz prikazanih tabela. Značajno je istaći da veći kapacitet pri istom kriterijumu daje povoljnije rezultate u smislu iskorišćenosti sistema. Ovaj rezultat ukazuje na činjenicu da su veliki sistemi efikasniji, odnosno ostvaruju povoljnije rezultate.

Kriterijum II :

Ovo vodi do relacije:

Efikasnost ovog kriterijuma za razne kapacitete sistema n, dozvoljeni saobraćaj i mogući stepen zauzetosti sistema S prikazani su u sledećem tabelarnom pregledu.

n 1 2 3 4 5 ... 0.618 1.509 2.450 3.408 4.539 ...S 61.80% 75.45% 81.67% 85.20% 90.78% ...

Primetimo da za relativno veliko n postižemo enormno visok stepen zauzetosti sistema, što može iz raznih razloga negativno uticati na efikasnost rada sistema.

Kriterijum III :

Kako iz dolazimo do , a inače mora biti ispunjeno , sledi da je III

kriterijum ″oštriji″ od II kriterijuma.

Efikasnost ovog kriterijuma za razne kapacitete sistema n, dozvoljeni saobraćaj i mogući stepen zauzetosti sistema S prikazani su u sledećem tabelarnom pregledu.

9

n 1 2 3 4 5 ... 0.500 1.414 2.370 3.335 4.315 ...S 50.0% 70.7% 79.0% 83.4% 86.3% ...

Više tipova korisnika u SMO-u sa čekanjem

Razmotrićemo situaciju kada se u posmatranom sistemu sa čekanjem opslužuje više vrsta korisnika. Analiziraćemo najjednostavniji slučaj, kada postoje samo 2 tipa korisnika sa različitim

intenzitetima pristupa ( ), kao i različitim vremenima opsluživanja ( ), ne gubeći na

opštosti jer se lako može izvući analogija i za slučaj kada je broj različitih korisnika u sistemu veći od dva.

Neka je ukupni intenzitet pristupa ( ), pri čemu označava intenzitet

pristupa I tipa korisnika, a intenzitet pristupa II tipa korisnika.

pri čemu su srednja vremena opsluge korisnika I i II vrste,

respektivno.

Ovakav sistem može imati kvalitetnu opslugu ″u celini″ kada je ispunjeno , ali to ne znači da tada obe vrste korisnika imaju kvalitetnu opslugu. Kriterijum za kvalitetnu opslugu koji podrazumeva da obe vrste korisnika imaju kvalitetnu opslugu glasi :

Performanse sistema su nezavisni od vrste korisnika.

Opsluživanje u više faza u SMO-u sa čekanjem

Neki procesi opsluživanja modeliraju se kao opsluživanje u više faza, pri čemu svaka od faza predstavlja sistem opsluživanja sa čekanjem i neograničenim brojem mesta u redu za čekanje. Kako je intenzitet izlaska iz prve faze jednak

10

gde je intenzitet pristupa u prvu fazu, to je intenzitet pristupa u drugu fazu, a takođe i u svaku narednu fazu opsluživanja jednak . Tako imamo sledeću šemu za ovako opisan višefazni sistem opsluživanja.

Kvalitet opsluge kod višefaznih sistema sa čekanjem može se posmatrati u celini:

ili pojedinačno za svaku od faza u zavisnosti od potrebe, ili ispunjenja potrebnih uslova.

Analiza vremena čekanja na opslugu

U prethodnim poglavljima prikazali smo neke kriterijume za kvalitetno opsluživanje. Ako je na primer utvrđeno da je srednje vreme provedeno u redu manje od srednjeg vremena provedenog na opsluživanju, odnosno da je po tom kriterijumu opsluživanje kvalitetno, to ne znači da će svi korisnici sistema imati kvalitetnu opslugu. Znači vreme čekanja je uopšte uzevši slučajna promenljiva koju treba analizirati.

Na osnovu postavke problema i izvođenja koje se može pronaći u Primeri primene matematičkih metoda u PTT saobraćaju, autora Dejana Sučevića, izdanje Saobraćajnog fakulteta, dolazi se do izraza koji predstavlja verovatnoću da će slučajni korisnik koji postavi zahtev za opsluživanjem čekati u redu pre nego što bude primljen na opsluživanje:

Ova formula predstavlja osnovu za analizu vremena čekanja na opsluživanje. Izražena u procentima ova formula govori o procentu korisnika čije će vreme provedeno u redu biti duže od zadatog t. Očigledna je relacija:

Verovatnoća da će vreme čekanja biti između :

11

Verovatnoća da će vreme čekanja biti veće od srednjeg vremena opsluživanja:

Ova verovatnoća izražena u procentima pokazuje koji procenat korisnika neće imati kvaliutetnu opslugu. 1- izražena u procentima, nasuprot prethodnom, govori o tome koji procenat korisnika ima kvalitetnu opslugu.

Verovatnoća da će vreme čekanja u redu biti veće od srednjeg vremena čekanja:

Opsluživanje u neodentičnim kanalima

Kanali opslužuju različitim brzinama. Korisnici stižu sa intenzitetom i staju u jedinstven red. Treba organizovati razdvajanje tog jedinstvenog reda na npr. dva reda, koji bi se ″punili″ intenzitetima i ( ).

Broj kanala prvog tipa je , a srednje vreme opsluge na tim kanalima je . Broj kanala

drugog tipa je , a srednje vreme opsluge je . Naravno, važi da je .Zaključujemo da se sistem deli na dva podsistema:

12

Uslov ujednačenosti kvaliteta je da srednje vreme boravka u podsistemima bude jednako:

Ako su poznati svi podaci osim ( ), možemo zapisati:

(1)

pa dobijamo jednačinu po nepoznatoj :

Rešenje jednačine (1) određuje 1, odnosno određuje procenat korisnika koji treba uputiti

na opsluživanje na kanalima podsistema A. Lako možemo da odredimo i 2, odnosno procenat korisnika koji treba uputiti na opsluživanje u podsistemu B.

13