so 3 - 2009

7/23/2019 So 3 - 2009

1/107

T p ch Ton h c MathVn S 03-2009

S 03 - Nm 2009

T p ch Ton H c dnh cho H c sinh - Sinh vin Vi t Nam

1

7/23/2019 So 3 - 2009

2/107


M c l c

Cu chuy n Ton h c

Ton h c v i n nh Dng T n V 03

Bi vi t chuyn

Php Ngh ch o trong gi i v ch ng minh Hnh h c ph ng Nguy n Lm Minh 11

Applying R,r,p - method in some hard problems Tran Quang Hung 26

Cc phng php tnh tch phn Nguy n Vn Vinh 34

Bi ton Kakeya Phan Thnh Nam,M ch Nguy t Minh

43

Bi vi t Chuyn D ch thu t

Phng trnh v b t phng trnh hm s inh Ng c Vng 56

B n c Tm ti

B n cc t p ng l ng nhau Tr n B t Phong 71

Cu c thi gi i Ton MathVn

Ton dnh cho H c sinh 75

Ton dnh cho Sinh vin 76

Cc v n m 77

L i gi i k tr c 78

Nhn ra th gi i

K thi Qualify cho nghin c u sinh M 89

Olympic H c sinh Sinh vin

Olympic Sinh vin Kiev 2009 93

Olympic Xc su t Kolmogorov 2009 94

K thi TST Vi t Nam 2009 - thi v bnh lu n Tr n Nam Dng 96

Sai l m u?

o Metric Phan Thnh Nam 103

2

7/23/2019 So 3 - 2009

3/107


Cu chuy n Ton h c

Ton h c v i n nh

Dng T n V, H c sinh tr ng THPT Qu c H c - Hu

T t c chng ta i u ng c nhin b i nh ng hnh nh vi tnh gi ng th c n m c khng th tin c trong nh ng b phim. Nhng h u h t chng ta khng nh n ra r ng nh ng con kh ng longtrong Cng vin k Jura v nh ng k quan c a Cha t c a nh ng chi c nh n - c bi t nh t lnhn v t Gollum - s khng th c c n u khng c Ton h c.

Nh ng hnh nh ng kinh ng c ny c lm ra nh th no? h a vi tnh v t m nhn mytnh l nh ng v n r t l n. Trong bi vi t ny, chng ta s c m t ci nhn n gi n vo vi y ut ton h c c n dng i n s n ph m cu i cng. u tin, chng ta xy d ng m t th gi i th y trong phim, v sau mang chng ra i th c.

D ng c nh

B c th nh t trong vi c lm m t b phim vi tnh l t o ra nh ng nhn v t trong truy n v thgi i chng s ng. M i i t ng c lm m hnh nh m t b m t ph b i cc a gic lin k t nhau (th ng l tam gic). Cc nh c a m i tam gic c lu trong b nh my tnh. Bi t mno c a tam gic n m ngoi b m t v t th hay nhn v t cng r t quan tr ng. Thng tin ny cm ha b ng th t cc nh c lu vo, theo quy t c inh c (quy t c n m tay ph i): Khum cngn tay c a bn tay ph i vng quanh tam gic theo chi u c quy nh b i cc nh. Ch c m

3

7/23/2019 So 3 - 2009

4/107


cch duy nh t lm i u ny v ngn tay ph i s ch v m t pha c a tam gic - pha l phangoi. N u b n th v i m t v d , b n s th y chi u h ng ra ngoi (php tuy n ngoi) c a tamgic (A,B,C ) s ng c chi u v i c a tam gic (A,C,B ).

(A,B,C ) (A,C,B )

By gi b m t c a v t th l m t m ng l i nh ng tam gic, chng ta s p s a t nh ng thnhph n c a n. i u quan tr ng y l ph i b t gi nh sng th c t c a khung n n chng ta anglm m hnh, i u ny c th c hi n b ng quy trnh g i l ray tracing. B t u t i m nhn,chng ta k nh ng tia tr l i h ng vo v t th v chng ph n x qua n. N u m t tia t mchng ta ph n x qua b m t (m t trong nh ng m t l i tam gic) v giao v i ngu n sng, thchng ta t b m t n b i m t mu sng khi xu t hi n chng nh b chi u sng b i ngu n snN u tia khng giao v i ngu n sng chng ta t m t mu t i hn.

v m t tia tr l i m t b m t, chng ta c n m t b m t m t cch ton h c bao g m nh n ng th ng v m t ph ng c m t b i b m t . i u ny c th c hi n b ng vi c s dVect. Chng ta t m t h t a khng gian 3 chi u ln phng n n v i i m g c (0, 0, 0) - t t ii m nhn c a chng ta. M t vect v = ( a,b,c) by gi bi u th m t mi tn t g c n i m c t a (a,b,c). Chng ta c th nhn v v i m t s , 2 ch ng h n, theo quy t c 2v = 2( a,b,c) = (2 a, 2b,2c).V y 2v l m t mi tn c v cng h ng v i v nhng di g p i.

Xt bi u th c v v i bi n l m t s th c no . y khng cn hi n th m t mi tn v ichi u di xc nh n a, v chi u di tr thnh bi n, ch c h ng l xc nh thi. Ni cch kh

4

7/23/2019 So 3 - 2009

5/107


bi u th c ny m t m t ng th ng ch a vect v. N m t m t ng th ng - m t tia pht rat i m g c nhn theo h ng c cho b i vect v.

M t ph ng c xc nh b i b m t tam gic c th c miu t b i 3 m u thng tin: t a m t nh-g i l nh a 1 , hai vect th hi n 2 ng th ng t nh a 1 n nh a 2 v t nh a 1 n nh a 3 .

D i y cho th y phng trnh c a m t tia t m t chng ta v phng trnh m t ph ng ccho b i m t b m t. tm ra tia c c t b m t khng v n u c th c t u v l p phntrnh c a tia ph n x , chng ta c n gi i nh ng phng trnh bao g m 2 bi u th c ny.

Phng trnh c a m t tia, v i l m t s th c v v l m t vect:

r = v

Phng trnh c a m t ph ng c xc nh b i b m t v i cc nh a 1 , a 2 v a 3 :

r = a 1 + 1 (a 2 a1 ) + 2 (a 3 a 1 )Ray tracing c th t o ra nh ng khung c nh th c t nhng n r t ch m. N c th ch p nh n c i v i nh ng b phim vi tnh, nhng s tr thnh m t v n khi b n c n s thay i n

sng trong th i gian th c, v d nh tr chi vi tnh. Nh ng hi n t ng ph c t p nh bng, tquang, nh ng ph n x ph c t p r t kh lm m u s ng ng. Nhi u phng ti n ton h c pht p, v d nh 1 v 2 s c s d ng y.

1 http : // en .wikipedia .org / wiki / Precomputed _ Radiance _ Transfer2 http://en.wikipedia.org/wiki/Radiosity

5

7/23/2019 So 3 - 2009

6/107


T t c nh ng g ph i c n l m t cht t ng t ng

M t khi khung c nh c thi t l p v chi u sng, chng ta v n ang i o di n ni Actionv nh ng nhn v t c a chng ta b t u chuy n ng. By gi chng ta s ki m tra r ng ton h cc th mang nh ng nh ng hnh nh c a chng ta n v i cu c s ng khng.

M t trong nh ng chuy n ng c b n m vt th trnh di n l s xoay trn quanh m t tr c chotr c v qua m t gc cho tr c. Hnh h c t a cho chng ta nh ng cng c tnh v tr cm i i m trn v t th sau khi chng c xoay, nhng i u quan tr ng l nh ng cng c ny phnhanh v hi u qu .

tm nh ng cng c ny, hy li m t b c tr l i l p h c mn Ton. Chng ta bi t r ng chai cn b c hai c a 25 l: 5 v 5 v (5)

2 = 25 . Nhng cn b c hai c a -25 l bao nhiu? tmcn b c hai c a m t s m, nh ng nh ton h c xy d ng m t s m i, g i l i, v i i2 = 1. V yv (5i)

2 = 25 i 2 = 25 nn chng ta tm ra r ng 25 = 5i S a vo s i c ngha l phngtrnh nh x2 = 1 by gi c th gi i c. V nh ng s c d ng z = x + iy, g i l s ph c, trthnh m t cng c quan tr ng trong ton h c. Nhng nhi u ng i khng vui v i s o i m i l ny.Cu i cng vo nm 1806 nh ton h c nghi p d Jean-Robert Argand a ra m t gi i thch

hnh h c v s ph c v s i. Argand lin k t nh ng s ph c v i nh ng i m trn trn m t ph ngr ng s th c 1 n m trn m t tr c v s o i n m trn tr c khc. V d s 1 + i tng ng v i i m(1, 1). M t cch t ng qut s a + ib tng ng v i i m (a, b).

Argand nh n ra r ng php nhn v i s ph c m t m t ni m hnh h c: php quay. Hy xemchuy n g xy ra n u ta nhn s 1 + i, bi u di n b i i m (1, 1), v i i

i(i + 1) = i 1 = 1 + is m c bi u di n b i i m (1, 1), m t php quay v i gc 90

. L i nhn v i i ta c:

i(1 + i) = i 1 = 1 i6

7/23/2019 So 3 - 2009

7/107


chnh l i m (1, 1), m t php quay 90 . Nhn v i i l m t "l nh" quay 90 ! Th c t , b t c

s quay no, khng ch 90 , c th t t c b ng php nhn v i m t s ph c.

Ti n t i 3D

Nh ton h c Sir William Rowan Hamilton c ng hi n 20 nm cu i i cho vi c tm ki m cchbi u di n php quay ba chi u tng t nh vi c s ph c c th bi u di n php quay trong khngian 2 chi u.

n cu i i Hamilton khm ph ra cu tr l i, trong hnh th c c a m t ci g ng g i lquaternion - l nh ng s c d ng

q = a 0 + a1 i + a2 j + a3 k

V i i2

= j2

= k2

= ijk = 1 v a 0 , a 1 , a 2 , a 3 l cc s th c.Cng ch nh chng ta lm v i s ph c, chng ta c th m t quaternion m t cch hnh h c

v s d ng chng m t php quay. Nhng l n ny l php quay trong khng gian 3 chi u.

lm i u ny, i, j v k ph i m t nh ng m t ph ng c b n trong khng gian 3 chi u: li m t m t ph ng yz, j cho m t ph ng xz v k cho m t ph ng xy v i php tuy n ngoi l n l ttheo h ng x, y v z.

i, j k

7

7/23/2019 So 3 - 2009

8/107


Gi s chng ta c n quay i m a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) m t gc qua tr c i qua g c t a v cho b ivect (b1 , b2 , b3 ). Chng ta xy d ng 2 quaternion q 1 v q 2 s d ng vect tr c b v gc quay

q 1 cos(/ 2) + sin( / 2)(b1 i + b2 j + b3 k)

vq 2 = cos( / 2) sin(/ 2)(b1 i + b2 j + b3 k)

Sau chng ta c th nhn a ( c bi u di n b ng s k t h p cc vect n v theo h ng x, yv z) v i 2 quaternion (tun theo cc quy t c c bi t trong nhn nh ng m t ph ng i, j v k v icc vect n v ), ta c:

a = q 1 aq 2

Th ra r ng i m a cho b i php nhn ny chnh xc l i m c c khi b n quay a quay quanhtr c cho tr c m t gc ! V y cng nh s ph c c th c dng miu t s quay trn m tph ng, th quaternion c th c s d ng m t s quay trong khng gian 3 chi u.

nh sng le ln trong Hamilton, khi ng i b d i ci c u Dublin, ha ra l cch hi uqu nh t quay m t v t th trong khng gian 3 chi u. Nhng khng ph i m i ng i vui vphng php nhn m i m ny c a ng. Lord Kelvin, nh v t l, ni v quaternion:

C i u c bi t ng ng i v i m t s ng i l khi b n nhn 2 quaternion, k t qu ph thu c vth t b n nhn chng, m t c tnh g i l khng giao hon . V d , t quy t c nhn c a Hamilton,c th th y r ng ij = k v ji = k. Tuy nhin khi m t ng i xem i, j v k nh nh ng m t ph ngc b n, th nh ng c tnh, ci gy lo l ng cho Kelvin v nh ng ng i cng th i v i ng, ch l sira tr c ti p t ton h c.

Mang nh ng hnh nh vo cu c s ng

Pht minh c a Halminton by gi c s d ng trong nhi u ng d ng h a di chuy nv t th hay t o s v n ng. Hai cng c quan tr ng nh t trong h a vi tnh l s bi n hnhv php n i suy. Php n i suy v k thu t c a keyframing bao g m xc nh hnh d ng, v tr ban u v k t thc c a v t th v my tnh s th c hi n nh ng cng vi c gi a, nh th y trong hnh sa

S bi n hnh l cch d ng nh ng v t th ph c t p t nh ng ci n gi n hn. M t t m v i rvo m t qu c u mo, nh hnh d i, c th nh n c t s v n d ng ton h c vo vo khunc nh c a qu c u bnh th ng. C bi n hnh v n i suy u yu c u nh ng k thu t ton h c nhanchng v n nh v nh ng phng php lin quan n quaternion s cung c p nh ng th .

8

7/23/2019 So 3 - 2009

9/107


Lm cho Gollum nh th t!

Nh ng k thu t c miu t trn l nh ng cng c thi t y u trong ho t hnh c i n, v chnta th t s vui khi tin t ng nh ng thnh qu c a chng trong nh ng nhn v t ho t hnh. Nhngkhi lm con ng i chng ta ngay l p t c nh n ra r ng n khng ng. xy d ng nh ng chuy n

9

7/23/2019 So 3 - 2009

10/107


ng th c t , th ng th ng ph i i h i k thu t b t gi chuy n ng.

Nhi u nhn v t, nh Gollum trong phim Cha T C a Nh ng Chi c Nh n ch ng h n, c xyd ng s d ng cch b t gi chuy n ng ny. i u ny c th c hi n b ng vi c g n nh ng gph n x trn ng i th t nh ng i m chnh trn c th : u, vai, khu u tay, u g i. . . Nh ng cth c quay phim b ng nh ng nh ng my quay a chi u v nh ng thay i v tr c a gng phx s c lu tr trn m t my tnh. M t b xng s c t vo khng gian 3 chi u o. Ccng, t t c k thu t c m t trn c s d ng t th t vo xng v t o m t nhn vs ng, th v chuy n ng.

N u b n t ng l i xem ton b o n gi i thi u b n s nh n ra r ng c r t nhi u ti nn

sng t o khi lm m t b phim thnh cng: tc gi , o di n, di n vin, thi t k trang ph c, d ngc nh... danh sch cn ti p t c. Nhng m t ci tn th ng b b qun - l Ton h c. R t nhi ub phim ngy nay s khng th c c n u khng c Hnh h c c a vi c v tia v quaternion quay nh ng v t th trong khng gian. V y l n sau b n vo gh ng i r p chi u phim th nth c m t quang c nh CG, hy gi cao b ng ng c a b n cho Ton h c - ngi sao l ng l c a bubi u di n. Hy th nh!

10

7/23/2019 So 3 - 2009

11/107


Bi vi t Chuyn MathVn

Php Ngh ch o - ng d ng trong gi i vch ng minh Hnh h c ph ng

Nguy n Lm Minh 1 , H c sinh tr ng THPT chuyn L H ng Phong, Tp. HCM

I - nh ngha - Tnh ch t

1.1. nh ngha

H i cn h c THCS, c m t bi ton kh quen bi t:

"Cho (O ). M t i m A n m ngoi ng trn (O ). V ti p tuy n AK n (O ) ( K (O )). M t ct tuy n b t k t A n (O ) c t (O ) l n l t t i 2 i m M, N . Khi , ta lun c AK 2 = AM.AN " . r ng c v i m t i m M 0 b t k n m trn ng trn (O ) th lun t n t i m t i m N 0

khc l giao i m cu (O ) v K M 0 sao cho AM 0 .AN 0 = AK 2 . Khi cho M 0 K th N 0 K .Php ngh ch o c xy d ng d a bi ton quen thu c bn trn. T c l, v i m t i m O c

nh n m trn m t ph ng v m t s h ng s k = 0 . N u ng v i m i i m P cu m t ph ng khcv i i m O, ta tm c m t i m P khc n m trn OP sao cho OP.OP = k th php bi n hnhbi n P P c g i l php ngh ch o c c O, phng tch k. Ta k hi u php bi n hnh ny l I (O, k ) hay f (O, k ). Trong bi vi t ny, tc gi i s s d ng k hi u f (O, k ) v f (P ) = P s m chP l nh cu P qua php ngh ch o c c O, phng tch k.

1.2. Tnh ch t

a) Php ngh ch o c tnh ch t i h p. V OP .OP = k = OP .OP . Do P = f (P ) v ng cl i P = f (P ). Nh v y f f (P ) = P hay f 2 l php m t ng nh t.

b) N u k > 0 th hai i m P, P n m cng pha i v i O . ng trn (O, k) lc ny c g il ng trn ngh ch o cu php ngh ch o f (O, k ). Khi cc i m M m tho mn f (M ) = M c g i l cc i m kp cu php ngh ch o f (O, k ). Hn n a, t p h p cc i m ny l (O, k).

N u k < 0 th hai i m P, P n m v hai pha khc nhau i v i O. Trong tr ng h p ny skhng xu t hi n i m kp i v i f (O, k ) do ng trn ngh ch o cu f (O, k ) s c g i l ng trn bn th c , trong tm cu ng trn l th c v bn knh cu ng trn l o.

Khi M cng ti n l i g n O l c c ngh ch o th nh cu th f (M ) s cng ti n xa O , t c l n uM O th f (M ) .

c) Php ngh ch o f (O, k ) c phng tch k > 0 v P, P l nh c a nhau qua php ngh ch of (O, k ) th m i ng trn qua 2 i m P, P u tr c giao v i (O, k) (Hai ng trn (O ), (O ) c g i l tr c giao v i nhau n u 2 ti p tuy n t i 1 giao i m cu (O ) v (O ) vung gc v i nhau).Hn n a, m i ng trn (C) qua P, P u bi n thnh chnh n qua f (O, k ), v i k > 0.

1 Email: [email protected]

11

7/23/2019 So 3 - 2009

12/107


d) N u (O1) v (O2) l n l t tr c giao v i (O, k), k > 0 v (O1), (O2) l n l t c t nhau ta haii m th hai i m ny s l nh cu nhau qua php ngh ch o f (O, k ).

e) Php ngh ch o f (O, k ), k = 0 . Th v i hai i m A, B khng th ng hng v i c c ngh ch o,ta lun c A,B, f (A), f (B ) l cc i m ng vin.f) t A = f (A) v B = f (B ) khi A B = |k|.

ABOA.OB

.

Tuy nhin ta lu r ng kh ng nh f (O, k ) : AB A B l sai!.Tnh ch t nh cu m t ng th ng hay m t ng trn qua php ngh ch o s c pht bi

ngay sau y:

T nh nghi ban u, ta bi t c r ng m t ng th ng d b t k qua c c ngh ch o Oth qua f (O, k ), d bi n thnh chnh n.

M t ng th ng d b t k khng i qua O- c c ngh ch o th qua f (O, k ), d s bi n thnhm t ng trn (C ) i qua c c ngh ch o.

Th t v y, ta g i P l hnh chi u cu O ln d v P l nh cu P qua f (O, k ). G i A l i mb t k n m trn d v A l nh cu A qua f (O, k ). Khi y, ta c OP.OP = OA.OA = k, t suy ra A P O ng d ng P AO . Suy ra APO = A P O = 90 , i u ny ni ln A n m trn ng trn ng knh OP . Hn n a, tm cu (C ) s l nh cu i m i x ng v i O qua d quaphp ngh ch o c c O , phng tch k .

o l i, n u ng trn (C ) i qua c c ngh ch o O. Khi , qua f (O, k ), (C ) bi n thnh ng th ng d khng qua c c ngh ch o.G i P l i m i x ng cu O qua tm ng trn (C ) v P l nh cu P qua f (O, k ).

V i A l i m b t k n m trn (C ) (A

= O), ta g i A l nh cu A qua f (O, k ). Cng nh

ch ng minh cu tnh ch t bn trn, khi , ta c OP A ng d ng v i OAP . T suy raOP A = OAP = 90 . Do m i i mA s n m trn ng th ng i quaP v vung gc v iOP .

V i m i ng trn (C ) khng qua c c ngh ch o O th qua f (O, k ), (C ) s bi n thnh (C )cng khng i qua c c ngh ch o.L y m t i m M b t k n m trn (C ) v M l nh cu M qua f (O, k ). Khi , ta c

OM.OM = k. G i N l giao i m th hai cu OM v (C ) v p l phng tch cu O i v i(C ), ta c OM.ON = p. T suy ra OM = k p ON .

H th c ny ch ng t r ng M l nh cu N qua php v t tm O, t s k1 = k p . Khi M ch yv ch nn (C ) th N cng ch y v v ch nn ng trn (C ), cn M s v ch nn (C ) l nh cu(C ) qua

H(O, k 1). Do (C ) l nh cu (C ) qua f (O, k ). V (C ) khng qua c c O , hi n nhin (C )

cng khng qua c c O .

Tuy nhin tm cu (C ) s khng bi n thnh tm cu (C ) qua f (O, k ).

g) Php ngh ch o b o t n gc gi a 2 ng trn (hay gi a m t ng trn v m t ngth ng, hay gi a hai ng th ng).

Tnh ch t g bn trn l m t tnh ch t quan tr ng cu php ngh ch o nn tc gi i s c g ngtrnh by th t chi ti t v d hi u cho b n c.

12

7/23/2019 So 3 - 2009

13/107


Ta nh ngha th no l gc gi a hai ng cong:

nh ngha. Cho hai ng con (C 1) v (C 2) c t nhau t i m t i m A no v t i , ta d ng cc ti p tuy n cu (C 1) v (C 2). Khi , ta nh ngha gc gi a hai ng cong (C 1) v (C 2)l gc gi a hai ti p tuy n t i A cu chng .

Ch ng minh Tr c tin, ta xt b sau:

B . Cho f (O, k ) bi n ng cong (C ) thnh ng cong (C ). N u A, A l hai i m tng ng trn (C ), (C ) v t i chng c cc t p tuy n th cc ti p tuy n ny i x ng v i nhau qua

ng trung tr c cu o n AA .

Th t v y, ta g i M l m t i m n m trn (C ) v M l nh cu M qua f (O, k ), suy ra M n mtrn (C ). Ta l i c OM.OM = OA.OA = k , suy ra M, M , A , A n i ti p.G i (K ) l ng trni qua A, A , M , M . Cho M A, khi y M A . Do MA,M A l n l t suy bi n thnhti p tuy n t v t t i A, A cu cc ng cong (C ), (C ) tng ng v (K ) suy bi n thnh ngtrn (K ) ti p xc v i ng cong (C ) v (C ) l n l t t i A v A . R rng lc ny, t v t s lti p tuy n t i A v A cu (K ) tng ng. T suy ra, t v t i x ng nhau qua ng trungtr c cu AA .

Ch ng minh tnh ch t

Gi s qua php ngh ch o f , hai ng cong (C ) v (D ) c t nhau t i m t i m A bi n thnh ng cong (C ) v (D ) c t nhau t i A = f (A).

Theo b cc ti p tuy n At v A t cu (C ) v (C ) t i A v A i x ng nhau qua trung tr cc a AA v cc ti p tuy n Au v A u cu (D ) v (D ) t i A v A cng i x ng nhau qua trungtr c c a AA . T suy ra (A t , A u ) = (At, Au ).

II - V p cu php ngh ch o trong ch ng minh cc bi ton hnh h c ph ngTa kh i ng v i bi ton quen thu c, t ng xu t hi n nhi u trong cc k thi trong n c, g n

y nh t l k thi tuy n sinh THPT nm h c 2009-2010.

Bi ton 1. Cho ABC n i ti p ng trn tm (O ). G i B0 , C 0 l n l t l hnh chi u cu B, C trn AC,AB . Ch ng minh r ng ti p tuy n t i A cu ng trn (O ) song song v i B0C 0 , t suy ra AO B 0C 0 .

L i gi i

13

7/23/2019 So 3 - 2009

14/107


Tr c tin d th y c r ng B , C 0 , B 0 , C ng vin. Do AB.AC 0 = AC.AB 0 = k. Xt phpngh ch o c c A , phng tch k, ta c I (A, k ) : B 0 C , C 0 B . V v y I (O, k ) : B 0C 0 (O ).G i ta l ti p tuy n t i A cu (O ) th ta c I (A, k ) : ta d. M t khc ta ti p xc (O ) do ta ||B 0C 0 (php ngh ch o b o t n gc). Khi y, ta c ngay OA B 0C 0 (V OA t a )

Bi ton trn l m t bi ton thu c d ng kinh i n v quen thu c. Nhi u b n th m ch l cc b nTHCS khng g p kh khn m y khi ch ng minh bi ton trn. Trn trang website www.mathlinks.roc n "hng t" cch gi i cho bi ton ny, trong c m t cch ch thu n ty bi n i gc. Ring sau cu bi ton trn v n c th ch ng minh c m khng c n dng n u. Th t v y, ta bi t qua php ngh ch o c c A , phng tch k , I (A, k ) : B 0C 0 (O ). Do d O s l nh cu i m i x ng v i A qua B 0C 0 . R rng ta c ngay AO B 0C 0 . Hn n a, t ny, ta cn c th ch racc ng th ng l n l t qua A,B, C vung gc v i C 0B 0 , A 0C 0 , A 0B 0 th ng quy v i nhau t i O .

Bi ton bn trn c m t d ng t ng qut hn. Chng ta cng xt d ng t ng qut cu bi tonny qua bi ton ti p theo.

Bi ton 2. Cho ABC n i ti p ng trn tm (O ). M t ng trn (O ) b t k i qua B, C tho mn n c t o n

AB,AC l n l t t i

B0, C

0 . G i A

0 l giao i m cu B

0C

0. M t ng trn (K ) c tm n m trn B0C 0 ti p xc v i AA 0 t i A . Ch ng minh r ng A0 v O l hai i m lin h pv i nhau qua (K ).

L i gi i

ch ng minh A 0 , O l hai i m lin h p v i nhau qua (K ). Ta s ch ng minh r ng ng trn ng knh A0O tr c giao v i (K ). G i (K 0) l ng trn ng knh A0O . Do ta s ch ngminh phng tch t K n (K 0) b ng R 2 , trong R l bn knh cu (K ). M t khc, t gi thi t,ta suy ra c A0AK l tam gic vung A. Do n u g i A l hnh chi u cu A ln B0C 0;khi y ta nh n c R2 = AK 2 = KA .KA 0 . Do v y ta s ch ng minh A (K 0). i u ny tngng v i vi c ch ng minh A, O,A th ng hng (). V y chnh l m r ng cu Bi ton 1 mtc gi i mu n ni v i b n c. By gi , ta s ch ng minh ().

14

7/23/2019 So 3 - 2009

15/107


Th t v y, qua php ngh ch o c c A , phng tch k = P A/ (O ) , ta c I (A, k ) : B 0 B , C 0 C .Do B0C 0 (ABC ). T suy ra c AOB 0C 0 . i u y ch ng t A,O, A th ng hng. T suy ra i u ph i ch ng minh. .Bi ton 3. ( nh l Ptolme) Ch ng minh r ng i u ki n c n v m t t gic l i n i

ti p c l tch hai ng cho cu n b ng t ng cu tch hai c nh i di n.

L i gi i

Xt t gic ABCD . Xt php ngh ch o c c D , phng tch k b t k. Th I (D, k ) : A A ,B B , C C . Nh v y ABCD l t gic n i ti p khi v ch khi A , B , C th ng hng. i u nyx y ra khi v ch khi A C = A B + B C hay ni cch khc l:

|k| AC DA.DC = |k| ABDA.DB = |k| BC DB.DC Nhn hai v cho DA.DB.DC. |k|, ta thu c: AC.BD = AD.BC + AB.DC nh l Ptolme l m t bi ton quen thu c i v i cc em h c chuyn su v ton THCS

v cch gi i ph bi n cu nh l ny l cch g i thm i m D 0 tho mn D 0DC = BAC ,D 0CD = BC A t o c p tam gic CD 0D v CBA ng d ng nhau v m t c p ngd ng khc, xu t hi n m t khu bi n i gc. R rng d i quan i m c a php ngh ch o, l Ptolme tr nn khng h m t cht kh khn trong vi c suy ngh g i thm y u t ph ! Lu r ng b ng phng php dng php ngh ch o, tng t ta cng ch ng minh c nh l m r

"i u ki n c n v m t a gic l i trn m t ph ng A1A2 ...A n , n 4 n i ti p ng trn l:

n

1

i =2 Ai A i +1 ( k=1 A1Ak ) = A 2An .A 1A3 ...A 1An 1" Ti p theo l m t ng d ng khc cu php ngh ch o trong m t bi ton cu Nga (Lin X

tru c y) ngh trong k thi IMO 1985.

Bi ton 4. Cho tam gic ABC . M t ng trn tm O i qua i m A, C v c t l i o n AB,BC theo th t tai hai i m phn bi t K, N . Gi s cc ng trn ngo i ti p tam gic ABC v KBN c t nhau t i ng hai i m phn bi t B, M . Ch ng minh r ng: OMB = 90.

L i gi i

15

7/23/2019 So 3 - 2009

16/107


G i R l bn knh cu ng trn tm (O ) ni trn. G i P KN AC , S KC AN . Theom t k t qu quen thu c th B s l c c cu P S qua (O ) v ng c l i P s l i c c cu BS qua(O ). Do S s l i c c cu BP qua (O ). G i M OS BP , ta c ngay OM BP . M t khc,ta l i c BS OP (Do BS l ng i c c cu P qua (O )), tng t P S OB . Ta suy ra c S l tr c tm BOP . Do n u g iB BS OP , ta c ngayB l nh cu P qua I (O, R 2). Ta l i c I (O, R ) : A A , C C . Do v y AC (OAC ), P AC B (OAC ) PO.PB = PA.PC .M t khc, d th y B, M , B , O ng vin do P M .P B = PO.PB P M .P B = PA.PC

M (ABC ). r ng PA.PC = PK.PN = P M .P B , do M (BKN ). Hay ni cchkhc M (BKN ) (ABC ) M M . Ta c ngay i ph i ch ng minh .Bi ton trn cng l m t d ng bi kinh i n. C t i nh ng ba cch ch ng minh cho bi ton

trn trong c m t cch bi n i gc v di cc c nh kh c u k. M t l n n a, v i quan i mphp ngh ch o l i cho ta m t l i gi i p "thu n" tnh l thuy t, khng h m t cht tnh ton chbi ton c m p bn trn. Cng xin ni thm, i m M trong bi ton c tn g i l i m Miquel i v i t gic ton ph n (BA,BC,PK,PA ) c nhi u tnh ch t th v s c gi i thi u trong bi

vi t k khc.Ta ti p t c xem xt m t ng d ng khc cu php ngh ch o qua bi ngh IMO cu Bulgari

nm 1995.

Bi ton 5. Cho A,B,C,D l b n i m phn bi t n m trn m t ng th ng v c s p x ptheo th t . Cc ng trn ng knh AC , BD c t nhau t i cc i m X, Y . ng th ng XY c t BC t i Z . Cho P l m t i m trn ng th ng XY khc Z . ng th ng CP c t ng trn ng knh AC t i C v M , ng th ng BP c t ng trn ng knh BD t i B v N . Ch ng minh r ng: AM, DN, XY ng quy.

L i gi i

16

7/23/2019 So 3 - 2009

17/107


G i (C 1) l ng trn ng knh AC , (C 2) l ng trn ng knh BD . P n m trntrn XY l tr c ng phng cu (C 1) v (C 2) do P P/ (C 1 ) = P P/ (C 2 ) . Ni cch khc ta cPC.PM = PB.PN = k. Xt php ngh ch o c c P , phng tch k, ta c

I (P, k ) : M

C , A

A

AM (P A C ). Tng t ta cng c c N D (P BD ), trong D l nh cu D qua phpngh ch o c c I (P, k ). XY XY . Do ch ng minh XY,AM,DN ng quy, ta s ch ngminh X Y l tr c ng phng cu (P A C ) v (P BD ). Th t v y, ta c P ZC = P A C = 90 Z (P A C ). Tng t ta cng c c Z (P BD ). Do P Z X Y l tr c ng phng cu(P A C ) v (P BD ). T y ta c c i u ph i ch ng minh .M t l n n a php ngh ch o l i cho ta th y c s l i h i cu n trong vi c s ng quy.

th th y r ng, php ngh ch o lm gi m t i thi u l ng ng trn xu t hi n trong bton m thay vo l cc ng th ng, hay cc ng trn c v "d nhn hn". Bi n ci xa lg n, bi n ci kh ki m sot, kh n m b t thnh ci d ki m sot, d n m b t l m t trong nh n c tnh v cng l i h i cu php bi n hnh t bi t ny. Cng lu v i b n c r ng, bi totrn c th gi i b ng tr c ng phng b ng cch g i Q v Q l n l t l giao i m c a AM , DN v i XY r i ch ng minh Q

Q . Ph n chi ti t xin dnh cho b n c. Ti p theo s l i l m t ng

d ng khc c a php ngh ch o, ta ti p t c xt bi ton sau.

Bi ton 6. Cho (O ) ng knh BC . M t i m A n m ngoi (O ). G i B0 , C 0 l n l t l giaoi m c a AC , AB v i (O ). G i H l giao i m c a BB 0 , C C 0 . G i M, N l n l t l ti p i m c a ti p tuy n t A n (O ). Ch ng minh r ng H,M, N .

L i gi i

17

7/23/2019 So 3 - 2009

18/107


G i A0 l hnh chi u c a A ln BC . D th y H l tr c tm tam gic ABC . Xt php ngh ch o c c A , phng tch AB 0 .AC = AC 0 .AB = AM 2 = AN 2 = k, ta c I (A, k ) : M M N N ,H A 0 . D th y OM A = ONA = OA 0A = 90 . Nh v y ta c A 0 (AMN ). T suyra c M,H,N .

Php ngh ch o t ra h u hi u trong vi c ch ng cc bi ton th ng hng. Bi ton bn trn cth c pht bi u m t cch t ng qut hn. Vi c ch ng minh chi ti t xin dnh cho b n c:

"Cho (O ), t i m K b t k n m ngoi (O ) k cc ti p tuy n KM,KN n (O ) trong M , N l cc ti p i m. Hai ng th ng b t k qua K c t (O ) t i cc i m l n l t l (A, D ), (B, C ). G i G l giao i m c a AC v BD . Ch ng minh r ng M,N,S th ng hng."

Ta ti p t c xt bi ton sau. y l m t bi ton tnh ch t p, kh v th v cu tc gi HDuy Hng - gio vin HSP H N i ng trn t p ch Ton H c Tu i Tr

Bi ton 7. (THTT 360/6-2007) Cho t gic ABCD c c p c nh i di n khng song song v v hai ng cho AC,BD c t nhau t i O. Cc ng trn ngo i ti p cc tam gic OAB v OCDc t nhau t i X v O. Cc ng trn ngo i ti p cc tam gic OAD v OCB c t nhau t i Y v O.Cc ng trn ng knh AC v B D c t nhau t i Z v T . Ch ng minh r ng b n i m X,Y,Z,T cng thu c m t ng th ng ho c ng vin.

L i gi i

Tr c tin i vi c ch ng minh bi ton, ta xt b sau y:

B . Cho t gic ABCD . E l giao i m cu AB, CD ; F l giao i m cu AD,BC . Khi cc ng trn ng knh AC,BD,EF c cng tr c ng phng.

Th t v y, g i H, K l n l t l tr c tm cu cc tam gic ECB v F CD . G i L,M,N l n l tl hnh chi u cu H ln EB , EC , CB v P,Q,R l n l t l hnh chi u cu K ln DF , CF , CD .Khi ta thu c:

HL.HC = HM.HB = HN.HE

KP.KC = KQ.KD = KR.KF

T suy ra:P H/ (AC ) = P H/ (BD ) = P H/ (EF )

18

7/23/2019 So 3 - 2009

19/107


P K/ (AC ) = P K/ (BD ) = P K/ (EF )i u trn ch ng t HK l tr c ng phng chung cu cc ng trn ng knh AC,BD,EF .

Tr v bi ton. Xt php ngh ch o c c O , phng tch k b t k. Ta c I (O, k ) : A A , B B , C C , D D , X X , Y Y , Z Z , T T . Do (OAB ) A B , (OBC ) B C ,(OAD ) A D , (OCB ) C B . T suy ra X A B C D , Y A D B C . Z , T l giaocu cc ng trn ng knh A C v B D . p dng b bn trn ta c X , Y , Z , T ngvin. T d n n X,Y,Z,T ng vin hay th ng hng.

Cc bi ton m c n i dung yu c u ch ng minh cc i m ng vin hay th ng hng nh biton trn th t ng t nhin ban u cu chng ta khi ti p c n bi ton l s d ng php ngh ch o. y ch l ch m t nh n nh ch quan cu ring tc gi d a trn m t s kinh nghi m gton, b n c c th th y vi c dng php ngh ch o trong cc bi ton l i ny l khng c n thi tc th l Bi ton 7 bn trn v n c th gi i c m khng dng n bi n hnh (Tham kh o l igi i trong s 366/thnh 12/2007 t p ch THTT)- bi n i gc v xt cc c p tam gic ng d ng -khng h d ngh!. Song cu tc gi i mu n ni r ng qua "lng knh" cu php ngh ch o chta m t l i gi p, t nhin, m tnh l thuy t v quan tr ng l khng bi n i tnh ton ph c t p.

Bi ton 8. Cho tam gic ABC nh n n i ti p (O ). G i A1 , B 1 , C 1 l n l t l hnh chi u cu A,B,C ln BC,CA,AB . G i H l tr c tm cu ABC . Gi s A 2 , B 2 , C 2 l n l t l giao i m cu HA,HB,HC v i B1C 1 , C 1A1 , A 1B 1 . G i da , d b, d c l n l t l cc ng th ng qua A,B, C vung

19

7/23/2019 So 3 - 2009

20/107


gc v i B2C 2 , C 2A2 , A 2B 2 . Ch ng minh r ng da , db, d c ng quy t i tm ng trn Euler cu tam gic ABC .

L i gi i

Nh n xt tr c tin cu chng ta khi ti p c n bi ton l tnh " i x ng" cu n. Do v y ta cth ch t p trung vo vi c ch ng minh ng th ng da i qua tm Euler cu tam gic ABC sau l p lu n tng t cho db, d c .

G i Oa , O b, O c l n l t l tm cc ng trn ngo i ti p cc tam gic BHC , CH A , AHB .Xt php ngh ch o c c A, phng tch k = AC 1 .AB = AH.AA 1 = AB 1 .AC , khi y ta c I (A, k ) : B C 1 , B1 C BB 1 (ACC 1), H A1 C 1A1 (HBA ). T suy ra I (A, k ) : B 2 B , trong B l giao cu 2 ng trn (ACC 1) v (HB A ). Tng t ta cng cC 2 C trong C l giao cu (ABB 1) v (HAC ). Do v y B 2C 2 (AB C ).

G i I a l tm cu ng trn ngo i ti p AB C . Khi ta c I a da . M t khc B 2A1 .B 2C 1 =B 2B .B 2A = B 2H.B 2B ; ch ng t r ng P B 2 / ( I a ) = P B 2 / (BHC ) . L p lu n tng t cho C 2 . Do v y,n u g i X, Y l n l t l giao i m cu ng trn ngo i ti p cc tam gic AB C v BHC . Tac ngay B2C 2

XY . Khi y

I (A, k ) : X

X , Y

Y . M t khc H

A, B

C 1, C

B1;

suy ra (HBC ) (A1B 1C 1) X, Y (A1B 1C 1). D n n (A1B 1C 1), (I a ), (BHC ) l m t chm ng trn. r ng (A1B 1C 1) l ng trn Euler cu tam gic ABC . Do v y n u g i E ltm cu ng trn Euler cu ABC , ta thu c E , I a , Oa th ng hng. Hn th n a, I a E Oa XY B 2C 2 . Nhng AI a B 2C 2 . Suy ra E da .L p lu n tng t cho db, dc . T ta c c da , db, d c ng quy t i tm ng trn Euler cu

ABC .

Bi ton ti p theo sau y l m t bi hnh trong tuy n t p BMO 2007 c xu t b i tc giCosmin Pohoata

20

7/23/2019 So 3 - 2009

21/107


Bi ton 9. (BMO 2007) Cho (O ) l m t ng trn v A l i m n m ngoi (O ). G i AB,AC l n l t l 2 ti p tuy n t A n BC . Cho D l giao i m cu OA v (O ). G i X l hnh chi u t B ln CD . Gi s Y l trung i m cu BX v Z l giao i m th hai cu DZ and (O ). Ch ng minh r ng: AZC = 90

L i gi i

G i M l trung i m cu BC . Xt php ngh ch o c c O , phng tch k = R 2 , trong R lbn knh cu (O ). Ta c I (O, k ) : A M , D D , Z Z . V v y I (O, k ) : (ADZ ) (MDZ ). r ng B D (OBD ) qua I (O, k ). Ta d on r ng BD l ti p tuy n t i D cu (ADZ ).

Th t v y, v D

OA

(O )

DCO = CDO = DBO . Do CD l ti p tuy n t i D cu

(OBD ), (1) .Ta c ZDCB l t gic n i ti p Y ZB = DCB XC B . Nhng M, Y l n l t l trungi m cu BC,BX MY ||CX Y MB = XC B . V v y Y ZB = Y MB . Suy ra ZYBM n i ti p ZM B = XY D . M t khc DMB = MY X = 90 DMZ = DY M = XDY (CX ||MY ), i u ny ni ln DX cng l ti p tuy n t i D cu (DZM ), (2) .T (1) , (2) , ta suy ra C DX l ti p ty n chung t i D cu (DZM ) v (OBD ). Khi y (DZM ) v

(OBD ) ti p xc chung nhau t i D . Do BD l ti p tuy n (ADZ ) BDZ = DAZ MAZ .M t khc BDZ = BCZ . Suy ra MAZ = BCZ MCZ , i u ny ch ng t AZMC n iti p ng trn. L i c AMC = 90 AZC = 90 . Th t ra, m t ch ng minh y cho bi ton bn trn ph i bao g m nh ng hai tr ng h p:

Tr ng h p D n m trn cung nh cu BC v D n m trn cung l n cu BC . L i gi i trn cu tcgi ch xt trong tr ng D n m trn cung nh cu BC . Cn l i gi i cho tr ng h p cn l i chnhl l i gi i cu chnh tc gi bi ton bn trn, ph n chi ti t cu ch ng minh ny xin dnh cho b n c

Bi ton 10. G i O v R l n l t l tm v bn knh c a ng trn ngo i ti p ABC . G i Z v r l n l t l tm v bn knh cu ng trn n i ti p ABC . Gi s K l tr ng tm cu tam gic t o b cc i m ti p xc cu (Z ) v i cc c nh cu tam gic ABC . Ch ng minh r ng Z OK v OZ

ZK =

3Rr

L i gi i

21

7/23/2019 So 3 - 2009

22/107


G i D,E,F l n l t l i m ti p xc cu (Z ) v i l n l t cc c nh BC,CA,AB . Gi i s M a , M b, M c l n l t l trung i m cc c nh EF,FD,DE . Xt php ngh ch o c c Z , phngtch k = r 2 . Ta c I (Z, k ) : D D , E E , F F v A M a , B M b, C M c . Do I (Z, k ) : (ABC ) (M a M bM c). r ng (M a M cM c) l ng trn 9- i m Euler cu DEF . Dov y, n u g i O l tm cu ng trn (M a M bM c) O ,Z ,O th ng hng. M t khc O n m trn ng th ng Euler Z K cu DEF . V v y O, Z, K th ng hng.

V (M a M bM c) l nh cu (ABC ) qua php ngh ch o c c Z , phng tch k , do (M a M bM c)cng l nh cu (ABC ) qua php v t tm Z , t s k1 =

k

P Z/ (O )=

r 2

2Rr =

r

2R ZO

ZO =

r

2R. M t

khc, xt trong DEF , ta c DEF l nh cu M a M bM c qua php v t tm K , t s k2 = 2,v v y H(K, k 2) : O Z

KZ KO

= 2 KZ ZO

= 23

KZ ZO

= r3R

.

Bi ton trn cho ta th y m i lin h gi a php v t v php ngh ch o. Bi ton ch c ch nc nhi u cch gi i khc, song qua t t ng vi c v n d ng m i lin h gi a php ngh ch o v v cho ta m t cch nhn sng su , t nhin khi ti p c n v n . B n c s g p l i t ng l i gtrn qua m t cu trong ph n bi t p p d ng.

Ta k t thc "chuy n i" cu chng ta b ng m t bi ton i qua i m c nh. Qua bi ton cu icng ny, b n c s th y r ng php ngh ch o t r t h u hi u cho cc d ng ton lo i ny.

Bi ton 11. Cho (O ) ng knh AB . i m I trn o n AB (khc A v B ). M t ng th ng d thay i qua I c t (O ) t i P, Q ( d khng trng v AB ). ng th ng AP,AQ c t ti p tuy n m t i M, N , trong m l ti p tuy n t i B c a (O ). Ch ng minh r ng (AMN ) i qua i m c nh th hai, t suy ra tm c a (AMN ) lun n m trn m t ng c nh.

L i gi i

Xt php ngh ch o I (A, k ), trong k = AB 2 , khi ta c I (A, k ) : (O ) m , do P M ,Q N . Nh v y d (AMN ). M t khc I I l i m c nh, I d I (AMN ) do (AMN ) lun i qua I c nh. V (AMN ) i qua 2 i m c nh l A, I do tm c a (AMN )ch y trn trung tr c c a AI .

22

7/23/2019 So 3 - 2009

23/107


III - i nt v l ch s

Trong cu n Topics in Elementery Geometry c a Bottema k t ph n php ngh ch o b ng ccdng d i y, ti xin c trch nguyn vn nh sau:

"Inversion originated in the middle of the nineteenth century and was first researched exten-sively by Liouville (1847). Its great importance for elementary geometry is clear if we consider that it makes it possible to transform certain exercises in which circles are concerned, and in particu-lar many constructions, into less complicated ones where one or more circles have been replaced by a line. For similar reasons, inversion was soon applied by physicists, for example by Thomson in the theory of electric fields. The transformation is also important from a more theoretical point of view. In analogy with what we have seen for affine and projective geometry, a conformal geometry or inversive geometry was developed, which only studies such notions and properties that are not only invariant for rigid motions and similarities, but also for inversions. This geometry therefore includes the notions of circle and angle, but not that of line, radius, or center. The figure of a triangle, that is, of three points, is not interesting in this geometry. We can in fact prove that it is always possible to choose an inversion in such a way that three given points are mapped into three other given points,

so that from the point of view of conformal geometry all triangles are congruent. This is clearly not the case for quadrilaterals, since four points can either all lie on a circle, or not. It is then nocoincidence that we will use inversion to prove certain properties of quadrilaterals: these are in fact theorems from conformal geometry."

IV - Bi t p p d ng

Bi 1. a) N u (O, R ), (I, r ) tho mn h th c IO 2 = R 2 2Rr th chng l ng trn ngo iti p, n i ti p tng ng c a m t tam gic no .b) N u hai ng trn (O, R ), (I, r ) tho mn I O 2 = R 2 + 2 Rr th l n l t , hai ng trn

l cc ng trm ngo i ti p v bng ti p c a m t tam gic no .

Bi 2. ( nh l Feurebach) Ch ng minh r ng trong m t tam gic th ng trn chn i m Eulerc a tam gic ABC ti p xc v i ng trn n i ti p tam gic v ti p xc l n l t v i cc ng trmbng ti p tam gic ABC .

Bi 3. Cho tam gic ABC . M l i m b t k n m trong tam gic, H l tr c tm c a tamgic. Cc ng th ng qua H vung gc v i AM,BM,CM t i BC,CA,AB l n l t t i A 1 , B 1 , C 1 .Ch ng minh r ng: A 1 , B 1 , C 1 th ng hng.

Bi 4. Cho tam gic ABC v i i m M l i m b t k n m trong tam gic. ng th ng vunggc v i MA,MB, MC t i M c t BC,CA,AB t i cc i m A 0 , B 0 , C 0. Ch ng minh r ng: A 0 , B 0 , C 0th ng hng.

Bi 5. Cho tam gic ABC c (I ) l tm ng trn n i ti p tam gic. G i A0 , B 0 , C 0 l n l tl cc i m ti p xc c a (I ) v i BC,CA,AB . Ch ng minh r ng tm c a cc ng trn (AIA 0),(BI B 0), (CI C 0) th ng hng.

Bi 6. Cho tam gic ABC c nh n i ti p ng trn (O ). M, N l hai i m ch y trn AB,AC sao cho kho ng cch gi a hai hnh chi u c a M, N ln BC lun b ng 12 BC . Ch ng minh r ng ngtrn ngo i ti p tam gic AMN lun i qua m t i m c nh khc A .

Bi 7. Cho ABC nh n n i ti p ng trn (O ). G i A1 , B 1 , C 1l n l t l hnh chi u c aA,B,C ln BC,CA,AB . G i D l giao i m th hai c a AO v (O ). t M,N,P l n l t l hnhchi u c a D ln BB 1 ,BC,CC 1 . AP c t ng trn ng knh AB t i P , AM c t ng trn ng knh AC t i M . AN c t ng trn ng knh AH t i N . ng i trung c a AB 1C 1

23

7/23/2019 So 3 - 2009

24/107


c t ng trn ng knh AH t i I a . Ch ng minh r ng: I a , M , N , P ng vin.

Bi 8. (CMO 2007) Cho ABC nh n n i ti p (I ) v ngo i ti p (O ). G i A0 , B 0 , C 0 l n l tl i m ti p xc c a (I ) v i BC,CA,AB . G i (Oa ), (Ob), (Oc) l cc ng trn ngo i ti p ti ptam gic AB 0C 0 , BC 0A0, C A 0B 0 l n l t. Gi s A 1 l giao i m th hai c a (Oa ) v (O ), B 1 , C 1 nh ngha tng t . Ch ng minh r ng: A 0A1 , B 0B 1 , C 0C 1 ng quy. G i N l i m ng quy ny.Ch ng minh N n m trn ng th ng Euler c a tam gic A 0B 0C 0 .

Bi 9 (China TST 2009) Cho ABC v m t i m D n m trn c nh BC tho mn CAD =CBA . M t ng trn (O ) i qua B , C c t c nh AB,AD m t l n n a l n l t t i E , F . G i G lgiao i m c a BF v DE . Gi s M l trung i m c a AG . Ch ng minh r ng: C M AG .

Bi 10. (Serbia TST 2009) Cho k l ng trn n t ti p tam gic ABC khng cn v i tm lS . k ti p xc v i BC,CA,AB l n l t t i P,Q,R . G i M l giao i m c a QR v B C . M t ngtrn i qua B, C ti p xc v i k t i N . ng trn ngo i ti p tam gic MNP c t AP t i i m th hai l L . Ch ng minh r ng S,L,M th ng hng.

Bi 11. (III AMP Olympiad, pro.2) Cho

ABC v i tr c tm

H . G i

D l chn ng cao t B xu ng AC v E l i m i x ng c a A qua D . ng trn ngo i ti p EBC c t ng trungtuy n t A c a ABC t i F . Ch ng minh r ng: A,D, H,F ng vin.

Bi 12 (Iran Geometry exam 2004) Cho ABC n i ti p ng trn tm (O ). G i A1 , B 1 , C 1l giao i m c a cc ti p tuy n t A,B, C n (O ) l n l t. G i A3 , B 3 , C 3 l trung i m c aBC,CA,AB l n l t. ng th ng vung gc t A3 n AO c t ti p tuy n t A 1 c a (O ) t i X a .X b, X c nh ngha tng t . Ch ng minh r ng: X a , X b, X c th ng hng.

Bi 13. (Ch n i tuy n PTNK 2009) Cho ng th ng d c nh, A l m t i m c nh n mngoi d. A l hnh chi u c a A trn d. B, C l hai i m thu c d sao cho A B.A C = const (B, C khc pha v i A). G i M, N l n l t l hnh chi u c a A ln AB,AC . Ti p tuy n t i M, N c a ng trn ng knh AA c t nhau K . Ch ng minh r ng K n m m t trn ng c nh.

Bi 14. ( ngh Olympic truy n th ng 30/4) Cho ng trn (O, R ) ti p xc v i d t i H c nh. M, N l hai i m di ng trn d sao cho HM.HN = k < 0, k = cosnt . T M, N v haiti p tuy n MA,N B t i (O ). Ch ng minh r ng: AB lun i qua i m c nh.

Bi 15. ( ngh Olympic truy n th ng 30/4- 2008) Cho tam gic ABC c ng trungtuy n AM , ng cao BD, CE . Gi s P l giao i m c a DE v AM . Gi s AM = BC 32 . Ch ngminh r ng P l trung i m c a AM .

Bi 16 Cho tam gic ABC nh n n i ti p (O ). G i A 0 , B 0 , C 0 l n l t l hnh chi u cu A,B, C trn BC,CA,AB tng ng. Gi i s A1 , B 1 , C 1 l n l t l giao i m th hai cu cc ng trnngo i ti p cc tam gic AB 0C 0 , BC 0A0 v CA 0B 0 v i (O ). A2 , B 2 , C 2 l n l t l giao i mth hai cu cc trung tuy n k t A,B, C n (O ). Ch ng minh r ng A 2A1 , B 2B 1 , C 2C 1 ng quy.

Ti li u tham kh o

[1] Thi v ch Ton qu c t - IMO t nm 1974- 2006 , L H i Chu, Nh Xu t B n Tr .

[2] Bi t p nng cao v m t s chuyn hnh h c 11, Tr n Vn T n, Nh Xu t B n Gio D c.

[3] Cc php bi n hnh trong m t ph ng , Nguy n M ng Hy, Nh Xu t B n Gio d c.

24

7/23/2019 So 3 - 2009

25/107


[4] Trang web di n n ton h c MathLinks - http://mathlinks.ro .

[5] Topics in Elementary Geometry , Bottema O., Springer 2008.

25

7/23/2019 So 3 - 2009

26/107


Applying R, r, p method in some hard problemsTran Quang Hung, Hanoi National University 1

Introduction

In this article we will use R,r, p - method to prove some inequalities in triangle

Given triangle ABC , we denote by a,b,c the sides, semiperimeter p, circumradius R , inradius r ,centroid G , incenter I , orthocenter H , we have following famous formulas:

ab + bc + ca = p2 + r 2 + 4 Rr

a 2 + b2 + c2 = 2( p2 r2

4Rr )OI 2 = R 2 2Rr R 2r , this formula is well-known as Eulers.9IG 2 = p2 16Rr + 5 r 2 p2 16Rr 5r 2 , this inequality is well-known as GerretsensIH 2 = 4 R 2 + 3 r 2 + 4 Rr p

2

p2 4R

2 + 4 Rr + 3 r 2

OH 2 = 9 OG 2 = 9 R 2 (a2 + b2 + c2 )a

2 + b2 + c2 9R2

I - Garfunkels lemmas

In this section we introduce the useful lemma which was proposed by Jack Garfunkel in CruxMath.

Lemma 1. Let ABC be acute triangle prove that

p2 2R 2 + 8 Rr + 3 r 2Proof.

The inequality equivalent to

sin2 A + sin 2 B + sin 2 C (cos A + cos B + cos C )2

Let H be orthocenter of triangle ABC , we have HA = 2R cos A,HB = 2 R cos B,HC = 2R cos C and by law of sine a = 2 R sin A, b = 2 R sin B, c = 2 R sin C we need to prove

a 2 + b2 + c2 (HA + HB + HC )2

Let A B C be Cevian triangle 2 of H we have

AA .AH + BB .BH + CC .CH = a2 + b2 + c2

2 and

HAAA

+ HBBB

+ HC CC

= 2

Now apply Cauchy-Schwartz inequality we get

a 2 + b2 + c2 = ( AA .AH + BB .BH + CC .CH )(HAAA

+ HBBB

+ HC CC

) (HA + HB + HC )2

We are done.

1 Email: [email protected] http://mathworld.wolfram.com/CevianTriangle.html

26

7/23/2019 So 3 - 2009

27/107


Lemma 2. Let ABC be acute triangle such that 4 min{A,B,C } max{A,B,C }

2

, prove that

p2 3R2 + 7 Rr + r 2

Proof.

Using the indentities of R,r,p

cos A + cos B + cos C = R + r

r

cos A cos B cos C = p2 4R

2

4Rr r2

4R 2

The inequality is equivalent to

3(cos A + cos B + cos C ) 4 + 4cos A cos B cos C Because

4 min{A,B,C } max{A,B,C }

2

we can assume that 4 A

3

, therefore

(2sin 2 A2

+ 2 sin A2 1)(2 sin

A2 1) 0

3cos A + 6 sin A2 4cos A sin

2 A2 4 (1)

We have |B C | < 2

so

4cos A(1 + cos B C

2 ) > 2(1 +

1 2) > 6 > 6 sin

A2

therefore

4cos A(1 + cos B C 2 ) 2(1 + 1 2)(1 cos B C 2 ) 6sin A2 (1 cos B C 2 )

3(cos B + cos C ) 6sin A2

+ 4 cos A sin2 A2 4cos A cos B cos C (2)

From (1), (2) we have

3(cos A + cos B + cos C ) 4 + 4cos A cos B cos C We are done.

Note that. When we apply Garfunkels lemma in acute triangle then we obtain the inequality

sin A2 + sin B2 + sin C 2 43 1 + sin A2 sin B2 sin C 2This inequality was propesed by Jack Garfunkel in Crux Math., vol 10 1984, problem 987, there-

fore we call it by Garfunkels lemma.

II - Some problems

In this section, using standar notations in triangle, we will show somes problems solved by R,r, pmethod.

27

7/23/2019 So 3 - 2009

28/107


Problem 1. Let ABC be a triangle with area S , prove that

2(ab + bc + ca ) (a2 + b2 + c2 ) 4

a 2 ( p a )b + c

+ b2 ( p b)

c + a +

c2 ( p c)a + b 4 3S

Proof.

First at all, we will say something about these inequalities,

2(ab + bc + ca ) (a2 + b2 + c2 ) 4 3S a

2 + b2 + c2 4 3S + ( b c)2 + ( c a )

2 + ( a b)2

It is well-known under the name Finsler - Hadwiger inequality, and the inequality

a 2 ( p a )b + c

+ b2 ( p b)

c + a +

c2 ( p c)a + b 3S

a

r a + h a+

br b + h b

+ c

r c + h c 3

It makes Finsler-Hadwiger stronger, we now solve the first by the follow indentities of R,r,p2(ab + bc + ca ) (a

2 + b2 + c2 ) = 16 Rr + 4 r 2

a 2 ( p a )b + c

+ b2 ( p b)

c + a +

c2 ( p c)a + b

= 2r ((3r + 2 R ) p2 r

3

6r2 R 8R

2 r ) p2 + r 2 + 2 Rr

The first inequality equivalent to

2(ab + bc + ca ) (a2 + b2 + c2 ) 4

a 2 ( p a )b + c

+ b2 ( p b)

c + a +

c2 ( p c)a + b

16Rr + 4 r2

8r ((3 r + 2 R ) p2 r

3

6r2 R 8R

2 r ) p2 + r 2 + 2 Rr

r (18Rr + 24 R 2 + 3 r 2 5 p2 ) p2 + r 2 + 2 Rr 05 p

2

24R2 + 18 Rr + 3 r 2

Now using p2 4R2 + 4 Rr + 3 r 2 we must to show

5(4R 2 + 4 Rr + 3 r 2 ) 24R2 + 18 Rr + 3 r 2 2(2R + 3 r )(R 2r ) 0

Which is true. Now for the second, we easily seen

a 2 ( p a )b + c

+ b2 ( p b)

c + a +

c2 ( p c)a + b

2

3b2 c2 ( p b)( p c)

(a + b)(a + c)

We will prove thatb2 c2 ( p

b)( p

c)

(a + b)(a + c) S 2

= p2

r2

We have

b2 c2 ( p b)( p c)(a + b)(a + c) p

2 r 2 = r 3 (( r 8R ) p

2 + r 3 + 10 r 2 R + 32 R 2 r + 32 R 3 ) p2 + r 2 + 2 Rr

Therefore, it is sufficient to show that

(r 8R ) p2 + r 3 + 10 r 2 R + 32 R 2 r + 32 R 3 0 p

2

r 3 + 10 r 2 R + 32 R 2 r + 32 R 3

8R r

28

7/23/2019 So 3 - 2009

29/107


but using inequality p2 4R2 + 4 Rr + 3 r 2 , we only must show

4R 2 + 4 Rr + 3 r 2 r 3 + 10 r 2 R + 32 R 2 r + 32 R 3

8R r 2r (2R r )(R 2r )

8R r 0

Which is true.Problem 2. Let ABC be a triangle and AA , BB , CC are bisector of ABC prove that

p(A B C ) 14 p(ABC )

here p(XY Z ) show perimeter of triangle XY Z .

Proof.

We will prove stronger form of this inequality

B C 2 + C A 2 + A B 2

p2

3When p is semi-perimeter of triangle ABC , indeed, we can use the following indentity of R,r,p ,

when AA , BB , CC are bisector of triangle ABC then

p2

3 B C 2 + C A 2 + A B 2 =

p2

3 8Rr 2 ((7R + 8 r ) p2 4R

2 r r2 R )

p4 + 4 R 2 r 2 + 4 p2 Rr + 4 r 3 R + r 4 + 2 p2 r 2

= (96R 3 r 3 + 24 R 2 r 4 ) + ( 188r

3 R 164R2 r 2 + r 4 ) p2 + (2 r 2 + 4 Rr ) p4 + p6

3( p4 + 4 R 2 r 2 + 4 p2 Rr + 4 r 3 R + r 4 + 2 p2 r 2 )

Therefore, it is sufficient to show that

(96R 3 r 3 + 24 R 2 r 4 ) + ( 188r3 R 164R

2 r 2 + r 4 ) p2 + (2 r 2 + 4 Rr ) p4 + p6 0It is equivalent to

4r 3 (R 2r )(648R2

237Rr + 10 r2 ) + 4 r 2 (183R 2 161Rr + 14 r

2 )( p2 16Rr + 5 r2 )

+13 r (4R r )( p2

16Rr + 5 r2 )2 + ( p2 16Rr + 5 r

2 )3 04r

3 (R2r )(2128r2 +2355 r (R2r )+648( R2r )

2 )+4 r 2 (424r 2 +571 r (R2r )+183( R2r )2 )13r (4Rr )

+( p2 16Rr + 5 r2 )2 + ( p2 16Rr + 5 r

2 )3 0Which is true. Now from this inequality we easily seen

(A B + B C + C A )2 3(B C 2 + C A 2 + A B 2 ) p

2

p(A B C )

14 p(ABC )

Problem 3. (Proposed by Ji chen) Let ABC be a triangle, r a , r b , r c are exradius, prove that

r 2aa 2

+ r 2bb2

+ r 2cc2

94

+ 15(b c)

2 (c a)2 (a b)

2

4a 2 b2 c2

Proof.

Use the indentities of R,r,p we have

r 2aa 2

+ r 2bb2

+ r 2cc2

94

= (256rR 3 + 16 r 3 R + 96 R 2 r 2 + 256 R 4 + r 4 ) + (2 r 2 68R

2 ) p2 + p4

16 p2 R 2

29

7/23/2019 So 3 - 2009

30/107


and

15(b c)2 (c a )

2 (a b)2

4a 2 b2 c2 =

15(64rR 3 + 48 R 2 r 2 + 12 r 3 R + r 4 ) + ( 4R2

20Rr + 2 r2 ) p2 + p4

16 p2 R 2

Therefore we need to prove that(256rR 3 + 16 r 3 R + 96 R 2 r 2 + 256 R 4 + r 4 ) + (2 r 2 68R

2 ) p2 + p4

15(64rR3 + 48 R 2 r 2 + 12 r 3 R + r 4 ) + ( 4R

2

20Rr + 2 r2 ) p2 + p4

(304rR3 + 49 r 3 R + 204 R 2 r 2 + 64 R 4 + 4 r 4 ) + (8 r 2 32R

2

75Rr ) p2 + 4 p4 0

Now using p2 4R2 + 4 Rr + 3 r 2 it is equivalent to

4r (4r + R )(R 2r )2 + r (43R 32r )(4R

2 + 4 Rr + 3 r 2 p2 ) + 4( p2 4R

2

4Rr 3r2 )2 0

Which is true.

Note that. This inequality is form of famous inequality Iran 96 as following

r 2aa 2

= p2 tan 2

A2

16R 2 sin2 A2

cos2 A2

= 116

sin A2 1

cos4 A2

= cos2 A2

cos2 B2

cos2 C 2

1

cos4 A2

=cos2

B2

cos2 C 2

cos2 A2

So it is equivalent to

cos2 B2

cos2 C 2

cos2 A2

9

4 +

15(b c)2 (c a )

2 (a b)2

4a2

b2

c2

Using cos2 A2

= p( p a )

bc , it is equivalent to

p( p b)( p c)a 2 ( p a )

94

+ 15(b c)

2 (c a )2 (a b)

2

4a 2 b2 c2

Now we can replace a = xy + xz,b = yz + yx,c = zx + zy , x, y,z > 0 it is equivalent to(xy + yz + zx )

1(x + y)2

+ 1

(y + z)2 +

1(z + x )2

94

+ 15(x y)

2 (y z)2 (z x )

2

4(x + y)2 (y + z)2 (z + x )2

This is stronger than Iran 96 inequality.Problem 4. (Proposed by Jack Garfunkel, problem 825 Crux Math.) Let ABC be a triangle,

prove that

tan 2 A2

+ tan 2 B2

+ tan 2 C 2

+ 8sin A2

sin B2

sin C 2 2

Proof.

Using the indentities of R,r,p we have

tan 2 A2

+ tan 2 B2

+ tan 2 C 2

= (4R + r )2 2 p

2

p2

30

7/23/2019 So 3 - 2009

31/107


sin A2

sin B2

sin C 2

= r4R

It is equivalent to(4R + r )2 2 p

2

p2 +

2rR 2 p

2

R (4R + r )2

2(2R

r )

Using the result of Mittenpunkt 3 (middlespoint) M of triangle ABC , note that M (a( pa ), b( pb), c( p c)) in 4 , with O is circumcenter and using formula of distance, we can compute

MO 2 = 2(r 2R ) p

2 + R (4R + r )2

(4R + r )2

From M O 2 0 we easily seen p2

R (4R + r )2

2(2R r ) .

Note that. p2 R(4R + r )2

2(2R r ) 4R 2 + 4 Rr + 3 r 2 , where the second inequality is equivalent to

3r 2 (R

2r )

2(2R r ) 0Problem 5. Let ABC be a triangle prove that

cos A2

+ cos B2

+ cos C 2

2 3 sin

A2

+ sin B2

+ sin C 2

Proof.

First at all we will prove the following inequality for acute triangle

sin A + sin B + sin C 2 3 (cos A + cos B + cos C )

2

Actually, this problem was proposed by Jack Garfunkel in Crux Math 1990 and the solution of author in Curx Math 1991, here is our solution.

The inequality is equivalent to

pR

2 3

(R + r )2

R 2 p2

4(R + r )4

3R 2

Now apply Garfunkels lemma p2 2R2 + 8 Rr + 3 r 2 we must show

2R 2 + 8 Rr + 3 r 2 4(R + r )4

3R 2 (R 2r )(2R 3 + 12 R 2 r + 9 Rr 2 + 2 r 3 )

3R 2 0which is true, so we are done.

After that we introduce here the solution by Jack Garfunkel himseft,

We note that sin A2

sin B2

sin C 2

18

therefore

(cos A + cos B + cos C )2 = 1 + 4 sin A2

= 1 + 8 sin A2

+ 16 sin2 A2 1 + 10 sin

A2

3 http://mathworld.wolfram.com/Mittenpunkt.html4 http://mathworld.wolfram.com/BarycentricCoordinates.html

31

7/23/2019 So 3 - 2009

32/107


So me must prove that

sin A + sin B + sin C 2 3 1 + 10 sin

A2

It is equivalent to 3 p 2R + 5 r 3 p

2

4R2 + 20 Rr + 25 r 2

But by Garfunkels lemma p2 2R2 + 8 Rr + 3 r 2 , we must show

3(2R 2 + 8 Rr + 3 r 2 ) 4R2 + 20 Rr + 25 r 2 (R 2r )(4R + r ) 0

which is true, so we are done.

Now we apply

sin A + sin B + sin C 2 3 (cos A + cos B + cos C )

2

in acute triangle with angle

A

2 ,

B

2 ,

C

2 , we obtain our problem.

Problem 6. (Proposed by Virgil Nicula on Mathlinks.ro) Let ABC be three side of an acute triangle prove that

b + c aa + c + a bb + a + b cc 3Proof.

Note that sin2 A2

= ( p b)( p c)

bc , and r = 4 R sin

A2

sin B2

sin C 2

, therefore

ab + c

a

= a

2( p

a )

= 2R

r sin2

A2

Now we can write the inequality as

r2R 1sin A2

32sin A2

sin B2

sin C 2

1

sin2 A2

+ 2 1

sin A2

sin B2

9

sin B2

sin C 2

sin A2

+ 2 sin A2

92 sin

B2

sin C 2

1

sin A2

92

Now need to prove the inequality

cos B cos C 1cos A 92

for triangle ABC such that 2 max{A,B,C } min{A,B,C }

4

, indeed, write it in R,r,p ,note that

cos B cos C = p2 4R

2 + r 2

4R 2 ,

1cos A

= p2 4R

2 + r 2

p2 4R 2 4Rr r 2We need to prove that

p2 4R2 + r 2

4R 2 .

p2 4R2 + r 2

p2 4R 2 4Rr r 2 92 0

32

7/23/2019 So 3 - 2009

33/107


10R2 r 2 + 72 R 3 r + r 4 + 88 R 4 + ( 26R

2 + 2 r 2 ) p2 + p4 0Note that in triangle ABC such that

2 max{A,B,C } min{A,B,C }

4

then we haveGarfunkels Lemma p2 3R

2 + 7 Rr + r 2 , the above inequality equivalent to

(r 2 + 8 Rr + 19 R 2 )(R 2r )2 + (48 r 2 + 66 r (R 2r ) + 20( R 2r )2 )(3R 2 + 7 Rr + r 2 p2 )+( p2 3R

2

7Rr r2 )2 0

Which is true, so we are done.

Note that. There are some nice equivalent form of this problem, let I be incenter of ABC .

b + c aa + c + a bb + a + b cc 3

1

sin A

2

6 R2r IA + IB + IC 3 2RrProblem 7. (Proposed by Jack Garfunkel, Crux Math.) Prove in acute triangle ABC we have

cos A2

+ cos B2

+ cos C 2

4 3 1 + sin

A2

sin B2

sin C 2

Proof.

First at all we will prove the inequality in triangle such ABC that 2 max{A,B,C }

min{A,B,C } 4

:

sin A + sin B + sin C 4 3(1 + cos A cos B cos C )

It is equivalent to

pR

4 3

p2 4Rr r2

4R 2 3R2 p2 ( p

2

4Rr r2 )2

(16R2 r 2 + r 4 + 8 r 3 R ) + ( 2r

2

8Rr 3R2 ) p2 + p4 0

Which is true, so we are done.

References

[1] Crux Mathematicorum , vol 10 - 1984, Canadian Mathematical Society.

[2] Crux Mathematicorum , vol 12 - 1986, Canadian Mathematical Society.

[3] Dragoslav S. Mitrinovic , J. Pecaric,V. Volenec, Recent Advances in Geometric Inequalities ,Kluwer Academic Publishers, 1989.

33

7/23/2019 So 3 - 2009

34/107


Cc phng php tnh tch phnNguy n Vn Vinh, i h c T ng h p Qu c gia Belarus

Trong s tr c chng ta lm quen v i m t s k thu t tnh tch phn suy r ng, tch phn hmph n nguyn, ph n l ,... nh php bi n i Laplace, Fourier hay khai tri n tch phn thnh chuTrong bi vi t ny chng ta s tm hi u thm m t vi phng php khc m ch y u l phphp tch phn tham s , y l m t trong nh ng phng php h t s c c b n nhng hi u qu kta p d ng gi i ton, bn c nh l ng d ng c a hm Gamma, Beta tnh tch phn.

I - Phng php tch phn tham s

V cc tnh ch t c a lo i tch phn ny h u h t cc gio trnh gi i tch i u c, nn khxt l i y. Trong s cc tnh ch t th c hai tnh ch t kh quen thu c m ta hay p d ng l vphn v tch phn c a tch phn ch a tham s . Chng ta cng ch y u xoay quanh hai tnh ch tny v m t s cc ch nh khc thu c k t qu . i u ki n t n t i tch phn trong tth d khng ph c t p xin b qua, cc b n t ki m tra.

Tr c tin ta xem xt ng d ng tnh ch t o hm c a tch phn ch a tham s . Chng ta b u b ng m t v d n gi n.

V d 1. Tnh

I (m, n ) =1

0

xm (ln x)n dx

L i gi i. Khi p d ng tnh ch t o hm th ta c n ch c hai con ng p d ng, chng tac th xu t pht t m t tch phn n gi n bi t v sau vi phn lin t c theo bi n m ta c thu c k t qu , nhng i lc ta l i lm theo chi u ng c l i l o hm tch phn c n theo bi n thch h p thu c tch phn n gi n hn, bi ny c a chng ta p d ng k thu t tnh t.

Ta c1

0

xm dx = 1m + 1

o hm hai v tch phn trn theo m ta thu c

ddm

1

0

xm dx =1

0

xm ln xdx = 1

(m + 1) 2

L p l i n l n b c lm trn ta thu c1

0

xm (ln x)n dx = ( 1)n n!

(m + 1) n +1

M t v d cho php ng d ng th hai

V d 2. Tnh

I () =

0

ln(1 + x)1 + x2

dx

34

7/23/2019 So 3 - 2009

35/107


L i gi i. Ta o hm I () theo thu c

I () =

0

x(1 + x) (1 + x2)

dx + ln(1 + 2)

1 + 2

B ng k thu t tnh tch phn th ng ta thu c

0

x(1 + x ) (1 + x2)

dx = ln(1 + )2

(1 + 2) +

ln(1 + 2)2 (1 + 2)

+

1 + 2 arctan

T ta cI () =

ln(1 + 2)2(1 + 2)

+

1 + 2 arctan

T bi u th c cu i cng ta thu c

I () = 12 arctan ln(1 +

2)

Trong m t s tr ng h p khi ta p d ng k thu t th hai th tch phn tham s ta c n tnh thomn m t phng trnh tch phn no

V d 3. Tnh

I () =

0

e x2 2 /x 2 dx

L i gi i. Ta th y sau khi o hm th tch phn ta c n tnh tho mn phng trnh tch phnthu n nh t tuy n tnh

I () + 2 I () = 0Nghi m c a phng trnh trn chnh l gi tr tch phn ta c n tnh

I () = 2

e 2

Tng t ta c th d dng ki m tra r ng

y(x, ) =

0

exc os d

l nghi m c a phng trnh vi phn

xy + y 2xy = 0Tuy nhin khi ta lm ton m t s tch phn khng ch ch a 1 tham s m c th c nhi u h

i h i chng ta ph i ti n hnh o hm nhi u l n v cng ch n bi n cho thch h p.

V d 4. Tnh

I (a, b) =+

0

arctan ax . arctan bxx2

dx, a, b = 0

35

7/23/2019 So 3 - 2009

36/107


L i gi i. Ta th y tch phn c n tnh ch a hai tham s khc nhau nn tnh chng ta cng ti nhnh o hm theo c hai tham s v thu c

I ab (a, b) =

2 (a + b)

T ta tm c

I (a, b) = 2

(a + b)(ln( a + b) 1) + (a) + (b)T tnh lin t c c a tch phn c n tm ta thu c

(a) + (b) = 2

(b(1 ln b) + a (1 ln a))Do ta c

I (a, b) = 2

sgn (ab) ln (|a|+ |b|)

| a | + | b|

|a|| a |

|b|| b|

p d ng cc k thu t trn ta c th gi i c m t s bi ton kh th v

V d 5. (SIAM-08-001) Tnh

n =1

Ci (an )n 2

L i gi i. y l m t cng th c kh hay, b ng m t s php bi n i ta nhanh chng chuy n bton v tnh

I (a) =

n =1

1n2

n

0

cosat - 1t dt

tnh bi u th c cu i ta o hm hai v theoa

v thu c

I (a) =

n =1

n

0

sin atn2

dt = 2

+ a4

T ta cI (a) = a

2 +

a2

8Cu i cng ta thu c cng th c chu i c n tm kh p

n =1

Ci (an )n2

= 2 ln a

6 (2) + 2

6 a

2 +

a28

Thm m t v d n a kh hay

V d 6. (CMJ-C904) Tnh

I =1

0

1

0

ln( x + y)dxdy

36

7/23/2019 So 3 - 2009

37/107


L i gi i. B ng m t s php i bi n v chia mi n tch phn b i cho ta thu c

I =2

1

ln( u)du +1

0

u ln 1u

du =2

1

ln( u)du + 14

Ta c n tnh tch phn2

1

ln( u)du

tnh tch phn ny ta chuy n qua tnh tch phn cha tham s c d ng

I ( p) =

p+1

p

ln( u)du ( p 0)

Khi p = 0 ta d dng tnh cI (0) = ln 22

Khi p 1 ta c o hm I ( p) theo p th thu cI ( p) = ln( p + 1) ln( p) = ln p

T ta rt ra c

I ( p) =

p

0

ln xdx + I (0) = p (ln p 1) + ln 2

2

T cc i u trn ta thu c k t qu cu i cng

I =1

0

1

0

ln( x + y)dxdy = ln 2

2 34

Trong m t s tr ng h p tch phn c n tnh kh m l i khng ch a tham s th ta c n linh hothm cc tham s ph h p m b o tnh h i t c a tch phn nh v d trn s gip ta tnh tokh n gi n.

V d 7. Tnh tch phn

I =

0

sin xx

dx

L i gi i. Ta th y tnh tr c ti p tch phn trn th kh kh nn ta chuy n qua tnh tch phnsau

I (a) =

0

e axsin x

x dx

Ch r ng tch phn ny h i t v i m i a > 0. tnh tch phn trn th n gi n ta o hmtheo tham s a v thu c

I (a) = 11 + a2

37

7/23/2019 So 3 - 2009

38/107


T y ta rt ra cI (a) =

2 arctan a

V tch phn ta c n tnh l

I =

2 trn chng ta xem xt m t s v d ng d ng php o hm tch phn tham s . Ti p the

ta s xem qua m t s k thu t c a php tch phn cc tch phn tham s .

V d 8. Tnh tch phn

I (a, b) =1

0

xb xaln x

sinln 1x

dx (a > 0, b > 0)

L i gi i. tnh tch phn ny ta khng p d ng c php o hm tch phn ch a tham snh trn m ta chuy n tch phn c n tnh v d ng tch phn kp d ng tham s .

Ta vi t l i tch phn c n tnh d i d ng

I (a, b) =1

0

dxb

a

x p sin ln 1x

dp

Ta vi t l i tch phn trn d i d ng

I (a, b) =b

a

dp1

0

x p sin ln 1x

dx

t

I 1( p) =1

0

x p sinln 1x

dx

Ta c

I 1( p) =+

0

e ( p+1) t sin tdt = 1

( p + 1) 2 + 1

T tch phn ban u c n tm l

I (a, b) =b

aI 1( p)dp = arctan( b + 1)

arctan( a + 1) = arctan

ba1 + ( a + 1)( b + 1)

M t trong nh ng v d ta quen bi t trong php tch phn cc tch phn tham s l gi i phntrnh tch phn Abel

V d 9. Gi i phng trnh tch phn Abel c d ng x

0

(t)(x t)

dt = f (x) (0 < < 1)

38

7/23/2019 So 3 - 2009

39/107


L i gi i. Ta th y tch phn v tri l tch phn ph thu c hai tham s , gi i phng trnh tchphn Abel ta c n tc ng thm m t tch phn theo tham s n a c a hm v tri.

Nhn hai v c a phng trnh cho v i ds(x s ) 1 v chuy n hai tham s trong tch phn v tri

thnh , s v tch phn c hai v theo s t 0 x ta thu cx

0

ds(x s)1

s

0

(t)(s t)

dt =x

0

f (s)(x s)1

ds

Bi n i v tri ta thu cx

0

(t)dts

t

ds(x s)1 (s t)

=x

0

f (s)(x s)1

ds

T ta d dng thu cx

0 (t)dt = sin

x

0f (s)

(x s)1 dsT ta c nghi m c a phng trnh Abel l

(x) = sin

f (0)x1

+x

0

f (s)(x s)1

ds

S d ng k thu t tch phn cc tch phn c ch a tham s ta tnh c nhi u tch phn quenthu c nh Laplace, Lipchizt, Dirichlet, ...

Bn c nh m t s tch phn thng th ng th c kh nhi u tch phn c bi t cng nh hm bi t c d ng bi u di n d i d ng tch phn tham s . M t trong s l tch phn Eliptic v i nhi u d ng bi u di n khc nhau v cng c khng t cc ng d ng lin quan n l p tch phn nV v n kh l n nn n u c d p s tr l i trong m t bi vi t ring v Tch phn Eliptic.

Bi t p p d ng

Tnh cc tch phn sau

Bi 1.

I () =+

0

dx(x2 + )n +1

, n N, > 0

Bi 2.

I (a, b) =+

0

e ax2

e bx2

x dx, a > 0, b > 0

Bi 3.

I (m,a,b ) =+

0

e ax e bxx

sin mxdx, m R, a > 0, b > 0

Bi 4.

I (a) =1

0

ln(1 a2x2)x2 1 x2

dx, |a| 1

39

7/23/2019 So 3 - 2009

40/107


Bi 5.

I (a) =+

1

arctan axx2 x2 1

dx, a R

II - Hm Gamma, BetaNh chng ta bi t cng v i s pht tri n ton h c th s l ng cc hm ton cng c m

r ng, nhi u hm c bi t ng vai tr to l n trong gi i tch cng nh cc lnh v c khc m c ni hai hm Gamma, Beta l nh ng hm c b n v i nh ng ng d ng h t s c c b n. M c d ng c a hai hm ny trong v n tnh ton vi tch phn h t s c l n tuy nhin v bi vi t ch tnh gi i h n nn ch nu ra m t s v d c th ni l hay qua chng ta th y c cchd ng cng nh cc php bi n i c a n.

V d 10. (SSMJ-5073) Tnh 1

0

{ln x}xm dx

v i m > 1L i gi i. B ng m t s bi n i c b n tch phn ph n l ta chuy n tch phn c n tnh v d n

1

0

{ln x}xm dx = 1

e1+ m 1 +

0

te t (m +1) dt

Ta ch tch phn th hai d dng bi u di n c qua hm Gamma v thu c k t qu cucng l

1

0 {ln x

}xm dx =

1

(e1+ m

1) (1 + m)

(2)

(m + 1)2 =

1

(e1+ m

1) (1 + m)

1

(m + 1)2

Tuy nhin trong m t s bi ton i h i ta c bi n i linh ho t thu c bi u di n c a hGamma

V d 11. (Crux-3386) Tnh

0

e xx

0

e t 1t

dt ln xdx

L i gi i. B ng k thu t khai tri n chu i ta d dng thu c

0 e xx

0e t

1

t dt ln xdx =

n =1

(

1)n

n!n

0 e x xn ln xdxTa th y r ng tch phn trong t ng chu i c th bi u di n thong qua o hm c a hm Gamm

v t ta d dng tnh c t ng trn

0

e xx

0

e t 1t

dt ln xdx =

n =1

(1)n (n + 1)n!n

V n tnh chu i trn b n c c th t lm hi u r thm.

40

7/23/2019 So 3 - 2009

41/107


ng d ng hai hm ny ta c th thu c nhi u cng th c bi u di n tch phn v chu i kh v d nh l cng th c d i y

V d 12. Ch ng minh

1(k 1)!

1

0

(1 t)k 1 f (ta )dt =

+

n =0

cn(na + 1) ( na + 2) ... (na + k)

Trong a > 0 v f (x) =

n =0cn xn ,x (1, 1)

L i gi i. Thay hm f (x) bi u di n d i d ng chu i vo tch phn v tri ta c

1(k 1)!

1

0

(1 t)k 1 f (ta )dt =

1(k 1)!

+

n =0cn

1

0

tan (1 t)k 1 dt =

1(k 1)!

+

n =0cn B (an + 1 , k)

S d ng tnh ch t c a hm Beta ta thu c i u ph i ch ng minh.

Ni n cc ng d ng c a hm Gamma, Beta ta khng th b qua tch phn Dirichlet v cd ng bi u di n c a n.

V d 13. Cho

V n,r.p

= (x1 , . . ,x n ) Rn , x i 0, i = 1 , n 0 x1 ,...,x n p rv n N, p 1, r > 0, 1, i > 0

Tnh tch phn sau

... V

x 1 11 ...x n 1n 1

x p1 + ... + x pnr p

1

dx1dx2 ...dx n

L i gi i. S d ng tch phn Dirichlet v ch

B (x, y) = (x)( y)(x + y)

, (1 + x) = x(x)

Ta thu c cng th c t ng qut kh p

... V x 1 11 ...x

n 1n 1

x p1 + ... + x pnr p

1

dx1dx2 ...dx n =

( )r 1 + ... + nn

i=1 (1 + 1 /p )

( + ( 1 + ... + n ) /p )n

i=1 i

Cc b c bi n i trung gian b n c c th xem thm coi nh l bi t p v n d ng.

Hm Gamma v Beta c s d ng lm nh ngha cho m t l ng l n cc hm trong ton hnh Bessel, PolyGamma, HyperGeometric,...

V cc ng d ng c a hai hm ny kh l n nn s tr l i trong bi vi t ti p v i cc phng pv n d ng c th hn. trn ch y u ch nu ra m t vi v d c ci nhn v hai hm ny.

41

7/23/2019 So 3 - 2009

42/107


Bi t p p d ng

Tnh cc tch phn sau

Bi 6./ 2

0

(sin + cos)3 sin 1/ 2 cos 1/ 2 d

Bi 7.

2

0

dx3 x2(2 x)

Bi 8.

I ( p) =+

0

x p 1 ln x1 + x

dx, p (0, 1)

Bi 9.

I ( p) =+

0

x pe qx ln xdx (q > 0)

Bi 10.1

0

ln 1x

p

dx

Trong bi vi t ti p n chng ta s xem xt ng d ng c a hm Gamma, Beta v cc hm bi t khc cng v i php tnh th ng d.

Ti li u tham kh o

1. Gorbuzov V.N.; Gi i tch Ton h c: Tch phn ph thu c tham s (Ti ng Nga), Grodno 2006.

2. Tuy n t p MathVn - Cc k thu t bi n i vi tch phn , 2009 (preprint)

3. SIAM, Problems and Solutions. Link: http://www.siam.org/journals/problems.php

4. Cc t p ch CMJ, CRUX, SSMJ,...

5. A.M. Mathai, Hans J. Haubold; Special Functions for Applied Scientists ; Springer, 2008.

6. L Vn Tr c, Nguy n Vn Tho , Phng php Ton cho V t l ; NXB HQG H N i.

42

7/23/2019 So 3 - 2009

43/107


Bi ton KakeyaM ch Nguy t Minh 1 - University of Pisa, Italy

Phan Thnh Nam 2 - University of Copenhagen, Denmark

I - Nh t voi vo t l nh!

C l n chng ti g p m t cu vui r ng: "Lm th no nh t m t con voi vo t l nhTh th t, n by gi chng ti cng khng bi t p n c a cu ny. Tuy nhin, chng ta hyxem Ton h c c th xem xt v n ny nh th no.

"Nh t m t con voi vo t l nh!" M t cch Ton h c, pht bi u ny c ngha l t m t v"l n" ty vo bn trong m t th tch cho tr c? T t nhin, b ng 1 php co, cu h i ny tnng v i: lm th no t m t v t cho tr c vo trong m t th tch "b" ty . i u ny thnghe hnh nh khng t ng, nhng b n ng v i ph n i tr c khi chng ta nh ngha th nl n, th no l b, v, t t nhin, th no l th tch.

n gi n, chng ta hy xt m t hnh trn ng knh n v trn m t ph ng hai chi u. Mtrong nh ng c trng cho s "l n" c a hnh trn ny l: n ch a m t o n th ng di nv i phng ty . M t cch hnh nh, chng ta c th t ng t ng m t o n th ng di l m t cy kim. V y th hnh trn ng knh n v cho php cy kim ny quay m t vng 3600m khng i ra ngoi hnh trn.

Nm 1917, nh Ton h c Nh t B n Soichi Kakeya t cu h i sau y

Kakeya needle problem . Di n tch no l b nh t m cho php quay m t o n th ng di n v m t cch lin t c 3600 (m khng i ra ngoi di n tch )?

Trong v d ng trn ng knh n v ni trn c n m t di n tch / 4 0.785. M t v dkhc, khng t m th ng, l xt m t tam gic u ABC c chi u cao b ng 1 (xem Hnh 1), khi t o n th ng AA1 ( di 1) ta c th c nh A v quay 600 thnh o n th ng AA2 , sau t nh ti n o n th ng ny bi n thnh C C 1 , r i quay 600 c CC 2 ... Nh v y ton b di ntch s d ng chnh l |ABC | = 1 / 3 0.577 (ta k hi u |S | cho di n tch c a hnh S ).

Tuy nhin, Kakeya nh n ra r ng chng ta th m ch c th ti t ki m di n tch hn n u quay oth ng trong m t hnh tam gic cong deltoid (Hnh 2): y l hnh hypocycloid v ch b i 1 i m nh trn 1 ng trn bn knh 1/2 khi ta ln n trong 1 ng trn bn knh 3/2. Di n tch hnny b ng / 8 0.393. Ch r ng trong hnh tam gic cong th kho ng cch t m i nh t ic nh i di n l 1. Cc b n hy th hnh dung chng ta c th quay cy kim bn trong di n tchny nh th no? (c th xem [11]).

1 Email: [email protected] (M.N. Minh)2 Email: [email protected] (P.T. Nam)

43

7/23/2019 So 3 - 2009

44/107


Kakeya gi thuy t r ng y l hnh c di n tch b nh t. Nm 1925, G.D. Birkhoff khi vi t cc bi ton m trong m t quy n sch c a ng, tr c h t c p t i bi ton b n mu, sau thm vo "Cng m t s n gi n li cu n nh v y l cu h i c nu cch y vi nm c a Ton h c Nh t B n Kakeya." [1]

Nm 1928, Abram Samoilovitch Besicovitch, nh Ton h c NgaDo Thi, gi i quy t bi tontheo m t l i ng kinh ng c: ng ch ng minh p s cho bi ton Kakeya l "zero". Chnh xc hng ch ra c th tm m t hnh c di n tch b ty m v n cho php quay m t o n th ng v m t cch lin t c 1 vng [2]. Th m ch n u b i yu c u "quay lin t c" th t n t i mt p h p c o 0 ( o y l o Lebesgue, n u khng c ch thch khc) m ch a mo n th ng di n v theo m i h ng. M t t p h p nh v y ngy nay c g i l t p Besic

Th t ra, Besicovitch quan tm n bi ton ny b i m t cn nguyn c l p v i Kakeya. Trnm t bi bo b ng ti ng Nga nm 1920 ng xem xt m t cu h i trong tch phn Riemann: n u f lm t hm kh tch Riemann trong m t ph ng th li u c t n t i m t c p t a vung gc sao v i m i y th hm s x f (x, y ) kh tch Riemann (theo bi n x) v hm s y f (x, y )dx cngkh tch Riemann (theo bi n y)? Besicovitch pht hi n r ng i u ny khng ng n u ng c thxy d ng m t t p h p compact c o 0 v ch a m t o n th ng di n v theo m i h n

C m t chi ti t th v l nm 1958, H i Ton H c M c lm m t series phim 4 t p v To nhi u b c gio d c. t p cu i cng Gio s A.S. Besicovitch c m i gi ng v l i gi i c

cho bi ton Kakeya [1]. C l bi ton ny l m t v d cho tnh n gi n v p c a Ton h

Trong bi vi t ny, chng ta s tm hi u l i gi i cho bi ton Kakeya (c l l i gi i ny gi n m t h c sinh ph thng c th theo di c) v cch xy d ng m t t p Besicovitch (b c c n m t t ki n th c c b n v gi i tch hm v l thuy t o). Cu i cng lin h t ithuy t Kakeya. Cc b n c mu n tm hi u thm xin xem [11, 13].

II- L i gi i cho bi ton Kakeya

Th t ra, cc k t qu c a Besicovitch c t nm 1919, nhng do tnh hnh b t n c a n c Nlc b y gi nn chng ch c bi t n r ng ri khi c cng b sau ny trn t MathematiZeitschrift (1928). Nm 1929, t ng c a Besicovitch c Perron n gi n ha. Ch ng mm chng ta tm hi u sau y d a trn trnh by [1, 4] v chng ti ngh r ng n hon ton thchh p v i m t h c sinh ph thng.

Tr c h t, r ng thay v yu c u quay cy kim (m t cch lin t c) 1 gc 3600 , ta ch c nxy d ng 1 t p h p cho php quay cy kim 1 gc 900 , sau dng php i x ng ta d dngthu c l i gi i cho bi ton ban u.

Tr l i v i cu h i: Lm sao nh t 1 con voi vo t l nh? Cu tr l i ph bi n nh t m chti tm c trn Internet l: ch t con voi ra nhi u khc, t t ng khc vo bn trong r i ng ct l nh. T t nhincu tr l i ny ch c ngha hi h c, nhng t ng y hon ton tnnh v y c ng v i m t i m khc bi t: trong khi cc thnh ph n khc nhau c a con voi khng chi m cng 1 v tr trong khng gian, th cc hnh c a chng ta c th ch ng ln nhau trong mph ng!

C th hn, xt m t tam gic ABC (khng nh t thi t cn t i A). T ng t ng r ng ta c t tamgic ABC d c theo trung tuy n AM v c 2 tam gic con A1BM 1 , A2CM 2 (Hnh 3). T nh ti nA1BM 1 b i BC ( (0, 1)) cho ch ng ln A2CM 2 th ta c m t hnh m i c di n tch nhhn di n tch tam gic ban u. i u quan tr ng l m i o n th ng AN v i N b t k thu c o nBC v n thu c hnh m i (sau m t php t nh ti n). M t phn tch chi ti t hnh m i c cho troB 1 d i y (xin b n c t ch ng minh xem nh m t bi t p hnh h c n gi n).

44

7/23/2019 So 3 - 2009

45/107


B 1. Hnh 3 (B c 2) t o b i 2 b ph n: tam gic m i XBC ng d ng v i tam gic ban u v i t l (1 ); hai "tai" (hai tam gic A2XY v A1XZ ) c t ng di n tch b ng 2 2 di n tch tam gic ban u.

Tuy nhin n u b n l m t ng i "kh tnh" (theo ngha Ton h c) th v n cn m t cht khngtho i mi. l b ng cch t nh ti n nh v y ta ph v s lin t c: trong Hnh 3 (B c 2) XB < 1 th ta khng th quay 1 o n th ng di n v trn o n A1B thnh c phng A2C m t cch lin t c m v n khng i ra ngoi hnh v .

Tuy nhin kh khn ny c th x l nh sau. r ng A1M 1 //A 2M 2 , do n u ta l y 1 i mU thu c o n M 1M 2 (nhng khc M 1) th A1U v A2M 2 s c t nhau t i 1 i m R no (xemHnh 5). Lc ny s lin t c c khi ph c nh sau: ta xu t pht t 1 o n th ng n v A1W v iW thu c A1B ; c nh A1 v quay A1W t i tia A1R (qu trnh ny khng i ra ngoi di n tch tamgic ABC n u ng cao t A c a tam gic ny 1); tr t o n th ng ny theo tia A1R cho nkhi m t u mt l R ; c nh R v quay o n th ng t i tia RA2; tr t o n th ng ny theo tiaRA 2 cho n khi m t u mt l A2; cu i cng c nh A2 v quay o n th ng t i tia A2C . Trongqu trnh ny di n tch s d ng thm l tam gic cn RP Q v i cc c nh RP = RQ = 1 ; tuy nhindi n tch ny nh hn di n tch tam gic A1M 1U v c th lm nh ty b ng cch ch n U g nM 1 .

T ng qut hn, ta c th chia tam gic ban u thnh 2N tam gic con, sau t nh ti n t ngc p tam gic con chng ph ln nhau (xem Hnh 4 v i N = 3 ). B ng tr c gic ta th y r ng khich n N l n ln th ta c th lm cho di n tch hnh cu i cng b i.

45

7/23/2019 So 3 - 2009

46/107


di n t t ng ny m t cch ch t ch , ta k hi u T l m t tam gic ABC c y BC n mtrn ng th ng d v ng cao t A b ng 1. V i m i s nguyn dng N ta chia o n th ng BC thnh 2N o n b ng nhau v t thu c 2N tam gic T i chung nh A trong T i 1 v T i knhau. u tin ta t nh ti n t ng c p tam gic (T 1 , T 2), (T 3 , T 4) ... nh tr ng h p trong B 1 v it l

(0, 1) v thu c 2N 1 hnh c d ng nh Hnh 3 (B c 2) trong m i hnh g m m t tam

gic m i E i = (1 )(T 2i 1T 2i ) v hai "tai" v i di n tch 2 2|T 2i 1T 2i | (ch r ng T 2i 1T 2il m t tam gic, v nh c l i l ta k hi u |S | cho di n tch hnh S ). l cc tam gic E i saum t s php t nh ti n thch h p c th ghp l i thnh m t tam gic b ng v i (1 )T . Ti p theota xem cc tam gic m i E i nh l cc tam gic T i b c 1 v l i t nh ti n chng theo t ng c p(E 2i 1 , E 2i ) v i cng t l > 0 c 2N 2 hnh m i (khi t nh ti n tam gic E i th hai "tai" c an cng c t nh ti n theo)... B ng cch sau N b c ta c m t hnh cu i cng, g i l cyPerron.

nh l 1 (Perron tree). Di n tch c a cy Perron khng v t qu (1 )2N + 2 |T |. Ni ring,ch n v N thch h p ta c th lm cho di n tch ny b ty .Ch ng minh. Sau b c u tin ta c 2N 1 tam gic m i E i v 2N "tai" v i t ng di n tch khngqu 2 2

|T

|. Tng t , sau b c th hai ta c 2N 2 tam gic m i v cc "tai" m i v i t ng di n

tch khng v t qu 2 2(1 )2|T |... T i b c th N ta c 1 tam gic m i b ng (1 )N T v icc "tai" m i v i di n tch khng qu 2 2(1 )2( N 1) |T |. V y t ng di n tch c a cy Perron khngv t qu(1 )N (T ) + 2 2 1 + (1 )2 + (1 )4 + ... + (1 )2( N 1) |T |

= (1 )2N |T |+ 2 21 (1 )2N 1 (1 )2 |

T | (1 )2N + 2 |T | .R rng ch n nh sau ch n N l n ta c th lm cho (1 )2N + 2 b ty . (Tacng c th ch n = log( N )/ (2N ) v s d ng b t ng th c 1 e suy ra (1 )2N + 2 2log(N )/N .)p d ng nh l trn cho tam gic vung cn T = ABC v i A = (0 , 0), B = (1 , 0), C = (0 , 1) ta

xy d ng 1 t p c o nh ty (bao g m m t cy Perron v cc ph n thm vo nh Hnh m v n cho php quay m t o n th ng n v m t cch lin t c m t gc 900 . Sau s d ng4 b n copy (qua php i x ng) c a hnh ny, ta ghp l i c m t hnh c di n tch nh tym cho php quay 1 o n th ng n v 1 cch lin t c 3600 . l cu tr l i cho bi ton Kakeya.

III - T p Besicovitch

Trong m c tr c ta th y r ng v i m i > 0 ta u c th xy d ng c m t hnh c di n tchkhng qu m trong c th quay 1 o n th ng n v m t cch lin t c. M t cu h i t nhil li u ta c th l y = 0? ng ti c, khng qu kh khn ta c th th y cu tr l i l ph nh.

M nh 1 (Terence Tao [12]). Khng t n t i m t t p c o 0 m trong m t o n th ng n v c th quay m t cch lin t c tr n m t vng 3600 .

cho m t ch ng minh ch t ch k t qu ny, chng ta c n pht bi u bi ton d i m t d"gi i tch" hn. M t o n th ng n v c th tham s ha b i = {(u + sv|s [0, 1]} v i u R 2v v S 1 , trong S 1 = {(x, y ) R 2|x2 + y2 = 1 } l ng trn n v . Nh v y k t qu trn phtbi u r ng n u(t) := {u(t) + sv(t)|s [0, 1]}

v i u : [0, T ] R 2 lin t c, v : [0, T ] S 1 lin t c v ton nh, th t p h p {(t)|t [0, T ]} khngth c o 0. Th t ra trong ch ng minh d i y ta th y r ng ch c n yu c u nh x v khng lh ng s .

46

7/23/2019 So 3 - 2009

47/107


Ch ng minh. V u v v lin t c trn kho ng ng [0, T ] nn chng lin t c u. Do v i = 18t n t i > 0 sao cho |u(t1) u(t2)| < , |v(t1) v(t2)| < n u |t1 t2| .

B i v v : [0, T ] S 1 khng l h ng s , t n t i t1 , t 2 sao cho 0 < |t1 t2| v v(t1) = v(t2). n gi n, b ng php t nh ti n v quay n u c n, ta c th gi s u(t1) = (0 , 0) v v(t1) = (1 , 0). V i m it [t1 , t 2] ta c|u(t)| = |u(t)u(t1)| < = 1 / 8, do u(t) n m bn tri ng th ng x = 14 . Tngt u(t) + v(t) n m bn ph i ng th ng x = 34 . V y o n th ng (t) := {u(t) + sv(t)|s [0, 1]}c t m i ng th ng x = a v i a [14 , 34 ] t i m t i m, k hi u l (a, w a (t)) . B i v wa (t) lin t cv wa (t1) = 0 nn [0, u a (t2)] wa ([t1 , t 2]).

Ni ring, o n th ng (t1), (t2) c t cc ng th ng x = 14 , x = 34 l n l t t i P 1 , Q1 v P 2 ,Q2 (xem Hnh 6). Theo phn tch trn, v i m i i m (a, b) thu c o n P 2Q2 th o n th ng n i

(a, b) v (a, 0) hon ton n m trong t p h p {(t)|t [t1 , t 2]}. V y {(t)|t [t1 , t 2]} ch a t gicP 1P 2Q2Q1 (y l t gic l i n u P Q khng c t tr c honh Tr ng h p 1, v l t gic lm n uP Q c t tr c honh Tr ng h p 2). Hi n nhin di n tch t gic P 1P 2Q2Q1 l n hn 0, v ta ci u ph i ch ng minh.Nh v y v i yu c u "cy kim" ph i quay lin t c th di n tch m n chi m ch ph i c

dng (m c d c th nh ty ). Tuy nhin trong m t s v n th s ki n "c o 0" tr nnquan tr ng, trong khi yu c u "quay lin t c" khng cn c n thi t. Ch ng h n, cc t p h p c o 0 c xem l "khng ng k " trong l thuy t tch phn: vi c thay i gi tr m t hm s tm t t p c o 0, m c d c th ph v m t cch nghim tr ng s lin t c, l i khng h nh ng t i tch phn c a hm s . Th t ra, nh ni trong m c u tin, ban u Besicovitcquan tm n cu h i r ng: n u f l m t hm kh tch Riemann trong m t ph ng th li u c t n t im t c p t a vung gc sao cho v i m i y th hm s x f (x, y ) kh tch Riemann (theo bi nx) v hm s y

f (x, y )dx cng kh tch Riemann (theo bi n y)? Besicovitch th y r ng ph

nh i u ny, ng ch c n tm m t t p compact c o 0 v ch a m t o n th ng di n vtheo m i h ng.

nh l 2 (Besicovitch). T n t i m t t p compact trong m t ph ng, c o 0, v ch a m t o n th ng di n v v i phng ty .

T t nhin, nh m c tr c, b ng cch l y i x ng, ta ch c n xy d ng m t t p h p ch ao n th ng n v t o v i tr c honh 1 gc b t k trong [0, / 2]. Ta s s d ng cc cy Perron m c tr c, cng v i m t php chuy n qua gi i h n, xy d ng m t t p h p nh v y.

47

7/23/2019 So 3 - 2009

48/107


Ch ng minh. t ng chnh l ta dng cc cy Perron lm "khung" xy d ng m t dy cc t pm b ch n {V k }k =1 th a mn:

(i) V k +1 V k v i m i k = 1 , 2,... v limk |V k | = 0 (|V k | l o c a t p V k ).(ii) V k ch a m t o n th ng n v t o v i tr c honh 1 gc b t k trong [0, / 2].

Khi E =

k =1V k l t p c n tm. Th t v y, v m iV k l m t t p compact nn E compact. Hn

n a i u ki n (i) m b o E c o 0. By gi xt := {u + sv,s [0, 1]} (u R 2 , v S 1) l m tvector n v t o v i tr c honh 1 gc b t k trong [0, / 2], ta s ch ng t t n t i 1 php t nh ti nt R 2 sao cho + t := {(u + t) + s(v + t), s [0, 1]} E . Th t v y, do i u ki n (ii) v i m i k Nt n t i tk R 2 saocho + tk V k . B i v V k V 1 b ch n nn dy {tk }k =1 b ch n. Do t n t im t dy con {tk r }r =1 h i t v m t vector t trong R2 . V i m i m N th + tk r V k r V m v i r l n, do cho r ta c + t V m . V i u ny ng v i m i m nn + t E .

Trong ph n cn l i c a ch ng minh ta s s d ng cc cy Perron xy d ng m t dy t p h

{V

k } nh th . Ta th ng nh t r ng cc cy Perron c p t i bn d i c hi u l cc t p ng

B c 1 (k = 1) . L y T 0 l m t tam gic (ng) ABC v i y BC n m trn ng th ng d v ng cao t A b ng 1, v l y V 0 l m t t p m b ch n ch a T 0 . Ta s xy d ng m t cy PerronT 1 t T 0 nh nh l 1 sao cho |T 1| 2 2 , hn n a ta mu n cy Perron ny n m trong V 0 .

Tr c h t, ta ch n > 0 nh sao cho ln c n m B(T 0 , ) := {a + b|a T 0 , |b| < } th amn B (T 0 , ) V 0 (b n c hy gi i thch t i sao ta c th ch n nh v y?). L y > 0 nh vN N l n, ta xy d ng c m t cy Perron T 1 theo nh l 1 (l h p c a 2N tam gic conc y trn ng th ng d v chi u cao b ng 1, cc tam gic ny c th ch ng ln nhau) sao cho|T 1| 2 2 .

Ta ch ng minh r ng n u N l n sao cho 2 N < th T 1 B (T 0 , ). Th t v y, tr l i v i cchxy d ng cy Perron nh l 1, ta th y r ng b c u tin ta t nh ti n m i tam gic con mo n khng qu 2 N (2 N l c nh y c a m i tam gic con), b c th 2 ta t nh ti n m i tamgic con m i m t o n khng qu (1 )2 N ((1 )2 N l c nh y c a m i tam gic con m i)...v t ng c ng trong c qu trnh ta t nh ti n m i tam gic con m t o n khng qu

2 N (1 + (1 ) + ... + (1 )N 1) = 2 N 1 (1 )N

1 (1 ) 2 N < .

V y m i i m trong T 0 sau qu trnh ny c t nh ti n m t o n nh hn , do khng thi ra ngoi ln c n B (T 0 , ). V y T 1 B (T 0 , ).

Cu i cng, ta ch n V 1 l t p m ch a T 1 v n m trong B (T 0 , ) sao cho |V 1| |T 1|+ 2 2 2 1(b n c hy gi i thch t i sao ta c th ch n V 1 nh v y? G i : s d ng tnh ch t outer regularityc a o).

Tm l i k t thc b c 1 ta c m t cy Perron T 1 (ng), m t t p m V 1 v i |V 1| 2 1 , vT 1 V 1 V 1 V 0 .B c 2. Gi s ta ang b c th k 1, trong ta c m t cy Perron T k (ng), m tt p m V k v i |V k | 2 k , v T k V k V k V k 1 .Nh c l i r ng T k l h p c a 2m (m N no ) tam gic con T ki , trong m i tam gic conc y trn ng th ng d v i chi u cao b ng 1. B i v m i tam gic con T ki ch a trong V k , ta

c th s d ng l lu n B c 1 (v i T = T ki , V 0 = V k ) xy d ng m t cy Perron T ki sao cho48

7/23/2019 So 3 - 2009

49/107


|T ki | := 2 (m + k +2) v T ki V k . L y T k +1 := i T ki , ta c T k +1 V k v |T k +1 | 2m = 2 (k +2) .

T ta c th ch n V k +1 l m t t p m sao cho T k +1 V k +1 V k +1 V k v |V k +1 | |T k +1 |+ 2 (k +2) 2 (k +1) .

B ng quy n p ta xy d ng c dy {V k }k =1 nh mong mu n. i u ny k t thc ch ng minh.

IV - M t cch xy d ng khc

Trong m c ny chng ti gi i thi u m t cch xy d ng khc cho t p Be

so 3 - 2009

Documents