S GIO DC & O TO NG THP THI TH I HC LN 1 NM 2013

TRNG THPT CHUYN NGUYN QUANG DIU MN TON KHI A, B (180 pht)

PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7,0 im)

Cu I (2,0 im) Cho hm s 3 26 9 2y x x x c th ( )C .

1. Kho st s bin thin v v th ( )C ca hm s.

2. Vit phng trnh tip tuyn ca ( )C ti M , bit M cng vi hai cc tr ca ( )C to thnh mt tam

gic c din tch bng 6.

Cu II (1,0 im) Gii phng trnh 2 sin 2 sin 3cos 2 04

x x x

Cu III (1,0 im) Gii h phng trnh

2

23 3

2 3 2 3 0

2 2 3 1 6 1 2 0

x y y

y x y x x x

Cu IV (1,0 im) Tnh tch phn 2

2

0

sin cos ln 1 sinI x x x dx

Cu V (1,0 im) Cho hnh chp .S ABCD c y l hnh vung cnh a . SA vung gc vi mt y v

2SA a .

a) Gi M l trung im SB , 1V l th tch t din SAMC , 2V l th tch t din MACD . Tnh t s 1

2

V

V.

b) Tnh khong cch gia hai ng thng AC v SD .

Cu VI (1,0 im) Cho hai s thc dng x , y tha iu kin 3 1x y . Tm gi tr nh nht ca

1 1A

x xy

PHN RING (3 im) Th sinh ch c lm mt trong hai phn (phn A hoc phn B)

A. Theo chng trnh Chun

Cu VII.a (1,0 im) Trong mt phng vi h ta Oxy , vit phng trnh ng trn c tm thuc

ng thng : 2 0d x y , i qua ( 2;2)A v tip xc vi ng thng :3 4 14 0x y .

Cu VIII.a (1,0 im) Trong khng gian vi h ta Oxyz , cho (5; 2;2)B , (3; 2;6)C v

( ) : 2 5 0P x y z . Tm ta im A thuc ( )P sao cho tam gic ABC vung cn ti nh A .

Cu IX.a (1,0 im) Gii phng trnh 2 22

4 4 28log 9 3 2log 3 10 log 3x x x

B. Theo chng trnh Nng cao

Cu VII.b (1,0 im) Trong mt phng vi h ta Oxy , cho ng trn 2 2

( ) : 6 6 50C x y .

M l im thuc ( )C ( M c honh v tung u dng). Vit phng trnh tip tuyn ca ( )C ti

M sao cho tip tuyn ny ct hai trc ta ti A v B nhn M l trung im.

Cu VIII.b (1,0 im) Trong khng gian vi h ta Oxyz , cho (0;0;1)M , (1;0;1)A v (2; 1;0)B .

Vit phng trnh mt phng ( )P qua A , B v khong cch t M n ( )P bng 2

2.

Cu IX.b (1,0 im) Gii bt phng trnh 3 66 64log logx x x

P N

PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7,0 im)

Cu I (2,0 im) 1. Hc sinh t gii (1,00 im)

2. Hai im cc tr (1;2)A , (3; 2)B , 2 5AB

Phng trnh : 2 4 0AB x y (0,25 im)

Gi 3 2; 6 9 2 ( )M m m m m C

3 2 3 22 6 9 2 4 6 11 6

;5 5

m m m m m m md M AB

Din tch tam gic MAB : 3 21

. ; 6 11 62

S AB d M AB m m m (0,25 im)

3 2

3 2

6 11 6 6 06

46 11 6 6

m m m mS

mm m m

(0,25 im)

0 (0; 2)m M phng trnh tip tuyn ca ( )C ti M l 9 2y x

4 (4;2)m M phng trnh tip tuyn ca ( )C ti M l 3 14y x (0,25 im)

Cu II (1,0 im)

2 sin 2 sin 3cos 2 0 sin 2 cos 2 sin 3cos 2 04

x x x x x x x

22sin cos sin 2cos 3cos 1 0x x x x x (0,25 im)

sin 2cos 1 cos 1 2cos 1 0 2cos 1 sin cos 1 0x x x x x x x (0,25 im)

1cos

2

1sin

4 2

x

x

(0,25 im)

Nghim phng trnh: 23

x k

, 2x k , 22

x k

(0,25 im)

Cu III (1,0 im)

2

23 3

2 3 2 3 0

2 2 3 1 6 1 2 0

x y y

y x y x x x

(1)

(2)

3 2

3 2 1 1(2) 2( 1) 3 ( 1) 4 0 2 3 4 0x x

x y x yy y

(do 0y khng l nghim)

12

2

x (0,50 im)

H tr thnh: 2 2 3 2 3 0

2 1

x y y

x y

(0,25 im)

2

3

2

54 6 4 3 2

182 114

9

y

y y yy

x y

x

Vy nghim ca h l 14 5

( ; ) ;9 18

x y

(0,25 im)

Cu IV (1,0 im)

2

2

0

1sin 2 ln 1 sin

2I x x dx

t 2ln 1 sinu x v sin 2dv xdx , suy ra 2sin 2

1 sin

xdu dx

x

v 21 sinv x (0,25 im)

Khi : 2

2 2 2

00

11 sin ln 1 sin sin 2

2I x x xdx

(0,25 im)

2 2 22 20 0

11 sin ln 1 sin sin

2x x x

(0,25 im)

ln 4 1

2

(0,25 im)

Cu V (1,0 im) a)

Ta c .

.

1

2

S AMC

S ABC

V

V . Gi H l trung im SA .

( )SA ABCD nn ( )MH ABCD v 1

2MH SA (0,25 im)

. . .

1

2M ACD M ABC S ABCV V V . Vy

1

2

1

2

V

V (0,25 im)

b)

Gi E l im i xng ca B qua A . Ta c AEDC l hnh bnh hnh v gc 0135EAC , CD a v

2AC a

AC // ED nn AC // ( )SDE SD nn , , ,d AC SD d AC SDE d A SDE

K AH ED ( H ED ) ( ) ( ) ( )ED SAH SED SAH

K ( )AK SH AK SDE . Vy ,AK d AC SD (0,25 im)

Trong tam gic SAH ta c 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 3

4 2 4AK SA AH a a a

Vy 2

,3

aAK d AC SD (0,25 im)

Cu VI (1,0 im)

341 3 4x y x x x y x y hay 341

4x y (0,25 im)

34

1 1 1 22 8A

x xy x xy x y (0,25 im)

1

2 18

1 1 24

x y

A x y

x xy

Gi tr ln nht ca A l 8 khi 1

2x y (0,25 im)

PHN RING (3 im) Th sinh ch c lm mt trong hai phn (phn A hoc phn B)

A. Theo chng trnh Chun

Cu VII.a (1,0 im)

Tm I thuc d nn ( ; 2 )I a a .

Theo gi thit ta c 2 2 3 8 14

; 2 2 225

a aAI d I d a a

(0,25 im)

25 5 12 8 11 14 1a a a a (0,25 im)

Ta c 1; 2I bn knh 5R (0,25 im)

Phng trnh ng trn cn tm: 2 2

1 2 25x y (0,25 im)

Cu VIII.a (1,0 im)

Gi ( )Q l mt phng trung trc ca cnh BC . ( )Q qua trung im ca BC v c vect php tuyn l

BC . Phng trnh ( ) : 2 4 0Q x z (0,25 im)

; ; ( )A a b c P v ; ; ( )A a b c Q nn 2 5 0 13 5

2 4 0 2 4

a b c b c

a c a c

Khi (2 4;13 5 ; )A c c c (0,25 im)

9 2 ;5 15;2AB c c c v 7 2 ;5 15;6AC c c c

Tam gic ABC vung ti A nn . 0AB AC

2 29 2 7 2 5 15 2 6 0 30 170 200 0c c c c c c c

54

3c c (0,25 im)

Vy c 2 im tha mn yu cu bi l 1 1; 7;4A v 211 20 13

; ;3 3 3

A

(0,25 im)

Cu IX.a (1,0 im)

iu kin:

2

2 2

4

2

9 0 3 3 3 3

log ( 3) 0 ( 3) 1 4 2 4 3

3 0 3( 3) 0

x x x x x

x x x x x x

x xx

(0,25 im)

Phng trnh cho tr thnh 2 2

2 2log ( 3) 3 log ( 3) 10 0x x (0,25 im)

2

2

2

2

log ( 3) 2

log ( 3) 5

x

x

(vo nghiem)

(0,25 im)

2 2

2

3 4 1log ( 3) 4 ( 3) 16

3 4 7

x xx x

x x

(loai)

Vy phng trnh cho c nghim 7x (0,25 im)

B. Theo chng trnh Nng cao

Cu VII.b (1,0 im)

( )C c tm ( 6;6)I v bn knh 5 2R

Gi ( ;0)A a v (0; )B b ( 0ab ) l giao im ca tip tuyn cn tm vi hai trc ta , suy ra ;2 2

a bM

,

phng trnh ng thng : 1 0x y

AB bx ay aba b (0,25 im)

6; 62 2

a bIM

v ( ; )AB a b

Theo gi thit ta c IM AB v ( )M C hay 2 2

12 120

2 2

6 6 502 2

a ba b

a b

(0,25 im)

2 2

2 2

2 2 2 2

12 12 0( )( ) 12( ) 0 ( )( 12) 0

12 12( 12) ( 12) 200 ( 12) ( 12) 20050

2 2

(1)

(2)

b a a bb a b a a b a b b a

a ba b a b

(1)12

(loai)b a

b a

(0,25 im)

Vi 12b a thay vo (2) c: 2 2( 12) 200 2 14a a a a (loi)

Vi 2a , 14b , ta c phng trnh tip tuyn l: 7 14 0x y (0,25 im)

Cu VIII.b (1,0 im)

Phng trnh mt phng ( )P qua A c dng: ( 1) ( 1) 0a x by c z hay 0ax by cz a c (vi 2 2 2 0a b c )

Mt phng ( )P qua B nn 2 0a b a c a b c

Khi ( ) : ( ) 2 0P b c x by cz b c (0,25 im)

2

;2

d M P nn 2 2 2

1

2( )

b c

b c b c

(0,25 im)

2 2 2 22 4 2 2 2 2 0 0b bc c b bc c b c (0,25 im)

Vi 0c a b . Chn 1 ( ) : 1 0b c a P x y

Vi 0b a c . Chn 1 : 2 0c c a P x z (0,25 im)

Cu IX.b (1,0 im) Gii bt phng trnh 3 66 64log logx x x t 6t x ( 0t ) suy ra 6x t

Bt phng trnh tr thnh: 2 6 26 64 6 2log ( ) log log ( ) logt t t t t t (0,25 im)

t 2log 2ut u t

Bt phng trnh tr thnh: 2 1

4 2 6 13 3

u u

u u u

(0,25 im)

Gi 2 1

( )3 3

u u

f u

, khi ( )f u l hm lun nghch bin nn ( ) (1)f u f

21 log 1u t (0,25 im)

62 2 0 64t x x (0,25 im)