sƠ lƯỢc vỀ phƯƠng phÁp Ép tÍch

LUYỆN THI

GV: PHAN NHẬT NAM

SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ÉP TÍCH


GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com

PHƯƠNG PHÁP ÉP TÍCH CHO BÀI TOÁN CHỨA NHIỀU CĂN THỨC

I. Phương trình có hai nghiệm hữu tỷ đơn:

2 2 2 2( ) 3 2 1 ( 2) 2 1 3 6 0f x x x x x x x x x x x

ĐK: 2 3x

“MODE 7” : nhập ( )f x , “=” Start “-2 =” End “3 =” Step “0,5 = “

Từ bảng kết qua ta thấy: 1, 2x x thì ( ) 0f x do đó 1, 2x x là hai nghiệm hữu tỷ

Dự đoán nhân tử có dạng : 2 3x m x n

Tìm m, n: 1 2 1 1

2 3 02 2 3

x m n mx m x n

x m n n

2 3 3x x

“MODE 1”: ( )

2 3 3

f x

x x “CALC 3”(gán x = 3: 2 5, 3 0x x để lấy biểu thức chứa 2x )

Ta thu được kết quả : 13 5 do đó: ( )

12 3 3

f xx a

x x

. (vì -13 ta không đoán được biểu thức)

Nhập: ( )

12 3 3

f xx

x x

thử gán x bằng các giá trị khác ta thu được các số nguyên khác nhau dó

đó không thể đoán được biểu thức a , Khi đó ta xét đồng nhất thức:

( ) 1 2 3 3f x x a x x

2 2 2 23 2 1 ( 2) 2 1 3 6 3 2 (3 ) 2 3 2 3x x x x x x x x x x a x a x a x x x

2 1a x x

Do đó 2 2

2 3 3 0

1 1 2 3 3 0 1 31 0( )

2 4

x x

PT x x x x xx x VN

2

22 3 9 2 0 2x x x x x hoặc 1x

Ví dụ tự luyện:

Bài 1. Giải bất phương trình: 26 2 26 8 4 2 3 33x x x x x x x

HD: 2 22 26 8 3 2 2 26 8 3 2 0x x x x x x x

Bài 2. Giải phương trình: 2 2 9

103 1 3 4 5 xx x

http://www.toanhocdanang.com/



HD: 1 4 5 3 9 1 9 4 5 4 41 0x x x x x

Bài 3. Giải bất phương trình: 2 32 5 5 3 3 2 3 5x x x x x

HD: 33 3 3 5 4x x

II. Phương trình có một nghiệm vô tỷ đơn: 2( ) 5 6 5 1 1 0g x x x x

ĐK: 1x

Nhập ( )g x ”=” , Tìm nghiệm “SHIFT SOLVE 1” ta nhân đươc nghiệm ≈1,019708848…

Lưu giá trị của 1x vào biến A : “ 1x SHIFT RCL (-)”

Lưu giá trị của 1x vào biến B : “ 1x SHIFT RCL .,,, ”

“MODE 7” nhập ( )f x AX B “= -9 = 9 = 1 =” tìm trong TABLE: giá trị hữu tỷ của ( )f x và x

Ta có: 3x và ( ) 1f x

( lưu ý: nếu nhập ( )f x A BX không thu được kết qua đẹp trong TABLE thì đổi lại ( )f x AX B ).

Thay 3x , ( ) 1f x , 1A x , 1B x vào ( )f x AX B ta có: 3 1 1 1x x

Do đó nhân tử chung là : 3 1 1 1x x

MODE 1: ( )

3 1 1 1

g x

x x “CALC 1” ta có kết quả 1 2 do đó

( )

3 1 1 1

g x

x x chứa 1x

“⊲ - 1x ” nhập ( )

13 1 1 1

g xx

x x

“CALC 3” ta có kết quả 1 2 2

do đó ( )

13 1 1 1

g xx

x x

chứa 2 1x

“⊲ - 2 1x ” nhập ( )

1 2 13 1 1 1

g xx x

x x

“CALC 100” ta có kết quả 1

(gán x bất cứ gí trị nào ta cũng có kết quả đều bằng 1)

Do đó : 3 1 1 1

3 1 1 1 2 1 1 1 02 1 1 1 0( )

x xPT x x x x

x x VN


Bài 1. Giải phương trình: 3 23 3 3 0x x x x x x

HD: 2 23 1 3 1 0x x x x x




Bài 2. Giải phương trình: 24 3 2 1 4 1 0x x x

HD: 3 1 1 1 1 1 1 0x x x x

Bài 3. Giải phương trình: 2 2 2 29 8 6 1 (2 1) 2 1 ( 2) 3 1x x x x x x x x

HD: 22 2 1 3 1 1 3 2 1 3 1 1 0x x x x x

III. Nghiệm kép hữu tỷ, thay nghiệm vào căn có được giá trị hữu tỷ

2 2 2( ) 3 3 9 2( 2) 3 4 0f x x x x x x x

ĐK: 0x

“ MODE 7 “ Nhâp ( )f x “ = 0 = 10 = 1 =” quan sát TABLE ta thấy 1x thì ( ) 0f x đồng thời

( )f x không đổi dấu khi qua 1, do đó phương trình ( ) 0f x có nghiệm kép 1x

Dự đoán nhân tử: 3x a x b . Khi đó ta giải hệ

3 0 1 2

33 ' 0 1

x a x b x a

bx a x b x

(Lưu ý : trường hợp a , b ra phân số thì ta có thể quy đồng bỏ mẫu)

Từ đó ta có nhân tử : 2 3 3x x

MODE 1: nhập ( )

2 3 3

f x

x x “CALC 0” ta có kết quả 1 2 3 do đó

( )

2 3 3

f x

x x chứa 2 3x

“⊲ - 2 3x ” nhập ( )

2 32 3 3

f xx

x x

“ CALC 2” ta có kết quả 5 2 6,414213562...

Do đó ( )

2 32 3 3

f xx

x x

chứa x

“⊲ - x ” ( )

2 32 3 3

f xx x

x x

“CALC 100” ta nhân được kết qua 2 210001 100 1 1x

Thử lại: “⊲ - 2 1x ” nhập 2( )

2 3 12 3 3

f xx x x

x x

“CALC 10” hoặc bất cứ giá trị nào

ta cung đều có kết quả bằng 0. Do đó 2( )

2 3 12 3 3

f xx x x

x x

2

2

3 2 32 3 3 2 3 1 0

2 3 1 0 ( )

x xPT x x x x x

x x x VN





Bài 1. Giải phương trình: 25 20 14 2 8 4 9 2 4 10 4 1x x x x x x x

HD: 2

4 1 2 1 2 4 1 3 2 3 0x x x x

Bài 2. Giải phương trình: 28 24 ( 8) 2 2 2 6 8 2 3x x x x x x

HD: 2

2 2 3 1 3 2 2 2 3 2 0x x x x

IV. Nghiệm kép hữu tỷ, thay nghiệm vào căn vô tỷ:

3

2( ) 3 3 2 2 5 2 2 2 ( 5) 2 1 0f x x x x x x x

ĐK: 1

2x

Sử dụng chức năng “MODE 7” ta thấy phương trình có nghiệm kéo 1x .

Khi 1x ta có : 2 2 1 3x x Do đó ta nghĩ đến nhân tử 2

2 1 2x x

Nhập

2

( )

2 1 2

f x

x x

“CALC 0 “ta có kết quả 2 2 2 do đó

2

( )

2 1 2

f x

x x

chứa 2 2x

“⊲ - 2 2x ” nhập

2

( )2 2

2 1 2

f xx

x x

“ CALC 2” ta có kết quả 1 5

Do đó

2

( )2 2

2 1 2

f xx

x x

chứa 2 1x

“⊲ - 2 1x ” nhập

2

( )2 2 2 1

2 1 2

f xx x

x x

“ CALC 10” hoặc bất cứ giá trị nào

ta đều nhân được kết quả bằng 1 tức là :

2

2

( )2 2 2 1 1 ( ) 2 1 2 2 2 2 1 1

2 1 2

f xx x f x x x x x

x x

2 2 1 2

2 1 2 2 2 2 1 1 02 2 2 1 1 0 ( )

x xPT x x x x

x x VN


Bài 1. Giải phương trình: 2 2 2 22 2 1 2 1 1 0x x x x x x x x

HD: 2 22 1 1 1 0x x x x x




Bài 2. Giải phương trình: 2 22 3 (2 3) 1 3 1 2 3 1 0x x x x x x x x

HD: 2

1 1 1 2 1 1 1 0x x x x x

V. Nghiệm đơn hữu tỷ, thay nghiêm vào căn vô tỷ: 2( ) 5 15 6 1 12 1 15 1 0f x x x x x

ĐK: 1 1x (với ĐK này ta cần chú trọng đên 2 giá trị để thử là -1 và 1)

Sử dụng chức năng SOLVE ta có 3

5x là nghiệm của phương trình

Khi 3

5x ta có:

2 101

5x và

101

5x Do đó ta nghĩ đến nhân tử: 1 2 1x x .

Thực hiện thao tác tương tự như các ví dụ trên ta có được nhân tử còn lại là: 5 1 5 1 6x x

5 1 5 1 6

1 2 1 5 1 5 1 6 01 2 1

x xPT x x x x

x x

Ví dụ tự luyện : Giải phương trình: 23 10 3 2 6 2 4 4 0x x x x

VI. Nghiệm đơn hữu tỷ, thay nghiệm vào căn được kết quả hữu tỷ:

2 2( ) 2 ( 1) 1 ( 1) 1 2 1 0f x x x x x x x x x

ĐK: 1 1x (với ĐK này ta cần chú trọng đên 2 giá trị để thử là -1 và 1)

Sử dụng chức năng SOLVE ta có 0x là nghiệm của phương trình

Khi 0x ta có: 1 1 1x x . Do đó nhân tử có dạng: 1 1 1x a x a

Ta cần tìm số nguyên a để ( )f x chia hết cho 1 1 1x a x a

Ta xét x = 1: (1) 3 2 2f , 1 1 1 2 11

x a x a ax

2

2 222 2

2

2 1 1 03 2 2 1 2 1 2 1

22 1 1

a a aa a a

aa a

(vì a là số nguyên)

Ta chọn a = - 2 khi đó nhóm chung cần thử là : 1 2 1 1x x

Nhập: ( )

1 2 1 1

f x

x x “CALC 1” ta được 1 2 dó đó

( )

1 2 1 1

f x

x x chứa 1x

“⊲ - 1x ” nhập( )

11 2 1 1

f xx

x x

“CALC 1” và “CALC - 1” đều nhận kết quả là 1.

Do đó: ( )

11 2 1 1

f xx

x x

chứa số 1.




“⊲ - 1” nhập( )

( ) 1 11 2 1 1

f xg x x

x x

“CALC 1” ta có kết quả bằng 0. Và thử các kết

quả khác ta đều thấy ( )g x không chứa 1 x dó đó ( ) ( 1).g x x A

nhập ( )

1

g x

x “CALC - 1” ta có kết quả 2 do đó

( )1

1

g xx

x

( )1 1 ( 1) 1

1 2 1 1

f xx x x

x x

1 1 2 1

1 2 1 1 1 1 ( 1) 1 01 1 ( 1) 1 0

x xPT x x x x x

x x x


Bài 1. Giải phương trình: 2 2 2( 1) 1 ( 1) 1 2 0x x x x x

HD: 2 1 1 1 1 1 0x x x x x

Bài 2. Giải phương trình: 23 1 1 3 1 0x x x x

HD: 1 1 2 1 1 1 0x x x x

EP TÍCH BẰNG PHÉP LŨY THỪA HAI VẾ

Bài 1. Giải phương trình: 2 32( 2) 5 1x x ĐS: 5 37

2x

HD: 2 3 4 3 22( 2) 5 1 ( ) 4 25 16 9 0x x f x x x x

Nhập ( )f x = {dấu “=” để lưu phương trình} SHIFT SOLVE 0 nhận được nghiệm: 5,541381...x

ALPHA x SHIFT STO A

Nhấn để quay lại ( )f x . Nhập ( )f x

x A SHIFT SOLVE 0 nhận được nghiệm: 0,54138...x

ALPHA x SHIFT STO B

Nhấn để quay lại ( )f x . Nhập

( )f x

x A x B SHIFT SOLVE 0 không tìm được

{ta có thể hiểu phương trình chỉ có hai nghiệm A, B}

Tính: 3

5

AB Q

A B Q

Do đó ( )f x chia hết cho 2 5 3x x

Do đó: 2

2 2

2

5 3 0 5 37( ) 0 5 3 4 5 3 0

24 5 3 0 ( )

x xf x x x x x x

x x VN

Bài 2. Giải phương trình: 3 2 5 ( 4) 2x x x x x ĐS: 3 13

2x

Bình luận: Ta có thể đánh giá điều kiện có nghiệm của phương trình như sau:




Vì 2 ( 4) 2 0x x x do đó phương trình có nghiệm khi:

3 2 3 2 3 2 25 0 5 3 2 0 2 1 0 2x x x x x x x x x x x x x

Bài 3. Giải phương trình: 3 2 2 1 1 1x x x x ĐS: 1 5

2x

ĐK: 3 2 (*)

1

( ) 1 0

x

g x x x

(*)có nghiệm ≈ 0, 7548… Ta xét 0.5x ta có: 5

(0.5)8

g do đó ta biến đổi:

3 2 3 2 3 2 25 3 1 3 3 11 0 1 0 0

8 8 2 2 4 2x x x x x x x x x x

Bài 4. Giải phương trình: 2 3 2 1 2 1x x x x ĐS: 3 2 3x , 1 2x

Bài 5. Giải phương trình: 2 215 2 1 5x x x x ĐS:

1 13

6x

,

1 29

10x

Bài 6. Giải phương trình: 2 2 2 1 6 5x x x ĐS: 1 2x

Bài 7. Giải phương trình: 32 33 4 2x x x ĐS:

1 13

6x

Điều kiện có nghiệm:

3 3 3 21 14 2 0 4 2 8 32 17 0 2 1 4 2 17 0

8 2x x x x x x x x x x

Bài 8. (THPTQG - 2015) Giải phương trình 2

2

2 81 2 2

2 3

x xx x

x x

ĐS:

3 132;

2x x

Bài 9. (Trích KB - 2014) Giải phương trình: 22 3 2x x x ĐS: 1 5

2x

Bài 10. (Trích KD - 2013) Giải phương trình: 2

2 21

xx x

x

ĐS: 4 2 3x

Bài 11. (KB - 2012) Giải bất phương trình: 21 4 1 3x x x x ĐS:

10 , 4 ,

4S

Bài 12. Giải hệ phương trình: 3 2 2 2

2 0

2 2 4 0

xy x

x x y x y y x

ĐS: ; 1;1x y , 1 5

; ; 52

x y

và 1 5

; ; 52

x y

Bài 13. Giải hệ phương trình: 2 2 34 6 6 7x x x x x

x ĐS: 1x , 3x

Bài 14. (KA - 2010)Giải hệ phương trình: 2

11 2( 1)

x x

x x

ĐS:

3 5

2x




PHƯƠNG PHÁP ÉP TÍCH BẰNG PHÉP ĐẶT ẨN PHỤ

Bài 1. Giải phương trình: 22 1 7( 1) 1x x x x

HD: đặt 1 0t x ; 4 3 2( ) 2 7 5 4 0PT f t t t t

Bài 2. (THPT - 2015) Giải phương trình: 2

2

2 81 2 2

2 3

x xx x

x x

HD: đặt 2 0t x ; 7 6 5 4 3 22 7 13 17 32 11 30 0PT t t t t t t t

Nhập ( )f x = {dấu “=” để lưu phương trình} SHIFT SOLVE 0 nhận được nghiệm 2x

Nhập ( )f x = {dấu “=” để lưu phương trình} SHIFT SOLVE 0 nhận được nghiệm: 1,3027756...x

ALPHA x SHIFT STO A

Nhấn để quay lại ( )f x . Nhập ( )f x

x A SHIFT SOLVE 0 nhận được nghiệm: 2,30277565...x

ALPHA x SHIFT STO B

Nhấn để quay lại ( )f x . Nhập

( )

2

f x

x x A x B SHIFT SOLVE 0 không tìm được

{ta có thể hiểu phương trình chỉ có hai nghiệm A, B}

Tính: 3

1

AB Q

A B Q

Do đó ( )f x chia hết cho 22 3x x x

Do đó: 2 4 3 2 2

4 3 2

2

1 13( ) 0 2 3 3 5 0 3 0

2

( ) 3 5 0 (1)

t

f t t t t t t t t t t t

g t t t t t

2

24 2 2 3 2 31 3

( ) 4 4 1 2 0 , 02 4

g t t t t t t t t t t

. Do đó (1) vô nghiệm

Bài 3. Giải phương trình: 2 2 3x x x x

HD: đặt 0t x ; 4 2 22 3 0PT t t t t

Sử dụng chức năng SOLVE ta tìm được nhân tử của pt là : 21 3t t

Khi đó để ý đến: 2 2 21 3 1 3 2 2 2t t t t t t và 4 2 2 22 1 1 1t t t t t t t

Bài 4. Giải phương trình: 22 4 2 1 2 3 1 2 3 1 0x x x x x x

HD: Đặt : 2 2

1 02

1 2

u xu v

v x

2 2

3 2 2 2

2 (1)

2 2 2 4 0 (2)

u vPT

u v u uv v u v

sử dụng chức năng SOLVE ta kiểm tra được (2) – (1) có nhân tử chung là u v

(2) (1) : 3 4 3 2 0u v u v u v




Bài 5. Giải bất phương trình: 3 2 23 2 2 4 2 11x x x x x x

HD: Đăt 4 1t x ; 6 5 4 3 2 22 9 16 25 32 18 2 3 0PT t t t t t t t

sử dụng chức năng SOLVE ta có được nhân tử của phương trình là: 22 1 2 3t t

để ý: 2 2 22 1 2 3 2 1 2 3 2 4 2t t t t t t

Bài 6. Giải bất phương trình: 23 5 8 18x x x x

HD: Đặt 3 0, 2t x

; 4 2 22 3 2 0PT t t t t có nhân tử

22 2t t

Bài 7. Giải phương trình: 2 22 2 4 2 2 2x x x x x

HD: Đặt 2 0 , 2t x ; 2 4 21 4 2 6 2PT t t t t t có nhân tử 22 2t t

Bài 8. Giải phương trình: 2

3 7 8 1 2 1 1x x

HD: Đặt 2 1 0t x ; 2

2 6 5 4 3 237 9

2 2 12 24 16 7 9 02

tPT t t t t t t t

Bài 9. Giải phương trình: 25 6 5 1 1 0x x x

HD: Đặt 1 0t x ; 2 25 5 1 2 0PT t t t t có nhân tử

23 1 2t t

Bài 10. Giải phương trình: 2 2 21 1 1 1 2 0x x x x x

HD: Đặt: 1 0t x ; 4 2 2 5 4 3 22 2 2 2 2 1 0PT t t t t t t t t có nhân tử2 2 1t t

Bài 11. Giải phương trình: 3

23 3 2 2 5 2 2 2 5 2 1 0x x x x x x (**)

HD: Đặt 3 2 2 262 ; 2 3 3 2 3 2 3 0

2t x PT t t t t t có nhân tử

22 1 2 3t t

Bài 12. Giải phương trình: 2 2 23 3 9 2 2 3 4 0x x x x x x

HD: Đặt 5 4 2 4 20 ; 3 3 4 9 2( 2) 3 0t x PT t t t t t t có nhân tử 23 2 3t t

Bài 13. Giải phương trình: 2 2 2 23 2 1 2 2 1 3 6 0x x x x x x x x x x

HD: 2 0 ; 5t x

; 5 4 3 2 4 2 23 3 10 9 3 3 5 0PT t t t t t t t t

Nhân tử là: 25 3t t

Bài 14. Giải phương trình: 3 23 3 3 0x x x x x x

HD: 0 , 3t x

. 3 4 21 3 3 0PT t t t t có nhân tử 4 3t t

Bài 15. Giải phương trình: 2 2 2 29 8 6 1 2 1 2 1 2 3 1x x x x x x x x

HD: 5 4 3 2 4 2 22 1 ; 4 2 8 32 4 30 2 4 9 6 10 0t x t t t t t t t t t nhân tử 24 2 6 10t t




PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TAM THỨC BẬC HAI ĐỂ ÉP TÍCH


HD: 3 2 3 2 31 1 1 2 2 3 1 0pt m x x x x x x x m x x . Đặt 3 1t x x

2 2 2 3. 1 2 2 3 1 0m t x t x x m x x

2

2 2 31 4 2 2 3 1x m x x m x x

Gán A = 100 (thao tac: 100 SHIFT STO A)

MODE 7 2

2 2 3( ) 1 4 2 2 3 1f x A x A A x A A

Start -9 End 9 Step 1

Chọn f x Z ta có: 2( ) 10203 2 3f x A A (vì ta gán 100A ) khi 1x

Tức là : 2 2 3x x khi 1m

3 2 3 2 31 1 1 2 2 3 1 0pt x x x x x x x x x

3 2 3 3 21 1 1 2 3 2 0x x x x x x x x

2 2 3 21 2 3 2 0t x t x x x (1) với 3 1t x x

2 2

2 3 2 21 4 2 3 2 2 3x x x x x x

Do đó

2 23 2

2 23

1 2 31 2 0 ( )

21

1 2 31 1

2

x x xt x x x x VN

x x xt x x x

Bài tập tự luyện

Bài 2. Giải phương trình: 2( 1) 6 6 25 23 13x x x x

Bài 3. Giải phương trình: 2 2 3 22 7 2 12 11 11 21x x x x x x x

Bài 4. Giải phương trình: 2 2 1 1 2 0x x x x

Bài 5. Giải phương trình: 2 2 3 25 5 3 6 2 12 16 15x x x x x x x

Bài 6. Giải phương trình: 2 2 3 21 2 8 3 2 9x x x x x x x

Bài 7. Giải phương trình: 3 2 2 215 3 2 15 5 1 0x x x x x x x





ÉP TÍCH BẰNG NHÂN LIÊN

NHÂN LIÊN HỢP TRONG BÀI TOÁN NGHIỆM ĐƠN HỮU TỶ

Bài 1. Giải phương trình: 2 26 2 6 1 3 2 0x x x x x

HD: Sử dụng chức năng solve trong casio ta có nghiệm x = 1.

2 22 2 6 1 3 3 2 1 0pt x x x x x

Bài 2. Giải bất phương trình: 3( 2) 3 4 3 2 1 3x x x x

HD: nhẫm nghiệm được x = 4

C1: 3 4 4 1 3 3 3 2 1 3 12 0bpt x x x x

C2: 3 4 4 3 3 2 1 3 2 1 0bpt x x x x x

3 4 4 3 3 1 2 1 2 1 3 0x x x x x

Bài 3. Giải bất phương trình: 2 14 3 1 8 3x x x x

HD: 8 3 2 3 1 2 0bpt x x x

8 3 3 3

1 02 23 2 3 1 2

xx

x x

Bài 4. (B - 2012)Giải bất phương trình: 21 4 1 3x x x x

HD: Sử dụng chức năng solve của casio ta đoán được nghiệm 4x và 1

4x

do đó cần phân tích ra nhân tử 2( 4)(4 1) 4 15 4x x x x

Xét 2

14 4 1

54 1 0 1 1 1

14 4 4

5

x a b a

x x ax bx a b

b

Do đó: 2 1 24 1 ( 1) 3 1 0

5 5bpt x x x x x

Bài 5. Giải bất phương trình: 2 32 5 5 3 3 2 3 5x x x x x

HD: Sử dụng chức năng solve của casio ta đoán được nghiệm 2x và 1x

Số hạng 32 3 5x x đã có nghiệm x = - 2 , do đó ta chỉ xét nó với nghiệm x = 1.

2 2 3 1

( ) 3 31 6 5

x a b aax b x

x a b b

C1: 2 32 2 4 5 3 3 2 2 3 5 0bpt x x x x x x

2

23 3

1 32 2 0

5 3 3 3 2 3 4x x

x x x x




23

2

23

2 3 1 3 12 0

5 3 33 1 3

xx x

x xx

C2: 2 32 5 3 3 2 1 3 5 0bpt x x x x x x x

Bài 6. Giải bất phương trình:

23 4 2 4 29 3 3

x x xx

x x

HD: 2

23 5 2 2 13 3 5 2 ( 2) 3 0

x x xbpt x x x x x

x x x

Tương tự ví dụ 5 ta chỉ cần sử lý nghiệm x = 1 (nghiệm x = -2 đã có)

C1: 213 3 6 2 3 2 0bpt x x x x

x

2 22 1 2 3 3 5

3 0 03 2 3 2

x x x x x

x xx x

C2: 218 8 16 2 5 3 3 0

3bpt x x x x x

x

2 2 2

8 03 5 3

x x x

x x x

Bài 7. Giải bất phương trình: 3 7 8 5 1 2 1 2x x x x

HD: 232 2 7 8 1 2 1 5 1 2 1 6 5 0bpt x x x x x x x x x

2

22

3

2 5 1 2 16 5 0

1 2 1 1 2 13 227 8

2 4

x xx x

x x x xxxx


22 1 3 2 1 3

2 1 6 2 1

x x x x x

x x x

HD: Sử dụng liên hợp ngược để tối giản phân thức {nhẫm nghiệm cho tứng biểu thức}

Bài 9. Giải bất phương trình: 23 1 1 2 3 4x x x x

HD: 4

3 13 1

x xx x

Bài 10. Giải bất phương trình: 26 2 26 8 4 2 3 33x x x x x x x

HD: 2

2 22 26 8 3 2 26 8 3 4 2 0bpt x x x x x x x x




Nháp : 22

( 4)2

24 2 0 4

( 4)2

2

x xt

t xt x xx x

t x

Do đó : 2 22 26 8 3 2 2 26 8 3 2 0bpt x x x x x x x

Ta có: 2

2

2

2 17 82 26 8 3 2 2 0 , 0

2 26 8 3

x xx x x x

x x x

Do đó: 22 26 8 3 2 0bpt x x x x

22 4 2 26 8 3 2 0x x x x x

22

2

6 2 26 85 4 0

2 4 2 26 8 3 2

x x xx x

x x x x x

22

2 2

25 4 0

2 4 2 26 8 3 2 6 2 26 8x x

x x x x x x x x

NHÂN LIÊN HỢP TRONG BÀI TOÁN NGHIỆM ĐƠN VÔ TỶ

Bài 11. Giải phương trình: 2 2 1 ( 1) 2 0x x x x

HD: Sử dụng chức năng solve của casio ta có nghiệm 0,6180339887...x

Thay vào 2x ta có: 2 1,6180339887... 1x x Do đó ta có phân tích :

2 2 12 2 2 ( 1) 1 2 0 2 1 2 0

1 2

xpt x x x x x x x

x x

Bài 12. Giải phương trình: 2 2 3 25 5 3 6 2 12 16 15x x x x x x x

HD: Sử dụng chức năng solve của casio ta có nghiệm 0,8074175964...x

Cách 1:

Thay vào 25 3 6x x ta có: 25 3 6 2,614835193... 2 1x x x Do đó ta có phân tích:

Cách 2: ALPHA x SHIFT STO A

MODE 7 : 2( ) 5 3 6f x A A xA Start -9 End 9 Step 1

Chọn ( )f x Z ta có ( ) 1f x khi 2x tức là 21 5 3 6 2A A A

Hay 25 3 6x x có nhóm liên hợp là 2 1x

2 2 23 7 5 5 5 3 6 2 1 0pt x x x x x x x

2 2 2 2

2 2 2

3 5 3 6 2 1 5 3 6 2 1 5 5 3 6 2 1 0

5 3 6 2 1 3 5 3 6 3 0

x x x x x x x x x x x

x x x x x x x




Bài 13. Giải phương trình: 2 22 16 18 1 2 2x x x x (1)

HD: Sử dụng máy tính ta có 3 nghiệm: 1x và 1,335785242...x

Xét: 21 2

2 16 18 ( x+b)=01 4

x ax x a

x b

2 22 16 18 (2 4) 1 0bpt x x x x

2 2

2

2

2 2 2 16 18 2 11 0

2 16 18 (2 4)

x x x xx

x x x

2

2 2

1 0

2 16 18 2 1 2( 2) (2)

x

x x x x

2 2

2

2 2

2 16 18 1 2( 2)(1), (2) 3 1 4( 2)

2 16 18 2 1 2( 2)

x x x xx x

x x x x

{giải ra nghiệm, thay vào phương trình để thử lại}


HD: 2 2 23 2 8 3 2 8 0x x x x x x x

Bài 15. Giải phương trình: 3 2 2 24 2 4 2x x x x x x


HD: 2

2

2

14 7 1 0

2 2 8 3

x xx x

x x x


HD:

2

2

2

2

3 73 2 11

2 47 2 0

3 2 11

x x x

x xx x x

Bài 18. Giải phương trình: 3 2 2 215 3 2 (15 5) 1 0x x x x x x x

HD: 2 2 22 1 5 3 5 5 2 1 0bpt x x x x x x x x

2 2 22 1 10 2 5 1 1 0x x x x x x x x x

Bài 19. Giải phương trình: 32 1 1 3 2 1x x x x x

HD: 2 1 2 1 1 1 0pt x x x x x x x

1 1 2 1 0x x x x x x

Bài 20. Giải phương trình: 4 3 2 3 12 2 2 1x x x x x x x

x




HD: 2

2 3 2 31 2pt x x x x x x x Đặt

2

3

1u x

v x x

Bài 21. Giải bất phương trình: 2

11 2( 1)

x x

x x

HD: ta có:

2

2 1 3 61 2( 1) 1 2 1 0

2 2 2x x x

dó đó:

2

2

1 0 3 51 2( 1)

21 0

x xbpt x x x x x

x x

Bài 22. Giải bất phương trình: 1 1 1

1 1xx x x

HD: Nếu 1 0x thì 1

1x

và1 1

1 xx x

do đó bất phương trình vô nghiệm

Nếu 1x thì 1 1 1 1 1 1 1 0bpt x x x x x x x x x x x

Bài 23. Giải phương trình: 24 3 2 1 4 1 0x x x

HD: 2 23 1 2 1 2 0pt t t t t Với 1t x

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 24. Giải phương trình: 2 2 3x x x x

Bài 25. Giải bất phương trình: 1 1

1 2 1 1 4 xx x


2

1 21

3 2 2

x x x

x x


1 1

12( 1) xx x x


4 2

2 1

12 1 1

x

xx x


( 2)1

( 1)

x x

x x


9 x xx x

Bài 31. Giải bất phương trình: 9 9 1

1 3 1xx x x


1x xx x





2 1 2x xx x


5 10 5x xx x


2 1x xx x


10 5 82 2

xx x


5 5 4x xx x


sƠ lƯỢc vỀ phƯƠng phÁp Ép tÍch

Education